中值定理证明方法总结
中值定理证明方法总结
设 f (x) , g(x) , h(x) 都在 (a , b) 上连续 , 且在 [a , b] 内可导, 证明至少存在一点 ξ ∈(a , b) , 使
f (a) f (b) f ′(ξ ) g(a) g(b) g′(ξ ) = 0 h(a) h(b) h′(ξ )
说明 若取 h(x) ≡1, g(x) = x , f (a) = f (b) ,即为罗尔定理; 若取 h(x) ≡1, g(x) = x , 即为拉格朗日中值定理; 若取 h(x) ≡1, g′(x) ≠ 0, 即为柯西中值定理; ( 自己验证 )
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
f (b) − f (a) F(x) − f (x) 证: 作辅助函数 ϕ(x) = F(b) − F(a) 则 (x) 在[a,b]上 续, 在(a,b)内 导, 且 ϕ 连 可 f (b)F(a) − f (a)F(b) ϕ(a) = = ϕ(b) F(b) − F(a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) − f (a) f ′(ξ ) = . F(b) − F(a) F′(ξ ) 思考: 思考 柯西定理的下述证法对吗 ? ∵ f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a), ξ ∈(a, b) 两个 ξ 不 F(b) − F(a) = F′(ξ )(b − a), ξ ∈(a, b) 一定相同 上面两式相比即得结论. 错!
1 f (n) (x )(x − x )n +⋯+ 0 0 n!
f (b) − f (a) f ′(ξ ) = F(b) − F(a) F′(ξ )
证明中值定理的方法
直观分析 辅助函数法 逆向分析 例如, 证明拉格朗日定理 : f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) 要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 . y = f (x) 方法1. 方法 直观分析 由图可知 , 设辅助函数
中值定理证明方法总结
中值定理证明方法总结中值定理（Intermediate Value Theorem）是微积分中的一项重要定理，它表明如果一个连续函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上取两个不同的值$f(a)$和$f(b)$，那么在开区间$(a,b)$内，函数$f(x)$必然取到介于$f(a)$和$f(b)$之间的所有值。
中值定理的证明是通过构造一个辅助函数$g(x)$，它将闭区间$[a,b]$映射到实数区间$[f(a),f(b)]$上，并利用连续函数的性质来证明中值定理。
证明过程如下：1.首先，我们定义辅助函数$g(x)=f(x)-k$，其中$k$是一个常数。
我们的目标是证明如果$g(a)$和$g(b)$异号，那么在开区间$(a,b)$内，$g(x)$必然等于$0$。
2.根据函数$g(x)$的定义，我们可以得到$g(a)=(f(a)-k)$和$g(b)=(f(b)-k)$。
由于$g(a)$和$g(b)$异号，即$(f(a)-k)$和$(f(b)-k)$异号，所以$g(x)$在$[a,b]$上一定有一个根。
3. 接下来，我们要证明在开区间$(a,b)$内，$g(x)$没有其他根。
假设在$(a,b)$内存在一个根$x=c$，即$g(c)=0$。
根据连续函数的性质，我们有$\lim_{x \to c} g(x) = g(c) = 0$。
又因为$f(x)$是连续函数，所以$\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$。
4. 根据极限的性质，我们有$\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} [f(x)-k] = f(c)-k$。
由于$\lim_{x \to c} g(x) = 0$，所以$f(c)-k=0$，即$f(c)=k$。
这意味着$f(c)-k=0$是$g(x)$的唯一根。
5.综上所述，我们可以得出结论，如果$g(a)$和$g(b)$异号，那么在开区间$(a,b)$内，$g(x)$的根只有$f(c)-k=0$。
微分中值定理的全部基础理论和常见优秀题型解法技巧
1柯西中值定理 拉格朗日中值定理 洛尔定理 费马定理 根值（零值）定理 有界定理或最大值与最小值定理 n以下的连续函数在闭区间x ∈[a , b ]的基本定理（只与函数有关）共同条件：闭连续微分中值 8 定理与积分 3 定理及函数的 9 性质的综合证明题型与技巧一) 中值八定理① x ∈[a , b ] ⇒ m ≤ f (x ) ≤ M 。
注意 x ∈[a , b ]是闭区间。
② ●是 介 于 f (a ) 与f (b ) ⎡⎣f (a ) ≠ f (b ), ≠ f (a ),≠ f (b )⎤⎦ 任 一 值 ， 则 必∃ ∈ (a , b ) ⇒ f ( ) = 。
注意 ∈ (a , b ) 是开区间。
● 其推论是：当m ≤ ≤ M ，则必∃ ∈[a , b ]⇒ f ( ) = 。
∈[a , b ]。
注意 ∈[a , b ]是闭区间。
③ f (a ) ⋅ f (b ) < 0 ，则 ∃ ∈ (a , b ) ⇒ f ( ) = 0 。
注意 x ∈ (a , b ) 是开区间。
④ x ∈ ( x 0 - , x 0 + ), f (x ) ≥ f (x 0 )或 ≤ f (x 0 ) ,如果 f '(x 0 ) 存在，则 f '(x 0 ) =0。
⑤ f (a ) = f (b ), 则 ∃ ∈ (a , b ) ⇒ f '( ) = 0⑥ ∃ ∈ (a , b ) ⇒ f (b ) - f (a ) = f '( )(b - a )⑦ ∃ ∈ (a , b ) ⇒f (b ) - f (a ) =g (b ) - g (a ) f '( )g '( )⑧ ∞1 ⎛ ∂ ⎫n12f ( x ) = f ( x 0 + h ) = ∑ n ! h ∂x ⎪ f ( x 0 ) + R n = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 )( x - x 0 ) + f ' ( x 0 )( x - x 0 ) 2! + ... + R n其中：• R n =f (n +1)() (n + 1)！n = 0⎝ ⎭h n +1 为拉格朗日余项， 介于 x 0 和 x = x 0 + h 之间， 但不等于它们，x 0 ∈ (a , b ), x ∈ (a , b ),令 ∈ (0, 1) ⇒ = x 0 + ( x - x 0 ) = x 0 + h = x 0 + ( x ) h ； 只要求在开区间(a , b )有直到n + 1阶 导数; 它不要求f ( x )及其n 阶导数在[a , b ]上连续， 而且不要求f (n +1)( x )的连续性。
中值定理 证明 解微分方程
中值定理证明解微分方程中值定理是微积分中的一个重要定理，它是解微分方程的基础。
本文将介绍中值定理的证明和如何利用它来解微分方程。
一、中值定理的证明中值定理也被称为罗尔定理或拉格朗日中值定理，它的表述如下：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $c$，使得 $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
证明如下：由于 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，根据最值定理，$f(x)$ 在该区间内必有最大值 $M$ 和最小值 $m$，即 $m\leqf(x)\leq M$，且存在 $x_1,x_2\in[a,b]$，使得 $f(x_1)=M$，$f(x_2)=m$。
当 $f(x)$ 为常数函数时，结论显然成立。
当 $f(x)$ 不为常数函数时，存在 $x_0\in[a,b]$，使得 $f(x_0)\neq f(a)$，$f(x_0)\neq f(b)$。
不失一般性，假设 $f(x_0)>f(a)$。
若 $f(x_0)<f(b)$，则由连续性，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上取到$f(x_0)$ 的值，设为 $d$。
根据介值定理，存在 $[a,x_0]$ 和$[x_0,b]$ 上的某点 $c_1$ 和 $c_2$，使得 $f(c_1)=d$，$f(c_2)=d$。
由于 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，根据导数的定义，有$$ f'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$ 根据极限的性质，可以找到两个数列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$，满足$$ \lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}y_n=x_ 0 $$$$ x_n\in(a,x_0),\ y_n\in(x_0,b) $$$$ f(x_n)<f(x_0),\ f(y_n)>f(x_0) $$于是有$$ f'(x_0)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{f(y_n)-f(x_0)}{y_n-x_0} $$根据介值定理，存在 $\alpha\in[c_1,x_0]$ 和$\beta\in[x_0,c_2]$，使得 $f'(\alpha)=f'(\beta)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
中值定理
( x) f ( x)e x f ( x)e x , 因此, 在 (a,b) 内至少存在一点 (a,b), 使
( ) 0,
例 5 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导,
且 f (a) f (b) 0.
证明: 存在 (a,b), 使 f ( ) f ( ) 成立.
f ( 2 ) 0,
即 2 是 f ( x) 的一个零点；
又因为 f ( x)为二次多项式，最多只能有两个零点， 故 f ( x) 恰好有两个零点，分别在区间 (1, 2) 和 (2, 3) 内.
例 对函数 f ( x) sin2 x 在区间 [0, ] 上 验证
罗尔定理的正确性.
解 显然 f ( x) 在 [0, ] 上连续, 在 0, 内可
f ( x) x, x [0,1]
函数 f ( x) 虽然满足在闭区间[0,1]上连续, 在开区
间(0,1)内可导的条件, 但
f (0) f (1),
显然也没有水平切线. 如图 (c) 所示.
例 1 不求导数，判断函数
f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)
的导数有几个零点及这些零点所在的范围.
导致矛盾, 故 x0 为唯一实根.
例 5 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 且 f (a) f (b) 0.
证明: 存在 (a,b), 使 f ( ) f ( ) 成立.
证 从结论倒推分析知, 可引进辅助函数
( x) f ( x)e x , 由于 (a) (b) 0, 易知 ( x) 在 [a,b] 上满足
f ( x) C (常数)，x I;
(2) 若 f ( x) g( x)
(完整版)中值定理的应用方法与技巧
中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分.微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述.积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。
积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在［a,b ］上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。
积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a ，b ］上连续，且)(x g 在［a ，b ］上不变号，则在［a ，b]上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。
一、 微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明,也可应用于恒等式及不等式证明。
由于三大中值定理的条件和结论各不相同,又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数,套用相应的中值定理进行证明。
这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。
例一．设)(x ϕ在［0，1]上连续可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ。
证明:任意给定正整数b a ,，必存在（0，1）内的两个数ηξ,，使得b a ba +='+')()(ηϕξϕ成立。
证法1:任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0，1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。
任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==，则在[0，1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得:存在)1,0(∈η,使得b b b =--=')0()1(0)(ϕϕηϕ。
11中值定理
2
3
n
第五章 中值定理的证明技巧
例3 求函数 f ( x) = x ln x 在点 x = 1 处 的 n 阶泰勒展开式
2
解：x = ( x −1) + 1 = ( x −1)2 + 2( x −1) + 1
2 2
1 2 ln x = ln 1 + ( x − 1) = ( x − 1) − ( x − 1) 2 1 3 n n n−1 1 + ( x −1) −L+ (−1) ( x −1) + o ( x −1) 3 n
= 1 + x − 2 x + o( x )
2 2
第五章 中值定理的证明技巧
第五章 中值定理的证明技巧
x x 4 cos x = 1 − + + o( x ) 2! 4! x2 2 2 − x 1 x 2 4 2 e = 1 − + ( − ) + o( x ) 2 2! 2 1 1 4 4 ( − ) x + o( x ) 4! 8 原极限＝ x→0 故 原极限＝ lim 4 x 1 =− 12
第五章 中值定理的证明技巧
于是
f ( x) = x ln x
2
2
1 2 = ( x − 1) + 2 ( x − 1) + 1 ⋅ [( x − 1) − ( x − 1) 2 1 3 n n n−1 1 + ( x −1) −L+ (−1) ( x −1) + o ( x −1) ] 3 n 3 1 1 2 3 4 = ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) 2 3 12 n 2( x − 1) n −1 n +L + (−1) + o ( x − 1) n(n − 1)(n − 2)
求中值定理证明的几种构造函数的方法
求中值定理证明的几种构造函数的方法1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点1)将要证的结论中的换成；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数 . 例1:证明柯西中值定理分析:在柯西中值定理的结论中令，得，先变形为再两边同时积分得，令，有故为所求辅助函数. 例2:若, , ,…, 是使得的实数.证明方程在（0，1）内至少有一实根. 证:由于并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设（取），则 1）在[0，1]上连续 2）在（0，1）内可导 3） =0，故满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在使，即亦即 . 这说明方程在（0，1）内至少有实根.2 积分法对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数. 例3:设在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，， .证明存在使 . 分析:结论变形为，不易凑成 .我们将换为，结论变形为，积分得: ，即，从而可设辅助函数为，有 .本题获证. 例4:设函数，在上连续，在内可微， .证明存在，使得: . 证:将变形为，将换为，则，两边关于积分，得: ，所以，其中，由可得 .由上面积分的推导可知，为一常数，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的的存在是不成问题的.因而令，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证.3 几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数. 例5:证明拉格朗日中值定理. 分析:通过弦两个端点的直线方程为，则函数与直线AB的方程之差即函数在两个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数. 例6:若在上连续且 .试证在内至少有一点，使 . 分析:由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数的图形曲线必跨越这一条直线，而两者的交点的横坐标，恰满足 .进而还可由图知道，对上的同一自变量值，这两条曲线纵坐标之差构成一个新的函数，它满足 <0, >0,因而符合介值定理的条件.当为的一个零点时，恰等价于 .因此即知证明的关键是构造辅助函数 .4 常数k值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点: 1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为 . 2）恒等变形使等式一端为及构成的代数式，另一端为及构成的代数式. 3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式.若是，则把其中一个端点设为，相应的函数值改为 . 4）端点换变量的表达式即为辅助函数 . 例7:设在上连续，在内可导，，试证存在一点，使等式成立. 分析:将结论变形为，令，则有，令，可得辅助函数 . 例8:设在上存在，在，试证明存在，使得 . 分析:令，于是有，上式为关于，，三点的轮换对称式，令（or: ，or: ），则得辅助函数 .5 分析法分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论. 例9:设函数在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在一点，使得 . 分析:所要证的结论可变形为: ，即，因此可构造函数，则对与在[0，1]上应用柯西中值定理即可得到证明. 例10:设函数在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且 =0，对任意有 .证明存在一点使（为自然数）成立. 分析:欲证其成立，只需证由于对任意有，故只需证: 即，于是引入辅助函数（为自然数）. 例11:设函数在区间［0，+ ］上可导，且有个不同零点: .试证在[0，+ ]内至少有个不同零点.（其中，为任意实数）证明:欲证在[0，+ ）内至少有个不同零点，只需证方程 =0在[0，+ ]内至少有个不同实根. 因为，，，故只需证方程在内至少有个不同实根. 引入辅助函数，易验证在区间[ ]，[ ]，…，[ ]上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这个区间上应用罗尔定理，得，其中且以上说明方程在[ ] [ ] … [ ] [0，+ ]内至少有个不同实根，从而证明了方程 =0在[0，+ ]内至少有个不同实根。
积分中值定理(开区间)证明的几种方法
积分中值定理（开区间）的几种证明方法定理：设f 在[,]a b 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰。
[证一]：由积分第一中值定理（P217），[,]a b ξ∃∈， 使得()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰。
于是[()()]0.b a f x f dx ξ-=⎰由于函数()()()F x f x f ξ=-在[,]a b 上连续，易证（可反证）：(这还是书上例2的结论)(,)a b η∃∈，使得()()()0F f f ηηξ=-=，即()()f f ηξ=。
[证二]：令()()xa F x f t dt =⎰，则()F x 在[,]ab 上满足拉格朗日中值定理的条件，故(,)a b ξ∃∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-，即结论成立。
（注：书上在后面讲的微积分基本定理）[证三]：反证：假设不(,)a b ξ∃∈，使得 ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，由积分第一中值定理，知ξ只能为a 或b ，不妨设为b ，即1(,),()()()b a x a b f x f b f x dx b a∀∈≠=-⎰。
由于f 连续，故(,),x a b ∀∈ ()()f x f b >（或()()f x f b <），（这一点是不是用介值定理来说明）这样（上限x 改为b ）()()()().x b a af x dx f b dx f b b a >=-⎰⎰ （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）矛盾。
[证四]：设f 在[,]a b 上的最大值为M ，最小值为m 。
若m M =，则f c ≡，ξ可任取。
若m M <，则1[,]x a b ∃∈，有1()0M f x ->，故[()]0b a M f x dx ->⎰，即 ()().ba f x dx Mb a <-⎰同理有()().ba mb a f x dx -<⎰ 由连续函数的介质定理知：(,)a b ξ∃∈，使得 1()().b a f f x dx b aξ=-⎰。
中值定理证明方法总结(1)ppt课件
成立 . 证毕
拉氏 目录 上页 下页 返回 结
束
6
f(x) 及 F(x) 满足 :
(1) 在闭区间 [ a, b] 上连续
(2) 在开区间 ( a, b) 内可导
(3)在开区间 ( a, b) 内F′(x) ≠ 0
至少存在一点 ξ∈(a,b) , f(b)
使 分析:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F(b)
−
F(a)
=
F(b) F′(η)(b− a)
b− a
(C为任意常数 )
oa ξ
+ y = f(x)
bx
y=
f (b)− f (a) b−a
x+C
10
要 f(b) − f(a) = f′(ξ)(b− a)
证
f′(ξ) − f(b) − f(a) = 0 b− a
即
F′(ξ)
证 F′(x) = f′(x) − f(b) − f(a) b− a 原函数法 Fb−(x)a= f(x) − f(b) − f(a) x
− h(a)
fhF=((a′b())ξ)
f((bgf)((aag))′ ξ h(a)
f(b) +)g(b)
0
fgf′′(((aξξ))) g(a)
=f(b) h′(ξ) g(b)
h(b) h′(ξ)
15
内可导, 证明至少存在一点 ξ∈ (a,b), 使 f(a) f(b) f′(ξ) g(a) g(b) g′(ξ) = h(a) h(b) 0 h′(ξ)
对x0f(x)在以x0 , x为端点的区间上用拉氏中值定理
得
f(x) − f(x0 ) = f′(ξ)(x− x0 )
x∈(
第四章中值定理
一、中值定理1、罗尔定理：若函数)(x f y =满足以下条件：（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导；（3）)()(b f a f =；则在开区间),(b a 内至少存在一点,ξ使得0)('=ξf ．注：欲证0)('=ξf ，只需对'()f x 的原函数进行讨论即可。
例1．在区间[]1,1-中，下列四个函数中满足罗尔定理条件的函数是（ ）1）xx f 1)(= 2) x x f sin )(= 3) x x f =)( 4) 1)(2+=x x f 例2．验证：函数1)(2+-=x x x f 在[]1,0上满足罗尔定理的条件，并求出满足条件的ξ。
例3．若()f x 在【0,1】上连续，在（0,1）内可导，且(0)(1)0f f ==，证明：存在(0,1)ξ∈，使得()()0f f ξξ'+=。
2、拉格朗日中值定理若函数)(x f y =满足以下条件：（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导；则在开区间),(b a 内至少存在一点,ξ使))((')()(a b f a f b f -=-ξ．)()()()(b a f a b a f b f <<'=--ξξ注：掌握其几何意义，并恰当的利用图形来帮助自己分析问题和解决问题。
例：设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内二阶可导，连接(,()),(,())A a f a B b f b 的直线段AB ，与曲线()y f x =相交于(,())()C c f c a c b <<，证明：存在一点(),a b ξ∈使得()0f ξ''=。
二、洛必塔法则求极限中，将之化成商的形式，若是∞∞00则有)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→ 例 求下列极限1、)111(lim 0--→x x e x ，2、)(lim x x x x x --++∞→3、)1311(lim 31xx x ---→ 4、)1(cot lim 0x x x -→ 5、)ln 11(lim 1xx x x --→ 6、x x x 2tan lim 0→ 7、xx x 10)sin 1(lim +→ 8、2)sin (lim 0x x xx -→ 三、函数的单调性和极值若当),(b a x ∈时，(0)('>x f 或)0)('<x f ．则)(x f 在),(b a 内单调增加（或减少）．且称),(b a 为函数的单调增加区间（或减少区间）． 注：单调的分界点是极值点（包括0)(='x f 的点—驻点；和不可导点）定理2： 若0)(0='x f ，则（1）0)(0<''x f ，0x 是极大值点；（2）0)(0>''x f ，0x 是极小值点；（3）0)(0=''x f ，无法确定。
5.中值定理
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
1 1 1,
f()
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f ()存在,
f() f(). 只有 f () 0.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
例如, y x , x [2,2]; 在[2,2]上除f (0)不存在外,满足罗尔定理的 一切条件, 但在内找不到一点能使f ( x) 0.
水平的.
o a 1
物理解释:
y f (x)
2 b x
变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零.
点击图片任意处播放\暂停
证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
积分中值定理(开区间)证明的几种方法
积分中值定理(开区间)的几种证明方法定理：设f 在［a,b ］上连续，则 (a,b)，使得f (x) f ()在［a,b ］上连续，易证(可反证)(这还是书上例2的结论)(a,b)，使得 F( ) f( ) f( ) 0，即 f ( ) f()。
x［证二］:令F(x) f (t)dt ，则F(x)在［a,b ］上满足拉格朗日中值定理的条件，故a(a,b)，使得 F(b) F(a) F ( )(b a)，即结论成立。
(注：书上在后面讲的微积分基本定理 )b［证三］:反证：假设不 (a,b)，使得 f(x)dx f( )(b a)，由积分第一中值定理, a知只能为a 或b ，不妨设为b ，即1bx (a,b), f (x) f (b) - a f(x)dx 。
b a a 由于 f 连续，故 x (a,b), f (x) f(b)(或 f (x) f(b))，(这一点是不是用介值定理来说明 )这样x b(上限 x 改为 b ) f (x)dx f (b)dx f (b)(b a).a a(这个严格不等号不太显然要用书上例 2结论来说明)矛盾。
［证四］:设f 在［a,b ］上的最大值为 M ，最小值为m 。
若m M ，则f c ， 可任取。
b若 m M ，则 x - ［a,b ］，有 M f(x -) 0,故［M f (x)］dx 0,即ab f (x)dx M (b a).f(x)dx f( )(b a)。
［证一］:由积分第一中值定理(P217),b[a,b]，使得 f (x)dx a f( )(b a)。
于是a 【f (X ) f ( )]dx 0.由于函数F(x)同理有m(b ba) & f(x)dx.由连续函数的介质定理知：1 b (a,b)，使得f ( ) f (x)dx.。
b a a主：以上方法有的能推广到定理9.8的证明，有的不能，再思考吧！。
考研数学中值定理证明题技巧以及结论汇总
目录第一部分：中值定理结论总结 (1)1、介值定理 (1)2、零点定理 (2)3、罗尔定理 (2)4、拉格朗日中值定理 (2)5、柯西中值定理 (2)6、积分中值定理 (3)第二部分：定理运用 (3)第三部分：构造函数基本方法 (9)一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系 (10)二、二阶导数与原函数之间关系 (11)第四部分：中值定理重点题型分类汇总（包含所有题型) (14)题型一：中值定理中关于θ的问题题型二：证明f(n)(ξ)=0题型三：证明f(n)(ξ)=C0(≠0)题型四：结论中含一个中值ξ，不含a,b，导数的差距为一阶题型五：含两个中值ξ,η的问题题型六：含a,b及中值ξ的问题题型七：杂例题型八：二阶保号性问题题型九：中值定理证明不等式问题（第一部分：中值定理结论总结1、介值定理：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A 及f(b)=B ，那么对于 A 与 B 之间的任意一个数 C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于 A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,则 f(x)在[a,b]上有最大值 M ，最小值m,若 m≤C≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得 f(ξ)=C 。
闭区间上的连续函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数 f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、零点定理：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,且 f(a)与 f(b)异号，即 f(a).f(b)<0, 那么在开区间内至少存在一点ξ使得 f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为 0.3、罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<aξ<b),使得f`(x)=0;4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<aξ<b),使得f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a) g(b)-g(a)=f`(ξ) g`(ξ)Ps：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
中值定理证明题思路
中值定理证明题思路1. 中值定理中值定理又被称为秦九韶定理，它是中国古代数学家秦九韶在《九章算法》中提出的定理。
其定义：若在一个三角形的三边之后引入三内角的辅助线，则在其中的每一段中，辅助线的长度等于三角形的边，而其角的和等于180度。
2. 中值定理的原理中值定理的原理是：若在一个三角形的三边的夹角之间引入三向角的辅助线，则辅助线的长度之和等于三角形的三边之和，而辅助角之和为180度。
而在其中每一段辅助线的长度等于三角形边的长度。
3. 中值定理的实践应用（1）测量距离：在路上有一条路程较长的距离，当需要测量这段路程的时候，可以用中值定理。
从原点出发，向左和向右依次隔出一定的距离，例如100米，然后从原点出发，向右走，当到达第一个点时，从第一个点出发，向左走，当到达原点时，说明原点到第一个点的距离等于原点出发，向右和向左隔出的距离之和，即为中值定理。
（2）角度测量：在测量角度的时候，可以用到中值定理，例如在一个三角形的三边之后引入三内角的辅助线，此时在角度测量的时候，只要把三角形的三个顶点，以及辅助线的三个端点之间的角度测量出来，便可以使用中值定理，用以求出三角形的三内角的总和为180度。
4. 中值定理的证明（1）交叉定理：假设一个三角形ABC中，出发点A到达三个顶点的距离分别为a，b，c，则依据交叉定理，可以得出：a + b > c，b + c > a，c + a > b。
（2）假设反证法：假设有一个三角形ABC，并且在这个三角形ABC的三条边之间引入三内角的辅助线，使得在三边之间引出三条辅助线之后，三角形ABC的三边和辅助线的长度之和小于三边的总和，把三内角的辅助线的长度之和记作S，三边的长度之和记作L，则有S < L。
（3）推导式：令a、b、c分别是三角形ABC的三边之间引出的三条辅助线的长度，显然有S = a + b + c，L = a + b + c。
因此a+b > c，b + c > a，c + a > b运用交叉定理可以得出：（a + b）+ （b + c）+ （c + a）=3a + 3b + 3c，因此S + L = 2a + 2b + 2c，即S = L。
中值定理证明方法总结
中值定理证明方法总结中值定理是微积分中的一个重要定理，它建立了一个函数在一些区间上连续的条件与其在该区间上取到的最大值和最小值之间的关系。
中值定理分为费马中值定理、罗尔中值定理和拉格朗日中值定理三种形式。
在实际问题中，通过中值定理可以推导出很多有用的结论，因此学好中值定理的证明方法对于掌握微积分知识非常重要。
下面对中值定理的证明方法进行总结。
1.费马中值定理的证明方法：费马中值定理是对实数集上的连续函数的最值及其存在性进行了精确的描述。
其证明方法如下：首先，假设函数f(x)在[a,b]上取得了极大值或者极小值。
如果f(x)在[a,b]的内点c处取得极值，那么根据极值点的定义，f'(c)=0。
我们可以通过数学归纳法证明，如果一个函数在[a,b]上的内点x处取得了极大值或者极小值，那么f'(x)=0。
假设f(x)在[a,b]的每个内点处都取得了极大值或者极小值，那么f'(x)=0在它们的闭区间上也成立。
根据极值点的定义，f(x)在[a,b]的端点处也取得了极大值或者极小值，因此f(x)在[a,b]上的每个内点处都取得了极大值或者极小值。
这与f(x)在[a,b]上连续的条件矛盾，所以假设错误，即f(x)在[a,b]上没有取得极大值或者极小值。
根据介值定理，f(x)在[a,b]上连续，所以在[a,b]上一定取到了最大值和最小值。
2.罗尔中值定理的证明方法：罗尔中值定理是对实数集上的可微函数的导数为0的点进行了描述。
其证明方法如下：首先，假设函数f(x)在[a,b]上满足f(a)=f(b)。
根据闭区间上连续函数的最值存在定理，f(x)在[a,b]上一定取到了最大值和最小值。
如果最大值和最小值不是在[a,b]的内点处取到的，那么它们一定是在[a,b]的端点处取到的。
根据最值点的定义，f(x)在[a,b]的端点处的导数等于0。
所以，如果f(x)在[a,b]的内点处取到了最大值或者最小值，那么根据费马中值定理，它们的导数等于0。
拉格朗日中值定理的证明
拉格朗日中值定理的证明拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它是关于函数在闭区间上的连续和可导条件下的一个性质。
拉格朗日中值定理的内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ) = [f(b) - f(a)] / (b - a)换句话说，对于函数f(x)在闭区间[a,b]上的任意两点a和b，至少存在一个介于a和b之间的点ξ，使得函数在这一点的导数等于函数在a和b之间的增量的平均斜率。
接下来我将给出拉格朗日中值定理的证明。
证明：由于f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，我们可以利用微分中值定理来证明拉格朗日中值定理。
首先我们定义一个新的函数F(x)，使其满足F(x) = f(x) - [f(b) - f(a)] / (b - a) * (x - a)接下来我们来证明F(x)在闭区间[a,b]上满足罗尔定理的条件。
我们知道，罗尔定理要求函数在闭区间上连续，在开区间可导，并且在两个端点上取相同的函数值。
对于F(x)来说，显然它在闭区间上也是连续的，并且在开区间可导。
另外，F(a) = f(a) - [f(b) - f(a)] / (b - a) * (a - a) = f(a) - f(a) = 0，F(b) = f(b) - [f(b) -f(a)] / (b - a) * (b - a) = f(b) - f(a) = 0。
因此F(x)在闭区间[a,b]上满足罗尔定理的条件。
根据罗尔定理，存在一个ξ，使得F'(ξ) = 0。
接下来我们计算F'(x)。
由于F(x) = f(x) - [f(b) - f(a)] / (b - a) * (x - a)，所以F'(x) = f'(x) - [f(b) - f(a)] / (b - a)。
然后根据罗尔定理，存在一个ξ，使得F'(ξ) = 0。
积分中值定理(开区间)证明的几种方法
积分中值定理（开区间）的几种证明方法定理：设f 在[,]a b 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰。
[证一]：由积分第一中值定理（P217），[,]a b ξ∃∈， 使得()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰。
于是[()()]0.b af x f dx ξ-=⎰ 由于函数()()()F x f x f ξ=-在[,]a b 上连续，易证（可反证）：(这还是书上例2的结论)(,)a b η∃∈，使得()()()0F f f ηηξ=-=，即()()f f ηξ=。
[证二]：令()()xa F x f t dt =⎰，则()F x 在[,]ab 上满足拉格朗日中值定理的条件，故(,)a b ξ∃∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-，即结论成立。
（注：书上在后面讲的微积分基本定理）[证三]：反证：假设不(,)a b ξ∃∈，使得 ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，由积分第一中值定理，知ξ只能为a 或b ，不妨设为b ，即1(,),()()()b a x a b f x f b f x dx b a∀∈≠=-⎰。
由于f 连续，故(,),x a b ∀∈ ()()f x f b >（或()()f x f b <），（这一点是不是用介值定理来说明）这样（上限x 改为b ）()()()().xba a f x dx fb dx f b b a >=-⎰⎰ （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）矛盾。
[证四]：设f 在[,]a b 上的最大值为M ，最小值为m 。
若m M =，则f c ≡，ξ可任取。
若m M <，则1[,]x a b ∃∈，有1()0M f x ->，故[()]0b a M f x dx ->⎰，即 ()().ba f x d x Mb a<-⎰同理有()().ba mb a f x dx -<⎰ 由连续函数的介质定理知：(,)a b ξ∃∈，使得 1()().b a f f x dx b aξ=-⎰。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
o
y
−1
1
x y o
1
上页 下页
o
1
x
机动
x
返回 结束
目录
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
x→a+
lim f (x) = lim f (x)
x→b−
在( a , b ) 内至少存在一点 (
使
证明提示: 证明提示 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
中值定理的主要应用与解题方法
原函数的性质 中值定理
反映 反映
导函数的性质
中值定理的主要应用 (1) 利用中值定理求极限 (2) 研究函数或导数的性质 (3) 证明恒等式 (4) 判定方程根的存在性和唯一性 (5) 证明有关中值问题的结论 (6) 证明不等式
几个中值定理中最重要、最常用的是 的是: 罗尔中值定理。 注：（1） 几个中值定理中最重要、最常用的是: 罗尔中值定理。 ：（1 （2） 应用中值定理的关键为： 应用中值定理的关键为： 如何构造合适的辅助函数？（难点、 重点） ？（难点 如何构造合适的辅助函数？（难点、 重点）
1 f (n) (x )(x − x )n +⋯+ 0 0 n!
f (b) − f (a) f ′(ξ ) = F(b) − F(a) F′(ξ )
证明中值定理的方法
直观分析 辅助函数法 逆向分析 例如, 证明拉格朗日定理 : f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) 要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 . y = f (x) 方法1. 方法 直观分析 由图可知 , 设辅助函数
f (b ) − f (a ) f ′(ξ ) . = g (b ) − g (a ) g′(ξ )
改写为 将 ξ 改写为 x
f ( b ) − f ( a ) f ′( x ) . = g ( b ) − g ( a ) g ′( x )
直接积分消不去导数， 直接积分消不去导数，故变形为 去导数
f (b) − f (a ) g ′( x ) = f ′( x ) . g (b) − g (a )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 证: 问题转化为证 f ′(ξ ) −
y
y = f (x)
o
aξ
=0
b x
f (b) − f (a) . 使 f ′(ξ ) = b−a f (b) − f (a)
可适当减弱. 例如, 设 在 则至少存在一点 证: 设辅助函数 内可导,且 f (a + 0) = f (b − 0) , 使
f (a + 0) , x = a a < x <b F(x) = f (x) , f (b − 0) , x = b
内可导, 由罗尔 使 F′(ξ ) = 0 , 即
第5讲
§5 微分中值定理的应用与技巧
5．1 基本概念、内容、定理、公式 ． 基本概念、内容、定理、 罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
推广
泰勒公式
中值定理
罗尔( 一、罗尔 Rolle )定理 定理 二、拉格朗日中值定理 柯西(Cauchy)中值定理 三、柯西 中值定理
以拉格朗日及柯西中值定理为例， 说明辅助函数 F ( x) 的 以拉格朗日及柯西中值定理为例， 说明辅助函数 构造作法：. 构造作法： 作法
拉格朗日中值定理的结论: 拉格朗日中值定理的结论
f (b) − f (a ) = f ′(ξ ) b−a
改写为 将 ξ 改写为 x
f (b) − f (a ) = f ′( x ) b−a
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
f (b) − f (a) F(x) − f (x) 证: 作辅助函数 ϕ(x) = F(b) − F(a) 则 (x) 在[a,b]上 续, 在(a,b)内 导, 且 ϕ 连 可 f (b)F(a) − f (a)F(b) ϕ(a) = = ϕ(b) F(b) − F(a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) − f (a) f ′(ξ ) = . F(b) − F(a) F′(ξ ) 思考: 思考 柯西定理的下述证法对吗 ? ∵ f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a), ξ ∈(a, b) 两个 ξ 不 F(b) − F(a) = F′(ξ )(b − a), ξ ∈(a, b) 一定相同 上面两式相比即得结论. 错!
机动
目录
上页
下页
返回
结束
罗尔( 一、罗尔 Rolle )定理 定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 在( a , b ) 内至少存在一点 证: M 和最小值 m . 若M=m,则 因此
y
y = f (x)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
几个中值定理的关系
罗尔定理 f ′(ξ ) = 0 y (x) y = x(x) F =f f (a) = f (b) 柯西中值定理
o aξ
b x
f (a) = f (b)
拉格朗日中值定理 f (b) − f (a) f ′(ξ ) = b−a F(x) = x y y n = 0= f (x) 泰勒中值定理 o aξ b x
在 上连续, 在 显然 定理可知 , 存在一点
f ′(ξ ) = 0 .
* 中值定理的统一表达式 设 f (x) , g(x) , h(x) 都在 [a , b]上连续 , 且在 (a , b) 内可导, 证明至少存在一点 ξ ∈(a , b) , 使 f (a) f (b) f ′(ξ ) g(a) g(b) g′(ξ ) = 0 h(a) h(b) h′(ξ )
同样, 同样 柯西中值定理要证
即证 设
f (b) − f (a) F′(x) = f ′(x) − g′(x) g(b) − g(a)
原函数法
f (b) − f (a) F(x) = f (x) − g( x) g(b) − g(a)
* 中值定理的条件是充分的 但非必要 因此 中值定理的条件是充分的, 但非必要.
解题方法: 解题方法 从结论入手, 利用逆向分析法, 选择有关中值定 理及适当设辅助函数 . (1) 证明含一个中值的等式 含一个中值的等式或证根的存在 , 常用 含一个中值的等式 根的存在 罗尔定理 , 此时可用原函数法设辅助函数. (2) 若结论中涉及到含一个中值 两个不同函数 一个中值的两个不同函数 一个中值 两个不同函数, 可考虑用柯西中值定理 .
b−a ϕf((x) − f (b) − f (a) x ϕ(x) = ′ ξ ) 作辅助函数 b−a 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 ϕ(a) = b f (a) − a f (b) =ϕ(b), 由罗尔定理知至少存在一点 b−a 思路: 逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 思路 利用逆向思维 逆向思维 即定理结论成立 . 证毕
设 f (x) , g(x) , h(x) 都在 (a , b) 上连续 , 且在 [a , b] 内可导, 证明至少存在一点 ξ ∈(a , b) , 使
f (a) f (b) f ′(ξ ) g(a) g(b) g′(ξ ) = 0 h(a) h(b) h′(ξ )
说明 若取 h(x) ≡1, g(x) = x , f (a) = f (b) ,即为罗尔定理; 若取 h(x) ≡1, g(x) = x , 即为拉格朗日中值定理; 若取 h(x) ≡1, g′(x) ≠ 0, 即为柯西中值定理; ( 自己验证 )
利用逆向思维设辅助函数 f (a) f (b) g(a) g(b) g(x) f (x) − F(x) = h(a) h(b) h(a) h(b) f (a) f (b) f (x) f (a) f (b) + h(x) = g(a) g(b) g(x) g(a) g(b) h(a) h(b) h(x) 显然 F(x) 在[a , b] 上连续 , 在 (a , b)内可导, 且 F(a) = F(b) = 0, 因此,由罗尔定理知至少存在一点 f (a) f (b使 f′′(ξ ) ) ξ ∈(a, b) , F ′ξ ) = 0, g即) g(b) ′ ( (a f (ξ) g(a) g(b) g (ξ ) = h(a) h(b) h(a) h(b) h′(ξ ) a) f (b) f ′(ξ ) f( F′(ξ ) = fg(a) fg(b) g′(ξ ) f=a) f (b) (0 (a) (b) ′ − h(a) h(b) g (h′)ξ ) ξ (+ h′(ξ) h(a) h(b) g(a) g(b)
(3) 若结论中含两个 两个以上中值 , 必须多次 两个或两个以上中值 两个 使用中值定理 . (4) 若已知条件或结论中含高阶导数 , 多考虑用 含高阶导数 泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 . 对导数用中值定理 (5) 若结论为恒等式 , 先证变式导数为 0 , 再利用 特殊点定常数 . (6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的 技巧.
构造辅助函数的方法
(1)不定积分求积分常数法 不定积分求积分常数法. 不定积分求积分常数法
的步骤如下 如下: 构造辅助函数 F ( x) 的步骤如下 改写为 ● 将欲证结论中的ξ 改写为 x ； ● 通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式 即易积 通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式 将结论化为易消除导数符号的形式.(即易积 分形式)； 分形式 ； ● 利用观察法或不定积分法 方程两边同时积分； 或解微 利用观察法或不定积分法, 方程两边同时积分； （或解微 （ 分方程） 分方程） 即为所求的辅助函数。 ●解出积分常数 C = F ( x) ,则 F ( x) 即为所求的辅助函数。 则