等和线---向量
微专题 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题(六大题型)(解析版)
妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题【题型归纳目录】题型一：x +y 问题(系数为1)题型二：mx +ny 问题(系数不为1)题型三：mx -ny 问题题型四：m x +ny 问题题型五：yx 问题题型六：x 2+y 2问题【方法技巧与总结】(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然。
(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB (λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；【典型例题】题型一：x +y 问题(系数为1)1(2024·山东滨州·统考一模)在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN=λAB +μAC (λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13 B.13,12C.[0,1]D.[1,2]【答案】C【解析】由题意，设AN =tAM，0≤t ≤1 ，当t =0时，AN =0 ，所以λAB +μAC =0 ，所以λ=μ=0，从而有λ+μ=0；当0<t ≤1时，因为AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，所以tAM =λAB +μAC ，即AM =λt AB +μt AC ，因为M 、B 、C 三点共线，所以λt +μt=1，即λ+μ=t ∈0,1 .综上，λ+μ的取值范围是[0,1].故选：C .2(2024·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习)在ΔABC 中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足AN =13NM ，若AN =λAB +μAC(λ,μ∈R )，则λ+μ的值为()A.14B.13C.1D.4【答案】A【解析】设BM =tBC ，将AN 用AB 、AC 表示出来，即可找到λ和μ的关系，从而求出λ+μ的值．设BM=tBC (0≤t ≤1)，AN =13NM ，所以AN =14AM =14(AB +BM )=14AB +14tBC =14AB+14t (AC -AB )=14-14t AB+14tAC ，又AN =λAB +μAC ，所以λ+μ=14-14t +14t =14．故选：A ．3(2024·重庆铜梁·高一统考期末)在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点P 满足AD =3AP，若存在实数m 和n ，使得BP =mAB +nAC，则m +n =()A.23B.13C.-13D.-23【答案】D【解析】由题意，AD =λAB +1-λ AC ，且0<λ<1，而AD =3AP =3AB +BP ，所以3AB +3BP =λAB +1-λ AC ，即BP =λ-33AB +1-λ3AC ，由已知，m =λ-33,n =1-λ3,则m +n =-23，选项D 正确.故选：D题型二：mx +ny 问题(系数不为1)1(2024·山东潍坊·高一统考期末)已知O 是ΔABC 内一点，且OA +OB +OC =0，点M 在ΔOBC 内(不含边界)，若AM =λAB +μAC，则λ+2μ的取值范围是()A.1,52B.1,2C.23,1D.12,1【答案】B【解析】根据OA +OB +OC =0 可知O 为ΔABC 的重心；根据点M 在ΔOBC 内，判断出当M 与O 重合时，λ+2μ最小；当M 与C 重合时，λ+2μ的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．因为O 是ΔABC 内一点，且OA +OB +OC =0所以O 为ΔABC 的重心M 在ΔOBC 内(不含边界)，且当M 与O 重合时，λ+2μ最小，此时AM =λAB +μAC =23×12AB +AC =13AB +13AC 所以λ=13,μ=13，即λ+2μ=1当M 与C 重合时，λ+2μ最大，此时AM =AC所以λ=0,μ=1，即λ+2μ=2因为M 在ΔOBC 内且不含边界所以取开区间，即λ+2μ∈1,2 所以选B2(2024·江苏南京·高一南京师大附中校考期末)在扇形OAB 中，∠AOB =60o，OA=1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]【答案】B【解析】以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，令∠COB =θ，则θ∈0°,60° ，因为OA =1，则B 1,0 ，A 12,32,C cos θ,sin θ ，又OC =xOA +yOB ，则cos θ=x 2+y sin θ=32x ，则y =cos θ-13sin θx =23sin θ ，则x +3y =-233sin θ+4cos θ，又θ∈0°,60° ，易知f θ =-233sin θ+4cos θ为减函数，由单调性易得其值域为1,4 .故选：B .3(2024·辽宁沈阳·高三统考期末)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =30°，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若μ=x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围是()A.34,33B.33,32C.34,32D.32,233【答案】D 【解析】设射线OB 上存在为B ，使OB =1λOB，AB 交OC 于C ，由于OC =xOA +yOB =xOA +λy 1λOB=xOA +λyOB ，设OC =tOC ，OC =x OA+λy OB ，由A ,B ,C 三点共线可知x +λy =1，所以u =x +λy =tx +t ∙λy =1，则μ=OC OC存在最大值1，即在弧AB (不包括端点)上存在与AB平行的切线，所以λ∈32,233．故答案为32,233题型三：mx -ny 问题1(2024·上海徐汇·高二位育中学校考阶段练习)如图，OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线组成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，当x =-12时，y 的取值范围是【答案】12,32【解析】如图，OM ⎳AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB 和OA 的反向延长线为两邻边，∴x 的取值范围是(-∞,0)；当x =-12时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在DE 上，CD =12OB ，CE =32OB ，∴y 的取值范围是12，32 ．故答案为：12，322(2024·河南平顶山·高一统考期末)如图所示，点P 在由线段AB ，AC 的延长线及线段BC 围成的阴影区域内(不含边界)，则下列说法中正确的是．(填写所有正确说法的序号)①存在点P ，使得AP =12AB +2AC ；②存在点P ，使得AP =-12AB+2AC ；③存在点P ，使得AP =12AB -2AC；④存在点P ，使得AP =12AB +32AC．【答案】①④【解析】设AP =λAB +μAC,λ,μ∈R ，由图可知：λ>0,μ>0,且λ+μ>1，∴①④正确，故答案为：①④3(2024·高一课时练习)已知△ABC 中，CD =-35BC,EC =12AC ,AF =13AB ，若点P 为四边形AEDF 内一点(不含边界)且DP =-13DC+xDE ，则实数x 的取值范围为.【答案】12,43【解析】如图所示，在线段BD 上取一点G ，使得DG =-13DC，设DC =3a ，则DG =a ，BC =5a ，BG =a ；过点G 作GH ∥DE ，分别交DF ､AE 于K ､H ，连接FH ，则点K ､H 为临界点；GH ∥DE ，所以HE =13EC ，AH =23EC ，HG =43DE ，AH HC=12=AFFB ，所以FH ∥BC ；所以FH =13BC ，所以FH DG =KH KG，所以KG =35HK ，KG =38HG =12DE .所以实数x 的取值范围是12，43.故答案为：12，43 .题型四：m x +ny问题1(2024·江苏·高三专题练习)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，OC =2OB，过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于点E ,F ，且AB =mAE ，AC =nAF (m >0,n >0)，若1m +t n 的最小值为83，则正数t的值为【答案】2【解析】因为点O 是BC 的三等分点，OC =2OB则AO =AB +BO =AB +13BC =AB +13AC -13AB=23AB +13AC =2m 3AE +n 3AF ，又由点E ,O ,F 三点共线，所以AO =AE +EO =AE +λEF =AE +λAF -AE =1-λ AE +λAF，所以2m3=1-λn3=λ，可得2m 3+n3=1，所以1m +t n =2m 3+n 3 1m +t n =23+t 3 +2mt 3n +n 3m ≥23+t3 +22mt 3n ×n 3m=23+t 3 +22t 9，当且仅当2tm 2=n 2时，等号成立，即1m +t n 的最小值为23+t 3 +22t 9，则有23+t 3 +22t 9=83，即t +22t -6=0，所以t +32 t -2 =0，因为t >0，所以t =2，故答案为：2.2(2024·江苏盐城·高一统考期末)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，OC =2OB，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于点E ，F ，且AB =mAE ，AC =nAF (m >0，n >0)，若1m +t 2nt >0 的最小值为3，则正数t 的值为.【答案】3-2【解析】∵在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，|OC |=2|OB |，∴AO =AB +BO =AB +13BC =AB +13(AC -AB )=23AB+13AC ，∵AB =mAE ，AC =nAF ，∴AO =23mAE +13nAF ，∵O ，E ，F 三点共线，∴23m +13n =1，∴1m +t 2n =1m +t 2n 23m +13n =23+n 3m +2mt 23n +t 23≥22t 29+t 23+23=t 23+232t +23，当且仅当n 3m =2mt 23n ，即2m 2t 2=n 2时取等号，∴1m +t 2n 的最小值为t 23+232t +23，即t 23+232t +23=3，∵t >0，∴t =3-2．故答案为：3-2．3(2024·山东菏泽·高一统考期末)在△ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足OC =3OB，过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于点E ,F ，且AB =mAE ，AC =nAF ，其中m >0且n >0，若1m +2n的最小值为.【答案】5+264【解析】依题意，作出图形如下，因为OC =3OB ，AB =mAE ，AC =nAF ，则BO =14BC ，所以AO =AB +BO =AB +14BC =AB +14AC -AB =34AB +14AC =3m 4AE +n 4AF ，因为E ,O ,F 三点共线，所以3m 4+n4=1，因为m >0，n >0，所以1m +2n =1m +2n 3m 4+n 4 =54+n 4m +6m 4n ≥54+2n 4m ⋅6m 4n =54+264，当且仅当n 4m =6m4n ，即n =6m =46-2 时取等号，所以1m +2n 的最小值为5+264.故答案为：5+264.题型五：yx问题1(2024·山西·高一统考期末)已知在△ABC 中，点D 满足BD =34BC，点E 在线段AD (不含端点A ，D )上移动，若AE =λAB +μAC ，则μλ=.【答案】3【解析】如图，由题意得存在实数m ，使得AE =mAD0<m <1 .又AD =AB +BD =AB +34BC =AB +34AC -AB =14AB+34AC ，所以AE =m 14AB +34AC =m 4AB +3m 4AC ，又∵AE =λAB +μAC ，且AB ,AC 不共线，故由平面向量的分解的唯一性得λ=m 4,μ=3m4.所以μλ=3.故答案为：3.2(2024·山东潍坊·高三开学考试)在△ABC 中，点D 满足BD =34BC，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE =λAB +μAC ，则λ+1μ的最小值为．【答案】233/233【解析】由BD =34BC ，得AD -AB =34(AC -AB )，即AD =14AB +34AC，因为点E 在射线AD (不含点A )上移动，所以AE =tAD =t 4AB+3t 4AC ，又因为AE =λAB +μAC ，所以λ=t 4,μ=3t4(t >0)，则λ+1μ=t 4+43t ≥213=233(当且仅当t 4=43t ，即t =433时取等号)，所以λ+1μ的最小值为233.故答案为：233．3(2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末)在ΔABC 中，点D 满足BD =34BC，当E 点在线段AD (不包含端点)上移动时，若AE =λAB +μAC ，则λ+3μ的取值范围是A.233,+∞B.[2,+∞)C.174,+∞D.(2,+∞)【答案】C【解析】如图所示，△ABC 中，BD =34BC，∴AD =AB +BD =AB +34BC =AB +34(AC -AB )=14AB+34AC ，又点E 在线段AD (不含端点)上移动，设AE =kAD ，0<k <1，∴AE =k 4AB +3k 4AC ，又AE =λAB +μAC ，∴λ=k4μ=3k 4，∴λ+3μ=k 4+4k ．∵k 4+4k在(0，1)上单调递减，∴λ+3μ的取值范围为174，+∞ ，故选C ．题型六：x 2+y 2问题1(2024·江苏泰州·高一泰州中学阶段练习)在ΔABC 中，点D 满足BD =34BC，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE =λAB +μAC，则(λ+1)2+μ2的取值范围为．【答案】(1,+∞)【解析】因为点E 在射线AD (不含点A )上，设AE =kAD , 0<k ，又BD =34BC ，所以AE =k (AB +AD )=k AB +34(AC -AB ) =k 4AB+3k 4AC ，所以λ=k4μ=3k4 ，t =(λ+1)2+μ2=k 4+12+916k 2=58k +252+910>1，故(λ+1)2+μ2的取值范围1,+∞ .2(2024·天津·高三校联考阶段练习)如图，在△ABC 中，BD =13BC，点E 在线段AD 上移动(不含端点)，若AE =λAB +μAC ，则λμ=，λ2-μ的最小值为.【答案】 2-116【解析】因为在△ABC 中，BD =13BC，所以AD =AB +BD =AB +13BC =AB +13(AC -AB )=23AB+13AC ,即AD =23AB +13AC .因为点E 在线段AD 上移动(不含端点)，所以设AE =xAD(0<x <1).所以AE =2x 3AB +x 3AC ，对比AE =λAB +μAC 可得λ=2x 3,μ=x 3.代入λ=2x 3,μ=x 3，得λμ=2x3x 3=2；代入λ=2x 3,μ=x 3可得λ2-μ=2x 3 2-x 3=4x 29-x 3(0<x <1)，根据二次函数性质知当x =--132×49=38时，λ2-μ min =49×382-13×38=-116.故答案为：2;-1163(2024·全国·高三专题练习)在△ABC 中，点D 满足BD =DC ，当E 点在线段AD 上移动时，若AE=λAB +μAC ，则t =(λ-1)2+μ2的最小值为.【答案】12【解析】BD =DC；∴D 为边BC 的中点，如图，则：AD =12(AB +AC )；∵E 在线段AD 上；∴设AE =kAD =k 2AB +k 2AC ，0≤k ≤1；又AE =λAB +μAC ；∴λ=k2μ=k2；即λ=μ，且0≤μ≤12；∴t =(μ-1)2+μ2=μ2-2μ+1+μ2=2μ-12 2+12；∴μ=12时，t 取最小值12．故答案为：12．4(2024·山东德州·高三统考期末)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN=λAB +μAC ，则λ2+μ2的最小值为.【答案】18/0.125【解析】由M 为边BC 上任意一点，则BM =γBC,0≤γ≤1 ，AN =12AM =12AB +BM =12AB +γBC =12AB+γ2AC -AB =1-γ2AB +γ2AC ，可得λ=1-γ2μ=γ2，则λ+μ=12，即λ=12-μ，由0≤γ≤1，可得0≤γ2≤12，则μ∈0,12 ，故λ2+μ2=12-μ2+μ2=2μ2-μ+14=2μ-14 2+18，当μ=14时，λ2+μ2取得最小值为18.故答案为：18.【过关测试】一、单选题1(2024·高三课时练习)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN =λAB +μAC，则λ+μ的值为()A.12B.13C.14D.1【答案】A【解析】由题可设BM =tBC ，则AM =AB +BM =AB +tBC =AB +t AC -AB =1-t AB +tAC ，∵N 为AM 中点，∴AN =12AM =121-t AB +12tAC,又AN =λAB +μAC ，∴λ=121-t ,μ=12t ，∴λ+μ=12.故选：A .2(2024·安徽六安·高一六安一中校考期末)如图所示，在△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM =λAB +μAC，则λ+μ=()A.-1B.-12C.-2D.-32【答案】B【解析】如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t ∈R ，使得BD =tBC =t AC -AB，因为M 是线段AD 的中点，所以：BM =12BA +BD =12-AB +tAC -tAB =-12t +1 AB +12tAC ，又BM =λAB +μAC ，所以λ=-12t +1 ，μ=12t ，所以λ+μ=-12.故选：B .3(2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习)已知点O 为ΔABC 所在平面内一点，满足OA +OB+OC =0 ，M 为AB 中点，点P 在ΔAOC 内(不含边界)，若BP =xBM +yBC ，则x +y 的取值范围是()A.1,2B.23,2C.12,1D.13,32【答案】A 【解析】如图：∵OA +OB +OC =0 ，∴点O 是ΔABC 的重心，点N 是BC 的中点，BO =BC +CO =BC +23CM =BC +23BM -BC =13BC+23BM ，BN =12BC ，BA =2BM当点P 在ΔAOC 内(不含边界)，BP =BO +OP =BO +λOQ =BO +λOA +AQ ，0<λ<1=BO +λ23NA +μAC =BO +λ23BA -BN +μBC -BA ，0<μ<1=BO +λ232BM -12BC +μBC -2BM =13BC+23BM +43λBM -13λBC +λμBC -2λμBM =13-13λ+λμ BC +23+43λ-2λμ BM∴x +y =13-13λ+λμ+23+43λ-2λμ=1+λ-λμ=1+λ1-μ ，∵0<λ<1，0<μ<1，∴0<1-μ<1，0<λ1-μ <1，∴1<1+λ1-μ <2.故选：A4(2024·广东惠州·高一校联考阶段练习)在△ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足|OC |=3|OB|，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，且AB =mAE ，AC =nAF ，其中m >0且n >0，若1m+tn的最小值为3，则正数t 的值为()A.2B.3C.83D.113【答案】B【解析】AO =AB +BO =AB +14BC =AB +14AC -AB =34AB+14AC =3m 4AE +n 4AF ，∵E 、O 、F 三点共线，∴3m 4+n4=1，∵m >0，n >0，t >0，∴1m +t n =1m +t n 3m 4+n 4 =34+n 4m +3mt 4n +t 4≥3+t 4+2n 4m ⋅3mt 4n =3+t 4+23t 4，当且仅当n 4m =3mt4n时取等号，∴3+t 4+23t 4=3⇒t +33 t -3 =0⇒t =3⇒t =3．故选：B ．5(2024·江西南昌·高三阶段练习)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点(靠近点B )，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同两点M ，N ，若AB =mAM ,AC =nAN ，m ,n 均为正数，则1m +1n的最小值为()A.2 B.1+23C.1+223D.1+233【答案】C【解析】由题意知AO =AB +13BC =AB +13AC -AB =23AB+13AC =2m 3AM +n 3AN ，由于M 、O 、N 三点共线，可知2m 3+n3=1，由于m ,n 均为正数，所以1m +1n =1m +1n 2m 3+n 3 =1+n 3m +2m 3n ≥1+229=1+223，当且仅当n 3m =2m3n ，即m =3(2-2)2,n =3(2-1)时取得等号，故选：C 二、多选题6(2024·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期末)在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点M 是线段AD 的中点，若存在λ,μ∈R 使BM =λAB +μAC，则λ,μ的取值可能是()A.λ=-35,μ=110B.λ=1,μ=-32C.λ=-910,μ=25D.λ=-710,μ=35【答案】AC【解析】令BD =mBC 且m ∈[0,1]，而BM =12(BA +BD )=12(BA+mBC )，又BC =BA +AC ，则BM =12[BA +m (BA +AC )]=-1+m 2AB+m 2AC ，所以λ=-1+m2μ=m2，则λ∈-1,-12，μ∈0,12 且λ+μ=-12，故A 、C 满足，B 、D 不满足.故选：AC7(2024·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期末)已知O 是△ABC 内一点，且OA +OB +OC =0，点M 在△OBC 内(不含边界)，若AM =λAB +μAC，则λ+2μ的值可能为()A.97B.117C.137D.157【答案】ABC【解析】因为O 是△ABC 内一点，且OA +OB +OC =0 所以O 为△ABC 的重心M 在△OBC 内(不含边界)，且当M 与O 重合时，λ+2μ最小，此时AM =λAB +μAC =23×12AB +AC =13AB +13AC 所以λ=13,μ=13，即λ+2μ=1当M 与C 重合时，λ+2μ最大，此时AM =AC所以λ=0,μ=1，即λ+2μ=2因为M 在△OBC 内且不含边界所以取开区间，即λ+2μ∈1,2 ，结合选项可知ABC 符合，D 不符合故选：ABC8(2024·重庆·高一校联考阶段练习)在ΔABC 中，点D 满足BD =DC，当点E 在线段AD 上(不含A 点)移动时，记AE =λAB +μAC，则()A.λ=2μB.λ=μC.14λ+μ的最小值为1D.4λ+μ的最小值为4【答案】BC【解析】∵BD =DC ，∴D 是BC 中点,则AD =12AB +AC,又点E 在线段AD 上,即A ,E ,D 三点共线,设AE =mAD 0<m ≤1 ,故AE =mAD =12m AB +AC ,λ=μ=12m .故B 对A 错.14λ+μ=14λ+λ≥214λ⋅λ=1,当且仅当14λ=λ时,即λ=12,故C 对.4λ+μ=4λ+λ在λ∈0,12上单调递减，当λ=12取最小值172，故D 错.故答案为：BC9(2024·湖北武汉·高三校联考期末)在△ABC 中，点D 满足BD =DC，当点E 在线段AD 上移动时，记AE =λAB +μAC ，则()A.λ=2μB.λ=μC.λ-2 2+μ2的最小值为2D.λ-2 2+μ2的最小值为52【答案】BD 【解析】由BD =DC 得AD =12AB +AC ，又点E 在线段AD 上移动，AE =kAD =12k AB +AC =12kAB+12kAC ,0≤k ≤1，∴λ=12k ,μ=12k ，故A 错误，B 正确；λ-2 2+μ2=12k -2 2+12k 2=12k 2-2k +4=12k -2 2+2，当k =1时，有最小值52，故C 错误，D 正确.故选：BD .三、填空题10(2024·全国·高三专题练习)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC ，则2x +2y 的最大值为【答案】83【解析】作BC 的平行线与圆相交于点P ，与直线AB 相交于点E ，与直线AC 相交于点F ，设AP =λAE +μAF ，则λ+μ=1，等边三角形边长为2，则外接圆半径为233，当点P 为切点时, AE =AF =83，∵BC ⎳EF ，∴设AE AB =AF AC =k ，则k ∈0,43 ，当点P 为切点时, k 有最大值43,AE =kAB ，AF =kAC ，AP =λAE +μAF =λkAB +μkAC∴x =λk ，y =μk ，∴2x +2y =2λ+μ k =2k ≤83.即2x +2y 的最大值为83.故答案为：8311(2024·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC=xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.【答案】1,4【解析】如图所示，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则根据题意可知B (1,0)，A 12，32，设C (cos θ,sin θ)，0°≤θ≤60°．由OC =xOA +yOB ，得cos θ=y +12x sin θ=32x ，∴x =23sin θy =cos θ-sin θ3，∴x +4y =4cos θ-233sin θ，点C 在弧AB 上由B →A 运动，θ在0，π3 上逐渐变大，cos θ变小，sin θ逐渐变大，∴当θ=0°时x +4y 取得最大值4，当θ=60°时x +4y 取得最小值1．∴x +4y 的取值范围是[1，4]．故答案为：1,4 ．12(2024·四川绵阳·高一统考期末)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB ，则3x +y 的取值范围是．【答案】1,3【解析】以O 为原点，OA ,OB 分别为x ，y 轴正方向建立平面直角坐标系.则OA =1,0 ,OB =12,32 .不妨设OC =cos θ,sin θ ,0≤θ≤π3.因为OC =xOA +yOB，所以cos θ=x +12y sin θ=32y ，解得：x =cos θ-33sin θy =233sin θ，所以3x +y =3cos θ-33sin θ.因为y =cos θ在θ∈0,π3 上单调递减，y =-sin θ在θ∈0,π3上单调递减，所以3x +y =3cos θ-33sin θ在θ∈0,π3 上单调递减.所以当θ=0时3x +y =3最大；当θ=π3时3x +y =3cos π3-33sin π3=32-33⋅32=1最小.所以3x +y 的取值范围是1,3 .故答案为：1,3 .13(2024·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.【答案】[1,3]【解析】如图所示，建立平面直角坐标系以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B 12,32，设∠AOC =θ，则C (cos θ,sin θ)0≤θ≤π3 ，由OC =xOA +yOB 得cos θ=x +12y ,sin θ=32y , 从而x =cos θ-13sin θ,y =23sin θ, 则x +3y =cos θ+533sin θ=283sin (θ+φ)，易知0<φ<π6，故y =f (θ)=cos θ+533sin θ=283sin (θ+φ)在0,π3上单调递增，∴y min =f (0)=1，y max =f π3 =cos π3+533sin π3=12+52=3.故x +3y ∈[1,3].故答案为：[1,3]14(2024·全国·高三专题练习)扇形OAB 中，∠AOB =120°，C 为AB 上的一个动点，且OC =xOA+yOB ，其中x ,y ∈R .(1)x +y 的取值范围为；(2)2x +y 的取值范围为.【答案】1,21,2213【解析】(1)解法一：(等和线)设OC 与AB 相交于点D ，OD =λOC =λxOA +λyOB，λx +λy =1，x +y =1λ=OC OD ∈[1,2].解法二：(坐标法)C (cos α,sin α)，α∈0,2π3，cos α=x -12y ，sin α=32y ，x =cos α+33sin α，y =233sin α，x +y =cos α+3sin α=2sin α+π6∈[1,2].解法三：设∠AOC =α∈0,2π3，OC ⋅OA =xOA ⋅OA +yOB ⋅OA ,OC ⋅OB =xOA ⋅OB +yOB ⋅OB , ，即cos α=x -12y cos (1200-α)=-12x +y∴x +y =2[cos α+cos (1200-α)]=cos α+3sin α=2sin α+π6∈[1,2].(2)解法一：(等和线)解法二：2x +y =2cos α+433sin α=2213sin (α+θ)∈1,2213，其中sin (α+θ)先增后减.15(2024·吉林·高一阶段练习)如图，在ΔABC 中，D ,E ,F 分别为BC ,CA ,AB 上的点，且CD =35BC ，EC =12AC ，AF =13AB .设P 为四边形AEDF 内一点(P 点不在边界上)，若DP =-13DC+λDE ，则实数λ的取值范围为【答案】12,43【解析】取BD 中点M ,过M 作MH ⎳DE 交DF ,AC 分别为G ,H ,如图：则由DP =-13DC+λDE =DM +λDE 可知,P 点在线段GH 上运动(不包括端点)当P 与G 重合时，根据DP =tDF =-89tDC +43tDE =-13DC +λDE ,可知λ=12，当P 与H 重合时,由P ,C ,E 共线可知-13+λ=1，即λ=43，结合图形可知λ∈12,43.16(2024·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期末)如图，在△ABC 中，BD =13BC，点E 在线段AD 上移动(不含端点)，若AE =λAB +μAC ，则λ2+1μ的取值范围是．【答案】103,+∞【解析】由题可知，BD =13BC ，设AE =mAD0<m <1 ，则AE =m AB +13BC =m AB +13BA +AC，所以AE =23mAB +13mAC ，而AE =λAB +μAC ，可得：λ=23m ,μ=13m ，所以λ2+1μ=m 3+3m0<m <1 ，设f m =m 3+3m0<m <1 ，由双钩函数性质可知，f x 在0,1 上单调递减，则f x >f 1 =13+3=103，所以λ2+1μ的取值范围是103,+∞ .故答案为：103,+∞ .四、解答题17(2024·高一课时练习)在学习向量三点共线定理时，我们知道当P 、A 、B 三点共线，O 为直线外一点，且OP =xOA +yOB 时，x +y =1(如图1)，小明同学提出了如下两个问题，请同学们帮助小明解答．(1)当x +y >1或x +y <1时，O 、P 两点的位置与AB 所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由；(2)如图2，射线OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，求实数x 的取值范围，并求当x =12时，实数y 的取值范围．【解析】(1)若x +y >1，则O ，P 在直线AB 异侧；若x +y <1，则O ，P 在直线AB 同侧．理由如下：设x +y =t ，则由OP =xOA +yOB ，得：OP =xOA +(t -x )OB =xOA +1-x OB +t -1 OB ，则在直线AB 上有一点Q ，使得OQ =xOA +1-x OB ，如下图所示：则OP =OQ +t -1 OB ，即QP =t -1 OB ，∴当t >1时，则OB =t -1 OB 与OB 同向，且QP =OB ，由平面共线定理可得，O ，P 在直线AB 异侧；当t <1时，OB =t -1 OB 与OB 反向，如下图所示，且QP =OB ，由平面共线定理可得，O ，P 在直线AB 同侧．(2)射线OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动如图所示，阴影部分为点P 的运动区域(不含边界)，由(1)可知，O ，P 在直线AB 同侧，由于OP =xOA +yOB ，则x +y <1．过点P 作PE ⎳OB 交射线OA 于E ，过点P 作PF ⎳OB 交射线BO 的延长线OB 于F ,由平行四边形法则可得OP =OE +OF ，又OE 与OA 方向相同，则OE =mOA ，且m >0，OF 与OB 方向相反，则OF =nOB ，且n <0，则OP =mOA +nOB =xOA +yOB ，故x =m >0,y =n <0，即实数x 的取值范围是(0,+∞)，当x =12时，此时E 为OA 中点，过E 作直线平行与OB 交AB 于M ，交射线OM 于M ，则点P 运动轨迹为线段EM (不含端点E ,M )，如下图：当点P 运动到E 时，OP =OE =12OA +0⋅OB ，此时y =0；当点P 运动到M 时，OP =OE +EM =12OA +M E =12OA +12BO =12OA -12OB ，此时y =-12；且由平面向量加法的平行四边形法则得y ∈-12,0 .18(2024·高一课时练习)如图，OM ⎳AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ．(1)求x 的取值范围；(2)当x =-12时，求y 的取值范围．【解析】(1)如图，作PE ⎳BA 交OB 于E ，则OP =OE +EP =mOB +nAB =-nOA +(m +n )OB ．由P 点的位置容易知道0<m <1，n >0．因此，x =-n <0，即x 的取值范围是(-∞,0)．(2)当x =-12时，y =m +n =m +12，所以此时y 的取值范围是12,32．19(2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习)小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P 、A 、B 三点共线，O 为直线外一点，且OP =xOA +yOB 时，x +y =1(如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.(1)当x +y >1或x +y <1时，O 、P 两点的位置与AB 所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由(2)如图2，射线OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，求实数x 的取值范围，并求当x =12时，实数y 的取值范围.(3)过O 作AB 的平行线，延长AO 、BO ，将平面分成如图3所示的六个区域，且OP =xOA +yOB ，请分别写出点P 在每个区域内运动(不含边界)时，实数x ，y 应满足的条件.(不必证明)【解析】(1)若x +y >1，则O 、P 异侧，若x +y <1，则O 、P 同侧；理由如下：设x +y =t ，则由OP =xOA +yOB 得，OP =xOA +t -x OB =xOA -xOB +tOB =xBA +tOB ，当t >1时，tOB 与OB 同向，由平面向量加法的平行四边形法则可知，O 、P 异侧；当t <1时，tOB 与OB 反向，由平面向量加法的平行四边形法则可知，O 、P 同侧；(2)由图及平面向量基本定理可知，x >0，即实数x 的取值范围是0,+∞ ，当x =12时，由平面向量加法的平行四边形法则可知，y ∈-12,0 ；(3)Ⅰ：y <0x +y >0 ；Ⅱ：x >0y >0 ；Ⅲ：x <0x +y >0 ；Ⅳ：y >0x +y <0 ；Ⅴ：x <0y <0 ；Ⅵ：x >0x +y <0 ．。
等和线 向量
等和线向量
等和线是指在平面直角坐标系中满足某一条件的点的集合，例如两点间距离相等的点构成的集合就是一个等和线。
在向量中，等和线也有着重要的应用。
对于一个平面向量 $vec{a}=(a_x,a_y)$，其等和线可以表示为${ vec{r}=(x,y) mid x+y=k }$，其中 $k$ 为常数。
也就是说，等和线上的所有点到原点的向量 $vec{r}$ 都满足
$vec{r}cdotvec{a}=kcdot|vec{a}|^2$，其中 $cdot$ 表示点积，$|vec{a}|$ 表示向量 $vec{a}$ 的模长。
换言之，等和线上的任意一点 $vec{r}$，其到原点的向量$vec{r}$ 与向量 $vec{a}$ 的夹角 $theta$ 满足
$costheta=dfrac{k}{|vec{r}|cdot|vec{a}|}$，其中
$|vec{r}|$ 表示向量 $vec{r}$ 的模长。
因此，等和线可以用来表示平面上与向量 $vec{a}$ 的夹角相等的所有点的集合。
等和线的概念在物理、工程、计算机图形学等领域都有着重要的应用。
例如在物理学中，等和线可以描述电场强度、磁场强度等物理量的分布。
在计算机图形学中，等和线可以用来绘制二次曲线和三次曲线，从而实现平滑的曲线和图形。
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平面向量共线定理和等和线
乎商向曇共线恚1理一、平面向量共线定于已知51= xOB+yOC,若x+ y = 1,则A,B,C 三点共线;反之亦然二、平面向量等和纟O若66 = 2ODJP^OC = xOA+ yOB = 2(-OA+^OB) = 2OD?A 2则有中+斗=1,即x+ y = 2/I A过C点作直线III AB y在/上任作一点C‘，连接OCT1AB = D同理可得，以OA, OB为基底时,0C对应的系数和依然为2fB结论在向量起点相同的前提下，所有以与AB平行的直线上面的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”。
值的大小与起点到等和线的距离成正比，若等和线与4B在起点的两侧时，值为负。
例1、（2013 •南通二模）如图,正六边形ABCDEF^,P 是△仞£内（包括边界）的动点，设AP =（xAB + jBAF （Q, 0E R ）,则Q + 0的取值范围是 _____________ .BF 为£ = 1的等和线，P 壮CDE 内时， EC 是最近的等和线，过D 点的等和线是最远的AN AD=[3,4]解析:・・・o+ 0w例2、（2009安徽（理）14）给定两个长度为1的平面向量鬲和西它们的夹角为乎，如图所示，点C 在以0为圆心的圆弧人B上变动，^-OC =xOA + yOB（x. y G R）,则尤+ y的最大值是・解析：所有与AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时取得k最大结合角度，不难得到g=2例3、（2013江苏10）设£>, E分别是\ABC的边AB, BC上的点,AD = -AB,BE = -BC,若旋=人期+人疋仏，入w /?）, 2 3则人+&的值为_________ ・A解析：过点A作~AF = ~DE,设AF与BC的延长线交于点易知AF = FH,即DF为BC的中位线，因此&+入二*例4、（2013杭州一模17）如图，在扇形OAB中，ZAOB =C为弧4B上的一个动点，若OC = xOA^yOB, 则x + 3y的取值范围是_____________ .04,03为基底。
第1讲 等和线
第1讲等和线———————————————————1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。
等和线定理是专门解决向量中系数之和的秒杀方法，对于系数之和以及系数类有关问题，均可以尝试使用向量等系数和线原理。
适用题型：解决共起点向量系数和取值范围。
（一）,,A B C 平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则三点共线；反之亦然（二）等和线性质已知OQ OB OA λμ=+(1λμ+=),若OB y OA x OP ''+=且k y x =+''，则OP k OQ=uu ruu r .证明：设OQ m OP =，则()OP m OB OCm OB m OC l m l m =+=+uu ruu r uu ruu r uu r=OBy OA x ''+所以()m y x =+=+μλm ''所以k y x =+''=OPmOQ=uu ruu r （三）等和线性质推广平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
（1）当等和线恰为直线AB 时，1k =；（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈；（3）当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞；（4）当等和线过O 点时，0k =；（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；典型例题【例题1】．（2017全国三卷12题）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为()A ．3B ．22C 5D ．2【解答】方法一（坐标法）：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,2)D ，(1,2)C ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ，2BC = ，1CD =，22215BD ∴=+=1122BC CD BD r = ，25r ∴=∴圆的方程为224(1)(2)5x y -+-=，设点P 的坐标为25(cos 15θ+，25sin 2)5θ+，AP AB AD λμ=+，25(cos 15θ∴+，25sin 2)(15θλ+=，0)(0μ+，2)(λ=，2)μ，∴25cos 15θλ+=，25sin 225θμ+=，255cos sin 2sin()255λμθθθϕ∴+=++=++，其中tan 2ϕ=，1sin()1θϕ-+ ，13λμ∴+ ，故λμ+的最大值为3，故选：A ．方法二（等和线）根据上图，可得p 点在圆上运动距离A 最远的时候，λ+μ=3最大。
平面向量等和线与极化恒等式及答案
等和线与极化恒等式知识点1 三点共线结论根据平面向量基本定理，如果P A →，PB →为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向量PC →都可以由P A →，PB →唯一线性表示：PC →=xP A →＋yPB →．特殊地，如果点C 正好在直线AB 上，那么x ＋y =1，反之如果x ＋y =1，那么点C 一定在直线AB 上．于是有三点共线结论：已知P A →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →=xP A →＋yPB →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y =1．知识点2 等和线的定义及性质以上讨论了点C 在直线AB 上的特殊情况，得到了平面向量中的三点共线结论．下面讨论点C 不在直线AB 上的情况．如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →=xP A →＋yPB →(x ，y ∈R )．1．平面向量等和线定义(1)当直线DE 经过点P 时，容易得到x ＋y =0．(2)当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →=λP A →＋μPB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ=1．由△P AB 与△PED 相似，知必存在一个常数k ∈R ，使得PC →=kPF →(其中k =|PC ||PF |=|PE ||P A |=|PD ||PB |)，则PC →=kPF →=kλP A →＋kμPB →．又PC →=xP A →＋yPB →(x ，y ∈R )，所以x ＋y =kλ＋kμ=k ．以上过程可逆．在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”．2．平面向量等和线定理平面内一组基底PA →，PB →及任一向量PF →满足：PF →=λPA →＋μPB →(λ，μ∈R )，若点F 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ＋μ=k （定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．3．平面向量等和线性质(1)当等和线恰为直线AB 时，k =1；(2)当等和线在点P 和直线AB 之间时，k ∈(0，1)； (3)当直线AB 在点P 和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点P 时，k =0；(5)若两等和线关于点P 对称，则定值k 互为相反数．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP →=xAB →＋yAC →，则有点P 在直线BC 上⇔x ＋y =1；点P 与点A 在直线BC 异侧⇔x ＋y >1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越大；点P 与点A 在直线BC 同侧⇔x ＋y < 1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越小． 平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和．考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和． 知识点3 极化恒等式a ·b =14[(a ＋b )2－(a －b )2]1.公式推导：()()()()222222222142a b a ab b ab a b a b a b a ab b ⎫+=++⎪⎡⎤⇒=+−−⎬⎢⎥⎣⎦⎪−=−+⎭2.几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．4.三角形模式：如图，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB →·AC →=|AD |2－|BD |2．（1）推导过程：由()()222222111222AB AC AB AC AB AC AD CB AD DB ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+−−=−=− ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭.（2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．考点一 根据等和线求基底系数和的值(1)确定值为1的等和线；A B C图(2)(2)平移(旋转或伸缩)该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值．例1（2022·河南高三月考）在平行四边形中ABCD 中，E 和F 分别是CD 和BC 边上的中点，且AC AE AF λμ=+,其中λμ∈R ，，则=λμ+___________.例2 （2022·陕西·交大附中模拟预测）在平行四边形ABCD 中，点E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →=λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ=__________． 【跟踪精练】1. （2022·山东·山师附中模拟预测）直角梯形中ABCD ,ABD BC AD CD CB ∆⊥，，//是边长为2的正三角形，P 是平面上的动点，1||=CP ，),(R AB AD AP ∈+=μλμλ设，则μλ+的值可以为（ ）A. 0B.1C.2D.32. （2022·云南玉溪·高三月考）如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →=λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A ．1B ．34C ．23D ．123. (2013江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD =12AB ，BE =23BC ，若DE →=λ1AB→＋λ2AC →(λ1，λ2∈R )，则λ1＋λ2的值为________．考点二 根据等和线求基底的系数和的最值（范围）(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值．例3给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3，如图所示，点C 在以O 为圆心的弧AB 上运动，若OC →=xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是________．例4（2022·福建泉州·模拟预测）在△ABC 中，AC AB ⊥，AB =3，AC =1，点P 是△ABC 所在平面内一点， 2||||AB ACAP AB AC =+，且满足||2PM =，若AM xAB y AC =+，则3x ＋y 的最小值是( )．A ．3+BC ．1D ．3− 【跟踪精练】1.(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →=λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．22C ．5D ．22. （2022·苏州中学高三月考）如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →=mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．考点三 极化恒等式处理数量积的定值问题(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值． 例5（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）如图，在△ABC 中，D 是BC的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →=4，BF →·CF →=－1则BE →·CE →的值是____．例6（2022·山东日照市·高三二模）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB =8，AD =5，CP →=3PD →，AP →·BP →=2，则AB →·AD →的值是( )A ．44B ．22C ．24D ．72 【题型精练】 1．（2022·河北武强中学高三月考）如图，在平面四边形ABCD中，O 为BD 的中点，且OA =3，OC =5，若AB →·AD →=－7，则BC →·DC →的值是________．2. (2022·全国福建省漳州市高三期末) 在△ABC 中，|AB →＋AC →|=|AB →－AC →|，AB =2，AC =1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( )A ．89B ．109C ．259D ．269考点四 极化恒等式处理数量积中的最值范围问题(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．例7 (全国Ⅱ高考)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1例8 （2022·海南海口·二模）在 正三角形ABC 中，点E ，F 是线段AB,AC 的中点，点P 在直线EF 上，若三角形ABC 的面积为2，则2PC PB BC ⋅+的最小值是 【题型精练】1. （2022•南通期末）在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________．2. (天津高考)如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD →=λBC →，AD →·AB →=－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|=1，则DM →·DN →的最小值为________．培优专题2 等和线与极化恒等式答案考点一 根据等和线求基底系数和的值例1.【答案】43【解析】连接EF ，交AC 于G∵E ，F ，G 共线，则AG xAE y AF =+，且=1x y + 记t AC AG =，则tx ty t λμ+=+=，4t =3AGAC =例2 【答案】43 【解析】如图，EF 为值是1的等和线，过C 作EF 的平行线，设λ＋μ=k ，则k =|AC ||AM |．由图易知，|AC ||AM |=43，故选B ．A【跟踪精练】 1.【答案】BC 【解析】如图 2.【答案】B【解析】如图，AD 为值是1的等和线，过E 作AD 的平行线，设λ＋μ=k ，则k =|BE ||BF |．由图易知，|BE ||BF |=34，故选B ．A3.答案 12解析 如图，过点A 作AF →=DE →，设AF 与BC 的延长线交于点H ，易知AF =FH ，∴DF =12BH ，因此λ1＋λ2=12．考点二 根据等和线求基底的系数和的最值（范围）例3【答案】2【解析】令x ＋y =k ，所有与直线AB 平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k 取得最大值，结合角度，不难得到k =|DO ||OE |=2．1，2），M 在以P 为圆心，半径为2的圆上xAD y AC +， ，则有3=x y t +max =111AM MN MG t AN AN AH =+=+≥++min =1113AM MN MG t AN AN AH =−=−≥=−【跟踪精练】1.答案 A 解析 建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2，1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD ．因为CD =1，BC =2，所以BD =12＋22=5，EC =BC ·CD BD =25=255，所以P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2=45．设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →=(x 0，y 0)，AB →=(0，1)，AD→BB=(2，0)．因为AP →=λAB →＋μAD →=λ(0，1)＋μ(2，0)=(2μ，λ)，所以μ=12x 0=1＋55cos θ，λ=y 0=1＋255 sin θ．两式相加，得λ＋μ=1＋255 sin θ＋1＋55cos θ=2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ=π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3．故选A ．等和线法 过动点P 作等和线，设x ＋y =k ，则k =|AM ||AB |．由图易知，当等和线与EF 重合时，k 取最大值，由EF ∥BD ，可求得|AE ||AB |=3，∴λ＋μ取得最大值3．故选A ．2.【答案】 (－1，0)【解析】 如图，作OA →，OB →的相反向量OA 1→，OB 1→，则AB ∥A 1B 1，过O 作直线l ∥AB ，则直线l ，A 1B 1分别为以OA →，OB →为基底的值为0，－1的等和线，由题意线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，所以点C 在直线l 与直线A 1B 1之间，所以m ＋n ∈(－1，0)．考点三 极化恒等式处理数量积的定值问题例5【解析】78【解析】极化恒等式法设BD =DC =m ，AE =EF =FD =n ，则AD =3n ．根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →=AD →2－DB →2=9n 2－m 2=4，FB →·FC →=FD →2－DB →2=n 2－m 2=－1．联立解得n 2=58，m 2=138．因此EB →·EC →=ED →2－DB →2=4n 2－m 2=78．即BE →·CE →=78．例6【答案】B 【解析】如图，取AB 中点E ，连接EP 并延长，交AD 延长线于F ， AP →·BP →=EP 2－AE 2=EP 2－16=2，∴EP =32，又∵CP →=3PD →，AE →=EB →，AB →=DC →，∴AE =2DP ，即△F AE 中，DP 为中位线，AF =2AD =10，AE =12AB =4，FE =2PE =62，AP 2=40，AD →·AB →=AF →·AE →=AP 2－EP 2=40－(32)2=22． 【题型精练】1．【答案】9 【解析】因为AB →·AD →=AO →2－OD →2=9－OD →2=－7⇒OD →2=16，所以BC →·DC →=CO →2－OD →2=25－16=9．2.【答案】B 【解析】取EF 中点M ，连接AM ，则AE →·AF →=|AM |2－|EM |2=54－536=109．考点四 极化恒等式处理数量积中的最值范围问题例7 【答案】B【解析】解析法: 建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →=(－x ，3－y )，PB →=(－1－x ，－y )，PC →=(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)=(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )=2(x 2＋y 2－3y )=2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34=－32．当且仅当x =0，y=32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ．极化恒等式法: 设BC 的中点为D ，AD 的中点为M ，连接DP ，PM ，∴P A →·(PB →＋PC →)=2PD →·P A →=2|PM →|2－12|AD →|2=2|PM →|2－32≥－32．当且仅当M 与P 重合时取等号．BC例8 【答案】2【解析】取BC 中点D ，由三角形ABC 的面积为2，所以边长BC 的平方为3 ，PD 的最小值为高的一半，所以22316=PD BC ， 所以22222213=44⋅+−+=+PC PB BC PD BC BC PD BC23383158353==16431632=+⨯⨯BC . 【题型精练】 1.【答案】23【解析】取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2=PD →2－BC →24＋BC →2=PD →2＋3BC →24≥AD→24＋3BC →24，此时当且仅当AD →⊥BC →时取等号，PC →·PB →＋BC →2≥AD →24＋3BC→24≥2AD →24·3BC →24=23．2.【答案】16 132【解析】因为AD →=λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD =120°，所以AD →·AB →=|AD →|·|AB →|·cos 120°=－32，解得|AD →|=1．因为AD →，BC →同向，且BC =6，所以AD →=16BC →，即λ=16．如图，取MN的中点P ，连接PD ，则DM →·DN →=PD →2－MP →2=PD →2－14，当PD →⊥BC →时，|PD →|2取最小值274，所以DM →·DN →的最小值为132．BC。
平面向量的等和线、等差线、等积线、等商线等
平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平而向量搖本崖理的表达式中.若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时.可以用等值线法・二基本理论（一）平面向*共线定理已知鬲=久西+“況.若久十“ = I, UIUB.C三点共线：反之亦然（二）等和线平面内一俎慕底oNoS及任一向量亦.亦二人花+ 〃亦（人若 0 P在直线朋上或在平行于肋的直线上，则2+“ =尿定值）仮Z也成孙我们把直线*〃以及与宜线.4B 平行的直线成为等和线。
（1）当等和线恰为直线时.A=l：⑵ 当等和线在O点和直线朋之间时.仁（0,1）；（3）当住线M在O点和等和线之间时"＜仏+00）；（4＞当等和线过O点时.^ = 0；（5）若两等和线关于O点对称.则左值《互为相反数：（6）泄值人-的变化与等和线到O点的師离成正比：（三）等差仪平面内一组慕底OA,OB及任一向量帀・帀“鬲+ “亦亿C为线段的中点.若点P在直线0C上或在平行于CC的買线上.则八戸=灿上值八反Z也成匕我们把fL线"以及线OC半行的直线称为等差线.（1）当等荃线恰为直线OC时，A=0：（2）斗等差线过X点时.A=l：（4）当等差线与阳延长线相交时.2（1卄8）；⑶ 当等差线在直线0C与点/之何时.JtG（0,l）:（5＞若两等差线关于直线OC对称.则两足为相反数:（四）等积线平面内一组基底OA.OBJ^任一向&OP ・ 丽=几刃+ “亦（入“wR ）・若 点P 在以苴线OA.OB 为渐近线的女曲线上.则“为足值I 反Z 也成必 我们 把以直线OA.OB 为渐近线的双曲线称为%积线（1） 当双曲线有一支金厶103内时，k>0t（2） 当双曲线的两支都不在乙4OB 内时.X <0：（3） 特别的.若tU=（a 上讥加= （“,"），点P 住双曲线（五）等商线点P 在过O 点（不与0/1重合〉的直线上，则虫=川定值），反之也成立。
平面向量的等和线、等差线、等积线、等商线等(文本版)
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以下是关于平面向量的等和线、等差线、等积线和等商线的文本版文档：平面向量的等和线、等差线、等积线、等商线等等和线等和线是指平面上满足两个向量之和为定向向量的一组点。
设向量$\vec{a}$和$\vec{b}$是平面上的两个向量，其和为定向向量$\vec{c}$。
那么$\vec{r}$满足$\vec{r}=\vec{a}+\vec{b}$就是等和线上的一点。
等和线上的所有点组成了一个线性子空间，可以表示为$\vec{r}=\vec{a}+\vec{b}$的形式。
等差线等差线是指平面上满足两个向量之差为定向向量的一组点。
设向量$\vec{a}$和$\vec{b}$是平面上的两个向量，其差为定向向量$\vec{c}$。
那么$\vec{r}$满足$\vec{r}=\vec{a}-\vec{b}$就是等差线上的一点。
等差线上的所有点组成了一个线性子空间，可以表示为$\vec{r}=\vec{a}-\vec{b}$的形式。
等积线等积线是指平面上满足两个向量之积为定向向量的一组点。
设向量$\vec{a}$和$\vec{b}$是平面上的两个向量，其积为定向向量$\vec{c}$。
那么$\vec{r}$满足$\vec{r}=\vec{a}\cdot\vec{b}$就是等积线上的一点。
等积线上的所有点组成了一个线性子空间，可以表示为$\vec{r}=\vec{a}\cdot\vec{b}$的形式。
等商线等商线是指平面上满足两个向量之商为定向向量的一组点。
设向量$\vec{a}$和$\vec{b}$是平面上的两个向量，其商为定向向量$\vec{c}$。
那么$\vec{r}$满足$\vec{r}=\frac{{\vec{a}}}{{\vec{b}}}$就是等商线上的一点。
等商线上的所有点组成了一个非线性子空间。
希望这份文档能够帮助您理解平面向量的等和线、等差线、等积线和等商线。
【高中数学】向量的等和线(经典例题)
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向量的等和线
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向量中的等和线定理
向量中的等和线定理
向量等和线定理是相等的向量一定平行，但是平行的向量并不一定相等。
两个向量相等并不一定这两个向量一定要重合，只用这两个向量长度相等且方向相同即可。
由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。
向量基本知识点：
1．平面向量：是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。
2．向量的模：有向线段（AB）的长度叫做向量的模，记作|（AB）|。
3．零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作0。
平行于任何向量。
4．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
5．平行向量（共线向量）：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量6．或共线向量；零向量与任何向量平行。
7．单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示。
8．相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，零向量的相反向量仍然是零向量。
向量技巧：等和线
等和线定理一、等和线定理 （1）平面向量共线定理已知，若，则三点共线；反之亦。
OC OB μλ+=OA 1=+μλC B A 、、（2）等和线平面内一组基底及任一向量，，若点p 在直线AB 上或在平OB OA ,OP OB OA OP μλ+=行于AB 的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平k =+μλ行的直线称为等和线。
1.当等和线恰为直线AB 时，k 等于12.当等和线在O 点和直线AB 之间时，)1,0(∈k 3.当直线AB 在O 点和等和线之间时， ),1(+∞∈k 4.当等和线经过O 点时k 等于0，5.若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数6. 定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比二、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达 式及平方和时，可以用等值线法。
三、解题步骤1、确定等值线为1 的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；四、几点补充1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和或差；利用等和线求向量积例题精讲例1设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于()A.OM→B ．2OM→C ．3OM→D ．4OM→例2如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R),则λ＋μ＝．例3如图所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB = ,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a = ,AD b = ,则AG =_______例4在△ABC 中，D 是△ABC 所在平面内一点,且AD →＝13AB →＋12AC →,延长AD 交BC 于点E ,若AE →＝λAB →＋μAC →,则λ－μ的值是．练习1．如图,在三角形ABC 中,BE 是边AC 的中线,O 是BE 边的中点,若AB →＝a ,AC →＝b ,则AO →＝()A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 2．(2019·济南调研)在△ABC 中,AN →＝14NC →,若P 是直线BN 上的一点,且满足AP →＝mAB →＋25AC →,则实数m 的值为()A ．-4B ．-1C ．1D ．43．在△ABC 中,13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数m 的值为()A ．911B ．511C ．311D ．2114．如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．45．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝()A ．12AC →＋13AB→B ．12AC →＋16AB→C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB→6．(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ,μ∈R),则52μ－λ＝()A ．－12B ．1C.32D ．－37．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．8．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．9．(2019·中原名校联考)如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，则APPM＝________．10．点G 是△OAB 的重心,P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点,且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =,OB y OQ =,证明：yx 11+是定值；11．在三角形ABC 中,AM ﹕AB =1﹕3,AN ﹕AC =1﹕4,BN 与CM 相交于点P ,且a AB =,b AC =,试用a 、b表示AP .12．已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,求yx 41+的最小值.PABCMN微信公众号：高中数学学习资料第5页答案例1答案：D 解析：OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →例2解：因为E 为线段AO 的中点，所以BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋1221(⨯BD →)=12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，所以λ＋μ＝12＋14＝34.例3解：,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG xAE x AC∴=+- , 1133AE AB a == ,AC a b=+ 12(1)()(1)(1)33x AG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………①又,,F G B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得(1)AG AB AFλλ∴=+-1144AF AD b ==，，1(1)4AG a b λλ∴=+-……………………………②由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩6737x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩3177AG a b ∴=+ 例4解：设AE →＝xAD →，因为AD →＝13AB →＋12AC →，所以AE →＝x 3AB →＋x2AC →.由于E ，B ，C 三点共线，所以x 3＋x 2＝1，解得x ＝65.又AE →＝λAB →＋μAC →.所以λ＝x 3＝25，μ＝x 2＝35，因此λ－μ＝－15.练习1、答案：D 解析：因为在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，所以AE →＝12AC →.因为O 是BE 边的中点，所以AO →＝12(AB →＋AE →)＝12AB →＋14AC →＝12a ＋14b .2、答案：B解析：根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋－(1－n )AB →＋n5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，n ＝m ，＝25，＝2，＝－1.3、答案：C 解析：,,B P N 三点共线，又2284111111AP m AB AC m AB AN m AB AN=+=+⨯=+8111m ∴+=311m ∴=4、答案：B 解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.5、答案：C 解析：如图，因为EC →＝2AE →，所以EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.6、答案：A 解析：AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因此E ，M ，F 三点共线．所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，则2λ－5μ＝1.因此52μ－λ＝－12.7、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＋→＋12μ→，＋μ＝1，＋12μ＝1，＝23，＝23，所以λ＋μ＝43.8、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＋→＋12μ→，＋μ＝1，＋12μ＝1，＝23，＝23，所以λ＋μ＝43.9、答案：4解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，因为A 、P 、M 三点共线，所以存在唯一实数λ，使得AP →＝λAM →.又知M 为BC 的中点，所以AP →＝12λ(a ＋b )．因为B 、P 、N 三点共线，所以存在唯一实数μ，使得BP →＝μBN →，又AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋μBN →＝AB →＋μ(AN →－AB →)＝AB →＋－(1－μ)a ＋23μb ，所以12λ(a ＋b )＝(1－μ)a ＋23μb ，μ＝12λ，＝12λ，解得λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，PM →＝15AM →.所以|AP →|∶|PM →|＝4∶1，即AP PM＝4.10、证明： 因为G 是OAB 的重心，分析：211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+ 1OP xOA OA OP x =∴= 1OQ yOB OB y=∴= 111111()()3333OG OA OB OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y∴+=113x y ∴+=11x y ∴+为定值311、解：,,N P B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y 使得,1AP xAB y AN x y =++= ,AN ﹕AC=1﹕4,b AC AN 4141==1444y y x AP xAB AC xa xa b -∴=+=+=+ ……①又,,C P M 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数μ,λ使得,1AP AM AC μλμλ∴=++= ∵AM ﹕AB=1﹕3∴a AB AM 3131==，，133AP a b a b μλλλ-∴=+=+ ……………………………②由①②两式可得：1314x x λλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩311211x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩81,11x y y +=∴= 321111AP a b ∴=+ 12. 点P 落在ABC 的边BC 上∴B，P,C 三点共线AP xAB y AC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y ∴+=+⨯=+⨯+=++=++ x>0,y>040,0y x x y ∴>>由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y x x y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >> 2y x ∴=1x y += 12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9。
向量的等和线
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向量的等和线
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向量压轴专题之等和线的应用(mathtype WORD精编版)
向量压轴专题之等和线的应用一. 等和线知识介绍如图所示，,OA OB 不共线，由平面向量基本定理，OP OA OB λμ=+，当点P 在直线AB 上时，1λμ+=；当点P 不在直线AB 上时，可以过点P 作直线AB 的平行线，且与OA ，OB 所在的直线分别交于M ，N 两点，则由三点P ，M ，N 共线，不难得出：OP xOM yON =+，且x ＋y ＝1，又由平行线分线段成比例定理，得：,OM kOA ON kOB ==，其中OMk OA=则OP xOM yON kxOA kyOB =+=+，即λ＝kx ，μ＝ky ，故λ＋μ＝k (x ＋y )＝k . 把过点P 作直线AB 的平行线MN 称为等和线．等和线的相关结论(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在点O 和直线AB 之间时，k ∈(0,1)； (3)当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点O 时，k ＝0；(5)如图所示的情况下，当MN 向右上角平移的过程中，k 值在逐渐变大二. 标准的等和线问题对于标准的等和线问题，题目中一般涉及到这样的条件和问题，OP OA OB λμ=+(三个向量共起点)，求λμ+(后面两个向量的系数和)的值或者范围.解题流程如下：(1)连接AB (后面两个共起点向量的终点)与OP 交于点Q ；(2)判断动点在什么位置时取最大或者最小值(利用等和线相关结论的第5个)(3)求出OPOQ的值(通常根据平行线构造“A ”字型或“8”字型相似求解)首先我们来看看标准的等和线求值问题：(2020 成都期末统考 15)在矩形ABCD 中，已知,E F 分别是,BC CD 上的点，且满足BE EC =，2CF FD =. 若(),AC AE AF R λμλμ=+∈，则λμ+的值为________.【答案】75【解析】法一：向量转化(非边长转边长)12AE AB BE AB AD =+=+，13AF AD DF AB AD =+=+ 故132AC AE AF AB AD μλμλλμ⎛⎫⎛⎫=+=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又AC AB AD =+故13112μλλμ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得4535λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩故75λμ+=法二：等和线如图所示，根据等和线解题流程首先连接EF 交AC 于点H ，则ACAHλμ+=接下来重点思考如何求出该比例，从利用平行线构造相似入手，我们发现利用//CF AB 可以构造一个“8”字型相似，故延长FE 交AB 于点GHFE DCBA利用CE EB =易得CF BG =，故25CF AG = 故75AC AH =，故75λμ+= 【点评】方法一利用传统的向量转化思想，一般是将非边长向量转成边长向量，然后建立方程求解；方法二是利用等和线进行求解，难点在于利用平行线构造相似求解比例接下来我们看看标准等和线的求范围问题：(2017 全国3卷 12)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为( )A ．3B ．22C ．5D ．2 【答案】A【解析】 如图，由等和线定理可知， 当等和线l 与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝AF AB ＝AB ＋BE ＋EF AB ＝3AB AB＝3，故选A ．【点评】本题是2017年全国卷3的第12题，如果用常规方法可以考虑建系，求出圆的方程，然后利用圆的参数方程设出P 的坐标，然后通过向量的坐标运算反解出λ和μ，最后将λμ+用三角函数表示出来，利用辅助角求出其最值，有一定的分析难度和计算量；如果用等和线可以快速判断出取得最值的位置，然后通过平行线截线段成比例求出最值，显得尤为简单如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量AP mAB nAF =+(m ，n 为实数)，则m ＋nGHAB CDEF的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[5,6]C ．[2,5]D ．[3,5]【答案】C【解析】随着动点圆心Q 在线段CD (含端点)上运动，点P 的运动区域为阴影部分所示，如图所示．作直线BF 的平行线l ，使得l 与阴影区域有公共点，离BF 最近的直线l 记为P 1G (P 1为l 与圆C 的切点，G 为l 与直线AB 的交点)，离BF 最远的直线l 记为P 2H (P 2为l 与圆D 的切点，H 为l 与直线AB 的交点)．设AP 1→＝mAB →＋nAF →，由等和线结论，m ＋n ＝AG AB ＝2AB AB ＝2.此为m ＋n 的最小值．设AP 2→＝mAB →＋nAF →，由等和线结论，m ＋n ＝AH AB ＝5.此为m ＋n 的最大值． 综上可知，m ＋n ∈[2,5]．【点评】利用等和线性质5找到最大值和最小值的位置，然后利用平行线截线段成比例求出最值(2021 绵阳三诊 12)已知点F 为抛物线2:4E x y =的焦点，()0,2C -，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，点P 为抛物线上任意一点，若CP mCA nCB =+，则m n +的最小值为( ) A.13B. 12C. 23D. 34【答案】A【解析】根据等和线的几何意义， 连接CP 与AB 交于点Q ，则CP m n CQ +=，需要判断CPCQ何时最小 可以过点P 作直线AB 的平行线， 过C 点作AB 的平行线， 根据平行线截线段成比例，当过P 点的平行线越往右下角移动时，比例越小，极端位置为相切 求导易得此时的切线方程为1y x =- 根据平行线截线段成比例易求出最小值为13三. 等和线的常见变形问题(三向量不共起点)如果所给的平面向量基本定理的三个向量不共起点，则需要将其中不共起点的向量平移至共起点，然后再用等和线去解答，我们来看一个例题：如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则______.λμ+=【答案】85【解析】将向量BN 平移至AE ，则AC AM AE λμ=+ 根据等和线解题步骤，连接EM 与AC 交于点F ，则ACAFλμ+=考虑利用平行线截线段成比例，故延长EM 交AB 于点G ，则3BG EC ==GFEDC MBA故35CF EC FA AG ==，则85AC AF λμ+== (2018 成都高二期末零诊理 16)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P在曲线):0y x Γ=≥上，曲线Γ与x 轴的相交于点B ，与y 轴相交于点C ，点()2,1D 和点()1,0E 满足(),OD CE OP R λμλμ=+∈，则λμ+的最小值为________.【答案】12【解析】将CE 平移到起点为O ，利用等和线直接判断当P 点与B 点重合时，λμ+最小，计算可得最小值为12在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设AC xDE y AP =+，则x y +的范围是_______.【答案】1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如图所示AC xDE y AP xAF y AP =+=+ 由等和线的几何意义可知， 当P 与D 重合时，x y +最大，为51AC AG =(根据相似计算) 当P 与B 重合时，x y +最小，为21AE AB= (2019 成都期末统考 10)如图，在正方形ABCD 中，F 是边CD 上靠近D 点的三等分点，连接BF 交AC 于点E ，若BE mAB nAC =+，则m n +的值是( )A. 15- B. 15 C. 25- D. 25【答案】C【解析】在下侧补一个正方形，则BE mAB nAC mBG nBH =+=+EFD CBAFDA连接GH 与BE 交于点I ，则BE m n BI+=-根据相似可得35BG FH =，32BE EF =，给322535BE BI ⨯==，故25m n +=-四. 等和线的常见变形问题(系数不匹配)如果所给的平面向量基本定理的向量的系数与所求系数和不匹配，则需要将所给向量的系数按照所求系数进行转化，使之相等，然后再按照等和线进行求解，我们来看一个例题：如图，在扇形OAB 中，3AOB π∠=，C 为弧AB 上的动点，若OC xOA yOB =+，则3x y+的取值范围是 ．【答案】[]1,3【解析】33'3OBOC xOA y xOA y OB =+⋅=+⋅， 其中'B 点为OB 的三等分点，如图所示 显然，当C 在A 点时，3x y +有最小值为1； 当C 在B 点时，，3x y +有最大值为3 故取值范围为[]1,3在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB x AE y AF =+，则_____.x y -=【答案】2【解析】AB xAE y AF xAE y AH =+=-连接EH 交AB 于点G ，则ABx y AG-=延长HI 交EB 的延长线与J ，则13BG BE HJ EJ ==故12BG IJ =，故G 为AB 中点，故2AB x y AG -==五.小结从以上例题可以看出，等和线用于求值时，和常规方法难度差不了太多，熟悉等和线之后关键在于利用平行线截线段成比例去求值，如果初中平面几何学的不错的同学，用此方法还是要更快一些，但是等和线用于求范围问题，通常会显得很简单，而此类题目又往往出现在压轴位置，因此掌握好等和线还是非常有必要的。
2023年高考数学----等和线问题规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学----等和线问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】等和线平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，1k =；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞；④当等和线过O 点时，0k =；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足21AM AN +=，设AC xAM yAN =+，则23x y +的最小值为（ ） A ．48B ．49C ．50D ．51【答案】B【解析】如图，建立平面直角坐标系，O则()0,0A ，()4,0B ，()4,3C ，()0,3D ，设(),0M m ，()0,N n ，因为21AM AN +=，所以21m n +=，102m <<，01n <<． 因为AC xAM yAN =+，所以4x m =，3y n =， 所以()898981823225252449n m x y m n m n m n m n ⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭． 当且仅当818n m m n =，即27m =，37n =时取等号． 故选： B ．例2．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP xAB yAC =+，则22x y +的最大值为（ ）A ．83B ．2C ．43D ．1【答案】A【解析】作BC 的平行线与圆相交于点P ，与直线AB 相交于点E ，与直线AC 相交于点F ， 设AP AE AF λμ=+，则1λμ+=，∵BC //EF ，∴设AE AF k AB AC ==，则4[0,]3k ∈ ∴,AE k AB AF k AC ==，AP AE AF k AB k AC λμλμ=+=+∴,x k y k λμ==∴22x y=+8223k k λμ+=≤（） 故选：A ．例3．（2022·全国·高一期末）在ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN AB AC λμ=+（λ，μ∈R ），则λμ+的取值范围是（ ）A ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[0,1]D ．[1,2]【答案】C 【解析】由题意，设AN t AM =，()01t ≤≤，当0=t 时，0AN =，所以0AB AC λμ+=，所以0λμ==，从而有0λμ+=；当01t <≤时，因为AN AB AC λμ=+（λ，μ∈R ），所以B t A A A M C λμ=+，即B A A M AC t t λμ=+， 因为M 、B 、C 三点共线，所以1t tlm +=，即(]0,1t λμ+=∈． 综上，λμ+的取值范围是[0,1]．故选：C ． 例4．（2022·江苏·高二）如图，已知点P 在由射线OD 、线段OA ，线段BA 的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且OD 与BA 平行，若OP xOB yOA =+，当12x =−时，y 的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ．1,12⎡⎤−⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】∵//OD AB ，OP xOA yOB =+uu u r uu r uu u r ，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线， 该四边形应是以OA 与OB 的反向延长线为两邻边， ∴当12x =−时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在EF 上，13,22CE OA CF OA ==， ∴y 的取值范围为1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 故选：D ．。
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若点P在直线AB上，或者在平行于AB的直线上，则 =k 为定值，反
之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。
（1）当等和线恰为直线AB时，k=1.
（2）当等和线在O点和直线AB之间时，k （0， 1 ）
（3）当直线AB在O点和等和线之间时，k （1， +） （4）当等和线过O点时，k=0.
=
λ
AB
+μAD
,
则λ+μ的取值范围为 ？
答案： + [1.3]
H
P
B
C
R QAD来自F例 (17课标Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在
以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP
=
λ
AB
+μAD
,
则λ+μ的最大值为 (
)
A.3
B. 2 2
C. 5
D.2
法二：坐标法
答案：3
分析知圆C：（x-2）2
y2
4
,
AP
AB
AD
5
1 x y 1 ?
2
法一：三角换元 = cos( ) 2
法二：构造向量,
r a
•
r b
|
r a
|
•
|
r b
|
r ，a
(
1
,
1),
r b (x 2, y),
2
法三：构造柯西不等式
1 x y 1= 1（x 2）+（-1）y+2 ?
2
2
（5）当两等和线关于O点对称时，则定值k 互为相反数。
（2）等和线
B1
B
P1
P
O
A
A1
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
平面内一组基底OA,OB及任意向量OP， OP OA OB(, R),
若点P在直线AB上，或者在平行于AB的直线上，则 =k 为定值，反
之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。
专题
向量综合
---等和线
基础知识复习 （1）平面向量共线定理
uuur uuur uuur
已知OA OB OC,若+=1，则A, B,C三点共线，
反之亦然。
A
B
C O
（2）等和线
B1
B
P1
P
O
uuur uuur
uuurA uuur
A1
uuur uuur
平面内一组基底OA,OB及任意向量OP， OP OA OB(, R),
uuur uuur
证明uu：ur OuAuuBr 和uOuuAr1
B1相uu似ur ，即存uu在ur k，uuuOr P1
=
k OP uuur
uuur
令：OP1=OA OB=k OP= k（xOA yOB）=kxOA kyOB
而A,P,B三点共线，x+y=1,而 kx; ky = k
法四：构造线性规划
法五：转化方程（判别式）：方程思想
uuur uuur
uuur uuur
验收：已知向量OA, OB满足：|OA ||OB | 1，
uuur uuur uuur uuur uuur
OA OB，OC OA OB, M 为AB的中点，
uuuur
且|MC | 1, 求 +的最大值
答案： + 2 +1
例 (17课标Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在
以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP
=
λ
AB
+μAD
,
则λ+μ的最大值为 (
)
A.3
B. 2 2
C. 5
D.2
H
法一：等和线
P
B
C
R Q
A
D
F
变式. 在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在
以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP