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新教材高中数学单元素养评价(四)新人教A版必修第一册

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高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第一册

高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第一册

模块综合检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1,1)，b ＝(1，y,1)，c ＝(2，－4，2)，a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ．2 2B ．10C ．3D ．4【答案】C【解析】∵b ∥c ，∴y ＝－2．∴b ＝(1，－2,1)．∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x ＋1·()－4＋2＝0，∴x ＝1．∴a ＝(1,1,1)．∴a ＋b ＝(2，－1，2)．∴|a ＋b |＝22＋－12＋22＝3．2．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD →＋12(BC →－BD →)等于( )A ．AD →B ．FA →C ．AF →D ．EF →【答案】C【解析】∵BC →－BD →＝DC →，12(BC →－BD →)＝12DC →＝DF →，∴AD →＋12(BC →－BD →)＝AD →＋DF →＝AF →．3．若直线l 1：mx ＋2y ＋1＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0互相垂直，则实数m 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12【答案】B【解析】直线l 1：y ＝－m 2x －12，直线l 2：y ＝－x ＋2，又∵直线l 1与直线l 2互相垂直，∴－m2×(－1)＝－1，即m ＝－2．4．已知直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，则a ＝( )A ．－9B ．1C ．1或－2D ．1或－9【答案】D【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为(1，－2)，因为直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，所以9－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋4＋a －1|52，所以a 2＋8a －9＝0，解得a ＝1或a ＝－9．5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，半焦距为c ，若|MO |≤c (其中O 为坐标原点)，则y 20的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 4c 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 4c 2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 4c 2，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2c 2，＋∞ 【答案】A【解析】因为|MO |≤c ，所以|MO |≤a 2＋b 2，所以x 20＋y 20≤a 2＋b 2，又因为x 20a 2－y 20b2＝1，消去x 2得0≤y 20≤b 4a 2＋b 2，所以0≤y 20≤b 4c2．6．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．34C ．12D ．14【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x ，由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫24x 2＝c ，解得x ＝223c ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫223c ，13c ．把点A 代入椭圆方程得到⎝ ⎛⎭⎪⎫223c 2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2b2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因为0＜e ＜1，所以可得e ＝32． 7．在空间直角坐标系Oxyz 中，O (0,0,0)，E (22，0,0)，F (0,22，0)，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足|CO →|＝|CB →|＝3，若cos 〈EF →，BC →〉＝16，则OC →·OF →＝( )A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】D【解析】设C (x ，y ，z )，B (2，2，0)，OC →＝(x ，y ，z )，BC →＝(x －2，y －2，z )，EF →＝(－22，22，0)，由cos 〈EF →，BC →〉＝EF →·BC→|EF →||BC →|＝－22，22，0·x －2，y －2，z 4×3＝16，整理可得x －y ＝－22，由|CO →|＝|CB →|＝3，得x 2＋y 2＝x －22＋y －22，化简得x ＋y ＝2，以上方程组联立得x ＝24，y ＝324，则OC →·OF →＝(x ，y ，z )·(0,22，0)＝22y ＝3． 8．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为( )A ．22B ．1－22C ．1＋22D ．2＋ 2【答案】D【解析】抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线为y ＝－116．设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ．由抛物线的定义，得点M 到准线的距离为|MF |，点N 到准线的距离为|NF |．由梯形的中位线定理，得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )．由|MN |2＝λ·d 2，得14λ＝a 2＋b 2＋2ab a ＋b 2＝1－2－2aba ＋b 2≥1－2－2ab 2ab2＝1－2－24＝2＋24，得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时取得最小值2＋2．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l ：(a 2＋a ＋1)x －y ＋1＝0，其中a ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0C ．直线l 过定点(0,1)D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC【解析】对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知(a 2＋a ＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a ＝0或a ＝－1，所以不正确；对于C 项，当x ＝0时，有y ＝1，所以直线过定点(0,1)，所以正确；对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，在x 轴、y 轴上的截距分别是－1,1，所以不正确．故选AC ．10．已知F 1，F 2是双曲线C ：y 24－x 22＝1的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F 1F 2为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2 C ．点M 的横坐标为± 2 D ．△MF 1F 2的面积为2 3 【答案】ACD【解析】由双曲线方程y 24－x 22＝1知a ＝2，b ＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±abx ＝±2x ，A 正确；c ＝a 2＋b 2＝6，以F 1F 2为直径的圆的方程是x 2＋y 2＝6，B 错误；由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝6，y ＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－2，由对称性知点M 横坐标是±2，C 正确；S △MF 1F 2＝12|F 1F 2||x M |＝12×26×2＝23，D 正确．故选ACD ．11．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( )A ．(0，2)B ．(1，2－1)C ．(2，0)D ．(2－1,1)【答案】AC【解析】如图所示，原点到直线l 的距离为d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值．连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ 为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝2．设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式，得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得2t 2－22t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．故选AC ．12．关于空间向量，以下说法正确的是( )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋512OB →＋512OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．设{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底D ．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角 【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，因为16＋512＋512＝1，所以P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则向量a ，b ，c 不共面，可得向量2a ，－b ，c 也不共面，所以{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D 中，若a ·b ＜0，又由〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，所以不正确． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是__________；|OM |＝________．【答案】(1,1，－1)3【解析】在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是M ′(1,1，－1)，|OM |＝12＋－12＋12＝3．14．(2021年惠州期末)圆C ：(x －1)2＋y 2＝1关于直线l ：x －y ＋1＝0对称的圆的方程为______________．【答案】(x ＋1)2＋(y －2)2＝1【解析】圆C ：(x －1)2＋y 2＝1圆心C (1,0)，半径r ＝1，设圆C 关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点C ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12－b2＋1＝0，ba －1＝－1，解得a ＝－1，b ＝2，即圆C 的圆心关于直线l 的对称圆心为C ′(－1,2)，而圆关于直线对称得到的圆的半径不变，所以所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1．15．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 到平面ACD 1的距离为________．【答案】32【解析】如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)．∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AC→＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．设平面ACD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴点M 到平面ACD 1的距离d ＝|AM →·n ||n |＝32．又∵MN →綉12AD 1→，∴MN ∥平面ACD 1．∴直线MN 到平面ACD 1的距离为32．16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为该双曲线上一点且2|PF 1|＝3|PF 2|，若∠F 1PF 2＝60°，则该双曲线的离心率为________．【答案】7【解析】2|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝6a ，|PF 2|＝4a ．在△PF 1F 2中，利用余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2·6a ·4a cos60°，化简整理得到c ＝7a ，故e ＝7．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． (1)求顶点B ，C 的坐标； (2)求CA →·BC →．解：(1)设点O 为坐标原点，OB →＝OA →＋AB →＝(2，－5,3)＋(4,1,2)＝(6，－4,5)， 则B (6，－4,5)．OC →＝OB →＋BC →＝(6，－4,5)＋(3，－2,5)＝(9，－6,10)，则C (9，－6,10)．(2)AC →＝AB →＋BC →＝(7，－1,7)，则CA →＝(－7,1，－7)，又因为BC →＝(3，－2,5)，所以CA →·BC →＝－7×3＋1×(－2)＋(－7)×5＝－58． 18．(12分)菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．解：(1)k BC ＝－5－－16－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2．∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0． (2)k AC ＝－5－76－－4＝－65．∵菱形的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56．∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0． (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11． 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4．两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11， ∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2． ∴圆C 1和圆C 2相交．(2)解：圆C 1和圆C 2的方程相减， 得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0．圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27．20．(12分)如图，过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 的直线交C 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)R ，Q 是C 上的两动点，R ，Q 的纵坐标之和为1，R ，Q 的垂直平分线交y 轴于点T ，求△MNT 的面积的最小值．解：(1)由题意，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pkx －p 2＝0，由题意知x 1，x 2是方程两根，所以x 1x 2＝－p 2＝－4， 所以p ＝2，抛物线的标准方程为x 2＝4y ．(2)设R (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，T (0，t )，因为点T 在RQ 的垂直平分线上，所以|TR |＝|TQ |， 得x 23＋(y 3－t )2＝x 24＋(y 4－t )2．因为x 23＝4y 3，x 24＝4y 4，所以4y 3＋(y 3－t )2＝4y 4＋(y 4－t )2， 即4(y 3－y 4)＝(y 3＋y 4－2t )(y 4－y 3)， 所以－4＝y 3＋y 4－2t ．又因为y 3＋y 4＝1，所以t ＝52，故T ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52．于是S △MNT ＝12|FT ||x 1－x 2|＝34|x 1－x 2|．由(1)得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 所以S △MNT ＝34|x 1－x 2|＝34x 1＋x 22－4x 1x 2＝3416k 2－4×－4＝3k 2＋1≥3． 所以当k ＝0时，S △MNT 有最小值3．21．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 上的点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)二面角P －AC －E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．(1)证明：∵PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， ∴PC ⊥AC ．∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC ＝BC ＝2． ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ． 又∵BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ． ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．(2)解：如图，以C 为原点，取AB 中点F ，CF →，CD →，CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,1,0)，B (1，－1,0)． 设P (0,0，a )(a ＞0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，CA →＝(1,1,0)，CP →＝(0,0，a )，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAC 的法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝x 1＋y 1＝0，m ·CP →＝az 1＝0，所以可取x 1＝1，y 1＝－1，z 1＝0，即m ＝(1，－1,0)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面EAC 的法向量， 则n ·CA →＝n ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，x 2－y 2＋az 2＝0，取x 2＝a ，y 2＝－a ，z 2＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝a a 2＋2＝63，则a ＝2．于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1,1，－2)． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n ||PA →||n |＝23，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23． 22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，32．(1)求椭圆C 的方程．(2)过点(3，0)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可得32＝c a ，1a 2＋34b2＝1， 又因为a 2－b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)存在定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，理由如下： 设直线l 的方程为x ＋my －3＝0，与椭圆C 联立，整理得(4＋m 2)y 2－23my －1＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定点Q (t,0)(依题意t ≠x 1，t ≠x 2)，则由韦达定理可得，y 1＋y 2＝23m 4＋m 2，y 1y 2＝－14＋m2． 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ ，BQ 的斜率互为相反数． 所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0．又因为x 1＋my 1－3＝0，x 2＋my 2－3＝0， 所以y 1(3－my 2－t )＋y 2(3－my 1－t )＝0， 整理得(3－t )(y 1＋y 2)－2my 1y 2＝0． 从而可得(3－t )·23m 4＋m 2－2m ·－14＋m2＝0，11 即2m (4－3t )＝0，所以当t ＝433，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立．特别地，当直线l 为x 轴时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0也符合题意． 综上所述，存在x 轴上的定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．。

数学人教A版选择性必修第一册模块素养评价 Word版含解析

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模块素养评价(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知向量a=(1,2,1),b=(-1,0,4),则a+2b= ( )A.(-1,2,9)B.(-1,4,5)C.(1,2,-7)D.(1,4,9)【解析】选A.a+2b=(1,2,1)+2(-1,0,4)=(-1,2,9).2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD交于点M,设=a,=b,=c,则= ( )A.-a-b-cB.a+b-cC.a-b-cD.-a+b-c【解析】选 D.=+,=,=+,所以=-+(-+)=-c-a+b.3.若向量a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λb)⊥a,则实数λ的值是( )A.-1B.0C.-2D.1【解析】选C.因为(a+λb)⊥a,所以(a+λb)·a=a2+λb·a=()2+λ×(0+1+0)=0,解得λ=-2.4.已知直线l1:2x+y+n=0与l2:4x+my-4=0互相平行,且l1,l2之间的距离为,则m+n= ( )A.-3或3B.-2或4C.-1或5D.-2或2【解析】选A.由2m-4=0,解得m=2.满足l1∥l2.l2的方程为2x+y-2=0,有=,则|n+2|=3,解得n=1或-5,故m+n=±3.5.半径为1的圆C的圆心在第四象限,且与直线y=0和x-y-6=0均相切,则该圆的标准方程可以为( )A.(x-1)2+(y-)2=1B.(x-)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+)2=1D.(x-)2+(y+1)2=1【解析】选D.如图:由题意可设圆心坐标为(a,-1),r=1.则=1,即|a-5|=2,解得a=或.结合选项可得,所求圆的方程为(x-)2+(y+1)2=1.6.如图,圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1),图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点,若圆C经过点A(2,15),则圆C的半径为( )A.7B.8C.8D.10【解析】选A.因为圆C经过点(2,1)和点(2,15),故圆心在直线y=8上.又过点(2,1)的圆的切线为y-1=-(x-2),即 x+y-3=0,故圆心在直线y-1=x-2上,即圆心在直线x-y-1=0上.由可得圆心为(9,8),故圆的半径为=7.7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤2,若将军从点A(3,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为 ( )A.2B.-C. D.3-【解析】选B.设点A关于直线x+y=4的对称点A＇(a,b),设军营所在区域的圆心为C,根据题意,|A＇C|-为最短距离,先求出A＇的坐标,AA＇的中点为,直线AA＇的斜率为1,故直线AA＇为y=x-3,由联立得a=4,b=1,所以|A＇C|==,故|A＇C|-=-.8.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,P是双曲线在第一象限上的点,||=2||=2m(m>0),·=m2,则双曲线C的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解析】选D.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O 为坐标原点,P是双曲线在第一象限上的点,||=2||=2m(m>0),·=m2,可得m=2a,4a·2acos∠F1PF2=4a2,所以∠F1PF2=60°,则4c2=4a2+16a2-2×4a×2a×=12a2,即a2+b2=3a2,所以=,所以双曲线的渐近线方程为:y=±x.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.若a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,则λ可以取的值为( ) A.17 B.-17C.-1D.1【解析】选AC.因为a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,所以cos 120°==,解得λ=-1或λ=17.10.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有( )A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2b【解析】选ABC.两圆方程相减可得直线AB的方程为:a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得:2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减得:2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知:线段AB与线段C1C2互相平分,所以x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确.11.在平面直角坐标系中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是 ( )A.1B.2C.3D.4【解析】选AB.圆C的方程为x2+y2-4x=0,则圆心为C(2,0),半径R=2.设两个切点分别为A,B,则由题意可得四边形PACB为正方形,故有|PC|=R=2,所以圆心到直线y=k(x+1)的距离小于或等于2,即≤2,解得k2≤8,可得-2≤k≤2,结合选项实数k的取值可以是1,2. 12.已知椭圆C:+=1的左、右两个焦点分别为F1,F2,直线y=kx(k≠0)与C交于A,B两点,AE⊥x轴,垂足为E,直线BE与C的另一个交点为P,则下列结论正确的是 ( )A.四边形AF1BF2为平行四边形B.∠F1PF2<90°C.直线BE的斜率为kD.∠PAB>90°【解析】选ABC.直线y=kx(k≠0)与C交于A,B两点,由椭圆的对称性可得O为AB的中点,又O为F1F2的中点,可得四边形AF1BF2为平行四边形,故A正确;由椭圆方程可得a=2,b=c=,以F1F2为直径的圆与椭圆相切于短轴的两个端点,P在圆外,可得∠F1PF2<90°,故B正确;由y=kx与椭圆方程x2+2y2=4联立,由对称性,不妨令A,B,即有E,k BE=k,故C正确;设直线BE的方程为y=k,联立椭圆方程x2+2y2=4,可得x2-+-4=0,由x P-=,解得x P=,即有P,可得=, =,即有·=-+=0,可得⊥,即∠PAB=90°,故D错误.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.在空间直角坐标系O-xyz中,点M(1,-1,1)关于x轴的对称点坐标是;|OM|= .【解析】在空间直角坐标系O-xyz中,点M(1,-1,1)关于x轴的对称点坐标是M＇(1,1,-1);|OM|==.答案:(1,1,-1)14.设A(x1,y1),B(x2,y2)分别为曲线y=上不同的两点,F,若|AF|=2|BF|,且x1=px2+q,则= .【解析】由题意知,A(x1,y1),B(x2,y2)分别为曲线y=上不同的两点,曲线为抛物线y2=x的一部分,可得焦点F,准线方程为x=-,由抛物线的定义可得|AF|=x1+,|BF|=x2+,|AF|=2|BF|,可得x1+=2,即x1=2x2+,由x1=px2+q,可得p=2,q=,则=8.答案:815.如图,光线从P(a,0)(a>0)出发,经过直线l:x-3y=0反射到Q(b,0),该光线又在Q点被x轴反射,若反射光线恰与直线l平行,且b>13,则实数a的取值范围是.【解析】设点P关于直线l的对称点P＇(m,n),直线l为y=x,所以所以所以点P＇的坐标为,根据两点式得到直线P＇Q的方程为:=,化简得3ax-(4a-5b)y-3ab=0,由于反射光线恰与直线l平行,所以=-, 所以a=b,因为b>13,所以a>5.答案:(5,+∞)16.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,y1),B分别是抛物线上位于第一、四象限的点,若|AF|=10,则|y1-y2|= .【解析】因为|AF|=2+=10,所以p=16,则抛物线的方程为y2=32x,把x=代入方程,得y2=-4(y2=4舍去),即B,把x=2代入方程,得y1=8(y1=-8舍去),即A(2,8),则|y1-y2|=|8-(-4)|=12.答案:12四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a=(2,4,-2),b=(-1,0,2),c=(x,2,-1).(1)若a∥c,求|c|.(2)若b⊥c,求(a-c)·(2b+c)的值.【解析】(1)因为a∥c,所以存在实数k使得c=k a,可得:解得x=1.所以|c|==.(2)b⊥c,所以b·c=-x+0-2=0,解得x=-2.所以c=(-2,2,-1).所以(a-c)·(2b+c)=(4,2,-1)·(-4,2,3)=-16+4-3=-15.18.(12分)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(0,-5),C(10,0),线段AC的垂直平分线为l.(1)求直线l的方程.(2)点P在直线l上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P的坐标. 【解析】(1)直线AC的斜率为k AC==-,所以直线l的斜率为k l=2,AC的中点为(6,2),所以直线l的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A关于直线l的对称点为点C,所以直线BC与直线l的交点即为使|AP|+|BP|最小的点.由B(0,-5),C(10,0)得直线BC的方程为+=1,即x-2y-10=0,联立方程解得所以此时点P的坐标为.19.(12分)一动点到两定点距离的比值为正常数λ,当λ≠1时,动点的轨迹为圆,后世称之为阿波罗尼斯圆.已知两定点A,B的坐标分别为:A(4,0),B(1,0),动点M满足|AM|=2|BM|.(1)求动点M的阿波罗尼斯圆的方程;(2)过P(2,3)作该圆的切线l,求l的方程.【解析】(1)设动点M的坐标为(x,y),则|AM|=,|BM|=,又知|AM|=2|BM|,则=2,得x2+y2=4.(2)当直线l的斜率存在且为k时,直线l的方程为:y=kx-2k+3,l与圆相切,则d==2,得:k=,此时l的方程为:5x-12y+26=0,当直线l的斜率不存在时,此时直线l的方程为:x=2,综上,直线l的方程为x=2,5x-12y+26=0.20.(12分)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在y轴正半轴上,准线l与圆x2+y2=4相切.(1)求抛物线C的方程.(2)已知直线m和抛物线C交于点A,B,命题p:“若直线m过定点(0,1),则·=-7”,请判断命题p的真假,并证明.【解析】(1)依题意,可设抛物线C的方程为:x2=2py,p>0,其准线l的方程为:y=-,因为准线l与圆x2+y2=4相切,所以=2,解得:p=4,故抛物线C的方程为:x2=8y.(2)命题p为真命题.证明如下:直线m和抛物线C交于A,B且过定点(0,1),故直线m的斜率一定存在,设直线m:y=kx+1,交点A(x1,y1),B(x2,y2).联立抛物线C的方程,得整理得:x2-8kx-8=0,Δ=64k2+64>0恒成立,所以x1+x2=8k,x1·x2=-8,y1·y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1·x2+k(x1+x2)+1=-8k2+8k2+1=1.·=x1·x2+y1·y2=-8+1=-7,所以命题p为真命题.21.(12分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.(1)求证:BC⊥平面ACFE.(2)在线段EF上是否存在点M,使得平面MAB与平面FCB所成锐二面角的平面角为θ,且满足cos θ=?若不存在,请说明理由;若存在,求出FM的长度.【解析】(1)在如图所示的等腰梯形ABCD中,经过点C,D分别作CP⊥AB,DQ⊥AB,垂足分别为P,Q,则四边形CDQP为矩形,PQ=1.在Rt△BCP中,∠B=60°,则BP=BC=,同理可得AQ=,所以AB=2.在△ABC中,AC2=12+22-2×1×2×cos 60°=3,所以AC2+BC2=AB2,所以∠ACB=90°,所以AC⊥CB.又因为四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,所以BC⊥平面ACFE.(2)如图所示,建立空间直角坐标系.C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),E(,0,1),设M(a,0,1),=(-,1,0),=(-a,1,-1),=(0,1,0),=(,0,1),设平面ABM的法向量m=(x,y,z),则所以取m=(1,,-a).取平面BCF的法向量n=(1,0,0).由cos<m,n>==,由题意假设存在,则=,a∈[0,],解得a=-1,a=+1(舍去),因此在线段EF上存在点M(-1,0,1),使得平面MAB与平面FCB所成锐二面角的平面角为θ,且满足cosθ=,FM=-1.22.(12分)顺次连接椭圆C:+=1(a>b>0)的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为4的菱形.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设直线l与椭圆C相切于点A,过点O作OM⊥l,垂足为M,求△AMO面积的最大值.【解析】(1)由题意可得解得:a=2,b=,故椭圆C的方程为+=1.(2)显然直线l的斜率存在且不为0,设直线l:y=kx+t,联立得(3+4k2)x2+8ktx+4t2-12=0,且Δ=64k2t2-4(3+4k2)(4t2-12)=0,得t2=4k2+3,所以x A==-,联立得x M=-,所以|OM|=·=,则|AM|=·-+=·=,所以S△AMO=|AM|·|OM|=··=·=·≤,当且仅当k=±1时等号成立.故△AOM面积的最大值为.关闭Word文档返回原板块。

新教材高中数学第四章指数函数与对数函数 指数函数的概念课时作业新人教A版必修第一册

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4．2.1 指数函数的概念必备知识基础练1．(多选)下列函数是指数函数的有( ) A ．y ＝x 4B ．y ＝(12)xC ．y ＝22xD ．y ＝－3x2．已知某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……依此类推,那么1个这样的细胞分裂3次后,得到的细胞个数为( )A ．4个B ．8个C ．16个D ．32个3．如果指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1)的图象经过点(2,4),那么a 的值是( ) A ． 2 B ．2 C ．3 D ．44．若函数f (x )是指数函数,且f (2)＝2,则f (x )＝( ) A ．(2)x B ．2xC ．(12)xD ．(22)x5．已知f (x )＝3x －b(b 为常数)的图象经过点(2,1),则f (4)的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．86．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，3x ，x >0，则f (f (－1))＝( )A ．2B ． 3C ．0D ．127．已知函数y ＝a ·2x和y ＝2x ＋b都是指数函数,则a ＋b ＝________．8．已知函数f (x )是指数函数,且f (－32)＝525,则f (3)＝________．关键能力综合练1．若函数y ＝(m 2－m －1)·m x是指数函数,则m 等于( ) A ．－1或2 B ．－1 C ．2 D ．122．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋3，x ≤0，则f (f (－2))的值为( )A ．14B ．12C ．2D ．43．若函数f (x )＝(12a －1)·a x是指数函数,则f (12)的值为( )A ．－2B ．2C ．－2 2D ．2 24．若函数y ＝(2a －1)x(x 是自变量)是指数函数,则a 的取值范围是( ) A ．a >0且a ≠1 B ．a ≥0且a ≠1 C ．a >12且a ≠1 D ．a ≥125．某产品计划每年成本降低p %,若三年后成本为a 元,则现在成本为( ) A ．a (1＋p %)元 B ．a (1－p %)元 C ．a （1－p %）3元 D ．a1＋p %元 6．(多选)设指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1),则下列等式中正确的是( ) A ．f (x ＋y )＝f (x )f (y ) B ．f (x －y )＝f （x ）f （y ）C ．f (xy)＝f (x )－f (y ) D ．f (nx )＝[f (x )]n(n ∈Q )7．某厂2018年的产值为a 万元,预计产值每年以7%的速度增加,则该厂到2022年的产值为________万元．8．若函数y ＝(k ＋2)a x＋2－b (a >0,且a ≠1)是指数函数,则k ＝________,b ＝________． 9．已知指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1), (1)求f (0)的值；(2)如果f (2)＝9,求实数a 的值．10．已知函数f (x )＝(a 2＋a －5)a x是指数函数． (1)求f (x )的表达式；(2)判断F (x )＝f (x )－f (－x )的奇偶性,并加以证明．核心素养升级练1．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食,则y 关于x 的解析式为( )A ．y ＝360(1.041.012)x －1B ．y ＝360×1.04xC ．y ＝360×1.04x1.012D ．y ＝360(1.041.012)x2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x（x ＞0）2x －3（x ≤0）,若f (a )－f (2)＝0,则实数a 的值等于________．3．截止到2018年底,我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰,经过x 年后,此市人口数为y (万).(1)求y 与x 的函数关系y ＝f (x ),并写出定义域；(2)若按此增长率,2029年年底的人口数是多少？(3)哪一年年底的人口数将达到135万？4．2.1 指数函数的概念必备知识基础练1．答案：BC解析：对于A,函数y ＝x 4不是指数函数, 对于B,函数y ＝(12)x是指数函数；对于C,函数y ＝22x＝4x是指数函数； 对于D,函数y ＝－3x不是指数函数． 2．答案：B解析：由题意知1个细胞分裂3次的个数为23＝8. 3．答案：B解析：由题意可知f (2)＝a 2＝4,解得a ＝2或a ＝－2(舍). 4．答案：A解析：由题意,设f (x )＝a x(a >0且a ≠1), 因为f (2)＝2,所以a 2＝2,解得a ＝ 2. 所以f (x )＝(2)x. 5．答案：C 解析：f (2)＝32－b＝1＝30,即b ＝2,f (4)＝34－2＝9.6．答案：B解析：f (－1)＝2－1＝12,f (f (－1))＝f (12)＝312＝ 3.7．答案：1解析：因为函数y ＝a ·2x是指数函数,所以a ＝1, 由y ＝2x ＋b是指数函数,所以b ＝0,所以a ＋b ＝1. 8．答案：125解析：设f (x )＝a x(a >0且a ≠1),则f (－32)＝a －32＝525＝5－32,得a ＝5,故f (x )＝5x,因此,f (3)＝53＝125.关键能力综合练1．答案：C解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1m >0m ≠1,解得m ＝2.2．答案：C解析：由题意f (－2)＝－2＋3＝1,∴f (f (－2))＝f (1)＝2. 3．答案：B解析：因为函数f (x )＝(12a －1)·a x 是指数函数,所以12a －1＝1,即a ＝4,所以f (x )＝4x,那么f (12)＝412＝2.4．答案：C解析：由于函数y ＝(2a －1)x(x 是自变量)是指数函数,则2a －1>0且2a －1≠1,解得a >12且a ≠1.5．答案：C解析：设现在成本为x 元,因为某产品计划每年成本降低p %,且三年后成本为a 元, 所以(1－p %)3x ＝a , 所以x ＝a（1－p %）3.6．答案：ABD解析：因指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1),则有： 对于A,f (x ＋y )＝ax ＋y＝a x ·a y＝f (x )f (y ),A 中的等式正确；对于B,f (x －y )＝a x －y＝a x·a －y＝a x a y ＝f （x ）f （y ）,B 中的等式正确；对于C,f (x y )＝a x y ,f (x )－f (y )＝a x －a y ,显然,a xy≠a x －a y,C 中的等式错误；对于D,n ∈Q ,f (nx )＝a nx ＝(a x )n ＝[f (x )]n,D 中的等式正确． 7．答案：a (1＋7%)4解析：2018年产值为a ,增长率为7%. 2019年产值为a ＋a ×7%＝a (1＋7%)(万元).2020年产值为a (1＋7%)＋a (1＋7%)×7%＝a (1＋7%)2(万元). ……2022年的产值为a (1＋7%)4万元． 8．答案：－1 2解析：根据指数函数的定义,得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋2＝1，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.9．解析：(1)f (0)＝a 0＝1. (2)f (2)＝a 2＝9,∴a ＝3.10．解析：(1)由a 2＋a －5＝1,可得a ＝2或a ＝－3(舍去), ∴f (x )＝2x.(2)F (x )＝2x －2－x,定义域为R , ∴F (－x )＝2－x－2x＝－F (x ), ∴F (x )是奇函数．核心素养升级练1．答案：D解析：不妨设现在乡镇人口总数为a ,则现在乡镇粮食总量为360a ,故经过x 年后,乡镇人口总数为a (1＋0.012)x ,乡镇粮食总量为360a (1＋0.04)x, 故经过x 年后,人均占有粮食y ＝360a （1＋0.04）xa （1＋0.012）x ＝360(1.041.012)x. 2．答案：2解析：由已知,得f (2)＝9； 又当x ＞0时,f (x )＝3x, 所以当a >0时,f (a )＝3a, 所以3a－9＝0,所以a ＝2. 当x <0时,f (x )＝2x －3, 所以当a <0时,f (a )＝2a －3, 所以2a －3－9＝0,所以a ＝6, 又因为a <0,所以a ≠6. 综上可知a ＝2.3．解析：(1)2018年年底的人口数为130万；经过1年,2019年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；经过2年,2020年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；经过3年,2021年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万).……所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同,所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万).即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*).(2)2029年年底,经过了11年,过2029年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万).(3)由(2)可知,2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134<135.2030年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万),2031年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万).所以2031年年底的人口数将达到135万．。

2023年新教材高中人教A版数学必修第一册知识点(8页)全文

2023年新教材高中人教A版数学必修第一册知识点(8页)全文

新教材高一数学必修第—册知识点第一章 集合与常用逻辑用语1元素：研究的对象统称为元素，用小写拉丁字母表示，元素三大性质：互异性，确定性，无 ,,,c b a 序性．2集合：一些元素组成的总体叫做集合，简称集，用大写拉丁字母表示． ,,,C B A 3集合相等：两个集合的元素一样，记作．B A ,B A =4元素与集合的关系：①属于：;②不属于：．A a ∈A a ∉5常用的数集及其记法：自然数集；正整数集；整数集；有理数集；实数集．N +N N 或*Z Q R 6集合的表示方法：①列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法；②描述法：把集合中全部具有共同特征的元素所组成的集合表示为的方法； )(x P x })(|{x P A x ∈③图示法(图)：用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法．Venn 7集合间的根本关系：子集：对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就B A ,A B 称集合为集合的子集，记作，读作包含于；真子集：如果，但存在元素，且A A A B B A ⊆B x ∈A x ∉，就称集合是集合的真子集，记作，读作真包含于．A B A B A B 8空集：不含任何元素的集合，用表示，空集的性质，空集是任何集合的子集，是任何集合的真子∅集．9集合的根本运算：并集；交集； },|{B x A x x B A ∈∈=或 },|{B x A x x B A ∈∈=且 补集(为全集，全集是含有所研究问题中涉及的全部元素)． },|{A x U x x A C U ∉∈=且U 运算性质：；；；；B A B B A ⊆⇔= B A A B A ⊆⇔= A A =∅ ∅=∅ A ，．∅==∅=U C U C A A C C U U U U ,,)()()()(),()()(B A C B C A C B A C B C A C U U U U U U ==10充分条件与必要条件：一般地，“假设p ，则q 〞为真命题，p 可以推出q ，记作，称p 是q 的q p ⇒充分条件，q 是p 的必要条件；p 是q 的条件的四种类型：假设，则p 是q 的充分不必要q q p ,⇒p 条件；假设，则p 是q 的必要充分不条件；假设，则p 是q 的充要条件；p p q ,⇒q q p ⇔假设，，则p 是q 的既不充分也不必要条件． pq q p 11全称量词及全称量词命题：短语“全部的〞，“任意一个〞在逻辑中叫做全称量词，并用符号表∀示，含有全称量词的命题成为全称量词命题．12存在量词及存在量词命题：短语“存在一个〞，“至少有一个〞在逻辑中叫做存在量词，并用符号∃表示，含有存在量词的命题成为存在量词命题．13全称量词命题与存在量词命题的否认：全称量词命题的否认是存在量词命题；存在量词命题的否认是全称量词命题．第二章一元二次函数、方程不等式1不等式的性质不等式的性质： ①对称性；②传递性；③可加性a b b a >⇔<,a b b c a c >>⇒>；④可乘性，；a b a c b c >⇒+>+,0a b c ac bc >>⇒>,0a b c ac bc ><⇒<⑤同向可加性；⑥同向可乘性； ,a b c d a c b d >>⇒+>+0,0a b c d ac bd >>>>⇒>⑦可乘方性；()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >⑧可开方性．⑨可倒数性． )0,1a b n n >>⇒>∈N >ba b a 110<⇒>>2重要不等式：假设，则，当且仅当时等号成立．R b a ∈,ab b a 222≥+b a =3根本不等式：假设，，则，即，当且仅当时等号成立． 0a >0b >a b +≥2a b+≥b a =4不等式链：假设，，则，当且仅当时等号成立；一正0a >0b >ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+b a =二定三相等．5一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最gao 次数是的不等式． 26第三章 函数的概念与性质1函数的概念：一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数x ，按照某种确定的B A ,A 对应关系，在集合中都有唯—确定的数y 与它对应，那么就称为从集合到集合的一f B B A f →:A B 个函数，记作，其中，x 叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，与x 的值相对A x x f y ∈=),(A 应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，值域是集合的子集． }|)({A x x f ∈B 2函数的三要素：定义域、对应关系、值域． 求函数定义域的原则：(1)假设为整式，则其定义域是；()f x R (2)假设为分式，则其定义域是使分母不为0的实数集合；()f x (3)假设是二次根式(偶次根式)，则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合； ()f x (4)假设，则其定义域是； ()0f x x =}{0x x ≠(5)假设，则其定义域是；()()0,1x f x a a a =>≠R (6)假设，则其定义域是； ()()log 0,1a f x x a a =>≠}{0x x >(7)假设，则其定义域是；x x f tan )(=},2|{Z k k x x ∈+≠ππ求函数值域的方法：配方法，换元法，图象法，单调性法等；求函数的解析式的方法：待定系数法，换元法，配凑法，方程组法等；3函数的表示方法：解析法(用函数表达式表示两个变量之间的对应关系)、图象法(用图象表达两个变量之间的对应关系)、列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系)．4分段函数：在定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有不同对应关系的函数． 6函数的单调性：(1)单调递增：设任意(,I 是的定义域)，当时，有.特别的，当D x x ∈21,I D ⊆()f x 12x x <12()()f x f x <函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为增函数；(2)单调递减：设任意(,I 是的定义域)，当时，有.特别的，当D x x ∈21,I D ⊆()f x 12x x <12()()f x f x >函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为减函数．7单调区间：如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间有(严格的)单调性，区间就叫做函数的单调区间，单调区间分为单调增区间和单调减区间． 8复合函数的单调性：同增异减．9函数的最大值、最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足:,都有)(x f y =I M I x ∈∀；使得，那么称是函数的最大(小)值． ))(()(M x f M x f ≥≤I x ∈∃0M x f =)(0M10函数的奇偶性：偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函)(x f y =I I x ∈∀I x ∈-)()(x f x f =-数叫做偶函数；偶函数的图象关于y 轴对称；偶函数满足；)(x f y =|)(|)()(x f x f x f ==-奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么)(x f y =I I x ∈∀I x ∈-)()(x f x f -=-函数叫做奇函数；奇函数的图象关于原点对称；假设奇函数的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即)(x f y =.(0)0f =11幂函数：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． αx y =x α12幂函数的性质：()f x x α=①全部的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；()0,+∞()1,1②如果，则幂函数的图象过原点，并且在区间上是增函数；0α>[)0,+∞③如果，则幂函数的图象在区间上是减函数，在第—象限内，当从右边趋向于原点时，0α<()0,+∞x 图象在轴右方无限地逼近轴，当趋向于时，图象在轴上方无限地逼近轴； y y x +∞x x ④在直线的右侧，幂函数图象“指大图高〞； 1=x ⑤幂函数图象不出现于第四象限． 第四章 指数函数与对数函数1n 次方根与分数指数幂、指数幂运算性质(1)假设，则；； n x a =))n x n=⎪⎩为奇数为偶数()()a n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数(3)；(4)；na =*0,,,1)m na a m n N n =>∈>且(5)；*0,,1)m naa m n N n -=>∈>,且(6)的正分数指数幂为，的负分数指数幂没有意义.000(7)；()0,,r s r sa a a a r s R +⋅=>∈(8)；()()0,,r s rsa a a r s R =>∈(9).()()0,0,,rrrab a b a b r s R =⋅>>∈2对数、对数运算性质(1)；(2)； ()log 0,1xa a N x N a a =⇔=>≠()log 100,1a a a =>≠(3)；(4)；；()log 10,1a a a a =>≠()log 0,1a Na N a a =>≠(5)；()log 0,1m a a m a a =>≠(6)；()log ()log log 0,1,0,0a a a MN M N a a =+>≠M >N >(7)； ()log log log 0,1,0,0aa a MM N a a N=->≠M >N >(8)；()log log 0,1,0n a a M n M a a =⋅>≠M >(9)换底公式； ()log log 0,1,0,0,1log c a c bb a a bc c a=>≠>>≠(10)； ()log log 0,1,,*m na a nb b a a n m N m =>≠∈(11)；()1log log 0,1,0,aa M a a M n R n=>≠>∈(12). ()log log log 10,1,0,1,0,1a b c b c a a a b b c c ⋅⋅=>≠>≠>≠3指数函数及其性质：)1,0(≠>=a a a y x 且①定义域为； ②值域为；③过定点；(),-∞+∞()0,+∞()0,1④单调性：当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数； 1a >()f x R 01a <<()f x R ⑤在y 轴右侧，指数函数的图象“底大图高〞． 4对数函数及其性质：)1,0(log ≠>=a a x y a 且①定义域为；②值域为；③过定点；()0,+∞(),-∞+∞()1,0④单调性：当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函1a >()f x ()0,+∞01a <<()f x ()0,+∞数；⑤在直线的右侧，对数函数的图象“底大图低〞．1=x 5指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称． x a y =)1,0(log ≠>=a a x y a 且x y =6不同函数增长的差异：线性函数模型的增长特点是直线上升，其增长速度不变；指数)0(>+=k b kx y 函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，呈“指数爆炸〞状)1(>=a a y x 态；对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大速度越来越慢，即增长)1(log >=a x y a 速度平缓；幂函数模型的增长速度介于指数函数和对数函数之间．)0(>=n x y n 7函数的零点：在函数的定义域内，使得的实数叫做函数的零点．)(x f y =0)(=x f x 8零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有，()f x [],a b ()()0f a f b ⋅<那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程()y f x =(),a b (),c a b ∈()0f c =c 的根.()0f x =9二分法：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在],[b a ()()0f a f b ⋅<)(x f y =区间一分为二，使得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到零点近似值的方法．10给定准确度，用二分法求函数零点近似值的步骤： ε)(x f y =0x ⑴确定零点的初始区间，验证； 0x [],a b ()()0f a f b ⋅<⑵求区间的中点；[],a b c ⑶计算，并进一步确定零点所在的区间； )(c f ①假设，则就是函数的零点；0)(=c f c ②假设(此时)，则令； 0)()(<c f a f ),(0c a x ∈c b =③假设(此时)，则令；0)()(<b f c f ),(0b c x ∈c a =⑷推断是否到达准确度：假设，则得到零点的近似值(或)；否则重复上面的⑵至⑷. εa b ε-<a b 第五章 三角函数1任意角的分类：按终边的旋转方向分： ⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第αx α几象限角．第—象限角的集合为;{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为;{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为; {}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z角的终边不在任何一个象限，就称这个角不属于任何一个象限 α终边在轴非负半轴的角的集合； x },2|{Z k k ∈=παα终边在轴非正半轴的角的集合； x },2|{Z k k ∈+=ππαα终边在轴非负半轴的角的集合；y },22|{Z k k ∈+=ππαα终边在轴非正半轴的角的集合；y },22|{Z k k ∈+-=ππαα终边在轴的角的集合；x },|{Z k k ∈=παα终边在轴的角的集合；y },2|{Z k k ∈+=ππαα终边在坐标轴的角的集合； },2|{Z k k ∈=παα2终边相同的角：与角终边相同的角的集合为．α{}360,k k ββα=⋅+∈Z 3弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．14角度与弧度互化公式：，，．2360π=1180π=180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭5扇形公式：半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．假设扇形r αl αlrα=的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，()αα为弧度制r l C S l r α=2C r l =+．21122S lr r α==6三角函数的概念：设是一个任意大小的角，的终边上任意一点P 的坐标是，它与原点的距αα(),x y离是，则，，． ()0r r =>sin y r α=cos x r α=()tan 0yx xα=≠7三角函数的符号：一全正二正弦三正切四余弦． 8记忆特别角的三角函数值：α 15 30 45 60 75 90 120 135 150180 270 360 α 12π 6π 4π 3π 125π 2π 32π 43π 65π π 23ππ2 αsin 426- 21 22 23 426+ 1 23 22 210 1-0 αcos 426+ 23 22 21 426-0 21- 22- 23-1-01 αtan 32- 1 3 32+不存在 3- 1- 33-0 不存在9同角三角函数的根本关系：，；()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=- ．()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫==⎪⎝⎭10诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限．，，．()()1sin 2sin k παα+=()cos 2cos k παα+=()()tan 2tan k k παα+=∈Z ，，． ()()2sin sin παα+=-()cos cos παα+=-()tan tan παα+=，，．()()3sin sin αα-=-()cos cos αα-=()tan tan αα-=-，，． ()()4sin sin παα-=()cos cos παα-=-()tan tan παα-=-，．，． ()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11三角函数的图象与性质：sin y x = cos y x =tan y x =图象定义域RR,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R 函数性质12两角和差的正弦、余弦、正切公式：(1)；(2)； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-(3)；(4)；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+(5)；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+(6)． ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-13二倍角公式：(1)；(2)；sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(，)；(3)；2cos 21cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=22tan tan 21tan ααα=-14半角公式：(1)；(2)；(3)；(4)2cos 12sin αα-±=2cos 12cos αα+±=αααcos 1cos 12tan +-±=αααααcos 1sin sin cos 12tan +=-=15辅助角公式：．的终边上在角点其中ϕϕϕ),(,tan ),sin(cos sin 22b a abx b a x b x a =±+=±16函数的图象与性质：b x A y ++=)sin(ϕω图象变换：先平移后伸缩：函数的图象上全部点向左(右)平移个单位长度，得到函数sin y x =ϕ的图象；再将函数的图象上全部点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐()sin y x ϕ=+()sin y x ϕ=+1ω标不变)，得到函数的图象；再将函数的图象上全部点的纵坐标伸长(缩()sin y x ωϕ=+()sin y x ωϕ=+短)到原来的倍(横坐标不变)，得到函数的图象． A ()sin y x ωϕ=A +先伸缩后平移：函数的图象上全部点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变)，得到函sin y x =1ω最值当时，22x k ππ=+()k ∈Z ；当max1y =22x k ππ=-时，．()k ∈Z min 1y =-当时，()2x k k π=∈Z ；当max 1y =2x k ππ=+时，．()k ∈Z min 1y =-既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在 2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()k ∈Z 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数．()k ∈Z 在上是[]()2,2k k k πππ-∈Z 增函数；在[]2,2k k πππ+上是减函数．()k ∈Z 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上是增函数．()k ∈Z 对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z 对称中心 (),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴数的图象；再将函数的图象上全部点向左(右)平移个单位长度，得到函数sin y x ω=sin y x ω=ϕω的图象；再将函数的图象上全部点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横()sin y x ωϕ=+()sin y x ωϕ=+A 坐标不变)，得到函数的图象． ()sin y x ωϕ=A +五点法画图函数的性质：()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>①定义域为R ；②值域为；③单调性：依据函数的单调区间求函数的单调区间； ],[A A -x y sin =④奇偶性：当时，函数是奇函数；当时，函数Z k k ∈=,πϕ()sin y x ωϕ=A +Z k k ∈+=,2ππϕ是偶函数；⑤周期：；⑥对称性：依据函数的对称性研究函数的对称()sin y x ωϕ=A +ωπ2=T x y sin =性12π17函数的应用B x A y ++=)sin(ϕω①振幅：A ；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．2πωT =12f ωπ==T x ωϕ+ϕ⑥最值：函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为B x A y ++=)sin(ϕω1x x =min y 2x x =maxy ，则，，．()max min 12y y A =-()max min 12y y B =+()21122x x x x T=-<。

高中数学新课标人教A版必修第一二册教材解析〖学科核心素养〗

高中数学新课标人教A版必修第一二册教材解析〖学科核心素养〗

学科核心素养学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力．数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的．数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体．1．数学抽象数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征．数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中．数学抽象使得数学成为高度槪括、表达准确、结论一般、有序多级的系统．数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系．通过髙中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并觯决问．2．逻辑推理逻辑推理指从一些亊实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质．逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流．通过高中数学课程的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题，能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力．3．数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．数学建模的主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题．通过髙中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神．4．直观想象直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础．直观想象的主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物．通过高中数学课程的学习，学生能提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力；增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识，形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的本质．5．数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．数学运算是解决数学问题的基本手段．数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础．数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果．通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力；有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．6．数据分析数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养．数据分析过程包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论．数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法，也是“互联网”相关领域的主要数学方法，数据分析已经深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面．数据分析主要表现为：收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识．通过高中数学课程的学习，学生能提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力；适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质；积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验．。

高中数学 单元素养评价(四)(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题

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单元素养评价(四)(第五章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1.若集合M={x|x=45°+k·90°，k∈Z}，N={x|x=90°+k·45°，k∈Z}，则( ) A.M=NB.M NC.M ND.M∩N=⌀【解析】选C.M={x|x=45°+k·90°，k∈Z}={x|x=(2k+1)·45°，k∈Z}，N={x|x=90°+k·45°，k∈Z}={x|x=(k+2)·45°，k∈Z}.因为k∈Z，所以k+2∈Z，且2k+1为奇数，所以M N.2.已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.由tanα<0，cosα<0，所以角α的终边在第二象限.3.已知cos=-，且α是第四象限角，则cos(-3π+α)=( )A. B. C.± D.-【解析】选D.因为cos=sinα，所以sinα=-.又α为第四象限角，所以cosα==，所以cos(-3π+α)=cos(π-α)=-cosα=-.4.设a=(sin17°+cos17°)，b=2cos213°-1，c=sin37°·sin67°+sin53°sin23°，则( )A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c【解析】选 A.a=cos45°sin17°+sin45°cos17°=sin62°，b=c os26°=sin64°，c=sin37°cos23°+cos37°sin23°=sin60°，故c<a<b.5.若函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0，0≤|φ|≤的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是( )A.ω=1，φ=B.ω=1，φ=-C.ω=，φ=D.ω=，φ=-【解析】选C.由题中图象知，T=4=4π=，所以ω=.又当x=时，y=1，所以sin=1，+φ=2kπ+，k∈Z，当k=0时，φ=.6.(2020·内江高一检测)已知α，β为锐角，角α的终边过点(3，4)，sin(α+β)=，则cosβ=( )A. B.C. D.或【解析】选 B.α，β为锐角，角α的终边过点(3，4)，所以sinα=，cosα=，sin(α+β)=<sinα，所以α+β为钝角，所以cos(α+β)=-=-，则cosβ=cos=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=.7.函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2-B.0C.-1D.-1-【解析】选A.因为0≤x≤9，所以-≤x-≤，-≤sin≤1，所以-≤2sin≤2.所以函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2-.8.(2020·荆州高一检测)设f(x)=asin2x+bcos2x(a，b∈R，ab≠0)，若f(x)≤对一切x∈R恒成立，给出以下结论：①f=0；②=；③f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；④函数y=f(x)既不是奇函数也不是偶函数；⑤存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交.其中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为f(x)=asin2x+bcos2x=sin(2x+θ)，由f(x)≤对一切x∈R恒成立，可得f为函数f(x)的最大值或最小值，所以2×+θ=kπ+(k∈Z)，所以θ=kπ-(k∈Z)，所以令f(x)=asin2x+bcos2x=sin2x-，或f(x)=sin.经计算验证①②正确.③f(x)的单调性分情况讨论知③错误；④显然f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故④正确；⑤因为-≤a≤，-≤b≤，所以不存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交，故⑤错误.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9.有下列四种变换方式，其中能将正弦曲线y=sinx的图象变为y=sin的图象的是( )A.横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度B.横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度C.向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的个单位长度D.向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的个单位长度【解析】选BC.A.y=sinx横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，得y=sin2x+=sin，故A不正确；B.y=sinx横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，得y=sin=sin，故B正确；C.y=sinx向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的，得y=sin，故C正确；D.y=sinx向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的，得y=sin，故D不正确.10.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0，<在x=-时取最大值，与之最近的最小值在x=时取到，则以下各式可能成立的是( )A.f(0)=B.f=0C.f=-1D.f=1【解析】选AC.设函数f的周期为T，则=-=，所以T==π，即ω=2.又f=cos=cos=1，<，所以φ=，即f=cos，所以f=，f=-，f=-1，f=，故选AC.11.已知函数f(x)=sin，那么下列式子恒成立的是( )A.f(x+2π)=f(x-2π)B.f=f(x)C.f=f(x)D.f=-f(x)【解析】选AB.因为函数f(x)=sin，所以f(x+2π)=sin，f(x-2π) =sin=sin，故A成立.所以f=sin=-sin=sin，故B成立.又f=sin=sin≠f(x)，故C不成立.又f=sin=cos≠f(x)，故D不成立.12.若函数g(x)=asinxcosx(a>0)的最大值为，则函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴方程为()A.x=0B.x=-C.x=-D.x=【解析】选BD.g(x)=sin2x(a>0)的最大值为，所以a=1，故f(x)=sinx+cosx=sin，令x+=+kπ，k∈Z得x=+kπ，k∈Z.三、填空题(每小题5分，共20分)13.(2020·某某高一检测)已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为_______. 【解析】根据扇形的弧长公式可得l=αr=×6=2π，根据扇形的面积公式可得S=lr=·2π·6=6π.答案：6π14.已知α满足si nα=，那么cos cos-α的值为_______.【解析】因为cos=cos=sin，所以cos cos=sin cos=sin=cos2α=(1-2sin2α)==.答案：15.设x∈(0，π)，则f(x)=cos2x+sinx的最大值是_______.【解析】因为f(x)=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+1=-+.又因为x∈(0，π)，所以0<sinx≤1，所以当sinx=时，f(x)的最大值是.答案：16.已知cos(π+α)=-，<α<2π，则cosα=_______，sin(2π-α)=_______.【解析】由cos(π+α)=-，得-cosα=-，则cosα=；又<α<2π，所以sin(2π-α)=-sinα===.答案：四、解答题(共70分)17.(10分)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点P的坐标是(-1，2).(1)求sinα，tanα.(2)求.【解析】(1)因为角α的终边过点P(-1，2)，所以|OP|=.则sinα==，tanα=-2.(2)====-5.18.(12分)已知α，β为锐角，sinα=，c os(α+β)=.(1)求sin的值；(2)求cosβ的值.【解析】(1)因为α为锐角，sinα=，所以cosα==，所以sin=sinαcos+cosαsin=×+×=.(2)因为α，β为锐角，所以α+β∈(0，π)，由cos(α+β)=，得sin(α+β)==，所以cosβ=cos=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=.19.(12分)已知函数y=3sin.(1)用“五点法”在坐标系中作出上述函数在上的图象.(2)请描述上述函数图象可以由函数y=sinx怎样变换而来？【解析】(1)因为x∈，所以2x-∈.列表如下：x2x-0 π2πy=3sin0 3 0 -3 0描点、连线，得出所要求作的图象如图：(2)第一步：把y=sinx的图象向右平移个单位，可得y=sin的图象；第二步：把所得图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得y=sin的图象；第三步：把所得图象的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变，可得y=3sin的图象. (答案不唯一)20.(12分)已知函数f(x)=cos，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和对称中心；(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.【解析】(1)因为f(x)=cos，所以函数f(x)的最小正周期为T==π.由2x-=+kπ，k∈Z，所以2x=+kπ，k∈Z，所以x=+π，k∈Z，所以函数f(x)的对称中心为，k∈Z.(2)因为f(x)=cos在区间上单调递增，在区间上单调递减，又f=0，f=，f=cos=-cos=-1，所以函数f(x)在区间上的最大值为，此时x=；最小值为-1，此时x=.21.(12分)港口一天内的水深y(单位：米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，下面是水深数据：t/时0 3 6 9 12 15 18 21 24y/米10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10根据表中数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y=Asinωt+B(A>0，ω>0)的图象.(1)试根据数据和曲线，求出y=Asinωt+B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)【解析】(1)从拟合的曲线可知，函数y=Asinωt+B的一个周期为12小时，因此ω==. 又因为y min=7，y max=13，所以A=(y max-y min)=3，B=(y max+y min)=10.所以函数的解析式为y=3sin t+10(0≤t≤24).(2)由题意知，水深y≥4.5+7，即y=3sin t+10≥11.5，t∈，所以sin t≥，所以t∈，k∈Z，当k=0，1时，t∈或t∈.所以该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港.若欲当天安全离港，则船在港内停留的时间最多不能超过16小时.22.(12分)已知f(x)=(sinx+cosx)2-cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若θ∈，f=，求sin的值.【解析】(1)f(x)=(sinx+cosx)2-cos2x=(1+2sinxcosx)-cos2x=sin2x-+=sin+.所以函数f(x)的最小正周期T=π.由2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)由(1)得f=sin+=sin+=cosθ+=，所以cosθ=，因为θ∈，所以sinθ=-，所以sin2θ=2sinθcosθ=-，cos2θ=2cos2θ-1=-，所以sin=sin2θcos-cos2θsin=-.。

新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数函数讲义

新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数函数讲义

最新课程标准：（１）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．（２）知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数（a＞0，且a≠１）．（３）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.知识点一对数函数的概念函数y＝log a x （a＞0，且a≠１）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．错误!形如y＝２log２x，y＝log２错误!都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二对数函数的图象与性质a＞１0＜a＜１图象性质定义域（0，＋∞）值域R过点（１,0），即当x＝１时，y＝0在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数错误!底数a与１的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞１时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜１时，对数函数的图象“下降”．知识点三反函数一般地，指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．[教材解难]１．教材P１３0思考根据指数与对数的关系，由y ＝错误!5730x（x ≥0）得到x ＝log 573012y （0＜y ≤１）．如图，过y 轴正半轴上任意一点（0，y 0）（0＜y 0≤１）作x 轴的平行线，与y ＝错误!5730x（x ≥0）的图象有且只有一个交点（x 0，y 0）．这就说明，对于任意一个y ∈（0,１]，通过对应关系x ＝log 573012y ，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x 和它对应，所以x 也是y 的函数．也就是说，函数x ＝log 573012y ，y ∈（0,１]刻画了时间x 随碳１４含量y 的衰减而变化的规律．２．教材P １３２思考利用换底公式，可以得到y ＝log 12x ＝—log ２x .因为点（x ，y ）与点（x ，—y ）关于x轴对称，所以y ＝log ２x 图象上任意一点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P １（x ，—y ）都在y ＝log 12x 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称．根据这种对称性，就可以利用y ＝log ２x 的图象画出y ＝log 12x 的图象．３．教材P １３8思考一般地，虽然对数函数y ＝log a x （a ＞１）与一次函数y ＝kx （k ＞0）在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx（k＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y＝log a x（a＞１）的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，log a x可能会大于kx，但由于log a x的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有log a x＜kx.４．４．１对数函数的概念[基础自测]１．下列函数中是对数函数的是（）Ａ．y＝log14xＢ．y＝log14（x＋１）Ｃ．y＝２log14xＤ．y＝log14x＋１解析：形如y＝log a x（a＞0，且a≠１）的函数才是对数函数，只有A是对数函数．答案：A２．函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为（）Ａ．（0,１）Ｂ．[0,１）Ｃ．（0,１] Ｄ．[0,１]解析：由题意，得错误!解得0≤x＜１；故函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为[0,１）．答案：B３．函数y＝log a（x—１）（0＜a＜１）的图象大致是（）解析：∵0＜a＜１，∴y＝log a x在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝log a（x—１）的图象是由y＝log a x的图象向右平移一个单位得到，故A正确．答案：A４．若f（x）＝log２x，x∈[２,３]，则函数f（x）的值域为________．解析：因为f（x）＝log２x在[２,３]上是单调递增的，所以log２２≤log２x≤log２３，即１≤log２x≤log２３．答案：[１，log２３]题型一对数函数的概念例１下列函数中，哪些是对数函数？（１）y＝log a错误!（a＞0，且a≠１）；（２）y＝log２x＋２；（３）y＝8log２（x＋１）；（４）y＝log x6（x＞0，且x≠１）；（５）y＝log6x.【解析】（１）中真数不是自变量x，不是对数函数．（２）中对数式后加２，所以不是对数函数．（３）中真数为x＋１，不是x，系数不为１，故不是对数函数．（４）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（５）中底数是6，真数为x，系数为１，符合对数函数的定义，故是对数函数.用对数函数的概念例如y＝log a x（a＞0且a≠１）来判断．方法归纳判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练１若函数f（x）＝（a２—a＋１）log（a＋１）x是对数函数，则实数a＝________.解析：由a２—a＋１＝１，解得a＝0或a＝１．又底数a＋１＞0，且a＋１≠１，所以a＝１．答案：１对数函数y＝log a x系数为１．题型二求函数的定义域[教材P１３0例１]例２求下列函数的定义域：（１）y＝log３x２；（２）y＝log a（４—x）（a＞0，且a≠１）．【解析】（１）因为x２＞0，即x≠0，所以函数y＝log３x２的定义域是{x|x≠0}．（２）因为４—x＞0，即x＜４，所以函数y＝log a（４—x）的定义域是{x|x＜４}.真数大于0．教材反思求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于１．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练２求下列函数的定义域：（１）y＝lg（x＋１）＋错误!；（２）y＝log（x—２）（５—x）．解析：（１）要使函数有意义， 需错误!即错误!∴—１＜x ＜１，∴函数的定义域为（—１,１）． （２）要使函数有意义，需错误!∴错误! ∴定义域为（２,３）∪（３,５）．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 题型三 对数函数的图象问题例３ （１）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的（ ）（２）已知函数y ＝log a （x ＋３）—１（a ＞0，a ≠１）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f （x ）＝３x ＋b 的图象上，则f （log ３２）＝________.（３）如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与１的大小关系为________．【解析】 （１）A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞１，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜１，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜１，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．（２）依题意可知定点A （—２，—１），f （—２）＝３—２＋b ＝—１，b ＝—错误!，故f （x ）＝３x —错误!，f （log ３２）＝３3log 2—错误!＝２—错误!＝错误!.（３）由题干图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a＞１，b＞１，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0＜c＜１,0＜d＜１．过点（0,１）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞１＞d＞c.【答案】（１）C （２）错误!（３）b＞a＞１＞d＞c错误!（１）由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．（２）依据log a１＝0，a0＝１，求定点坐标．（３）沿直线y＝１自左向右看，对数函数的底数由小变大．方法归纳解决对数函数图象的问题时要注意（１）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．（２）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞１，还是0＜a＜１．（３）牢记特殊点．对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象经过点：（１,0），（a,１）和错误!.跟踪训练３（１）如图所示，曲线是对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象，已知a取错误!，错误!，错误!，错误!，则相应于C１，C２，C３，C４的a值依次为（）Ａ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｂ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｃ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｄ．错误!，错误!，错误!，错误!（２）函数y＝log a|x|＋１（0＜a＜１）的图象大致为（）解析：（１）方法一作直线y＝１与四条曲线交于四点，由y＝log a x＝１，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C１，C２，C３，C４对应的a值分别为错误!，错误!，错误!，错误!，故选Ａ．方法二由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C１，C２，C３，C４，即错误!，错误!，错误!，错误!.故选Ａ．增函数底数a＞１，减函数底数0＜a＜１．（２）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（—∞，0）上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±１时y＝１，故选Ａ．先去绝对值，再利用单调性判断.答案：（１）A （２）A课时作业２３１．下列函数是对数函数的是（）Ａ．y＝２＋log３xＢ．y＝log a（２a）（a＞0，且a≠１）Ｃ．y＝log a x２（a＞0，且a≠１）Ｄ．y＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝log a x”的形式，A，B，C全错，D正确．答案：D２．若某对数函数的图象过点（４,２），则该对数函数的解析式为（）Ａ．y＝log２xＢ．y＝２log４xＣ．y＝log２x或y＝２log４xＤ．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x（a＞0，且a≠１，x＞0），则２＝log a４即a２＝４得a＝２．故所求解析式为y＝log２x.答案：A３．设函数y＝错误!的定义域为A，函数y＝ln（１—x）的定义域为B，则A∩B＝（）Ａ．（１,２）Ｂ．（１,２]Ｃ．（—２,１）Ｄ．[—２,１）解析：由题意可知A＝{x|—２≤x≤２}，B＝{x|x＜１}，故A∩B＝{x|—２≤x＜１}．答案：D４．已知a＞0，且a≠１，函数y＝a x与y＝log a（—x）的图象只能是下图中的（）解析：由函数y＝log a（—x）有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，Ｃ．又当a＞１时，y＝a x为增函数，所以图象B适合．二、填空题５．若f（x）＝log a x＋（a２—４a—５）是对数函数，则a＝________.解析：由对数函数的定义可知错误!，∴a＝５．答案：５6．已知函数f（x）＝log３x，则f错误!＋f（１５）＝________.解析：f错误!＋f（１５）＝log３错误!＋log３１５＝log３２7＝３．答案：３7．函数f（x）＝log a（２x—３）（a＞0且a≠１）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．解析：令２x—３＝１，解得x＝２，且f（２）＝log a１＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（２,0）．答案：（２,0）三、解答题8．求下列函数的定义域：（１）y＝log３（１—x）；（２）y＝错误!；（３）y＝log7错误!.解析：（１）由１—x＞0，得x＜１，∴函数y＝log３（１—x）的定义域为（—∞，１）．（２）由log２x≠0，得x＞0且x≠１．∴函数y＝错误!的定义域为{x|x＞0且x≠１}．（３）由错误!＞0，得x＜错误!.∴函数y＝log7错误!的定义域为错误!.9．已知f（x）＝log３x.（１）作出这个函数的图象；（２）若f（a）＜f（２），利用图象求a的取值范围．解析：（１）作出函数y＝log３x的图象如图所示（２）令f（x）＝f（２），即log３x＝log３２，解得x＝２．由图象知，当0＜a＜２时，恒有f（a）＜f（２）．∴所求a的取值范围为0＜a＜２．[尖子生题库]１0．已知函数y＝log２x的图象，如何得到y＝log２（x＋１）的图象？y＝log２（x ＋１）的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？解析：y＝log２x错误!y＝log２（x＋１），如图．定义域为（—１，＋∞），值域为R，与x轴的交点是（0,0）．。

2022版新教材高中数学综合测评新人教A版选择性必修第一册

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综合测评(满分:100分;时间:90分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线x+√3y-1=0的倾斜角为( )A.π3π.π6π.2π3π.5π62.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,C上的点到左焦点F1的距离的最大值为6,过F1的直线交C 于A,B两点,且△ABF2的周长为16,则椭圆C的方程为( )A.x216+y212=1π.x216+y24=1C.x212+y24=1π.x24+y22=13.若两个向量AB⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),AC⃗⃗⃗⃗ =(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为( )A.(-1,2,-1)B.(1,2,1)C.(1,2,-1)D.(-1,2,1)4.已知☉O1:x2+y2-ax=0(a>0)截直线x-y=0所得线段的长度是2√2,则☉O1与☉O2:(x-4)2+(y-2)2=1的位置关系是( )A.内切B.相离C.外切D.相交5.已知点P为抛物线y=12x2上的动点,点P在x轴上的射影为M,点A的坐标是(6,172),则|PA|+|PM|的最小值是( )A.8B.192π.10π.2126.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为( )A.2x-4y-3=0B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0D.2x+4y-3=07.已知抛物线C:y2=8x,圆F:(x-2)2+y2=4(点F为其圆心),直线l:y=k(x-2)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是 ( )A.|M1M3|·|M2M4|B.|FM1|·|FM4|C.|M1M2|·|M3M4|D.|FM1|·|M1M2|8.如图,已知F1,F2是椭圆T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆T上一点,且不与x轴重合,过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线,垂足为Q,则点Q在上运动. ( )A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是 ( )A.A1C1∥平面CEFB.B1D⊥平面CEFC.CE⃗⃗⃗⃗ =12DA⃗⃗⃗⃗ +DD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -DC⃗⃗⃗⃗D.点D与点B1到平面CEF的距离相等10.已知F1、F2是双曲线C:y24−x22=1的上、下焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点M,则下列说法正确的是( )A.双曲线C的渐近线方程为y=±√2xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2C.点M的横坐标为±√2D.△MF1F2的面积为2√311.如图,直线l1,l2相交于点O,点P是平面内的任意一点,若x,y分别表示点P到l1,l2的距离,则称(x,y)为点P的“距离坐标”.下列说法正确的是( )A.距离坐标为(0,0)的点有1个B.距离坐标为(0,1)的点有2个C.距离坐标为(1,2)的点有4个D.距离坐标为(x,x)的点在一条直线上12.在平面直角坐标系中,有两个圆C1:(x+2)2+y2=r12和C2:(x-2)2+y2=r22,其中常数r1,r2为正数,满足r1+r2<4,一个动圆P与两圆都相切,则动圆圆心的轨迹可以是 ( )A.椭圆B.双曲线C.直线D.抛物线三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.若双曲线3x2-y2=m的虚轴长为2,则实数m的值为.14.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离d的最小值等于.15.已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点分别为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.16.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=4,PA=2,D为AB的中点,E为△PAC内的动点(含边界),且PC⊥DE.当E在AC上时,AE= ,点E的轨迹的长度为.(本题第一空2分,第二空3分)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知直线l的斜率为-34,且直线l经过直线kx-y+2k+5=0所过的定点P.(1)求直线l的方程;(2)若直线m平行于直线l,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.18.(本小题满分12分)已知☉C:x2+y2=16.(1)设点Q(x,y)为☉C上的一个动点,求4x+3y的范围;(2)直线l过点P(3,4),且与☉C交于A、B两点,若|AB|=2√7,求直线l的方程.19.(本小题满分12分)如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥平面BCE;(2)求二面角B-AC-E的正弦值;(3)求点D到平面ACE的距离.20.(本小题满分12分)已知抛物线C:x2=2py(0<p<2)的焦点为F,M(2,y0)是C上一点,且|MF|=52.(1)求C的方程;(2)直线l交C于A、B两点,k OA·k OB=-2,且△OAB的面积为16,其中O为坐标原点,求直线l的方程.21.(本小题满分12分)从①CD⊥BC;②BC∥平面PAD这两个条件中选一个,补充在下面的横线上,并完成解答. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=2√3,E为PB的中点, .(1)求证:四边形ABCD是直角梯形;(2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PB上是否存在一点F,使得AF∥平面PCD?若存在,求PFPB的值;若不存在,请说明理由.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.22.(本小题满分12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>π>0)的右顶点为A,上顶点为B,离心率e=√3 2,O为坐标原点,圆O:x2+y2=45与直线AB相切.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)已知四边形ABCD 内接于椭圆E,AB ∥DC.记直线AC,BD 的斜率分别为k 1,k 2,试问k 1·k 2是不是定值?证明你的结论.答案全解全析一、单项选择题1.D 由直线x +√3π−1=0得其斜率为π=−√33,设直线的倾斜角为θ(θ∈[0,π)),则tan θ=-√33, 所以θ=5π6,所以直线的倾斜角为5π6,故选D .2.A 设椭圆的标准方程为π2π2+π2π2=1(a >b >0).依题意得,a +c =6,且4a =16,∴a =4,c =2,∴b 2=a 2-c 2=16-4=12,故选A .3.A 设平面ABC 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{π·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,π·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{π+2π+3π=0,3π+2π+π=0,令x =-1,则y =2,z =-1,n =(-1,2,-1);令x =1,则y =-2,z =1,则n =(1,-2,1).故选A .4.D ☉O 1的标准方程为(π-π2)2+π2=π24(a >0),圆心到直线x -y =0的距离d =|π2|√2=√π24-(√2)2,得a =4,∴O 1(2,0),又O 2(4,2),∴☉O 1与☉O 2的圆心距为2√2,且2−1<2√2<2+1,即两个圆相交.故选D .5.B 依题意可知,抛物线y =12π2即抛物线π2=2π,焦点为π(0,12),准线方程为π=−12, 依题意只需直接考虑P 到准线与P 到A 点距离之和最小即可, 由于在抛物线中P 到准线的距离等于P 到焦点的距离, 此时问题进一步转化为|PF |+|PA |距离之和最小即可, 显然当P 、A 、F 三点共线时|PF |+|PA |距离之和最小为|FA |, 由两点间距离公式得|FA |=√62+(172-12)2=10, 那么|PA |+|PM |的最小值为|FA |-12=192,故选B .6.D 因为B (-1,0),C (0,2),所以线段BC 的中点的坐标为(-12,1),线段ππ所在直线的斜率πππ=2,则线段ππ的垂直平分线的方程为π−1=−12(π+12),即2x +4y -3=0,因为AB =AC ,所以△ABC 的外心、重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上,所以△ABC 的欧拉线方程为2x +4y -3=0. 7.C 设M 1,M 2,M 3,M 4四点的横坐标分别为x 1,x 2,x 3,x 4,由题意知y 2=8x 的焦点坐标与圆F 的圆心(2,0)相同,准线l 0:x =-2. 由定义得|M 1F |=x 1+2, 又∵|M 1F |=|M 1M 2|+2, ∴|M 1M 2|=x 1,同理,|M 3M 4|=x 4,将y =k (x -2)代入抛物线方程,得k 2x 2-(4k 2+8)x +4k 2=0, ∴x 1x 4=4,∴|M 1M 2|·|M 3M 4|=4,故选C .8.B 延长F 2Q 与F 1P 交于点M ,连接OQ.因为PQ 是∠F 1PF 2的外角的平分线所在直线,且PQ ⊥F 2M ,所以在△PF 2M 中,|PF 2|=|PM |,且Q 为线段F 2M 的中点.又O 为线段F 1F 2的中点,由三角形的中位线定理,得|OQ |=12|π1π|=12(|PF 1|+|PF 2|).由椭圆的定义,得|PF 1|+|PF 2|=2a ,所以|OQ |=a ,所以点Q 在以原点为圆心,a 为半径的圆上运动.二、多项选择题9.AC 建立空间直角坐标系,如图所示,设AB =2,平面CEF 的法向量为n =(x ,y ,z ).∵E ,F 分别是A 1D 1,C 1D 1的中点, ∴EF ∥A 1C 1,又EF ⊂平面CEF ,A 1C 1⊄平面CEF , ∴A 1C 1∥平面CEF ,故选项A 正确;易知C (0,2,0),E (1,0,2),F (0,1,2),B 1(2,2,2),D (0,0,0), ∴ππ1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,2),ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2), ∴{π·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,π·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-π+π=0,-π+2π=0,令x =2,则{π=2,π=1,∴n =(2,2,1),∵ππ1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,2),∴ππ1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与n 不平行, ∴B 1D 不垂直于平面CEF ,故选项B 错误;ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ππ1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +π1π⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ππ1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12π1π1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ππ1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选项C 正确;ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),设点D 到平面CEF 的距离为d 1,则d 1=|ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·π||π|=√4+4+1=43,π1π⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,0,-2),设B 1到平面CEF 的距离为d 2, 则d 2=|π1π⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·π||π|=|-4+0-2|3=2≠43,故选项D 错误.故选AC . 10.ACD 由双曲线方程π24−π22=1知π=2,π=√2,焦点在π轴上,渐近线方程为π=±πππ=±√2π,A 正确;π=√π2+π2=√6,以π1π2为直径的圆的方程是π2+π2=6,B 错误;由{π2+π2=6,π=√2π得{π=√2,π=2或{π=-√2,π=-2,由对称性知点π的横坐标是±√2,C 正确;π△ππ1π2=12|π1π2||ππ|=12×2√6×√2=2√3,D 正确.故选ACD .11.ABC 对于A,若距离坐标为(0,0),即P 到两条直线的距离都为0,P 为两直线的交点,即距离坐标为(0,0)的点只有1个,A 正确;对于B,若距离坐标为(0,1),即P 到直线l 1的距离为0,到直线l 2的距离为1,P 在直线l 1上,到直线l 2的距离为1,符合条件的点有2个,B 正确;对于C,若距离坐标为(1,2),即P 到直线l 1的距离为1,到直线l 2的距离为2,有4个符合条件的点,即与直线l 1相距为2的两条平行线和与直线l 2相距为1的两条平行线的交点,C 正确;对于D,若距离坐标为(x ,x ),即P 到两条直线的距离相等,则距离坐标为(x ,x )的点在2条相互垂直的直线上,D 错误.故选ABC .12.BC 由题意得,圆C 1的圆心为C 1(-2,0),半径为r 1,圆C 2的圆心为C 2(2,0),半径为r 2,所以|C 1C 2|=4,设动圆P 的半径为r.当r 1+r 2<4时,两圆相离,动圆P 可能与两圆均内切或均外切或一个内切,一个外切. ①若均内切,则|PC 1|=r -r 1,|PC 2|=r -r 2,此时||PC 1|-|PC 2||=|r 1-r 2|, 当r 1≠r 2时,点P 的轨迹是以C 1,C 2为焦点的双曲线, 当r 1=r 2时,点P 在线段C 1C 2的垂直平分线上.②若均外切,则|PC 1|=r +r 1,|PC 2|=r +r 2,此时||PC 1|-|PC 2||=|r 1-r 2|,则点P 的轨迹与①相同.③若一个外切,一个内切,不妨设与圆C 1内切,与圆C 2外切,则|PC 1|=r -r 1,|PC 2|=r +r 2,|PC 2|-|PC 1|=r 1+r 2.同理,当与圆C 2内切,与圆C 1外切时,|PC 1|-|PC 2|=r 1+r 2.此时点P 的轨迹是以C 1,C 2为焦点的双曲线,与①中双曲线不一样.故选BC . 三、填空题 13.答案 -3或1解析 因为双曲线3x 2-y 2=m 的虚轴长为2, ①当m >0时,双曲线方程可化为π2π3−π2π=1,有√π=1,得m =1; ②当m <0时,双曲线方程可以化为π2-π−π2-π3=1,有√-π3=1,得m =-3.故实数m 的值为-3或1. 14.答案 √5 解析 由{π=2π,π+π=3解得{π=1,π=2,把点(1,2)代入ππ+ππ+5=0,可得π+2π+5=0,于是π=−5−2π,因此点(π,π)到原点的距离π=√π2+π2=√(-5-2π)2+π2=√5(π+2)2+5≥√5,当且仅当π=−2,π=−1时取等号,故点(π,π)到原点的距离π的最小值等于√5. 15.答案 2解析 由题意不妨设|AB |=3,则|BC |=2.设AB ,CD 的中点分别为M ,N ,则在Rt △BMN 中,|MN |=2c =2,故|BN |=√|ππ|2+|ππ|2=√(32)2+22=52.由双曲线的定义可得2π=|ππ|−|ππ|=52- 32=1,所以双曲线π的离心率π=ππ=2. 16.答案 2;2√55解析 建立空间直角坐标系,如图所示.设CB =2m ,则P (0,0,2),C (0,4,0),D (m ,2,0).当E 在AC 上时,设E (0,t ,0)(0≤t ≤4),则ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-m ,t -2,0),又ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,-2),所以由PC ⊥DE ,可得ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即4(t -2)=0,解得t =2,因此AE =2,此时E 为AC 的中点,可得E (0,2,0).当E 为AC 的中点时,作EE'⊥PC 于点E',连接DE',由PC ⊥DE ,PC ⊥EE',DE ∩EE'=E ,得PC ⊥平面DEE',所以点E 在△PAC 内的轨迹为线段EE',因此求出EE'的长度即可.设ππ'⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4λ,-2λ),则E'(0,4λ,2-2λ),所以ππ'⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4λ-2,2-2λ),由ππ'⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得,4(4π−2)−2(2−2π)=0,解得π=35,所以π′(0,125,45),所以|ππ′|=√(125-2)2+(45)2=2√55. 四、解答题17.解析 (1)kx -y +2k +5=0整理得k (x +2)+(5-y )=0,所以直线kx -y +2k +5=0过定点P (-2,5), (2分) 因此l :y -5=-34(x +2),即3x +4y -14=0. (5分) (2)设直线m 的方程为y =-34x +b ,b ≠72,则3=|34×(-2)+5-π|√16+1解得π=−14或π=294.(8分)所以直线m 的方程为y =-34π−14或π=−34π+294.(10分)18.解析 (1)设4x +3y =t ,则直线4x +3y =t 与☉C 有公共点, (2分) 所以圆心到直线的距离d ≤4, (4分) 即≤4,解得-20≤t ≤20.所以4x +3y 的范围为[-20,20]. (6分)(2)当直线l 垂直于x 轴时,直线方程为x =3,l 与圆的两个交点坐标为(3,√7),(3,−√7),这两点的距离为2√7,满足题意; (8分)当直线l 不垂直于x 轴时,设其方程为y -4=k (x -3),即kx -y -3k +4=0, 设圆心到此直线的距离为d (d >0),则2√7=2√16-π2,解得d =3, (10分) 即√=3,解得π=724,此时直线方程为7x -24y +75=0.综上所述,所求直线方程为7x -24y +75=0或x =3. (12分) 19.解析 (1)证明:因为BF ⊥平面ACE ,所以BF ⊥AE. (1分) 因为二面角D -AB -E 为直二面角,且CB ⊥AB , 所以CB ⊥平面ABE. 所以CB ⊥AE. (2分) 又BF ∩CB =B ,所以AE ⊥平面BCE. (3分)(2)以线段AB 的中点为原点O ,OE 所在直线为x 轴,AB 所在直线为y 轴,过O 点平行于AD 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系Oxyz ,如图. (4分)因为AE ⊥面BCE ,BE ⊂面BCE ,所以AE ⊥BE. 在Rt △AEB 中,AB =2,O 为AB 的中点,所以OE =1.所以A (0,-1,0),E (1,0,0),C (0,1,2),则ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2). 设平面AEC 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·π=0,ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·π=0,即{π+π=0,2π+2π=0,解得{π=-π,π=π, 令x =1,得n =(1,-1,1)是平面AEC 的一个法向量. (7分) 又平面BAC 的一个法向量为m =(1,0,0),cos<m ,n >=π·π|π||π|=3=√33. 所以二面角B -AC -E 的正弦值为√63. (9分)(3)因为AD ∥z 轴,AD =2,所以ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2), (10分) 所以点D 到平面ACE 的距离d =|ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·π||π|=√3=23√3. (12分)20.解析 (1)将M (2,y 0)代入x 2=2py (0<p <2),得y 0=2π, (2分) 又|MF |=y 0-(-π2)=2π+π2=52,∴p =1,∴抛物线的方程为x 2=2y. (5分) (2)直线l 的斜率显然存在,设直线l :y =kx +b ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{π=ππ+π,π2=2π得x 2-2kx -2b =0, (7分)∴x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-2b , 由k OA ·k OB =π1π1·π2π2=π1π24=-π2=-2,∴b =4, (9分)∴直线l 的方程为y =kx +4, ∴直线恒过定点(0,4), 原点O 到直线l 的距离d =,∴S △OAB =12·d ·|AB |=12·√·√1+π2·√(π1+π2)2-4π1π2 =2√4π2+32=16, (11分) ∴4k 2+32=64,解得k =±2√2,∴直线l 的方程为y =±2√2x +4. (12分)21.解析 选择①.(1)∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA ⊥AD ,PA ⊥CD.∵PA =AD =CD =2,∴PD =2√2.又∵PC =2√3,∴CD 2+PD 2=PC 2,得CD ⊥PD. (2分) 又∵PA ∩PD =P ,∴CD ⊥平面PAD ,则CD ⊥AD.又∵CD ⊥BC ,∴AD ∥BC.又AD ≠BC ,∴四边形ABCD 是直角梯形. (4分)(2)过A 作AD 的垂线交BC 于点M.∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA ⊥AM ,PA ⊥AD.如图,建立空间直角坐标系Axyz.则A (0,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),B (2,-1,0). ∵E 为PB 的中点,∴E (1,-12,1).∴ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-12,1),ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2),ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2).设平面PCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{π·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2π+2π-2π=0,π·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2π-2π=0,令y =1,得n =(0,1,1). (6分) 设直线AE 与平面PCD 所成的角为α,∴sin α=|cos<n ,ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|-12×1+1×1|√2×32=√26.∴直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为√26. (8分)(3)设ππππ=λ(0<λ<1),ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(2,-1,-2)=(2λ,-λ,-2λ),ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,-λ,-2λ+2), (10分) ∵AF ∥平面PCD ,∴ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即-λ-2λ+2=0⇒λ=23. (12分)选择②.(1)∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA ⊥AD ,PA ⊥CD.∵PA =AD =CD =2,∴PD =2√2.∵PC =2√3,CD 2+PD 2=PC 2,得CD ⊥PD. (2分)∵PA ∩PD =P ,∴CD ⊥平面PAD ,则CD ⊥AD.∵BC ∥平面PAD ,BC ⊂平面ABCD ,平面PAD ∩平面ABCD =AD , ∴BC ∥AD ,又AD ≠BC ,∴四边形ABCD 是直角梯形. (4分)(2)同选择①.(3)同选择①.22.解析 (1)直线AB 的方程为ππ+ππ=1,即bx +ay -ab =0,由圆O 与直线AB 相切,得=√45,即π2π2π2+π2=45,① (2分)设椭圆的半焦距为c ,则e =ππ=√32,∴π2π2=1-e 2=14,② (4分)由①②得a 2=4,b 2=1.故椭圆的标准方程为π24+y 2=1. (5分) (2)k 1·k 2=14,为定值.证明过程如下: 由(1)得直线AB 的方程为y =-12x +1,故可设直线DC 的方程为y =-12x +m ,显然m ≠±1. (7分)设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2).联立{π24+π2=1,π=-12π+π,消去y ,得 x 2-2mx +2m 2-2=0,则Δ=8-4m 2>0,解得-√2<m <√2,且m ≠±1, (9分) ∴x 1+x 2=2m ,x 1x 2=2m 2-2.由k 1=π1π1-2,k 2=π2-1π2, (10分)得k 1k 2=π1π1-2·π2-1π2 =(-12π1+π)π1-2·(-12π2+π)-1π2=14π1π2-π2(π1+π2)+π2+12π1-ππ1π2-2π2 =14·(2π2-2)-π2·2π+π2+2π-π22-π(2π2-2)-2π2=π22-12-π222π2-2-2π2=14. (12分)。

高中数学模块素养测评卷一新人教A版必修第一册

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模块素养测评卷(一)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A ＝{x|－1<x<3}，B ＝{x ∈N *|0<x <4}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0<x <3} B ．{x |－1<x <4} C ．{1，2} D ．{0，1，2}2．“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定形式为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20 ≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 20 <0 3．已知a ，b ∈R ，那么“3a<3b”是“log 13a >log 13b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)5．将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位，得到函数y ＝f (x )·sin x 的图象，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝－2cos xB ．f (x )＝2cos xC ．f (x )＝22sin 2x D ．f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 6．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是( )7．核酸检测在新冠疫情防控中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR 法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增过程中的靶标DNA 进行实时检测．已知被标靶的DNA 在PCR 扩增期间，每扩增一次，DNA 的数量就增加p %.若被测标本DNA 扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p 的值约为(参考数据：100.2≈1.585，10－0.2≈0.631)( )A ．36.9B ．41.5C ．58.5D ．63.18．已知函数f (x )＝m sin ωx ＋2cos ωx (m ≠0，ω>0)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π6，且f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝6，则函数f (x )在下列区间上单调递减的是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，－2π3二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列函数为偶函数的是( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝1x 2C ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝cos x10．若a >b >0，则下列不等式成立的是( ) A ．b a >b ＋1a ＋1 B ．1a <1b C ．a ＋1b >b ＋1a D ．a ＋1a >b ＋1b11．如图是函数y ＝sin (ωx ＋φ)的部分图象，则sin (ωx ＋φ)＝( )A.sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x C ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x12．已知函数f (x )＝x |x －a |，其中a ∈R ，下列结论正确的是( ) A ．存在实数a ，使得函数f (x )为奇函数 B ．存在实数a ，使得函数f (x )为偶函数C ．当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，a2)，(a ，＋∞)D ．当a <0时，若方程f (x )＋1＝0有三个不等实根，则a <－2 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 23 ，则f (－8)的值是________． 14．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝________．15．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值为________．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥02－x ，x <0(a ∈R )，且f (f (－1))＝1，则a ＝________；若f (f (m ))＝4，则m ＝________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)求值： (1)()6423×⎝⎛⎭⎫34－32－0.125－13；(2)()log 37＋log 732－log 949log 73－(log 73)2.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋(1－a )x －a ， (1)当a ＝2时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若函数f (x )在[1，3]上具有单调性，求实数a 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos x sin (x ＋π6)－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．20．(本小题满分12分) 已知α，β为锐角，tan α＝43，cos (α＋β)＝－55.(1)求sin α（sin 2α－cos 2α）2cos α－sin α的值；(2)求sin (α－β)的值．21．(本小题满分12分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形，面积为162平方米的三级污水处理池，平面图如图所示，池的深度一定，已知池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计，设水池的宽为x 米，总造价为y 元．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)证明：函数y ＝f (x )在[10，20]上单调递增；(3)当污水处理池的宽为多少米时，总造价最低？并求出最低总造价．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝kx ＋log 3(3x＋1)(k ∈R )为偶函数． (1)求实数k 的值；(2)若方程f (x )＝12x ＋log 3(a ·3x－a )(a ∈R )有且仅有一个实数根，求实数a 的取值范围．模块素养测评卷(一)1．答案：C解析：B ＝{x ∈N *|0<x <4}＝{1，2，3}，A ＝{x |－1<x <3}，所以A ∩B ＝{1，2}． 2．答案：D解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，则“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定形式为：存在x 0∈R ，使得x 20 <0. 3．答案：B解析：由3a<3b⇒a <b ，因为a ，b 的正负性不明确，故不能由3a<3b一定推出log 13a >log 13b 成立；由log 13a >log 13b ⇒a <b ⇒3a <3b ，所以“3a <3b ”是“log 13a >log 13b ”的必要不充分条件．4．答案：C解析：因为f (2)＝3－1>0，f (4)＝32－2<0，所以由根的存在性定理可知选C.5．答案：B解析：∵将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位得y ＝cos 2(x －π4)＝cos (2x －π2)＝sin 2x ＝2sin x cos x ＝f (x )·sin x ，∴f (x )＝2cos x ． 6．答案：B解析：由函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象可知，a ＝3，则对于选项A ，y ＝3－x是减函数，所以A 错误；对于选项B ，y ＝x 3的图象是正确的；对于选项C ，y ＝(－x )a ＝－x 3是减函数，故C 错；对于选项D ，函数y ＝log 3(－x )是减函数，故D 错误．7．答案：C解析：设DNA 数量没有扩增前为a ，由题意可得a (1＋p %)5＝10a ， 所以(1＋p %)5＝10，所以1＋p %＝100.2， 可得p %＝100.2－1＝0.585，p ＝58.5. 8．答案：B解析：因为函数f (x )＝m sin ωx ＋2cos ωx (m ≠0，ω>0)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离是π6，所以14×2πω＝π6，解得ω＝3.又f (0)＋f (π9)＝6，所以2＋32m ＋2×12＝6，解得m ＝23，所以f (x )＝23sin 3x ＋2cos 3x ＝4sin (3x ＋π6).令π2＋2k π≤3x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π9＋2k π3≤x ≤4π9＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间是[π9＋2k π3，4π9＋2k π3]，k ∈Z .当k ＝－1时，(－π2，－π4)⊆[－5π9，－2π9]，所以函数f (x )在区间(－π2，－π4)上单调递减．9．答案：ABD解析：因为x ∈R ，f (－x )＝x 4＝f (x )，所以f (x )＝x 4为偶函数； 因为x ≠0，函数f (－x )＝1x 2＝f (x )，所以f (x )＝1x2为偶函数；因为x ∈R ，f (－x )＝cos x ＝f (x )，所以f (x )＝cos x 为偶函数； 因为x ≠0，函数f (－x )＝－x －1x ＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋1x为奇函数．10．答案：BC解析：因为a >b >0，所以b －a <0，ab >0， 所以b a －b ＋1a ＋1＝b （a ＋1）－a （b ＋1）a （a ＋1）＝b －a a （a ＋1）<0，所以b a <b ＋1a ＋1，故A 不正确；1a －1b＝b －a ab<0，所以1a <1b，故B 正确；a ＋1b －b －1a ＝a －b ＋a －b ab ＝(a －b )(1＋1ab)>0，故C 正确； 当a ＝12，b ＝13时，满足a >b >0，但是a ＋1a ＝12＋2＝52<b ＋1b ＝13＋3＝103，故D 不正确．11．答案：ABC解析：由函数图象可知T 2＝2π3－π6＝π2，∴T ＝π，则|ω|＝2πT ＝2ππ＝2，不妨令ω＝2，当x ＝23π＋π62＝5π12时，y ＝－1，∴2×5π12＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，即函数的解析式为y ＝sin (2x ＋2π3＋2k π)＝sin (2x ＋2π3)，故A 正确；又sin (2x ＋2π3)＝sin (π＋2x －π3)＝－sin (2x －π3)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，故B 正确；又sin (2x ＋2π3)＝sin (2x ＋π6＋π2)＝cos (2x ＋π6)，故C 正确；而cos (2x ＋π6)＝cos (π＋2x －5π6)＝－cos (2x －5π6)＝－cos (5π6－2x )，故D 错误．12．答案：ACD解析：由f (－x )＝－x |－x －a |＝－x |x ＋a |，显然当a ＝0时有f (－x )＝－f (x )，但不存在实数a 使f (－x )＝f (x )，A 正确，B 错误；f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －x 2，x <a x 2－ax ，x ≥a且f (x )在x ＝a 处连续，当a >0时，易知f (x )在(－∞，a2)上递增，在(a2，a )上递减，在(a ，＋∞)上递增，C 正确；由f (x )解析式，当a <0时f (x )在(－∞，a )上递增，在(a ，a 2)上递减，在(a2，＋∞)上递增，又f (a )＝0，f (a 2)＝－a 24，要使f (x )＋1＝0有三个不等实根，即f (x )与y ＝－1有三个交点，所以－a 24<－1，又a <0，可得a <－2，D 正确．13．答案：－4解析：f (8)＝823＝4，因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－4. 14．答案：－79解析：sin α－cos α＝43，两边平方得1－sin 2α＝169，则sin 2α＝－79.15．答案：7＋4 3解析：由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得ab ＝3a ＋4b ，即b ＝3aa －4>0，所以a >4，a ＋b ＝a ＋3a a －4＝a －4＋12a －4＋7≥7＋212＝7＋43，当且仅当a ＝4＋2 3 时取等号，所以a ＋b 的最小值为7＋4 3.16．答案：14 －2或4解析：由题意得f (－1)＝2－(－1)＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝a ·22＝4a ＝1，解得a ＝14.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥02－x ，x <0，又f (f (m ))＝4，当m <0时，f (f (m ))＝f (2－m )＝22－m－2＝4，解得m ＝－2； 当m ≥0时，f (f (m ))＝f (2m －2)＝22m －2－2＝4，解得m ＝4.所以m ＝－2或4.17．解析：(1)原式＝(432)23×(413)－32－(18)－13＝4×4－12－2＝4×14－2＝0.(2)原式＝(log 37)2＋(log 73)2＋2log 37×log 73－log 37log 73－(log 73)2＝(log 37)2＋2－(log 37)2＝2.18．解析：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1， 故不等式f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞). (2)因为函数f (x )在[1，3]上具有单调性， 所以a －12≤1或a －12≥3，解得a ≤3或a ≥7.19．解析：(1)因为f (x )＝4cos x sin (x ＋π6)－1＝4cos x ·(32sin x ＋12cos x )－1 ＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin (2x ＋π6)，故f (x )最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.20．解析：(1)因为α，β为锐角，tan α＝43，则sin αcos α＝43sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45cos α＝35，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725.所以sin α（sin 2α－cos 2α）2cos α－sin α＝tan α（sin 2α－cos 2α）2－tan α＝43×（2425－925）2－43＝65.(2)因为α，β为锐角，tan α＝43，cos (α＋β)＝－55，所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255， sin (α－β)＝sin [2α－(α＋β)]＝sin 2αcos (α＋β)－cos 2α·sin (α＋β) ＝2425×(－55)－(－725)×255＝－2525. 21．解析：(1)由已知得水池的长为162x米，所以y ＝400×2×(x ＋162x )＋248×2x ＋80×162＝1 296×(x ＋100x)＋12 960，所以y 关于x 的函数解析式y ＝1 296(x ＋100x)＋12 960.(2)任取x 1，x 2∈[10，20]，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1 296(x 1＋100x 1)＋12 960－[1 296×(x 2＋100x 2)＋12 960]＝1 296(x 1＋100x 1－x 2－100x 2)＝1 296[x 1－x 2＋100（x 2－x 1）x 1x 2]＝1 296(x 1－x 2)(1－100x 1x 2)∵10≤x 1<x 2≤20，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>100， ∴1－100x 1x 2>0，∴(x 1－x 2)(1－100x 1x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数y ＝f (x )在[10，20]上单调递增． (3)由(1)知y ＝1 296(x ＋100x)＋12 960≥1 296×2x ·100x＋12 960＝38 880，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时等号成立，函数取得最小值，即当污水处理池的宽为10米时，总造价最低，最低总造价为38 880元．22．解析：(1)由题设，f (－x )＝f (x )，即－kx ＋log 3(3－x＋1)＝kx ＋log 3(3x＋1)， ∴2kx ＝log 33－x＝－x ，可得2k ＝－1，则k ＝－12.11 (2)由题设，－x 2＋log 3(3x ＋1)＝x 2＋log 3(a ·3x －a )，则log 3(3x ＋1)＝x ＋log 3a (3x －1)， ∴a (3x －1)>0，且3x ＋1＝3x ·a (3x －1)＝a (32x －3x )，整理得a ·32x －(a ＋1)3x －1＝0， 令t ＝3x (t ＞0)，则g (t )＝at 2－(a ＋1)t －1有且仅有一个零点，g (0)＝－1<0，g (1)＝－2<0，当a ＝0时，g (t )＝－t －1, 此时g (t )＝0，得t ＝－1，不合题意；当a >0时，x >0, 此时，t ∈(1，＋∞)且g (t )开口向上，∴g (t )在(1，＋∞)上有且仅有一个零点；当a <0时，x <0，此时，t ∈(0，1)且g (t )开口向下且对称轴是x ＝12(1＋1a)， ∴0<1＋1a<2，即a <－1时，仅当Δ＝(a ＋1)2＋4a ＝a 2＋6a ＋1＝0，可得a ＝－3－22符合条件；1＋1a<0，即－1<a <0时，g (t )在(0，1)上无零点． 综上，a ∈{－3－22}∪(0，＋∞).。

高中数学 单元素养评价(一)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题

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单元素养评价(一)(第一、二章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若ab≠0且a<b,则下列不等式一定成立的是( )A.>B.a2<b2C.a2>b2D.-a>-b【解析】选D.A.a=-3,b=2排除;B.a=-2,b=1排除;C.a=,b=1排除;D正确.2.命题“存在实数x,使x>1”的否定是( )A.对任意实数x,都有x>1B.不存在实数x,使x≤1C.对任意实数x,都有x≤1D.存在实数x,使x≤1【解析】选C.利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解,“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.a=3时A={1,3},显然A⊆B.但A⊆B时,a=2或3.4.已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(R P)∩Q等于( )A.{x|0≤x<1}B.{x|0<x≤2}C.{x|1<x<2}D.{x|1≤x≤2}【解析】选C.因为P={x|x≥2或x≤0},R P={x|0<x<2},所以(R P)∩Q={x|1<x<2}.5.已知(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是R,则实数a的取值X围是 ( )A.a<-或a>1B.-<a<1C.-<a≤1或a=-1D.-<a≤1【解析】选D.a=1显然满足题意,若该不等式为一元二次不等式,则必有a2<1,由Δ=(a-1)2+4(a2-1)<0,解得-<a<1.综上可知-<a≤1.6.已知4枝郁金香和5枝丁香的价格小于22元,而6枝郁金香和3枝丁香的价格大于24元.设2枝郁金香的价格为A元,3枝丁香的价格为B元,则A,B的大小关系为( )A.A>BB.A=BC.A<BD.不确定【解析】选 A.设每枝郁金香和每枝丁香的价格分别为x元和y元,由已知,得即不等式①两边同乘以4,不等式②两边同乘以11,得所以22x+11y>16x+20y.所以6x>9y, 即2x>3y.故2枝郁金香的价格比3枝丁香的价格贵,即A>B.7. 一次函数y=-x+的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( ) A.m>1,且n<1 B.mn<0C.m>0且n<0D.m<0且n<0【解析】选B.因为y=-x+经过第一、三、四象限,故->0,<0,即m>0,n<0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn<0.8.已知正实数a,b满足4a+b=30,使得+取最小值时,实数对(a,b)是()A.(5,10)B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2)【解析】选A.因为a,b为正实数,所以+=(4a+b)=≥×(5+2)=,当且仅当时取“=”.即a=5,b=10.9.已知条件p:x2+2x-3>0;条件q:x>a,且q的一个充分不必要条件是p,则a的取值X围是( )A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.[-1,+∞)D.(-∞,-3]【解析】选A.由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由q的一个充分不必要条件是p,可知p是q 的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件,所以{x|x>a}⊆{x|x<-3或x>1},所以a ≥1.10.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选B.不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则1+a++≥a+2+1≥9,所以≥2或≤-4(舍去),所以正实数a的最小值为4.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)11.已知集合A={-2,-1,0,1},B={x|(x-1)(x+2)≤0},则( )A.A∩B={-2,-1,0,1}B.A∪B={-2,-1,0,1}C.A∩B={-1,0,1}D.A∪B={x|-2≤x≤1}【解析】选A、D.由A={-2,-1,0,1},B={x|(x-1)(x+2)≤0}={x|-2≤x≤1},得A∩B={-2,-1,0,1},A∪B={x|-2≤x≤1}.12.下列四个命题,其中假命题为( )A.∀x∈R,x2-3x+2>0恒成立B.∃x∈Q,x2=2C.∃x∈R,x2+1=0D.∀x∈R,4x2>2x-1+3x2【解析】选A、B、C、D.因为在x2-3x+2=0中,Δ=(-3)2-4×2>0,所以当x>2或x<1时,x2-3x+2>0才成立,所以A为假命题.当且仅当x=±时,x2=2,所以不存在x∈Q,使得x2=2,所以B为假命题.对∀x∈R,x2+1≠0,所以C为假命题.4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,即当x=1时, 4x2=2x-1+3x2成立,所以D为假命题.13.若0<a<b,且a+b=1,则在a,a2+b2,2ab,b四个数中( )A.a2+b2>2abB.a<C.b<D.b>a2+b2【解析】选A、B、D.由于0<a<b,则a2+b2>2ab,又a+b=1则0<a<<b<1,又a2+b2-b=(a+b)2-2ab-b=1-2ab-b=a-2ab=a(1-2b)<0则b>a2+b2.三、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填在题中的横线上)14.命题“∀x∈R,x2+2x+5≠0”是________命题(填“真”或“假”),它的否定是________. 【解析】x2+2x+5=(x+1)2+4>0,故该命题为真命题,又因为全称量词命题的否定为存在量词命题,故命题的否定为“∃x∈R,使得x2+2x+5=0”.答案:真∃x∈R,使得x2+2x+5=015.若关于x的不等式tx2-6x+t2<0的解集为(-∞,a)∪(1,+∞),则a的值为________. 【解析】不等式tx2-6x+t2<0的解集为(-∞,a)∪(1,+∞),所以1,a是方程tx2-6x+t2=0的两根,由根与系数的关系可得1+a=,a=t,所以a=-3,a=2(舍去).答案:-316.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值X围是________.【解析】因为1∉{x|x2-2x+a>0},所以1∈{x|x2-2x+a≤0},即1-2+a≤0,所以a≤1.答案:{a|a≤1}17.设正数a,b,c满足++≤,则=________.【解析】由++≤得:(a+b+c)≤36.即1+++4+++9++≤36,即+++++≤22,因为+++++=++≥22,所以b=2a,c=3a时取等号,所以==.答案:四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)18.(12分)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}且A∩B=(-1,n),求m,n.【解析】A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5<x<1},由A∩B=(-1,n)可知m<1,则B={x|m<x<2},画出数轴,可得m=-1,n=1.19.(14分)已知p:(a-1)2≤1,q:∀x∈R,ax2-ax+1≥0,判断p是q成立的什么条件.【解析】由(a-1)2≤1解得0≤a≤2,所以p:0≤a≤2.当a=0时,ax2-ax+1≥0对∀x∈R恒成立;当a≠0时,由得0<a≤4,所以q:0≤a≤4.所以p是q成立的充分不必要条件.20.(14分)设x∈R,比较与1-x的大小.【解析】作差:-(1-x)=,①当x=0时,因为=0,所以=1-x;②当1+x<0,即x<-1时,因为<0,所以<1-x;③当1+x>0且x≠0,即-1<x<0或x>0时,因为>0,所以>1-x.21.(14分) 已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).(1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},求k的值.(2)若不等式的解集为R,求k的取值X围.【解析】(1)因为不等式kx2-2x+6k<0的解集为{x|x<-3或x>-2},所以x1=-3与x2=-2是方程kx2-2x+6k=0(k≠0)的两根,所以-==-3-2,所以k=-.(2)若不等式的解集为R,即x∈R,kx2-2x+6k<0恒成立,则满足所以k<-.22.(14分) 已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值.(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.【解析】(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>0且a>0由根与系数的关系得解得(2)不等式ax2-(ac+b)x+bc<0,即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0,当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};当c<2时不等式(x-2)(x-c) <0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅.23.(14分)玩具所需成本费用为P元,且P与生产套数x的关系为P=1 000+5x+ x2,而每套售出的价格为Q元,其中Q(x)=a+(a,b∈R),(1)问:该玩具厂生产多少套时,使得每套所需成本费用最少?(2)若生产出的玩具能全部售出,且当产量为150套时利润最大,此时每套价格为30元,求a,b的值.(利润=销售收入-成本)【解析】(1)每套玩具所需成本费用为==x++5≥2+5=25,当x=,即x=100时等号成立,故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少.(2)利润为x·Q(x)-P=x-=x2+(a-5)x-1 000,由题意得解得a=25,b=30.。

新教材高中数学全册综合检测新人教A版选择性必修第一册

新教材高中数学全册综合检测新人教A版选择性必修第一册

全册综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线l ：x －2y ＋k ＝0(k ∈R)过点(0,2)，则k 的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．2D ．－2解析：选B 由题意可得，0－4＋k ＝0，解得k ＝4.2．已知空间向量a ＝(λ＋1,1，λ)，b ＝(6，μ－1,4)，若a ∥b ，则λ＋μ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．5D ．－5解析：选C 因为a ∥b ，所以λ＋16＝1μ－1＝λ4，所以4λ＋4＝6λ，解得λ＝2，所以1μ－1＝12，解得μ＝3，所以λ＋μ＝5.故选C. 3.如图，空间四边形OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 为OA的中点，点N 在线段BC 上，且CN ＝2NB ，则MN ―→＝( )A.12a －23b －13c B ．－13a ＋12b ＋23cC.23a －12b ＋13c D ．－12a ＋23b ＋13c解析：选D MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝OC ―→＋CN ―→－12OA ―→＝OC ―→＋23CB ―→－12OA ―→＝OC ―→＋23(OB―→－OC ―→)－12OA ―→＝－12OA ―→＋23OB ―→＋13OC ―→＝－12a ＋23b ＋13c ，故选D.4．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美．现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为( )A ．8 3B ．2 3C ．4 3D ．4解析：选C 因为椭圆的2a ＝8,2b ＝4，所以a ＝4，b ＝2，因为a 2＝b 2＋c 2，所以c 2＝12⇒c ＝23，则2c ＝4 3.故选C.5．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：选B 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r 2＝2－a ，则圆心(－1,1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4.6．已知在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AB ＝5，AC ＝3，BD ＝4，CD ＝52，则这个二面角的度数为( )A ．30°B ．45°C ．90°D ．150°解析：选C 设这个二面角的度数为α，由题意得CD ―→＝CA ―→＋AB ―→＋BD ―→， ∴CD ―→2＝CA ―→2＋AB ―→2＋BD ―→2＋2|CA ―→|·|BD ―→|cos(π－α)，∴(52)2＝9＋25＋16－2×3×4×cos α，解得cos α＝0，∴α＝90°，即这个二面角的度数为90°，故选C.7．直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率k 1，k 2满足k 1k 2＝23，则直线l 过定点( )A ．(－3,0)B ．(0，－3)C ．(3,0)D ．(0,3)解析：选A 设直线l 的方程为x ＝my ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为k 1k 2＝23，所以y 1x 1·y 2x 2＝23.又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，所以y 1y 2＝6.将直线l ：x ＝my ＋b 代入抛物线C ：y 2＝2x 得y 2－2my －2b ＝0，所以y 1y 2＝－2b ＝6，所以b ＝－3，即直线l ：x ＝my －3，所以直线l 过定点(－3,0)．8．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2的值等于( )A.13 B.14 C.19D.35解析：选A 由题意知，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 26＋y 22＝1，x23－y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝92，y 2＝12.取P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫322，22， 则PF 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－322，－22，PF ―→2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－322，－22，cos ∠F 1PF 2＝92－4＋12⎝⎛⎭⎪⎫－2－3222＋12·⎝⎛⎭⎪⎫2－3222＋12＝13.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列各组向量中，是平行向量的是( ) A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4) B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0) C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0) D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16，－24,40)解析：选ABC 对于A ，有b ＝－2a ，所以a 与b 是平行向量； 对于B ，有d ＝－3c ，所以c 与d 是平行向量； 对于C ，f 是零向量，与e 是平行向量；对于D ，不满足g ＝λh ，所以g 与h 不是平行向量．10．已知点A (－1,1)，B (3,1)，直线l 过点C (1,3)且与线段AB 相交，则直线l 与圆(x－6)2＋y 2＝2的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不好确定解析：选BC 因为k AC ＝1，k BC ＝－1，直线l 的斜率的范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，直线BC 方程为x ＋y －4＝0，圆(x －6)2＋y 2＝2的圆心(6,0)到直线BC 的距离为2，因此圆(x －6)2＋y 2＝2与直线BC 相切，结合图象可知，直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝2的位置关系是相切或相离．11．已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( ) A ．C 的方程为x 23－y 2＝1B ．C 的离心率为 3 C ．曲线y ＝ex －2－1经过C 的一个焦点D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点解析：选AC ∵双曲线的渐近线为y ＝±33x ，∴设双曲线C 的方程为x 23－y 2＝λ(λ≠0)，又过点(3，2)得λ＝1.故选项A 正确；此时C 的离心率e 为233，故B 选项错误；y＝ex －2－1经过C 的焦点(2,0)，故选项C 正确；联立直线和双曲线C 的方程，得Δ＝0，故有一个公共点，所以D 选项错误．12．已知过抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，若R 为线段PQ 的中点，连接OR 并延长交抛物线C 于点S ，则|OS ||OR |的可能取值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选CD 由题意知，y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)．直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y 2＝8x ，消去y 整理得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，R (x 0，y 0)，S (x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝4k 2＋2k 2，故x 0＝x 1＋x 22＝2k 2＋4k 2，y 0＝k (x 0－2)＝4k ，所以k os ＝y 0x 0＝2k k 2＋2，直线OS 的方程为y ＝2kk 2＋2x ，代入抛物线方程，解得x 3＝2k 2＋22k 2，由条件知k 2>0.所以|OS ||OR |＝x 3x 0＝k 2＋2>2. 故选C 、D. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝10与直线l ：2x ＋y ＝0，则圆C 与直线l 的位置关系是________．解析：由题意有圆心C (2,1)，半径r ＝10，则圆心到直线l ：2x ＋y ＝0的距离d ＝|2×2＋1|22＋1＝55＝5<r ＝10，故直线与圆C 相交． 答案：相交14.已知平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠BAD ＝∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则AC 1＝_____.解析：∵AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠BAD ＝∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，∴AB ―→·AD ―→＝AD ―→·AA 1―→＝AB ―→·AA 1―→＝12，∵AC 1―→＝AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→，∴AC 1―→2＝AB ―→2＋AD ―→2＋AA 1―→2＋2AB ―→·AD ―→＋2AD ―→·AA 1―→＋2AB ―→·AA 1―→＝6，∴|AC 1―→|＝ 6. 答案： 615．已知A (2，2)是椭圆x 2m ＋y 24＝1上一点，F 是椭圆的右焦点，设点F 到直线x ＝4的距离为d ，则m ＝______，|AF |d＝______.解析：A (2，2)是椭圆x 2m ＋y 24＝1上一点，代入可得4m ＋24＝1，解得m ＝8，∴c ＝a 2－b2＝2，F (2,0)．∴|AF |＝2－22＋2－02＝2，点F 到直线x ＝4的距离为d ＝2，∴|AF |d ＝22.答案：82216．已知F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 向双曲线E 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，且交另一条渐近线于点B ，若|OF |＝|FB |，则双曲线E 的离心率是_____________．解析：双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，若|OF |＝|FB |，可得在直角三角形OAB 中，由∠AOF ＝∠BOF ＝∠ABO ＝30°，可得b a＝tan 30°＝33，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，∴e ＝233.答案：233四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，分别求下列直线l ′的方程，l ′满足：(1)过点(－1,3)，且与l 平行． (2)与直线l 关于y 轴对称．解：(1)因为l ∥l ′，所以l ′的斜率为－34，所以直线l ′的方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)l 与y 轴交于点(0,3)，该点也在直线l ′上，在直线l 上取一点A (4,0)，则点A 关于y 轴的对称点A ′(－4,0)在直线l ′上，所以直线l ′经过(0,3)和(－4,0)两点，故直线l ′的方程为3x －4y ＋12＝0.18．(12分)直线l 经过两点(2,1)，(6,3)． (1)求直线l 的方程；(2)圆C 的圆心在直线l 上，并且与x 轴相切于(2,0)点，求圆C 的方程． 解：(1)由已知可得，直线l 的斜率k ＝3－16－2＝12，所以直线l 的方程为x －2y ＝0. (2)因为圆C 的圆心在直线l 上， 所以可设圆心坐标为(2a ，a )， 因为圆C 与x 轴相切于(2,0)点， 所以圆心在直线x ＝2上，所以a ＝1， 所以圆心坐标为(2,1)，半径为1， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.19.(12分)在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 为BB 1中点． (1)证明：AC ⊥D 1E ；(2)求DE 与平面AD 1E 所成角的正弦值． 解：(1)证明：连接BD ，∵D 1D ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，在长方形ABCD 中，AB ＝BC ，∴BD ⊥AC . 又BD ∩D 1D ＝D ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ， ∵D 1E ⊂平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥D 1E .(2)以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz ，则A (1,0,0)，D 1(0,0,2)，E (1,1,1)，AE ―→＝(0,1,1)，AD 1―→＝(－1,0,2)，DE ―→＝(1,1,1)． 设平面AD 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD 1―→＝0，n ·AE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2z ＝0，y ＋z ＝0，令z ＝1，得n ＝(2，－1,1)． ∴cos 〈n ，DE ―→〉＝2－1＋13·6＝23，∴DE 与平面AD 1E 所成角的正弦值为23. 20．(12分)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线y ＝kx ＋m (m >0)与抛物线C 交于不同的两点M ，N .(1)若抛物线C 在点M 和N 处的切线互相垂直，求m 的值； (2)若m ＝2，求|MF |·|NF |的最小值．解：(1)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，对y ＝x 24求导得：y ′＝x 2，故抛物线C 在点M 和N 处切线的斜率分别为x 12和x 22，又切线互相垂直，∴x 12·x 22＝－1，即x 1·x 2＝－4， 把y ＝kx ＋m 代入C 的方程得x 2－4kx －4m ＝0. ∴x 1x 2＝－4m .(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由抛物线定义可知 |MF |＝y 1＋1，|NF |＝y 2＋1，由(1)和m ＝2，知x 1x 2＝－8，x 1＋x 2＝4k ，所以|MF |·|NF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝(kx 1＋3)·(kx 2＋3)＝k 2x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋9＝4k 2＋9，所以当k ＝0时， |MF |·|NF |取得最小值，且最小值为9.21．(12分)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥PD ，AD ∥BC ，AD ＝CD ＝1，BC ＝2，二面角P ­CD ­A 为45°，E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且PC ―→＝3PF ―→.(1)求证：四边形ABCD 为直角梯形； (2)求二面角F ­AE ­D 的余弦值．解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD . 又因为PD ⊥CD ，PA ∩PD ＝P ， 所以CD ⊥平面PAD ，所以CD ⊥AD . 因为AD ∥BC ，且AD ≠BC ， 所以四边形ABCD 为直角梯形．(2)过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ，则PA ⊥AM ，PA ⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以AM ，AD ，AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (1，－1,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，由(1)知CD ⊥AD ，又CD ⊥PD ， 则∠PDA 为二面角P ­CD ­A 的平面角， 所以∠PDA ＝45°，PA ＝1，所以P (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，所以AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，PC ―→＝(1,1，－1)，AP ―→＝(0,0,1)，所以PF ―→＝13PC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，－13，AF ―→＝AP ―→＋PF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，23，设平面AEF 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE ―→＝0，n 1·AF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x ＋y ＋2z ＝0，令z ＝1，则y ＝－1，x ＝－1，所以n 1＝(－1，－1,1)， 又平面PAD 的一个法向量为n 2＝(1,0,0)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－13＝－33，由图知二面角F ­AE ­D 为钝角， 所以二面角F ­AE ­D 的余弦值为－33. 22．(12分)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的上、下两个焦点分别为F 1，F 2，过点F 1与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，△MNF 2的面积为3，椭圆C 的长轴长是短轴长的2倍．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，若存在实数λ，使得OP ―→＝14OA ―→＋λ4OB ―→，求m 的取值范围．解：(1)由题意可得F 1(0，c )，则c 2a 2＋x 2b 2＝1，解得x ＝±b 2a，∴△MNF 2的面积S ＝12×2b 2a ×2c ＝2b 2ca ＝ 3.①∵椭圆C 的长轴长是短轴长的2倍， ∴a ＝2b .② 又∵a 2＝b 2＋c 2，③联立①②③解得a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的标准方程x 2＋y 24＝1.(2)当m ＝0时，则P (0,0)，由椭圆的对称性得AP ―→＝PB ―→，即OA ―→＋OB ―→＝0， ∴m ＝0时，存在实数λ，使得OP ―→＝14OA ―→＋λ4OB ―→.当m ≠0时，得OP ―→＝14OA ―→＋λ4OB ―→，∵A ，B ，P 三点共线，∴1＋λ＝4⇒λ＝3⇒AP ―→＝3PB ―→. 设A (x 1，y 1), B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2＋y 2－4＝0，得(k 2＋4)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，由已知得Δ＝4m 2k 2－4(k 2＋4)(m 2－4)>0， 即k 2－m 2＋4>0，且x 1＋x 2＝－2km k 2＋4，x 1x 2＝m 2－4k 2＋4.由AP ―→＝3PB ―→，得x 1＝－3x 2， 即3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0， ∴12k 2m 2k 2＋42＋4m 2－4k 2＋4＝0⇒m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0, 显然m 2＝1不成立，∴k 2＝4－m2m 2－1.∵k 2－m 2＋4>0，∴4－m 2m 2－1－m 2＋4>0，即4－m 2m 2m 2－1>0.解得－2<m <－1或1<m <2.综上所述，m 的取值范围为(－2，－1)∪(1,2)∪{0}．。

新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册全册讲义(知识点考点汇总及配套习题,含解析)

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人教A版高中数学选择性必修第一册全册学案第一章空间向量与立体几何........................................................................................................ - 2 -1.1空间向量及其运算......................................................................................................... - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算...................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算.................................................................................... - 16 -1.2空间向量基本定理....................................................................................................... - 29 -1.3空间向量及其运算的坐标表示................................................................................... - 38 -1.3.1空间直角坐标系................................................................................................ - 38 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................ - 46 -1.4空间向量的应用........................................................................................................... - 59 -1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系........................................................ - 59 -第1课时空间向量与平行关系........................................................................ - 59 -第2课时空间向量与垂直关系........................................................................ - 69 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................ - 79 -章末总结 ............................................................................................................................... - 97 - 第二章直线和圆的方程............................................................................................................ - 113 -2.1直线的倾斜角与斜率................................................................................................. - 113 -2.1.1倾斜角与斜率.................................................................................................. - 113 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定.......................................................................... - 121 -2.2直线的方程 ................................................................................................................ - 131 -2.2.1直线点斜式方程.............................................................................................. - 131 -2.2.2直线的两点式方程.......................................................................................... - 137 -2.2.3直线的一般式方程.......................................................................................... - 145 -2.3直线的交点坐标与距离公式..................................................................................... - 154 -2.3.1两条直线的交点坐标...................................................................................... - 154 -2.3.2两点间的距离公式.......................................................................................... - 154 -2.3.3点到直线的距离公式...................................................................................... - 163 -2.3.4两条平行直线间的距离.................................................................................. - 163 -2.4圆的方程 .................................................................................................................... - 171 -2.4.1圆的标准方程.................................................................................................. - 171 -2.4.2圆的一般方程.................................................................................................. - 180 -2.5直线与圆、圆与圆的位置关系................................................................................. - 188 -2.5.1直线与圆的位置关系...................................................................................... - 188 -2.5.2圆与圆的位置关系.......................................................................................... - 199 -章末复习 ............................................................................................................................. - 208 - 第三章圆锥曲线的方程............................................................................................................ - 222 -3.1椭圆 ............................................................................................................................ - 222 -3.1.1椭圆及其标准方程.......................................................................................... - 222 -3.1.2椭圆的简单几何性质...................................................................................... - 234 -第1课时椭圆的简单几何性质...................................................................... - 234 -第2课时椭圆的标准方程及性质的应用...................................................... - 244 -3.2双曲线 ........................................................................................................................ - 256 -3.2.1双曲线及其标准方程...................................................................................... - 256 -3.2.2 双曲线的简单几何性质 .................................................................................. - 267 -3.3 抛物线 ........................................................................................................................ - 281 -3.3.1 抛物线及其标准方程 ...................................................................................... - 281 -3.3.2 抛物线的简单几何性质 .................................................................................. - 291 - 章末复习 ............................................................................................................................. - 303 - 全书复习 ..................................................................................................................................... - 316 -第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其线性运算国庆期间，某游客从上海世博园图1 图2如果游客还要登上东方明珠顶端(D )俯瞰上海美丽的夜景，如图1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →，其模记为|a |或|AB →|.2．几类常见的空间向量3.(1)向量的加法、减法①定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．②运算律a ．结合律：λ(μa )＝μ(λa )＝(λμ)a .b ．分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？[提示] 没有关系．4.共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a .(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .(4)如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa .5．共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →) 即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间向量a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ．( ) (2)相等向量一定是共线向量．( ) (3)三个空间向量一定是共面向量．( ) (4)零向量没有方向．( )[提示] (1)× 若b ＝0时，a 与c 不一定平行．(2)√ 相等向量一定共线，但共线不一定相等．(3)× 空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面的．(4)× 零向量有方向，它的方向是任意的．2．如图所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所有的棱中，可作为直线A 1B 1的方向向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [共四条AB ，A 1B 1，CD ，C 1D 1.]3．点C 在线段AB 上，且|AB |＝5，|BC |＝3，AB →＝λBC →，则λ＝________.－53[因为C 在线段AB 上，所以AB →与BC →方向相反，又因|AB |＝5，|BC |＝3，故λ＝－53.] 4．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．0 [延长DE 交边BC 于点F ，连接AF ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.]【例1】 (1)给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |；③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④ (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→ [(1)对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知正确．(2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→.与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→.]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.[跟进训练]1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( )①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；②平行且模相等的两个向量是相等向量；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3B [根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确，故选B.]【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD 1111为向量AC 1→的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知正四棱锥P -ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值．①OQ →＝PQ →＋yPC →＋zP A →；②P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.[思路探究] (1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和．如AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→.(2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解．(1)D [对于①，(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；对于②，(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；对于③，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；对于④，(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.](2)[解] ①如图，∵OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12PC →－12P A →， ∴y ＝z ＝－12. ②∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点，∴P A →＋PC →＝2PO →，PC →＋PD →＝2PQ →，∴P A →＝2PO →－PC →，PC →＝2PQ →－PD →，∴P A →＝2PO →－2PQ →＋PD →，∴x ＝2，y ＝－2.1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．[跟进训练]2．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A ．32DB → B ．3MG → C ．3GM → D ．2MG → B [MG →－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.]【例3】 (1)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB ＝e 1＋k e 2，BC ＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________.(2)如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．[思路探究] (1)根据向量共线的充要条件求解．(2)根据数乘向量及三角形法则，把MN →表示成λCE →的形式，再根据向量共线的充要条件求解．(1)1 [AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎨⎧ λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1.] (2)[解] 法一：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →. 又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．法二：因为四边形ABEF 为平行四边形，所以连接AE 时，AE 必过点N . ∴CE →＝AE →－AC →＝2AN →－2AM →＝2(AN →－AM →)＝2MN →.所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )．(3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．[跟进训练]3.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a－415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线.[探究问题]1．什么样的向量算是共面向量？[提示] 能够平移到同一个平面内的向量称为共面向量． 2．能说明P ，A ，B ，C 四点共面的结论有哪些？ [提示] (1)存在有序实数对(x ，y )，使得AP →＝xAB →＋yAC →.(2)空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x ，y ，z )使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如P A →∥BC →.3．已知向量a ，b ，c 不共面，且p ＝3a ＋2b ＋c ，m ＝a －b ＋c ，n ＝a ＋b －c ，试判断p ，m ，n 是否共面．[提示] 设p ＝x m ＋y n ，即3a ＋2b ＋c ＝x (a －b ＋c )＋ y (a ＋b －c )＝(x ＋y )a ＋(－x ＋y )b ＋(x －y )c .因为a ，b ，c 不共面，所以⎩⎨⎧x ＋y ＝3，－x ＋y ＝2，x －y ＝1，而此方程组无解，所以p 不能用m ，n 表示，即p ，m ，n 不共面．【例4】 已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. (1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．[思路探究] (1)根据向量共面的充要条件，即判断是否MA →＝xMB →＋yMC →；(2)根据(1)的结论，也可以利用OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →中x ＋y ＋z 是否等于1.[解] (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， ∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．解决向量共面的策略(1)若已知点P 在平面ABC 内，则有AP →＝xAB →＋yAC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.1．一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．2.OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．3．证明(或判断)A ，B ，C 三点共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明A ，B ，C 三点共线．4．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．5．直线的方向向量是指与直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无穷多个，它们的方向相同或相反．6．向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是在a 与b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立．1．下列条件中使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM →＝2OA →－OB →－OC → B ．OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C ．MA →＋MB →＋MC →＝0 D ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0C [由MA →＋MB →＋MC →＝0得MA →＝－MB →－MC →，故M ，A ，B ，C 共面．] 2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB→－nAA 1→，则m ，n 的值分别为( )A ．12，－12B ．－12，－12C ．－12，12D ．12，12A [由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n＝－12，故答案为A.]3．化简：12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝________.56a ＋92b －76c [原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋103－3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52＋6b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76c .] 4．给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a ，b 满足|a |＞|b |且a ，b 同向，则a ＞b ； ③不相等的两个空间向量的模必不相等； ④对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为________．④ [对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．]5．设两非零向量e 1，e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，求k 的值． [解] ∵两非零向量e 1，e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴k e 1＋e 2＝t (e 1＋k e 2)，则(k －t )e 1＋(1－tk )e 2＝0.∵非零向量e 1，e 2不共线，∴k －t ＝0,1－kt ＝0，解得k ＝±1.1.1.2 空间向量的数量积运算1．空间向量的夹角 (1)夹角的定义已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ，b 〉＝π2时，两向量垂直，记作a ⊥b .2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a ，b 为非零向量) ①a ⊥b ⇔a ·b ＝0.②a ·a ＝|a ||a |cos 〈a ，a 〉＝|a |2. ③cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |. (3)数量积的运算律(2)若a ·b >0，则〈a ，b 〉一定是锐角吗？[提示] (1)若a ·b ＝0，则不一定有a ⊥b ，也可能a ＝0或b ＝0.(2)当〈a ，b 〉＝0时，也有a ·b >0，故当a ·b >0时，〈a ·b 〉不一定是锐角． 3．投影向量 (1)投影向量在空间，向量a 向向量b 投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，c ＝|a |cos 〈a ，b 〉b|b |，则向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量，同理向量b 在向量a 上的投影向量是|b |cos 〈a ，b 〉a|a |.(2)向量a 在平面β上的投影向量向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A ′，B ′，得到向量A ′B ′→，则向量A ′B ′→称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a ，A ′B ′→的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．[提醒] (1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零； (2)向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律 ，即a ·b ＝a ·c ⇒b ＝c ，a ·b ＝k ⇒b ＝k a，(a ·b )·c ＝a ·(b·c )都不成立．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于非零向量a ，b ，〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉相等． ( ) (2)对于任意向量a ，b ，c ，都有(a ·b )c ＝a (b ·c )． ( ) (3)若a ·b ＝b ·c ，且b ≠0，则a ＝c ． ( ) (4)(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2． ( )[提示] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材P 8练习T 1改编)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A ．38B ．14C ．34D ．18B [令底面边长为1，则高也为1，AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝B C →＋CC 1→，∴AB 1→·BC 1→＝(AB →＋BB 1→)·(BC →＋CC 1→)＝AB →·BC →＋BB 1→·CC 1→＝1×1×cos 120°＋12＝12，又|AB 1→|＝|BC 1→|＝ 2.∴cos 〈AB 1，BC 1〉＝122×2＝14.故选B.]3．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 A [由题意知，p·q ＝0，p 2＝q 2＝1.所以a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2＋p ·q －2q 2＝3－2＝1.]4．设a ⊥b ，〈a ，c 〉＝π3，〈b ，c 〉＝π6，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则向量a ＋b ＋c 的模是________．17＋63 [因为|a ＋b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋a ·c ＋b ·c )＝1＋4＋9＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋1×3×12＋2×3×32＝17＋63，所以|a ＋b ＋c |＝17＋6 3.]【例1】 (1)如图，三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3(2)在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G 为△ABC 的重心，求OG →·(OA →＋OB →＋OC →)的值．(1)A [∵CD →＝AD →－AC →，∴AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝0－2×2×cos 60°＝－2.](2)[解] OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝13OB →＋13OC →＋13OA →. ∴OG →·(OA →＋OB →＋OC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OB →＋13OC →＋13OA →·(OA →＋OB →＋OC →)＝13OB →2＋13OC →2＋13OA →2 ＝13×22＋13×32＋13×12＝143.在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. (4)代入公式a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解.[跟进训练]1．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点，求下列向量的数量积：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→.[解] 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→)＝c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC .[思路探究] 首先把向量OG →和BC →均用OA →、OB →、OC →表示出来，通过证明OG →·BC →＝0来证得OG ⊥BC .[证明] 连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |. 又OG →＝12(OM →＋ON →)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋12(OB →＋OC →) ＝14(a ＋b ＋c )，BC →＝c －b . ∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c ) ＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG →⊥BC →，即OG ⊥BC .用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题．[跟进训练]2.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .证明：P A ⊥BD .[证明] 由底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD 知，DA ⊥BD ，则BD →·DA →＝0.由PD ⊥底面ABCD 知，PD ⊥BD ，则BD →·PD →＝0.又P A →＝PD →＋DA →，∴P A →·BD →＝(PD →＋DA →)·BD →＝PD →·BD →＋DA →·BD →＝0，即P A ⊥BD .【例3】 (1)已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b 夹角〈a ，b 〉为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对(2)如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值．[思路探究] (1)根据题意，构造△ABC ，使AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，根据△ABC 三边之长，利用余弦定理求出向量a 与b 之间的夹角即可．(2)求异面直线OA 与BC 所成的角，首先来求OA →与BC →的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．(1)D [∵a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4， ∴以这三个向量首尾相连组成△ABC ；令AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，则△ABC 三边之长分别为BC ＝2，CA ＝3，AB ＝4； 由余弦定理，得：cos ∠BCA ＝BC 2＋CA 2－AB 22BC ·CA ＝22＋32－422×2×3＝－14，又向量BC →和CA →是首尾相连，∴这两个向量的夹角是180°－∠BCA ， ∴cos 〈a ，b 〉＝14，即向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉不是特殊角．](2)[解] ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝24－16 2.∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225，∴异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值为3－225.利用向量数量积求夹角问题的思路(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a ·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |求出cos 〈a ，b 〉的值，最后确定〈a ，b 〉的值． (2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小．[跟进训练]3.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求BC 1→与AC →夹角的大小．[解] 不妨设正方体的棱长为1，则BC 1→·AC →＝(BC →＋CC 1→)·(AB →＋BC →) ＝(AD →＋AA 1→)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋AD →2＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD → ＝0＋AD 2→＋0＋0＝AD 2→＝1， 又∵|BC 1→|＝2，|AC →|＝2，∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝12×2＝12.∵〈BC 1→，AC →〉∈[0，π]，∴〈BC 1→，AC →〉＝π3.即BC 1→与AC →夹角的大小为π3.[探究问题]1．用数量积解决的距离问题一般有哪几种？ [提示] 线段长度即点点距、点线距、点面距． 2．求模的大小常用哪些公式？[提示] 由公式|a |＝a ·a 可以推广为|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.3.如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在平面α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，试求A ，D 两点间的距离．[提示] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴|AD →|2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC →＋2AB →·CD ＋2BC →·CD →＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8，∴|AD →|＝22，即A ，D 两点间的距离为2 2.【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．[思路探究] BD →＝BA →＋AC →＋CD →―→|BD →|2 注意对〈BA →，CD →〉的讨论，再求出B ，D 间距离．[解] ∵∠ACD ＝90°，∴AC →·CD ＝0，同理可得AC →·BA →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或〈BA →，CD →〉＝120°.又BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝3＋2×1×1×cos 〈BA →，CD →〉．∴当〈BA →，CD →〉＝60°时，|BD →|2＝4，此时B ，D 间的距离为2；当〈BA →，CD →〉＝120°时，|BD →|2＝2，此时B ，D 间的距离为 2.求两点间的距离或线段长的方法(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．(2)因为a ·a ＝|a |2，所以|a |＝a·a ，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.(3)可用|a ·e |＝|a ||cos θ|(e 为单位向量，θ为a ，e 的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．[跟进训练]4.如图所示，在平面角为120°的二面角α-AB -β中，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B .已知AC ＝AB ＝BD ＝6，求线段CD 的长．[解] ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0.∵二面角α-AB -β的平面角为120°，∴〈CA →，BD →〉＝180°－120°＝60°. ∴CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2BD →·AB →＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD ＝12.1．空间两向量的数量积与平面向量的数量积类似，由于数量积不满足结合律，因此在进行数量积运算时，一次、二次式与实数运算相同，运算公式也相同，三次及以上必须按式中的运算顺序依次进行运算．2．空间向量数量积运算的两种方法(1)利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．3．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．4．空间向量中求两向量夹角与平面向量中的求法完全相同，都是应用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |，解题的关键就是求a ·b 和|a |、|b |.求模时注意|a |2＝a ·a 的应用．1.如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG →·AB →＝( )A ．34 B ．14 C ．12 D ．32B [由题意可得FG →＝12AC →，∴FG →·AB →＝12×1×1×cos 60°＝14.]2．已知两异面直线的方向向量分别为a ，b ，且|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，则两直线的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°B [设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a ||b |＝－12，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.]3．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________. 0 [原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →) ＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →) ＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0.]4.如图所示，在一个直二面角α-AB -β的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．229 [∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →＝AB →－AC →＋BD →， ∴CD →2＝(AB →－AC →＋BD →)2＝AB →2＋AC →2＋BD →2－2AB →·AC →＋2AB →·BD →－2AC →·BD →＝16＋36＋64＝116， ∴|CD →|＝229.]5.如图，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是边AB ，CD 的中点．(1)求证：MN 为AB 和CD 的公垂线； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与MC 所成角的余弦值． [解] 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意，可知|p |＝|q|＝|r|＝a ，且p ，q ，r 三向量两两夹角均为60°. (1)证明：MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p＝12(q ·p ＋r ·p －p 2) ＝12(a 2·cos 60°＋a 2·cos 60°－a 2)＝0 ∴MN ⊥AB ，同理可证MN ⊥CD . ∴MN 为AB 与CD 的公垂线． (2)由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝(MN →)2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －q·p －r ·p )]＝14(a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22]＝14×2a 2＝a 22. ∴|MN →|＝22a ，∴MN 的长度为22a . (3)设向量AN →与MC →的夹角为θ，∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q ·p ＋r·q －12r ·p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2·cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2·cos 60° ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →|·|MC →|·cos θ＝32a ·32a ·cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23.从而异面直线AN 与MC 所成角的余弦值为23.1.2 空间向量基本定理(1)共面向量定理：如果两个向量1．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x ，y ，z )是否唯一？[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． (2)唯一确定． 2．正交分解 (1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i ，j ，k }表示．(2)正交分解把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{OA →，OB →，OC →}不能构成空间的一个基底，则O ，A ，B ，C 四点共面．( ) (2)若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量． ( ) (3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底． ( )[提示] (1)√ (2)√ (3)×2．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以和向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( )A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c[答案] D3．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，可以作为空间向量一个基底的是( ) A ．AB →，AC →，AD → B ．AB →，AA 1→，AB 1→ C ．D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →D ．AC 1→，A 1C →，CC 1→ C [由题意知，D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →不共面，可以作为空间向量的一个基底．]4．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [由m 与n 共线，得1x ＝－1y ＝11，∴x ＝1，y ＝－1.]【例1】 (1)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋给出下列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．(1)C [如图所示，令a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →，则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1→.由于A ，B 1，C ，D 1四点不共面，可知向量x ，y ，z 也不共面，同理b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，故选C.](2)[解] 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →成立，∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)， 即e 1＋2e 2－e 3＝(y －3x )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3不共面．∴⎩⎨⎧y －3x ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解．即不存在实数x ，y 使得OA →＝xOB →＋yOC →， 所以OA →，OB →，OC →不共面．所以{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底．基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μ c ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．[跟进训练]1．设向量{a ，b ，c }是空间一个基底，则一定可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a 或bC [由题意和空间向量的共面定理， 结合p ＋q ＝(a ＋b )＋(a －b )＝2a ， 得a 与p ，q 是共面向量， 同理b 与p ，q 是共面向量，所以a 与b 不能与p ，q 构成空间的一个基底； 又c 与a 和b 不共面，所以c 与p ，q 构成空间的一个基底．]【例2】 如图，四棱锥P -OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →.[思路探究]利用图形寻找待求向量与a ，b ，c 的关系→利利用向量运算进行分拆→直至向量用a ，b ，c 表示[解] 连接BO (图略)，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CP →＝BC →＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF→＝12CB →＝12OA →＝12a .基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底． (2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．[跟进训练]2．点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且PM →＝23PC →，PN →＝ND →，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值分别为( )A ．－23，16，16B ．23，－16，16。

高中数学 单元素养评价(三)(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题

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单元素养评价(三)(第四章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1.(2020·某某高一检测)下列函数中，随x的增大，其增大速度最快的是( )A.y=0.001e xB.y=1000lnxC.y=x1000D.y=1000·2x【解析】选A.在对数函数，幂函数，指数函数中，指数函数的增长速度最快；指数函数中，底数越大，增长速度越快.2.= ( )A. B. C. D.【解析】选C.====.3.若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：x2 2.5 2.25 2.375 2.3125 2.28125 f(x)的近-0.36910.3340-0.01190.16240.07560.0319似值那么方程x-3+log3x=0的一个近似根(精确度0.1)为( )B.2.249【解析】选C.根据题意，方程x-3+log3x=0的根就是函数f(x)=log3x+x-3的零点，由表格可得：f(2.25)≈-0.0119，且f(2.28125)≈0.0319，有f(2.25)·f(2.28125)<0且|2.28125-2.25|=0.03125<0.1，则函数f(x)的零点在区间(2.25，2.28125)中，即方程x-3+log3x=0的一个近似根在区间(2.25，2.28125)中，分析选项：只有C选项的数值在区间(2.25，2.28125)中，则方程x-3+log3x=0的一个近似根为2.26.4.函数y=a x-2019+2018(a>0且a≠1)的图象必经过点( )A.(2019，2019)B.(2018，2018)C.(2018，2019)D.(2019，2018)【解析】选A.对于函数y=a x-2019+2018(a>0且a≠1)，令x-2019=0，求得x=2019，当x=2019时，y=2019，可得它的图象必经过点(2019，2019).5.(2020·某某高一检测)今有一组实验数据如下：x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.12y 1.5 4.0 7.5 12 18.1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )A.y=2x-2B.y=C.y=2x-1D.y=log2x【解析】选B.由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排除A，D，又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排除C.6.(2020·枣庄高一检测)围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3361种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即1000052，下列最接近的是(lg3≈0.477) ( )A.10-26B.10-35C.10-36D.10-25【解析】选C.令10x=，即10x+208=3361，两边同时取以10为底的对数，得lg10x+208=lg3361，即x+208=361×lg3≈361×0.477=172.197，则x=-35.803，所以四个选项中最接近的是10-36，故选C.7.已知a=log52，b=log0.50.3，c=0.50.3，则a，b，c的大小关系是( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a【解析】选B.因为a=log52，b=log0.50.3，c=0.50.3，所以a=log52<log5==0.5<c=0.50.3<0.50=1，b=log0.50.3=lo>lo=log23>log22=1，所以a<c<b.8.若函数f(x)=在(1，3)上是增函数，则关于x的不等式a x-1>1的解集为( )A.{x|x>1}B.{x|x<1}C.{x|x>0}D.{x|x<0}【解析】选A.令y=2x2-3x+1，则其对称轴是x=，开口向上，故函数在(1，3)上递增，而f(x)在(1，3)上递增，根据复合函数同增异减的原则，a>1，则a x-1>1=a0，故x-1>0，解得：x>1.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9.设f(x)=若f(x)-a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值可以是( )A. B.1C.-1D.2【解析】选AB.作出函数f(x)=的图象如图：又f(x)-a=0有三个不同的实数根，所以函数f(x)=与直线y=a有三个交点，由图象可得：0<a≤1.所以a 可以取，1.10.已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3，则下列选项中正确的是( )A.f(4)=-3B.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点C.函数y=f(x)的最小值为-4D.函数y=f(x)的最大值为4【解析】选ABC.由f(x)=(log2x)2-log2x2-3，得f(4)=(log24)2-2log24-3=-3，即选项A正确，令(log2x)2-log2x2-3=0，即(log2x)2-2log2x-3=0，解得log2x=3或log2x=-1，即x=8或x=，即选项B正确，由f(x)=(log2x)2-2log2x-3=(log2x-1)2-4≥-4，即函数f(x)的最小值为-4，无最大值，即选项C正确，选项D错误.11.若a，b是实数，其中a>0，且a≠1，则满足log a>1的选项是( )A.a>1，b>0B.a>1，b<0C.0<a<1，0<b<aD.0<a<1，b<0【解析】选BC.当a>1时，a-b>a，所以b<0；当0<a<1时，0<a-b<a，所以0<b<a.12.已知函数f=g=f+x，若g有且仅有一个零点，则a 的取值可以是( )A.-3B.-2C.0D.1【解析】选CD.g(x)有且仅有一个零点等价于f=-x有且仅有一个根，如图，结合y=f，y=-x的图象可知，e0+a≥0，a≥-1，故a的取值可以是0，1.故选CD.光速解题：本题可以用逐一代入a的值，作图验证的方法解题.三、填空题(每小题5分，共20分)13.若100a=5，10b=2，则2a+b=_______.【解析】由题意知，a==lg5，b=lg2，所以2a+b=lg5+lg2=1.答案：114.函数f=的值域为_______.【解析】当x<1时，0<f<2；当x≥1时，f≤0.故函数的值域为.答案：15.函数f=1+log a x的图象恒过定点A，则点A的坐标为_______，若点A在直线mx+ny-2=0上，其中mn>0，则+的最小值为_______.【解析】函数恒过定点A，故m+n=2，=×=≥×=2.答案： 216.已知函数f=lnx+e x-m，函数f在区间上是_______(填“增”或“减”)函数，若函数f在区间上有零点，则m的取值X围是_______.【解析】因为在区间上随着x的增大，lnx，e x均增大，故函数f是增函数；由题意知<0，解得e<m<1+e e.答案：增四、解答题(共70分)17.(10分)计算下列各式的值：(1)-++.(2)lg500+lg-lg64+50(lg2+lg5)2.【解析】(1)原式=+1-1++e-=+e.(2)原式=lg5+lg102+lg23-lg5-lg26+50(lg10)2=lg5+2+3lg2-lg5-3lg2+50=52.18.(12分)(2020·某某高一检测)已知函数f(x)=x2-2ax，g(x)=log a(4-x)(a>0，a≠1).(1)若函数f(x)的定义域为[0，1]，求f(x)的最小值；(2)当a=2时，求使不等式log a f(x)-g(x)>0成立的x的取值X围.【解析】(1)f(x)=(x-a)2-a2，定义域为[0，1]时，当0<a<1时，f(x)min=f(a)=-a2；当a>1时，f(x)min=f(1)=1-2a.(2)当a=2时，不等式可化为log2(x2-4x)>log2(4-x)，即得x<-1，综上，x的取值X围是(-∞，-1).19.(12分)已知函数f(x)=log a(-x2+ax-9)(a>0，a≠1).(1)当a=10时，求f(x)的值域和单调减区间；(2)若f(x)存在单调递增区间，求a的取值X围.【解析】(1)当a=10时，f=log10=log10，设t=-x2+10x-9=-+16，由-x2+10x-9>0，得x2-10x+9<0，得1<x<9，即函数的定义域为，此时t=-+16∈，则y=log10t≤log1016，即函数的值域为，要求f的单调减区间，等价为求t=-+16的单调递减区间，因为t=-+16的单调递减区间为，所以f的单调递减区间为.(2)若f存在单调递增区间，则当a>1时，函数t=-x2+ax-9存在单调递增区间即可，则判别式Δ=a2-36>0，得a>6或a<-6舍去，当0<a<1时，函数t=-x2+ax-9存在单调递减区间即可，则判别式Δ=a2-36>0，得a>6或a<-6，此时a不成立，综上实数a的取值X围是a>6.20.(12分)已知函数f(x)=2-x，g(x)=log3x.(1)请在给定的同一个坐标系中画出f(x)和g(x)函数的图象.(2)设函数h(x)=f(x)-3，求出h(x)的零点.(3)若g(x)<，求出x的取值X围.【解析】(1)图象如图所示，(2)令h(x)=0，得f(x)=3，即2-x=3，解得x=lo3，故h(x)的零点是lo 3.(3)g(x)的定义域为(0，+∞)，由g(x)<得log3x<，即log3x<log3，即log3x<log3.因为g(x)=log3x在定义域内单调递增，故得0<x<.21.(12分)(2020·潍坊高一检测)已知函数f(x)=(1)在给定的直角坐标系内直接画出f(x)的图象.(2)写出f(x)的单调区间，并指出单调性(不要求证明).(3)若函数y=t-f(x)有两个不同的零点，某某数t的取值X围.【解析】(1)由题意知，函数f(x)大致图象如图：(2)根据(1)中函数f(x)的大致图象，可知函数f(x)在[-1，0]上单调递增，在(0，2]上单调递减，在(2，5]上单调递增.(3)根据(1)中函数f(x)的大致图象，可知①当t<-1时，直线y=t与y=f(x)没有交点；②当t=-1时，直线y=t与y=f(x)有1个交点；③当-1<t≤1时，直线y=t与y=f(x)有2个交点；④当1<t<2时，直线y=t与y=f(x)有1个交点；⑤当2≤t<3时，直线y=t与y=f(x)有2个交点；⑥当t=3时，直线y=t与y=f(x)有1个交点；⑦当t>3时，直线y=t与y=f(x)没有交点.综上可知，当y=t-f(x)有两个不同的零点时，t的取值X围为：-1<t≤1或2≤t<3. 22.(12分)已知函数f(x)=(1)计算f的值.(2)讨论函数f(x)的单调性，并写出f(x)的单调区间.(3)设函数g(x)=f(x)+c，若函数g(x)有三个零点，某某数c的取值X围.【解析】(1)由已知得f=f(-2)=-2×(-2)2-4×(-2)+1=1.所以f=f(1)=1+1=2.(2)当x≤0时，f(x)=-2x2-4x+1=-2(x+1)2+3.根据抛物线的性质知，f(x)在区间(-∞，-1)上单调递增，在区间[-1，0]上单调递减；当x>0时，f(x)=x+1，显然f(x)在区间(0，+∞)上单调递增.综上，f(x)的单调增区间是(-∞，-1)和(0，+∞)，单调减区间是[-1，0].(3)作出f(x)的图象，如图：函数g(x)有三个零点，即方程f(x)+c=0有三个不同实根，又方程f(x)+c=0等价于方程f(x)=-c，word所以当f(x)的图象与直线y=-c有三个交点时，函数g(x)有三个零点. 数形结合得，c满足：1<-c<3，即-3<c<-1.因此，函数g(x)有三个零点，实数c的取值X围是(-3，-1).- 11 - / 11。

新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数的运算讲义

新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数的运算讲义

知识点一对数的运算性质若a＞0，且a≠１，M＞0，N＞0，那么：（１）log a（M·N）＝log a M＋log a N，（２）log a错误!＝log a M—log a N，（３）log a M n＝n log a M（n∈R）．错误!对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log２[（—３）·（—５）]＝log２（—３）＋log２（—５）是错误的．知识点二对数换底公式log a b＝错误!（a＞0，a≠１，c＞0，c≠１，b＞0）．特别地：log a b·log b a＝１（a＞0，a≠１，b＞0，b≠１）．错误!对数换底公式常见的两种变形（１）log a b·log b a＝１，即错误!＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .（２）log N n M m＝错误!log N M，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的错误!倍．[教材解难]换底公式的推导设x＝log a b，化为指数式为a x＝b，两边取以c为底的对数，得log c a x＝log c b，即x log c a＝log c b.所以x＝错误!，即log a b＝错误!.[基础自测]１．下列等式成立的是（）Ａ．log２（8—４）＝log２8—log２４Ｂ．错误!＝log２错误!Ｄ．log２（8＋４）＝log２8＋log２４解析：由对数的运算性质易知C正确．答案：C２．错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．２Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：原式＝log３9＝２．答案：B３．２log５１0＋log５0．２５＝（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．４解析：原式＝log５１0２＋log５0．２５＝log５（１0２×0．２５）＝log５２５＝２．答案：C４．已知ln ２＝a，ln ３＝b，那么log３２用含a，b的代数式表示为________．解析：log３２＝错误!＝错误!.答案：错误!题型一对数运算性质的应用[教材P１２４例３]例１求下列各式的值：（１）lg 错误!；（２）log２（４7×２５）．【解析】（１）lg错误!＝lg １0015＝错误!lg １00＝错误!；（２）log２（４7×２５）＝log２４7＋log２２５＝7×２＋５×１＝１9．利用对数运算性质计算．教材反思１．对于同底的对数的化简，常用方法是：（１）“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数；（２）“拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）．２．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg ２＋lg ５＝１在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练１（１）计算：lg错误!＋２lg ２—错误!—１＝________.（２）求下列各式的值．１log５３＋log５错误!２（lg ５）２＋lg ２·lg ５0３lg ２５＋错误!lg 8＋lg ５·lg ２0＋（lg ２）２.解析：（１）lg错误!＋２lg ２—错误!—１＝lg ５—lg ２＋２lg ２—２＝（lg ５＋lg ２）—２＝１—２＝—１．（２）１log５３＋log５错误!＝log５错误!＝log５１＝0．２（lg ５）２＋lg ２·lg ５0＝（lg ５）２＋（１＋lg ５）lg ２＝（lg ５）２＋lg ２＋lg ２·lg ５＝lg ５（lg ５＋lg ２）＋lg ２＝lg ５＋lg ２＝lg １0＝１．３原式＝lg ２５＋lg 823＋lg错误!·lg（１0×２）＋（lg ２）２＝lg ２５＋lg ４＋（lg １0—lg ２）（lg １0＋lg ２）＋（lg ２）２＝lg １00＋（lg １0）２—（lg ２）２＋（lg ２）２＝２＋１＝３．答案：（１）—１（２）见解析利用对数运算性质化简求值．题型二对数换底公式的应用[经典例题]例２（１）已知２x＝３y＝a，错误!＋错误!＝２，则a的值为（）Ａ．３6 Ｂ．6Ｃ．２错误!Ｄ．错误!（２）计算下列各式：１log89·log２7３２．２２lg ４＋lg ５—lg 8—错误!2 -3.３6４错误!＋lg ４＋２lg ５．【解析】（１）因为２x＝３y＝a，所以x＝log２a，y＝log３a，所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝log a２＋log a３＝log a6＝２，所以a２＝6，解得a＝±错误!.又a＞0，所以a＝错误!.（２）１log89·log２7３２＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!.２２lg ４＋lg ５—lg 8—错误!2-3＝lg １6＋lg ５—lg 8—错误!＝lg错误!—错误!＝１—错误!＝错误!.３6４错误!＋lg ４＋２lg ５＝４＋lg（４×５２）＝４＋２＝6．【答案】（１）D （２）见解析错误!１．先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．２．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分．方法归纳（１）换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a为底．（２）换底公式的派生公式：log a b＝log a c·log c b；log an b m＝错误!log a b.跟踪训练２（１）式子log9１6·log88１的值为（）Ａ．１8 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）（log４３＋log8３）（log３２＋log98）等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．以上都不对解析：（１）原式＝log３２２４·log２３３４＝２log３２·错误!log２３＝错误!.（２）原式＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!×错误!log３２＝错误!.答案：（１）C （２）B利用换底公式化简求值．题型三用已知对数表示其他对数例３已知log１89＝a,１8b＝５，用a，b表示log３6４５．解析：方法一因为log１89＝a，所以9＝１8a.又５＝１8b，所以log３6４５＝log２×１8（５×9）＝log２×１8１8a＋b＝（a＋b）·log２×１8１8．又因为log２×１8１8＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以原式＝错误!.方法二∵１8b＝５，∴log１8５＝b.∴log３6４５＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.错误!方法一对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．方法二先求出a、b，再利用换底公式化简求值.方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：（１）增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；（２）巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；（３）注意一些派生公式的使用．跟踪训练３（１）已知log6２＝p，log6５＝q，则lg ５＝________；（用p，q表示）（２）１已知log１４7＝a,１４b＝５，用a，b表示log３５２8．２设３x＝４y＝３6，求错误!＋错误!的值．解析：（１）lg ５＝错误!＝错误!＝错误!.（２）１∵log１４7＝a,１４b＝５，∴b＝log１４５．∴log３５２8＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.２∵３x＝３6,４y＝３6，∴x＝log３３6，y＝log４３6，∴错误!＝错误!＝错误!＝log３6３，错误!＝错误!＝错误!＝log３6４，∴错误!＋错误!＝２log３6３＋log３6４＝log３6（9×４）＝１．答案：（１）错误!（２）１错误!２１（１）利用换底公式化简．（２）利用对数运算性质化简求值．课时作业２２一、选择题１．若a＞0，a≠１，x＞y＞0，下列式子：１log a x·log a y＝log a（x＋y）；２log a x—log a y＝log a（x—y）；３log a错误!＝log a x÷log a y；４log a（xy）＝log a x·log a y.其中正确的个数为（）Ａ．0个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．３个解析：根据对数的性质知４个式子均不正确．答案：A２．化简错误!log6１２—２log6错误!的结果为（）Ａ．6错误!Ｂ．１２错误!Ｃ．log6错误!Ｄ．错误!解析：错误!log6１２—２log6错误!＝错误!（１＋log6２）—log6２＝错误!（１—log6２）＝错误!log6３＝log6错误!.答案：C３．设lg ２＝a，lg ３＝b，则错误!＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：C４．若log３４·log8m＝log４１6，则m等于（）Ａ．３Ｂ．9Ｃ．１8 Ｄ．２7解析：原式可化为log8m＝错误!，错误!＝错误!，即lg m＝错误!，lg m＝lg ２7，m＝２7．故选Ｄ．答案：D二、填空题５．lg １0 000＝________；lg 0．00１＝________.解析：由１0４＝１0 000知lg １0 000＝４,１0—３＝0．00１得lg 0．00１＝—３，注意常用对数不是没有底数，而是底数为１0．答案：４—３6．若log５错误!·log３6·log6x＝２，则x等于________．解析：由换底公式，得错误!·错误!·错误!＝２，lg x＝—２lg ５，x＝５—２＝错误!.答案：错误!7．错误!·（lg ３２—lg ２）＝________.解析：原式＝错误!×lg错误!＝错误!·lg ２４＝４．答案：４三、解答题8．化简：（１）错误!；（２）（lg ５）２＋lg ２lg ５0＋２11+log25 2.解析：（１）方法一（正用公式）：原式＝错误!＝错误!＝错误!.方法二（逆用公式）：原式＝错误!＝错误!＝错误!.（２）原式＝（lg ５）２＋lg ２（lg ５＋１）＋２１·２2log ＝lg ５·（lg ５＋lg ２）＋lg ２＋２错误!＝１＋２错误!.9．计算：（１）log １6２7log 8１３２；（２）（log ３２＋log 9２）（log ４３＋log 8３）． 解析：（１）log １6２7log 8１３２＝错误!×错误! ＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝错误!. （２）（log ３２＋log 9２）（log ４３＋log 8３） ＝错误!错误!＝错误!错误! ＝错误!log ３２×错误!log ２３＝错误!×错误!×错误!＝错误!.[尖子生题库]１0．已知２x ＝３y ＝6z ≠１，求证：错误!＋错误!＝错误!. 证明：设２x ＝３y ＝6z ＝k （k ≠１），∴x ＝log ２k ，y ＝log ３k ，z ＝log 6k ，∴错误!＝log k ２，错误!＝log k ３，错误!＝log k 6＝log k ２＋log k ３， ∴错误!＝错误!＋错误!.。

江苏专版2023_2024学年新教材高中数学模块综合测评课件新人教A版必修第一册

江苏专版2023_2024学年新教材高中数学模块综合测评课件新人教A版必修第一册
15.[2023 江苏宿迁期末] 我们知道,函数 的图象关于 轴成轴对称图形的充要条件是函数 为偶函数,有同学发现可以将其推广为:函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是函数 为偶函数.已知函数 ,则该函数图象的对称轴方程为 ___;若该函数有唯一的零点,则 _ _.
1
[解析] , 的图象关于直线 对称. 有唯一的零点, ,解得 .
A
A. B. C. D.
[解析] , , , .故选A.
4.下列四个函数: ； ； ； ,其中定义域与值域相同的函数的个数是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 对于①,根据一次函数的性质可得其定义域和值域都是 ；对于②, ,根据反比例函数性质可得定义域和值域都为 ；对于③,根据指数函数性质可得其定义域为 ,值域为 ；对于④,根据对数函数性质可得定义域为 ,值域为 .故选B.
[解析] 当 时,函数 过定点 且单调递减,则函数 过定点 且单调递增,函数 过定点 , 且单调递减,D选项符合；当 时,函数 过定点 且单调递增,则函数 过定点 且单调递减,函数 过定点 , 且单调递增,各选项均不符合.综上,选D.
6.将函数 的图象向左平移 个单位长度,得到函数 的图象,则 的单调递减区间是( )
由（1）可得 ,所以 .又 ,所以 ,所以 解得 .所以实数 的取值范围是 .
18.（12分）[2023广东佛山期末] 在 , , ,三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.已知 ,且满足___（填写序号即可）.
（1）判断 是第几象限角；
（2）求值: .注:若选择不同的条件分别解答,则按第一个解答计分.
（1）求函数 的最小正周期及在 , 上的最大值和最小值；
解 ,所以最小正周期为 .又 ,所以 .由函数图象（图略）知 ,即 在 上的最大值为2,最小值为 .

最新教材人教A版高中数学必修第一册课后习题答案(1)

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第五章 三角函数
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第三章 函数的概念与性质
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第 51 页 共 57 页Leabharlann 第 52 页 共 57 页
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第四章 指数函数与对数函数
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【新教材】2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册课时素养评价 1.1.2 集合的表示

【新教材】2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册课时素养评价 1.1.2 集合的表示

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课时素养评价二集合的表示(15分钟30分)1.下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A.{0}B.{y|y2=0}C.{x|x=0}D.{x=0}【解析】选D.A是列举法；C是描述法；对于B要留意集合的代表元素是y，但实质上表示的都是0，故与A，C相同；而D表示该集合含有一个元素，即方程“x=0”.2.(2022·哈尔滨高一检测)设集合B={x|x2-4x+m=0}，若1∈B，则B=( )A. B.C. D.【解析】选A.由于集合B={x|x2-4x+m=0}，1∈B，所以1-4+m=0，解得m=3.所以B={x|x2-4x+3=0}={1，3}.3.已知集合A={2，-1}，集合B={m2-m，-1}，且A与B相等，则实数m等于( ) A.2 B.-1 C.2或-1 D.4【解析】选C.由于A={2，-1}，B={m2-m，-1}，且A与B相等，所以m2-m=2，解得m=-1或m=2.4.(2022·承德高一检测)若A={-2，2，3，4}，B={x|x=t2，t∈A}，用列举法表示集合B为_______.【解析】由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B={4，9，16}.答案：{4，9，16}【补偿训练】用列举法表示集合{(x，y)|(x+1)2+|y-1|=0，x，y∈R}为_______.【解析】由于(x+1)2≥0，|y-1|≥0，所以(x+1)2=0且|y-1|=0，故有x=-1且y=1，因此答案为{(-1，1)}.答案：{(-1，1)}5.用适当的方法表示下列集合：(1)大于2且小于5的有理数组成的集合.(2)24的正因数组成的集合.(3)自然数的平方组成的集合.(4)由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合.【解析】(1)用描述法表示为{x|2<x<5且x∈Q}.(2)用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}.(3)用描述法表示为{x|x=n2，n∈N}.(4)用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}.(20分钟40分)一、单选题(每小题5分，共15分)1.下面对集合{1，5，9，13，17}用描述法表示，其中正确的一个是 ( )A.{x|x是小于18的正奇数}B.{x|x=4k+1，k∈Z，k<5}C.{x|x=4t-3，t∈N，t<5}D.{x|x=4s-3，s∈N*，s<6}【解析】选D.集合中的元素除以4余1，故元素可以用4k+1(0≤k≤4，k∈Z)或4k-3(1≤k≤5，k∈Z)来表示.2.(2022·济宁高一检测)设集合A={x|x2-x-2=0}，B={x||x|=y+2，y∈A}，则集合B是( )A.{-4，4}B.{-4，-1，1，4}C.{0，1}D.{-1，1}【解析】选B.解集合A中方程x2-x-2=0，得到x=2或x=-1，由于y∈A，即y=2或y=-1，得|x|=y+2=4或|x|=y+2=1，故x=±4或x=±1，所以集合B={-4，-1，1，4}.3.(2022·鹤壁高一检测)定义集合A，B的一种运算：A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A={1，2，3}，B={1，2}，则A*B中的全部元素之和为( )A.21B.18C.14D.9【解析】选C.由于A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，A={1，2，3}，B={1，2}，所以A*B={2，3，4，5}，所以A*B中的全部元素之和为：2+3+4+5=14.【补偿训练】若A={1，2，3}，B={3，5}，用列举法表示A B={2a-b|a∈A，b∈B}=_______. 【解析】由于A={1，2，3}，B={3，5}，又A B={2a-b|a∈A，b∈B}，所以A B={-3，-1，1，3}.答案：{-3，-1，1，3}二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.下列各组中的M，P表示同一集合的是 ( )A.M={3，-1}，P={(3，-1)}B.M={(3，1)}，P={(1，3)}C.M={y|y=-1}，P={t|t=-1}D.集合M={m|m+1≥5}，P={y|y=x2+2x+5，x∈R}【解析】选CD.在A中，M={3，-1}是数集，P={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合；在B中，M={(3，1)}，P={(1，3)}表示的不是同一个点的集合，二者不是同一集合；在C中，M={y|y=-1}={y|y≥-1}，P={t|t=-1}={t|t≥-1}，二者表示同一集合；在D中，M={m|m≥4，m∈R}，即M中元素为大于或等于4的全部实数，P={y|y=(x+1)2+4}，y=(x+1)2+4≥4，所以P中元素也为大于或等于4的全部实数，故M，P表示同一集合.三、填空题(每小题5分，共10分)5.已知集合A={x|x2+px+q=0}={2}，则p=_______，q=_______.【解析】由得答案：-4 46.(2022·济南高一检测)设a，b，c为非零实数，m=+++，则m的全部值组成的集合为_______.【解题指南】依据a，b，c三个数中负数的个数分类争辩.【解析】当a，b，c 均为负数时，，，，均为-1，故m=-4；当a，b，c 只有一个为正数时，，，，中必有两个为1，两个为-1，故m=0；当a，b，c 有两个为正数时，，，，中必有两个为1，两个为-1，故m=0；当a，b，c 均为正数时，，，，均为1，故m=4，所以由m=+++的全部值组成的集合的元素有0，-4，4，则所求集合为{-4，0，4}.答案：{-4，0，4}四、解答题7.(10分)设A表示集合{2，3，a2+2a-3}，B表示集合{|a+3|，2}，若5∈A，且5∉B，求实数a的值.【解析】由于5∈A，且5∉B，所以解得故a=-4. 关闭Word文档返回原板块。

新教材高中数学单元素养评价(三)新人教A版必修第一册

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单元素养评价(三)(第四章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是 ( )【解析】选 C.能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有f(a)·f(b)<0,A,B中不存在f(x)<0,D中函数不连续.2.函数f(x)=x2-3x-4的零点是( )A.(1,-4)B.(4,-1)C.1,-4D.4,-1【解析】选D.由x2-3x-4=0,可得x=4或-1,所以函数f(x)=x2-3x-4的零点是4,-1.3.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1【解析】选D.因为函数单调递减,所以0<a<1,当x=1时log a(x+c)=log a(1+c)<0,即1+c>1,即c>0,当x=0时log a(x+c)=log a c>0,即c<1,即0<c<1.4.下列四个数中最小的是( )A.lo 2B.-0.30.7C.lo 3D.-1【解析】选C.lo3=-log23<-1,-1<-0.30.7<0,lo2=-log32∈(-1,0),所以下列四个数中,最小的是lo 3.5.方程e x+8x-8=0的根所在的区间为( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C. D.【解析】选C.令函数f(x)=e x+8x-8,则方程e x+8x-8=0的根即为函数f(x)的零点,再由f(0)=1-8=-7<0,且f(1)=e>0,可得函数f(x)在上有零点.6.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1,2,…,6)进行整理,得数据如表所示:x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00y 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.10根据表中数据,下列函数中,适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是( ) A.y=0.5(x+1) B.y=log3x+1.5C.y=2x-1D.y=2【解析】选B.根据表中数据可得函数随着x的增长而增长,且增长速度越来越趋向于平缓,显然y=0.5(x+1)与y=2x-1不符合,当x=1时,y=log31+1.5=1.5,y=2 =2,当x=3时,y=log33+1.5=2.5,y=2≈3.5,故适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是y=log3x+1.5.7.函数y=的值域是( )A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(0,1]D.[1,+∞)【解析】选D.由于≥0,所以函数y=≥30=1,故函数的值域为[1,+∞).8.为了求函数f(x)=2x+3x-7的一个零点,某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值,如表所示:x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.5f(x) -0.673 4 -0.287 4 0.123 1 0.559 9 1.024 6则方程2x+3x=7的近似解(精确度0.1)可取为( )A.1.32B.1.39C.1.4D.1.3【解析】选A.由题表知f(1.312 5)·f(1.375)<0,且1.375-1.312 5=0.062 5<0.1,所以方程的一个近似解可取1.32.9.设f(log2x)=2x(x>0),则f(3)的值是( )A.128B.256C.512D.8【解析】选B.设log2x=t,则x=2t,所以f(t)=,即f(x)=,则f(3)= =28=256.10.甲、乙二人从A地沿同一方向去B地,途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1<v2),甲前一半的路程使用速度v1,后一半的路程使用速度v2;乙前一半的时间使用速度v1,后一半的时间使用速度v2,关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系,有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间,纵轴s表示路程,C是AB的中点),则其中可能正确的图示分析为( )【解析】选A.由题意可知,开始时,甲、乙速度均为v1,所以图象是重合的线段,由此排除C,D.再根据v1<v2可知两人的运动情况均是先慢后快,图象是折线且前“缓”后“陡”,故图示A 分析正确.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)11.已知函数f(x)=f(a)=2,则a=( ) A.-2 B.2 C.6 D.3【解析】选A、B.因为f(x)=f(a)=2,所以当a>0时,f(a)=log2(a+2)=2,解得a=2;a≤0时,f(a)==2,解得a=-2或a=6(舍),综上,a=±2.12.方程x3+3x-m=0在[0,1]上有实数根,则m可取的值有( ) A.0 B.-2 C.3 D.5【解析】选A、C.方程x3+3x-m=0,化为x3+3x=m,令f(x)=x3+3x,则f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)的值域为[0,4],方程x3+3x-m=0在[0,1]上有实数根,即f(x)在[0,1]上与y=m有交点,所以m∈[0,4].13.设函数f(x)=若f(x)-b=0有三个不等实数根,则b可取的值有( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B、C.作出函数f(x)=的图象如图:f(x)-b=0有三个不等实数根,即函数y=f(x)的图象与y=b有3个不同交点,由图可知,b的取值范围是(1,3],故b可取2,3.【加练·固】(多选题)若关于x的方程x2-4|x|+5=m有四个不同的实数解,则实数m可取的值有( ) A.1 B.2 C.4 D.6【解析】选B、C.因为关于x的方程x2-4|x|+5=m有四个不同的实数解,所以令f(x)=|x|2-4|x|+5=(|x|-2)2+1,h(x)=m,画出函数f(x)的图象,因为要使f(x)的图象与h(x)的图象有四个交点,则直线h(x)=m应该在直线l和直线n之间,所以1<m<5,故可取2,4.三、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填在题中的横线上)14.若函数f(x)=mx2-2x+3只有一个零点,则实数m的取值是________.【解析】若m≠0,则Δ=4-12m=0,m=,又m=0也符合要求,所以m=0或.答案:0或15.化简:(a2·)÷(·)=________(用分数指数幂表示).【解析】(a2·)÷(·)=÷=÷=÷==.答案:16.已知函数f(x)=为定义在区间[-2a,3a-1]上的奇函数,则a=______, b=________.【解析】因为f(x)是定义在[-2a,3a-1]上的奇函数,所以定义域关于原点对称,即-2a+3a-1=0,所以a=1,因为函数f(x)=为奇函数,所以f(-x)===-,即b·2x-1=-b+2x,所以b=1.答案:1 117.已知函数f(x)=(1)若f(1)=3,则实数a=________.(2)若函数y=f(x)-2有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是__________.【解析】(1)由f(1)=12-a=3得,a=-2.(2)当x>1时,f(x)=log3 x,由f(x)=2得,log3x=2,得x=9满足x>1,当x≤1时f(x)=x2-ax,因为y=f(x)-2有且仅有两个零点,所以f(x)=2有且仅有两个实根,所以x2-ax-2=0在(-∞,1]上有且仅有一个实根,令g(x)=x2-ax-2,则g(1)<0,即12-a-2<0,解得:a>-1.答案:(1)-2 (2)(-1,+∞)四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)18.(12分)(1)已知log2(16-2x)=x,求x的值.(2)计算:+810.75-×+log57·log725.【解析】(1)因为log2(16-2x)=x,所以2x=16-2x,化简得2x=8,所以x=3.(2)原式=1+(34-3×(23+·=1+27-12+2=18.19.(14分)已知函数f(x)=2x-1+a(a为常数,且a∈R)过点(1,2).(1)求a的值.(2)若f(x)≥2x,求实数x的取值范围.【解析】(1)f(1)=20+a=1+a=2,解得a=1.(2)由f(x)=2x-1+1=+1≥2x,得≤1,即2x-1≤1=20,即x-1≤0,解得x≤1,因此,实数x的取值范围是(-∞,1].20.(14分)某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λ t,其中N0,λ是正的常数,e为自然对数的底数.(1)判断函数是增函数还是减函数.(2)把t表示成原子数N的函数.【解析】(1)由已知可得N=N0,因为λ是正的常数,e>1,所以e λ>1,即0<<1,又N0是正的常数,所以N=N0是关于t的减函数.(2)因为N=N0e-λ t,所以e-λ t=,所以-λt=ln,即t=-ln(其中0<N≤N0).21.(14分)设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点.(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.所以函数f(x)的零点为3或-1.(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立, 即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4×(4a)<0⇒a2-a<0,解得0<a<1,因此实数a的取值范围是(0,1).22.(14分)已知函数f(x)=2a·9x-3x+1+1.(1)当a=1时,求函数f(x)的零点.(2)若f(x)有零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=2·9x-3·3x+1.令f(x)=0,即2·(3x)2-3·3x+1=0,解得3x=1或3x=.所以x=0或x=-log32,函数f(x)的零点为0,-log32.(2)若f(x)有零点,则方程2a·9x-3x+1+1=0有解,于是2a==-=-+,所以2a≤,即a≤.所以实数a的取值范围为.23.(14分)已知函数f(x)=(1)计算f的值.(2)讨论函数f(x)的单调性,并写出f(x)的单调区间.(3)设函数g(x)=f(x)+c,若函数g(x)有三个零点,求实数c的取值范围.【解析】(1)由已知得f=f(-2)=-2×(-2)2-4×(-2)+1=1.所以f=f(1)=1+1=2.(2)当x≤0时,f(x)=-2x2-4x+1=-2(x+1)2+3.根据抛物线的性质知,f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间[-1,0]上单调递减; 当x>0时,f(x)=x+1,显然f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.综上,f(x)的单调增区间是(-∞,-1)和(0,+∞),单调减区间是[-1,0].(3)作出f(x)的图象,如图:函数g(x)有三个零点,即方程f(x)+c=0有三个不同实根,又方程f(x)+c=0等价于方程f(x)=-c,所以当f(x)的图象与直线y=-c有三个交点时,函数g(x)有三个零点.数形结合得,c满足:1<-c<3,即-3<c<-1.因此,函数g(x)有三个零点,实数c的取值范围是(-3,-1).。

2022_2022学年新教材高中数学单元素养评价二新人教A版必修第一册202212262

2022_2022学年新教材高中数学单元素养评价二新人教A版必修第一册202212262

单元素养评价(二)(第三章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题,每题4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)1.以下函数:(1)y=;(2)y=;(3)y=1(-1≤x<1).其中与函数y=1是同一个函数的有( )A.3个B.2个C.1个D.0个【解析】选D.(1)要求x≠0,与函数y=1的定义域不同,两函数不是同一个函数;(2)虽然化简后为y=1,但要求t≠-1,即定义域不同,不是同一个函数;(3)显然定义域不同,故不是同一个函数.2.函数f(x)=(m2-m-5)x m-1是幂函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,那么实数m的值为( )A.-2B.3C.-2或3D.2或-3【解析】选B.函数f(x)=(m2-m-5)x m-1是幂函数,所以m2-m-5=1,解得m=3或m=-2,又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以m-1>0,故m=3.3.以下函数是奇函数的是( )A.y=2x2-3B.y=C.y=x,x∈[0,1]D.y=x【解析】选 D.A中函数为偶函数,B,C中函数定义域不关于原点对称,故函数为非奇非偶函数,D中函数定义域为R,图象关于原点对称,为奇函数.4.函数f(x)=那么f的值为( )A. B.- C. D.18【解析】选C.由题意得f(3)=32-3-3=3,那么=,所以f=f=1-=.5.函数f(x)=-x,那么以下选项错误的选项是( )A.f(x+1)=f(x)+1B.f(3x)=3f(x)C.f(f(x))=xD.f=【解析】选A.根据题意,依次分析选项:对于A,f(x+1)=-(x+1)=-x-1,f(x)+1=-x+1,f(x+1)≠f(x)+1,错误;对于B,f(3x)=-3x,3f(x)=3(-x)=-3x,f(3x)=3f(x),正确;对于C,f(x)=-x,f(f(x))=-(-x)=x,正确;对于D,f=-=-,==-,那么f=,正确.6.函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为( )A.[3,+∞)B.(-∞,2),(4,+∞)C.(2,3),(4,+∞)D.(-∞,2],[3,4]【解析】选C.函数f(x)=|x2-6x+8|,当x2-6x+8>0,即x>4或x<2时,可得f(x)=x2-6x+8=(x-3)2-1,即有f(x)在(4,+∞)上递增;当x2-6x+8<0,即2<x<4时,可得f(x)=-x2+6x-8=-(x-3)2+1,即有f(x)在(2,3)上递增;那么f(x)的增区间为(2,3),(4,+∞).7.函数f(x)=ax2+x+1满足f(1+x)=f(1-x),那么a= ( )A.-1B.-C.D.1【解析】选 B.根据题意,函数f(x)=ax2+x+1满足f(1+x)=f(1-x),那么二次函数的对称轴x=-=1,解得a=-.8.函数f(x)=的图象大致是( )【解析】选A.因为函数f(x)=,是奇函数,当x=时,y=>0,故D错误;x<-1时,y>0恒成立;x>1时,y<0恒成立,故B和C错误,由排除法得正确选项是A.9.偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,假设f(2)=-2,那么满足f(x-1)≥-2的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.[-1,-3]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)【解析】选B.根据题意,偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(2)=-2,可得f(x)=f(|x|),假设f(x-1)≥-2,即有f(|x-1|)≥f(2),可得|x-1|≥2,解得:x≤-1或x≥3,即x的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).10.某地实行阶梯电价,以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价,即:一户居民用户全年不超过 2 880度(1度=1千瓦时)的电量,执行第一档电价标准,每度电0.488 3元;全年超过2 880度至4 800度之间的电量,执行第二档电价标准,每度电0.538 3元;全年超过4 800度以上的电量,执行第三档电价标准,每度电0.788 3元.下面是关于阶梯电价的图形表示,其中正确的有 ( )参考数据:0.488 3元/度×2 880度≈1 406.30元,0.538 3元/度×(4 800-2 880)度+1 406.30元≈2 439.84元.A.①②B.②③C.①③D.①②③【解析】选B.依题意,当全年用电量在2 880度至4 800度之间时,电价分两段, 即全年电量中的2 880度(1度=1千瓦时)的每度电0.488 3元、超出局部按每度电0.538 3元计算, 故图象①不正确; 记用电量为x度,电费为f(x)元/年, 当0≤x≤2 880时,f(x)=0.488 3x,当2 880<x≤4 800时,f(x)=0.4 883×2 880 +0.538 3(x-2 880)=1 406.3+0.538 3(x-2 880),当x>4 800时,f(x)=2 439.84+0.788 3(x-4 800),故②③均正确; 综上所述,正确的选项是②③.二、多项选择题(本大题共3小题,每题4分,共12分,在每题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)11.对于集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},那么由以下图形给出的对应关系中,能构成从A到B的函数的有( )【解析】选A、C、D.根据函数的定义可知,A,C,D中的图形给出的对应关系能构成从A到B 的函数.12.以下关于函数y=ax+1,x∈[0,2]的说法正确的选项是( )A.当a<0时,此函数的最大值为1,最小值为2a+1B.当a<0时,此函数的最大值为2a+1,最小值为1C.当a>0时,此函数的最大值为1,最小值为2a+1D.当a>0时,此函数的最大值为2a+1,最小值为1【解析】选A、D.当a<0时,一次函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递减,当x=0时,函数取得最大值为1,当x=2时,函数取得最小值为2a+1;当a>0时,一次函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递增,当x=0时,函数取得最小值为1,当x=2时,函数取得最大值为2a+1.13.设函数f(x)的定义域为A,且满足任意x∈A恒有f(x)+f(2-x)=2的函数可以是 ( )A.f(x)=2-xB.f(x)=(x-1)2C.f(x)=D.f(x)=(x-2)3【解析】选A、C.方法一:A项,f(x)+f(2-x)=2-x+[2-(2-x)]=2为定值,故A项正确;B项,f(x)+f(2-x)=2(x-1)2不为定值,故B项错误;C项,f(x)+f(2-x)=+==2,符合题意,故C项正确;D项,f(x)+f(2-x)=(x-2)3-x3不为定值,故D项不正确.方法二:因为任意x∈A恒有f(x)+f(2-x)=2,所以函数的图象关于点(1,1)中心对称,函数f(x)=2-x的图象是过点(1,1)的直线,符合题意;函数f(x)==1+的图象关于点(1,1)中心对称,符合题意;B,D项的两个函数的图象都不是关于点(1,1)的中心对称图形,不符合题意.三、填空题(本大题共4小题,每题4分,共16分,将答案填在题中的横线上)14.函数f(x)=,那么f(1)=________,函数y=f(x)的定义域为______.【解析】由题意得,f(1)==2,由解得x≤5且x≠0,所以函数y=f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,5].答案:2 (-∞,0)∪(0,5]15.3f(x)+2f(-x)=x+3,那么f(x)的解析式为________.【解析】因为3f(x)+2f(-x)=x+3①,用-x替换x得:3f(-x)+2f(x)=-x+3②,①×3-②×2得:5f(x)=5x+3,所以f(x)=x+.答案:f(x)=x+16.假设f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都单调递减,那么实数a的取值范围为________.【解析】因为f(x)=-x2+2ax在[1,2]上单调递减,且函数f(x)的图象的对称轴为x=a,所以a ≤1,因为g(x)=在区间[1,2]上单调递减,所以a>0,综上知,a的取值范围为(0,1].答案:(0,1]17.定义在R上的偶函数f(x)满足以下两个条件:①在(-∞,0]上单调递减;②f(1)=-2.那么使不等式f(x+1)≤-2成立的x的取值范围是________.【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递减,f(1)=-2,那么由f(1+x)≤-2,即f(1+x)≤f(1),可得:|x+1|≤1,解得:-2≤x≤0.答案:-2≤x≤0四、解答题(本大题共6小题,共82分.解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤)18.(12分)函数f(x)=.(1)求函数f(x)的定义域.(2)判定f(x)的奇偶性并证明.【解析】(1)由1-x2≠0,得x≠±1,即f(x)的定义域为{x|x≠±1}.(2)f(x)为偶函数.证明如下:由(1)知f(x)的定义域为{x|x≠±1},因为∀x∈{x|x≠±1},都有-x∈{x|x≠±1},且f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数.19.(14分)函数f(x)=(1)求f(-4),f(5)的值.(2)画出函数f(x)的图象,并直接写出处于图象上升阶段时x的取值集合.(3)当x∈[-2,0]时,求函数的值域.【解析】(1)因为-4<0,5>0,所以f(-4)=(-4)2+2×(-4)-3=5,f(5)=-5-3=-8.(2)如下图,图象上升时x的取值集合为{x|-1≤x≤0}.(3)当x∈[-2,0]时,函数的值域为[-4,-3].20.(14分)假设二次函数满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式.(2)假设g(x)=f(x)-mx在[2,4]上是单调函数,求实数m的取值范围.【解析】(1)设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax2+bx+1.因为f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.即2ax+a+b=2x,根据系数对应相等所以所以f(x)=x2-x+1.(2)因为g(x)=f(x)-mx=x2-(1+m)x+1的图象关于直线x=对称,又函数g(x)在[2,4]上是单调函数,所以≤2或≥4,解得m≤3或m≥7,故m的取值范围是(-∞,3]∪[7,+∞).21.(14分)定义在R上的偶函数f(x),当x∈(-∞,0]时,f(x)=-x2+4x-1.(1)求函数f(x)在x∈(0,+∞)上的解析式.(2)求函数f(x)在x∈[-2,3]上的最大值和最小值.【解析】(1)根据题意,设x>0,那么-x<0,那么f(-x)=-x2-4x-1,又由y=f(x)为偶函数,那么f(x)=-x2-4x-1,x∈(0,+∞).(2)由(1)的结论:f(x)=y=f(x)在x∈[-2,0]上单调递增,在x∈[0,3]上单调递减,那么f(x)max=f(0)=-1;f(x)min=min{f(-2),f(3)}=f(3)=-22,函数f(x)在[-2,3]上的最大值是-1,最小值是-22.22.(14分)设函数f(x)=-5x+a为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.(1)求实数a的值.(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义法证明f(x)在(0,+∞)上的单调性. 【解析】(1)因为f(x)是奇函数,x≠0,所以f(-x)=-f(x),所以-+5x+a=-+5x-a,所以2a=0,所以a=0,经检验a=0为所求.(2)f(x)=-5x的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),没有单调增区间,当x>0时,设0<x1<x2,那么f(x1)-f(x2)=-=+5(x2-x1)=(x2-x1)>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.23.(14分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间是f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,根据上述分析结果答复以下问题:(1)请你说明,当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.【解析】(1)由题意知,当0<x≤30时,f(x)=30<40,公交群体的人均通勤时间恒大于自驾群体的人均通勤时间;当30<x<100时,f(x)=2x+-90>40,即(x-20)(x-45)>0,解得x<25(舍去)或x>45,所以45<x<100,所以当x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(2)当0<x≤30时,g(x)=30x%+40(1-x%)=40-,当30<x<100时,g(x)=x%+40(1-x%)=-+58,所以g(x)=当0<x≤30时,g(x)=40-单调递减,g(30)=37,当30<x<100时,g(x)=-+58=(x-32.5)2+36.875,且g(30)=37,所以函数g(x)在(0,32.5)上单调递减,在(32.5,100)上单调递增,实际意义:说明该地上班族S中小于32.5%的人自驾时,随着自驾占比增大,人均通勤时间是递减的;大于32.5%的人自驾时,随着自驾占比增大,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最短.。

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单元素养评价(四)(第五章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在0°～360°的范围内,与-510°终边相同的角是( )A.330°B.210°C.150°D.30°【解析】选B.因为-510°=-360°×2+210°,因此与-510°终边相同的角是210°.2.已知sin=,那么cos α等于 ( )A.-B.-C.D.【解析】选C.因为sin=cos α=,所以cos α=.3.函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为 ( )A.4B.5C.6D.7【解析】选B.因为f(x)=cos 2x+6cos=cos 2x+6sin x=1-2sin2x+6sin x=-2+,又sin x∈[-1,1],所以当sin x=1时,f(x)取得最大值5.4.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式是( )A.f(x)=2sinB.f(x)=2sinC.f(x)=2sinD.f(x)=2sin【解析】选D.由图象可得T=π-π,所以T=π,则ω=2.又图象过点,所以2sin=2,又因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin.5.已知a=tan,b=cos,c=sin,则a,b,c的大小关系是( )A.b>a>cB.a>b>cC.b>c>aD.a>c>b【解析】选A.a=tan=-tan=-,b=cosπ=cos=cos=,c=sin=sin=-sin=-,所以b>a>c.6.化简4cos 50°-tan 40°等于( )A. B.C. D.2-1【解析】选C.4cos 50°-tan 40°======.7.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是( )【解析】选B.取x=0,则y=1,排除C,D;取x=,则y=0,排除A.8.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A.y=cosB.y=sinC.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x【解析】选A.y=cos=-sin 2x,最小正周期T==π,且为奇函数,其图象关于原点对称,故A正确;y=sin=cos 2x,最小正周期为π,且为偶函数,其图象关于y 轴对称,故B不正确;C,D均为非奇非偶函数,其图象不关于原点对称,故C,D不正确.9.被称为“华东第一高”的济南动物园大摩天轮,它的最高点离地面160米,直径为156米,并以每30分钟一周的速度匀速旋转,若从最低点开始计时,则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为( )A.41米B.43米C.78米D.118米【解析】选B.摩天轮转轴离地面高160-=82(米),ω==,摩天轮上某个点P离地面的高度h(米)与时间t(分钟)的函数关系是h=82-78cos,当摩天轮运行5分钟时,其离地面高度为h=82-78cos=82-78×=43(米).10.函数f(x)=Asin ωx(ω>0),对任意x有f=f,且f=-a,那么f等于( )A.aB.2aC.3aD.4a【解析】选A.由f=f,得f(x+1)=f=f=f(x),即1是f(x)的周期.且f(x)为奇函数,则f=f=-f=a.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)11.若一个α角的终边上有一点P(-4,a),且sin α·cos α=,则a的值为( ) A.4 B.-4C. D.-【解析】选B、D.由三角函数定义可知,r=,sin α=,cos α=,sin α·cos α==得a=-4或-.12.将函数y=sin cos的图象沿x轴向右平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的取值可能是 ( )A.-B.-C.D.【解析】选A、B、D.y=sin cos=sin(2x+φ),向右平移个单位后,得到y=sin=sin为偶函数,所以φ-=+k π,k∈Z;所以φ=+kπ,k∈Z,当k=0时,φ=;当k=-1时,φ=-;当k=-2时,φ=-;故选A、B、D.13.函数y=sin 2x-cos 2x的图象的对称轴方程为( )A.x=B.x=-C.x=D.x=【解析】选A、B、C.y=sin 2x-cos 2x=2sin,令2x-=+kπ,k∈Z;得x=+π,k∈Z;当k=0时,x=;当k=1时,x=;当k=-1时,x=-.三、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填在题中的横线上)14.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是__________弧度,扇形面积是________.【解析】圆心角α===,扇形面积S=l r=×12×8=48.答案:4815.设f(n)=cos,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)等于________.【解析】f(n)=cos的周期T=4,且f(1)=cos=cos=-,f(2)=cos=-,f(3)=cos=,f(4)=cos=.所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)=f(1)+f(2)+f(3)=-.答案:-16.若tan α=,则tan=________,tan 2α=________.【解析】由题意知tan===,tan 2α===.答案:17.给出下列4个命题:①函数y=的最小正周期是;②直线x=是函数y=2sin的一条对称轴;③若sin α+cos α=-,且α为第二象限角,则tan α=-;④函数y=cos(2-3x)在区间上单调递减.其中正确的是________.(写出所有正确命题的序号)【解析】函数的最小正周期是,故①正确.对于②,当x=π时,2sin=2sinπ=-2,故②正确.对于③,由(sin α+cos α)2=得2sin αcos α=-,α为第二象限角,所以sin α-cos α==,所以sin α=,cos α=-,所以tan α=-,故③正确.对于④,函数y=cos(2-3x)的最小正周期为,而区间长度>,显然④错误. 答案:①②③四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)18.(12分)已知0<α<,sin α=.(1)求tan α的值.(2)求的值.【解析】(1)因为0<α<,sin α=,所以cos α=,故tan α=.(2)====4.19.(14分)已知α是第四象限角,f(α)=.(1)化简f(α).(2)若cos=,求f(α)的值.【解析】(1)f(α)====-cos α.(2)因为cos=cos=-sin α=,所以sin α=-.因为α是第四象限角,所以cos α=,所以f(α)=-cos α=-.20.(14分)已知f(x)=2sin+a+1(a为常数).(1)求f(x)的单调递增区间.(2)若当x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值.【解析】(1)由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)当x∈时,2x+∈,故当2x+=,即x=时,f(x)有最大值a+3=4,所以a=1.21.(14分)(2018·江苏高考)已知α,β为锐角,tan α=,cos (α+β)=-.(1)求cos 2α的值.(2)求tan(α-β)的值.【解析】(1)因为tan α=,所以tan α==,所以sin α=cos α.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,因此cos 2α=2cos2α-1=-.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π),又因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)==,因此tan (α+β)=-2.因为tan α=,所以tan 2α==-,因此,tan(α-β)=tan [2α-(α+β)]==-.22.(14分)设函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f=.(1)求ω和φ的值.(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象.(3)若f(x)>,求x的取值范围.【解析】(1)因为函数的最小正周期T==π,所以ω=2.因为f=cos=cos=-sin φ=,所以sin φ=-.又-<φ<0,所以φ=-.(2)由(1)知f(x)=cos,列表如下:x 0 π0 π2x--f(x) 1 0 -1 0描点、连线得到图象如图所示:(3)由题意得cos>,所以2kπ-<2x-<2kπ+,k∈Z,2kπ+<2x<2kπ+,k∈Z,所以kπ+<x<kπ+,k∈Z,即x的取值范围是.23.(14分)已知函数f(x)=sin sin x-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值.(2)讨论f(x)在上的单调性.【解析】(1)f(x)=sin sin x-cos2x=cos xsin x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin-,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为.(2)当x∈时,0≤2x-≤π,从而当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减,综上可知,f(x)在上单调递增,在上单调递减.。

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