【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练8(含解析)新人教A版选修1-1
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练13]
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双基限时练(十三)1．由曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)，x ∈[a ，b ]，x ＝a ，x ＝b 和x 轴围成的曲边梯形的面积S 等于( )A.⎠⎛ab f(x)d x ， B ．－⎠⎛ab f(x)d xC .⎠⎛ab [f (x )－a ]d x D.⎠⎛ab [f(x)－b]d x答案 B2．如图，阴影部分的面积为()A .⎠⎛ab f (x )d xB.⎠⎛a b g(x)d xC .⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x D. ⎠⎛ab [f(x)＋g(x)]d x解析 阴影部分的面积 S ＝⎠⎛ab f(x)d x ＋|⎠⎛ab g(x)d x|＝⎠⎛a b f(x)d x －⎠⎛ab g(x)d x＝⎠⎛ab [f(x)－g(x)]d x.答案 C3．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积等于( ) A .⎠⎛1－1(x －x 3)d x B.⎠⎛1－1(x 3－x)d xC ．2⎠⎛01(x －x 3)d x D ．2⎠⎛0－1(x －x 3)d x解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝x ，得交点A(－1，－1)，B(0,0)，C(1,1)，如下图所示．∴阴影部分的面积为S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x.答案 C4．曲线y ＝cos x(0≤x ≤32π)与坐标轴所围成的面积为( ) A ．2 B ．3 C .52 D ．4解析 利用函数y ＝cos x 在0≤x ≤3π2的图知，所求面积为S ＝3∫π2cos x d x ＝3(sin x)⎪⎪⎪π20＝3.答案 B5．如图阴影部分面积为( )A . 2 3B . 9－2 3C .323D .353解析 S ＝⎠⎛1－3(3－x 2－2x)d x＝(3x －13x 3－x 2)⎪⎪⎪ 1－3 ＝53＋9＝323. 答案 C6．f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1 (－1≤x<0)，cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A .32 B . 1 C . 2D .12解析 根据定积分的几何意义结合图形可得所求封闭图形的面积为S ＝12×1×1＋∫π20cos x d x ＝12＋sin x⎪⎪⎪ π20＝32.答案 A7．曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成图形的面积为________． 解析 示意图如图所示，所求面积为S ＝⎠⎛12(x －1x )d x ＝(12x 2－ln x)⎪⎪⎪ 21＝32－ln 2. 答案 32－ln 28．设函数f(x)＝3x 2＋c ，若⎠⎛01f(x)d x ＝5，则实数c 的值为________．解析 ∵⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(3x 2＋c)d x＝(x 3＋cx)⎪⎪⎪ 10＝1＋c ＝5， ∴c ＝4. 答案 49．设a>0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 依题意得，由y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积S ＝⎠⎛0a x d x ＝23x 32| a 0＝23a 32＝a 2，∴a ＝49.答案 4910．求正弦曲线y ＝ sin x ，x ∈[0，3π2]和直线x ＝3π2及x 轴所围成的平面图形的面积．解 如图，当x ∈[0，π]时，曲线y ＝ sin x 位于x 轴上方，而当x ∈[π，3π2]时，曲线位于x 轴下方，因此所求面积应为两部分面积之和．∴S ＝⎠⎛0π sin x d x ＋|∫3π2π sin x d x |＝⎠⎛0π sin x d x －∫3π2π sin x d x＝－cos x⎪⎪⎪ π0＋cos x⎪⎪⎪ 32ππ ＝2＋1＝3.11．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，抛物线与x 轴所围成的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x22－x 33⎪⎪⎪1＝16. 抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 两交点的横坐标为0和1－k ，∴12S ＝∫1－k 0(x －x 2－kx)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33－k 2x 2⎪⎪⎪1－k 0＝16(1－k)3＝112.∴(1－k)3＝12，k ＝1－312＝1－342.12．求曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成图形(如图阴影部分)的面积的最小值．解 由定积分与微积分基本定理得S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝(t 2x －13x 3)⎪⎪⎪t0＋⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪1t＝t 3－13t 3＋13－t 2－13t 3＋t 3＝43t 3－t 2＋13，t ∈(0,1)．S ′＝4t 2－2t ＝2t(2t －1)．当0<t<12时，S ′<0；当12<t<2时S ′>0， ∴当t ＝12时，S 有最小值S min ＝14.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 解析几何初步双基限时练29(含解析)北师大版必修2
双基限时练(二十九)一、选择题 1．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫66，33，－22到原点O 的距离是( ) A.306 B ．1C.336D.356解析 |OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫662＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1. 答案 B2．在空间直角坐标系中，已知点P (x ，y ，z )的坐标满足方程(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －3)2＝1，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．直线C ．球面D ．线段解析 (x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －3)2＝1表示(x ，y ，z )到点(2，－1，3)的距离的平方为1，它表示以(2，－1,3)为球心，以1为半径的球面．答案 C3．已知点P 到三个坐标平面的距离相等，且皆为3，则点P 到原点的距离是( ) A ．3 B ．3 2 C ．3 3D ．333解析 |OP |＝32＋32＋32＝3 3. 答案 C4．已知三角形的三个顶点A (1，－2，－3)，B (－1，－1，－1)，C (0,0，－5)，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析 ∵|AB |＝22＋1＋4＝3，|BC |＝12＋12＋42＝18，|AC |＝12＋22＋22＝3. ∵|AB |＝|AC |，且|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，故选B. 答案 B5．已知A (1,2，－1)，B (1，t ，t )(t ∈R )，则|AB |的最小值为( ) A.92B ．5C. 5D.322解析 ∵|AB |＝ t －2 2＋ t ＋1 2＝2t 2－2t ＋5， ∴当t ＝12时，|AB |min ＝322.答案 D6．到点A (－1，－1，－1)，B (1,1,1)的距离相等的点C (x ，y ，z )的坐标满足( ) A ．x ＋y ＋z ＝－1 B ．x ＋y ＋z ＝0 C ．x ＋y ＋z ＝1D ．x ＋y ＋z ＝4解析 由题意得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2，即：x ＋y ＋z ＝0.答案 B 二、填空题7．若点P (x ，y ，z )到A (2,3,0)，B (5,1,0)的距离相等，则点P 的坐标(x ，y ，z )满足________．解析 由(x －2)2＋(y －3)2＋z 2＝(x －5)2＋(y －1)2＋z 2，得6x －4y －13＝0. 答案 6x －4y －13＝08．若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则|AB |的最小值为________，此时A 点的坐标为________．解析 |AB |＝ x －1 2＋ 5－x －x －2 2＋ 2x －1－2＋x 2＝14x 2－32x ＋19＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， ∴当x ＝87时，|AB |min ＝357.此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97. 答案357⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97 9．在xOy 平面上的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使M 到点(6,5,1)的距离最小，则M 点的坐标为________．解析 设M (t,1－t,0)，则M 到(6,5,1)的距离d ＝ t －6 2＋ 4＋t 2＋1＝2t 2－4t ＋53，∴当t ＝1时d 取得最小值， 此时M 点的坐标为(1,0,0)．答案(1,0,0)三、解答题10．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使点M到点N(6,5,1)的距离最小．解∵M是xOy平面内的直线x＋y＝1上的点，则设M的坐标为(x,1－x,0)，由两点间的距离公式|MN|＝ x－6 2＋ 1－x－5 2＋ 0－1 2＝2 x－1 2＋51.∴当x＝1时，|MN|最小，∴M的坐标为(1,0,0)．11．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)，(1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；(2)在xOz平面内的点M到A点与到B点的距离相等，求M点的轨迹．解(1)设P(a,0,0)，由|PA|＝|PB|，可知 a－1 2＋ －2 2＋12＝ a－2 2＋22，即a2－2a＋6＝a2－4a＋8得a＝1，∴P点的坐标为(1,0,0)．(2)设M(x,0，z)，由题意，得x－1 2＋ －2 2＋ z＋1 2＝ x－2 2＋ z－2 2，整理得2x＋6z－2＝0，即x＋3z－1＝0.∴M点的轨迹是xOz平面内的一条直线．12．如图所示，已知四棱锥P—ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥面ABCD，设PD ＝43，M为PB的中点，N在线段AB上，求当|MN|最短时，N点所处的位置．解建立如图所示的直角坐标系，则A(4,0,0)，B(4,4,0)，P(0,0,43)．∵M点为PB的中点，∴M(2,2,23)．又N在线段AB上，∴N(4，b,0)(0≤b≤4)．∴|MN|＝ 4－2 2＋ b－2 2＋ 0－23 2.∴当b＝2时|MN|min＝4＋12＝4.此时N为AB的中点，∴当N为AB的中点时|MN|最短．思维探究13．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．解(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|，因M在y轴上，可设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得32＋y2＋12＝12＋y2＋32，显然，此式对任意y∈R恒成立．这就是说y轴上所有点都满足关系|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．因为|MA|＝ 3－0 2＋ 0－y 2＋ 1－0 2＝10＋y2，|AB|＝ 1－3 2＋ 0－0 2＋ －3－1 2＝20，于是10＋y2＝20，解得y＝±10.故y轴上存在点M使△MAB等边，M坐标为(0，10，0)，或(0，－10，0)．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 解析几何初步双基限时练17(含解析)北师大版必修2
双基限时练(十七)一、选择题1．过点A(－3，2)与B(－2，3)的直线的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．60°解析 k AB ＝3－2－2－ －3 ＝3－23－2＝1.答案 A2．若经过P(－2,2m)和Q(m,8)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．1或4D ．1或2解析 由8－2mm ＋2＝1，得m ＝2.答案 B3．若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成60°角，则l 的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°解析 直线l 可能有两种情形，如图所示，故直线l 的倾斜角为30°或150°.答案 C4．下列各组中，三点共线的是( )A ．(1,4)，(－1,2)，(3,5)B ．(－2，－5)，(7,6)，(－5,3)C ．(1,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，－13，(7,2)D ．(0,0)，(2,4)，(－1,3)解析 利用斜率公式可知答案为C . 答案 C5．若经过A(2,1)，B(1，m)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( )A ．m<1B ．m>1C ．m<－1D ．m>－1解析 由l 的倾斜角为锐角，可知k AB ＝m －11－2>0，即m<1. 答案 A6．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若60°<α<135°，则k 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C ．[－1，3]D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析 由正切函数的图象可知，k∈(3，＋∞)∪(－∞，－1)． 答案 B 二、填空题7．若点A(4,2)和B(5，b)的连线与C(1,2)，D(3,4)连线的斜率相等，则b 的值为________．解析 由题意，可得b －25－4＝4－23－1＝1，∴b＝3.答案 38．若A(2，－3)，B(4,3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，k 2在同一条直线上，则k ＝________. 解析 由题意，得k AB ＝3－ －3 4－2＝k 2－35－4，得k ＝12.答案 129．已知直线l 过原点，点M ，N 坐标分别为(3,1)，(1,3)，则当l 与线段MN 相交时l 的斜率的取值范围是______．解析 如图所示，当l 与线段MN 相交时，直线l 的倾斜角α∈[α1，α2]，其中tan α1＝13，tan α2＝31＝3， ∴直线l 的斜率k∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3三、解答题10．已知A(1,2)，在直线y ＝x 上找一点P ，使PA 的斜率为 2.解 ∵点P 在直线y ＝x 上，∴设P(x ，x)，由题意，得k PA ＝x －2x －1＝2，得x ＝－2，∴P(－2，－2)．11．已知直线过点A(2m,3)，B(2，－1)，根据下列条件求m 的值． (1)直线的倾斜角为135°； (2)直线的倾斜角为90°； (3)点C(3，m)也在直线上．解 (1)由题意，得3－ －12m －2＝tan 135°＝－1，得m ＝－1.(2)由题意，得2m ＝2，得m ＝1.(3)由题意，得3－ －1 2m －2＝m － －13－2，得m ＝± 3.12．设A(m ，－m ＋3)，B(2，m －1)，C(－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求实数m 的值．解 由题意得直线AC 的斜率存在，∴m≠－1.由题意得k AC ＝3k BC ，∴4－ 3－m－1－m＝3²4－ m－1－1－2，得m ＝4， ∴m 的值为4.思 维 探 究13．如图所示，已知点A(－2,3)，B(3,2)，P(0，－2)，过点P 的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率的变化范围．解 直线l 是一组绕点P 转动而形成的直线，直线PA 和直线PB 是它的两个极端位置，k PB ＝43，k PA ＝－52.l 从PB 位置逆时针转到PA 位置的过程中，其倾斜角从α1连续变大到钝角α2，其斜率从正数k PB 逐渐变大到＋∞，又从－∞逐渐增大到一个负数k PA ，其中当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以斜率的变化范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞∪⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－52.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练13(含解析)新人教A版选修2-1
双基限时练(十三)1．双曲线C 的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 解析 依题意a ＋b ＝2c ，a ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，解得b ＝2，又焦点在y 轴上，∴双曲线方程为y 24－x 24＝1.答案 B2．双曲线x 2b 2－y 2a2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2D.32解析 依题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，∴a ＝b ，∴c 2＝2a 2，∴c 2a2＝2，∴e ＝ 2.答案 C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析 记e 1＝a 2＋b 2a ，e 2＝m 2－b 2m ，又e 1·e 2＝1，∴a 2＋b 2·m 2－b 2am＝1，化简得b 2(m 2－a 2－b 2)＝0，∵b 2>0，∴m 2－a 2－b 2＝0，即m 2＝a 2＋b 2， ∴以a ，b ，m 为边长的三角形一定是直角三角形． 答案 B4．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96B ．y 2－x 2＝100C ．x 2－y 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析 由题意知，c ＝64－16＝43，a ＝b ，∴2a 2＝c 2＝48，∴a 2＝24，故所求双曲线方程为y 2－x 2＝24.答案 D5．已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值是( ) A.12 B.32 C.72D ．5解析 由双曲线的定义及性质知，动点P 的轨迹是双曲线的一支，且A ，B 为焦点，c ＝2，a ＝32，∴|PA |的最小值为a ＋c ＝72.答案 C6．已知双曲线x 2n －y 212－n＝1的离心率为3，则n ＝________.解析 依题意知a 2＝n ，b 2＝12－n ，又e ＝3，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝n ＋12－nn＝3，∴n＝4.答案 47．过双曲线x 24－y 23＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝________.解析 由双曲线的定义知|MF 2|－|MF 1|＝4，|NF 2|－|NF 1|＝4，∴|MF 2|＋|NF 2|－|MF 1|－|NF 1|＝|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝8.答案 8 8．若双曲线x 2k ＋4＋y 29＝1的离心率为2，则k 的值为__________． 解析 依题意知k ＋4<0，∴k <－4，又e ＝c a＝2，∴e 2＝c 2a 2＝－k ＋＋99＝4，∴k ＝－31.答案 －319．求与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线且过点A (23，－3)的双曲线方程．解 设与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线的双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)．∵A (23，－3)在双曲线上， ∴λ＝3216－－29＝－14.∴所求双曲线方程为x 216－y 29＝－14即4y 29－x24＝1.10．求中心在原点，焦点在坐标轴上，过点M (3,4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线方程．解 当焦点在x 轴上时，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，∵点(3,4)在双曲线上，∴9a 2－16b2＝1，又b ＝2a ，∴4a 2＝9×4－16＝20，a 2＝5. ∴b 2＝20.∴双曲线方程为x 24－y 220＝1.当焦点在y 轴上时，可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1，∵点(3,4)在双曲线上，∴16a 2－9b2＝1.又∵b ＝2a ，∴4a 2＝16×4－9＝55，a 2＝554，∴b 2＝55.∴双曲线方程为4y 255－x255＝1.综上，所求双曲线方程为x 25－y 220＝1或4y 255－x255＝1.11．已知双曲线的中心在原点，顶点在y 轴上，两顶点间的距离是16，且离心率e ＝54，试求双曲线方程及顶点到渐近线的距离．解 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，由2a ＝16，得a ＝8，又e ＝c a ＝54，∴c ＝10，b 2＝c 2－a 2＝36.故所求的双曲线的方程为y 264－x 236＝1.由上可得双曲线的焦点为(0，±10)， 渐近线方程为y ＝±86x ，即4x ±3y ＝0.∴焦点到渐近线的距离为d ＝|4×0±3×10|42＋32＝6. 12．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积． 解 (1)∵e ＝ 2.∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)， ∴λ＝16－10＝6.∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6. (2)由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝2 3.∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )． ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6，∴－3＋m 2＝0. ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练14(含解析)新人教A版选修2-1
双基限时练(十四)1．到定点(3,5)与定直线2x ＋3y －21＝0的距离相等的点的轨迹是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．线段D ．直线解析 因为定点(3,5)在直线上，所以点的轨迹是直线． 答案 D2．抛物线y 2＝8x 的准线方程是( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝－4 C ．y ＝－2D ．y ＝－4解析 ∵y 2＝8x ＝2·4x ，∴p ＝4，准线方程为x ＝－p2＝－2.答案 A3．抛物线x 2＝ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( ) A ．8 B ．－8 C.18D ．－18解析 ∵x 2＝ay 的准线方程为y ＝－a4＝2，∴a ＝－8.答案 B4．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A ．(1,0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析 由y ＝2x 2得，x 2＝12y .∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 答案 C5．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是( ) A ．x 2＝－92y ，或y 2＝43xB ．y 2＝－92x ，或x 2＝43yC ．x 2＝43yD ．y 2＝－92x解析 ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，或y 2＝－2p 1x (p 1>0)，把(－2,3)代入，得(－2)2＝2p ·3，或9＝－2p 1(－2)，∴2p ＝43，或－2p ＝－92，故所求的抛物线方程为x 2＝43y ，或y 2＝－92x .答案 B6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点，且过点P (2,4)，则该抛物线的方程为__________．解析 设抛物线方程为y 2＝ax ，又抛物线过点P (2,4)，则16＝2a ，∴a ＝8， ∴y 2＝8x . 答案 y 2＝8x7．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝__________. 解析 由y 2＝4x 得焦点F (1,0)，代入直线方程得a ＋1＝0.∴a ＝－1. 答案 －18．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．解析 设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝ax ，得交点坐标为A (0,0)，B (a ，a )，而点P (2,2)为AB 的中点，从而a ＝4. 故所求抛物线方程为y 2＝4x . 答案 y 2＝4x9．已知抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值，抛物线标准方程和准线方程．解 设所求的抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F (0，－p2)．∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴m ＝±26，抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.10．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且与y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．解 抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a4，它与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，∴△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.∴抛物线方程为y 2＝±8x .11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60 cm ，灯深为40 cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．解 如下图在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是y 2＝2px (p ＞0)．由已知条件可得点A 的坐标是(40,30)，代入方程，得302＝2p ×40，即p ＝454，所求的抛物线标准方程为y 2＝452x ，焦点(458，0)．12．若抛物线通过直线y ＝12x 与圆x 2＋y 2＋6x ＝0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 2＋y 2＋6x ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－245，y ＝－125.根据题意可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)或y 2＝－2mx (m >0)．∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－245，－125在抛物线上，∴p ＝245，m ＝35.∴所求抛物线方程为x 2＝－485y 或y 2＝－65x .。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 平面向量双基限时练21(含解析)北师大版必修4
双基限时练(二十一) 从力做的功到向量的数量积一、选择题 1．下列命题①a ＋(－a )＝0；②(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )；③(a ²b )²c ＝a ²(b ²c )；④(a ＋b )²c ＝a ²c ＋b ²c .其中正确命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 正确的有②④. 答案 C2．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ²(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 解析 ∵a ∥b ，则b ＝λa ，λ∈R .∴c ²(a ＋2b )＝c ²(a ＋2λa )＝c²a (1＋2λ)． ∵a ⊥c ，∴a²c ＝0.∴c ²(a ＋2b )＝0. 答案 D3．如图，在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →²BC →的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析 AB →²BC →＝AB →²(AC →－AB →)＝AB →²AC →－AB →2＝－|AB →|2＝－1.答案 B4．平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3C ．4D ．12解析 (a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4a ²b ＝4＋4＋4³2³1³12＝12.∴|a ＋2b |＝2 3.答案 B5．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角θ为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°解析 |a |＝|b |＝|c |且a ＋b ＝c ，得|a ＋b |＝|b |，平方得：|a |2＋|b |2＋2ab ＝|b |2⇒2ab ＝－|a |2⇒2|a |²|b |²cos θ＝－|a |2⇒cos θ＝－12⇒θ＝120°.答案 B6．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ²b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π解析 |a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a²b ＝0有实根，则|a |2－4a²b ≥0.设向量a ，b 的夹角为θ，所以cos θ＝a²b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12.所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选B. 答案 B7．在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD →是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则λ等于( ) A.a ² b －a|a －b |2B.a ² a －b|a －b |2C.a ²b －a|a －b |D.a ² a －b|a －b |解析 由题意知OD →²AB →＝0，即AB →²(OA →＋AD →)＝0， ∴AB →²(OA →＋λAB →)＝0，∴λ＝－AB →²OA→AB →2＝－ OB →－OA →²OA → OB →－OA →2＝a ² a －b|a －b |2，故选B. 答案 B 二、填空题8．已知e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ²b ＝0，则实数k 的值为________．解析 由a ²b ＝0，得k －2＋(1－2k )³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得k ＝54. 答案 549．已知|a |＝3，a ²b ＝2，则b 在a 方向上的射影为________． 解析a ²b |a |＝23. 答案 2310．若AB →²BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为________三角形．解析 由AB →²BC →＋AB →2＝0，得AB →²(AB →＋BC →)＝0，即AB →²AC →＝0，∴AB →⊥AC →，故三角形为直角三角形．答案 直角 三、解答题11．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直．解 要使向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直，则要满足(a ＋k b )²(a －k b )＝0，即(a ＋k b )²(a －k b )＝a 2－k 2b 2＝|a |2－k 2|b |2＝9－16k 2＝0，解得k ＝±34.∴当k ＝±34时，向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直．12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )²(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |与|a －b |. 解 (1)设a 与b 的夹角为θ， 由(2a －3b )²(2a ＋b )＝61， 得4a 2－3b 2－4a ²b ＝61，即64－27－4³4³3co s θ＝61，得cos θ＝－12，又θ∈[0，π]，∴θ＝23π.(2)|a ＋b |＝ a ＋b 2＝a 2＋b 2＋2a ²b ＝16＋9－2³4³3³12＝13；|a －b |＝ a －b 2＝a 2＋b 2－2a ²b ＝16＋9＋2³4³3³12＝37.13．如图所示，以△ABC 两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF ，ACDE ，M 为BC 的中点．求证：AM ⊥EF .证明 因为M 是BC 的中点， 所以AM →＝12(AB →＋AC →)，EF →＝AF →－AE →，所以AM →²EF →＝12(AB →＋AC →)²(AF →－AE →)＝12(AB →²AF →＋AC →²AF →－AB →²AE →－AC →²AE →) ＝12(0＋AC →²AF →－AB →²AE →－0) ＝12(AC →²AF →－AB →²AE →)＝12[|AC →|²|AF →|cos(90°＋∠BAC )－|AB →||AE →|²cos(90°＋∠BAC )]＝0，所以AM →⊥EF →， 即AM ⊥EF .。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 平面向量双基限时练23(含解析)北师大版必修4
双基限时练(二十三) 向量应用举例一、选择题1．已知三个力F 1→＝(－2，－1)，F 2→＝(－3,2)，F 3→＝(4，－3)，同时作用于某物体上同一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4→，则F 4→等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析 ∵F 1→＋F 2→＋F 3→＝(－2－3＋4，－1＋2－3)＝(－1，－2)，又F 1→＋F 2→＋F 3→＋F 4→＝0，∴F 4→＝(1,2)．答案 D2．过点P (2,1)，且垂直于向量a ＝(－1,2)的直线方程为( ) A ．x －2y ＝0 B ．x －2y －4＝0 C ．2x －y ＝0D ．2x －y －4＝0解析 设Q (x ，y )为直线上异于P 的任意一点，由题意得PQ →·a ＝0，得x －2y ＝0，又P (2,1)在直线x －2y ＝0上，故选A.答案 A3．若向量OF 1→＝(2,2)，OF 2→＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A ．(0,5)B ．(4，－1)C ．2 2D ．5解析 OF 1→＋OF 2→＝(0,5)，∴|F 1＋F 2|＝5.答案 D4．设O 为△ABC 所在平面内一点，且满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OA →·OC →，则O 是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心 解析 由OA →·OB →＝OB →·OC →得OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0，∴OB ⊥AC ，同理，OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为△ABC 的垂心．答案 C5．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成120°角，且F 1，F 2的大小分别为1和2，则有( )A ．F 1，F 3成90°角B ．F 1，F 3成150°角C ．F 2，F 3成90°角D ．F 2，F 3成60°角解析 由F 1＋F 2＋F 3＝0⇒F 3＝－(F 1＋F 2)⇒F 23＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos120°＝1＋4＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3⇒|F 3|＝3，由|F 1|＝1，|F 2|＝2，|F 3|＝3知，F 1，F 3成90°角，故选A.答案 A6．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同)，且每秒移动的距离为|v |个单位．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)解析 设所求点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋10，y －10)＝(20，－15)． ∴x ＝10，y ＝－5.∴点P 的坐标为(10，－5)． 答案 C 二、填空题7．在△ABC 中，|AB →|＝|AC →|＝2，且AB →·AC →＝2，则△ABC 的形状是________．解析 ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝4cos A ＝2，∴cos A ＝12，又∠A 为△ABC 的内角．∴∠A ＝60°.又|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等边三角形． 答案 等边三角形8．如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10N ，方向与水平面成60°，当小车向前运动10 m ，则力F →做的功是__________． 解析 W ＝F ·cos60°·s ＝5×10＝50 (J)． 答案 50 J9．已知平面上三点A ，B ，C 满足|AB →|＝2，|BC →|＝1，|CA →|＝3，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝__________.解析 由题可知，△ABC 为直角三角形，∠C 为直角，故AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝AB →·BC →＋CA →·AB →＝AB →·(BC →＋CA →)＝AB →·BA →＝－|AB →|2＝－4.答案 －410．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．解析 由题意知四边形ABCD 为平行四边形，且有|AB →|＝|DC →|＝2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 BD →|BD →|，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝3，两边平方，得1＋2BA →·BC→|BA →||BC →|＋1＝3，∴BA →·BC→|BA →||BC →|＝12，则cos BA →，BC →＝12，即∠B ＝60°，∴S ＝|AB →|·|BC →|sin60°＝2×2×32＝ 3. 答案3三、解答题11．已知A (3，－2)与B (－3，4)，若PA ＝PB ，求动点P 的轨迹方程． 解 设AB 的中点为M ，则M (0,1)，设P (x ，y )，则PM →＝(－x,1－y )，AB →＝(－23，6)．∵PA ＝PB ，∴PM ⊥AB .∴PM →⊥AB →. ∴23x ＋6－6y ＝0，即所求轨迹方程为3x －3y ＋3＝0.12．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s ，这时气象台报告的实际风速为2 m/s ，试求风的实际方向和汽车速度的大小．解 依据物理知识，有三对相对速度，车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v 风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v 风地＝v风车＋v 车地，如图所示．根据向量求和的平行四边形法则，可知表示向量v 风地的有向线段AD →对应▱ABDC 的对角线，因为|AC →|＝4，∠ACD ＝30°，|AD →|＝2，所以∠ADC ＝90°，在Rt △ADC 中，|DC →|＝|AC →|cos30°＝23，所以风的实际方向是正南方向，汽车速度的大小为2 3 m/s.13．如图，D 为△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC .证明 如图所示，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d .则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ， ∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e·c －2e·d －d 2. 由条件知a 2＝c 2－d 2＋b 2， ∴e·c ＝e·d ，即e·(c －d )＝0. ∴AD →·BC →＝0.∴AD →⊥BC →.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 推理与证明双基限时练3(含解析)新人教A版选修1-2
"【名师一号】2014-2015学年高中数学第二章推理与证明双基限时练3（含解析）新人教A版选修1-2 "1．下列关于归纳推理的说法中错误的是( )A．归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论具有偶然性，不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能答案A2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排列起来，那么第36颗珠子的颜色是( )○○○●●○○○●●○○○●●○○……A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A3．由数列1,10,100,1000，…猜测该数列的第n项可能是( )A．10n B．10n－1C．10n＋1D．11n答案B4．n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2010到2012，箭头的方向依次是( )A．↓→ B．→↑C．↑→ D．→↓解析观察特例的规律知：位置相同的数字是以4为公差的等差数列，由11↑1012可知从2010到2012为↑→.答案C5．已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式为( )A．n2－1 B．n2－2n＋2C ．2n －1D ．2n －1＋1解析 ∵a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，∴a 2＝2×1＋1＝3，a 3＝2×3＋1＝7，a 4＝2×7＋1＝15，归纳猜想知a n ＝2n－1.答案 C6．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A .n n －4＋8－n8－n －4＝2 B .n ＋1 n＋1 －4＋ n＋1 ＋5n＋1 －4＝2C .n n －4＋n ＋4 n＋4 －4＝2 D .n ＋1 n＋1 －4＋n ＋5n＋5 －4＝2解析 观察等式知，左边分子之和等于8，分母之和等于0，右边都是2，只有选项A 适合．答案 A7．顺次计算数列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，……的前4项的值，由此猜测：a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1的结果为________． 解析 a 1＝1＝12，a 2＝1＋2＋1＝4＝22， a 3＝1＋2＋3＋2＋1＝9＝32， a 4＝1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42， …，由此可以猜想a n ＝n 2. 答案 n 28．由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：______________________________________________________. 答案 凸n 边形的内角和是(n －2)×180°(n≥3) 9．观察以下各等式：sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34， sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，为_________________________________________________________．答案 sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos (α＋30°)＝3410．(1)如图所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面分成了多少个区域？(2)(3)现已知某个平面图形有1006个顶点，且围成了1006个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？解 (1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为：(2)3＋2－3＝2； 8＋6－12＝2； 6＋5－9＝2； 10＋7－15＝2.通过观察发现，它们的顶点数V ，边数E ，区域数F 之间的关系为V ＋F －E ＝2.(3)由已知V ＝1006，F ＝1006，代入(2)中关系式，得E ＝2010. 故这个平面图形有2010条边．11．设a n 是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n≥1，n ↔N )，试归纳出这个数列的一个通项公式．解 当n ＝1时，a 1＝1，且2a 22－a 21＋a 2·a 1＝0， 即2a 22＋a 2－1＝0解得a 2＝12；当n ＝2时，由 3a 23－2(12)2＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0， 解得a 3＝13，…由此猜想：a n ＝1n.12．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32，通过观察上述等式的规律，请写出一般性的命题：________________＝32(*)，并给出(*)式的证明．解 一般式为：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明如下：左边＝1－cos2α2＋1－cos 2α＋120° 2＋1－cos 2α＋240°2＝32－12[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)＝32－12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2α－12cos2α－32sin2α－12cos2α＋32sin2α ＝32＝右边， 所以sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32成立．(注：将一般式写成sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32等均正确．)。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练11(含解析)
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练11（含解析）新人教A 版选修1-11．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，已知线段F 1F 2被点(b,0)分成51两段，则此双曲线的离心率为( )A.32B.95C.355D.62解析 由题可知b ＋c ＝5(c －b )，∴3b ＝2c . ∴9b 2＝4c 2＝9(c 2－a 2)． ∴5c 2＝9a 2，∴e 2＝95，e ＝35 5.答案 C2．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，＋∞)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析 设A (c ，y 0)代入双曲线方程得c 2a 2－y 20b 2＝1，∴y 20＝b 4a2.∴|y 0|＝b 2a ，∴|AF |＝b 2a.∵△ABE 是钝角三角形，∴∠AEF >45°.则只需|AF |>|EF |，即b 2a>a ＋c ，∴b 2>a 2＋ac ，即c 2－a 2>a 2＋ac ，c 2－ac －2a 2>0.∴e 2－e －2>0，解得e >2，或e <－1(舍去)．故选D. 答案 D3．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足PF 1→·PF 2→＝0，1e 21＋1e 22的值为( )A ．2 B.32 C ．4D.52解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c ，椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为m ，不妨设P 在第一象限，由题可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，①|PF 1|－|PF 2|＝2m ，②|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，③)①2＋②2得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 2＋2m 2， ∴a 2＋m 2＝2c 2.又1e 21＋1e 22＝(a c )2＋(m c )2＝a 2＋m 2c2＝2.故选A. 答案 A4．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析 设PF 1的中点为M ，由|PF 2|＝|F 1F 2|， 故F 2M ⊥PF 1，即|F 2M |＝2a ， 在Rt △F 1F 2M 中，|F 1M |＝2c2－2a2＝2b ，故|PF 1|＝4b ，则4b －2c ＝2a ， 即2b －a ＝c ，∴(2b －a )2＝a 2＋b 2. ∴3b 2－4ab ＝0，即3b ＝4a . 故双曲线的渐近线方程是y ＝±b ax ， 即y ＝±43x ，故选C.答案 C5．与曲线x 224＋y 249＝1共焦点，而与曲线x 236－y 264＝1共渐近线的双曲线方程为( )A.y 29－x 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.y 216－x 29＝1 D.x 29－y 216＝1 解析 椭圆的焦点为(0，±5)，双曲线的渐近线为y ＝±43x ，验证选项知应选C.答案 C6．下列三图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边上的中点，双曲线均以图中的F 1，F 2为焦点，设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则( )A ．e 1>e 2>e 3B ．e 1<e 2<e 3C ．e 1＝e 3<e 2D ．e 1＝e 3>e 2解析 设|F 1F 2|＝2c ，在①中2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝(3－1)c ；在②中，2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝10－22c ；在③中，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝(3－1)c .∴e 1＝e 3>e 2. 答案 D7．若动点P (x ，y )到定点F (5,0)的距离是它到直线x ＝95的距离的53倍，则动点P 的轨迹方程为________．解析 设P (x ，y )，则x －52＋y2|x －95|＝53， 化简整理得16x 2－9y 2＝144. 答案 16x 2－9y 2＝1448．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝________.解析 因为渐近线方程为y ＝x ，∴b ＝ 2. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝2. ∴点P 的坐标为(3，±1)．又易知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，不妨取P (3，1)． ∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝0. 答案 09．已知P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0.设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝________.解析 由双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0，且b ＝3可得a ＝1，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒|PF 1|－3＝2⇒|PF 1|＝5.答案 510．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144，F 1，F 2是其左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．解 双曲线的方程可化为x 29－y 216＝1，∴a 2＝9，b 2＝16，∴c ＝5.由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6. ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|－|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|.又|PF 1|·|PF 2|＝32，∴cos ∠F 1PF 2＝62＋2×32－4×252×32＝0.∴∠F 1PF 2的大小为90°.11．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N两点，MN 的中点的横坐标为－23，求此双曲线的方程．解 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，依题意c ＝7，∴方程可以化为x 2a 2－y 27－a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2，∵x 1＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2＝－23，解得a 2＝2.∴双曲线的方程为x 22－y 25＝1.12．设k ∈R ，讨论方程kx 2＋2y 2－8＝0所表示的曲线． 解 ①当k <0时，方程变形为x 28k＋y 24＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线；②当k ＝0时，方程为y 2－4＝0，它表示两条平行于x 轴的两条直线； ③当0<k <2时，曲线x 28k＋y 24＝1表示焦点在x 轴上的椭圆；④当k ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝4，它表示一个圆；⑤当k >2时，曲线x 2k 8＋y 24＝1为焦点在y 轴上的椭圆．。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练14(含解析)
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练14（含解析）新人教A 版选修1-11．顶点在原点对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上的抛物线的方程为( ) A ．y 2＝－16x B ．y 2＝－12x C ．y 2＝16xD ．y 2＝12x解析 直线与x 轴的交点坐标为(4,0)，∴抛物线的焦点为(4,0)，∴p2＝4，p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝16x .答案 C2．过点M (3,2)作直线l 与抛物线y 2＝8x 只有一个交点，这样的直线共有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条D ．3条解析 因为点(3,2)在抛物线内部，所以只有一条与对称轴平行的直线与抛物线有一个交点．答案 B3．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析 由题可知，抛物线焦点坐标为(a4，0)，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y＝2(x －a 4)，令x ＝0，可得A 点坐标为(0，－a 2)，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，∴a ＝±8，故选B. 答案 B4．抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0交于A ，B 两点，其中A 的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F ，则|FA |＋|FB |等于( )A ．7B ．3 5C ．6D ．5解析 将A (1,2)分别代入抛物线与直线方程可得p ＝2，a ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x ＋y －4＝0，可得x 2－5x ＋4＝0，∴x 1＝1，x 2＝4.|FA |＋|FB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝7.答案 A5．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标和等于a2＋2a＋3(a∈R)的最小值，则这样的直线( )A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有一条或两条D．有无数多条解析由抛物线的定义知，|AB|＝x A＋x B＋p，而a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2≥2，p＝2，∴|AB|＝2＋2＝4.而过焦点最短的弦长|AB|＝4(即通径长)，∴这样的直线有且仅有一条．答案 A6．已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2x上，其中O为坐标原点，则△OAB 的外接圆的方程是____________________．解析由抛物线的性质知，A，B两点关于x轴对称，所以△OAB外接圆的圆心C在x轴上．设圆心坐标为(r,0)，并设A点在第一象限，则A点坐标为(32r，32r)，于是有(32r)2＝2×32r，解得r＝4，所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.答案(x－4)2＋y2＝167．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线m交抛物线于A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．解析分别过点A，B作AA1，BB1垂直于l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6. ∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3. ∴F 为线段AC 的中点．故F 到准线的距离p＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x . 答案 y 2＝3x8．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为31，则点A 的坐标为________．解析 如图，由题意可得|OF |＝1， 由抛物线定义，得|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为31，∴S △AMFS △AOF ＝12×|AF |×|AM |×sin∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin π－∠MAF ＝3.∴|AF |＝|AM |＝3，设A (x 0，y 0)．∴x 0＋1＝3，x 0＝2，代入y 2＝4x ，可得y 20＝8. 解得y 0＝±22，∴点A 的坐标是(2，±22)． 答案 (2，±22)9．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，直线l 的方程为y ＝3(x －1)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝3x －1得3y 2－4y －43＝0.解得y 1＝23，y 2＝－32. ∴A (3,23)，∴OAF 的面积为S ＝12×1×23＝ 3.答案310．已知抛物线y 2＝－x 与直线l ：y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k x ＋1，消去x ，得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－1k，y 1·y 2＝－1.∵y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴(y 1·y 2)2＝x 1·x 2. ∴x 1·x 2＝1.∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即OA →·OB →＝0.∴OA ⊥OB .(2)设直线l 与x 轴的交点为N ，则N 的坐标为(－1，0)， ∴S △AOB ＝12|ON |·|y 1－y 2|＝12×|ON |×y 1＋y 22－4y 1·y 2＝12×1× 1k 2＋4＝10，解得k 2＝136，所以k ＝±16.11.如图，l1，l2是通过某市开发区中心O的南北和东西走向的两条道路，连接M，N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线l1对称．M到l1，l2的距离分别是2 km、4 km，N到l1，l2的距离分别是3 km、9 km.(1)建立适当的坐标系，求抛物线MN的方程；(2)该市拟在点O的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点O的距离大于5 km而不超过8 km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于 6 km，求该厂离点O的最近距离．(注：工厂视为一个点)解(1)分别以l2、l1为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M(2,4)，N(3,9)．设MN所在抛物线的方程为y ＝ax 2＋c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧4＝4a ＋c ，9＝9a ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝0.故所求抛物线MN 的方程为y ＝x 2(2≤x ≤3)．(2)设抛物线弧上任意一点P (x ，y )，则y ＝x 2(2≤x ≤3,4≤y ≤9)，厂址为A (0，t )(5<t ≤8)．由题意|PA |＝x 2＋y －t 2≥6，即y ＋(y －t )2≥6，∴y 2＋(1－2t )y ＋t 2－6≥0(*) －1－2t 2＝t －12∈[4,9]． ∴要使(*)恒成立，只需当y ＝2t －12时成立，即2t －124＋(1－2t )2t －12＋t 2－6≥0， 即得4t －25≥0，∴t ≥254，又5<t ≤8，∴254≤t ≤8.∴t 的最小值为254.故该厂离点O 的最近距离为254km. 12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 (1)由题意知，直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 并整理，得4x 2－5px ＋p 2＝0.∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，解得p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0为4x 2－20x ＋16＝0，即x 2－5x ＋4＝0. 解得x 1＝1，x 2＝4. 于是y 1＝－22，y 2＝4 2. 从而A (1，－22)，B (4,42)．设C的坐标为(x3，y3)，则OC→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y23＝8x3，∴(42λ－22)2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0或λ＝2.。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练8(含解析)新人教A版选修11
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练8（含解析）新人教A 版选修1-11．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32C. 1D. 3解析 椭圆的右焦点(1,0)到直线y ＝3x 的距离为d ＝|3－0|3＋1＝32.答案 B2．若椭圆a 2x 2－a2y 2＝1的一个焦点是(－2,0)，则a 为( )A.1－54B.1＋52 C.12D.22解析 由a 2x 2－a2y 2＝1，得x 21a 2＋y 2－2a＝1，∴a ＜0，∵焦点(－2,0)，∴1a 2＋2a＝4，即4a 2－2a －1＝0，解得a ＝1－54，或a ＝1＋54(舍去)．答案 A3．设P 是椭圆x 29＋y 25＝1上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋2)2＋y 2＝1和(x －2)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值和最大值分别为( )A ．4,8B ．6,8C ．8,12D ．2,6解析 设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，两圆的半径为R ，由题意可知|PM |＋|PN |的最大值为|PF 1|＋|PF 2|＋2R ，最小值为|PF 1|＋|PF 2|－2R ，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，R ＝1，所以|PM |＋|PN |的最大值为8，最小值为4.答案 A4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析 由题意，F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)， 则有x 204＋y 203＝1，解得y 2＝3(1－x 204)，∵FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)， ∴OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 0(x 0＋1)＋3(1－x 204)＝x 204＋x 0＋3.此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2， ∵－2≤x 0≤2，∴当x 0＝2时， OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6，选C.答案 C5．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠3解析 把y ＝x ＋2代入x 2m ＋y 23＝1，并整理得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.Δ＝16m 2－4m (m ＋3)＝12m (m －1)，由Δ>0，得m <0或m >1. ∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3. 答案 B6．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点，作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析 设椭圆的一个焦点F (1,0)，则直线l ：y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，并整理得3x 2－4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝43，∴y 1＝－1，y 2＝13.又OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝－13.答案 B7．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．解析 由题意可知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝12－3＝9.∴椭圆方程为x 212＋y 29＝1，或y 212＋x 29＝1.答案x 212＋y 29＝1，或y 212＋x 29＝1 8．设P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，O 为坐标原点，F 为椭圆的左焦点，点M 满足OM →＝12(OP →＋OF →)，则|OM →|＋|MF →|＝________. 解析如图所示，F 0为椭圆的右焦点，连接PF 0， 由OM →＝12(OP →＋OF →)，可知M 为PF 的中点， 则|OM →|＝12|F 0P →|，∴|OM →|＋|MF →|＝12|F 0P →|＋12|PF →|＝12(|F 0P →|＋|PF →|)＝a ＝2.答案 29．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，以坐标原点O 为圆心，短半轴长为半径作圆O ，过椭圆的长轴的一端点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，若四边形PAOB 为正方形，则该椭圆的离心率为________．解析 如图，∵四边形OAPB 是正方形，且PA ，PB 为圆O 的切线， ∴△OAP 是等腰直角三角形， 故b ＝c ，a ＝2c ，∴e ＝22. 答案2210．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，且椭圆经过点N (2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1,2)为中点的弦所在直线的方程． 解 (1)由椭圆经过点N (2，－3)， 得22a 2＋－32b 2＝1，又e ＝c a ＝12，解得a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是以M 为中点的弦的两个端点， 则x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1. 相减得x 2－x 1x 2＋x 116＋y 2－y 1y 2＋y 112＝0.整理得k AB ＝－12·x 1＋x 216·y 1＋y 2＝38，则所求直线的方程为y －2＝38(x ＋1)，即3x －8y ＋19＝0.11．已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M ，N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →·FN →＝0，求|MN |的最小值．解 (1)设P (x ，y )，依题意，有x －22＋y 2|x －22|＝22，整理，得x 24＋y 22＝1， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点E 与点F 关于原点O 对称， ∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M ，N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →·FN →＝0，∴(32，y 1)·(2，y 2)＝0， 6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1.由于y 1>y 2，∴y 1>0，y 2<0. ∴|MN |＝y 1－y 2＝y 1＋6y 1≥2y 1·6y 1＝2 6.当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立． 故|MN |的最小值为2 6.12．如图椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1.(a >b >0)由e ＝12，得c a ＝12，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴x 24c 2＋y 23c 2＝1.将A (2,3)代入，有1c 2＋3c2＝1，解得c ＝2，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴直线AF 1的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0.直线AF 2的方程为x ＝2.由椭圆E 的图形知，∠F 1AF 2的角平分线所在直线的斜率为正数．设P (x ，y )为∠F 1AF 2的角平分线所在直线上任一点，则有|3x －4y ＋6|5＝|x －2|，若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0，其斜率为负，不合题意，舍去． 于是3x －4y ＋6＝－5x ＋10，即2x －y －1＝0. ∴∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程为 2x －y －1＝0.。
【名师一号】高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练6(含解析)新人教A版选修1-1
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练6（含解析）新人教A 版选修1-11．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标为( )A ．(5,0)，(－5,0)B ．(0,5)，(0，－5)C ．(0,12)，(0，－12)D ．(12,0)，(－12,0)答案 C2．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定答案 B3．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(0,1)解析 将方程化为标准方程为x 22＋y 22k＝1，∴k >0.又因为焦点在y 轴上，∴2k>2，即0<k <1.答案 D4．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 1|等于( )A. 3B.32C.72D ．4解析 由PF 2⊥x 轴，得|PF 2|＝12，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝72.答案 C5．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．椭圆或线段D ．不存在解析 |PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a≥6，而|F 1F 2|＝6，则点P 的轨迹是椭圆或线段． 答案 C6．如果椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，那么椭圆的方程是( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 解析 ∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4.∴2a ＝4，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3. 又焦点在x 轴上，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.答案 C7．与椭圆x 2＋4y 2＝4有公共的焦点，且经过点A (2,1)的椭圆的方程为________． 解析 椭圆x 2＋4y 2＝4的标准方程为x 24＋y 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝4－1＝ 3.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－3＝1.(a 2＞3)，把点A (2,1)代入4a 2＋1a 2－3＝1，解得a 2＝6，或a 2＝2(舍去)， ∴所求椭圆方程为x 26＋y 23＝1.答案x 26＋y 23＝1 8．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．解析 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2×3＝6，且|PF 1|＝4， ∴|PF 2|＝2.在△F 1PF 2中，|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，|F 1F 2|＝27，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.答案 2 120°9．已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过B 点且与圆A 内切，则圆心P 的轨迹方程为______________________．解析 ∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距|PA |＝10－|PB |， 即|PA |＋|PB |＝10(大于|AB |)．∴点P 的轨迹是以A ，B 两点为焦点的椭圆． ∴2a ＝10,2c ＝6.∴a ＝5，c ＝3，b 2＝52－32＝16. ∴点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.答案x 225＋y 216＝1 10．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两焦点，若椭圆C 上的点A (1，32)到F 1，F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程及焦点坐标． 解 椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又A (1，32)在椭圆C 上，∴122＋322b 2＝1，解得b 2＝3. ∴c 2＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F (±1,0)．11．已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝ 6|NP →|，求动点P 的轨迹方程．解 设动点P (x ，y )，MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，NP →＝(x －1，y )，由MN →·MP →＝6|NP→|，得－3(x －4)＝6x －2＋y 2，平方化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.∴点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.12．已知命题p ：实数m 满足m 2－7am ＋12a 2<0(a >0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，且非q 是非p 的充分不必要条件，求a 的取值范围．解 由m 2－7am ＋12a 2<0(a >0)可得3a <m <4a ， 即命题p ：3a <m <4a . 由x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆可得2－m >m －1>0，∴1<m <32， 即命题q ：1<m <32.由非q 为非p 的充分不必要条件可得：非q ⇒非p ，即p ⇒q ， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ≤32，∴13≤a ≤38.。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练7(含解析)
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练7（含解析）新人教A 版选修1-11．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0＜k ＜9)的关系为( )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距答案 D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12答案 D3．直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 24＝1恒有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．(－3,3)C ．(－2,2)D ．(－4,4)答案 C4．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，则( )A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判定(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)在椭圆上解析 由椭圆的对称性知，点(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)都在椭圆上． 答案 C5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k >0，a >0，b >0)具有( )A ．相同的顶点B ．相同的离心率C ．相同的焦点D ．相同的长轴和短轴解析 不妨设a >b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝ca ＝a 2－b 2a 2.而椭圆x 2a 2＋y 2b2＝k 的离心率e 2＝ka 2－kb 2ka 2＝a 2－b 2a 2，∴e 1＝e 2. 答案 B6．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．解析 由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3，故椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1. 答案x 236＋y 29＝17．在一椭圆中以焦点F 1，F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于________．解析 由题可知b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，a ＝2c . ∴e ＝c a ＝22. 答案228．过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析 右焦点的坐标为(3,0)，当x ＝3时，代入椭圆方程得925＋y 216＝1，∴y 2＝16×1625，∴|y |＝165.故|AB |＝2|y |＝325.答案3259．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA ，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为________．解析 由题意知|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，|AB |＝a 2＋b 2， ∵BF ⊥BA ，∴|BF |2＋|BA |2＝|AF |2，即a 2＋a 2＋b 2＝(a ＋c )2.化简得a 2－ac －c 2＝0，∴e 2＋e －1＝0.解得e ＝－1±52.∵0<e <1，∴e ＝－1＋52.答案－1＋5210．椭圆过(3,0)点，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程． 解 当椭圆焦点在x 轴上时，则a ＝3，c a ＝63，∴c ＝ 6∴b 2＝a 2－c 2＝3故椭圆的方程为x 29＋y 23＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时， 则b ＝3，又c a ＝63， ∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27.故椭圆的方程为x 29＋y 227＝1，∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1，或x 29＋y 227＝1.11．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c .则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．∴|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a,0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .解 由A (－a,0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝b a，故AB 所在的直线方程为y －b ＝b ax ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b7， ∴7(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0， 即8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋5＝0，∴8e 2－14e ＋5＝0， ∴e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.。
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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程
双基限时练8（含解析）新人教A 版选修1-1
1．椭圆x 24＋y 2
3＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )
A.12
B.32
C. 1
D. 3
解析 椭圆的右焦点(1,0)到直线y ＝3x 的距离为d ＝|3－0|3＋1＝3
2.
答案 B
2．若椭圆a 2x 2
－a
2y 2
＝1的一个焦点是(－2,0)，则a 为( )
A.
1－5
4
B.1＋5
2 C.12
D.
22
解析 由a 2x 2
－a
2y 2
＝1，得x 2
1
a 2
＋
y 2
－
2a
＝1，
∴a ＜0，∵焦点(－2,0)，
∴1a 2＋2a
＝4，即4a 2
－2a －1＝0，
解得a ＝1－54，或a ＝1＋5
4(舍去)．
答案 A
3．设P 是椭圆x 29＋y 2
5＝1上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋2)2＋y 2＝1和(x －2)2＋y 2
＝1上
的点，则|PM |＋|PN |的最小值和最大值分别为( )
A ．4,8
B ．6,8
C ．8,12
D ．2,6
解析 设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，两圆的半径为R ，由题意可知|PM |＋|PN |的最大值为|PF 1|＋|PF 2|＋2R ，最小值为|PF 1|＋|PF 2|－2R ，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，R ＝1，所以|PM |＋|PN |的最大值为8，最小值为4.
答案 A
4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则
OP →²FP →
的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
解析 由题意，F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)， 则有x 204＋y 20
3＝1，解得y 2
＝3(1－x 20
4)，
∵FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →
＝(x 0，y 0)， ∴OP →²FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20
＝x 0(x 0＋1)＋3(1－x 204)＝x 20
4
＋x 0＋3.
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2， ∵－2≤x 0≤2，∴当x 0＝2时， OP →
²FP →
取得最大值22
4＋2＋3＝6，选C.
答案 C
5．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 2
3
＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )
A ．m >1
B ．m >1且m ≠3
C ．m >3
D ．m >0且m ≠3
解析 把y ＝x ＋2代入x 2m ＋y 23
＝1，并整理得(m ＋3)x 2
＋4mx ＋m ＝0.
Δ＝16m 2
－4m (m ＋3)＝12m (m －1)， 由Δ>0，得m <0或m >1. ∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3. 答案 B
6．经过椭圆x 2
2＋y 2
＝1的一个焦点，作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，
设O 为坐标原点，则OA →²OB →
等于( )
A ．－3
B ．－13
C ．－1
3
或－3
D ．±13
解析 设椭圆的一个焦点F (1,0)，则直线l ：y ＝x －1，代入椭圆方程x 2
2＋y 2
＝1，并整
理得3x 2
－4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝43，∴y 1＝－1，y 2＝13
.又OA →²OB →＝(x 1，y 1)²(x 2，y 2)＝x 1x 2
＋y 1y 2＝－1
3
.
答案 B
7．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．
解析 由题意可知⎩⎨
⎧
a ＝2c ，
a －c ＝3，
∴⎩⎨
⎧
a ＝23，c ＝3，
b 2＝a 2－
c 2＝12－3＝9.
∴椭圆方程为x 212＋y 29＝1，或y 2
12＋x 2
9＝1.
答案
x 212＋y 29＝1，或y 212＋x 2
9
＝1 8．设P 为椭圆x 2
4＋y 2
＝1上任意一点，O 为坐标原点，F 为椭圆的左焦点，点M 满足OM →＝
12
(OP →＋OF →)，则|OM →|＋|MF →
|＝________. 解析
如图所示，F 0为椭圆的右焦点，连接PF 0， 由OM →＝12(OP →＋OF →
)，
可知M 为PF 的中点， 则|OM →
|＝12
|F 0P →|，
∴|OM →|＋|MF →|＝12|F 0P →|＋12|PF →|＝12(|F 0P →|＋|PF →
|)＝a ＝2.
答案 2
9．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，以坐标原点O 为圆心，短半轴长为半径作圆O ，过椭圆
的长轴的一端点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，若四边形PAOB 为正方形，则该椭圆的离心率为________．
解析 如图，∵四边形OAPB 是正方形，且PA ，PB 为圆O 的切线， ∴△OAP 是等腰直角三角形， 故b ＝c ，a ＝2c ，∴e ＝22
. 答案
22
10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝1
2
，且椭圆经过点N (2，－3)．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求椭圆以M (－1,2)为中点的弦所在直线的方程． 解 (1)由椭圆经过点N (2，－3)， 得2
2
a ＋ －3
2
b
＝1， 又e ＝c a ＝12
，解得a 2＝16，b 2
＝12.
∴椭圆C 的方程为x 216＋y 2
12
＝1.
(2)显然M 在椭圆内，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是以M 为中点的弦的两个端点， 则x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 22
12
＝1. 相减得 x 2－x 1 x 2＋x 1 16＋ y 2－y 1 y 2＋y 1 12＝0.
整理得k AB ＝－12² x 1＋x 2 16² y 1＋y 2 ＝3
8，
则所求直线的方程为y －2＝3
8
(x ＋1)，
即3x －8y ＋19＝0.
11．已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22
. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)设M ，N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →²FN →
＝0，求|MN |的最小值．
解 (1)设P (x ，y )，依题意，有
x －2 2
＋y 2
|x －22|
＝22，整理，得x 24＋y
2
2
＝1， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2
2＝1.
(2)∵点E 与点F 关于原点O 对称， ∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M ，N 是直线l 上的两个点，
∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →²FN →
＝0，∴(32，y 1)²(2，y 2)＝0， 6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6
y 1
.
由于y 1>y 2，∴y 1>0，y 2<0. ∴|MN |＝y 1－y 2＝y 1＋6
y 1
≥2
y 1²6
y 1
＝2 6.
当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立． 故|MN |的最小值为2 6.
12．如图椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝1
2
.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．
解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a ＋y 2
b
＝1.(a >b >0)
由e ＝12，得c a ＝12，b 2＝a 2－c 2＝3c 2
，∴x 2
4c 2＋y 2
3c 2＝1.
将A (2,3)代入，有1c 2＋3
c
2＝1，解得c ＝2，
∴椭圆E 的方程为x 216＋y 2
12＝1.
(2)由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴直线AF 1的方程为y ＝3
4(x ＋2)，
即3x －4y ＋6＝0.直线AF 2的方程为x ＝2.
由椭圆E 的图形知，∠F 1AF 2的角平分线所在直线的斜率为正数．
设P (x ，y )为∠F 1AF 2的角平分线所在直线上任一点，则有|3x －4y ＋6|
5＝|x －2|，
若3x －4y ＋6＝5x －10，
得x ＋2y －8＝0，其斜率为负，不合题意，舍去． 于是3x －4y ＋6＝－5x ＋10，即2x －y －1＝0. ∴∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程为 2x －y －1＝0.。