习题课3

(2) 性质
10 F ( x , y ) 是变量 x 和 y 的不减函数 , 即对于任 意固定的 y , 当 x2 > x1 时 F ( x 2 , y ) ≥ F ( x1 , y );
对于任意固定的 x,当 y 2 > y1时 F ( x, y 2 ) ≥ F ( x, y1 ).
2 0 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1, 且有
2
∫− ∞ f ( x ) d x = 1 .
=∫
x2 x1
+∞
3 P{ x1 < X ≤ x2 } = F ( x2 ) − F ( x1 )
o
f ( x )d x.
4 若 f ( x ) 在点 x 处连续 , 则有 F ′( x ) = f ( x ) .
o
(3)注意点 注意点 若X是连续型随机变量 ，{X=a }是不 是连续型随机变量 是不 可能事件, 可能事件 则有 P { X = a } = 0 .
两 个 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布
数字特征： 数字特征：
二 维 随 机 变 量 的 数 学 期 望 数 数学期望 连 续 型 性 质 数学期望
方 差
协 方 差 与 相 关 系 数 数
一、随机变量的分布函数 1.一维随机变量 1.一维随机变量
(1)定义 定义
设 ξ 是一个随机变量 , x 是任意实数 , 函数 F ( x) = P{ξ ≤ x} 称为 ξ 的分布函数 .
则称( 上服从均匀分布. 则称 X,Y )在D上服从均匀分布 在 上服从均匀分布
若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度
f ( x, y ) =
1 2πσ1σ2 1 − ρ
2
e
1 ( x − µ1 )2 2 ρ ( x − µ1 )( y − µ2 ) ( y − µ2 )2 − + − [ ] 2 2 2 σ 1σ 2 2 ( 1− ρ ) σ1 σ2
对于任意固定的 y , F (−∞, y) = lim F ( x, y) = 0;
对于任意固定的 x , F ( x,−∞) = ylim F ( x, y ) = 0; →−∞
x→−∞
F ( −∞ ,−∞ ) = lim F ( x , y ) = 0;
x → −∞ y → −∞
F ( +∞ ,+∞ ) = x → +∞ F ( x , y ) = 1. lim
分布函数为
1 −x θ 1 − e , x > 0, F ( x) = θ 0, x ≤ 0.
(a)定义 定义
3）正态分布(或高斯分布 ）正态分布 或高斯分布 或高斯分布)
设连续型随机变量 X 的概率密度为
− 1 2σ 2 e , − ∞ < x < ∞, f ( x) = 2πσ 其中 µ , σ (σ > 0) 为常数 , 则称 X服从参数为 µ , σ 的 2 正态分布或高斯分布 , 记为 X ~ N ( µ , σ ). ( x− µ)2
3 F ( −∞ ) = lim F ( x ) = 0,
0 x → −∞
F (∞ ) = lim F ( x ) = 1;
x →∞
4 lim+ F ( x ) = F ( x 0 ), ( −∞ < x 0 < ∞ );
0 x → x0
即任一分布函数处处右连续 即任一分布函数处处右连续. 右连续
(4) 重要公式
1 e ϕ ( x) = 2π
x2 − 2
, − ∞ < x < +∞ ,
标准正态分布的分布函数表示为
Φ( x ) = ∫
x
−∞
1 e 2π
t2 − 2
d t , − ∞ < x < +∞ .
标准正态分布的图形
(d) 重要公式
1
0
X−µ ~ N(0,1). 若 X ~ N( µ,σ ),则Z = σ
P{a < ξ ≤ b} = F(b) − F(a),
P{ξ > a} =1− F(a).
离散型随机变量的分布函数
F(x) = P{ ≤ x} = ∑pk . ξ
xi ≤x
2.二维随机变量 2.二维随机变量
设 E 是一个随机试验 , 它的样本空间是 S = {e}, 设X = X (e) 和 Y = Y (e) 是定义在 S 上的随机变量 , 由它们构成的一个向量 ( X , Y ), 叫作二维随机向量 或二维随机变量 .
其中µ1 , µ2 , σ1 , σ 2 , ρ为常数, σ1 > 0, σ 2 > 0,−1 < ρ < 1,
则称 ( X , Y )服从参数为 µ 1 , µ 2 , σ 1 , σ 2 , ρ 的二维正态分 布 .记为
( −∞ < x < +∞ , − ∞ < y < +∞ )
( X,Y ) ~ N( µ1, µ2 ,σ ,σ , ρ).
(b)分布函数 分布函数
x < a, 0, x − a F ( x) = , a ≤ x < b, b − a x ≥ b. 1,
F ( x)
1•
a o
•
•
b
x
2) 指数分布
设连续型随机变量 X 的概率密度为 1 −x θ e , x > 0, f ( x) = θ 0, x ≤ 0. 其中 θ > 0 为常数 , 则称 X 服从参数为θ 的指数 分布.
2
+∞ +∞
∂ F ( x, y ) 3 若f ( x , y )在( x , y )连续, 则有 = f ( x , y ). ∂ x∂ y
0
4 0 设G是xoy平面上的一个区域 ,点( X ,Y )落在G内 的概率是
P {( X ,Y ) ∈ G } = ∫∫ f ( x , y ) d x d y .
2
2
0
d − µ c − µ P{c ≤ X ≤ d} = Φ −Φ . σ σ
3
0
Φ(−x) = 1 −Φ( x).
2.二维连续型随机变量的概率密度 2.二维连续型随机变量的概率密度
(1) 定义
对于二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数 F ( x , y ), 如果存在非负的函数 f ( x , y ) 使对于任意 x , y 有 F ( x, y) = ∫
0
有 P(( X , Y ) ∈{(x, y) | x1 < x ≤ x2 , y1 < y ≤ y2 }) = F ( x2 , y2 ) − F ( x2 , y1 ) + F ( x1 , y1 ) − F ( x1 , y2 ) ≥ 0.
(3） (3） n 维随机变量的概念
设 设 E 是一个随机试验 , 它的样本空间是 S = {e }, 设 X 1 = X 1 (e ), X 2 = X 2 (e ),L, X n = X n (e ) , 是定义 在 S 上的随机变量 , 由它们构成的一个 n 维向量 ( X 1 , X 2 ,L, X n ) 叫做 n 维随机向量或 n 维随机变量 .
为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边缘分布函数 .
记为 FX ( x ) = F ( x , ∞ ). 同理令 x → ∞,
FY ( y ) = F (∞ , y ) = P{ X < ∞ ,Y ≤ y } = P {Y ≤ y }
(2)说明 说明
分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率大小情况. 的概率大小情况.
分布函数 F ( x) 是 x 的一个普通实函数 .
(3)性质 性质
1 0 ≤ F ( x ) ≤ 1, ( −∞ , ∞ );
0
2 0 F ( x1 ) ≤ F ( x 2 ), ( x1 < x 2 );
G
P{( X ,Y ) ∈ G }的值等于以 G为底,以曲面 z = f ( x , y ) 为顶面的柱体体积 .
(4) 两个常用的分布 是平面上的有界区域, 设 D 是平面上的有界区域 其面积为 S, 若二维随机 变量 ( X, Y ) 具有概率密度
1 , ( x , y ) ∈ D, f ( x, y) = S 0, 其他 .
对于任意 n 个实数 x1 , x 2 ,L, x n , n 元函数
F( x1, x2 ,L xn ) = P{X1 ≤ x1, X2 ≤ x2 ,L, Xn ≤ xn } ,
称为随机变量 ( X 1 , X 2 ,L, X n )的联合分布函数 .
二、连续型随机变量的概率密度
1.一维连续型随机变量的概率密度 1.一维连续型随机变量的概率密度 (1)定义 定义
∫−∞ f (u, v ) d u d v , −∞
y
x
则称 ( X ,Y ) 是连续型的二维随机变 量, 函数 f ( x , y ) 称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度 , 或称为随机 变量 X 和 Y 的联合概率密度 .
(2) 性质
1 f ( x , y ) ≥ 0.
0
0
2
∫−∞ ∫−∞Βιβλιοθήκη f ( x , y ) d x d y = F (∞, ∞ ) = 1.
若 P { X = a } = 0,
连 续 型
则不能确定 { X = a } 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量
{ X = a } 是不可能事件 ⇔ P{ X = a} = 0.
离 散 型
（4）几种常用的分布 1)均匀分布 均匀分布
(a) 定义
若连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a < x < b, f ( x) = b − a 0, 其它, 则称 X 在区间 (a, b) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a, b).