第8章 立体几何-5 直线,平面垂直的判定与性质(理科)

第5节 直线、平面垂直的判定与性质题型95 证明空间中直线、平面的垂直关系1. (2013全国新课标卷理4） 已知mn ，为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l β⊄，则（ ）.A. αβ∥且l α∥B. αβ⊥且l β⊥C.α与β相交,且交线垂直于l D. α与β相交,且交线平行于l2.（2013广东理18）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，6BC =，,D E 分别是,AC AB 上的点，CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中A O '=(1) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(2) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.3.（2013江西理19）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，DAB DCB △≌△，1EA EB AB ===，32PA =，连接CE 并延长交AD 于F ．(1) 求证：AD ⊥平面CFG ；(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．. C O B D EA C DOB'A图1 图24.（2013江苏16）如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证：（1）平面//EFG 平面ABC ； （2）SA BC ⊥.5. (2013福建理19）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，1//,1,3,AB DC AA AB k ==4,5,6,(0A D k B C k D C k k ===> （1）求证：⊥CD 平面11A ADD（2）若直线1AA 与平面C AB 1所成角的正弦值为76，求k 的值 （3）现将与四棱柱1111D C B A ABCD -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为)(k f ，写出)(k f 的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）.6.(2013天津理17）如图，四棱柱1111ABCD A BC D －中．侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为棱1AA 的中点．(1) 证明：11B C CE ⊥；(2) 求二面角11B CE C －－的正弦值；ABCSG FE1BED1C1B1A1DCBA(3) 设点M在线段1C E上，且直线AM与平面11ADD A所成角的正弦值为6，求线段AM的长．7．(2013湖南理19）如图5，在直棱柱1111//ABCD ABC D AD BC-中，，90,BAD∠= ,AC BD⊥1,BC=13.AD AA==（1）证明：1AC B D⊥；（2）求直线111BC ACD与平面所成角的正弦值.8.（2013辽宁理18）如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上的点.（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若211AB AC PA===，，，求证：二面角--C PB A的余弦值.ACBOABCDC1A1B1D19. (2013陕西理18）如图，四棱柱1111-ABCD ABC D 的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1AO ⊥平面ABCD，1AB AA ==（1）证明：1AC ⊥平面11BB D D ；（2）求平面1OCB 与平面11BB D D 的夹角θ的大小.10.（2014 辽宁理 4）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）.A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥10. 解析 A 选项m 、n 也可以相交或异面，C 选项也可以n α⊂，D 选项也可以//n α或n 与α斜交.根据线面垂直的性质可知选B .11.（2014 广东理 7）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是（ ）.A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定 11. 解析 由12l l ⊥，23l l ⊥可知1l 与3l 的位置不确定，若13//l l ，则结合34l l ⊥，得14l l ⊥，所以排除选项B ，C ，若13l l ⊥，则结合34l l ⊥，知1l 与4l 可能不垂直，所以排除选项A.故选D.评注 本题考查了空间直线之间的位置关系，考查学生的空间想象能力、思维的严密性. 12.（2014 江苏理 16）如图，在三棱锥P ABC -中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA AC ⊥，6PA =，8BC =，5DF =． 求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．13.（2015广东理18）如图所示，PDC △所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =，点E 是CD 的中点，点D PFBG CE C,F G 分别在线段AB ，BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1) 求证：PE FG ⊥；(2) 求二面角P AD C --的正切值； (3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.13.解析 （1）证明：因为PD PC =且点E 为CD 的中点，所以PE DC ⊥． 又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC 平面ABCD CD =，PE ⊂平面PDC ， 所以PE ⊥平面ABCD ．又FG ⊂平面ABCD ，所以PE FG ⊥．（2）因为ABCD 是矩形，所以AD DC ⊥．由（1）可得PE ⊥平面ABCD ，所以PE AD ⊥，所以AD ⊥平面PCD ．又PD ⊂平面PDC ，所以AD PD ⊥．又因为AD DC ⊥，所以PDC ∠即为二面角P AD C --的平面角． 在Rt PDE △中，4PD=，132DE AB ==，PE ==所以tan 3PE PDC DE ∠==P AD C --的正切值为3．（3）如图所示，连接AC ，因为2AF FB =，2CG GB =，即2AF CGFB GB==， 所以//AC FG ，所以PAC ∠为直线PA 与直线FG 所成角或其补角． 在PAC △中，因为5PA，AC ==，所以由余弦定理可得22222254cos 2PA AC PC PAC PA AC+-+-∠===， 所以直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为25．E CGFPD14.（2016全国甲理14）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题： ①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥． ③如果//a β，m α⊂，那么//m β．④如果//m n ， //αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 以上命题正确的命题有 .14. ②③④ 解析 将题中假设放在一个正方体模型中易知②③④正确.15.（2016浙江理2）已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线,m n 满足,m n αβ∥⊥，则（ ）.A.l m ∥B.n m ∥C.n l ⊥D.m n ⊥ 15.C 解析 对于选项A ，因为l αβ= ，所以l α⊂.又因为//m α，所以m 与l 平行或异面.故选项A 不正确； 对于选项B 和D ，因为αβ⊥，n β⊥，所以n α⊂或//n α.又因为//m α，所以m 与n 的关系平行、相交或异面都有可能. 故选项B 和D 不正确； 对于选项C ，因为,l αβ= 所以,l β⊂因为,n β⊥所以n l ⊥，故选项C 正确，故选C.16.(2016全国甲理19)如图所示，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ，将DEF △沿EF 折到D EF '△的位置，OD '=（1）证明：DH'⊥平面ABCD ；16.解析 （1）证明：因为54AE CF ==，所以AE CF AD CD=，所以EF AC ∥．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，所以EF BD ⊥，所以EF D H ⊥，所以EF DH '⊥．因为6AC =，所以3AO =.又5AB =，AO OB ⊥，所以4OB OD ==，所以1AEOH OD AD=⋅=，所以3DH D H '==，所以222OD OH D H ''=+，所以D H OH '⊥．又因为OH EF H =I ，所以DH'⊥面ABCD ．17.（2016全国乙理18）如图所示，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，2AF FD =，90AFD ∠= ，且二面角D AF E --与二面角C BE F--都是60．（1）求证：平面ABEF ⊥平面EFDC ；E D /OC FHB ADFEDC BA17.解析 （1）由已知可得AF D F ⊥，AF FE ⊥，所以AF ⊥平面EFDC . 又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .18.（2016北京理17）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；18.解析 （1）如题中的图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，AB ⊂平面,ABCD AB AD ⊥，得AB ⊥平面PAD ，所以PD AB ⊥.又因为,PD PA PA ⊥⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，AB PA A = ，所以PD ⊥平面PAB .19.（2016浙江理17）如图所示，在三棱台ABC DEF -中，平面BCFE ⊥平面,ABC =90ACB ∠ ，1,2, 3.BE EF FC BC AC =====(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；19.解析 （1）因为此几何体三棱台，延长,,AD BE CF 可相交于一点,K 如图所示.因为平面BCFE ABC ⊥平面，平面BCFE ABC 平面为BC ，AC ABC ⊂平面，且A C B C⊥，所以AC BCK ⊥平面，D C BAP ADCBEF ADCBEFK因此.BF AC ⊥又因为,1,2BC BE EF FC BC EF ====∥，可以求得60KBC KCB ∠=∠=， 所以BCK △为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF CK ⊥.因为,AC CKACFD ⊂平面，AC CKC = ，所以BF ⊥平面.ACFD20．（2016江苏16）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥． 求证：（1）直线//DE 平面11AC F ； （2）平面1B DE ⊥平面11AC F ．20.解析 （1）因为,D E 分别为,AB BC 的中点，所以DE 为ABC △的中位线，所以//DE AC ，又因为三棱柱111ABC A B C -为直棱柱，故11//AC AC ， 所以11//DE AC ，又因为11AC ⊂平面11AC F ，且11DE AC F ⊄，故//DE 平面11AC F ． （2）三棱柱111ABC A B C -为直棱柱，所以1AA ⊥平面111A B C .又11AC ⊂平面111A B C ， 故111AA AC ⊥.又1111AC A B ⊥，且1111AA A B A = ，111,AA A B ⊂平面11AA B B ， 所以11AC ⊥平面11AA B B ．又因为1B D ⊂平面11AA B B ，所以111AC B D ⊥． 又因为11A F B D ⊥，1111AC A F A = ，且111,AC A F ⊂平面11AC F ，所以1B D ⊥平面11AC F ．又因为1B D ⊂平面1B DE ，所以平面1B DE ⊥平面11AC F ． 21.（2017江苏15）如图所示，在三棱锥A BCD -中，ABAD ⊥，BC BD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ， 点,E F （E 与,A D 不重合）分别在棱,AD BD 上，且EF AD ⊥．求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD AC ⊥．ABC DEFA 1B 1C 1ABDCEF21.解析 （1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，且点E 与点A 不重合，所以//EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥. 又AB AD ⊥，BC AB B = ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC .又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥.22.（2017全国1卷理科18（1））如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠= .(1)求证：平面PAB⊥平面PAD ；DCBAP22. 解析 （1）证明：因为90BAP CDP ∠=∠= ，所以PA AB ⊥，PD CD ⊥.又因为AB CD ∥，所以PD AB ⊥.又因为PD PA P = ，PD ，PA ⊂平面PAD ，所以AB ⊥ 平面PAD .又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .23.（2017全国3卷理科19（1））如图所示，四面体ABCD 中，ABC △是正三角形，ACD △是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；23．解析 ⑴如图所示，取AC 的中点为O ，联结BO ，DO .BB 1C 1D 1A 1PADC因为ABC △为等边三角形，所以BO AC ⊥，AB BC =.由AB BC BD BD ABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，得ABD CBD ≅△△，所以AD CD =，即ACD △为等腰直角三角形， 从而ADC ∠为直角.又O 为底边AC 中点，所以DO AC ⊥. 令AB a =，则AB AC BC BD a ====，易得2a OD =，OB =，所以222OD OB BD +=，从而由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=，即OD OB ⊥. 由OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩ 平面平面，所以OD ⊥平面ABC . 又因为OD ⊂平面ADC ，由面面垂直的判定定理可得平面ADC ⊥平面ABC .BEC DAO题型96 与垂直有关的开放性、探索性问题——暂无1．（2013四川理19）如图，在三棱柱11ABC A BC -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠= ，1,D D 分别是线段11,BC BC 的中点，P 是线段AD 的中点．（1）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1ABC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（2）设（1）中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A AM N --的余弦值．2. (2015陕西理18) 如图a 所示，在直角梯形ΑΒCD 中，//ΑD ΒC ，π2ΒΑD ∠=，1ΑΒ=ΒC =，2ΑD =，Ε是ΑD 的中点，O 是ΑC 与BE 的交点．将ABE △沿BE 折起到1ΑΒΕ△的位置，如图b 所示．O EDCBA A 1A ()BCDEO（a ） （b ）（1）证明：CD ⊥平面1ΑΟC ；（2）若平面1ΑΒΕ⊥平面ΒCD Ε，求平面1ΑΒC 与平面1ΑCD 夹角的余弦值．2. 解析 （1）因为1ABAE ==,所以ABE △为等腰三角形，所以1AO BE ⊥.同理可证CO BE ⊥.因为1AO CO O =，所以BE ⊥平面1AOC . 因为//ED BC 且=ED BC ，所以四边形BCDE 为平行四边形， 所以//EB CD . 所以CD ⊥平面1AOC . (2)当平面1A BE⊥平面BCDE 时，以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC为y 轴，1OA 为z轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.则1((0,,0),(0,0,),((22222B C A E D -，则1(22A B =-(22BC =- 设平面1A B C 的法向量为1(,,1)x y n =，则()111101,1,1022BC x y A B x ⎧⋅==⎪⎪⇒=⎨⎪⋅=-=⎪⎩ n n n .同理，1(22A D =-，(CD = ，设平面1ACD 的法向量2(,,1)w z n =，所以221001022CD w z A D z ⎧⋅===⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⋅=+-=⎪⎩ n n ， 得2(0,1,1)=n ，从而平面1ABC 与平面1ACD夹角的余弦值为1212cos 3α⋅===⋅n n n n .。