甘肃省张掖市高台县2017届中考数学一诊试卷(解析版)

2017年甘肃省张掖市高台县中考数学一诊试卷一、选择题1．方程x2=2x的根是（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=0，x2=﹣2 D．x1=0，x2=22．如图所示的物体的左视图（从左面看得到的视图）是（）A． B．C．D．3．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：164．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形5．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．若sin（α﹣10o）=，则∠α为（）A．30°B．40°C．60°D．70°7．抛物线y=3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）8．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°9．如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．1个10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题11．将抛物线y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线的解析式为．12．反比例函数y=的图象经过点（2，3），则k=．13．如图，∠AOB放置在正方形网格中，则∠AOB的正切值是．14．已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为cm．15．若，则=．16．⊙O的半径为20，A，B在⊙O上，∠AOB=120°，则△AOB的面积为．17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O与AC相切于点D，∠A=60°，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积．（结果保留根号和π）18．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分19．（6分）计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．20．（6分）如图，已知△ABC，请作出该三角形的外接圆⊙O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不要写作图过程）．21．（8分）小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度．（结果保留到整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）22．（8分）将形状和大小都一样的红、白两种颜色的小球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋装有1个红球和1个白球，乙袋装有2个红球和1个白球，现从每个口袋中各随机摸出1个小球．（1）请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果；（2）有人说：“摸出‘两红’和摸出‘一红一白’这两个事件发生的概率相等．”你同意这种说法吗？为什么？23．（10分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件如图，已知四边形BDEF是菱形，DC=BD，且DC=4，求AE的长度．25．（10分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．26．（10分）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2）（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小．27．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．28．（12分）如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O点为原点，OM 所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD+DC+CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，这个“支撑架”总长的最大值是多少？2017年甘肃省张掖市高台县中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题1．方程x2=2x的根是（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=0，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】整理成一般式后，利用因式分解法求解可得．【解答】解：∵x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，则x=0或x﹣2=0，解得：x=0或x=2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2．如图所示的物体的左视图（从左面看得到的视图）是（）A． B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】找到从左面看所得到的图形即可．【解答】解：从左边看去，就是两个长方形叠在一起，故选D．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．3．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16【考点】S7：相似三角形的性质．【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．4．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【考点】LF：正方形的判定；L6：平行四边形的判定；L9：菱形的判定；LC：矩形的判定；O1：命题与定理．【分析】A、根据矩形的定义作出判断；B、根据菱形的性质作出判断；C、根据平行四边形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；故选C．【点评】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．5．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G4：反比例函数的性质．【分析】根据点A在反比例函数图象上结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定k值．【解答】解：∵点A是反比例函数y=图象上一点，且AB⊥x轴于点B，=|k|=2，∴S△AOB解得：k=±4．∵反比例函数在第一象限有图象，∴k=4．故选C．【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k的几何意义找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程是关键．6．若sin（α﹣10o）=，则∠α为（）A．30°B．40°C．60°D．70°【考点】T5：特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：sin（α﹣10o）=，得α﹣10=60°，α=70°，故选：D．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．7．抛物线y=3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）【考点】H3：二次函数的性质．【分析】直接根据二次函数的顶点坐标式进行解答即可．【解答】解：∵二次函数的解析式为y=3（x﹣4）2+5，∴其顶点坐标为：（4，5）．故选D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．8．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【考点】M5：圆周角定理．【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可得出答案．【解答】解：由题意得∠BOC=2∠A=100°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理，属于基础题，掌握圆周角定理的内容是解答本题的关键．9．如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．1个【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据抛物线与x轴的交点情况判断b2﹣4ac的符号；根据抛物线与y轴的交点判断c的大小；根据开口方向和对称轴，判断b的符号；根据x=1时，y ＜0，判断a+b+c的符号．【解答】解：（1）根据图象，该函数图象与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故（1）正确；（2）由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）的下方，∴c＜1，故（2）错误；（3）对称轴x=﹣＜0，又函数图象的开口方向向下，∴a＜0，∴b＜0，故（3）正确；（4）根据图示可知，当x=1时，即y=a+b+c＜0，故（4）正确；故选：D．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．【解答】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y=×2x=x，当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y=×2×2=2，符合题意的函数关系的图象是B；故选：B．【点评】本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围．二、填空题11．将抛物线y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线的解析式为y=2（x+2）2﹣3．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．【解答】解：将抛物线y=2x2向下平移3个单位得y=2x2﹣3，再向左平移2个单位，得y=2（x+2）2﹣3；故所得抛物线的解析式为y=2（x+2）2﹣3．故答案为：y=2（x+2）2﹣3．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．12．反比例函数y=的图象经过点（2，3），则k=7．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据点的坐标以及反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（2，3），∴k﹣1=2×3，解得：k=7．故答案为：7．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题的关键是得出k﹣1=2×3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数k是关键．13．如图，∠AOB放置在正方形网格中，则∠AOB的正切值是．【考点】T1：锐角三角函数的定义．【分析】过A作AC⊥BO于点C，则可知AC和OC，利用三角函数的定义可求得答案．【解答】解：如图，过A作AC⊥BO于点C，设小正方格的边长为1，则AC=2，OC=4，在Rt△AOC中，tan∠AOB===，故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的定义，构造直角三角形是解题的关键．14．已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为18cm．【考点】MM：正多边形和圆．【分析】根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长a=3cm，正六边形的周长l=6a=18cm，故答案为：18．【点评】本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．15．若，则=．【考点】S1：比例的性质．【分析】设a=3k，b=4k，则代入计算即可．【解答】解：∵，∴设a=3k，b=4k，∴==．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查了比例的性质，比较简单．设出a=3k，b=4k是解此题的关键．16．⊙O的半径为20，A，B在⊙O上，∠AOB=120°，则△AOB的面积为100．【考点】M2：垂径定理；T7：解直角三角形．【分析】根据题意画出相应的图形，过O作OC垂直于AB，由垂径定理得到C 为AB的中点，再利用等腰三角形的两底角相等，由∠AOB=120°，求出∠A为30°，在直角△AOC中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半由OA的长求出OC的长，再利用勾股定理求出AC的长，由AB=2AC求出AB的长，利用三角形的面积公式即可求出△AOB的面积．【解答】解：过O作OC⊥AB，交AB于点C，如图所示，则C为AB的中点，即AC=BC，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，在Rt△AOC中，OA=20，∠A=30°，∴OC=OA=10，根据勾股定理得：AC==10，∴AB=2AC=20，=AB•OC=×20×10=100．则S△AOB故答案为：100．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，含30°直角三角形的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O与AC相切于点D，∠A=60°，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积2﹣π．（结果保留根号和π）【考点】MC ：切线的性质；MO ：扇形面积的计算．【分析】连接OD ，如图，先利用切线的性质得OD ⊥AC ，再计算出∠C=30°，接着利用解直角三角形得到∠COD=60°，OC=2OD=4，CD=OD=2，然后利用扇形面积公式，利用阴影部分的面积=S △ODC ﹣S 扇形DOE 进行计算即可．【解答】解：连接OD ，如图，∵以BE 为直径的⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD ⊥AC ，∵∠ABC=90°，∠A=60°，∴∠C=30°，在Rt △OCD 中，∠COD=60°，OC=2OD=4，CD=OD=2，∴阴影部分的面积=S △ODC ﹣S 扇形DOE =×2×2﹣=2﹣π．故答案为2﹣π．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了不规则图形面积的计算方法．18．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 （）n ﹣1 ．【考点】LB：矩形的性质；L8：菱形的性质．【分析】易得第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为（）2，依此类推，第n个矩形的面积为（）n﹣1．【解答】解：已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的（）2﹣1=；第三个矩形的面积是（）3﹣1=；…故第n个矩形的面积为：（）n﹣1．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分19．计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】分别进行零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等运算，然后按照实数的运算法则计算即可．【解答】解：原式=1+﹣2×+4=5．【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，属于基础题，注意各部分的运算法则．20．如图，已知△ABC，请作出该三角形的外接圆⊙O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不要写作图过程）．【考点】N2：作图—基本作图．【分析】由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，可作△ABC的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为△ABC的外接圆的圆心（设圆心为O）；以O为圆心、OB长为半径作圆，即可得出△ABC的外接圆．【解答】解：如图所示：⊙O即为△ABC的外接圆．【点评】此题主要考查的是三角形外接圆的作法，关键是作出任意两边的垂直平分线，找出外接圆的圆心．21．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度．（结果保留到整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】根据正切的定义分别求出AD、BD的长，计算即可．【解答】解：在Rt△ADC中，tan∠ACD=，∴AD=DC•tan∠ACD=9×=3米，在Rt△ADB中，tan∠BCD=，∴BD=CD=9米，∴AB=AD+BD=3+9≈14米．答：楼房AB的高度约为14米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．22．将形状和大小都一样的红、白两种颜色的小球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋装有1个红球和1个白球，乙袋装有2个红球和1个白球，现从每个口袋中各随机摸出1个小球．（1）请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果；（2）有人说：“摸出‘两红’和摸出‘一红一白’这两个事件发生的概率相等．”你同意这种说法吗？为什么？【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】用列举法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答，比较即可．【解答】解：（1）列举所有等可能的结果，画树状图：（2）不同意这种说法．由（1）知，P（两红）==，P（一红一白）==．∴P（两红）＜P（一红一白）．【点评】画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（10分）（2017•高台县模拟）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（2017•高台县模拟）如图，已知四边形BDEF是菱形，DC=BD，且DC=4，求AE的长度．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L8：菱形的性质．【分析】由菱形的性质可以推知EF=BD，且EF∥BD，则易证△AEF∽△ABC，所以根据相似三角形的对应边成比例来求AE的长度．【解答】解：如图，∵DC=BD，且DC=4，∴BD=8，BC=12．∵四边形BDEF是菱形，∴BE=EF=BD=FD=8，EF∥BD，∴△AEF∽△ABC，∴=，即=，∴AE=16，即AE的长度是16．【点评】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质．相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．25．（10分）（2015•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【考点】L5：平行四边形的性质；KF：角平分线的性质；KQ：勾股定理；LC：矩形的判定．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【点评】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．26．（10分）（2013•成都）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2）（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将A点代入一次函数解析式求出m的值，然后将A点坐标代入反比例函数解析式，求出k的值即可得出反比例函数的表达式；（2）结合函数图象即可判断y1和y2的大小．【解答】解：（1）将A的坐标代入y1=x+1，得：m+1=2，解得：m=1，故点A坐标为（1，2），将点A的坐标代入：，得：2=，解得：k=2，则反比例函数的表达式y2=；（2）结合函数图象可得：当0＜x＜1时，y1＜y2；当x=1时，y1=y2；当x＞1时，y1＞y2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题注意数形结合思想的运用，数形结合是数学解题中经常用到的，同学们注意熟练掌握．27．（10分）（2008•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．【考点】MD：切线的判定；M5：圆周角定理．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°，故AE ⊥OA，即AE是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，有AD=2DE；在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，有BD=2AD=4DE，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA．∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠OAD=∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD=∠BAD=90°．∵∠DBC=30°，∠BDC=60°，∴∠BDE=120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA=60°．∴∠ABD=∠EAD=30°．∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，∴AD=2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，∴BD=2AD=4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．28．（12分）（2008•佛山）如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD+DC+CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，这个“支撑架”总长的最大值是多少？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）看图可得出M，P的坐标．（2）已知M，P的坐标，易求出这条抛物线的函数解析式．（3）设A（m，0），则B（12﹣m，0），C（12﹣m， +m+3），D（m，+m+3）可得支撑架总长．【解答】解：（1）由题意得：M（12，0），P（6，6）；（2）由顶点P（6，6）设此函数解析式为：y=a（x﹣6）2+6，将点（0，3）代入得a=，∴y=（x﹣6）2+6=x2+x+3；（3）设A（m，0），则B（12﹣m，0），C（12﹣m，m2+m+3），D（m，m2+m+3）∴“支撑架”总长AD+DC+CB=（m2+m+3）+（12﹣2m）+（m2+m+3）=∵此二次函数的图象开口向下．∴当m=0时，AD+DC+CB有最大值为18．【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．。