2017-2018年江苏省南京市鼓楼区高一(上)期中数学试卷及参考答案
江苏省南京市金陵中学2017-2018学年度第一学期高一数学期中考试 卷解析版
值范围是 【答案】 ,3 ；
．
【解析】 a 2 时，在 x 1 时， f x 是开口向下的二次函数，对称轴 x 因此在 x 1 时存在 x1 , x2 ；
a 1， 2
a 2 时， f x 在 ,1 递增，值域 , a 1 ，在 1, 递增，值域 3a 7, ，
f 5 f 5 lg 5 0 ， f 4 f 4 lg 4 1 0 ，则 f x 在 4,5 ， 5, 4 有零点，
．
则 k 的值的集合为 5, 4 ． 12. 函数 f x 在 0, 是增函数， g x f x ，若 g lg x g 1 ，则 x 的取值范围是
1 【答案】 0, 10
．
10, ；
1 或 x 10 ． 10
【解析】 g x 是偶函数，在 0, 是增函数，则 lg x 1 ，则 lg x 1 或 lg x 1 ，则 0 x
x 2 ax, x 1 13. 已知函数 f x ，若存在 x1 , x2 R 且 x1 x2 ，使得 f x1 f x2 成立，则实数 a 的取 3ax 7 , x 1
5.
个．
【答案】 8 ； 【解析】 f 1 0 或 1 ， f 0 0 或 1 ， f 1 0 或 1 ，映射共 23 8 个．
6.
1 若幂函数 f x 的图象经过点 2, ，则 f 6 的值为 4
．
【答案】
1 ； 36 1 1 ，则 2 ，则 f 6 62 ． 36 4
【解析】设 f x x ，则 2
南京市2017~2018学年度第一学期期中考试·数学参考答案
(这是边文，请据需要手工删加)南京市2017～2018学年度第一学期期中考试数学参考答案1. {2，3}2. －1－i3. 35 4. 600 5.2或5 6. 12 7. －2 8. 2－1 9. －4 10. －1411. 9 12. －4 13. ⎝⎛⎦⎤0，1e ＋1 14. y＝22x15. (1) a ＋b ＝(sin x －1，3cos x ＋1)． 因为(a ＋b )∥c ，所以sin x －1＝3cos x ＋1，则sin x －3cos x ＝2， 可得2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2，故sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1.因为x ∈[0，π]，所以x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，故x －π3＝π2，解得x ＝5π6.(2) 因为a ·b ＝12，所以－sin x ＋3cos x＝12，即sin x －3cos x ＝－12， 可得2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝－12，故sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－14.因为⎝⎛⎫x ＋π6－⎝⎛⎭⎫x －π3＝π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3. 由x ∈[0，π]，可得x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，又sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－14<0，则x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，0，故可得cos ⎝⎛⎭⎫x －π3>0. 因为sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝1，所以cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154.16. (1) 如图，连结OE.由四边形ABCD 是正方形知O 为BD 的中点．因为PD ∥平面ACE ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面ACE ＝OE ，所以PD ∥OE.在△PBD 中，PD ∥DE ，O 为BD 为中点，所以E 为PB 的中点．(2) 在四棱锥PABCD 中，AB ＝2PC ， 因为四边形ABCD 是正方形， 所以AC ＝2AB ＝2OC ，则AB ＝2OC ，所以PC ＝OC.在△CPO 中，PC ＝OC ，G 为PO 的中点，所以CG ⊥PO.因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以PC ⊥BD.因为四边形AC ⊥BD ，因为AC ，PC ⊂所以BD ⊥平面因为CG ⊂平面因为PO ，BD ⊂O ，所以CG ⊥平面17. (1) ＝DB 1＝h ，则AC ＝12(AB －h ＝AC·tan 60故V(x)＝Sh ＝694x 2(30－x)，0<x<30. (2) V′(x)＝94(60x x ＝20.当x ∈(0，20)30)时，V ′(x)>0，所以V(x)在(030)单调递减， 所以当且仅当x 值9 000. cm 时，容318. (1) 316， 所以3a 4－16a 2a 2＝43.所以椭圆C y 2＝1.(2) 设F 2(c ，0)0)，B(－x 1，－y 1)，故M ⎝⎛⎭⎫x 1－c 2，y 12①由题意，得→因为函数h(x)的最小值为－1e ，所以x ＝－1是不等式f(x)≤g(x)的解， 所以－1＋a ≤－1e ，即a ≤1－1e .故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，1－1e . (3) 因为h(x)＝g(x)，所以g(x)≥f(x)恒成立，即x e x ≥x 3－ax 对一切x ∈R 恒成立．令p (x )＝x 2－e x ，即p ′＝2x －e x ，p ″(x )＝2－e x ，当x >ln 2，p ″(x )<0；当x <ln 2，p ″(x )>0， 所以p ′(x )max ＝2ln 2－2<0，所以p (x )＝x 2－e x 在R 上单调递减． x e x ≥x 3－ax 对一切x ∈R 恒成立等价于 ①当x >0时，问题转化为a ≥p (x )在R 上恒成立；②当x ＝0时，不等式恒成立，则a ∈R ； ③当x <0时，问题转化为a ≤p (x )在R 上恒成立．因为p (x )＝x 2－e x 是R 上的单调减函数， 所以当x >0时，p (x )<p (0)＝－1，所以a ≥－1；当x <0时，p (x )>p (0)＝－1，所以a ≤－1.综上所述，a ＝－1.20. (1) 由g ⎝⎛⎭⎫－12－g(1)＝f(0)，得(－2b ＋4c)－(b ＋c)＝－3，故b 、c 所满足的关系式为b －c －1＝0. (2) 方法一：由b ＝0，b －c －1＝0，可得c ＝－1.方程f(x)＝g(x)，即ax －3＝－x －2，可转化为ax 3－3x 2＋1＝0在(0，＋∞)上有唯一解．令h(x)＝ax 3－3x 2＋1，则h′(x)＝3ax 2－6x ＝3x(ax －2)．当a ≤0时，h ′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减．又h(0)＝1>0，h(1)＝a －2<0，h(x)在(0，＋∞)上连续，由零点存性定理，知h(x)在(0，1)内存在唯一零点，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；当a>0时，令h′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2a ，所以h(x)在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，在(2a ，＋∞)上单调递增，所以h(x)min ＝h ⎝⎛⎭⎫2a ＝1－4a 2. 若h ⎝⎛⎭⎫2a ＝0，即a ＝2，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)≥0，当且仅当x ＝2a 时，h(x)＝0，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；若h ⎝⎛⎭⎫2a >0，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上不存在零点；若h ⎝⎛⎭⎫2a <0，因为h(0)＝1>0，h ⎝⎛⎭⎫3a ＝1>0， 所以h(x)在⎝⎛⎭⎫0，2a 和⎝⎛⎭⎫2a ，3a 内各有一个零点，即函数h(x)的零点不唯一．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪{2}．方法二：由方法一可知a ＝3x －1－x －3.令x －1＝t ，则由题意可得a ＝3t －t 3在(0，＋∞)上有唯一解．令h(t)＝3t －t 3(t>0)，则由h′(t)＝3－3t 2＝0，可得t ＝1，当0<t<1时，由h′(t)>0，可知h(t)在(0，1)上是单调增函数；当t>1时，由h′(t)<0，可知h(t)是在(1，＋∞)上是单调减函数，故当t ＝1时，h(t)取得最大值2； 当0<t<1时，h(t)>h(0)＝0， 所以f(x)＝g(x)在(0，1)无解； 当t>1时，因为h(3)＝0，所以当t>3时，h(t)<0，由零点存在性定理可知h(t)在(1，＋∞)只有一个零点．故当a ＝2或a ≤0时，方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)有唯一解．从而所求a 的取值范围是{a|a ＝2或a ≤0}．(3) 由b ＝1，b －c －1＝0，可得c ＝0. 由A ＝{x|f(x)>g(x)且g(x)<0}得ax －3>1x 且x<0，即ax 2－3x －1<0且x<0.当a>0时，A ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－9＋4a 2a ，0；当a ＝0时，A ＝⎝⎛⎭⎫－13，0； 当a<－94时，A ＝(－∞，0)；当－94≤a<0时，A ＝(－∞，3＋9＋4a 2a )∪(3－9＋4a2a，0)． 数学附加题21. B. 由题意知M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋a 2b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4，2b －1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123－1.由|M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪123－1＝－7得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤172737－17. C. 因为ρ＝2cos θ－2sin θ， 即ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ， 所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝1， 所以圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22，－22. 因为直线的普通方程为x －y ＋42＝0，所以圆心C 到直线l 距离是⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5，故直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是52－12＝2 6.22. (1) 如图，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A(0，0，0)，B(0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)．设平面A 1BC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B →＝0，n 1·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.取z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以平面A 1BC 1的一个法向量为n 1＝(0，4，3)．同理可得平面BB 1C 1的一个法向量为n 2＝(3，4，0)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝1625.因为〈n 1，n 2〉∈[0，π]，所以二面角A 1BC 1B 1的正弦值为34125.(2) 假设存在．设D (x ，y ，z )是线段BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→，0≤λ≤1，则(x ，y －3，z )＝λ(4，－3，4)，所以x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ，所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)． 因为AD ⊥A 1B ，所以AD →·A 1B →＝0， 即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0，1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，此时BD BC 1＝λ＝925.23. (1) 从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C 37＝35(种)取法．其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个，所以P(X＝3)＝6 35.(2)由题意，X的可能取值为3，223，3 3.其中X＝3的三角形如△ABF，角形共有6个；其中X＝2的三角形有两类，如△个)，△PAB(6个)，共有9个；其中X＝6的三角形如△PBD，角形共有6个；其中X＝23的三角形如△CDF 三角形共有12个；其中X＝33的三角形如△BDF。
2017-2018学年南京市金陵中学高一上学期期中数学试卷
一、填空题1．已知集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x|2≤x ≤6}，那么A ∩B ＝_____．2．函数y ＝x 21-＋lg(x ＋1)的定义域为____________．3．若f （2x ）＝x 2−1，则f （x ）的解析式为________________．4．函数f （x ）＝x 21-的值域是_______________．5．已知集合A ＝{−1，0，1}，B ＝{0，1}，那么从A 到B 的映射共有___________个．6．若幂函数f （x ）的图象经过点(2，41)，则f （6）的值为____________． 7．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧>≤--0,0,12x x x x ，那么f[f （−3）]的值为____________． 8．已知f(x)＝x 5＋3x a ＋bx −8，且f （−2017）＝16，那么f （2017）的值为___________． 9．若函数y ＝f （x ）在R 上为奇函数，且当x ≥0时，f （x ）＝2x ＋2x ＋c ，则f （−2）的值为___________．10．若函数y ＝f （x ）的图象经过点（2，3），则函数y ＝f （−x ）＋1的图象必定经过的点的坐标是_____________．11．若方程lg|x|＋|x|−5＝0在区间（k ，k ＋1）上有解（k ∈Z ），则满足条件的所有k 的值的集合为_______________．12．已知函数f （x ）在[0，＋∞）上是增函数，g （x ）＝f （|x|），若g （lgx ）＞g （1），则x 的取值范围是_______________．13．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧>-≤+-1,731,2x ax x ax x ，若存在x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，使得f （x 1）＝f （x 2）成立，则实数a 的取值范围是______________．14．设t ∈R ，若函数f （x ）＝|x 2−2x −t|在区间[0，3]上的最大值为5，则实数t 的值为_______．二、解答题15．计算下列各式的值：（1）0.12531-−(89)0＋[(−2)2]23＋(2×33)6； （2）log 3427＋lg25＋lg4−3．16．已知集合A ＝{x|1≤x ＜6}，B ＝{x|3≤x ≤9}，C ＝{x|a ＜x ≤2a ＋3}．（1）求A ∪B ，A ∩（∁R B ）；（2）若非空集合C 满足A ∩C ＝C ，求实数a 的取值范围．17．已知函数f （x ）＝log a （1＋x ），g （x ）＝log a （1−x ），（a ＞0，a ≠1）．（1）设a ＝2，函数f （x ）的定义域为[3，63]，求f （x ）的最值；（2）求使不等式f （x ）−2g （x ）＞0成立的x 的取值范围．18．经市场调查，新街口某新开业的商场在过去的一个月内（以30天计），顾客人数f （t ）千人与时间t （天）的函数关系近似满足f （t ）＝4＋t1（t ∈N* ），人均消费g （t ）（元）与时间t （天）的函数关系近似满足 g （t ）＝⎩⎨⎧∈≤<-∈≤≤**),307(,130),71(,100N t t t N t t t （1）求该商场的日收益w （t ）（千元）与时间t （天）（1≤t ≤30，t ∈N*）的函数关系式；（2）求该商场日收益的最小值（千元）．19．已知函数f （x ）＝3x ，x ∈R ．（1）若f （x ）−|)(|1x f ＝2，求x 的值； （2）对于任意实数x 1，x 2，试比较2)()(21x f x f +与f(221x x +)的大小； （3）若方程f （ax 2−4x ）＝9在区间[1，2]上有解，求实数a 的取值范围．20．设函数f （x ）＝x 2−1−k|x −1|，其中k ∈R ．（1）若函数y ＝f （x ）为偶函数，求实数k 的值；（2）求函数y ＝f （x ）在区间[0，2]上的最大值；（3）若方程f （x ）＝0有且仅有一个解，求实数k 的取值范围．。
江苏省南京一中2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省南京一中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每题3分，共42分）1．设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B=．2．函数f（x）=的定义域为．3．函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点．4．幂函数y=f（x）的图象经过点，则其解析式是．5．设，则a，b，c的大小关系是．（按从小到大的顺序）6．lg=．7．设函数f（x）=则f[f（﹣1）]的值为．8．x2﹣3x+1=0，则=．9．设P和0是两个集合，定义集合P•Q={x|x∈P，且x≠Q}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x||x ﹣2|＜1}，那么P•Q等于．10．若函数f（x）=log a（x+）是奇函数，则a=．11．不等式：|x﹣1|+2x＞4的解集是．12．已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是．13．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是．14．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．二、解答题（本大题共5小题，共58分）15．（10分）分解下列因式（1）5x2+6xy﹣8y2（2）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．16．（10分）设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}（1）求集合A，B；（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0，a≠1．（1）求a的值；（2）求函数f（x）=a2x﹣a x﹣2+8，x∈[﹣2，1]的值域．18．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为R（x）=，其中x是仪器的产量（单位：台）；（1）将利润f（x）表示为产量x的函数（利润=总收益﹣总成本）；（2）当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？19．（14分）设函数f（x）=x2﹣2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，求实数a的取值范围；（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8，求t的取值范围．2016-2017学年江苏省南京一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每题3分，共42分）1．设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={﹣1，0，1，2} ．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】直接利用并集运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={0，1，2}∪{﹣1，0，1}={﹣1，0，1，2}．故答案为：{﹣1，0，1，2}．【点评】本题考查了并集及其运算，是基础的会考题型．2．函数f（x）=的定义域为[﹣2，3] ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：﹣2≤x≤3，故函数的定义域是[﹣2，3]，故答案为：[﹣2，3]．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．3．函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，2）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数恒过定点（0，1），结合图象的平移变换确定结果．【解答】解：因为y=a x恒过定点（0，1），而y=a x+1是由y=a x沿y轴向上平移1个单位得到的，所以其图象过定点（0，2）．故答案为（0，2）【点评】本题考查了指数函数过定点的性质以及图象的平移变换．属于基础题．4．幂函数y=f（x）的图象经过点，则其解析式是f（x）=x﹣2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；函数的性质及应用．【分析】幂函数的一般形式是f（x）=xα，再利用图象经过点（2，），得f（2）=，可以求出α，问题解决．【解答】解：设幂函数为f（x）=xα，因为图象经过点（2，）∴f（2）==2﹣2，从而α=﹣2函数的解析式f（x）=x﹣2，故答案为：f（x）=x﹣2．【点评】本题考查了幂函数的概念，属于基础题．值得提醒的是准确把握幂函数的表达式的形式和理解函数图象经过某点的意义是解决本题的关键．5．（2010秋•南通期中）设，则a，b，c的大小关系是b＜a＜c．（按从小到大的顺序）【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题．【分析】由0=log41＜a=log43＜log44=1，b=log0.34＜log0.31=0，c=0.3﹣2=＞1，能判断a，b，c的大小关系．【解答】解：∵0=log41＜a=log43＜log44=1，b=log0.34＜log0.31=0，c=0.3﹣2=＞1，∴b＜a＜c，故答案为：b＜a＜c．【点评】本题考查对数值、指数值大小的比较，是基础题，解题地要认真审题，注意指数函安息、对数函数性质的灵活运用．6．lg=lg6+．【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：原式===lg6+．故答案为：lg6+．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（2014秋•建湖县校级期中）设函数f（x）=则f[f（﹣1）]的值为4．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】由函数f（x）=，知f（﹣1）=（﹣1）2+1=2，所以f[f（﹣1）]=f（2），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣1）=（﹣1）2+1=2，∴f[f（﹣1）]=f（2）=22+2﹣2=4，故答案为：4．【点评】本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8．x2﹣3x+1=0，则=11．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】推导出x﹣=3，由此能求出x2+的值．【解答】解：∵x2﹣3x﹣1=0，∴x﹣=3，两边平方得：（x﹣）2=x2+﹣2=9，则x2+=11．故答案为：11．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用．9．设P和0是两个集合，定义集合P•Q={x|x∈P，且x≠Q}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x||x ﹣2|＜1}，那么P•Q等于（0，1] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】根据对数函数的定义域及单调性求出集合P中的不等式的解集，求出集合Q中的绝对值不等式的解集，然后根据题中的新定义即可求出P﹣Q．【解答】解：由集合P中的不等式log2x＜1=log22，根据2＞1得到对数函数为增函数及对数函数的定义域，得到0＜x＜2，所以集合P=（0，2）；集合Q中的不等式|x﹣2|＜1可化为：，解得1＜x＜3，所以集合Q=（1，3），则P•Q=（0，1]故答案为：（0，1]【点评】此题要求学生掌握对数函数的定义域的求法及对数函数的单调性，会求绝对值不等式的解集．学生做题时应正确理解题中的新定义．10．（2005•江西）若函数f（x）=log a（x+）是奇函数，则a=．【考点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】由函数是奇函数，将函数的这一特征转化为对数方程解出a的值．【解答】解：∵函数是奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=0即log a（x+）+log a（﹣x+）=0∴log a（x+）×（﹣x+）=0∴x2+2a2﹣x2=1，即2a2=1，∴a=±又a对数式的底数，a＞0∴a=故应填【点评】考查奇函数的定义及利用对数的去处法则解对数方程，主要训练对定义与法则的理解与掌握．11．不等式：|x﹣1|+2x＞4的解集是{x|x≥1} ．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】综合题；转化思想；演绎法；不等式的解法及应用．【分析】把要解的不等式等价转化为与之等价的两个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：由不等式：|x﹣1|+2x＞4可得①，或．解①求得x≥1，解②求得x∈∅，故原不等式的解集为{x|x≥1}，故答案为{x|x≥1}．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．12．已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是（，1）．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），可得f（x）的偶函数，当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），可知f（x）在（﹣∞，0]是单调增函数．即可将f（m+1）＞f（2m）转化为等式求解．【解答】解：由题意：f（x）的偶函数，f（x）在（﹣∞，0]是单调增函数，∴f（m+1）＞f（2m）转化为|m+1|＞|2m|吗，两边平方得：（m+1）2＞4m2，解得：，所以实数m的取值范围是（，1）．故答案为：（，1）．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性运用能力．属于基础题．13．（2015秋•苏州校级期中）已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是[，）．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意可得，从而可求得a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，∴解得≤a＜．故答案为：[，）．【点评】本题考查函数单调性的性质，得到（3a﹣1）×1+4a≥a1是关键，也是难点，考查理解与运算能力，属于基础题．14．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为a≤﹣1或a≥8．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的对称性求出当x＞0时的解析式，利用基本不等式的性质求出函数f（x）的最值即可得到结论．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0．∵当x＜0时，，∴f（﹣x）=﹣x﹣+7．∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x+﹣7．∵f（x）≥a+1对一切x≥0成立，∴当x＞0时，x+﹣7≥a+1恒成立；且当x=0时，0≥a+1恒成立．①由当x=0时，0≥a+1恒成立，解得a≤﹣1．②由当x＞0时，x+﹣7≥a+1恒成立，可得：2|a|﹣7≥a+1解得a≤﹣8或a≥8．综上可得：a≤﹣1或a≥8．因此a的取值范围是：a≤﹣1或a≥8．故答案为：a≤﹣1或a≥8．【点评】本题主要考查函数恒成立问题，根据函数的奇偶性求出函数的解析式，以及利用基本不等式求出最小值是解决本题的关键．二、解答题（本大题共5小题，共58分）15．（10分）分解下列因式（1）5x2+6xy﹣8y2（2）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．【考点】因式分解定理．【专题】计算题；转化法．【分析】（1）利用十字相乘法，可进行分解；（2）利用十字相乘法和提公因式法，可进行分解；【解答】解：（1）5x2+6xy﹣8y2=（5x﹣4y）（x+2y）（2）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a=（x+5）（x﹣3）﹣a（x+5）=（x+5）（x﹣3﹣a）【点评】本题考查的知识点是因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．16．（10分）（2015秋•张家港市校级期中）设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x ﹣2，x∈R}（1）求集合A，B；（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．【考点】对数函数的定义域；并集及其运算；函数的值域．【专题】计算题．【分析】（1）集合A即函数y=log2（x﹣1）定义域，B即y=﹣x2+2x﹣2，x∈R的值域．（2）先求出集合C，由B∪C=C 可得B⊆C，∴﹣＞﹣1，解不等式得到实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|y=log2（x﹣1）}={x|（x﹣1）＞0}=（1，+∞），B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}={y|y=﹣（x﹣1）2﹣1，x∈R}=（﹣∞，﹣1]．（2）集合C={x|2x+a＜0}={x|x＜﹣}，∵B∪C=C，∴B⊆C，∴，∴实数a的取值范围（﹣∞，2）．【点评】本题考查函数的定义域、值域的求法，利用集合间的关系求参数的取值范围．17．（12分）（2015秋•苏州校级期中）已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0，a≠1．（1）求a的值；（2）求函数f（x）=a2x﹣a x﹣2+8，x∈[﹣2，1]的值域．【考点】指数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）代入值计算即可，（2）根据函数的单调性，即可求其值域．【解答】解：（1）把代入f（x）=a x﹣1，得．（2）由（1）得f（x）=（）2x﹣（）x﹣2+8=∵x∈[﹣2，1]∴，当时，f（x）max=8，当时，f（x）min=4∴函数f（x）的值域为[4，8]．【点评】本题主要考查了质数函数的单调性和利用函数的最值求值域，属于基础题．18．（12分）（2014秋•高邮市期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为R（x）=，其中x是仪器的产量（单位：台）；（1）将利润f（x）表示为产量x的函数（利润=总收益﹣总成本）；（2）当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．【解答】解：（1）当0≤x≤400时，当x＞400时，f（x）=80000﹣100x﹣20000=60000﹣100x所以…（7分）（2）当0≤x≤400时当x=300时，f（x）max=25000，…（10分）当x＞400时，f（x）=60000﹣100x＜f（400）=20000＜25000…（13分）所以当x=300时，f（x）max=25000答：当产量x为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元．…（15分）【点评】本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．19．（14分）设函数f（x）=x2﹣2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，求实数a的取值范围；（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8，求t的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）判断f（x）在[0，4]上的单调性，根据单调性求出f（x）的最值，得出值域；（2）令g（x）=f（x）﹣5，根据对称轴与区间[a，a+2]的关系求出g（x）的最大值，令g max （x）＜0解出a的取值范围．（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，对任意的x1，x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8等价于M﹣m≤8，结合二次函数的性质可求【解答】解：（1）当t=1时，f（x）=x2﹣2x+2，∴f（x）的对称轴为x=1，∴f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，4]上单调递增，∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1，当x=4时，f（x）取得最大值f（4）=10．∴f（x）在区间[0，4]上的取值范围是[1，10]．（2）∵f（x）＜5，∴x2﹣2x+2＜5，即x2﹣2x﹣3＜0，令g（x）=x2﹣2x﹣3，g（x）的对称轴为x=1．①若a+1≥1，即a≥0时，g（x）在[a，a+2]上的最大值为g（a+2）=a2+2a﹣3，∵对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，∴g（x）=x2﹣2x﹣3＜0恒成立，∴a2+2a﹣3＜0，解得0≤a＜1．②若a+1＜1，即a＜0时，g（x）在[a，a+2]上的最大值为g（a）=a2﹣2a﹣3，∵对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，∴g（x）=x2﹣2x﹣3＜0恒成立，∴a2﹣2a﹣3＜0，解得﹣1＜a＜0，综上，实数a的取值范围是（﹣1，1）．（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，所以“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8”等价于“M﹣m≤8”．①当t≤0时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（0）=2．由M﹣m=18﹣8t﹣2=16﹣8t≤8，得t≥1．从而t∈∅．②当0＜t≤2时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=18﹣8t﹣（2﹣t2）=t2﹣8t+16=（t﹣4）2≤8，得．，⇒③当2＜t≤4时，M=f（0）=2，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=2﹣（2﹣t2）=t2≤8，得﹣2≤t≤2⇒2＜t≤2；④当t＞4时，M=f（0）=2，m=f（4）=18﹣8t．由M﹣m=2﹣（18﹣8t）=8t﹣16≤8，得t≤3．从而t∈∅．综上，t的取值范围为区间[4﹣2，2]【点评】本题考查了二次函数的单调性与最值，函数恒成立问题，常根据对称轴与区间的关系来判断单调性，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．。
2017-2018学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合M={x|0≤x＜2}，N={-1，0，1，2}，则M∩N=______．2.计算：lg4+lg的值是______．3.函数f（x）=（x-2）的定义域是______．4.已知tanα=2，则tan（α+）的值是______．5.若函数f（x）=cos x+|2x-a|为偶函数，则实数a的值是______．6.已知向量=（1，2），=（-2，1）．若向量-与向量k共线，则实数k的值是______．7.已知角α的终边经过点P（12，5），则sin（π+α）+cos（-α）的值是______．8.已知函数f（x）=，则f（-2）+f（log23）的值是______．9.在△ABC中，若tan A＞1，则角A的取值范围是______．10.在平行四边形ABCD中，=，=．若||=2，||=3，与的夹角为，则线段BD的长度为______．11.已知α∈（0，），且满足=2，则tanα的值是______．12.已知函数f（x）=sin（ωx-）（ω＞0），将函数y=f（x）的图象向左平移π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值是______．13.如图，已知函数f（x）的图象为折线ACB（含端点A，B），其中A（-4，0），B（4，0），C（0，4），则不等式f（x）＞log2（x+2）的解集是______．14.若m＞0，且关于x的方程（mx-1）2-m=在区间[0，1]上有且只有一个实数解，则实数m的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知向量=（1，2），=（-3，4）．（1）求向量+与向量夹角的大小；（2）若 ⊥（+λ），求实数λ的值．16.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示．（1）求A，ω，φ的值；（2）若x∈[-，]，求f（x）的值域．17.已知sinα=-，α∈（-，0）．（1）求cos（+α）的值；（2）若sin（α+β）=-，β∈（0，），求β的值．18.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，点A在弧上（异于点P，Q），过点A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C．记∠AOB=θ，四边形ACOB的周长为l．（1）求l关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，l有最大值，并求出l的最大值．19.如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且=2．M是线段CE上一动点．（1）若M是线段CE的中点，=m+n，求m+n的值；（2）若AB=9，•=43，求（+2）•的最小值．20.如果函数f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使得该函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]，则称函数f（x）是该定义域上的“和谐函数”．（1）求证：函数f（x）=log2（x+1）是“和谐函数”；（2）若函数g（x）=+t（x≥1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】{0，1}【解析】解：集合M={x|0≤x＜2}，N={-1，0，1，2}，则M∩N={0，1}．故答案为：{0，1}．根据交集的定义计算即可．本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．2.【答案】1【解析】解：lg4+lg=lg10=1．故答案为：1．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.【答案】[2，+∞）【解析】解：f（x）=（x-2）=，由x-2≥0，得x≥2．∴函数f（x）=（x-2）的定义域是：[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．化分数指数幂为根式，再由根式内部的代数式大于等于0求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．4.【答案】-3【解析】解：tanα=2，则tan（α+）==-3，故答案为：-3．直接利用三角函数的关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换和求值问题的应用．5.【答案】0【解析】解：根据题意，若函数f（x）=cosx+|2x-a|为偶函数，则f（-x）=f（x），即cos（-x）+|-2x-a|=cosx+|2x-a|，则有|2x+a|=|2x-a|恒成立，必有a=0；故答案为：0．根据题意，由偶函数的定义可得f（-x）=f（x），即cos（-x）+|-2x-a|=cosx+|2x-a|，分析可得答案．本题考查函数奇偶性的定义与性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．6.【答案】-1【解析】解：；∵向量与向量共线；∴3（2k+1）-（k-2）=0；解得k=-1．故答案为：-1．可先求出，根据向量与向量共线即可得出3（2k+1）-（k-2）=0，求出k的值即可．考查向量坐标的加法、减法和数乘运算，共线向量的坐标关系．7.【答案】【解析】解：∵角α的终边经过点P（12，5），∴sinα==，cosα==，则sin（π+α）+cos（-α）=-sinα+cosα=-+=，故答案为：．由题意利用任意角的三角函数的定义求得sinα、cosα的值，再利用诱导公式求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，属于基础题．8.【答案】5【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（-2）=log24=2，3）==3，f（log∴f（-2）+f（log23）=2+3=5．故答案为：5．4=2，f（log23）==3，由此能求出f（-2）+f（log23）的值．推导出f（-2）=log本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】（，）【解析】解：△ABC中，A∈（0，π），又tanA＞1，∴角A的取值范围是（，）．故答案为：（，）．根据△ABC中A∈（0，π），结合正切函数的图象与性质，即可得出A的取值范围．本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题．10.【答案】【解析】解：如图所示，平行四边形ABCD中，=，=；若||=2，||=3，与的夹角为，则=-，∴=-2•+=-2•+=32-2×3×2×cos+22=7，∴线段BD的长度为．故答案为：．根据题意画出图形，利用平面向量的平行四边形合成法则表示出，再求线段BD的长度．本题考查了利用平面向量的数量积求模长的应用问题，是基础题．11.【答案】1【解析】解：∵==2，∴=2，∵α∈（0，），∴tanα＞0，则tanα=1，故答案为：1．结合二倍角公式化简=，然后分子分母同时除以cos2α即可求解．本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系的基本应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．12.【答案】2【解析】解：∵函数y=sin（ωx）的图象向左平移π个单位后与原图象重合，∴π=n×，n∈z，∴ω=2n，n∈z．又ω＞0，故其最小值是2．故答案为：2．函数y=sin（ωx）的图象向左平移π个单位后与原图象重合，可判断出π是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，求出它的最小值．本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换，解题的关键是对题意的理解，是中档题．13.【答案】（-2，2）【解析】解：根据题意，由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+2）的图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+2）的x范围是-2＜x＜2；所以不等式f（x）≥log2（x+2）的解集是（-2，2）；故答案为：（-2，2）根据题意，作出y=log2（x+2）的图象，利用数形结合得到不等式的解集即可得答案．本题考查了数形结合求不等式的解集；关键是准确作出函数的图象，属于基础题．14.【答案】（0，1]∪[3，+∞）【解析】解：根据题意，令f（x）=m2x2-2mx-+1-m，有f（0）=1-m，f（1）=m2-3m，若方程（mx-1）2-m=在x∈[0，1]上有且只有一个实根，即函数f（x）在区间[0，1]上有且只有一个零点，有f（0）f（1）=（1-m）（m2-3m）≤0，又由m为正实数，则（1-m）（m2-3m）≤0⇒（1-m）（m-3）≤0，解可得0＜m≤1或m≥3，即m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞），故答案为：（0，1]∪[3，+∞）．根据题意，令f（x）=m2x2-2mx-+1-m，由函数的解析式求出f（0）、f（1）的值，由函数零点判定定理可得f（0）f（1）=（1-m）（m2-3m）≤0，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查函数方程的转化思想，注意运用函数的零点判定定理，考查运算能力，属于基础题．15.【答案】解：（1）因为=（1，2），=（-3，4），所以+=（-2，6），所以|+|==2，||=，（+）•=-2+12=10；…（4分）记向量+与向量的夹角为θ，从而cosθ===；…（6分）因为θ∈[0，π]，所以θ=，即向量+与向量的夹角为；…（8分）（2）因为 ⊥（+λ），所以•（+λ）=0，即+λ•=0，所以5+λ（-3+8）=0，…（12分）解得λ=-1．…（14分）【解析】（1）利用平面向量的数量积求模长和夹角的大小；（2）根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求得λ的值．本题考查了平面向量的数量积与模长公式和夹角的计算问题，是基础题．16.【答案】解（1）根据函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象，设函数f（x）的最小正周期为T，由图象知：A=2，T=-（-）=，所以周期T=π，从而ω==2．因为函数图象过点（-，2），所以sin（-+φ）=1．因为0＜φ＜π，所以-＜-+φ＜，所以-+φ=，解得φ=．因此A=2，ω=2，φ=．（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+），因为x∈[-，]，∴-≤2x+≤，∴-≤sin（2x+）≤1，从而函数f（x）的值域为[-，2]．【解析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17.【答案】解（1）因为sinα=-，α∈（-，0），所以cosα==．从而 cos（+α），=cos cosα-sin sinα=×-×（-），=．（2）因为α∈（-，0），β∈（0，），所以α+β∈（-，）．因为sin（α+β）=-，所以cos（α+β）==．从而sinβ=sin[（α+β）-α]，=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=-×-×（-）=．因为β∈（0，），所以β=．法二：因为 sin（α+β）=-，所以-cosβ+sinβ=-．从而有2sinβ-8cosβ=-3，又sin2β+cos2β=1，解得cosβ=，sinβ=或cosβ=，sinβ=-（舍去）．因为β∈（0，），所以β=．【解析】（1）直接利用已知条件和同角三角函数关系式的变换求出结果．（2）利用和（1）同样的方式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）在直角三角形OAB中，∵OA=1，∠AOB=θ，∴OB=cosθ，AB=sinθ．在直角三角形OAC中，∵∠POQ=，∴∠AOC=-θ，从而OC=cos（-θ），AC=sin（-θ）．∴l=sinθ+cosθ+sin（-θ）+cos（-θ），θ∈（0，）；（2）由（1）知，l=sinθ+cosθ+sin（-θ）+cos（-θ）=sinθ+cosθ+（cosθ-sinθ）+（cosθ+sinθ）=sinθ+cosθ=（+1）（sinθ+cosθ）=（+1）sin（θ+），θ∈（0，）．∵θ∈（0，），∴θ+∈（，），∴当且仅当θ+=，即θ=时，l取得最大值+1．∴当θ=时，l取得最大值，最大值为+1．【解析】（1）在直角三角形OAB中，由OA，∠AOB，求出OB=cosθ，AB=sinθ，在直角三角形OAC中，由∠POQ=，可得∠AOC=-θ，从而求出OC=cos（-θ），AC=sin（-θ），则可求出l关于θ的函数关系式；（2）由（1）知，l=sinθ+cosθ+sin（-θ）+cos（-θ），利用三角函数的诱导公式化简可得l=（+1）sin（θ+），由θ∈（0，），可得θ+∈（，），从而求出当θ+=，即θ=时，l取得最大值．本题考查简单的数学建模思想方法，考查三角函数的恒等变换应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题．19.【答案】解（1）因为M是线段CE的中点，=2，所以=+=+=+（-）=（+），=（++）=+=m+n，因为与不共线，所以m=，n=，则m+n=．…（7分）；（2）在矩形ABCD中，=--，=+=--，所以•=（--）•（--）=2+•+ 2=2+2．因为AB=9，•=43，所以2+2=×92+2=43，解得||=4，即AD=BC=4．在Rt△EBC中，EB=3，BC=4，则EC=5．…（11分）因为=2，所以+2=（+）+2（+）=3++2=3．…（13分）设ME=t，0≤t≤5．所以（+2）•=-3ME•MC=-3t•（5-t）=3（t2-5t）=3（t-）2-，0≤t≤5．因此当且仅当t=时，（+2）•有最小值-，从而（+2）•的最小值为-．…（16分）解法二：建立如图直角坐标系，则A（0，0），E（6，0），B（9，0），设C（9，m），m＞0．则=（-9，-m），=（-3，-m），•=27+m2=43，所以m=4 …（3分）所以C（9，4），因为M在线段CE上，设=λ，0≤λ≤1．M（x，y），则=（x-9，y-4），=（-3，-4），x-9=-3λ，y-4=-4λ，所以x=9-3λ，y=4-4λ．即M（9-3λ，4-4λ）…（5分）所以=（3λ-9，4λ-4），=（3λ，4λ-4）+2=（9λ-9，12λ-12），=（3λ，4λ），（+2）•=27λ2-27λ+48λ2-48λ=75（λ2-λ）=75（λ-）2-，0≤λ≤1．…（8分）所以当且仅当λ=时，（+2）•有最小值-，从而（+2）•的最小值为-．…（9分）注：第（1）问（7分），将用与线性表示，得（4分），指出m，n并求出m+n的值（3分），不交代与不共线，扣（1分）；第（2）问（9分），求出AD的长得（3分），求出EC的长得（1分），得出+2=3得（2分），列出（+2）•的函数关系式得（2分），求出最值得（1分）．用坐标法（解法二），求出C点坐标（即求出m值）得（3分），得出M点坐标得（2分），列出函数关系式得（3分），求出最值得（1分）．【解析】（1）由已知，用表示，然后利用向量的基本定理可求m，n，即可；（2）利用向量加法及减法的平行四边形法则表示，，，然后利用向量的数量积的定义求解•，可求AD，然后再结合向量数量积的定义及二次函数的性质可求法二：利用向量的坐标表示，结合二次函数的性质可求．本题主要考查了向量数量积及运算在实际问题中的应用，解题中要注意把实际图形问题转化为数学问题．20.【答案】解：（1）证明：函数f（x）=log2（x+1）的定义域为（-1，+∞），且在（-1，+∞）上单调递增；考察函数F（x）=f（x）-x2=log2（x+1）-x2，x∈（-1，+∞）；因为F（0）=log2 1-0=0，取a=0，则F（a）=0，即f（a）=a2；F（1）=log2 2-1=0，取b=1，则F（b）=0，即f（b）=b2；因为f（x）在[a，b]上单调递增；所以f（x）在区间[a，b]上的值域为[f（a），f（b）]，即为[a2，b2]；所以函数f（x）=log2（x+1）是（-1，+∞）上的“和谐函数”；（2）任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2；则g（x1）-g（x2）==，即g（x1）＜g（x2）；因此g（x）在[1，+∞）单调递增；因为函数g（x）=是“和谐函数”；所以存在[a，b]⊆[1，+∞），使得函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]；即g（a）=a2，g（b）=b2．因此g（x）=x2，即在[1，+∞）上至少有两个不相等的实数根；令，u≥0，方程可化为u2+1=u+t；即u2-u+1-t=0在[0，+∞）上至少有两个不相等的实数根；记h（u）=u2-u+1-t，h（u）的对称轴为直线u=；所以△；解得＜t≤1，即t的取值范围为（，1]．【解析】（1）可判断f（x）在（-1，+∞）上单调递增，考察F（x）=f（x）-x2，可求出F（0）=F（1）=0，取a=0，得出f（a）=a2；取b=1，得出f（b）=b2．即f（x）在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]，即得出f（x）是“和谐函数”；（2）可判断g（x）在[1，+∞）上单调递增，根据g（x）是“和谐函数”可得出，存在[a，b]⊆[1，+∞）使得函数g（x）在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]．从而得出方程在[1，+∞）上至少有两个不相等的实数根．进而得出u2-u+1-t=0在[0，+∞）上至少有两个不相等的实数根，从而可得出，这样即可求出t的取值范围．考查对“和谐函数”定义的理解，对数函数单调性，函数单调性的定义，以及二次函数图象和性质．。
2017-2018学年度高一第二学期江苏省南京市鼓楼金陵中学数学期中试卷与解析
9.
若 sin
2
cos
2
2 2 ，则 cos 2 的值为 3
10. 已知数列 an 为等差数列，首项 a1 3 ，公差 d 2 ，设其前 n 项和为 S n ，若 Sk 5 ，则正整数 k 的 值为 ． ．
11. 若对任意的 x 0,3 ，不等式 x2 ax 4 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是
m．
D
A
B
C
6. 7.
不等式 x 1 x 2 0 的解集为
．
a30 的值
在等差数列 an 中，设其前 n 项和为 S n ，若 S10 31 ， S20 122 ，则 a21 a22 为 ．
8.
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题： “三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛 减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还． ”其意思为：有一个人走 378 里路，第 一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地．经计算可 得，该人第二天走了 里． ．
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12. 在 △ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ．若 B
BA BC 的值为
π ， b 3 1 ，且 a, b, c 成等差数列，则 6
．
1 8 1 ，则 x y 的最小值为 x y x 2y
13. 若实数 x, y液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据 经验，当水中营养液的浓度不低于 4(克/升)时，它才能有效． ⑴ 若只投放一次 4 个单位的营养液，则有效时间可能达几天？ ⑵ 若先投放 2 个单位的营养液，3 天后投放 b 个单位的营养液．要使接下来的 2 天中，营养液能够持 续有效，试求 b 的最小值．
2017-2018学年江苏省南京师大附中高一第一学期期中考试数学试题(解析版)
2017-2018学年江苏省南京师大附中高一第一学期期中考试数学试题一、填空题1．已知集合，.若，则实数__________.【答案】0【解析】【分析】由集合相等的性质，有m=2m，由此能求出m的值．【详解】∵集合A={2，m}，B={2m，2}．A=B，∴由集合相等的性质，有m=2m，解得m=0．故答案为：0．【点睛】本题考查实数值的求法，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．若幂函数的图像过点，则实数__________.【答案】2【解析】【分析】把点的坐标代入函数解析式进行求解即可．【详解】将点坐标代入，∵，∴.故答案为：2【点睛】本题主要考查幂函数的应用，利用代入法是解决本题的关键．3．函数的定义域为__________．【答案】【解析】由题得，所以．故填4．若集合，则集合的子集个数为__________.【答案】8【解析】【分析】根据集合子集的定义和公式即可得到结论．【详解】记是集合中元素的个数，集合的子集个数为个.故答案为：8【点睛】本题主要考查集合子集个数的求解，含有n个元素的子集个数为2n个，真子集的个数为2n-1个．5．若函数是偶函数，则__________．【答案】0【解析】由题得.故填0.6．已知，，则__________（用含，的代数式表示）.【答案】【解析】【分析】由换底公式，可得l，由此能够准确地利用a，b表示log36．【详解】由换底公式，.故答案为：本题考查换底公式的运用，解题时要注意公式的灵活运用．7．已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则__________. 【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性进行转化求解即可．【详解】根据函数的奇偶性的性质可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．8．已知函数，函数为一次函数，若，则__________.【答案】【解析】【分析】设出函数的解析式，利用待定系数法转化求解即可．【详解】由题意，函数为一次函数，由待定系数法，设（），，由对应系数相等，得，.即答案为.【点睛】本题考查函数的解析式的求法，是基本知识的考查．9．若函数，则方程所有的实数根的和为__________.【答案】【分析】利用分段函数，求解方程的解即可．【详解】由，得；又由，得，所以和为.【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力．10．设，，，则，，三者的大小关系是__________．（用“”连接）【答案】【解析】∵，，，∴．故填.11．已知函数的零点为，若，，则__________. 【答案】2【解析】【分析】由函数的解析式判断单调性，求出f（2），f（3）的值，可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f（x）=2x+x-7的零点所在的区间【详解】由零点定理，，，.根据函数的零点的判定定理可得：函数f（x）=xlog2x-3的零点所在的区间是（2，3），所以n=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．12．已知函数在区间是增函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】【解析】当x≥-1时，f（x）是增函数；当x＜-1时，f（x）是减函数，从而区间[a，+∞）左端点a应该在-1的右边，由此能求出实数a的取值范围．【详解】∵函数，函数f（x）=|x+1|在区间[a，+∞）是增函数，当x≥-1时，f（x）是增函数；当x＜-1时，f（x）是减函数，∴区间[a，+∞）左端点a应该在-1的右边，即a≥-1，∴实数a的取值范围是[-1，+∞）．故答案为：[-1，+∞）．【点睛】本题考查实数值的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．13．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】由函数f（x）过点（0，2），（3，0），．作出函数f（x）在[-3，3]上的图象，当x∈[-3，0）的时候，y=2f（x）的图象恒在y=x的上方，当x∈[0，3]时，令2f（x）=x，得，由此能求出f（x）+f（-x）＞x的解集．【详解】由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：.【点睛】本题考查不等式的解集的求法，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．14．如图，过原点的直线与函数的图像交于，两点，过，分别作轴的垂线，与函数的图像分别交于，两点．若平行于轴，则四边形的面积为__________．【答案】【解析】因为点和点的纵坐标相等，设点的横坐标为，点的横坐标为，则有．∵，∴．又，在一条过原点的直线上，∴，∴，∴．，，，，所以．故填.点睛：本题的难点在于找到a的值，本题是通过，在一条过原点的直线上，根据相似得到的.在找方程时，注意学会根据几何条件找方程.二、解答题15．已知全集，集合，.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，解log2x≥1可得集合B，由交集的定义可得集合A∩B，（2）根据题意，（∁U A）∪（∁U B）=∁U（A∩B），由（1）的结论，计算可得答案．【详解】（1）由题意知，，故：.（2），，故：.【点睛】本题考查集合间的混合运算，关键是掌握集合交、并、补的定义，属于基础题．16．求值：（1）（2）【答案】（1）；（2）5【解析】试题分析：（1）第一题，主要是利用分数指数幂和整数指数幂的运算性质解答.(2)第二题，主要利用对数的换底公式和对数恒等式解答.试题解析：（）原式．（）原式．17．已知函数，其中且，又.（1）求实数的值；（2）若，求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据f（1）=5建立方程关系进行求解即可．（2）利用换元法结合一元二次函数的性质求函数的最值即可求函数的值域．【详解】本题考查函数的性质．（1）由，得：，解得：，又∵且，∴.（2）由（1）知：，设，，∴，则，易知，在内单调递增，故，，故：的值域为．【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及函数值域的计算，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．18．某市自来水公司每两个月（记为一个收费周期）对用户收一次水费，收费标准如下：当每户用水量不超过吨时，按每吨元收取；当该用户用水量超过吨时，超出部分按每吨元收取．（1）记某用户在一个收费周期的用水量为吨，所缴水费为元，写出关于的函数解析式．（2）在某一个收费周期内，若甲、乙两用户所缴水费的和为元，且甲、乙两用户用水量之比为，试求出甲、乙两用户在该收费周期内各自的用水量和水费．【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）第一问，主要是分类讨论得到一个关于x的分段函数. (2)第二问，先要分析出甲、乙两用户的用水量是否超过了30吨，确定后，得到一个方程，即可得到他们搁置的用水量和水费.试题解析：（）由题意知，．（）假设乙用户用水量为吨，则甲用户水量为吨，则甲乙所交水费所缴水费之和为，∴甲乙两用户用水量都超过吨．设甲用水吨，乙用水吨，则有，解得：，故：甲用水吨，水费为元；乙用水吨，水费为元．19．已知函数（，）（1）当时，求函数的定义域；（2）当时，求关于的不等式的解集；（3）当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由a x-1＞0，得a x＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令，可知在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．【详解】本题考查恒成立问题．（1）当时，，故：，解得：，故函数的定义域为；（2）由题意知，（），定义域为，用定义法易知为上的增函数，由，知：，∴.（3）设，，设，，故，，故：，又∵对任意实数恒成立，故：.【点睛】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．20．已知函数，（1）求不等式的解集；（2）记在上最大值为，若，求正实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意知，，分段解不等式即可．（2）①当x≥1时，令f（x）＜2，解得1≤x＜2．②当0≤x＜1时，令f（x）＜2，解得0≤x＜1．即可求解．【详解】本题考查分段函数综合问题．（1）由题意知，，①当时，令，解得：；②当时，令，解得：，综上所述，；（2）①当时，令，解得：；②当时，令，解得：，故时，，故正实数的取值范围为．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．第 11 页共 11 页。
江苏省南京市金陵中学2017-2018学年高一上学期期中考试英语试题
第一卷（共65分）第一部分听力（共两节，满分10分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题0.5分，满分2.5分）听下面5段对话，每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. When can the man see the headmaster?A. At 9:30.B. At 11:45.C. At 12:40.2. Why does the man want to keep the window shut?A. He is ill.B. He wants to open it himself.C. The air inside is fresh enough.3. What is Mike?A. A teacher.B. A student.C. A writer.4. What has made working at home possible?A. Personal computers.B. Communication industry.C. Living far from companies.5. Where is the woman?A. In a soap factory.B. In her house.C. At an information desk.第二节(共15小题；每小题0.5分，满分7.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6至第7题。
6. Where does the conversation most probably take place?A. At home.B. On a bus.C. In the bank.7. Why do the two speakers want to buy a car?A. They have a lot of money.B. The man lives too far away from his office.C. The woman’s office is too far away from her home.听第7段材料，回答第8至第10题。
2017-2018年江苏省南京市鼓楼区高一上学期数学期中试卷带答案
2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设集合A={0，1，2}，B={2，4}，则A∪B=．2．（5分）函数的定义域为．3．（5分）求值：（log23）（log34）=．4．（5分）计算：=．5．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由表给出：则f（g（1））．6．（5分）化简式子的结果是．7．（5分）函数的值域是．8．（5分）已知，则幂函数y=x a的图象不可能经过第象限．9．（5分）设实数a=30.5，b=30.8，c=2.30.5，则a，b，c的大小关系为，（按由小到大的顺序排列）．10．（5分）已知函数y=﹣x2+4ax在区间[﹣1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式的x的取值范围是．12．（5分）若，则lgx•lgy的最大值是．13．（5分）已知函数f（x）=3﹣x﹣3x，则关于的下列结论：①f（0）=0②f（x）是奇函数③f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数④对任意实数a，方程f（x）﹣a=0都有解，其中正确的有（填写序号即可）．14．（5分）已知a∈R，函数f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a在区间[1，5）上的最大值是4，则a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}，（1）求A∩B．（2）已知函数y=ln（x+3）的定义域为E，求∁E（A∩B）．16．（14分）已知f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=x2+6x+10．（1）求f（x）的解析式．（2）若f（x）在区间[0，a]上的最小值是5，求实数a的值．17．（14分）已知函数．（1）求证：f（x）是奇函数．（2）已知g（x）=f（x）+mx3+3，且，试求的值．18．（16分）某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（单位：元）与月处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳所得的这种化工产品可获利200元，如果该项目不获利，那么亏损数额将由国家给予补偿．（1）求x=30时，该项目的月处理成本．（2）当x∈[100，200]时，判断该项目能否获利？如果亏损，那么国家每月补偿数额（单位：元）的范围是多少？19．（16分）（1）求函数f（x）=x2+3x﹣4的零点．（2）试确定关于x的方程的解的个数．（3）如果（2）的解记为x0，且x0∈[k，k+1]，k∈Z，那么k的值是多少？20．（16分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1的图象经过点A（1，2），B（3，8）．（1）求a，b的值．（2）当x≤﹣2时，函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，求实数m的取值范围．（3）定义在[p，q]上的一个函数m（x），如果存在一个常数M＞0，使得式子对一切大于1的自然数n都成立，则称函数m（x）为“[p，q]上的H函数”（其中，P=x0＜x1＜…＜x i＜x＜…＜x n=q）．﹣1试判断函数f（x）是否为“[﹣1，3]上的H函数”．若是，则求出M的最小值；若不是，则请说明理由．（注：）．2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设集合A={0，1，2}，B={2，4}，则A∪B={0，1，2，4} ．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={2，4}，∴A∪B={0，1，2，4}故答案为：{0，1，2，4}2．（5分）函数的定义域为．【解答】解：由2x+1＞0，得x．∴函数的定义域为．故答案为：．3．（5分）求值：（log23）（log34）=2．【解答】解：：（log23）（log34）=．故答案为2．4．（5分）计算：=．【解答】解：分数指数幂的运算，故答案为：5．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由表给出：则f（g（1））1．【解答】解：由题意得：g（1）=3，f（3）=1，∴f（g（1））=f（3）=1．故答案为：1．6．（5分）化简式子的结果是a﹣b．【解答】解：=|b﹣a|=a﹣b，故答案为：a﹣b7．（5分）函数的值域是．【解答】解：∵，∴函数（x∈[﹣3，2]）单调递减，又f（2）=，f（﹣3）=9，∴函数（x∈[﹣3，2]）的值域为，故答案为．8．（5分）已知，则幂函数y=x a的图象不可能经过第二、四象限．【解答】解：当a=﹣1或a=3时，幂函数y=x a的图象经过一、三象限，当时，幂函数y=x a的图象经过第一象限．∴幂函数y=x a的图象不可能经过第二、四象限．故答案为：二、四．9．（5分）设实数a=30.5，b=30.8，c=2.30.5，则a，b，c的大小关系为c＜a＜b，（按由小到大的顺序排列）．【解答】解：根据幂函数y=x0.5是定义域R上的单调递增函数，所以2.30.5＜30.5；又因为指数函数y=3x是定义域R上的单调递增函数，所以30.5＜30.8；所以c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．10．（5分）已知函数y=﹣x2+4ax在区间[﹣1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是；．【解答】解：根据题意，函数y=﹣x2+4ax为二次函数，且开口向下，其对称轴为x=2a，若其在区间[﹣1，2]上单调递减，则2a≤﹣1，所以，即a的取值范围为；故答案为：．11．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式的x的取值范围是（，）．【解答】解：根据题意，偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，若，则，即，解可得：＜x＜，即；故答案为：（，）．12．（5分）若，则lgx•lgy的最大值是4．【解答】解：等号两边同时取对数，得lg（•y）=lg100=2即，利用换元法，令t=lgy（t∈R），则lgx=8﹣4t，∴lgx•lgy=（8﹣4t）t=﹣4t2+8t=﹣4（t﹣1）2+4，当t=1时，取最大值，最大值为4，故答案为：4．13．（5分）已知函数f（x）=3﹣x﹣3x，则关于的下列结论：①f（0）=0②f（x）是奇函数③f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数④对任意实数a，方程f（x）﹣a=0都有解，其中正确的有（填写序号即可）①②④．【解答】解：∵f（x）=3﹣x﹣3x，f（﹣x）=3x﹣3﹣x=﹣（3﹣x﹣3x），∴f（x）=﹣f（﹣x），即函数f（x）=3﹣x﹣3x是奇函数，由奇函数的性质，①②均正确；又，是R上的单调递减函数，y=3x是R上的单调递增函数，由函数单调性的性质，减函数﹣增函数=减函数，∴f（x）=3﹣x﹣3x在R上单调递减．又∵函数值域为R，对任意实数a，方程f（x）﹣a=0都有解，∴③错误，④正确．∴正确的有①②④．故答案为：①②④．14．（5分）已知a∈R，函数f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a在区间[1，5）上的最大值是4，则a的取值范围是（﹣∞，] ．【解答】解：由题意知，x∈[1，5），2|x﹣3|∈[1，4]，故2|x﹣3|﹣a∈[1﹣a，4﹣a]，①a≤1时，f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a=|2|x﹣3|∈[1，4]，故符合题意；②时，1﹣a＜0，4﹣a＞0且a﹣1≤4﹣a，∴|2|x﹣3|﹣a|∈[0，4﹣a]，故f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a∈[a，4]，故符合题意；③时，1﹣a＜0，4﹣a＞0，且a﹣1＞4﹣a，∴|2|x﹣3|﹣a|∈[0，1﹣a]，故f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a∈[a，1]故不符合题意；④a＞4时，f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a=2a﹣2|x﹣3|∈[2a﹣4，2a﹣1]，故不符合题意．综上所述：（﹣∞，]．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}，（1）求A∩B．（2）已知函数y=ln（x+3）的定义域为E，求∁E（A∩B）．【解答】解：（1）集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}；（2）函数y=ln（x+3）的定义域为E={x|x+3＞0}={x|x＞﹣3}，由（1）知A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}，∴∁E（A∩B）={x|﹣3＜x≤﹣2或x≥﹣1}．16．（14分）已知f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=x2+6x+10．（1）求f（x）的解析式．（2）若f（x）在区间[0，a]上的最小值是5，求实数a的值．【解答】解：（1）当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）=（﹣x2）+6（﹣x）+10=x2﹣6x+10，又由于f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x），故当x＞0时，f（x）=f（﹣x）=x2﹣6x+10，故：；（2）由题意知：当x∈[0，a]时，f（x）=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1，若a≥3，f min（x）=f（3）=1，不符合题意，当0＜a＜3时，f（x）=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1在[0，a]内单调递减，∴f min（x）=f（a）=5，解得：a1=1，a2=5（舍）．综上所述：a=1．17．（14分）已知函数．（1）求证：f（x）是奇函数．（2）已知g（x）=f（x）+mx3+3，且，试求的值．【解答】解：（1）由题意知：，解得f（x）的定义域为：（1，1），定义域关于原点对称．∵，∴f（x）是奇函数．（2）设h（x）=g（x）﹣3=f（x）+mx3由（1）知，h（x）为奇函数，∴，即，解得：．18．（16分）某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（单位：元）与月处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳所得的这种化工产品可获利200元，如果该项目不获利，那么亏损数额将由国家给予补偿．（1）求x=30时，该项目的月处理成本．（2）当x∈[100，200]时，判断该项目能否获利？如果亏损，那么国家每月补偿数额（单位：元）的范围是多少？【解答】解：（1）当x=30时，y=300×30=9000，∴x=30时，该项目的月处理成本为9000元．（2）当x∈[100，200]时，利润g（x）=200x﹣（﹣10x2+2000x+48000），化简得：g（x）=10x2﹣1800x﹣48000=10（x﹣90）2﹣129000，g（x）为单调递增函数，故此时g（x）＜0，∴该项目不能获利；当x=100时，g min（x）=﹣128000，当x=200时，g max（x）=﹣8000，故补偿金额的范围是[8000，128000]．19．（16分）（1）求函数f（x）=x2+3x﹣4的零点．（2）试确定关于x的方程的解的个数．（3）如果（2）的解记为x0，且x0∈[k，k+1]，k∈Z，那么k的值是多少？【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=x2+3x﹣4，令f（x）=x2+3x﹣4=0，解得：x1=﹣4，x2=1．即函数的零点为﹣4与1；（2）根据题意，设，y2=log3x，如图，两个函数只有一个交点，则方程只有一个解；（3）设，又由f（4）=2﹣log34＞0，，则f（x）在[4，5]必有零点，故k=4．20．（16分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1的图象经过点A（1，2），B（3，8）．（1）求a，b的值．（2）当x≤﹣2时，函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，求实数m的取值范围．（3）定义在[p，q]上的一个函数m（x），如果存在一个常数M＞0，使得式子对一切大于1的自然数n都成立，＜x＜…＜x n=q）．则称函数m（x）为“[p，q]上的H函数”（其中，P=x0＜x1＜…＜x i﹣1试判断函数f（x）是否为“[﹣1，3]上的H函数”．若是，则求出M的最小值；若不是，则请说明理由．（注：）．【解答】解：（1）点A（1，2），B（3，8）代入函数f（x）的解析式中，得，两式相比得a2=4，∵a＞0，∴a=2，b=1，f（x）=2x；（2）函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，代入a=2，b=1得函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，设，∵在（﹣∞，2]上单调递减，y=﹣4x在（﹣∞，﹣2]上单调递减，∴g（x）在（﹣∞，﹣2]上为单调递减函数，∴g min（x）=g（﹣2）=13﹣m，要使g（x）在x轴上方恒成立，即13﹣m＞0恒成立，即m＜13；（3）∵f（x）=2x在[﹣1，3]上单调递增，∴=|f（x1）﹣f（x0）|+|f（x2）﹣f（x1）|+…+|f（x n）﹣f（x n﹣1）|=f（x1）﹣f（x0）+f（x2）﹣f（x1）+…+f（x n）﹣f（x n﹣1）=﹣f（x0）+f（x n）=f（3）﹣f（﹣1）=23﹣2﹣1=，∴m的最小值为．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
南京市2017-2018学年度第一学期高一期末统考数学试卷(含解析)PDF-1
1, 2 ， b 2,1 若 向 量 a b 与 向 量 k a b 共 线 ， 则 实 数 k 的 值 是
__________ 【答案】 ：-1 【解析】 ： a b (3,1) k a b (k 2,2 k 1 )
3 (k 2) k 1 , 1 (2k 1) 2 x a 为偶函数，则实数 a 的值是__________
【答案】 ：0 【解析】 ：本题考查偶函数的定义，结合绝对值函数和余弦函数的性质。 法 1： 由题意 故有
f x f xcos x 2x a cos x 2x a cos x 2x a
5 的值是__________ 2
【答案】 ：1 【解析】 ：本题考查对数的运算，属于基础题目。
lg 4 lg
5 5 lg 4 1g10 1 2 2
1
3.函数
f x x 2 2 的定义域是__________
【答案】 ： 2, 【解析】 ： 本题是常规考点， 幂函数的定义域， 注意根式的非负性， 结果要写成集合的形式。
9.在 △ABC 中，若 tan A 1，则角 A 的取值范围是__________ 【答案】 ：
, 4 2
【解析】 ： ABC 中， A (0, ) ∵ tan A 1 ∴在
0, 中， A
, 4 2
3
，则
10.在平行四边形 ABCD 中， AB a ， AD b ，若 a 2 ， b 3 ， a 与 b 的夹角为 线段 BD 的长度为__________ 【答案】 ： 7
【答案】 ：3
tan 2 3 2 【解析】 ： 原式左边上下同除以 cos ，得 tan
江苏省南京师大附中2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷一、填空题1．已知集合A={1，2，3}，B={2，3，5}，则A∪B=．2．函数y=的定义域是．3．若函数f（x）=（a﹣1）x在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．4．若幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则f（16）=．5．若a=log23，b=，c=log0.53，则将a，b，c按从小到大的顺序排列是．6．己知y=f（x）是定义在R上的偶函数，若x≥0时，f（x）=x﹣1，则x＜0时，f（x）=．7．若函数f（x）=2x+3，函数g（x）=，f（g（27））的值是．8．已知函数f（x）=，若f（x）=2，则x的值是．9．已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a﹣b的值为．10．若集合A=[﹣2，2]，B=（a，+∞），A∩B=A，则实数a的取值范围是．11．函数f（x）=+1在[﹣3，2]的最大值是．12．若二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），且f（1）＜f（0）≤f（a），则实数a的取值范围是．13．已知函数f（x）=2x﹣2﹣x，若对任意的x∈[1，3]，不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＞0恒成立，则实数t的取值范围是．14．已知函数f（x）=﹣（x∈R），区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f （x），x∈M}．若M=N，则b﹣a的值是．二、解答题15．（8分）己知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜log2 x＜4}．（1）求A∪B；（2）求（∁U A ）∩B．16．（8分）计算：（1）；（2）log43×log32﹣．17．（10分）某旅游景区的景点A处和B处之间有两种到达方式，一种是沿直线步行，另一种是沿索道乘坐缆车，现有一名游客从A处出发，以50m/min的速度匀速步行，30min后到达B处，在B处停留20min后，再乘坐缆车回到A处．假设缆车匀速直线运动的速度为150m/mm．（1）求该游客离景点A的距离y（m）关于出发后的时间x（mm）的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）做出（1）中函数的图象，并求该游客离景点A的距离不小于1000m的总时长．18．（10分）己知a＞0 且a≠1，若函数f（x）=log a（x﹣1），g（x）=log a（5﹣x）．（1）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的定义域；（2）讨论不等式f（x）≥g（x）成立时x的取值范围．19．（12分）已知a∈R，函数f（x）=a﹣．（1）证明：f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；（2）若f（x）为奇函数，求：①a的值；②f（x）的值域．20．（12分）对于两个定义域相同的函数f（x）、g（x），若存在实数m，n，使h（x）=mf （x）+ng（x），则称函数f（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．（1）若f（x）=x2+3x和g（x）=3x+4生成一个偶函数h（x），求h（2）的值；（2）若h（x）=2x2+3x﹣1是由f（x）=x2+ax和g（x）=x+b生成，其中a，b∈R且ab≠0，求的取值范围；（3）利用“基函数f（x）=log4（4x+1），g（x）=x﹣1）”生成一个函数h（x），使得h（x）满足：①是偶函数，②有最小值1，求h（x）的解析式．2016-2017学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（2016秋•建邺区校级期中）已知集合A={1，2，3}，B={2，3，5}，则A∪B={1，2，3，5} ．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】利用并集定义求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={2，3，5}，∴A∪B={1，2，3，5}．故答案为：{1，2，3，5}．【点评】本题考查并集的求法，解题时要认真审题，是基础题．2．（2016春•普陀区期末）函数y=的定义域是（1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的解析式，应满足分母不为0，且二次根式的被开方数大于或等于0即可．【解答】解：∵函数y=，∴＞0，即x﹣1＞0，解得x＞1；∴函数y的定义域是（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域的问题，解题时应使函数的解析式有意义，列出不等式（组），求出自变量的取值范围，是容易题．3．（2016秋•建邺区校级期中）若函数f（x）=（a﹣1）x在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（2，+∞）．【考点】指数函数的图象与性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：若函数f（x）=（a﹣1）x在（﹣∞，+∞）上单调递增，则a﹣1＞1，解得：a＞2，故答案为：（2，+∞）．【点评】本题考查了指数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．4．（2016秋•建邺区校级期中）若幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则f（16）=4．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；方程思想；函数的性质及应用．【分析】根据已知求出函数的解析式，将x=16代入可得答案．【解答】解：设幂函数y=f（x）=x a，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴4a=2，解得：a=，∴y=f（x）=∴f（16）=4，故答案为：4【点评】本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题．5．（2016秋•建邺区校级期中）若a=log23，b=，c=log0.53，则将a，b，c按从小到大的顺序排列是c＜a＜b．【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：a=log23∈（1，2），b==23=8，c=log0.53＜0，∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（2016秋•建邺区校级期中）己知y=f（x）是定义在R上的偶函数，若x≥0时，f（x）=x﹣1，则x＜0时，f（x）=﹣x﹣1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】先由函数是偶函数得f（﹣x）=f（x），然后将所求区间利用运算转化到已知区间上，代入到x＞0时，f（x）=x﹣1，可得x＜0时，函数的解析式．【解答】解：若x≥0时，f（x）=x﹣1，不妨设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣x﹣1=f（x），故x＜0时，f（x）=﹣x﹣1，故答案为：﹣x﹣1．【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，以及将未知转化为已知的转化化归思想，是个基础题．7．（2016秋•建邺区校级期中）若函数f（x）=2x+3，函数g（x）=，f（g（27））的值是9．【考点】函数的值．【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】先求出g（27）==3，从而f（g（27））=f（3），由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=2x+3，函数g（x）=，∴g（27）==3，f（g（27））=f（3）=2×3+3=9．故答案为：9．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8．（2016秋•建邺区校级期中）已知函数f（x）=，若f（x）=2，则x的值是ln2．【考点】函数的值．【专题】计算题；分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【分析】当x≤1时，e x=2；当x＞1时，﹣x=2．由此能求出x的值．【解答】解：∵函数f（x）=，f（x）=2，∴当x≤1时，e x=2，解得x=ln2；当x＞1时，﹣x=2，解得x=﹣2，（舍）．∴x=ln2．故答案为：ln2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．9．（2013秋•鼓楼区校级期末）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a ﹣b的值为4．【考点】指数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中函数y=a x+b的图象经过（0，﹣1）点和（1，0）点，代入构造关于a，b 的方程，解方程可得答案．【解答】解：∵函数y=a x+b的图象经过（0，﹣1）点和（1，0）点，故1+b=﹣1，且a+b=0，解得：b=﹣2，a=2，故a﹣b=4，故答案为：4【点评】本题考查的知识点是待定系数法，求函数的解析式，指数函数图象的变换，难度不大，属于基础题．10．（2016秋•建邺区校级期中）若集合A=[﹣2，2]，B=（a，+∞），A∩B=A，则实数a的取值范围是a＜﹣2．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】根据A∩B=A，A是B的子集可得．【解答】解：∵集合A=[﹣2，2]，B=（a，+∞），A∩B=A，∴a＜﹣2，故答案为：a＜﹣2．【点评】本题考查交集及其运算，考查集合间的关系，是基础题11．（2016秋•建邺区校级期中）函数f（x）=+1在[﹣3，2]的最大值是57．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；函数思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】设（）x=t，转为为f（t）=t2﹣t+1=（t﹣）2+在t∈[，8]的最值问题，根据二次函数的性质即可求出．【解答】解：设（）x=t，∵x∈[﹣3，2]，∴t∈[，8]，∴f（t）=t2﹣t+1=（t﹣）2+，∴f（t）在[，]上单调递减，在（，8）单调递增，∴f（t）max=f（8）=64﹣8+1=57，故函数f（x）=+1在[﹣3，2]的最大值是57，故答案为：57．【点评】本题考查了指数函数的和二次函数的性质，以及函数的最值问题，属于中档题．12．（2016秋•建邺区校级期中）若二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），且f（1）＜f （0）≤f（a），则实数a的取值范围是a≤0，或a≥4．【考点】二次函数的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】若二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），则函数f（x）的图象关于直线x=2对称，结合二次函数的图象和性质，可得实数a的取值范围．【解答】解：∵二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，若f（1）＜f（0）≤f（a），则a≤0，或a≥4，故答案为：a≤0，或a≥4．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．13．（2016秋•建邺区校级期中）已知函数f（x）=2x﹣2﹣x，若对任意的x∈[1，3]，不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＞0恒成立，则实数t的取值范围是（﹣3．+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】通过判定函数f（x）=2x﹣2﹣x）=2x﹣x在R上单调递增、奇函数，脱掉”f“，转化为恒成立问题，分离参数求解．【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣2﹣x）=2x﹣x在R上单调递增，又∵f（﹣x）=﹣（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数，若对任意的x∈[1，3]，不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＞0恒成立，⇒对任意的x∈[1，3]，不等式f（x2+tx）＞f（﹣4+x）恒成立，⇒对任意的x∈[1，3]，x2+（t﹣1）x+4＞0⇒（t﹣1）x＞﹣x2﹣4⇒t﹣1＞﹣（x+，∵，∴t﹣1＞﹣4，即t＞﹣3．故答案为：（﹣3．+∞）【点评】本题考查了函数的单调性、奇函数，恒成立问题，分离参数法，属于中档题．14．（2016秋•建邺区校级期中）已知函数f（x）=﹣（x∈R），区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f （x），x∈M}．若M=N，则b﹣a的值是2．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】由题设知对于集合N中的函数f（x）的定义域为[a，b]，对应的f（x）的值域为N=M=[a，b]．根据M=N，找到a，b关系，可求b﹣a的值．【解答】解：函数f（x）=﹣（x∈R），化简得：f（x）=，可知函数f（x）是单调递减，∵x∈M，M=[a，b]，则对于集合N中的函数f（x）的定义域为[a，b]，故得N=[，]对应的f（x）的值域为N=M=[a，b]．则有：=a，=b，解得：b=1，a=﹣1，故得b﹣a=2，故答案为：2．【点评】本题考查集合相等的概念，解题时要注意绝对值的性质和应用二、解答题15．（8分）（2016秋•建邺区校级期中）己知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜log2 x＜4}．（1）求A∪B；（2）求（∁U A ）∩B．【考点】交、并、补集的混合运算；并集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】（1）化简求得B，再由并集的运算即可得到；（2）求得A的补集，再求B的交集，即可得到．【解答】解：（1）全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜log2 x＜4}={x|4＜x＜16|，则A∪B={x|3≤x＜16}；（2）（∁U A ）∩B={x|x＜3或x≥7}∩{x|4＜x＜16|={x|7≤x＜16}．【点评】本题考查集合的运算，主要是交、并和补集的运算，考查运算能力，属于基础题．16．（8分）（2016秋•建邺区校级期中）计算：（1）；（2）log43×log32﹣．【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）利用指数的运算性质即可得出．（2）利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：（1）原式=+1﹣=+1﹣=1．（2）原式=﹣3=﹣3=﹣．【点评】本题考查了指数与对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17．（10分）（2016秋•建邺区校级期中）某旅游景区的景点A处和B处之间有两种到达方式，一种是沿直线步行，另一种是沿索道乘坐缆车，现有一名游客从A处出发，以50m/min 的速度匀速步行，30min后到达B处，在B处停留20min后，再乘坐缆车回到A处．假设缆车匀速直线运动的速度为150m/mm．（1）求该游客离景点A的距离y（m）关于出发后的时间x（mm）的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）做出（1）中函数的图象，并求该游客离景点A的距离不小于1000m的总时长．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意利用利用分段函数求得函数的解析式．（2）根据函数的解析式，画出函数的图象，数形结合求得该游客离景点A的距离不小于1000m的总时长．【解答】解：（1）由题意可得50m/min=m/mm，AB=50×30=1500（m），乘坐缆车回到A处用的时间为=10（mm），该游客离景点A的距离y（m）关于出发后的时间x（mm）的函数解析式为y=，（2）（1）中函数的图象如图所示：令=1000，求得x=12000（mm），令1500﹣150x=1000，求得x=3000+=（mm），﹣1200=（mm），即该游客离景点A的距离不小于1000m的总时长为mm．【点评】本题主要考查利用分段函数求函数的解析式、函数的图象，属于中档题．18．（10分）（2016秋•建邺区校级期中）己知a＞0 且a≠1，若函数f（x）=log a（x﹣1），g（x）=log a（5﹣x）．（1）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的定义域；（2）讨论不等式f（x）≥g（x）成立时x的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据对数函数的性质，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）通过讨论a的范围，得到函数f（x）的单调性，解关于x的不等式组即可．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=log a（x﹣1）﹣log a（5﹣x），根据对数函数的性质得：，解得：1＜x＜5，故函数h（x）的定义域是（1，5）；（2）若不等式f（x）≥g（x）成立，则log a（x﹣1）≥log a（5﹣x），0＜a＜1时，，解得：1＜x≤3，a＞1时，解得：3≤x＜5．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性以及分类讨论思想，是一道基础题．19．（12分）（2016秋•建邺区校级期中）已知a∈R，函数f（x）=a﹣．（1）证明：f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；（2）若f（x）为奇函数，求：①a的值；②f（x）的值域．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的值域；函数单调性的判断与证明．【专题】证明题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）证法一：设x1＜x2，作差比较作差可得f（x1）＜f（x2），根据函数单调性的定义，可得：f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；证法二：求导，根据f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．（2）①若f（x）为奇函数，则f（0）=0，解得a的值；②根据①可得函数的解析式，进而可得f（x）的值域．【解答】证明：（1）证法一：设x1＜x2，则，，则f（x1）﹣f（x2）=（a﹣）﹣（a﹣）=＜0．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；证法二：∵函数f（x）=a﹣．∴f′（x）=，∵f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；（2）①若f（x）为奇函数，则f（0）=a﹣=0，解得：a=，②f（x）=﹣，∵2x+1＞1，∴0＜＜1，故﹣＜f（x）＜，故函数的值域为：（﹣，）．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数的值域，难度中档．20．（12分）（2016秋•建邺区校级期中）对于两个定义域相同的函数f（x）、g（x），若存在实数m，n，使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数f（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．（1）若f（x）=x2+3x和g（x）=3x+4生成一个偶函数h（x），求h（2）的值；（2）若h（x）=2x2+3x﹣1是由f（x）=x2+ax和g（x）=x+b生成，其中a，b∈R且ab≠0，求的取值范围；（3）利用“基函数f（x）=log4（4x+1），g（x）=x﹣1）”生成一个函数h（x），使得h（x）满足：①是偶函数，②有最小值1，求h（x）的解析式．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．【专题】新定义；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】（1）（1）先用待定系数法表示出偶函数h（x），再根据其是偶函数这一性质得到引入参数的方程，求出参数的值，即得函数的解析式，代入自变量求值即可．（2）设h（x）=2x2+3x﹣1=m（x2+ax）+n（x+b），展开后整理，利用待定系数法找到a，b 的关系，由系数相等把a，b用n表示，然后结合n的范围求解的取值范围；（3）设h（x）=m（log4（4x+1））+n（x﹣1），h（x）是偶函数，则h（﹣x）﹣h（x）=0，可得m与n的关系，h（x）有最小值则必有n＜0，且有﹣2n=1，求出m和n值，可得解析式．【解答】解：（1）f（x）=x2+3x和g（x）=3x+4生成一个偶函数h（x），则有h（x）=mx2+3（m+n）x+4n，h（﹣x）=mx2﹣3（m+n）x+4n=mx2+3（m+n）x+4n，∴m+n=0，故得h（x）=mx2﹣4m，∴h（2）=0．（2）设h（x）=2x2+3x﹣1=m（x2+ax）+n（x+b）=mx2+（am+n）x+nb．∴m=2，am+n=3，nb=﹣1，则a=，b=．所以：==，∵a，b∈R且ab≠0，∴的取值范围为[﹣，0）∪（0，+∞）．（3）设h（x）=m（log4（4x+1））+n（x﹣1），∵h（x）是偶函数，∴h（﹣x）﹣h（x）=0，即m（log4（4﹣x+1））+n（﹣x﹣1）﹣m（log4（4x+1））﹣n（x﹣1）=0，∴（m+2n）x=0，可得：m=﹣2n．则h（x）=﹣2n（log4（4x+1））+n（x﹣1）=﹣2n[log4（4x+1）﹣]=﹣2n[log4（2x+）+]，∵h（x）有最小值1，则必有n＜0，且有﹣2n=1，∴m=1，n=，故得h（x）=log4（4x+1）（x﹣1）．【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，会求利用函数的最值，关键是对题意的理解与合理转化．。
江苏省南京市鼓楼区2017-2018学年高一上期期中考试数
2017-2018 鼓楼区高一上学期数学期中试卷1. 若集合则__________．【答案】【解析】，，故答案为.2. 函数的定义域为__________．【答案】【解析】要使有意义，令，解得，即的定义域为，故答案为.3. 计算：__________．【答案】【解析】由换底公式可得，故答案为．4. 计算：__________．【答案】【解析】，故答案为.5. 已知函数，分别由下表给出：则__________．【答案】【解析】由表格数据可得，，所以，故答案为．6. 化简式子的结果是 __________．【答案】【解析】因为，，所以又因为结果一定非负，所以，故答案为．7. 函数的值域是__________．【答案】【解析】因为，所以函数单调递减，所以值域为，即函数的值域是，故答案为．8. 已知，则幂函数的图象不可能经过第__________象限．【答案】二、四【解析】当或时，图象经过一、三象限，当时，图象经过第一象限，幂函数的图象不可能经过第二、四象限，故答案为二、四．9. 设实数，，则，，的大小关系为__________，（按由小到大的顺序排列）．【答案】【解析】因为幂函数是单调递增函数，所以，又因为指数函数是单调递增函数，所以，即，故答案为．【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.10. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】因为开口向下的二次函数在对称轴右边区间上单调递减，二次函数函数的对称轴为，因为函数在区间上单调递减，所以，所以，实数的取值范围是，故答案为．【方法点晴】本题主要考查利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法① 求解的．11. 已知偶函数在区间上单调递增，则满足不等式的的取值范围是__________．【答案】【解析】偶函数关于轴对称，所以在区间上单调递减，则满足不等式的的取值范围，也就是的的取值范围，即，，即的取值范围是，故答案为．【方法点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.12. 若，则的最大值是__________．【答案】【解析】对，等号两边同时取对数，得，即，利用换元法，令，则，代入，由二次函数的配方，，即的最大值是，故答案为．13. 已知函数，则关于的下列结论：①②是奇函数③在上是单调递增函数④对任意实数，方程都有解，其中正确的有（填写序号即可）__________．【答案】①②④【解析】∵，，∴所以函数是奇函数，由奇函数的性质，①②均正确；又，是上的单调递减函数，是上的单调递减函数，由函数单调性的性质，所以在上单调递减，③不正确；因为函数值域为，所以对任意实数，方程都有解，④正确，故答案为①②④．14. 已知，函数在区间上的最大值是，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意知，，，故，①时，，故符合题意；②时，，且，∴，故，故符合题意；③时，，，且，∴，故，故不符合题意；④时，，故不符合题意．综上所述：的取值范围是，故答案为.............【方法点睛】本题主要考查函数的解析式和函数的最值、以及分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.15. 若集合，，（）求．（）已知函数的定义域为，求．【答案】（）．（）或．【解析】试题分析：（1）根据一元二次不等式的解法化简集合或，由集合交集的定义可得结果；（）要使函数有意义可得，结合（1），由补集的定义可得结果.试题解析：（）由题意知：或，故．（）由题意知：，由（1）知，∴或．【名师点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，求集合的交集与补集的混合运算，属于容易题，这类题型尽管比较容易，但是在解题过程中也要注意三点：一要看清楚是求“”还是求“”；二是在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到（这是一个易错点）；三是在化简集合的过程中要结合不等式的性质与解法.16. 已知是偶函数，且时，．（）求的解析式．（）若在区间上的最小值是，求实数的值．【答案】（）．（）．【解析】试题分析：（）当时，，于是，又由于是偶函数，∴，可得当时，，从而可得结果；（）根据二次函数对称轴两边的单调性，分两种情况讨论的范围，利用单调性列方程可得实数的值.试题解析：（）当时，，∴，又由于是偶函数，∴，故：当时，，故：．（）由题意知：当时，，∴若，，不符合题意，故：．又在内单调递减，故：，解得：，（舍）．综上所述：．17. 已知函数．（）求证：是奇函数．（）已知，且，试求的值．【答案】（）用定义证明．（）．【解析】试题分析：（1）先求函数的定义域，可得定义域关于原点对称，再由，可得是奇函数；（）设，先证明为奇函数，则，即，可得.试题解析：（）由题意知：，解得的定义域为：，定义域关于原点对称．，故：是奇函数．（）设由（）知，为奇函数，∴，即，解得：．【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数） .18. 某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本（单位：元）与月处理量（单位：吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳所得的这种化工产品可获利元，如果该项目不获利，那么亏损数额将由国家给予补偿．（）求时，该项目的月处理成本．（）当时，判断该项目能否获利？如果亏损，那么国家每月补偿数额（单位：元）的范围是多少？【答案】（）元．（）不能；．【解析】试题分析：（1）将代入项目月处理成本（单位：元）与月处理量（单位：吨）之间的函数关系式，即可求得结论；（2）确定当时，该项目获利函数为利润，再利用配方法，即可求得结论.试题解析：（）当时，，∴时，该项目的月处理成本为元．（）当时，化简得：，为单调递增函数，故此时，∴该项目不能获利；当时，，当时，，故补偿金额的范围是．19. （）求函数的零点．（）试确定关于的方程的解的个数．（）如果（）的解记为，且，，那么的值是多少？【答案】（），．（）．（）．【解析】试题分析：（1）方程的根就是函数的零点，解方程即可的结果；（）设，，求方程的解，可以等价求、的交点，利用数形结合思想可得结果；（）设，可得，，，根据零点定理可得结果.试题解析：（）令，解得：，．（）设，，求方程的解，可以等价求、的交点，由函数图象易知，、有一个交点，故有解．（）设，∵，，∴由零点定理知，在必有零点，故．20. 已知函数（其中，为常量，且，的图象经过点，．（）求，的值．（）当时，函数的图像恒在函数图像的上方，求实数的取值范围．（）定义在上的一个函数，如果存在一个常数，使得式子对一切大于的自然数都成立，则称函数为“上的函数”（其中，．试判断函数是否为“上的函数”．若是，则求出的最小值；若不是，则请说明理由．（注：）．【答案】 (1);(2);(3)详见解析．【解析】试题分析：（1）将点，，代入，列方程组求解即可得结果；（）结合（1）可得函数的图像恒在函数图像的上方，即在轴上方恒成立，只需即可得结果；（）由在上单调递增，可将绝对值去掉，可得，进而可得的最小值.试题解析：（）代入点，，得下式除上式得，∵，∴，，．（）函数的图像恒在函数图像的上方，代入，得函数的图像恒在函数图像的上方，设，∵在上单调递减，在上单调递减，∴在上为单调递减函数，∴，要使在轴上方恒成立，即恒成立，即．（）∵在上单调递增，∴．∴的最小值为．。
江苏省南京市2017_2018学年高一数学上学期期中试题
江苏省南京市2017-2018学年高一数学上学期期中试题一.填空题: （本大题共14个小题，每小题5分，共70分）1.集合{1,1},{0,1,-2}P Q =-=，则P Q ⋂= _______________.2.2lg 2lg 25+=______________ .3.已知函数()f x 与()g x 分别由下表给出，那么((4))g f =_______________ .4.已知集合{}()|1,,A x x B a =>=+∞，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ..5.设20.40.50.6,2,log 2a b c ===，则c b a ,,的大小关系是 ____________（从小到大排列）.6.函数2()23f x x x =--的零点是 __________________.7.已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，若()1f a =,则a 的值是 ____________. 8.已知函数75()5f x x ax bx =++-，且(3)5f -=，那么(3)f = ________.9.已知函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()2x f x x a =++，那么(1)f -= .10.已知1123,2a b m a b==+=且，则实数m 的值为 . 11.若方程062ln =-+x x 在Z n n n ∈+),1,(内有一解，则n = _____________.12.某老师2014年九月十日用8100元买一台笔记本. 由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低， 每经过一年计算机的价格降低三分之一，到2017年九月十日该老师这台笔记本还值 ________元．13.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上为增函数，()20f =，则不等式()2log 0f x >的解集为 .14．已知函数(21)72(1)() (1)x a x a x f x a x -+-<⎧=⎨≥⎩在R 上单调递减，则a 的取值范围是 .二、解答题：15.（本题满分14分）U R =，{}{}。
2017-2018学年高一南师附中期中数学试卷及解析(国大班)
本套试卷是附中高一上学期国科大菁英班所采用的数学期中试卷，整体难度大于菁英班试卷难度，其中第13题为菁英班试卷第14题，第17题为菁英班试卷第18题，第19题为玄武区期中试卷第20题的改编题目，整卷所考查的知识点均没有超纲内容，为应知应会的知识点，压轴题中，第14题考查了我们反复讲解的“和谐区间”类问题，第20题考查了对数函数的综合运用。
总体来说，这套试卷值得其他班及其他学校的孩子们一刷、二刷甚至三刷，反复琢磨思考。
南京师大附中2017-2018学年度高一年级国科大菁英班第一学期期中考试数学试卷感谢参与试卷解析的杨洋、宋扬、薛䶮老师！一．填空题：本大题共14分，每小题3分，共42分.1.设a ∈R ，集合1{1,,1}{0,1,}a a a +=，则a 等于_______.2.计算：151lg2lg 2()22-+-=_______.3.若幂函数a y x =的图像经过点1(2,)4，则1()2f 的值为_______.4.设函数3,10,()((5)),10,n n f n f f n n -≥⎧=⎨+<⎩其中,n ∈N 则(8)f 等于_______.5.函数2lg(4)y x x =-的单调递增区间是_______.6.设236,a b ==则11a b+=_______.7.设 1.1 1.13log 7,2,0.8,a b c ===则将a 、b 、c 按从小到大的顺序排列是_______.8.设,k ∈Z 若函数2()log 3f x x x =-的零点所在区间为(,1)k k +，则k 的值是_______.9.已知函数2283,1,(),1,x x ax x f x a a x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为_______.10.设m 为实数，若函数2()34f x x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25[,4],4--则m 的取值范围为_______.11.已知函数()()y f x x =∈R 是奇函数，当0x ≥时，()31,x f x =-设()y f x =的反函数是(),y g x =那么(8)g -=_______.12.对,,a b ∈R 记,max{,},,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则函数()max{|1|,|2|}()f x x x x =+-∈R 的最小值是_______.13.如图，过原点O 的直线AB 与函数9log y x =的图像交于,A B 两点，过,A B 分别作x 轴的垂线，与函数3log y x =的图像分别交于,D C 两点.若BD 平行于x 轴，则四边形ABCD 的面积为______.14.对于函数()y f x =，若其定义域内存在两个实数,(),m n m n <似的[,]x m n ∈时，()f x的值域也是[,]m n ，则称函数()f x 为“和谐函数”.若函数()f x k =是“和谐函数”则实数k 的取值范围是_______.二．解答题：本大题共6小题，共计58分.15.已知全集,U =R 集合2{|3},{|log 3}.A x xB x x =<<（1）求A B ；（2）求()U UC A C B .16.设f 为定义在区间D 上的函数，若对D 上任意两点12,,x x 总有1212()()(22f x f x x x f ++≥则称f 为区间D 上的凸函数；若对D 上任意两点12,,x x 总有1212()()(22f x f x x x f ++≤则称f 为区间D 上的凹函数.试判断函数()lg f x x =是定义域上的凸函数还是凹函数，并给出证明.17.某市自来水公司每两个月（记为一个收费周期）对用户收一次水费，收费标准如下：当每户用水量不超过30吨时，按每吨3元收取；当该用户用水量超过30吨时，超出部分按每吨4元收取.（1）记某用户在一个收费周期的用水量为x 吨，所缴水费为y 元，写出y 关于x 的函数解析式；（2）在某一个收费周期内，若甲、乙两用户所缴水费的和为260元，且甲、乙两用户用水量之比为，试求出甲、乙两用户在该收费周期内各自的用水量和水费.18.设a 为实数，已知函数1()2(.,0)f x ax x xx =≠+∈R （1）当12a ≤时，试判断()f x 在区间(0,1]上的单调性定义证明你的结论；（2）若对任意的(0,1],x ∈总有()8f x ≥成立，求a 的取值范围。
江苏省南京市鼓楼区2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
江苏省南京市鼓楼区2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设集合2，，3，，则______．【答案】2，3，【解析】解：集合2，，3，，2，3，．故答案为：2，3，．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.函数的定义域为______．【答案】【解析】解：要使函数有意义，则，得，即函数的定义域为，故答案为：根据函数成立的条件进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键．3.函数，则的值为______．【答案】2【解析】解：函数，．故答案为：2．推导出，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知函数是定义在R上的奇函数，若时，，则______．【答案】【解析】解：函数是定义在R上的奇函数，若时，，，故答案为：根据函数的奇偶性进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．5.已知幂函数的图象过点，则______．【答案】3【解析】解：由题意令，由于图象过点，得，．故答案为：3．先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值．6.计算的结果是______．【答案】【解析】解：，故答案为：根据指数幂的运算性质即可求出．本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．7.化简式子的结果是______．【答案】【解析】解：，，故答案为：根据根式的性质化简即可本题考查了根式的化简，属于基础题．8.设，，，则a，b，c三者的大小关系是______用“”连接【答案】【解析】解：，，，．故答案为：．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.已知函数，，那么函数的最大值是______．【答案】【解析】解：根据对勾函数的单调性可知，，在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最大值，故答案为：．直接利用对勾函数的单调性进行求解即可本题主要考查了对勾函数的单调性在求解最值中的应用，属于基础试题10.已知函数，分别由表给出，则不等式的解为______．【答案】【解析】解：结合表格，，故，即，故，故，故答案为：．结合表格求出，得到，从而求出对应的x的值即可．本题考查了函数求值问题，考查对应思想，转化思想，是一道常规题．11.已知，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，设，若，则实数a的值是______．【答案】【解析】解：依题意，，，又，联立得，，，，解得，故答案为：．先利用奇偶性根据已知方程，构造一个方程，联立方程组解出和，从而求出，再由解得本题考查了奇偶性与单调性得综合，属中档题．12.已知函数的定义域是其中m，n为正整数，值域为则满足条件的整数对共有______对【答案】5【解析】解：，；，或，或，或，或；整数对为，，，，或共5对．故答案为：5．根据，，从而得出，或，或，或，或，从而得出满足条件的整数对，进而得出整数对共5对．考查函数定义域、值域的定义及求法．13.如图，已知过原点O的直线与函数的图象交于AB两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数交于C，D两点，则当轴时，A点的坐标是______．【答案】【解析】解：设点A、B的横坐标分别为、，由题设知，，则点A、B纵坐标分别为，，因为A、B在过点O的直线上，所以，点C、D坐标分别为，由于BC平行于x轴，可知，，即得，．代入，得．由于知，．考虑，解得．于是点A的坐标为，即，故答案为：设出A、B的坐标，解出C、D的坐标，根据OC、OD的斜率相等，利用三点共线得出A、B的坐标之间的关系再根据BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出A、B的坐标之间的关系即可求出A的坐标．本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力属于中档题．14.已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题可知函数在区间上的最大值是5，即，所以，又因为，所以，所以，又因为，，可得，所以，解得，故答案为：通过转化可知，所以，进而解绝对值不等式可知，由x的范围，求得的范围，由恒成立思想进而计算可得结论．本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题）15.设全集，集合，．求，．设集合，已知，求实数a的取值范围．【答案】解：由，解不等式得：，即集合，又，所以，，故A，，由，所以，即，又，所以，所以，即，故实数a的取值范围为：【解析】由二次不等式，解不等式得：，即集合，又，所以，，由，解一次不等式得，即，又，所以，所以，即，本题考查了集合的交、并、补运算、集合间的包含关系及二次不等式的解法，属简单题16.计算：；已知，求的值．【答案】解：；由，得，．．【解析】直接利用对数的运算性质化简求值；把已知等式两边平方求得，进一步平方求得，代入要求得式子求值．本题考查有理指数幂的化简求值，考查对数的运算性质，是基础的计算题．17.已知函数，，其中且，设函数．当时，求实数a的值；当的图象位于x轴上方时，求x的取值范围．【答案】解：．的图象位于x轴上方，．即．当时，解得．当时解得．【解析】代入计算，的图象位于x轴上方时即，转换为解对数不等式，对其底数a讨论利用其单调性求得本题主要考察对数函数单调性性质的知识点，利用分类讨论的思想方法18.如图，有一块直角梯形绿地ABCD，计划修建一条比值的道路不计道路的宽度，点E和F分别在四边形的边AD和BC上将绿地分成成两部分，且右边部分的面积是左边部分的面积的3倍，已知米，米，设米，米．当点F与点B重合时，试确定点E的位置；求y的取值范围．【答案】解：，点F与点B重合时，，又因为，解得米，答：点E在距A点80米处；，又因为，所以，，过点E做交BC与点G，可得，由，所以，答：y的取值范围为．【解析】根据梯形的面积公式求出ABCD的面积，再根据，即可求出；先根据，面积表示出，，再根据勾股定理可得，即可求出．本题考查了函数在实际问题中的应用及函数的性质应用，属于中档题．19.已知函数．求证：在区间上为单调减函数；已知关于x的不等式在区间内有解，求实数k的取值范围．【答案】解：证明：设，则；又由，，，则，则函数为减函数；根据题意，在区间上为单调减函数，则，不等式在区间内有解，则不等式在内有解，即在区间上有解，设，则，则，若不等式有解，必有；即k的取值范围为【解析】根据题意，设，由作差法分析可得，结合函数单调性的定义分析可得答案；根据题意，结合函数的单调性可得，进而可得不等式在区间上有解，设，利用换元法分析在区间上的最大值，分析可得答案．本题考查函数单调性的证明以及性质的应用，中转化为函数的最值问题．20.已知函数，．已知函数在区间上为单调增函数，求m的取值范围．当时，已知对任意的，总存在，使成立，求k的取值范围．已知对任意，恒成立，求m的取值范围．【答案】解：函数，当时，递增，显然成立；当时，函数的对称轴为，由题意可得，且，解得，综上可得m的范围是；当时，，由，可得的最大值为，最小值为，即有的值域为；对任意的，总存在，使成立，可得的值域包含，当，在递增，可得的值域为，由，解得；当，在递减，可得的值域为，由，解得；当时，，不符题意．综上可得k的范围是；时，，可得，不符题意；当，令，，即有在恒成立，由函数的图象开口向下，必然有x轴下方的图象，故不符题意；当时，令，，即有在恒成立，由于对称轴，可得在递增，可得的最小值为，由，解得．综上可得m的范围为．【解析】讨论二次项系数是否为0，由二次函数的单调性可得m的范围；由二次函数的最值求法，可得的值域，由题意可得在的值域包含的值域，分别讨论k的符号，由一次函数的单调性和集合的包含关系，解不等式可得k的范围；讨论，，，结合二次函数的图象和最值，以及单调性，即可得到所求范围．本题考查函数方程的转化思想和分类讨论思想方法，注意一次函数和二次函数的图象和性质的运用，考查化简运算能力，属于难题．。
鼓楼区2018-2019学年度第一学期期中-数学统考- 含解析
2
2
2
2
可得 a 1 ． 6
12.【答案】3；
【解析】结合草图可得 m 2 或 n 2 ，所以整数对有 1,2,2,2,2,1 ，共三对．
13.【答案】
3
4,
1 6
；
【解析】依题可得 log2 x1 log16 x2 ，即 x2 x14 由于 O, A, B 在 一条直线上，所以假设该直线为 y kx ，可得
120 y 200 ；
19.【答案】⑴ 证明见解析；⑵ k 3 ．
【解析】⑴ 任取 x1, x2 , ，4令 x1 x2
f
x1
f
x2
1 3x1 1
1 3x2 1
3x2 3x1 3x1 1 3x2 1
；
3x1 1 3x2 1 0,3x2 3x1 0 ，所以 f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 ；
【解析】⑴ B 1,3 ，所以 A B 2,3 ， U A B ,2 3, ；
⑵ 因为 A
C
C
，所以
A
C
，
C
a 2
,
，所以
a 2
2
，解得
a
4
．
16.【答案】⑴ 2；⑵ 6；
【解析】⑴ 原式 2 lg 10 1 2 ； 2
⑵
a
a1
1 a2
1
a2
2
2
7, a2
a2
a a1 2 2 47 ，所以原式 47 1 6 ．
⑴ 已知函数 f x 在区间 1, 上为单调增函数，求 m 的取值范围；
⑵
当
m
1 2
时，已知对任意的
x1
0,
3
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2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设集合A={0，1，2}，B={2，4}，则A∪B=．2．（5分）函数的定义域为．3．（5分）求值：（log23）（log34）=．4．（5分）计算：=．5．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由表给出：则f（g（1））．6．（5分）化简式子的结果是．7．（5分）函数的值域是．8．（5分）已知，则幂函数y=x a的图象不可能经过第象限．9．（5分）设实数a=30.5，b=30.8，c=2.30.5，则a，b，c的大小关系为，（按由小到大的顺序排列）．10．（5分）已知函数y=﹣x2+4ax在区间[﹣1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式的x的取值范围是．12．（5分）若，则lgx•lgy的最大值是．13．（5分）已知函数f（x）=3﹣x﹣3x，则关于的下列结论：①f（0）=0②f（x）是奇函数③f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数④对任意实数a，方程f（x）﹣a=0都有解，其中正确的有（填写序号即可）．14．（5分）已知a∈R，函数f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a在区间[1，5）上的最大值是4，则a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}，（1）求A∩B．（2）已知函数y=ln（x+3）的定义域为E，求∁E（A∩B）．16．（14分）已知f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=x2+6x+10．（1）求f（x）的解析式．（2）若f（x）在区间[0，a]上的最小值是5，求实数a的值．17．（14分）已知函数．（1）求证：f（x）是奇函数．（2）已知g（x）=f（x）+mx3+3，且，试求的值．18．（16分）某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（单位：元）与月处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳所得的这种化工产品可获利200元，如果该项目不获利，那么亏损数额将由国家给予补偿．（1）求x=30时，该项目的月处理成本．（2）当x∈[100，200]时，判断该项目能否获利？如果亏损，那么国家每月补偿数额（单位：元）的范围是多少？19．（16分）（1）求函数f（x）=x2+3x﹣4的零点．（2）试确定关于x的方程的解的个数．（3）如果（2）的解记为x0，且x0∈[k，k+1]，k∈Z，那么k的值是多少？20．（16分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1的图象经过点A（1，2），B（3，8）．（1）求a，b的值．（2）当x≤﹣2时，函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，求实数m的取值范围．（3）定义在[p，q]上的一个函数m（x），如果存在一个常数M＞0，使得式子对一切大于1的自然数n都成立，＜x＜…＜x n=q）．则称函数m（x）为“[p，q]上的H函数”（其中，P=x0＜x1＜…＜x i﹣1试判断函数f（x）是否为“[﹣1，3]上的H函数”．若是，则求出M的最小值；若不是，则请说明理由．（注：）．2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设集合A={0，1，2}，B={2，4}，则A∪B={0，1，2，4} ．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={2，4}，∴A∪B={0，1，2，4}故答案为：{0，1，2，4}2．（5分）函数的定义域为．【解答】解：由2x+1＞0，得x．∴函数的定义域为．故答案为：．3．（5分）求值：（log23）（log34）=2．【解答】解：：（log23）（log34）=．故答案为2．4．（5分）计算：=．【解答】解：分数指数幂的运算，故答案为：5．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由表给出：则f（g（1））1．【解答】解：由题意得：g（1）=3，f（3）=1，∴f（g（1））=f（3）=1．故答案为：1．6．（5分）化简式子的结果是a﹣b．【解答】解：=|b﹣a|=a﹣b，故答案为：a﹣b7．（5分）函数的值域是．【解答】解：∵，∴函数（x∈[﹣3，2]）单调递减，又f（2）=，f（﹣3）=9，∴函数（x∈[﹣3，2]）的值域为，故答案为．8．（5分）已知，则幂函数y=x a的图象不可能经过第二、四象限．【解答】解：当a=﹣1或a=3时，幂函数y=x a的图象经过一、三象限，当时，幂函数y=x a的图象经过第一象限．∴幂函数y=x a的图象不可能经过第二、四象限．故答案为：二、四．9．（5分）设实数a=30.5，b=30.8，c=2.30.5，则a，b，c的大小关系为c＜a＜b，（按由小到大的顺序排列）．【解答】解：根据幂函数y=x0.5是定义域R上的单调递增函数，所以2.30.5＜30.5；又因为指数函数y=3x是定义域R上的单调递增函数，所以30.5＜30.8；所以c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．10．（5分）已知函数y=﹣x2+4ax在区间[﹣1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是；．【解答】解：根据题意，函数y=﹣x2+4ax为二次函数，且开口向下，其对称轴为x=2a，若其在区间[﹣1，2]上单调递减，则2a≤﹣1，所以，即a的取值范围为；故答案为：．11．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式的x的取值范围是（，）．【解答】解：根据题意，偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，若，则，即，解可得：＜x＜，即；故答案为：（，）．12．（5分）若，则lgx•lgy的最大值是4．【解答】解：等号两边同时取对数，得lg（•y）=lg100=2即，利用换元法，令t=lgy（t∈R），则lgx=8﹣4t，∴lgx•lgy=（8﹣4t）t=﹣4t2+8t=﹣4（t﹣1）2+4，当t=1时，取最大值，最大值为4，故答案为：4．13．（5分）已知函数f（x）=3﹣x﹣3x，则关于的下列结论：①f（0）=0②f（x）是奇函数③f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数④对任意实数a，方程f（x）﹣a=0都有解，其中正确的有（填写序号即可）①②④．【解答】解：∵f（x）=3﹣x﹣3x，f（﹣x）=3x﹣3﹣x=﹣（3﹣x﹣3x），∴f（x）=﹣f（﹣x），即函数f（x）=3﹣x﹣3x是奇函数，由奇函数的性质，①②均正确；又，是R上的单调递减函数，y=3x是R上的单调递增函数，由函数单调性的性质，减函数﹣增函数=减函数，∴f（x）=3﹣x﹣3x在R上单调递减．又∵函数值域为R，对任意实数a，方程f（x）﹣a=0都有解，∴③错误，④正确．∴正确的有①②④．故答案为：①②④．14．（5分）已知a∈R，函数f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a在区间[1，5）上的最大值是4，则a的取值范围是（﹣∞，] ．【解答】解：由题意知，x∈[1，5），2|x﹣3|∈[1，4]，故2|x﹣3|﹣a∈[1﹣a，4﹣a]，①a≤1时，f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a=|2|x﹣3|∈[1，4]，故符合题意；②时，1﹣a＜0，4﹣a＞0且a﹣1≤4﹣a，∴|2|x﹣3|﹣a|∈[0，4﹣a]，故f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a∈[a，4]，故符合题意；③时，1﹣a＜0，4﹣a＞0，且a﹣1＞4﹣a，∴|2|x﹣3|﹣a|∈[0，1﹣a]，故f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a∈[a，1]故不符合题意；④a＞4时，f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a=2a﹣2|x﹣3|∈[2a﹣4，2a﹣1]，故不符合题意．综上所述：（﹣∞，]．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}，（1）求A∩B．（2）已知函数y=ln（x+3）的定义域为E，求∁E（A∩B）．【解答】解：（1）集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}；（2）函数y=ln（x+3）的定义域为E={x|x+3＞0}={x|x＞﹣3}，由（1）知A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}，∴∁E（A∩B）={x|﹣3＜x≤﹣2或x≥﹣1}．16．（14分）已知f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=x2+6x+10．（1）求f（x）的解析式．（2）若f（x）在区间[0，a]上的最小值是5，求实数a的值．【解答】解：（1）当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）=（﹣x2）+6（﹣x）+10=x2﹣6x+10，又由于f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x），故当x＞0时，f（x）=f（﹣x）=x2﹣6x+10，故：；（2）由题意知：当x∈[0，a]时，f（x）=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1，若a≥3，f min（x）=f（3）=1，不符合题意，当0＜a＜3时，f（x）=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1在[0，a]内单调递减，∴f min（x）=f（a）=5，解得：a1=1，a2=5（舍）．综上所述：a=1．17．（14分）已知函数．（1）求证：f（x）是奇函数．（2）已知g（x）=f（x）+mx3+3，且，试求的值．【解答】解：（1）由题意知：，解得f（x）的定义域为：（1，1），定义域关于原点对称．∵，∴f（x）是奇函数．（2）设h（x）=g（x）﹣3=f（x）+mx3由（1）知，h（x）为奇函数，∴，即，解得：．18．（16分）某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（单位：元）与月处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳所得的这种化工产品可获利200元，如果该项目不获利，那么亏损数额将由国家给予补偿．（1）求x=30时，该项目的月处理成本．（2）当x∈[100，200]时，判断该项目能否获利？如果亏损，那么国家每月补偿数额（单位：元）的范围是多少？【解答】解：（1）当x=30时，y=300×30=9000，∴x=30时，该项目的月处理成本为9000元．（2）当x∈[100，200]时，利润g（x）=200x﹣（﹣10x2+2000x+48000），化简得：g（x）=10x2﹣1800x﹣48000=10（x﹣90）2﹣129000，g（x）为单调递增函数，故此时g（x）＜0，∴该项目不能获利；当x=100时，g min（x）=﹣128000，当x=200时，g max（x）=﹣8000，故补偿金额的范围是[8000，128000]．19．（16分）（1）求函数f（x）=x2+3x﹣4的零点．（2）试确定关于x的方程的解的个数．（3）如果（2）的解记为x0，且x0∈[k，k+1]，k∈Z，那么k的值是多少？【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=x2+3x﹣4，令f（x）=x2+3x﹣4=0，解得：x1=﹣4，x2=1．即函数的零点为﹣4与1；（2）根据题意，设，y2=log3x，如图，两个函数只有一个交点，则方程只有一个解；（3）设，又由f（4）=2﹣log34＞0，，则f（x）在[4，5]必有零点，故k=4．20．（16分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1的图象经过点A（1，2），B（3，8）．（1）求a，b的值．（2）当x≤﹣2时，函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，求实数m的取值范围．（3）定义在[p，q]上的一个函数m（x），如果存在一个常数M＞0，使得式子对一切大于1的自然数n都成立，＜x＜…＜x n=q）．则称函数m（x）为“[p，q]上的H函数”（其中，P=x0＜x1＜…＜x i﹣1试判断函数f（x）是否为“[﹣1，3]上的H函数”．若是，则求出M的最小值；若不是，则请说明理由．（注：）．【解答】解：（1）点A（1，2），B（3，8）代入函数f（x）的解析式中，得，两式相比得a2=4，∵a＞0，∴a=2，b=1，f（x）=2x；（2）函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，代入a=2，b=1得函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，设，∵在（﹣∞，2]上单调递减，y=﹣4x在（﹣∞，﹣2]上单调递减，∴g（x）在（﹣∞，﹣2]上为单调递减函数，∴g min（x）=g（﹣2）=13﹣m，要使g（x）在x轴上方恒成立，即13﹣m＞0恒成立，即m＜13；（3）∵f（x）=2x在[﹣1，3]上单调递增，∴=|f（x1）﹣f（x0）|+|f（x2）﹣f（x1）|+…+|f（x n）﹣f（x n﹣1）|=f（x1）﹣f（x0）+f（x2）﹣f（x1）+…+f（x n）﹣f（x n﹣1）=﹣f（x0）+f（x n）=f（3）﹣f（﹣1）=23﹣2﹣1=，∴m的最小值为．。