黑龙江省哈尔滨市九年级11月月考(期中)数学试卷
哈九中高二上学期期中考试数学试卷学生版
哈尔滨市第九中学2023-2024学年度高二上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）1.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b =，OC c = ，点M 在OA 上，且23OM OA = ，点N 为BC 中点，则MN等于（）A.111222a b c +-B.211322a b c-++C.221332a b c +-D.221332a b c +- 2.已知直线1l ：210x ay -+=和2l ：()10a x y a --+=平行，则实数=a （）A.1- B.2C.1-或2D.13.若点()1,1P 在圆C ：2220x y x m ++-=的外部，则m 的取值范围为（）A.()1,4- B.()4,1- C.()1,-+∞ D.(),4-∞4.已知点P 是圆22:4O x y +=上的动点，作PH y ⊥轴于点H ，则线段PH 的中点M 的轨迹方程为（）A.2214x y += B.22116x y += C.22116y x += D.2214y x +=5.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：()()22x a y b -+-可以转化为点(),x y 到点(),a b 的距离，则22148x x x +-+）．A.3B.221+ C.23D.136.在直三棱柱111ABC A B C -中，13,3,32,4AC BC AB AA ====，则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值为（）A .1625-B.925C.1625D.457.已知椭圆22:11612x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C 上的动点，1m PF =，2n PF =，则4m nmn+的最小值为（）A.98 B.54C.20379- D.20379+8.双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，从2F 发出的光线经过图中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且5cos ,013BAC AB BD ∠=-⋅=，则E 的离心率为（）A.173B.375C.102D.5二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.已知点()1,2P -到直线:430l x y C -+=的距离为1，则C 的值可以是（）A.5B.10C.5- D.1510.已知方程22141x y t t +=--表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（）A.当14t <<时，曲线C 是椭圆B.当4t >或1t <时，曲线C 是双曲线C.若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<D.若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则4t >11.已知圆1C ：()2234x y -+=，圆2C ：221x y +=，则（）A.两圆外切B.直线1x =是两圆的一条公切线C.直线2x my =+被圆1C 截得的最短弦长为23D.过点23,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭作圆2C 的切线仅有一条12.如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（）A.1122a c a c -=-B.1122a c a c +=+C.1212c c a a < D.1212c a a c >第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若向量()()1,2,3,2,3,1a b =-=--，则2a b +=r r _______．14.若过点()1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆的方程为______．15.P 点在椭圆221164x y +=上，B (0，3)，则BP 长的最大值为___________.16.已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为____________．四、解答题（本大题共6题，满分70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程和验算步骤）17.已知直线1l 经过点()2,3A ．（1）若1l 与直线2l ：240x y ++=垂直，求1l 的方程；（2）若1l 在两坐标轴上的截距相等，求1l 的方程．18.圆O ：228x y +=内有一点()01,2P ，过0P 的直线交圆于A ，B 两点.（1）当0P 为弦AB 中点时，求直线AB 的方程；（2）若圆O 与圆C ：()()22119x y +++=相交于E ，F 两点，求EF 的长度.19.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，顶点P 在底面上的射影为正方形的中心,O E 为侧棱PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）若22AB =，四棱锥P ABCD -的体积为163，求PB 与平面DBE 所成角．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F ，且离心率为63.（1）求椭圆C 的方程；（2）不过原点O 的直线:l y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，求ABO 面积的最大值及此时直线l 的方程.21.已知()()2,0,2,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是3.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点()2,3N 能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点P ，Q ，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m 的方程；若不能，说明理由．22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，且经过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆右焦点F 且斜率为()0k k ≠的动直线l 与椭圆交于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在异于点F 的定点T ，使AF BT BF AT ⋅=⋅恒成立？若存在，求出T 点坐标，若不存在，说明理由．。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高三上学期9月月考数学试题
的不等式 (x 2) f x f 7 的解集为（ ）
A．x 1 x 2 或 x 4 C．x 1 x 4
B．x x 7 D．x x 1或 2 x 4
试卷第 1 页，共 4 页
6．已知函数
f
x
x2
a x
2ax, x 2
4
的最大值为 ,x 2
2x
1，则实数
a
的值为（
）
两点，且 A，B 两ห้องสมุดไป่ตู้的横坐标分别为 3 ， 5 . 5 13
(1)求 cos 的值；
(2)求 sin 2 cos2 的值. 1 cos 2
18．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为 60 米的水底进行作业，根据
以往经验，潜水员下潜的平均速度为 v
(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为
D．若 g x f x 1 ax2 在 x 0 处取得极小值，则 a 0 或 2
2
11．已知函数 f x log1 ax2 3ax 2 ，下列说法正确的是（ ）
3
A．若 f x 值域为 R ，则 a 8
9
B．若
f
x
定义域为
R
，则
a
0,
8 9
C．若 f x 最大值为 0，则 a 4
v 10
3
1
(升)，在水底作业 10 个单位时间，每单位时间用氧量为 0.9(升)，返回水面的平均速度
试卷第 3 页，共 4 页
v 为 (米/单位时间)，每单位时间用氧量为 1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总
2 用氧量为 y (升). (1)求 y 关于 v 的函数关系式；
(2)若 c v 15c 0 ，求当下潜速度 v 取什么值时，总用氧量最少.
数学丨黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2025届高三上学期11月期中考试数学试卷及答案
哈师大附中2024—2025学年度高三上学期期中考试数学试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷(选择题,共58分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|230A x x x =-+≤，(){}2ln 2B x y x==-，则A B = （）A ．()13，B．3⎡-⎣C．⎡⎤⎣⎦D．(⎤⎦2．复数2025z=2025i -在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.函数()2cos f x x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A.2πB .2C.6π+ D.13π+4．已知a 是单位向量，则“||||1a b b +-= 是“a b∥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知函数()()e 1x a xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．[)2,-+∞C ．(],0-∞D ．(],2-∞-6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614S S =，则1236SS S =+（）A.43B.8C.9D.167.菱形ABCD 边长为2，P 为平面ABCD 内一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为()A.0B.2- C.2D.4-8.已知函数()f x 为偶函数，且满足(13)(13)f x f x -=+，当(0,1)x ∈，()31xf x =-，则323(log )f 的值为（）A.31B.5932C.4932D.21132二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数()2sin(1)3f x x πωω=+≤的图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．1ω=B ．函数的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将()y f x =向左平移3π个单位长度，得到函数()2cos(6g x x π=+D ．若方程(2)f x m =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，则m的取值范围是2⎤⎦10．设正实数,m n 满足1m n +=，则（）A ．1m nm+的最小值为3B+C的最小值为12D ．33m n +的最小值为1411.已知函数1()(0)xf x x x =>,则下列说法中正确的是（）A.方程1()(f x f x=有一个解B.若()()g x f x m =-有两个零点，则10em e<<C.若21()(log ())2a h x x f x =-存在极小值和极大值，则(1,e)a ∈D.若()0f xb -=有两个不同零点，2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，则2ln b c <<第Ⅱ卷(非选择题,共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．12.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为π36的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为π81的圆锥，则该圆锥的高度为.13．已知某种科技产品的利润率为P ，预计5年内与时间(t 月)满足函数关系式(t P ab =其中a b 、为非零常数).若经过12个月，利润率为10%，经过24个月，利润率为20%，那么当利润率达到50%以上，至少需要经过________________个月(用整数作答，参考数据：lg 20.3010)≈14.已知b 为单位向量，,a c 满足42a b c b ⋅=-= ，则12a c -的最小值为四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题13分）在△ABC 中，a b c 、、分别为角A B C 、、所对的边，且22()b a a c c -=-(1)求角B .(2)若b =△ABC 周长的最大值.16.（本小题15分）已知数列{}n a 满足*3212122,N 22n n a a a n a n -++++=∈ (1)求{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使得这2n +个数依次构成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．17．（本小题15分）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如11122122a a a a 的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：1112112212212122a a a a a a a a =-，设函数22sin sin ()()π26cos()x xf x x x =∈+R ．(1)求()f x 的对称轴方程及在[0,]π上的单调递增区间；(2)在锐角ABC ∆中，已知()32f A =-,2133AD AB AC =+，cos B =，求tan BAD ∠18.（本小题17分）已知数列}{n a 满足111,,333,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数（*∈N n ）.(1)记232-=n n a b （*∈N n ），证明：数列}{n b 为等比数列，并求}{n b 的通项公式；(2)求数列}{n a 的前n 2项和n S 2；(3)设12121--=+n n n b b c （*∈N n ），且数列}{n c 的前n 项和为n T ，求证：1133ln --<-n n n n T （*∈N n ）.19.（本小题17分）已知函数ln ()sin ,(0,)x a f x e x x -=-∈+∞.(1)当a e =时，求()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥恒成立，求a 的范围；(3)若()f x 在(0,)π内有两个不同零点12,x x ，求证：122x x ππ<+<2024—2025学年度上学期高三学年期中考试数学答案一、单选题1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6.B7.D8.C二、多选题9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题12.213.4014.1四、解答题15.（1）22()b a a c c -=-即222b a c ac =+-∵2222cos b a c ac B =+-∴1cos 2B =，又(0,)B π∈∴3B π=（2）由sin sin a c AC =可得，2sin a A =，2sin c C=2sin 2sin l a b c A C =++=+∵2+3A C π=∴23C Ap =-∴22sin 2sin()3l a b c A A π=++=+-3sin A A =)6A π=+∵203A π<<∴l的最大值为16.(1)321212222nn na a a a -++++= 当2n ≥时，312122)2222(1n n a a a n a --++++=- 两式相减，得122nn a -=，即2n n a =.又当1n =时，12a =符合题意，所以2n n a =.(2)由（1）得2n n a =，所以11222111n n nn n n b b d n n n ++--===+++，则112nn n d +=，所以()123111123412222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12341111112341222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得：()()112111111111113342211112222222212n n n nn n n T n n ++++⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅++⋅⋅⋅+-+=+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以332n nn T +=-．17.（1）221()2sin cos()2sin 2sin (cos sin )2sin 226f x x x x x x x xπ=+-=--23323sin sin 2(1cos 2)sin(2)22232x x x x x π=---+-，由22,32x k k πππ+=+∈Z ，得,12x k k ππ=+∈Z ，所以()f x 的对称轴为ππ()122kx k =+∈Z .由222,232k x k k πππππ-+<+<+∈Z ，[]0,x π∈，所以单调递增区间为701212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，（2）由（1）知，33())322f A A π=+-=-，则πsin(2)03A +=，由02A π<<，得ππ4π2333A <+<，则π23A π+=，解得π3A =，因为ABC V中，cos B =，则B 为锐角，所以sin 3B ===，因为π3A =，πA B C ++=，所以2π3C B =-，所以2π2π2π11sin sin sin cos cos sin 333232326C B B B ⎛⎫=-=-=⨯+⨯=+⎪⎝⎭，设BADθ∠=，则π3 CADθ∠=-，在ABD△和ACD中，由正弦定理得sin sinBD ADBθ==πsinsin3CD ADCθ=⎛⎫-⎪⎝⎭因为2CD BD=(π3sin3θθ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，(1cos sin3sin22θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sinθθ=+，所以tan tanBADθ∠==18.（1）证明：2123123)1231(231212221-+=-++=-=++++nanaabnnnnnnnnbaanna31)23(312131212)6(31222=-=-=-+-=，又212313123121=-+=-=aab，所以，数列}{nb为以21为首项，31为公比的等比数列.（2）由（1）可知13121-⎪⎭⎫⎝⎛=nnb，又232-=nnab，23312112+⎪⎭⎫⎝⎛=∴-nna.设nnaaaP242++=，则nnPnnn233143432331131121+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=，设1231-++=nnaaaQ ，1231122-+=-naann，2312)121(31nQnnQPnnn+=-+⋅+=∴，233nPQnn-=∴，故21223631334nnnPQPSnnnnn-+⎪⎭⎫⎝⎛-=-=+=-.（3）nnnnnnnc321132113331311311-<--=--=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=-，n n n n n n n T 311311()313131(22+-=--=+++-<∴ ，所以欲证1133ln --<-n n n n T ，只需证)311ln(313ln 133ln 31n n n n n n --=--=-<，即证n n 31311ln(-<-.设)0,1(),1ln()(-∈+-=x x x x f ，01)(<+='∴x xx f ，故)(x f 在)0,1(-上单调递减，0)0()(=>f x f ，)0,1(-∈∴x 时，)1ln(x x +>.)0,31[31-∈-n ，n n 31311ln(-<-∴得证.19.1) =s =K1−sins 0=−1,n =K1−coss n 0=−1−1∴−−1=−1−12）3−2+ln 1+≥0.令=s 3−2+ln 1+≥0(1)t >-令=3−2+ln 1+,n =32−2+1r1=33+2−2r1r1，当≥0,'≥0∴在0,+∞单调递增，当()32322(0,1),ln 1(1)0t t t t t t t t t t ∈+++<++=++<∴≥0解集为≥0∴≥0>0,sins1≥sin=ℎ. ℎ' = cosKsin =, ∴ 在 单调递增, (4,54)单调递减,当>54时,ℎ<154∴ℎ=224∴1≥224,0<≤243）ℎ=sin ∴sin=1有两个根1,2。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题含答案解析
哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（）A.()0,2 B.()1,2- C.(],4∞- D.(]1,4-2.若复数z 满足i 2i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（）A.2iB.2i- C.2- D.23.在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则10a =（）A.20B.24C.27D.294.“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.下列命题中，真命题的是（）A.函数sin ||y x =的周期是2πB.2,2x x R x ∀∈>C.函数2()ln2x f x x +=-是奇函数. D.0a b +=的充要条件是1ab=-6.设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（）A. B.3C.9D.7.已知ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AC 的中点，点M 为边BC 上一动点，则MD MC ⋅的最小值为（）A .27B.0C.716-D.916-8.在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（）A.35B.42C.49D.56二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（）A.数列1{}2n a +为等比数列 B.11322n n a =⨯-C.数列{}n a 是递减数列 D.{}n a 的前n 项和115344n n S +=⨯-10.下列说法中正确的是（）A.在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b = ，若0a b ⋅> ，则ABC 为锐角三角形B.非零向量a 和b满足1a = ，2=+= b a b ，则a b -= C.已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.在ABC 中，若2350OA OB OC ++=，则AOC 与AOB 的面积之比为3511.已知函数()()[]()2cos 0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A.若()0f =，则π3ϕ=B.若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C.若()f x 在[],a b 上单调，则π2b a ω-≤D.若2ϕπ=时，且()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦12.已知()[)()[]sin 0,6π3π1cos 6π,7πax xx f x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若()0f x ≥恒成立，则不正确的是（）A.()f x 的单调递增区间为()0,6πB.方程()f x m =可能有三个实数根C.若函数()f x 在0x x =处的切线经过原点，则00tan x x =D.过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．14.已知ABC的面积S =，3A π∠=，则AB AC ⋅= ________；15.若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．16.()123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，{}{}1,0,11,2,3,,i a i n ∈-=⋅⋅⋅为一个有序实数组，()f A 表示把A 中每个-1都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：()1,0,1A =-，则()()1,0,1,1,0,1f A =--．定义()1k k A f A +=，1,2,3,k =⋅⋅⋅，若()11,1A =-，n A 中有n b 项为1，则{}n b 的前2n 项和为________．四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，且点,E F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PB 与平面PAD 所成角的正弦值.19.已知数列{}n a 满足11a =，且()1111n n a a n n n n +-=++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，且312n n S -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为ABC S ．已知①2ABCBC S ⋅=；②()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+；③()2cos cos c a B b C +=-，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B ；（2）若b =．求22a c +的取值范围．21.已知等差数列{}n a 满足212a a =，且1a ，32a -，4a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若{}n a 的公差为整数，且()111nn n nS b S +-=-，求n T .22.已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ．（1）当3m =-时，求()f x 的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，若不等式()mf x x <恒成立，求m 的取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：()22235212ln 11122n n n n++<++⋅⋅⋅++++．哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（）A.()0,2 B.()1,2- C.(],4∞- D.(]1,4-【答案】D 【解析】【分析】解不等式可得集合,A B ，根据集合的并集运算即得答案.【详解】因为{}(]2log 20,4A x x =≤=，{}()2201,2B x x x =--<=-，所以(]1,4A B =- ，故选：D.2.若复数z 满足i 2i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（）A.2iB.2i- C.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】先求出复数z ，得到z 的共轭复数，即可得到答案.【详解】因为复数z 满足i 2i z =+，所以2i12i iz +==-，所以z 的共轭复数12i z =+.其虚部为：2.故选：D3.在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则10a =（）A.20B.24C.27D.29【答案】D 【解析】【分析】求出基本量，即可求解.【详解】解：2642=10a a a +=，所以45a =，又59a =，所以544d a a =-=，所以510592029a d a +=+==，故选：D 4.“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.【详解】26k πθπ=+，Z k ∈时，1sin sin 2sin 662k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，526k πθπ=+，Z k ∈时，551sin sin 2sin 662k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的充分而不必要条件，故选:A .5.下列命题中，真命题的是（）A.函数sin ||y x =的周期是2πB.2,2x x R x ∀∈>C.函数2()ln 2x f x x +=-是奇函数. D.0a b +=的充要条件是1ab=-【答案】C 【解析】【分析】选项A ，由sin ||sin |2|33πππ-≠-+可判断；选项B ，代入2x =，可判断；选项C ，结合定义域和()()f x f x -=-，可判断；选项D ，由1ab=-得0a b +=且0b ≠，可判断【详解】由于353sin ||,sin |2|sin()32332ππππ-=-+==-，所以函数sin ||y x =的周期不是2π，故选项A 是假命题；当2x =时22x x =，故选项B 是假命题；函数2()ln 2x f x x+=-的定义域(2,2)-关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，故函数()f x 是奇函数，即选项C 是真命题；由1a b =-得0a b +=且0b ≠，所以“0a b +=”的必要不充分条件是“1ab=-”，故选项D 是假命题故选：C6.设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（）A. B.3C.9D.【答案】C 【解析】【分析】根据等差中项的定义，利用对数的运算得到21a b +=，然后利用这一结论，将目标化为齐次式，利用基本不等式即可求最小值.【详解】解：0,0,lg a b >>Q 是lg 4a 与lg 2b 的等差中项，2lg4lg2,lg 2lg 2b a a b +∴=+∴=，即222a b +=，即21a b +=，则212122(2)559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b b a=，即13a b ==时取等号.故选C .【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值中的其次化方法，涉及等差中项概念和对数运算，难度中等.当已知a b k αβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0m nm n a b+>，为常数)的最小值时常用()1m n m n a b a b k a b αβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭方法，展开后对变量部分利用基本不等式，从而求得最小值；已知k a bαβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0ma nb m n +>，为常数)的最小值时也可以用同样的方法.7.已知ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AC 的中点，点M 为边BC 上一动点，则MD MC ⋅的最小值为（）A.27B.0C.716-D.916-【答案】D 【解析】【分析】根据图形特点，建立直角坐标系，由题设数量关系得出A ，B ，C 的坐标，再设出点M 的坐标，将所求问题转化为函数的最小值即可.【详解】解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意可知，()0,4A ，()3,0C ，3,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),0M t ，其中[]3,3t ∈-，则3,22MD t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3,0MC t =- ，故()22399993222416MD MC t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以当94t =时，MD MC ⋅ 有最小值916-.故选：D.8.在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（）A.35B.42C.49D.56【答案】B 【解析】【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n 轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染,则每轮新增感染人数为0nR ，经过n 轮传染，总共感染人数为：1200000111n nR R R R R +-++++=- ，∵0R 3=，∴当感染人数增加到1000人时，113=100013n +--，化简得3=667n ，由563243,3729==，故得6n ≈，又∵平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6742⨯=天，故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（）A.数列1{}2n a +为等比数列 B.11322n n a =⨯-C.数列{}n a 是递减数列 D.{}n a 的前n 项和115344n n S +=⨯-【答案】AB 【解析】【分析】推导出1113()22n n a a ++=+，11322a +=，从而数列1{}2n a +为首项为32，公比为3的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【详解】解： 数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，*n ∈N ，131n n a a +∴=+，1113(22n n a a +∴+=+， 11322a +=，∴数列1{}2n a +为首项为32，公比为3的等比数列，故A 正确；113133222n n n a -+=⨯=⨯，∴11322n n a =⨯-，故B 正确；数列{}n a 是递增数列，故C 错误；数列1{}2n a +的前n 项和为：13(13)3132(31)313444n n n n S +-'==-=⨯--，{}n a ∴的前n 项和1111332424n n n S S n n +'=-=⨯--，故D 错误．故选：AB ．10.下列说法中正确的是（）A.在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b = ，若0a b ⋅> ，则ABC 为锐角三角形B.非零向量a 和b满足1a = ，2=+= b a b，则a b -= C.已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.在ABC 中，若2350OA OB OC ++=，则AOC 与AOB 的面积之比为35【答案】BD 【解析】【分析】利用向量的数量积的定义得到角C 为钝角，从而否定A ；利用向量的和、差的模的平方的关系求得26a b -= ，进而判定B ；注意到a 与a b λ+ 同向的情况，可以否定C ；延长AO 交BC 于D ,∵,AO OD共线，利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到58BD BC = ,进而35CD DB =，然后得到35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，利用分比定理得到35AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，从而判定D.【详解】0a b ⋅>即0BC CA ⋅> ,∴0CB CA ⋅<,∴C 为钝角，故A 错误；2222222810a b a b a b -++=+=+= ，2224a b +== ，21046a b -=-=，a b -=B 正确；(1,2)a b λλλ+=++r r，当0λ=时，a 与a b λ+ 同向，夹角不是锐角，故C 错误；∵2350OA OB OC ++=，∴3522AO OB OC =+ ，延长AO 交BC 于D ,如图所示.∵,AO OD共线，∴存在实数k ，3522k k OD k AO OB OC ==+ ，∵,,D B C 共线，∴35122k k +=,∴14k =,∴3588OD OB OC =+ ，∴555888BD OD OB OB OC BC =-=-+= ，∴35CD DB =.∴35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，∴35AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，故D 正确.故选：BD.11.已知函数()()[]()2cos 0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A.若()0f =，则π3ϕ=B.若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C.若()f x 在[],a b 上单调，则π2b a ω-≤D.若2ϕπ=时，且()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】将0x =代入()f x 求出函数值，根据ϕ的范围即可判断选项A ；根据偶函数的性质即可判断选项B ；根据()f x 在[],a b 上单调，则2Tb a ≥-即可判断选项C ；根据整体思想以及正弦函数的性质即可判断选项D.【详解】对于选项A ，若()0f =，则2cos ϕ=3cos 2ϕ=，∵[]0,πϕ∈，∴π6ϕ=，则A错误；对于选项B ，若函数()y f x =为偶函数，则0ϕ=或πϕ=，即2cos 1ϕ=，则B 正确；对于选项C ：若()f x 在[],a b 上单调，则π2T b a ω-≤=，但不一定小于π2ω，则C 错误；对于选项D ：若2ϕπ=，则()2sin f x x ω=-，当ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∵()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，∴ππ32ππ42ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则D 正确．故选：BD ．12.已知()[)()[]sin 0,6π3π1cos 6π,7πax x x f x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若()0f x ≥恒成立，则不正确的是（）A.()f x 的单调递增区间为()0,6πB.方程()f x m =可能有三个实数根C.若函数()f x 在0x x =处的切线经过原点，则00tan x x =D.过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，根据()0f x ≥，得到1a ≥，画出函数图象，可得单调区间；B 选项，结合函数图象得到方程()f x m =的根的个数；C 选项，分[0,6π)x ∈和[]6π,7πx ∈两种情况，得到00tan x x =或0001cos sin x x x -=；D 选项，设()f x 上一点()111,sin M x ax x -，分M 为切点和不是切点，结合函数图象可得过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线.【详解】A 选项，因为函数()0f x ≥，[6π,7π]x ∈时，由于1cos 0x -≥恒成立，故3π(1cos )y a x =-要想恒正，则要满足0a ≥，[0,6π]x ∈时，sin 0y ax x =-≥恒成立，cos y a x '=-，当1a ≥时，cos 0y a x '=-≥在[)0,6π恒成立，故sin y ax x =-在[)0,6π单调递增，又当0x =时，0y =，故sin 0y ax x =-≥在[)0,6π上恒成立，满足要求，当01a <<时，令cos 0y a x '=-=，故存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0cos a x =，当()00,x x ∈时，0'<y ，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>，故sin y ax x =-在()00,x x ∈上单调递减，又当0x =时，0y =，故()00,x x ∈时，sin 0y ax x =-<，不合题意，舍去，综上：1a ≥，当6πx →时，sin 6πy ax x a =-→，(6)3π[1cos(6π)]0f a π=-=，且(7π)3π[1cos(7π)]6πf a a =-=，画出函数图象如下，故()f x 的单调递增区间为(0,6π),(6π,7π)，A 错误；B 选项，可以看出方程()f x m =最多有两个实数解，不可能有三个实数根，B 错误；C 选项，当[)0,6πx ∈时，()cos f x a x '=-，则()00cos f x a x '=-，则函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()()0000sin cos y ax x a x x x --=--，将()0,0代入切线方程得()()0000sin cos ax x x a x --=--，解得00tan x x =，当[]6π,7πx ∈时，()3πsin f x a x '=，则()003πsin f x a x '=，则函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()0003π1cos 3πsin y a x a x x x --=-⎡⎤⎣⎦，将()0,0代入切线方程得，0001cos sin x x x -=，其中06πx =满足上式，不满足00tan x x =，故C 错误；D 选项，当[)0,6πx ∈时，设()f x 上一点()111,sin M x ax x -，()cos f x a x '=-，当切点为()111,sin M x ax x -，则()11cos f x a x '=-，故切线方程为()()()1111sin cos y ax x a x x x --=--，此时有一条切线，当切点不为()111,sin M x ax x -时，设切点为()222,sin N x ax x -，则()22cos f x a x '=-，此时有()2211221sin sin cos ax x ax x a x x x ---=--，即12212sin sin cos x x x x x -=-，其中1212sin sin x x t x x -=-表示直线MN 的斜率，画出cos ,[0,6π)y x x =∈与y t =的图象，最多有6个交点，故可作6条切线，[]6π,7πx ∈时，当切点不为()111,sin M x ax x -时，设切点为()()22,3π1cos N x a x -，则()3πsin f x a x '=，()223πsin f x a x '=，()7π3πsin 7π0f a '==，()6π3πsin 6π0f a '==，13π13π3πsin 3π22f a a ⎛⎫⎪==⎭'⎝，结合图象可得，存在一个点()()22,3π1cos N x a x -，使得过点()()22,3π1cos N x a x -的切线过[)0,6πx ∈上时函数的一点，故可得一条切线，当M 点在[]6π,7πx ∈时的函数图象上时，由图象可知，不可能作8条切线，综上，过()f x 图象上任何一点，最多可作函数f(x)的8条切线，D 正确.故选：ABC【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x ='；(2)已知斜率k 求切点()()11,A x f x ,即解方程()1f x k '=；(3)已知切线过某点()()11,M x f x (不是切点)求切点,设出切点()()00,A x f x ,利用()()()10010f x f x k f x x x -=='-求解.Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】12n -【解析】【分析】当1n =时求得1a ；当2n ≥时，利用1nn n a S S -=-可知数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果.【详解】当1n =时，1121a a =-，解得：11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，12n n a a -∴=，则数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=.故答案为：12n -.14.已知ABC 的面积S =，3A π∠=，则AB AC ⋅= ________；【答案】2【解析】【分析】由三角形的面积可解得4bc =，再通过数量积的定义即可求得答案【详解】由题可知1sin 2S bc A ==3A π∠=，所以解得4bc =由数量积的定义可得1cos 422AB AC bc A ⋅==⨯= 【点睛】本题考查三角形的面积公式以及数量积的定义，属于简单题．15.若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【答案】19-【解析】【分析】由sin 2sin 2632πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式和二倍角公式得出答案．【详解】2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，21cos 212sin 369ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22326πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，1sin 2sin 2cos 263239ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：19-16.()123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，{}{}1,0,11,2,3,,i a i n ∈-=⋅⋅⋅为一个有序实数组，()f A 表示把A 中每个-1都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：()1,0,1A =-，则()()1,0,1,1,0,1f A =--．定义()1k k A f A +=，1,2,3,k =⋅⋅⋅，若()11,1A =-，n A 中有n b 项为1，则{}n b 的前2n 项和为________．【答案】21223n +-【解析】【分析】设n A 中有n c 项为0，其中1和1-的项数相同都为n b ，由已知条件可得()111222n n n b c n ---+=≥①，()112n n n b b c n --=+≥②，进而可得()1122n n n b b n --+=≥③，再结合12n n n b b ++=④可得()11122n n n b b n -+--=≥，分别研究n 为奇数与n 为偶数时{}n b 的通项公式，运用累加法及并项求和即可求得结果.【详解】因为()11,1A =-，依题意得，()21,0,0,1A =-，()31,0,1,1,1,1,0,1A =---，显然，1A 中有2项，其中1项为1-，1项为1，2A 中有4项，其中1项为1-，1项为1，2项为0，3A 中有8项，其中3项为1-，3项为1，2项为0，由此可得n A 中共有2n 项，其中1和1-的项数相同，设n A 中有n c 项为0，所以22nn n b c +=，11b =，从而()111222n n n b c n ---+=≥①，因为()f A 表示把A 中每个1-都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，则()112n n n b b c n --=+≥②，①+②得，()1122n n n b b n --+=≥③，所以12nn n b b ++=④，④-③得，()11122n n n b b n -+--=≥，所以当n 为奇数且3n ≥时，()()()324122411222122211143n n n n n n n n n b b b b b b b b ------+=-+-+⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅++=+=-，经检验1n =时符合，所以213n n b +=（n为奇数），当n 为偶数时，则n 1-为奇数，又因为()1122n n n b b n --+=≥，所以111121212233n n n n n n b b ----+-=-=-=，所以2+1,321,3n n n n b n ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，+112121233n n nn n b b ++-+=+=，所以{}n b 的前2n 项和为21211352112345621222422()()()()2+2+2++2143n n n n n b b b b b b b b -+---⨯-++++++++===- .故答案为：21223n +-.【点睛】本题的解题关键是根据题目中集合的变换规则找到递推式，求出通项公式，再利用数列的特征采取分组求和解出.四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值【答案】（I ）6π（II ）max 3()2f x =【解析】【详解】(1)由2a ＝x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，2b ＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及a b =r r，得4sin 2x ＝1.又x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而sin x ＝12，所以x ＝6π.(2)()·=f x a b =sin x ·cos x ＋sin 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12，当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，－6π≤2x －6π≤56π，∴当2x －6π＝2π时，即x ＝3π时，sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭取最大值1.所以f (x )的最大值为32.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，且点,E F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PB 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）64【解析】【分析】（1）取PC 的中点M ，根据题意证得//AE MF 且AE MF =，得到四边形AEMF 为平行四边形，从而得到//AE ME ，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量31(,,1)22PB =-和平面PAD的一个法向量n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取PC 的中点M ，连接,MF EM ，在PCD 中，因为,M F 分别为,PC PD 的中点，可得//MF CD 且12MF CD =，又因为E 为AB 的中点，所以//AE CD 且12AE CD =，所以//AE MF 且AE MF =，所以四边形AEMF 为平行四边形，所以//AE ME ，因为ME ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，所以//AF 平面PCE .【小问2详解】解：因为底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠= ，连接BD ，可得ABD △为等边三角形，又因为E 为AB 的中点，所以DE AB ⊥，则DE DC ⊥，又由PD⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以,,DE DC DP 所在的直线分别为,x y 和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠= ，1PD AD ==，可得3131(0,0,0),(,,0),(,,0),(0,0,1)2222D A B P -，则3131(,,1),(,,0),(0,0,1)2222PB DA DP =-=-= ，设平面PAD 的法向量为(,,)n x y z = ，则310220n DA x y nDP z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，取x =，可得3,0y z ==，所以n =，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，则6sin cos ,4n PB n PB n PB θ⋅=== ，所以直线PB与平面PAD 所成角的正弦值为6 4.19.已知数列{}n a满足11a=，且()1111n na an n n n+-=++．（1）求{}n a的通项公式；（2）若数列nnab⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n S，且312nnS-=，求数列{}n b的前n项和n T．【答案】（1）21na n=-（2）1133n nnT-+=-【解析】【分析】（1）利用累加法求出nan，进而得na；（2）求得1213n nnb--=，利用错位相减法可求出答案.【小问1详解】因为()1111111n na an n n n n n+-==-+++，所以11221111221n n n n na a a a a a a an n n n n---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111121212n n n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=-⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21na n=-．【小问2详解】因为312n n S -=，所以当1n =时，1111a S b ==，得11b =；当2n ≥时，1113131322n n n n n n n a S S b -----=-=-=，所以1213n n n b --=（1n =时也成立）．因为0121135213333n n n T --=++++ ，所以12311352133333n n n T -=++++ ，所以1012111121222212133121333333313n n n n n n n T --⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=+⨯-- 112122112333n n n n n --+=+--=-，故1133n n n T -+=-．20.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为ABC S ．已知①2ABC BC S ⋅= ；②()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+；③()2cos cos c a B b C +=-，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B ；（2）若b =．求22a c +的取值范围．【答案】（1）2π3B =（2）[)8,12【解析】【分析】（1）选①时：利用面积和数量积公式代入化简即可；选②时：利用正弦定理代入，结合余弦定理得到；选③时：正弦定理进行边角转换，结合角度的范围即可确定角B .（2）结合（1）的角度，和边的大小，用余弦定理进行代换，结合基本不等式即可得到最终范围.【小问1详解】选①，由2ABC BC S ⋅=可得：1cos2sin sin2B ac B ac B=⋅=，故有sintancosBBB==又∵()0,πB∈，∴2π3B=；选②，∵()()()sin sin sin sin sin sin sinB A B AC C A+-=+，由正余弦定理得222c ac b a+=-，∴2221cos22a c bBac+-==-，又()0,πB∈，∴2π3B=；选③，∵()2cos cosc a B b C+=-，由正弦定理可得()sin2sin cos sin cosC A B B C+=-，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sinA B B C C B C B A=--=-+=-，∵()0,πA∈，∴sin0A≠，∴1cos2B=-，又()0,πB∈，∴2π3B=．【小问2详解】由余弦定理得2222cos12c a b ac B ac+=+=-∵0ac>，∴2212a c+<．又有222222122c ac a ac c a+=++≤++，当且仅当2a c==时取等号，可得228c a+≥．即22a c+的取值范围是[)8,12．21.已知等差数列{}n a满足212a a=，且1a，32a-，4a成等比数列.（1）求{}n a的通项公式；（2）设{}n a，{}n b的前n项和分别为n S，n T.若{}n a的公差为整数，且()111n nnnSbS+-=-，求nT.【答案】（1）25na n=或2na n=（Nn+∈）（2）当n为正偶数时，1nnTn=-+，当n为正奇数时，231nnTn+=-+【解析】【分析】（1）设出公差d，根据已知条件列出相应的等式即可求解.（2）由题意可以先求出{}n b的通项公式，再对n进行讨论即可求解.【小问1详解】设等差数列{}n a的公差为d，∵2112a a a d ==+，∴1a d =，∵1a ，32a -，4a 成等比，∴()21432a a a =-，即()()2111322a a d a d +=+-，得()22432d d =-，解得25d =或2d =，∴当125d a ==时，25n a n =；当12d a ==时，2n a n =；∴25n a n =或2n a n =（N n +∈）.【小问2详解】因为等差数列{}n a 的公差为整数，由（1）得2n a n =，所以()()2212n n n S n n +==+，则()()112n S n n +=++，∴()()()()()()()12121111111111n n n n n n n b n n n n n n n ⎡⎤++-+⎛⎫=-=--=-++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦.①当n 为偶数时1231n n nT b b b b b -=+++++ 1111111111111111111223344511n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++--+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111111111111223344511n n n n =---+++---+++----+++-+ 1111n =-++1n n =-+.②当n 为奇数时1231n n nT b b b b b -=+++++ 1111111111111111111223344511n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111111111111223344511n n n n =---+++---+++-+++----+ 1111111n n n =-+---+231n n +=-+.所以当n 为正偶数时，1n n T n =-+，当n 为正奇数时，231n n T n +=-+.22.已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ．（1）当3m =-时，求()f x 的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，若不等式()m f x x <恒成立，求m 的取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：()22235212ln 11122n n n n ++<++⋅⋅⋅++++．【答案】（1）递增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出单调区间；（2）转化为1ln 0x m x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭在()1,x ∈+∞上恒成立，令()()1ln ,1,g x x m x x x ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，分0m ≥和0m <两种情况，求导，结合导函数特征，再分类讨论，求出m 的取值范围；（3）在（2）基础上得到12ln x x x <-，赋值得到211212ln 1n n n n n n n n n +++<-=++，利用累加法得到结论.【小问1详解】当3m =-时，()ln 3,0f x x x x =->，则()1133x f x x x -'=-=，令()0f x ¢>，得103x <<；令()0f x '<，得13x >，所以()f x 的单调递增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由()m f x x <，得1ln 0x m x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，设()()1ln ,1,g x x m x x x ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，当()1,x ∈+∞时，1ln 0,0x x x >->，所以当0m ≥时，()0g x >，不符合题意．当0m <时，()2111g x m x x ⎛⎫=++ ⎝'⎪⎭22mx x m x ++=，设()()2,1,h x mx x m x =++∈+∞，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为12x m =-0>，当112m ->，即102m -<<时，因为()1210h m =+>，所以当11,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x >，即()0g x '>，此时()g x 单调递增，所以()()10g x g >=，不符合题意．当1012m <-≤，即12m ≤-时，()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()1210h x h m <=+≤，所以()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10g x g <=，符合题意．综上所述，m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【小问3详解】由（2）可得当1x >时，11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即12ln x x x <-，令*1,n x n n +=∈N ，则211212ln 1n n n n n n n n n +++<-=++，所以22223351212ln ,2ln ,,2ln 111222n n n n n++<<⋅⋅⋅<+++，以上各式相加得22223135212ln ln ln 121122n n n n n++⎛⎫++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭，即22223135212ln 121122n n n n n ++⎛⎫⨯⨯⋅⋅⋅⨯<++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭，所以()22235212ln 11122n n n n ++<++⋅⋅⋅++++．【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.。
黑龙江省哈尔滨市部分学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试题
黑龙江省哈尔滨市部分学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下面几个数的倒数最大的是（ ）A ．12020B ．2021C ．2022-D ．12023- 2．下列运算正确的是（ ）A ．244a a a +＝B ．333a b a b ++（）＝C ．21()1)(1a a a +--＝D ． 32a a a ÷＝3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．如图所示的四个几何体均由若干个完全相同的小正方体组成的，在它们的俯视图中，小正方形个数最多的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．将抛物线241y x =-向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的新抛物线解析式为（ ）A ．()2415y x =+-B ．()2413y x =-+C ．()2413y x =++D ．()2415y x =++ 6．已知反比例函数2k y x -=的图象位于第二、第四象限，则k 的取值范围是（ ） A ．2k ≥ B ．2k >C ．2k ≤D ．2k <7．方程5322x x =+-的解是（ ） A ．8x = B ．10x = C ．7x = D ．5x =8．如图，一架民航客机在飞行途中前方出现雷暴区域，机组请示后决定从C 点处以仰角α直线爬升至云层上方，爬升后客机所在的A 点处相对于C 点处的飞行高度上升了1200AB =米，则客机直线爬升的距离AC 为（ ）A ．1200sin αB ．1200sin αC ．1200cos αD ．1200tan α 9．如图，AB 是O e 的切线，点C 在圆上， BC AC =，线段BC 交O e 于点D ，若30BAD ∠=︒，则DAC ∠的度数为（ ）A ．25︒B ．35︒C ．45︒D ．55︒10．如图，在ABC V 中，D 、E 分别为边AB AC 、边上的点，连接DE ，DE BC ∥，F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．AD AE AB CE = B ．AG AE GF BD =C ．BD CE AD AE = D ．AG AC AF EC=二、填空题11．将数0.00005用科学记数法可表示为．12．在函数y =x 的取值范围是．1314．把多项式9x 3﹣x 分解因式的结果是．15．不等式组33423x x +≤⎧⎨-->⎩的解集是． 16．某汽车在某速度下刹车后行驶的距离s （单位：m ）与刹车后行驶的时间t （单位：s ）的函数关系式为2630s t t =-+，则该汽车在该速度下从刹车后到停下来共行驶了米． 17．一个不透明的袋子里装有3个黑球和3个白球，它们除颜色不同外其他都相同，从袋中一次性任意摸出两个球，则两球均为白球的概率是．18．一个圆锥的底面半径为1，它的侧面展开图的圆心角为90︒，则它的母线长为． 19．正方形ABCD 的边长为4，点E 在边CD 上，1CE =，点F 在正方形的一条边上，且ADE V 和AEF V 的面积相等，则CF 的长为．20．如图，在ABC V 中，AB AC AD =，是ABC V 的高，点E 在AD 上，AE CE ==点G 在AC 上， GF CE P 交AB 于点F ，若11AG BF ==，则BC 的长为．三、解答题21．先化简，再求代数式22121()1x x x x x x x++-÷--的值，其中2sin60tan 45x =︒-︒． 22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB 、CD 的顶点都在小正方形的顶点上．请按要求画图并解答下列问题：(1)在方格纸中画出以线段AB 为斜边的等腰直角ABE V ，且点E 在小正方形的顶点上；(2)在方格纸中画出以线段CD 为斜边的直角CDF V ，使得 tan 3FDC ∠=，连接EF ，并直接写出线段EF 的长．23．为迎接2025年哈尔滨亚冬会，哈市某学校对一部分学生进行了“你最喜欢的冰雪运动”问卷调查（每名必选且只能选一项），根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图．(1)在这次问卷调查中，一共抽查了多少名学生？(2)通过计算补全条形统计图；(3)若全校共2400名学生，请估计该校最喜欢“滑雪”运动的学生有多少名． 24．如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点E F 、在AC 上，AE CF EG BC =⊥，于点G FH AD ⊥，于点H ，连接EH GF 、．(1)求证：四边形EGFH 为平行四边形．(2)如图2，连接BE DF 、，若H E A C ⊥，在不添加任何辅助线的前提下，直接写出面积为四边形EGFH 面积的一半的三角形（EHF EFG △、△除外）． 25．为了奖励在区模考试中进步的同学，老师将购买一些钢笔和圆规作为奖品，已知购买4支钢笔和5个圆规需要70元，购买6支钢笔和7个圆规需要100元．(1)求购买一支钢笔和一个圆规各需要多少元？(2)若购买圆规的数量比购买钢笔的数量的一半还少1个，要求购买奖品的总价不超过300元，则最多可以购买多少支钢笔？26．已知，AB 是O e 的直径，CD 是O e 的弦（与线段AB 相交），1tan 2DCB ∠=．(1)如图1，求ABD ∠的正切值；(2)如图2，弦C E B D ∥，点F 在OD 上，AF 交CE 于点G ，若O F A O D E C E D ∠+∠=∠．求证：2CGF CBA ∠=∠；(3)如图3，在（2）的条件下，连接AE ，若5CG AG -=，11CD =，求AE 的长． 27．已知，抛物线21y x bx 6=+交x 轴负半轴于点A ， B 是抛物线的顶点，BC x P 轴交y轴于点C ，BC =(1)如图1，求抛物线的解析式；(2)如图2，点D 在第一象限的抛物线上，设点D 的横坐标为t ，四边形ADCB 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，延长CD 交抛物线于点E ，连接AE ，延长BO 、AD 交于点F ，点G 在AE 上，60BFG ∠=︒，连接OG ，若GF 平分OGE ∠，求点D 的坐标．。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高三上学期9月份考试数学试卷
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高三上学期9月份考试数学试卷一、单选题1．已知集合2{|230}A x x x =+-<，{|21}x B x =≥，则A B =I A ．(,3]-∞- B ．(,1]-∞C ．(3,0]-D ．[0,1)2．“π2π,Z 6k k θ=+∈”是“1sin 2θ=”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若,,R a b c ∈且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ac bc > B ．3232c a c b -<- C ．22a b <D ．2()0a b c ->4．曲线e sin2x y x =+在点()0,1处的切线方程为（ ） A ．3220x y +-= B ．2210x y -+= C ．310x y -+=D ．3220x y -+=5．已知(0,)2πα∈，且3cos 2sin 1αα+=，则（ ）A ．sin()2πα+=B ．cos()2πα+=C ．2sin()3πα-=D ．2cos()3πα-=-6．若sin140tan 40λ︒-︒λ的值为（ ） A ．2-B ．2C ．3D ．47．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()3f x x x =+，若24log 5a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()2019c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．已知函数()f x 满足1(tan )sin 2f x x=，若12,x x 是方程2202420240x x +-=的两根，则12()()f x f x +的值为（ ）A ．2024B ．2024-C ．1D ．0二、多选题9．锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，下列结论一定成立的有（ ）.A ．222sin sin sin ABC +< B ．()sin sin A B C += C ．若A B >，则sin sin A B >D ．若π4A =，则ππ42B << 10．已知函数()πsin 2cos cos 2sin 0,02f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．π6ϕ=B ．2ω=C ．π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数D ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为12-11．已知函数()sin sin 2,[0,2π]f x x x x =⋅∈．下列有关()f x 的说法中，正确的是（ ）A ．不等式()0f x >的解集为π{|04x x <<或3ππ}4x << B ．()f x 在区间[0,2π]上有五个零点 C ．()f x 的图象关于直线πx =对称D ．()f x三、填空题12．已知某个扇形的圆心角为135o ，弧长为3π2，则该扇形的半径为. 13．若0,0a b >>，且函数()32422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则212a b+的最小值为．14．已知函数π()2sin cos 0)232x x f x ωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间5π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上只有1个零点，且当2ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，则ω的取值范围是．四、解答题15．已知sin α()cos βα-π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. (1)求cos 2α，sin 2α； (2)求αβ+.16．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2(cos cos )c a B b A =- (1)求证：tan 3tan A B =； (2)求A B -的最大值．17．在ABC V 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2c b =，2sin 3sin 2A C =．(1)求ab的值；(2)若ABC V AB 边上的高．18．已知函数π()sin(2)23f x x x a =-+的最大值为2．(1)求常数a 的值；(2)求函数()f x 的单调递减区间和对称轴方程；(3)把函数()f x 的图象先向右平移π3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象．若方程1()3g x =在(0,π)上恰好有两个不同的根1212,()x x x x <，求12sin(22)x x -的值．19．已知函数()e cos xf x x x =--(1)求()f x 在(),2ππ-上的极值； (2)判断函数()()g x f x x =-在,2π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的零点个数．。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学九年级上学期期中学情评估数学试卷(五四制)
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学九年级上学期期中学情评估数学试卷（五四制）1.下列计算正确的是（）A．2 a•3 a =6 a B．（﹣a3）2 = a6C．6 a ÷2 a =3 a D．（﹣2 a）3 =﹣6 a32.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3.下列关系式中，属于二次函数的是（）A．B．C．D．4.如图，在中，，则等于（）A．B．C．D．5.抛物线y＝﹣3（x﹣4）2+5的顶点坐标是（）A．（4，5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（﹣4，﹣5）6.把二次函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位所得图象的函数表达式是（）A．B．C．D．7.在中，，则（）．A．B．C．D．8.如图，在中，，点F在边上，，将绕点A顺时针旋转得到，若边刚好经过点F，则旋转角的度数为（）A．B．C．D．9.已知：在中，点D为上一点，过点D作的平行线交于点E，过点E作的平行线交于点F，连接，交于点K，则下列说法不正确的是（）A．B．C．D．10.一辆汽车由A地匀速驶往相距300千米的B地，汽车的速度是100千米/小时，那么汽车距离A地的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系用图象表示为（）A．B．C．D．11.将1 027 000用科学记数法表示为_______________．12.函数中，自变量的取值范围是_______________．13.计算的结果是_______________．14.把多项式分解因式的结果是__________．15.不等式组的解集为_______________．16.方程的解是_____．17.二次函数y＝x2＋4x－7的最小值为_____．18.一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的半径是__________．19.在矩形中，，点E在上，连接，若是以为腰的等腰三角形，则的度数为___________．20.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°,过点B作BQ∥AC,在BQ上取一点D，连接CD、AD,若AC=CD,BD=,则 AD=_______________．21.先化简，再求值：，其中．22.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上.（1）在图中画以EF为直角边的等腰直角△DEF，点D在小正方形的格点上；（2）在（1）的条件下，在图中画一个Rt△BAC，点C在小正方形的格点上;使∠BAC=90°，且△BAC的面积为2，连接CD，直接写出线段CD的长.23.哈市某区对初四的数学教师试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项，评价组随机抽取了若干名初四学生的参与情况，绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息解答下列问题：(1)在这次评价中，一共抽查了多少名学生；(2)通过计算请将条形统计图补充完整；(3)如果该区有6000名初四学生，那么估计在试卷讲评课中，“独立思考”的学生约有多少人？24.在菱形中，P、Q分别是边的中点，连接．(1)如图（1），求证：；(2)如图（2），连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有余弦值为的角．25.禹驰商店决定购进 A、B 两种纪念品．若购进 A 种纪念品 8 件，B 种纪念品 3 件，需 950元；若购进 A 种纪念品 5 件，B 种纪念品 6 件，需 800 元．（1）求购进 A、B 两种纪念品每件各需多少元?（2）若禹驰商店决定购进这两种纪念品共 100 件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这 100 件纪念品的资金不超过 7650 元，求禹驰商店至多购进 A 种纪念品多少件?26.如图，是的直径，点在上，与相切交的延长线于点．(1)求证：；(2)点是弧的中点，连接，过点B作于点H，延长交于点P，求证：；(3)在（2）的条件下，若，求线段的长度．27.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，抛物线经过A、B两点．(1)求抛物线的解析式；(2)C是抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转，当点A的对称点D恰好落在第四象限的抛物线上时，求点D的坐标；(3)在（2）的条件下，设直线与抛物线对称轴交于点G，连接，P是抛物线对称轴上一点，过点P作x轴的平行线交于点M，交于点N，连接，设点P的纵坐标为t，当时，求t的值．。
黑龙江省哈尔滨市道里区群力经纬中学2022-2023学年九年级上学期期中阶段测试数学试卷
黑龙江省哈尔滨市道里区群力经纬中学2022-2023学年九年级上学期期中阶段测试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A．B．
C．D．
4
DH CH GE CG AF HG FH BF
二、填空题
三、解答题
23．某社区为了调查居民对“物业管理”的满意度，随机抽取了部分居民做问卷调查，用“A”表示“相当满意”，B表示“满意”，C表示“比较满意”，D表示“不满意”，如图1，图2是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
(1)本次问卷调查，共调查了多少人？
(2)通过计算，将图2中“B”部分图形补充完整
(3)如果该社区有居民3000人，请你估计该社区居民对物业管理感到不满意的有多少人？
24．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，BP AC
∥，∥
CP BD．
；
(1)求证：OP AD
(2)不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的平行四边形．
25．已知每本甲图书的进价比每本乙图书的进价少20元，花540元购进甲图书的数量与花780元购进乙图书的数量相同．
(1)求甲乙两种图书每本的进价分别是多少元？
(2)某中学计划购进甲、乙两种图书共70本，总购书费用不超过3550元，则至少购进甲图书多少本？
26．如图，BC是圆O的直径，A、D为圆上不同于A、B的两点，并且A、D位于直。
2022年黑龙江省哈尔滨市中考数学真题(解析版)
【答案】
【解析】
【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据中位线性质，求出OF的长．
【详解】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若民海中学共有1600名学生，请你估计该中学最喜欢球类的学生共有多少名．
【答案】（1）80（2）作图见解析
（3）480
【解析】
【分析】（1）利用操舞类的人数以及操舞类学生所占调查人数的比例，可求出抽取的总人数．
（2）根据总人数以及其他类学生的人数可计算出武术类学生人数，进而将统计图补充完整即可．
19.一个扇形的面积为 ，半径为 ，则此扇形的圆心角是___________度．
【答案】70
【解析】
【分析】设扇形的圆心角是 ，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
【详解】解：设扇形的圆心角是 ，根据扇形的面积公式得：
解得n=70．
故答案 ： ．
【点睛】此题主要考查扇形的面积公式，解题的关键是熟知扇形的面积公式的运用.
【答案】A
【解析】
【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算逐项验证即可得到结论．
【详解】解：A、根据积的乘方运算、幂的乘方运算法则可知 ，该选项符合题意；
B、根据合并同类项运算可知 ，该选项不符合题意；
C、根据幂的乘方运算可知 ，该选项不符合题意；
D、根据同底数幂的乘法运算可知 ，该选项不符合题意；
哈尔滨市道外区107中学2022-2023学年度上学期九年级11月学情测试数学(五四制)学科试卷
哈107中学九年级十一月学情测试题2022.11.30数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.2-的倒数是（）A ．12 B.12-C.2D.2-2．下列计算中，结果正确的是（）A．236a a a=·B．()326aa =C．()()26a a a=·3D．623a a a÷=3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4.由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）5．如果将抛物线y=x 2+2先向下平移1个单位，再向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是（）A、y=（x-1）2+1B、y=（x+1）2+1C、y=x 2+1D、y=（x+1）2-16．在反比例函数1k y x-=的图象经过点（2,3），则k 的值是（）．A．6B．-6C．5D．77.方程132-=x x 的解为（）A．2B．-2C．5D．12-8.如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直径，∠BCD=120°，过D 点的切线PD 与直线AB 交于点P ，则∠ADP 的度数为（）A ．40°B ．35°C ．30°D ．45°9．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．ACAEAB AD =B．CBCACF CE =C．BDADBC DE =D．CBCF AB EF =10.在运动会径赛中,甲、乙同时起跑,刚跑出200m,甲不慎摔倒,他又迅速地爬起来继续投入比赛,若他们所跑的路程y(m)与比赛时间x(s)的关系如图,有下列说法：①他们进行的是800m 比赛；②甲比乙先到达终点；③乙全程的平均速度为6.4m/s；④甲再次投入比赛后在第20题图距离终点300米时追上了乙．其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（每小题3分，共30分）11.哈尔滨市2021年末全市常住人口约为9885000人，用科学记数法可表示为_人12.在函数22xy x =-中，自变量x的取值范围是.13.化简计算：21283-=.14.分解因式：1822-x ＝.15．不等式组⎩⎨⎧≤-<-134062x x 的解集是．16.一件衣服原售价为每件100元，经过连续两次涨价后，现在售价为每件144元，如果平均每次涨价的百分率为x，则x的值为17．一个不透明的袋子里，装有5个小球，其中2个是黄色、3个是红色，这些小球除颜色外无其他差别，随机从袋子里摸出2个，2个都是黄色的概率为_______18.一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm²，则该扇形的半径为______cm 19．在△ABC 中，cos∠ABC=21,AB=4,AC=15,则边BC 的长为__________20．如图，在边长为6的正方形ABCD 中，G 是BC 中点，将△ABG 沿AG 翻折至△AFG,延长GF 交CD 于E,则DE=________三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题各10分，共计60分）21．先化简，再求代数式)312()341(2-++÷-+x x x x 的值，其中x=2sin45°-tan45°.第9题第8题第10题22．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上（1）画出以AB为腰的等腰直角△ABC（点C在小正方形的顶点上）（2）画出以AB为一边且面积为20的平行四边形ABDE,（点D、E都在小正方形的顶点上）．连接CE，请直接写出线段CE的长。
哈尔滨市十七中学2017-2018年11月份 九年级阶段教学质量检测数学试卷(word无答案)
哈尔滨市十七中学2017-2018年11月份九年级阶段教学质量检测数学试卷（word无答案）十七中学九年级教学质量检测数学试卷出题教师：尹超审题教师：张静2017.11一、选择题（每小题3 分，共计30 分）1. 6 的相反数是( ).A.-6B.16 C.16- D. 62. 下列计算正确的是（）A. a3 +a3 =a6B. 3a -a =3C. (a3 ) 2 =a5D. a ⋅a2 =a33. ( ).A. C. D.4. 如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则这个几何体的主视图是( ).5. 在函数y＝12x图象上的点是( )A. (-2，6)B. (2，6)C. (3，-4)D. (-3，4)6. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处，热气球A 120m，则这栋楼的高度为( ).A．B．m C．300m D．m7. 如图，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于D，连接CD，CD＝( ).A. 3B. 4C. 4.8D. 58. 关于□ABCD 的叙述，正确的是( ).A．若AB⊥BC，则□ABCD 是菱形B．若AC⊥BD，则□ABCD 是正方形C．若AC=BD，则□ABCD 是矩形D．若AB=AD，则□ABCD 是正方形9. 如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在哈尔滨市十七中学2017-2018年11月份九年级阶段教学质量检测数学试卷（word无答案）矩形内点F 处，连接CF，则CF 的长为( ).A.95B.125 C.165 D.18510. 甲、乙沿同条路同时从学校出发去科技馆，甲骑自行车，乙步行，当甲以原速从原路回到学校时， 乙刚好到达科技馆，图中折线 O →A →B→C 和线段 OD 分别表示他们离学校的路程 S （米）与时间 t （分）间的函数关系，则下列结论中：（1）学校与科技馆的路程是 600 米；（2）甲在科技馆查阅资料 的时间为 5 分钟；（3）甲骑车的速度为 120 米/分钟；（4）甲与乙迎面相遇时乙离学校 500 米； （5）甲到达科技馆时乙才走了 200 米，正确的个数有( )个 A.1 B.2 C.3 D.49 题图二、填空题（每小题 3 分，共计 30 分）10 题图11.地球的平均半径约为 6 371 000 米，该数字用科学记数法可表示为 _. 12.在函数 y =33x -中，自变量 x 的取值范围是 . 13.分解因式：x 3﹣4x=. 14.不等式组2112x x -≥-⎧⎨+-⎩f 的解集为.15.已知扇形的圆心角为 60°，弧长为 2π，则此扇形的半径为 .16.某加工厂九月份加工了 20 吨干果，十一月份加工了 45 吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增 长率为 .17.已知△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交成 50°的角，则△ABC 底角的 度数为 .18.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于 D ，CE ⊥AB 于 E ，且 AE ＝CE ，若 CD=3，则 AF 长度为. 19.小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块正方形的地砖上，则它停在白色地砖上的概率是. 20.如图，Rt △ ABC 中，∠ACB=90°，D 为∠ABC 平分线上一点，BD 交 AC 于点 E ，分别连接 AD 、CD ，且∠ACD=45°，若 AD= 2，CE=3，则BD 的长为.三、解答题（其中21-22 题各7 分，23-24 题各8 分，25-27 题各10 分，共计60 分）21. 先化简，再求值：2121(1)22x xx x++-÷++，其中x =2c os 30︒ - tan45︒22. 图①、图②是两张相同的每个小正方形的边长均为1 的方格纸，点A、B、C、D 均在小正方形的顶点上；(1)在图①中画出以线段AB 为一条边的菱形ABEF,且菱形ABEF 的面积为20(E、F 点都必须在小正方形顶点上）；(2)在图②中画出以CD 为对角线的矩形CGDH，且矩形CGDH 的面积为10，并直接写出矩形CGDH 的周长为. (G、H 点都必须在小正方形顶点上）。
黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．C．D．．方程121x x=-的解是（）0x=B．1x=2x=．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点=40°．则∠ABD的度数是（）A ．50︒7．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点同时测得BC=20米，则树的高A ．020sin 378．已知点A （2，y 1）、的大小关系为（）A ．y 1＞y 29．如图，在ABC 中，点，连接AF 交DE 于点二、填空题三、解答题21．先化简，再求代数式22．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长均为在小正方形的顶点上，点(1)将△ABC绕着点OF），画出△DEF(2)连接BD，画出△BDG(3)连接FG，直接写出23．为了让学生适应社会发展的需要，某校积极开展劳动技术教育．该校想要了解目前九年级学生的劳动技术水平，试调查，将测试成绩按整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：(1)本次调查共抽取了多少名学生？(2)通过计算补全条形统计图；(3)若该校九年级共有1000名学生，请估计该校九年级共有多少名学生的劳动技术水平等级达到优秀．24．已知：在ABCD Y 中，连接对角线AC 、BD ，AC 平分BAD ∠．(1)如图1，求证：AC BD ⊥；(2)如图2，过点D 作DE BD ⊥交BC 延长线于点E ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与CDE 面积相等的三角形（CDE 除外）25．XH 中学为奖励在趣味运动会上取得好成绩的学生，计划购买甲、乙两种奖品，若购买甲种奖品5件，乙种奖品15件，需花费650元，若购买甲种奖品4件，乙种奖品5件，需花费310元．(1)求甲、乙两种奖品每件多少元？(2)如果购买甲、乙两种奖品共20件，总花费不超过700元，求XH 中学最多购买甲种奖品多少件？26．已知：AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB CD ⊥于F ，点E 在弧BD 上，连接、、DE CE AE ．。
黑龙江省哈尔滨市宣庆中学2018——2019学年度上学期九年级期中测试题数学(无答案)
2018——2019学年度上学期九年级期中测试题数学 试卷第Ⅰ卷 选择题（共30分）一、选择题（每小题3分，共计30分）1．在-2,-1,0,2这四个数中，最大的数是( )A.-2B.-1C.0D.22.下列运算正确的是( )A.2-1=-2B.m 6÷m 2=m 4C.9=±3D.(mn 3)3=mn 6 3.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )4.已知点M(-2,3)在双曲线y=xk上，则下列各点一定在该双曲线上的是( ) A.(-2,-3) B.(3,-2) C.(2,3) D.(3,2)5.要得到y ＝－2(x ＋2)2－3的图象，需将抛物线y ＝－2x 2作如下平移( ) A ．向右平移2个单位，再向上平移3个单位 B ．向右平移2个单位，再向下平移3个单位 C ．向左平移2个单位，再向上平移3个单位 D ．向左平移2个单位，再向下平移3个单位6.如图，AC 是电线杆AB 的一根拉线，测得BC 的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC 的长为( )A.︒50sin 6米 B.︒50tan 6米 C.6cos50°米 D.︒50cos 6米 7.如图，点F 是矩形ABCD 的边CD 上一点，射线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是( )A.AB DF EA ED = B.FBFEBC DE =C.BE BF DE BC = D.AEBCBE BF =8.某商品原价168元，经过连续两次降价后的售价为128元，设平均每次降价的百分数为x ，则下面所列方程中正确的是( )A.168（1+x)2=128B.168（1-x)2=128C.168（1-2x)2=128D.168（1-x 2)=1289.如图，等腰三角形ABC 的周长为21，底边BC 的长为5，腰AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则三角形BEC 的周长为( )A.11B.12C.13D.1410.如图，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直，若小正方形边长为x ，且0＜x ≤10，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间的函数关系的大致图象是( )第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题3分，共计30分）11.将1 608 000 000用科学记数法表示为______.12.在函数中，自变量x 的取值范围为______.13.若两个相似多边形的面积比是16∶25，则它们的周长比等于______．14.把多项式3a 2-6ab+3b 2分解因式的结果是______.15.某抛物线和抛物线y ＝－2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是 (－1，3)，则该抛物线的解析式为______________.2312y ++=x x16.不等式组⎩⎨⎧≥+->x x xx 353102的解集为______.17.如图，P 是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的解析式是______．18．在△ABC 中，AB=AC=8，作AB 边的垂直平分线，交AB 边于点D ，交直线AC 于点E ，若DE=3，则线段CE 的长为_______．19．如图，菱形ABCD ，对角线AC=8cm,DB=6cm,DH ⊥AB 于点H ，则DH=_______cm ． 20．如图，在四边形ABCD 中，∠A=120°，∠C=60°,AB=2,AD=DC=4，则BC 边的长为_______．19题图 20题图三、解答题21．(本题7分)先化简，再求代数式的值，其中a=2cos30°—2，b=—2tan45°22.(本题7分)在边长为1的小正方形网格中，△AOB 的顶点均在格点上。
黑龙江省哈尔滨市部分学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
黑龙江省哈尔滨市部分学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．﹣3的相反数是（）A ．13-B ．13C ．3-D ．32．下列各式运算正确的是（）A ．33mn n m -=B ．33y y y ÷=C ．()236x x =D ．236a a a = 3．下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．如图，在圆O 中，圆心角80BOC ∠=︒，则圆周角BAC ∠=（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒5．反比例函数3m y x-=（其中3m ≠），当0x >时，y 随x 的增大而增大，那么m 的取值范围是（）A ．3m <B ．3m >C ．3m <-D ．3m >-6．关于x 的二次函数()212y x =--+，下列说法正确的是（）A ．图象的开口向上B ．图象与y 轴的交点坐标为()0,2A．78．如图，四边形ABCD 连接BF、EF，BFA．FG DHBG CE=B．DGAG=9．关于圆有如下的命题：①平分弦的直径垂直于弦；②不在同一直线上的三个点确定一个圆；③三角形的内心到三角形三条边的距离相等；④圆的切线垂直于半径；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．个．A．2B．310．甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售，活动期间，某顾客的草莓采摘量为千克，若在甲园采摘需总费用1y数图象如图所示，则下列说法中错误的是（A．乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克B．甲园的门票费用是60元C．乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠D．顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多二、填空题19．在平行四边形ABCD周长等于．20．如图，平行四边形三、解答题21．先化简，再求值：22 1a a -⎛-⎝22．如图，在78⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为C均在小正方形的顶点上．(1)将线段AB绕着点C逆时针旋转请画出线段DE；(2)在（1）的条件下，连接AEADEF，并直接写出平行四边形23．某中学八年级学生对本校学生会倡导的调查，得到了一组学生捐款情况的数据，下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3：共有42人（1）求他们一共调查了多少人？（2）这组数据的众数和中位数各是多少？(1)如图1，求证：四边形AFCE 是菱形；(2)如图2．若F 是BC 的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与四边形AFCE 面积相等的所有三角形和四边形（四边形AFCE 除外）25．乐乐商店准备从希望机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元，用4000元购进甲种零件的数量是用零件的数量的2倍.(1)求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？(2)乐乐商店将甲种零件每件售价定为260元，乙种零件每件售价定为市场需求，决定向该厂购进一批零件。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一上学期10月月考 数学试卷(含答案)
哈九中2024级高一学年10月月考数学试卷（时间：120分钟 满分：150分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列表示正确的是（）A. B. C.2.若集合，则应满足（）A. B. C. D.3.对于集合，若不成立，则下列理解正确的是（）A.集合的任何一个元素都属于B.集合的任何一个元素都不属于C.集合中至少有一个元素属于D.集合中至少有一个元素不属于4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件5.若命题是假命题，则实数的取值范围是（）A.B.C. D.6.若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）A. B. C. D.7.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形（边长可以为0）拼成的一个大正方形.若直角三角形的直角边长分别为和，则该图形可以完成的无字证明为（ ）*0∈N 12∈Z π∈Q R{},A x x =-x 0x >0x <0x =0x ≤,A B B A ⊆B AB AB AB Ax ∈R 05x <<01x <<2:,40p x x x a ∃∈++=R a 04a <<4a >0a <4a ≥()y f x =[]1,2y f=[]1,2⎡⎣[]1,4[]2,4a bA.B.8.若函数的部分图象如图所示，则（ ）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.下列各组函数表示不同函数的是（）A.B.C.D.)0,02a b a b +≥>>()2220,0a b ab a b +≥>>()20,011a b a b ≥>>+()0,02a b a b +≥>>()22f x ax bx c=++()1f =23-112-16-13-()()0,f x g x ==+()()01,f x g x x==()()f x g x x==()()211,1x f x x g x x -=+=-10.已知，则下列命题正确的是（ ）A.若且，则B.若，则C.若，则D.若且，则11.已知集合，则可能是（ ）A. B.C.或 D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，则__________.13.若正数满足，则的最小值是__________.14.表示不大于的最大整数，例，则的的取值范围__________，方程的解集是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题13分）已知集合（1）求；（2）若，求实数的取值范围.16.（本题15分）已知函数的解析式（1）求（2）画出的图像，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）.,,a b c ∈R 0ab ≠a b <11a b >01a <<2a a<0a b >>11b b a a+>+c b a <<0ac <22bc ac <(){}{}2110,1,0A x ax a x a B x x =-++><=>∣∣A B ⋂10x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{01}x x <<∣{01x x <<∣1x a ⎫>⎬⎭11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{}{}2340,230A xx x B x x =+-<=+≥∣∣A B ⋂=,x y 35x y xy +=34x y +[]x x ][2.32, 5.66⎡⎤=-=-⎣⎦[]2x =x []22x x ={}20,21,2x A xB x a x a a x ⎧⎫-=≤=≤≤+∈⎨⎬+⎩⎭R ∣A B A ⊆a ()f x ()350501281x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<<⎨⎪-+>⎩12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x（3）若，求的值.17.（本题15分）（1）已知关于的不等式的解集为，求的解集；（2）若不等式对于任何实数恒成立，求实数的取值范围.18.（本题17分）已知函数，且（1）求的解析式；（2）已知：当时，不等式恒成立；：当时，是单调函数，若和只有一个是真命题，求实数的取值范围.19.（本题17分）若存在实数使得，则称是区间的一内点.（1）若是区间的一内点，求的值；（2）求证：的充要条件是存在，使得是区间的一内点；（3）给定实数，若对于任意区间是区间的一内点，是区间的一内点，且不等式和不等式对于任意都恒成立，求证：()2f a =a x 220ax x c ++>11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭220cx x a -+->()()()211310m x m x m +--+->x m ()2f x x bx c =++()()()11,02f x f x f +=-=-()f x ,a p ∈R 01x <<()32f x x a +<+q []2,2x ∈-()()g x f x ax =-p q a ()0,1λ∈()1x a b λλ=+-x (),()a b a b <λ2x =()1,3λλ(),x a b ∈()0,1λ∈x (),a b λ()0,1ω∈()1,(),a b a b x <1λ2x 2λ()22211x a b ωω≤+-()22221x a b ωω≤-+a b ∈R ､121λλ+=答案1-8DADB BCBD9.ABD 10.BCD11.BC 12. 13.5 14.；15.（1）由题意得，解得，则.（2）因为，当时，，解得，满足题意，当时，因为，所以，解得，综上所述，实数的取值范围为.16.【详解】（1）解：因为，所以，则.（2）解：如图所示，当时，函数最大值为6，无最小值，所以值域为单调递增区间，单调递减区间最大值无法取到（3）解：当时，，解得；当时，，解得，不符合题意；当时，，解得，综上所述，或3.17.（1）由题意得：是方程的两个根，3,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭[)2,3{}2()()22020x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩22x -<≤{22}A xx =-<≤∣B A ⊆B =∅21a a >+1a <-B ≠∅B A ⊆212212a a a a ≤+⎧⎪>-⎨⎪+≤⎩112a -≤≤a 1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦1012<<111122f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1x =(),6∞-(],1∞-[)1,∞+0a ≤()352f a a =+=1a =-01a <≤()52f a a =+=3a =-1a >282a -+=3a =1a =-11,32-220ax x c ++=所以，解得，所以不等式即为，即，解得，所以不等式的解集为.（2）因为不等式对任何实数恒成立，①当即时，不等式为，不满足题意，舍去，②当时，则解得，综上所述，实数的取值范围为.18.（1）因为，则的对称轴是，解得，又因为，所以.（2）若为真，，则对任意的恒成立，可知的图象开口向上，对称轴为，可知在内单调递减，且，则；若为真，，可知的图象开口向上，对称轴为，因为在内是单调函数，则或，解得或；120931104a c a c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩122a c =-⎧⎨=⎩220cx x a -+->222120x x -++>()()2230x x -+->23x -<<{23}xx -<<∣()()()211310m x m x m +--+->x 10m +=1m =-260x ->1m ≠-()()210Δ(1)12110m m m m +>⎧⎨=--+-<⎩1m >m ()1,∞+()()11f x f x +=-()f x 12b x =-=2b =-()02f c ==-()222f x x x =--p ()32f x x a +<+()22341a f x x x x >-+=-+()0,1x ∈()241h x x x =-+2x =()241h x x x =-+()0,1()01h =1a ≥q ()()()222g x f x ax x a x =-=-+-()g x 22a x +=()g x []2,2-222a +≤-222a +≥6a ≤-2a ≥若与真假性相反，则或，解得或，所以实数的取值范围为或.19.解：（1）（2）①若是区间的一内点，则存在实数使得，，则，②若，取，则，且，则是区间的一内点，故的充要条件是存在，使得是区间的一内点；（3）因为是区间的一内点，则，则恒成立，则恒成立，当时，上式不可能恒成立，因此，所以，即，即同理，故.p q 162a a ≥⎧⎨-<<⎩162a a a <⎧⎨≤-≥⎩或6a ≤-12a ≤<a 6a ≤-12a ≤<12λ=x (),()a b a b <λ()0,1λ∈()1x a b λλ=+-()()()1,x a b a b b a b λλλ=+-=-+∈(),x a b ∈b x b a λ-=-()1x a b λλ=+-01b x b a b a b a--<<=--x (),()a b a b <λ(),x a b ∈()0,1λ∈x (),a b λ1x 1λ()1111x a b λλ=+-()()2221111a b a b λλωω⎡⎤+-≤+-⎣⎦()()()2222211111220a ab b ωλλλλλω---+-+-≥210ωλ-≤210ωλ->()()()222211111Δ4420λλωλλλω=----+-≤()210λω-≤1,λω=21λω=-121λλ+=。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市巴彦县九年级(上)期中数学试卷(含解析)
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市巴彦县九年级（上）期中数学试卷第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知点A 的坐标为(2,3)，O 为坐标原点，连接OA ，将线段OA 绕点A 按顺时针方向旋转90°得AB ，则点B 的坐标为( )A. (5,1)B. (−3,2)C. (−1,5)D. (3,−2)2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.等边三角形B.平行四边形C.正方形D.正五边形3. 一元二次方程x 2−kx −9=0的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 不能确定4. 某商品经过连续两次涨价，售价由原来的每件100元涨到每件144元，设平均每次涨价的百分率为x ，则满足条件的方程为( )A. 100(1+x%)2=144B. 100(1+x)2=144C. 100(1+x 2)=144D. 100x 2=1445. 将抛物线y =2x 2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为( )A. y =2(x +3)2+2B. y =2(x +3)2C. y =2(x −3)2+2D. y =2(x −3)26. 下列说法中，正确的是( )A. 经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C. 如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等D. 同弧或等弧所对的圆周角相等7. 关于x 的方程(m 2−1)x 2+2(m −1)x +1=0有实数根，则m 的取值范围是( )A. m <1B. m ≤1C. m >1D. m ≥18. 如图，在⊙O 中，AB//OC ，若∠OBA =50°，则∠BAC的度数是( )A. 50°B. 30°C. 25°D. 20°9. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，将△ACB 绕点C 逆时针旋转到△CDE的位置，当CD ⊥AB 时，连接AE ，则∠CAE 的度数为( )A. 45°B. 60°C. 65°D. 75°10. 周日，东东从家步行到图书馆查阅资料，查完资料后，东东立刻按原路回家．已知回家时的速度是去时速度的1.5倍，在整个过程中，东东离家的距离s(单位：m)与他所用的时间t(单位：min)之间的关系如图所示，则东东在图书馆查阅资料的时间为( )A. 55minB. 40minC. 30minD. 25min……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共10小题，共30分）11. 地球赤道直径约为12800000米，用科学记数法表示为______米． 12. 函数y =2x√x−3中自变量x 的取值范围是______． 13. 在平面直角坐标系中，已知点A(a,2)和点B(−3,b)关于原点对称，则ab =______． 14. 若x =1是方程x 2−kx +3=0的一个根，那么k 的值等于______． 15. 抛物线y =−3(x +2)2−3的对称轴是______． 16. 如图，AB 切⊙O 于点A ，连接OB 交⊙O 于点D ，点C 为⊙O 上一点，∠ACD =25°，则∠B 的度数为______度．17. 一个扇形的弧长是10πcm ，圆心角是150°，则此扇形的半径是______cm ． 18. 在一个不透明的袋子里装有大小和形状相同的2个白球和3个红球，先从袋中摸出一个球不放回，混合均匀后再摸出一个球，则两次摸到的球中都为红球的概率为______．19. 已知正方形ABCD 的边长为8，点E 为正方形边上一点，CE =14AB ，则线段BE 的长为______．20. 如图，已知▱ABCD 中，AF 垂直平分DC ，且AF =DC ，点E 为AF 上一点，连接BE 、CE ，若∠CEF =2∠ABE ，AE =2，则AD 的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共7分）21. 先化简，再求代数式(1−4x+2)÷x 2−4x+42x+4的值，其中x =√3+2．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………四、解答题（本大题共6小题，共53分。
2022年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷和答案解析
2022年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷和答案解析一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3分）的相反数是（）A．B．C．6D．﹣62．（3分）下列运算一定正确的是（）A．（a2b3）2＝a4b6B．3b2+b2＝4b4C．（a4）2＝a6D．a3•a3＝a93．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A．B．C．D．5．（3分）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（）A．（9，﹣3）B．（﹣9，﹣3）C．（9，3）D．（﹣9，3）6．（3分）方程＝的解为（）A．x＝3B．x＝﹣9C．x＝9D．x＝﹣3 7．（3分）如图，AD，BC是⊙O的直径，点P在BC的延长线上，PA与⊙O相切于点A，连接BD，若∠P＝40°，则∠ADB的度数为（）A．65°B．60°C．50°D．25°8．（3分）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（）A．150（1﹣x2）＝96B．150（1﹣x）＝96C．150（1﹣x）2＝96D．150（1﹣2x）＝969．（3分）如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为（）A．B．4C．D．610．（3分）一辆汽车油箱中剩余的油量y（L）与已行驶的路程x（km）的对应关系如图所示．如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为（）A．150km B．165km C．125km D．350km二、填空题（每小题3分，共计30分）11．（3分）风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，用科学记数法表示为兆瓦．12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．13．（3分）计算+3的结果是．14．（3分）把多项式xy2﹣9x分解因式的结果是．15．（3分）不等式组的解集是．16．（3分）已知反比例函数y＝﹣的图象经过点（4，a），则a的值为．17．（3分）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是度．18．（3分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是．19．（3分）一个扇形的面积为7πcm2，半径为6cm，则此扇形的圆心角是度．20．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E 在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为．三、参考答案题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）21．（7分）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中x＝2cos45°+1．22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出△ADC，使△ADC与△ABC关于直线AC 对称（点D在小正方形的顶点上）；（2）在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形EFGH的面积为4，连接DH，请直接写出线段DH的长．23．（8分）民海中学开展以“我最喜欢的健身活动”为主题的调查活动，围绕“在跑步类、球类、武术类、操舞类四类健身活动中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢操舞类的学生人数占所调查人数的25%．请你根据图中提供的信息参考答案下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）若民海中学共有1600名学生，请你估计该中学最喜欢球类的学生共有多少名．24．（8分）已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E 是边AD上一点，连接BE，CE，OE，且BE＝CE．（1）如图1，求证：△BEO≌△CEO；（2）如图2，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D作AC的平行线交BE的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEF除外），使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等．25．（10分）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．（1）求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；（2）绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？26．（10分）已知CH是⊙O的直径，点A、点B是⊙O上的两个点，连接OA，OB，点D，点E分别是半径OA，OB的中点，连接CD，CE，BH，且∠AOC＝2∠CHB．（1）如图1，求证：∠ODC＝∠OEC；（2）如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC＝FH；（3）如图3，在（2）的条件下，点G是一点，连接AG，BG，HG，OF，若AG：BG＝5：3，HG＝2，求OF的长．27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+b 经过点A（，），点B（，﹣），与y轴交于点C．（1）求a，b的值；（2）如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为﹣2．过点D 向y轴作垂线，垂足为点E．点P为y轴负半轴上的一个动点，连接DP，设点P的纵坐标为t，△DEP的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，连接OA，点F在OA上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接DF交y轴于点G，点G为DF的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连接CN，PB，延长PB交AN于点M，点R在PM 上，连接RN，若3CP＝5GE，∠PMN+∠PDE＝2∠CNR，求直线RN的解析式．参考答案与解析一、选择题（每小题3分，共计30分）1．【参考答案】解：的相反数是﹣，故选：B．【解析】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．【参考答案】解：A、（a2b3）2＝a4b6，原计算正确，故此选项符合题意；B、3b2+b2＝4b2，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（a4）2＝a8，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a3•a3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A．【解析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟记幂的运算法则是参考答案本题的关键．3．【参考答案】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【解析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．【参考答案】解：由题意知，题中几何体的左视图为：故选：D．【解析】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握三视图的方法是解题的关键．5．【参考答案】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），故选：B．【解析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．6．【参考答案】解：＝，2x＝3（x﹣3），解得：x＝9，检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0，∴x＝9是原方程的根，故选：C．【解析】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．7．【参考答案】解：∵PA与⊙O相切于点A，∠P＝40°，∴∠OAP＝90°，∴∠BOD＝∠AOP＝90°﹣∠P＝50°，∵OB＝OD，∴∠ADB＝∠OBD＝（180°﹣∠BOD）÷2＝（180°﹣50°）÷2＝65°，故选：A．【解析】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．8．【参考答案】解：第一次降价后的价格为150×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为150×（1﹣x）×（1﹣x），则列出的方程是150（1﹣x）2＝96．故选：C．【解析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．9．【参考答案】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝，即＝，∴BE＝1.5，∴BD＝BE+DE＝4.5．故选：C．【解析】本题考查三角形相似判定和性质，利用这些知识是解题的关键．10．【参考答案】解：当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为：（50﹣35）×（500÷50）＝150（km），故选：A．【解析】本题考查了函数的图象，由题意得出汽车行驶10km耗油1L是参考答案本题的关键．二、填空题（每小题3分，共计30分）11．【参考答案】解：数字253000用科学记数法可表示为2.53×105．故答案为：2.53×105．【解析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．【参考答案】解：由题意得：5x+3≠0，∴x≠﹣，故答案为：x≠﹣．【解析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不能为0是解题的关键．13．【参考答案】解：原式＝+3×＝＝2．故答案为：2．【解析】此题考查的是二次根式的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．14．【参考答案】解：xy2﹣9x＝x（y2﹣9）＝x（y+3）（y﹣3），故答案为：x（y+3）（y﹣3）．【解析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．15．【参考答案】解：解不等式3x+4≥0，得：x≥﹣，解不等式4﹣2x＜﹣1，得：x＞，则不等式组的解集为x＞，故答案为：x＞．【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是参考答案此题的关键．16．【参考答案】解：点（4，a）代入反比例函数y＝﹣得，a＝﹣＝﹣，故答案为：﹣．【解析】考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入函数关系式是常用的方法．17．【参考答案】解：当△ABC为锐角三角形时，如图，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；当△ABC为钝角三角形时，如图，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．综上所述，∠BAC＝80°或40°．故答案为：80或40．【解析】本题主要考查三角形内角和定理，注意到分类讨论是解题关键．18．【参考答案】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的结果有2种，∴一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率为＝，故答案为：．【解析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．【参考答案】解：设扇形的圆心角为n°，则，∴n＝70，故答案为：70．【解析】本题考查扇形面积公式，解题关键是掌握扇形面积公式．20．【参考答案】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，∴AE＝＝＝5，∴BE＝AE＝5，∴BO＝8，∴BC＝＝＝4，∵点F为CD的中点，BO＝DO，∴OF＝BC＝2，故答案为：2．【解析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．三、参考答案题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）21．【参考答案】解：（﹣）÷＝＝＝，当x＝2cos45°+1＝2×+1＝+1时，原式＝＝．【解析】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，参考答案本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．22．【参考答案】解：（1）如图，△ADC即为所求；（2）如图，▱EFGH即为所求；由勾股定理得，DH＝＝5．【解析】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，平行四边形的性质，勾股定理等知识，准确画出图形是解题的关键．23．【参考答案】解：（1）20÷25%＝80（名），答：一共抽取了80名学生；（2）80﹣16﹣24﹣20＝20（名），补全条形统计图如下：（3）1600×＝480（名），答：估计该中学最喜欢球类的学生共有480名．【解析】本题考查条形统计图、用样本估计总体，参考答案本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想参考答案．24．【参考答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∴OB＝OC＝OA＝OD，∵BE＝CE，OE＝OE，∴△BEO≌△CEO（SSS）；（2）解：△DHE，△CHO，△DEG，△BFO都与△AEF的面积相等，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠CDA＝90°AB∥CD，AB＝DC，∵BE＝CE，∴Rt△BAE≌Rt△CDE（HL），∴∠AEB＝∠DEC，AE＝DE，∵OA＝OD，∴∠OEA＝∠OED＝90°，∴∠BAD＝∠OED＝90°，∠ADC＝∠AEO＝90°，∴AB∥OE，DC∥OE，∴△AEO的面积＝△BEO的面积，△DEO的面积＝△COE的面积，∴△AEO的面积﹣△EFO的面积＝△BEO的面积﹣△EFO的面积，△DEO的面积﹣△EHO的面积＝△COE的面积﹣△EHO的面积，∴△AEF的面积＝△BFO的面积，△DHE的面积＝△CHO的面积，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴△AEF的面积＝△DHE的面积＝△CHO的面积，∵DG∥AC，∴∠G＝∠AFE，∠GDE＝∠FAE，∴△AEF≌△DEG（AAS），∴△AEF的面积＝△DEG的面积，∴△DHE，△CHO，△DEG，△BFO都与△AEF的面积相等．【解析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．25．【参考答案】解：（1）设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，依题意得：，解得：．答：每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元．（2）设该中学可以购买m盒A种型号的颜料，则可以购买（200﹣m）盒B种型号的颜料，依题意得：24m+16（200﹣m）≤3920，解得：m≤90．答：该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料．【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．26．【参考答案】（1）证明：如图1，∵点D，点E分别是半径OA，OB的中点，∴OD＝OA，OE＝OB，∵OA＝OB，∴OE＝OD，∵∠AOC＝2∠CHB，∠BOC＝2∠CHB，∴∠AOC＝∠BOC，∵OC＝OC，∴△OCD≌△OCE（SAS），∴∠ODC＝∠OEC；（2）证明：∵CD⊥OA，∴∠CDO＝90°，由（1）知：∠ODC＝∠OEC＝90°，∴sin∠OCE＝＝，∴∠OCE＝30°，∴∠COE＝60°，∵∠H＝∠COE＝30°，∴∠H＝∠OCE，∴FC＝FH；（3）解：∵CO＝OH，FC＝FH，∴FO⊥CH，∴∠FOH＝90°，如图，连接AH，∵∠AOC＝∠BOC＝60°，∴∠AOH＝∠BOH＝120°，∴AH＝BH，∠AGH＝60°，∵AG：BG＝5：3，∴设AG＝5x，BG＝3x，在AG上取点M，使得AM＝BG，连接MH，过点H作HN⊥CM 于N，∵∠HAM＝∠HBG，∴△HAM≌△HBG（SAS），∴MH＝GH，∴△MHG是等边三角形，∴MG＝HG＝2，∵AG＝AM+MG，∴5x＝3x+2，∴x＝1，∴AG＝5，BG＝AM＝3，∴MN＝GM＝×2＝1，HN＝，∴AN＝MN+AM＝4，∴HB＝HA＝＝＝，∵∠FOH＝90°，∠OHF＝30°，∴∠OFH＝60°，∵OB＝OH，∴∠BHO＝∠OBH＝30°，∴∠FOB＝∠OBF＝30°，∴OF＝BF，在Rt△OFH中，∠OHF＝30°，∴HF＝2OF，∴HB＝BF+HF＝3OF＝，∴OF＝．【解析】本题是圆的综合题，考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．27．【参考答案】解：（1）∵抛物线y＝ax2+b经过点A（，），点B（，﹣），∴，解得：，故a＝，b＝；（2）如图1，由（1）得：a＝，b＝，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣，∵点D在该抛物线上，点D的横坐标为﹣2，∴y＝×（﹣2）2﹣＝，∴D（﹣2，），∵DE⊥y轴，∴DE＝2，∴E（0，），∵点P为y轴负半轴上的一个动点，且点P的纵坐标为t，∴P（0，t），∴PE＝﹣t，∴S＝PE•DE＝×（﹣t）×2＝﹣t+，故S关于t的函数解析式为S＝﹣t+；（3）如图2，过点C作CK⊥CN，交NR的延长线于点K，过点K作KT⊥y轴于点T，由（2）知：抛物线的解析式为y＝x2﹣，当x＝0时，y＝﹣，∴C（0，﹣），∴OC＝，∵FH⊥y轴，DE⊥y轴，∴∠FHG＝∠DEG＝90°，∵点G为DF的中点，∴DG＝FG，∵∠HGF＝∠EGD，∴△FGH≌△DGE（AAS），∴FH＝DE＝2，HG＝EG＝HE，设直线OA的解析式为y＝kx，∵A（，），∴k＝，解得：k＝，∴直线OA的解析式为y＝x，当x＝2时，y＝×2＝，∴F（2，），∴H（0，），∴HE＝﹣＝，∴GE＝HE＝×＝，∵3CP＝5GE，∴CP＝GE＝×＝，∴P（0，﹣1），∵AN∥y轴，PN∥x轴，∴N（，﹣1），∴PN＝，∵E（0，），∴EP＝﹣（﹣1）＝，设直线BP的解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线BP的解析式为y＝x﹣1，当x＝时，y＝×﹣1＝，∴M（，），∴MN＝﹣（﹣1）＝，∵＝＝，＝＝，∴＝，又∵∠PNM＝∠DEP＝90°，∴△PMN∽△DPE，∴∠PMN＝∠DPE，∵∠DPE+∠PDE＝90°，∴∠PMN+∠PDE＝90°，∵∠PMN+∠PDE＝2∠CNR，∴∠CNR＝45°，∵CK⊥CN，∴∠NCK＝90°，∴△CNK是等腰直角三角形，∴CK＝CN，∵∠CTK＝∠NPC＝90°，∴∠KCT+∠CKT＝90°，∵∠NCP+∠KCT＝90°，∴∠CKT＝∠NCP，∴△CKT≌△NCP（AAS），∴CT＝PN＝，KT＝CP＝，∴OT＝CT﹣OC＝﹣＝2，∴K（，2），设直线RN的解析式为y＝ex+f，把K（，2），N（，﹣1）代入，得：，解得：，∴直线RN的解析式为y＝﹣x+．【解析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加辅助线构造相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数，用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．。
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黑龙江省哈尔滨市九年级11月月考（期中）数学试卷
数 学 试 卷
考生须知：
1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟。
2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题 卡上填写清楚。
3.请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书 写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效。
4.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹 的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。
5.保持卡面整洁、不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修 正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡）
一、选择题（每题3分，共计30分）
1.我市10月份某天的最高气温是6℃，最低气温是－2℃，那么这天的温差（最高气温减 最低气温）是（ ）
A.－2℃
B.8℃
C.－8℃
D.2℃ 2.下列运算正确的是（ ）
A.651a a -=
B.235325a a a +=
C.826a a a =⋅
D.23
5
()a a = 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（ ）
5．反比例函数y= - x
k 2
(k 为常数，k ≠0)的图象位于（ ）
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
6.如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O 点30m 的点A 处，测得楼顶B 点的仰角∠OAB ＝65°，则这幢大楼的高度为（ ）
A.
︒⋅65sin 30 B.︒65cos 30 C.︒⋅65tan 30 D.︒
65tan 30
7.一款手机连续两次降价，由原来的1299元降到688元，设平均每次降价的百分率为x, 则列方程为（ ）
A.1299)1(6882=+x
B.688)1(12992
=+x C.1299)1(6882=-x D.688)1(12992
=-x
8.抛物线2
3y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )
A.2
3(1)2y x =-- B.2
3(1)2y x =+- C.2
3(1)2y x =++ D.2
3(1)2y x =-+
9.如图，已知点D 、E 分别在ΔABC 的边AB 、AC 上，DE ∥BC,点F 在CD 延长线上，AF ∥BC,则下列结论错误的是( )
A.BC AF AF DE =
B.EC DC
AE FD
=
C. AC AE AB AD =
D.AF
DE
AB
BD =
10. 在运动会径赛中,甲、乙同时起跑,刚跑出200m,甲不慎摔倒,他又迅速地爬起来继续投入比赛,若他们所跑的路程y(m)与比赛时间x(s)的关系如图, 有下列说法：①他们进行的是800m 比赛；②乙全程的平均速度为6.4m/s ；③甲摔倒之前,乙的速度快；④甲再次投入比赛后的平均速度为7.5m/s ；⑤甲再次投入比赛后在距离终点300米时追上了乙．其中正确的个数有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
第6题图
A B
65º 第9题图
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题(每小题3分，共计30分)
11. 某企业年产值9850 000万元，把9850 000这个数用科学记数法表示为___________. 12．计算2712-= ； 13．在函数y=
2
-x x 中，自变量x 的取值范围是 ； 14．不等式组21
318
x x -≥-⎧⎨
->⎩的解集为__________；
15．因式分解：x 3
-4x 2
+4x= ；
16.分式方程2
1
24
x x x ---=1的解是______________ ； 17.如图，在△ABC 中，AC=BC ，以AB 上一点O 为圆心，OA 为半径的圆与BC 相切于点C ，若BC=43，则⊙O 的半径 为 ；
18.商店将某空调按标价的九折出售，仍可获利20%，若该空调的进 价是每台2400元，则空调的标价是 元； 19.在矩形ABCD 中，AD=2AB ，点E 在AD 上，连接BE 、CE ，
若△BCE 是以BC 为腰的等腰三角形，则∠AEB 的度数为 ； 20.如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 上，点F 在CD 上，BE=EF ， EG 平分∠BEF 交AD 于点G ， 若AB=15，DF=7，则EG= .
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分） 21．（本题7分）
先化简，再求值:2
1
2312+-+-÷x x x ）（，其中x ＝4sin45°-2cos60°
G
C
B
第20题图
A
O
B 第17题图
如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有△ABC ，点A 、B 、C 均在小正方形的顶点上.
(1) 将△ABC 绕着点C 顺时针旋转90°得到△CDE(点A 、B 的对应点分别为D 、E)，画出△CDE;
(2) 在正方形网格的格点上找一点F ，连接BF 、FE 、BE ，使△FBE 的面积等于△BCE 的面积,并直接写出线段EF 的长.
23．（本题8分）
哈市某区对初四的数学教师试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项.评价组随机抽取了若干名初四学生的参与情况，绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息解答下列问题：
（1）在这次评价中，一共抽查了多少名学生；
（2）请将条形统计图补充完整，并求出在扇形统计图中“专注听讲”所占的扇形的 圆心角度数；
（3）如果该区有6000名初四学生，那么在试卷讲评课中，“独立思考”的学生约有 多少人？
C
B
A 第23题
250 人数
200
150 100 84 168
224 质疑
思考
听讲
题目
项目
主动
质疑
独立 思考
讲解题
目15% 专注听讲
如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在AB 上，DE ⊥CD ，DE ⊥AB 于E ，sinA=5
4
，DE=2BE. （1）如图1，求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）如图2，点F 在AB 的延长线上，点G 在AD 上，连接DF 、CG ，交于H ， 若CG=DF ，求
∠DHG 的正切值.
25．（本题10分）
为迎接哈尔滨冰雪节，某商店决定购进A 、B 两种纪念品．若购进A 种纪念品8件，B 种纪念品3件，需要950元；若购进A 种纪念品5件，B 种纪念品6件，需要800元． （1）求购进A 、B 两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过7650元，那么该商店最多可购进A 种纪念品多少件？
B
E 图1
图2
26.（本题10分）
如图，在⊙O中，BC为⊙O的弦，点A在半径OD上，连接AB、AC，弧BD=弧CD．（1）如图1，求证：△ABC是等腰三角形；
（2）如图2，延长DO交BC于F，延长BO交AC于G，交⊙O于E，若AO=2OF，
求证：点G为AC的中点；
（3）如图3在（2）的条件下，连接CE，H在FC上，直线GH交⊙O于M、N，若CA
平分∠BCE，OF=FH，BC=6，求MN的长.
27.（本题10分）
D
A
C
O
B
图1
G
F
D
E
A
C
O
B
图2
M
N
H
G
F
D
E
A
C
O
B
图3
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2-2ax-a 交于x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴DE 交x 轴于点E ，DE=2. （1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图,2，点P 是抛物线对称轴上的动点，连接CP 绕点P 顺时针旋转90°，C 的对应点为点Q ，连接DQ 交抛物线于点F ，求点F 的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点D 作DN ∥CP
QN ，若QN=3
2
DP ，求点N 的坐标.
一、B C A D C, A D A A B 二、9.85×106,
3 x ≠2, x>3, x(x-2)2 x=-
23
4, 2000, 75°或15°， 17. 三、
21、421
1=
+x 22、（2）两种情况，画出一种即给分。
23、（1）560 （2）144° ，（3）1800
24、（1）略（2）tan ∠DHG=34
25、（1）A 100, B 50 (2)100a+50(100-a)≤7650,解得a ≤53,
26、(3)
52102 27、(1)y=-x2+2x+1(2)F(2,1)(3)QN ∥PD,N(3,-2)。