2015-2016年四川省成都市龙泉驿区高一下学期数学期末试卷及参考答案(文科)

2015-2016学年四川省成都市龙泉驿区高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知平面向量=（3，﹣6），=（﹣2，m），且∥，则实数m的值为（）A．1 B．4 C．﹣1 D．﹣42．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④3．（5分）若＜＜0，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．a+b＜0 D．|a|+|b|＞|a+b|4．（5分）计算：cos24°cos36°﹣cos66°cos54°=（）A．0 B．C．D．5．（5分）关于x的不等式≥0的解为﹣1≤x＜2或x≥3，则点P（a+b，c）位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（5分）对于直线m，n和平面α，下列命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m⊂α，n∥m，那么n∥α7．（5分）函数y=2sin2x+2sinx•cosx的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π8．（5分）△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°9．（5分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形10．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a n=1﹣（n＞1），a2016=（）A．2 B．1 C．D．﹣111．（5分）如图，AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则（+）•的最小值等于（）A．﹣ B．﹣2 C．﹣1 D．﹣12．（5分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项之积为T n，若，则的最小值为（）A．7 B．8 C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）等差数列{a n}中，若a2+a5+a8=27，则a5=．14．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．16．（5分）已知圆O的半径长为3，圆内一点A到圆心O的距离是，点P是圆上的动点，当∠OPA取最大值时，PA=．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=x2+2x+a，（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞1的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．18．（12分）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n项和T n．19．（12分）设与是两个单位向量，其夹角为60°，且=2+，=﹣3+2．（1）求•；（2）求||和||；（3）求与的夹角．20．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（1）判断正方体中平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论；（2）若P是CG的中点，求正方体中DP与HF所成角的余弦值．21．（12分）在△ABC中，2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（1）求cosA的值；（2）若a=4，b=5，求在方向上的投影．22．（12分）已知数列{a n}满足=a n+1（n∈N*），且a1=．（I）求证：数列{}是等差数列，并求通项a n．（2）若b n=，c n=b n•（）n，（n∈N*），且T n=c1+c2+…+c n，求证：1≤T n＜3．2015-2016学年四川省成都市龙泉驿区高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知平面向量=（3，﹣6），=（﹣2，m），且∥，则实数m的值为（）A．1 B．4 C．﹣1 D．﹣4【解答】解：∵量=（3，﹣6），=（﹣2，m），且∥，∴3m﹣（﹣2）（﹣6）=0，即3m+12=0，则m=﹣4，故选：D．2．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选：D．3．（5分）若＜＜0，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．a+b＜0 D．|a|+|b|＞|a+b|【解答】解：∵＜＜0，∴a和b为负数且a＞b，∴a2＜b2，故A正确；再由不等式的性质可得ab＜b2，B正确；由a和b为负数可得a+b＜0，故C正确；再由a和b为负数可得|a|+|b|=|a+b|，D错误．故选：D．4．（5分）计算：cos24°cos36°﹣cos66°cos54°=（）A．0 B．C．D．【解答】解：∵24°+66°=90°，∴cos66°=sin24°，同理可得：cos54°=sin36°．由此可得：cos24°cos36°﹣cos66°cos54°=cos24°cos36°﹣sin24°sin36°=cos（24°+36°）=cos60°=．故选：D．5．（5分）关于x的不等式≥0的解为﹣1≤x＜2或x≥3，则点P（a+b，c）位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由于不等式≥0的解集为﹣1≤x＜2或x≥3，如图所示：故有a=﹣1、b=3、c=2；或者a=3、b=﹣1、c=2．故有a+b=2，且c=2，故点P的坐标为（2，2），显然点P在第一象限，故选：A．6．（5分）对于直线m，n和平面α，下列命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m⊂α，n∥m，那么n∥α【解答】解：对于A，如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α可能相交；故A错误；对于B，如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交或者n∥α；故B 错误；对于C，如果m⊂α，n∥α，m、n共面，根据线面平行的性质定理，得到m∥n；故C正确；对于D，如果m⊂α，n∥m，那么n∥α或者n⊂α；故D错误；故选：C．7．（5分）函数y=2sin2x+2sinx•cosx的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π【解答】解：函数y=2sin2x+2sinx•cosx=2•+sin2x=sin（2x﹣）+1 的最小正周期是=π，故选：C．8．（5分）△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°【解答】解：由正弦定理可得，∴，∴sinB=．又0＜B＜π，∴B=或，故选：B．9．（5分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形【解答】解：设BC的中点为D，∵，∴•（2﹣2）=0，∴•2=0，∴⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线．故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选：B．10．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a n=1﹣（n＞1），a2016=（）A．2 B．1 C．D．﹣1【解答】解：∵数列{a n}满足a1=﹣1，a n=1﹣（n＞1），∴a2=2，a3=，a4=﹣1，∴数列{a n}是周期为3的数列，∵2016=672×3，∴a2016=a3=，故选：C．11．（5分）如图，AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则（+）•的最小值等于（）A．﹣ B．﹣2 C．﹣1 D．﹣【解答】解：∵+=2，∴（+）•=2•=﹣2||•|，∵||+||=||=1．再利用基本不等式可得1≥2 ，故有||•||≤，﹣||•||≥﹣，∴（+）•=﹣2||•||≥﹣，故选：A．12．（5分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项之积为T n，若，则的最小值为（）A．7 B．8 C．D．【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n}的前n项之积为T n，，∴a1=T1=22=4．n≥2时，a n===22n=4n．当n=1时上式也成立，∴a n=4n．则===g（n），考察函数f（x）=x+（x≥2）的单调性，f′（x）=1﹣==，当2≤x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当＜x，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．又g（2）=22+=7，g（3）=23+=＞g（3）．∴的最小值为7．故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）等差数列{a n}中，若a2+a5+a8=27，则a5=9．【解答】解：由等差数列{a n}中，a2+a5+a8=27，∴3a5=27，解得a5=9．故答案为：9．14．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理，，得BC===60m．故答案为：60m．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，∴==．故答案为：．16．（5分）已知圆O的半径长为3，圆内一点A到圆心O的距离是，点P是圆上的动点，当∠OPA取最大值时，PA=．【解答】解：如图所示，△OPA中，OP=3，OA=，由正弦定理得，=，所以sin∠OPA==；又OP＞OA，所以当∠OPA取最大值时，sin∠A=1，即∠A=90°，所以PA===．故答案为：．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=x2+2x+a，（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞1的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）＞1可化为x2+2x﹣2＞1，即x2+2x﹣3＞0，解得{x|x＞1或x＜﹣3}．（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则a＞﹣x2﹣2x在x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1则g（x）在区间[1，+∞）上为减函数当x=1时g（x）取最大值为﹣3，∴a得取值范围为{a|a＞﹣3}．18．（12分）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a4=7，S4=16．∵q2﹣（a4+1）q+S4=0，即q2﹣8q+16=0，∴（q﹣4）2=0，即q=4．又∵{b n}是首项为2的等比数列，∴．．19．（12分）设与是两个单位向量，其夹角为60°，且=2+，=﹣3+2．（1）求•；（2）求||和||；（3）求与的夹角．【解答】解：（1）由与是两个单位向量，其夹角为60°，则=1×=，=（2+）•（﹣3+2）=﹣6+2+•=﹣6+2+=﹣；（2）||====，||====；（3）cos＜，＞===﹣，由于0≤＜，＞≤π，则有与的夹角．20．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（1）判断正方体中平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论；（2）若P是CG的中点，求正方体中DP与HF所成角的余弦值．【解答】解：（1）平面BEG∥平面ACH．证明如下：由正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图得到正方体为正方体ABCD ﹣EFGH，∵AC∥EG，AH∥BG，AC∩AH=A，EG∩BG=G，AC、AH⊂平面ACH，EG、BG⊂平面BEG，∴平面BEG∥平面ACH．（2）∵HF∥BD，∴∠PDB是正方体中DP与HF所成角（或所成角的补角），连结PB，设正方形的棱长为2，则BD=2，PB=PD==，∴cos∠PDB===．∴正方体中DP与HF所成角的余弦值为．21．（12分）在△ABC中，2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（1）求cosA的值；（2）若a=4，b=5，求在方向上的投影．【解答】解：（Ⅰ）由可得，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影：=ccosB=．22．（12分）已知数列{a n}满足=a n+1（n∈N*），且a1=．（I）求证：数列{}是等差数列，并求通项a n．（2）若b n=，c n=b n•（）n，（n∈N*），且T n=c1+c2+…+c n，求证：1≤T n＜3．（n∈N*），两边取倒数，移项整理=+，【解答】解：（I）证明：将=a n+1=1006，故数列{}以1006为首项，以为公差的等差数列，=1006+（n﹣1）=，∴数列{a n}的通项公式，a n=，（2）将a n代入b n，得b n==n+1，∴c n=b n•（）n=（n+1）•（）n，T n=c1+c2+…+c n，=2×+3×（）2+4×（）3+…+（n+1）•（）n，T n=2×（）2+3×（）3+4×（）4+…+（n+1）•（）n+1，两式相减得：T n=1+（）2+（）3+…+（）n﹣（n+1）•（）n+1，=1+﹣（n+1）•（）n+1，=﹣，∴T n=3﹣＜3，由函数单调性可知，当n=1时，取最小值，T1=1∴1≤T n＜3．。