二维随机变量的函数

0
z

y f (uy， y )dy
在第二个积分

dy f (x， y )dx 中，作变换 x uy，
zy
0

则 dx ydu，当 x zy 时， u z；
当 x 时，注意到 y < 0，因而有 u ；

dy f (x， y )dx dy f (uy， y )ydu
或
f Z (z ) f X (x )* f Y (y )
称为卷积公式
例1 设随机变量 X 与Y 相互独立，都服从区间 (0， 1)上的 均匀分布，令 Z X Y，试求随机变量 Z 的密度函数．
解：
1, 0 < x < 1, f X (x ) 其它. 0, 1, 0 < y < 1, f Y (y ) 其它. 0,
(X,Y) pij
W＝X＋Y
V＝max(X, Y) U＝min(X, Y)
(0,0) q2 0
(0,1) pq 1
(1,0) pq 1
(1,1) p2 2
0
0
1 0 1
0
1
0
1
1
W V 0 1
0
q2
2
0
p2
0
2 pq
一、离散型分布的情形
若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求Z=X+Y的概率函数.
两个随机变量的函数的分布
在第二章中，讨论了一维随机变量函数 的分布，现在进一步讨论:
当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布已知时， 如何求出它们的函数 Yi=gi(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m 的联合分布? 先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后 将其推广到多个随机变量的情形.
1, 0 < x < 1, f X (x ) 其它. 0, e y , f Y (y ) 0,
y > 0, y 0.
习题17
设随机变量 Z X Y 的密度函数为 f Z (z )，则有
f Z (z )


f (x )f (z x )dx
X Y
f Z (z )
一般情形求多维随机变量函数分布的方法
分布函数法
若(X1, X2, …, Xn)~f (x1, x2, …, xn),
(x1, x2, …, xn)Rn, Y=g(X1, X2, …, Xn),
先求Y的分布函数:
FY ( y) P{Y y} P{g ( X 1 ,..., X n ) y}
z
f Z (z )


y f (zy， y )dy
特别地，如果随机变量 X 与Y 相互独立，则有
f (x， y ) f X (x ) f Y (y )
f Z (z )



y f X (yz ) f Y (y )dy
补充结论：
a X
i 1 i
n
i
~ N ( ai i , a )
i 1 i 1 2 i 2 i
n
n
思考题：课本例3
( x) t


x 1 t
e dt
0
5 x
x e dx
0
(6)
( x 1) x( x)
(n 1) n(n) n!
1 ( ) p 2
e-1
i 0
i 0 r
i 1
i!
e-2
r
r2-i
(r - i)!

e
( 1 2 )
r!
r! i r -i i! (r - i)! 12 i 0

e
( 1 2 )
r!
(1 2 ) ,
r
r=0,1，…
即Z服从参数为 1 2 的泊松分布.
设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求 Z=X+Y 的分布.
若X~ B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试验中 事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率 都为p.
同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现 的次数,每次试验中A出现的概率为p.
故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验中事 件A出现的次数，每次试验中A出现的概 率为p，于是Z是以（n1+n2，p）为参数的 二项随机变量，即Z ~ B(n1+n2, p).
i! 2 j e 2 P (Y j ) j! 由卷积公式
r i 0
P ( X i)
e
1

i 1
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
P ( Z r ) P ( X i ,Y r i )
由卷积公式 r P ( Z r ) P ( X i ,Y r i )
FZ (z ) P{Z z } P{X Y z }


f (x， y)dxdy
x y z
dx f (x， y )dy


z x

作变换：y u x, FZ (z )
dx f (x， u x )du

z
和的分布
f Z (z ) FZ (z )
解:
P( Z r) P( X Y r)
P ( X i,Y r i )
i 0 r i 0 r
由独立性
此即离散 卷积公式
P ( X i ) P (Y r i )
=a0br+a1br-1+…+arb0 r=0,1,2, …
例2 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 1, 2 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 1 2 的泊松z ) F ( z ) f ( z y, y)dy


f (x， z x )dx

若X与Y相互独立，则Z＝X＋Y的密度函数

f Z ( z)

f
X
( z y ) fY ( y )dy＝ f X ( x) fY ( z x)dx.

设随机变量 Z X Y 的密度函数为 f Z (z )，则有
f Z (z )


f (x)f (z x)dx
X Y
例 1（续）
f Z (z )


f (x )f (z x )dx
X Y
z
2
1
z x 1
zx0
0 < x < 1, 0 < z x < 1 f Z (z) 0. ⑴ 若z 0 ，或 z 2,
如果随机变量 X 与Y 相互独立，且
X ~ N 1， , Y ~ N 2，
2 1
(
)
(
2 2
)
Z X Y，
则 Z ~ N 1 2，
2 1
(
2 2
)
一般地，设随机变量X1, X2，..., Xn独立且Xi 服从正态分布N(i ,i2),i=1,...,n, 则
zy z
0

0


du ( y )f (uy， y )dy

z
0


du y f (uy， y )dy

z
0
FZ (z )

du y f (uy， y )dy du y f (uy， y )dy
0
z

z
0
y f (uy， y ) dy du
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y

f (x， y )dxdy
x z y
x yz

x z， y > 0 y
f (x， y )dxdy

x z， y < 0 y
f (x， y )dxdy
x
x yz


x zy，y > 0 zy 0

f (x， y )dxdy
x zy，y < 0

0 < x < 1, z x > 0 ⑴ 若z 0 ，
f Z (z ) 0
1
0

f (x ) f (z x )dx,
X Y
z
zx0
⑵ 若0 < z 1 ，
f Z (z ) 1 e
0 z ( z x )
1
x
dx e
z
e
0
z
x
dx
1e
z
⑶ 若 z > 1，
⑵ 若0 < z 1 ， f Z (z ) 1dx z .
0 z
0
1
x
⑶ 若1 < z < 2 ， f Z (z) 1dx 2 z.
z 1
1
0 < z 1, z, f Z (z ) 2 z , 1 < z < 2, 0, 其它.
f Z (z )
商的分布
设 ( X， Y )是二维连续型随机变量 ，其联合密度函 数为 f ( x， y )， X 令： Z ， Y X Z 的密度函数 f Z (z )． 计算随机变量 Y 先计算随机变量 FZ (z ) P{Z z } X Z 的分布函数 FZ (z )． Y X P z Y
i ,k:g ( xi , y j ) zk