用导数研究方案三次函数
山东青岛胶州市2025届高考压轴卷数学试卷含解析
山东青岛胶州市2025届高考压轴卷数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数2()sincos 444f x x x x πππ=，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（ ） A ．2018 B ．1009 C ．1010D ．2020 2．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111b b a a ->- B ．()()211b b a a ->- C ．()()11a b a b +>+ D ．()()11a ba b ->- 3．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40 B ．-20 C ．20 D ．40 4．已知函数2(0)()ln (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围（ ）．A ．[0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．[,1)-∞5．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ）A ．[1,2]-B ．[2]C ．,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2]6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）A ．15B ．120C ．112D ．3407．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a b A A B C++=+-，求sin b A =（ ） A 3B ．23 C ．12 D ．628．已知函数()()1x e a ax f x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．39．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>> D ．()223310,02x y x y +=>> 10．下列不等式成立的是（ ）A ．11sin cos 22>B ．11231122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．112311log log 32< D ．11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，函数()1x g x e--=（13x -≤≤），则函数()f x 与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．612．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是 （ ） A ．0 B ．2- C ．52- D ．3-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
三次设计
水平
c)
水平
1
2
3
d)
水平
面向质量的设计—参数设计
参数设计案例
平均牵引力
21.0 20.0 19.0 18.0 1 2 3
平均牵引力
21.0 20.0 19.0 18.0
a) 平均牵引力
21.0 20.0 19.0 18.0 1 2 3
水平 平均牵引力
21.0 20.0 19.0 18.0
1
2
3
b)
主导思想不同 传统设计方式是被动应付式的，只有当产品的 问题暴露出来后才着手解决。而三次设计方式 则通过采取各种手段，把可能出现的问题消灭 在“萌芽”状态，从根本上提高了产品的质量 和可靠性。 产生的经济效益和社会效益不同
参数设计
在产品质量的形成过程中，由于受到很多 因素（如人员、机器、材料、方法、环境 等）的影响而发生波动，在设计过程中就 需要考虑这些因素的影响，并尽量减小其 影响，使产品的质量特性对这些因素的变 化不敏感，即提高产品质量特性的健壮性 。 参数设计从设计质量工程的角度保证产品 的质量性能，同时提高产品质量对外界干 扰的抵抗力，使得所设计的产品（或工艺 ）无论在制造和使用中当结构参数产生偏 差，或是在规定寿命内结构发生老化和变 质时都能保持产品性能稳定。
面向质量的设计—容差设计
容差设计 质量波动损失 异常波动损失，质量特性值的波动超出容差范 围而造成不合格品流入市场或报废给用户和社 会带来的损失。 正常波动损失，质量特性值的波动未超出容差 范围生产出合格品出厂供应市场给用户和社会 带来的损失
质，产品不满足规范要求会造 成损失，产品满足规范要求也会造成损失，只有 当产品质量特性严格处在目标值时的产品损失为 零。 随产品质量特性偏离，损失呈二次函数增长。
最优化方法方向导数与梯度例题
最优化方法方向导数与梯度例题一、引言在数学和计算机领域中，最优化方法是一种常用的数学工具，用于解决优化问题。
在这个过程中，方向导数和梯度是非常重要的概念，它们帮助我们找到函数的最大值或最小值。
本文将深入探讨最优化方法中的方向导数和梯度，并通过例题来帮助读者更好地理解这些概念。
二、方向导数与梯度的定义1. 方向导数方向导数是一个向量的数量函数，表示函数在某一点沿着某一方向的变化率。
在数学上，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在点P0(x10, x20, ..., xn0)处沿着向量v=(v1, v2, ..., vn)的方向导数定义如下：∇f(P0)•v = lim(h→0) [f(P0+hv) - f(P0)] / h其中∇f(P0)表示函数f在点P0处的梯度，v表示方向向量。
2. 梯度梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率最大的方向。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，函数在点P0(x10, x20, ..., xn0)处的梯度定义如下：∇f(P0) = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)其中∂f/∂xi表示对第i个自变量求偏导数。
三、方向导数与梯度的关系方向导数与梯度之间有着密切的关系。
事实上，当方向向量为梯度的时候，方向导数达到最大值。
这意味着，函数在梯度的方向上的变化率最大。
这也是最优化方法中常用的一种策略，即沿着梯度的方向不断调整自变量，以寻找函数的最大值或最小值。
四、例题分析为了更好地理解方向导数与梯度的概念，我们将通过一个具体的例题来说明。
例题：求函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 2)处沿着方向向量(3, 4)的方向导数和梯度。
解析：我们求函数在点(1, 2)处的梯度。
计算过程如下：∇f(1, 2) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x, 2y)|_(1, 2) = (2, 4)我们求函数在点(1, 2)处沿着方向向量(3, 4)的方向导数。
求函数值域的方法大全
求函数值域最值的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域最值的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,因此能熟练掌握其值域最值求法就显得十分的重要,求解过程中若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用;本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域最值的求法,希望对大家有所帮助; 一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦., 反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 二、求函数值域最值的常用方法 1. 直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域最值的简单函数例1、求函数y=211x +的值域 解： 22111,011x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1 例2、求函数y=2－x 的值域;解： x ≥0 ∴－x ≤0 2－x ≤2故函数的值域是：-∞,2 2、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一;对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题,均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5,x ∈-1,2的值域;解：将函数配方得：y=x-12+4, x ∈-1,2,由二次函数的性质可知： 当x=1时,y m in =4 当x=-1,时m ax y =8 故函数的值域是：4,8例4、求函数的值域：y =解：设()2650x x μμ=---≥,则原函数可化为：y =.又因为()2265344x x x μ=---=-++≤,所以04μ≤≤,故[]0,2,所以,y 的值域为[]0,2. 3、判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式,再利用判别式加以判断;例5、求函数的值域22221x x y x x -+=++解：210x x ++>恒成立,∴函数的定义域为R.由22221x x y x x -+=++ 得()()22120y x y x y -+++-= ;① 当20y -=即2y =时,300,0x x R +=∴=∈；② 当20y -≠即2y ≠时,x R ∈时,方程()()22120y x y x y -+++-=恒有实根.()()221420y y ∴=+-⨯-≥ 15y ∴≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[]1,5.例6、 求函数y=x+)2(x x -的值域; 解：两边平方整理得：22x -2y+1x+y 2=01 x ∈R,∴△=4y+12-8y≥0 解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x2-x≥0,得：0≤x≤2;由△≥0,仅保证关于x 的方程：22x -2y+1x+y 2=0在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间0,2上,即不能确保方程1有实根,由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为21,23;可以采取如下方法进一步确定原函数的值域; 0≤x≤2,∴y=x+)2(x x -≥0,∴y min =0,y=1+2代入方程1,解得：1x =222224-+∈0,2,即当1x =222224-+时,原函数的值域为：0,1+2;注：由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除; 4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数即有理分式一次型,也可用于其它易反解出自变量的函数类型; 例7、求函数12+=x xy 的值域; 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数;12+=x x y 反解得y y x -=2 即xxy -=2知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域; 故函数的值域为：),2()2,(+∞-∞∈ y ; 5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域;适用类型：一般用于三角函数型,即利用]1,1[cos ],1,1[sin -∈-∈x x 等;例8、求函数y=11+-x x e e 的值域;解：由原函数式可得：x e =11-+y y x e ＞0,∴11-+y y ＞0 解得：-1＜y ＜1;故所求函数的值域为-1,1. 例9、求函数y=3sin cos -x x的值域;解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为：12+y sinxx+β=3y 即 sinxx+β=132+y y∵x∈R,∴sinxx+β∈-1,1;即-1≤132+y y ≤1解得：-42≤y≤42 故函数的值域为-42,42; 6、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值;原理：同增异减 例10、求函数)4(log 221x x y -=的值域;分析与解：由于函数本身是由一个对数函数外层函数和二次函数内层函数复合而成,故可令：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：)4,0)(4)2()(2（所以∈+--=x f x x f 由复合函数的单调性同增异减知：),2[+∞-∈y ; 例11、 求函数y=+-25x log31-x 2≤x≤10的值域解：令y 1=25-x ,2y =log31-x ,则 y 1 ,2y 在2,10上都是增函数;所以y= y 1 +2y 在2,10上是增函数; 当x=2时,y m in =32-+log312-=81,当x=10时,m ax y = 52+log39=33;故所求函数的值域为：81,33;例12、求函数y=1+x -1-x 的值域; 解：原函数可化为： y=112-++x x令y 1 =1+x ,2y = 1-x ,显然y 1,2y 在1,+∞上为无上界的增函数,所以y= y 1 +2y 在1,+∞上也为无上界的增函数;所以当x=1时,y=y 1 +2y 有最小值2,原函数有最大值22=2;显然y ＞0,故原函数的值域为0,2; 7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型;换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用;适用类型:无理函数、三角函数用三角代换等; 例13、求函数y=x+1-x 的值域; 解：令x-1=t,t≥0则x=2t +1∵y=2t +t+1=2)21(+t +43,又t≥0,由二次函数的性质可知当t=0时,y m in =1,当t→0时,y→+∞; 故函数的值域为1,+∞;例14、求函数y=x+2+2)1(1+-x 的值域 解：因1-2)1(+x ≥0,即2)1(+x ≤1故可令x+1=cosβ,β∈0,∏;∴y=cosβ+1+B 2cos 1-=sinβ+cosβ+1 =2sinβ+∏/4+1 ∵0≤β≤∏,0≤β+∏/4≤5∏/4 ∴ -22≤sinβ+∏/4≤1 ∴ 0≤2sin β+∏/4+1≤1+2; 故所求函数的值域为0,1+2;例15、求函数 y=12243++-x x xx 的值域解：原函数可变形为：y=-21⨯212x x +⨯2211x x +- 可令x=tgβ,则有212x x+=sin2β,2211x x +-=cos2β∴y=-21sin2β⨯ cos2β=-41sin4β 当β=k∏/2-∏/8时,m ax y =41;当β=k∏/2+∏/8时,y m in =-41而此时tgβ有意义; 故所求函数的值域为-41,41; 例16、求函数y=sinx+1cosx+1,x∈-∏/12∏/2的值域; 解：y=sinx+1cosx+1=sinxcosx+sinx+cosx+1 令sinx+cosx=t,则sinxcosx=212t -1 y=212t -1+t+1=212)1(+t 由t=sinx+cosx=2sinx+∏/4且x∈-∏/12,∏/2 可得：22≤t≤2 ∴当t=2时,m ax y =23+2,当t=22时,y=43+22故所求函数的值域为43+22,23+2; 例17、求函数y=x+4+25x -的值域 解：由5-x≥0,可得∣x∣≤5 故可令x=5cosβ,β∈0,∏y=5cosβ+4+5sinβ=10sinβ+∏/4+4 ∵0≤β≤∏, ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4当β=∏/4时,m ax y =4+10,当β=∏时,y m in =4-5;故所求函数的值域为：4-5,4+10; 8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目; 适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型. 例18、求函数y=)2(2-x +)8(2+x 的值域;解：原函数可化简得：y=∣x -2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点Px 到定点A2,B-8间的距离之和; 由上图可知：当点P 在线段AB 上时, y=∣x -2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x -2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：10,+∞ 例19、求函数y=1362+-x x+542++x x的值域解：原函数可变形为：y=)20()3(22--+x +)10()2(22+++x上式可看成x 轴上的点Px,0到两定点A3,2,B-2,-1的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,y m in =∣AB∣=)12()23(22+++=43,故所求函数的值域为43,+∞; 例20、求函数y=1362+-x x-542++x x的值域解：将函数变形为：y=)20()3(22--+x -)10()2(22-++x上式可看成定点A3,2到点Px,0的距离与定点B-2,1到点Px,0的距离之差;即：y=∣AP∣-∣BP∣由图可知：1当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点P1,则构成△ABP1,根据三角形两边之差小于第三边, 有 ∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣=)12()23(22-++= 26即：-26＜y ＜26 2当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣= 26;综上所述,可知函数的值域为：-26,-26; 注：由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B 两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B 在x 轴的同侧;如：例17的A,B 两点坐标分别为：3,2,-2,-1,在x 轴的同侧； 例18的A,B 两点坐标分别为：3,2,2,-1,在x 轴的同侧; 例21、求函数xxy cos 2sin 3--=的值域.分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式1212x x y y k --=,将原函数视为定点2,3到动点)sin ,(cos x x 的斜率,又知动点)sin ,(cos x x 满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点2,3到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得: ]3326,3326[+-∈y 9 、不等式法适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值;如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+ 其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧;例22、 求函y=sinx+1/sinx+cosx+1/cosx 的值域 解：原函数变形为：y=x sin 2+x cos 2+1/x sin 2+1/x cos 2=1+ x csc 2+x sec 2=3+x tg 2+x ctg 2当且仅当tgx=ctgx,即当x=k∏±∏/4时k∈z,等号成立; 故原函数的值域为：5,+∞; 例23、求函数y=2sinxsin2x 的值域解：y=2sinxsinxcosx=4x sin 2cosxy2=16x sin 4x cos 2=8x sin 2x sin 22-2x sin 2≤8x sin 2+x sin 2+2- x sin 2=8x sin 2+x sin 2+2- x sin 2/33=2764当且当x sin 2=2-2x sin 2,即当x sin 2=时,等号成立; 由y 2≤2764,可得：-938≤y≤938 xB故原函数的值域为：-938,938; 例24、当0>x 时,求函数248)(xx x f +=的最值,并指出)(x f 取最值时x 的值; 分析与解：因为2244448)(xx x x x x f ++=+=可利用不等式33abc c b a ≥++即：324443)(x x x x f ••≥所以12)(≥x f 当且仅当244xx =即1=x 时取”=”当1=x 时)(x f 取得最小值12;例25、双曲线12222=-b y a x 的离心率为1e ,双曲线12222=-ax b y 的离心率为2e ,则21e e +的最小值是 ;A 22B 4C 2D 2 分析与解：根据双曲线的离心率公式易得：bb a a b a e e 222221+++=+,我们知道xy y x 2≥+所以abb a e e 22212+≥+当且仅当bb a a b a 2222+=+时取“=”而ab b a 222≥+故2221≥+e e 当且仅当b a =时取“=”22)(min 21=+e e 所以;10、导数法设函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 上可导,则()f x 在[],a b 上的最大值和最小值为()f x 在(),a b 内的各极值与()f a ,()f b 中的最大值与最小值;要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法;导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视; 例26、求函数()32362f x x x x =-+-,[]1,1x ∈-的最大值和最小值;解: ()2'366f x x x =-+,令()'0f x =,方程无解.()2'366f x x x =-+()23130x =-+> ∴函数()f x 在[]1,1x ∈-上是增函数.故当1x =-时, ()()min 112f x f =-=-,当1x =时, ()()max 12f x f == 例27、求函数221)(2++=x x x f 的最值.解析: 函数)(x f 是定义在一个开区间()∞+∞-，上的可导函数,令0)22(22)('2=+++-=x x x x f得)(x f 的唯一驻点1-=x 即为最点.1-<x 时,0)('>x f ,函数递增, 1-<x 时,0)('<x f ,函数递减, 故)(x f 有最大值1)1(=-f .说明 本函数是二次函数的复合函数,用配方法求最值也很简便.11)1(1)(2≤++=x x f ,等号成立条件是1-=x .注：最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数)(x f y =有导函数)()(x g x f ='存在,那么)(x f 是否有最值的问题可转化为)(x f 的导函数)(x g 是否有最根的问题来研究：1若导函数)(x g 无根,即0)(≠x g ,则)(x f 无最值；2若导函数)(x g 有唯一的根0x ,即0)('0=x f ,则)(x f 有最值)(0x f .此时,导函数)(x f '的根0x 即是函数)(x f 最根0x .3若导函数)(x g 有多个的根,则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性. 11、多种方法综合运用 例28、求函数y=32++x x 的值域 解：令t=2+x t≥0,则x+3=2t +1 1 当t ＞0时,y=12+t t=t t /11+≤21, 当且仅当t=1,即x=-1时取等号 所以0＜y≤21; 2 当t=0时,y=0;综上所述,函数的值域为：0,21; 注：先换元,后用不等式法;例29、求函数y=xx x x x x 424322121++++-+的值域;解：y=xx x x 42422121+++-+xx xx 42321+++=)11(222xx +-+x x21+令x=tg2β,则)11(222xx +-=βcos 2,xx 21+=21sin β,∴y=βcos 2+21sin β=-βsin 2+ 21sin β+1 =-)41(sin 2-β+1617 ∴当sin β=41时,m ax y =1617;当sin β=-1时,y m in =-2; 此时tg 2β都存在,故函数的值域为：－2,1617;注：此题先用换元法;后用配方法,然后再运用sin β的有界性;总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法; 学生巩固练习1 函数y =x 2+x1 x ≤－21的值域是A －∞,－47]B －47,+∞)C 2233,+∞)D －∞,－32232 函数y =x +x 21-的值域是 A －∞,1]B －∞,－1]C RD 1,+∞)3 一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车间距离不得小于20V 2千米 ,那么这批物资全部运到B 市,最快需要_________小时不计货车的车身长4 设x 1、x 2为方程4x 2－4mx +m +2=0的两个实根,当m =_________时,x 12+x 22有最小值_________5 某企业生产一种产品时,固定成本为5000元,而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为Rx =5x －21x 2万元0≤x ≤5,其中x 是产品售出的数量单位 百台1把利润表示为年产量的函数； 2年产量多少时,企业所得的利润最大3年产量多少时,企业才不亏本6 已知函数fx =lg a 2－1x 2+a +1x +11若fx 的定义域为－∞,+∞,求实数a 的取值范围； 2若fx 的值域为－∞,+∞,求实数a 的取值范围7 某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周按120个工时计算生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台 已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称 空调器 彩电 冰箱 工时产值千元4 3 2问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高最高产值是多少以千元为单位8 在Rt△ABC 中,∠C =90°,以斜边AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生成两个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之积为S 1,△ABC 的内切圆面积为S 2,记ABCABC =x 1求函数fx =21S S 的解析式并求fx 的定义域 2求函数fx 的最小值 参考答案1 解析 ∵m 1=x 2在－∞,－21上是减函数,m 2=x1在－∞,－21上是减函数,∴y =x 2+x1在x ∈－∞,－21上为减函数,∴y =x 2+x1 x ≤－21的值域为－47,+∞)答案 B2 解析 令x 21-=tt ≥0,则x =212t -∵y =212t -+t =－21 t －12+1≤1∴值域为－∞,1] 答案 A 3 解析 t =V 400+16×20V 2/V =V 400+40016V≥216=8 答案 84 解析 由韦达定理知 x 1+x 2=m ,x 1x 2=42+m , ∴x 12+x 22=x 1+x 22－2x 1x 2=m 2－22+m =m －412－1617,又x 1,x 2为实根,∴Δ≥0 ∴m ≤－1或m ≥2,y =m －412－1617在区间－∞,1上是减函数,在2,+∞)上是增函数,又抛物线y 开口向上且以m =41为对称轴 故m =1时,y min =21答案 －1 215 解 1利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入Rx 与其总成本Cx 之差,由题意,当x ≤5时,产品能全部售出,当x >5时,只能销售500台,所以y =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-⨯-⨯≤≤+--)1( 25.012)50(5.02175.4)5)(25.05.0()52155()50)(25.05.0(215222x x x x x x x x x x x 2在0≤x ≤5时,y =－21x 2+4 75x －0 5,当x =－ab2=4 75百台时,y max =10 78125万元,当x >5百台时,y ＜12－0 25×5=10 75万元,所以当生产475台时,利润最大3要使企业不亏本,即要求⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤025.012505.075.421502x x x x x 或 解得5≥x ≥4 75－5625.21≈0 1百台或5＜x ＜48百台时,即企业年产量在10台到4800台之间时,企业不亏本6 解 1依题意a 2－1x 2+a +1x +1>0对一切x ∈R 恒成立,当a 2－1≠0时,其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧-<>-<>⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-13511,0)1(4)1(01222a a a a a a a 或或即, ∴a ＜－1或a >35又a =－1时,fx =0满足题意,a =1时不合题意 故a ≤－1或a >为35所求2依题意只要t =a 2－1x 2+a +1x +1能取到0,+∞上的任何值,则fx 的值域为R ,故有⎩⎨⎧≥∆>-0012a ,解得1＜a ≤35,又当a 2－1=0即a =1时,t =2x +1符合题意而a =－1时不合题意,∴1≤a ≤35为所求7 解 设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台,由题意得x +y +z =360 ①120413121=++z y x ② x >0,y >0,z ≥60③假定每周总产值为S 千元,则S =4x +3y +2z ,在限制条件①②③之下,为求目标函数S 的最大值,由①②消去z ,得y =360－3x ④将④代入①得 x +360－3x +z =360,∴z =2x ⑤ ∵z ≥60,∴x ≥30⑥再将④⑤代入S 中,得S =4x +3360－3x +2·2x ,即S =－x +1080 由条件⑥及上式知,当x =30时,产值S 最大,最大值为S =－30+1080=1050千元得x =30分别代入④和⑤得y =360－90=270,z =2×30=60∴每周应生产空调器30台,彩电270台,冰箱60台,才能使产值最大,最大产值为1050千元8 解 1如图所示 设BC =a ,CA =b ,AB =c ,则斜边AB 上的高h =cab , ∴S 1=πah +πbh =,)2(),(22c b a S b a cab-+=+ππ, ∴fx =221)()(4c b a c b a ab S S -++= ①abCBcA又⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)1(222222x c ab cxb ac b a x c b a 代入①消c ,得fx =1)(22-+x x x在Rt△ABC 中,有a =c sin A ,b =c cos A 0＜A ＜2π),则 x =c b a +=sin A +cos A =2sin A +4π∴1＜x ≤2 2fx =]12)1[(21)(22-+-=-+x x x x x +6,设t =x －1,则t ∈0, 2－1,y =2t +t2+6 在0,2－1]上是减函数,∴当x =2－1+1=2时,fx 的最小值为62+8。
导数及其应用生活中的优化问题举例
模型参数设置
为预测模型设置合适的参数，以便进行模型训练和预测。
模型训练和优化
使用历史数据训练预测模型，并不断优化模型参数，以提高预测准 确性。
时间序列预测模型的检验与应用
模型检验
使用独立的验证数据集评估预测模型的性能，比较实际值与预测值的差异。
导数及其应用生活中的优化 问题举例
2023-11-08
contents
目录
• 导数的定义与计算 • 导数在生活中的应用 • 导数在优化问题中的应用举例 • 导数在最优问题中的应用 • 导数在时间序列预测中的应用 • 导数在其他领域的应用举例
01
导数的定义与计算
导数的定义
函数在某一点的导数
函数在某一点的导数描述了函数在该点的变化率。
通过运用导数，企业可以找到运营成本的最优解，以 降低企业的运营成本。
在最小成本问题中，企业需要通过对运营成本的分析 ，寻找降低成本的途径。导数方法可以通过对成本函 数进行求导，找到成本最低的运营方案。例如，在物 流行业中，通过优化运输路线和装载方式可以降低运 输成本。
04
导数在最优问题中的应用
最优路径问题
模型应用
将经过验证的预测模型应用于实际时间序列数据的预测，为决策提供支持。
06
导数在其他领域的应用举 例
工程领域：结构优化设计、强度分析等
结构优化设计
在航空航天、建筑等领域，结构优化设计是至关重要的。导数可以帮助我们更好地理解结构的形状、尺寸和材料 等参数对结构强度、刚度和稳定性的影响，从而优化设计。例如，通过有限元分析方法，利用导数求解结构中的 应力、应变分布，进一步优化结构设计。
高考数学导数试题分析与教学策略研究
考点聚焦高考数学导数试题分析与教学策略研究■宋洪巍摘要：函数是数学教学的主要内容之一，在处理函数问题时，导数发挥着重要作用，是函数问题在解决过程中运用的用具。
为了提高学生学以致用的能力，高中数学教师要有意识地培养学生借助导数方式解决问题的能力。
分类解题和数形结合是导数比较常用的解题方式，也是学生在高考过程中使用频率最高的解题思路。
因此，数学教师务必培养学生运用导数方式处理数学问题的意识。
本文主要分析学生在学习导数时存在哪些困难，然后结合高考试题如何有效运用数学导数分析题目，以便能够为提高学生数学知识运用能力以及思维逻辑能力贡献力量。
关键词：高中数学；导数；高考试题导数模块蕴含的知识非常抽象，而且十分枯燥，高中生很难进行深入的理解，无法有效借助导数思维解决数学问题。
此外，由于我国长期处于应试教育模式中，教师的教学手段比较单一，无法让学生在导数学习过程中有明显的收获，对学生的数学进程产生了阻碍。
因此，数学教师要不断改进和创新教学方案，以便能够更加有效地借助导数对高考试题进行分析，让学生能够接触到更加丰富的学习资源。
除此之外，高中生要对教师的教学进行配合，积极完成教师布置的学习任务，在处理高考试题过程中不断尝试运用导数思维，以便能够更好地将数学知识进行运用。
一、导数分析高考试题时所面对的困境1.高中生应用导数知识能力有限导数公式以及导数的基础知识比较抽象，学生难以在短时间内进行有效的理解，而且高中生的数学思维不够完善，缺乏严谨性，因此，学生在学习基础知识时，其理解过程非常困难。
因此，教师在引领学生共同分析高考例题时，学生表现出的学习能力非常薄弱，经常混淆导数公式和知识，解题准确率非常低。
2.学生的导数基础知识储备不高很多学生的导数知识非常贫瘠，缺乏足够的知识储备，所以学生在分析高考例题或者在具体解题时无法运用导数知识。
部分学生容易将导函数为零的数值错误地看作是极值点，完全没有考虑到函数的范围。
学生在解题过程中优先对函数的定义域进行确定，由于学生基础知识不够牢固，很难做到上述这一点，所以他们在解题过程中对函数的“过某点”和“在某点”的差别缺乏判断能力。
黑龙江省双鸭山市第三十一中学2024学年高三下学期大联考数学试题
黑龙江省双鸭山市第三十一中学2024学年高三下学期大联考数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25 B ．2 C ．72 D ．32．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离3．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(0,3) C ．(0,2) D ．(0,1)4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,105．设函数22sin ()1x x f x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( ) A ． B ．C ．D ．6．若函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ）A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．(0,)e7．ABC ∆中，25BC =，D 为BC 的中点，4BAD π∠=，1AD =，则AC =（ ） A ．25B ．22C ．65-D ．2 8．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PF PA的最小值为（ ） A ．12 B ．22 C ．32 D ．2239．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．A ．7?S ≥B ．21?S ≥C ．28?S ≥D ．36?S ≥10．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．122C 162D ．16311．设集合1,2,6,2,2,4,26{}{}{|}A B C x R x ==-=∈-<<，则()A B C = ( )A ．{}2B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-≤≤R 12．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,2 D ．()2,e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新高考方案二轮-数学(新高考版)小题考法(一) 函数图象与性质
融会贯通串知识 一、主干知识·以点带面 (一)函数的概念与性质
主干
知识点
概念及 (1)函数的定义． 图象 (2)函数的图象：对于函数的图象要会作图、识图和用图．
(3)函数图象的对称性及变换
(1)单调性：复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 三种常 (2)奇偶性：奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，
(二)导数 导数的几 函数f(x) 在点x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率， 何意义 因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－
f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
(1)利用导数研究函数的单调性 ①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不 两种基本 等式f′(x)>0或f′(x)<0； 应用 ②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间 上恒成立问题来求解．
B.12，＋∞
C.0，12
D.12，1
解析：因为 f(x)＝e－－xx，3，x≤x>00，， 当 x≤0 时，f(x)＝e－x 单调递减，且 f(x)≥1；
当 x>0 时，f(x)＝－x3 单调递减，且 f(x)<0，所以函数 f(x)＝e－－xx，3，x≤x>00， 在定
义域上单调递减．因为 f(a－1)≥f(－a)，所以 a－1≤－a，解得 a≤12，即不等式
导数题强调“用”，“用”就是导数的应用，即用导数来研究函数的单调性 与极值．考查内容主要包括：导数与函数的单调性、极值，利用导数解决不等式 问题，利用导数研究函数的零点问题等．考查的函数一般是多项式函数、指数函 数、对数函数、三角函数这几种函数的组合.2021年新高考Ⅱ卷T22第(2)问为结构 不良问题，体现了结构不良问题适度开放命题的科学性与素养导向．
新高考方案二轮-数学(新高考版)大题专攻(一) 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
而 f(1)＝ln 1＋a－(2a＋1)＜0，所以 f(e)＝ln e＋ae2－(2a＋1)e＝1， 解得 a＝e－1 2，与 1＜21a＜e 矛盾． ④当21a≥e 时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以最大值 1 在 x＝1 处取得， 而 f(1)＝ln 1＋a－(2a＋1)＜0，不符合题意． 综上所述，a＝e－1 2或 a＝－2.
所以 f(x)的单调递增区间为0，12，(1，＋∞)，单调递减区间为12，1. (2)f′(x)＝2ax2－2ax＋1x＋1＝2ax－1xx－1， 令 f′(x)＝0，得 x′1＝1，x′2＝21a， 因为 f(x)在 x＝1 处取得极值，所以 x′2＝21a≠x′1＝1， ①当21a＜0 时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以 f(x)在(0，e]上的最大值为 f(1)，令 f(1)＝1，解得 a＝－2.
①当 a≤0 时，g′(x)＝ex－a>0 在 R 上恒成立，
∴g(x)＝f′(x)在(－∞，＋∞)上递增； ②当 a>0 时，令 g′(x)>0 得 x>ln a，令 g′(x)<0 得 x<ln a， ∴g(x)＝f′(x)在(－∞，ln a)上递减，在(ln a，＋∞)上递增．
综上所述：当 a≤0 时，y＝f′(x)是(－∞，＋∞)上的增函数； 当 a>0 时，y＝f′(x)在(－∞，ln a)上是减函数，在(ln a，＋∞)上是增函数． (2)由(1)知，①当 a≤0 时，f′(x)＝ex－ax－1 在(－1，＋∞)上递增，又 f′(0) ＝0，∴－1<x<0 时，f′(x)<0；x>0 时，f′(x)>0， 则 f(x)在(－1,0)上递减，在(0，＋∞)上递增，∴f(x)min＝f(0)＝1； ②当 0<a≤1e时，ln a≤－1，由(1)知 f′(x)在(－1，＋∞)上递增，又 f′(0)＝0， 则 f(x)在(－1,0)上递减，在(0，＋∞)上递增，∴f(x)min＝f(0)＝1；
山东省济南市高二下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．小明和妹妹跟着父母一家四口到游乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排家长，则这4个人的入园顺序的种数是（ ） A ．4 B ．6 C ．12 D ．24【答案】A【分析】先排首尾两个位置，再排中间两个位置，即可得解. 【详解】先排首尾两个位置，有种排法， 22A 再排中间两个位置，有种排法，22A 所以这4个人的入园顺序的种数是种.2222A A 4=故选：A.2．已知某物体的运动方程为（时间单位：s ，位移单位：m ），当时，该物体的21()62s t t t =-t t =0瞬时速度为，则的值为（ ） 2m /s 0t A ．2 B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】对求导，再利用瞬时速度的意义求解即可.()s t 【详解】因为，，21()62s t t t =-()6s t t '=-当时，该物体的瞬时速度为， t t =02m /s 则，解得：. 062t -=08t =故答案为：D.3．已知函数的导函数为，且满足（e 为自然对数的底数），则()f x ()f x '()2(e)ln f x xf x +'=(e)f '等于（ ） A ．B ．1C ．D ．1e1e-1-【答案】C【分析】根据题意，由函数的解析式对求导可得，将代入计算可得()f x 1()2(e)f x f x''=+e x =的值．(e)f '【详解】根据题意，， ()2(e)ln f x xf x +'=其导数， 1()2(e)f x f x''=+令，可得，e x =1(e)2(e)e f f ''=+变形可得，()1e ef '=-故选：C ．4．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第行中n 从左至右只有第5个数为该行中的最大值，则的值为（ ）nA ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B【分析】由题意可知，第行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，再利用二项式n ()n a b +的系数的性质可求得结果．【详解】由题意可知，第行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数． n ()n a b +因为只有第5项的二项式系数最大， 4C n 所以为偶数，故，解得，n 42n =8n =故选：B ．5．已知函数，若，则（ ）2()3(,)f x x bx c b c =++∈R Δ0(Δ)()lim 14Δx f b x f b x→+-=b =A ． B ． C ．1 D ．21-2-【答案】D【分析】利用导数的运算法则和定义求解即可． 【详解】， 2()3(,)f x x bx c b c =++∈R ，()6f x x b ∴=+'()67f b b b b ∴=+='，Δ0(Δ)()lim14Δx f b x f b x→+-=，，714b ∴=2b ∴=故选：D ．6．某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有郁金香、玛格丽特、小月季、小杜鹃四种不同的花可供采购，要求相邻区域种不同种类的花，则不同的种植方案个数为（ ）A ．24B ．36C ．48D ．96【答案】C【分析】由分步乘法计数原理求解即可.【详解】先种区域1有种选择，区域2有种选择，区域3有种选择，区域4有种选择，区域43215有2种选择，区域6有1种选择， 则共有：种. 43212148⨯⨯⨯⨯⨯=故选：C.7．已知点，点是抛物线上的动点，则的最小值为（ ） ()3,0P Q 2y x =PQA B C ．D【答案】A【分析】设，利用两点间距离公式可表示出，利用导数可求得最小值.()2,Q m m PQ【详解】设，()2,Q m m =令，()4269f m m m m =+-+则；()()()33342622322233f m m m m m m m m '=+-=+-=-+-()()221223m m m =-++恒成立，当时，；当时，；22230m m ++> ∴(),1m ∈-∞()0f m '<()1,m ∈+∞()0f m '>在上单调递减，在上单调递增， ()f m ∴(),1-∞()1,+∞，()()min 111695f m f ∴==+-+=min PQ ∴故选：A. 8．已知，，（为自然数对数的底数），则的大小关系是（ ） 525e2a =e 1b =e 2c =e ,,a b c A ． B ． C ． D ．c<a<b a c b <<b a c <<a b c <<【答案】D【分析】利用指数与对数互化可得，构造函数，判断的单调性，由此可得,,a b c ()ln xf x x=()f x大小关系；利用作差法可得大小关系，由此可得结论.,a b ,b c 【详解】由，得，； 525e2a =55ln 22a =5ln252ln 5522a ∴==由，得；由，得； e 1b =1ln e e eb ==e 2c =ln 2c =令，则，()ln x f x x=()21ln x f x x -'=当时，；当时，，∴()0,e x ∈()0f x ¢>()e,x ∈+∞()0f x '<在上单调递增，在上单调递减，()f x \()0,e ()e,+∞，即，.()5e 2f f ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭5lnln e 25e 2<a b ∴<，.e 1eln 21ln 21ln e 1ln 20e e e ec b ----=-==>= c b ∴>综上所述，. a b c <<故选：D.二、多选题9．在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）1021x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．二项式系数和为512 B ．不存在常数项 C ．含项的系数为45 D ．第6项的系数最大14x 【答案】BC【分析】求出展开式的通项，根据二项式系数的定义即可判断A ；令的指数等于即可判断B ；x 0令的指数等于即可判断C ；根据系数性质即可判断D.x 14【详解】的展开式通项为，，1， (10)1021x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()20220311010C 1C 1r r r r r rr r T x x x ---+=-=-0r =的二项式系数和为，故A 不正确；1021x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1021024=令，解得，故展开式不存在常数，B 正确； 2030r -=20N 3r =∉令，解得，故含项的系数为，C 正确；20314r -=2r =14x ()2210C 145-=当时，的展开式的第6项的系数为，=5r 1021x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()5510C 10-<当为奇数时系数小于0，当为偶数时，的展开式r r 1021x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭第5项与第7项的二项式系数分别为与相等且最大，D 不正确； 410C 610C 故选：BC. 10．已知函数，则（ ）232()4xf x x -=+A ．在处的切线与直线平行 ()f x 0x =20x y +=B ．是上的增函数 ()f x (0,)+∞C ．为的极值点=1x -()f x D ．最小值为()f x 14-【答案】ACD【分析】利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切线方程判断项，利用导数求出单调区间、求A 出极值、最值对进行判断. BCD 【详解】对于项：因为，所以，且，A 22(4)(22)()(4)x x f x x -+'=+1(0)2f '=-3(0)4f =所以在处的切线方程为，与直线平行.所以项正确. 0x =2430x y +-=20x y +=A 对于项：时或，在和上，B ()0f x '==1x -4x =(,1)-∞-(4,)+∞()0f x '>递增，在上，递减，所以项错误.()f x (1,4)-()0f x '<()f x B 对于项：根据对项分析，知项正确.C B C 对于项：根据对项分析，知在处取极小值，，D B 4x =1(4)4f =-在上函数递增，且时，，(,1)-∞-x →-∞()0f x →所以有最小值为，所以项正确.()f x 1(4)4f =-D 故选：.ACD 11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“山东书城”暑期志愿者服务活动，有翻译、导购员、收银员、仓库管理员四项工作可供选择，每人至多从事一项工作，下列说法正确的是（ ） A ．若5人每人可任选一项工作，则有种不同的选法45B ．若安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有12种不同的方案C ．若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有60种不同的方案D ．若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，则有126种不同的方案 【答案】CD【分析】根据排列组合知识分别进行计算可得正确选项【详解】对于A ，安排5人参加4项工作，若每人可任选一项工作，每人有4种安排方式，则有54种安排方法，故A 不正确；对于B ，安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，则有1种方法，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有种方法，23A 326=⨯=则共有：种方法，则B 错误；166⨯=对于C ，若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有种不同的方案，故2353C A 60=C 正确；对于D ，①从剩下的三人选一个人从事翻译工作，则有种方法，13C 3=则甲、乙和三人中剩下的2人从事其余的三个工作共有：种方法， 2113421322C C C A 36A ⋅=则共有种方法.363108⨯=②从剩下的三人选2个人从事翻译工作，则有种方法，23C 3=则甲、乙和三人中剩下的1人从事其余的三个工作共有：种方法，33A 6=则共有种方法，6318⨯=所以若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作， 则有种不同的方案，故D 正确. 10818126+=故选：CD. 12．已知函数，若直线与曲线和分别相交于点ln (),()e x x x f x g x x==y b =()y f x =()y g x =，且，，则( ) ()()()()()()()()11223344,,,,,,,A x f x B x f x C x f x D x f x 12x x <34x x <A ．B ．1423x x x x =1423x x x x +=+C ．D ．2431ln x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭4213ln x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】利用导数研究f (x )和g (x )的单调性，画出图象，数形结合得出范围，利用1234,,,x x x x和f (x )的单调性即可判断．()()()()1234f x f x f x f x ===【详解】f (x )的定义域为R ，， ()1e xxf x -'=当时，，单调递减；当时，，单调递增；1x >()0f x '<()f x 1x <()0f x ¢>()f x 时，；；时，；(),0x ∈-∞()0f x <()00f =()0,x ∈+∞()0f x >的定义域为，， ()g x ()0,∞+()21ln xg x x -'=当时，，单调递增；当时，，单调递减； 0e x <<()0g x '>()g x e x >()0g x '<()g x 时，；；时，；()0,1x ∈()0g x <()10f =()1,x ∈+∞()0g x>作出f (x )和g (x )图象，易知，，且， 1201x x <<<341e x x <<<12312434ln ln e e x x x x x x x x ===∵，∴， 333ln 3ln ln e x x x x =()()313113ln ln ln e e x x x xf x f x ===∵，f (x )在单调，3ln lne 1x <=(),1-∞∴，同理，1133ln e x x x x =⇒=2244ln e xx x x =⇒=∴，，2141e x x x x =1232e xx x x =又， 21121212e e e ex x x x x x x x =⇒=∴，故A 正确，B 错误；1423x x x x =又，故D 正确，C 错误．214213e ln ln e x x x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭故选：AD ．【点睛】关键点点睛：利用导数研究f (x )和g (x )的性质，并作出其图象，数形结合，利用即可得到答案.()()()()1234f x f x f x f x ===三、填空题13．已知函数在处取得极值，则实数a 的值为_________． ()(1)e x f x ax =+0x =【答案】1-【分析】根据函数在处取得极值，可得，即可得解. ()(1)e x f x ax =+0x =(0)0f '=【详解】，()(1)e x f x ax a '=++因为函数在处取得极值， ()(1)e x f x ax =+0x =所以，解得， (0)10f a '=+=1a =-经检验符合题意，所以. 1a =-故答案为：.1-14．在的展开式中的系数是________．（用数字作答）()322x x --5x 【答案】3-【详解】试题分析：由题意得，()()()3332221x x x x --=-+所以展开式中为，5x ()10312120353333C C C 2C 3x x x x x ⋅+-⋅=-所以展开式中的系数是． 5x 3-故答案为：-3.15．现有五张卡片，分别写有数字0，1，2，3，6（数字6倒放也可当做数字9），则用这些卡片摆成的不同五位数的个数为_________．（用数字作答） 【答案】192【分析】先确定首位，再确定其他位置，再结合数字6倒放也可当做数字9，即可得解. 【详解】先确定首位有张卡牌可选，再确定其他位置，有种选法， 444A 又因数字6倒放也可当做数字9，所以不同五位数的个数共有个.4424A 192⨯=故答案为：.19216．已知函数，若对任意两个不相等的正实数，都有2()(ln 1)e ln x f x x x a x a =+--12,x x ，则实数a 的取值范围为_________．()()12122f x f x x x -<-【答案】1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】设,由题意可得函数在是减函数，原问题转化为12x x >()g x (0,)+∞恒成立，即恒成立，即求()2ln 2e ln 0,(0)x g x x a a x =--'()2ln 2e ln 0,(0)x h x x a a x =--即可.()max 0h x <【详解】若对任意两个不相等的正实数 都有恒成立，12,x x ()()12122f x f x x x -<-不妨设，所以，即，12x x >()()121222f x f x x x -<-()()112222f x x f x x -<-令，则，()()222(ln 1)e ln 2(ln 1)e ln x xg x f x x x x a x a x x x a x a =-=+---=---()()12g x g x <所以函数在单调递减，()g x (0,)+∞则恒成立，()2ln 2e ln 0,(0)xg x x a a x =--≤>'则令，即即可，()2ln 2e ln 0,(0)xh x x a a x =--()max 0h x ≤，因为在单调递减，存在零点，使得，()214e x h x a x=-'()h x '(0,)+∞0x 02014e xa x =即，两边取对数可得，即， 0201e 4x a x =()02001ln ln e ln 24x a a x x ==+00ln ln 42a x x =--所以当时，，在上单调递增， ()00,x x ∈()0h x '>()h x ()00,x 当时，，在上单调递减，()0,x x ∈+∞()0h x '<()h x ()0,x +∞所以 ()()0200000max 01ln 2e ln ln ln 422x h x h x x a a x x x x ==--=-++， 20001ln 4202x x x =+-≤令，则， 02t x =()()()21212ln 0,10h t t t t h t t t t=+->=++>'在上单调递增，且，要求，()h t ()0,∞+()1=0h ()0h t ≤解得：，即，则， 01t <≤0021x <≤0102x <≤因为即，令， 02014e x a x =02014e x a x =⋅()211,0,4e 2xk x x x ⎛⎤=∈ ⎥⋅⎝⎦，，所以，在上单调递减，()()()2224e 124e x xx k x x -+⋅'=10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()0k x '<()k x 10,2⎛⎤⎥⎝⎦当时，. 12x =()1min 2211122e 14e 2k x k ⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭⨯⋅当趋近于0时，趋近于正无穷，所以，故.x ()k x ()1,2e k x ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭1,2e a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭故答案为：1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两点：一是利用参变分离法，将其转化为；而()max 0h x <是解转化为，，即图象与图象的交()max 0h x <02014e x a x =⋅0102x <≤y a =()211,0,4e 2x k x x x ⎛⎤=∈ ⎥⋅⎝⎦点问题.四、解答题17．（1）求值：；2222223456C C C C C ++++（2）已知，求x 的值．()22*2020C C N x x x +=∈【答案】（1）35；（2）或x = 62x =【分析】（1）由性质直接计算可得，或直接计算；111C C C C r r r r r r n n +++++⋅⋅⋅+=（2）根据上角标相等或和等于下角标计算可得.【详解】（1）；222223234567765C C C C C C 35321⨯⨯++++===⨯⨯另解：；2222223456C C C C C 136101535++++=++++=（2）因为，则，即且，()22*2020C C N x x x +=∈220220x x ≤⎧⎨+≤⎩10x ≤*N x ∈所以或，解得或. 22x x =+2220x x ++=2x =6x =18．已知函数．32()2=-+f x x x x (1)求函数在点处的切线方程； ()y f x =(2,(2))f (2)求函数在上的最值． ()y f x =[1,2]-【答案】(1)580x y --=(2)最大值为，最小值为 (2)2f =(1)4f -=-【分析】（1）先求导数得切线斜率，然后求出切点坐标，可得切线方程； （2）先求极值点，求出极值和区间端点值，比较可得最值.【详解】（1），，；()2341f x x x '=-+(2)5f '=(2)2f =所以在点处的切线方程为，即；()y f x =(2,(2))f ()252y x -=-580x y --=（2），()()()2341131f x x x x x '=-+=--令得或；()0f x '=13x =1x =x1-11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 131,13⎛⎫⎪⎝⎭1()1,2 2()f x '+0-0+()f x 4- A 427A 0 A 2由表可知，最大值为，最小值为.(2)2f =(1)4f -=-19．为庆祝党的二十大胜利闭幕，某校高二级部组织全体同学进行了主题为“二十大精神进校园，培根铸魂育新人”的二十大知识竞赛，并选出了4名女生和3名男生共7名优胜者．赛后，7名同学站成一排，照相留念．(1)女生必须站在一起的站队方式有多少种？ (2)男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种？(3)现在要求这7名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做二十大学习成果汇报，要求每个小组必须既有男生又有女生，问有多少种安排方案？ 【答案】(1) 576(2) 2400(3) 216【分析】（1）利用捆绑法，女生看成整体与男生排列，再考虑女生内部排列；（2）男生甲不与其他男生相邻，则相邻的只能是女生，分甲站在两端和甲不站两端两种情况讨论，选出女生与甲看作整体，与剩下的人排列即可； （3）分别将男生女生分分给三个年级，由此求解即可. 【详解】（1）女生必须站在一起，利用捆绑法， 先将四个女生看成一个整体，再与其他三个男生排列，则有种站队方式；4444A A 576=（2）若甲站在两端，则甲有种站法，2再选一名女生与甲相邻，有种选法， 4再将把其他人排列，有排法，55A 则甲站在两端有种，5524A 960⨯=若甲不站两端，则可先在甲两边分别安排一名女生，有种选法， 24A 再将这三个人看成一个整体与其他人排列，有种排法，55A 则甲不站两端有种，2545A A 1440=所以男生甲不与其他男生相邻的站队方式有种； 96014402400+=（3）先选名女生分到三个年级，有种， 42343C A 再将个男生分到三个年级，有种，333A 所以共有种.233433C A A 216=20．已知．9290129(1)x a a x a x a x -=++++ (1)求的值；3a (2)求的值； 1239a a a a ++++ (3)求的值． 12391111a a a a ++++ 【答案】(1) 84-(2) 1-(3) 1-【分析】（1）求出展开式的通项，进而可求得答案；（2）令，求得，再令，求得，即可得解； 0x =0a 1x =01239a a a a a +++++ （3）根据通项结合组合数的运算性质即可得解.【详解】（1）展开式的通项为， 9(1)x -()()199C 1C kkk k kk T x x +=-=-则；()3339C 184a =-=-（2）令，则，0x =01a =令，则，1x =012390a a a a a +++++=所以； 12391a a a a ++++=- （3）12391111a a a a ++++ 123456789999999999111111111C C C C C C C C C =-+-+-+-+- 1234432199999999111111111C C C C C C C C =-+-+-+-+-.1=-21．已知函数． (1)()e 22,()1ln ,(1,)a x f x ax a g x x x -=-+=-∈+∞(1)当时，讨论的单调性；0a ≠()f x (2)若函数的图象始终在图象的上方，求实数a 的取值范围．()f x ()g x 【答案】(1)若，在上单调递增；若，在上单调递减，在a<0()f x ()1,+∞0a >()f x ln 21,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增 ln 21,a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭(2) (],1-∞【分析】（1）求导函数，讨论当，时，导函数的符号即可得函数的单调性； ()f x 'a<00a >()f x （2）将函数的图象始终在图象的上方，转化为在上恒成立，即()f x ()g x ()()f x g x >()1,x ∈+∞在上恒成立，构造函数(1)e ln 2210a x x ax a -+-+->()1,x ∈+∞()()(1)=eln 2211a x G x x ax a x -+-+->，求导函数，对分类讨论，确定函数的单调性，即可确定的取值情况，从而可()G x 'a ()G x ()G x 得符合的实数a 的取值范围．【详解】（1）因为，所以 (1)()e 22a x f x ax a -=-+()1(1)()e 2e 2a x a x f x a a a --⎡⎤=--'=⎣⎦若，则，所以，所以a<0()10a x -<()1e 1a x -<()1e 20a x a -⎡⎤->⎣⎦即，所以在上单调递增； ()0f x ¢>()f x ()1,+∞若，令，则. 0a >()0f x ¢>ln 21x a>+故当时，，所以在上单调递减； ln 21,1x a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x ln 21,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭当时，，所以在单调递增； ln 21,x a ⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x ln 21,a ⎛⎫++∞⎪⎝⎭综上，若，在上单调递增；若，在上单调递减，在a<0()f x ()1,+∞0a >()f x ln 21,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增； ln 21,a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭（2）若函数的图象始终在图象的上方，只需在上恒成立 ()f x ()g x ()()f x g x >()1,x ∈+∞即在上恒成立， (1)e ln 2210a x x ax a -+-+->()1,x ∈+∞设，则， ()()(1)=eln 2211a x G x x ax a x -+-+->()()()11=e 2a x G x a a H x x -+-='()()1221=e a x H x a x-'-当时，，所以在上单调递增，所以a<0()()(1)11=e 2120a x G x a a x x-⎡⎤-+>-+>⎣⎦'()G x ()1,+∞，符合题意；()()10G x G >=当时，在上单调递增，所以，符合题意；0a =()ln G x x =()1,+∞()()10G x G >=当时，因为在上单调递增，而，01a <<()()1221=ea x H x a x-'-()1,+∞()21=10H a '-<， 22ln 11=11102ln 1a H a a a -⎛⎫+->-= ⎪⎝⎭-⎛⎫+ ⎪⎝⎭'所以存在使得，即， 02ln 1,1a x a -⎛⎫∈+⎪⎝⎭()00H x '=0(1)2201e a x a x -=所以在上单调递减，在上单调递增，所以()G x '()01,x ()0,x +∞，()()000(1)(1)(1)001e 2e 2e 20a x a x a x G x G x a a a a a x ---'⎡⎤≥=+-==>⎣⎦'所以在上单调递增，所以，符合题意； ()G x ()1,+∞()()10G x G >=当时，因为在上单调递增，所以， 1a =()121=e x H x x--'()1,+∞()()10H x H ''>=所以在上单调递增，所以， ()11=e 2x G x x-+-'()1,+∞()()10G x G ''>=所以在上单调递增，所以，符合题意；当时，因()1=eln 21x G x x x -+-+()1,+∞()()10G x G >=1a >为 在上单调递增，所以，所以()()1221=ea x H x a x-'-()1,+∞()()2110H x H a >=-'>'在上单调递增， ()(1)1=e 2a x G x a a x-+-'()1,+∞又，所以存在使得， ()ln 21110,10ln 21G a G a a '⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭+'1ln 21,1x a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()10G x '=所以在上单调递减，所以，不合题意； ()G x ()11,x ()()110G x G <=综上可知，当时，函数的图象始终在图象的上方.(],1a ∈-∞()f x ()g x22．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：m n ()f x 0x =[,]m n 011()1mm n n a a x a x R x b x b x +++=+++ ，，，．已知在处(0)(0)f R =(0)(0)f R ''=(0)(0)f R ''''= ()()(0)(0)m n m n f R ++=()ln(1)f x x =+0x =的阶帕德近似为．注：[1,1]()1axR x bx=+ [][][](4)(5)(4)()(),()(),()(),()(),f x f x f x f x f x f x f x f x '''''''''''''''⎡⎤====⎣⎦ (1)求实数，的值； a b (2)求证：；1()1x b f x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭(3)求不等式的解集，其中．12111e 1xx x x +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e 2.71828= 【答案】(1)， 1a =12b =(2)证明见解析 (3) ()0,∞+【分析】（1）求出，，，，依题意可得，，即()R x '()R x ''()f x '()f x ''()()00f R ''=()()00f R ''''=可得到方程组，解得即可；（2）由（1）知，即证，令，即证时，11ln 112x x ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11t x =+()()0,11,t ∈+∞ ()1ln 121t t t +⋅>-记，，利用导数说明函数的单调性，即可证明；()()21ln 1t t t t ϕ-=-+()()0,11,t ∈+∞ （3）分析可得，即或，先考虑，该不等式等价于110x +>0x >1x <-121e 1x x +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭1211ln 1x x +⎛⎫+ ⎝⎭>⎪，结合（2）的结论即可，再考虑，该不等式等价于，利用导数证明11e xx ⎛⎫+< ⎪⎝⎭1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，，即可得到，，再分类讨论即可判ln 1x x <-()()0,11,x ∈+∞ 11ln 1x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭()(),10,x ∈-∞-⋃+∞断.【详解】（1）因为，所以，， ()1ax R x bx=+()2()1a R x bx '=+()32()1ab R x bx -''=+，则，， ()ln(1)f x x =+1()1f x x '=+()21()1f x x ''=-+由题意知，，，()()00f R ''=()()00f R ''''=所以，解得，.121a ab =⎧⎨-=-⎩1a =12b =（2）由（1）知，即证，11ln 112x x ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，则且，11t x=+0t >1t ≠即证时， ()()0,11,t ∈+∞ ()1ln 121t t t +⋅>-记，， ()()21ln 1t t t t ϕ-=-+()()0,11,t ∈+∞ 则，()()()()222114011t t t t t t ϕ-'=-=>++所以在上单调递增，在上单调递增，()t ϕ()0,1()1,+∞当时，即，即成立， ()0,1t ∈()()10t ϕϕ<=()21ln 1t t t -<+()1ln 121t t t +⋅>-当时，即，即成立， ()1,t ∈+∞()()10t ϕϕ>=()21ln 1t t t ->+()1ln 121t t t +⋅>-综上可得时， ()()0,11,t ∈+∞ ()1ln 121t t t +⋅>-所以成立，即成立. 11ln 112x x ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1()1x b fx ⎛⎫+> ⎪⎝⎭（3）由题意知，欲使得不等式成立，12111e 1xx x x +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则至少有，即或， 110x+>0x >1x <-首先考虑，该不等式等价于，即，121e 1x x +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭1211ln 1x x +⎛⎫+ ⎝⎭>⎪11ln 112x x ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由（2）知成立，11ln 112x x ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以使得成立的的取值范围是，121e 1x x +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭x ()(),10,-∞-⋃+∞再考虑，该不等式等价于，11e xx ⎛⎫+< ⎪⎝⎭1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭记，，()ln 1h x x x =-+()()0,11,x ∈+∞ 则，所以当时，时，()111xh x x x-'=-=01x <<()0h x '>1x >()0h x '<所以在上单调递增，在上单调递减， ()h x ()0,1()1,+∞所以，即，，()()10h x h <=ln 1x x <-()()0,11,x ∈+∞ 所以，，11ln 1x x⎛⎫+< ⎪⎝⎭()(),10,x ∈-∞-⋃+∞当时由，可知成立，()0,x ∈+∞11ln 1x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭当时由，可知不成立，(),1x ∈-∞-11ln 1x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭所以使得成立的的取值范围是，11e xx ⎛⎫+< ⎪⎝⎭x ()0,∞+综上可得不等式的解集为.12111e 1xx x x +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0,∞+【点睛】关键点点睛：第三问，首先确定或，分别求、对应解0x >1x <-121e 1x x +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭11e xx ⎛⎫+< ⎪⎝⎭集，进一步转化为求、的解集，构造中间函数研究不等式成立的11ln 112x x ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭x 取值.。
2025届上海市宝山区行知中学高三第四次模拟考试数学试卷含解析
2025届上海市宝山区行知中学高三第四次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）A ．1．1B ．1C ．2．9D ．2．82．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y x ==+，则UAB =( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 3．已知集合{2,0,1,3}A =-，{53}B x x =-<<，则集合A B 子集的个数为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．324．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-6．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<7．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A ．48B ．72C ．90D ．968．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭9．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．8113D ．1010．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 11．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =，则AB 为( )A ．409B ．40C ．16D ．16312．当0a >时，函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学科学复习创新方案：利用导数研究函数的零点问题
利用导数研究函数的零点问题例1(2022·新高考Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝e x－x，g(x)＝x－ln x.(1)判断直线y＝b与曲线y＝f(x)和y＝g(x)的交点分别有几个；(2)证明：曲线y＝f(x)和y＝g(x)有且只有一个公共点；(3)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．解(1)设S(x)＝e x－x－b，S′(x)＝e x－1，当x<0时，S′(x)<0，当x>0时，S′(x)>0，故S(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，所以S(x)min＝S(0)＝1－b.当b<1时，S(x)min＝1－b>0，S(x)无零点；当b＝1时，S(x)min＝1－b＝0，S(x)有1个零点；当b>1时，S(x)min＝1－b<0，而S(－b)＝e－b>0，S(b)＝e b－2b，设u(b)＝e b－2b，则当b>1时，u′(b)＝e b－2>0，故u(b)在(1，＋∞)上为增函数，故u(b)>u(1)＝e－2>0，故S(b)>0，故S(x)＝e x－x－b有两个不同的零点．，设T(x)＝x－ln x－b，T′(x)＝x－1x当0<x<1时，T′(x)<0，当x>1时，T′(x)>0，故T(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，所以T(x)min＝T(1)＝1－b.当b<1时，T(x)min＝1－b>0，T(x)无零点；当b＝1时，T(x)min＝1－b＝0，T(x)有1个零点；当b>1时，T(x)min＝1－b<0，而T(e－b)＝e－b>0，T(e b)＝e b－2b>0，所以T(x)＝x－ln x－b有两个不同的零点．综上可知，当b<1时，直线y＝b与曲线y＝f(x)和y＝g(x)的交点个数都是0；当b＝1时，直线y＝b与曲线y＝f(x)和y＝g(x)的交点个数都是1；当b>1时，直线y＝b与曲线y＝f(x)和y＝g(x)的交点个数都是2.(2)证明：由f(x)＝g(x)得e x－x＝x－ln x，即e x＋ln x－2x＝0，设h(x)＝e x＋ln x－2x，其中x>0，故h′(x)＝e x＋1x－2，设s(x)＝e x－x－1，则当x>0时，s′(x)＝e x－1>0，故s(x)在(0，＋∞)上为增函数，故s(x)＞s(0)＝0，即e x>x＋1，所以h′(x)>x＋1x－1≥2－1>0，所以h(x)在(0，＋∞)上为增函数，而h(1)＝e－2>0，e1e3－3－2e3<e－3－2e3＜0，故h(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点x0，且1e3<x0<1，当0<x<x0时，h(x)<0，即e x－x<x－ln x，即f(x)<g(x)，当x>x0时，h(x)>0，即e x－x>x－ln x，即f(x)>g(x)，所以曲线y＝f(x)和y＝g(x)有且只有一个公共点．(3)证明：由(2)知，若存在直线y＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)有三个不同的交点，则b＝f(x0)＝g(x0)>1，此时e x－x＝b有两个不同的解x1，x0(x1<0<x0)，x－ln x＝b有两个不同的解x0，x2(0<x0<1<x2)，故e x1－x1＝b，e x0－x0＝b，x2－ln x2－b＝0，x0－ln x0－b＝0，所以x2－b＝ln x2，即e x2－b＝x2，即e x2－b－(x2－b)－b＝0，故x2－b为方程e x－x＝b的解，同理x0－b也为方程e x－x＝b的解，所以{x1，x0}＝{x0－b，x2－b}，而b>10＝x2－b，1＝x0－b，即x1＋x2＝2x0.利用导数确定函数零点或方程根的个数的常用方法(1)构建函数g(x)(需g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义域区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．(2024·衡水模拟)已知函数f(x)＝(x－2)e x.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若g(x)＝f(x)－a，讨论函数g(x)的零点个数．解(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝e x＋(x－2)e x＝(x－1)e x，又e x>0恒成立，∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．函数f(x)的极小值为f(1)＝－e，无极大值．(2)当x<2时，f(x)<0，当x>2时，f(x)>0，结合(1)中结论作出函数图象如图，∴g(x)的零点个数等价于f(x)的图象与直线y＝a的交点个数．当a≥0时，f(x)的图象与直线y＝a有且仅有一个交点；当－e<a<0时，f(x)的图象与直线y＝a有两个不同的交点；当a＝－e时，f(x)的图象与直线y＝a有且仅有一个交点；当a<－e时，f(x)的图象与直线y＝a无交点．综上所述，当a∈[0，＋∞)∪{－e}时，g(x)有唯一零点；当a∈(－e，0)时，g(x)有两个不同的零点；当a∈(－∞，－e)时，g(x)无零点．例2(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ax－1x－(a＋1)ln x.(1)当a＝0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．解(1)当a＝0时，f(x)＝－1x －ln x(x＞0)，则f′(x)＝1x2－1x＝1－xx2，当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－1.(2)由f(x)＝ax－1x －(a＋1)ln x(x＞0)，得f′(x)＝a＋1x2－a＋1x＝（ax－1）（x－1）x2(x＞0)．当a＝0时，由(1)可知，f(x)不存在零点；当a<0时，f′(x)＝x－1）x2，若x∈(0，1)，f′(x)＞0，f(x)单调递增，若x∈(1，＋∞)，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝a－1＜0，所以f(x)不存在零点；当a＞0时，f′(x)＝x－1）x2，若a＝1，则f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1)＝a－1＝0，所以函数f(x)恰有一个零点，若a＞1，则f(x)(1，＋∞)为f(1)＝a－1＞0，所以f(1)＞0，当x→0＋时，f(x)→－∞，由零点存在定理可知，f(x)a＞1满足条件．若0＜a＜1，则f(x)在(0，1)因为f(1)＝a－1＜0，所以f(1)＜0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，由零点存在定理可知，f(x)0＜a＜1满足条件．综上，若f(x)恰有一个零点，则a的取值范围为(0，＋∞)．根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”．(2024·南阳一中月考)设函数f(x)＝(x－2)ln(x－1)－ax，a∈R.(1)若f(x)在(2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；(2)若f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围．解(1)∵f′(x)＝ln(x－1)＋1－1x－1－a(x>1)，令H(x)＝ln(x－1)＋1－1x－1－a(x>1)，则H′(x)＝1x－1＋1（x－1）2>0，∴f′(x)在(1，＋∞)上单调递增，∵f(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴f′(2)≥0，∴－a≥0⇒a≤0.∴a的取值范围是(－∞，0]．(2)f(x)＝0⇒a＝（x－2）ln（x－1）x，令g(x)＝（x－2）ln（x－1）x，故g′(x)＝1x－1－2·xx－1－ln（x－1）x2＝（x－1）－1x－1＋2ln（x－1）x2，令h(x)＝(x－1)－1x－1＋2ln(x－1)，∴h′(x)＝1＋1（x－1）2＋2x－1>0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增，又h(2)＝0，∴当1<x<2时，h(x)<0，即g′(x)<0，当x>2时，h(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(2)＝0，又由当x→1时，x－2x→－1，ln(x－1)→－∞，则g(x)→＋∞；当x→＋∞时，x－2x→1，ln(x－1)→＋∞，则g(x)→＋∞，若f(x)有两个不同的零点，则需满足a>0.∴a的取值范围为(0，＋∞)．例3(2023·泰州模拟)已知函数f(x)＝e x－ax2＋bx－1，其中a，b为常数，e 为自然对数的底数，e＝2.71828….(1)当a＝0时，若函数f(x)≥0，求实数b的取值范围；(2)当b＝2a时，若函数f(x)有两个极值点x1，x2，现有如下三个命题：①7x1＋bx2＞28；②2a(x1＋x2)>3x1x2；③x1－1＋x2－1>2.请从①②③中任选一个进行证明．解(1)当a＝0时，f(x)＝e x＋bx－1，f′(x)＝e x＋b，当b≥0时，因为f(－1)b<0，所以此时不符合题意；当b＜0时，当x∈(－∞，ln(－b))时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x ∈(ln (－b )，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )min ＝f (ln (－b ))＝－b ＋b ln (－b )－1，要使f (x )≥0，只需f (x )min ＝－b ＋b ln (－b )－1≥0，令g (x )＝x －x ln x －1，则g ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0，1)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，所以g (x )≤g (1)＝0，则由g (－b )＝－b ＋b ln (－b )－1≥0，得－b ＝1，所以b ＝－1，故实数b 的取值范围为{－1}．(2)证明：当b ＝2a 时，f (x )＝e x －ax 2＋2ax －1，f ′(x )＝e x －2ax ＋2a ，令φ(x )＝f ′(x )＝e x －2ax ＋2a ，则φ′(x )＝e x －2a ，因为函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，所以φ(x )＝f ′(x )＝e x －2ax ＋2a 有两个零点，若a ≤0，则φ′(x )＞0，φ(x )单调递增，不可能有两个零点，所以a ＞0，令φ′(x )＝e x －2a ＝0，得x ＝ln (2a )，当x ∈(－∞，ln (2a ))时，φ′(x )＜0，φ(x )单调递减；当x ∈(ln (2a )，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增，所以φ(x )min ＝φ(ln (2a ))＝4a －2a ln (2a )，因为φ(x )有两个零点，所以4a －2a ln (2a )＜0，则a >12e 2.设x 1＜x 2，因为φ(1)＝e ＞0，φ(2)＝e 2－2a ＜0，所以1＜x 1＜2＜x 2，因为φ(x 1)＝φ(x 2)＝0，所以e x 1＝2ax 1－2a ，e x 2＝2ax 2－2a ，则e x 2e x 1＝x 2－1x 1－1，取对数得x 2－x 1＝ln (x 2－1)－ln (x 1－1)，令x 1－1＝t 1，x 2－1＝t 2，则t 2－t 1＝ln t 2－ln t 1，即t 2－ln t 2＝t 1－ln t 1(0＜t 1＜1＜t 2)．若选择命题①：令u (t )＝t －ln t ，则u (t 1)＝u (t 2)，u ′(t )＝1－1t，当0<t <1时，u ′(t )<0，当t >1时，u ′(t )>0，所以u (t )＝t －ln t 在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，令v (t )＝u (t )－u (2－t )＝2t －ln t ＋ln (2－t )－2(0＜t ＜2)，则v ′(t )＝2（t －1）2t （t －2）≤0，v (t )在(0，2)上单调递减，因为0＜t 1＜1，所以v (t 1)＞v (1)＝0，即u (t 1)－u (2－t 1)＞0，亦即u (t 2)＝u (t 1)＞u (2－t 1)，因为t 2＞1，2－t 1＞1，u (t )＝t －ln t 在(1，＋∞)上单调递增，所以t 2＞2－t 1，则x 2－1＞2－(x 1－1)，整理得x 1＋x 2＞4，所以7x 1＋bx 2＝7x 1＋2ax 2＞7x 1＋7x 2＞28，故①成立，得证．若选择命题②：令u (t )＝t －ln t ，则u (t 1)＝u (t 2)，u ′(t )＝1－1t，当0<t <1时，u ′(t )<0，当t >1时，u ′(t )>0，所以u (t )＝t －ln t 在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，令v (t )＝u (t )－t －1t －2ln t ，则v ′(t )＝（t －1）2t2≥0，v (t )在(0，＋∞)上单调递增，又v (1)＝0，所以当t ∈(0，1)时，v (t )＝u (t )－v (1)＝0，即u (t )<因为0<t 1<1，所以u (t 2)＝u (t 1)<因为t 2＞1，1t 1＞1，u (t )＝t －ln t 在(1，＋∞)上单调递增，所以t 2<1t 1，所以x 2－1<1x 1－1，即x 1x 2＜x 1＋x 2，所以x1x2<x1＋x2<2312e2(x1＋x2)<23a(x1＋x2)，所以2a(x1＋x2)>3x1x2，故②成立，得证．若选择命题③：因为x1－1＝t1，x2－1＝t2，则t2－t1＝ln t2－ln t1＝2ln t2t1，因为0<t1<1<t2，所以t2t1>1.令F(t)＝ln t－2（t－1）t＋1，则当t>1时，F′(t)＝（t－1）2t（t＋1）2>0，所以F(t)＝ln t－2（t－1）t＋1在(1，＋∞)上单调递增，则F(t)＝ln t－2（t－1）t＋1>F(1)＝0，所以ln t>2（t－1）t＋1，则t2－t1＝2ln t2t1>4·t2－t1t2＋t1，两边约去t2－t1后，化简整理得t1＋t2>2，即x1－1＋x2－1>2，故③成立，得证．(1)研究函数零点问题，要通过数的计算(函数性质、特殊点的函数值等)和形的辅助，得出函数零点的可能情况．(2)函数可变零点(函数中含有参数)性质的研究，要抓住函数在不同零点处函数值均为零，建立不同零点之间的关系，把多元问题转化为一元问题，再使用一元函数的方法进行研究．已知函数f(x)＝a e－x＋ln x－1(a∈R)．(1)当a≤e时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)恰有两个极值点x1，x2(x1<x2)，且x1＋x2≤2ln3，求x2x1的最大值．解(1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－a e －x＋1x ＝e x －ax x e x ，∵a ≤e ，∴e x －ax ≥e x －e x .设g (x )＝e x －e x ，则g ′(x )＝e x －e ，当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，∴g (x )≥g (1)＝0，∴f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤e 时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)依题意，f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0x 1＝ax 1，x 2＝ax 2，两式相除得，e x 2－x 1＝x 2x 1，设x 2x 1＝t ，则t >1，x 2＝tx 1，e (t －1)x 1＝t ，∴x 1＝ln t t －1，x 2＝t ln t t －1，∴x 1＋x 2＝（t ＋1）ln tt －1.设h (t )＝（t ＋1）ln t t －1(t >1)，则h ′(t )＝t －1t －2ln t （t －1）2，设φ(t )＝t －1t－2ln t (t >1)，则φ′(t )＝1＋1t 2－2t ＝（t －1）2t 2>0，∴φ(t )在(1，＋∞)上单调递增，则φ(t )>1－11－2ln 1＝0，∴h ′(t )>0，则h (t )在(1，＋∞)上单调递增，又x 1＋x 2≤2ln 3，即h (t )≤2ln 3，又h (3)＝2ln 3，∴t ∈(1，3]，即x 2x 1的最大值为3.课时作业一、单项选择题1．(2023·全国乙卷)函数f (x )＝x 3＋ax ＋2存在3个零点，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－3)C ．(－4，－1)D ．(－3，0)答案B解析f (x )＝x 3＋ax ＋2，则f ′(x )＝3x 2＋a ，若f (x )存在3个零点，则f (x )存在极大值和极小值，则a <0.令f ′(x )＝3x 2＋a ＝0，解得x ＝－－a3或x ＝－a 3，且当x ∈∞∪时，f ′(x )>0，当x ∈－－a 3，f ′(x )<0，故f (x )的极大值为f，若f (x )存在3个零点，则，即a －a3＋2>0，a －a3＋2<0，解得a <－3.故选B.2．(2023·济宁二模)已知函数f (x )，x ≤0，ln x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－f (－x )有5个零点，则实数a 的取值范围是()A ．(－e ，0)－1e ，C ．(－∞，－e)∞答案C解析y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且f (0)＝0，要想g (x )＝f (x )－f (－x )有5个零点，则当x ＞0时，－x ＝a ln x 要有2个根，结合对称性可知，x＜0时也有2个零点，故满足有5个零点．当x ＝1时，－1＝0，不符合题意；当x ≠1时，a ＝－x ln x ，令h (x )＝－xln x ，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，h ′(x )＝1－ln x （ln x ）2，令h ′(x )＞0得0＜x ＜1，1＜x ＜e ，令h ′(x )＜0得x ＞e ，故h (x )＝－xln x在(0，1)，(1，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，且当x ∈(0，1)时，h (x )＝－x ln x>0恒成立，h (x )＝－xln x在x ＝e 处取得极大值，其中h (e)＝－e ，故a ∈(－∞，－e)，此时直线y ＝a 与h (x )＝－xln x的图象有两个交点．故选C.3．(2023·银川三模)已知函数f (x )＝mx －ln x ＋m 在区间(e －1，e)上有唯一零点，则实数m 的取值范围为()A.－e e 2＋1，e 2＋1－1e ＋1，－ee ＋1，1，e 2＋答案B解析函数f (x )＝mx －ln x ＋m ，令f (x )＝0，则ln x ，即m ＝x ln x x ＋1，令h (x )＝x ln x x ＋1，则h ′(x )＝x ＋1＋ln x （x ＋1）2，令k (x )＝x ＋1＋ln x ，则k ′(x )＝1＋1x >0，所以函数y ＝k (x )在区间(e －1，e)上单调递增，故k (x )>k (e －1)＝e －1>0，所以h ′(x )>0，故函数y ＝h (x )在区间(e －1，e)上单调递增，故h (e －1)<h (x )<h (e)，即－1e ＋1<h (x )<e e ＋1，所以－1e ＋1<m <ee ＋1，故实数m －1e ＋1，故选B.4．(2023·邢台二模)已知函数f (x )＝x －ln x ＋m (m ∈R )，若f (x )有两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，则下列关系式不正确的是()A ．m <－1B ．x 1＋x 2≤2C ．0<x 1<1D ．e x 1－x 2＝x 1x 2答案B解析f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令f ′(x )＝0，解得x ＝1，故函数f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，如图，故f (x )min ＝f (1)＝1＋m <0，即m <－1，并且0<x 1<1，故A ，C 正确；由于x 1，x 2为f (x )的零点，故有x 1－ln x 1＋m ＝0①，x 2－ln x 2＋m ＝0②，两式相减得，x 1－x 2＝lnx 1x 2，即e x 1－x 2＝x 1x 2，故D 正确；由①②可知，m ＝ln x 1－x 1＝ln x 2－x 2，令g (x )＝ln x －x ，则g (x 1)＝g (x 2)，g ′(x )＝1x －1＝1－x x ，所以在(0，1)上，g ′(x )>0，g (x )单调递增，在(1，＋∞)上，g ′(x )<0，g (x )单调递减，令h (x )＝g (x )－g (2－x )＝ln x －x －ln (2－x )＋2－x ＝ln x －ln (2－x )－2x ＋2，则h ′(x )＝1x＋12－x －2＝2x 2－4x ＋2x （2－x ）＝2（x －1）2x （2－x ），所以当0＜x ＜1时，h ′(x )>0，所以h (x )在(0，1)上单调递增，所以h (x )<h (1)＝0，所以g (x 1)<g (2－x 1)，又因为g (x )在(1，＋∞)上单调递减，且g (x 2)＝g (x 1)，所以x 2>2－x 1，即x 1＋x 2>2，故B 不正确．故选B.二、多项选择题5．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x )＝x 3－x ＋1，则()A ．f (x )有两个极值点B ．f (x )有三个零点C ．点(0，1)是曲线y ＝f (x )的对称中心D ．直线y ＝2x 是曲线y ＝f (x )的切线答案AC解析因为f (x )＝x 3－x ＋1，所以f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝3x 2－1＝0，得x＝±33.由f ′(x )＝3x 2－1＞0，得x ＜－33或x ＞33；由f ′(x )＝3x 2－1＜0，得－33＜x ＜33.所以f (x )＝x 3－x ＋1∞在－33，f (x )有两个极值点，故A 正确；因为f (x )的极小值－33＋1＝1－239＞0，f (－2)＝(－2)3－(－2)＋1＝－5＜0，所以函数f (x )在R 上有且只有一个零点，故B 错误；因为函数g (x )＝x 3－x 的图象向上平移一个单位长度得函数f (x )＝x 3－x ＋1的图象，函数g (x )＝x 3－x 的图象关于原点(0，0)中心对称，所以点(0，1)是曲线f (x )＝x 3－x ＋1的对称中心，故C 正确；假设直线y ＝2x 是曲线y ＝f (x )的切线，切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，解得x 0＝±1.若x 0＝1，则切点坐标为(1，1)，但点(1，1)不在直线y ＝2x 上，若x 0＝－1，则切点坐标为(－1，1)，但点(－1，1)不在直线y ＝2x 上，所以假设不成立，故D 错误．故选AC.6．(2023·秦皇岛二模)已知函数f (x )＝ln x －ax 有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，则下列说法正确的是()A ．aB ．y ＝f (x )在(0，e)上单调递增C ．x 1＋x 2>6D ．若a x 2－x 1<2－aa答案ABD解析由f (x )＝ln x －ax ，可得f ′(x )＝1x－a (x >0)，当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，与题意不符；当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，解得x ＝1a ，∴当x f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝1a 时，f (x )取得极大值，又函数f (x )＝ln x －ax 有两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，∴ln 1a －1>0，可得0<a <1e .综上可得，0<a <1e ，故A 正确；当a →1e时，x 1＋x 2→2e<6，故C 错误；∵当x f (x )单调递增，a ∴(0，e)B 正确；∵f (x )a 1，x 1，2a ，x 2f (1)＝－a <0＝f (x 1)，∴x 1>1.∵ln 2a －2<ln e 2－2＝0＝f (x 2)，∴x 2<2a ，∴x 2－x 1<2a －1＝2－a a ，故D 正确．故选ABD.7．(2024·福建省名校联盟模拟)机械制图中经常用到渐开线函数inv x ＝tan x －x ，其中x 的单位为弧度，则下列说法正确的是()A ．x ·inv x 是偶函数B ．inv x －π2－k π，π2＋k 2k ＋1个零点(k ∈N )C ．inv x －π2－k π，π2＋k 4k ＋1个极值点(k ∈N )D ．当－π2<x <0时，inv x <x －sin x答案ABD解析函数inv x ＝tan x －x ∈R|x ≠n π＋π2，n ∈显然y ＝x 和inv x 均为奇函数，因此x ·inv x 是偶函数，A 正确；当x －π2，令h (x )＝inv x ，h ′(x )＝1cos 2x －1≥0，函数inv x －π2，x ＝0时，inv x ＝0，即函数inv x －π2，x －π2＋k 1π，π2＋k 1k 1∈Z 时，令x＝t ＋k 1π，t －π2，则tan x －x ＝tan(t ＋k 1π)－(t ＋k 1π)＝tan t －t －k 1π，令y ＝tan t －t ，t －π2，y ＝tan t －t －π2，R ，直线y ＝k 1π(k 1∈Z )与y ＝tan t －t ，t －π2唯一交点，因此函数inv x 在－π2＋k 1π，π2＋k 1k 1∈Z 上有唯一零点，所以inv x －π2－k π，π2＋k2k ＋1个零点(k ∈N )，B 正确；由B 项知，函数inv x －π2＋k 1π，π2＋k 1k 1∈Z 上为增函数，因此inv x 不存在极值点，C 错误；令函数f (x )＝inv x －x ＋sin x ，求导得f ′(x )＝1cos 2x －2＋cos x ，当－π2<x <0时，设u ＝cos x ∈(0，1)，g (u )＝1u2－2＋u ，求导得g ′(u )＝1－2u 3<0，函数g (u )在(0，1)上单调递减，g (u )>112－2＋1＝0，即f ′(x )>0，因此f (x )π2，f (x )<f (0)＝0，即inv x <x －sin x ，D 正确．故选ABD.8．(2024·日照模拟)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x ，则()A ．函数f (x )只有两个极值点B ．若关于x 的方程f (x )＝k 有且只有两个实根，则k 的取值范围为(－e ，0)C ．方程f (f (x ))＝－1共有4个实根D ．若关于x 的不等式f (x )≥a (x ＋1)的解集内恰有两个正整数，则a 的取值范，12e答案ACD解析对f (x )求导得f ′(x )＝－x 2－x －2e x ＝－（x ＋1）（x －2）ex，当x <－1或x >2时，f ′(x )<0，当－1<x <2时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1，2)上单调递增，因此f (x )在x ＝－1处取得极小值f (－1)＝－e ，在x ＝2处取得极大值f (2)＝5e 2，A 正确；由上述分析可知，曲线y ＝f (x )及直线y＝k 如图所示，由图可知，当－e<k≤0或k＝5e2时，直线y＝k与曲线y＝f(x)有2个交点，所以若方程f(x)＝k有且只有两个实根，则k的取值范围为(－e，0]∪5e2，B错误；由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，解得x＝－1±52，令f(x)＝t且f(t)＝－1，由图可知，f(t)＝－1有两解分别为－1－52<t1<－1，t2＝0，所以f(x)＝t1或f(x)＝t2，而1＋5<2e，则－1－52>－e，则f(x)＝t1有两解．又t2＝0，由图可知f(x)＝t2也有两解．综上，方程f(f(x))＝－1共有4个实根，C正确；因为直线y＝a(x＋1)过定点(－1，0)，且f(1)＝1e ，f(2)＝5e2，f(3)＝11e3，记k1＝f（1）－01－（－1）＝12e，k2＝f（2）－02－（－1）＝53e2，k3＝f（3）－03－（－1）＝114e3，所以k3<a≤k1，D正确．故选ACD.三、填空题9．(2024·长沙模拟)已知函数f(x)＝e x－2ax＋a，若f(x)恰有两个零点，则实数a的取值范围是________．答案12e32，＋∞解析函数f(x)＝e x－2ax＋a，定义域为R，显然x＝12不是f(x)的零点，令f(x)＝0，得a＝e x2x－1，设g(x)＝e x2x－1，则g′(x)＝（2x－3）e x（2x－1）2，令g′(x)<0，解得x<32且x≠12，令g ′(x )>0，解得x >32，故g (x )∞递增．当x <12时，g (x )<0，当x >12时，g (x )>0，当x ＝32时，g (x )取得极小值＝12e 32，作出函数g (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，实数a 的取值范围是e 32，＋10．(2023·福州三模)如果两个函数分别存在零点α，β，满足|α－β|＜n ，则称两个函数互为“n 度零点函数”．若f (x )＝ln (x －2)与g (x )＝ax 2－ln x 互为“2度零点函数”，则实数a 的最大值为________．答案12e解析因为函数f (x )的零点为3，所以设函数g (x )的零点为x 0，则|x 0－3|＜2，解得1＜x 0＜5.g (x 0)＝ax 20－ln x 0＝0，a ＝ln x 0x 20(1<x 0<5)，令h (x )＝ln xx 2(1<x <5)，求导得h ′(x )＝1－2ln xx3，令h ′(x )＝0，得x ＝e ，所以当x ∈(1，e)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增；当x ∈(e ，5)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减，所以h (x )max ＝h (e)＝12e .所以实数a 的最大值为12e.四、解答题11．(2023·广州模拟)已知函数f (x )＝e x －1＋e －x ＋1，g (x )＝a (x 2－2x )(a <0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)讨论函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数．解(1)由f (x )＝ex －1＋e－x ＋1，可得f ′(x )＝ex －1－e－x ＋1＝e 2（x －1）－1ex －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1，当x <1时，则x －1<0，可得f ′(x )<0，f (x )在(－∞，1)上单调递减；当x >1时，则x －1>0，可得f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．故函数f (x )的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是(1，＋∞)．(2)由h(x)＝0，得f(x)＝g(x)，因此函数h(x)的零点个数等价于函数f(x)与g(x)图象的交点个数．因为g(x)＝a(x2－2x)(a<0)，所以g(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(1，＋∞)，所以当x＝1时，g(x)取得最大值g(1)＝－a.由(1)可知，当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝2，当－a<2，即－2<a<0时，函数f(x)与g(x)的图象没有交点，即函数h(x)没有零点；当－a＝2，即a＝－2时，函数f(x)与g(x)的图象只有一个交点，即函数h(x)只有一个零点；当－a>2，即a<－2时，函数h(x)有两个零点，理由如下：因为h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1＋e－x＋1－a(x2－2x)，所以h(1)＝2＋a<0，h(2)＝e＋e－1>0，由函数零点存在定理，知h(x)在(1，2)内有零点．又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以h(x)＝f(x)－g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)＝f(x)－g(x)在(1，＋∞)上只有一个零点．又因为f(2－x)＝e(2－x)－1＋e－(2－x)＋1＝e1－x＋e x－1＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，因为g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)与g(x)的图象都关于直线x＝1对称，所以h(x)＝f(x)－g(x)在(－∞，1)上也只有一个零点．所以当a<－2时，函数h(x)＝f(x)－g(x)有两个零点．ax2－ln x.12．(2024·镇江模拟)已知函数f(x)＝12(1)若a＝1，求f(x)的极值；(2)若方程f(x)＝1在区间[1，2]上有解，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝12x2－ln x，f′(x)＝x2－1x，令f′(x)＝0，得x＝1，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(1)＝12，无极大值．(2)因为f′(x)＝ax－1x ＝ax2－1x，①若a≥1，当x∈[1，2]时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在[1，2]上单调递增，要使方程f(x)＝1在[1，2]1）≤1，2）≥1，1，－ln2≥1，得1＋ln22≤a≤2，因为1＋ln22<1，所以1≤a≤2.②若a≤14，当x∈[1，2]时，f′(x)≤0恒成立，所以f(x)在[1，2]上单调递减，此时f(x)≤f(1)＝a2≤18，不符合题意．③若14<a<1，当1≤x<1a时，f′(x)<0，当1a<x≤2时，f′(x)>0，所以f(x)在12上单调递增，此时f(1)＝a2<12，f(1)<12，要使方程f(x)＝1在[1，2]上有解，则需f(2)＝2a－ln2≥1，解得a≥1＋ln22，所以1＋ln22≤a<1.综上可知，实数a的取值范围为1＋ln22，2.13．(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝x aa x(x>0)．(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．解(1)当a＝2时，f(x)＝x22x(x>0)，f′(x)＝x（2－x ln2）2x(x>0)．令f′(x)>0，得0<x<2ln2；令f′(x)<0，得x>2ln2，故函数f(x)(2)要使曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，即方程x aa x ＝1(x>0)有两个不同的解，故方程ln xx＝ln aa有两个不同的解．设g(x)＝ln xx(x>0)，则g′(x)＝1－ln xx2(x>0)．令g′(x)＝1－ln xx2＝0，解得x＝e.令g′(x)>0，则0<x<e，此时函数g(x)单调递增．令g′(x)<0，则x>e，此时函数g(x)单调递减．故g(x)max＝g(e)＝1e，且当x>e时，g(x)又g(1)＝0，故要使方程ln xx ＝ln aa有两个不同的解，则0<ln aa<1e.即0<g(a)<g(e)，所以a∈(1，e)∪(e，＋∞)．综上，a的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞)．14．(2023·济南模拟)已知函数f(x)＝x ln x－ax2－x，g(x)＝f（x）x，a∈R.(1)讨论g(x)的单调性；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，证明：x41x2>e3(e＝2.71828…为自然对数的底数)．解(1)g(x)＝f（x）x ＝ln x－ax－1，g′(x)＝1x－a，①当a≤0时，g′(x)＞0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a＞0时，令g′(x)＝0，解得x＝1a，当x g′(x)＞0，g(x)单调递增，当x g′(x)＜0，g(x)单调递减．综上，当a≤0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，g(x)(2)证明：由题意知，f′(x)＝ln x－2ax，x1，x2是f′(x)＝0的两根，即ln x1－2ax1＝0，ln x2－2ax2＝0，解得2a＝ln x1－ln x2x1－x2，(*)要证x41x2>e3，即证4ln x1＋ln x2＞3，即证4·2ax1＋2ax2＞3，把(*)式代入得ln x1－ln x2x1－x2(4x1＋x2)>3，所以应证ln x1x2<3（x1－x2）4x1＋x2＝4·x1x2＋1令t＝x1x2，0＜t＜1，即证h(t)＝ln t－3（t－1）4t＋1<0(0<t<1)成立，而h′(t)＝1t －15（4t＋1）2＝16t2－7t＋1t（4t＋1）2>0，所以h(t)在(0，1)上单调递增，h(t)＜ln1－3×（1－1）4×1＋1＝0，不等式得证．。
高三单招数学必考知识点
高三单招数学必考知识点一、知识概述《函数》①基本定义：函数就像一个机器，你给它一个输入值（自变量），它就按照一定的规则，给你一个输出值（因变量）。
比如说，有个函数是\(y = 2x\)，你给\(x\)一个值\(3\)，按照规则\(2\times3\)，它就输出\(y = 6\)。
②重要程度：函数在高三单招数学里那就像武林大会里的盟主一样。
函数题是必考的，几乎所有的数学问题都多少和函数有点关系。
③前置知识：代数式的运算你得会吧，像加、减、乘、除运算要是不熟练，函数的表达式处理起来就费劲。
还有坐标轴知识，因为函数很多时候是画在坐标轴上的。
④应用价值：在生活中，函数可有用啦。
比如计算成本和收益的关系，生产多少个产品能达到最大利润，这就可以用函数来模拟分析。
二、知识体系①知识图谱：函数那可是在数学知识的中央大地上。
从简单的一次函数、二次函数，到复杂的指数函数、对数函数等，像星星围在月亮周围，都和函数挂钩。
②关联知识：函数和方程关系密切，方程其实可以看作函数值等于某个特定值的时候的情况。
数列也和函数有关，数列可以看作是自变量为正整数的函数。
③重难点分析：函数的难点在理解函数的概念，特别是对应关系那一块。
很多同学就搞不清楚不同变量之间的内在联系。
要点就是把握函数的定义域（自变量能取值的范围）和值域（函数值的范围）。
④考点分析：在单招考试里，函数的定义、函数的图象、函数的单调性（函数是一直上升或者下降的一个性质）还有函数求值都是常见考点。
往往会直接出函数求值的选择题，或者考函数图象相关的填空题。
三、详细讲解- 【理论概念类】①概念辨析：函数说到底就是两个非空数集之间的对应关系。
就像快递中心，一个地区（数集A）寄过来包裹，按照地址（规则）送到另一个地区（数集B）。
②特征分析：函数有单值性，一个自变量\(x\)对应的函数值\(y\)是唯一的。
比如\(y = x^{2}\)，\(x = 2\)的时候\(y = 4\)，不会再有其他结果。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用非常广泛。
在物体运动中，导数可以帮助我们计算速度和加速度，从而预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数也被广泛应用，帮助我们找到函数的最大值和最小值。
在经济学中，导数被用于边际分析，帮助企业和政府做出决策以最大化利润或效益。
在医学领域，导数可以帮助分析身体的变化和疾病的发展趋势。
而在工程领域，导数则被用于解决各种实际问题，例如设计建筑结构和优化生产过程。
导数在不同领域中都起着重要作用，通过综合运用导数，我们能够更好地解决各种实际生活中的问题。
【关键词】导数、实际生活、物体运动、速度、加速度、最优化、边际分析、医学、工程领域、重要作用、解决问题1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用是一种重要的数学概念，它广泛应用于各个领域，为解决实际生活中的问题提供了有效的数学工具。
导数是函数在某一点处的变化率，它可以帮助我们理解事物的变化规律，并从中得出一些有用的结论。
在物理学中，导数被用来描述物体的运动速度和加速度，帮助我们预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，从而优化生产和经营活动。
在经济学中，导数被应用于边际分析中，帮助我们确定最优的生产和消费决策。
在医学领域，导数被用来描述生物体的变化规律，帮助医生做出诊断和治疗方案。
工程领域的实际情况中，导数被广泛应用于设计和优化工程系统，提高生产效率和质量。
导数在不同领域中均起着重要作用，综合运用导数能够解决各种实际生活问题，为我们的生活带来更多便利和效率。
2. 正文2.1 物体运动的速度和加速度物体运动的速度和加速度是导数在实际生活中的一个重要应用领域。
在物理学中，我们经常需要研究物体在运动中的速度和加速度变化情况，而导数提供了一种有效的工具来描述这些变化。
我们知道速度是描述物体在单位时间内所经历的位移量，而加速度则是描述速度在单位时间内的改变量。
简单来说，速度是位移关于时间的导数，而加速度则是速度关于时间的导数。
牛顿-莱布尼茨方法[001]
![牛顿-莱布尼茨方法[001]](https://img.taocdn.com/s3/m/3b78743c5bcfa1c7aa00b52acfc789eb172d9e28.png)
牛顿-莱布尼茨方法一、简介牛顿-莱布尼茨方法是微积分中一种重要的计算导数的方法。
该方法由著名数学家牛顿和莱布尼茨独立发现，并几乎同时得到广泛应用。
它通过利用导数的定义来计算函数在给定点的斜率，从而帮助我们研究函数的性质和进行计算。
二、导数的定义导数是描述函数变化率的概念。
在数学上，如果函数f(x)在点x处有导数，我们将其记为f'(x)或者dy/dx。
导数表征了函数f(x)在点x处的斜率，表示了函数曲线在该点的“陡峭”程度。
三、牛顿-莱布尼茨方法的原理牛顿-莱布尼茨方法的原理基于导数的定义。
给定一个函数f(x)，我们可以找到一个与该函数相切的直线。
这条直线的斜率等于函数在给定点x处的导数。
为了计算这个导数，我们可以选择一个非常接近x的点进行计算，然后再逐渐逼近x来获得准确的导数值。
四、计算导数的步骤牛顿-莱布尼茨方法的计算步骤如下：1、选择一个离给定点x很近的点a。
2、计算函数f(x)在点a处的函数值f(a)。
3、计算函数f(x)在点a处的导数值f'(a)。
4、利用导数的定义，确定函数f(x)在点a附近的一条切线。
5、将切线的斜率作为函数f(x)在给定点x处的导数值f'(x)。
五、应用范围牛顿-莱布尼茨方法在微积分的许多领域都有广泛应用。
它可以用来计算函数在某一点的导数值，从而得到函数的变化率；它可以帮助我们研究函数的极值点、拐点等重要特性；它还可以用于解决各种实际问题，如物理学中的运动学问题、经济学中的边际分析等。
六、总结牛顿-莱布尼茨方法是一种基于导数的计算方法，在微积分中具有重要的应用价值。
通过利用导数的定义，它帮助我们计算函数在给定点的斜率，研究函数的性质，并解决实际问题。
掌握牛顿-莱布尼茨方法对于深入理解微积分以及应用领域的发展都具有重要意义。
千尺学堂,贾天下讲的颈锥外调方法二千尺学堂，贾天下讲的颈锥外调方法二颈锥外调方法是一种常见的体育训练方式，它可以有效地改善颈部功能、增强颈部力量，并提高颈部的灵活性。
新高考方案二轮-数学(新高考版)大题专攻(三) 利用导数研究函数零点问题
[对点训练] 1．(2021·柳州高级中学期末)已知函数f(x)＝2ln(x－1)－(x－1)2.
(1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若关于x的方程f(x)＋x2－3x－a＝0在区间[2,4]内恰有两个相异的实根，求 实数a的取值范围．
解：(1)函数 f(x)的定义域是(1，＋∞)． f′(x)＝2x－1 1－x－1＝2xx－2－1x，又 x>1，令 f′(x)>0，解得 1<x<2， 所以函数 f(x)的单调递增区间是(1,2)．
则gg23≥<00，， g4≥0，
即aa＋＋34≥－02，ln 2<0， a＋5－2ln 3≥0，
解得 2ln 3－5≤a<2ln 2－4.
综上所述，实数 a 的取值范围是[2ln 3－5,2ln 2－4)．
2．已知函数f(x)＝x3－kx＋k2. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围．
(2)由(1)知 f′(x)＝1x＋a＝1＋xax(x>0)． 当 a≥0 时，∵f′(x)＝1＋xax>0，∴函数 f(x)＝ln x＋ax 在(0，＋∞)上单调 递增，从而函数 f(x)至多有一个零点，不符合题意；
当 a<0 时，∵f′(x)＝
(x>0)，
∴要满足函数 f(x)在定义域内有两个不同的零点 x1，x2，必有 f(x)max＝
－1>0，得 a>－1e，∴实数 a 的取值范围是
.
[提分技巧] 已知函数零点个数求参数范围的策略
(1)根据区间上零点的个数情况估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数 需要满足的条件，进而求出参数满足的条件．
(2)先求导，通过求导分析函数的单调性情况，再依据函数在区间内的零点情 况，推导出函数本身需要满足的条件．此时，由于函数比较复杂，常常需要构造 新函数，通过多次求导，层层推理得解．
2023年黑龙江省大庆中学高考数学适应性试卷+答案解析(附后)
2023年黑龙江省大庆中学高考数学适应性试卷1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 若复数，在复平面内对应的点关于x 轴对称，且，则复数( )A.B. C.D.3. 已知正项等比数列首项为1，且，，成等差数列，则前6项和为( )A. 31B.C.D. 634. 若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则其表面积为( )A. B.C.D.5. 已知，若，则( )A. 4042B. 2024C.D.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若A 为线段的中点，且，则C 的离心率为( )A.B. 2C.D. 37. 已知函数，其中若在区间上单调递增，则的取值范围是( )A. B.C. D.8. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.B.C. D.9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是( )A. B.C. 向量与的夹角为D. 向量在上的投影向量为10. 已知，，且，若不等式恒成立，则m 的值可以为( )A. 10B. 9C. 8D. 711. 下列命题中，正确的命题是( )A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C. 设随机变量服从正态分布，若，则D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当时概率最大12. 已知定义域为R的函数对任意实数x，y都有，且，则以下结论正确的有( )A. B. 是偶函数C. 关于中心对称D. …13. 已知的展开式中含项的系数为60，则实数______.14. 2022年1月初，河北某区域的“新冠疫情”出现明显反弹，相关部门紧急从H省抽调包括甲、乙在内的七名医疗专家进驻该区域的三个疫情“高风险”地区进行协助防控，要求每个地区至少安排两名专家，则甲、乙两名专家安排在不同地区的概率为______ .15. 已知抛物线C：的焦点为F，直线l过点F与C交于A，B两点，与C的准线交于点P，若，则l的斜率为______ .16. 已知四棱锥中，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，，以P为球心为半径的球面与底面ABCD的交线长为______.17. 在三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知；求角B的大小；若，三角形ABC的面积为，求三角形ABC的周长．18.已知数列为等差数列，数列满足，且，求，的通项公式；证明：19. 在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为梯形，，，，平面求BE与平面EAC所成角的正弦值；线段BE上是否存在点M，使平面平面DFM？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．20. 动点M与定点的距离和M到定直线的距离之比是常数求动点M的轨迹G的方程；设O为原点，点，过点A的直线l与M的轨迹G交于P、Q两点，且直线l与x轴不重合，直线BP、BQ分别与y轴交于R、S两点，求证：为定值．21. 血液检测是诊断是否患某疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性．若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒．根据统计发现，每个疑似病例的样本呈阳性即样本携带病毒的概率均为现有4例疑似病例，分别对其进行血液样本检测．多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性．现有以下两种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验．在该疾病爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．若，求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列；若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p的取值范围，22. 设向量，，，当时，求的极值；当时，求函数零点的个数.答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，，故选：求出集合B，利用并集定义能求出本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：复数，在复平面内对应的点关于x轴对称，且，，故选：根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：，，成等差数列，，又正项等比数列首项为1，，解得或舍去，，故选：利用等差数列的性质及等比数列的前n项和公式即可求解．本题考查等差数列的性质，考查等比数列的通项公式及前n项和，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】D【解析】解：如图，是边长为2的等边三角形，则，该圆锥的表面积故选：由题意画出图形，求得圆锥的底面半径与母线长，则圆锥的表面积可求．本题考查圆锥表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：由题意，，故，所以故选：计算再求解即可．本题主要考查了函数值的求法，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由题意可知，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，A 为线段的中点，当交点在x轴上方或x轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图．根据双曲线可得，，，两条渐近线方程，，O为的中点，，又为线段的中点，垂直平分，可设直线为①，直线为②，直线BO为③，由②③得，交点坐标，点B还在直线上，，可得，，所以双曲线C的离心率，故选：由题意可得为直角三角形，再结合A为线段的中点，可得AO垂直平分，可表示出直线，，再联立渐近线方程可以得到a，b，c的关系，进而得到双曲线离心率．本题考查双曲线的性质，考查直线与双曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：，函数在区间内单调递增，，，，，若在区间上单调递增，则，解得，当时，，当时，，当k取其它值时不满足，的取值范围为故选：若在区间上单调递增，满足两条件：①区间的长度超过；②的整体范围在正弦函数的增区间内，取合适的整数k求出的取值范围．本题考查三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：，，，则，，，由得，由得，由得，在上单调递增，在上单调递减，，，即，，故选：构造函数，，则，利用导数研究函数单调性，可得，即可得出答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：已知平面向量，，对于选项A，，则，即选项A正确；对于选项B，，即选项B正确；对于选项C，向量与的夹角的余弦值为，则向量与的夹角为，即选项C错误；对于选项D，向量在上的投影向量为，即选项D正确，故选：由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算及投影向量的运算逐一判断即可得解．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算及投影向量的运算，属基础题．10.【答案】BCD【解析】解：，，且，，当且仅当时取等号，不等式恒成立，则，故选：利用“1”的代换求出的取值范围即可判断．本题主要考查了恒成立问题与最值的求解的相互转化，属于基础题．11.【答案】BCD【解析】解：对于A，由题意可得：，两式相比可得：，故，故A错误；对于B，由可知当时，，故B正确；对于C，由可知，且，，故C正确；对于D，，，令，解得：，又，故，故时，概率最大，故D正确．故选：根据二项分布的性质列方程组计算p判断A，根据方差性质判断B，根据正态分布对称性判断C，根据二项分布的概率公式判断本题考查了随机变量的分布列及其性质，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：函数对任意实数x，y都有，取得，，，，故A错误，取得，，又，，，为偶函数，故B正确，取得，，又，，函数关于点中心对称，故C正确，为偶函数，且函数关于点中心对称，函数的周期，取得，，，取得，，…，故D正确．故选：函数对任意实数x，y都有，取得可求出的值，取得可证得函数为偶函数，取可得函数关于点中心对称，结合对称轴和对称中心可求出函数的周期，进而可判断本题主要考查了抽象函数的性质，考查了赋值法的应用，以及函数的对称性和周期性，属于中档题．13.【答案】【解析】解：的通项公式为，令，解得，故，解得故答案为：先求出的通项公式，令，求出r，再结合含项的系数为60，即可求解．本题主要考查二项式定理，属于基础题．14.【答案】【解析】解：每个地区至少安排两名专家，则所有的可能情况有：种，若甲乙安排在相同地区，则有：种，则甲乙安排在不同地区的情况有：种，故甲、乙两名专家安排在不同地区的概率为故答案为：求得七名专家安排的所有可能情况，以及满足题意的可能情况，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．本题主要考查了排列组合知识，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．15.【答案】【解析】解：若A在第一象限，过A，B，分别作，垂直准线，设，，，则，则，则，则，即直线l的斜率，同理若A在第四象限，则直线l的斜率，综上，故答案为：根据抛物线的定义，利用向量关系转化为相似三角形的边长比例关系，利用三角函数的正切定义进行求解即可．本题主要考查直线斜率的计算，根据抛物线的定义转化为三角形的边长关系是解决本题的关键，是中档题．16.【答案】【解析】解：四棱锥中，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，，以P为球心为半径的球面与底面ABCD的交线就是底面ABCD中Q到A的距离为1的点的轨迹，是半径为1的圆的，交线长为：故答案为：画出图形，判断以P为球心为半径的球面与底面ABCD的交线的图形，然后求解即可．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：因为，由正弦定理可得，，所以，即，化简得，由B为三角形内角得；因为，三角形ABC的面积为，所以，所以，，由余弦定理得，所以，故三角形的周长为【解析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求B；由已知结合三角形面积公式可求a，c，然后结合余弦定理可求b，进而可求三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】解：设等差数列的公差为由，所以数列为等差数列，且，的公差相等，均为由，得，则由，得，即因为，所以，则有，则，故数列的通项公式为，则数列的通项公式；证明：由可知，则【解析】根据等差数列的性质和通项公式进行求解即可；利用裂项相消法进行求解即可．本题主要考查数列与不等式的综合，等差数列的通项公式，裂项求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为梯形，，，平面以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CF为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，设平面EAC的法向量，则，取，得，设BE与平面EAC所成角为，则与平面EAC所成角的正弦值为线段BE上不存在点M，使平面平面理由如下：设线段BE上存在点，，，使平面平面DFM，则，，，，设平面DMF的法向量，则，取，得，平面平面DFM，平面EAC的法向量，，解得，线段BE上不存在点M，使平面平面【解析】以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CF为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面EAC的法向量，利用向量法能求出BE与平面EAC所成角的正弦值．设线段BE上存在点，，，使平面平面DFM，求出平面DMF的法向量和平面EAC的法向量，利用向量法求出线段BE上不存在点M，使平面平面本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：设点，由题意可得，整理可得，即；证明：设过点A的直线l为，设，，联立可得，消x可得，，，又直线BP的方程为，令，解得，即，同理可得，问题得以证明．【解析】设点，由题意可得，整理化简可得动点M的轨迹G的方程，设过点A的直线l为，设，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，表示出直线方程，即可得到点的坐标，从而求出的值．本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．21.【答案】解：由题意知，，则；；；；则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列为X01234P方案一中，逐个化验，化验次数为4，期望为4，方案二中，设化验次数为Y，则Y的所以可能取值为2，4，6，每组两个样本化验呈阴性的概率为，设，则，，，所以；若方案二比方案一更“优”，则，解得，即，解得所以当时，方案二比方案一更“优”．【解析】由题意知，利用二项分布的概率计算公式即可求解；方案一中，期望为4；方案二中，设化验次数为Y，则Y的所以可能取值为2，4，6，计算出Y的取值对应的概率，然后根据期望公式求出，从而即可求解．本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．22.【答案】解：根据已知得，当时，，，，由得或舍当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以的极小值为，无极大值．因为，若，当时，；当时，；当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，有极大值，极小值，又，所以函数有1个零点．若，恒成立，函数单调递增，此时，，所以函数有1个零点；若，当时，；当时，；当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以有极大值，显然极小值，又，所以函数有1个零点．综上所述，当时，函数的零点个数为【解析】将a的值代入，然后求导，分析单调区间求极值即可．对a分类讨论，分别求函数单调区间，结合极值即可判断零点个数．本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了导数与单调性及函数性质在函数零点个数判断中的应用，属于中档题．。
“运用导数证明不等式”教学设计
运用导数证明不等式 教学设计金玉明(江苏省南京市第九中学㊀２１００１８)摘㊀要:数学证明的真谛不在于能证明命题真假ꎬ而在于它能启发人们对命题有更深刻的理解ꎬ并能促进新发现ꎬ这就突破了传统教学中对数学证明的观念.根据这样的认识ꎬ我们认为对数学学习来说ꎬ数学证明的教育价值主要体现在帮助学生学会学习㊁培养学生思维能力㊁提升学生核心素养等几个方面.关键词:导数证明ꎻ设计明暗线ꎻ问题ꎻ方法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)１５－００３８－０３收稿日期:２０２２－０２－２５作者简介:金玉明(１９７７.１－)ꎬ男ꎬ江苏省南京人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.１近５年«运用导数证明不等式»全国卷高考考查情况调查㊀㊀２０１６年在新课标全国卷Ⅰ㊁Ⅱ(理科)２１㊁新课标全国卷Ⅲ(文科)２１㊁浙江卷(文㊁理科)２０㊁山东卷(理科)２０考查.２０１７年在新课标全国卷Ⅱ(理科)２１㊁新课标全国卷Ⅲ(文科)２１㊁(理科)２１(数列不等式)㊁天津卷(理科)２０㊁(文科)１９㊁江苏卷２０㊁浙江卷２２(Ⅱ)(数列不等式)考查.２０１８年在新课标全国卷Ⅰ(文科)２１㊁(理科)２１㊁新课标全国卷Ⅱ(理科)２１㊁新课标全国卷Ⅲ(文科)２１㊁(理科)２１㊁浙江卷２２(Ⅰ)考查.２０１９年在北京卷(理科)１９㊁(文科)２０㊁天津卷(理科)２０㊁(文科)２０考查.２０２０年在天津卷２０㊁浙江卷２２考查.近五年考查非常密集.２教学设计思路本节课内容按照 情境ң问题ң方法和思路ң运用 的路径安排学习过程ꎬ体现了知识运用问题转化的一般思路ꎬ有利于学生形成系统㊁普适的数学思维模式.有利于提升学生透过问题看本质的能力ꎬ使学生学会以简驭繁ꎬ养成一般性思考问题的好习惯ꎬ从而发展数学抽象素养ꎬ提升逻辑思维素养和数学运算素养.３教学设计明线明线一:知识.运用导数求解最值㊁提升至运用导数证明命题.明线二:题型.解答题㊁证明题之间的互相转换ꎬ会运用导数证明不等式.４教学设计暗线暗线一:思维方式.构造函数ꎬ求最值.暗线二:核心素养提升.逻辑思维能力㊁抽象能力和数学运算能力.５课堂教学设计５.１教学目标８３(１)体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性ꎬ同时感受和体会数学自身发展的一般规律ꎻ(２)体会数形结合的作用ꎬ能运用导数方法严格论证代数关系.教学重点运用导数证明不等式.教学准备ＰＰＴ㊁ＧＧＢ或者几何画板作图演示(图形更加直观ꎬ但是不能作为证明方法).５.２教学过程５.２.１问题情境问题１.说明函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ与函数ｇ(ｘ)＝ｘ＋１之间的大小关系.引例:求函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ－(ｘ＋１)的最小值.教学设计意图本情境的提出使学生明确:导数的学习ꎬ可以使我们对函数最值的研究方法更加丰富ꎬ而最值求出后ꎬ就得出了不等关系.那么不等关系的证明也可以看作是最值的求解ꎬ这需要作合理的转换.引出本节课主题:运用导数证明不等式.问题与方法总结函数单调性研究的一个重要作用是依据函数单调性求函数最值ꎬ而导数的重要作用是可以研究函数单调性ꎬ特别是研究超越函数单调性.求出函数最值后可以比较两个函数大小关系ꎬ就可以出现证明题ꎬ所以引出本节课题«运用导数证明不等式».所证明的不等式应该是有超越函数存在的不等式形式ꎬ否则不一定需要用导数方法证明ꎬ体现导数方法证明不等式的必要性.当然ꎬ选择本情境还因为是这两个函数的大小关系也是很多不等式证明时经常用来放缩的一个背景ꎬ需要给予足够的重视.５.２.２学生活动与师生互动问题２.运用导数ꎬ证明不等式.例１㊀求证:对于ｘɪＲꎬｅｘȡｘ＋１.教学设计意图通过本题的研究ꎬ确立导数证明不等式的方法ꎬ同时明确一个常见不等关系.在方法层面上ꎬ引导学生对作差法与作商法进行比较ꎬ明确一题多解的必要性.厘清用导数法证明不等式的基本方法和步骤.思维上提升逻辑思维素养和数学运算素养.研究方案(１)通过ＧＧＢ(或者几何画板)演示ꎬ首先让学生有一定的直观感受ꎬ明确有不等关系的两个函数图像之间应当可以被一条线分割开. (２)师生共同完成该问题ꎬ并研究方法.５.２.３建构数学问题与方法总结含超越函数的不等式证明问题ꎬ主要方法是:构造函数ꎬ求最值.而构造函数的方法可以是作差或者是作商.方法一:作差ꎬ构造函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ－(ｘ＋１)ꎬ求出函数最小值为０ꎬ证明不等式.方法二:作商ꎬ构造函数ｆ(ｘ)＝ｘ＋１ｅｘꎬ求出函数最大值为１ꎬ证明不等式.５.２.４第一次课堂练习变式训练一:(２０１８全国Ⅱ卷理数２１(１))求证:对于ｘɪ[０ꎬ＋ɕ)ꎬｅｘȡｘ２＋１.教学设计意图变式训练一探究两种方法ꎬ并体验方法一需要多次求导的不便性ꎬ以确立第二种方法的必要性.巩固运用导数证明不等式的方法ꎬ有利于学生把握相关数学内容的本质.提升学生数学抽象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.问题与方法总结问题为含超越函数的不等式证明题ꎬ依据例题ꎬ采用构造函数的方法进行证明.对于作差法ꎬ本题需要二次求导解决问题ꎬ方法略显复杂.对于作商法ꎬ关注 指数好基友 属性ꎬｅｘ可以作为分母ꎬ在求导时减少运算量ꎬ便于顺利解决问题.借助本练习ꎬ让学９３生体会方法选择的重要性.５.２.５数学应用例２㊀求证:对于ｘɪ(０ꎬ＋ɕ)ꎬｘȡｌｎｘ＋１.教学设计意图题目与方法层面ꎬ不同函数类型ꎬ运用同样方法解决问题.问题进一步提升导数证明不等式意识ꎬ提高解题心理表征属性.思维层面ꎬ考虑到ｘȡｌｎｘ＋１是由ｅｘȡｘ＋１中将ｘ换成ｘ－１并取对数得到ꎬ提升学生数学抽象核心素养.问题与方法总结作差法还是作商法的选择再一次成为本节课的焦点ꎬ让学生体会 对数单身狗 属性的了解.明确两个问题ｅｘȡｘ＋１与ｘȡｌｎｘ＋１本质是同一个问题.通过ＧＧＢ(或者几何画板)演示ꎬ首先让学生有一定的直观感受.５.２.６第二次课堂练习问题３.综合运用变式训练二:求证:对于ｘɪ[１ꎬ＋ɕ)ꎬｘｌｎｘｘ＋１ɤ１２(ｘ－１).教学设计意图本题的设计目的ꎬ除了相关知识和方法巩固㊁问题解决过程中发展学生的数学运算㊁逻辑思维外ꎬ还希望能够更好激活学生的知识网络ꎬ引导学生在运用已有知识方法解题进行认知建构过程中ꎬ提升元认知监控能力.学生只有在解题中不断分析㊁推理㊁反思㊁比较和鉴别ꎬ才能形成正确思路并准确表达其思维过程.问题与方法总结结构不良ꎬ复杂的不等式问题证明ꎬ需要使用分析法将不等式先作合理转换ꎬ再构造函数进行证明.同时关注 对数单身狗 属性.５.２.７回顾小结对于本节课ꎬ你有哪些不同层次的体会?知识:用导数法证明不等式问题的研究.方法:构造函数ꎬ求函数最值㊁ 指数好基友㊁对数单身狗 的转换方式.思维:提升逻辑思维㊁数学运算㊁数学抽象(由ｅｘȡｘ＋１转化得到ｘȡｌｎｘ＋１的数学抽象方法)等核心素养.６教后反思首先ꎬ本节课重点研究的不等关系:ｅｘȡｘ＋１ꎬ既是研究的题目ꎬ也是放缩法的桥梁.如几种放缩方法:化曲为直㊁化动为静㊁化繁为简㊁顺水推舟等.其次ꎬ本节重点研究的不等关系:ｅｘȡｘ＋１ꎬ既是其它不等式证明的源头ꎬ也是问题解决方法的重要背景ꎬ并且问题的变化往往也是通过这个不等关系得到的.在教学过程中ꎬ我们对二级结论的探究和使用一直都存在分歧ꎬ笔者认为二级结论在选择填空题中应大胆使用ꎬ在解答题中应当在证明结论的前提下可以使用ꎻ教学中对于学习能力强的同学应当对二级结论有一定认识ꎬ而对于学习能力较弱的同学应更加注重通性通法ꎻ平时教学应当以通性通法为主要教学内容ꎬ如果提到二级结论ꎬ应当尽量给出较为完善的推理证明过程.再次ꎬ明确不等式证明还有其它的题型ꎬ比如不等式两边可以分别求最大值与最小值直接比较大小关系ꎬ而移到一侧却无法求最值ꎬ此类问题也需要关注.最后ꎬ不等式证明还可以延伸至数列中不等关系证明ꎬ需要前后对应ꎬ寻找关联ꎬ解决问题.用函数方法解决数列问题是比较常见的一种解决问题方法ꎬ需要给予足够关注.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１８(１).[２]史宁中.数学基本思想１８讲[Ｍ].北京:北京师范大学出版社ꎬ２０１６(１０).[责任编辑:李㊀璟]０４。
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用导数研究三次函数一、知识点解析 1、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”。
定义2、三次函数的导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ，我们把)3412422ac b ac b -=-=∆（,叫做三次函数导函数的判别式。
2、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一般地，当032≤-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032>-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。
2、对称中心三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(abf a b --，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题（1）当032≤-=∆ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
（2）当△=032>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。
此时：①若0)()(21>⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若0)()(21<⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点与极小值点在x 轴异侧，图象与x 轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③若0)()(21=⋅x f x f ，即)(1x f 与)(2x f 中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
4、极值点问题若函数f(x)在点x 0的附近恒有f(x 0)≥f(x) (或f(x 0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x 0处取得极大值（或极小值），称点x 0为极大值点（或极小值点）。
当0∆>时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点要么有两个。
当0∆≤时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点。
5、最值问题。
函数若，且，则：()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =；。
6、过三次函数上一点的切线问题设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。
若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。
7、过三次函数外一点的切线问题设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外，则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切。
可能有一条、两条或三条。
（具体情况分析不作要求）8、32()0f x ax bx cx d a =+++>（）类似于二次函数的图像和性质表：二、经典题型一、考查函数的奇偶性和单调性例1 已知函数f(x)=x 3+px+q(x ∈R)是奇函数，且在R 上是增函数，则（）A 、p=0,q=0B 、p ∈R,q=0C 、p ≤0,q=0D 、p ≥0,q=0 解析由奇函数以及增函数的定义易知选D032>-ac b032≤-ac b图像)()(21<⋅x f x f0)()(21=⋅x f x f0)()(21>⋅x f x f()0f x =根的个数 三实根 两实根 一实根 一实根与x 轴的交点三交点两交点 一交点 一交点单调性 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数.，在),(21x x 上为减函数在R 上为增函数极值 有两个极值，一个极大值1()f x ，一个极小值2()f x无极值二、考查函数图象的对称性例2 函数f(x)=x 3-3x 2+x-1的图象关于（）对称A 、直线x=1B 、直线y=xC 、点(1,-2)D 、原点解析由f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)的图象关于()2327233,a ba bc ab d +--成中心对称知选C 例3、（2013课标全国，16）若函数))(1()(22b ax x x x f ++-=的图像关于直线x=-2对称，则)(x f 的最大值为____________.解析：函数))(1()(22b ax x x x f ++-=的图象关于直线x=-2对称，则⎩⎨⎧-=-=)5()1()4()0(f f f f解得a=8，b=5，所以)158)(1()(22++-=x x x x f 可以解得)(x f 的最大值为16。
三、运用函数的性质和数形结合思想解题例4 已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则（） A 、b ∈(-∞,0) B 、b ∈(0,1) C 、b ∈(1,2) D 、b ∈(2,+∞)解析显然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x-1)(x-2)知a>0，又 f(x)= ax 3-3ax 2+2ax 比较系数可知b=-3a<0，故选A 引申试确定的a,b,c,d 符号（答：a>0,b<0,c>0,d=0）例5（2013课标全国Ⅱ卷，10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是（） （A ）∃x α∈R,f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则()0'0f x =解析：由三次函数值域为R 知f(x)=0有解，A 正确；由性质可知B 正确;x由性质可知若f(x)有极小值点，则0)(='x f 由两个不相等的实数根)(,2121x x x x <,))((323)(212x x x x b ax x x f --=++=',则f(x)在（-∞,x 1)上为增函数，在),(21x x 上为减函数，在（x 2，,∞+)上为增函数，故C 错。
D 正确。
选C 。
四、考查单调区间、极值、最值的问题例6（2010年全国卷Ⅱ文）已知函数f （x ）=x 3-3ax 2+3x+1。
（Ⅰ）设a=2，求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）设f （x ）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值围。
解析： （2）求出函数的导数()f x '，在（2，3）有极值，即为()f x '在（2，3）有一个零点，即可根据(2)(3)0f f ''<，即可求出a 的取值围。
五、考查交点个数问题例7 （2009文20）已知函数3()31,0f x x ax a =--≠ （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点．．．．．．．．．．， 求m 的取值围.解：（1）'22()333(),f x x a x a =-=-当0a <时，对x R ∈，有'()0,f x >所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞当0a >时，由'()0f x >解得x <x >'()0f x <解得x <<所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，单调减区间为(.（2）因为()f x 在1x =-处取得极大值，所以'2(1)3(1)30, 1.f a a -=⨯--=∴=所以3'2()31,()33,f x x x f x x =--=-由'()0f x =解得121,1x x =-=.由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值1，在1x =处取得极小值-3. 因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，所以m 的取值围是(3,1)-. 点评：（1） 本题是三次函数零点存在性问题的典型变式题，涉及图象交点向函数零点的转化关系；（2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法； （3） 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质.六、考查曲线的切线问题例8（2007全国II 理22）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，若过点()a b ，可作曲线．．．．()y f x =的三条切线．．．．．，证明：()a b f a -<<解：（1）()f x 的导数2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线， 则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上所述，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<．点评：（1） 本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体；（2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法； （3） 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质. 七、含参数的恒成立问题 例9（2008年文） 设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数。