二次函数最值复习题
中考数学复习专题突破专题26 二次函数-最值问题(全国通用)
专题26 二次函数-最值问题1212x ,2x bm a-≤≤= 二次函数中的最值问题从知识点上看，有两个方面，二次函数的增减性上由自变量取值范围确定最值， 即：自变量取值范围为x x 对称轴再结合对称轴的值在x ,x 之间还是之外，通过数形结合进行分类讨论解决问题；另一方面，通过两个几何公理两点之间线段最短和点线之间垂线段最短解决问题。
本专题结合近些年中考题进行专项练习提升学生解题能力。
一、单选题2.y 2303x x x y =--≤≤1在二次函数中，当时，的最大值和最小值分别是（ ）A ．0，-4B ．0，-3C ．-3，-4D ．0，02．如果二次函数268y x x =-+在x 的一定取值范围内有最大值（或最小值）为3，满足条件的x 的取值范围可以是（ ） A ．15x -≤≤B ．16x ≤≤C ．24x -≤≤D ．11x -≤≤3．二次函数2y (x 1)6=+-有( ) A ．最大值5-B ．最小值5-C ．最大值6-D ．最小值6-4．二次函数22(4)5y x =--+的函数值有（ ）． A ．最大值5B ．最大值4C ．最小值5D ．最小值45．二次函数241y x x =-++有（ ） A ．最大值5B ．最小值5C ．最大值-3D ．最小值-36．已知二次函数2(2)3y x =-+，则当14x ≤≤时，该函数( ) A ．有最大值7，有最小值4 B ．只有最大值7，无最小值 C ．只有最小值3，无最大值D ．有最小值3，有最大值77．已知二次函数2(1)y a x b =-+有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是 ( ) A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定8．已知二次函数y ＝﹣2x 2﹣4x +1，当﹣3≤x ≤2时，则函数值y 的最小值为（ ） A ．﹣15B ．﹣5C ．1D ．39．在平面直角坐标系中，二次函数223y x x =+-的图象如图所示，点()11,A x y ，()22,B x y 是该二次函数图象上的两点，其中1230x x -≤<≤，则下列结论正确的是（ ）A ．12y y <B ．12y y >C ．函数y 的最小值是3-D ．函数y 的最小值是4-10．已知二次函数y=x 2﹣2x +2在t ≤x ≤t +1时有最小值是t ，则t 的值是（ ） A ．1B ．2C ．1或2D ．±1 或211．已知二次函数y＝x 2＝2x＝2在m≤x≤m＝1时有最小值m ，则整数m 的值是（ ＝ A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．±1或212．已知二次函数()2y x h =-（h 为常数），当自变量x 的值满足-13x ≤≤时，与其对应的函数值y 的最小值为4，则h 的值为（ ） A ．1或-5 B ．-5或3 C ．-3或1 D ．-3或5二、填空题13．二次函数y=2x 2 -4x+5,当＝3≤x ≤4时，y 的最大值是___________，最小值是___________. 14．二次函数223y x x =--，当03x ≤≤时，y 的最大值和最小值的和是_______． 15．当x =_______时，二次函数()2235y x =--的最小值是________．16．已知二次函数y=-x 2-2x+3的图象与x 轴分别交于A 、B 两点（如图所示），与y 轴交于点C ，点P 是其对称轴上一动点，当PB+PC 取得最小值时，点P 的坐标为 ．17．二次函数y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：给出了结论：（1）二次函数y =ax 2+bx +c 有最小值，最小值为－3； （2）当－12＜x ＜2时，y ＜0； （3）二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧．则其中正确结论是_________ （填上正确的序号）18．已知二次函数y ＝2（x +1）2+1，﹣2≤x ≤1，则函数y 的最小值是_____，最大值是_____． 19．已知二次函数268y x x =-+，当0≤x≤4，y 的最小值是_____,最大值是__________. 20．已知二次函数2241y ax ax a =-+-，当x a ≥时，y 随x 的增大而增大．若点A （1，c ）在该二次函数的图像上，则c 的最小值为_________．21．二次函数22y x ax a =-+在 03x ≤≤的最小值是－2，则a =__________ 22．二次函数222y x x -=+的最小值是_________．23．二次函数22y x x m =-+的最小值为5时，m =________．24．二次函数2(2)3y x =--+，当15x ≤≤时，y 的最小值为_________．25．二次函数2y ax bx =+的图像如图，若一元二次方程20ax bx c ++=有实数根，则c 的最小值为______.26．已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：则当x ≥1时，y 的最小值是_____．27．如图，已知二次函数21199y x x =-++的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，顶点D 关于x 轴的对称点为D ．点P 为x 轴上的一个动点，连接PD '，则12PA PD '+的最小值为__________．28．如图，在平面直角坐标系中，过点(,0)P x 作x 轴的垂线，分别交抛物线22y x =+与直线y x =-交于点A ，B ，以线段AB 为对角线作菱形ACBD ，使得60D ︒∠=，则菱形ACBD 的面积最小值为______．三、解答题29．如图，二次函数2y x ax c =++的图象与x 轴相交于A ，()10B ,两点，与y 轴交于点()0,3C -.（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到新二次函数图象，当06x ≤≤时，求新二次函数的最小值.30．如图1，已知二次函数1L ：()2230y ax ax a a =-++>和二次函数2L ：()()2110y a x a =-++>的图象的顶点分别为M 、N ，与y 轴分别交于点E 、F .(1)函数()2230y ax ax a a =-++>的最小值为___；当二次函数1L 、2L 的y 值同时随着x的增大而减小时，则x 的取值范围是___.(2)当EF MN =时，求证：四边形ENFM 为矩形.(3)若二次函数2L 的图象与x 轴的右交点为(),0A m ，当AMN ∆为等腰三角形时，求方程()2110a x -++=的解.31．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x 轴、y 轴相交于点A （，0），B （0，）两点，二次函数的图象经过点A ．（1）求一次函数的表达式；（2）若二次函数的图象的顶点在直线AB 上，求m ，n ； （3）＝设时，当时，求二次函数的最小值； ＝反之若时，二次函数的最小值为，求m ，n 的值．32．已知二次函数()2221y x m x m m =--+-（m 是常数，且0m ≠）.（1）证明：不论m 取何值时，该二次函数图象总与x 轴有两个交点；（2）若()232A n n -+，、()212B n n ++，是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数解析式和n 的值；（3）若当01x ≤≤时，函数有最小值为1，求m 的值.33．根据下列二次函数部分图象信息，已知顶点D （1,4），与x 轴的一交点B (3,0)． （1）求二次函数的解析式；（2）当0y ＞ 时，直接写出x 的取值范围； （3）当-22x 时，求y 的最大值与最小值．34．如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(0,2)、(1,3)、(1,0)-三点． （1）求该二次函数的解析式；（2）若点M 是该二次函数图象上的一点，且满足OAC ABM ∠=∠，求点M 的坐标； （3）点P 是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA 分别交BC ，y 轴与点E 、F ，若EBP ∆、EFC ∆的面积分别为1S 、2S ，求21S S -的最小值．35．如图，二次函数()22y x b =--+的图像与x 轴分别相交于A 、B 两点，点A 的坐标为()1,0-，与轴交于点C ． （1）求b 的值：（1）抛物线顶点为E ，EF x ⊥轴于F 点，点()2,P m 是线段EF 上一动点，(),0Q n 在x 轴上，且2n <，若90QPC ∠=︒，求n 的最小值．36．一次函数y =x −3的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．一个二次函数的图象经过点A ，B ．（1）求点A ，B 的坐标，并画出一次函数y =x −3的图象； （2）求二次函数的解析式及它的最小值．37．已知二次函数22y x 2mx m m(m =-+-为常数)()1若m 0≥，求证该函数图象与x 轴必有交点()2求证：不论m 为何值，该函数图象的顶点都在函数y x =-的图象上 ()3当2x 3-≤≤时，y 的最小值为1-，求m 的值38．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(3,0)-，与y 轴交于点C ，点(2,3)D --在抛物线上． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P ，求出PA PD +的最小值； （3）若抛物线上有一动点Q ，使ABQ △的面积为6，求点Q 的坐标．。
最全二次函数区间的最值问题(中考数学必考题型)
二次函数的最值问题二次函数的最值问题，是每年中考的必考题，也是考试难点，经常出现在压轴题的位置，解决二次函数的最值问题，特别是含参数的二次函数，一定要考虑二次函数的三个要素：开口方向，对称轴，自变量的取值范围，对于二次函数能够分析出三要素，二次函数的问题就迎刃而解了。
例1.对于二次函数342+-=x x y（1）求它的最小值和最大值.（2）当1≤x ≤4时，求它的最小值和最大值.（3）当-2≤x ≤1时，求它的最小值和最大值.（4）二次函数的最值与哪些因素有关？对于给定的范围，最值可能出现在哪些位置？练习1.二次函数y ＝x 2+2x ﹣5有（ ）A ．最大值﹣5B ．最小值﹣5C ．最大值﹣6D ．最小值﹣6练习2.在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（ ）A ．0，﹣4B ．0，﹣3C ．﹣3，﹣4D ．0，0练习3若抛物线y ＝﹣x 2+4x +k 的最大值为3，则k ＝ ．练习4（多元消参，利用平方的性质确定自变量的取值范围）若实数a 、b 满足a +b 2＝2，则a 2+5b 2的最小值为 ．练习5如图，P 是抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3在第四象限的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，求四边形OAPB 周长的最大值及点P 的横坐标练习6．（回归教材）如图，一张正方形纸板的边长为8cm ，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x （cm ），阴影部分的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围；（2）当x 取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少．一、对开口方向（二次项前面系数）进行讨论例2.当 41≤≤x 时，二次函数a ax ax y 342+-= 的最大值等于6．求二次项系数a 的值练习1已知二次函数y ＝mx 2+2mx ﹣1（m ＞0）的最小值为﹣5，则m 的值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4练习2已知二次函数y ＝mx 2+（m 2﹣3）x +1，当x ＝﹣1时，y 取得最大值，则m ＝ ． 练习3已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，求m 的值二、对二次函数的对称轴的位置进行讨论例3.当 12≤≤x -时，二次函数a ax x y 342+-= 的最小值等于-1．求a 的值．变式1当﹣2≤x ≤1时，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，求实数m 的值．变式2当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．三、对二次函数的x 取值范围进行讨论例4.当 2+≤≤a x a 时，二次函数a x x y 342+-= 的最大值等于-6．求a 的值．练习1.当a ﹣1≤x ≤a 时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，求a 的值．练习2.若t ≤x ≤t +2时，二次函数y ＝2x 2+4x +1的最大值为31，求t 的值练习3.已知二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5．当t ≤x ≤t +3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m ﹣n ＝3，求t 的值．练习4.设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．求函数y ＝x 2﹣4x ﹣4在区间[t ﹣2，t ﹣1]（t 为任意实数）上的最小值y min 的解析式．练习5.若关于x 的函数y ，当t ﹣≤x ≤t +时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数h ＝，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．若函数y ＝﹣x 2+4x +k ，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．拓展：C 2的解析式为：y ＝a （x +2）2﹣3（a ＞0），当a ﹣4≤x ≤a ﹣2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．作业：1.矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是2.若实数x ，y 满足x +y 2＝3，设s ＝x 2+8y 2，则s 的取值范围是 ．3.已知二次函数y ＝ax 2+4x +a ﹣1的最小值为2，则a 的值为 ．4.已知实数满足x 2+3x ﹣y ﹣3＝0，则x +y 的最小值是 ．5.若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣2≤x ≤1时的最大值为5，则m 的值为6.当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为7.已知二次函数y =122+-ax ax ，当30≤≤x 时，y 的最大值为2，则a 的值为8.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，则P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过多少秒钟，使△PBQ 的面积最大．9.设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．若二次函数y＝x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．10．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．（1）b＝；（2）若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．11.已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．12.已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围．（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好，求m，n的值．。
二次函数的最值、函数值的范围专题复习讲义(含答案)
二次函数的最值、函数值的范围专题复习讲义（含答案）类比各形式，突破给定范围求最值类型一没有限定自变量的范围求最值1．函数 y ＝－（x＋1）2＋5 的最大值为 ____ .2．已知二次函数 y＝3x2－12x＋13，则函数值 y 的最小值是（） A ．3 B．2 C．1 D．－ 13．已知函数 y＝x（2－3x），当 x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．类型二限定自变量的取值范围求最值4．函数 y＝x2＋2x－3（－2≤x≤2）的最大值和最小值分别是（）A．4 和－3 B．－3 和－4 C．5 和－4 D．－1 和－4135．二次函数 y＝－2x2＋2x＋2 的图象如图所示，当－ 1≤x≤0 时，该函数的最大值是（ ）A ．3.125B ．4C ．2D ．036 ．已知 0 ≤x ≤2，则函数 y ＝x 2＋ x ＋ 1（ ）33A ．有最小值 ，但无最大值B ．有最小值 ，有最大值 1 4419C ．有最小值 1，有最大值D ．无最小值，也无最大值4类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围7．从 y ＝2x 2－3 的图象上可以看出，当－ 1≤x ≤2 时，y 的取值范围是（） A ．－1≤y ≤5 B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－ 2≤y ≤18．已知二次函数 y ＝－ x 2＋2x ＋3，当 x ≥2 时，y 的取值范围是（）A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y >3D ．y<39．二次函数 y ＝x 2－x ＋m （m 为常数 ）的图象如图所示，当 x ＝a 时，y<0；那 么当 x ＝a －1 时，函数值（ ） A ．y<0B ．0<y<mC ．y>m D ．y ＝m类型四 已知函数的最值， 求自变量的取值范围或待定系数的值 10 ．当二次函数 y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时， x 的值为（ ）A ．－2 B． 1 C．2 D ．911．已知二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为 2，则 a的值为（）A．3 B．－1 C．4 D．4 或－112．已知 y＝－x（x ＋3－a）＋1 是关于 x 的二次函数，当 x 的取值范围在1≤x≤5 时，y 在 x＝1 时取得最大值，则实数 a的取值范围是（）A ． a ＝ 9B ． a ＝ 5C ． a ≤9D ． a ≤513．在△ABC 中，∠A，∠B 所对的边分别为 a，b ，∠C＝70 °.若二次函数 y＝（aa＋b）x 2＋（a＋b）x－（a－b）的最小值为－2，则∠A＝__ 度．14．已知函数 y＝－4x 2＋4ax －4a － a2，若函数在 0≤x≤1 上的最大值是－ 5，求 a 的值．参考答案：14.解匸次函数的对称轴为直线7=_d=号・y≤0时, d≤O,<r=O时函数有最大值，最大值为一4α-= —5,整理得α2+4α-5 = 0,解得α1 = l （舍去），血=一5 ;OV号Vl 时，OVoV2,最大值为 ------------ 4X（_4） ---------- =_5,解得a =-y 时,α≥2,Λ'=l时，函数有最大值，此时一4÷4α~4α-α2 = -5,整理得α2 = l,解得α1 = -l（舍去）,α2 = l（舍去）・综上所述,Q = —5或a =—时，函数在0W∙r≤l上的最大值是—5∙。
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题-附带答案解析
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题-附带答案解析一、单选题(共12题；共24分)1．如图，△ABC是直角三角形，△A=90°，AB=8cm，AC=6cm。
点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则△APQ的最大面积是（）A．0cm2B．8cm2C．16cm2D．24 cm2 2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A．②④⑤⑥⑦B．①②③⑥⑦C．①③④⑤⑦D．①③④⑥⑦3．已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（）A．B．C．或D．- 或4．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2B．有最大值0，有最小值﹣1 C．有最大值7，有最小值﹣1D．有最大值7，有最小值﹣25．二次函数y=−x2+6x−7，当x取值为t≤x≤t+2时有最大值t=2，则t的取值范围为（）A．t≤0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不对6．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A．√3cm2B．32√3cm2C．92√3cm2D．272√3cm27．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．x＞1时y随x的增大而减小C．顶点坐标是（1，2）D．函数有最大值28．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7 9．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时函数的最小值是0；⑤当x＝1时函数的最大值是4A．4B．3C．2D．110．设实数x＞0，y＞0，且x＋y－2x2y2＝4，则1x+1y的最小值为()A．4 √2B．3 √2C．2 √2D．√2 11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①因为a＞0，所以函数y有最大值；②该函数的图象关于直线x=-1对称；③当x=-2时函数y的值等于0；④当x=-3或x=1时函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4 12．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=1，交x轴的一个交点为（x1，0），且﹣1＜x1＜0，有下列5个结论：①abc＞0；②9a﹣3b+c＜0；③2c＜3b；④（a+c）2＜b2；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(共6题；共6分)13．已知二次函数y=ax2+4ax+a2−1，当−4≤x≤1时y的最大值为5，则实数a的值为.14．函数y=2x2-8x+1的最小值是.15．当-2≤x≤1时二次函数若y=−(x−m)2+m2+1有最大值4，则m的值为．16．如图，在△ABC中△B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始向B点以2cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从点B开始向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒四边形APQC的面积最小.17．一条抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），若点M，N的坐标分别为（－1，－2），（1，－2），抛物线顶点P在线段MN上移动．点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为．18．二次函数y=mx2+2x+m−4m2的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是三、综合题(共6题；共66分)19．如图，在平面直角坐标系中点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣√3），点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长；（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．20．X市与W市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中.在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m与该列车每次拖挂车厢节数n的部分数据如下：车厢节数n4710往返次数m16104b（k，b为常数，k≠0）；②y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中选取一个合适的函数模型，求出的m关于n的函数关系式是m=（不写n的范围）；（2）结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时一天的设计运营人数Q最多（每节车厢载容量设定为常数p）.21．在平面直角坐标系xOy中抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）经过点A(1，−1)，与y轴交于点B．（1）直接写出点B的坐标；（2）点P(m，n)是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时n存在最大值N．①若N=2，求抛物线的表达式；②若−9<a<−2，结合函数图象，直接写出N的取值范围．22．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）当每件商品降价多少元时该商店每天销售利润为1600元？（2）当每件商品降价多少元时该商店每天销售利润最大？最大为多少元？23．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件.（1）求销售量y件与销售单价x(x>10)元之间的关系式；（2）当销售单价x定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？24．如图，已知直线y=﹣12x+2与抛物线y=a （x+2）2相交于A、B两点，点A在y 轴上，M为抛物线的顶点．（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l2与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】A 11．【答案】B 12．【答案】D13．【答案】2−√10 或1 14．【答案】-7 15．【答案】2或- √3 16．【答案】3 17．【答案】-3 18．【答案】（-4，-4）19．【答案】（1）解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）由抛物线的对称性知B 点坐标为（3，0） 依题意得： {a −b +c =09a +3b +c =0c =−√3解得： {a =√33b =−2√33c =−√3∴所求二次函数的解析式为 y =√33x 2−2√33x −√3（2）解：∵P 点的横坐标为m∴P 点的纵坐标为 √33m 2−2√33m −√3设直线BC 的解析式为y=kx+b （k≠0，k 、b 是常数） 依题意，得 {3k +b =0b =−√3∴{k=√33b=−√3故直线BC的解析式为y=√33x−√3∴点F的坐标为(m,√33m−√3)∴PF=−√33m2+√3n(0＜m＜3)（3）解：∵△PBC的面积S=S△CPF+S△BPF=12PF⋅BO=12×(−√33m2+√3m)×3=−√32(m−32)2+9√38∴当m=32时△PBC的最大面积为9√38把m=32代入y=√33x2−2√33x−√3得y=−5√34∴点P的坐标为(32,−5√3 4)20．【答案】（1）-2n+24（2）解：由题意得：Q=pmn=pn(−2n+24)=−2pn2+24pn ∵−2p<0∴Q有最大值∴当n=−24p2×(−2p)=6时Q有最大值此时答：一列火车每次挂6节车厢，一天往返12次时一天的设计运营人数最多. 21．【答案】（1）（0，2）（2）解：①依题意，当N=2时该抛物线的顶点为（0，2）.设抛物线的解析式为y=ax2+2.由抛物线过A（1，−1），得a+2=−1解得a=−3∴抛物线的表达式为y=−3x2+2．②2≤N<322．【答案】（1）解：设每件商品应降价x元，根据题意，得(50-x)(20+2x)=1600 解得：x1=10，x2=30因要求每件盈利不少于25元，故x2=30应舍去……答：每件商品应减价10元，该商店每天销售利润为1600元.（2）解：设每件商品应降价x元，销售利润为W元。
2023年九年级人教版数学中考复习重难点专练 二次函数的最值(含答案)
2023年人教版数学中考复习重难点专练——二次函数的最值一、单选题1．二次函数的最小值是A ．1-B ．1C ．2-D ．2 2．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）A ．有最小值0，有最大值3B ．有最小值﹣1，有最大值0C ．有最小值﹣1，有最大值3D ．有最小值﹣1，无最大值 3．二次函数()215y x =--+，当m x n ≤≤且0mn <时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m n +的值为（ ）A ．52B ．2C ．12D ．32 4．二次函数y=(x-1)2+2的最小值是（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．1 5．二次函数 22y x x c =--+ 在 32x -≤≤ 的范围内有最小值 5- ，则 c 的值是（ ）A ．6-B ．2C ．2-D ．3 6．二次函数y=x 2﹣8x+1的最小值是（ ）A ．4B ．﹣15C ．﹣4D ．15 7．二次函数y=3（x ﹣1）2+2的最小值是（ ）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2 8．已知关于x 的二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣2，当a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a 的值为（ ）A ．﹣1或1B ．1或﹣3C ．﹣1或3D ．3或﹣39．二次函数223y x mx =+-，当01x ≤≤时，若图象上的点到x 轴距离的最大值为4，则m 的值为（ ）A ．-1或1B ．-1或1或3C ．1或3D ．-1或3 10．已知二次函数y=（x-m+2）（x+m-4）+n ，其中m ，n 为常数，则（ ）A ．m>1，n<0时，二次函数的最小值大于0B ．m=1，n>0时，二次函数的最小值大于0C ．m<1，n>0时，二次函数的最小值小于0D ．m=1，n<0时，二次函数的最小值小于0二、填空题11．二次函数 22y x =-+ 的最大值为 ．12．二次函数y=x 2+（2m+1）x+（m 2﹣1）有最小值﹣2，则m= ． 13．二次函数y=2x 2﹣2x+6的最小值是 ．14．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为 ()11--， 、 ()21-， ，抛物线 ()20y ax bx c a =++≠ 的顶点P 在线段 AB 上，与x 轴相交于C 、D 两点，设点C 、D 的横坐标分别为 1x 、 2x ，且 12x x < ．若 1x 的最小值是 2- ，则 2x 的最大值是 ．15．已知二次函数y=x 2﹣2mx （m 为常数），当﹣2≤x≤1时，函数值y 的最小值为﹣2，则m 的值为 ．三、解答题16．用总长为60的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化，L 是多少时，场地的面积S 最大？17．已知抛物线l 1的最高点为P （3，4），且经过点A （0，1），求l 1的解析式． 18．如图，二次函数的图象与x 轴交于点A （-3，0）和点B ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接DP ，过点P 作DP 的垂线与y轴交于点E．（1）请直接写出点D的坐标：（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．19．四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边形的面积最大？20．甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】D10．【答案】D11．【答案】212．【答案】34 13．【答案】9214．【答案】315．【答案】32 或－16．【答案】解：由题意S=，当 时，S 有最大值．17．【答案】解：∵抛物线l 1的最高点为P （3，4），∴设抛物线的解析式为y=a （x ﹣3）2+4，把点（0，1）代入得，1=a （0﹣3）2+4，解得，a=﹣ 13， ∴抛物线的解析式为y=﹣13 （x ﹣3）2+4 18．【答案】（1）（﹣3，4）；（2）设PA=t ，OE=l由△DAP=△POE=△DPE=90°得△DAP△△POE∴∴l=﹣∴当t=时，l有最大值即P为AO中点时，OE的最大值为；（3）存在．①点P点在y轴左侧时，P点的坐标为（﹣4，0）由△PAD△△OEG得OE=PA=1∴OP=OA+PA=4∵△ADG△△OEG∴AG：GO=AD：OE=4：1∴AG=，∴重叠部分的面积=；②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），此时重叠部分的面积为.19．【答案】解：设四边形ABCD的面积为y，AC的长为x，BD的长为（10-x）∴根据题意可得，y=102x x-（）=-12x2+5x=-12（x-5）2+12.5根据题意可得，当x=5时，四边形的面积最大此时AC=BD=520．【答案】解：由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4，设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1（a≠0），则据题意得：421.53661baa b⎧-=⎪⎨⎪=++⎩，解得：12413ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=﹣124x2+13x+1，∵y=﹣124（x﹣4）2+53，∴飞行的最高高度为53米。
九年级-二次函数-复习-试卷(含答案)
九年级二次函数复习训练一、选择题1、二次函数y ＝(x －1)2+2的最小值是（ ） A.－2 C.－12、已知抛物线的解析式为y ＝(x －2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是（ ） A.(－2,1)B.(2，1)C.(2，－1)D.(1，2) 3、函数2+y ax b y ax bx c =+=+与在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ）4、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为 s ＝5t 2+2t ，则当t ＝4时，该物体所经过的路程为（ ） 米 米 米 米5、已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图2所示，给出以下结论： ① a+b+c ＜0；② a －b+c ＜0；③ b+2a ＜0；④ abc ＞0 . 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②③6、二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图3所示，若M ＝4a+2b+c ，N ＝a －b+c ，P ＝4a+2b ，则（ ） ＞0，N ＞0，P ＞0 B. M ＞0，N ＜0，P ＞0C. M ＜0，N ＞0，P ＞0D. M ＜0，N ＞0，P ＜07、如果反比例函数y ＝k x的图象如图4所示，那么二次函数y ＝kx 2－k 2x －1的图象大致为（ ）8、用列表法画二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象时先列一个表，当表中对自变量x 的值以相等间隔的值增加时，函数y 所对应的函数值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650.其中有一个值不正确，这个不正确的值是()A. 5069、二次函数y ＝x 2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ） A. y ＝x 2－2 B. y ＝(x －2)2C. y ＝x 2+2 D. y ＝(x+2)210、如图6，小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳， 函数h ＝－（t 的单位：s ，h 的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）11．函数y=ax 2+bx+c 的图象如图7所示，那么关于一元二次方程 ax 2+bx+c-3=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根 12、当k 取任意实数时，抛物线 的顶点所在曲线是（ ） A ．y=x 2 B ．y=-x 2 C ．y=x 2(x>0) D ．y= -x 2(x>0)13．已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 1<y 3<y 2 C ．y 3<y 2<y 1 D ．y 2<y 1<y 3 14、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下 平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2-3x+5，则有（ ） A ，3=b ，7=c B ，9-=b ，15-=cC ，3=b ，3=cD ，9-=b ，21=c15、已知函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列关系成立且能最精确表述的是( )A ．012b a <-<B ．022b a <-<C ．122b a <-<D ．12b a-= 16．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a+b+c<0；②a －b+c<0；③b+2a<0；④abc>0，其中所有正确结论的序号是（ ） A ．③④ B ．②③ C ．①④ D ．①②③ 二、填空题17，形如y ＝＿＿＿ (其中a ＿＿＿，b 、c 是_______ )的函数，叫做二次函数. 18，抛物线y ＝(x –1)2–7的对称轴是直线 .19，如果将二次函数y ＝2x 2的图象沿y 轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式是 . 20，平移抛物线y ＝x 2+2x －8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式______ .x-11yO图2图6Oyx图7 22)(54k k x y +-=yxO图4yxOA ． yxOB ． yxOC ． yxOD ． 02xy15题16题图21，若二次函数y ＝x 2－4x ＋c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝____(只要求写出一个). 22，现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （x ，y ）， 那么它们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线y ＝－x 2+4x 上的概率为＿＿＿. 23，已知抛物线y ＝x 2－6x +5的部分图象如图8，则抛物线的对称轴为直线x ＝ ，满足y ＜0的x 的取值范围是 .24,若二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点（-2，10），且一元二次方程02=++c bx ax 的根为21-和2，则该二次函数的解析关系式为 。
2023年中考数学专题复习：二次函数最值问题训练(含答案)
2023年中考数学专题复习：二次函数最值问题一、单选题1．已知2()=++≠的对称轴为直线230y ax bx ax=，与x轴的其中一个交点为(1,0)，该x的取值范围，下列说法正确的是（）函数在14A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值1-，有最大值3C．有最小值3-，有最大值4 D．有最小值1-，有最大值42．若二次函数24＝＋＋的最小值是3，则a的值是（）y ax x aA．4 B．－1或3 C．3 D．4或－13．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列说法正确的是（）A．该函数图象开口向上B．该函数图象向右平移2个单位长度是y＝﹣（x+1）2+5C．当x＝1时，y有最大值5D．该函数的图象与坐标轴有两个交点4．函数2(0)=++≠的图象如图所示，则该函数的最小值是（）y ax bx c aA．1-B．0C．1D．25．在关于n 的函数2=+中，n 为自然数．当n =9 时，S< 0；当n =10 时，S an bnS > 0．则当S 取值最小时，n 的值为（）A．3 B．4 C．5 D．66．代数式22 5-+的最小值为（）a aA．2 B．3 C．4 D．57．若两个图形重叠后．重叠部分的面积可以用表达式表示为y＝﹣（x﹣2）2+3，则要使重叠部分面积最大，x的值为（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣38．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（ ）A ．2500元B ．2000元C ．1800元D ．2200元二、填空题9．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，16AC BD +=，则四边形ABCD 的面积最大值是_________10．已知二次函数242y x x =-+，当13x -≤≤时，y 的取值范围内是_______． 11．已知抛物线22(1)1y x =-+，当03x 时，y 的最小值是 __，y 的最大值是 __． 12．当02x ≤≤时，22y x x a =++有最小值为4，则a 为 _____．13．某商品的销售利润y 与销售单价x 的关系为y ＝﹣21(50)10x -+2650，则当单价定价为每件____元时，可获得最大利润____元．14．已知二次函数223y x x =-+的图象经过点()11A x y ， 和点()122B x y +，，则12y y +的最小值是________．15．设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．（1）不论a 为何值，该抛物线必经过一定点 _____；（2）将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 _____．16．如图是二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x =－1，下列判断：①b －2a =0；②4a －2b ＋c ＜0；③abc ＞0；④当x =0和x =－2时，函数值相等； ⑤3a ＋c ＜0；⑥a －b ＞m （ma ＋b ）；⑦若自变量x 的取值范围是－3＜x ＜2，则函数值y ＞0．其中正确的序号是________．三、解答题17．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE＝x，△DEF的面积为S．(1)求用x表示S的函数解析式，并写出x的取值范围．(2)当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？18．如图，抛物线经过A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，32)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使P A+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．19．端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，设这种水果每千克降价x元，解决下面所给问题：(1)设该水果超市一天销量y千克，写出y与x之间的关系式；(2)超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果每千克降价多少元？(3)设该水果超市一天可获利润w元．求当该商品每千克降价多少元时，该超市一天所获利润最大？并求最大利润值．20．春节即将到来，某水果店进了一些水果，在进货单上可以看到：每次进货价格没有变化，第一次进货苹果400千克和梨500千克，共支付货款6200元；第二次进货苹果600千克和梨200千克，共支付货款6000元；为了促销，该店推出一款水果礼盒，内有3千克苹果和2千克梨，包装盒每个4元．市场调查发现：该礼盒的售价是70元时，每天可以销售80盒；每涨价1元，每天少销售2盒．(1)求每个水果礼盒的成本（成本=水果成本+盒子成本）；(2)若每个礼盒的售价是a元(a是整数），每天的利润是w元，求w关于a的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；(3)若每个礼盒的售价不超过m元(m是大于70的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．参考答案：1．B2．A3．C4．A5．C6．C7．A8．C9．3210．27y -≤≤11． 1 912．413． 50 265014．615． （-1，0） 216．①③④⑥17．(1)S 2+(0＜x ≤8)(2)18．(1)21322y x x =-++ (2)（1，1）(3)存在，3(2,)2，(13)2，(13)219．(1)y =40x +160；(2)这种水果每千克降价9元；(3)当该商品每千克降价6元时，该超市一天所获利润最大，最大利润值为4000元．20．(1)40元(2)2=-+-23008800w a a(3)当75m时，每天的最大利润为2450元；当7075<<时，每天的最大利润为m2-+-m m23008800。
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题附带答案
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．二次函数y=−(x−1)2+5，当m≤x≤n且mn<0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+ n的值为（）A．52B．2C．12D．322．已知二次函数y=（x-1）2-3，则此二次函数（）A．有最大值1B．有最小值1C．有最大值-3D．有最小值-33．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512⑴二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；⑴当−12<x<2时，y＜0；⑴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．04．对于代数式x2－10x＋24，下列说法：①它是二次三项式；②该代数式的值可能等于2017；③分解因式的结果是(x－4)(x－6)；④该代数式的值可能小于－1．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3 个D．4个5．已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a﹣b+c≥0；④a+b+cb−a的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知非负数a，b，c满足a+b＝3且c﹣3a＝﹣6，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m ﹣n的值是（）A．16B．15C．9D．77．由二次函数y=（x﹣1）2﹣3可知（）A．图象开口向下B．对称轴是直线x=﹣1C．函数最小值是3D．顶点是（1，﹣3）8．抛物线y=x2，当﹣1≤x≤3时，y的取值范围是（）A．﹣1≤y≤9B．0≤y≤9C．1≤y≤9D．﹣1≤y≤39．已知二次函数的图象（-0.7≤x≤2）如图所示。
二次函数中的最值问题【八大题型】(举一反三)(浙教版)(原卷版)
二次函数中的最值问题【浙教版】【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】 (1)【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】 (2)【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】 (3)x=-【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】【例1】二次函数y＝x2﹣2x+m．当﹣3≤x≤3时，则y的最大值为（用含m的式子表示）．【变式1-1】当x≥2时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3有（）A．最大值﹣3B．最小值﹣3C．最大值﹣4D．最小值﹣4【变式1-2】已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下：解：当x＝﹣1时，y＝1；当x＝2时，y＝4；所以函数y的最小值为1，最大值为4．小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．【变式1-3】已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．（1）求b+c的值．（2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值．（3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值．【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】【例2】已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（）A．±16B．−16或12C．−16或23D．16或2【变式2-1】已知关于x的二次函数y＝x2+2x+2a+3，当0≤x≤1时，y的最大值为10，则a 的值为．【变式2-2】已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，则a+c的值为（）A．3B．9C．293D．253【变式2-3】已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（）A．6B．2C．﹣2D．﹣3【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】【例3】当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m≤2B．0≤m＜4C．2≤m≤4D．m≥2【变式3-1】已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，当m≤x≤m+3时，求y的最小值（用含m的代数式表示）．【变式3-2】设抛物线y＝ax2+bx﹣3a，其中a、b为实数，a＜0，且经过（3，0）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）若a＝﹣2，当t﹣2≤x≤t时，函数的最大值是6，求t的值；（3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B．若抛物线与线段AB有两个公共点，求a的取值范围．【变式3-3】已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），且经过点（2，c）．（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标．（2）当t≤x≤2﹣t时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝3，求t的值．。
二次函数的最值、函数值的范围专题复习讲义(含答案)
二次函数的最值、函数值的范围专题复习讲义（含答案）——类比各形式，突破给定范围求最值类型一 没有限定自变量的范围求最值1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为_______.2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．－13．已知函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．类型二 限定自变量的取值范围求最值4．函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是（ ）A ．4和－3B ．－3和－4C ．5和－4D ．－1和－45．二次函数y ＝－12x 2＋32x ＋2的图象如图所示，当－1≤x ≤0时，该函数的最大值是（ ）A ．3.125B ．4C ．2D ．06．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1（ ） A ．有最小值34，但无最大值 B ．有最小值34，有最大值1 C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值 类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围7．从y ＝2x 2－3的图象上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是（ ）A ．－1≤y ≤5B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－2≤y ≤18．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是（ ）A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜39．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图象如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值（ ）A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y ＝m类型四 已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值10．当二次函数y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时，x 的值为（ ）A ．－2B ．1C ．2D ．911．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为（）A．3 B．－1 C．4 D．4或－112．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤513．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋b)x2＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－a2，则∠A＝_______度．14．已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是－5，求a的值．参考答案：。
2023年九年级中考数学专题训练——二次函数的最值(附答案)
中考专题训练——二次函数的最值1．已知y 是x 的函数，若函数图像上存在一点P （a ，b ），满足b ﹣a ＝2，则称点P 为函数图像上“梦幻点”．例如：直线y ＝2x +1上存在的“梦幻点”P （1，3）．(1)求直线132y x =+上的“梦幻点”的坐标；(2)已知在双曲线k y x =（k ≠0）上存在两个“梦幻点”且两个“梦幻点”2，求k 的值．(3)若二次函数21(1)4y x m t x n t =+-+++的图像上存在唯一的梦幻点，且﹣2≤m ≤3时，n 的最小值为t ，求t 的值．2．在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+px +q 的图象过点（－2，4），（1，－2）．(1)求该二次函数的解析式；(2)当－1≤x ≤3时，求y 的最大值与最小值的差；(3)若一次函数y =（2－m ）x +2－m 的图象与二次函数y =x 2+px +q 的图象交点的横坐标分别为a 和b ，且a <3<b ，求m 的取值范围．3．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8cm ，BC ＝6cm ，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动（移动方向如图所示），点P 的速度为2cm/s ，点Q 的速度为1cm/s ，点P 移动到B 点后停止，点Q 也随之停止运动，设P 、Q 从点A 、B 同时出发，运动时间为ts ，四边形APQC 的面积是S(1)试写出S 与t 之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围；(2)若S 是21cm 2时，确定t 值；(3)t 为何值时，S 有最大（或最小）值，求出这个最值．4．在平面直角坐标系中，我们将形如(1，﹣1)，(﹣2.1，2.1)这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．(1)直线（填写直线解析式）上的每一个点都是“互补点”；直线y ＝2x ﹣3上的“互补点”的坐标为；(2)直线y＝kx+2（k≠0）上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；(3)若函数y＝14x2+（n﹣k﹣1）x+m+k﹣2的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当﹣1≤n≤2时，m的最小值为k，求k的值．5．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．学校利用围墙作为一边，用总长为48m的塑料膜围成了如图所示的两块矩形区域；已知围墙的可用长度不超过21m，设AB的长为x m，矩形区域ABCD 的面积y m2．(1)求y与x之间的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；(2)当矩形ABCD的面积为84m2时，求AB的长度；(3)当AB的长度是多少时，矩形区域ABCD的面积y取得最大值，最大值是多少？6．某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．(1)请求出y与x的函数关系式；(2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？(3)近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？7．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx经过点（－2，5），且与直线y=－12x在第二象限交于点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B（－4，0）．若P是直线OA上方该抛物线上的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交OA于点D，连接OP，P A．(1)求抛物线的解析式；(2)求△AOP的面积S的最大值；(3)连接PB交OA于点E，如图2，线段PB与AD能否互相平分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由．8．如图，抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）与x轴交于点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C．P为抛物线上一点，横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式；(2)△ABP面积记为S，当0≤m≤5时，求S的取值范围．2(3)当此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值．9．如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点A(3，1)，点B(0，4)，点C(m，n)在该二次函数图象上．(1)求该二次函数的解析式和其图象的顶点坐标；(2)若m ≤x ≤2时，n 的最大值为5，最小值为4，请结合图象求m 的取值范围；(3)若点C 在直线AB 的上方，且S △ABC =3，求点C 的坐标．10．如图，抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B （1，0），点C 在x 轴上，∠ACB ＝90°，OC ＝2OB ，tan ∠ABC ＝2(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使线段PE 最大．①求线段PE 的最大值；②在直线PD 上存在点M ，且点M 在以AB 为直径的圆上，求出点M 的坐标．11．如图，用长为30的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为10m ）围成中间隔有一道篱笆（平行于AB ）的矩形花圃．设花圃的一边AB 为x （m ），面积为y （m ）．(1)求y 关于x 的函数表达式，并求出自变量x 的取值范围；(2)如果要围成面积为63m 2的花圃，那么AB 的长为多少？(3)求出所能围成的花圃的最大面积．12．已知一系列二次函数212y x x =+，2224y x x =+，2336y x x =+，……，22n y nx nx =+．具备以上正整数系数形式规律的二次函数称为“和谐二次函数”．(1)探索发现，所有“和谐二次函数”都有同一条对称轴直线x=__________，所有“和谐二次函数”都与x轴有相同的两个交点___________和__________．(2)过点(),0P m的直线l x⊥轴，若直线l与“和谐二次函数”图象中的两条相邻抛物线n y，1n y+分别相交于点N，M．①当1m=-时，求MN的值．②当20m-≤≤时，写出线段MN的长与m之间的关系式，并求出MN的最大长度．13．如图，抛物线24y ax bx=++与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（－1，0），抛物线的对称轴是直线32x=．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，当四边形ABPC的面积最大时，求出点P的坐标．14．已知点M（－3，m），N（1，m）在抛物线C1：23y x bx=++的图象上，把C1先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2(1)求b 的值以及抛物线C 2的函数关系式；(2)动点P （a ，－6）能否在抛物线C 2上？若能，请求出a 的值，若不能，请说明理由；(3)若点A （m ，y 1），B （n ，y 2）都在抛物线C 2上，且m ＜n ，比较y 1，y 2的大小，并说明理由． 15．如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠图象与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C -，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．(1)求该二次函数的解析式；(2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△P AC 的周长最小？若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点Q 在线段OB 上（不与点O 、B 重合），过点Q 作QM ⊥x 轴交抛物线于点M ，交线段BC 于点N ，求线段MN 的最大值，及此时点M 的坐标．16．已知，二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于点()1,0A -，点()3,0B ，与y 轴交点C ．（1）求二次函数解析式；（2）设点(),0E t 为x 轴上一点，且AE CE =，求t 的值；（3）若点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，联结BC ，过点P 作PQ BC ⊥，交BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值及此时点P 的坐标．17．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(2,0)A -、(6,0)B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为(4,3)．（1）求抛物线的解析式与直线l 的解析式；（2）若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA 、PD ，求当PAD ∆面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；（3）若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PE ∥x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和△PDE 周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c =++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．19．已知抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ≠0）．（1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（用含a 的代数式表示）（2）若a ＞0，且P （m ，y 1）与Q （5，y 2）是该抛物线上的两点，且y 1＞y 2，求m 的取值范围；（3）如图，当a ＝1时，设该抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ．点D 是直线BC 下方抛物线上的一个动点，AD 交BC 于点E ，设点E 的横坐标为n ，记S ＝BDEABE S S ∆∆，当n 为何值时，S 取得最大值？并求出S 的最大值．20．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中A 的坐标为()1,0-，与y 轴交于点()0,5C ，并经过点()1,8，M 是它的顶点．（1）求二次函数的解析式；（2）用配方法将二次函数的解析式化为()2y x h k =-+的形式，并写出顶点M 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使PA PC +的值最小？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)（2，4）(2)k ＝﹣345 1【分析】（1）设梦幻点P （a ，a +2），代入直线解析式即可求解；（2）将梦幻点P （a ，a ＋2）代入双曲线解析式求得a ＝11k -+从而得出1P （11k -+11k +，2P （11k -+，11k +，再利用两点间距离公式建立方程求解即可；（3）把梦幻点P （a ，a ＋2）的坐标代入二次函数表达式，化简得21()204a m t a n t +-++-=，由于图象上存在唯一的梦幻点，故Δ＝0，得出2222n m tm t t =-+-+，该函数图象开口向上，对称轴为m ＝t ，分①当对称轴m ＝t ≥3，②当对称轴m ＝t ≤−2，③当对称轴−2＜m ＝t ＜3，三种情况讨论求解即可．（1）解：设梦幻点P （a ，a +2），∵点P 是直线132y x =+上的“梦幻点”， ∴1232a a +=+， ∴a ＝2，∴“梦幻点”的坐标P （2，4）；（2）设梦幻点P （a ，a +2），∵点P （a ，a +2）在双曲线k y x =（k ≠0）上， ∴k ＝a （a +2），∴a ＝11k -+∴1P （11k -+11k +，2P （11k -+，11k +，∵两个“梦幻点”2 ∴(((((222111111112k k k k ⎡⎤⎡⎤-+--+++-+=⎣⎦⎣⎦， 解得：34k =-； （3）设梦幻点P （a ，a +2），∵点P （a ，a +2）在二次函数21(1)4y x m t x n t =+-+++的图像上， ∴212(1)4a a m t a n t +=+-+++， ∴21()204a m t a n t +-++-=， ∵图像上存在唯一的梦幻点，∴Δ＝()()21424m t n t --⨯⨯+-＝0， ∴2222n m tm t t =-+-+，将其看作是n 关于m 的二次函数，则该函数图像开口向上，对称轴为m ＝t ，①当对称轴m ＝t ≥3时，函数在m ＝3时，取得最小值，即：2962n t t t t =-+-+=，解得：t ＝4t ＝4（舍去）；②当对称轴m ＝t ≤﹣2时，函数在m ＝﹣2时，取得最小值，即：2442n t t t t =++-+=，整理得：()215t +=-，∴此方程无解；③当对称轴﹣2＜m ＝t ＜3时，函数在m ＝t 时，取得最小值，即：22222n t t t t t =-+-+=，解得：t ＝1，综上所述，t 的值为41．【点评】本题考查了一次函数、反比例、二次函数图像上点的坐标特征，两点间距离公式，解一元二次方程，二次函数的图像和性质等知识，属于新定义类题目，需要理解新定义，按要求逐步求解，该题涉及的字母多，一定要思路清晰，分清字母代表的含义细心求解．2．(1)2y x x 2=-- (2)254 (3)1m <【分析】（1）根据点()()2,4,1,2--，利用待定系数法即可得；（2）将二次函数的解析式化成顶点式为21924y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再利用二次函数的增减性求解即可得； （3）先联立两个函数的解析式、结合3a b <<求出,a b 的值，再根据3a b <<建立不等式，解不等式即可得．（1）解：将点()()2,4,1,2--代入2y x px q +=+得：42412p q p q -+=⎧⎨++=-⎩， 解得12p q =-⎧⎨=-⎩， 则该二次函数的解析式为2y x x 2=--．（2）解：将二次函数2y x x 2=--化成顶点式为21924y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 则在13x -≤≤内，当112x ≤≤-时，y 随x 的增大而减小；当132x <≤时，y 随x 的增大而增大， 所以当12x =时，y 取得最小值，最小值为94-， 当=1x -时，()1120y =---=，当3x =时，9324y =--=，所以在13x -≤≤内，y 的最大值为4，所以y 的最大值与最小值的差为992544444⎛⎫--=+= ⎪⎝⎭． （3）解：联立()2222y x x y m x m⎧=--⎪⎨=-+-⎪⎩得：()2222x x m x m --=-+-， 解得121,4x x m =-=-，两函数图象的交点的横坐标分别为a 和b ，且3a b <<，1,4a b m ∴=-=-，34m ∴<-，解得1m <．【点评】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．3．(1)S =t 2－4t +24（0≤t ≤4）(2)t =1或t =3(3)t =2时，S 有最小值20【分析】（1）根据S =S △ABC －S △PBQ 列式求解即可；（2）把S=21代入函数关系式得一元二次方程，求解方程即可；（3）把二次函数关系式代成顶点式即可得到答案．（1）∵在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴运动ts 时，AP =2t ，BP =8－2t ，BQ =t ∴S =S △ABC－S△PBQ=12×AB×CB－12×PB×QB=12×8×6－12×（8－2t）×t=t2－4t+24（0≤t≤4）（2）当S=21时，则t2－4t+24=21，解得t=1或t=3（3）∵S= t2－4t+24=(t-2)2+20，∴当t=2时，S有最小值20【点评】本题主要考查了图形中的二次函数问题，以及解一元二次方程，正确掌握树敌太多一口价解答本题的关键．4．(1)y＝﹣x，(1，﹣1)(2)有，(21k-+，21k+)（k≠0，k≠﹣1）(3)k的值为1或【分析】（1）根据“互补点”的定义即可求解；（2）假设直线上存在“互补点”，由题意可列出关于x的方程，解这个方程即可；（3）根据题意列出关于t的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得m关于n的二次函数，将此函数化为顶点式再由二次函数的增减性进行分类讨论即可求解．（1）解：∵纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．∴直线y＝﹣x上的每一个点都是“互补点”；设直线y＝2x﹣3上的“互补点”的坐标为（x，2x﹣3），∴﹣x＝2x﹣3，解得x＝1，∴直线y＝2x﹣3上的“互补点”的坐标为（1，﹣1），故答案为：y＝﹣x；（1，﹣1）；（2）解：假设直线y＝kx+2（k≠0）上存在“互补点”（t，﹣t），则由题意得：﹣t＝kt+2，解得：t＝21k-+（k≠0，k≠﹣1），∴直线y＝kx+2（k≠0）上有“互补点”，点的坐标为（21k-+，21k+）（k≠0，k≠﹣1）；（3）解：设“互补点”的坐标为（t，﹣t），由题意可知，方程﹣t＝14t2+（n﹣k﹣1）t+m+k﹣2有唯一解，整理得：t2+4（n﹣k）t+4（m+k﹣2）＝0，且Δ＝0．即16（n﹣k）2﹣4×4（m+k﹣2）＝0，整理得：m＝n2﹣2kn+k2﹣k+2＝（n﹣k）2﹣k+2．∴当n＜k时，m随n的增大而减小；当n＞k时，m随n的增大而增大；当n＝k时，m取得最小函数值﹣k+2．①当﹣1≤k≤2时，此时当n＝k时，m取得最小值，由题意得﹣k+2＝k，解得k＝1；②当k＜﹣1时，此时当n＝﹣1时，m取得最小值，由题意得（﹣1﹣k）2﹣k+2＝k，整理得：k2+2＝0，显然无解；③当k＞2时，此时当n＝2时，m取得最小值，由题意得（2﹣k）2﹣k+2＝k，整理得：k2﹣6k+6＝0，解得k1＝3k2＝33∵k＞2，∴k＝3综上所述，k的值为1或3【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义、解方程、一元二次方程根的判别式以及二次函数的增减性，对“互补点”的理解以及分类讨论的运用是解决本题的关键．5．(1)y＝﹣3x2+48x，9≤x＜16(2)14米(3)AB的长度是9m时，矩形区域ABCD的面积y取得最大值，最大值是189m2【分析】（1）设AB的长为xm，则BC的长为（48﹣3x）m，根据矩形的面积公式写出函数解析式，再根据围墙的可用长度不超过21m，以及48﹣3x＞0，求出x的取值范围；（2）令y＝84，解一元二次方程，并根据x的取值范围求x的值；（3）根据（1）的函数解析式，由函数的性质求函数的最大值即可．(1)解：设AB的长为x m，则BC的长为（48﹣3x）m，则y＝x（48﹣3x）＝﹣3x2+48x，∵围墙的可用长度不超过21m，∴48﹣3x≤21，解答x≥9，又∵48﹣3x＞0，∴x＜16，∴9≤x＜16，即y与x之间的函数解析式是y＝﹣3x2+48x，自变量x的取值范围是9≤x＜16；(2)解：当y ＝84时，84＝﹣3x 2+48x ，解得x 1＝2（舍去），x 2＝14，答：当矩形ABCD 的面积为84m 2时，AB 的长度是14m ；(3)解：∵y ＝﹣3x 2+48x ＝﹣3（x ﹣8）2+192，∴当x ＞8时，y 随x 的增大而减小，∵9≤x ＜16，∴当x ＝9时，y 取得最大值，此时y ＝189，答：当AB 的长度是9m 时，矩形区域ABCD 的面积y 取得最大值，最大值是189 m 2．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．(1)10400=-+y x(2)30元，1000元(3)该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元【分析】（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y ＝kx +b ，将（30，100），（35，50）代入求解即可确定函数解析式；（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为w 元，根据题意确定函数解析式，依据二次函数的性质即可得出结果；（3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，确定函数解析式，然后根据题意求解，画出函数图象，即可得出结果．（1）解：设 y 与 x 的函数关系式为 y ＝kx +b ，将（30，100），（35，50）代入 y ＝kx +b ，得301003550k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：10400k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 的函数关系式为 y ＝﹣10x +400；（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为w 元，由题意得 w ＝（x ﹣20）•y＝（x ﹣20）（﹣10x +400）＝﹣10x 2+600x ﹣8000＝﹣10（x ﹣30）2+1000，∵﹣10＜0，∴当x ＝30时，w 有最大值，w 最大值为1000．答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000 元；（3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，由题意可得 z ＝﹣10x 2+600x ﹣8000﹣200＝﹣10x 2+600x ﹣8200，令z ＝550，即﹣10x 2+600x ﹣8200＝550，﹣10（x 2﹣60x +900）＝﹣250，x 2﹣60x +900＝25，解得x 1＝25，x 2＝35，画出每天剩余利润z 关于销售单价x 的函数关系图象如解图，由图象可得：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于550 元．【点评】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，确定相应的函数解析式是解题关键．7．(1)292y x =-- (2)8(3)线段PB 与AD 能互相平分，6262()24-或6262(24-【分析】（1）首先根据题意即可求得点A 的坐标，再把两点的坐标分别代入解析式，解方程组即可求得；(2)设点P ()29,<02t t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 则点D （t ，-12t ），再由PCO ABO ABCP S S S S =+-△△梯形及二次函数的性质即可求得； (3)假设线段PB 与AD 能互相平分，再根据平行四边形的性质，即可求得．（1）解：∵过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B （－4，0），∴点A 的横坐标为-4，∴点A 的纵坐标为()1422y =-⨯-=， ∴点A 的坐标为（－4，2），把点A （－4，2）、点（－2，5）分别代入解析式，得1642425a b a b -=⎧⎨-=⎩， 解得192a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为292y x x =--； （2） 解：设点P ()29,<02t t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴AB =2，BO =4，292P t C t =--，CO =-t ，BC =4+t ， ∴PCO ABO ABCP S S S S =+-△△梯形()111222AB PC BC CO PC BO AB =+⋅+⋅-⋅ ()()2219191244222222t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=--⋅++⨯-⋅---⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 228t t =--()2228t =-++， 2<0a =-，∴当t =-2时，S 有最大值，最大值为8；（3）解：线段PB 与AD 能相互平分．如图：连接BD ，设点P ()29,<02t t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则点D 1,2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则2291422PD t t t t t ⎛⎫=----=-- ⎪⎝⎭， 假设线段PB 与AD 相互平分，则四边形ABDP 是平行四边形，∴PD ＝AB 即-t 2-4t ＝2， ∴22t =-或22t =-当22t =-时，点E 的横坐标为()1622242＋-- ∴点E 的坐标为6262-+-， 当22t =-E 的横坐标为()1622242--- ∴点E 的坐标为6262--+ ∴点E 的坐标为6262-+-或6262--+， 故当点E 的坐标为6262(24-或6262()24-时，线段PB 与AD 互相平分． 【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，求不规则图形的面积，二次函数的性质，坐标与图形，平行四边形的性质，采用反证法是解决本题的关键8．(1)抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3(2)S 的取值范围为：72≤S ≤8 (3)m 的值为：1313【分析】(1)利用待定系数法解答即可；(2)过点P 作PE ⊥AB 于点E ,利用点P 的纵坐标设出高PE 的值，利用三角形的面积公式，求得三角形ABP 的面积，利用配方法求得三角形ABP 面积的最大值，则结论可求；(3)由已知条件得到点P 的纵坐标，列出关于m 的方程，解方程即可求得结论．（1）解：∵抛物线y ＝x 2+bx +c （b 、c 是常数）与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），∴10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩ ，解得：23bc=-⎧⎨=⎩．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）过点P作PE⊥AB于点E，如图，∵0≤m≤52，∴P（m，m2﹣2m﹣3）在第四象限，∴PE＝﹣m2+2m+3．∵A（﹣1，0），（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝OA+OB＝4．∴S△P AB＝12AB•PE＝12×4×（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6＝﹣2（m﹣1）2+8．∴当m＝1时，S△P AB有最大值8．∵0≤m≤52，∴当m＝52时，S△P AB有最小值72．∴S的取值范围为：72≤S≤8．（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点为（1，﹣4）．令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）．∵点C 与点P 之间部分（含点C 和点P ）最高点与最低点的纵坐标之差为2，∴点P 不可能在点C 的下方．∴点P 在点C 的上方．∴点P 的纵坐标为﹣1，令y ＝﹣1，则m 2﹣2m ﹣3）＝﹣1．解得：m ＝1±3∴m 的值为：313【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，二次函数的极值，利用点坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．9．(1)224y x x =-++，顶点坐标为（1，5）(2)01m ≤≤(3)(1，5)或(2，4)【分析】（1）利用待定系数法确定函数的解析式，利用配方法求得顶点坐标；（2）结合二次函数的最大值，令y =4，求出对应的x 的值，根据题意即可得出结论；（3）先求得直线AB 的解析式为y =−x +4，得到点D 的坐标为(m ，−m +4)，利用S △ABC 的面积公式得到关于m 的一元二次方程，解方程即可求解．（1）解：∵二次函数y =-x 2+bx +c 的图象经过点A （3，1），点B （0，4），∴9314b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：24b c =⎧⎨=⎩． ∴该二次函数的解析式y =-x 2+2x +4．∵y =-x 2+2x +4=-（x -1）2+5，∴顶点坐标为（1，5）；（2）解：∵n 的最大值为5，点C (m ，n )在该二次函数图象上，∴m 的最大值为1，令y =4，则−x 2+2x +4=4，解得：x 1=0，x 2=2，∴根据图象m 的取值范围为：0≤m ≤1；（3）解：设直线AB 的解析式为y =kx +b ，则314k b b +=⎧⎨=⎩，解得，14k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为y =−x +4，∵点C 在抛物线上，∴n =−m 2+2m +4，过点C 作y 轴的平行线交直线AB 于点D ，则点D 的坐标为(m ，−m +4)，∴CD =−m 2+2m +4−(−m +4)=−m 2+3m ，∴S △ABC =12×3×(−m 2+3m )=−32m 2+92m =3， 解得m 1=1，m 2=2，当m =1时，n =5，当m =2时，n =4，∴点C 的坐标为(1，5)或(2，4)．【点评】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的极值，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．10．(1)234y x x =--+(2)①94；②12⎛- ⎝⎭或12⎛- ⎝⎭【分析】（1）先由已知条件求出点C ，A 的坐标，再将A ，B 的坐标代入2y x bx c =-++求解即可；（2）①先求直线AB 的解析式，设P （a ，﹣a 2﹣3a +4），则E （a ，﹣2a +2），即可用含字母a 的代数式出PE 的长度，由二次函数的图象及性质可知，当12a =-时，PE 有最大值； ②设M 1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，分别用含m 的代数式表示出AM 2，BM 2，AB 2的值，确定∠AMB =90°，再利用勾股定理的逆定理即可求出m 的值，进一步写出点M 的坐标．（1）B （1，0），1OB =∴，OC ＝2OB =2，3,(2,0)BC C ∴=-，在Rt ABC 中，tan ∠ABC ＝2，2AC BC∴=， 6AC ∴=，(2,6)A ∴-，把A （﹣2，6），B （1，0）代入2y x bx c =-++，得42610b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得34b c =-⎧⎨=⎩， 所以，抛物线的解析式为234y x x =--+．（2）①设直线AB 的解析式为1(0)y kx b k =+≠，把A （﹣2，6），B （1，0）代入1(0)y kx b k =+≠，得11620k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得122k b =-⎧⎨=⎩， ∴ AB 的解析式为y =﹣2x +2．设P （a ，﹣a 2﹣3a +4），则E （a ，﹣2a +2）．∴22PE a a =--+219()24a =-++， ∴ PE 的最大值为94． ②PE 有最大值时，P 121,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 由于点M 在直线PD 上，设M 1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 可得：()222362AM m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 22232BM m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 2223645AB =+=．∵点M 在以AB 为直径的圆上，∴∠AMB =90°．∴222AM BM AB +=． ∴()22362m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭+2232m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=45．解得，1m =2m =所以，点M 的坐标为12⎛- ⎝⎭或12⎛- ⎝⎭． 【点评】本题考查了锐角三角函数，待定系数法求二次函数解析式，二次函数求最值，勾股定理的逆定理等，能够熟练掌握并运用知识点是解题的关键．11．(1)220330103y x x x ⎛⎫=-+≤< ⎪⎝⎭(2)7m (3)2003m 2【分析】（1）设AB 长为x （m ），则BC 长为 （30-3x ）（m ），根据墙的最大可用长度为10m ，且BC 的长度大于0，可得自变量的取值范围，面积为长乘宽，可得函数表达式；（2）面积为63m 2，即y =63，代入表达式可得x 的值，根据x 的取值范围，可得结果；（3）把二次函数化成顶点式，根据函数的增减性求最值即可．【解析】解：（1）设AB 长为x （m ），则BC 长为()303x -（m ），∴330x <且30310x -≤．即20310x ≤<． ∴()220303330103y x x x x x ⎛⎫=-=-+≤< ⎪⎝⎭． （2）由题意得：233063x x -+=，解得：3x =或7． ∵20310x ≤<，∴3x =不合题意，就舍去． ∴如果要围成面积为63m 2的花圃，那么AB 的长应为7m ．（3）由题意知：()2203575103y x x ⎛⎫=--+≤< ⎪⎝⎭， ∴在对称轴直线5x =的右侧，y 随x 的增大而减小，∴当203x =时，y 有最大值．最大值为()2020200303303333x x ⎛⎫-=⨯-⨯= ⎪⎝⎭． ∴篱笆围成的花圃的最大面积为2003m 2．【点评】本题考查二次函数的实际应用中的面积问题，根据题意理清关系是解题的关键．12．(1)-1；（0，0），（-2，0）(2)①1；②1【分析】（1）根据对称轴方程可求出抛物线的对称轴；将所有抛物线解析式进行变形可得抛物线恒过两定点；（2）求出直线l 的方程，代入1,n n y y +，再求出|MN |即可；②根据二次函数图象与性质可得结论．(1)二次函数212y x x =+，2224y x x =+，2336y x x =+，……，22n y nx nx =+的对称轴为直线246212122232n x n=-=-=-==-=-⨯⨯⨯⨯； 将二次函数212y x x =+，2224y x x =+，2336y x x =+，……，22n y nx nx =+化为两点式后为：1(2)y x x =+22(2)y x x =+33(2)y x x =+⋯(2)n y nx x +=可知，恒过（0，0），（-2，0）两点故答案为：-1；（0，0），（-2，0）(2)①当m =-1时，点P 为（-1，0），且直线l x ⊥轴，如图，∴直线l 的方程为x =-1∵22n y nx nx =+，21(1)2(1)n y n x n x +=+++将x =-1代入得，2=n y n n n =--，1(1)2(1)=1n y n n n +=+-+--∴1||||1n n MN y y +=-=；②∵直线l x ⊥轴，且过点P （m ， 0）∴直线l 的方程为：x =m又22n y nx nx =+，21(1)2(1)n y n x n x +=+++∴点M 的坐标为2(,2)m nm nm +，点M 的坐标为2(,(1)2(1))m n m n m +++∴()()22212222MN n m n m nm nm m m =+++--=+∵20m -≤≤函数2|2|y m m =+，当m =-1时，MN 有最大值，为1【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与系数的关键． 13．(1)234y x x =-++(2)存在，P （1，6）或（3，4）(3)P （2，6）【分析】（1）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；（2）解方程得到B （4，0），C （0，4），求得直线BC 的解析式为y ＝−x ＋4；设P （m ，−m 2＋3m ＋4），过P 作PQ ∥y 轴交直线BC 于Q ，得到Q （m ，−m ＋4）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（3）根据二次函数的性质即可得到结论．（1）解：由题意，得：40322a b b a -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：1a =-，3b =，∴234y x x =-++； （2）∵B ，C 是抛物线与坐标的交点，∴B （4，0），C （0，4），设直线BC 的解析式为4y kx =+，则440k +=，∴1k =-，∴4y x =-+，如图，过P 作PQ y ∥轴交直线BC 于Q ，设()2,34P m m m -++，则4(),Q m m -+，∴ABPC ABC PBC S S S ∆∆=+四边形()21154344422m m m =⨯⨯+-+++-⨯2281016m m =-++=，解得1m =或3m =，∴P （1，6）或（3，4）； （3）∵22810ABPC S m m =-++四边形()22218m =--+∴当2m =时，四边形ABPC 的面积最大，此时，P （2，6）．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．14．(1)b =2，266y x x =-+(2)点P 不可能在抛物线C 2上，见解析(3)y 1<y 2，理由见解析【分析】（1）首先根据点M （－3，m ），N （1，m ）的纵坐标相同得到点M 和点N 关于抛物线的对称轴对称，进而求出对称轴，然后根据对称轴公式即可求出b 的值，然后根据抛物线的平移规律即可求出抛物线C 2的函数关系式；（2）首先得到抛物线C 2开口向上，函数有最小值－3，然后由－6<－3，即可判断出点P 不可能在抛物线C 2上；（3）首先根据点N 在223y x x =++上求出m 的值，然后根据二次函数的增减性即可求解．(1)解：∵点M （－3，m ），N （1，m ）在抛物线C 1：23y x bx =++的图象上，∴抛物线的对称轴3112x -+==-， ∴12b -=-， ∴b =2，∴抛物线的解析式为2223(1)2y x x x =++=++∴抛物线的顶点坐标为（–1，2），∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，－3），∴平移后的抛物线C 2的解析式为2(3)3y x =--，即266y x x =-+；(2)解：点P 不能在抛物线C 2上．理由：∵抛物线C 2的开口向上，函数有最小值－3，∴－6<－3，∴点P 不可能在抛物线C 2上；(3)解：∵N （1，m ）在223y x x =++上，∴m =6，∵抛物线C 2的开口向上，对称轴x =3，∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，∵3<m <n ，∴y 1<y 2．【点评】本题考查了二次函数图象与平移变换，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质．15．(1)2=23y x x --(2)存在，()1,2P -(3)MN 取得最大值为94，315,24M ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）直接将三点坐标代入解析式求解，即可求得解析式；（2）周长最小即要使得P A +PC 最小，A 点关于对称轴的对称点是B 点，连接CB 交对称轴于P 点，此时的P A +PC 即为最小值；（3）设Q （m ，0），再把m 代入BC 所在一次函数解析式和二次函数解析式，把两者相减，得到一个代数式，再求这个代数式的最大值即可．（1）将()1,0A -，()3,0B ，()0,3C -代入()20y ax bx c a =++≠得：09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴二次函数的解析式为：2=23y x x --；（2）存在点P ，使△P AC 的周长最小连接BC 交抛物线对称轴于P ，连接AP ，如图：()1,0A -，()0,3C -AC ∴=由2=23y x x --得抛物线对称轴是1x =()1,0A -，()3,0B 关于抛物线对称轴对称PA PB ∴=PA CP BP CP ∴+=+而当B 、P 、C 共线时，PB +CP 最小，此时P A +CP 也最小，因AC =△P AC 的周长最小设直线BC 为y kx b =+，将()3,0B ，()0,3C -代入得：303k b b +=⎧⎨=-⎩解得：13k b =⎧⎨=-⎩∴直线BC 解析式为：3y x =-令x ＝1时，得y ＝－2∴()1,2P -（3）如图：设(),0Q m ，()2,23M m m m --，(),3N m m -()223233MN m m m m m =----=-+ 该函数为开口向下的二次函数，且在322b m a =-=时取得最大值 又Q 在OB 上，∴03m <<∴m 可取的值包括了32 32m =时， MN 取得最大值为23393224MN ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当x =32时，y =2331523=224⎛⎫⎛⎫-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故M 点坐标为：315,24M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点评】本题考查二次函数交点式解析式的应用，考查一个点动点到两个顶点距离最小值的将军饮马模型，考查两点之间距离的最小值，掌握这些知识和模型是解题关键．16．（1）223y x x =-++；（2）当点315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，PQ 【分析】（1）利用待定系数法，把点A 、B 坐标代入抛物线的解析式解方程即可；（2）先求出点C 的坐标，再利用两点间的距离公式解答即可；（3）先求出直线BC 的解析式，设点()2,23P p p p -++，用含P 的式子表示出PH ，最后利用二次函数的性质得出结果．【解析】（1）把()1,0A -，()3,0B 代入2y x bx c =-++中，得0=1093b c b c--+⎧⎨=-++⎩ 解得：2b =，3c =，∴223y x x =-++．（2）在二次函数解析式为223y x x =-++，令x =0，则y =3则点C 坐标()0,3，而()1,0A -，(),0E t ，CE ∴=1AE t =+∵AE CE =，∴1t +=∴4t =；（3）设直线BC 为：y =kx +b ，把()3,0B 和C ()0,3代入得：033k b b =+⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩， ∴:3BC l y x =-+，∵OC =OB =3，∴∠BCO =45°，过点P 作PH y ∥轴，交BC 于点H ，∴∠PHQ =45°，∵PQ BC ⊥，∴PQH 是等腰直角三角形，∴PQ =PH ·sin ∠PHQ ， 设点()2,23P p p p -++，则(),3H p p -+， ∴2239324PH p p p ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，当且仅当32p =时，PH 的最大值是94， ∴2928PQ PH == 当点315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，PQ 928【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，特殊的三角函数值，平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线．17．（1）抛物线的解析式为2134y x x =-++，直线l 的解析式为112y x =+；（2）PAD ∆的面积的最大值为274，15(1,)4P ．（3）Q 的坐标为13(0,)3或(0,9)-． 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）如图1中，过点P 作PE ∥y 轴交AD 于点E ．设P （m ，-14m 2+m +3），则E （m ，12m +1）．因为S △P AD =12•（xD -xA ）•PE =3PE ，所以PE 的值最大值时，△P AD 的面积最大，求出PE 的最大值即可．（3）如图2中，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AT ，则T （-5，6），设DT 交y 轴于点Q ，则∠ADQ =45°，作点T 关于AD 的对称点T ′（1，-6），设DQ ′交y 轴于点Q ′，则∠ADQ ′=45°，分别求出直线DT ，直线DT ′的解析式即可解决问题．【解析】解：（1）抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(2,0)A -、(6,0)B 两点，∴设抛物线的解析式为(2)(6)y a x x =+-，解得，2x =-，或6x =，(4,3)D 在抛物线上，3(42)(46)a ∴=+⨯-， 解得14a =-，。
中考数学专题复习二次函数的应用题与最值问题
二次函数的应用题与最值问题二次函数最值问题（一）开口向上：1.当对称轴a b x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点处取得最大值；2.当对称轴ab x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称轴较近端点处取得最小值．（二）开口向下：1．当对称轴a b x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点处取得最小值；2．当对称轴ab x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称轴较近端点处取得最大值．1. 求解析式综合题型：例1．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，BC ＝CD ．（1）求b ，c 的值；（2）求直线BD 的函数解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x ，都有4x ﹣12≤ax 2+bx +c ≤2x 2﹣8x +6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x 轴的正半轴交点为A ，与y 轴交点为C ；点M 是（1）中二次函数图象上的动点．问在x 轴上是否存在点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2.二次函数的应用题例1．某商品现在的售价为每件25元，每天可售出50件，市场调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖出2件，已知该商品的进价为每件20元，设该商品每天的销售量为y件，售价为每件x元（x为正整数）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该商品的售价定为每件多少元时，每天的销售利润W（元）最大，最大利润是多少元？1．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？2．某商家在构进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x天的成本y （元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续60天均以80元/件的价格出售，第x 天该产品的销售量z（件）与x（天）满足关系式z = x + 15.（1）第25天，该商家的成本是元，获得的利润是元；（2）设第x天，该商家出售该产品的利润为w元.①求w与x之间的函数关系式；②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？．3．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；如果每台设备提价5万元时，则年销售量就减少50台．设该设备的年销售量为y（单位：台），销售单价为x（单位：万元/台）．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，则应把这种设备的销售单价定为多少万元时，该公司所获得的年利润最大？最大的年利润是多少？4．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．例2．某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？1．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50米．（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少时，长方形的面积最大？（2）若墙体长度为20米，问长方形面积最大是多少？2．如图，用48米篱笆围成一个外形为矩形的花园，花园一面利用院墙，中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的长度为20米，平行于院墙的一边长为x米，花园的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式；（2）问花园面积可以达到180平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由．3．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14m，算出x≤18．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）求活动区的最大面积；（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？例3．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．1．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．求这条抛物线的解析式．2．如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线的解析式．3．如图，是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，若水面上升1m，则水面宽为（）A．m B．2m C．2m D．2m4．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s ＝60t ﹣1.5t 2，那么飞机着陆后滑行的最远距离为（ ）A ．600mB ．400mC ．300mD ．200m5．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为()341212+--=x y ，由此可知铅球达到的最大高度是 m ，推出的距离是 m .6．如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）直接具有的关系为h ＝24t ﹣4t 2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s ．7.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为6米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是 米．例4．当22≤≤-x 时，求函数322--=x x y 的最大值和最小值．1．当21≤≤x 时，求函数12+--=x x y 的最大值和最小值．2．已知二次函数y ＝x 2+2bx +c（1）若b ＝c ，是否存在实数x ，使得相应的y 的值为1？请说明理由；（2）若b ＝c ﹣2，y 在﹣2≤x ≤2上的最小值是﹣3，求b 的值．3．当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．4．如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．羽毛球沿水平方向运动4m 时，达到羽毛球距离地面最大高度是m ．（1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；（2）通过计算判断此球能否过网；（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m 的Q 处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．。
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题及答案
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知二次函数y=a（x+2）2+3（a＜0）的图象如图所示，则以下结论：①当x＞﹣2时，y随x的增大而增大；②不论a为任何负数，该二次函数的最大值总是3；③当a=﹣1时，抛物线必过原点；④该抛物线和x轴总有两个公共点．其中正确结论是（）A．①②B．②③C．②④D．①④2．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，求m的最大值() A．-3B．3C．-6D．93．设实数x＞0，y＞0，且x＋y－2x2y2＝4，则1x+1y的最小值为()A．4 √2B．3 √2C．2 √2D．√24．如图，一条抛物线（形状一定）与x轴相交于E、F两点（点E在点F左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为(−2，−3)、(4，−3)，点E的横坐标的最小值为-5，则点F的横坐标的最大值为（）A．6B．7C．8D．95．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A−B−C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是()A．235B．254C．6D．56．已知0≤x≤32，则函数y=x2+x+1（）A．有最小值34，但无最大值B．有最小值34，有最大值1C．有最小值1，有最大值194D．无最小值，也无最大值7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2＋bx＋c＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④8．已知二次函数y=ax2−2ax+a+2(a≠0)，若−1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（）A．1B．-1C．±1D．无法确定9．如图，已知二次函数的图象（0≤x≤1+2 √2）.关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2，无最大值B．有最小值﹣2，有最大值﹣1.5C．有最小值﹣2，有最大值2D．有最小值﹣1.5，有最大值210．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12BC=2点D是AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE，当△BED面积最大时，AD的长为（）A．2B．√5C．25√5D．4√5511．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是（）A．﹣4或72B．﹣2 √3或72C．﹣4 或2 √3D．﹣2 √3或2 √3 12．若二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值是2，则a的值为（）A．4B．－1C．3D．4或－1二、填空题13．二次函数y=x2−2x+3的最小值是．14．当实数a满足2≤a≤5时，且代数式−a2+2ab−b2取最大值－1时，则b的值为．15．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x-2-1012y04664从上表可知，下列说法中正确的是．)①抛物线与x轴的一个交点为(3，0)；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；②抛物线的对称轴是直线x=12；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．16．二次函数y=﹣x2﹣4x+k的最大值是9，则k=．17．已知关于x的函数y=−x2−ax+1，当0≤x≤3时函数有最大值5，则a=．18．已知关于x的二次函数y＝x2－2ax＋3，当1≤x≤3时，函数有最小值2a，则a的值为.三、综合题19．已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点(0，3a)，对称轴为x=1.（1）试用含a的代数式表示b、c.（2）当抛物线过点(2，3)时，求此抛物线的解析式.（3）求当b(c+6)取得最大值时的抛物线的顶点坐标.20．如图，正方形ABCD的边长为4，点G，H分别是BC、CD边上的点，直线GH与AB、AD的延长线相交于点E，F，连接AG、AH．（1）当BG=2，DH=3时，则GH：HF=，∠AGH=°；（2）若BG=3，DH=1，求DF、EG的长；（3）设BG=x，DH=y，若∠ABG∠∠FDH，求y与x之间的函数关系式，并求出y的取值范围．21．如图，抛物线y=12x2−32x−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点M是线段BC下方抛物线上的任意一点，点M的横坐标为m，过点M画MN∠x轴于点N，交BC于点P.（1）填空：A（，），C（，）；（2）探究∠ABC的外接圆圆心的位置，并求出圆心的坐标；（3）探究当m取何值时线段PM的长度取得最大值，最大值为多少？22．某商品现在的售价为每件50元，每天可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，请你帮助分析，当每件商品涨价多少元时，可使每天的销售利润最大，最大利润是多少？设每件商品涨价x元，每天售出商品的利润为y元．（1）根据题意，填写下表：每件售价（元）505152……50+x每天售出商品的数量（件）200190……每天售出商品的利润（元）20002090……23．已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为18m．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．（1）求S关于x的函数表达式．（2）若AB的长不能低于2m，且AB＜BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+ 12（m2+1）=0有实数根．（1）求m的值；（2）先作y=x2﹣（m+1）x+ 12（m2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n的最大值和最小值．参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】A13．【答案】214．【答案】1或615．【答案】①③④16．【答案】517．【答案】-418．【答案】119．【答案】（1）解：∵抛物线与y轴交于点(0，3a)∴c=3a∵对称轴为x=1∴x=−b2a=1∴b=−2a（2）解：∵抛物线过点(2，3)∴3=a×22+2(−2a)+3a∴a=1∴b=−2a=−2，c=3a=3∴抛物线为y=x2−2x+3（3）解：∵b(c+6)=−2a(3a+6)=−6a2−12a=−6(a+1)2+6∴当a=−1时，b(c+6)的最大值为6；∴抛物线y=−x2+2x−3=−(x−1)2−2故抛物线的顶点坐标为(1，−2)20．【答案】（1）1：3；90（2）解：∵正方形ABCD的边长为4，BG=3，DH=1∴CG=1，CH=3∵CG∠DF，CH∠BE∴∠CGH∠∠BGE∠∠DFH∴GCHC=BGBE=DFDH，即13=3BE=DF1解得BE=9，DF= 1 3∴Rt∠BEG中，EG= √BG2+BE2= √32+92=3 √10（3）解：∵正方形ABCD的边长为4，BG=x，DH=y ∴CG=4﹣x，CH=4﹣y由（1）可得，∠FDH∠∠GCH，而∠ABG∠∠FDH∴∠ABG∠∠GCH∴ABGC=BGCH，即44−x=x4−y∴y与x之间的函数关系式为：y= 14x2﹣x+4∵44−x=x4−y∴4﹣y= x(4−x)4=﹣14x2+x∴当x=﹣12×(−14)=2时，4﹣y有最大值，且最大值为﹣14×4+2=1∴0＜4﹣y≤1解得3≤y＜4．21．【答案】（1）-1；0；0；-2（2）解：|OA|=1，|OC|=2，|OB|=4∠AOC=∠COB=90°∴OAOC=OCOB=12∴∠AOC∠∠COB∴∠ACO=∠OBC∠ACO+∠OCB=90°∠OBC+∠OCB=90°=∠ACB∴Rt∠ACB的外接圆圆心为AB的中点∵A（-1，0）B（4，0）∴圆心的坐标（ 32，0 ）.（3）解：C （0，-2），B （4，0） 又∵直线BC 解析式y =12x −2 p(m ，12m −2) ，M （m ， 12m 2−32m −2 ）PM=（ 12m −2 ）-（ 12m 2−32m −2 ）PM =−12m 2+2m =−12(m −2)2+2 当m=2时，PM 最大值=2.22．【答案】（1）180；200﹣10x ；2160；（200﹣10x ）（10+x ）（2）解：y ＝（200﹣10x ）（10+x ）＝﹣10x 2+100x+2000＝﹣10（x ﹣5）2+2250 ∴当x ＝5时，y 取得最大值，此时y ＝2250即y ＝﹣10x 2+100x+2000，当每件商品涨价5元时，可使每天的销售利润最大，最大利润是2250元23．【答案】（1）解：∵AB=xm ，铝合金材料长为18m∴AD=BC=18−3x 2∴S ＝x·18−3x2＝−32x 2+9x即S 与x 的函数表达式为：S ＝−32x 2+9x.（2）解：由题意得：2≤x ＜18−3x 2解得：2≤x ＜3.6∵S ＝−32x 2+9x ＝−32（x -3）2+272∵−32＜0，对称轴是直线x ＝3，且2≤x ＜3.6∴当x ＝3时，S 取得最大值，此时S ＝272当x ＝2时，S 取得最小值，此时S ＝−32（2-3）2+272＝12答：窗户总面积S 的最大值272m 2，最小值是12m 2．24．【答案】（1）解：对于一元二次方程x 2﹣（m+1）x+ 12（m 2+1）=0∠=（m+1）2﹣2（m 2+1）=﹣m 2+2m ﹣1=﹣（m ﹣1）2 ∵方程有实数根∴﹣（m﹣1）2≥0∴m=1．（2）解：由（1）可知y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2图象如图所示：平移后的解析式为y=﹣（x+2）2+2=﹣x2﹣4x﹣2．（3）解：由{y=2x+ny=−x2−4x−2消去y得到x2+6x+n+2=0由题意∠≥0∴36﹣4n﹣8≥0∴n≤7∵n≤m，m=1∴1≤n≤7令y′=n2﹣4n=（n﹣2）2﹣4∴n=2时，y′的值最小，最小值为﹣4n=7时，y′的值最大，最大值为21∴n2﹣4n的最大值为21，最小值为﹣4．。
2023年数学中考复习高频考点专练——二次函数的最值
2023年数学中考复习高频考点专练——二次函数的最值一、单选题1．二次函数 241y ax x =-+ 有最小值 3- ，则 a 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．1±D ．122．对于二次函数y=−(x−1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是（ )A ．对称轴是直线x=1，最小值是2B ．对称轴是直线x=1，最大值是2C ．对称轴是直线x=−1，最小值是2D ．对称轴是直线x=−1，最大值是23．已知a≥2，m 2﹣2am+2=0，n 2﹣2an+2=0，则（m ﹣1）2+（n ﹣1）2的最小值是（ ）A ．6B ．3C ．﹣3D ．04．把二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）的图象作关于x 轴的对称变换，所得图象的解析式为y ＝﹣a （x﹣1）2+4a ，若（m ﹣1）a+b+c≤0，则m 的最大值是（ ） A ．﹣4B ．0C ．2D ．65．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＜0）的对称轴为x=1，交x 轴的一个交点为（x 1，0），且﹣1＜x 1＜0，有下列5个结论：①abc ＞0；②9a ﹣3b+c ＜0；③2c ＜3b ；④（a+c ）2＜b 2；⑤a+b ＞m （am+b ）（m≠1的实数）其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0 ②a@（b+c ）=a@b+a@c③不存在实数a ，b ，满足a@b=a 2+5b 2④设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b 时，a@b 最大．其中正确的是（ ） A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③7．四位同学在研究函数 2y ax bx c =++ （b ，c 是常数）时，甲发现当 1x = 时，函数有最小值；乙发现 1- 是方程 20ax bx c ++= 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 2x = 时， 4y = ．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．如图，在△ABC 中，△B=90°，tan△C=34，AB=6cm ．动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是（ ）A ．18cm 2B ．12cm 2C ．9cm 2D ．3cm 29．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，点M 为对角线AC 上的一个动点（不与端点A ，C 重合），过点M 作ME△AD ，MF△DC ，垂足分别为E ，F ，则四边形EMFD 面积的最大值为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．2410．如图，抛物线y=﹣112 x 2+ 23 x+ 53与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若点P 是线段AC 上方的抛物线上一动点，当△ACP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是（ ）A ．（4，3）B ．（5，3512）C ．（4，3512） D ．（5，3）二、填空题11．二次函数y=-（x-6）2+8的最大值是 。
二次函数区间最值问题专题训练
二次函数区间最值问题专题训练1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣5（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）用含a的式子表示b；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）若抛物线与y轴的一个交点为A（0，﹣4），且当m≤x≤n时，y的取值范围是﹣5≤y≤n，结合函数图象，直接写出一个满足条件的n的值和对应m的取值范围．2．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣且与x轴相交于点A（﹣6，0），与y轴相交于点C，直线l：y＝2x+b经过点C．（1）求该抛物线与直线l的表达式；（2）设动点P（m，n）在该抛物线上，当∠P AC＝45°时，求m的值．3．【概念认识】已知m是实数，若某个函数图象上存在点M（m，m），则称点M是该函数图象上的“固定点”．【数学理解】（1）一次函数y＝﹣2x+3的图象上的“固定点”的坐标是；（2）求证：反比例函数y＝（k＞0）的图象上存在2个“固定点”；（3）将二次函数y＝x2+bx+1（b＜﹣2）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象在x轴上方的部分组成一个类似“W”形状的新图象．若新图象上恰好存在3个“固定点”，求b的值．4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）．（Ⅰ）当k＝2时，求该抛物线的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；（Ⅲ）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；（Ⅳ）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．5．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（x P，y P），当1≤x P≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．6．已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；（1）求点C的坐标；（2）对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；②设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k 的取值范围．8．如图，抛物线C1：y＝﹣x2+mx+n与抛物线C2：y＝ax2﹣4x+5（a≠0）关于y轴对称，C1与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式．（2）在抛物线C1上是否存在一点N，在抛物线C2上是否存在一点M，使得以AB为边，且以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．9．综合与探究：如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，OA＝OC＝3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）判断△ACD的形状并说明理由；（3）如图2，N是AC下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求△CAN面积S与n的函数关系式及S的最大值；（4）在抛物线上是否存在一点N，使得∠NAB＝∠ABC，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知二次函数y＝mx2﹣10mx﹣2m2+26．（1）求此二次函数图象的顶点坐标（可用含m的代数式表示）；（2）若二次函数的图象与x轴的一个交点为（﹣2，0），试求m的值；（3）当m＜0时，若点（n，y1）、（n+2，y2）都在二次函数图象上，且y1＜y2．试求n 的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．（1）求该抛物线的顶点P的坐标；（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．12．已知面积为1的等腰直角三角形的三个顶点均在抛物线y＝ax2+bx（a、b为常数，且a ＞0）上，其中直角顶点与抛物线顶点重合．（1）求a的值；（2）若直线y＝t（t≤4）与抛物线y＝ax2+bx（a＞0）有公共点．①求t的取值范围；②求关于t的函数y＝at2+bt（﹣2＜b＜2）的最大值．13．已知函数y1＝（x﹣m）2+m（x）和y2＝﹣（x﹣m）2+2（x m），其中m 为常数．在平面直角坐标系中，y1与y2的图象合在一起组成的图形记作G．（1）当x＝m时，求y1的值（用含m的代数式表示）．（2）当m＝﹣3时，点P（﹣2，a）和Q（﹣1，b）均在图形G上，比较a与b的大小关系．（3）当图形G与直线y＝2有且只有两个公共点时，求m的取值范围．（4）当﹣2≤x≤2时，图形G上最低点的纵坐标记作y min，若y min≥﹣，直接写出m 的取值范围．14．已知函数y＝，将此函数的图象记为G．（1）当m＝1时，①直接写出此函数的函数表达式；②P（﹣1，a）在图象G上，求点P的坐标；③当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；（2）设图象G最低点的纵坐标为y0，当﹣7≤y0≤﹣2时，直接写出m的取值范围；（3）矩形MNPQ的顶点坐标分别为M（m，m）、N（m+2，m）、P（m+2，0）、Q（m，0），若图象G落在矩形MNPQ内部的部分图象所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围；（4）矩形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣4，0），C（3，0），D（3，3），若函数y＝，在m﹣1≤x≤m+1范围内的图象与矩形ABCD的边有且只有一个公共点，求m的取值范围．15．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C，在x 轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝S2，求m的值．16．平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+（1+m）x﹣m（m为常数，m≠±1）与轴交于定点A及另一点B，与y轴交于点C．（1）当点（2，2）在抛物线上时，求抛物线解析式及点A，B，C的坐标；（2）如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB ＝90°，求点D的坐标；（3）若点P是抛物线的顶点，令△ACP的面积为S，①直接写出S关于m的解析式及m的取值范围；②当时，直接写出m的取值范围．17．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣2（m﹣1）2和直线，m为常数，且m≥1．（1）若该抛物线的顶点在x轴上，①求m的值；②若直线与抛物线相交于M，N两点，点P为线段MN上一动点，过P作x轴的垂线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（2）若直线与抛物线相交于A、B两点（B在对称轴的右边），且与抛物线的对称轴相交于C点，当CO＝CB时，求抛物线的顶点坐标．18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c ≤2x2﹣8x+6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与直线y＝﹣3有且只有一个公共点．（1）直接写出抛物线的顶点D的坐标，并求出c与a的关系式；（2）若点P（x，y）为抛物线上一点，当t≤x≤t+1时，y均满足﹣3≤y≤at2﹣3，求t 的取值范围；（3）过抛物线上动点M（x，y）（其中x≥3）作x轴的垂线l，设l与直线y＝﹣ax+2a ﹣3交于点N，若M、N两点间的距离恒大于等于1，求a的取值范围．20．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），过A作线段AB∥y轴（B在A下方），以AB 为边向右作正方形ABCD．设点B的纵坐标为m，二次函数y＝ax2﹣4ax的图象的顶点为E．（1）AB＝．（用含m的代数式表示）；（2）当点A恰好在二次函数y＝ax2﹣4ax的图象上时，求二次函数y＝ax2﹣4ax的关系式．（3）当点E恰为线段BC的中点时，求经过点D的反比例函数的关系式；（4）若a＝m+1，当二次函数y＝ax2﹣4ax的图象恰与正方形ABCD有三个交点且二次函数顶点E不位于直线BC下方时，直接写出m的值．21．已知抛物线y＝ax2+bx经过点（2，8），（4，8）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P（x1，y1），Q（x2，y1）均在该抛物线上，且x1＜x2≤4，求的取值范围；（3）若点A为抛物线上的动点，点B（3，7），则以线段AB为直径的圆截直线y＝所得弦的长是否为定值？若是，求出它的值；若不是，请说明理由．。
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二 次 函 数 复 习 题1．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是 （ ）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定2．求下列函数的最大值或最小值．（1）x x y 22--=； （2）1222+-=x x y ．3．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．4. 如图，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y ．（1）用含y 的代数式表示AE ；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值．5．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？6．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．7．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=EF．（1）求线段EF的长；（2）设EG=x，⊿AGE与⊿CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值．8．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？9. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？10．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5m时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？11.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？二次函数复习题（一）详细解答1．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是 （ ）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定解：二次函数有最小值，说明a>0，且在x=1时取得最小值–1，即b= –1，所以a>0> –1=b ，所以选C 。
2．求下列函数的最大值或最小值．（1）x x y 22--=； （2）1222+-=x x y ．解：（1）222(1)1y x x x =--=-++，所以当x= –1时，取得最大值1（2）22112212()22y x x x =-+=-+，所以当x=12时，取得最小值12。
3．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．解：226(3)9y x x m x m =-+=-+-，当x=3时取得最小值m –9=1，所以m=10。
4. 如图，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y ．（1）用含y 的代数式表示AE ；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值．解：（1）AE+EC=AC ，而EC=DF=y ，所以AE=AC –y=8–y（2）∵DE AE BC AC = ∴848x y -= ∴82y x =- 其中04x ≤≤ （3）四边形DECF 的面积为DE 与DF 的乘积，所以S=xy=x （8–2x ）即22282(2)8S x x x =-+=--+ ，所以S 的最大值为8。
5．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？解：（1）配方得20.1(13)59.9y x =--+ (030)x ≤≤，所以对称轴为x=13，而开口又向下，所以在对称轴左边是递增的，对称轴右边是递减的。
所以x 在[0，13]时学生的接受能力逐步增强，在[13，30]时学生的接受能力逐步降低。
（2）代入x=10得20.1(1013)59.9y =--+=59（3）在二次函数顶点处学生的接受能力最强，即在第13分时接受能力最强。
6．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．解：（1）由题意，3x+BC=24，所以243BC x =- ，而面积S=BC ×AB=(243)x x -即2(243)243S x x x x =-=-（2）即S=45，代入得224345x x -=，解得x=5，即AB=5米（3）222433(4)48S x x x =-=--+∵BC 的最大长度为10m ，即024310BC x ≤=-≤，∴1483x ≤≤，∴x ∈[143，8] ∵对称轴为x=4且开口向下 ∴在[143，8]上函数递减 ∴当x=143时取得最大值max S =1403，所以能围出比45 m 2更大的花圃。
当AB=143米的时候即取得最大值1403m 27．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，线段EF 在对角线AC 上，EG ⊥AD ，FH ⊥BC ，垂足分别是G 、H ，且EG+FH=EF ．（1）求线段EF 的长；（2）设EG=x ，⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S ，写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出S 的最小值．解：（1）因为AB=3，BC=4，根据勾股定理得到AC=5，又在△AGE 和△ADC 中，GE AE DC AC =，即53x AE =，即35AE GE =。
同理FH FC AB AC =，即35FH FC =，即35FC FH =。
而EG+FH=EF ，即3()5AE FC EF +=，又AE+FC+EF=AC=5，所以AE+FC=5-EF ，所以 3(5)5EF EF -=，解得158EF = （2）EG=x ，则由15EG FH EF +==得15x FH =-。
△AGE 的面积=12AG ×GE=12×243x =223x 。
△ADC 的面积=12FH ×HC=12×243FH =223FH =2215(x)38-，所以S=223x +2215(x)38-=2215225(2)3464x x -+ 其中03x ≤≤。
配方得2215225[2()]316128S x =-+，当x=1516时取得最小值75648．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？解：如右图所示，A 点为发球点，B 点为最高点。
球运行的轨迹是抛物线，因为其顶点为（9，5．5）所以设 2(9) 5.5y a x =-+，再由发球点坐标（0，1．9）代入得2y ax bx c =++，所以解析式为22(9) 5.545y x =--+ 代入C 点的纵坐标0，得y ≈20.12>18，所以球出边线了。
9. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程． 下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s （万元）与时间t （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 解：（1）设二次函数为2s at bt c =++代入三点坐标（0，0），（1，-1.5），（2，-2），解得12a =, 2b =-, 0c =，所以二次函数为2122s t t =- （2）代入s=30得213022t t =-，解得t=10 所以截止到10月末公司累积利润可达到30万元（3）第8个月所获利润即是前八月利润减去前七月利润 即2211(828)(727)22-⨯--⨯=112，所以第8个月公司获利112万元。
10．如图，一位运动员在距篮下4m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m ．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；（2）该运动员身高1.8m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？因为顶点是（0，3.5），所以设二次函数的解析式为22(0) 3.5 3.5y a x ax =-+=+，又篮圈所在位置为（4-2.5，3.05），代入解析式得23.05(4 2.5) 3.5a =-+，得15a =- 所以函数解析式为21 3.55y x =-+ （2）设球的起始位置为（-2.5，y ），则21( 2.5) 3.55y =--+=2.25 即球在离地面2.25米高的位置，所以运动员跳离地面的高度为2.25-1.8-0.25=0.2 即球出手时，运动员跳离地面的高度为0.2米。