湖北省黄冈中学2008-2009学年度高一数学上学期期末考试试卷(含答案)(新人教版)

湖北省黄冈中学2008年秋季高一数学期末考试试题沉着 冷静 细心 认真 ☆ 祝考试顺利 ☆一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1．设集合22{|log },{|log }A x y x B y y x ====，则下列关系中正确的是（）A ．A BA =B ．A B=∅C ．A B ∈D ．A B⊆3．若非空集合,,A B C 满足A B C = ，且B 不是A 的子集，则（ ）A ．“x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B ．“xC ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件 C ．“x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D ．“x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件 4．函数20.3log (2)y x x =-的单调减区间是（ ）A ．(),1-∞B ．(),0-∞C ．()1,+∞D ．()2,+∞5．设f ：x A 到集合B 的映射，若{1,2}B =，则A B = （ ）A ．∅B ．{1}C ．∅或{2}D ．∅或{1} 6．函数()y f x =的图象如右上图所示，那么函数(2)y f x =-的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ）A．1()11)f x x -=+> B．1()11)f x x -=->C．1()11)f x x -=+≥D．1()11)f x x -=-≥8．定义两种运算：①a b ⊕=②a b ⊗=，则函数2()22x f x x ⊕=⊗-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数9．已知定义在R 上的函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若(1)y f x =+的反函数是1(1)y fx -=-，且(0)1f =，则(12)f =（ ）A ．1B ．1-C ．13D ．1410．已知函数()32||f x x =-，2()2g x x x =-，构造函数F （x ）定义如下：当f （x ）≥g （x ）时，F （x ）= g （x ）；当f （x ）<g （x ）时，F （x ）= f （x ）. 那么F （x ）（ ） A. 有最大值3，最小值1- B.有最大值7-C. 有最大值3，无最小值D. 无最大值，有最小值1-二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．） 11．25.0log 10log 255+=____________.12．不等式组2430x x a >⎧⎨+>⎩的解集是{|2}x x >，则实数a 的取值范围是____________.13．如右图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f =____________.14．已知3()|log |f x x =，若()(2)f a f >，则a 的取值范围是____________.则其中正确的结论的序号____________.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）根据函数单调性定义证明：函数31y x =-+在∞（0，＋）上是减函数．17．（本小题满分12分）已知二次函数()f x 满足(0)1f =和(1)()2f x f x x +-=. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值． 21．（本小题满分14分）（仅8、9、10班同学做）已知函数()cos sin f x a b x c x =++的图象过(0,1)A 和(,1)2B π两点，当[0,]2x π∈时，恒有|()| 2.f x ≤（1）求实数a 的取值范围；（2）当a 取上述范围内的最大整数值时，若存在实数m 、n 、ϕ使()()1mf x nf x ϕ+-=，求m 、n 、ϕ的值．湖北省黄冈中学2008年秋季高一数学期末考试答案16．证明：设任意1(0,)x ∈+∞，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，则333322121221212112()()(1)(1)()()f x f x x x x x x x x x x x -=-+--+=-=-++∵120x x <<，∴210x x ->，120x x >∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >所以函数y =-x 3+1在∞（0，＋）上是减函数.17．解：（1）2()1f x x x =-+；（2）m in 13()()24f x f ==，m ax ()(1)3f x f =-=.121．（1）11()412n y n n =+∈N ，114n n y y +-=，∴{y n }为等差数列（2）22n n x x +-=为常数∵22n n x x +-=为常数∴x 1，x 3，x 5，…，21n x -及x 2，x 4，x 6，…，x 2n 都是公差为2的等差数列， ∴2112(1)22211n x x n a n n a -=+-=+-=-+-， 222(1)2222n x x n a n n a =+-=-+-=-， ∴1,,n n a n x n a n ⎧+-⎪=⎨-⎪⎩当为奇数当为偶数（3）要使1n n n A B A +为直角三形，则11||22()412nn n B nA A y +==+当n 为奇数时，11,1n n x n a x n a +=+-=+-，∴12(1).n n x x a +-=- ∴12(1)2()412n a -=+∴11124n a =-（n 为奇数，0<a <1）（*）取n =1，得23a =，取n =3，得16a =，若n ≥5，则（*）无解；当n 为偶数时，1,n n x n a x n a +=+=-，∴12.n n x x a +-= ∴122()412na =+∴1412n a =+（n 为偶数，0<a <1）（*'），取n =2，得712a =，若n ≥4，则（*'）无解.综上可知，存在直角三形，此时a 的值为23、16、7.1221．解：（1）()y f x =的图象过A 、B 两点，故有1,1a b a c +=+=∴()(1)cos (1)sin )cos()4f x a a x a x a a x π=+-+-=+--∵[0,]2x π∈∴[,]444x πππ-∈-c o s ()[,1]42x π-∈).4x t π-=则()(1[2,2]g t a a =+--∴[4a ∈+（2）由（1）知，a 的最大整数为8，此时()8)4f x x π=--方法一：依题意有a =8，7b =-∴())84f x x π=-++∵()()1mf x nf x ϕ+-=∴sin()8sin()8144x m x n ππϕ-++-+-+=即(881)sin()sin()044m n m x n x ππϕ+--+++-=令4x tπ+=则sin sin())m t n t t ϕα+-=-∴(881))04m n x πα+--+-=∴228810(cos )(sin )0m n m n n ϕϕ+-=⎧⎨++=⎩∴881cos 0sin 0m n m n n ϕϕ+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩由③可知n =0求sin 0ϕ=当n =0时，由()()1()1mf x nf x mf x ϕ+-=⇒=矛盾. ∴n ≠0 ∴sin 0ϕ= ∴cos 1ϕ=± 由②得cos m nϕ=-当1m n-=时，即0m n +=与①矛盾.∴cos 1ϕ=- ∴1m n-=-∴m n = ④① ② ③由①④得116m n ==而sin 02()cos 1k k ϕϕππϕ=⎧⇒=+∈⎨=⎩Z∴116m n == 2()k k ϕππ=+∈Z 方法二：()87sin 7cos f x x x =-- ∵(0)1f = ()12f π= ∴(0)()1mf nf ϕ+-= ()()122m f nf ππϕ+-= ∴()()2nf nf πϕϕ-=- ∴[()()]02n f f πϕϕ---= ∴n =0求()()2f f πϕϕ-=-若n =0，则()1mf x =矛盾. ∴()()2f f πϕϕ-=-∴87sin()7cos 87sin()7cos()22ππϕϕϕϕ---=---- ∴sin 0ϕ= ∴()y k k π=∈Z当2()y n n π=∈Z 时()87cos 7sin ()()()1f x y x x f x m n f x -=--=⇒+=矛盾 当2()y n n ππ=+∈Z 时，()87cos 7sin f x x x ϕ-=++ ∴()()18()17()(cos sin )0mf x nf x m n n m x x ϕ+-=⇒+-+-+=即8()1)sin()04m n n m x π+-+-+=∴18()10160116m m n n m n ⎧=⎪+-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩∴116m n ==2().y n n ππ=+∈Z。