2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷(二十)文科数学
2020届金太阳高三数学试卷(文科)
1第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．i (1i)(2i)
=++（）A ．3i
10-B ．3i
10+C ．3i
10-+D ．
3i
10--2．已知集合{}ln A x y x ==，{}3B x x =∈≤N ，则（
）A ．B A ⊆B ．{}0A B x x => C ．A B
⊆D ．{}1,2,3A B = 3．“民以食为天，食以安为先.”食品安全是关系人们身体健康的大事.某店有四类食品，其中果蔬类、粮食类、动物性食品类、植物油类分别有48种、24种、30种、18种，现从中抽取一个容量为40的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的动物性食品类种数是（
）A ．10B ．9C ．8
D ．74．若向量(1,2)AC = ，(1,4)AB BC -=- ，则AB = （
）A ．(1,1)
-B ．(0,6)C ．(2,2)-D ．(0,3)
5．已知圆221:1C x y +=，222:(2)1C x y -+=，223:(1)1C x y +-=，224:4C x y +=，若从这4个圆中任意选取2个，则这2个圆的半径相等的概率为（）
高三数学试卷（文科）。
2020年金太阳大联考数学试卷(文科)答案
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2020届金太阳高三4月联考数学(文)试题(解析版)
2020届金太阳高三4月联考数学（文）试题一、单选题1．设集合{}20A x x x =-=，则集合A 的真子集的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】可用列举法列出所有真子集即可. 【详解】由题可解集合{}0,1A =，则集合A 的真子集有∅、{}0、{}1. 故选：C . 【点睛】本题考查集合的真子集，可用列举法或公式计算即可，易错点为列举法容易忽略空集，属于基础题.2．如图，复数1z ，2z 在复平面上分别对应点A ，B ，则12z z ⋅=（ ）A ．0B ．2i +C ．2i --D ．12i -+【答案】C【解析】由图可得点A ，B ，即可得复数1z ，2z 的代数形式，进行复数相乘即可. 【详解】由图可得：112z i =-+，2z i =， ∴()12122z z i i i ⋅=-+⋅=--. 故选：C . 【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的运算，解题关键是根据复数的几何性质求复平面所表示的复数，运用乘法法则进行复数运算即可，属于基础题.3．若向量()4,2a x =-与向量()1,1b =-平行，则a =( ).A ．B ．2CD ．8【答案】A【解析】由a b ，可解得2x =，所以可得()2,2a =-，即可求得a . 【详解】由a b ，可得()()41210x -⨯--⨯=，解得2x =， 所以()2,2a =-，可得()22a =-=故选：A . 【点睛】本题考查向量的共线定理及向量模的运算，属于基础题.4．若函数()221x x af x -=+的图像关于y 轴对称，则常数a =( )A ．1-B ．1C ．1或1-D ．0【答案】A【解析】方法一：可知()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，可解出a ；方法二：可知()f x 是偶函数，利用特殊值，令()()11f f -=，可解出a . 【详解】方法一：可知()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，即222121x x x x a a ----=++， 解得1a =-.方法二：可知()f x 是偶函数，令()()11f f -=，即1111222121a a ----=++， 解得1a =-.此时()1f x =为偶函数， 故选：A .本题考查函数奇偶性的应用，由函数是偶函数求参数值，常用()()f x f x -=或代入特殊值建立方程求解，属于基础题.5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，判断下列结论： （1）月接待游客量逐月增加； （2）年接待游客量逐年增加；（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；（4）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳. 其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题图可知逐一分析即可，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误，（2）（3）（4）正确. 【详解】由题图可知，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误； 年接待游客数量逐年增加，故（2）正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故（3）正确；各年1月至6月的月接待游客量相对变化较小，而7月至12月则变化较大，故（4）正确； 故选：C . 【点睛】本题考查折线统计图，考查统计思想与分析数据能力，属于简单题.6．若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p的一个焦点，则p =( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16【解析】分别求出抛物线的焦点及双曲线的一个焦点，由条件得2162pp p =⇒=. 【详解】抛物线()220y px p =>的焦点是02p ⎛⎫⎪⎝⎭，， 双曲线2213-=x y p p的一个焦点是()20p ，， 由条件得22pp =，解得16p =. 故选：D . 【点睛】本题考查抛物线与双曲线的性质，属于综合题，但是难度不大，注重基础知识点考查，属于简单题.7．函数()32xy x x =-⋅的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】排除法：根据函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可. 【详解】函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ； 函数有1-，0，1三个零点，故排除A ； 当2x =时，函数值为正数，故排除B . 故选：C . 【点睛】本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题.8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．2【答案】D【解析】由三视图及条件可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形，得出底面上的高和边长，再由直三棱柱的高为2，利用体积公式可求体积. 【详解】由三视图可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形， 底面上的高为1221+12=，斜边为2.直三棱柱的高为2，故121222V Sh ==⋅⋅⋅=， 故选：D . 【点睛】本题考查几何体三视图及体积公式，考查转化和空间想象能力，属于基础题. 9．已知4log 7x =，3log 2y =，32z =，则（ ） A ．x y z << B ．y x z <<C ．z y x <<D ．y z x <<【答案】B【解析】由对数函数的性质可得4433log 7log 81,22x x ⎛⎫=<=⇒∈ ⎪⎝⎭，()3log 20,1y =∈，可得y x z <<.【详解】∵443log 7log 82x =<=，∴31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵()3log 20,1y =∈， ∴y x z <<.故选：B . 【点睛】本题考查对数的大小比较，若同底采用对数函数的单调性比较，不同底则引入中间值进行比较，属于基础题.10．在ABC 中有，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，6A π=，2sin a b A =，则角C 为（ ） A ．12πB ．712πC ．12π或712π D ．4π 【答案】C【解析】根据题意，由正弦定理得：4B π=或34π，即可求角C . 【详解】 ∵6A π=，∴50,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由正弦定理得：2sin a b A =，即sin 2sin sin A B A =， sin 0,A ≠可得()2sin 0,24πB B B π=∈∴=，或34π， ∴()712πC πA B =-+=或12π， 故选：C . 【点睛】本题考查正弦定理的应用，易错点为利用正弦求三角形内角容易忽略为钝角的情况，本题属于简单题.11．如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6，A 点为长方体的一个顶点，B 点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从A 点到B 点的最短距离为（ ）A ．29B ．35C 41D ．13【答案】C【解析】由长方体的侧面展开图可得有3种情况如下：①当B 点所在的棱长为2；②当B 点所在的棱长为4；③当B 点所在的棱长为6，分别再求出展开图AB 的距离即可得最短距离. 【详解】由长方体的侧面展开图可得：（1）当B 点所在的棱长为2，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为===.（2）当B 点所在的棱长为4，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为===（3）当B 点所在的棱长为6，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为===综上所述，沿着长方体的表面从A 点到B . 故选：C . 【点睛】本题考查长方体的展开图，考查空间想象与推理能力，属于中等题.12．倾斜角为45︒的直线与双曲线22214x y b-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）A ．2B ．2C 1D 1【答案】B【解析】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且245QOF ∠=︒，根据勾股定理及双曲线的定义可得：1c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，可得22b QF a =，且2b c a=.又根据222b a c =-，联立可解得1c =. 【详解】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒，则122F F c =，2QF c =，1QF =. 由双曲线的定义可得：122QF QF a-=，41c c -==，，故22c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，22bQF a=，∴2b c a=. 又222b a c =-， ∴2240c c --=，得1c =.∴22c =. 故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.二、填空题13．已知数列{}n a 满足1n n a ta +=，*n N ∈，t 为常数，12a =，8256a =，则t =__________.【答案】2【解析】数列{}n a 是公比为t 的等比数列，根据条件及等比数列通项公式列方程求解即可. 【详解】数列{}n a 是公比为t 的等比数列，且12a =，8256a =，则782256a t ==，可得2t =.故答案为：2. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，根据通项公式求公比，通常借助方程求解，属于基础题. 14．曲线()cos x xf x e=在点()()0,0f 处的切线方程为__________. 【答案】10x y +-=【解析】由题意可得切点()0,1，对()cos x xf x e=求导可得()01f '=-，即为切线斜率，由此可求其切线方程. 【详解】 由()0cos00=1f e =，可得切点()0,1， ()sin cos xx xf x e--'=，()01f '=-， 其切线方程为1y x -=-，即10x y +-=. 故答案为：10x y +-=. 【点睛】本题考查应用导数求切线方程，求出函数的导数即可得到切线斜率，再根据点斜式即可求出切线方程，属于简单题. 15．函数()3cos 4cos 2πf x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在0x x =处取得极大值，则0tan x =__________.【答案】43【解析】根据诱导公式及辅助角公式化简()()5cos f x x α=-，由题意可得()f x 取得极大值时02x k πα=+，代入0tan x 结合同角三角函数商数关系可得结果. 【详解】()343cos 4cos 3cos 4sin 5cos sin 255f x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；令3cos 5α=，4sin 5α，则()()5cos f x x α=-. 由题意得：()0cos 1x α-=，∴02x k πα=+.∴04sin 45tan tan 3cos 35x ααα====. 故答案为：43.【点睛】本题考查三角函数恒等变换及同角三角函数关系，解题的关键是利用诱导公式及辅助角公式化简，再根据三角函数性质及同角三角函数关系可得结论，属于中等题.16．若函数()2121x x f x -=+则不等式()719f x +<的解集为__________.【答案】{}42x x -<<【解析】方法一：可判断()2121x x f x -=+为奇函数，且为R 上的增函数，又()739f =，()739f -=-，结合函数图象及性质可得不等式求解；方法二：直接带入建立不等式1172179219x x ++--<<+，求解即可. 【详解】方法一：()()21122112x xx xf x f x -----===-++， ()2121x x f x -=+为奇函数，()21212121x x xf x -==-++为R 上的增函数. 又()739f =，()739f -=-， 结合函数图象及性质可得：313x -<+<，即42x -<<.方法二：()1121121x x f x ++-+=+，()719f x +<，即1172179219x x ++--<<+，解得11288x +<<，即42x -<<. 故答案为：{}42x x -<<. 【点睛】本题为函数与不等式的综合题，可依据函数的单调性建立不等式求解，考查计算求解能力及函数的基本性质，属于中等题.三、解答题17．某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示：（1）根据表中的数据判断从2014年到2019年哪个跨年度的人口增长数量最大？并描述该地人口数量的变化趋势； （2）研究人员用函数()0.65444502000 4.48781tP t e -=++拟合该地的人口数量，其中t 的单位是年，2014年年初对应时刻0t =，()P t 的单位是千人，经计算可得()6.52450P ≈，请解释()6.52450P ≈的实际意义.【答案】（1）2016年到2017年的人口的增长数量最大，2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势（或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）；（2）到2020年中，该地的总人数大约可增长到2450千人（或到2020年6月末或7月初，该地的总人数大约可增长到2450千人）【解析】（1）根据表中的数据，逐年作差，可得从2014年到2019年每年增加的数量，逐年增多，从2017后，增加的人数逐年减少；（2）根据函数的表达式及题意，可得()P t 表示2014+t 年的人口数量，不难得到()6.52450P ≈的实际意义．【详解】（1）从2014年到2015年该地的人口增长数量：2135208253-=； 从2015年到2016年该地的人口增长数量：2203213568-=； 从2016年到2017年该地的人口增长数量：2276220373-=； 从2017年到2018年该地的人口增长数量：2339227663-=； 从2018年到2019年该地的人口增长数量：2385233946-=； 故2016年到2017年的人口的增长数量最大.2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势. （或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）.（2）由题意，2014年年初对应时刻0t =，()P t 表示2014+t 年的人口数量，6.5t =，()P t 表示2014+6.5=2020.5年的人口数量，故()6.52450P ≈其实际意义为：到2020年中，该地的总人数大约可增长到2450千人. 或到2020年6月末或7月初，该地的总人数大约可增长到2450千人.本题考查统计表及函数模型的应用，考查运算求解及数学分析能力，属于简单题. 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S 满足36S =，33a =，数列{}n b 满足210n n b b +-=，且0n b >，数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求99T .【答案】（1）n a n =；（2）9【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由36S =，33a =列方程解得首项与公差，由此可得通项；（2）将{}n a 通项代入210n n b b +-=，由一元二次方程的求根公式可得n b ，再利用裂项相消求出99T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .由36S =，33a =得：1336a d +=，123a d +=. 解得：11a =，1d =. ∴n a n =.（2）由（1）得：210n n b +-=.由一元二次方程的求根公式得：n b ==∵0n b >，∴n b =∴)991299119T b b b =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==.【点睛】本题考查等差数列通项及裂项相消求和，等差数列通项一般根据条件列方程解出首项与公差即可，本题求解99T 的关键是求n b ，考查一元二次方程与数列的综合应用，属于中等题.19．已知椭圆C 的中心为O ，左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，右顶点为B ，（1）求椭圆C 的离心率；（2）判断1F AB 的形状，并说明理由.【答案】（1）12e -+=；（2）直角三角形，理由见解析 【解析】（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a 、2b 、2c ，由题设可得2b ac =及222b a c =-，消b 得a 、c 齐次式，解得离心率；（2）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =.方法一：利用向量10AF AB ⋅=，方法二：利用斜率11AF AB k k ⋅=-，方法三：利用勾股定理22211F A AB F B +=，可得到1F AB 是直角三角形. 【详解】（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a 、2b 、2c ， 则OB a =、OA b =、2OF c =.由题设2b ac =及222b a c =-，消b 得：22ac a c =-即210e e +-=.解得：e =或e =又01e <<，则e =. （2）方法一：设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =. ∴()1,AF c b =--，(),AB a b =-，∴210AF AB ac b ⋅=-+=，∴1AF AB ⊥， 故190F AB ∠=︒，∴1F AB 是直角三角形.方法二：设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =.∴1AF b k c =，AB b k a=-， ∴121AF AB b k k ac⋅=-=-，∴1AF AB ⊥，故190F AB ∠=︒，∴1F AB 是直角三角形.方法三：由条件得：在1F AB 中，221F A b c a =+=，1F B c a =+，22AB a b =+.222212F A AB a b +=+，()22222222221222F B c a c ac a a b b a a b =+=++=-++=+，∴22211F A AB F B +=，故190F AB ∠=︒，∴1F AB 是直角三角形. 【点睛】本题考查椭圆离心率及三角形形状判断，离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解，本题属于简单题． 20．如图，在四棱锥C ABEF -中，底而ABEF 为菱形，且菱形ABEF 所在的平面与ABC 所在的平面相互垂直，4AB =，2BC =，BC BE ⊥，60ABE ∠=︒.（1）求证：//AB 平面CEF ；（2）求四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）13【解析】（1）在菱形ABEF 中，AB EF ，AB ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，由此可证.（2）取AB 中点O ，连结OE ，BF ，由已知易得：ABE △是正三角形，OE AB ⊥，进一步可证BC ⊥平面ABEF ，由勾股定理可求出侧棱CB ，CE ，CF ，CA 的长度，得到最长的是CF ，或可先判断CF 最长，求解出长度即可. 【详解】（1）在菱形ABEF 中，ABEF ，AB ⊄平面CEF ，平面CEF .∴AB ∥平面CEF .（2）方法一：取AB 中点O ，连结OE ，BF ， 由已知易得：ABE △是正三角形，∴OE AB ⊥.又∴平面ABEF ⊥平面ABC 且交线为AB ，∴OE ⊥平面ABC ， 又BC ⊂平面ABC ，∴OE BC ⊥， 又∵BC BE ⊥，OE BE E =，∴BC ⊥平面ABEF ，又AB ，BF ⊂平面ABEF ，∴BC AB ⊥，BC BF ⊥，在菱形ABEF 中，4AB BE EF FA ====，60ABE ∠=︒，120BEF ∠=︒，BC BE ⊥，2BC =.在Rt ABC △中，2225AC AB BC =+=. 在Rt EBC 中，2225EC EB BC =+=.在Rt FBC △中，2222cos 48BF BE EF BE EF BEF =+-⋅∠=， ∴22213CF CB BF =+=.显然在侧棱CB ，CE ，CF ，CA 中最长的是CF . ∴四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长为213.方法二：取AB 中点O ，连结OE ，BF ， 由已知易得：ABE △是正三角形，∴OE AB ⊥，又∵平面ABEF ⊥平面ABC 且交线为AB ，∴OE ⊥平面ABC ， 又BC ⊂平面ABC ，∴OE BC ⊥， 又∵BC BE ⊥，OEBE E =，∴BC ⊥平面ABEF .又AB ，BF ⊂平面ABEF ∴BC AB ⊥，BC BF ⊥. 在菱形ABEF 中，BF AB >，BF BE >，∴CF 最长. 在Rt BCF 中，22213CF CB BF =+=∴四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长为213本题考查线面平行的证明及棱长求解，考查棱长的关键是垂直判定定理及性质定理的应用，在借助勾股定理求解即可，考查空间思维及推理能力，属于中等题. 21．已知函数()ln f x x x =-+，()f x 的最大值为a . （1）求a 的值；（2）试推断方程()2ln 2ln x x a x x x +=+是否有实数解？若有实数解，请求出它的解集.【答案】（1）1-；（2）无实数解【解析】（1）由题意，对函数f （x ）=-x +lnx 求导数，研究出函数在定义域上的单调性，判断出最大值，即可求出；（2）由于函数的定义域是正实数集，故方程|2x （x -lnx ）|=2lnx +x 可变为12lnx x lnx x -=+，再分别研究方程两边对应函数的值域，即可作出判断． 【详解】(1)已知函数()ln f x x x =-+，则0x >， 可得()111f x x x x-=-+='， 令()0f x '=，x =1，当0<x <1时,f ′(x )>0;当x >1时,f ′(x )<0.∴f (x )在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数， ∴()()11max x a f f ==-=； (2)|2x (x −lnx )|=2lnx +x 可得12lnx x lnx x -=+， 由(1)知f (x )max =f (1)=−1，即−x +lnx ≤−1， ∴|x −lnx |≥1， 又令()12lnx g x x =+,()21lnx g x x-'=， 令g ′(x )>0,得0<x <e ;令g ′(x )<0，得x >e ， ∴g (x )的增区间为(0,e ),减区间为(e ,+∞)，∴()()1112max g x g e e ==+<,∴g (x )<1， ∴|x −lnx |>g (x ),即12lnx x lnx x ->+恒成立， ∴方程12lnx x lnx x -=+即方程|2x (x −lnx )|=2lnx +x 没有实数解.本题考查利用导数求函数的最值，根的存在性及根的个数判断，根的存在性及根的个数判断稍难，此类问题通常是利用转化思想和方程思想将问题进行转化为求新函数值域问题，属于中等题.22．曲线1C 的极坐标方程为r ρ=（常数0r >），曲线2C 的参数方程为()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，求实数r 的取值范围. 【答案】（1）1C ：222x y r +=，2C ：()2100x y y +-=≠；（2）11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）根据直角坐标与极坐标关系及题目条件cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得曲线1C 的直角坐标方程，利用消元法消去t 可得2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，法一：方程联立利用根与系数关系，利用判别式解出即可求实数r 的取值范围；法二：数形结合可得圆心到直线距离小于半径，解出即可求实数r 的取值范围. 【详解】（1）方法一：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.由()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩得：21x y +=，即()2100x y y +-=≠. ∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.方法二：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.2t -3y -∴22312x yx y+-=-.整理得2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠. （2）方法一：由22221x y x y r+=⎧⎨+=⎩消y 得：225410x x r -+-=.由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：22040r ∆=->，0r >解得：5r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.方法二：圆心()0,0到直线210x y +-=的距离为：d =由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：d r <，即5r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系，解题的关键是熟记直角坐标与极坐标的互化关系，直线与圆的位置关系可借助二次方程判别式或距离关系求解，属于中等题. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|1,(0)f x m x m =--，且(1)0f x +≥的解集为[3,3]-．（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若正实数,,a b c 满足11123m a b c++=，求证：233a b c ++≥． 【答案】（1）3m =（2）见解析 【解析】试题分析：(1)求解绝对值不等式可得3m = ；(2)由题意结合柯西不等式即可证得结论，注意等号成立的条件. 试题解析：解：（Ⅰ）因为()1f x m x -=-， 所以()10f x -≥等价于x m ≤， 由x m ≤，得解集为[],,(0)m m m -> 又由()10f x -≥的解集为[]3,3-，故3m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知111323a b c++=， 又∵,,a b c 是正实数，∴23a b c ++=()111123323a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭2133≥=． 当且仅当111,,23a b c ===时等号成立，所以233a b c ++≥．点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(二十)数学(文)试题
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（二十）数学试题（文史类）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第一卷（选择题，共60分）一、单项选择题1.设集合{}1,0,1M =-，{}2|N x x x =≤，则MN =（ ）A. {}0B. {}0,1C. {}1,1-D. {}1,0,1-【答案】B 【解析】 【分析】求出集合N ，根据交集定义，即可求得答案. 【详解】{}2|{|01}N x x x x x =≤=≤≤,{1,0,1}M∴{0,1}M N ⋂=故选：B ．【点睛】本题主要考查了交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.2.已知复数32a iz i-=+（a R ∈，i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值等于（ ） A.23B. 32C. 23-D. 32-【答案】A 【解析】()()()()3232321313a i i a a i z ---+--==，因为是纯虚数，所以320-=a ，23a =．故选A ．3.已知0,,sin 25πθθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则cos 2tan θθ=（ ） A. 310-B.310C. 65-D.65【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系式求得cos ,tan θθ，由此求得cos2θ，进而求得表达式的值.【详解】0,,sin 2πθθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以cos θ==sin 1tan cos 2θθθ==. 因为231cos 212sin ,tan 52θθθ=-==，所以cos 26tan 5θθ=. 故选：D【点睛】本题考查三角恒等变换的知识，考查运算求解能力. 4.下列叙述中正确的是( )A. 若,,a b c ∈R ，则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤”B. 若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C. 命题“对任意x ∈R ，有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ，有20x ≥”D. l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】D 【解析】试题分析：当0a <时，2"40"b ac -≤推不出2"0"ax bx c ++≥，A 错，当0b =时，""a c >推不出22""ab cb >，B 错，命题“对任意x ∈R ，有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ，有20x <”，C 错，因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D 正确. 考点：充要关系5.已知3log 0.5a =，0.5log 0.6b =，0.23c =，则（） A. a b c << B. b c a <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数单调性，利用临界值0和1可得到,,a b c 所处的大致范围，从而得到结果. 【详解】00.2330.50.50.5log 0.5log 10log 1log 0.6log 0.5133<==<<==< a b c ∴<<本题正确选项：A【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够确定临界值，利用临界值确定所求式子所处的大致区间.6.若同一平面内向量a b c ，，两两所成的角相等，且113a b c ＝，＝，＝，则||a b c ＋＋等于( )A. 2B. 5C. 2或5D.【答案】C 【解析】【详解】因为同一平面内向量a b c ，，两两所成的角相等，所以当三个向量所成的角都是120°时，2222||2221191334a b c a b c a b a c b c ++=+++⋅+⋅+⋅=++---=，即||2a b c =＋＋；当三个向量所成的角都是0°时，||5a b c =＋＋.故||2a b c =＋＋或5.选C. 【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式||||cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 7.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A. 11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B. 11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C. 11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D. 11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-【答案】B 【解析】 【分析】执行给定的程序框图，输入10n =，逐次循环，找到计算的规律，即可求解. 【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入10n =，可得： 第1次循环：1,2S i ==；第2次循环：11,33S i =-=；第3次循环：111,435S i =-+=；第10次循环：11111,1135719S i =-+-+-=， 此时满足判定条件，输出结果111144(1)35719P S ==-+-+⋅⋅⋅-，故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极大值，则函数()y xf x '=的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】【详解】因为-2为极值点且为极大值点，故在-2的左侧附近()f x '>0，-2的右侧()f x '<0,所以当x>-2且在-2的右侧附近时，()'0xf x >排除BC ，当x<-2且在-2的左侧附近时，()'0xf x <，排除AC ， 故选D9.在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于23的概率为（ ） A. 89 B. 79C. 49D. 19【答案】A 【解析】 【分析】两个数构成有序数对，对应平面区域，两个数中较大的数大于23，其对立事件是两个数都小于等于23，求出概率即可.【详解】在区间[0,2]中随机取两个数，两个数构成有序数对(),x y ，0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩构成的区域如图中大正方形， 又“这两个数中较大的数大于23”为“这两个数都小于或等于23”的对立事件， 且在区间[0,2]中随机取两个数，这两个数都小于或等于23，203203x y ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩所构成的平面区域的面积为224=339⨯，故两个数中较大的数大于23的概率489149P =-=. 故选：A【点睛】此题考查几何概型，将题目所给条件准确转化成平面直角坐标系内的区域，利用面积求解. 10.已知直三棱柱111ABC A B C -，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，1BB 和11B C 的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为（ ） A.35B.25C.45D.155【答案】B 【解析】 【分析】如图所示：分别以1,,BA BC BB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，得到()0,2,1AE =-，()1,0,2CF =-，计算夹角得到答案.【详解】如图所示：分别以1,,BA BC BB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.故()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,0,1E ，()1,0,2F ，故()0,2,1AE =-，()1,0,2CF =-.2cos ,5AE CF AE CF AE CF⋅==⋅，即AE 与CF 夹角的余弦值为25. 故选：B .【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11.已知不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y 到直线3y x =和直线3y x =-的垂线段分别为,PA PB ，若三角形PAB 的面积为33，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是（ ） A. (2,0) B. (3,0)C. (0,2)D. (0,3)【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y ，可得点P 的轨迹为直线3y x =±之间并且包括x 轴在内的区域，再根据三角形PAB 的面积为33，即可求得点P 轨迹的一个焦点坐标. 【详解】如图所示，则120AOB ∠=︒，60APB ∠=︒.不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y ，可得点P 的轨迹为直线3y x =之间并且包括x轴在内的区域．∴2234x y PA PB -==∵ 三角形PAB的面积为16∴)2213sin 6032PABS PA PB x y ∆==-=即P 点轨迹方程为22113x y -=. ∴焦点坐标为()2,0. 故选：A.【点睛】本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.函数()23f x x x a =-+-，()22xg x x =-，若()0f g x ⎡⎤≥⎣⎦对]1[0x ∈，恒成立，则实数a 的范围是（） A. (,2]-∞ B. (,]e -∞ C. (,ln 2]-∞D. 1[0,)2【答案】A 【解析】 【分析】利用导数可得()g x 在[]0,1x ∈上的取值范围为()01,g x ⎡⎤⎣⎦，其中()02g x <，令()t g x =换元，把()0f g x ⎡⎤≥⎣⎦对[]0,1x ∈恒成立转化为230t t a -+-≥对()01,t g x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，分离参数a 后利用函数单调性求出函数23t t -+的最小值得答案.【详解】解：()22xg x x =-，()'222xg x ln x =-，()'020g ln =>，()'12220g ln =-<， ()'g x ∴在()0,1上有零点，又()2''2220xg x ln ⎡⎤=⋅-<⎣⎦在[]0,1上成立，()'g x ∴在()0,1上有唯一零点，设为0x ，则当()00,x x ∈时，()'0g x >，当()0,1x x ∈时，()'0g x <，()g x ∴在[]0,1x ∈上有最大值()02g x <，又()()011g g ==，()()01,g x g x ⎡⎤∴∈⎣⎦，令()()01,t g x g x ⎡⎤=∈⎣⎦，要使()0f g x ⎡⎤≥⎣⎦对[]0,1x ∈恒成立，则()0f t ≥对()01,t g x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，即230t t a -+-≥对()01,t g x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立， 分离a ，得23a t t ≤-+， 函数23t t -+的对称轴为32t =，又()02g x <， ()232mint t∴-+=，则2a ≤.则实数a 的范围是(],2-∞. 故选A【点睛】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图，根据图形推断，该时段时速超过50/km h 的汽车辆数为 ．【答案】77 【解析】 【分析】根据频率分布直方图，求出时速超过50/km h 的汽车的频率，即可求出对应的汽车辆数．【详解】根据频率分布直方图，得时速超过50/km h 的汽车的频率为(0.0390.0280.01)100.77++⨯=； 所以时速超过50/km h 的汽车辆数为1000.7777⨯=． 故答案为：77．【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图，会计算样本数据，频率与频数的大小，是基础题．14.函数2cos 2y x x =-的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个长度单位后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的值为___________. 【答案】6π 【解析】 【分析】由2cos 22sin 26y x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，向右平移(0)2πϕϕ<<个长度单位后，得到函数()2sin 22sin )2266(x g x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据函数()g x 为偶函数求解.【详解】函数2cos 22sin 26y x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 向右平移(0)2πϕϕ<<个长度单位后，得到函数()2sin 22sin )2266(x g x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为函数()g x 为偶函数， 所以2,62k k Z ππϕπ--=+∈，即23k ππϕ=--， 因为02πϕ<<，所以6π=ϕ. 故答案为：6π 【点睛】本题主要考查三角函数的图象平移变换和性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15.已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC|＋|BD|的最小值为________.【答案】3 【解析】不妨设()()111,0A x y y >，()()222,0B x y y <，则222114y AC BD x y y +=+=+，又2124y y p =-=-，所以()2222404y AC BD y y +=-<，利用导数易知22244y y y =-在(),2-∞-上递减，在()2,0-上递增，所以当22y =-时，AC BD ＋的最小值为3，故答案为3.16.已知正三棱锥P ABC 一的侧面是直角三角形，P ABC 一的顶点都在球O 的球面上，正三棱锥P ABC 一的体积为36，则球O 的表面积为__________． 【答案】108π 【解析】 【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将问题转化为正方体的外接球问题．【详解】∵正三棱锥P ﹣ABC ，PA ，PB ，PC 两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA ，PB ，PC 为三边的正方体的外接球O ， 设球O 的半径为R ， 23R， ∵正三棱锥P ABC 一的体积为36， ∴V=11123232336332333PACR R RS PB ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ∴R=33∴球O 的表面积为S=4πR 2=108π 故答案为108π．【点睛】本题考查球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，三棱锥体积的表示方法，有一定难度，属中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.如图，在直角梯形ABCD 中，90,//,4,2ADC CD AB AB AD CD ︒∠====，将ADC ∆沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC -，如图所示.（1）求证：BC ⊥平面ACD ； （2）求点A 到平面BCD 的距离h . 【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【解析】 【分析】（1）根据90,//,4,2ADC CD AB AB AD CD ︒∠====，得到2,AC BC ==再根据勾股定理得到AC BC ⊥，然后根据平面ADC ⊥平面ABC ，利用面面垂直的性质定理证明.（2）由（1）知：BC 为三棱锥B ACD -的高，22BC =分别求得ADC S △，BDC S △，再根据B ADC A BDC V V --=求解.【详解】（1）因为90,//,4,2ADC CD AB AB AD CD ︒∠====， 所以22222,,AC BC AC BC AB AC BC ==∴+=∴⊥， 因为平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC平面,ABC AC BC =⊂平面,ABCBC ∴⊥平面ACD ;（2）由（1）知：BC 为三棱锥B ACD -的高，BC =122ADCSAD DC =⨯⨯=，12BDCS DC BC =⨯⨯= 因为B ADC A BDC V V --=， 即1133ADCBDCSBC S h ⨯⨯=⨯⨯，解得2h =.【点睛】本题主要考查面面垂直，线面垂直的转化和等体积法求点到面的距离，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.18.某商店为了更好地规划某种产品的进货量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如表（x 吨）为该商品的进货量，y （天）为销售天数：（1）根据上述提供的数据，求出y 关于x 的回归方程；（2）在该商品进货量x 不超过6吨的前提下任取2个值，求该商品进货量x 恰好有1个值不超过3吨的概率.参考数据和公式：121,ni ii ni i x y nx yb a y bx x nx==-==--∑∑，88211356,241i i i i i x x y ====∑∑【答案】（1）49116834y x =-；（2）35. 【解析】 【分析】（1）根据提供的数据，分别求得,,,x y b a ，然后写出回归直线方程；（2）根据古典概型的概率求法，先列举出从进货量不超过6吨的前提下任取2个值的基本事件的个数，然后找出恰好有1次不超过3吨的基本事件的个数，再代入公式求解. 【详解】（1）由题意得：49116,4,,6834x y b a ===∴=-， 所以回归直线方程为49116834y x =-；（2）进货量不超过6吨有2，3，4，5，6共5个，任取2个有()2,3,(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)有10个结果， 恰好有1次不超过3吨的有：(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)共6种所以所求的概率为63105p == 【点睛】本题主要考查线性回归分析和古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2423n n n S a a =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11(N ),n n n n b n T a a *+=∈是{}n b 的前n 项和，求使215n T <成立的最大正整数n . 【答案】（1）21n a n =+；（2）5. 【解析】 【分析】（1）当2n ≥时，根据2423n n n S a a =+-，得到2111423n n n S a a ---=+-，两式相减得12n n a a --=，再利用等差数列的定义求解. （2）根据（1）得到1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，用裂项相消法求n T ，然后再代入215nT <求解.【详解】（1）当2n ≥时，由2423n n n S a a =+-，得2111423n n n S a a ---=+-，两式相减得12,n n a a --=， 当1n =时，13a =，且212,a a -= 所以数列{}n a 是等差数列，21n a n ∴=+；（2）1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，11111112355721233(23)n n T n n n ⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪+++⎝⎭， 2,3(23)15n n ∴<+解得6n <，所以最大的正整数为5.【点睛】本题主要考查数列通项公式和前n 项和间的关系以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，左右焦点分别是12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点.（1）若以线段1AF 为直径的动圆内切于圆229x y +=，求椭圆的长轴长；（2）当1b =时，问在x 轴上是否存在定点T ，使得TA TB ⋅为定值？如果存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）6；（2）存在，(,0)9T -， 781-. 【解析】 【分析】（1）设1AF 的中点为M ，连接2,OM AF ，根据中位线得到211111(2)3222OM AF a AF AF ==-=-求解.（2）直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为1122((,),(,)y k x A x y B x y =+，与椭圆方程2219x y +=联立整理得到2222(91)7290k x x k +++-=，设2012120012(,0),()T x TA TB x x x x x x y y ⋅=-+++=，若为定值，则需220009719(9)x x ++=-成立求解.【详解】（1）设1AF 的中点为M ，连接2,OM AF ，在12AF F ∆中，所以211111(2)3222OM AF a AF AF ==-=-， 所以3a =，故椭圆的长轴长为6；（2）因为椭圆方程为2219x y +=，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为1122((,),(,)y k x A x y B x y =+，则222222(,(91)729099y k x k x x k x y ⎧=+⎪+++-=⎨+=⎪⎩，222121212222729+=,,919191k k x x x x y y k k k ---==+++， 设2012120012(,0),()T x TA TB x x x x x x y y ⋅=-+++，2220002(971)991x k x k +++-=+,当220009719(9)x x ++=-时，即09x =-， TA TB ⋅为定值，定值为781-，当直线AB 的斜率不存在时，11(),()33A B ---，当(,0)9T -时，TA TB ⋅781=-，综上，在x 轴上存在定点(9T -，使得TA TB ⋅为定值781-.【点睛】本题主要考查椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数2()(12)ln f x ax a x x =+--，a R ∈. （1）当0a <时，求函数()f x 在区间1[,1]2上的最小值； （2）记函数()y f x =图象为曲线C ，设点1122(,),(,)A x y B x y 是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ，试问：曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由.【答案】（1）min13ln 2,12411()1ln(2),14211,02a a f x a a aa a ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+--≤≤-⎨⎪⎪--<<⎪⎩；（2）不平行，理由见解析.【解析】 【分析】（1）求导(21)(1)()ax x f x x +-'=，分0a <，112a ->，11122a ≤-≤，1122a -<四种情况讨论求解. （2）设00(,)M x y ，则点N 的横坐标为1202x x x +=，表示直线AB 的斜率1k =211212ln ln ()(12)x x a x x a x x -++-+-，再表示曲线在点N 处的切线的斜率2001201212()2(12)()(12)k f x ax a a x x a x x x '==+--=++--+，然后假设曲线在点N 处的切线平行于直线AB ，则12k k =，论证211212ln ln 2x x x x x x -=--+是否成立即可.【详解】（1）(21)(1)()ax x f x x +-'=，当0a <时，由(=0,f x '）得121,12x x a=-=， 当111,022a a ->-<<时，()f x 在()0,1单调递减， 所以()f x 在1[,1]2上最小值为(1)1f a =-，当1111,1222a a ≤-≤-≤≤-时，()f x 11[,]22a -上单调递减，在1[,1]2a-上单调递增， 所以()f x 在1[,1]2上最小值为11()1ln(2)24f a a a-=-+-， 当11,122a a -<<-时，()f x 在1[,1]2上单调递增， 所以()f x 在1[,1]2上最小值为11()223ln 24f a -+=，综上，函数()f x 在1[,1]2上最小值为min13ln 2,12411()1ln(2),14211,02a a f x a a aa a ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+--≤≤-⎨⎪⎪--<<⎪⎩；（2）设00(,)M x y ，则点N 的横坐标为1202x x x += 直线AB 的斜率为2212112122112121[()(12)()ln ln ]y y k a x x a x x x x x x x x -==-+--+-=--211212ln ln ()(12)x x a x x a x x -++-+-曲线在点N 处的切线的斜率为2001201212()2(12)()(12)k f x ax a a x x a x x x '==+--=++--+ 假设曲线在点N 处的切线平行于直线AB ，则12k k =即211212ln ln 2x x x x x x -=--+所以22211211212(1)2()ln 1x x x x x x x x x x --==++，设212(1)1,ln 1x t t t x t-=>=+ 令222(1)(1)()ln ,()01(1)t t g t t g t t t t --'=-=>++ 所以()g t 在()1,+∞是增函数，又(1)0,=g 所以2(1)()ln 01t g t t t-=->+， 即2(1)ln 1t t t ->+， 所以2(1)ln 1t t t-=+不成立，所以曲线C 在点N 处的切线不平行于直线AB .【点睛】本题主要考查导数与函数的最值以及导数与切线问题，还考查了分类讨论，转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.选修4-4参数方程极坐标22.在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为53x ty t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），在以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=（1）求椭圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与,x y 轴分别交于两点,A B ，点P 是圆上任意一点，求APB ∆面积的最大值. 【答案】（1）22(5)(3)2x y ++-=，20x y -+=；（2）8. 【解析】 【分析】（1）根据参数方程53x t y t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，消去t 即可.由cos()4πρθ+=得cos sin 2ρθρθ-=-，再利用cos ,sin x y ρθρθ==求解.（2）直线与两坐标轴的交点分别是(2,0),(0,2)A B -，根据参数方程，设点P的坐标为(5,3)αα-+，可得点P到直线的距离为d =，利用三角函数的性质求得最值，再由12S d AB =⨯⨯求解. 【详解】（1）由参数方程53x t y t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，消去t 得，22(5)(3)2x y ++-=，所以圆的普通方程为22(5)(3)2x y ++-=.由cos()4πρθ+=cos sin 2,20x y ρθρθ-=-∴-+=，所以直线的直角坐标方程为：20x y -+=.（2）直线与两坐标轴的交点分别是(2,0),(0,2)A B -， 设点P的坐标为(5,3)αα-++，点P 到直线的距离为d =，当cos()14πα+=-，24k παππ+=+时点到直线的距离最大，所以max d AB ==所以PAB ∆的面积的最大值为182S =⨯=. 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.选修4-5不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲 设函数()1,f x x x R =-∈.（1）求不等式()()31f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式()()1f x f x x a ≤+--的解集为M ，若31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，求 实数a 的取值范围.【答案】（1）[]0,3（2）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）根据题目进行分类讨论的化简123x x -+-≤，继而算出结果（2）利用不等式求解101x x x a x a x x --+-≤⇔-≤--，再根据条件计算出实数a 的取值范围解析：（1）因为()()31f x f x ≤--，所以132x x -≤--，123x x ⇔-+-≤，1,323,x x <⎧⇔⎨-≤⎩或12,13,x ≤≤⎧⎨≤⎩或2,233x x >⎧⎨-≤⎩ 解得01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤， 所以03x ≤≤，故不等式()()31f x f x ≤--的解集为[]0,3. （2）因为31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，所以当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1f x f x x a ≤+--恒成立， 而()()1f x f x x a ≤+-- 101x x x a x a x x ⇔--+-≤⇔-≤--， 因为31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1x a -≤，即11x a x -≤≤+， 由题意，知11x a x -≤≤+对于31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，所以122a≤≤，故实数a的取值范围1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
2020届高考模拟试卷文科数学试题及详细答案解析01
2020届高考模拟卷高三文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}220P x x x =-≥，{}12Q x x =<≤，则P Q =I （ ） A ．[0,1) B ．{2}C ．(1,2)D ．[1,2]【答案】B2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称且12i z =+，则12z z =（ ） A ．－5 B ．5C ．－4＋iD ．－4－i【答案】A3．下列函数在(0,2)上是单调递增函数的是（ ） A ．12y x =- B ．12log (2)y x =- C ．21()2x y -=D ．2y x =-【答案】B4．已知 1.22a =，0.21()2b -=，5log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】C5．若1cos()43απ+=，(0,)2απ∈，则sin α的值为（ ）A ．23B ．426+ C ．718D ．426- 【答案】D6．如果对于任意实数m ，[]m 表示不超过m 的最大整数，那么“[][]x y =”是“[]1x y -<成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A7．某空间几何体的三视图如图，且已知该几何体的体积为36π，则其表面积为（ ） A ．332π+B ．32πC ．334π+2D ．334π+【答案】A8．已知实数x ，y 满足不等式组：22221x y x y y x +⎧⎪--⎨⎪-⎩≤≥≥，则3z y x =-的取值范围为（ ）A ．[1,2]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[1,6]【答案】D9．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如下，若输入20=a ，8=b ，则输出的结果为（ ） A ．4a =，3i =B ．4a =，4i =C ．2a =，3i =D ．2a =，4i =此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号【答案】A10．已知函数()2sin(2)6fx x π=+，若将它的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．12x π=B ．4x π=C ．3x π=D ．3x 2π=【答案】C11．以双曲线22221x y a b -=的两焦点为直径作圆，且该圆在x 轴上方交双曲线于A ，B 两点；再以线段AB 为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A ．31+ B ．2C ．21+D ．3【答案】B12．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为[]()0,x x ∈π，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：①332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②函数()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭上为减函数；③任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()4f x f x +π-=；其中不正确．．．的是（ ）A ．①B ．③C ．②D ．②③【答案】C第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(3,4)=a ，(,1)x =b ，若()-⊥a b a ，则实数x 为________． 【答案】714．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin c b Ac a C B-=-+，则B =________． 【答案】3π 15．已知x ，y +∈R ，且231x y +=，则11x y +的最小值是________．【答案】526+16．已知*1log (2)()n n a n n +=+∈N ，观察下列算式：1223log 3log 42a a ⋅=⋅=；126237log 3log 4log 83a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L L ；若1232016m a a a a ⋅⋅⋅⋅=L ，则m 的值为________． 【答案】201622-三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，25a =，823a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，12b a =，27b a =，求1000n S >的最小正整数n ． 【答案】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，826235183a a d d -==-=⇒=．2(2)5(2)331n a a n d n n =+-=+-⋅=-，（2） ∵12b a =，2737120b a ==⋅-=，∴212045b q b ===， ∴25(14)5(41)100042601143nnn n n S --==>⇒=>-， ∵1021024=，92512=，∴210n =，∴ 最小正整数n 为5． 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设1AP =，3AD =，三棱锥P ABD -的体积34为，求A 到平面PBC 的距离．【答案】（1）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ，∵ABCD 是矩形，∴O 为BD 的中点，∵E 为PD 的中点，∴EO ∥PB ． EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴PB ∥平面AEC ： （2）∵1AP =，3AD =，三棱锥P ﹣ABD 的体积34V =， ∴133664V PA AB AD AB =⋅⋅==， ∴32AB =，23131()22PB =+=．作AH ⊥PB 交PB 于H ，由题意可知BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥AH ， 故AH ⊥平面PBC ．又在三角形P AB 中，由射影定理可得：31313PA AB AH PB ⋅==， ∴A 到平面PBC 的距离31313． 19．（本小题满分12分）某学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11日至3月15日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月11日 3月12日 3月13日 3月14日 3月15日昼夜温差（C ︒） 10 11 13 12 8 发芽数（颗）2325302616（1）从3月11日至3月15日中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率；（2）请根据3月12日至3月14日的三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程$$y bx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所需要检验的数据误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试用3月11日与3月15日的两组数据检验，问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：2121ˆxn x yx n yx bni i ni ii --=∑∑==，x b y a-=ˆ） 【答案】（1）,m n 的所有取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个，设“,m n 均不小于25”为事件A ，则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26）， 所以103)(=A P ，故事件A 的概率为103．（2）由数据得12x =，27y =，3972x y =，31977i i i x y ==∑，321434i i x ==∑，23432x =，由公式，得977972434432b-=-$，$5271232a =-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程为$532y x =-． （3）当10x =时，$22y =，22223-<，当8x =时，^17y =，17216-<， 所以得到的线性回归方程是可靠的．20．（本小题满分12分）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上下左右四个顶点分别为A ，B ，C ，D ，x 轴正半轴上的某点P 满足2PA PD ==，4PC =． （1）求椭圆的标准方程以及点P 的坐标；（2）过C 点作倾斜角为锐角的直线1l 交椭圆于点Q ，过点P 作直线2l 交椭圆于点,M N ，且12//l l ，是否存在这样的直线1l ，2l 使得CDQ △，MNA △，MND △的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．【答案】（1）设点P 的坐标为0(,0)x 0(0)x >，易知224a =+，3a =，041x a =-=，22023b x =-=．因此椭圆标准方程为22193x y+=， P 点坐标为(1,0)．（2）设直线的斜率为(0)k k >，00(,)Q x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1:(3)l y k x =+，2:(1)l y k x =-，MNA △、MND △的面积相等，则点,A D 到直线2l 的距离相等．22|3|11k k k --=++，解之得3k =33k =-（舍）． 当3k =2l 的方程可化为：13x =+，代入椭圆方程并整理得： 253120y -=，所以121235125y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以211212293()45y y y y y y -=+-=； 所以MND △的面积为12119393||||222PD y y ⋅-=⨯=当3k =1l 的方程可化为：33x =-，代入椭圆方程并整理得： 25330y y -=，解之得335y =0y =（舍）， 所以CDQ △的面积为1939362⨯=所以CDQ MND S S =△△． 21．（本小题满分12分） 已知函数2()e (1)x f x x x =-+．（1）当[1,2]x ∈-时，求()f x 的最大值与最小值；（2）如果函数()()1g x f x ax =-+有三个不同零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）因为2()e (1)x f x x x =-+， 所以()(1)e 2(1)(1)(e 2)x x f x x x x '=+-+=+-，令()0f x '=得11x =-，2ln 2x =，()f x '，()f x 的变化如下表：x－1 (1,ln 2)- ln 2 ln 22（，）2 ()f x ' 0－ 0＋()f x1e-2(ln 2)1--22e -9()f x 在[1,2]-上的最小值是2(ln 2)1--，因为22e 90->，10e -<，212e 9e->-，所以()f x 在[1,2]-上的最大值是22e 9-．（2）2()1e (2)(e 2)x x f x ax x x a x x x a -+=--+=---， 所以()10f x ax x =-⇒=或e 20x x a ---=，设()e 2x g x x a =---，则()e 1x g x '=-，0x >时，()0g x '>，0x <时，()0g x '<， 所以()g x 在(0,)+∞上是增函数，在(,0)-∞上是减函数，()(0)1g x g a =--≥， 且x →+∞，()g x →+∞，x →-∞，()g x →+∞，①当10a -->时，即1a <-时，()0g x =没有实根，方程()1f x ax =-有1个实根； ②当10a --=时，即1a =-时，()0g x =有1个实根为零，方程()1f x ax =-有1个实根； ③当10a --<时，即1a >-时，()0g x =有2不等于零的实根，方程()1f x ax =-有3个实根．综上可得，1a >-时，方程()1f x ax =-有3个实根．选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0α<<π），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB 的最小值．【答案】（1）由2sin 4cos ρθθ=，得2(sin )4cos ρθρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为24y x =，（2）将直线l 的参数方程代入24y x =，得22sin 4cos 40t t αα--=． 设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则1224cos sin t t αα+=，1224sin t t α=-，∴12AB t t =-==2απ=时，AB 的最小值为4． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()1f x ax =-，不等式()3f x ≤的解集是{}12x x -≤≤． （1）求a 的值； （2）若()()3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围．【答案】（1）由13ax -≤，得313ax --≤≤，即24ax -≤≤．当0a >时，24x a a -≤≤，因为不等式()3f x ≤的解集是{}12x x -≤≤，所以2142aa⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a =；当0a <时，42x a a -≤≤，因为不等式()3f x ≤的解集是{}12x x -≤≤，所以2241aa⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，无解． 所以2a =． （2）因为()()|21||21||(21)(21)|23333f x f x x x x x +--++--+==≥，所以要使()()3f x f x k +-<存在实数解，只需23k >．解得23k >或23k <-． 所以实数k 的取值范围是22(,)(,)33-∞-+∞U ．。
2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷(十)文科数学
2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷（十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集U=R,集合M={x|-x2-x+2<0},N={x|x-1<0},则下图中阴影部分表示的集合是()A.(-∞,1]B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-2,1)2..命题“若α=,则tan α=1”的逆否命题是()A.若α≠,则tan α≠1B.若α=,则tan α≠1C.若tan α≠1,则α≠D.若tan α≠1,则α=3.若命题p:函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),命题q:函数y=x-的单调递增区间是[1,+∞),则()A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C┓p是真命题 D. ┓q是真命题4.已知a,b∈R,则“log3a>log3b”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. f(x)=log2x+,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( )A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>06. 设实数x,y满足的取值范围是()A.∪[1,+∞)B.C.D.7.若函数y=a x+b的图象如图,则函数y=+b+1的图象为( )8.方程log2x+x=2的解所在的区间为()A.(0.5,1)B.(1,1.5)C.(1.5,2)D.(2,2.5)9..已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且a1+a3=,a2+a4=,则=()A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-110. 已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x),满足f(x)+g(x)=a x-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,则f(2)=( )A.2B.C.D.a211. 已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=( ) A. B.- C.或0 D.-或012.如图可能是下列哪个函数的图象( )A.y=2x -x 2-1B.y=C.y=(x 2-2x )e xD.y=二、填空题（每题5分，共20分）13．已知函数3()f x x x=-，则曲线()y f x =点(2，f （2）)处的切线方程为 ． 14．已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式n a = ．15．已知||||2a b ==，0a b =，若向量c 满足||1c b a --=，则||c 的取值范围为 ．16．已知函数()f x 与(1)f x -都是定义在R 上的奇函数， 当01x <<时，2()log f x x =，则9()4f f -+（4） 的值为 ．三、解答题（共70分.其中17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在等差数列{a n }中，a 1 =-2,a 12 =20.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若b n =12a a a n n +++，求数列{3n b }的前n 项和.18.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin A -sin (cos C B +)0B = (1)求角C 的大小；(2)若2c =，且ABC ∆,a b 的值．19.已知函数2()sin 2sin 22cos 1,33f x x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.20.已知各项都不相等的等差数列{}66n a a =，，又124a a a ，，构成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n a n b n =+，求数列{}n b 的前n 项和为n S .21．已知函数f （x ）=ax ﹣e x（a ＞0）．（1）若，求函数f （x ）在x=1处的切线方程；（2）当1≤a ≤e+1时，求证：f （x ）≤x ．22．（12分）设定函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d （a ＞0），且方程f′（x ）﹣9x=0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a=3且曲线y=f （x ）过原点时，求f （x ）的解析式；（Ⅱ）若f （x ）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a 的取值范围．1B 2C 3.D 4A 5B 6 D 7C 8B 9D10 B 11C12C13.734y x =- 14.21x - 15.[]1,3 16.2 17.24n a n =-. 3118n n S -=． 18.18.C ＝3π. 解得a ＝2，b ＝2.19.（Ⅰ）π，最小值为-120.(1) n a n =；(2) 1(22)(1)n n S n n +=-++.21．，（2）令g （a ）=x ﹣f （x ）=﹣ax+x+e x ，只需证明g （a ）≥0在1≤a ≤e+1时恒成立，一方面，g （1）=﹣x+x+e x =e x＞0①另一方面，g （1+e ）=﹣x （1+e ）+x+e x =e x ﹣ex ，设h （x ）=e x ﹣ex ，则h′（x ）=e x ﹣e ，当x ＜1时，h′（x ）＜0；当x ＞1时，h′（x ）＞0．∴h （x ）在（﹣∞，1）单调递减；在（1，+∞）单调递增． ∴h （x ）≥h （1）=e ﹣e•1=0，即g （1+e ）≥0②由①②知，g （a ）≥0在1≤a ≤e+1时恒成立故当1≤a ≤e+1时，f （x ）≤x ．22．f （x ）=x 3﹣3x 2+12x ．[1，9]。
2020年高考数学(文科)金太阳模拟冲刺卷(一)
2020年高考数学（文科）模拟冲刺卷（一）考生注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试题卷和答题卡上。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}11A x x =-<<，{}220B x x x =--<，则()A B =R I ð（ ）A ．(1,0]-B ．[1,2)-C ．[1,2)D ．(1,2]2．已知1a >，则“log log a a x y <”是“2x xy <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数2()(2)g x f x x =-是减函数，且(1)2f =，则(1)f -=（ ） A ．32-B ．1-C ．32D ．744．已知α是第一象限角，24sin 25α=，则tan 2α=（ ） A ．43- B ．43 C ．34- D ．345．设向量(2,2)=a ，b 与a 的夹角为3π4，且2⋅=-a b ，则b 的坐标为（ ）A ．(0,1)-B ．(1,0)-C ．(0,1)-或(1,0)-D ．以上都不对6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =（ ）A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n -D ．11()2n -7．已知α为锐角，则32tan tan 2αα+的最小值为（ ）A ．1B ．2 C． D．8．已知a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，则下列说法正确的是（ ） A ．若c ⊂平面α，则a α⊥ B ．若c ⊥平面α，则a α∥，b α∥C ．若存在平面α，使得c α⊥，a α⊂，b α∥D ．若存在平面α，使得c α∥，a α⊥，b α⊥9．已知两点(,0)A a ，(,0)(0)B a a ->，若圆22((1)1x y -+-=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(0,3]B ．[1,3]C ．[2,3]D ．[1,2]10．在区间[0,2]上随机取一个数x，使πsin 2x ≥的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．3411．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过右顶点A 作一条渐近线的垂线交另一条渐近线于点B ，若OB OA =，则双曲线的离心率为（ ）A．B． C．D．12．已知函数2()ln(||1)f x x x =++，若对于[1,2]x ∈-，22(22)9ln 4f x ax a +-<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A．212a -<<B ．11a -<<C．a >或a <D．a <<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知i 为虚数单位，复数3i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = ． 14．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 ．15．某工厂为了解某车间生产的每件产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了200件产品的净重，所得数据均在[96,106]内，将所得数据按[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]分成五组，其频率分布直方图如图所示，且五个小矩形的高构成一个等差数列，则在抽测的200件产品中，净重在区间[98,102)内的产品件数是 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，(1,2)P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线l 上的一点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，若1290F PF ∠=︒，则双曲线的左顶点到直线l 的距离为 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，E 是BC 的中点，3AC =，AE =2213cos 7cos 60ABE AEB ∠-∠-=．（1）求AB ； （2）求C ．18．（12分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x （单位：万元）和收益y （单位：万元）的数据如下表：他们用两种模型①y bx a =+，②bxy ae =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计了的值：残差图（1）根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应选则那个模型？并说明理由； （2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： （ⅰ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程； （ⅱ）广告投入量18x =时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据11(,)x y ，22(,)x y ，L ，(,)n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()n niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-．19．（12分）如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，2CB GF =，BF CF =．（1）求证：AB CG ⊥；（2）若ABC △和梯形BCGF的面积都等于G ABE -的体积．20．（12分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且两条曲线相交于点2(3． （1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 右顶点的两条直线1l ，2l 分别与抛物线1C 相交于点A ，C 和点B ，D ，且12l l ⊥， 设M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，证明：直线MN 恒过定点．21．（12分）已知函数()(ln )xf x xe a x x =-+，a ∈R ．（1）当a e =时，判断()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 是过坐标原点且倾斜角为α的直线，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且点,A B 均异于坐标原点O，AB =，求α的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()f x x =．（1）解关于x 的不等式(2)(1)2f x f x --+<；（2）存在0x ∈R ，使得不等式00(2)()(1)2f x f x a f a -++<--，求实数a 的取值范围．。
金太阳2020年高三年级3月联合考试(20-12-294C)文科数学试题_removed
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高三数学试卷!第!& 页共"页文科
作文成绩优秀
2020年河北省金太阳大联考数学 文科数学答案
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2020届金太阳高三4月联考数学(文)试题解析
2020届金太阳高三4月联考数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{}20A x x x =-=，则集合A 的真子集的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：C可用列举法列出所有真子集即可. 解：由题可解集合{}0,1A =，则集合A 的真子集有∅、{}0、{}1. 故选：C . 点评：本题考查集合的真子集，可用列举法或公式计算即可，易错点为列举法容易忽略空集，属于基础题.2．如图，复数1z ，2z 在复平面上分别对应点A ，B ，则12z z ⋅=（ ）A ．0B ．2i +C ．2i --D ．12i -+答案：C由图可得点A ，B ，即可得复数1z ，2z 的代数形式，进行复数相乘即可. 解：由图可得：112z i =-+，2z i =， ∴()12122z z i i i ⋅=-+⋅=--. 故选：C .点评：本题考查复数的几何意义及复数的运算，解题关键是根据复数的几何性质求复平面所表示的复数，运用乘法法则进行复数运算即可，属于基础题.3．若向量()4,2a x =-r 与向量()1,1b =-r平行，则a =r ( ).A ．B ．2CD ．8答案：A由a b r rP ，可解得2x =，所以可得()2,2a =-r ，即可求得a r .解：由a b r rP ，可得()()41210x -⨯--⨯=，解得2x =，所以()2,2a =-r，可得a ==r 故选：A . 点评：本题考查向量的共线定理及向量模的运算，属于基础题.4．若函数()221x x af x -=+的图像关于y 轴对称，则常数a =( )A ．1-B ．1C ．1或1-D ．0答案：A方法一：可知()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，可解出a ；方法二：可知()f x 是偶函数，利用特殊值，令()()11f f -=，可解出a . 解：方法一：可知()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，即222121x x x xa a ----=++， 解得1a =-.方法二：可知()f x 是偶函数，令()()11f f -=，即1111222121a a ----=++，解得1a =-.此时()1f x =为偶函数， 故选：A . 点评：本题考查函数奇偶性的应用，由函数是偶函数求参数值，常用()()f x f x -=或代入特殊值建立方程求解，属于基础题.5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，判断下列结论： （1）月接待游客量逐月增加； （2）年接待游客量逐年增加；（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；（4）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳. 其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：C由题图可知逐一分析即可，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误，（2）（3）（4）正确. 解：由题图可知，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误； 年接待游客数量逐年增加，故（2）正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故（3）正确；各年1月至6月的月接待游客量相对变化较小，而7月至12月则变化较大，故（4）正确； 故选：C . 点评：本题考查折线统计图，考查统计思想与分析数据能力，属于简单题.6．若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p的一个焦点，则p =( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案：D分别求出抛物线的焦点及双曲线的一个焦点，由条件得2162pp p =⇒=. 解：抛物线()220y px p =>的焦点是02p ⎛⎫⎪⎝⎭，， 双曲线2213-=x y p p的一个焦点是()20p ，， 由条件得22pp =，解得16p =. 故选：D . 点评：本题考查抛物线与双曲线的性质，属于综合题，但是难度不大，注重基础知识点考查，属于简单题.7．函数()32xy x x =-⋅的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C排除法：根据函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可. 解：函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ； 函数有1-，0，1三个零点，故排除A ； 当2x =时，函数值为正数，故排除B .故选：C . 点评：本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题.8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．2答案：D由三视图及条件可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形，得出底面上的高和边长，再由直三棱柱的高为2，利用体积公式可求体积. 解：由三视图可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形， 底面上的高为1221+12=，斜边为2.直三棱柱的高为2，故121222V Sh ==⋅⋅⋅=， 故选：D . 点评：本题考查几何体三视图及体积公式，考查转化和空间想象能力，属于基础题. 9．已知4log 7x =，3log 2y =，32z =，则（ ） A ．x y z << B ．y x z <<C ．z y x <<D ．y z x <<答案：B由对数函数的性质可得4433log 7log 81,22x x ⎛⎫=<=⇒∈ ⎪⎝⎭，()3log 20,1y =∈，可得y x z <<. 解：∵443log 7log 82x =<=，∴31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵()3log 20,1y =∈， ∴y x z <<. 故选：B . 点评：本题考查对数的大小比较，若同底采用对数函数的单调性比较，不同底则引入中间值进行比较，属于基础题.10．在ABC V 中有，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，6A π=，2sin a b A =，则角C 为（ ） A ．12πB ．712πC ．12π或712π D ．4π 答案：C根据题意，由正弦定理得：4B π=或34π，即可求角C . 解： ∵6A π=，∴50,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由正弦定理得：2sin a b A =，即sin 2sin sin A B A =， sin 0,A ≠可得()2sin 0,24πB B B π=∈∴=，或34π， ∴()712πC πA B =-+=或12π， 故选：C . 点评：本题考查正弦定理的应用，易错点为利用正弦求三角形内角容易忽略为钝角的情况，本题属于简单题.11．如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6，A 点为长方体的一个顶点，B 点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从A 点到B 点的最短距离为（ ）A 29B ．35C 41D ．213答案：C由长方体的侧面展开图可得有3种情况如下：①当B 点所在的棱长为2；②当B 点所在的棱长为4；③当B 点所在的棱长为6，分别再求出展开图AB 的距离即可得最短距离. 解：由长方体的侧面展开图可得：（1）当B 点所在的棱长为2，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为===.（2）当B 点所在的棱长为4，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为===（3）当B 点所在的棱长为6，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为===综上所述，沿着长方体的表面从A 点到B . 故选：C . 点评：本题考查长方体的展开图，考查空间想象与推理能力，属于中等题.12．倾斜角为45︒的直线与双曲线22214x y b-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）A ．2B ．2C 1D 1答案：B方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且245QOF ∠=︒，根据勾股定理及双曲线的定义可得：1c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，可得22b QF a =，且2b c a=.又根据222b a c =-，联立可解得1c =.解：方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒，则122F F c =，2QF c =，1QF =.由双曲线的定义可得：122QF QF a-=，41c c -==，，故22c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，22bQF a=，∴2b c a=. 又222b a c =-， ∴2240c c --=，得1c =.∴22c =. 故选：B . 点评：本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.二、填空题13．已知数列{}n a 满足1n n a ta +=，*n N ∈，t 为常数，12a =，8256a =，则t =__________.答案：2数列{}n a 是公比为t 的等比数列，根据条件及等比数列通项公式列方程求解即可. 解：数列{}n a 是公比为t 的等比数列，且12a =，8256a =，则782256a t ==，可得2t =.故答案为：2. 点评：本题考查等比数列的通项公式，根据通项公式求公比，通常借助方程求解，属于基础题. 14．曲线()cos xxf x e =在点()()0,0f 处的切线方程为__________.。
2020届全国金太阳联考新高考押题仿真模拟（二十）语文试卷
2020届全国金太阳联考新高考押题仿真模拟（二十）语文试题★祝你考试顺利*注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、现代文阅读（36分）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成各题。
丝绸之路是一条连接亚欧大陆的文明之路。
这条道路在空间上的地理坐标是复杂的，可以是陆地、海洋，也可以是大漠、草原；关于起始端点的表述也存在着不确定性，可以是两个不同的大陆，也可以是同一个大陆的东亚、南亚、中亚或西亚，或是具体的国家。
从时间上看，在张骞开通西域这一标志性的节点之前，丝绸之路上的欧亚文明交汇已然存在，而且这种不同种族、地域之间的文明对话，似乎是一条永恒的时光之河，历经数千年延续至今而奔流不息。
按照瑞典考古学家斯文•赫定的观点，“从文化一历史的观点看，这是连接地球上存在过的各民族和各大陆的最重要的纽带。
丝绸之路文明在形成发展过程中拥有一个复杂的动力系统，政治、经济、文化在不同层面发挥着主导、引领的作用，因此，这一文明具有深厚的内涵。
它可以体现为举足轻重的国家安全战略选择，如汉朝开始西域与对匈奴的战争、大唐对突厥的战争。
2020届全国金太阳联考新高考原创精准预测考试(二十)文科数学
2020届全国金太阳联考新高考原创精准预测考试（二十）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．已知集合{}{}1,0,1,2,|2xA B y y =-==，则AB =A ．{}1,0,1-B ．{}1,2C ．{0,1，2}D ．{1,-1，2}2．复数1ii-的共轭复数为A ．B ．C ．D ．3．若命题，，则是 A ．， B ．，C ．，D ．，4．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为A.2πB.5π2C.4πD.5π5．函数()4230y x x x=-->的最大值是A.2-B.2-C.2+D.2+6．已知实数,x y 满足不等式组2324y x x y x y ≤⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为A.5B.3C.1D.-47．已知函数的最小正周期是，那么正数A ．B ．C ．D ．8．若1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos2α等于 A.35 B.12C.13D.3-9．函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．10．已知ln 2ln 3ln 6,,,236a b c ===则,,a b c 的大小关系是 A.c b a >>B.b a c >>C.a b c >>D.c a b >>11．若函数()3ln f x x x x -+-，则曲线()y f x =在点()()-1,-1f 处的切线的倾斜角是 A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 12．若函数()f x 与()g x 的图象有一条相同的对称轴，则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中，与()212f x x x =-互为同轴函数的是 A.()()cos 21g x x =- B .()sin g x x π=C.()tan g x x =D.()cos g x x π=第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数()()221f x x xf '=+，则()1f 的值为__________．14．已知函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图像上一个最高点的坐标为，由这个最高点到其相邻的最低点间图像与x 轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为__________． 15．己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4x f x =，5()(2019)2f f -+的值是____.16．,,,A B C D 是同一球面上的四个点，,2ABC BAC AB AC π∆∠==中，,AD ⊥平面ABC，6AD =，AB =则该球的表面积为______________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本大题满分12分）已知α∈(,)2ππ，sin α. （I ）求sin ()4πα+的值；（Ⅱ）求cos 26πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 18．（本大题满分12分）如图所示，EB 垂直于菱形ABCD 所在平面，且EB=BC=2，∠BAD=60°，点G 、H 分别为边CD 、DA 的中点，点M 是线段BE 上的动点． （I ）求证：GH ⊥DM ；（II ）当三棱锥D-MGH 的体积最大时，求点A 到面MGH 的距离．19．（本大题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分 别 为 角,,A B C 的 对 边 ，且()sin sin sin B C A C -=-. （I ）求角A ；（Ⅱ）若3a =，求2b c +的最大值. 20．（本大题满分12分）已知()f x 为定义在[]1,1-上的奇函数，当[]1,0x ∈-时，函数解析式1()()42x xa f x a R =-∈． （I ）写出()f x 在[]0,1上的解析式；（Ⅱ）求()f x 在[]0,1上的最大值．21．（本大题满分12分） 已知函数，其中，为自然对数的底数. （Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos (0)a a ρθ=>. （I ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，设点(0,1)M -，已知2||||||MA MB AB ∙=，求实数a 的值.23．已知函数()|41||2|f x x x =--+． （I ）解不等式()8f x <；（Ⅱ）若关于x 的不等式2()5|2|8f x x a a ++<-的解集不是空集，求a 的取值范围．文科数学试题参考答案1-5:BCDBB6-10:ABABB11-12:BD13．-314．84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭15．2-16．60π17．：(1) 因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－＝－.故sin＝sincos α＋cos sin α＝×＋×＝－.(2) 由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×＝，所以cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2×＋×＝410. 18．（Ⅰ）证明：连接AC 、BD 相交于点O ．∵BE ⊥平面ABCD ．而AC ⊂平面ABCD ，∴BE ⊥AC ． 又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ． ∵BD∩BE=B ，∴AC ⊥平面BDE ．∵G 、H 分别为DC 、AD 的中点，∴GH ∥AC ，则GH ⊥平面BDE ． 而DM ⊂平面BDE ，∴GH ⊥DM ；（II ）菱形ABCD 中，∠BAD=60°，得，∠ADC=120°． ∵DG=DH=1，∴S △DGH =01DG DHsin1202⋅=111224⨯⨯⨯=， ∵BE ⊥平面ABCD ，即BM ⊥平面ABCD ，∴D MGH M DGH DGH1V V S BM 3--==⋅．显然，当点M 与点E 重合时，BM 取得最大值2，此时（V D-MGH ）max 2=．且，则MGH15S22==， ∵H 是AD 中点，所以A 到平面MGH 的距离d 1等于到平面MGH 的距离d 2， 又V D-MGH =V M-DGH ，213=，得d 2=25．∴A 到平面MGH 的距离为25．19．（1）因为()sin sin sin B C A C -=-，所以()()sin sin sin A C C A C +-=-， 所以1sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos 2A C A C C A C A C A +-=-⇒=， 因为0A π<<，所以3A π=.（2）由（1）得23C B π=-， 由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===，所以32sin sin sin()33b cB B ππ==-，所以2,3sin()3b B c B π==-，所以223sin())3b c B B B B π+=+-=+)B ϕ=+，其中tan (0,)2πϕϕ=∈， 由2(0,)3B π∈，存在B 使得2B πϕ+=，所以sin()B ϕ+的最大值为1， 所以2b c +的最大值为20：（1）∵()f x 为定义在[]1,1-上的奇函数，且()f x 在0x =处有意义，∴(0)0f =， 即001(0)1042af a =-=-=．∴1a =． 设[]0,1x ∈，则[]1,0x -∈-，∴11()4242x xx x f x ---=-=-； 又∵()()f x f x -=-，∴()42x x f x -=-；所以()24x x f x =-．（2）当[]0,1x ∈时，2()242(2)x x x x f x =-=-，∴设2(0)x t t =>，则2()f t t t =-． ∵[]0,1x ∈，∴[]1,2t ∈．当1t =时，取最大值，最大值为110-=． 考点：1、函数表达式的求法；2、函数的奇偶性；3、函数的最值. 21：（Ⅰ）①当时，，所以.②当时，由得.若，则；若，则.所以当时，在上单调递增，所以.当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.当时，在上单调递减，所以. （Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.则不可能恒为正，也不可能恒为负. 故在区间内存在零点. 同理在区间内存在零点. 所以在区间内至少有两个零点. 由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.所以. 此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，必有.由得：，有.解得. 当时，在区间内有最小值.若，则，从而在区间上单调递增，这与矛盾，所以.又，故此时在和内各只有一个零点和.由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，，故在内有零点.综上可知，的取值范围是.22．解：（1）因为直线l的参数方程为1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去t 化简得直线l10y --=由2acos ρθ=得22a cos ρρθ=， 因为222x y ρ=+，cos x ρθ=所以222x y ax +=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y ax +-=（2）将1212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入2220x y ax +-=得2211042t t at ⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭即)210t a t -+=，)240a∆=->- 11 -则12t t a +=，121t t =， ∴12•1MA MB t t ==，∴2||1AB =∴()())2222121212||441AB t t t t t t a =-=+-=-= ∵0a >，∴a =，满足)240a ∆=->∴a =23．（1）由题意可得()33,2151,24133,4x x f x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， 当2x ≤-时，338x -+<，得53x >-，无解； 当124x -<<时，518x --<，得95x >-，即9154x -<<； 当14x ≥时，338x -<，得113x <，即11143x ≤<. 所以不等式的解集为911{|}53x x -<<. （2）()5241489f x x x x ++=-++≥，则由题可得289a a ->，解得1a <-或9a >.。
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2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷（二十）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12小题 ，每题 5 分，共计60分） 1.设,则Z 在复平面上对应的点在 （ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 下列结论错误的是 （ ）A.命题“若p ，则q ”与命题“若q ⌝，则p ⌝”互为逆否命题B.命题[]1,1,0:≥∈∀x e x p ，命题则""q p ∨为真C.若“22bm am <，则b a <”的逆命题为真命题D.命题,:"0R x p ∈∃使得0220≥-x ”的否定为"02,:"20<-∈∀⌝x R x p3. 已知等差数列 {}n a 的前n 项和为n s ,若6274=+a a ，则9s （ ） A.9B.18C.27D.364. 已知直线⊥l 平面α，直线≠⊂m 平面β，给出下列命题： ①m l ⊥⇒βα∥；②m l ∥⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l ∥④βα∥⇒⊥m l .其中正确命题的序号是 （ ） A.①③B.②③C.②④D.①③④5. 《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为α、β,且小正方形与大正方形面积之比为4：9,则()βα-cos 的值为 （ ） A.95B.94C.32D. 06.的值为则相切与点与曲线直线b M c bx x y kx y ),2,1(123++=+= （ ） A.-1 B.0C.1D.27.已知函数1ln 1)(--=x x x f ,则y=f(x)的图象大致为（ ）A. B. C.D.8. 已知⎩⎨⎧≥-<-+-=,1,ln ,1,33)21()(x x x a x a x f 的值域为R ，那么a 的取值范围是（ ）A ．(]2,∞- B.⎥⎦⎤ ⎝⎛2,21 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21D.()2,09．若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = （ ） A ．2B ．3C ．4D. 810.如图，四边形ABCD 和四边形ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为（ ）A.4π B 2π C 6π D 3π11.已知()x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间()0,∞-上单调递增，若实数a 满足()()2＞21--f f a ，则a的取值范围是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2321,C.⎪⎭⎫⎝⎛23,21 D.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23 12.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，设函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意0x >都有2()()0f x xf x '+>成立，则（ ）A ．4(2)9(3)f f -<B ．4(2)9(3)f f ->C ．2(3)3(2)f f >-D ．3(3)2(2)f f -<-卷II （非选择题）二、填空题（本题共4小题，每题5分，共计20分） 13.=+--=-απαπαcos )3cos(33)6cos(则若______14.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人,则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是______方向在向量共线，则向量与若向量已知向量-===2),2,1(),1,3(),,1(.15λ上的投影为 ______16.已知数列{}n a 的前n 项和为n s ，若n n s n +=2，由数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为 ______三、 解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（第17—21题为必考题，每个考题考生都必须作答。
第22,23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：（共60分）.,26sin sin 322..)(4＜4-)1()125()(,)(),1,(cos ),sin ),sin(2(,,,,AB 分)12本小题小题.(17的面积求，）若（值域时，求当都有对任意的，向量的对边分别为中，角在ABC C B a x f x f x f R x n x f x A A x c b a C B A C ∆=+=≤≤∈⋅==-=∆πππ18.（本小题满分12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。
经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70. （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值;（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.19（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，，，︒=∠=∠90ABC DAB ,，，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．20.（本小题满分12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程.（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()32f x x ax bx c =+++在1x =-与2x =处都取得极值. (1)求,a b 的值及函数()f x 的单调区间. (2)若对[]2,3x ∈-,不等式()23c 2f x c +<恒成立,求c 的取值范围.（二）选考题，共10分。
请考生从第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=(1)求曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()133f x x x a a =-+-+，x R ∈．(1)当1a =时，求不等式()7f x >的解集. (2)对任意m R +∈，x R ∈恒有()49f x m m≥--，求实数a 的取值范围．试题答案考试时间：120分满分：150分一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分)二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13. -1 14.15. 0 16.三、解答题：17解：（1）因为==所以==----2‘所以因为对,都有所以----4‘因为所以----5‘当时，所以的值域为----6‘(2)因为所以在中，由正弦定理得----7‘所以所以----8‘在中，由余弦定理得即----9‘所以解得bc=4 ----10‘所以----12‘18.解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．19.20.21.1. ()2'=32f x x ax b ++由题意得'(1)0'(2)0f f -==⎧⎨⎩即3201240a b a b -+=++=⎧⎨⎩解得326a b =-=-⎧⎪⎨⎪⎩ 所以()3223()6,'362f x x x x c f x x x =--+=-- 令()0f x '<解得12x -<<令()0f x '>解得1x <-或2x >所以()f x 的减区间为()1,2-,增区间为()(),1,2,.-∞-+∞2.由(1)知, ()f x 在(),1-∞-上单调递增;在()1,2-上单调递减;在()2,+∞上单调递增.所以[]2,3x ∈-时, ()f x 的最大值即为()1f -与()3f 中的较大者.()79(1),3.22f c f c -==-+ 所以当1x =-时, ()f x 取得最大值. 要使23()2f x c c +<,只需23(-1)2c f c >+, 即2275c c >+,解得1c <-或7c>2. 所以c 的取值范围为7(-,-1)(,)2∞⋃+∞ 22（Ⅰ）由2sin 4cos ρθθ=，得2(sin )4cos ρθρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为24y x =;（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入x y 42=，得22sin 4cos 40t t αα--=，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则的最小值为4． 23.（1）当1=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤-=3,1231,51,27)(x x x x x x f ，7)(>∴x f 的解集为{}40><x x x 或． (2)a a a x a x a a x x x f 313331331)(+-=+-+-≥+-+-=， 又有54949=-≤--mm ， 由题意恒成立得，5313≥+-a a ，解得1≥a ，a ∴的取值范围为),1[+∞．。