2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——8.三角函数与解三角形
2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——7.函数及其性质
2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编7．函数及其性质一、选择题（2017·8）函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（ ）A. (-∞，-2)B. (-∞，-1)C. (1，+∞)D. (4，+∞)（2016·10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（ ）A ．y =xB ．y =lg xC ．y =2x D．y = （2016·12）已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1mi i x ==∑ （ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m（2015·11）如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，∠BOP =x.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．（2015·12）设函数21()ln(1)1f x |x |x =+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A. 1(,1)3 B. 1(,)(1,)3-∞+∞ C. 11(,)33- D. 11(,)(,)33-∞-+∞ （2014·11）若函数f (x ) = kx -ln x 在区间(1，+∞)单调递增，则k 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞（2013·8）设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> （2012·11）当0<x ≤12时，4log x a x <，则a 的取值范围是（ ） A ．(0B ．1) C ．(1D ．2) （2011·3）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） A ．3y x = B ．||1y x =+ C ．21y x =-+ D ．||2x y -=（2011·10）在下列区间中，函数f (x ) = e x + 4x - 3的零点所在的区间为（ ）A ．1(,0)4-B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．13(,)24 （2011·12）已知函数y = f (x )的周期为2，当x ∈[-1,1]时 f (x ) = x 2，那么函数y = f (x )的图像与函数y = |lg x |的图像的交点共有（ ）A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个二、填空题（2017·14）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0)，∈-∞x 时，32()=2+f x x x ，则(2)f = （2015·13）已知函数f (x ) = ax 3-2x 的图象过点(-1, 4)，则a = .（2014·15）偶函数y = f (x )的图象关于直线x = 2对称，f (3) = 3，则f (-1) = _______.（2012·16）设函数22(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M +m = .2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编7．函数与导数一、选择题（2017·8）D 解析：函数有意义，则x 2-2x -8>0，解得x <-2或x >4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数“同增异减”的原则可得函数的单调增区间为(4，+∞)，故选D.（2016·10）D 解析：lg 10x y x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．（2016·12）B 解析：因为2()|23|y f x y x x ==--，都关于1x =对称，所以它们交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22m m ⨯=，当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，因此选B. （2015·11）B 】解析：∵()2f π=，()14f π=，∴()()24f f ππ<，由此可排除C ，D ，当34x ππ≤≤时，1()tan cos f x x x=-+，可排除A. （2015·12）A 解析：()f x 是偶函数，且在[0, +∞)是增函数，所以()(21)(||)(|21|)f x f x f x f x >-⇔>- 1|||21|13x x x ⇔>-⇔<<. （2013·8）D 解析：因为321log 21log 3=<，521log 21log 5=<，又2log 31>，所以c 最大. 又221log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，故选D. （2012·11）A 解析：由指数函数与对数函数的图像知12011log 42a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得02a <<，故选A. （2011·3）B 解析：可以直接判断：A 是奇函数，B 是偶函数，又是（0，+∞）的增函数，故选B. （2011·10）C 解析：只需验证端点值，凡端点值异号就是答案. 故选C.（2011·12）A 解析：本题可用图像法解，易知共10个交点，故选A.二、填空题（2017·14）12解析：(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=（2015·13）-2解析：()1242f a a -=-+=⇒=-. （2015·16）8解析：曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为y =2x -1，与y = ax 2+(a +2)x +1联立得ax 2+ax +2=0，显然a ≠0，所以由△=a 2-8a =0，得a =8 .（2014·15）3解析：∵()f x 为偶函数，∴(1)(1)f f -=，∵()f x 的图像关于2x =对称，∴(1)(3)3f f ==，∴(1)3f -=.（2012·16）2解析：()f x =22sin 11x x x +++，设()g x =()1f x -=22sin 1x x x ++，则()g x 是奇函数， ∵()f x 最大值为M ，最小值为m ，∴()g x 的最大值为M -1，最小值为m -1，∴110M m -+-=，M m +=2.。
2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—8
2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—8.三角函数、解三角形2011年—2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编7.三角函数、解三角形一、选择题2018年新课标Ⅰ文8题：已知函数$f(x)=2\cos x-\sin x+2$，则$f(x)$的最小正周期为$\pi$，最大值为3.2018年新课标Ⅰ文11题：已知角$\alpha$的顶点为坐标原点，始边与$x$轴的非负半轴重合，终边上有两点$A(1,0)$，$B(2,b)$，且$\cos2\alpha=\frac{1}{5}$，则$a-b=\frac{1}{5}$。
2018年新课标Ⅱ文7题：在$\triangle ABC$中，$\cos C=\frac{5}{\sqrt{26}}$，$BC=1$，$AC=5$，则$AB=5\sqrt{2}$。
2018年新课标Ⅱ文10题：若$f(x)=\cos x-\sin x$在$[0,a]$是减函数，则$a$的最大值是$\frac{3\pi}{4}$。
2018年新课标Ⅲ文4题：若$\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{8}}$，则$\cos 2\alpha=-\frac{7}{8}$。
2018年新课标Ⅲ文6题：函数$f(x)=\frac{\tan x}{1+\tan^2 x}$的最小正周期为$\pi$。
2018年新课标Ⅲ文11题：triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$。
若$\triangle ABC$的面积为$4$，则$\cosC=\frac{3}{4}$。
2017年新课标Ⅰ文11题：triangle ABC$的内角$A$、$B$、$C$的对边分别为$a$、$b$、$c$。
已知$\sin B+\sin A(\sin C-\cos C)=\frac{3}{2}$，$a=2$，$c=2$，则$C=\frac{\pi}{3}$。
2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——解析几何
2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——解析几何一、选择题（2017·5）若a ＞1，则双曲线2221-=x y a的离心率的取值范围是（ ）A. ∞）B. ）C. （1D. 12（，）（2017·12）过抛物线C ：y 2 = 4x 的焦点F ，C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l,则M 到直线NF 的距离为A.B. C. D. （2016·5）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2 （2016·6）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-C D ．2（2015·7）已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为（ ）A.53B.C.D.43（2014·10）设F 为抛物线C ：y 2 = 3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交于C 于A 、B 两点，则|AB |=（ ）A B ．6 C ．12 D ．（2014·12）设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN =45°，则x 0的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ．11[]22-，C ．[D ．[ （2013·5）设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）AB ．13C ．12D （2013·10）设抛物线C : y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点. 若|AF |=3|BF |，则l 的方程为（ ）A ．1y x =-或1y x =-+B ．1)y x =-或1)y x =-C ．1)y x =-或1)y x =-D ．1)y x =-或1)y x =-（2012·4）设F 1、F 2是椭圆E ：22221x y a b+=(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45（2012·10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，||AB =则C 的实轴长为（ ）A B ． C ．4 D ．8（2011·4）椭圆221168x y +=的离心率为（ ）A ．13B ．12 CD （2011·9）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直. l 与C 交于A , B 两点，|AB |=12，P 为C 的准线上一点，则∆ABP 的面积为（ ） A ．18 B ．24 C ．36 D ．48二、填空题（2015·15）已知双曲线过点，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为 .三、解答题（2017·20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP uu u r r（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且1⋅=OP PQ u u u r u u u r.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.（2016·21）已知A 是椭圆E :22143x y +=的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .（Ⅰ）当|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积；（Ⅱ）当|AM|=|AN|2k <<.（2015·20）已知椭圆C ：22221x y a b +=（a >b >0，点（2C 上.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A 、B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.（2014·20）设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN |=5|F 1N |，求a ，b .（2013·20）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为在y 轴上截得线段长为（Ⅰ）求圆心P 的轨迹方程；（Ⅱ）若P 点到直线y x =P 的方程.（2012·20）设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点.(Ｉ)若∠BFD=90º，△ABD的面积为求p的值及圆F的方程；（Ⅱ）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.（2011·20）在平面直角坐标系xOy中，曲线261y x x=-+与坐标轴的交点都在圆C上.（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线0x y a-+=交与A，B两点，且OA OB⊥，求a的值.2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——解析几何（解析版）一、选择题（2017·5）C 解析：由题意222222111+===+c a e a a a，因为a >1，所以21112<+<a ，则1<<e 选C.（2017·12）C 解析：由题意知1)：=-MF y x ，与抛物线24=y x 联立得231030-+=x x ，解得12133，==x x ，所以M ，因为⊥MN l ，所以(1-N ，因为(1,0)F ，所以1)：=-NF y x ，所以M 到NF（2016·5）D 解析：(1,0)F ，又因为曲线(0)ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，所以21k =，所以k =2，故选D.（2016·6）A 解析：圆心为(1,4)，半径2r =1=，解得43a =-，故选A.（2015·7）B 解析：圆心在直线BC 垂直平分线上，即直线x =1上，设圆心D (1, b )，由DA =DB 得||3b b =⇒=，所以圆心到原点的距离3d ==（2014·10）C 解析：由题意，得3(,0).4F 又因为tan30k =︒=AB 的方程为3)4y x =-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线定义得，12168312162AB x x p =++=+=，故选C ．（2014·12）A 解析：由题意画出图形如图：∵点M （x 0，1），∴若在圆O ：x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN =45°，∴圆上的点到MN 的距离的最大值为1，要使MN =1，才能使得∠OMN =45°，图中M ′显然不满足题意，当MN 垂直x 轴时，满足题意，∴x 0的取值范围是[-1，1]．（2013·5）D 解析：因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=，所以2122tan 30,PF c PF ===.又122PF PF a +==，所以c a ==，故选D.（2013·10）C 解析：抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（1，0），准线方程为x =-1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则因为|AF |=3|BF |，所以x 1+1=3(x 2+1)，即x 1=3x 2+2，因为|y 1|=3|y 2|，x 1=9x 2，所以x 1=3，x 2=13，当x 1=3时，2112y =，所以此时1y ==±，若1y =则1(3,2(,3A B ,此时AB k 此时直线方程为1)y x =-. 若1y =-1(3,(A B -,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-. 所以l 的方程是1)y x =-或1)y x =-，故选C.（2012·4）答案：C 解析：∵△F 2PF 1是底角为30º的等腰三角形，260PF A ∴∠=︒，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，322c a ∴=，34e ∴=，故选C.（2012·10）C 解析：由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y =||AB =，∴=a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C.（2011·4）D解析：c e a ===2228111162，b e e a =-=-=∴ D. （2011·9）C 解析：易知2P =12，即AB =12，三角形的高是P =6，所以面积为36，故选C.二、填空题（2015·15）2214x y -=解析：根据双曲线渐近线方程为12y x =±，可设双曲线的方程为224x y m -=，把代入得m =1.三、解答题（2017·20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP uu u r r（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且1⋅=OP PQ u u u r u u u r.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.（2017·20）解析：（1）设(,)P x y ，(,)M x y ''，(,0)N x '，NP uu u r r，(,))x x y y ''-=，即0x x x x y y '=⎧'-=⎧⎪⎪⇒⎨⎨'='=⎪⎩⎪⎩，代入椭圆方程2212x y ''+=，得到222x y +=，∴点P 的轨迹方程222x y +=.（2）由题意知,椭圆的左焦点为F (-1，0)，设P (m ，n )，Q (-3，t )，则(,)，OP m n =u u u r(3,)-，OQ t =u u u r (3)，，PQ m t n =---u u u r (1)，，PF m n =---u u u r 由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故3+30m tn -=.所以330OQ PF m tn ⋅=+-=u u u r u u u r ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r . 又过点P存在唯一直线垂直于，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .（2016·21）已知A 是椭圆E :22143x y +=的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .（Ⅰ）当|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当|AM|=|AN|2k <<.（2016·21）解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π，又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=，解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. （Ⅱ）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故1||2|AM x +=由题设，直线AN 的方程为1(2)y x k =-+，故同理可得||AN =.由2||||AM AN =得2223443kk k=++，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又260,(2)60f f =<=>，因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k在内，所2k <.（2015·20）已知椭圆C ：22221x y a b +=（a >b >0，点（2C 上.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A 、B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.（2015·20）解析：（Ⅰ）由题意有22421a b=+=，解得228,4a b ==. 所以C 的方程为221.84x y += （Ⅱ）设直线1122:(0,0),(,),(,),(,).M M l y kx b k b A x y B x y M x y =+≠≠将y kx b =+代入22184x y +=得222(21)4280k x kbx b +++-=，故12222,22121M M M x x kb b x y kx b k k +-===+=++，于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-，即12OM k k ⋅=-，所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.（2014·20）设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN |=5|F 1N |，求a ，b .（2014·20）解析：∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c ，当x=c 时，2b y a=，即2()b M c a ，，若直线MN 的斜率为34，则22123tan 224b a b MF Fc ac ∠===，即22232b ac a c ==-，亦即2231022c ac a --=，则22320e e --=，解得12e =，故椭圆C 的离心率为12．（Ⅱ）由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D （0，2）是线段MF 1的中点，故244b =，即b 2=4a ，由|MN |=5|F 1N |，解得|DF 1|=2|F 1N |，设N （x 1，y 1），由题意知y 1＜0，则112()22c x cy --=⎧⎨-=⎩，即11321x c y ⎧=-⎪⎨⎪-⎩，代入椭圆方程得2229114c a b +=，将b 2=4a 代入得229(4)1144a a a a -+=，解得a =7，27b =.（2013·20）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为23. （Ⅰ）求圆心P 的轨迹方程； （Ⅱ）若P 点到直线y x =的距离为2，求圆P 的方程.（2013·20）解析：（Ⅰ）设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 由题设y 2+2=r 2，x 2+3=r 2. 从而y 2+2=x 2+3. 故P 点的轨迹方程为y 2-x 2=1. （Ⅱ）设P (x 0，y 0)．由已知得0022=. 又P 点在双曲线y 2-x 2=1上，从而得002210||11x y y x -=⎧⎨-=⎩. 由00220011x y y x -=⎧⎨-=⎩，得0001x y =⎧⎨=-⎩. 此时，圆P 的半径3r =. 由00220011x y y x -=-⎧⎨-=⎩，得0001x y =⎧⎨=⎩. 此时，圆P 的半径3r =. 故圆P 的方程为x 2+(y -1)2=3或x 2+(y +1)2=3.（2012·20）设抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点.(Ｉ)若∠BFD =90º，△ABD 的面积为42求p 的值及圆F 的方程；（Ⅱ）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值. （2012·20）解析：（Ⅰ）设准线l 于y 轴的焦点为E ，圆F 的半径为r ，则|FE |=p ，|F A |=|FB |=|FD |=r ，E 是BD 的中点，∵090BFD ∠=，∴||||=||2FA FB FD p=，|BD |=2p ，设A (0x ，0y )，根据抛物线定义得，|F A |=02py +，∵ABD ∆的面积为，∴ABD S ∆=01||()22p BD y +=122p ⨯=p =2，∴F (0,1), |F A|=F 的方程为：22(1)8x y +-=.（Ⅱ）【方法1】∵A ，B ，F 三点在同一条直线m 上, ∴AB 是圆F 的直径，090ADB ∠=，由抛物线定义知1||||||2AD FA AB ==，∴030ABD ∠=，∴m的斜率为或－，∴直线m的方程为：2p y x =+，∴原点到直线m 的距离1d=p ，设直线n的方程为：y x b =+，代入22x py =得，220x x pb ±-=，∵n 与C 只有一个公共点，∴∆=24803p pb +=，∴6p b =-，∴直线n的方程为：6p y x =-，∴原点到直线n 的距离2dp ，∴坐标原点到m ，n:3p p =.【方法2】由对称性设200(,)(0)2x A x x p>，则(0,)2p F ，点,A B 关于点F 对称得：22220000(,)3222x x p B x p p x p p p --⇒-=-⇔=得3,)2p A ，直线3:02p p p m y x x -=+⇔=，222233x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒切点)6pP ，直线:06p n y x x p -=⇔-=， 坐标原点到,m n3=.（2011·20）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线0x y a -+=交与A ，B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值.（2011·20）解析：（Ⅰ）曲线261y x x =-+与坐标轴的交点为（0,1））（0,223±，故可设圆的圆心坐标为（3，t ）则有2222)22()1(3t t +=-+，解得t =1，则圆的半径为3)1(322=-+t ，所以圆的方程为9)1()3(22=-+-y x .（Ⅱ）设A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)坐标满足方程组220(3)(1)9x y a x y -+=⎧⎨-+-=⎩，消去y 得到方程012)82(222=+-+-+a a x a x ，由已知可得判别式△=56-16a -4a 2>0，由韦达定理可得a x x -=+421，212221+-=a a x x ①，由OA ⊥OB ，可得12120x x y y +=，又1122y x ay x a =+=+，所以212122()0x x a x x a +++=②，由①②可得a =-1，满足△>0，故a =-1.。
5.三角函数、解三角形——2011—2017年新课标全国卷理科数学分类真题汇编
A. C.
，k∈Z ，k∈Z
B. D.
，k∈Z ，k∈Z
13．△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A= ,cos C= ,a=1,则 b=
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16．在平面四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则 AB 的取值范围是 ____.
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… … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
… … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
2016 课标Ⅱ卷(全国甲卷) 7．若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 个单位长度,则平移后图像的对称轴为 A.x= - (k∈Z) C.x= - (k∈Z) 9．若 cos( -α)= ,则 sin 2α= A. B. C.D.. B.x= + (k∈Z) D.x= + (k∈Z)
(第 8 题) (第 16 题)
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◎
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… … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … …
5-2
2016 课标Ⅰ卷(全国乙卷)
新课标卷理科数学近八年高考分类考点真题分析
2017 课标Ⅲ卷(全国丙卷) 6．设函数 f(x)=cos(x+ ),则下列结论错误的是 A.f(x)的一个周期为-2π C.f(x+π)的一个零点为 x= B.y=f(x)的图象关于直线 x= 对称 D.f(x)在( ,π)单调递减 cos A=0,a=2 ,b=2.
2011年—2017年新课标全国高考卷文科数学分类汇编—2.函数及其性质
2011年—2017年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编2．函数及其性质一、选择题【2017，8】函数sin21cosxyx=-的部分图像大致为（）【2017，9】已知函数()()ln ln2f x x x=+-，则（）A．()f x在()0,2单调递增B．()f x在()0,2单调递减C．()y f x=的图像关于直线1x=对称D．()y f x=的图像关于点()1,0对称【2016，8】若0a b>>，01c<<，则（）A．log loga bc c<B．log logc ca b<C．c ca b<D．a bc c>【2016，9】函数22e xy x=-在[]2,2-的图像大致为（）-221O xy-221O xy-221O xy-221O xyA．B．C．D．【2015,10】已知函数1222,1()log(1),1x xf xx x-⎧-≤=⎨-+>⎩，且f(a)=-3，则f(6-a)=( )A．74-B．54-C．34-D．14-【2015，12】设函数y=f(x)的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(-4)=1，则a=( ) C A．-1 B．1 C．2 D．4【2014，5】5．设函数()f x,()g x的定义域为R，且()f x是奇函数，()g x是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．()()f xg x是偶函数B．()()f xg x是奇函数C．()()f xg x是奇函数D．()()f xg x是奇函数【2013，9】函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为()【2013，12】已知函数f(x)＝22,0,ln(1),0.x x xx x⎧-+≤⎨+>⎩若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()．A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]【2012，11】11．当12x<≤时，4logxax<，则a的取值范围是（）A．（0，22）B．（22，1）C．（12）D．2，2）【2011，3】下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是（）A．3y x=B．||1y x=+C．21y x=-+D．||2xy-=【2011，10】在下列区间中，函数()e43xf x x=+-的零点所在的区间为（）．A．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B．10,4⎛⎫⎪⎝⎭C．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D．13,24⎛⎫⎪⎝⎭【2011，12】已知函数()y f x=的周期为2，当[1,1]x∈-时函数2()f x x=，那么函数()y f x=的图像与函数lgy x=的图像的交点共有（）．A．10个B．9个C．8个D．1个二、填空题【2015，14】已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1, f(1))的处的切线过点(2,7)，则a= ．【2014，15】设函数113,1(),1xe xf xx x-⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则使得()2f x≤成立的x的取值范围是_____．【2012，16】16．设函数22(1)sin()1x xf xx++=+的最大值为M，最小值为m，则M m+=_______．2011年—2017年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编2．函数及其性质（解析版）一、选择题 【2017，8】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为（ ）【解法】选C 由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当x π=时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，排除A ．． 【2017，9】已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则（ ）A ．()f x 在()0,2单调递增B ．()f x 在()0,2单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于点()1,0对称 【解析】（法一）函数的定义域为)2,0(，)2(ln )2ln(ln )(x x x x x f -=-+=，设2)1(2)2()(22+--=+-=-=x x x x x x t ，)(t f 为增函数，当)1,0(∈x 时，)(x t 为增函数，∴)(x f 为增函数，当)2,1(∈x 时，)(x t 为减函数，∴)(x f 为减函数．排除A,B ，因为)(x t 是二次函数，图像关于直线1=x 对称，故)2()(x t x t -=， 所以)2()(x f x f -=，()y f x =的图像关于直线1x =对称，故选 C ； （法二）)2(22211)(x x x x x x f --=--='，当)1,0(∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数． 当)2,1(∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数，故排除A,B ． 故选 C ； 【2016，8】若0a b >>，01c <<，则（ ）A ．log log a b c c <B ．log log c c a b <C ．c c a b <D ．a bc c >8．B 解析 由01c <<可知log c y x =是减函数，又0a b >>，所以log log c c a b <．故选B ． 评注 作为选择题，本题也可以用特殊值代入验证，如取4a =，2b =，12c =，可快速得到答案． 另外，对于A ，lg log lg a c c a =，lg log lg b cc b=，因为01c <<，所以lg 0c <． 又0a b >>，所以lg lg a b >，但正负性无法确定，所以A 无法判断． 对于C ，D ，可分别利用幂函数、指数函数的单调性判断其错误． 【2016，9】函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解析 ：选D. 设()22e xf x x =-，由()()228e 0,1f =-∈，可排除A （小于0），B （从趋势上超过1）；又()0,2x ∈时，()4e xf x x '=-，()()()014e 0f f ''⋅=--<，所以()f x 在()0,1上不是单调函数，排除C ．故选D ．【2015,10】已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且f (a )=-3，则f (6-a )=( )A ．74-B ．54-C ．34- D ．14-解：∵f (a )=-3，∴当a≤1时，f (a )=2a -1-2=-3，则2a -1=-1，无解．当a>1时，f (a )=-log 2(a +1) =-3，则a +1=8，解得a =7，∴f (6-a )=f (-1)= 2-2-2=74-，故选A ． 【2015，12】设函数y =f (x )的图像与y =2x+a 的图像关于直线y =-x 对称，且f (-2)+f (-4)=1，则a =( ) C A ．-1 B ．1 C ．2 D ．4解：设f (-2)=m ，f (-4)=n ，则m +n=1，依题点(-2，m )与点(-4，n )关于直线y =-x 对称点为(-m ，2)与点(-n ，4)在函数y =2x+a 的图像上，∴2=2-m+a ，4=2-n+a ，∴-m+a =1，-n+a =2，∴2a =3+m +n =4，∴a =2，故选C 【2014，5】5．设函数()f x ,()g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．()()f x g x 是偶函数B ． ()()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是奇函数D ． ()()f x g x 是奇函数 解：设F (x )=f (x )|g (x )|，依题可得F (-x )=-F (x )，∴ F (x )为奇函数，故选C 【2013，9】函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )解析：选C. 由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦时，f (x )＞0，排除A ．当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1．令f ′(x )＝0，得2π3x =． 故极值点为2π3x =，可排除D. 【2013，12】已知函数f (x )＝22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 解析：选D ．可画出|f (x )|的图象如图所示．当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ； 当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立． 若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限，由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2－(a ＋2)x ＝0．∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2．∴a ∈[－2,0]． 【2012，11】11．当102x <≤时，4log xa x <，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，2） B ．（2，1） C ．（1，2） D ．（2，2）【解析】显然要使不等式成立，必有01a <<．在同一坐标系中画出4xy =与log a y x =的图象．11- x y o 1= 10 若102x <≤时，4log xa x <，当且仅当011log 22a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩， 2011log log 2a a a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，即20112a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩． 21a <<，故选择B ． 【2011，3】下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是（ ）A ．3y x = B ．||1y x =+ C ．21y x =-+ D ．||2x y -=【解析】四个选项中的偶函数只有B ，C ，D ，故排除，当x ∈(0,)+∞时，三个函数分别为1y x =+单调递增，21y x =-+单调递减，12()2x x y -==单调递减．故选B ．【2011，10】在下列区间中，函数()e 43xf x x =+-的零点所在的区间为（ ）．A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭ C ． 11,42⎛⎫⎪⎝⎭ D ． 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为11042f f ⎛⎫⎛⎫⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数零点存在性定理，可知函数零点处于区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内．故选择C ． 【2011，12】已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时函数2()f x x =，那么函数()y f x =的图像与函数lg y x =的图像的交点共有（ ）．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个【解析】 考查数形结合思想，在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，如下图．容易判断出两函数图像的交点个数为10个． 故选A ．二、填空题【，14】已知函数f (x )=ax 3+x +1的图像在点(2,7)，则a = ．(1, a +2)，且切线过点(2,7)，∴7-(a +2)=3a +1，解得a =1．【2014，15】设函数113,1(),1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是_____．解：(-∞,8]，当x<1时，由e x -1≤2可得x ≤1+ln 2，故x<1；当x≥1时，由13x ≤2可得x ≤8，故1≤x ≤8，综上可得x ≤8．【2012，16】16．设函数22(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=_______． 【解析】2． 2222(1)sin 12sin ()11x x x x x f x x x +++++==++222sin 111x xx x =++++． 令222sin ()11x xg x x x =+++，则()()1f x g x =+，因为()g x 为奇函数，所以max min ()()0g x g x +=． 所以M m +=max min max min [()1][()1]()()22g x g x g x g x +++=++=．。
2017年(文科数学)(新课标Ⅱ)试卷真题+参考答案+详细解析
2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则(A B = )A ．{1,2,3,4}B ．{1,2,3}C ．{2,3,4}D ．{1,3,4}2．（5分）(1)(2)(i i ++= ) A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i +3．（5分）函数()sin(2)3f x x π=+的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 4．（5分）设非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，则( ) A ．a b ⊥B ．||||a b =C ．//a bD ．||||a b >5．（5分）若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是( )A．)+∞B．C．D ．(1,2)6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π7．（5分）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩，则2z x y =+的最小值是( )A ．15-B ．9-C ．1D ．98．（5分）函数2()(28)f x ln x x =--的单调递增区间是( ) A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞9．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩10．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的(S = )A ．2B ．3C ．4D ．511．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A ．110B ．15C ．310D ．2512．（5分）过抛物线2:4C y x =的焦点F ，3C 于点(M M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为( ) A 5B ．22C ．23D ．33二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分 13．（5分）函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 ．14．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+，则(2)f = ． 15．（5分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 ． 16．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=． （1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S ．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD-中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，12AB BC AD==，90BAD ABC∠=∠=︒．（1）证明：直线//BC平面PAD；（2）若PCD∆面积为27，求四棱锥P ABCD-的体积．19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ），其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg <箱产量50kg旧养殖法 新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 附：2()P K K0.050 0.010 0.001 K3.8416.63510.8282()()()()K a b c d a c b d =++++．20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆22:12xC y+=上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NP NM=．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线3x=-上，且1OP PQ=．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．21．（12分）设函数2()(1)x f x x e =-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x 时，()1f x ax +，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分。
(含详解)2011年-2017年新课标高考数学三角函数与解三角分类汇编(理)附答案
2011-2017新课标三角函数分类汇编一、选择题【2011新课标】5. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ B ）（A ）45-（B ）35-（C ）35 （D ）45【2011新课标】11. 设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( A )（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增【2011新课标】12. 函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于( D )（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8【2012新课标】9. 已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
则ω的取值范围是（ A ）()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1(0,]2 ()D (0,2]【解析】592()[,]444x πππωω=⇒+∈ 不合题意 排除()D351()[,]444x πππωω=⇒+∈合题意 排除()()B C【2013新课标1】12、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝cn ＋an 2，c n ＋1＝bn ＋an2，则( B ) A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列【答案】1111111111202b a c c a c c a c =->>∴->∴>且b 111111111120b a a c a a c b a c ∴-=--=->∴>>11111111111222a b c a a c c a c a c -<∴--<∴>∴>又111111112(2)22n n n n n n n n b c c a b c a b c a ++++++=+∴+-=+-由题意，b1120222n n n n n n n n b c a b c a a b c a ∴+-=∴+==∴+=11111112(2)22n n n n n n n n n c b a b bb c b a b a b ++++----=∴--==-又由题意，111111111()()()22n n n n b a a b b a b a -+∴-=-∴-=--11111111111()(),2()()22n n n n n b a b a c a b a b a --∴=+--=-=---21111111111111333311()()()()()222222n n n a a aa S a ab a a b a --⎡⎤⎡⎤∴=------+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 222122*********()()()0)4444n a a a b a b a -⎡⎤⎡⎤=---->⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦单调递增（可证当n=1时【2014新课标1】8．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ C ） A. 3α﹣β=B. 3α+β=C. 2α﹣β=D. 2α+β=【答案】由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα， sin （α﹣β）=cosα．由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关．排除选项A ，B 后验证C ， 当时，sin （α﹣β）=sin （）=cosα成立。
2011—2017年高考全国卷Ⅰ文科数学三角函数、解三角形总汇编
新课标全国卷I 文科数学汇编三角函数、解三角形、选择题【2017, 11】△ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .已知 si nB sin A(si nC _cosC)=0 , a=2, c= . 2 ,6】若将函数y =2sin i 2x • n 的图像向右平移 丄个周期后，所得图像对应的函数为(I 6丿 4则 C=()n12 A .B - nD. n3【2016,4】△ ABC 的内角A, B, C 的对边分别为 a, b, c .已知 a = 5 , c = 2, cos A =—，贝y b =()3A .2 B .3 C . 2【2016,A .n 1y = 2sin I 2xI 4丿n 1B .八22x3C . y = 2sin 2x —— n D-y =2sin i 2x--I 3丿【2015,8】函数f (x )=cos( 3 x +0 )的部分图像如图所示，则 A . (k 「：」,k 二3),k Z B . (2k 二-[,2k 二？),k Z 44 4 4C. (k 」,k 3), k Z D . (2k 」,2k 3), k Z4 4 4 4【2014, 7】在函数① y=cos|2xL ,② y=|cos x |，③ y = cos(2x )，④ y = tan(2x)中，最小正周64期为n 的所有函数为 A .①②③ B2】若 tan 二:.■- 0，则( sin ：； >0 B .【2014, ().①③④ c.②④ D .①③sin 2：；- >0 Dcos2= 010】已知锐角厶ABC 的内角 则b =(A . 10【2013, A , B, 2C 的对边分别为 a , b , c, 23cos A + cos 2 A = 0, a = 7, c = 6,【2012, 9】 9 .已知 0 ,<n 直线x是函数f(x)=s in•「)图像的两条相4).邻的对称轴，则D.—4【2011,7】已知角 二的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y = 2x 上，则cos 2 =().二、填空题【2017, 15】已知 a w j0,— , tana =2，则(n 3f n【2016 ,】14.已知日是第四象限角，且 sin 10 + -=工，则tan |0 --=I4丿5I4丿【2013, 16】设当X = B 时，函数f (X ) = sin X -2cos X 取得最大值，则 cos 【2014, 16】如图所示，为测量山高 MN ，选择A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点•从 A 点测得M 点的仰角• MAN =60 , C 点的仰角CAB =45 以及.MAC =75 ;从 C 点测得• MCA 二 60 .已知山高BC =100m ，则山高MN m .【2011, 15】△ ABC 中，B =120；, AC = 7 , AB =5，则△ ABC 的面积为 _________ 三、解答题 【2015, 17 】已知 a,b,c 分别为△ ABC 内角 A, B,C 的对边，si n 2B =2s in AsinC .(1 )若 a =b ，求 cosB ; (2)设.B =90「，且 a =：$2，求△ ABC 的面积.【2012, 17】已知a , b , c 分别为△ ABC 三个内角A, B , C 的对边，c =-、3as in C-ccosA .(1 )求 A ; ( 2)若 a = 2 , △ ABC 的面积为-、3，求 b , c .【2011, 11】设函数f (X ) 二 sin2XJ C0S 2X 7，则A.f (X )在0,n单调递增，其图象关于直线I 2丿n ,对称4B.f (X )在'' 0,n"单调递增，其图象关于直线 I 2丿 C.f (X )在 10,nI 2单调递减，其图象关于直线D.f (X )在'o,n 单调递减，其图象关于直线cos :一、选择题【2017, 11】△ ABC 的内角 A B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .已知 si nB sin A(si nC _cosC)=0 , a=2, c= . 2 , 则 C=()八nn小nnA .B.C.D.—12643【答案】B【解法】解法一：因为 si nB si nA(si nC -cosC) =0 , sin B =si n(A C),所以 sin C(sin A • cosA) = 0 ,又 sin C . 0，所以 sin A = -cos A , tan A = _1，又 0 ：：： A ：：： -•，所以 A = —4， 又a =2, c =.、2，由正弦定理得22,即sin C 二丄•又0 ：：： C ，所以C ，故选B.罷 sinC2262解法二：由解法一知 sin A cos A =0，即 2s in (A ')=0，又0 ：：: A ：：：二，所以A=—.下同解法一.4 4 【2016, 4】△ ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c .已知a =』5 , c=2, cosA = —，贝y b =()3A . 、—B . 、、3C . 2D . 3【2016, 6】若将函数y =2sin i 2x •-的图像向右平移1个周期后，所得图像对应的函数为（）.I 6丿 4解析：选D .由余弦定理得cos A =2 2 2b c-a2bc，即整理得 b 2 -8b-1 二 b -3 b+ 1）=0，解得b=3 .故A . y = 2sin I 2x —B . y = 2sin I 2x -C . y = 2sin I 2x 「—4 D . "2sin 2X—:解析：选D.将函数y=2sin‘2x+ n 的图像向右平移 丄个周期，即向右平移 I 6丿 4n卫个单位,4故所得图像对应的函数为 y=2sin |2.'x — = 2sin ' 2x — n |.故选D.X 4丿6」 I 3丿 【2015, 8】函数f (x )=cos( 3 x +0 )的部分图像如图所示，贝U 1 31 3A . (k—,k 二—),k Z B . (2k —,2k 二一),k Z 4 44 4f （x ）的单调递减区间为（）TTTT【2014, 7】在函数① y=cos|2xL ，② y=|cos x |，③ y = cos(2x )，④ y = tan(2x)中，最小正周6 4期为n 的所有函数为() A .①②③ B .①③④C .②④D .①③解：选 A .由y = cosx 是偶函数可知①y=cos|2 x|= cos2x ，最小正周期为n ；② y=|cos x |的最小正周 期也是n;③中函数最小正周期也是n;正确答案为①②③，故选A2 2 1解析：选 D.由 23cos A + cos 2 A = 0,得 cos A=.25•••cos A = 36—92Pb13 b = 5 或b —亍舍).由此f(x) =sin(x 」)，由已知x 处f (x) =sin(x •「)取得最值, 4JIA .设P(t,2t)(t=0)为角二终边上任意一点，则 cosr- L . V5t【2014, A . 解: 2】若tan .篇a 0，则( sin >0 B 选 C. tan a >0, ) cos 、； ,0 C . sin2、z ,0 D a 在一或三象限，所以 sin a 与cos a 同号，故选Ccos2、； > 0 【2013,则b =( A . 1010】已知锐角厶 ). B . 9ABC 的内角A , B, C 的对边分别为 2a ,b , c, 23cos A + cos 2 A = 0, a = 7,c = 6, 【2012, 9】9.已知■ 0 , 0 ：：：「：：：二，直线x 和x4是函数f(x)二sin C x )图像的两条相4邻的对称轴, A . 【解析】 选A. 由直线x 3 JI 和45 二x盲是函数f(x)f(x) =sinC ，x •「)的最小正周期Tsin (「x •「)图像的两条相邻的对称轴, )二2二，从而屏=1.1 3 C (k 2k 4)，k ZD • (2k_4,2k 4)K Z4 4解：选D.依图,卜z且Az'；，解得…，® =4，二心)丸。
2011-2017年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编——8.三角函数与解三角形
2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编8．三角函数与解三角形一、选择题（2016·7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈C ．()212k x k Z ππ=-∈D ．()212k x k Z ππ=+∈（2016·9）若3cos()45πα-=，则sin 2α =（ ） A ．725B ．15C ．15-D ．725-（2014·4）钝角三角形ABC 的面积是12，AB =1，BC AC =（ ）A ．5BC ．2D ．1（2012·9）已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是（） A. 15[,]24B. 13[,]24C. 1(0,]2D. (0,2]（2011·5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，则cos2θ =（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．45（2011·11）设函数()sin()cos()(0,||)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A ．()f x 在(0,)2π单调递减B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减C ．()f x 在(0,)2π单调递增D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增二、填空题（2017·14）函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． （2016·13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c o s 45A =，1cos 53C =，a = 1，则b = .（2014·14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.（2013·15）设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=_________.（2011·16）在△ABC 中，60,B AC = 2AB BC +的最大值为 .三、解答题（2017·17）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin2BA C +=． （1）求cosB ；（2）若6a c += , ABC ∆面积为2，求.b ．（2015·17）在∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．（Ⅰ）求 sin sin BC∠∠；（Ⅱ） 若AD =1，DC =2 ，求BD 和AC 的长．（2013·17）在△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a . （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC 的面积为3，求b ，c .2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编8．三角函数与解三角形（逐题解析版）一、选择题（2016·7）B 解析：平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ．（2016·9）D 解析：∵3cos()45πα-=，2ππ7sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()124425παααα=-=-=--=，故选D ．（2014·4）B 解析：∵1||||sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅⋅，即：111sin 22B =⋅，∴sin B =，即45B = 或135． 又∵222||||||2||||cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，∴2||1AC =或5，又∵ABC ∆为钝角三角形，∴2||5AC =，即：||AC =（2012·9）A 解析：由322,22442k k k ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈Z 得，1542,24k k k ω+≤≤+∈Z ，15024∵，∴ωω>≤≤.（2011·5）B 解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，故选B.（2011·11）A 解析：())(0,||)42f x x ππωϕωϕ=++><的最小正周期为π，所以2ω=，又()()f x f x -=，∴ f (x )为偶函数，=+,4k k Z πϕπ∴∈，())2f x x x π∴=+，故选A.二、填空题（2017·14）1【解析】∵ ()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，22sin cos 1x x +=，∴ ()21cos 4f x x x =-+，设cos t x =，[]0,1t ∈，∴ ()214f x t =-+，函数对称轴为[]0,1t =，∴ ()max 1f x =．（2016·13）2113解析：∵4cos 5A =，5cos 13C =，∴3sin 5A =，12sin 13C =，()63sin sin sin cos cos sin 65B A C A C A C =+=+=，由正弦定理得：sin sin b a B A =，解得2113b =．（2014·14）1 解析：∵()sin(2)2sin cos()sin[()]2sin cos()f x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕ=+-+=++-+sin cos()cos sin()2sin cos()cos sin()sin cos()sin x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=+++-+=+-+=∵x R ∈，∴()f x 的最大值为1.（2013·15）解析：由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得tan θ＝13-，即sin θ＝13-cos θ. 将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得210cos 19θ=. 因为θ为第二象限角，所以cos θ＝，sin θ， sin θ＋cos θ＝. （2011·16）00120120A C C A +=⇒=-,0(0,120)A ∈，22sin sin sin BC ACBC A A B==⇒=，022sin 2sin(120)sin sin sin AB ACAB C A A A C B==⇒==-=+，2AB BC ∴+=5sin ))A A A A ϕϕ++=+，故最大值是 .三、解答题（2017·17）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin2BA C +=． （1）求cosB ；（2）若6a c += , ABC ∆面积为2，求.b ．解析：（Ⅰ）【解法1】由题设及2sin8sin ,2BB C B A ==++π，故sin 4-cosB B =（1），上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0，解得 15cosB=cosB 171（舍去），=.【解法2】由题设及2sin 8sin ,2B B C B A ==++π，所以2sin 82cos 2sin 22B B B =，又02sin ≠B ，所以412tan=B ，17152tan 12tan 1cos 22=+-=B BB . （Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14a sin 217ABC S c B ac ∆==，又17=22ABC S ac ∆=，则， 由余弦定理及a 6c +=得22221715b 2cos a 2(1cosB)362(1)4217a c ac B ac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ），所以b=2．（2015·17）在∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．（Ⅰ）求 sin sin BC∠∠；（Ⅱ） 若AD =1，DC，求BD 和AC 的长．解析：（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABD ADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =，由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.（Ⅱ）因为::2ABD ADC S S BD DC ∆∆==，DC =BD ABD ∆和ADC ∆中， 由余弦定理知，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠， 故222222326AB AC AD BD DC +=++=，由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =.（2013·17）在△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ①， 又A ＝π-(B +C )，故sin A ＝sin(B +C )＝sin B cos C +cos B sin C ②，由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B ，又B ∈(0，π)，所以4B π=.（Ⅱ）△ABC 的面积1sin 2S ac B ==. 由已知及余弦定理得224=+2cos 4a c ac π-. 又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤a ＝c 时，等号成立．因此△ABC .（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a . （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解析：（Ⅰ）由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin A C A C sin sin 0B C --=，sin cos sin sin()sin 0A C A C A C C -+-=，sin cos sin A C A C - sin 0C -=，sin 0C >Q ，cos 10A A --=，2sin()106A π∴--=，1sin()62A π-=，0A π<<Q ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=，3A π∴=.（Ⅱ）ABC S =V Q ，1sin 2bc A ∴==，4bc ∴=，2,3a A π==Q ，222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=，228b c ∴+=，解得2b c ==.。
2011—2017年高考全国卷Ⅰ文科数学三角函数、解三角形总汇编
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编三角函数、解三角形一、选择题【2017，11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，2，则C=( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【2016，4】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知5a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ） A ．2 B3 C ．2 D ．3【2016，6】若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ）． A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【2015，8】函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③ 【2014，2】若tan 0α>，则（ ）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos20α>【2013，10】已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5 【2012，9】9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ） A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π【2011，7】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45【2011，11】设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 （ ） A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称 B ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称 二、填空题【2017，15】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 【2016，】14．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 【2013，16】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______． 【2014，16】如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN =m ．【2011，15】ABC △中，120B =o ，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为 ． 三、解答题【2015，17】已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=o ，且a =ABC △的面积．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =-．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC b ，c ．解 析一、选择题【2017，11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，，则C=( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解法】解法一：因为sin sin (sin cos )0B A C C +-=，sin sin()B A C =+，所以sin (sin cos )0C A A +=，又sin 0C >，所以sin cos A A =-，tan 1A =-，又0A π<<，所以34A π=，又a =2，c=即1sin 2C =．又02C π<<，所以6C π=，故选B ．解法二：由解法一知sin cos 0A A +=)04A π+=，又0A π<<，所以34A π=．下同解法一．【2016，4】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ） A ．BC ．2D ．3解析：选D ．由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，即245243b b +-=， 整理得()28113033b b b b ⎛⎫--=-+= ⎪⎝⎭，解得3b =．故选D ． 【2016，6】若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ）． A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解析：选D ．将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期，即向右平移π4个单位， 故所得图像对应的函数为ππ2sin 246y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选D ．【2015，8】函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 解：选D ．依图，153++4242ππωϕωϕ==且，解得ω=π，=4πϕ， ()cos()4f x x ππ∴=+， 224k x k πππππ<+<+由，，解得132244k x k -<<+，故选D ． 【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解：选A ．由cos y x =是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x ，最小正周期为π；②y=|cos x |的最小正周期也是π；③中函数最小正周期也是π；正确答案为①②③，故选A【2014，2】若tan 0α>，则（ ）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos20α>解：选C ．tan α>0，α在一或三象限，所以sin α与cos α同号，故选C【2013，10】已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5 解析：选D ．由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125．∵A ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos A ＝15．∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)．【2012，9】9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ） A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π【解析】选A ．由直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，得()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期52()244T πππ=-=，从而1ω=．由此()sin()f x x ϕ=+，由已知4x π=处()sin()f x x ϕ=+取得最值，所以sin()14πϕ+=±，结合选项，知ϕ=4π，故选择A ． 【2011，7】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45【解析】设(,2)(0)P t t t ≠为角θ终边上任意一点，则cosθ=当0t >时，cos 5θ=；当0t <时，cos 5θ=-．因此223cos 22cos 1155θθ=-=-=-．故选B ．【2011，11】设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 （ ） A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称 B ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称【解析】因为ππππ()sin 2cos 2224444f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当π02x <<时，02πx <<，故()f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．又当π2x =π22⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭π2x =是()y f x =的一条对称轴．故选D ．二、填空题【2017，15】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【解析】10．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，sin tan 22sin 2cos cos ααααα=⇒=⇒=，又22sin cos 1αα+=，解得sin α=，cos α=，cos sin )4210πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭． 【基本解法2】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，tan 2α=，∴角α的终边过(1,2)P ，故sin y r α==，cos 5x r α==，其中r ==cos (cos sin )4210πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭． 【2016，】14．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ． 解析：43-．由题意sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ，所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z ， 从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-． 方法2：还可利用ππtan tan 144θθ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭来进行处理，或者直接进行推演，即由题意4cos 45θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan 44θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以tan 4θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭143tan 4θ-=-π⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【2013，16】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______．答案：解析：． ∵f (x )＝sin x －2cos xx －φ)，其中sin φ，cos φ．当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )取最大值．即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)． ∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝255-．【2014，16】16．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN =m ．解：在Rt ΔABC 中，由条件可得1002AC =， 在ΔMAC 中，∠MAC=45°；由正弦定理可得sin60sin 45AM AC =︒︒，故310032AM AC ==Rt ΔMAN 中，MN=AM sin60°=150．【2011，15】ABC △中，120B =o ，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为 ． 【解析】由余弦定理知2222cos120AC AB BC AB BC =+-⋅o ， 即249255BC BC =++，解得3BC =． 故113153sin120532224ABC S AB BC =⋅=⨯⨯⨯=o △．故答案为1534．三、解答题【2015，17】已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=o，且2a =ABC △的面积．解析：（1）由正弦定理得，22b ac =．又a b =，所以22a ac =，即2a c =．则22222212cos 2422a a a a cb B a ac a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⋅．（2）解法一：因为90B ∠=o，所以()2sin 12sin sin 2sin sin 90B A C A A ===-o ， 即2sin cos 1A A =，亦即sin 21A =．又因为在ABC △中，90B ∠=o ，所以090A <∠<o， 则290A ∠=o ，得45A ∠=o．所以ABC △为等腰直角三角形，得a c ==112ABC S ==△． 解法二：由（1）可知22b ac =，① 因为90B ∠=o，所以222a c b +=，②将②代入①得()20a c -=，则a c ==，所以112ABC S ==△． 解：(Ⅰ) 因为sin 2B =2sin A sin C ． 由正弦定理可得b 2=2ac ．又a =b ，可得a=2c ， b=2c ，由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==． (Ⅱ)由(Ⅰ)知b 2=2ac ． 因为B=90°，所以a 2+c 2=b 2=2ac ．解得a = 所以ΔABC 的面积为1．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =-．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC ，求b ，c ． 【解析】（1）根据正弦定理2sin sin a cR A C==，得A R a sin 2=， C R c sin 2=，因为sin cos c C c A =-，所以2sin sin )sin 2sin cos R C R A C R C A =-⋅， 化简得C C A C A sin sin cos sin sin 3=-， 因为0sin ≠C ，所以1cos sin 3=-A A ，即21)6sin(=-πA ， 而π<<A 0，6566πππ<-<-A ，从而66ππ=-A ，解得3π=A ．（2）若2a =，△ABC1）得3π=A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+=43cos 233sin 21222a bc c b bc ππ，化简得⎩⎨⎧=+=8422c b bc ， 从而解得2=b ，2=c ．。
2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——8.三角函数与解三角形
2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编8．三角函数与解三角形一、选择题（2017·3）函数()sin(2)3π=+f x x 的最小正周期为（ ） A.4π B.2π C. π D. 2π （2016·3）函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π= （2016·11）函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．76B π=，（2013·4）在△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，4C π=，则△ABC 的面积为（ ）A ．2B 1C ．2D 1（2013·6）已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．23（2012·9）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4 （2011·7）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y = 2x 上，则cos2θ =（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．45（2011·11）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（ ） A ．y = f (x )在(0)2,π单调递增，其图像关于直线4x π=对称 B ．y = f (x )在(0)2,π单调递增，其图像关于直线2x π=对称 C ．y = f (x )在(0)2,π单调递减，其图像关于直线4x π=对称 D ．y = f (x )在(0)2,π单调递减，其图像关于直线2x π=对称 二、填空题（2017·13）函数()2cos sin =+f x x x 的最大值为 .（2017·16）△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，若2b cos B =a cos C +c cos A ，则B =（2016·15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4c o s 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. （2014·14）函数f (x ) = sin(x +φ)-2sin φcos x 的最大值为_________.（2013·16）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________.（2011·15）在△ABC 中B =120°，AC =7，AB =5，则△ABC 的面积为 .三、解答题（2015·17）在ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD =2DC . （Ⅰ）求sin sin B C∠∠； （Ⅱ）若∠BAC =60°，求∠B .（2014·17）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2.（Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C的对边，sin cos c C c A =-.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABCb ，c .2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编8．三角函数与解三角形（解析版）一、选择题（2017·3）C 解析：由题意22ππ==T ，故选C. （2016·3）A 解析：由()2362T πππ=--=及2T πω=||得2=ω，由最大值2及最小值-2，的A =2，再将(2)3π，代入解析式，2sin(2)23πϕ⨯+=，解得6πϕ=-，故2sin(2)6y x π=-，故选A.（2016·11）B 解析：因为2311()2(sin )22f x x =--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，取最大值5，选B. （2013·4）B 解析：因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sin sin 64b c ππ=，解得c =所以三角形的面积为117sin 22212bc A π=⨯⨯.因为711sin sin()sin cos cos sin )1234343422222πππππππ=+=+=+=，所以11sin)122bc A=+=，故选B.（2013·6）A解析：因为21cos2()1cos(2)1sin242cos()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin213cos()4226παα--+===，故选A.（2012·9）A解析：由题设知，πω=544ππ-，∴ω=1，∴4πϕ+=2kππ+（k Z∈），∴ϕ=4kππ+（k Z∈），∵0ϕπ<<，∴ϕ=4π，故选A.（2011·7）B解析：易知tanθ=2，cosθ=51±.由cos2θ=2，cos2θ-1=35-，故选B.（2011·11）D解析：因为())2f x x xπ=+=. 所以f (x) 在(0)2,π单调递减，其图像关于直线2xπ=对称. 故选D.二、填空题（2017·13()(tan2)其中ϕϕ+=≤f x x.（2017·16）3π解析：由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos sin()sin=+=+=B B AC C A A C B1πcos23⇒=⇒=B B（2016·15）2113解析：因为45cos,cos513A C==，且,A C为三角形内角，所以312sin,sin513A C==，13sin sin(C)sin cos cos sin65B A AC A C=+=+=，又因为sin sina bA B=，所以sin21sin13a BbA==. （2014·14）1解析：∵f (x) = sin(x+φ)-2sinφcos x = sin x cosφ+cos x sinφ-2sinφcos x = sin x cosφ-sinφcos x = sin(x-φ) ≤ 1，∴f (x)的最大值为1.（2013·16）56π解析：函数cos(2)y xϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y xπ=+，即s i n(2)3y xπ=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y xϕ=+，所以sin(2)3y xπ=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x xππππ=++=++sin(2)cos(2)323x xπππ=-+=++5cos(2)6xπ=+，即56πϕ=.（2011·15）4315=S解析：由余弦定理得2222cos120AB AC BC AC BC=+-⋅︒，所以BC=3，有面积公式得4315=S.三、解答题（2015·17）在ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC.（Ⅰ）求sin sin B C∠∠； （Ⅱ）若∠BAC =60°，求∠B .（2015·17）解析：（Ⅰ）由正弦定理得,.sin sin sin sin AD BD AD DC B BAD C CAD==∠∠∠∠因为AD 平分,2,BAC DB DC ∠=所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠ （Ⅱ）因为180(),60C BAC B BAC ∠=︒-∠+∠∠=︒，所以sin sin()C BAC B ∠=∠+∠1sin .22B B =∠+∠ 由（Ⅰ）知2s i n s i n ,B C ∠=∠ 所以t a n ,B ∠=即30B ∠=︒. （2014·17）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2.（Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.（2014·17）解析：（Ⅰ）在△BCD 中，BC =3，CD =2，由余弦定理得：BD 2 = BC 2+CD 2-2BC ·CD cosC = 13 -12cos C ①，在△ABD 中，AB =1，DA =2，A +C =π，由余弦定理得：BD 2 = AB 2+AD 2 -2AB ·AD cos A = 5-4cos A = 5+4cos C②，由①②得：1cos 2C =，则C =60°，BD =.（Ⅱ）∵1cos 2C =，1cosA 2=-，∴sin sin 2C A ==，则1111sin sin 12322222S AB DA A BC CD C =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =-.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC b ，c .（2012·17）解析：（Ⅰ）由sin cos c C c A =-sin cos sin sin A C A C C -=，由于sin 0C ≠，所以1sin()62A π-=，又0A π<<，故3A π=.（Ⅱ）ABC ∆的面积S =1sin 2bc A =，故bc =4，而 2222cos a b c bc A =+-，故22=8c b +，解得b c ==2.。
2017年高考新课标Ⅱ卷文数试题解析(精编版)(解析版)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学【试卷点评】【命题特点】2017年高考全国新课标II数学卷，试卷结构在保持稳定的前提下，进行了微调，一是把解答题分为必考题与选考题两部分，二是根据中学教学实际把选考题中的三选一调整为二选一.试卷坚持对基础知识、基本方法与基本技能的考查,注重数学在生活中的应用.同时在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，与2016年相比难度稳中略有下降.具体来说还有以下几个特点：1．知识点分布保持稳定小知识点如：集合、复数、程序框图、线性规划、向量问题、三视图保持一道小题，大知识点如：三角与数列三小一大，概率与统计一大一小，立体几何两小一大，圆锥曲线两小一大，函数与导数三小一大(或两小一大).2．注重对数学文化与数学应用的考查教育部2017年新修订的《考试大纲（数学）》中增加了对数学文化的考查要求.2017年高考数学全国卷II文科第18题以养殖水产为题材，贴近生活.3．注重基础，体现核心素养2017年高考数学试卷整体上保持一定比例的基础题，试卷注重通性通法在解题中的运用，另外抽象、推理和建模是数学的基本思想，也是数学研究的重要方法，试卷对此都有所涉及.【命题趋势】1．函数与导数知识：函数性质的综合应用、以导数知识为背景的函数问题是高考命题热点，函数性质的重点是奇偶性、单调性及图象的应用，导数重点考查其在研究函数中的应用，注重分类讨论及化归思想的应用.2．立体几何知识：立体几何一般有两道小题一道大题，小题中三视图是必考问题，常与几何体的表面积与体积结合在一起考查，解答题一般分两问进行考查.3．解析几何知识：解析几何试题一般有3道，圆、椭圆、双曲线、抛物线一般都会涉及，双曲线一般作为客观题进行考查，多为容易题，解答题一般以椭圆与抛物线为载体进行考查，运算量较大，不过近几年高考适当控制了运算量，难度有所降低.4．三角函数与数列知识：三角函数与数列解答题一般轮流出现，若解答题为数列题，一般比较容易，重点考查利用基本量求通项及几种求和方法，若解答题为三角函数，一般是解三角形问题，此时客观题中一般会有一道与三角函数性质有关的题目，同时客观题中会有两道数列题，一易一难，数列客观题一般具有小、巧、活的特点.【试卷解析】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
2011—2019年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——三角函数与解三角形
2011—2019年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编三角函数与解三角形一、选择题 （2019.8）若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=( ) A ．2B ．32C ．1D ．12(2018 )若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2 C ．3π4D ．π(2018)在△ABC 中，5cos2=C ，1=BC ，5=AC ，则=AB ( ) A ．42 B ．30 C ．29 D ．25（2017·3）函数()sin(2)3π=+f x x 的最小正周期为（ ）A.4πB.2πC. πD.2π（2016·3）函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=- B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=（2016·11）函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7（2013·4）在△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则△ABC 的面积为（ ） A ．232+B ．31+C ．232-D ．31-（2013·6）已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23（2012·9）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4（2011·7）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y = 2x 上，则cos2θ =（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．45（2011·11）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（ ）A ．y = f (x )在(0)2,π单调递增，其图像关于直线4x π=对称B ．y = f (x )在(0)2,π单调递增，其图像关于直线2x π=对称C ．y = f (x )在(0)2,π单调递减，其图像关于直线4x π=对称D ．y = f (x )在(0)2,π单调递减，其图像关于直线2x π=对称二、填空题（2019.15）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. （2017·13）函数()2cos sin =+f x x x 的最大值为 .（2017·16）△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，若2b cos B =a cos C +c cos A ，则B = （2016·15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. （2014·14）函数f (x ) = sin(x +φ)-2sin φcos x 的最大值为_________. （2013·16）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________.（2011·15）在△ABC 中B =120°，AC =7，AB =5，则△ABC 的面积为 . 三、解答题（2019.18）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC △为锐角三角形，且c =1，求ABC △面积的取值范围．（2015·17）在ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD =2DC . （Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若∠BAC =60°，求∠B .（2014·17）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2. （Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =-. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC b ，c .2011—2019年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编三角函数与解三角形（答案）一、选择题（2019·8）A 【解析】因为，是函数两个相邻的极值点，所以所以，故选A ．（2018）C 【解析】解法一 ()cos sin 2)4πf x x x x =-+，当[0,]x a ∈时，[,]444x a πππ+∈+，所以结合题意可知4a ππ+≤，即34a π≤，故所求a 的最大值是34π，故选C ． 解法二 ()sin cos 2)4f x x x x π'=--=-+，由题设得()0f x '≤，即sin()04x π+≥在区间[0,]a 上恒成立，当[0,]x a ∈时，[,]444x a πππ+∈+， 所以4a ππ+≤，即34a π≤，故所求a 的最大值是34π，故选C ． （2018）A 【解析】因为213cos 2cos 121255=-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理， 得22232cos 251251()325=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ，所以42=AB A ．（2017·3）C 解析：由题意22ππ==T ，故选C.（2016·3）A 解析：由()2362T πππ=--=及2T πω=||得2=ω，由最大值2及最小值-2，的A =2，再将(2)3π，代入解析式，2sin(2)23πϕ⨯+=，解得6πϕ=-，故2sin(2)6y x π=-，故选A.（2016·11）B 解析：因为2311()2(sin )22f x x =--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，取最大值5，选B.（2013·4）B 解析：因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sin sin64b c ππ=，解得22c =所以三角形的面积为117sin 2222212bc A π=⨯⨯. 因为73221231sinsin()sin cos cos sin ()1234343422222πππππππ=+=+=+=， 所以1231sin 2)312222bc A =+=，故选B. （2013·6）A 解析：因为21cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===， 所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，故选A. （2012·9）A 解析：由题设知，πω=544ππ-，∴ω=1，∴4πϕ+=2k ππ+（k Z ∈），∴ϕ=4k ππ+（k Z ∈），∵0ϕπ<<，∴ϕ=4π，故选A. （2011·7）B 解析：易知tan θ=2，cos θ=51±.由cos2θ=2，cos 2θ-1=35-，故选B.（2011·11）D 解析：因为())2f x x x π=+=. 所以f (x ) 在(0)2,π单调递减，其图像关于直线2x π=对称. 故选D.二、填空题（2019.15）34π【解析】 因为b sin A +a cos B =0，所以由正弦定理，可得：sin sin sin cos 0A B A B +=，因为(0,π)A ∈，sin 0A >，所以可得sin cos 0B B +=，可得tan 1B =-，因为(0,π)B ∈，所以3π4B =． （2017·13()(tan 2)其中ϕϕ+=≤f x x . （2017·16）3π解析：由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos sin()sin =+=+=B B A C C A A C B 1πcos 23⇒=⇒=B B （2016·15）2113解析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin(C)sin cos cos sin 65B A AC A C =+=+=，又因为sin sin a bA B =，所以sin 21sin 13a B b A ==. （2014·14）1解析：∵f (x ) = sin(x +φ)-2sin φcos x = sin x cos φ+cos x sin φ-2sin φcos x = sin x cos φ-sin φcos x = sin(x -φ)≤ 1，∴f (x )的最大值为1.（2013·16）56π解析：函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+，即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，所以sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++5cos(2)6x π=+，即56πϕ=. （2011·15）4315=S解析：由余弦定理得2222cos120AB AC BC AC BC =+-⋅︒，所以BC =3，有面积公式得4315=S .三、解答题（2019.18）【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此60B =︒． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===．由于ABC △为锐角三角形，故090A ︒<<︒，090C ︒<<︒，由（1）知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故122a <<ABC S <<△． 因此，ABC △面积的取值范围是⎝⎭（2015·17）在ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD =2DC . （Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若∠BAC =60°，求∠B .（2015·17）解析：（Ⅰ）由正弦定理得,.sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠因为AD 平分,2,BAC DB DC ∠=所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠（Ⅱ）因为180(),60C BAC B BAC ∠=︒-∠+∠∠=︒， 所以sin sin()C BAC B ∠=∠+∠1sin .2B B =∠+∠ 由（Ⅰ）知2sin sin ,B C ∠=∠ 所以tan 3B ∠=即30B ∠=︒.（2014·17）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2. （Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积. （2014·17）解析：（Ⅰ）在△BCD 中，BC =3，CD =2，由余弦定理得：BD 2 = BC 2+CD 2-2BC ·CD cosC = 13 -12cos C ①，在△ABD 中，AB =1，DA =2，A +C =π，由余弦定理得：BD 2 = AB 2+AD 2 -2AB ·AD cos A = 5-4cos A = 5+4cos C ②，由①②得：1cos 2C =，则C =60°，7BD =. （Ⅱ）∵1cos 2C =，1cosA 2=-，∴3sin sin C A ==，则111313sin sin 1232232222S AB DA A BC CD C =⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =-. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC 的面积为3，求b ，c .（2012·17）解析：（Ⅰ）由3sin cos c a C c A =-及正弦定理得3sin sin cos sin sin A C A C C -=，由于sin 0C ≠，所以1sin()62A π-=，又0A π<<，故3A π=.（Ⅱ）ABC ∆的面积S =1sin 2bc A =3，故bc =4，而 2222cos a b c bc A =+-，故22=8c b +，解得b c ==2.。
2017年新课标II文数高考试题(含答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）文科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =A. {}123,4，，B. {}123，，C. {}234，，D. {}134，，2. (1)(2)i i ++=A.1i -B. 13i +C. 3i +D.33i +3. 函数()sin(2)3f x x π=+的最小正周期为A.4πB.2πC. πD.2π4. 设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则A. a ⊥bB. =b aC. a ∥bD. >b a5. 若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. ∞）B. ）C. （1D. 12（，）6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A. 90πB. 63πC. 42πD. 36π7. 设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩。
则2z x y =+ 的最小值是 A. -15B.-9C. 1 D 98. 函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是A.(-∞,-2)B. (-∞,-1)C.(1, +∞)D. (4, +∞)9. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A. 乙可以知道两人的成绩 B. 丁可能知道两人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩D. 乙、丁可以知道自己的成绩10. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S=A.2B.3C.4D.511. 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B.15C.310D.2512. 过抛物线2:4C y x =的焦点FC 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为A.B.C.D.二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .14. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+，则(2)f =15. 长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为16. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B =三、解答题：共70分。
2017新课标全国卷2高考文科数学试题和答案解析
.绝密★启用前2017 年一般高等学校招生全国一致考试文科数学注意事项：1.答题前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在本试卷和答题卡相应地点上。
2. 回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的。
1.设会合 A1，2，3， B 2，3，4，则AUB=A.12，，3,4B.12，，3C.2，3，4D.13，，42.（ 1+i ）（2+i） =B. 1+3iC. 3+iD.3+3i3.函数 f x=sin（ 2x+）的最小正周期为3C. D.24.设非零向量 a ，b知足a+b = a-b则A a⊥b B.a = b C. a ∥b D. a b5. 若a＞1，则双曲线x2- y21的离心率的取值范围是a2A.（2，+）B.（ 2，2）C.（ 1， 2）D.（1，2）6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为2x+3y 307. 设x、y知足拘束条件2x 3y 3 0。
则z2x y的最小值是y 30A. -15B.-9C. 1 D 98.函数 f ( x) ln( x2 2x 8) 的单一递加区间是A.(- ,-2)B. (-,-1)C.(1, +)D. (4, +)9.甲、乙、丙、丁四位同学一同去处老师咨询成语比赛的成绩，老师说，你们四人中有 2 位优异， 2 位优异，我此刻给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我仍是不知道我的成绩，依据以上信息，则A. 乙能够知道两人的成绩B.丁可能知道两人的成绩C.乙、丁能够知道对方的成绩D. 乙、丁能够知道自己的成绩10. 履行右边的程序框图，假如输入的a=-1，则输出的S=11. 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.1132 B.5C. D. 1010512.过抛物线 C: y2=4x的焦点 F，且斜率为 3 的直线交 C 于点 M（ M在 x 轴上方），l为 C 的准线，点 N在l上且 MN⊥l,则 M到直线 NF 的距离为A. 5B.22C.23D.33二、填空题，此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.13.函数 f x=2cosx sinx 的最大值为.14.已知函数f x是定义在 R 上的奇函数，当x -，0时， f x2 x3x2,则 f 2 =15.长方体的长、宽、高分别为3,2,1 ，其极点都在球 O的球面上，则球 O的表面积为16.△ ABC的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,若 2b cosB=a cosC+c cosA, 则 B=三、解答题：共70 分。
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2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编8．三角函数与解三角形一、选择题（2017·3）函数()sin(2)3π=+f x x 的最小正周期为（ ） A.4π B.2π C. π D. 2π（2016·3）函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π= （2016·11）函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．76B π=，（2013·4）在△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，4C π=，则△ABC 的面积为（ ）A ．2B 1C ．2D 1（2013·6）已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．23（2012·9）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4 （2011·7）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y = 2x 上，则cos2θ =（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．45（2011·11）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（ ） A ．y = f (x )在(0)2,π单调递增，其图像关于直线4x π=对称 B ．y = f (x )在(0)2,π单调递增，其图像关于直线2x π=对称 C ．y = f (x )在(0)2,π单调递减，其图像关于直线4x π=对称 D ．y = f (x )在(0)2,π单调递减，其图像关于直线2x π=对称 二、填空题（2017·13）函数()2cos sin =+f x x x 的最大值为 .（2017·16）△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，若2b cos B =a cos C +c cos A ，则B =（2016·15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4c o s 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. （2014·14）函数f (x ) = sin(x +φ)-2sin φcos x 的最大值为_________.（2013·16）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________.（2011·15）在△ABC 中B =120°，AC =7，AB =5，则△ABC 的面积为 .三、解答题（2015·17）在ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD =2DC . （Ⅰ）求sin sin B C∠∠； （Ⅱ）若∠BAC =60°，求∠B .（2014·17）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2.（Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C的对边，sin cos c C c A -.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABCb ，c .2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编8．三角函数与解三角形（解析版）一、选择题（2017·3）C 解析：由题意22ππ==T ，故选C. （2016·3）A 解析：由()2362T πππ=--=及2T πω=||得2=ω，由最大值2及最小值-2，的A =2，再将(2)3π，代入解析式，2sin(2)23πϕ⨯+=，解得6πϕ=-，故2sin(2)6y x π=-，故选A.（2016·11）B 解析：因为2311()2(sin )22f x x =--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，取最大值5，选B. （2013·4）B 解析：因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sin sin 64b c ππ=，解得c =所以三角形的面积为117sin 22212bc A π=⨯⨯.因为711sin sin()sin cos cos sin )1234343422πππππππ=+=+==，所以11sin()12222bc A=+=，故选B.（2013·6）A解析：因为21cos2()1cos(2)1sin242cos()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin213cos()4226παα--+===，故选A.（2012·9）A解析：由题设知，πω=544ππ-，∴ω=1，∴4πϕ+=2kππ+（k Z∈），∴ϕ=4kππ+（k Z∈），∵0ϕπ<<，∴ϕ=4π，故选A.（2011·7）B解析：易知tanθ=2，cosθ=51±.由cos2θ=2，cos2θ-1=35-，故选B.（2011·11）D解析：因为())2f x x xπ=+=. 所以f (x) 在(0)2,π单调递减，其图像关于直线2xπ=对称. 故选D.二、填空题（2017·13()(tan2)其中ϕϕ+=≤f x x.（2017·16）3π解析：由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos sin()sin=+=+=B B AC C A A C B1πcos23⇒=⇒=B B（2016·15）2113解析：因为45cos,cos513A C==，且,A C为三角形内角，所以312sin,sin513A C==，13sin sin(C)sin cos cos sin65B A AC A C=+=+=，又因为sin sina bA B=，所以sin21sin13a BbA==. （2014·14）1解析：∵f (x) = sin(x+φ)-2sinφcos x = sin x cosφ+cos x sinφ-2sinφcos x = sin x cosφ-sinφcos x = sin(x-φ) ≤ 1，∴f (x)的最大值为1.（2013·16）56π解析：函数cos(2)y xϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y xπ=+，即s i n(2)3y xπ=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y xϕ=+，所以sin(2)3y xπ=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x xππππ=++=++sin(2)cos(2)323x xπππ=-+=++5cos(2)6xπ=+，即56πϕ=.（2011·15）4315=S解析：由余弦定理得2222cos120AB AC BC AC BC=+-⋅︒，所以BC=3，有面积公式得4315=S.三、解答题（2015·17）在ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC.（Ⅰ）求sin sin B C∠∠； （Ⅱ）若∠BAC =60°，求∠B .（2015·17）解析：（Ⅰ）由正弦定理得,.sin sin sin sin AD BD AD DC B BAD C CAD==∠∠∠∠因为AD 平分,2,BAC DB DC ∠=所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠ （Ⅱ）因为180(),60C BAC B BAC ∠=︒-∠+∠∠=︒，所以sin sin()C BAC B ∠=∠+∠1sin .2B B =∠+∠ 由（Ⅰ）知2s i n s i n ,B C ∠=∠ 所以t a n ,B ∠=即30B ∠=︒. （2014·17）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2.（Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.（2014·17）解析：（Ⅰ）在△BCD 中，BC =3，CD =2，由余弦定理得：BD 2 = BC 2+CD 2-2BC ·CD cosC = 13 -12cos C ①，在△ABD 中，AB =1，DA =2，A +C =π，由余弦定理得：BD 2 = AB 2+AD 2 -2AB ·AD cos A = 5-4cos A = 5+4cos C②，由①②得：1cos 2C =，则C =60°，BD =（Ⅱ）∵1cos 2C =，1cosA 2=-，∴sin sin C A ==1111sin sin 12322222S AB DA A BC CD C =⋅+⋅=⨯⨯⨯⨯=.（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A -.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC b ，c .（2012·17）解析：（Ⅰ）由sin cos c C c A -sin cos sin sin A C A C C -=，由于sin 0C ≠，所以1sin()62A π-=，又0A π<<，故3A π=.（Ⅱ）ABC ∆的面积S =1sin 2bc A =，故bc =4，而 2222cos a b c bc A =+-，故22=8c b +，解得b c ==2.。