线性代数课件2-3
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《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
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感谢观看
特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
线性代数 2-3可逆矩阵
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A O 例13 (02考研): 设A,B为n阶方阵, C , O B *
则C的伴随矩阵C ＝( D )
( A) (C ) AA O
A B O
O BB O BA
B B ( B) O
X A1CB 1
3 2 1 1 3 3 1 2 1 3 5 3 2 0 10 4 2 2 5 2 10 4 3 1 1 1 1
x1 y1 3 y2 2 y3 3 5 x2 y1 3 y2 y3 2 2 x3 y1 y2 y3
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例11(05考研):设A,B,C 均为n阶矩阵, 若B＝E＋AB, 解：
C＝A＋CA，求B－C. 由 B＝E＋AB 得: ∴(E－A)B＝E 由C＝A＋CA得: B－AB＝E ∴ B＝(E－A)-1 C－CA＝A
解:
1
0
2
即AX＝B
∴A可逆
A 1 2 3 1 0 0 1 1
X＝A-1B
即： x1 1
2 x 1 2 3 2 x 0 1 1 3 0
1
1 1 2 4 1 5 0 1 1 1 0 2 1 1 1 2 1 3
A B 2B (2)4 B 16 ( 3) 48
B A 3 A (3) A 27 2 54
3
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A O 例13 (02考研): 设A,B为n阶方阵, C , O B *
则C的伴随矩阵C ＝( D )
( A) (C ) AA O
A B O
O BB O BA
B B ( B) O
X A1CB 1
3 2 1 1 3 3 1 2 1 3 5 3 2 0 10 4 2 2 5 2 10 4 3 1 1 1 1
x1 y1 3 y2 2 y3 3 5 x2 y1 3 y2 y3 2 2 x3 y1 y2 y3
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例11(05考研):设A,B,C 均为n阶矩阵, 若B＝E＋AB, 解：
C＝A＋CA，求B－C. 由 B＝E＋AB 得: ∴(E－A)B＝E 由C＝A＋CA得: B－AB＝E ∴ B＝(E－A)-1 C－CA＝A
解:
1
0
2
即AX＝B
∴A可逆
A 1 2 3 1 0 0 1 1
X＝A-1B
即： x1 1
2 x 1 2 3 2 x 0 1 1 3 0
1
1 1 2 4 1 5 0 1 1 1 0 2 1 1 1 2 1 3
A B 2B (2)4 B 16 ( 3) 48
B A 3 A (3) A 27 2 54
3
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线性代数1同济五版课件2-3
A A 1 .
1
1
AB B 1 A1 ABB 1 A1 AEA1 证明
AA E ,
1
A B 1 1 B 1 A
AB B 1 A1 .
1
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
下页
推广
A1 A2 Am1 Am1 A21 A1.1
AB BA E ,
B是A的一个逆矩阵.
即
1 2 1 2 A 1 2 1 2 .
1
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说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E , AC CA E ,
可得 B EB CAB C AB CE C . 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即
AA A A E , 则称A 为A的可逆矩阵。
1 1 1
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二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个 n 阶矩阵 B
,使得
AB BA E ,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A1 .
例
1 1 1 2 1 2 , B , 设 A 1 1 1 2 1 2
1
1
1 3 1 4 2 3 1 3 1 13 75 30 1 2 1 0 1 5 1 2 1 9 52 21 . 1 5 2 2 1 1 1 5 2 21 120 47
T
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
例如，设实数k=2，矩阵A=[1 2; 3 4]，则kA=[2 4; 6 8]。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
线性代数第三章2-3节课件
3 2 5 1 6 1 r 3 2 6 0 4 1 ~ B A0 0 2 0 5 0 0 4 1 6 1 0 0 0
R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式
3
6 11 3 2 6 6 0 11 2 16 0 2 5 2 0 5 2 0 5
证明：因为 (A＋E)＋ (E－A) = 2E， 由性质“R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ”有 R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E) = n ． 又因为R(E－A) = R(A－E)，所以 R(A＋E)＋R(A－E)≥n ．
例：若 Am×n Bn×l = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ．
§2 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
k k 显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm 个． Cn
可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵． 当|A| = 0 时， R(A) < n ;
不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵．
若 A 为 m×n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ． R(AT) = R(A) ．
a11 A a21 a 31
a12 a13 a22 a23 a32 a33
a14 a24 a34
a11 a12 T A a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
矩阵 A 的一个 2 阶子式
线性代数 2_3向量组的秩
可由向量组： 可由向量组：
（I） ） （II） ）
β 1 , β 2 ,L , β t
）
线性表示，则必有（ C 线性表示，则必有（
A．s≤t ． B．s>t ． C． r（Ⅰ）≤r（Ⅱ） ． （ （ D． r（Ⅰ）>r（Ⅱ） ． （ （
即课后21题的结论 【注】可以作为结论使用(即课后 题的结论 ： 可以作为结论使用 即课后 题的结论)： 可被(Ⅱ 线性表示 线性表示， 若(Ⅰ)可被 Ⅱ)线性表示，则 r(Ⅰ)≤r(Ⅱ). Ⅰ 可被 Ⅰ Ⅱ
证明: α 1 , L , α s 与 β 1 ,L , β s 有相同的秩. 有相同的秩. 证明: 解析 证两向量组等价,则秩相等. 证两向量组等价,则秩相等.
15
下列两向量组是否等价？ 例3 下列两向量组是否等价？
0 1 1 1 1 0 β1 = 1 , β 2 = 0 , β 3 = 1 α1 = 2 , α 2 = 0 , α 3 = 2 与 1 1 0 3 1 0
11
5、向量组的秩(rank) 、向量组的秩 定义 向量组 α 1 , α 2 , L , α s的极大无关组所 含向量的个数，称为向量组的秩（ 含向量的个数，称为向量组的秩（rank），记做 向量组的秩 ）
r (α 1 , α 2 ,L , α s )
向量的向量组， 【重要结论】(1) 仅含 向量的向量组，秩为 。 重要结论】 仅含O向量的向量组 秩为0。
②等价的向量组有相同的线性关系吗？ 等价的向量组有相同的线性关系吗？
不一定，请举例。 不一定，请举例。
如何求一个向量组的秩，将在§2.4介绍 介绍。 ③如何求一个向量组的秩，将在§2.4介绍。
（I） ） （II） ）
β 1 , β 2 ,L , β t
）
线性表示，则必有（ C 线性表示，则必有（
A．s≤t ． B．s>t ． C． r（Ⅰ）≤r（Ⅱ） ． （ （ D． r（Ⅰ）>r（Ⅱ） ． （ （
即课后21题的结论 【注】可以作为结论使用(即课后 题的结论 ： 可以作为结论使用 即课后 题的结论)： 可被(Ⅱ 线性表示 线性表示， 若(Ⅰ)可被 Ⅱ)线性表示，则 r(Ⅰ)≤r(Ⅱ). Ⅰ 可被 Ⅰ Ⅱ
证明: α 1 , L , α s 与 β 1 ,L , β s 有相同的秩. 有相同的秩. 证明: 解析 证两向量组等价,则秩相等. 证两向量组等价,则秩相等.
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下列两向量组是否等价？ 例3 下列两向量组是否等价？
0 1 1 1 1 0 β1 = 1 , β 2 = 0 , β 3 = 1 α1 = 2 , α 2 = 0 , α 3 = 2 与 1 1 0 3 1 0
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5、向量组的秩(rank) 、向量组的秩 定义 向量组 α 1 , α 2 , L , α s的极大无关组所 含向量的个数，称为向量组的秩（ 含向量的个数，称为向量组的秩（rank），记做 向量组的秩 ）
r (α 1 , α 2 ,L , α s )
向量的向量组， 【重要结论】(1) 仅含 向量的向量组，秩为 。 重要结论】 仅含O向量的向量组 秩为0。
②等价的向量组有相同的线性关系吗？ 等价的向量组有相同的线性关系吗？
不一定，请举例。 不一定，请举例。
如何求一个向量组的秩，将在§2.4介绍 介绍。 ③如何求一个向量组的秩，将在§2.4介绍。
《线性代数》教学课件—第1章 行列式 第一节 二阶与三阶行列式
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
, .
（１）
解 用加减消元法，可得
((aa1111aa2222
a12 a21 ) x1 a12 a21 ) x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 - a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
xxaa122211
aa12b2b2 1,2
, D. 1
b1 b2
（aa1222１, ）D2
a11 a21
b1 , b2
a11 a 21
xx则11 当aaＤ1222
xx22０时bb，12 方,. 程组
（１）
有唯一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
.
x1 b1a22例１a12求b2解线, 性方程组
注意：Ｄ称为系数 行数列项b式1,，b2Ｄ替j换是Ｄ用中常
的第 j 列 (j=1,2).
二、三阶行列式
引例 2 用消元法解关于 x,y,z 三元线性方
程组
ax by cz d , ex fy gz h , ix jy kz l .
解
为了记忆三元线性方程组的求解公式,可引入
三阶行列式. 三阶行列式的定义如下:
定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21a2a21, .（２）
为了记忆该公式，引入记号
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元 素， aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位 置，第一个下标称为行标，表示该元素所在的行， 第二个下标称为列标，表示该元素所在的列，常 称 aij 为行列式的(i , j )元素或元．
线性代数二阶三阶行列式PPT讲稿
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）
的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 a A i2 j2 a A in jn 0, i j .
四、行列式的计算
1、将行列式化成三角行列式计算 例１ 计算行列式
1 5 3 3 2 0 1 1 D 3 1 1 2 5 1 3 4
a2 j
a2 j
an1 (ani kanj ) anj anj
利用行列式的上述性质，往往可以使 行列式的计算简化，但我们知道阶数越低 的行列式越容易计算。比如二阶行列式比 三阶行列式要容易计算得多。因此，我们 自然地提出，能否把行列式转化为一些阶 数较低的行列式来计算？为此先给出余子 式和代数余子式的概念。
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
ai1 ai2 ain
k 0.
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和.
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
例如
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以
同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行
列式不变．
a11 a1i a1 j a1n
例如
a21 a2i k a2 j a2 j
an1 ani anj anj a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n
ri
krj
a21
(a2i ka2 j )
解
1 5 3 3
1 5 3 3
2 D
3
0 1 1 0 r2 2r1 10 5 5
线性代数2_3逆矩阵
又因为
0 −1 B= 1 2
AB
BA
2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
所以
0 − 1 A = . 1 2
《线性代数》
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结束
2. 可逆矩阵的定义 定义1 对于n阶矩阵 阶矩阵A，如果存在n阶矩阵 阶矩阵B， 定义 对于 阶矩阵 ，如果存在 阶矩阵 ，使得 AB=BA=E， = = ， 那么矩阵A称为可逆矩阵， 称为可逆矩阵 称为A的逆矩阵 那么矩阵 称为可逆矩阵，而B称为 的逆矩阵. 称为 的逆矩阵. 定理1 如果矩阵A可逆 可逆， 的逆矩阵是唯一的. 定理 如果矩阵 可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 的逆矩阵是唯一的 即若AB= = = A的逆矩阵记为 −1 . 即若 =BA=E ，则B=A−1 . 的逆矩阵记为A 的逆矩阵记为 由于A， 位置对称 位置对称， 互逆， 由于 ，B位置对称，故A，B互逆，即B=A−1， A=B−1. 如 ， 互逆 = ， =
2a + c = 1, 2b + d = 0, ⇒ − a = 0, − b = 1,
《线性代数》
a = 0, b = −1, ⇒ c = 1, d = 2.
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0 −1 ∴B = 1 2
结束
例1
设
2 A= −1
1 , 求 A 的逆阵 . 0
逆矩阵(inverse matrix) 第3节 逆矩阵
3.1 逆矩阵的定义 3.2 方矩阵可逆的充分必要条件 3.3 可逆矩阵的性质 3.4 用逆矩阵求解线性方程组 3.5 用逆矩阵求解矩阵方程 3.6 伴随矩阵的常用性质
线性代数第二章矩阵及其运算2-3
二、逆矩阵的概念
定义 7 设 Ａ是 n 阶方阵，若存在 n 阶方
阵Ｂ，使得 AB＝BA＝E （３） 则称矩阵 A 可逆，且称 B 是 A 的逆矩阵，记作 B＝A－１．
如果不存在满足（３）的矩阵 B，则称矩阵
A 是不可逆的．
现在的问题是，矩阵 A 满足什么条件时可逆？ 可逆方阵的逆阵是否唯一，如何求逆阵？可逆 矩阵有什么性质？这是本节要讨论的问题．
A A 2E O,
2
4 移项 得 A 1 1 分解因式 得
2 1 2
3 2 A 2E, A AB A 2 B, 求 B. 0 , AB A 2 B, 求 B. 3
A( 得 解 已知方程变形A E) 2E,
例 3 设 n 阶矩阵 A, B, A + B 均可逆, 证明
练习： 设n阶方阵A满足A2+2A-4E=0，则必有( A) A=E C) A-E可逆 B)A=-3E D) A+3E不可逆 )
解答：因为A与E是可交换的，依题意可得： A2+2A-4E=0 A2+2A-3E=E (A-E)(A+3E)=E， 根据逆矩阵的定义，(A-E)与(A+3E)互逆。故选C
伴随矩阵法.
练习： A,B均为n（n≥3）阶方阵，且AB=0，则A与B（ A) 均为零矩阵 C) 至少有一个奇异阵 B) 至少有一个零矩阵 D) 均为奇异阵 ）
解答：可以等式两边同取行列式 AB=0 |AB|=0 |A||B|=0，故选C
练习： A,B,C为同阶方阵，A可逆，则下列命题正确的是( A) 若AB=0，则B=0 C) 若AB=CB,则A=C 解答：可以等式两边同乘A-1 AB=0 A-1AB = A-10 EB=0，故选A B)若BA=BC,则A=C D) 若BC=0,则B=0或C=0 )
线性代数2-3逆矩阵
b ( ax b x a )
A可逆 Y AX 可逆
求 出 A-1, 则 X = A-1Y
( ii ) A可逆 A 1可逆， ( A 1 ) 1 A; 由定义和条件 1 ( iii ) AB E (or BA E ) B A ; T 1 1 T T (iv ) A可逆时, A 也可逆, 且 ( A ) ( A ) ;
若有 从 y1, y2 ,…, yn 到 x1, x2 ,…, xn 的线性变换
② X BY , 其中 X , Y 同上,
② ①
B (bij )
① ② 使得 Y AX ABY Y AB E
X BY BAX X BA E 变换①与变换②互为逆变换 它们的系数矩阵 A, B 互为逆矩阵 应用:
（性质3，4对可逆矩阵成立） 证1. “” A可逆 A 0,
由伴随阵重要公式
A ( A) 1 1 A; AA A E A E A 可逆且 A A “” A可逆，且 AA A E A 0 .
否 则, 若 A 0 AA O A O ？ A O, 这与A可逆矛盾. A可 逆. ？ 1 1 1 1) 1 A 1) 又A ( A ) A E ( A (A ( A)1 A
A
1
A
A
1
A
n 1
3. (kA) k n1 A ; (kA) kA kA E k n A E; （A可逆，k非零）
( kA) ( kA) kA kA k n A E kA k n1 A A1 k n1 A ;
2) 设 A 2 2 1 , 3 4 3
线性代数chapter 2-3,2-4(1)
如果向量组 I 和向量组( )可以相互线性表示. 则向量组 I 和向量组( )等价.
向量组等价的性质: 记为：1 , 2 ,, s 1 , 2 ,, t .
(1) 反身性: 任一向量组和它自身等价。 (2) 对称性: 1 , 2 ,, s 1 , 2 ,, t . 则1 , 2 ,, t {1 , 2 ,, s . (3) 传递性: 若1 , 2 ,, s 1 , 2 ,, t . 1 , 2 ,, t 1 , 2 , , p ,
Amn
A1
则 A1的列向量与 A 的列向量之间有相同的线性关系． 结论2: 矩阵的初等列变换不改变行向量间的线性关系. 问题:向量间的线性关系有哪些?
两矩阵列向量之间有相同的线性关系：
A (1 , 2 ,...,n ) A' (1 , 2 ,...,n )
0 4 12 0 0 1 1 3 3
1 r3 4 r2 0 0
0 0 0 1 1 r2 4 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 c3 1 c2 4 c4 1 c2 4 r ( A) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4 0
r行
等价标准形
问题:如何求矩阵的等价标准形?如何求矩阵的行秩和列秩?
推论: 定义2.14
r 矩阵Amn的行秩与列秩相等，统称为矩阵的秩. 记为： ( A)
对矩阵Amn ( aij ) mn 施行初等变换，可得矩阵的等价标准形.
对于矩阵 mn , A 结论 ： 0 r( A) min( , n) 1 m 结 论2： 若r ( A) m, 则A的 行 向 量 组 线 性 无 关 ， 满秩矩阵 此时矩阵 为行满秩矩阵。 A
向量组等价的性质: 记为：1 , 2 ,, s 1 , 2 ,, t .
(1) 反身性: 任一向量组和它自身等价。 (2) 对称性: 1 , 2 ,, s 1 , 2 ,, t . 则1 , 2 ,, t {1 , 2 ,, s . (3) 传递性: 若1 , 2 ,, s 1 , 2 ,, t . 1 , 2 ,, t 1 , 2 , , p ,
Amn
A1
则 A1的列向量与 A 的列向量之间有相同的线性关系． 结论2: 矩阵的初等列变换不改变行向量间的线性关系. 问题:向量间的线性关系有哪些?
两矩阵列向量之间有相同的线性关系：
A (1 , 2 ,...,n ) A' (1 , 2 ,...,n )
0 4 12 0 0 1 1 3 3
1 r3 4 r2 0 0
0 0 0 1 1 r2 4 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 c3 1 c2 4 c4 1 c2 4 r ( A) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4 0
r行
等价标准形
问题:如何求矩阵的等价标准形?如何求矩阵的行秩和列秩?
推论: 定义2.14
r 矩阵Amn的行秩与列秩相等，统称为矩阵的秩. 记为： ( A)
对矩阵Amn ( aij ) mn 施行初等变换，可得矩阵的等价标准形.
对于矩阵 mn , A 结论 ： 0 r( A) min( , n) 1 m 结 论2： 若r ( A) m, 则A的 行 向 量 组 线 性 无 关 ， 满秩矩阵 此时矩阵 为行满秩矩阵。 A
2-3逆矩阵【课件】线性代数
故 A A1 E 1, 所以 A 0. 当 A 0时,
一：逆矩阵的概念与性质
AA
A A
AE
A A
A
A
E,
AA
按逆矩阵的定义得
A1 A . A
证毕
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A 0时, A称为奇异矩阵,当 A 0时, A称为 非奇异矩阵. 由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵.
§2．3
可 逆 矩 阵
逆矩阵的概念 逆矩阵的运算性质 伴随矩阵 逆矩阵的计算 矩阵方程
概念的引入
对于线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a22 x2 a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
我们令 a11
A
a21
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
说明2：并不是所有的矩阵都有逆矩阵？ 设矩阵A有逆矩阵B 则 AB=BA=E 取行列式有：| AA B0 |=|A||B|=|E|=1
2 6 4
A* A12 A22 A32 2 3 1
A13
A23
A33
1
2 1
问题：计算 AA* 与 A*A 的积。
一：逆矩阵的概念与性质
AA
a11 a12
a21 a22 a11 A11
a1n a2n
a12 A12
A11 A12
A21
A22 a1n
A1n
An1 An2 A
i=j
故 AA A ij A ij A E.
南京理工大学线性代数2-3
⎛ 0 ⎜ ⎜ 0 例3设 A = ⎜ M ⎜ ⎜ 0 ⎜a ⎝ n 其中 a1 , a2 ,L, an
⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎟, M ⎟ 0 0 L 0 a n −1 ⎟ 0 0 L 0 0 ⎟ ⎠ 均不为 0，求 A−1 . a1 0 L 0 a2 L 0 M M 0 0 M
− ⎛ O an 1 A −1 = ⎜ −1 ⎜A O ⎝ 1
设A为n阶矩阵, 若A的分块矩阵只有主对角线上有非 零子块， 其余子块都为零矩阵， 且非零子块都是方阵,即 ⎞ ⎛ A1 ⎜ ⎟ A2 ⎜ ⎟ A=⎜ ⎟ O ⎜ ⎟ ⎜ As ⎟ ⎠ ⎝ 则称A为分块对角矩阵.
− ⎛ A1 1 ⎜ ⑴ A = A1 A2 L As ; ⎜ −1 A =⎜ ⑵ 若 Ai 可逆, 则A可逆,且 ⎜ ⎜ ⎝
-7-
第三节 分块矩阵及其运算
⎛ O A⎞ 例2设分块矩阵 X = ⎜ ⎟ , 其中 A 为 r 阶可逆阵， ⎝ B O⎠
第 二 章 矩 阵
其中 B 为 s 阶可逆阵，求 X −1 .
⎛ O −1 X = ⎜ −1 ⎜A ⎝ B −1 O ⎞ ⎟. ⎟ ⎠
-8-
第三节 分块矩阵及其运算
第 二 章 矩 阵
-2-
第三节 分块矩阵及其运算
第 二 章 矩 阵
定义1设 A = (aij )m×n , B = (bij )m×n , 将A,B按同样的分法 分为 r × s 块， ⎛ B11 L B1 s ⎞ ⎛ A11 L A1 s ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B=⎜ M M ⎟ A=⎜ M M ⎟ ⎜B L B ⎟ ⎜A L A ⎟ ⎝ r1 rs ⎠ ⎝ r1 rs ⎠ 定义
则
⎛ C11 L C1r ⎞ ⎜ ⎟ M ⎟ AB = ⎜ M ⎜C L C sr ⎟ ⎝ s1 ⎠
线性代数相关知识培训教程PPT课件( 93页)
那末 A称为对称阵.
例如A162
6 8
1 0
为对称. 阵
1 0 6
说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相
等.
同型矩阵与矩阵相等
1）两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
例如
1 5
2 6
与
14 8
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
Aij (1)i j Mij, Aij叫做元素 aij的代数余子.式
A a i1 A i1 a i2 A i2 a iA n in ( i 1 ,2 , ,n ) A a i1 A j1 a i2 A j2 a iA n jn ( i j)
例1 3 1 1 2 5 1 3 4
p1p2pn
列取 . 和
N阶行列式是一个数,该数是n!项的代数和, 每项为取自表中不同行不同列n个元素的乘 积,符号由这n个元素列标排列的逆序数决定 (行标按自然顺序排列),奇排列带负号,偶排 列带正号.
2. 行列式的性质
1)行列式与它的转置行式列相等,即D DT. 2)互换行列式的两行 (列),行列式变号. 3)如果行列式有两行 (列)完全相同,则此行列式 等于零. 4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同 一数k,等于用数k 乘此行列式.
6）逆矩阵
伴随矩阵定义
行列式 A 的各个元素的代数余子式A ij 所
构成的如下矩阵
A11
A
A12
A1n
A21 An1 A22 An2 A2n Ann
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
伴随矩阵性质
AA A AA E .
逆矩阵定义
例如A162
6 8
1 0
为对称. 阵
1 0 6
说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相
等.
同型矩阵与矩阵相等
1）两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
例如
1 5
2 6
与
14 8
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
Aij (1)i j Mij, Aij叫做元素 aij的代数余子.式
A a i1 A i1 a i2 A i2 a iA n in ( i 1 ,2 , ,n ) A a i1 A j1 a i2 A j2 a iA n jn ( i j)
例1 3 1 1 2 5 1 3 4
p1p2pn
列取 . 和
N阶行列式是一个数,该数是n!项的代数和, 每项为取自表中不同行不同列n个元素的乘 积,符号由这n个元素列标排列的逆序数决定 (行标按自然顺序排列),奇排列带负号,偶排 列带正号.
2. 行列式的性质
1)行列式与它的转置行式列相等,即D DT. 2)互换行列式的两行 (列),行列式变号. 3)如果行列式有两行 (列)完全相同,则此行列式 等于零. 4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同 一数k,等于用数k 乘此行列式.
6）逆矩阵
伴随矩阵定义
行列式 A 的各个元素的代数余子式A ij 所
构成的如下矩阵
A11
A
A12
A1n
A21 An1 A22 An2 A2n Ann
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
伴随矩阵性质
AA A AA E .
逆矩阵定义
线性代数二阶与三阶行列式29页PPT
线性代数二阶与三阶行列式
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
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AA
1
E
1
A A
1
因此 A
1
A
1
.
三、逆矩阵的求法
例1
1 求方阵 A 2 3 1 2 2 4 3 1 0, 3
A 存在 .
1
2 2 4
3 1 的逆矩阵. 3
解
A 2 3
A11
2 4
1 3
2,
A12
2 3
1
T
A
T
A
1 T
.
另外 , 当 A 0时 , 定义 A E,
0
A
k
A
1 k
.
k 为正整数
当 A 0 , , 为整数时 , 有 A A A
,
1
A
A
A
.
5 若 A 可逆 , 则有 A
证明
1
.
BC A .
1
例 解 则
设
2 A 1
1 , 求 A 的逆阵 . 0
a b 利用待定系数法 是 A 的逆矩阵, 设 B c d 2 AB 1 1 a 0 c b 1 d 0 0 1 0 1
1 1 2
1 0 1
1
1 3 1 4 2 3 1 3 1 13 75 30 1 2 1 0 1 5 1 2 1 9 52 21 . 1 5 2 2 1 1 1 5 2 21 120 47
1 1 , C 2 3 3
3 0 , 1
求矩阵 X 使满足
AXB C .
1
2 2 4
1
3 1 2 0, B 3
解 A 2
3
1
2 5
1 3
1 0,
A , B 都存在 .
且 A
1
1 3 2 1
3 3 1
1 0 0
1 3 2 5 2
2 1 10 2 10
2
1 4 . 4
例4
设方阵 A 满足方程 A A 2 E 0 , 证明 : .
A , A 2 E 都可逆 , 并求它们的逆矩阵
证明
由 A A 2 E 0,
2
A
A E 2
1
得 A A E 2 E A
E
A
A E 2
1 A 0 , 故 A 可逆 .
A
1
2
1 2
A E .
又由 A A 2 E 0
A 2 E A 3 E 4 E 0
2 5 2 , 1
1
B
1
3 5
1
1 , 2
1
又由
AXB C A AXBB
1
A CB
E 1 1 X A CB .
于是 X A 1CB 1
1 3 2 1 3 3 1 2 1 5 2 2 1 3 3 3 0 5 1 1 2
A31 A32 A33
3 1 4 4 5 2 由于 B 1 1 3 3 5
3 0 1 1 5 11
1 4 . 3
0,
故 B 不可逆 .
例3
1 设 A 2 3
2 2 4
3 2 1 , B 5 3
A ,
其中 A 为矩阵 A 的伴随矩阵 .
证明 若 A 可逆，即有 A 1 使 AA 1 E .
故A A
1
E 1,
所以 A 0 .
当 A 0时 ,
当 A 0时 ,
a 11 a 12 a 1 n A11 A21 An 1 a 21 a 22 a 2 n A12 A22 An 2 AA a A a A a A A 11 12 12 n 11 1 1n a A a n 2 a nn 1 n A2 n Ann a n 1 A a A a A A n1 n1 n2 n2 nn nn
1
2 1 1
3 5 1
1 给方程两端左乘矩阵 1 2
1 给方程两端右乘矩阵 1 3
1 1 2
1 0 , 1
1
1 得 X 1 2
1 1 1
1 0 1
1
4 0 2
2 1 1
31 5 1 13
1 1 1
1 0 1
1
2 2 4
9 8 14
5 6 . 9
1 3 1 2
1 1 1
1 1 0X 1 3 1
1 1 2
1 4 0 0 2 1
1 1 1 1 0 , 1
推论 证明
若 AB E 或 BA E , 则 B A
A B E 1,
1
1
.
故 A 0,
因而 A 存在 ,
于是
1 1
B EB A A B A
. A E A
1
AB
证毕
逆矩阵的运算性质
1 若 A 可逆 , 则 A 亦可逆 , 且 A
3,
A12
2 1
2 3
4,
5,
同理可求得
A 21 3 , A 22 0 , A 23 1 , A 31 1 , A 32 4 , A 33 3 .
A11 A 1 1 A A12 A A A13
A21 A22 A23
1 A 2 1
2 1 3
3 2 , 3
3 3 5
1
2 1 3
3
1
2 3 1
3 4 0
解
A 2 1
2 0 3 0
1 0 0
2 3 1
1 3 2 1
3 4 0
2 3 1 3
3 1
4 0
4 0 , 所以 A可逆 .
A11 A13
1
则矩阵 A 称为 A 的可逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
定义
,使得
对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个 n 阶矩阵 B
AB BA E ,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A .
1
例
设
1 A 1
1 1 2 , B 1 1 2
4 5 , 2 4 5 2 1 3 2 1 3 3 1 2 5 2 . 1
故
A
1
例2
矩阵 .
下列矩阵 A , B 是否可逆 ? 若可逆 , 求出其逆
2 B 1 1 1 5 . 11
1
1
1 1
A.
2 若 A 可逆 , 数 0 , 则 A 可逆 , 且
A
1
1
A .
, 则 AB 亦可逆 , 且
1
3 若 A , B 为同阶方阵且均可逆
A B 1 1 B 1 A
证明
AB B 1 A 1 A BB 1 A 1
1 2 , 1 2
AB BA E ,
B 是 A 的一个逆矩阵 .
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E , AC CA E ,
可得 B EB CA B C AB CE C . 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即
A
A
O
A
O
, A
AA A A A E A
A
A
A
A
A E,
按逆矩阵的定义得
A
1
A
A
.
证毕
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A 0时 , A 称为奇异矩阵 ,当 A 0时 , A 称为 非奇异矩阵 .
由此可得 A 是可逆阵的充要条件是 A 为非奇异矩阵 .
2 1 1 0 0 1 1 2
A
1
BA
0 1 1 2 2 1
1 . 2
1 1 0 0
0 , 1
所以
0 1
定理1
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且
A
1
1 A
1 3
3,
同理可得
A13 2 , A21 6 , A22 6 , A23 2 ,
A31 4 , A32 5 , A33 2 ,
得
2 A 3 2 2 1 1 A 3 A 2 2
6 6 2 6 6 2
2a c a
2b d 1 b 0
2 a c 1, 2b d 0, a 0, b 1,
a 0, b 1, c 1, d 2.
又因为
AB
1 1 1