1.1集合及其表示方法(教师版)

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1.1.1 集合的含义及其表示教案

§1.1.1 集合的含义及其表示一、教学目标（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；初步了解属于关系和集合相等的意义（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；（3）熟记有关数集,培养学生认识事物的能力二、教学重点集合的基本概念与表示方法；三、教学难点运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；四、教学过程1、创设情境，引入新课在小学和初中我们已经接触了一些集合，例如自然数的集合，有理数的集合，不等式x-7<3的解的集合，到一个定点的距离的定长的集合（即圆），到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即这条线段的垂直平分线）……那么集合的含义是什么呢？我们再来看看下面的一些例子：（1）1~20以内的所有质数（2）2010年4月1日之前与我国建立外交关系的所有国家（2）所有的正方形（3）高一<2>班的学生在上数学课（4）方程x2+3x-2=0的所有实数解上面这些例子有什么共同的特征？2、推进新课（1）元素与集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。

（2）集合的性质○1确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。

○2互异性：集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个。

○3无序性：集合中的元素间是无次序关系的。

（3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

练习：1.判断以下元素的全体是否组成集合（1）大于3小于11的偶数。

（2）我国的小河流。

2.说出集合A=｛a,b,c｝和集合B=｛b, a,c｝的关系。

（4）集合与元素的表示：集合通常用大括号或大写的拉丁字母表示,如{1，2，3，4，5}与{高一（2）班的所有学生}，又如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A。

1.1 集合的概念(教师版)

§1.1集合的概念第1课时集合的概念知识点一元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．知识点二元素与集合的关系知识点三常用数集及表示符号第2课时集合的表示知识点一列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．知识点二描述法一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．第1课时集合的概念1．有下列各组对象：∈接近于0的数的全体； ∈比较小的正整数的全体；∈平面上到点O 的距离等于1的点的全体； ∈直角三角形的全体．其中能构成集合的个数是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．52．已知集合A 由x ＜1的数构成，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－1∈A3．集合A 中只含有元素a ，则下列各式一定正确的是( )A ．0∈AB ．a ∈AC ．a ∈AD ．a ＝A4．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形5．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．06．若x ∈N ，则满足2x －5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为________． 7．已知∈5∈R ；∈13∈Q ；∈0∈N ；∈π∈Q ；∈－3∈Z .正确的个数为________．8．已知x ，y 都是非零实数，z ＝x |x |＋y |y |＋xy|xy |可能的取值组成集合A ，则( )A ．2∈AB ．3∈AC ．－1∈AD ．1∈A9．已知集合A 中含有三个元素1，a ，a －1，若－2∈A ，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－1或－2D ．－2或－310．集合A 中含有三个元素2,4,6，若a ∈A ，且6－a ∈A ，那么a ＝________. 11．由实数x ，－x ，|x |，x 2及－3x 3所组成的集合，最多含有________个元素．12．已知集合M 中含有三个元素2，a ，b ，集合N 中含有三个元素2a,2，b 2，且M ＝N .求a ，b 的值．13．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集．14．已知方程ax 2－3x －4＝0的解组成的集合为A .(1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； (2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．第2课时集合的表示1．集合A ＝{x ∈Z |－2<x <3}的元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集不可以表示为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2 C ．{1,2} D ．{(1,2)} 3．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合4．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是( ) A.{}x |x 是小于18的正奇数 B.{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5 C.{}x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5 D.{}x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤55．集合M ＝{(x ，y )|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }是( )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集6．集合{x ∈N |x 2＋x －2＝0}用列举法可表示为________．7．将集合{(x ，y )|2x ＋3y ＝16，x ，y ∈N }用列举法表示为________． 8．有下面四个结论：∈0与{0}表示同一个集合；∈集合M ＝{3,4}与N ＝{(3,4)}表示同一个集合；∈方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}； ∈集合{x |4＜x ＜5}不能用列举法表示．其中正确的结论是________(填写序号)．9．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＝x |x |＋y |y |＋xy |xy |为( ) A ．{0,3} B ．{1,3} C ．{－1,3}D ．{1，－3}10．已知集合A ＝{}x |x ＝2m －1，m ∈Z ，B ＝{}x |x ＝2n ，n ∈Z ，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( ) A ．x 1·x 2∈A B ．x 2·x 3∈B C ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A11．已知集合A ＝{x |x ＝3m ，m ∈N *}，B ＝{x |x ＝3m －1，m ∈N *}，C ＝{x |x ＝3m －2，m ∈N *}，若a ∈A ，b ∈B ， c ∈C ，则下列结论中可能成立的是( ) A ．2 006＝a ＋b ＋c B ．2 006＝abc C ．2 006＝a ＋bcD ．2 006＝a (b ＋c )12．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________． 13．定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }，若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －23<0，则集合A －B ＝________.14．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .15．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求a 2014＋b 2014.16．若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，用列举法表示集合P ＋Q .【参考答案】1．A 解析 ∈不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．∈不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．∈∈均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．2．C 解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．3．C 解析由题意知A 中只有一个元素a ，∈a ∈A ，元素a 与集合A 的关系不能用“＝”，a 是否等于0不确定，因此0是否属于A 不确定，故选C ．4．D 解析由集合中的元素具有互异性可知a ，b ，c ，d 互不相等，而梯形的四条边可以互不相等．5．B 解析若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∈A .6．3 解析由2x －5＜0，得x ＜52，又x ∈N ，∈x ＝0,1,2，故所有元素之和为3.7．3 解析 ∈∈∈是正确的；∈∈是错误的． 8．C 解析 ∈当x >0，y >0时，z ＝1＋1＋1＝3；∈当x >0，y <0时，z ＝1－1－1＝－1； ∈当x <0，y >0时，z ＝－1＋1－1＝－1； ∈当x <0，y <0时，z ＝－1－1＋1＝－1， ∈集合A ＝{－1,3}． ∈－1∈A .9．C 解析由题意可知a ＝－2或a －1＝－2，即a ＝－2或a ＝－1，故选C ．10．2或4 解析若a ＝2，则6－2＝4∈A ；若a ＝4，则6－4＝2∈A ；若a ＝6，则6－6＝0∈A .故a ＝2或4.11．2 解析因为|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，所以不论x 取何值，最多只能写成两种形式：x ，－x ，故合中最多含有2个元素． 12．解法一根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b 2b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.法二 ∈两个集合相同，则其中的对应元素相同．∈⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2a ＋b 2a ·b ＝2a ·b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b b －1＝0 ∈ab ·2b －1＝0 ∈∈集合中的元素互异，∈a ，b 不能同时为零．当b ≠0时，由∈得a ＝0，或b ＝12.当a ＝0时，由∈得b ＝1，或b ＝0(舍去)．当b ＝12时，由∈得a ＝14.当b ＝0时，a ＝0(舍去)．∈⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.13．证明 (1)若a ∈A ，则11－a∈A .又∈2∈A ，∈11－2＝－1∈A .∈－1∈A ，∈11－－1＝12∈A .∈12∈A ，∈11－12＝2∈A . ∈A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a，即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ∈a ≠11－a，∈集合A 不可能是单元素集．14．解 (1)因为A 中有两个元素，所以方程ax 2－3x －4＝0有两个不等的实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9＋16a >0，即a >－916且a ≠0.所以实数a 的取值范围为a >－916，且a ≠0.(2)当a ＝0时，由－3x －4＝0得x ＝－43；当a ≠0时，若关于x 的方程ax 2－3x －4＝0有两个相等的实数根，则Δ＝9＋16a ＝0，即a ＝－916；若关于x 的方程无实数根，则Δ＝9＋16a <0，即a <－916，故所求的a 的取值范围是a ≤－916或a ＝0.1. D 解析因为A ＝{x ∈Z |－2<x <3}，所以x 的取值为－1，0,1,2，共4个．2. C 解析 C 选项表示两个数．3. D 解析集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.4. D 解析对于x ＝4s －3，当s 依次取1,2,3,4,5时，恰好对应的x 的值为1,5,9,13,17.5. D 解析因xy ＜0，所以有x ＞0，y ＜0；或者x ＜0，y ＞0.因此集合M 表示的点集在第四象限和第二象限．6. {1} 解析由x 2＋x －2＝0，得x ＝－2或x ＝1. 又x ∈N ，∈x ＝1.7. {(2,4)，(5,2)，(8,0)} 解析 ∈3y ＝16－2x ＝2(8－x )，且x ∈N ，y ∈N ，∈y 为偶数且y ≤5，∈当x ＝2时，y ＝4，当x ＝5时y ＝2，当x ＝8时，y ＝0.8. ∈ 解析 {0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故∈错误；∈集合M 是实数3,4的集合，而集合N 是实数对(3,4)的集合，不正确；∈不符合集合中元素的互异性，错误；∈中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．9. C 解析当x >0，y >0时，m ＝3，当x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1.当x ，y 异号，不妨设x >0，y <0时，m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1,3}．10. D ∈集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集，∈x 1，x 2是奇数，x 3是偶数，∈x 1＋x 2＋x 3为偶数．11. C 解析由于2 006＝3×669－1，不能被3整除，而a ＋b ＋c ＝3m 1＋3m 2－1＋3m 3－2＝3(m 1＋m 2＋m 3－1)不满足；abc ＝3m 1(3m 2－1)(3m 3－2)不满足；a ＋bc ＝3m 1＋(3m 2－1)(3m 3－2)＝3m －1适合； a (b ＋c )＝3m 1(3m 2－1＋3m 3－2)不满足．12. 3 解析根据x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A ，知集合B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．13. {x |x ≥2} 解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >－12，B ＝{x |x <2}， A －B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－12且x ≥2＝{x |x ≥2}． 14. 解 ∈1是集合A 中的一个元素，∈1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根，∈a ·12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3.方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，∈集合A＝{－13，1}．15.解 ∈A ＝B ，∈⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝b ，ab ＝1.解方程组得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，或a ＝1，b 为任意实数．由集合元素的互异性得a ≠1，∈a ＝－1，b ＝0，故a 2014＋b 2014＝1.16. 解 ∈当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11. ∈P ＋Q ＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．。

高一数学教案[苏教版]集合的概念与表示

1.1集合的概念与表示[三维目标]一、知识与技能1，理解集合的含义，知道常用数集及其记法2，了解元素与集合的关系及符号表示；了解有限集、无限集、空集的意义3，掌握集合表示法的基本框架二、过程与方法1，通过学生看书及事例汇总出集合的含义，引出集合的特性及元素与集合的关系2，通过例子辨别表示法及有限、无限集合，用自己熟悉的表示法表示集合三、情感态度和价值观1，通过组织学生预习→教师汇总→学生应用的方式，体现以学生为主体的思想特征2，通过汇总，培养学生找不足、差距及联系的观点，并比较与初中学习方法的不同[重点]课件集合的含义及表示方法[难点]集合的表示方法[教具][过程]一，看书P5---P7,教师版书：集合的含义及表示方法例1：看下面事例⑴15的正约数⑵兴化中学高一年级的全体学生⑶所有的自然数⑷老人⑸方程x+1=0的解⑹漂亮的女孩⑺抛物线y=x2上所有的点二、教师汇总1、集合的含义象⑴⑵⑶⑸⑺这样具有确定的共同属性的对象的全体就构成一个集合，其中的每个对象称这个集合的一个元素，元素的个数为有限个称有限集如⑴⑵⑸，无限的称无限集⑶⑺，将不含有任何元素的集合称空集，如：x2+1=0的实数解根据集合的含义可以知道，一个集合具有：确定性：任何一个事物要么在这个集合中，要么不在，不能摸棱两可。

在时称属于这个集合，符号∈；不在时称不属于这个集合，符号∉或∈；象⑷⑹由于不确定，就不是集合互异性：集合中的元素不能出现重复无序性：集合中的元素顺序可以任意互换问题：集合如何表示呢？2、集合的表示还是从例1来说⑴可以表示为：{1，3，5，15}，这种一个个列举出的方法称列举法⑵可以表示为：{兴化中学高一年级的学生}或{x|为兴化中学高一年级的学生}；这两种表示方法称描述法：其中前者称文字描述，由于集合含义中已经含有了全部的意义，所以要去掉诸如全体、所有等全称量词；后者称属性描述法，一般形式为{元素的一般形式|元素的属性}，其中的“|”也可以用“：”、“；”来代替。

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1．1集__合1．1.1 集合的含义与表示第一课时集合的含义集合的概念[提出问题] 观察下列实例： (1)某公司的所有员工；(2)平面内到定点O 的距离等于定长d 的所有的点；(3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥3，x 2≤9的整数解；(4)方程x 2－5x ＋6＝0的实数根； (5)某中学所有较胖的同学．问题1：上述实例中的研究对象各是什么？提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学．问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定．问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定． [导入新知] 元素与集合的概念定义表示元素一般地，我们把研究对象统称为元素通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示集合把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示[化解疑难]准确认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.元素的特性及集合相等[提出问题]问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？提示：2,3.问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？提示：2,3.问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？提示：相等．[导入新知]1．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．2．集合元素的特性集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．[化解疑难]对集合中元素特性的理解(1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合.元素与集合的关系及常用数集的记法[提出问题]某中学2017年高一年级20个班构成一个集合．问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合中的元素吗？提示：是这个集合的元素．问题2：高二(3)班是这个集合中的元素吗？为什么？提示：不是．高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素． [导入新知]1．元素与集合的关系(1)如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . (2)如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . 2．常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN *或N ＋ZQR[化解疑难]1．对“∈”和“∉”的理解(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R ∈0是错误的． 2．常用数集关系网集合的基本概念[例1] (1)上到点A 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)判断下列说法是否正确，并说明理由． ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合； ②由1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，12组成的集合有五个元素；③由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合．[解] (1)选A “接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合． ②不正确．由于32＝64，⎪⎪⎪⎪－12＝12，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，32，12这三个元素组成的．③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合． [类题通法]判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．[活学活用]判断下列每组对象能否构成一个集合． (1)著名的数学家；(2)某校2017年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解； (5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．解：(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x ＞20或x ＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.元素与集合的关系[例2](1)设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A(2)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4[解析](1)由元素与集合的关系可知，a∈A.(2)①π∈R显然是正确的；②3是无理数，而Q表示有理数集，∴3∉Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0∉N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．[答案](1)C(2)B[类题通法]判断元素与集合间关系的方法判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．[活学活用]给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.其中正确的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选B实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确.集合中元素的特性及应用[例3]已知集合A中含有两个元素a和a，若1∈A，求实数a的值．[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a ＝1时，a ＝a 2，集合A 中有一个元素，∴a ≠1. 当a ＝－1时，集合A 中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a ＝－1. [类题通法]关注元素的互异性根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能取值，但要时刻关注集合中元素的三个特性，尤其是互异性，解题后要注意进行检验．[活学活用]已知集合A 中含有三个元素1,0，x ，若x 2∈A ，求实数x 的值．解：∵x 2∈A ，∴x 2是集合A 中的元素．又∵集合A 中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若x 2＝0，则x ＝0，此时集合A 中有两个元素0，不符合互异性，舍去；②若x 2＝1，则x ＝±1.当x ＝1时，此时集合A 中有两个元素1，舍去；当x ＝－1时，此时集合A 中有三个元素1,0，－1，符合题意；③若 x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合互异性，都舍去．综上可知，x ＝－1.1.警惕集合元素的互异性[典例] 若集合A 中有三个元素x ，x ＋1,1，集合B 中也有三个元素x ，x 2＋x ，x 2，且A ＝B ，则实数x 的值为________．[解析] ∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2.解得x ＝±1.经检验，x ＝1不适合集合元素的互异性，而x ＝－1适合． ∴x ＝－1. [答案] －1 [易错防范]1．上面例题易由方程组求得x＝±1后，忽视对求出的值进行检验，从而得出错误的结论．2．当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出的值一定要加以检验，看是否符合集合元素的互异性．[成功破障]若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．解析：①若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．③若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；当a＝－1时，由②知不合题意．综上可知a＝0或a＝1.答案：0或1[随堂即时演练]1．下列选项中能构成集合的是()A．高一年级跑得快的同学B．中国的大河C．3的倍数D．有趣的书籍解析：选C根据集合的定义，选项A，B，D都不具备确定性．2．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是() A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形解析：选A由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．有下列说法：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④4．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.解析：代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0∉A，不符合题意，舍去．所以a＝2或a＝4.答案：2或45．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0应舍去．综上知x＝1，y＝0.[课时达标检测]一、选择题1．下列判断正确的个数为()(1)所有的等腰三角形构成一个集合．(2)倒数等于它自身的实数构成一个集合．(3)素数的全体构成一个集合．(4)由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合．A．1B．2C．3 D．4解析：选C(1)正确；(2)若1a＝a，则a2＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，－1}，∴(2)正确；(3)也正确，任何一个素数都在此集合中，不是素数的都不在；(4)不正确，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2,3,4,6}，含4个元素，故选C.2．设不等式3－2x <0的解集为M ，下列正确的是( ) A ．0∈M,2∈M B ．0∉M,2∈M C ．0∈M,2∉MD ．0∉M,2∉M解析：选B 从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M 间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x <0的解即可．当x ＝0时，3－2x ＝3>0，所以0不属于M ，即0∉M ；当x ＝2时，3－2x ＝－1<0，所以2属于M ，即2∈M .3．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集解析：选A 由于选项A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而选项B ，C ，D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．4．已知集合M 中的元素x 满足x ＝a ＋b 2，其中a ，b ∈Z ，则下列实数中不属于集合M 中元素的个数是( )①0；②－1；③32－1；④23－22；⑤8；⑥11－2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选A 当a ＝b ＝0时，x ＝0；当a ＝－1，b ＝0时，x ＝－1；当a ＝－1，b ＝3时，x ＝－1＋32；23－22＝2(3＋22)(3－22)(3＋22)＝6＋42，即a ＝6，b ＝4；当a ＝0，b ＝2时，x＝22＝8；11－2＝1＋2(1－2)(1＋2)＝－1－2，即a ＝－1，b ＝－1.综上所述：0，－1,32－1，23－22，8，11－2都是集合M 中的元素．5．由实数－a ，a ，|a |，a 2所组成的集合最多含有________个元素．( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a ≠0时，a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0，－a ，a <0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中最多有两个元素．二、填空题6．方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是a ，b ，则a ＋b ＝________.解析：∵方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等， ∴a ，b 是方程x 2－2x －3＝0的两个根， ∴a ＋b ＝2. 答案：27．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ______A ，ab _____A ．(填“∈”或“∉”)解析：∵a 是偶数，b 是奇数， ∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数，故a ＋b ∉A ，ab ∈A . 答案：∉ ∈8．设A 是由满足不等式x ＜6的自然数组成的集合，若a ∈A ，且3a ∈A ，则a 的值为________．解析：∵a ∈A ，且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜6，3a ＜6，解得a ＜2. 又∵a ∈N ， ∴a ＝0或a ＝1. 答案：0或1 三、解答题9．已知集合M 由三个元素－2，3x 2＋3x －4，x 2＋x －4组成，若2∈M ，求x . 解：当3x 2＋3x －4＝2时，即x 2＋x －2＝0，x ＝－2或x ＝1，经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意；当x 2＋x －4＝2时，即x 2＋x －6＝0，x ＝－3或x ＝2，经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．∴x ＝－3或x ＝2.10．设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x .解：(1)由集合中元素的互异性可知，x ≠3，且x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3. 解得x ≠－1且x ≠0，且x ≠3. (2)∵－2∈A ，∴x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 由于x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴x ＝－ 2.11．数集M 满足条件：若a ∈M ，则1＋a1－a∈M (a ≠±1且a ≠0)．若3∈M ，则在M 中还有三个元素是什么？解：∵3∈M ， ∴1＋31－3＝－2∈M ， ∴1＋(－2)1－(－2)＝－13∈M ，∴1＋⎝⎛⎭⎫－131－⎝⎛⎭⎫－13＝2343＝12∈M .又∵1＋121－12＝3∈M ，∴在M 中还有元素－2，－13，12.12．数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)．(1)若2∈A ，试求出A 中其他所有元素；(2)自己设计一个数属于A ，然后求出A 中其他所有元素；(3)从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道理”．解：根据已知条件“若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)”逐步推导得出其他元素．(1)其他所有元素为－1，12.(2)假设－2∈A ，则13∈A ，则32∈A .其他所有元素为13，32.(3)A 中只能有3个元素，它们分别是a ，11－a ，a －1a ，且三个数的乘积为－1.证明如下：由已知，若a ∈A ，则11－a ∈A 知，11－11－a ＝a －1a ∈A ，11－a －1a ＝a ∈A .故A 中只能有a ，11－a，a －1a 这3个元素．下面证明三个元素的互异性：若a ＝11－a ，则a 2－a ＋1＝0有解，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以方程无实数解，故a ≠11－a. 同理可证，a ≠a －1a ，11－a≠a －1a .结论得证．第二课时集合的表示列举法[提出问题] 观察下列集合：(1)中国古代四大发明组成的集合； (2)20的所有正因数组成的集合．问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？提示：能．(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药，(2)中的元素为1,2,4,5,10,20. 问题2：如何表示上述两个集合？提示：用列举法表示．[导入新知]列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．[化解疑难]使用列举法表示集合的四个注意点(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，a n}；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.描述法[提出问题]观察下列集合：(1)不等式x－2≥3的解集；(2)函数y＝x2－1的图象上的所有点．问题1：这两个集合能用列举法表示吗？提示：不能．问题2：如何表示这两个集合？提示：利用描述法．[导入新知]描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．[化解疑难]1．描述法表示集合的条件对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法．2．描述法的一般形式它的一般形式为{x∈A|p(x)}，其中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说，集合元素x 的取值范围A 需写明确，但若从上下文的关系看，x ∈A 是明确的，则x ∈A 可以省略，只写元素x .用列举法表示集合[例1] (1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,9}，若x ∈A 且x ∉B ，则x ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．9(2)用列举法表示下列集合：①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．[解] 选B (1)∵x ∈A ， ∴x ＝1,2,3.又∵x ∉B ，∴x ≠1,3,9，故x ＝2.(2)①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集合是{0,2,4,6,8,10}．②方程x 2＝x 的实数解是x ＝0或x ＝1，所以方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合为{0,1}． ③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．[类题通法]用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来．[活学活用]已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4个元素，求集合B.解：对任意a∈A，有|a|∈B.因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B.又因为B中只有4个元素，所以B＝{0,1,2,3}.用描述法表示集合[例2](1)①A＝{x|x2－x＝0}，则1____A，－1____A；②(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．(2)用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合；③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．[解](1)①将1代入方程，成立；将－1代入方程，不成立．故1∈A，－1∉A.②将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，成立，故填“∈”．(2)①偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．②设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．③坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．[答案](1)①∈∉②∈[类题通法]利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x ∈R|x <1}不能写成{x <1}．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x ∈Z|x ＝2k }，k ∈Z ，这种表达方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进花括号内，即{x ∈Z|x ＝2k ，k ∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x 2－2x ＋1＝0的实数解集可表示为{x ∈R|x 2－2x ＋1＝0}，也可写成{x |x 2－2x ＋1＝0}．(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等． [活学活用] 下列三个集合： ①A ＝{x |y ＝x 2＋1}； ②B ＝{y |y ＝x 2＋1}； ③C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．(2)集合A ＝{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，且x ∈R ，所以{x |y ＝x 2＋1}＝R ，即A ＝R ；集合B ＝{y |y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，所以{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}．集合C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，是满足y ＝x 2＋1的数对．可以认为集合C 是坐标平面内满足y ＝x 2＋1的点(x ，y )构成的集合，其实就是抛物线y ＝x 2＋1的图象.集合表示的应用[例3] (1)集合A ) A ．{x |x ＝2n ±1，n ∈N} B ．{x |x ＝(－1)n (2n －1)，n ∈N} C ．{x |x ＝(－1)n (2n ＋1)，n ∈N} D ．{x |x ＝(－1)n －1(2n ＋1)，n ∈N}(2)设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪62＋x ∈N .①试判断元素1,2与集合B 的关系； ②用列举法表示集合B .[解] 选C (1)观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，且第一个为正数，故应选C.(2)①当x ＝1时，62＋1＝2∈N ；当x ＝2时，62＋2＝32∉N.所以1∈B,2∉B . ②∵62＋x∈N ，x ∈N ， ∴2＋x 只能取2,3,6.∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}． [类题通法]判断元素与集合间关系的方法(1)用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系．例如，集合A ＝{1,9,12}，则0∉A,9∈A .(2)用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时就比较复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？…，其次要清楚元素的共同特征是什么，最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系．[活学活用]用列举法表示集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，－1≤x ≤1，且x ∈Z}．解：由－1≤x ≤1，且x ∈Z ，得x ＝－1,0,1，当x ＝－1时，y ＝1；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1. ∴A ＝{(－1,1)，(0,0)，(1,1)}．1.集合与方程的综合应用[典例] 集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，求a 的取值范围．[解]当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，，符合题意；此时x＝－12当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．[多维探究]解答上面例题时，a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．求解集合与方程问题时，要注意相关问题的求解，如：1．在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．解：A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素．当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1.当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，即a>1.故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．2．在本例条件下，若A中至少有一个元素，求a的取值范围．解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由例题可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即a<1.∴A中至少有一个元素时，a的取值范围为{a|a≤1}．3．若1∈A，则a为何值？解：∵1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.4．是否存在实数a，使A＝{1}，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：∵A＝{1}，∴1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.又当a＝－3时，由－3x2＋2x＋1＝0，得x＝－1或x＝1，3即方程ax 2＋2x ＋1＝0存在两个根－13和1，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，1，与A ＝{1}矛盾．故不存在实数a ，使A ＝{1}．[随堂即时演练]1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}解析：选D 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}．2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( ) A ．{y |y ＝2} B ．{x ＝2}C ．{2}D ．{x |x 2－4x ＋4＝0}解析：选B 集合{x ＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其他选项所表示的集合都是含有一个元素2.3．给出下列说法：①平面直角坐标内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy >0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}； ③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与集合{x |y ＝1－x }是相等的．其中正确的是________(填序号)．解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x ，y )，故①正确；方程x －2＋|y ＋2|＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，解为有序实数对(2，－2)，解集为{(2，－2)}或⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2，故②不正确；集合{(x ，y )|y ＝1－x }的代表元素是(x ，y )，集合{x |y ＝1－x }的代表元素是x ，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．答案：①4．已知A＝{－1，－2,0,1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，则B＝________.解析：∵|－1|＝1，|－2|＝2，且集合中的元素具有互异性，∴B＝{0,1,2}．答案：{0,1,2}5．用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于－3.5小于12.8的整数的全体；(3)梯形的全体构成的集合；(4)所有能被3整除的数的集合；(5)方程(x－1)(x－2)＝0的解集；(6)不等式2x－1>5的解集．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．(2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．(3){x|x是梯形}或{梯形}．(4){x|x＝3n，n∈Z}．(5){1,2}．(6){x|x>3}．[课时达标检测]一、选择题1．下列集合的表示，正确的是()A．{2,3}≠{3,2}B．{(x，y)|x＋y＝1}＝{y|x＋y＝1}C．{x|x＞1}＝{y|y＞1}D．{(1,2)}＝{(2,1)}解析：选C{2,3}＝{3,2}，故A不正确；{(x，y)|x＋y＝1}中的元素为点(x，y)，{y|x＋y ＝1}中的元素为实数y，{(x，y)|x＋y＝1}≠{y|x＋y＝1}，故B不正确；{(1,2)}中的元素为点(1,2)，而{(2,1)}中的元素为点(2,1)，{(1,2)}≠{(2,1)}，故D不正确．2．已知x，y，z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M解析：选D 当x ，y ，z 都大于零时，代数式的值为4，所以4∈M .当x ，y ，z 都小于零时，代数式的值为－4，所以－4∈M .当x ，y ，z 有两个为正，一个为负时，或两个为负，一个为正时，代数式的值为0.所以0∈M .综上知选D.3．集合{x ∈N *|x －3<2}的另一种表示法是( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：选B ∵x －3<2，x ∈N *， ∴x <5，x ∈N *， ∴x ＝1,2,3,4.4．已知集合A ＝{x |x ＝2m －1，m ∈Z}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z}，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A 解析：选D 集合A 表示奇数集，B 表示偶数集， ∴x 1，x 2是奇数，x 3是偶数，∴x 1＋x 2＋x 3应为偶数，即D 是错误的．5．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．20解析：选C 由题意知集合P *Q 的元素为点，当a ＝1时，集合P *Q 的元素为：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素．同样当a ＝2,3时，集合P *Q 的元素个数都为5个，当a ＝4时，集合P *Q 中元素为：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)共4个．因此P *Q 中元素的个数为19.二、填空题6．若集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则a －b ＝________.解析：由题意知a ≠0，a ＋b ＝0，b ＝1，则a ＝－1，所以a －b ＝－2. 答案：－27．已知集合A ＝{x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵1∉{x |2x ＋a >0}， ∴2×1＋a ≤0，即a ≤－2. 答案：{a |a ≤－2}8．已知－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－4x －a ＝0}中所有元素之和为________．解析：由－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，得(－5)2－a ×(－5)－5＝0，所以a ＝－4，所以{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.答案：2 三、解答题9．已知集合A ＝{a ＋3，(a ＋1)2，a 2＋2a ＋2}，若1∈A ，求实数a 的值．解：①若a ＋3＝1，则a ＝－2，此时A ＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去． ②若(a ＋1)2＝1，则a ＝0或a ＝－2. 当a ＝0时，A ＝{3,1,2}，满足题意；当a ＝－2时，由①知不符合条件，故舍去． ③若a 2＋2a ＋2＝1，则a ＝－1，此时A ＝{2,0,1}，满足题意．综上所述，实数a 的值为－1或0. 10．用适当的方法表示下列集合： (1)比5大3的数；(2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0的解集；(3)二次函数y ＝x 2－10的图象上的所有点组成的集合．解：(1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．(2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，∴方程的解集为{(2，－3)}．(3)“二次函数y ＝x 2－10的图象上的所有点”用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2－10}．11．(1)已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪61＋x ∈Z ，求M ；(2)已知集合C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎪⎪61＋x∈Z x ∈N ，求C . 解：(1)∵x ∈N ，61＋x ∈Z ，∴1＋x 应为6的正约数． ∴1＋x ＝1,2,3,6，即x ＝0,1,2,5. ∴M ＝{0,1,2,5}． (2)∵61＋x ∈Z ，且x ∈N ，∴1＋x 应为6的正约数，∴1＋x ＝1,2,3,6，此时61＋x 分别为6,3,2,1，∴C ＝{6,3,2,1}．12．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx 2－2x －1，y ＝0有且只有一个元素，试求出实数k 的值，并用列举法表示集合A .解：当k ＝0时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx 2－2x －1，y ＝0可化为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －1，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝0，此时集合A 为－12，0；当k ≠0时，要使集合A 有且只有一个元素，则方程kx 2－2x －1＝0有且只有一个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝(－2)2＋4k ＝0，解得k ＝－1，代入⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx 2－2x －1，y ＝0中得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x －1，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，即A ＝{(－1,0)}．综上可知，当k ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫－12，0；当k ＝－1时，A ＝{(－1,0)}．1．1.2 集合间的基本关系子集[提出问题]具有北京市东城区户口的人组成集合A ，具有北京市户口的人组成集合B . 问题1：集合A 中元素与集合B 有关系吗？提示：有关系，集合A 中每一个元素都属于集合B . 问题2：集合A 与集合B 有什么关系？提示：集合B 包含集合A . [导入新知] 子集的概念定义一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集记法与读法记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)图示结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C[化解疑难]对子集概念的理解(1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1}，0∈{－1，0,1}．(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A，此时记作A B或B⊉A.(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N，而不能写成{0}∈N；“∈”只能用于元素与集合之间，如0∈N，而不能写成0⊆N.集合相等[提出问题]设A＝{x|x是有三条边相等的三角形}，B＝{x|x是等边三角形}．问题1：三边相等的三角形是何三角形？提示：等边三角形．问题2：两集合中的元素相同吗？提示：相同．问题3：A是B的子集吗？B是A的子集吗？提示：是．是.[导入新知]集合相等的概念如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A 与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.[化解疑难]对两集合相等的认识。

人教版高数必修一第1课：集合的含义与表示(教师版)

集合的含义与表示1、通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性。

2、掌握元素与集合的关系，并能用符号“∈”或“∉”来表示。

3、掌握列举法和描述法，会选择不同的方法来表示集合，记住常用数集的符号。

一、集合与元素的概念：一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。

集合中每一个对象称为该集合的元素。

如所有的三角形可以组成集合，每个三角形都是这个集合的元素；所有的直角三角形也可以组成集合，每个直角三角形都是集合的元素；由1，2，3，4组成的集合｛1，2，3，4｝。

1，2，3，4就是这个集合的元素。

类似“与2非常接近的全体实数”，“高个子”这样模糊的说法就不能确定集合。

特别提醒：1、集合是一个“整体”。

一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象。

2、集合具有两个方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件。

3、集合通常用大写的字母表示，如A B C 、、、……；元素通常用小写的字母表示，如a b c d 、、、……。

二、集合中元素的特性：1、确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可．2、互异性：对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。

集合中相同的元素只能算是一个。

如方程0122=+-x x 有两个重根121==x x ，其解集只能记为{}1，而不能记为{}1,1。

3、无序性：集合中的元素是不分顺序的．如{},a b 和{},b a 表示同一个集合．特别提醒：集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l ，0）和点（0，l ）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合。

三、元素与集合的关系：一般地，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈；如果a 不是集合的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉。

2020学年高中数学第1章集合1.1集合的含义及其表示学案苏教版必修1

1．1 集合的含义及其表示1.结合实例，了解集合的含义，元素与集合的关系．2.理解集合元素的特征．3．掌握集合的表示方法．1．集合(1)定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．(2)记法：通常用大写拉丁字母表示．(3)常用数集及表示符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N＋Z Q R(1)定义：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．(2)记法：通常用小写拉丁字母表示．(3)特性：确定性、互异性、无序性．3．元素与集合的关系关系定义记法读法属于a是集合A的元素a∈A a属于A不属于a不是集合A的元素a∉A或a A a不属于A4.表示方法定义一般形式列举法将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内{a1，a2，…，a n，…}描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来{x|p(x)}Venn图法用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，则称这两个集合相等．6．集合的分类有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合，记作∅1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．( )(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.( )(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )答案：(1)×(2)×(3)√2．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为( )A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}答案：B3．方程x2－1＝0的解与方程x＋1＝0的解组成的集合中共有________个元素．答案：24．当{a，0，－1}＝{4，b，0}时，a＝________，b＝________．答案：4 －1集合的概念[学生用书P2]判断下列各组对象能否组成一个集合．(1)新华中学高一年级全体学生；(2)我国的大河流；(3)不大于3的所有自然数；(4)在平面直角坐标系中，到原点距离等于1的点．【解】(1)能，所指的对象是确定的；(2)不能，“大”无明确标准；(3)能，不大于3的所有自然数有0、1、2、3，其对象是确定的；(4)能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判断是不是到原点的距离等于1，故能组成一个集合.判断一组对象组成集合的依据判断一组对象能否构成一个集合，其关键是看该组对象是否满足确定性．如果该组对象满足确定性，就可能组成集合；否则，就不能组成集合．1.判断下列各组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)不超过20的非负数；(3)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(4)直角坐标平面内第一象限的一些点．解：(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)任给一个实数x ，可以明确地判断它是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20或x <0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(3)类似于(2)，也能构成集合．(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．元素与集合的关系[学生用书P2](1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)满足“a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ”，有且只有2个元素的集合A 的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)因为a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，所以若a ＝0，则4－a ＝4，此时A 满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A 满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A 只含有1个元素，不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C. 【答案】 (1)C (2)C判断一个元素是否属于某一个集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件．若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系．特别注意，符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系．2.(1)已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( )A ．a >－4B ．a ≤－2C ．－4＜a ＜－2D ．－4＜a ≤－2(2)用适当的符号填空：已知集合A 中的元素x 是被3除余2的整数，则有 17________A ；－5________A . 解析：(1)因为1∉A ，2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0，即－4<a ≤－2.(2)由题意可设x ＝3k ＋2，k ∈Z ，令3k ＋2＝17，则k ＝5∈Z .所以17∈A .令3k ＋2＝－5，则k ＝－73∉Z .所以－5∉A .答案：(1)D (2)∈ ∉集合中元素的特性[学生用书P3]已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________．【解析】若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 有重复元素，所以a ≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a ＝－1. 【答案】－1若去掉本例中的条件“1∈A ”，则实数a 的取值范围是什么？解：因为集合A 中含有两个元素a 和a 2，所以a ≠a 2，即a ≠0且a ≠1.由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤3.(1)若集合M 中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形(2)若集合A 中有三个元素x ，x ＋1，1，集合B 中也有三个元素x ，x ＋x 2，x 2，且A ＝B ，求实数x 的值．解：(1)选D.由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D.(2)因为A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2. 解得x ＝±1.经检验，x ＝1不满足集合元素的互异性，而x ＝－1满足，所以x ＝－1.集合中元素的表示[学生用书P3]用适当的方法表示下列集合：(1)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (2)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根组成的集合； (3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； (4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【解】 (1)小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.故可用列举法表示为{3，5，7，11}．(2)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}．(3)集合的代表元素是点，可用描述法表示为{(x ，y )|x <0且y >0}．(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x ，y )，其中x ，y 满足y ＝x 2＋2x －10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2＋2x －10}．(5)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y ，是实数，故可用描述法表示为{y |y ＝x 2＋2x －10}．用描述法表示集合时，要认清代表元素的含义，弄清集合的属性，区分是数集、点集还是其他类型的集合．4.设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N .(1)试判断元素1，2与集合B 的关系； (2)用列举法表示集合B . 解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N . 当x ＝2时，62＋2＝32∉N .所以1∈B ，2∉B .(2)因为62＋x ∈N ，x ∈N ，所以2＋x 只能取2，3，6.所以x 只能取0，1，4.所以B ＝{0，1，4}．1．集合含义中的“研究对象”的理解集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．2．集合中元素的三个特性(1)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(2)互异性：对于给定集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1，2，3与3，2，1构成的集合是同一个集合．3．对符号“∈”与“∉”的理解(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．4．列举法表示集合时应注意的四点(1)集合中的元素可以是任何对象，如数、点、式子或其他的类型等．(2)元素之间没有顺序，但不能重复，也不能遗漏．(3)“{ }”本身带有“所有的…”或“…的全体(全部)”的意思，因此在花括号内表示内容时，应把“所有”“全体”或“全部”等词语删去．(4)用列举法表示有特殊规律的无限集时，必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号．5．描述法表示集合时应注意的三点(1)写清集合中的代表元素，可以是数、点、式子或其他类型．(2)说明该集合中元素具有的性质，如满足方程(组)、不等式(组)、函数或几何图形等．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．下列各组中M，P表示同一集合的序号是________．①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}；②M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}；③M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{x|x＝t2－1，t∈R}；④M＝{y|y＝x－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}．[解析] ①中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；②中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；④中，M是一次函数y＝x－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是一次函数y＝x－1，x∈R图象上所有点组成的集合．[答案] ③(1)本题易误选①或②，其原因是未理解清楚集合中元素代表什么，只注意形式基本相同，从而导致错误．(2)解答此类问题，要明确集合中的代表元素是数，还是有序实数对(点)，还是集合，或是其他形式．1．下列各组对象能构成集合的是( )A．平面直角坐标系内x轴上方的y轴附近的点B．大于－5且小于5的有理数C．新华书店中有意义的小说D．π(π＝3.141…)的近似值的全体解析：选B.A、C、D中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而B具有确定的标准，即“大于－5且小于5的有理数”．故能构成集合．2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )A．{x|－3<x<11，x∈Z}B．{x|－3<x<11}C．{x|－3<x<11，x＝2k}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}解析：选 D.偶数集为{x|x＝2k，k∈Z}，则大于－3且小于11的偶数所组成的集合为{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}．3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．解析：由题意知m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m＝3时，满足题意，故m＝3.答案：34．已知集合{x|x2－2x＋a＝0}＝∅，则实数a的取值范围是________．解析：Δ＝4－4a<0得a>1.答案：a>1[学生用书P77(单独成册)])[A 基础达标]1．下列各组对象中能构成集合的是( )A．2019年中央电视台春节联欢晚会中好看的节目B ．某学校高一年级高个子的学生 C.2的近似值D ．2018年全国经济百强县解析：选D.由于集合中的元素是确定的，所以D 中对象可构成集合．2．给出下列关系：(1)13∈R ；(2)5∈Q ；(3)－3∉Z ；(4)－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.13是实数，(1)正确；5是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－3是无理数，(4)正确．故选B.3．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形解析：选D.因为a ，b ，c ，d 为集合A 中的四个元素，故a ，b ，c ，d 均不相同，故选D. 4．设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选B.因为集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，所以M 中的元素有：5，6，7，8，共4个．故选B.5．已知M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }，N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }，则( ) A ．M 是有限集，N 是有限集 B ．M 是有限集，N 是无限集 C ．M 是无限集，N 是无限集 D ．M 是无限集，N 是有限集解析：选B.因为M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }＝{(2，2)，(5，0)}，所以M 为有限集．N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }中有无限多个点满足4x －3y ＝1，故N 为无限集．6．若集合{1，a ，b }与{－1，－b ，1}是同一个集合，则a 与b 分别为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－b 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－b ，b ＝－1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.当a ＝1，b ＝－1时，集合中有重复元素应舍去．故a ＝－1，b ＝0. 答案：－1，07．下列说法中①集合N 与集合N *是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________．解析：因为集合N *表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④8．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2，0，－2.即元素的个数为3. 答案：39．判断下列对象能否构成一个集合．如果能，请采用适当的方法表示该集合；如果不能，请说明理由．(1)小于5的整数；(2)高一年级体重超过75 kg 的同学； (3)方程x ＋y ＝3的非负整数解； (4)与π非常接近的有理数．解：(1)能．{x |x <5，x ∈Z }．(2)能．{高一年级体重超过75 kg 的同学}． (3)能．{(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)}．(4)不能构成集合．接近π的有理数界限不明确，不符合集合元素确定性的特点． 10．用适当的方法表示下列集合．(1)由x ＝2n ，0≤n ≤2且n ∈N 组成的集合； (2)抛物线y ＝x 2－2x 与x 轴的公共点的集合； (3)直线y ＝x 上去掉原点的点的集合．解：(1)列举法：{0，2，4}；或描述法{x |x ＝2n ，0≤n ≤2且n ∈N }． (2)列举法：{(0，0)，(2，0)}． (3)描述法：{(x ，y )|y ＝x ，x ≠0}．[B 能力提升]1．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B解析：选C.集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C.2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈N ，126－x ∈N ，则集合A 用列举法表示为________．解析：因为126－x∈N ，x ∈N ，所以6－x ＝1，2，3，4，6，得x ＝5，4，3，2，0.所以集合A ＝{0，2，3，4，5}．答案：{0，2，3，4，5}3．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，x ∈R }，a 为实数． (1)若A 是空集，求a 的取值范围； (2)若A 是单元素集，求a 的值；(3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．解：(1)若A 是空集，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝22－4a <0，所以a >1. (2)若A 是单元素集，则①当a ＝0时，此时A ＝{x |2x ＋1＝0，x ∈R }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12；②当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝22－4a ＝0，即a ＝1，此时A ＝{x |x 2＋2x ＋1＝0，x ∈R }＝{－1}．所以综合①②得a ＝0或a ＝1.(3)若A 中至多只有一个元素，则A 为空集或单元素集，所以a ＝0或a ≥1. 4．(选做题)设S 是由满足下列条件中的实数所构成的集合： ①1∉S ；②若a ∈S ，则11－a ∈S .请回答下列问题：(1)若2∈S ，则S 中必有另外两个数，求出这两个数； (2)求证：若a ∈S ，则1－1a∈S ；(3)在集合S 中，元素能否只有一个？若能，把它求出来；若不能，请说明理由．解：(1)因为2∈S ，2≠1，所以11－2＝－1∈S .因为－1∈S ，－1≠1，所以11－（－1）＝12∈S .因为12∈S ，12≠1，所以11－12＝2∈S . 所以集合S 中有另外两个数为－1和12. (2)证明：因为a ∈S ，所以11－a∈S ，所以11－11－a ∈S ，即11－11－a＝1－a 1－a －1＝1－1a ∈S (a ≠0)．若a ＝0，则11－a＝1∈S ，不合题意．所以若a ∈S ，则1－1a∈S . (3)集合S 中的元素不能只有一个．证明如下：假设集合S 中只有一个元素，则根据题意知a ＝11－a，即a 2－a ＋1＝0.因为Δ＝1－4<0，所以此方程无实数解，所以a ≠11－a. 所以集合S 中不能只有一个元素．。

数学1.1《集合的含义及其表示》教案(苏教版必修1)

1.1 集合的含义及其表示教学目标：1．使学生理解集合的含义，知道常用集合及其记法；2．使学生初步了解“属于”关系和集合相等的意义，初步了解有限集、无限集、空集的意义；3．使学生初步掌握集合的表示方法，并能正确地表示一些简单的集合．教学重点：集合的含义及表示方法．教学过程：一、问题情境1．情境．新生自我介绍：介绍家庭、原毕业学校、班级．2．问题．在介绍的过程中，常常涉及像“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念，这些概念与“学生×××”相比，它们有什么共同的特征？二、学生活动1．介绍自己；2．列举生活中的集合实例；3．分析、概括各集合实例的共同特征．三、数学建构1．集合的含义：一般地，一定范围内不同的．．．、确定的．．．对象的全体组成一个集合．构成集合的每一个个体都叫做集合的一个元素．2．元素与集合的关系及符号表示：属于∈，不属于∉．3．集合的表示方法：另集合一般可用大写的拉丁字母简记为“集合A 、集合B ”．列举法描述法图示法个体与群体群体是由个体组成自然语言描述如{15的正整数约数}数学语言描述规范格式为{x |p (x )}4．常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*，整数集Z，有理数集Q，实数集R．5．有限集，无限集与空集．6．有关集合知识的历史简介．四、数学运用1．例题．例1表示出下列集合：（1）中国的直辖市；（2）中国国旗上的颜色．小结：集合的确定性和无序性例2准确表示出下列集合：（1）方程x2―2x－3=0的解集；（2）不等式2－x＜0的解集；（3）不等式组2+3511xx>⎧⎨->⎩-的解集；（4）不等式组{⎩⎪⎨⎪⎧2x－1≤－33x＋1≥0的解集．解：略．小结：（1）集合的表示方法——列举法与描述法；（2）集合的分类——有限集⑴，无限集⑵与⑶，空集⑷例3将下列用描述法表示的集合改为列举法表示：（1）{(x，y)| x＋y = 3，x∈N，y∈N }（2）{(x，y)| y = x2－1，|x |≤2，x∈Z }（3）{y| x＋y = 3，x∈N，y∈N }（4）{ x∈R | x3－2x2＋x=0}小结：常用数集的记法与作用．例4完成下列各题：（1）若集合A＝{ x｜ax＋1＝0}＝∅，求实数a的值；（2）若－3∈{ a－3，2a－1，a2－4}，求实数a．小结：集合与元素之间的关系．2．练习：（1）用列举法表示下列集合：①{ x｜x＋1＝0}；②{ x｜x为15的正约数}；③{ x｜x为不大于10的正偶数}；④{(x，y)｜x＋y＝2且x－2y＝4}；⑤{(x，y)｜x∈{1，2}，y∈{1，3}}；⑥{(x，y)｜3x＋2y＝16，x∈N，y∈N}．（2）用描述法表示下列集合：①奇数的集合；②正偶数的集合；③{1，4，7，10，13}五、回顾小结（1）集合的概念——集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集；（2）集合的表示——列举法、描述法以及Venn图；（3）集合的元素与元素的个数；（4）常用数集的记法．六、作业课本第7页练习3，4两题．。

§1.1 集合及其表示法(1课时)教案

§1.1 集合及其表示法一、概念1、集合的概念在现实生活和数学中，我们常常把一些对象放在一起，作为一个整体来研究，例如：（1）崇明中学高中一年级全体学生；（2）NBA联赛参球队的全体；（3）所有的锐角三角形；（4）2,4,6,8,10；（5）不等式2x-3>1的解的全体我们常常把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集，通常用大写字母A、B、C……表示；集合中的各个对象叫做集合的元素，通常用小写字母a、b、c……表示。

如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作：“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作：“a不属于A”。

2、集合的本质属性1°确定性对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的。

也就是说，任何一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一。

例：下列各组对象的全体不能组成集合的是（D）（A）满足| x |＜3的整数；（B）方程x 2 +1=0的解；（C）本校高一年级身高在1.80米以上的同学；（D）很接近0的数。

[反思]：元素的确定性是判断一组对象的全体能否组成集合的决定性条件，出现“较快”、“很小”、“很高”等不确定的条件时，一组对象就不能组成集合；2°互异性对于一个给定的集合，集合中的元素是互不相同的。

也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现。

3°无序性对于一个给定的集合，集合中的元素是没有先后顺序的。

也就是说，集合中的元素地位是平等的、无序的，我们可以根据需要对它们进行任何一种排列。

3、集合的分类1°按照集合中元素的多少可以将集合分为有限集和无限集含有有限个元素的集合叫做有限集；含有无限个元素的集合叫做无限集。

特例：不含有任何元素的集合叫做空集，记作：Φ。

（空集是有限集）2°从集合元素的属性来看，集合有数集（元素为数），点集（元素为点），…等常见的类型。

1.1.1集合及其表示方法(讲义8大题型)(原卷版)

1.1.1集合及其表示方法1、准确理解集合与元素的含义及集合与元素的属于关系.2、在具体情境中，了解空集的含义，理解有限集与无限集；3、能利用集合元素的确定性、互异性、无序性解决一些简单问题；4、熟记常用数集的表示符号，通过常用数集准确把握元素与集合之间的关系.知识点1 集合的含义1、概念把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成的一个集合（有时简称集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．2、要点辨析（1）对象：现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的事和物等，都可以看作“对象”，即集合的元素，它具有广泛性，组成集合的对象可以是数、图形、人、物等．（2）集合：集合是一个原式的、不加定义的概念，就如几何重点、线、面一样无法被“定义”；（3）元素：具有共同特征或共同的属性的对象；（4）总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”的含义，因此，一些对象一旦组成集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个体．知识点2 元素与集合1、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ．（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A ． 2、集合中元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．注意：如果元素的界限不明确，即不能构成集合。

例如著名的科学家；比较高的人等（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．知识点3 集合的表示方法与分类1、常用数集及其记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法 N*N 或+NZQR2、集合的表示方法（1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．【注意】①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不能重复；④集合中的元素可以是任何事物．（2）描述法：一般地，设A 表示一个集合，把集合A 中所有具有共同特征P (x )的元素x 所组成的集合表示为{x ∈A |P (x )}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．【注意】①首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．②若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． ③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．（3）图示法：画一条封闭曲线，用它的内部表示集合． 3、集合的分类（1）一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅；（2）集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成含有0个元素的集合，所以空集是有限集． 4、集合相等给定两个集合A 和B ，如果组成他们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A =B ．知识点4 区间的概念1、一般区间的表示设a ，b 是两个实数，而且a <b ，我们规定：这里的实数叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.2可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示【常用方法技巧】b a ,1、判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2、元素与集合关系的判断方法（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．3、利用集合中元素的特异性求参数（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；（2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．4、集合与方程的综合问题（1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集．集合中的元素就是方程的实数根．（2）当方程中含有参数时，往往要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，有时还要进行分类讨论．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的特性．5、集合的新定义问题解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义。

苏教版数学高一- 必修1教师用书第1章集合

第1章集合1．1集合的含义及其表示(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．(2)初步了解“属于”关系的意义，理解集合相等的含义．(3)初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合．2．过程与方法(1)通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手正确地理解集合．(2)观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．(3)通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合，掌握集合的表示方法．3．情感、态度与价值观(1)了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．(2)在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力，初步培养学生实事求是、扎实、严谨的科学态度．●重点、难点重点：集合的含义及集合的表示方法．难点：集合的特征性质和概念以及运用特征性质用描述法表示一些简单的集合．(教师用书独具)●教学建议1．关于集合含义的教学建议教师在教学过程中通过大量具体实例，引导学生抽象出集合的含义，这样可以培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．2．关于元素、集合及其关系的表示的教学对于元素，集合的字母表示以及元素与集合之间的“属于”或“不属于”关系．建议教师让学生在具体运用中逐渐熟悉，对于常用数集的表示也要求学生记住．3．关于列举法和描述法表示集合的教学建议教师讲清元素不多的有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示，同时也要说明两种方法的优缺点．●教学流程创设问题情境，通过具体实例，引入两个集合的交集与并集的概念⇒引导学生借助Venn图，理解集合的交集与并集运算，并探究两种基本运算的性质。

⇒借助数轴直观表示，使学生理角区间的符合表示方法⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握集合交集运算的方法⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握集合并集运算的方法⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用交集、并集的性质求参数范围的方法⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正课标解读 1.理解集合的含义，知道常用数集及其记法(重点)．2．了解属于关系和集合相等的意义(重点)．3．了解有限集、无限集、空集的意义．4．掌握集合的表示方法——列举法、描述法和Venn图法，并能正确地表示一些简单的集合(重点、难点).集合的概念观察下面的语句(1)高一(2)班的女生；(2)方程x2－2＝0的所有实根；(3)2012年7月参加伦敦奥运会的代表团；(4)高一(2)班的所有帅哥；(5)高一(2)班的好学生．1．上面语句中女生、实根、代表团、帅哥、好学生哪些能被清晰的确定出来？【提示】女生、实根、代表团．2．以上语句中为什么有的不能确定？【提示】因帅哥、好学生标准无法确定．1．元素与集合的概念一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．元素与集合的符号表示通常用大写拉丁字母来表示集合，例如集合A、集合B等；通常用小写拉丁字母表示集合的元素，例如元素a，b等.元素与集合的关系某中学2013级高一年级的20个班构成一个集合，则高一(6)班是这个集合的元素吗？高二(3)班呢？【提示】高一(6)班是这个集合中的元素，高二(3)班不是．1．元素与集合的关系(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素．记作a∈A，读作“a属于A”．(2)不属于(符号：∉或∈)，a不是集合A中的元素，记作a∉A或a∈A.读作“a不属于A”．2．常用数集及符号表示数集名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号表示N N*或N＋Z Q R集合的表示方法观察下列集合(1)中国的直辖市．(2)12的所有正因数．(3)不等式x－2≥3的解集．(4)所有偶数的集合．1．上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗？【提示】(1)、(2)中元素可以一一列举出来，(3)、(4)中元素不能一一列举，因为它们中的元素有无穷多个．2．设(3)、(4)中元素为x，请用等式(或不等式)分别将它们表示出来．【提示】(3)中元素x≥5，(4)中元素x＝2n，n∈N.1．列举法将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内．用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关．2．描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．3．集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．集合的分类你班的学生人数可数吗？你能举出一个不可数的集合吗？【提示】可数自然数集．有限集：含有有限个元素的集合称为有限集．无限集：含有无限个元素的集合称为无限集．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅ .集合的有关概念下列每组对象能否构成一个集合？(1)所有的好人；(2)平面上到原点的距离等于2的点的全体；(3)正三角形的全体；(4)方程x2＝2的实数解；(5)不等式x＋1>0的所有实数解．【思路探究】看一组对象能否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的．【自主解答】“所有的好人”无确定的标准，因此(1)不能构成集合．而(2)(3)(4)(5)的对象尽管有点、图形、实数等不同之处，但它们是确定的．所以(2)(3)(4)(5)能构成集合．判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看能否找到一个明确的标准，来判断整体中的每一个对象是不是确定的，若元素是确定的，又能看做一个整体，便构成一个集合，否则，就不能构成集合，同时要兼顾集合中每个对象所代表的元素的无序性和互异性．下列对象：①不超过π的正整数；②高一数学课本中的所有难题；③所有的正三角形；④我国近代著名的数学家．其中能够构成集合的序号是________．【解析】由集合定义知①③中的对象可构成集合；②中的“难”与④中的“著名”都无明确的界限，不确定，所以不能构成集合．【答案】 ①③用列举法表示集合用列举法表示下列集合：(1)A ＝{x |－2≤x ≤2，x ∈Z }；(2)B ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2x ＋y ＝8，x －y ＝1； (3)M ＝{x |(x －2)2(x －3)＝0}；(4){自然数中五个最小数的完全平方数}； (5)P ＝{y |y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }．【思路探究】解答本题首先弄清集合中元素的性质特点，然后按要求改写．【自主解答】 (1)∵－2≤x ≤2，x ∈Z ， ∴x ＝－2，－1,0,1,2， ∴A ＝{－2，－1,0,1,2}．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝8，x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，∴B ＝{(3,2)}．(3)∵2和3是方程的根，∴M ＝{2,3}． (4){0,1,4,9,16}．(5)∵y ＝－x 2＋6≤6，且x ∈N ，y ∈N ， ∴x ＝0,1,2，y ＝6,5,2， ∴P ＝{6,5,2}．应用列举法应注意的问题：(1)用列举法表示集合，要注意是数集还是点集；(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．因此，判定集合是有限集还是无限集，选择适当的表示方法是关键．把本题(5)中集合P 改为“{(x ，y )|y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }”，求相应问题．【解】点(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2∴Q ＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．用描述法表示集合用描述法表示下列集合．(1)正奇数集；(2)使y ＝ 2 006x 2＋x －6有意义的实数x 的集合；(3)坐标平面内，在第二象限内的点所组成的集合； (4)坐标平面内，不在第一、三象限内的点所组成的集合．【思路探究】本题主要考查集合的表示方法，可以把自然语言转化为集合语言，用描述法表示出来．【自主解答】 (1){x |x ＝2n ＋1，n ∈N }，也可表示为{x |x ＝2n －1，n ∈N *}． (2){x |x ≠2且x ≠－3，x ∈R }． (3){(x ，y )|x <0且y >0，x ∈R ，y ∈R }． (4){(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }．使用描述法时，应注意六点： (1)写清楚集合中的代表元素； (2)说明该集合中元素的性质；(3)不能出现未被说明的字母；(4)多层描述时，应当准确使用“且”“或”；(5)所有描述的内容都要写在花括号内；(6)用于描述的语句力求简明、确切．用描述法表示下列集合：(1)偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)不等式2x－3<0的解集．【解】(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，所以偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈Z}．(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)不等式2x－3<0，即x<32，所以不等式2x－3<0的解集可表示为{x|x<32}.运用方程的思想解决集合相等问题(12分)已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}．若A＝B，求c的值．【思路点拨】要求c的值此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性、无序性列方程求解．【规范解答】①若a＋b＝ac且a＋2b＝ac2，消去b得：a＋ac2－2ac＝0，当a＝0时，集合B中的三个元素均为0，和元素的互异性相矛盾，故a≠0.∴c2－2c＋1＝0，即c＝1，但c＝1时，B中的三个元素相同，此时无解；②若a＋b＝ac2且a＋2b＝ac，消去b得：2ac2－ac－a＝0，∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，9分即(c－1)(2c＋1)＝0，又c≠1，故c＝－12. 11分综上所述，c＝－12.1．根据两集合中的元素完全相同，列出a，b，c满足的方程求解，这就是方程思想的应用．2．解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增根，这需要解题后进行检验．1．集合的概念可以从以下几个方面来理解：(1)集合是一个“整体”；(2)构成集合的对象必须具有“确定”且“不同”这两个特征．这两个特征不是模棱两可的．判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象，若鉴定对象确定的客观标准存在，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合．2．集合的表示方法：列举法简明、直观适用于元素个数较少的集合；描述法应用更广泛，多适用于元素个数有无穷多的集合．3．集合的分类：集合分为有限集和无限集，根据元素的特性，还可以分为数集、点集、图形集等．1．下列各组对象不能确定一个集合的是________．①某校高一年级开设的课程；②某校高一年级任教的教师；③某校高一年级1998年出生的学生；④某校高一年级比较聪明的学生．【解析】因为①②③中对象都是确定的，它们都能确定一个集合，而④中“比较聪明”没有明确的判断标准，故④不能确定一个集合．【答案】 ④2．下列关系式中，正确的序号是________．①a ∈{a ，b }；②0∈∅；③{x |x 2≤0}＝∅；④{x |x 2＋2x ＋5＝0}＝∅.【解析】空集不含任何元素，故②错；0∈{x |x 2≤0}，故③错；①④正确．【答案】 ①④3．下列叙述中，正确的个数是________．①1是集合N 中最小的数 ②若－a ∉N ，则a ∈N ③若a ∈N *，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2 ④方程x 2－4x ＝－4的解集为{2,2}．【解析】 N 中的最小数为0，故①错误；②可举反例：a ＝13，则－a ＝－13∉N ，但a ＝13∉N ，故②不正确；③可取a ＝1，b ＝0，则a ＋b ＝1，其最小值不为2，故③错；④方程的解集应为{2}，故④错．所以正确个数为0.【答案】 04．用适当的方法表示下列集合． (1)中国古代四大发明的集合； (2)由大于0小于2的实数组成的集合； (3)绝对值等于1的实数的集合； (4)方程x (x 2＋2x －3)＝0的解集； (5)不等式x 2＋2≤0的解集．【解】 (1)中国古代四大发明的集合可用列举法表示为{指南针，造纸术，火药，印刷术}．(2)由大于0且小于2的实数组成的集合用描述法可表示为{x |0<x <2}．(3)绝对值等于1的实数的集合用描述法可表示为{x ||x |＝1}，用列举法可表示为{－1,1}． (4)方程x (x 2＋2x －3)＝0的解集用描述法可表示为{x |x (x 2＋2x －3)＝0}，用列举法可表示为{－3,0,1}．(5)不等式x 2＋2≤0的解集为∅.一、填空题1．下列条件能形成集合的是________． (1)充分小的负数全体 (2)爱好飞机的一些人；(3)某班本学期视力较差的同学 (4)某校某班某一天所有课程．【解析】综观(1)(2)(3)的对象不确定，唯有(4)某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是(4)．【答案】 (4)2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝5的解集用列举法表示为________；用描述法表示为________．【解析】因⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝5的解集为方程组的解．解该方程组x ＝72，y ＝－32.则用列举法表示为{(72，－32)}；用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝2x －y ＝5.【答案】 {(72，－32)} ⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝2x －y ＝53．函数y ＝x 2－2x －1图象上的点组成的集合为A ，试用“∈”或“∉”号填空． ①(0，－1)________A ；②(1，－2)________A ； ③(－1,0)________A .【解析】把各点分别代入函数式，可知(0，－1)∈A ，(1，－2)∈A ，(－1,0)∉A .【答案】 ∈，∈，∉4．(2013·徐州高一检测)若一个集合中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则此三角形一定不是________三角形．(用“锐角，直角，钝角，等腰”填空)【解析】由集合中元素的互异性可知a ≠b ≠c ，故该三角形一定不是等腰三角形．【答案】等腰5．用描述法表示如图1－1－1所示中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是________．图1－1－1【解析】由图可知，所表示的集合为{(x ，y )|－2≤x ≤0，且－2≤y ≤0}．【答案】 {(x ，y )|－2≤x ≤0，且－2≤y ≤0}6．(2013·南京高一检测)若集合A ＝{x |3x －a <0，x ∈N }表示二元集，则实数a 的取值范围是________．【解析】由3x －a <0得，x <a 3，又x ∈N 且满足上述条件的只有两个元素，故1<a3≤2，解得3<a ≤6.【答案】 3<a ≤67．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz 的值所组成的集合是M ，则M ＝________.【解析】分四种情况讨论：x ，y ，z 中三个都为正，代数式的值为4；x ，y ，z 中两个为正，一个为负，代数式值为0；x ，y ，z 中一个为正、两个为负，代数式值为0；x ，y ，z 都为负数时代数式值为－4.∴M ＝{－4,0,4}．【答案】 {－4,0,4}8．设三元素集A ＝{x ，yx ，1}，B ＝{|x |，x ＋y,0}，其中x ，y 为确定常数且A ＝B ，则x 2013－y 2 013的值等于________．【解析】由题意，知{x ，yx，1}＝{|x |，x ＋y,0}．∵x≠0，∴yx＝0，即y＝0.又∵x≠1，且|x|＝1，∴x＝－1，∴x2 013－y2 013＝(－1)2 013－0＝－1.【答案】－1二、解答题9．用列举法表示下列集合：(1){y|y＝－x2－2x＋3，x∈R，y∈N}；(2)方程x2＋6x＋9＝0的解集；(3){20以内的质数}；(4){(x，y)|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}；(5){(x，y)}|x∈N，且1≤x<4，y－2x＝0}；(6){a|65－a∈N，且a∈N}．【解】(1)y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，即y≤4，又y∈N，∴y＝0,1,2,3,4.故{y|y＝－x2－2x＋3，x∈R，y∈N}＝{0,1,2,3,4}．(2)由x2＋6x＋9＝0得x1＝x2＝－3，∴方程x2＋6x＋9＝0的解集为{－3}．(3){20以内的质数}＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．(4)因x∈Z，y∈Z，则x＝－1,0,1时，y＝0,1，－1.那么{(x，y)|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}＝{(－1,0)，(0,1)，(0，－1)，(1,0)}．(5)当x∈N且1≤x<4时，x＝1,2,3，此时y＝2x，即y＝2,4,6，那么{(x，y)|x∈N且1≤x<4，y－2x＝0}＝{(1,2)，(2,4)，(3,6)}．(6)当a＝－1,2,3,4时，65－a分别为1,2,3,6，故{a|65－a∈N，且a∈N}＝{－1,2,3,4}．10．用描述法表示下列集合：(1)被5除余1的正整数集合；(2)大于4的全体奇数构成的集合；(3)坐标平面内，两坐标轴上点的集合；(4)三角形的全体构成的集合； (5){2,4,6,8}．【解】 (1){x |x ＝5k ＋1，k ∈N }； (2){x |x ＝2k ＋1，k ≥2，k ∈N }； (3){(x ，y )|xy ＝0，x ∈R ，y ∈R }； (4){x |x 是三角形}或{三角形}； (5){x |x ＝2n,1≤n ≤4，n ∈N }．11．已知p ∈R ，且集合A ＝{x |x 2－px －52＝0}，集合B ＝{x |x 2－92x －p ＝0}，12∈A ，求集合B 中的所有元素．【解】 ∵12∈A ，∴14－p 2－52＝0，∴p ＝－92.∴B ＝{x |x 2－92x ＋92＝0}．又方程x 2－92x ＋92＝0的两根为x ＝32或x ＝3.∴B ＝{32，3}.(教师用书独具)若集合A ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }，B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈Z }，M ＝{x |x ＝6n ＋3，n ∈Z }． (1)若m ∈M ，问是否有a ∈A ，b ∈B ，使m ＝a ＋b?(2)对于任意a ∈A ，b ∈B ，是否一定有a ＋b ＝m 且m ∈M ？证明你的结论．【思路探究】 (1)由m ∈M ，可写出m 的表达式，再根据A 、B 中元素特征，寻找a 、b ；(2)可先表示a 、b ，然后找a ＋b ，最后观察a ＋b 的形式．【自主解答】(1)由m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1，b＝3k＋2，则m＝a＋b.故若m∈M，一定有a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k、l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3.∴当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时有m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l ＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m使a＋b＝m成立．在探索过程中，要紧抓各集合元素的特征，利用构造法去寻找，同时注意分类讨论．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．【解析】∵P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴当a＝0且b＝1,2,6时，a＋b＝1,2,6；当a＝2且b＝1,2,6时，a＋b＝3,4,8；当a＝5且b＝1,2,6时，a＋b＝6,7,11.由上可知，只有一个相同的元素6，其他均不相同，故P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．其所含元素个数为8.【答案】81.2子集、全集、补集(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解集合之间包含的含义，能识别给定集合的子集．(2)理解子集、真子集的概念．(3)能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．2．过程与方法让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义．3．情感、态度与价值观(1)树立数形结合的思想．(2)体会类比对发现新结论的作用．●重点、难点重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．难点：难点是属于关系与包含关系的区别．(教师用书独具)●教学建议1．关于子集、真子集的概念，建议教师让学生从三个方面去理解它们．自然语言、符号语言、图形语言(Venn图)，特别是图形语言即Venn图表示可以形象直观地表示集合间的关系，故学时要让学生知道表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线．2．关于包含符号“⊆”的理解，建议教师提醒学生符号的方向不要搞错，如A⊆B与B⊇A是相同的，而A⊆B与A⊇B是不同的，同时强调“A⊆B”包含两层含义；即“A B”或“A＝B”．3．关于补集的教学建议教师讲解时：①充分利用Venn图的直观性引进概念，讲清概念的含义．②语言表述要确切无误．“∁U A是A在全集U中的补集”，不能把它简单地说成∁U A是A的补集，因为补集是在全集的前提下建立的概念，即补集是一个相对概念．4．关于全集的教学建议教师讲解时突出强调全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题则z为全集，而当问题扩展到实数集时，则R为全集．●教学流程创设问题情境，能过实例，引入子集、真子集、空集等概念及其表示法⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!错误!课标解读1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合间是否具有包含关系(重点)．2．了解全集与空集的含义，能在给定全集的基础上求已知集合的补集(重点)．3．能通过分析元素的特点判断集合间的关系，并能根据集合间的关系确定一些参数的取值(难点).子集的概念及其性质给出两个集合A＝{2,4}，B＝{1,2,3,4}．1．集合A中的元素都是集合B中的元素吗？【提示】是．2．集合B中的元素都是集合A中的元素吗？【提示】不全是．1．子集如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．可用Venn图表示为：子集的性质：(1)A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集．(2)∅⊆A，即空集是任何集合的子集．2．真子集的概念真子集：如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A B或B A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．补集、全集的概念A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{高一(1)班没有参加足球队的同学}，U＝{高一(1)班的同学}．1．集合A，B，U有何关系？【提示】U＝A∪B.2．B中元素与U和A有何关系？【提示】B中元素在U中不在A中．1．补集(1)定义：设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集．记为∁S A(读作“A在S中的补集”)．(2)符号表示∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．(3)图形表示：2．全集如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.子集、真子集的概念已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4}，写出集合M.【思路探究】可按集合M中含有元素的个数分类讨论求解．【自主解答】①若M中含有3个元素时，M为{1,2,3}和{1,2,4}．②若M中含有4个元素时，M为{1,2,3,4}因此满足条件的集合M有3个即{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．1．本类问题实质是考查包含于“⊆”和真包含于“”的运用，解答本题首先分清两符号的含义，确定集合中元素的个数然后进行分类讨论.2.求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集，其中空集和集合本身易漏掉．将本题中条件改为{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}如何求解？【解】①当M中含有2个元素时，M为{1,2}；②当M中含有3个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；③当M中含有4个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；④当M中含有5个元素时，M为{1,2,3,4,5}．∴满足条件的集合M为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．集合的补集已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，求集合B.【思路探究】先由集合A与∁U A求出全集，再由补集定义求出集合B，或利用Venn 图求出集合B.【自主解答】法一A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．法二借助Venn图，如图所示，由图可知B＝{2,3,5,7}．根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．(1)若U＝{1,2,3,4,5}，S＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，则∁U A＝________，∁S A＝________.(2)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|x>1}，则∁U A＝________.【解析】(1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，结合补集的定义可知∁U A＝{3,4,5}．同理可求，当S＝{1,2,3,4}时，∁S A＝{3,4}．(2)∵U＝{x|x≥－3}，A＝{x|x>1}，如图所示：∴∁U A＝{x|－3≤x≤1}．【答案】(1){3,4,5}{3,4}(2){x|－3≤x≤1}由集合间的关系确定参数的范围已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围．【思路探究】讨论集合B→列关于m的不等式(组)→求m的取值范围【自主解答】∵B⊆A，(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)当B≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m－1m＋1≤42m－1<m＋1，解得－1≤m<2，综上得m≥－1.1．解答本题注意不能忽视B＝∅的情形．当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．2．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．(2013·银川高一检测)设集合A＝{x|a－2<x<a＋2}，B＝{x|－2<x<3}，(1)若A B，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a使B⊆A?【解】 (1)借助数轴可得，a 应满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－2，a ＋2≤3，或⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－2，a ＋2<3，解得0≤a ≤1.(2)同理可得a 应满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤－2，a ＋2≥3，得a 无解，所以不存在实数a 使B ⊆A .子集、全集、补集的综合应用已知集合A ＝{x |x ≥m }，集合B ＝{x |－2<x <3}，(1)若全集U ＝R ，且A ⊆∁U B ，求m 的取值范围；(2)若集合C ＝{x |m ＋1<x <2m }，且C ⊆∁A B ，求m 的取值范围．【思路探究】 (1)先求∁U B ，再利用A ⊆∁U B 得m 的取值范围． (2)先求∁A B ，再利用C ⊆∁A B 得m 的取值范围．【自主解答】 (1)由题意知∁U B ＝{x |x ≤－2或x ≥3}， ∵A ⊆∁U B ，如图：∴m ≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)． (2)由题意知B ⊆A ，∴m ≤－2， ∴∁A B ＝{x |m ≤x ≤－2或x ≥3}，①若C＝∅，即m＋1≥2m，即m≤1时，m≤－2.②若C≠∅，即m＋1<2m，即m>1，与m≤－2矛盾，故此种情况不存在．综上，m的取值范围为(－∞，－2]．针对此类问题，已知补集之间的关系求参数的取值范围时，常根据补集的定义及集合之间的关系，并借助数轴．列出参数a应满足的关系式，具体操作时要注意端点值的“取”与“不取”．设全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，且B∁U A，求实数a的取值范围．【解】∵U＝R，A＝{x|x>1}，∴∁U A＝{x|x≤1}．∵x＋a<0，x<－a，∴B＝{x|x<－a}．又∵B∁U A，∴－a≤1，∴a≥－1.忽略空集的情形导致错误已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a的值．【错解】A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}．由于B⊆A，因此B＝{－1}或B＝{3}．当B＝{－1}时，由a×(－1)－2＝0，可得a＝－2；当B＝{3}时，由a×3－2＝0，可得a＝23.综上所述，实数a的值为－2或23.【错因分析】B为空集时，显然也满足已知条件．解题时，需注意空集是任何一个集合的子集(这个“任何一个集合”当然也包含空集本身)，是任何非空集合的真子集．【防范措施】根据“A⊆B”条件，在求相关参数值时，不可忽视集合A可以为空集这个特殊情况，同时还要进行检验，看是否满足元素的互异性．【正解】A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}．当B≠∅时，由于B⊆A，因此B＝{－1}或B＝{3}．①当B＝{－1}时，由a×(－1)－2＝0，可得a＝－2；②当B＝{3}时，由a×3－2＝0，可得a＝23.当B＝∅时，ax－2＝0无解，可得a＝0.综上所述，实数a的值为－2或2或0.31．正确地理解子集、真子集的概念：如果A是B的子集(即A⊆B)，那么有A是B的真子集(A B)或A与B相等(A＝B)两种情况．“A B”和“A＝B”二者必居其一．反过来，A是B的真子集(A B)也可以说A是B的子集(A⊆B)；A＝B也可以说成A是B的子集(A⊆B)．2．用Venn图表达集合与集合之间的关系，直观、方便，尤其是抽象集合之间关系的问题，常用Venn图求解．3．全集为研究一个问题的所有元素的全体，即该问题所涉及的元素的范围，是一个相对的概念，全集因问题的不同而异．4．补集与全集密不可分．同一集合在不同全集下的补集是不同的，因而说集合的补集的前提是必须先明确全集，一个集合与它的补集是互为补集的关系，补集也是一种思想，是一种思考和处理问题的思维方式．1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，则∁U A＝________.【解析】根据补集的定义，可知∁U A＝{1,3,6,7}．【答案】{1,3,6 ,7}2．集合A ＝{0,1,2}的真子集个数是________．【解析】集合A ＝{0,1,2}的真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}，{0,2}共7个．【答案】 73．设x 、y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx ＝1}，则A 、B 的关系是________．【解析】 ∵B ＝{(x ，y )|yx ＝1}＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，故B A .【答案】 B A4．已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}． (1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若全集U ＝R ，且A ⊆∁U B ，求a 的取值范围．【解】 ∵A ＝{x |－4≤x ≤－2}，B ＝{x |x ≥a }． (1)由A ⊆B ，结合数轴(如图所示)．可知a 的范围为a ≤－4.(2)∵U ＝R ，∴∁U B ＝{x |x <a }，要使A ⊆∁U B ，结合数轴(如图所示)．只需a >－2.一、填空题1．下列命题中正确的个数为________． (1)空集没有子集；(2)任何集合至少有两个子集；(3)空集是任何集合的真子集；(4)若∅A，则A≠∅.【解析】(1)不正确，∅⊆∅；(2)不正确，∅只有一个子集；(3)不正确，∅没有真子集；(4)正确，理由同(3)．【答案】 12．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁U A＝________.【解析】如图所示：∁U A＝{x|x<1}．【答案】{x|x<1}3．设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x－a≥0}，若A B，实数a的取值范围为________．【解析】B＝{x|x≥a}，∵A B，∴结合数轴可得a≤1.【答案】a≤14．设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A B则实数a的取值范围是________．【解析】利用数轴易知应有a≥2.【答案】a≥25．已知集合A＝{1,3，－a3}，B＝{1，a＋2}，若B⊆A，则实数a＝________.【解析】∵B⊆A，∴a＋2＝3或a＋2＝－a3，解得a＝1或a＝－1，由互异性舍去a ＝－1，∴a＝1.【答案】 16．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁U A＝______.【解析】若x＝2，则x2－2＝2，此时U＝{1,2,2}与互异性矛盾，不成立，所以x≠2.从而只能有x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．当x＝－1时，U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，所以∁U A ＝{2}．【答案】 {2}7．集合A {0,1,2,3}，且A 中的元素至少有一个奇数，这样的集合有________个．【解析】含有一个元素时：{1}，{3}；含有两个元素时：{0,1}，{1,2}，{0,3}，{2,3}，{1,3}；含有三个元素时：{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{1,2,3}；含有四个元素时：{0,1,2,3}．【答案】 128．(2013·徐州高一检测)若非空集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |x <3或x >22}，则能使A ⊆∁R B 成立的所有a 的集合是________．【解析】 ∵B ＝{x |x <3或x >22}， ∴∁R B ＝{x |3≤x ≤22}．又∵A ≠∅且A ⊆∁R B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －5≥2a ＋1，3a －5≤22，2a ＋1≥3，∴6≤a ≤9.【答案】 {a |6≤a ≤9} 二、解答题9．已知{a }⊆A ⊆{a ，b ，c }，求所有满足条件的集合A . 【解】 A 中含有一个元素时，A 为{a }， A 中含有两个元素时，A 为{a ，b }，{a ，c }， A 中含有三个元素时，A 为{a ，b ，c }．所以满足条件的集合A 为{a }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，b ，c }． 10．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，求实数m 的值．【解】 ∵∁U A ＝{1,2}，U ＝{0,1,2,3}，∴A ＝{0,3}， ∴0,3是方程x 2＋mx ＝0的两根，∴m ＝－3.11．设全集U ＝R ，A ＝{x |3m －1<x <2m }，B ＝{x |－1<x <3}，若A ∁U B ，求实数m 的范围．【解】由题意知，∁U B ＝{x |x ≥3或x ≤－1}， (1)若A ∁U B ，且A ≠∅，则3m －1≥3或2m ≤－1， ∴m ≤－12或m ≥43.又A ≠∅，∴3m －1<2m ，∴m <1，即m ≤－12.(2)若A ＝∅，则3m －1≥2m ，m ≥1，综上所述：m ≤－12或m ≥1.(教师用书独具)若方程x 2＋x ＋a ＝0至少有一个根为非负实数，求实数a 的取值范围．【思路探究】该题中“至少有一个根为非负实数”种类多，较复杂，但其反面为“无非负实根”的情况较简单．这正是运用补集的思想解题．【自主解答】若方程x 2＋x ＋a ＝0无非负实根，即方程无实根或有两个负根，则有： ①方程无实根， Δ＝1－4a <0，解得a >14.②方程有两个负根，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4a≥0，x1＋x2＝－1<0，x1x2＝a>0.解得0<a≤14.综上所述，满足题意的a的取值范围是{a|a≤0}．若集合A＝{x|x2＋x＋m＝0，x∈R}至少含有一个元素，求m的取值范围．【解】当集合为∅时，方程x2＋x＋m＝0无解，即Δ＝1－4m<0，解得m>14.所以，当集合{x|x2＋x＋m＝0，x∈R}至少含有一个元素时，实数m的取值范围为{m|m≤14}．当题设条件中含有“至少”“至多”等词语且包含的情况较多时，在解答过程中往往进行分类讨论，为了避免分类讨论，我们可以利用补集思想来求解，即采用“正难则反”的原则从问题的对立面出发，进行求解，最后取相应的集合的补集．1．3交集、并集(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．(2)能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．。

集合概念及表示方法(教师版)

1.1集合的概念及表示方法一、教学目标：1、了解集合、元素的概念，掌握集合中元素的三大特征；2、理解元素与集合的“属于”与“不属于”的关系；3、了解集合的表示方法并能选择恰当的方法表示集合；二、教学重难点：教学重点：集合的基本概念与表示方法。

教学难点：集合的表示方法并选择恰当的表示方法。

三、新课引入引入：接下来的课程要坐很久，老师建议我们整个小班同学集合起来，小小的运动一下，简单的头部运动、伸展运动；提出问题：要求运动的对象是？四、知识呈现1、集合概念：一些研究对象的总体.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

【老师口头阐述】：（1）游戏：各种QQ头像混在一起（有人物的、动物的）；创造集合并说明（多种）（2）判断以下是否组成集合。

（1）大于3小于11的偶数；（2）非负奇数；x+=的解；（3）方程210（4）巴蜀校2012级新生；（5）血压很高的人；（6）著名的数学家；2、关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。

3、元素与集合的关系集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：a∉A 【老师口头阐述】例：我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4∉A ，等等。

重庆主城中考考试科目组成的集合A ；计算机 A 。

所有亚洲国家组成的集合B ；中国 B ，美国 B ；印度 B ，英国 B 。

高中数学—01-集合的概念与表示、集合间的关系—教师版

集合的概念与表示、集合间的关系知识梳理一、集合及其表示方法（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

（3）表示方法：1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。

通常元素个数较少时用列举法。

2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

格式：{x| x 满足性质p}。

如：集合}1|),{(2+=x y y x（4）分类：1）有限集：含有有限个元素的集合。

2）无限集：含有无限个元素的集合。

3）空集：我们把不含任何元素的集合，记作φ。

注意：{0}和φ是不同的。

{0}是含有一个元素0的集合，φ是不含任何元素的集合。

（5）性质：1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。

2）互异性：集合中的元素没有重复。

3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）。

（6）常用数集及记法：1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {}Λ,3,2,1*=N 3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,5）实数集：全体实数的集合记作R（7）元素对于集合的隶属关系1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉二、集合之间的关系1、子集：定义：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，此时我们称A 是B 的子集。

1.1集合的概念第2课时集合的表示方法课件(人教版)

核心素养
1.会用列举法表示有限集．
1.数学抽象：列举法、描述法表示
2.理解描述法的格式及其适用情况，集合．
并会用描述法表示相关集合．
2.数学运算、直观想象：用描述法
3.学会在集合的不同表示法中作出选表示的集合转化为用列举法表示的
择和转换．
集合．
【解】若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0，当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}．当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0时方程解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
解：当 a＝0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0，即 2x＋1＝0，解得 x＝－12 .此时 A＝－12 ；当 a≠0 时，若集合 A 中有且只有一个元素，则方程 ax2＋2x＋1＝0 有两个相等的实数根，所以Δa≠＝04，－4a＝0，解得 a＝1，此时 A＝{－1}．综上，当 a＝0 或 a＝1 时，集合 A 中有且只有一个元素，所以 a 的值组成的集合 B＝{0，1}．
(2)方程组
2x＋y＝8， x－y＝1
的解组成的集合 B.
解：解方程组2xx－＋y＝y＝18，
x＝3，得y＝2，
所以 B＝{(3，2)}．
新知探究：集合的表示方法
思考 (1)你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗?
“10以内能被3整除的所有自然数”
(2)你能用列举法表示不等式 x-7<3的实数解集吗? 满足“x<10”的实数有无数个，无法一一列举.
(2)3和4的所有正的公倍数构成的集合；解：3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x ＝12n，n∈N*}．

高教版数学基础模块上第一章《1.1集合及其表示(2课时)》

高教版数学基础模块上第一章《1.1集合及其表示》
授课时长： 2 课时
授课类型：新授课
教学目标
通过从具体问题中抽象出元素与集合等相关概念，能举例说明什么是集合，什么是集合的元素，能判断给定对象是否组成集合，知道常用数集的表示符号,知道列举法、描述法的一般格式，能选择合适的方法表示给定集合,逐步提升数学抽象等核心素养.逐步提升数学抽象等核心素养；能判断给定元素与集合之间的关系，并能用“∈”或“∉”表示，逐步提升逻辑推理等核心素养.
教学重点：元素与集合之间的关系、集合的描述法.
教学难点：空集的理解、用描述法表示集合．
1.1.1 集合的概念
例2. 方程x2=4 的所有实数解组成的集合为A，则
-2_____A，5_____A（用符号“∈”或“∉”填空）．
解法分析：
含有有限个元素的集合称为有限集.不含任何元素的集合称为空集，记作∅，空集也是有限集.
含有无限个元素的集合称为无限集.
由数组成的集合称为数集.
例如，例1(1)和(2)，小于 6 的所有自然数组成的集合和方程x2+3x−4=0 的所有实数解组成的集合都是有限集.
又例如，例1(3)所有的平行四边形组成的集合，不等式x−3<0 的所有解组成的集合都是无限集.
数学中一些常用数集及其记法：
1.1.2集合的表示法。

1.1 集合的表示方法(教学课件)

概念剖析
想一想
（1）你能用自然语言描述集合 0,3,6,9 吗？
（2）你能用列举法表示不等式 − 7 < 3的解集吗？
概念剖析
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征 ()的元素
所组成的集合表示为：
{ ∈ |()}
这种表示集合的方法称为描述法.
概念剖析
集合的表示
描述法 {│元素的特征}
列举法
在大括号“{ }”中，把集合中元素一一列举出来
1，3，6，7
2，4，6，8， …
概念剖析
【例1】用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合； = {0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9}
（2）方程 2 = 的所有实数根组成的集合. = {0, 1}
1.1 集合的表示
●
高一 ·数学
● RJ ·必修第一册
概念剖析
教学目标
1.理解并掌握集合的表示方法：列举法和描述法，图示法
2.能灵活应用集合的表示方法
集合的表示
概念剖析
从之前的例子中我们看到，我们都是用自然语言来表示集合的，不
等式2＋3 < 15的所有实数解构成的集合，这个集合的元素是什么？
3.图示法：
10

概念剖析
课堂练习
课本P5，练习第3题,习题1，2
概念剖析
小结
知识梳理
(1)列举法
(2)描述法
(3)图示法
用数轴表示集合.
(4)自然语言法
用Байду номын сангаас字叙述的形式来描述集合.
下课啦
THANKS
（1）方程 2 − 2 = 0的所有实数根组成的集合A；

中职数学1.1集合及其表示方法(教案)

（3）绝对值为10的数组成的集合
（4）5x-1>10的解组成的集合
3.复习指导A
1.教师引导学生思考集合之间的几种运算
1.在老师的引导下回忆集合之间的集中运算关系和具体的内容
2.通过相关练习巩固对集合之间运算的理解
25——分钟
1.集合的定义
2.集合的特性
3.元素与集合之间的关系
4.集合的表示方法
教材第8页，第2题
1.列举法:在花括号内，一一列举集合的元
素;
例3：1—5这5个整数组成的集合
解：{1,2,3,4,5}
中国四大发明组成的集合
解：{指南针、造纸术、印刷术、火药}
练习：（1）四大文明古国组成的集合
（2）大于0小于10的偶数组成的集合
2.描述法:{代表元素|元素所具有的特性
质}。
例4：不等式x-1<5的所有解组成的集合
3.集合的特征
确定性：必须是确定的语言，不能模糊。
互异性：不能有重复的。
无序性：只要是所有的元素，顺序无所谓。
例2：判断是否属于集合
（1）所有漂亮的人
（2）中国著名的科学家
（3）比1小的数
（4）比你年长的人
4.常用的几种集合：
自然数集：0、1、2、3……N
正整数：1、2、3……N+
整数集：……-2、-1、0、1、2、3……Z
解：用性质描述法为{x|x<6}
偶数组成的集合为：
解：{x|x=2n，n Z}
练习：（1）所有奇数组成的集合
（2）不等式4x-5<3的解的全体组成的集合。
（3）课本第五页所有题
1.教师引导学生理解集合的两种表示方法。并用立体进行讲解。
2.老师根据学生的做题，进行提问，考察学生的掌握情况。

2020高中数学第一章集合与常用逻辑用语 1.1.1 集合及其表示方法教学设计(2)第一册

1.1。

1集合及其表示方法集合论是现代数学的一个重要的基础．在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础．课本从学生熟悉的集合(自然数的集合等）出发，结合实例给出元素、集合的含义，体现逻辑思考的方法，如抽象、概括等．【教学目标】在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具，本节可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流,积累数学抽象的经验。

【数学抽象】了解集合、元素的概念,体会集合中元素的三个特征；【数据分析】理解元素与集合的"属于”和"不属于”关系;【数学运算】掌握常用数集及其记法；【逻辑推理】掌握集合的表示方法；【教学重点】1、掌握集合、元素的基本概念2、学会用描述法表示集合3、用区间表示集合【教学难点】1、集合中元素的三个特征2、空集的理解3、记住几种常见的数集符号由于本小节的新概念、新符号较多，建议教学时教师给出问题,让学生读后回答问题，再由教师给出评价．这样做的目的是培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．在处理集合问题时,根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述．【新课导入】在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类。

例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类?你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类.【新课讲授】一、集合的概念在数学中,我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类。

把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素。

集合通常用英文大写字母A，B,C，。

.表示，集合的元素通常用英文小写字母a，b，c，..。

表示.如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”;如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A".【尝试与发现】你能举出几个用集合表达的、与数学有关的例子吗？指出例子中集合的元素是什么。