陕西省2019年中考数学试题研究 类型4 二次函数与三角形相似练习
中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题综合》专项检测卷(带答案)
中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题综合》专项检测卷(带答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()2,0A -和()1,0B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)直线43y x h =-+经过点B ，交抛物线于另一点C ．P 是线段BC 上一点，过点P 作直线PQ y ∥轴交抛物线于点Q ，且PB PQ =，求点P 的坐标；(3)M ，N 是抛物线上的动点（不与点B 重合），直线BM ，BN 分别交y 轴于点E ，F ，若EBF EOB ∽△△，求证：直线MN 经过一个定点．2．如题，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式．(2)点D 为抛物线的对称轴上一动点，当ACD 周长最小时，求点D 的坐标．(3)点E 是OC 的中点，射线AE 交抛物线于点F ，P 是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交射线AF 与点G ，是否存在点P 使得PFG △与AOE △相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()2,0A -和()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P 作直线l x ⊥轴于点(),0M m ，交BC 于点N ，连接CM PB PC ，，．PCB 的面积记为1S ，BCM 的面积记为2S ，当12S S 时，求m 的值；(3)在（2）的条件下，点Q 在抛物线上，直线MQ 与直线BC 交于点H ，当HMN △与BCM 相似时，请直接写出点Q 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线214y x bx c =-++与x 轴分别相交于()2,0A -，()8,0B 两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE BF +的最大值；①若G 是AC 的中点，以点C D E 为顶点的三角形与AOG 相似 求点D 的坐标． 5．如图 抛物线223y x x =-++交x 轴于A B 两点 交y 轴于点C 连接AC BC ．(1)求ABC 的面积；(2)点M 为y 轴上一点 是否存在点M 使得MBC 与ABC 相似？若存在 请求出点M 的坐标；若不存在 请说明理由；(3)点P 为抛物线上一点（点P 与点B 不重合） 且使得PAC △中有一个角是45︒ 请直接写出点P 的坐标．6．在平面直角坐标系xOy 中 把与x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图 抛物线1L ：245y x x =-++的顶点为D 交x 轴于点A B （点A 在点B 左侧） 交y 轴于点C ．抛物线2L 与1L 是“共根抛物线” 其顶点为P ．(1)若抛物线2L 经过点()38-，求抛物线L 1对应的函数关系式； (2)连接BC ．设点Q 是抛物线1L 上且位于其对称轴右侧的一个动点 若DPQ 与BOC 相似 求其“共根抛物线”2L 的顶点Р的坐标．7．如图 直线23y x c =-+与x 轴交于点()3,0A 与y 轴交于点B 抛物线243y x bx c =-++经过点A B ．(1)求点B 的坐标和抛物线的解析式；(2)(),0M m 为x 轴上一动点 过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P N ．①点M 在线段OA 上运动 若以B P N 为顶点的三角形与APM ∆相似 求点M 的坐标； ①点M 在x 轴上自由运动 若三个点M P N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外） 则称M P N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M P N 三点成为“共谐点”的m 的值．8．如图 二次函数2y ax bx c =++（0a <）的图象与x 轴交于()1,0A - B 两点 与y 轴交于点C 已知3OB OA = OC OB =．(1)求该二次函数的表达式；(2)点M 为抛物线对称轴上一动点 是否存在点M 使得BM CM -有最大值 若存在 请直接写出其最大值及此时点M 坐标 若不存在 请说明理由．(3)连接AC P 为第一象限内抛物线上一点 过点P 作PD x ⊥轴 垂足为D 连接PA 若PDA 与COA 相似 请求出满足条件的P 点坐标：若没有满足条件的P 点 请说明理由．9．如图 在平面直角坐标系中 二次函数的图象交坐标轴于()20A -，()40B ， ()08C ，三点 点P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P 运动到什么位置时 PBC 的面积最大 求此时P 点坐标及PBC 面积的最大值；(3)在y 轴上是否存在点Q 使以O B Q 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在 请直接写出点Q 的坐标；若不存在 请说明理由．10．如图 已知抛物线经过()40A ，()10B ， ()02C -，三点．(1)求该抛物线的解析式；(2)若P 是直线4x =右侧的抛物线上一动点 过点P 作PM x ⊥轴 垂足为M 是否存在点P 使得以A P M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在 请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在 请说明理由11．综合与探究：如图 在平面直角坐标系中 抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A - ()3,0B 与y 轴交于点C 连接BC ．若在第四象限的抛物线上取一点M 过点M 作MD x ⊥轴于点D 交直线BC 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)试探究抛物线上是否存在点M 使ME 有最大值？若存在 求出点M 的坐标和ME 的最大值；若不存在 请说明理由；(3)连接 CM 试探究是否存在点M 使得以M C E 为顶点的三角形和BDE △相似？若存在 请求出点M 的坐标；若不存在 请说明理由．12．综合与探究如图 抛物线213222y x x =-++的图象与x 轴交于A B 两点 点A 在点B 的左侧 与y 轴交于点C 连接BC ．(1)求点B C 的坐标．(2)C '是点C 关于抛物线对称轴的对称点 D 是BC 线段上一点 已知25BD BC = 求直线C D '的解析式．(3)若C 关于x 轴的对称点为M 连接BM N 是线段AB 上的动点 过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P 交直线BM 于点Q 当以B P Q 为顶点的三角形与BOM 相似时 请直接写出点P 的坐标．13．如图 抛物线26y ax bx =+-与y 轴交于点A 与x 轴交于点()3,0B - ()1,0C P 是线段AB 下方抛物线上的一个动点 过点Р作x 轴的垂线 交x 轴于点H 交AB 于点D ．设点P 的横坐标为()30t t -<<．(1)求抛物线的解析式．(2)用含t 的式子表示线段PD 的长 并求线段PD 长度的最大值．(3)连接AP 当DPA 与DHB △相似时 求点P 的坐标．14．如图 抛物线经过点()2,0A - ()3,3B -和坐标原点O 顶点为C ．(1)求抛物线的表达式；(2)求证：BOC 是直角三角形；(3)若点P 是抛物线上第一象限内的一个动点 过点P 作PM x ⊥轴 垂足为M 是否存在点P 使得以P M A 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在 求出点P 的坐标；若不存在 请说明理由．15．在平面直角坐标系中 抛物线()26160y ax ax a a =--≠与x 轴的两个交点分别为A B 、与y 轴相交于点C 连接BC 已知点()04C ，．(1)求A B 、两点坐标和抛物线的解析式；(2)设点P 是抛物线上在第一象限内的动点（不与C B 、重合） 过点P 作PD BC ⊥ 垂足为点D ．①点P 在运动过程中 线段PD 的长度是否存在最大值？若存在 求出最大值以及此时点D 的坐标；若不存在 请说明理由：①当以P D C 、、为顶点的三角形与COA 相似时 求点P 的坐标．参考答案：1．（1）解：将()2,0A - ()1,0B 代入2y x bx c =++得：()2202201b c b c⎧=--+⎪⎨=++⎪⎩ 解得：12=⎧⎨=-⎩b c ∴抛物线的函数表达式为：22y x x =+-；（2）解：将()1,0B 代入43y x h =-+ 得：4013h =-⨯+ 解得：43h = ∴直线BC 的解析式为：4433y x =-+ 联立直线BC 与抛物线得：244332y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩ 解得：103529x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或10x y =⎧⎨=⎩ 1052,39C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭设44,33P m m⎛⎫-+⎪⎝⎭则()2,2Q m m m+-PB PQ=()()2224444123333m m m m m⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22257101933m m m-=--+即()257101333m m m--=--+或()257101333m m m-=--+解得：1m=或53m=-或5m=-P是线段BC上一点()1,0B1052,39C⎛⎫-⎪⎝⎭53m∴=-532,39P⎛⎫∴-⎪⎝⎭；（3）解：设()()()2211122212,2,,21,1 M x x x N x x x x x+-+-≠≠直线MN的解析式为y kx n=+即2111222222x x kx nx x kx n⎧+-=+⎨+-=+⎩解得：()121212k x xn x x=++⎧⎨=-+⎩∴直线MN的解析式为：()()121212y x x x x x=++-+直线BM的解析式为y k x n''=+即21112x x k x nk n⎧+-=+'=+'''⎨⎩解得：()1122k xn x=+⎧⎨=-+''⎩∴直线BM的解析式为：()()1122y x x x=+-+当0x=时()12y x=-+()10,2E x∴--直线BN的解析式为y k x n''''=+即222220x x k x n k n '''⎧+-=+⎨=+'''''⎩解得：()2222k x n x =+⎧⎨=-+''''⎩∴直线BN 的解析式为：()()2222y x x x =+-+当0x =时 ()22y x =-+()20,2F x ∴--12EF x x ∴=-EBF EOB ∽△△EF BE BE OE∴= 112BE OE x ==+()21121122x x x x ∴++=-⋅+即()221111212542x x x x x x x ++=+-- ∴()121252x x x x =--+∴()()()()()()121212121212125223y x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=++-+=++---+=++++⎣⎦ ∴当2x =-时 1y =∴直线MN 经过一个定点()2,1-．2．（1）解：把点()1,0A - ()4,0B 分别代入22y ax bx =++得2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①抛物线的解析式为213222y x x =-++． （2）①()1,0A - ()4,0B①对称轴为直线14322x -+== 点A 关于对称轴的对称点为点B 连接BC 交对称轴于点D 连接AD 此时AD CD +最小当0x =时 2y =①点()0,2C ．设直线BC 的解析式为2y kx =+ 代入()4,0B 得420k += ①12k =- ①直线BC 的解析式为122y x =-+ 当32x =时 54y = ①点35,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （3）存在．①()0,2C E 是OC 的中点∴()0,1E ．又()1,0A -①直线AE 的解析式为1y x =+ 1OE OA ==． 联立2132221y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=+⎩得2132122x x x -++=+． 解得12x = 21x =-（舍）．当2x =时 3y =．①()2,3F ． 设213,222P n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭则(),1G n n +． ①2213112112222PG n n n n n =-++--=-++． 分以下两种情况：①如图2 若FPG AOE ∽△△ 则90FPG PF PG =．①PF x ∥轴．①2PF n =-． ①2112122n n n -=-++．解得1n =或2n =（舍）．①()1,3P ．①如图3 若PFG AOE ∽△△ 则90PFG ∠=︒ PF FG =．过点F 作FH PG ⊥于点H 则2PG FH = 即()21112222n n n ⎛⎫--++=- ⎪⎝⎭．解得3n =或2n =（舍）．①()3,2P ．综上 点P 的坐标为()1,3或()3,2．3．（1）解：抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于()20A -，()40B ，两点 ∴()221220214402b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩解得：14b c =⎧⎨=⎩①抛物线的函数表达式为2142y x x =-++； （2）解：抛物线2142y x x =-++与y 轴交于点C ∴()0,4C∴4OC =设直线BC 的解析式为y kx d =+ 把()4,0B ()0,4C 代入 得： 404k d d +=⎧⎨=⎩解得14k d =-⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的解析式为4y x =-+直线l x ⊥轴 (),0M m21,42P m m m ⎛⎫∴-++ ⎪⎝⎭(),4N m m -+ ()221144222PN m m m m m ∴=-++--+=-+ 221111244222B C S PN x x m m m m ⎛⎫∴=⋅-=⨯-+⨯=-+ ⎪⎝⎭()4,0B ()0,4C (),0M m()211448222C S BM y m m ∴=⋅=⨯-⨯=- 12S S2482m m m ∴-+=-解得2m =或4m =（P 与B 重合 舍去）m ∴的值为2；（3）解：()4,0B ()0,4COB OC ∴= BOC ∴是等腰直角三角形45CBO ∴∠=︒BMN ∴是等腰直角三角形45BNM MBN ∴∠=∠=︒HMN 与BCM 相似 且45MNH CBM ∠=∠=︒H ∴在MN 的右侧 且NH MN BC BM=或NH MN BM BC = 设(),4H t t -+ 由（2）知()2,0M ()2,2N ()4,0B ()4,0CBC ∴= 2BM = 2MN =2NH - 当NHMNBC BM =时 如图：∴222242t -=解得6t =或2t =-（此时H 在MN 左侧 舍去）()6,2H ∴-由()2,0M ()6,2H - 同（2）得直线MH 解析式为112y x =-+2112142y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①点Q 的坐标为⎝⎭或⎝⎭；当NH MNBM BC =时 如图：∴222242t -=解得32t =（舍去）或52t =5322H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 由()2,0M 5322H ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 同（2）得直线MH 解析式为36y x =- 236142y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩解得261266x y ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩2261266x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩①点Q 的坐标为(226,1266-+-+或(226,1266----．综上所述 点Q 的坐标为333133+-⎝⎭或333133-+⎝⎭或(226,1266-+-+或(226,1266----． 4．（1）将()2,0A - ()8,0B 代入抛物线214y x bx c =-++ 得()221220418804b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩解得324b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴该抛物线的解析式为213442y x x =-++． （2）①由抛物线的解析式为213442y x x =-++ 得()0,4C ．设直线BC 的解析式为y kx t =+ 将()8,0B ()0,4C 代入得80,4,k t t +=⎧⎨=⎩解得1,24,k t ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为142y x =-+． 设第一象限内的点D 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 则1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 2213114424224DE m m m m m ⎛⎫⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8BF m =- ()()2211282944DE BF m m m m ⎛⎫∴+=-++-=--+ ⎪⎝⎭． 104-< ∴当2m =时 DE BF +有最大值 为9．①()2,0A - ()8,0B ()0,4C2OA ∴= 8OB = 4OC = 10AB =22220AC OA OC ∴=+= 22280BC OB OC =+= 2210100AB == 222AC BC AB ∴+=90ACB ∴∠=︒90CAB CBA ∴∠+∠=︒．DF x ⊥轴于点F90FEB CBA ∴∠+∠=︒CAB FEB DEC ∴∠=∠=∠．以点C D E 为顶点的三角形与AOG 相似 只需OA AG DE CE =或OA AG CE DE =． G 是AC 的中点 ()2,0A - ()0,4C()1,2G ∴- 2OA =12AG AC == 由①知2124DE m m =-+ 1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭CE ∴=． 当OA AG DE CE =时22124m m =-+解得4m =或0m =（舍去） ()4,6D ∴． 当OAAGCE DE =时 251524m m m -+解得3m =或0m =（舍去） 253,4D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．综上所述 以点C D E 为顶点的三角形与AOG 相似点D 的坐标为()4,6或253,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 5．（1）解：对于抛物线223y x x =-++ 当0x =时 可有3y = 即(0,3)C 当0y =时 可有2230x x -++= 解得11x =- 23x =即(1,0)A - (3,0)B①3OC = 3(1)4AB =--= ①1143622ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=；（2）解：存在 点M 的坐标为30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 或()01M -，理由如下：①(1,0)A - (3,0)B (0,3)C ①221310AC =+= 4AB = 223332BC =+如下图 当BCA CMB ∽时则有BCABCM BC = 3232①92CM = ①93322OM CM OC =-=-= ①30,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当BAC CMB ∽时 如图：则有BC ABCM BC = 4CM =①4CM =①1OM CM OC =-=则()01M -， 综上：30,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或()01M -，（3）解：根据题意 点P 与点B 不重合；且45APC ∠=︒ 如图结合二次函数的对称性 且=45ABC ∠︒ ①45BAP ∠=︒①CP AB ∥则3P C y y ==①223y x x =-++①对称轴()2121x =-=⨯- 则()112C P x x += 则2P x =①P 的坐标为()23，当45PAC ∠=︒时 如下图设AP 交y 轴于点H 过点H 作HN AC ⊥于点N ①45PAC ∠=︒①9045NHA PAC PAC ∠=︒-∠=︒=∠ ①HN NA =①(1,0)A - (0,3)C①1OA = 3OC = ①1tan 3NH OA ACO CN OC ∠=== 设HN NA t == 则3CN t = 2AH t = ①310AC t t =+解得10t =①52AH t = ①2212OH AH OA =-=①10,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线AH 的解析式为111(0)y k x b k =+≠ 将点(1,0)A - 10,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入 可得111012k b b =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得111212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①直线AH 的解析式为1122y x =+ 联立直线AH 的解析式1122y x =+与抛物线解析式223y x x =-++ 可得2112223y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩ 解得=1x -（舍去）或52x =①点57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当45ACP ∠=︒时 如下图 设CP 交x 轴于点T 过点T 作TK BC ⊥于点K ①(3,0)B (0,3)C ①3OB OC == ①190452OCB CBT ∠=∠=⨯︒=︒ ①45ACP OCB ∠=∠=︒ 即ACO OCP OCP PCB ∠+∠=∠+∠①ACO PCB ∠=∠ ①1tan tan 3TK BCP ACO CK ∠==∠= ①45KBT ∠=︒①9045KTB KBT KBT ∠=︒-∠=︒=∠①KB KT =设KT KB t == 则3CK t = 2BT t ①332BC t t =+=解得32t = ①322BT t ==①3,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 设直线CT 的解析式为222(0)y k x b k =+≠ 将点(0,3)C 3,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入 可得2223302b k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩解得2223k b =-⎧⎨=⎩ ①直线CT 的解析式为23y x =-+联立直线CT 的解析式23y x =-+与抛物线解析式223y x x =-++可得22323y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩解得0x =（舍去）或4x =①点(4,5)P -．综上所述 点P 坐标为(2,3) 57,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或(4,5)-． 6．（1）解：在抛物线1L ：245y x x =-++中令0y = 则2450x x -++=解得11x =- 25x = 即()10A -， ()50B ， 根据题意 设抛物线L 2的函数关系式为()()15y a x x =+-将点()38-，代入得()()83135a =-+-- 解得12a = ①抛物线2L 的函数关系式为()()2115152222y x x x x =+-=--；（2）解：由题意得 5OB OC ==①BOC 为等腰直角三角形①抛物线1L ：()224529y x x x =-++=--+①顶点()29D ，由题意可知PDQ ∠不可能为直角①当90DPQ ∠=︒时 如图 DPQ BOC ∽或DPQ COB ∽ 则DP QP =设Q 2()45m m m -++，①2QP m =- ()2945DP m m =--++①()22945m m m -=--++ 解得12m =（舍去） 23m = ①当3m =时 2458m m -++=①()28P ，①当90DQP ∠=︒时 如图 DPQ BCO ∽或DPQ CBO ∽ 过点Q 作QM DP ⊥垂足为点M 则DM QM MP ==由①可知()28M ，①1MP DM ==①()27P ，综上所述：点P 的坐标为()28P ，或()27P ，．7．（1）解：23y x c =-+与x 轴交于点()3,0A 与y 轴交于点B 02c 解得2c =(0,2)B ∴抛物线243y x bx c =-++经过点A B ∴12302b c c -++=⎧⎨=⎩ 解得1032b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为2410233y x x =-++； （2）解：①由（1）可知直线解析式为223y x =-+ (,0)M m 为x 轴上一动点 过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P N2,23P m m ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭2410,233N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 223PM m 3AM m 22410242243333PN m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭BPN △和APM △相似 且BPN APM ∠=∠90BNP AMP 或90NBP AMP ∠=∠=︒当90BNP ∠=︒时 则有BN MN ⊥N ∴点的纵坐标为224102233m m ∴-++= 解得0m =（舍去）或52m = 502M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，； 当90NBP ∠=︒时 过点N 作NC y ⊥轴于点C则90NBC BNC ∠+∠=︒ NC m = 22410410223333BC m m m m =-++-=-+ 90NBP ∠=︒90NBC ABO ∴∠+∠=︒ABO BNCRt Rt NCB BOA ∴∽△△ ∴NC CB OB OA= ∴24103323m m m -+= 解得0m =（舍去）或118m = 1108M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，； 综上可知当以B P N 为顶点的三角形与APM △相似时 点M 的坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1108⎛⎫ ⎪⎝⎭，； ①由①可知(,0)M m 2,23P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 2410,233N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭M P N 三点为“共谐点”∴有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点当P 为线段MN 的中点时 则有22410222333m m m ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭解得3m =（舍去）或0.5m =；当M 为线段PN 的中点时 则有22410220333m m m ⎛⎫-++-++= ⎪⎝⎭解得3m =（舍去）或1m =-；当N 为线段PM 的中点时 则有22410222333m m m ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭解得3m =（舍去）或14m =-； 综上可知当M P N 三点成为“共谐点”时m 的值为0.5或1-或14-． 8．（1）解：(1,0)A -1OA ∴=3OB OA = OC OB =3OB OC ∴==．(3,0)∴B (0,3)C二次函数()2<0y ax bx c a =++的图象经过点A B C∴09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩ 解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴该二次函数的表达式为223y x x =-++；（2）解：①()222314y x x x =-++=--+①抛物线对称轴为直线1x =延长AC 交对称轴于点M 此时BM CM AM CM AC -=-=有最大值①()1,0A - (0,3)C ①221310AC =+=设直线AC 的解析式为3y mx =+ 代入()1,0A -得03m =-+ 解得3m =①直线AC 的解析式为33y x =+①当1x =时 336y =+=①点M 坐标为()16，；答：BM CM - 点M 坐标为()16，； （3）解：设2(,23)P m m m -++PD x ⊥轴 P 为第一象限内抛物线上一点 0m ∴> OD m = 223PD m m =-++ 1AD OA OD m ∴=+=+ PDA 与COA 相似 ∴OA AD OC PD =或OA PD OC AD= ∴211323m m m +=-++或212331m m m -++=+． 解得：10m = 21m =-或31m =- 483m =．0m >83m ∴=． PDA ∴与COA 相似 满足条件的P 点坐标为81139⎛⎫⎪⎝⎭，． 9．（1）解：①(0,8)C 则设抛物线解析式为28y ax bx =++把A 、B 两点坐标代入可得428016480a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得：12a b =-⎧⎨=⎩①抛物线解析式为228y x x =-++；（2）解：①点P 在抛物线上①可设()228P t t t -++，过P 作PE x ⊥轴于点E 交直线BC 于点F 如图①(40)B ，(08)C ， 设直线BC 解析式为8y kx =+则048k =+解得2k =-①直线BC 解析式为28y x =-+①(28)F t t -+，①()2228(28)4PF t t t t t =-++--+=-+ ①1111()2222PBC S PF OE PF BE PF OE BE PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅△ ()221442(2)82t t t =-+⨯=--+ ①当2t =时 PBC S 最大值为8 此时2288t t -++=①当P 点坐标为(2,8)时 PBC 的最大面积为8； （3）解：设(0)Q m ，①=90AOC ︒∠①分AOC QOB ∽△△和AOC BOQ ∽△△两种情况 当AOC QOB ∽△△时①OA OC OQ OB= 即284m = 解得1m =±①点Q 的坐标为()01，或()01-，； 当AOC BOQ ∽△△时 ①OA OC OB OQ= 即284m = 解得16m =±①点Q 的坐标为()016，或()016-，； 综上 点Q 的坐标为()016，或()016-，或()01，或()01-，． 10．（1）解：①该抛物线过点()02C -，①可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-．将()40A ，()10B ，代入 得1642020a b a b +-=⎧⎨+-=⎩解得1252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①此抛物线的解析式为215222y x x =-+-； （2）解：存在；设P 点的横坐标为m 则P 点的纵坐标为215222m m -+- 由题意 4m > 如图 4AM m =- 215222PM m m =-+①90COA PMA ∠=∠=︒ ①12PM OC AM OA ==或①2PM OA AM OC ==当12PM OC AM OA ==时 则21522422m m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭ 解得：1224m m ==， （都不符合题意 舍去）； 当2PM OA AM OC==时 则()21522422m m m -+=- 解得：1254m m ==，（4m =不符合题意舍去）此时 2152222m m -+-=- 则()52P -， 综上所述 符合条件的点P 为()52-，． 11．（1）解：把点()1,0A - ()3,0B 代入24y ax bx =+-中得：409340a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得：4383a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则抛物线的表达式为则抛物线的表达式为：248433y x x -=-； （2）存在 理由如下：由抛物线解析式可知：点()0,4C - 设BC 的表达式为：4y kx =-将点B 的坐标代入上式得：034k =- 解得：43k = 则直线BC 的表达式为：443y x =- 设点4,43E x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 则点248,433M x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭则224484(4)(4)43333ME x x x x x =----=-+ ①403-< 故ME 有最大值 当32x =时 ME 的最大值为3 此时 点3,52M ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）存在 理由如下：DEB CEM M C E ∠=∠，，，为顶点的三角形和BDE △相似 ①当CME ∠为直角时则点C 、M 关于抛物线对称轴对称 而抛物线的对称轴为32x =则点()3,4M -；①当90ECM ∠=︒时 如图：由（1）得()0,4C - 设直线BC 的解析式为： 14y k x =- 把()3,0B 代入得1340k -=143k ∴= 设直线CM 的解析式为：24y k x =- 易知：121k k234k ∴=- 故直线CM 的表达式为：344y x =-- 联立抛物线表达式和上式得：248344334x x x --=-- 解得：0x =（舍去）或2316x =即点23325(,)1664M -； 综上 点M 的坐标为：23325,1664⎛⎫-⎪⎝⎭或()3,4-12．（1）解：令2132022x x -++= 解得11x =- 24x =①点A 在点B 的左侧①()10A -，()40B ， 将0x =代入213222y x x =-++ 可得：2y =①()02C ，； （2）证明：如图 过点D 作DD x '⊥轴于点D根据题意 可得：DD OC '∥①BDD BCO '∽ ①25BD DD BD BO CO BC ''=== ①()40B ，()02C ， ①4BO = 2CO =①2425BD DD ''== 解得85BD '= 45DD '= ①125OD BO BD ''=-=①12455D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由抛物线213222y x x =-++ 可知对称轴为直线32x = ①点C 、C '关于抛物线对称轴对称①()32C '，设直线C D '的解析式为()0y kx b k =+≠把()32C '，、12455D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入解析式 可得：3212455k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：24k b =⎧⎨=-⎩ ①直线C D '的解析式为24y x =-；（3）解：①()02C ，①点C 关于x 轴的对称点M 的坐标为()02-，设直线BM 的解析式为()0y ax n a =+≠把()40B ，()02M -，代入解析式 可得：402a n n +=⎧⎨=-⎩ 解得：122a n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ①直线BM 的解析式为122y x =- 设点N 的坐标为()0m ， 则213222P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，、()12142Q m m m ⎛⎫--≤≤ ⎪⎝⎭， ①PQ x ⊥轴①OM PQ ∥①BMO BQP ∠=∠①90BOM ∠=︒ 而90BQP ∠<︒①可分以下两种情况：①如图2 连接BP 当90QBP MOB ∠=∠=︒时 PBQ BOM ∽①BPQ QBN ∠=∠①90BNP QNB ∠=∠=︒①BNP QNB ∽ ①PN NBBN NQ = ①21324221422m m mm m++-=-- ①()21324221442m m mm m ++-=-- ①21322224m m m ++=-解得：4m =或3m =检验：当4m =时 40m -= 等式不成立 且点B 、P 、Q 重合 BPQ 不存在此情况舍去；将3m =代入213222y x x =-++ 可得2y =①()32P ，； ①如图3 当90BPQ MOB ∠=∠=︒时 此时点P 与点A 、点N 重合 BOM BPQ ∽此时1m =- 点P 的坐标为()10-，； 综上所述 以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与BOM 相似时 点P 的坐标为()32，或()10-，．13．（1）解：①抛物线26y ax bx =+-与x 轴交于点()3,0B -()1,0C ①936060a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得：24a b =⎧⎨=⎩①抛物线为：2246y x x =+-；（2）解：①2246y x x =+-当0x =时 y =-6①()0,6A -设直线AB 为y kx n =+①630n k n =-⎧⎨-+=⎩ 解得：26k n =-⎧⎨=-⎩①直线AB 为26y x =--设点P 的横坐标为()30t t -<<．①()2,246P t t t +- (),26D t t --①222624626PD t t t t t =----+=--当()63222t -=-=-⨯-时 PD 的最大值为：233926222⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （3）解：如图 连接AP①BDH ADP ∠=∠ 而DPA 与DHB △相似①分两种情况讨论：当DPA DHB ∽时 ①DP AP DH BH= 90APD BHD ∠=∠=︒ ①AP x ∥轴 OH AP =①A P 关于抛物线的对称轴对称①()3,0B - ()1,0C①抛物线的对称轴为直线3112x -+==- 而()0,6A - ①()2,6P --；如图 当DHB DAP ∽时 过A 作AQ PH ⊥于Q①AQ OH = 6AO QH ==设AQ OH n ==①DHB DAP ∽①90DHB DAP ∠=∠=︒①90ADP APD APQ QAP ∠+∠=∠+∠=︒①PAQ ADP ∠=∠由PH y ∥轴 可得ADP BAO ∠=∠①PAQ BAO ∠=∠ ①31tan tan 62PAQ BAO ∠=∠== ①12PQ AQ 即12PQ n = ①1,62P n n ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ ①()()2124662n n n -+⨯--=-- 解得：74n =（0n =舍去） ①755,48P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 综上：()2,6P --或755,48P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 14．（1）解：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠ 将点(2,0)A - (3,3)B - (0,0)O 代入可得：4209330a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得：120a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以函数解析式为：22y x x =+；（2）证明：①()22211y x x x =+=+-①抛物线的顶点C 的坐标为()1,1--①()0,0O ()3,3B -①()()22303018OB =--+-= ()()2210102OC =--+--=()()22313120BC =---+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ①222OB OC BC +=①BOC 是直角三角形；（3）解：假设存在点P 使以P M A 为顶点的三角形与BOC 相似 如图设(,)P x y 由题意知0x > 0y > 且22y x x =+由（2）知 BOC 为直角三角形 90COB ∠=︒ 且:1:3OC OB = ①若PMA COB ∽ 则AM PM BO CO= 即223(2)x x x +=+ 得 113x = 22x =-（舍去） 当13x =时 79y = 即1(3P 7)9； ①若PMA BOC ∽AM PM OC BO= 即：223(2)x x x +=+ 得：13x = 22x =-（舍去）当3x =时 15y = 即(3,15)P ．①存在 当点P 坐标为17,39⎛⎫ ⎪⎝⎭或(3,15) 使得以P M A 为顶点的三角形与BOC 相似． 15．（1）解：①2616y ax ax a =--经过()04C ，①164a -= 解得14a =- ①213442y x x =-++； 令0y = 即2134=042x x -++ 解得：122,8x x =-=①()()2,0,8,0A B -（2）设直线BC 的关系式为y kx b =+ ()8,0B ()04C ，①408b k b =⎧⎨=+⎩解得124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． ①直线BC 的方程为142y x =-+． 如图 过点P 作PG x ⊥轴于点G PG ，交CB 于点E①PG CO ∥①PED OCB ∠=∠又90PDE COB ∠=∠=︒①PDE BOC ∽△△ ①PD PE BO BC= ①8,4BO CO ==①BC =①BO PD PE PE BC =⨯ ①当线段PE 最长时 PD 的长度最大． 设213(4)42P t t t -++， 则1(,4)2E t t -+． 即213442PG t t =-++ 142EG t =-+． ①22112(4)444PE PG EC t t t =-=-+=--+()08t <<． 当4t =时 PE 有最大值是4 此时P 点坐标为()46，．①25854PD == 设1,42D m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ①()2221854462m m ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得12125m m == ①111214442255m -+=-⨯+= 即点D 的坐标为121455⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ①①284OA OB OC ===，，①2222420AC =+= ()2228100AB =+= 2224880BC =+=． 可得222AC BC AB =＋．①90ACB ∠=︒．①COA BOC ∽．故当PDC △与COA 相似时 则PDC △与BOC 相似． ①PCD CBO ∠∠＝或PCD BCO ∠∠＝．（i ）如图 当PCD CBO ∠=∠时即PDC COB ∽①PCD CBO ∠=∠①CP AB ∥①()04C ，①4P y =． ①2134442t t -++= 解得1260x x ==，（舍）即PDC COB ∽时 (64)P ，； （ii ）当PCD BCO ∠=∠时 即PDC BOC ∽如图 过点P 作PG x ⊥轴于G 与直线BC 交于F①PF OC ∥①PFC BCO ∠=∠①PCD PFC ∠=∠①PF PC =. 设213(4)42P n n n -++， 则2124PF n n =-+ 过点P 作y 轴的垂线 垂足为N在Rt PNC △中 22222243213131344421644PC PN NC n n n n n n ⎡⎤=+=+-++-=-+⎢⎥⎣⎦（） ①22PF PC = 即2243211313(2)41644n n n n n -+=-+ 解得120=3=n n ， (舍)．即PDC BOC ∽时 25(3)4P ，． ①当PDC △与COA 相似时 点P 的坐标为(64)P ，或2534P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．。
精品解析：陕西省2019年中考数学试题(解析版)
2019年陕西中考数学一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.计算：()0-3=（）A. 1B. 0C. 3D.1 3 -【答案】A【解析】【分析】直接根据0指数幂的含义进行解答即可.【详解】()0-3=1，故选A.【点睛】本题考查了0指数幂，熟练掌握“任何非0数的0次幂都等于1”是解题的关键.2.如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形进行求解即可.【详解】俯视图为从上往下看，所以小正方形应在大正方形的右上角，故选D.【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，熟知俯视图是从上方看得到的图形是解题的关键.3.如图，OC 是∠AOB 的角平分线，l //OB,若∠1=52°，则∠2的度数为（ ）A. 52°B. 54°C. 64°D. 69°【答案】C 【解析】 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOB=128°，再根据角平分线的定义得到∠BOC=64°，继而根据平行线的性质即可求得答案. 【详解】∵l//OB ， ∴∠1+∠AOB=180°， ∴∠AOB=128°， ∵OC 平分∠AOB ， ∴∠BOC=64°， 又∵l//OB ， ∴∠2=∠BOC=64°， 故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键.4.若正比例函数2y x =-的图象经过点O （a -1,4）,则a 的值为（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】把点(a-1，4)直接代入正比例函数y=-2x 中求解即可.【详解】∵函数2y x =-过O(a-1,4)， ∴2(1)4a --=， ∴1a =-， 故选A.【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟知正比例函数图象上的点的坐标一定满足正比例函数的解析式是解题的关键.5.下列计算正确的是（ ） A. 222236a a a ⋅= B. ()224236a b a b -=C. ()222a b a b -=- D. 2222a a a -+=【答案】D 【解析】 【分析】根据单项式乘法法则、积的乘方法则、完全平方公式，合并同类项法则逐一进行计算即可. 【详解】A. 422236a a a ⋅=，故A 选项错误； B. ()224239a b a b -=，故B 选项错误；C. ()2222a b a ab b -=-+，故C 选项错误； D. 2222a a a -+=，正确， 故选D.【点睛】本题考查了单项式乘法、积的乘方、完全平方公式、合并同类项等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.6.如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E 。
二次函数与相似三角形问题(含答案)
y xEQ PC B OA综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题1、如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。
（1） 求抛物线的解析式；（2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积；（3） △AOB 与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
2、已知抛物线2y ax bx c =++经过53(33)02P E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式．（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？3 、如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．C BA xPy1题2题3题4、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，．（1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．．得抛物线的解析式为223y x x =-++） （2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，，（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．A B xyOQH PC5、如图，已知抛物线y ＝34x 2＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为 （－1，0），过点C 的直线y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1．（1）填空：点C 的坐标是_ _，b ＝_ _，c ＝_ _； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．6、如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．yClxB A 1x =4题5题6题7、已知，如图1，过点()01E -，作平行于x 轴的直线l ，抛物线214y x =上的两点A B 、的横坐标分别为-1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A B 、分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF DF 、．（1）求点A B F 、、的坐标； （2）求证：CF DF ⊥； （3）点P 是抛物线214y x =对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ，是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8、当x ＝2时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 取得最小值－1，并且抛物线与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于点A 、B ． （1）求该抛物线的关系式；（2）若点M （x ，y 1），N （x ＋1，y 2）都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小；（3）D 是线段AC 的中点，E 为线段AC 上一动点（A 、C 两端点除外），过点E 作y 轴的平行线EF 与抛物线交于点F ．问：是否存在△DEF 与△AOC 相似？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，则说明理由．11、如图，一次函数y=－2x 的图象与二次函数y=－x 2+3x 图象的对称轴交于点B. （1）写出点B 的坐标 ；（2）已知点P 是二次函数y=－x 2+3x 图象在y 轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y=－2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点. 若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，则点P 的坐标为 .OBC DABC DOxy EF311题8题12、如图，抛物线21y ax bx =++与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ． (1)求抛物线的解析式；(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．13、已知：函数y=ax 2+x+1的图象与x 轴只有一个公共点． （1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次．．函数y=ax 2+x+1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标；（3）在(2)中，若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ，试探索点M 是否在抛物线y=ax 2+x+1上，若在抛物线上，求出M 点的坐标；若不在，请说明理由．14、如图,设抛物线C 1:()512-+=x a y , C 2:()512+--=x a y ,C 1与C 2的交点为A , B ,点A 的坐标是)4,2(,点B 的横坐标是－2. （1）求a 的值及点B 的坐标； （2）点D 在线段AB 上,过D 作x 轴的垂线,垂足为点H ,在DH 的右侧作正三角形DHG . 记过C 2顶点Ｍ的直线为l ,且l 与x 轴交于点N .① 若l 过△DHG 的顶点G ,点D 的坐标为(1, 2)，求点N 的横坐标； ② 若l 与△DHG 的边DG 相交,求点N 的横坐标的取值范围.AxyOB15、如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。
陕西省中考数学复习专题之相似三角形综合题
陕西省中考数学复习专题之相似三角形综合题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、浙教版2019中考数学复习专题之相似三角形综合题解答题 (共40题；共114分)1. （3分） (2019九上·孝昌期末) 如图，在边长为2的正方形ABCD中，求作BC边的中点E，连接DE，在边BC的延长线上求作点F，使DE＝EP，并求出的值.（要求，尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）2. （3分）已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）.（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P 上.①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x＝﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值.3. （3分） (2019九下·梁子湖期中) 如图，在正方形ABCD中，点G在边AB上(不与点A，B重合)，连接DG，作CE⊥DG于点E，AF⊥DG于点F，连接AE，CF.（1）求证：DE=AF；（2）若设 ,求的值.4. （3分）(2019·五华模拟) 已知反比例函数y= （a为常数）的图象经过点B（﹣4，2）.（1）求a的值；（2）如图，过点B作直线AB与函数y= 的图象交于点A，与x轴交于点C，且AB=3BC，过点A作直线AF⊥AB，交x轴于点F，求线段AF的长.5. （2分） (2016九上·中山期末) 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB 于D．（1）求证：△ACB∽△ADE；（2）求AD的长度．6. （2分）(2020·广水模拟) 如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE.（1）求证：AG与⊙O相切.（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长.7. （3分）(2018·湘西) 如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．8. （3分）(2018·灌南模拟) 已知：M点是等边三角形△ABC中BC边上的中点，也是等边△DEF中EF边上的中点，连结AD.（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出的值；（2）如图2，△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M顺时针旋转（≤ ≤ 角，①判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；②作DH⊥BC于点H．设BH＝x，线段AB，BE，ED，DA所围成的图形面积为S．当AB＝6，DE＝2时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．9. （3分）(2018·黄石) 在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．（1）如图1，若EF∥BC，求证：（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由。
二次函数与相似三角形问题(含答案)[1]
![二次函数与相似三角形问题(含答案)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/df39b00210a6f524ccbf85eb.png)
综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。
⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．．求得抛物线的解析式为x x 41y 2+-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
例1题图图1O AByxOAByx图2y xEQ PC B OA 例题2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （a ＞0）交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的解析式．练习1、已知抛物线2y ax bx c =++经过53(33)02P E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．得抛物线的解析式为225333y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？练习2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处。
中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题综合》专项能力提升训练(含答案)
(1)抛物线的解析式为__________；
(2)点M为y轴正半轴上的一个动点，连接 ，过点M作 的垂线，与抛物线的对称轴交于点N，连接AN．
①若 与 相似，求点M的坐标；
②若点M在y轴正半轴上运动到某一位置时， 有一边与线段 相等，并且此时这一边与线段 具有对称性，我们把这样的点M称为“对称点”，请写出“对称点”M的坐标．
12．如图，抛物线y= x2+bx+c的顶点D坐标为（1，4），且与 轴相交于A，B两点 点A在点B的左侧 ，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上．
(1)求抛物线解析式；
(2)设点F横坐标为m
②若 是 的中点，以点 ，D， 为顶点的三角形与 相似，求点 的坐标．
3．抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．
(1)求a，b，c的值；
(2)如图 ，连接 、 ，交点为 ，连接 ，若 ，求点 的坐标；
(3)如图 ，在（2）的条件下，过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，将线段 绕点 逆时针旋转得到 ，旋转角为 ，连接 和 ，求 的最小值．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接 ，点P为直线 上方抛物线上一动点，连接 交 于点Q．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 的值最大时，求点P的坐标和 的最大值；
(3)把抛物线 向右平移1个单位，再向上平移2个单位得新抛物线 ，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的N点的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
中考复习：二次函数和相似三角形问题(含答案)
综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。
⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．．求得抛物线的解析式为x x 41y 2+-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
y xEQ PC B OA 例题2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （a ＞0）交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的解析式．练习1、已知抛物线2y ax bx c =++经过5330P E ⎫⎪⎪⎝⎭，，，及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．得抛物线的解析式为225333y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？练习2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D处。
初三数学中考专题：二次函数与三角形相似结合题型带答案
二次函数与三角形相似结合题型例1.如图1，已知抛物线y=ax²+bx+3图象与x轴相交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C.（1）请直接写出抛物线的解析式为__（2）如图1，连接AC，若点P在y轴上时，AP和4C的夹角为15°，求线段CP的长;（3）如图2，直线l与x轴相交于点M，直线l与线段BC相交于点N，当△MCN~△CAM时，求直线l的表达式.例2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；的最大值；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求DEAE（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．例3.已知抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于A(-4,0)、B 两点，与y 轴交于点C ，且AO=2OC. （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第三象限抛物线上一点，连接OD 、AC 交于点E ，求DE OE 的最大值；（3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l //AC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点，试探究：在第二象限是否存在这样的点P,Q ，使△PQA ∽△CBA ，若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
例4．如图，已知抛物线y=13x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．l xyoA B C图2例5.如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点.(1)求AD的长及抛物线的解析式；(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与∆ADE相似？(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.例6.（走角题）.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B(1,0)两点，与y轴交于点D，直线AD:y=x+3，抛物线的顶点为C，CE⊥AB.（1）求抛物线的解析式；S∆MAB?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（2）抛物线上是否存在点M，使得S∆ACD=38（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACE相似时，求点P的坐标；【答案详解】例1.如图1，已知抛物线y=ax²+bx+3图象与x轴相交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C.（1）请直接写出抛物线的解析式为__（2）如图1，连接AC，若点P在y轴上时，AP和4C的夹角为15°，求线段CP的长;（3）如图2，直线l与x轴相交于点M，直线l与线段BC相交于点N，当△MCN~△CAM时，求直线l的表达式.【解析】（1）y=−x2−2x+3（2）注意题目隐藏条件“∠CAO=45º”，即当P在C点上方时则∠OAP=60º，当P在C点下方时则∠OAP=30º，利用特殊角的三角函数值来求解CP的长；解：由抛物线解析式可得C(0,3)，则OA=OC=3,则∠CAO=45º.①当点P在C点上方时，则∠OAP=60º，∴OP=OAtan∠OAP=√3OA=3√3,∴CP=OP-OC=3√3-3；②当点P在C点下方时，则∠OAP=30º，∴OP=OAtan∠OAP=√3OA=√3,3∴CP=OC-OP=3−√3；综上所述，CP的长为3√3-3或3−√3；（3）二次函数与三角形相似综合题型，此题不存在分类讨论，有两个思考角度或解题方法，分别是“走边”或“走角”；【思考角度1】“走边”解：由△MCN~△CAM可得∠ACM=∠CMN，可得AC//MN，则设直线MN的解析式为y=x+a，即OM=a，由△MCN~△CAM可得MC:CA=MN:CM，即MN=CM 2CA =23√2，由MN//AC可得MN:AC=MB:BA，即23√23√2=(a+1):4，解得a=32或a=3(舍去)，∴直线l的表达式y=x+32.【思考角度2】“走角”由△MCN~△CAM可得∠CAM=∠MCN=45º，出现特殊角，而只需求出M点坐标即可求出直线l的表达式.这是二次函数几何综合题中的典型题型“边角存在性问题”.按“边角存在性问题”的典型解题思路走即可解答此题.解：如图，作BD⊥BC交MC于点D，过点B作y轴的平行线，过点C、D作x轴的平分线，分别交于点E、F两点，由∠CBD=∠BED=∠CFB=90º,∠BDE=∠DCF,CD=BD,可证△BDE≌△BCF，则DE=BF=3,BE=CF=1,∴D(-2,-1)，设直线CD的解析式为y=kx+3，代入D点坐标可得k=2，∴直线CD的解析式为y=2x+3，∴M(-32，0),∴直线l的表达式y=x+32.C （0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，求DE AE 的最大值； （3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l ∥BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使△PQB ∽△CAB ．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)设抛物线为交点式，即y=a(x+1)(x-4)，代入C 点坐标，可得a=12， ∴抛物线解析式为y =12(x+1)(x-4)=12x 2−32x −2(2)构造相似典型图形“8字模型”，利用相似性质把DE AE 用代数式表示出来，再利用二次函数配方法求最值。
二次函数与相似三角形问题(含答案完美打印版)
综合题解说函数中因动点产生的相像三角形问题例题如图1，已知抛物线的极点为A（2， 1），且经过原点O，与 x 轴的另一个交点为B。
⑴求抛物线的分析式；（用极点式求得抛物线的分析式为12y x x ）．．．4⑵若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以O、C、 D、 B 四点为极点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标；⑶连结 OA、 AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上能否存在点P，使得△ OBP与△ OAB相像若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明原因。
y yA AO B O Bx x图1例1题图图2．．．．．．．O、C、 D、 B 剖析 :1. 当给出四边形的两个极点时应以两个极点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以四点为极点的四边形为平行四边形要分类议论: 按 OB为边和对角线两种状况2.函数中因动点产生的相像三角形问题一般有三个解题门路① 求相像三角形的第三个极点时，先要剖析已知三角形的边和角的特色，从而得出已知三角形能否为特．．殊三角形。
依据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类议论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标从而用函数分析式来表示各边的长度，以后利用相像来列方程求解。
例题 2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （ a＞ 0）交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线的对称轴交轴于点 E，点 B 的坐标为（ -1 ，0）．（ 1）求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；（ 2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形并证明你的结论；（ 3）连结 CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠ APD=∠ ACP时，求抛物线的分析式．x练习 1、已知抛物线253及原点O (0，0)．y ax bx c 经过P(，，，33) E20（ 1）求抛物线的分析式．（由一般式得抛物线的分析式为2253y x x ）．．．33（ 2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右边且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点 Q 作直线 QA 平行于y轴交x轴于A点，交直线PC 于 B 点，直线QA与直线 PC 及两坐标轴围成矩形 OABC ．能否存在点Q，使得△OPC 与△PQB相像若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明原因．（ 3）假如切合（ 2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四y个三角形△ OPC，△ PQB，△OQP，△ OQA 之间存在如何的关系为何C PBQO EA x练习 2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C在 y 轴上，将边 BC折叠，使点 B落在边 OA的点 D 处。
中考数学专题复习《二次函数中的相似三角形问题》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《二次函数中的相似三角形问题》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如题 在平面直角坐标系xOy 中 抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A - 点()4,0B 与y 轴交于点C 连接AC BC ．(1)求抛物线的解析式．(2)点D 为抛物线的对称轴上一动点 当ACD 周长最小时 求点D 的坐标．(3)点E 是OC 的中点 射线AE 交抛物线于点F P 是抛物线上一动点 过点P 作y 轴的平行线 交射线AF 与点G 是否存在点P 使得PFG △与AOE △相似？若存在 求出点P 的坐标 若不存在 请说明理由．2．如图 二次函数()220y ax bx a =+-≠的图象经过点()()2010A B -，，， 与y 轴交于点C 点P 为第四象限内抛物线上一点 连接BP AC 、 交于点Q ．(1)求二次函数的表达式(2)连接BC 线段BC 的垂直平分线交x 轴于点M 求点M 的坐标 (3)探究：PQQB是否有最大值 如有请求出最大值 如没有请说明理由．3．如图 已知抛物线2y ax c =+过点(2,2)A -- 其顶点为D 过点A 作x 轴的平行线l 点12(,)(,)P p y Q q y 、是抛物线上位于点A 右侧和l 两侧的动点 直线l 始终平分∠P AQ ．(1)若点(0,2)D 求抛物线的函数表达式 (2)在（1）的条件下 若1P = 求q 的值(3)在点P Q 、的运动过程中 试判断p q +的值是否变化 并说明理由．4．已知抛物线212y x bx c =++．经过()2,0A - ()0,4B - 与x 轴交于另一个点C 连接BC ．(1)求抛物线的函数表达式(2)若点Q在抛物线上的对称轴上那么在抛物线上是否存在一点N使得A B Q N为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点的坐标∥交BC于点E过点D作(3)点D为直线BC下方抛物线上一动点过点D作DE AB∥轴交BC于点F求EF的最大值DF y(4)在抛物线上是否存在点P直线BP交x轴于点M使ABM与以A B C M中三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在请直接写出点P的坐标若不存在请说明理由．5．如图抛物线223=-++交x轴于A B两点交y轴于点C连接AC BC．y x x(1)求ABC 的面积(2)点M 为y 轴上一点 是否存在点M 使得MBC 与ABC 相似？若存在 请求出点M 的坐标 若不存在 请说明理由(3)点P 为抛物线上一点（点P 与点B 不重合） 且使得PAC △中有一个角是45︒ 请直接写出点P 的坐标．6．如图所示 已知抛物线21y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A - ()1,0B 两点 与y 轴交于点C ．(1)求此二次函数得解析式(2)过点A 作AP CB ∥交抛物线于点P 求四边形ACBP 的面积(3)在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M 过M 作MG x ⊥轴于点G 使以A M G 三点为顶点的三角形与PCA 相似？若存在 请求出M 点的坐标 否则 请说明理由．7．如图1 平面直角坐标系xOy 中 抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A - ()2,0B 和()0,2C 连接BC 点()(),02P m n m <<为抛物线上一动点 过点P 作PN x ⊥轴交直线BC 于点M 交x 轴于点N ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式(2)如图2 连接OM 当OCM 为等腰三角形时 求m 的值(3)当P 点在运动过程中 在y 轴上是否存在点Q 使得以O P Q 、、为顶点的三角形与以B C N 、、为顶点的三角形相似（其中点P 与点C 相对应） 若存在 直接写出点P 的坐标若不存在 请说明理由．8．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于 ()1，0B (30)C ，-两点 与y 轴交于A 点．(1)求抛物线的表达式(2)如图1 连接AC 在y 轴的负半轴是否存在点Q 使得12OQC OAC ∠∠=？若存在 求Q 点的坐标 若不存在 请说明理由．(3)如图2 点P 是抛物线上的一个动点 且点P 在第三象限内． ∠连接PO 与直线AC 交于点D 求PDOD的最大值 ∠过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点M 若ABO PAM △△ 求此时点P 的横坐标．9．如图 抛物线223(0)y ax ax a a =-->与x 轴交于A B 两点（点A 在点B 的左侧） 与y 轴交于点C 且OB OC =．(1)求抛物线的解析式(2)若P 是线段BC 上一动点（不与点B C 重合） 过点P 作垂直于x 轴的垂线交抛物线于点M 连接CM 当PCM △与ABC 相似时 求此时点P 的坐标．10．如图 已知直线24y x =-+分别交x 轴 y 轴于点A B 抛物线过A B 两点 点P 是线段AB 上一动点 过点P 作PC x ⊥轴于点C 交抛物线于点D ．(1)若抛物线的解析式为2224y x x =-++ 设其顶点为M 其对称轴交AB 于点N ． ∠求点M 和点N 的坐标∠在抛物线的对称轴上找一点Q 使AQ BQ -的值最大 请直接写出点Q 的坐标 ∠是否存在点P 使四边形MNPD 为菱形？并说明理由(2) 当点P 的横坐标为1时 是否存在这样的抛物线 使得以B P D 为顶点的三角形与AOB 相似？若存在 求出满足条件的抛物线的解析式 若不存在 请说明理由．11．如图 直线22y x =+与x 轴交于点A 与y 轴交于点B ．把AOB 沿y 轴翻折 点A 落到点C 过点B 的抛物线2y x bx c =-++与直线BC 交于点(34)D -，．(1)求直线BD 和抛物线的解析式(2)在第一象限内的抛物线上 是否存在一点M 作MN 垂直于x 轴 垂足为点N 使得以M O N 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在 求出点M 的坐标． 若不存在 请说明理由．12．抛物线223y x x =--+与x 轴交于A B 两点 与y 轴交于C 点．(1)直接写出A B C 三点的坐标(2)如图1 连接BC 点P 在抛物线上 且PAB BCO ∠=∠ 求P 点坐标．(3)如图2 点D 为抛物线顶点．点H 为AD 中点 过点H 作直线MN （异于直线AD ）交抛物线于M N 两点 直线AM 与直线DN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是 求该直线的解析式 若不是 请说明理由．13．如图 在平面直角坐标系中 已知抛物线2y x bx c =＋＋与x 轴交于点A B 两点 其中()0A 1， 与y 轴交于点()03C ，．(1)求抛物线解析式(2)如图 连接AC BC 、 过点B 作x 轴垂线 在该垂线上取点P 使得PBC 与ABC 相似（包括全等） 请求出点P 坐标．14．如图 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 抛物线26y ax ax a =--交x 轴负半轴于点A 交x 轴正半轴于点B 交y 轴正半轴于点C 且OB OC =．(1)如图1 求抛物线的解析式(2)如图2 点P 为第四象限的抛物线上一点 其横坐标为t 设OD d = 求d 于t 之间的函数关系(3)如图3 在（2）的条件下 过D 作DE AP ⊥ 过点A 作AF AB ⊥交ED 于F 延长PB 交DE 于点E 连接BF 并延长 连接PG 使EF PG = 若EFB PGB =∠∠ 求：点F 的坐标．15．如图 抛物线()222y x nx n =-+>与x 轴正半轴交于点A 点P 为线段OA 上一点 过P作PB x ⊥轴交抛物线()222y x nx n =-+>于点B 过B 作BC x ∥轴交抛物线()222y x nx n =-+>于点C 连接AC 交PB 于点D(1)如图1 若点A 的横坐标为92∠求抛物线的解析式：∠当45BCA ∠=︒时 求点P 的坐标：(2)若1AP = 点Q 为线段CD 上一点 点N 为x 轴上一点 且90PQN ∠=︒ 将AQP △沿直线PQ 翻折得到,A QP A Q ''所在的直线交x 轴于点M 且17PM MN = 求点Q 的纵坐标 参考答案： 1．(1)213222y x x =-++ (2)35,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在 点P 的坐标为()1,32．(1)二次函数的表达式2y x x 2=--(2)M 的坐标302⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3)PQQB 有最大值 最大值为133．(1)22y x =-+(2)3q =(3)p q +的值不变化 是定值44．(1)2142y x x =--(2)存在 53,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭(4)存在 ()8,205．(1)6(2)存在 点M 的坐标为30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为(2,3) 57(,)246．(1)21y x =-(2)4(3)存在 ()2,3- 47,39⎛⎫⎪⎝⎭ ()4,157．(1)2y x =-+(2)1m =(3)P8．(1)223y x x =+-(2)(0,3--(3)∠912∠73- 9．(1)2=23y x x --(2)P 的坐标为5433⎛⎫- ⎪⎝⎭,10．(1)∠19,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1,32N ⎛⎫ ⎪⎝⎭∠1,62Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∠不存在 (2)存在 2224y x x =-++或25342y x x =-++．11．(1)直线BD 的解析式为：22y x =-+ 抛物线解析式为：22y x x =-++．(2)存在 1(12)M ， 2133133(M ++，．12．(1)()()()3,0,1,0,0,3A B C - (2)211,39⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 在一条定直线上 该直线的解析式为28y x =+13．(1)243y x x =-+(2)()39，14．(1)211322y x x =-++ (2)3d t =-(3)(29),F --15．(1)∠292y x x =-+ ∠7,02⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)22+。
陕西省2019年中考数学试题研究类型4二次函数与三角形相似练习
类型4 二次函数与三角形相似9. 已知抛物线y ＝－1m(x ＋2)(x －m )(m >0)与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧 .(1)若抛物线过点G (2，2)，求抛物线顶点坐标及对称轴；(2)在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点A 、B 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求抛物线表达式；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线过点G (2，2)，∴2＝－1m(2＋2)(2－m )， 解得m ＝4.把m ＝4代入y ＝－1m(x ＋2)(x －m )(m >0)， 得y ＝－14(x ＋2)(x －4)＝－14x 2＋12x ＋2， ∴抛物线的表达式为y ＝－14x 2＋12x ＋2， 即y ＝－14(x －1)2＋94，则抛物线顶点坐标为(1，94)，对称轴为直线x ＝1；第9题解图(2)存在．如解图，分两种情况讨论：i )当△ACB ∽△ABM 时，AC AB ＝AB AM，即AB 2＝AC ·AM . ∵A (－2，0)，C (0，2)，即OA ＝OC ＝2，∴∠CAB ＝45°，∴∠BAM ＝45°.如解图，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则AN ＝MN ，∴OA ＋ON ＝2＋ON ＝MN ，∴令M (x ，－x －2)(x >0)，又∵点M 在抛物线上，∴－x －2＝－1m(x ＋2)(x －m )， ∵x >0，∴x ＋2>0，又∵m >0，∴x ＝2m ，即M (2m ，－2m －2)．∴AM ＝（2m ＋2）2＋（－2m －2）2＝22(m ＋1)， 又∵AB 2＝AC ·AM ，AC ＝22，AB ＝m ＋2，∴(m ＋2)2＝22×22(m ＋1)，解得m ＝2±2 2.∵m >0，∴m ＝2＋22，将m ＝2＋22代入抛物线中，得y ＝－12＋22(x ＋2)(x －2－22) ＝2－224(x 2－22x －4－42) ＝1－22x 2＋(2－2)x ＋2. ii )当△ACB ∽△MBA 时，则AB MA ＝CB BA， ∴AB 2＝CB ·MA ，又∵∠CBA ＝∠BAM ，∠ANM ＝∠BOC ＝90°，∴△ANM ∽△BOC ，∴NM AN ＝OC BO ，∵OB ＝m ，令ON ＝x ，∴NM2＋x ＝2m ，∴NM ＝2m(x ＋2)， ∴令M (x ，－2m(x ＋2))(x >0)， 又∵点M 在抛物线上，∴－2m (x ＋2)＝－1m(x ＋2)(x －m )， ∵x >0，∴x ＋2>0，∵m >0，∴x ＝m ＋2，∴M (m ＋2，－2m (m ＋4))， 又∵AB 2＝CB ·MA ，CB ＝m 2＋4，AN ＝m ＋4，MN ＝2m(m ＋4)， ∴(m ＋2)2＝m 2＋4·（m ＋4）2＋4（m ＋4）2m 2.此时方程无解，故此种情况不成立．综上可得，当抛物线表达式为y ＝1－22x 2＋(2－2)x ＋2时，在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．。
(完整版)二次函数与相似三角形问题(含答案)
yxEQ PC B OA 综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题1、如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。
（1） 求抛物线的解析式；（2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积；（3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
2、已知抛物线2y ax bx c =++经过53(33)02P E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式．（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？3 、如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．4、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，．（1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．．得抛物线的解析式为223y x x =-++） （2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，，（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．C B A xPy yClx B A 1x =。
陕西省2019年中考数学解答专项二次函数与三角性相似练习
二次函数与三角形相似1. 在平面直角坐标系中，直线y ＝－3x ＋3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线C 交x 轴于另一点M (－3，0)． (1)求抛物线C 的表达式；(2)求抛物线C 关于y 轴的对称图形C ′的顶点D 的坐标；(3)若点A ′是点A 关于原点的对称点，则在x 轴上是否存在点P ，使得△PAD 与△A ′BO 相似，若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．【思维教练】(1)要求抛物线C 的表达式，根据题意过A 、B 、M 三点可考虑运用待定系数法求得，又根据已知A 、B 分别为y ＝－3x ＋3与x 轴、y 轴的交点，可考虑运用“分别令0法”求得A 、B 坐标，从而求得抛物线表达式；(2)要求C ′的顶点D 的坐标，可考虑先求出C ′的函数表达式，根据已知C ′与C 关于y 轴对称，可运用数形结合思想得到对称以后C ′图象上各点与C 图象上对应各点相比，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解；(3)要求使得△PAD ∽△A ′BO 的点P 坐标，可考虑当△PAD 与△A ′BO 相似时，对应边成比例，根据比例关系式，求出AP 的长，根据题意对应边不确定，则需要分情况讨论． 解：(1)设抛物线C 的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵直线y ＝－3x ＋3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点， 令y ＝0，得x ＝1，令x ＝0，得y ＝3， ∴A 点坐标为(1，0)，B 点坐标为(0，3)． 又∵抛物线经过A 、B 、M 三点，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++03930c b a c c b a ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=321c b a ，∴抛物线C 的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3；(2)抛物线C 关于y 轴的对称图形C ′的表达式为y ＝－(－x )2－2×(－x )＋3＝－x 2＋2x ＋3， 即y ＝－(x －1)2＋4.∴该抛物线C ′的顶点D 的坐标为(1，4)；(3)点A ′的坐标为(－1，0)，第1题解图若△PAD 与△A ′BO 相似， ①如解图，当DA AP ＝BOOA ′＝3时，AP ＝43，P 点坐标为(－13，0)或(73，0)；②如解图，当AP DA ＝BOOA ′＝3时，AP ＝12，P 点坐标为(－11，0)或(13，0)；∴当△PAD 与△A ′BO 相似时，P 点坐标为(－13，0)或(73，0)或(－11，0)或(13，0)．2. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)、B (0，2)、C (1，0)． (1)求抛物线表达式； (2)求抛物线顶点坐标；(3)在线段AB 上是否存在点Q ，使得△ACQ 与△AOB 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)∵抛物线过点A (3，0)、C (1，0)， 则可设抛物线表达式为y ＝a (x －3)(x －1)，将点B (0，2)代入可得a (0－3)(0－1)＝2，解得a ＝23，∴抛物线表达式为y ＝23(x －3)(x －1)＝23x 2－83x ＋2；(2)∵y ＝23x 2－83x ＋2＝23(x －2)2－23，∴抛物线的顶点为(2，23)；(3)存在．①如解图，过点C 作x 轴的垂线交AB 于点Q 1，第2题解图此时∠Q 1CA ＝∠BOA ＝90°，∠Q 1AC ＝∠BAO ， ∴△ACQ 1∽△AOB ， ∵C (1，0)，∴对于直线y ＝－23x ＋2，当x ＝1时，y ＝43，∴Q 1(1，43)；②如解图，过点C 作CQ 2⊥AB 于点Q 2， 此时∠CQ 2A ＝∠BOA ＝90°，∠Q 2AC ＝∠OAB ， ∴△ACQ 2∽△ABO ， 过Q 2作Q 2M ⊥AC 于点M ， 则△CMQ 2∽△Q 2MA, ∴CM Q 2M ＝Q 2M AM，即Q 2M 2＝CM ·AM ， 设点Q 2(x ，－23x ＋2)，则CM ＝x －1，AM ＝3－x ，Q 2M ＝－23x ＋2，∴(－23x ＋2)2＝(x －1)(3－x )，解得x 1＝3(与A 点重合，舍去)，x 2＝2113，∴Q 2(2113，1213)，综上所述，存在点Q 1(1，43)、Q 2(2113，1213)使△ACQ 与△AOB 相似．。
二次函数与相似三角形问题(含答案)
综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图1，抛物线的顶点为A 〔2，1〕，且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。
⑴求抛物线的解析式；〔用顶点式．．．求得抛物线的解析式为x x 41y 2+-=〕 ⑵假设点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？假设存在，求出P 点的坐标；假设不存在，说明理由。
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析三角形的边．和角．的特点，进而得出三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中边与三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③假设两个三角形的各边均未给出，那么应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
y xEQ PC B OA 例题2：如图，抛物线y=ax 2+4ax+t 〔a ＞0〕交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为〔-1，0〕． 〔1〕求抛物线的对称轴及点A 的坐标；〔2〕过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形？并证明你的结论；〔3〕连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的解析式．练习1、抛物线2y ax bx c =++经过53(30P E ⎫⎪⎪⎝⎭，，及原点(00)O ，．〔1〕求抛物线的解析式．〔由一般式．．．得抛物线的解析式为225333y x x =-+〕 〔2〕过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？假设存在，求出Q 点的坐标；假设不存在，说明理由．〔3〕如果符合〔2〕中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？练习2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D处。
中考数学试题研究类型二次函数与三角形相似练习
类型4 二次函数与三角形相似9. 已知抛物线y ＝－1m(x ＋2)(x －m )(m >0)与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧 .(1)若抛物线过点G (2，2)，求抛物线顶点坐标及对称轴；(2)在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点A 、B 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求抛物线表达式；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线过点G (2，2)，∴2＝－1m (2＋2)(2－m )，解得m ＝4.把m ＝4代入y ＝－1m (x ＋2)(x －m )(m >0)，得y ＝－14(x ＋2)(x －4)＝－14x 2＋12x ＋2，∴抛物线的表达式为y ＝－14x 2＋12x ＋2，即y ＝－14(x －1)2＋94，则抛物线顶点坐标为(1，94)，对称轴为直线x ＝1；第9题解图(2)存在．如解图，分两种情况讨论：i )当△ACB ∽△ABM 时，AC AB ＝AB AM ，即AB 2＝AC ·AM .∵A (－2，0)，C (0，2)，即OA ＝OC ＝2，∴∠CAB ＝45°，∴∠BAM ＝45°.如解图，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则AN ＝MN ，∴OA ＋ON ＝2＋ON ＝MN ，∴令M (x ，－x －2)(x >0)，又∵点M 在抛物线上，∴－x －2＝－1m (x ＋2)(x －m )，∵x >0，∴x ＋2>0，又∵m >0，∴x ＝2m ，即M (2m ，－2m －2)．∴AM ＝（2m ＋2）2＋（－2m －2）2＝22(m ＋1)， 又∵AB 2＝AC ·AM ，AC ＝22，AB ＝m ＋2，∴(m ＋2)2＝22×22(m ＋1)，解得m ＝2±2 2.∵m >0，∴m ＝2＋22，将m ＝2＋22代入抛物线中，得y ＝－12＋22(x ＋2)(x －2－22) ＝2－224(x 2－22x －4－42) ＝1－22x 2＋(2－2)x ＋2. ii )当△ACB ∽△MBA 时，则AB MA ＝CB BA， ∴AB 2＝CB ·MA ，又∵∠CBA ＝∠BAM ，∠ANM ＝∠BOC ＝90°，∴△ANM ∽△BOC ，∴NM AN ＝OC BO ，∵OB ＝m ，令ON ＝x ，∴NM2＋x ＝2m ，∴NM ＝2m(x ＋2)， ∴令M (x ，－2m(x ＋2))(x >0)， 又∵点M 在抛物线上，∴－2m (x ＋2)＝－1m(x ＋2)(x －m )， ∵x >0，∴x ＋2>0，∵m >0，∴x ＝m ＋2，∴M (m ＋2，－2m (m ＋4))， 又∵AB 2＝CB ·MA ，CB ＝m 2＋4，AN ＝m ＋4，MN ＝2m(m ＋4)， ∴(m ＋2)2＝m 2＋4·（m ＋4）2＋4（m ＋4）2m 2.此时方程无解，故此种情况不成立．综上可得，当抛物线表达式为y ＝1－22x 2＋(2－2)x ＋2时，在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
类型4 二次函数与三角形相似
9. 已知抛物线y ＝－1m (x ＋2)(x －m )(m >0)与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧 .
(1)若抛物线过点G (2，2)，求抛物线顶点坐标及对称轴；
(2)在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点A 、B 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求抛物线表达式；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线过点G (2，2)，
∴2＝－1
m (2＋2)(2－m )，
解得m ＝4.
把m ＝4代入y ＝－1
m (x ＋2)(x －m )(m >0)，
得y ＝－1
4(x ＋2)(x －4)＝－14x 2＋1
2x ＋2，
∴抛物线的表达式为y ＝－14x 2＋1
2x ＋2，
即y ＝－14(x －1)2＋94，则抛物线顶点坐标为(1，9
4)，对称轴为直线x ＝1；
第9题解图
(2)存在．如解图，分两种情况讨论：
i )当△ACB ∽△ABM 时，AC AB ＝AB
AM ，即AB 2＝AC ·AM .
∵A (－2，0)，C (0，2)，
即OA ＝OC ＝2，
∴∠CAB ＝45°，
∴∠BAM ＝45°.
如解图，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则AN ＝MN ，
∴OA ＋ON ＝2＋ON ＝MN ，
∴令M (x ，－x －2)(x >0)，
又∵点M 在抛物线上，
∴－x －2＝－1
m (x ＋2)(x －m )，
∵x >0，
∴x ＋2>0，
又∵m >0，
∴x ＝2m ，即M (2m ，－2m －2)．
∴AM ＝（2m ＋2）2＋（－2m －2）2
＝22(m ＋1)， 又∵AB 2＝AC ·AM ，AC ＝22，AB ＝m ＋2，
∴(m ＋2)2＝22×22(m ＋1)，
解得m ＝2±2 2.
∵m >0，
∴m ＝2＋22，
将m ＝2＋22代入抛物线中，
得y ＝－12＋22
(x ＋2)(x －2－22) ＝
2－224(x 2－22x －4－42) ＝1－22x 2＋(2－2)x ＋2. ii )当△ACB ∽△MBA 时，则AB MA ＝CB BA
， ∴AB 2＝CB ·MA ，
又∵∠CBA ＝∠BAM ，∠ANM ＝∠BOC ＝90°，
∴△ANM ∽△BOC ，
∴NM AN ＝OC BO ，
∵OB ＝m ，令ON ＝x ，
∴NM
2＋x ＝2m ，
∴NM ＝2m
(x ＋2)， ∴令M (x ，－2m
(x ＋2))(x >0)， 又∵点M 在抛物线上，
∴－2m (x ＋2)＝－1m
(x ＋2)(x －m )， ∵x >0，
∴x ＋2>0，
∵m >0，
∴x ＝m ＋2，
∴M (m ＋2，－2m (m ＋4))， 又∵AB 2＝CB ·MA ，CB ＝m 2＋4，AN ＝m ＋4，MN ＝2m
(m ＋4)， ∴(m ＋2)2＝m 2＋4·（m ＋4）2＋4（m ＋4）2
m 2.
此时方程无解，故此种情况不成立．
综上可得，当抛物线表达式为y ＝1－22
x 2＋(2－2)x ＋2时，在第四象限内，抛物线上存
在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．。