直线和圆与方程 - 360文档中心

必修二直线与圆的方程知识点

第三章：直线与方程 1、倾斜角与斜率：1212tan x x y y --==α 2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y -=⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式：121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：1x y a b+= ⑸一般式：0=++C By Ax3、对于直线：222111:,b x k y l +=有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔212121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ⇔≠； ⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔2121b b k k ； ⑷12121-=⇔⊥k k l l .4、对于直线：:,022221111=++=C y B x A l C 有： ⑴⎩⎨⎧≠=⇔1221122121//C B C B B A B A l l ； ⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠⇔；⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔12211221C B C B B A B A ； ⑷0212121=+⇔⊥B B A A l l .5、两点间距离公式：()()21221221y yx x P P -+-=7、两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2221B A C C d +-=第四章：圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：)()222r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r .⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x .其中圆心为(,)22DE --，半径为r =2、直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d . 弦长公式：222d r l -==3、两圆位置关系：21O O =⑴外离：r R d +>；⑵外切：r R d +=；⑶相交：r R d r R +<<-；⑷内切：r R d -=； ⑸内含：r R d -<.3、空间中两点间距离公式：()()()21221221221z z y y x x P P -+-+-=。

高中数学——5、直线与圆的方程

直线与圆的方程直线方程1、倾斜角：直线与x 轴正半轴所夹的角，【0°，180°）例：y=x 的倾斜角为45°，y=-x 的倾斜角为135°2、截距：直线与x 轴交点的横坐标为横截距、与y 轴交点的纵坐标为纵截距例：y=x+1的横截距为-1、纵截距为1（注：截距相等→直线斜率=-1或过原点）3、斜率：斜率是否存在必须分类讨论（垂直于x 轴）、斜率为0（平行于x 轴）（斜率公式：k=tanα=1212x -x y -y ，即两点纵坐标之差与横坐标之差的比值）（直线ax+by+c=0的斜率存在时，其斜率k=-b a ）（三点共线：斜率相等） 4、直线方程（1）点斜式：y-y 1=k （x-x 1）（斜率k 不存在时，直线方程为x=x 1）（2）斜截式：y=kx+b （前提是斜率k 存在）（3）一般式：ax+by+c=0（a 、b 不能同时为0：a=0时，k=0/平行于x 轴；b=0时，k 不存在/平行于y 轴；c=0时，直线过原点）（注：两点式、截距式，考的少；主要考一般式，解题主要用点斜式）例：直线过2点（-1，-1）、（1，3），求直线方程，先用斜率公式可求得k=2，再用点斜式，y+1=2（x+1）或y-3=2（x-1），化简为斜截式y=2x+1或一般式2x-y+1=05、点、直线（1）点与点：（x 1，y 1）、（x 2，y 2）两点间距离=221221y -y x -x ）（）（例：求（1，3）、（-1，5）两点间距离，（1-（-1））2+（3-5）2=8，∴22（2）点与直线：点（x 0，y 0）到直线ax+by+c=0的距离为2200b a |c by ax |+++例：求点（-1，-1）到直线y=2x+3的距离先化为一般式2x-y+3=0，根据公式，221-2|31--1-2|）（）（）（++⨯=552 （点在直线上即坐标满足直线方程，如点（2，1）在y=kx-3上，代入得k=2）（3）直线与直线A 、重合：两直线方程完全相同（如x+y+1=0与2x+2y+2=0，化简后完全相同）B 、相交：求交点坐标（联立两直线方程，解二元一次方程组）C 、平行——k 1=k 2（单独思考斜率不存在、斜率为0）两平行直线间距离：转化为求其中一条直线上的一点到另一条直线的距离例：两平行直线2y=4x-1、y=2x+3间距离，可在直线2y=4x-1上取点（0，-21），将直线y=2x+3化为一般式2x-y+3=0，根据点到距离公式即可D 、垂直——k 1k 2=-1（斜率不存在、斜率为0必须分类讨论）E 、两直线的夹角公式两直线L 1、L 2的斜率分别为k 1、k 2，夹角为θ，则有tan θ=|2112k k 1k -k +|，θ≠90° 6、对称（1）点关于点中点坐标×2=两点坐标和（类于等差中项）例：求点（1，2）关于点（0，-2）的对称点，可以设为（x ，y ），则有1+x=0、2+y=2×（-2），解得x=-1、y=-6（2）点关于直线两点连线与已知直线垂直，斜率积=-1→写出点斜式直线方程→求出与已知直线的交点坐标，再用点关于点对称的方法求对称点坐标例：求点（1，1）关于直线2x+4y+1=0的对称点，已知直线斜率=21-→两点所连直线斜率=2，点斜式方程y-1=2（x-1）→与直线2x+4y+1=0的交点坐标为（103，-52）→设对称点坐标为（x ，y ），则有1+x=2×103、1+y=2×（-52），解得对称点坐标为（-52，-59）（3）直线关于点对称直线与已知直线平行，斜率相等，利用点到两直线距离相等，求出对称直线方程例：求2x+y-1=0关于点（1，1）的对称直线方程，斜率相等，设为2x+y+c=0，求出点（1，1）到直线2x+y-1=0的距离=52，点（1，1）到直线2x+y+c=0的距离=52，求得c=-5，所以对称直线为2x+y-5=0（4）直线关于直线两对称直线与对称轴直线共点，求出交点坐标，设出对称直线的点斜式方程→ 对称轴直线上取一点，该点到两对称直线的距离相等→求出对称直线的斜率（注：可能直线与对称轴直线平行）例：求直线y=x+1关于直线x-y-1=0的对称直线两直线平行，没有交点，方法与直线关于点对称相同，求得y=x-3（5）反射光线经过x 、y 轴后反射，斜率存在时，入射线与反射线斜率相反（斜率相反即倾斜角互补）（注：关于特殊直线的对称，如x 、y 轴，可以画图、直接写出，如点（1，1）关于x 轴的对称点为（1，-1），直线y=x+1关于y 轴的对称直线为y=-x+1）（注：斜率不存在时的对称，必须分类讨论）圆的方程1、标准方程：圆心（a，b），半径r，（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）2、一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（注：题目给定一般方程，配方化为标准方程，求出圆心坐标、半径）（注：设圆的方程时，都用标准方程）例：一般方程x2+y2+2x-4y-3=0化为标准方程，写成x2+2x+y2-4y-3=0，配方得到（x+1）2-1+（y-2）2-4-3=0，化简得（x+1）2+（y-2）2=83、特殊圆的方程（1）圆心在x轴上，设为（x-a）2+y2=r2（2）圆心在y轴上，设为x2+（y-b）2=r2（3）与x轴相切，设为（x-a）2+（y-b）2=b2（4）与y轴相切，设为（x-a）2+（y-b）2=a24、直线与圆的位置关系（1）相离：没有交点，圆心到直线的距离>半径相切：1个交点，圆心到直线的距离=半径（切线与切点、圆心所在直线互相垂直）相交：2个交点，圆心到直线的距离<半径（2）相交：考的多，解题技巧主要有2个：A、直线与垂径互相垂直（斜率存在时，积为-1）B、相交所得弦长——弦心距线段、半弦、半径构成直角三角形，用勾股定理解5、圆与圆（注：考的少，解题技巧参考直线与圆）（1）公共弦所在直线方程：即两圆相交时，两圆方程的差（2）公切线方程：利用圆心到公切线的距离=半径（3）位置关系相离：圆心距>半径之和（2条外公切线、2条内公切线）外切：圆心距=半径之和（2条外公切线、1条内公切线）相交：半径之差<圆心距<半径之和（2条外公切线）内切：圆心距=半径之差（1条外公切线）内含：圆心距<半径之差（无公切线）6、过三点的圆两线段中垂线的交点即圆心→圆心到三点中任一点的距离即半径7、直径所对圆周角为直角（矩形外接圆）（1）斜率存在时，积为-1（2）向量乘积为0（3）勾股定理。

直线和圆的方程知识点总结

直线和圆的方程知识点总结一、直线方程. 1. 直线的倾斜角2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.3. ⑴两条直线平行：1l 推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有 4. 直线的交角： 5. 过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内）6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：.2. 定比分点坐标分式。

若点P(x,y)分有向线段,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。

3. 直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:21,l l 21,αα1l 212αα=⇔l 1l 2l 1k 2k 12121-=⇔⊥k k l l ⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 0222=++C y B x A ),(00y x P P C By Ax l ,0:=++l d 2200BA C By Ax d +++=21221221)()(||y y x x P P -+-=1212PP PP PP λλ=所成的比为即λλλλ++=++=1,12121y y y x x x ααtan =k4. 过两点.当（即直线和x 轴垂直）时，直线的倾斜角＝，没有斜率⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.注；直线系方程1. 与直线：A x +B y +C= 0平行的直线系方程是：A x +B y +m =0.( m ∊R, C ≠m ).2. 与直线：A x +B y +C= 0垂直的直线系方程是：B x -A y +m =0.( m ∊R)3. 过定点（x 1,y 1）的直线系方程是： A(x -x 1)+B(y -y 1)=0 (A,B 不全为0)4. 过直线l 1、l 2交点的直线系方程：（A 1x +B 1y +C 1）+λ( A 2x +B 2y +C 2）=0 (λ∊R ）注：该直线系不含l 2.7. 关于点对称和关于某直线对称：⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.1212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：12()x x ≠2121,y y x x ≠=α︒90)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++d2221BA C C d +-=若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点. 二、圆的方程.2. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.3. 圆的一般方程： .当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形（称虚圆）. 注：①圆的参数方程：（为参数）.②方程表示圆的充要条件是：且且.③圆的直径或方程：已知（用向量可征）.4. 点和圆的位置关系：给定点及圆. ①在圆内②在圆上 ③在圆外),(b a C r 222)()(r b y a x =-+-022=++++F Ey Dx y x 0422 F E D -+⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C 2422FE D r -+=0422=-+F E D ⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D 0422F E D -+⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x θ022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 0=B 0≠=C A 0422 AF E D -+0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A ),(00y x M 222)()(:r b y a x C =-+-M C 22020)()(r b y a x -+-⇔M C 22020)()r b y a x =-+-⇔（M C 22020)()(r b y a x -+-⇔5. 直线和圆的位置关系：设圆圆：；直线：；圆心到直线的距离.①时，与相切； ②时，与相交；，有两个交点，则其公共弦方程为.③时，与相离. 5. 圆的切线方程：①一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0– b)=R 2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.②若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD 四类共圆. 已知的方程…① 又以ABCD 为圆为方程为…②…③，所以BC 的方程即③代②，①②相切即为所求.解题方法：1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系数法.C )0()()(222 r r b y a x =-+-l )0(022≠+=++B A C By Ax ),(b a C l 22BA C Bb Aa d +++=r d =l C rd l C0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D r d l C 222r y x =+),(00y x P 200r y y x x =+⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ⇒k O Θ022=++++F Ey Dx y x 2))(())((k b x y y a x x x A A =--+--4)()(222b y a x R A A -+-=BC)。

直线与圆的方程知识点总结

直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程是解析几何中的基本知识点，下面是关于直线与圆的方程的一些重要知识点总结：
直线方程知识点总结：
1. 直线的点斜式方程：y-y0=k(x-x0)，其中 (x0, y0) 为直线上的一点，k 为直线的斜率。

2. 直线的斜截式方程：y=kx+b，其中 k 为直线的斜率，b 为 y 轴上的截距。

3. 直线的两点式方程：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，其中 (x1, y1) 和
(x2, y2) 为直线上的两点。

4. 直线的截距式方程：x/a + y/b = 1，其中 a 和 b 分别为直线在 x 轴和 y 轴上的截距。

5. 直线的一般式方程：Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数，且 A 和
B 不为 0。

圆的方程知识点总结：
1. 圆的标准式方程：(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中 (h, k) 为圆心坐标，r 为半径。

2. 圆的参数式方程：x=h+rcosθ, y=k+rsinθ，其中 (h, k) 为圆心坐标，r 为半径，θ 为参数。

3. 圆的极坐标式方程：ρ=r，其中 r 为半径，θ 为极角。

4. 圆的直径式方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中 D、E、F 为常数。

5. 圆的一般式方程：x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。

在直线与圆的方程中，还有一些重要的知识点和概念，如直线的法线式和参数式，圆的切线和割线等。

理解和掌握这些概念和公式对于解决几何问题非常重要。

《直线和圆方程》课件

《直线和圆方程》 ppt课件
目录
• 直线方程的概述 • 圆的方程 • 直线与圆的交点求解 • 直线和圆的几何性质 • 直线和圆的方程在实际问题中的应
用
01
直线方程的概述
直线的定义
直线是由无数个点组成的几何图形，这些点沿着同一直线排列，形成一条无限延伸的线。
在平面几何中，直线是连接两个点的最短路径，它没有宽度和厚度。
圆的参数方程
$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$，其中$(a, b)$是圆心坐标，$r$是半径，$theta$是参数。
圆的标准方程
圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆
心坐标，$r$是半径。
圆的基本性质
01 02
圆的定义
圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点组成，表示为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆心坐标，$r$ 是半径。
圆的半径
连接圆心到圆上任意一点的线段的长度称为半径。
03
圆的直径
通过圆心且两端点在圆周上的线段称为直径，长度是半径的两倍。
圆心和半径
直径
通过圆心且两端点在圆上的线段称为直径。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到圆上任一点的线段。
圆的方程表示
圆的一般方程
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标
，$r$是半径。
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆心坐标，$r$是半径。

直线和圆的方程怎么联立

直线和圆的方程怎么联立直线和圆是几何学中的基本图形，它们之间的关系在解决问题时非常重要。

如何联立直线和圆的方程，可以通过以下步骤来进行。

假设我们要解决的问题是找到直线和圆的交点坐标。

1.建立直线的方程直线的方程可以用一般式表示，即Ax + By + C = 0。

其中，A、B、C分别是直线的系数。

如果我们已经知道直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，可以通过以下公式计算出直线的系数：A = y2 - y1B = x1 - x2C = x2y1 - x1y22.建立圆的方程圆的方程有多种表示方法，其中一种常用的是标准式，即 (x - h)² + (y - k)² = r²。

其中，(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。

如果我们已经知道圆心的坐标和半径，那么可以直接将这些值代入方程中。

3.将直线的方程代入圆的方程将直线的方程中的x和y分别代入圆的方程，得到一个关于未知数的二次方程。

解这个二次方程，即可求出直线和圆的交点坐标。

求解二次方程可以使用求根公式或者配方法。

4.求解交点坐标根据求解的二次方程，可得到交点的横坐标x和纵坐标y。

这两个坐标就是直线和圆的交点的坐标。

通过以上步骤，我们可以联立直线和圆的方程，并求出它们的交点坐标。

这样的求解方法在几何学中应用广泛，可以帮助我们解决直线和圆相关的问题。

下面是一个具体的例子来说明如何联立直线和圆的方程：假设有一条直线L，它通过点(1, 2)和(3, 4)，要求找到直线L和圆C的交点坐标。

1.建立直线的方程通过点(1, 2)和(3, 4)可以计算出直线的系数： A = 4 - 2 = 2 B = 1 - 3 = -2 C = 3×2 - 1×4 = 2所以直线L的方程为：2x - 2y + 2 = 02.建立圆的方程假设圆C的圆心坐标为(0, 0)，半径为2。

将这些值代入圆的标准方程中，得到圆C的方程：x² + y² = 43.将直线的方程代入圆的方程将直线L的方程中的x和y分别代入圆C的方程，得到一个关于未知数的二次方程：(2x - 2y + 2)² + y² = 44.求解交点坐标解这个二次方程，可以得到直线L和圆C的交点坐标。

【高中数学】秒杀秘诀---直线系和圆系方程

直线系和圆系方程定义：如果两条曲线方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P （x 0，y 0），方程f 1(x ，y)＋λf 2（x ，y ）＝0的曲线也经过点P （λ是任意常数）。

由此结论可得出：经过两曲线f 1(x ，y)＝0和f 2（x ，y ）＝0交点的曲线系方程为：f 1（x ，y ）＋λf 2（x ，y ）＝0。

利用此结论可得出相关曲线系方程。

一.直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。

它的方程称直线系方程。

几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。

几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。

中职直线与圆的方程知识点总结

中职直线与圆的方程知识点总结一、直线的方程在二维平面上，直线可以由一元一次方程表示，其一般形式为:Ax + By + C = 0其中 A、B 和 C 是实数且 A 和 B 不同时为 0。

斜截式方程：斜率为 k，截距为 b 的直线方程可以表示为：y = kx + b其中 k 是斜率，b 是截距。

点斜式方程：已知直线上一点（x₁, y₁）和直线的斜率 k，可以使用以下点斜式方程表示直线：y - y₁ = k(x - x₁)二、圆的方程在二维平面上，圆可以由圆心的坐标 (h, k) 和半径 r 表示，其标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²三、直线与圆的关系直线与圆有以下几种关系：1.直线与圆相切：当直线与圆只有一个交点时，即直线与圆相切。

相切的直线与圆的切线相切于圆的一点。

2.直线与圆相离：当直线与圆没有交点时，即直线与圆相离。

3.直线与圆相交：当直线与圆有两个交点时，即直线与圆相交。

相交的直线与圆会穿过圆的两个点。

4.直线在圆上：当直线经过圆心时，即直线在圆上。

四、直线与圆的方程求解1.判断直线与圆的位置关系：–将直线方程代入圆的标准方程，得到一个一元二次方程；–计算一元二次方程的判别式；–根据判别式的值得出直线与圆的位置关系。

2.求直线与圆的交点坐标：–将直线方程代入圆的标准方程，得到一个二元一次方程组；–解方程组，求得交点坐标。

五、举例例 1：判断直线与圆的位置关系，直线方程为 y = 2x + 1，圆的标准方程为 (x - 3)² + (y - 4)² = 9。

将直线方程代入圆的标准方程得到：(x - 3)² + (2x + 1 - 4)² = 9化简得：5x² - 14x + 9 = 0计算判别式 D = (-14)² - 4 * 5 * 9 = 4，判别式大于 0，因此直线与圆相交。

第一讲求直线和圆的方程方法总结

第一讲求直线和圆的方程方法总结求直线和圆的方程是解决几何问题的基本方法之一，本文将对求直线和圆的方程的方法进行总结和介绍。

主要包括直线的一般方程、点斜式方程和两点式方程，以及圆的一般方程和截距式方程。

一、直线的一般方程直线的一般方程是形如Ax+By+C=0的方程，其中A、B、C均为实数，A和B不能同时为零。

直线的一般方程是直线的最一般形式，适用于所有直线。

它的推导过程为：首先，根据直线的斜率k和截距b，可以得到直线的斜截式方程为y = kx + b；然后，将直线的斜截式方程中的y换成Ax+By+C，化简得到直线的一般方程Ax+By+C=0。

二、直线的点斜式方程直线的点斜式方程是形如y-y₁=k(x-x₁)的方程，其中x₁和y₁是此直线上的一点，k是直线的斜率。

直线的点斜式方程通过给定一点和斜率来确定直线方程。

推导方法为：已知直线上有一点(x₁，y₁)和斜率k，根据斜率的定义可得到k=(y-y₁)/(x-x₁)；通过变形，化简得到点斜式方程y-y₁=k(x-x₁)。

三、直线的两点式方程直线的两点式方程是形如(y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁)的方程，其中(x₁，y₁)和(x₂，y₂)是直线上的两个点。

直线的两点式方程通过给定两个点来确定直线方程。

推导方法为：已知直线上有两个点(x₁，y₁)和(x₂，y₂)，根据点斜式方程的推导过程，可将其化简为两点式方程。

四、圆的一般方程圆的一般方程是形如(x-a)²+(y-b)²=r²的方程，其中(a，b)是圆心的坐标，r是圆的半径。

圆的一般方程给出了圆与坐标轴的关系。

推导方法为：已知圆心为(a，b)，圆的半径为r，利用圆的定义可以得到距离公式：r²=(x-a)²+(y-b)²；通过展开和整理得到圆的一般方程(x-a)²+(y-b)²=r²。

五、圆的截距式方程圆的截距式方程是形如[x-a]²/α²+[y-b]²/β²=1的方程，其中a、b、α、β均为实数，α和β分别为x轴和y轴的截距。

直线与园的方程1圆与圆的位置关系

即 2 m 1时，两圆内含
例2：求与圆C : x2 y2 4x 2 y 4 0
相切，半径为4，且和直线y 0相切的
圆的方程。
解：因为所求圆与直线y 0相切且半径为4，
所以设圆心坐标为O1 a, 4或O1 a, 4
所以方程为 x a2 y 42 42
或 x a2 y 42 42
Q 圆C : x2 y2 4x 2 y 4 0
即 x 22 y 12 32,圆心为O2 2,1,半径为3
因为两圆相切
1、a 若2两2圆外4 切1，2 则 7O2 1O2 3 4
或a 22 4 12 72
a 2 2 10 或a 2 2 6
方程为 x 2 2 10 2 y 42 42，或 x 2 2 10 2 y 42 42，或 x 2 2 6 2 y 42 42，或 x 2 2 6 2 y 42 42
1、点和圆的位置关系有几种？如何判定?
答：三种。点在圆外；点在圆上；点在圆内。
设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2,
圆心(a,b)到P(x0，y0)的距离为d,则:
几何法:点在圆内d<r 点在圆上d=r 点在圆外d>r
代数法:点在圆内(x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2
点在圆上(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2
几何方法
两圆心坐标及半径（配方法）
圆心距d （两点间距离公式）
比较d和r1，r2的大小，下结论
代数方法
？
判断C1和C2的位置关系:
C1 : x2 y2 2x 8y 8 0
C2 : x2 y2 4x 4 y 2 0
解：联立两个方程组得联立方程组

直线与圆的方程

直线与圆的方程
方程是数学中表示物理实体间关系的有效工具。

方程可以简要有效地描述出空间中两个不同类型物体间的关系，在数学上，直线和圆是最基本的形状，两者的方程都具有解析的特性，可以有效地运用到数学运算中。

首先，让我们来谈谈直线的方程。

一条直线可以用一元一次方程y=ax+b来表示，这里a就是斜率，b就是y轴的截距。

要求解这样的方程，可以用图形法，把直线和坐标轴上的点连接起来，观察平行于坐标轴的直线，一旦发现一条斜率和起点（截距），即可画出该直线。

接下来，我们来看看圆的方程。

圆是一种简单的几何形状，它是一个空间中两点之间的距离最短的物体。

圆的方程可以表示为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2，在此方程中，a和b分别为圆心的坐标，r为圆的半径。

如果要求解该方程，可以使用图形法，把圆心连接到各个点的距离都相等，用一条圆曲线来完成整个圆的描述。

最后，用一元二次方程来表示直线和圆的关系。

这里平方差表示多个变量之间的关系，圆的方程可以用一元二次方程ax^2+by^2+c=0来表示，其中a、b、c分别代表不同的系数，可以用此方程来求解圆和直线之间的交点，例如求解不同方程中两个圆心之间的关系，也可以求解圆和直线之间的位置关系。

在本文中，我们介绍了直线和圆的方程，探讨了它们的求解方法，以及单个变量之间的关系，可以实现问题的有效解决。

在实际使用中，要求解直线和圆的方程，有必要进行解析处理，对实际问题进行分析，
才能有效地求出最优解。

【高考数学】直线系和圆系方程

几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。

几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。

（2）过两已知圆C 1：f 1（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0。

和C 2：f 2（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ（x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2）＝0（λ≠－1）若λ＝－1时，变为（D 1－D 2）x ＋（E 1－E 2）y ＋F 1－F 2＝0，则表示过两圆的交点的直线。

直线和圆的方程知识点

直线和圆的方程知识点在数学中，直线和圆分别是几何图形中的基本要素。

它们在解决几何问题和实际应用中起着重要的作用。

本文将介绍直线和圆的方程知识点，以帮助读者更好地理解和应用这些基础概念。

一、直线的方程直线的方程可以通过点斜式、截距式和一般式表示。

下面将分别介绍这三种表示直线的方法。

1. 点斜式点斜式适用于已知直线上一点和斜率的情况。

假设直线上已知一点A(x₁，y₁)和斜率k，那么直线的点斜式方程可以表示为：y - y₁ = k(x - x₁)。

例如，给定一点A(2, 3)和斜率k = 2，那么直线的点斜式方程为：y - 3 = 2(x - 2)。

2. 截距式截距式适用于已知直线与x轴和y轴的交点情况。

假设直线与x轴和y轴的交点分别为A(0, b)和B(a, 0)，那么直线的截距式方程可以表示为：x/a + y/b = 1。

例如，给定直线与x轴和y轴的交点分别为A(0, 2)和B(3, 0)，那么直线的截距式方程为：x/3 + y/2 = 1。

3. 一般式一般式是直线表示的常见形式，即Ax + By + C = 0，其中A、B和C分别是系数。

一般式可以通过点斜式或截距式转换得到。

例如，将点斜式方程y - 3 = 2(x - 2)转换成一般式方程，将得到2x - y + 1 = 0。

二、圆的方程圆的方程可以通过圆心和半径、直径、两点坐标等不同条件表示。

下面将分别介绍几种表示圆的方法。

1. 圆心和半径如果已知圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，那么圆的方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²。

例如，已知圆心坐标为(2, -1)，半径为3，那么圆的方程为：(x - 2)²+ (y + 1)² = 9。

2. 直径如果已知圆的两个端点坐标为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，那么圆的方程可以表示为：(x - (x₁ + x₂)/2)² + (y - (y₁ + y₂)/2)² = [(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]/4。

直线和圆的方程知识点总结职高

直线和圆的方程知识点总结职高直线和圆是数学中非常重要的概念，在职业高中的数学课程中也占据着重要的位置。

本文将对直线和圆的方程进行总结和概述，帮助职高学生更好地理解和掌握这些知识点。

一、直线的方程1. 斜率截距公式斜率截距公式是表示直线方程的常用形式之一。

对于一条直线，我们可以用直线上一点的坐标以及直线的斜率来确定直线的方程。

斜率截距公式的一般形式为：y=mx+b其中，m表示直线的斜率，b表示直线与 y 轴的交点。

2. 两点式另一种表示直线方程的常用形式是两点式。

通过直线上的两个点的坐标，我们可以得到直线的方程。

两点式的一般形式为：$(y - y_1) = \\frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)$其中，(x1,y1)和(x2,y2)分别表示直线上的两个点的坐标。

3. 截距式和一般式除了斜率截距公式和两点式之外，还有截距式和一般式两种表示直线方程的方式。

截距式的一般形式为：ax+by=c其中，a和b表示直线的系数，c表示常数。

一般式的一般形式为：Ax+By+C=0其中，A、B和C表示直线的系数。

二、圆的方程1. 标准方程圆的标准方程是表示圆方程的一种常用形式。

标准方程可以通过圆心和半径来确定圆的方程。

标准方程的一般形式为：(x−ℎ)2+(y−k)2=r2其中，(ℎ,k)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。

2. 一般方程除了标准方程之外，还有一般方程的表示方法。

一般方程的一般形式为：x2+y2+Dx+Ey+F=0其中，D、E和F分别表示圆的系数。

三、直线和圆的关系1. 直线与圆的位置关系直线和圆的位置关系有三种可能性：直线与圆相交、直线与圆外切、直线与圆相离。

•当直线与圆有两个不同的交点时，我们称之为直线与圆相交。

•当直线与圆有且仅有一个交点时，我们称之为直线与圆外切。

•当直线与圆没有交点时，我们称之为直线与圆相离。

2. 直线与圆的方程求解要确定直线与圆的位置关系，我们需要将直线的方程代入圆的方程中，然后解方程组得到结果。

直线与方程和圆与方程-知识点总结

第三章直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此，倾斜角的取值范围是0180α︒≤<︒（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即tan k α=。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线l 与x 轴平行或重合时,0α=︒,tan 00k =︒=；当直线l 与x 轴垂直时,90α=︒,k 不存在.当[) 90,0∈α时，0≥k ；当() 180,90∈α时，0<k ；当 90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=（11122212(,),(,),P x y P x y x x ≠）注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

注意：当直线的斜率为1当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但l x x x（5）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解。

方程组无解21//l l ⇔；方程组有无数解⇔1l 与2l 重合（6设(,),A x y B x y ，（）（7一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l（8已知两条平行线直线1l 和2l01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l第四章圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

直线与圆的公式

直线与圆的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直线与圆是几何中常见的图形，它们在数学中有着重要的地位。

直线是两点之间最短距离的集合，而圆是平面上所有到圆心距离相等的点的集合。

在解决几何问题时，我们经常需要用到直线与圆的公式来求解。

下面我们来详细介绍一下直线与圆的公式。

一、直线的一般方程直线的一般方程是数学中描述一条直线的基本公式。

一般方程的形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，而x、y是变量。

通过将一般方程进行变换，我们可以得到直线的其他形式方程。

1. 斜截式方程两点式方程是描述一条直线的另一种方程形式，其形式为(x -x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两点。

通过两点式方程，我们可以直接得到直线的方程。

二、圆的标准方程圆的标准方程是数学中描述一个圆的基本公式。

圆的标准方程的一般形式为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。

通过标准方程，我们可以方便地确定圆的位置和大小。

2. 一般方程三、直线与圆的位置关系直线与圆是几何中常见的图形，它们之间有着复杂的位置关系。

在解决几何问题时，我们经常需要根据直线与圆的位置关系来求解。

1. 直线与圆的相交直线与圆的相交有三种情况：直线与圆相切、直线与圆相离、直线与圆相交。

当直线与圆相交时，我们可以根据直线的方程和圆的方程来求解交点的坐标。

四、应用举例直线与圆的公式在数学中有着广泛的应用。

我们可以通过一些举例来演示如何应用直线与圆的公式来解决实际问题。

例1：求解直线与圆的交点坐标已知直线的方程为y = 2x + 3，圆的方程为(x - 1)² + (y - 2)² = 4，求解直线与圆的交点坐标。

解：将直线的方程代入圆的方程中，得到(x - 1)² + (2x + 1)² = 4。

直线的方程与圆的方程

直线的方程与圆的方程
首先，我们来解析这句话“直线的方程与圆的方程”。

1.直线的方程：直线的方程是用来描述直线在平面上的位置和方向的数学表
达式。

在二维坐标系中，直线的方程通常可以表示为 y = mx + c 的形式，其中 m 是斜率，c 是截距。

对于过点 (x0, y0) 的直线，方程还可以表示为y - y0 = m(x - x0)。

2.圆的方程：圆的方程是用来描述圆在平面上的位置和大小的数学表达式。

在二维坐标系中，圆的方程通常可以表示为 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 的形式，其中 (h, k) 是圆心的坐标，r 是半径。

总结：
“直线的方程与圆的方程”指的是用来描述直线和圆在平面上的位置和性质的数学表达式。

这些方程是几何学中非常重要的概念，它们帮助我们理解和分析直线和圆的各种性质和关系。

直线与圆的方程

直线与圆的方程一、直线方程.1. 直线的倾斜角、斜率经过两点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的直线的斜率公式是：2. 直线方程的几种形式：点斜式：斜截式：两点式：截距式：一般式：3、两条直线的位置关系⑴两条直线平行：⑵两条直线垂直：4. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有.⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离为d ，则有.二、圆的方程.1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是.2. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422 F E D -+时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422FE D r -+=.3.圆的参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）.4. 直线和圆的位置关系：设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-；直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ；圆心),(b a C 到直线l 的距离22B A C Bb Aa d+++=. ①r d =时，l 与C 相切；②r d 时，l 与C 相交；③r d 时，l 与C 相离.练习题1．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且不通过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是 ( )A ．[0,1] B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．[0,2] 3.若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．24.圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（）.A 相离 .B 相交 .C 外切 .D 内切5．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于（） A ．1 B ．13- C ．23-D ．2- 6．由直线y ＝x －1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．27．过点P 作圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝1的切线，切点为M ，若|PM |＝|PO |(O 为原点)，则|PM |的最小值是( )A.255B.52C.35－55D ．1 8．直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，并且在两坐标轴上的截距之和等于3，则直线l 与两坐标轴所围成的三角形的面积等于( )A.32B.12 C ．1或3 D.12或329、ΔABC 的三个顶点A(－5,0)、B(3,－3)、C(0,2)，求⑴三边所在直线方程；⑵三条高所在直线方程。