人教版数学九年级下册教案：27.2.1 相似三角形的判定 第一课时
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为人教版九年级数学下册第27章第2节第1课时，主要学习相似三角形的判定——平行线分线段成比例定理。该定理是初中学段几何知识的重要组成部分，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。
在课程开始之前，学生已经掌握了相似三角形的概念、性质以及判定方法。在此基础上，通过引入平行线分线段成比例定理，使学生能够更深入地理解相似三角形的本质，提高解题技能。
2.问题提出：在此过程中，我会提出问题：“如果给你一个建筑设计图，你如何判断窗户的布局是否合理？”从而引出本节课的主题——相似三角形的判定。
3.情景创设：利用多媒体手段，展示两个相似的三角形，让学生直观地感受相似三角形的特征，为学习平行线分线段成比例定理做好铺垫。
（二）讲授新知
1.平行线分线段成比例定理：我会用生动的语言和形象的比喻，讲解平行线分线段成比例定理的含义，让学生理解并掌握定理。
本节课的内容与实际生活密切相关，便于学生感知数学与生活的紧密联系。同时，通过探讨平行线分线段成比例定理的证明过程，激发学生的探究欲望，培养其创新精神及合作意识。
在教学过程中，我将以生动形象的语言、贴近实际的生活实例，引导学生掌握平行线分线段成比例定理，并能够运用该定理解决实际问题。从而使学生在轻松愉快的氛围中，提高数学素养，感受数学之美。
2.讨论过程：在讨论过程中，我会引导学生关注相似三角形的性质和判定方法，鼓励学生提出自己的观点，培养其批判性思维。
3.成果分享：每个小组选派一名代表，向全班同学分享讨论成果，让大家在交流中共同进步。
（四）总比例定理在判断相似三角形中的重要性，使学生巩固所学知识。
5.教学策略的运用：运用情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高其数学素养。
27.2.1___相似三角形的判定____(第1课时)
“A”型
A D B
（图1）
“X”型
E A D
E C
B （图2） C
如图,DE//BC,写出图中所有的比例式.
“A”型
A
（图1）D
AD AE DE AB AC BC
AD AB DE BC AD AE BD EC BD CE AB AC AD BD AB AE EC AC
等等
A
E
C
当D不是边AB的中点时，如图,DE//BC, △ADE与△ABC还相似吗? 说明理由.
解：相似，理由如下： 在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A ∵ DE//BC AD AE ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C AB AC 过E作EF//AB交BC于F 则 AE BF AC BC ∵四边形DBFE是平行四边形 ∴DE=BF B
,等
平行线分线段成比例定理：三条 平行线截两条直线，所得的对应 线段的比相等。
推论：平行于三角形一边的直线截 其他两边（或两边的延长线），所 得的对应线段的比相等。
如图,DE//BC,且D是边AB的中点,DE交 AC于E, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 解：△ADE∽△ABC，理由如下：
相似多边形的性质是什么？相似多边形的判定是什么？ 在相似多边形中最简单的是相似三角形,如图,△ABC 与△A’B’C’相似,它们的对应边和对应角有什么关系?
如何判断两个三角形相似呢?
相似三角形及其表示
在△ABC和△A’B’C’中,如果
∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’, 我们就说△ABC与△A’B’C’相似, 记作:△ABC∽△A’B’C’ k就是它们的相似比.
A
D
D F
E
新人教版初中数学九年级下册精品教案27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例
27.2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．了解相似比的定义；(重点)2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似；(重点)3．应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题．(难点)一、情境导入如图，在△ABC 中，D 为边AB 上任一点，作DE ∥BC ，交边AC 于E ，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE 与△ABC 是否相似．二、合作探究探究点一：相似三角形的有关概念如图所示，已知△OAC ∽△OBD ，且OA ＝4，AC ＝2，OB ＝2，∠C ＝∠D ，求：(1)△OAC 和△OBD 的相似比；(2)BD 的长．解析：(1)由△OAC ∽△OBD 及∠C ＝∠D ，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出BD 的长．解：(1)∵△OAC ∽△OBD ，∠C ＝∠D ，∴线段OA 与线段OB 是对应边，则△OAC 与△OBD 的相似比为OA OB ＝42＝21； (2)∵△OAC ∽△OBD ，∴AC BD ＝OA OB ，∴BD ＝AC ·OB OA ＝2×24＝1. 方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法．探究点二：平行线分线段成比例定理【类型一】 平行线分线段成比例的基本事实如图，直线l 1、l 2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，直线l 4、l 5交于点O ，且l 1∥l 2∥l 3，已知EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24.(1)求CB AB的值； (2)求AB 的长．解析：(1)根据l 1∥l 2∥l 3推出CB AB ＝EF DE ；(2)根据l 1∥l 2∥l 3，推出EF DF ＝BC AC ＝58，代入AC ＝24求出BC 即可求出AB . 解：(1)∵l 1∥l 2∥l 3，∴CB AB ＝EF DE .又∵DF ∶DF ＝5∶8，∴EF ∶DE ＝5∶3，∴CB AB ＝53； (2)∵l 1∥l 2∥l 3，EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24，∴EF DF ＝BC AC ＝58，∴BC ＝15，∴AB ＝AC －BC ＝24－15＝9.方法总结：运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段的位置．【类型二】 平行线分线段成比例的基本事实的推论如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝2，BD ＝5，AC ＝5，求AE 的长．解析：根据DE ∥BC 得到AD AB ＝AE AC，然后根据比例的性质可计算出AE 的长． 解：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，即22＋5＝AE 5，∴AE ＝107. 方法总结：解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式．探究点三：相似三角形的引理【类型一】 利用相似三角形的引理判定三角形相似如图，在▱ABCD 中，E 为AB 延长线上的一点，AB ＝3BE ，DE 与BC 相交于点F ，请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比．解析：由平行四边形的性质可得：BC ∥AD ，AB ∥CD ，进而可得△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，再进一步求解即可．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，AB ∥CD ，∴△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，∴△DFC ∽△EDA ，∵AB ＝3BE ，∴相似比分别为1∶4，1∶3，3∶4.方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序．【类型二】 利用相似三角形的引理求线段的长如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AD 与BC 相交于点O .(1)如果CE ＝3，EB ＝9，DF ＝2，求AD 的长；(2)如果BO ∶OE ∶EC ＝2∶4∶3，AB ＝3，求CD 的长．解析：(1)根据平行线分线段成比例可求得AF ＝6，则AD ＝AF ＋FD ＝8；(2)根据平行线AB ∥CD 分线段成比例知BO ∶OE ＝AB ∶EF ，结合已知条件求得EF ＝6；同理由EF ∥CD推知EF 与CD 之间的数量关系，从而求得CD ＝10.5.解：(1)∵CE ＝3，EB ＝9，∴BC ＝CE ＋EB ＝12.∵AB ∥EF ，∴FO AF ＝EO EB ，则FO EO ＝AF EB.又∵EF ∥CD ，∴FO FD ＝EO EC ，则FO EO ＝FD EC ，∴AF EB ＝FD EC ，即AF 9＝23，∴AF ＝6，∴AD ＝AF ＋FD ＝6＋2＝8，即AD 的长是8；(2)∵AB ∥CD ，∴BO ∶OE ＝AB ∶EF .又∵BO ∶OE ＝2∶4，AB ＝3，∴EF ＝6.∵EF ∥CD ，∴OE OC ＝EF CD .又∵OE ∶EC ＝4∶3，∴OE OC ＝47，∴EF CD ＝47，∴CD ＝74EF ＝10.5，即CD 的长是10.5.方法总结：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论一定要找准对应线段，以防解答错误．三、板书设计1．相似三角形的定义及有关概念；2．平行线分线段成比例定理及推论；3．相似三角形的引理．本节课宜采用探究式教学，教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同研究者．鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充．教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.。
【人教版】九年级数学下册《相似》全章教案
课题：27.1图形的相似（第1课时）一、教学目标1.通过实例知道相似图形的意义.2.经历观察、猜想和分析过程，知道相似多边形对应角相等，对应边的比相等，反之亦然.二、教学重点和难点1.重点：相似图形和相似多边形的意义.2.难点：探索相似多边形对应角相等，对应边的比相等.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：（出示两张全等的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形形状相同，大小也相同，它们叫什么图形？生：（齐答）叫全等图形.师：（出示两张相似的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形只是形状相同，它们叫什么图形？（稍停）它们叫相似图形.也可以说，这两个图形相似（板书：相似）.师：和全等一样，相似也是两个图形的一种关系.从今天开始我们要学习新的一章，这一章要学的内容就是相似（在“相似”前板书：第二十七章）.（二）尝试指导，讲授新课师：相似图形在我们的生活中是很常见的，大家把课本翻到第34页，（稍停）34页上有几个图，左上方是用同一张底片洗出的不同尺寸的照片，它们是相似图形；还有大小不同的两个足球，它们也是相似图形；还有一辆汽车和它的模型，它们也是相似图形.师：看了这些相似图形，哪位同学能给相似图形下一个定义？生：……（让几名同学回答）（师出示下面的板书）形状相同的两个图形叫做相似图形.师：请大家一起把相似图形的概念读两遍.（生读）师：（出示两张全等的图片）全等图形，它们不仅形状相同，而且大小也相同；（出示两张相似的图片）而相似图形，它们只是形状相同，它们的大小可能相同，也可能不相同.师：明确了相似图形的概念，下面请同学们来举几个相似图形的例子，谁先来说？生：……（让几位同学说，如果学生说的题材不够广泛，师可以再举几个例子.譬如，放电影时，屏幕上的画面与胶片上的图形是相似图形；实际的建筑物与它的模型是相似图形；复印机把一个图形放大，放大后的图形和原来图形是相似图形）师：好了，下面请大家做一个练习.（三）试探练习，回授调节1.下列各组图形哪些是相似图形？(1) (2) (3)(4) (5)(6)2.如图，图中是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？（四）尝试指导，讲授新课（师出示下图）师：（指准图）这个三角形和这个三角形形状相同，所以它们是相似三角形.从图上看，这两个相似三角形的角有什么关系？生：∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′.（生答师板书：∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′）师：（指图）这两个相似三角形的边有什么关系？（让生思考一会儿）师：（指准图）AB 与A ′B ′的比是AB A B （板书：AB A B ），BC 与B ′C ′的比是BC B C （板书：BC B C ），CA 与C ′A ′的比是CA C A （板书：CA C A），这三个比相等吗？ 生：（齐答）相等.师：为什么相等？（稍停后指准图）△A ′B ′C ′可以看成是△ABC 缩小得到的，假如AB 是A ′B ′的2倍，那么可以想象，BC 也是B ′C ′的2倍，CA 也是C ′A ′的2倍，所以这三个比相等（在式子中间写上两个等号）.师：我们再来看一个例子. （师出示下图）///B A C CB A ////A B C D D A B C师：（指准图）这个四边形和这个四边形形状相同，所以它们是相似四边形.从图上看，这两个相似四边形的角有什么关系？生：∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′，∠D=∠D ′.（生答师板书：∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′，∠D=∠D ′）师：（指图）这两个相似四边形的边有什么关系？ 生：AB A B =BC B C =CA C A =DA D A .（生答师板书：AB A B =BC B C =CA C A =DA D A） 师：（指式子）这四个比为什么相等？（稍停后指准图）四边形A ′B ′C ′D ′可以看成是四边形ABCD 放大得到的，假如AB 是A ′B ′的一半，那么可以想象，BC 也是B ′C ′的一半，CD 也是C ′D ′的一半，DA 也是D ′A ′的一半，所以这四个比相等. 师：从这两个例子，大家想一想，你能得出一个什么结论？（等到有一部分同学举手再叫学生）生：……（多让几名学生发表看法）（师出示下面的板书）相似多边形对应角相等，对应边的比也相等.师：请大家把这个结论一起来读两遍.（生读）师：相似多边形对应角相等，对应边的比也相等.实际上，这个结论反过来也是成立的，反过来怎么说？生：……（让几名学生说）（师出示下面的板书）对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似多边形.师：请大家把反过来的结论一起来读两遍.（生读）师：我们知道，形状相同的多边形是相似多边形.但是，什么样才算形状相同呢？（稍停）从这两个结论我们可以看到，对多边形来说，所谓形状相同，实际上指的就是对应角相等，对应边的比也相等.对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似多边形.所以，现在我们可以给相似多边形下一个更明确的定义. （师出示下面的板书）对应角相等，对应边的比也相等的两个多边形叫做相似多边形.师：下面我们利用相似多边形的概念来做两个练习.（五）试探练习，回授调节3.如图，△ABC 与△A ′B ′C ′相似，则∠C ′= °，B ′C ′= .4.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.(1)两个等边三角形一定相似； （ ）(2)两个正方形一定相似； （ ）(3)两个矩形一定相似； （ ）(4)两个菱形一定相似. （ ）C /110 533//B A A B C（六）归纳小结，布置作业师：（指准板书）本节课我们学习了相似图形和相似多边形的概念.什么叫做相似图形？形状相同的两个图形叫做相似图形.从这两个结论，我们进一步发现，对多边形来说，所谓形状相同指的就是对应角相等，对应边的比也相等.所以我们又给相似多边形下了一个更明确定义：对应角相等，对应边也相等的两个多边形叫做相似多边形.（作业：P 35练习1.P 38习题1.4.） 四、板书设计 第二十七章相似 ……叫做相似图形. 图1 图2……叫做相似多边形.相似多边形对应角…… ∠A=∠A ′，∠B=∠B ′…… ∠A=∠A ′，∠B=∠B ′…… 对应角相等，对应……//AB A B =//BC B C …… //AB A B =//BC B C……课题：27.1图形的相似（第2课时）一、教学目标1.会运用相似多边形的概念进行计算和证明，知道相似比的意义.2.培养推理论证能力，发展空间观念.二、教学重点和难点1.重点：运用相似多边形的概念进行计算和证明.2.难点：运用相似多边形的概念进行证明.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1) 相同的两个图形叫做相似图形.(2)相似多边形对应 相等，对应 的比也相等；反过来，对应 相等，对应 的比也相等的多边形是相似多边形.（二）创设情境，导入新课师：上节课我们学习了相似图形的概念，还通过观察图形得出了相似多边形的两个结论.（师出示下面板书）相似多边形的对应角相等，对应边的比也相等；对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似多边形.师：本节课我们将利用这两个结论来做两个题目，先请看例1.（三）尝试指导，讲授新课（师出示例1）例1 如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α、β的大小和EH 的长度x.（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如课本第37页所示）（四）试探练习，回授调节2.填空：如图所示的两个五边形相似，则a= ，b= ，c= ，d= .（五）尝试指导，讲授新课（师出示例2）例2 如图，证明△ABC和△A′B ′C′相似.（先让生尝试，然后师分析证明思路，最后边讲解边板书，证明过程如下）证明：在等腰直角△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′=45°，∠B=∠B′=45°，∠C=∠C′=90°.而AB=2255=50=52，A′B′=221010=200=102，∴AB521A B2102，BC51B C102，CA51C A102.∴AB BC CAA B B C C A.∴△ABC与△A′B′C′相似.（六）试探练习，回授调节3.如图，证明△ABC与△A′B′C′相似.（七）归纳小结，布置作业师：在课的最后，我们还要介绍一个概念.（指准例1图）我们知道，这两个四边形相似，它们对应边的比相等，那么对应边的比等于多少？（稍停）等于1824（板书：1824），约分后等于34（边讲边板书：=34）.34叫什么？叫相似比.一般来说，1010///A BC55BCA21///AC BAC B30︒30︒相似多边形对应边的比叫做相似比（板书：相似多边形对应边的比叫做相似比）. 师：好了，两个例题一个概念，这些就是本节课所学的内容.（作业：P 38习题3.5.）课题：27.2.1相似三角形的判定（第1课时）一、教学目标1.经历观察、类比、猜想过程，得出相似三角形的三个判定定理，会简单运用这三个定理.2.培养合情推理能力，发展空间观念.二、教学重点和难点1.重点：相似三角形的三个判定定理.2.难点：得出相似三角形的三个判定定理.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：全等三角形的四个判定定理：(1)如果两个三角形三 对应相等，那么这两个三角形全等（简写成：边边边或SSS ）.(2)如果两个三角形两 对应相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形全等（简写成：边角边或 ）.(3)如果两个三角形两 对应相等，并且相应的夹边相等，那么这两个三角形全等（简写成：角边角或 ）.(4)如果两个三角形两 对应相等，并且其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成：角角边或 ）.（本课时教学时间比较紧张，建议把本题提前留作作业）（二）创设情境，导入新课师：我们知道，形状相同的两个图形叫做相似图形.那么什么叫相似三角形？（稍停）形状相同的两个三角形叫做相似三角形.师：对两个三角形来说，形状相同是什么意思？（稍停）就是对应角相等，对应边的比也相等.所以相似三角形还有一个更明确的定义.对应角相等，对应边的比也相等的两个三角形叫做相似三角形.（师出示下图）师：譬如△ABC 和△A ′B ′C ′，如果∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′（边讲边板书：A /B /B C A /C如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′），AB BC CAA B B C C A（边讲边板书：AB BC CAA B B C C A），我们就说△ABC与△A′B′C′相似（边讲边板书：就说△ABC与△A′B′C′相似），记作△ABC∽△A′B′C′（边讲边板书：记作△ABC∽△A′B′C′）.师：（指准板书）相似三角形的这个定义，可以用来判定两个三角形相似，但利用定义判定，既要证明三组对应角相等，又要证明三组对应边的比相等，所以比较麻烦.怎么解决这个问题呢？（稍停）（三）尝试指导，讲授新课师：学习三角形全等时，我们知道，除了可以利用全等三角形定义来判定两个三角形全等，还有四个简便的判定方法.哪四个简便的判定方法？（稍停）就是SSS、SAS、ASA、AAS.同样，判定两个三角形相似，有没有简便的判定方法？请大家先自己想一想.（生思考，要给学生充足的思考时间）师：好了，下面我们一起来考虑这个问题.师：全等三角形判定定理SSS是怎么说的？（稍停）如果两个三角形三边对应相等，那么这两个三角形全等.类似的，也有一个相似三角形的判定定理.（师出示下面的板书）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.师：请大家把这个结论一起来读一遍.（生读）师：（指板书）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.（指图）结合这个图，这个结论的意思是说，如果AB BC CAA B B C C A，那么△ABC∽△A′B′C′（边讲边作如下板书）.AB BC CAA B B C C A△ABC∽△A′B′C′师：这是相似三角形的一个判定定理，下面我们来看第二个判定定理.师：全等三角形判定定理SAS是怎么说的？（稍停）如果两个三角形两边对应相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形全等.类似的，也有一个相似三角形的判定定理.（师出示下面的板书）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.师：请大家把这个结论一起来读一遍.（生读）师：（指板书）如要两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.（指图）结合这个图，这个结论的意思是说，如果AB ACA B A C，夹角∠A=∠A′，那么△ABC∽△A′B′C′（边讲边作如下板书）.AB ACA B A C，∠A=∠A′△ABC∽△A′B′C′师：这是相似三角形的又一个判定定理，下面我们来看第三个判定定理.师：全等三角形判定定理ASA、AAS都有两个角对应相等的条件，对相似三角形来说，具备两个角对应相等的条件，有这样一个判定定理.（师出示下面的板书）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.师：（指板书）如要两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（指图）结合这个图，这个结论的意思是说，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么△ABC～△A′B′C′（边讲边作如下板书）.∠A=∠A′，∠B=∠B′△ABC∽△A′B′C′师：（指板书）这就是相似三角形的三个判定定理，之所以称它们为定理，是因为它们都是可以证明的.证明的过程比较复杂，有兴趣的同学可以看课本，课堂上我们就不证明了，只要求大家能够理解这三个判定定理，并能运用它们.下面我们就来运用判定定理.（师出示例题）例根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：(1)∠A=120°，AB=7，AC=14，∠A′=120°，A′B′=3，A′C′=6；(2)AB=4，BC=6，AC=8，A′B′=12，B′C′=18，A′C′=21；(3)∠A=70°，∠B=60°，∠A′=70°，∠C′=50°.（先让生尝试，然后师边讲解边板书，(1)(2)题解题过程如课本第44页所示，(3)题解题过程如下）(3)∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-60°=50°.∵∠A=∠A′=70°，∠C=∠C′=50°，∴△ABC∽△A′B′C′.（四）试探练习，回授调节2.根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似.(1)∠B=100°，∠C=30°，∠A′=50°，∠B′=100°；(2)∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A=40°，A′B′=16，A′C′=20；(3)AB=4，BC=2，CA=3，A′B′=6，B′C′=3，C′A′=4.5.（五）归纳小结，布置作业师：（指板书）本节课我们学习了相似三角形的三个判定定理，希望大家能够理解这三个定理，并记住它们.（作业：P习题2）54四、板书设计////BC CA B C C A就说△ABC 和△A ′B ′C ′相似记作△ABC ∽△A ′B ′C ′课题：27.2.1相似三角形的判定（第2课时）一、教学目标 1.会利用判定定理证明简单图形中的两个三角形相似，进而得出边角关系.2.培养推理论证能力，发展空间观念.二、教学重点和难点1.重点：利用判定定理证明简单图形中的两个三角形相似.2.难点：找相似三角形的对应边.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)如果两个三角形的三组对应边的 相等，那么这两个三角形相似.(2)如果两个三角形的两组对应边的 相等，并且相应的 相等，那么这两个三角形相似.(3)如果两个三角形的两个 对应相等，那么这两个三角形相似.2.判断图中的两个三角形是否相似：(1) △ABC 与△DEF ；(2) △OAB 与△ODC ；(3) △ABC 与△ADE .（二）创设情境，导入新课（出示下面的板书）F E D C B A 2.52547 3.636305445O A BC D 110︒40︒30︒EA B C如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.师：（指板书）上节课我们学习了相似三角形的三个判定定理，请大家一起把这三个定理读一遍.（生读）师：本节课我们要学习什么？本节课我们要利用相似三角形的判定定理做几个题目，请看例题.（三）尝试指导，讲授新课（师出示例题）例 已知：如图，AB ∥DC. 求证：(1)△AOB ∽△COD ；(2)OA ·OD=OB ·OC. （先让生尝试，然后师分析证明思路，最后师生共同完成证明过程，证明过程如下）证明：∵AB ∥DC ，∴∠A=∠C ，∠B=∠D.∴△AOB ∽△COD.∴OA OB OC OD. ∴OA ·OD=OB ·OC. （列OA OB OC OD 时，要让学生自己找OA ，OB 的对应边，并告诉找对应边的方法） （四）试探练习，回授调节3.已知：如图，DE ∥BC ，求证：(1)△ABC ∽△ADE ；(2)AB ·AE=AC ·AD.4.完成下面的证明过程： 已知：如图，∠B=∠ACD. 求证：AC 2=AB ·AD.证明：∵∠B=∠ACD ，∠A=∠A ， ∴△ ∽△ . ∴AB AC ()(). ∴AC 2=AB ·AD. 5.选做题：已知：如图，AD=2DB ，AE=2EC.求证：(1)DE 2BC 3； (2)DE ∥BC.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们利用相似三角形的判定定理做了几个题目，通过做这几个题目，你有什么体会？ 生：……（让几名学生说） A B C DO E A B CD AD B CE A B C D（作业：P 54习题3(2).4.5.）课题：27.2.1相似三角形的判定（第3课时） 一、教学目标1.会利用判定定理证明简单图形中的两个直角三角形相似，进而得出边角关系.2.培养推理论证能力，发展空间观念. 二、教学重点和难点1.重点：利用判定定理证明简单图形中的两个直角三角形相似.2.难点：找相似三角形的对应边. 三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知 1.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.(1)两个全等三角形一定相似； （ ） (2)两个相似三角形一定全等； （ ） (3)两个等腰三角形一定相似； （ ） (4)顶角相等的两个等腰三角形一定相似； （ ） (5)两个直角三角形一定相似； （ ） (6)有一个锐角对应相等的两个直角三角形一定相似； （ ） (7)两个等腰直角三角形一定相似； （ ） (8)两个等边三角形一定相似. （ ）2.填空：(1)如图，BE ∥CD ，则△ ∽△ ，AB AE BE ()()()；(2)如图，AB ∥DE ，则△ ∽△ ，AB BC CA ()()()；(3)如图，∠B=∠ADE ，则△ ∽△ ，AB BC CA ()()().（二）创设情境，导入新课师：上节课我们利用相似三角形的判定定理做了几个题目，这节课我们再来做几个题目，先看一道例题. （三）尝试指导，讲授新课 （师出示例题）例 已知：如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高.A D BCE ABCDEA BCED ABC D求证：(1)△ACD ∽△CBD ； (2)CD 2=AD ·BD.（先让生尝试，然后师分析证明思路，最后师生共同完成证明过程，证明过程如下）证明：在Rt △ABC 中，∠A=90°-∠B ， 在Rt △CBD 中，∠BCD=90°-∠B ，∴∠A=∠BCD.而∠ADC=∠CDB=90°， ∴△ACD ∽△CBD.∴CD ADBD CD .∴CD 2=AD ·BD.（列CD ADBD CD 时，要让学生自己找CD ，AD 的对应边，并强调找对应边的方法）（四）试探练习，回授调节3.已知：如图，在Rt △ABC 中，CD ⊥AB 于D. 求证：(1)△CBD ∽△ABC ；(2)BC 2=AB ·BD.4.已知，如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 和A ′D ′分别是BC 和B ′C ′上的高.求证：AD ABA D A B.（五）归纳小结，布置作业 师：（指准图）本节课我们学习了证明两个直角三角形相似.两个直角三角形已经有一个直角对应相等，所以只要证明一个锐角对应相等就能得出这两个直角三角形相似.课外补充作业：5.已知：如图，在Rt △ABC 中，DE ⊥AB 于E 点， AE=3，AD=4，AB=6，求AC.6.已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 上的高，CD 2=AD ·BD. 求证：(1)△CBD ∽△ACD ； (2)∠ACB=90°. /D C //B /A DB AC E AB C D DC B AC AD B四、板书设计(略)课题：27.2.1相似三角形的判定（第4课时） 一、教学目标1.会利用判定定理证明与圆有关的两个三角形相似，进而得出边角关系.2.培养推理论证能力，发展空间观念. 二、教学重点和难点1.重点：利用判定定理证明与圆有关的两个三角形相似.2.难点：画辅助线，运用圆的知识. 三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空： (1)如图，AB ∥CD ，则△ ∽△ ，OA OB AB()()()； (2)如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高，则△ ∽△ ∽△ . 2.填空：(1)如图∠A=∠ ，∠D=∠ ；(2)如图∠PAD=∠ ，∠B=∠ .（二）创设情境，导入新课师：上节课我们利用相似三角形的判定定理做了几个题目，这节课我们再来做几个题目，先看一道例题. （三）尝试指导，讲授新课 （师出示例题）例 已知：如图，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P.求证：PA ·PB=PC ·PD.（先让生尝试，然后师分析证明思路，最后师生共同完成证明过程，证明过程如下）证明：连结AC 、BD. ∵∠A 和∠D 都是CB 所对的圆周角， ∴∠A=∠D. 同理∠C=∠B.OA BC D P AD C B D CB AA C BD O .PA DC B∴△PAC ∽△PDB.∴PA PCPD PB.即PA ·PB=PC ·PD.（列PA PC PD PB时，要让学生自己找PA ，PC 的对应边）（四）试探练习，回授调节 3.填空：如图，PA=3，PC=2，点P 是AB 的中点，则PD= .4.已知：如图，弦BA 和DC 的延长线相交于⊙O 外一点P.求证：PA ·PB=PC ·PD. （提示：连结AC ）5.填空：在上题中，如果PA=3，AB=2，PC=2.5，则PD= . （五）归纳小结，布置作业师：本节课我们做了几个题目，做这几个题目不仅用到了相似三角形的判定定理，还用到了一些圆的知识.譬如用到了同弧所对的圆周角相等，用到了圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.在有关圆的图形中，因为相等的角比较多，所以常常会有相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等，就能得出线段的关系.（指例题）这是解决和这个例题类似问题的一般思路. 课外补充作业： 6.已知：如图，AB 是直径，PB 是过点B 的切线.求证：PB 2=PA ·PC. 四、板书设计(略)课题：27.2.2相似三角形应用举例（第1课时） 一、教学目标1.经历对实际问题的思考和讨论过程，会利用相似三角形解决高度测量问题.2.培养把实际问题转化为数学问题的能力，发展应用意识. 二、教学重点和难点1.重点：利用相似三角形解决高度测量问题.2.难点：探索如何利用相似三角形解决高度测量问题. 三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：从初一到现在，我们已经学了不少图形的知识，我们学过相交线平行线，我们学过三角形四边形，我们学过圆，这些天我们又学了相似三角形.这些关于图形的知识是怎么形成的呢？（稍停）据说在很久很久以前，埃及的尼罗河水每年都会泛滥，两岸的田地就被淹没，水退后人们要重新划定田界，这便促使人们学会了计算简单图形边长、面积的方法，逐步形成了图形的知识.可见，图形知识是由于测量的实际需要而形成的.本节课我们要学的也与测量有关，我们要利用相似三角形的知识来解决一个测量问题，先来看这样一个实际问题.P A C B D .O A P D CB.PCA B O（二）尝试指导，讲授新课 （师出示下图） 师：（指图）这是旗杆，旗杆很高，怎么测量出旗杆的高度？请大家想出一个可行的测量办法.（让生思考一会儿，等到有一部分学生举手）师：有些同学已经有了办法，大家还是把自己的想法先在小组里交流交流. （生小组交流，师巡视倾听）师：哪位同学来说说你们小组讨论的情况？生：……（让几名同学说，师作适当评价，譬如有些想法只是一种想法不具有可行性）师：测量旗杆的高度有很多办法，其中有一种比较好的办法是利用相似三角形来测量，怎么利用相似三角形来测量？师：旗杆在地上会有影子，假如这条线是旗杆的影子（边讲边画图）.我们在旗杆影子的顶端立一根木杆（边讲边画图），木杆在地上也会影子，这条线是木杆的影子（边讲边画图）.现在连结这两条线段（边讲边连结），就构成了两个三角形，我们把三角形的顶点都标上字母（标字母，画好的图如下所示）.师：（指准图）△ABC 与△DEA 相似吗？ 生：（齐答）相似.师：为什么相似？（让生思考一会儿再叫学生） 生：……（让一两名学生回答） 师：（指准图）因为旗杆和木杆都垂直立在地上，所以∠C 、∠DAE 都是直角（边讲边在图中作直角符号）. 师：（指准图）而DE ∥AB ，为什么？（稍停）因为DE 是太阳光线，AB 也是太阳光线，太阳光线是平行的，所以DE ∥AB. 师：（指准图）因为DE ∥AB ，所以∠BAC=∠D （边讲边在图中作角的符号），所以△ABC ∽△DEA.B C师：假如我们量出旗杆影子AC 的长度为8米（边讲边在图中标：8m ），木杆的高度为2米（边讲边在图中标：2m ），木杆影子的长度为1.6米（边讲边在图中标：1.6m ），那么旗杆高度是多少米？（边讲边在图中标：？）大家算一算.（生计算）师：旗杆的高度是多少米？ 生：（齐答）10米.师：好了，下面我们把求旗杆高度的过程完整地写出来. （以下师边讲解边板书，解答过程如下） 解：∵DE ，AB 是太阳光线， ∴DE ∥AB.∴∠BAC=∠D.而∠C=∠DAE=90°， ∴△ABC ∽△DEA.∴BC AC EA DA ，即BC 82 1.6. ∴BC=10(米).因此，旗杆的高度为10米. （三）试探练习，回授调节 1.填空：如图，在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一栋高楼的影长为90m ，则这栋高楼的高度是 m.2.填空：如图，测得BD=120m ，DC=60m ，EC=50m ， 则河宽AB= m.（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们利用相似三角形解决了测量旗杆高度的问题，通过解决这个问题，不知道大家有没有意识到，其实测量可以分成两种，一种是可以直接测量的，譬如，我们的身高，教室的长度，马路的宽度，这些都可以直接测量.另一种是不能直接测量的，譬如，旗杆的高度，珠峰的高度，地球和月亮的距离，这些1.8m3m 90m都不能直接测量.不能直接测量的问题怎么解决？（稍停）解决不能直接测量的问题，实质上是把不能直接测量的问题转化为可以直接测量的问题.（指准图）譬如，旗杆的高度是不能直接测量的，但它的影子，还有木杆及影子的长度都是可以直接测量，利用相似三角形可以求出旗杆的高度.师：不能直接测量就利用相似三角形间接地测量，这种想法很巧妙很高明，从中我们可以看到数学知识在解决实际问题中的作用，看到数学的价值，看到人的聪明才智.（作业：P习题10.11.）55四、板书设计(略)。
相似三角形的判定1
27.2.1相似三角形的判定一、教材分析：相似三角形的判断是人教版九年级下册数学27.2.1相似三角形第1课时的内容，这是学生在学习相似图形和相似多边形的概念后，开始对相似三角形判断方法展开深入研究。
本节内容，先掌握平行线分线段成比例这一基本事实，然后在三角形中的转化运用,用来证明三角形相似。
这一过程中，学生体会数学中的化归思想及数形结合思想，学生可以提高分析问题、解决问题的能力。
同时，平行线判定三角形相似在相似三角形判定方法中起着承上启下的作用，是后面学习相似三角形判定的基石。
二、学情分析：学生刚开始学习相似图形和相似多边形，对相似图形（相似三角形）的判定还处于感性阶段，能用来判定相似的方法只有定义法。
所以每一个知识要点的形成过程，学生必须参与，环环相扣，学生才能了解平行线分线段成比例基本事实，从而来理解平行线判定三角形相似的定理。
三．教学目标（1）知识与能力：1.了解相似三角形的概念,掌握平行线分线段成比例这一基本事实.2.经历利用平行线判定三角形相似的证明过程,掌握利用平行线判定三角形相似的方法.（2）过程与方法：1.通过平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的转化,体会数学中的化归思想及数形结合思想.2.通过平行线判定三角形相似及利用相似三角形的性质解决问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.（3）情感态度与价值观：1.通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例定理,培养学生动手操作能力及直觉思维.2.探究利用平行线判定三角形相似的证明,培养学生合情分析及严谨推理能力,提高逻辑思维能力.3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.四．教学重难点重点1.掌握平行线分线段成比例基本事实.2.能利用平行线判定三角形相似.难点探索利用平行线判定三角形相似的方法五．教学准备：三角板，多媒体课件.几何画板动画六．教学过程复习提问，导入新课(1)什么是相似多边形?相似多边形有什么性质?【师生活动】学生独立回答,教师点评.通过复习相似多边形的概念及性质,让学生用类比法得到相似三角形的概念及性质,为本节课的学习做好铺垫.一、认识相似三角形思考并回答:(1)类比相似多边形的概念,你能说出相似三角形的概念吗?(2)如果相似比是1,那么这两个三角形是什么关系?(3)△ABC与△A'B'C'的相似比为k,那么△A'B'C'与△ABC的相似比是多少?(4)类比相似多边形的性质,说出相似三角形的性质,并用几何语言表示.【师生活动】学生思考回答,教师对每个问题点评后展示课件,规范数学语言. (课件展示)(1)定义:三个角分别相等,三条边成比例,我们就说这两个三角形相似.对应边的比就叫做两个三角形的相似比.(2)表示:△ABC与△A'B'C'相似记作“△ABC∽△A'B'C'”,读作“△ABC相似于△A'B'C'”.注意:对应顶点写在对应的位置上.(3)相似比为1时,这两个三角形全等,所以全等三角形是相似三角形的特例.(4)△ABC与△A'B'C'的相似比为k,那么△A'B'C'与△ABC的相似比是.(5)性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.【几何语言】如图所示,△A1B1C1∽△ABC,∴∠A1=∠A,∠B1=∠B,∠C1=∠C;[设计意图]通过复习相似多边形的定义和性质,迁移到相似三角形的定义和性质,让学生体会类比思想在数学中的应用,帮助学生建立新旧知识之间的联系,体会事物之间由一般到特殊,由特殊到一般之间的联系.二、平行线分线段成比例基本事实【动手操作】任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2都相交的平行线l3,l4,l5,分别度量l3,l4,l5在l1上截得的线段AB,BC,AC和在l2上截得的线段DE,EF,DF的长度.(1)根据度量的长度,你得到哪些成比例线段?尝试写出来.(2)这些成比例线段在图中的位置有什么关系?(3)对于任意一组平行线,截得的对应线段成比例吗?(4)你能用语言概括你得到的结论吗?【师生活动】学生动手独自测量思考,写出比例式,小组合作交流答案,学生展示后教师点评.【课件展示】两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.[设计意图]通过动手操作,测量或计算得出平行线分线段成比例这一基本事实,体会从特殊到一般的探索过程,激发学生的求知欲,培养学生分析问题的能力.三、平行线分线段成比例转化到三角形中活动1如图所示,l1∥l2∥l3,当两条被截直线的交点在直线l1或l2上时,你能得到哪些比例式?(教师动画演示,将图(1)中的直线平移到图(2)的位置,让学生直观感受平行线分线段成比例基本事实仍然成立)【师生活动】学生观察教师演示动画,小组交流结果,教师点评结论.活动2(1)如图所示,△ABC中,DE∥BC,且DE分别交AB,AC(或AB,AC的反向延长线)于点D,E,那么比例式=成立吗?(2)你能用语言叙述图中的结论吗?(3)用几何语言如何描述这一结论?【师生活动】学生小组合作交流,共同探究结论,教师及时点拨,师生共同归纳结论.【课件展示】平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.几何语言[设计意图]通过动画演示将平行线分线段成比例基本事实转化到三角形中,学生易直观形象地得出结论,同时通过学生讨论交流,培养学生的合作意识及语言表达能力.四、利用平行线证明三角形相似 问题如图所示,在△ABC 中,DE ∥BC ,且DE 分别交AB ,AC 于点D ,E ,△ADE 与△ABC 相似吗?如何证明?教师引导回答问题:(1)要证明三角形相似,需要哪些条件?(∠A =∠A ,∠ADE =∠B ,∠AED =∠C ,对应边成比例) (2)你能证明这些角对应相等吗? (由两直线平行,同位角相等可得) (3)如何证明AD:AB=AE:AC 吗？ (由平行线分线段成比例事实易得)(4)DE 不在BC 边上,用什么方法将DE 转化到BC 边上呢? (过E 作EF ∥AB,交BC 于点F) (5)你能证明DE ：BC=AE:AC 吗？ (由平行线分线段成比例事实易得)(6)你能写出△ADE ∽△ABC 的证明过程吗?(7)尝试用语言叙述上述结论,并用几何语言表示你的结论.【师生活动】学生在教师问题的引导下,思考后小组交流,小组代表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生板书点评,规范书写过程. 证明:在△ADE 和△ABC 中,∠A =∠A. ∵DE ∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C. 过E 作EF ∥AB,交BC 于点F,∵DE ∥BC,EF ∥AB,∴.AC AEABAD =BCBFAC AE =∵四边形DBFE 是平行四边形,∴DE=BF.BC DEAC AE AB AD ==∴∴△ADE ∽△ABC.【课件展示】平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.【几何语言】如图所示,在△ABC 中,∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC. 【追问】当DE 与BA 和CA 的延长线相交时,上述结论还成立吗?(教师总结归纳利用平行线证明三角形相似的基本图形:“A ”型和“X ”型)[设计意图]通过教师设计的小问题,层层深入,达到分析问题的目的,学生易于理解和掌握,提高学生分析问题的能力,同时培养学生归纳总结的能力,加深对平行线证明三角形相似的判定方法的理解.[知识拓展](1)相似三角形与全等三角形的联系与区别:全等三角形的大小相等,形状相同,而相似三角形的形状相同,大小不一定相等,所以全等三角形是相似三角形的特例,相似比是1∶1的两个相似三角形是全等三角形.(2)相似三角形的传递性:如果△ABC ∽△A'B'C',△A'B'C'∽△A ″B ″C ″,那么△ABC ∽△A ″B ″C ″.(3)在应用平行线分线段成比例这个基本事实时,找准被平行线截得的对应线段,被截线段不一定平行,当“上比下”的值为1时,说明这些平行线间的距离相等. (4)符合平行线证明三角形相似的图形有两个,我们称为“A ”型和“X ”型,如图所示,若DE ∥BC ,则△ADE ∽△ABC.七、课堂检测如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm, ∠BAC=450,∠ACB=400. (1)求∠AED 和∠ADE 的大小;(2)求DE 的长.八、课堂小结 知识小结1.相似三角形的概念、表示:三个角分别相等,三条边成比例,△ABC ∽△A'B'C'.2.平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.3.平行线分线段成比例在三角形中的应用:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.4.平行线证明三角形相似:“A ”型和“X ”型.平行于三角形一边的直线和其他两ADFER边相交,所构成的三角形与原三角形相似.方法小结1.通过平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的转化,体会数学中的化归思想及数形结合思想.2.通过平行线判定三角形相似及利用相似三角形的性质解决问题,提高自己分析问题、解决问题的能力.3.探究利用平行线判定三角形相似的证明,培养自己合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.4.在探究活动中通过小组合作交流,培养自己共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.九、板书设计1.相似三角形的概念、表示2.平行线分线段成比例的基本事实3.平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型十、教学反思本节课是三角形的判定的第1课时,通过复习相似多边形的概念,学生用类比法易得到相似三角形的概念及表示方法,降低了学习概念的难度.以动手操作为主探究平行线分线段成比例这一事实,学生经历动手操作、观察、计算、比较、讨论、归纳等教学活动,人人参与课堂,积极展示,学生成为课堂的主人,在积极思维中经历知识的形成过程,然后通过动画展示,学生直观形象地观察到这一基本事实在三角形中的应用,体会数学中的转化思想,为平行线证明相似做好铺垫.最后在教师的引导下完成定理的证明,培养学生逻辑思维能力和严谨的学习精神.本节课在探究平行线分线段成比例基本事实后,将这一基本事实转化到三角形中应用,得到三角形中的两个推论,课容量较大,在前面概念及基本事实的探究活动中耽误时间长,后面的探究活动教师设计的小问题较多,造成完不成课时任务,后面的处理过于仓促,有头重脚轻的感觉,学生对本节课的重点把握不准,在以后的教学中要注重时间的安排,突出课时重点.。
相似三角形的判定1
说课题目：三角形相似的判定1一、教材分析：1、教材地位和作用：“相似三角形的判定”是人教版九年级下册27.2.1节的内容。
对于相似三角形的研究,实际上是对平面几何中两个封闭图形关系研究的进一步，是在原来研究三角形全等基础上的深入。
它也是初中阶段遇到的比例式的主要途径，既是全等三角形研究的继续,也为后面测量和研究三角函数做了铺垫。
因此必须熟练掌握三角形相似的判定,学会灵活运用相似三角形的判定。
它在平面几何的学习中起着承上启下的作用。
“本节课是三角形相似的判定”第一课时，学习三角形相似的判定定理1及它的应用，为学生学习其它判定定理打下基础。
2、教学目标：（1）知识目标：经历三角形相似的判定定理1的探索及证明过程；能用定理1判定两个三角形相似，解决相关问题。
（2）能力目标：让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题的能力、解决问题的能力；正确应用三角形相似判定定理1，培养学生思维能力；渗透类比、化归的数学思想和应用数学的意识。
（3）情感目标：通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐3、教学重点与难点：根据定理1的重要地位及证明的复杂性，确定重难点为：重点：三角形相似的判定定理1及应用。
难点：三角形相似的判定定理1的证明。
充分运用多媒体教学手段，设置问题、探究讨论、例题讲解、巩固练习、课堂小结直至布置作业，突出直线，层层深入，逐一突破重难点。
二、教法学法1 、学情分析：学生通过前面的学习已了解了三角形相似的概念，掌握了相似三角形判定的预备定理，这为探究三角形相似的条件做好了知识上的准备。
另外，学生也具备了识别三角形全等的知识，通过类比和创设问题情境,能使学生能主动参与本节课的操作、探究。
经过一年多的几何学习，学生对几何图形的观察、分析能力已初步形成。
部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。
2、教法分析：针对初三学生的年龄特点和心理特征以及他们的知识水平，根据教学目标，本节课我采用探究发现式教学和参与式教学为主，利用多媒体引导学生始终参与到学习活动的全过程，使学生处于主动学习的状态。
人教版九年级下册数学《27.2.1相似三角形的判定》优秀教案
人教版九年级下册数学《27.2.1相似三角形的判定》优秀教案一. 教材分析人教版九年级下册数学《27.2.1相似三角形的判定》这一节，主要让学生掌握相似三角形的判定方法。
教材通过具体的例题，让学生理解并掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质，对于三角形的边长和角度有一定的了解。
但是，对于相似三角形的判定，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已知的三角形性质出发，推导出相似三角形的判定方法。
三. 教学目标1.了解相似三角形的判定方法，能够运用这些方法判断两个三角形是否相似。
2.能够解决实际问题，运用相似三角形的判定方法。
四. 教学重难点1.教学重点：掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并能够运用这些方法判断两个三角形是否相似。
2.教学难点：理解并掌握相似三角形的判定方法，能够解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生思考和探索，让学生自主发现相似三角形的判定方法。
同时，结合例题讲解，让学生在实践中掌握这些方法。
六. 教学准备1.PPT课件：包括相似三角形的判定方法、例题讲解等。
2.练习题：包括基础题和提高题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引发学生对相似三角形的思考。
例如：在建筑设计中，如何根据一个建筑物的缩小模型，计算出实际建筑物的尺寸？2.呈现（10分钟）介绍SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并通过PPT课件展示相关的例题。
引导学生思考和探索，让学生自主发现这些判定方法。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一道练习题，运用所学的判定方法进行解答。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）请各组代表上台讲解他们的解题过程，其他同学进行评价和提问。
教师总结学生的解题方法，并进行点评。
5.拓展（10分钟）出示一些提高题，让学生独立解答。
九年级数学《相似三角形的判定(1)》教案
《27.2相似三角形（1）》教学设计教学流程安排活动2 问题诱导探究新知1、 (教材P40页探究1)如图27.2-1,任意画两条直线l1 , l2,再画三条与l1 , l2相交的平行线l3 , l4,l5.分别量度l3 , l4,l5.在l1上截得的两条线段AB, BC和在l2上截得的两条线段DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗?任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗? 教师出示探究，提出问题．学生操作画图，度量AB, BC, DE, EF的长度并计算比值，小组讨论，共同交流,回答结果．提出问题：AB︰AC=DE︰（），BC︰AC=（）︰DF，师生共同交流．强调“对应线段的比是否相等”教师引导归纳，并板书：平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
学生在教师的指导下通过实践操作，探索和他人合作交流各自的所得结论等活动，积累数学活动经验。
学生通过亲自动手度量，操作，计算的活动经历，感受探索的过程。
2、实践操作 再探新知思考：1、如果图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 3上，如图27.2-2（1），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？2、如果图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 4上，如图27.2-2（2），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？3、 思考：如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交AB 、AC 于点D 、E ，△ADE 与△ABC 有什么关系？你能否加以证明。
4、你现在能用什么方法可以说明两个三角形相似？5、如果平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所教师引导学生继续探究把图1中的直线l 1 , l 2变到相交，交点A 刚好落到l 3或l 4上，所得的对应线段的比会相等吗？学生观察思考，小组讨论回答，同伴交流，归纳总结。
初中人教版数学九年级下册27.2.1核心素养【教学设计】《相似三角形的判定》
《27.2.1相似三角形的判定（1）》教学模式介绍：数学的核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。
这些数学学科素养既相对独立，又互相交融，是一个有机的整体。
核心素养下的教学设计是利用设计好的核心问题在课堂中培养学生的数学核心素质，重视学生在学习活动中的主体地位，让学生在积极参与学习活动的过程中得到发展。
教师创设情境设计问题，或通过富有启发性的讲授，或引导学生独立思考、自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，有效地启发学生思考，使学生成为学习的主体，学会学习。
课堂教学中，要注重让学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，让学生感悟数学思想，积累数学活动经验，在学习数学和应用数学的过程中，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养，让学生能与他人建立良好关系，有效地管理自己的学习、生活，能够发掘自身潜力，战胜学习数学中的困难，让学生能够适应未来社会、进行终身学习，实现全面发展。
设计思路说明：“相似三角形的判定”是在学习了相似图形之后，有了相似图形、相似多边形的基础，学生不难理解相似三角形的基本性质及相似比的有关规定。
教学中结合相似多边形也不难知道相似三角形的对应角相等，对应边的比例相等。
在用符号“∽”表示两个三角形相似时，应注意把表示对应顶点的字母写在对应位置，以便相对容易找出对应角和对应边。
全等是相似的特殊情形（相似比为1），这一点有必要让学生明白。
判断两个三角形相似的三个定理之间有内在的关联。
于是我们用测量的方法来直接归纳出结论，为了达到比较好的效果，我们设计了几道题目进行巩固。
随后利用平行线分线段成比例定理引出其推论，进而得到三角形相似的预备定理。
我们把重点放在证明预备定理上，因为其方法是非常重要的。
最后，再总结结论，拓展练习，以巩固知识的掌握程度。
教材分析本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准2011版》中的“图形与几何”，相似图形是现实生活中广泛存在的现象，探索并证明相似三角形的判定定理。
人教版九年级数学下册第二十七章27
五、作业布置
为了巩固学生对相似三角形判定与性质的理解和应用，特布置以下作业：
1.请同学们完成课本第27.2.1节后的习题1、2、3，注意运用相似三角形的判定方法解决问题，并在解题过程中标注关键步骤和所用定理。
2.设计一道实际生活中的问题，要求运用相似三角形的性质进行解答。例如：测量建筑物的高度、求解三角形中未知线段的长度等。请同学们将问题及解答过程记录下来，下节课与同学们分享。
二、学情分析
九年级学生已经具备了一定的几何基础，掌握了三角形的基本概念和性质，能够运用这些知识解决一些简单问题。在此基础上，学生对相似三角形的认识处于初步阶段，对于相似三角形的判定方法和性质需要进一步引导和深化。在教学过程中，教师要关注以下几点：
1.学生对相似三角形概念的理解程度，部分学生可能对其含义理解不透，需要通过具体实例和直观演示来加深理解。
4.通过实际例题的讲解和练习，培养学生将理论知识应用于实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生学习数学的积极性。
2.培养学生勇于探索、善于思考的精神，增强学生面对困难时的自信心。
3.培养学生养成良好的学习习惯，如预习、复习、总结等，提高学生的学习效率。
4.培养学生认识到数学在生活中的重要作用，增强学生的应用意识，使学生能够运用所学知识为社会服务。
4.小组合作，拓展延伸：将学生分成小组，讨论以下问题：相似三角形在生活中的应用、相似三角形与其他几何知识的联系等。通过合作交流，培养学生的团队协作能力和拓展思维。
5.课堂小结，总结提升：对本节课所学知识进行总结，让学生明确相似三角形的判定方法和性质，以及如何运用这些知识解决实际问题。
人教版九年级下册27.2.1相似三角形的判定(一)三边成比例的两个三角形相似课件
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
AD DE AE
解：∵ AB BC AC ,
AD DE AE
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
即 ∠BAD=∠CAE.
B
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°. D
A
C E
相似三角形的判定（一）
三边成比例的两个三角形相似
学习目标
1.复习已经学过的三角形相似的判定定理； 2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法.（重点、难点）
导入新课
回顾与思考
A
问题 如图，DE∥BC，△ADE∽△ABC？
D
E
B
C
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边
来判定两个三角形相似呢？
讲授新课
三边成比例的两个三角形相似
合作探究 问题：在下面两个三角形中，若 A' B' B' C' A' C' ，
AB BC AC
△ABC∽△A′B′C′？. A
A′
B′
C′
B
C
通过画图不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'.
所以△ABC∽△A′B′C′.
试利用前面的定理证明该结论.
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
又∵AD=A′B′,∴AD:AB=A′B′:AB.
∴∠BAC=∠DAE.
(2)AB=4， ∴ △PAC ∽ △PDB
所以△ABC∽△A′B′C′. 证明：设____________= k . DE＝20， EF＝16， DF＝8.
人教版数学九年级下册教案：27.2.1 相似三角形的判定 第一课时
27.2.1 相似三角形的判定 第一课时一、教学目标 1.核心素养通过相似三角形的判定的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力.2.学习目标掌握平行线分线段成比例定理和推论、相似三角形判定的预备定理；并且会进行简单应用.3.学习重点平行线分线段成比例定理和推论的应用，相似三角形判定的预备定理及其应用.4.学习难点平行线分线段成比例定理及推论、相似三角形判定的预备定理的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式.二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务任务1. 阅读教材P29-30，思考：什么是平行线分线段成比例定理？如何得到此定理？任务2. 阅读教材P30，思考：什么是平行线分线段成比例定理的推论？此定理是如何得来的？任务3. 阅读教材P30-31，思考：相似三角形判定的预备定理是什么？怎么证明呢？2.预习自测1.在△ 与C B A '''∆中，如果 ∠∠A '，∠∠B '，∠∠C '，且k AC CA C B BC B A AB =''=''=''，那么△与C B A '''∆，记作 ，其中k 就是两个相似三角形的 ； 如果 k = 1，那么这两个三角形.【知识点：相似三角形定义，相似比，三角形全等】 2.已知△∽△，若∠70°，∠60°，则∠度. 【知识点：相似三角形性质】3.如图，，且6，12，10，则.【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】（二）课堂设计1.知识回顾1.相似多边形的概念：两个边数相同的多边形，如果它们所有的角分别相等、所有的边成比例，那么这两个多边形相似.2.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.3.成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a ：：d ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段. 2.问题探究问题探究一 什么是相似三角形？●活动1 阅读教材，联想相似多边形，得出相似三角形的概念回顾与思考：回忆什么是相似多边形？想一想什么是相似三角形？相似比为1的两个三角形有怎样的关系？归纳 如图，在△和△A′B′C′中，如果∠∠A′，∠∠B′，∠∠C′，==,AB BC AC k A B B C A C =''''''即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△与△A′B′C′相似，相似比为k.相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △与△A′B′C′相似记作 “△∽△A′B′C′”.相似比为1的两个三角形全等.说明：(1)判定两个三角形相似的必备条件：三个角分别相等，三条边成比例； （2）相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形.(3)对应性：表示两三角形相似时，要注意对应性，即要把对应顶点写在对应位置上.(4)顺序性：求两相似三角形的相似比，要注意顺序性.若当△∽△A′B′C′时，==,AB BC AC k A B B C A C =''''''则△A′B′C′∽△时，1==.A B B C A C AB BC AC k ''''''= （5）相似三角形具有传递性：即若△∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△∽△A″B″C″；●活动2 例题讲解，相似三角形定义的应用例 如图，△∽△，其中＝6，＝9， 指出对应边、对应角，并求出相似比. 解：对应边分别是：与，与，与.对应角分别是：∠A 与∠D ，∠B 与∠E ，∠C 与∠F. ∵∶＝6∶9＝2∶3，∴相似比为2∶3.点拨：用“∽”表示两个图形相似时，表示对应顶点的字母应该写在对应的位置上.问题探究二 什么是平行线分线段成比例定理？●活动1 探究定理 应用多媒体展示问题，让学生自主去探索.问题：如图，任意画两条直线m 、n ，再画三条与m 、n 都相交的平行线1l 、 2l 、3l ，分别度量1l 、 2l 、3l 在m 上截得的两条线段，和在n 上截得的两条线段，的长度，AB DEBC EF与相等吗？任意平移3l ，AB DE BC EF与 还相等吗？ 探究：如图，小方格的边长都是1，直线 1l ∥2l ∥3l ，分别交直线m ，n 于 A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3 . 问题1：计算12122323,A AB B A A B B ，你有什么发现？ 问题2：将2l 向下平移到如图的位置，直线m ，n 与2l 的交点分别为2A ，2B ，问题1中的结论还成立吗？计算试一试.问题3：还可以得到那些对应线段的比值相等？ 学生讨论，通过计算12122323,A AB B A A B B 可以发现：将2l 平移到其他位置，上述结果一样.还可得到下面的比例式： 于是有，平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 可简记为：===.上上上上下下，，下下全全全全说明：(1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；(3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等. ●活动2 例题讲解，平行线分线段成比例性质的应用 例：如图，已知∥∥，交于点H ，下列结论中错误的是( )A.BH AHHC HD=B.AD BC DF CE =C.HC HD HE DF =D.AF BE DF CE = 详解：根据∥∥，结合平行线分线段成比例的基本事实可得解. ∵∥∥，故选项A ，B ，D 正确.∵∥，∴ ,HC HD HEHF=故选项C 错误.点拨：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形中找出比例线段即可判断.在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面得到信息：一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之 间的关系，即平行线分线段成比例. ●活动3 应用练习1.已知两条直线被三条平行线所截，截得线段长度如图所示，则.【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】2.如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F.已知，则的值为（ )A.23 B.32 C.52 D.53【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】 解：D问题探究三 平行线分线段成比例定理有怎样的推论呢？●活动1 利用多媒体演示，引导学生得出行线分线段成比例定理的推论. 把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况. 在图 (1)中，把4l 看成平行于△的边的直线；在图 (2)中，把3l 看成平行于△的边的直线，那么我们可以得到结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.数学表达式： 如图，∵∥，●活动2 例题讲解，平行线分线段成比例性质推论的应用例1.如图，在△中，E 、F 分别是和上的点，且 ∥， （1）如果 = 7，5， = 4，那么的长是多少？ （2）如果 = 10，6， = 5，那么的长是多少？【知识点：平行线分线段成比例定理推论；数学思想：数形结合】详解：(1)∵∥， ∴＝.∵＝7，＝5，＝4， ∴＝＝＝. (2)∵∥ ， ∴＝.∵＝10，＝6，＝5， ∴＝＝＝， ∴＝－＝－5＝.点拨：写比例式时，注意线段的对应关系.ABCEFABCDE F例2：如图，F 是平行四边形的边上一点，连接，并延长交的延长线于点E. 求证：.DE DFAE DC= 【知识点：平行线分线段成比例定理推论】解析： 先根据平行四边形的性质得出∥，∥，再根据平行线分线段成比例定理的推论得出对应边成比例即可得出结论. 证明：∵四边形是平行四边形， ∴∥，∥. ∴EBEFAE DE（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）. 同理可得.EF DFEB DC= 点拨：本题是证明等积式的典型题.要证明 a c bd=， 经常要把它转化为两个等式：.a e e c bffd==和我们通常把e f叫做中间比.而找中间比的常见的方法就是通过找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它的推论来构造比例式. ●活动3 应用练习1.如图，已知∥，与交于点O ，则下列比例式中不成立的是( )∶＝∶ ∶＝∶ ∶＝∶ ∶＝∶【知识点：平行线分线段成比例定理的推论】 解：B2.如图，已知∥∥，若＝6 ，＝9 ，＝7 .则＝. 【知识点：平行线分线段成比例定理定理的推论；数学思想：数形结合】 解：17.5问题探究四 相似三角形判定的预备定理是什么？ ●活动1 分组讨论，探究相似三角形判定的预备定理提出问题：在同学交流、评判的过程中，老师进一步阐述，平行于三角形一边的直线截其他两边（或其延长线）所得的三角形与原三角形相似吗？如图，在△中，∥，且分别交，于点D，E，△与△有什么关系？分析引导：直觉告诉我们，△与△相似，我们通过相似的定义证明它，即证明∠A＝∠A，∠＝∠B，∠＝∠C，＝＝.由前面的结论可得，＝.而中的不在△的边上，不能直接利用前面的结论.但从要证的＝可以看出，除外，，，都在△的边上，因此只需将平移到边上去，使得＝，再证明＝就可以了.只要过点E作∥，交于点F，就是平移所得的线段.师生活动：先证明两个三角形的角分别相等.如图，在△与△中，∠A＝∠A.∵∥，∴∠＝∠B，∠＝∠C.再证明两个三角形的边成比例.过点E作∥，交于点F.∵∥，∥，∴＝，＝.∵四边形是平行四边形，∴＝，∴＝，∴＝＝.这样，我们证明了△和△的角分别相等、边成比例，所以△∽△，追问：若点D、E分别在、的反向延长线上，△与△是否还相似呢？因此，我们有如下判定三角形相似的定理.相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的反向延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.(定理的证明由学生独立完成)定理的几何语言表述：∵∥，∴△∽△.●活动2 例题讲解，相似三角形判定的预备定理的应用例1：如图，D，E分别是△的边，上的点，∥，＝7，＝5，＝10，求的长. 【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】解：∵∥，∴△∽△，∴＝，∴＝＝＝14.点拨在根据相似三角形写比例式时，对应线段不要写错了.例2：如图，在△中，∥，∥.求证：△∽△.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】解：∵∥，∴△∽△，又∵∥，∴△∽△，∴△∽△点拨：利用平行线得三角形相似，是判定三角形相似的常用方法.●活动3 应用练习1.如图，在平行四边形中，∥交于E，交于F，：＝3：4，＝3，则的长为( )A.4B.7C.3D.12【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】解：B2.在△中，＝6，＝9，点D在边所在的直线上，且＝2，过点D作∥交边所在直线于点E，则的长为.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合、分类讨论】解：6或12问题探究五如何巧作平行线构造相似三角形解题？解题时，往往会遇到要求的线段比或要证的比例式找不到成比例的线段，与相似三角形联系不上，或者说图中没有平行线也根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是解决这类几何题的一种重要方法.而作平行线构造三角形相似是常用方法.活动1 合作探究，巧作平行线构造相似三角形解题技巧1：连接线段的中点构造相似三角形例1.如图，在△中，E，F是边上的两个三等分点，D是的中点，分别交，于点P，Q，求：：.【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】分析：题中无平行线，又无相似三角形，得不到成比例的线段，无法求出三条线段的比，需构造出平行线.由题意，D、F分别是、的中点，连接可得，由此平行得线段成比例可求.解：如图，连接，∵E，F是边的两个三等分点，∴＝＝.∵D是的中点，∴＝.∴是△的中位线.∴∥，且＝.∴∥.∴△∽△.∴＝.∵＝2，∴＝2.∴＝.∴＝2.∵∥，∴∠＝∠，∠＝∠.∴△∽△.∴＝.设＝a，则＝2a，＝3a.∴：＝：＝3：2.∴：：＝5：3：2.点拨：当题中已知有多条线段的中点时，可将中点与中点连接，构造三角形中位线，得到平行线.口诀是“中点连中点，构造中位线”.技巧2：过顶点作平行线构造相似三角形例2.如图，在△中，F为底边上一点，：＝3：2，取的中点D，连接并延长交于点E，求的值.【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】分析：要求，不能与已知条件：＝3：2联系起来，求不出.因此可作平行线，得到成比例线段，把它们联系起来，再求出.解：如图，过点C作∥交的延长线于点G.∵∥，∴∠＝∠G.又∵D为的中点，∴＝.又∵∠＝∠.∴△≌△.∴＝.∵：＝3：2，∴：＝5：2. ∵∥.∴△∽△. ∴＝＝＝.点拨：过顶点作平行线构造相似三角形，是常用之法.本题也可过顶点B 作的平行线与的延长线相交求；也可过顶点A 作的平行线与的延长线相交求. 技巧3：过分点作平行线构造相似三角形例3.如图，在△中，＝4，＝，求的值.【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】分析：要求，需作平行线，构造相似三角形，利用成比例线段求. 解：过D 点作∥，交于N ，如图.易知△∽△，△∽△.∵＝，∴＝. ∴＝＝.∵＝4，∴＝＝4. ∴＝·＝×4＝.点拨：点D 、M 、E 分别为线段、、的分点，过它们任一点作平行线都可求.活动2 应用练习1.如图，在△中，D 为边上一点，23 CD BD ，E 为中点，求FBAF的值.【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】 解：如图，过点D 作∥交于点P ，∴△∽△，.△∽△. ∵E 为中点，2， ∴，∴.2.如图，在△中，＞，在边上取一点D ，在上取一点E ，使＝，直线和的延长线交于点P.求证：＝.【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理】证明：如图，过点C作∥交于点F，∴△∽△.∴＝.∵∥，∴∠＝∠.∵＝，∴∠＝∠.∵∠＝∠，∴∠＝∠.∴＝.∴＝.3.课堂总结【知识梳理】(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.(2)平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段成比例.（3）相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.【重难点突破】（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.（2）平行线除了具备造成“三线八角”相等或互补的功能外，还可以分线段成比例，利用平行线得线段成比例的基本思路是：①善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形：“型”或“型”，得到相应的比例式；②平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，一般从分点或中点出发作平行线.（3）相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似.（4）解与线段成比例有关的问题时，往往会遇到求解的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加平行线构造相似三角形是解决这类问题的一种重要方法.4.随堂检测1.如图，△∽△，∠＝75°，∠A ＝60°，则∠C 等于( )A.45° B .60° C .75° D .80°【知识点：相似三角形；数学思想：数形结合】2.如图，直线1l ∥2l ∥3l ，若4，6，2，则的值为（ ）A.34B.3C.12D.31 【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】3.如图，直线1l ∥2l ∥3l ，直线分别交1l 、2l 、3l 于点A ，B ，C ，直线分别交1l 、2l 、3l 于点D ，E ，F ，与相交于点G ，且＝5，＝3，＝10，则DE EF的值为( ) A. 21 B.135 C. 53 D.54 【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】4.如图， △中D ，，，则下列比例式中正确的是（ ） A.AE BD EC AD = B.AE CF EC FB= C.BF AD BD FC = D.EC CF AE BF = 【知识点：平行线分线段成比例定理的推论】5.如图，在△中，∥，∶＝5∶3，＝12，则等于( )A.32B.24C.20D.16【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】（三）课后作业基础型 自主突破1.下列各组三角形一定相似的是（ ）.A.两个直角三角形B.两个都有一个内角等于130°的钝角三角形C.两个等腰三角形D.两个等边三角形【知识点：相似三角形】2.如图，△∽△，相似比为3∶7.若＝14，则的长是( )A.3B.6C.7D.8【知识点：相似比；数学思想：数形结合】3.已知，如图，∥∥，则下列结论不正确的是( )＝ ＝ ＝ ＝【知识点：平行线分线段成比例定理】4.如图，在四边形中，，，F 是上一点，连接.延长到H ，连接，分别交、于G 、E ，则图中相似三角形共有( )A.2对B.3对C.4对D.5对【知识点：相似三角形判定的预备定理】5.如图，已知：l 1∥l 2∥l 3，12，10，6，则 .【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】6.如图，，3，2，则B C CE. 【知识点：平行线分线段成比例定理的推论；数学思想：数形结合】能力型 师生共研7.已知在△中，点D ，E 分别在边，上，∥，＝，那么的值等于.【知识点：平行线分线段成比例定理的推论；数学思想：数形结合】8.如图，四边形是平行四边形，且：3：5，3，则的长为.【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，平行四边形性质；数学思想：数形结合】9.如图所示l 1∥l 2∥l 3，且＝2，＝15 ，＝12 ，求，，的长.【知识点：平行线分线段成比例定理及推论；数学思想：数形结合】10.如图，在四边形中，，.延长到G ，连接，分别交对角线、边于点E ，F. 求证：EG EF ⋅=2EF .【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：转化思想】探究型 多维突破11.如图，已知△，延长到点D ，使＝.取的中点F ，连接交于点E.(1)求的值；(2)若＝6，＝，求的长.【知识点：平行线分线段成比例定理的推论；数学思想：数形结合】12.如图1，在□中，点E 是边上的中点，点F 是线段上一点，的延长线交于点G ，（1）若)0( m m EF AF =，求CD CG的值（用含m 的代数式表示）. （2）（拓展迁移）如图2，梯形中，∥，点E 是延长线上一点，和相交于点F ，若,(0,0)AB BC a b a b CD BE==>>，求EF AE 的值（用含,a b 的代数式表示）. 【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合、类比、转化思想】 自助餐1.如图，∥∥，则在图中下列关系式一定成立的是（ ）【知识点：平行线分线段成比例定理】2.如图，△中，∠∠，∥，则图中与△相似的三角形有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个【知识点：相似三角形判定的预备定理】3.如图，点E 是平行四边形的边上一点，：5：7，交于F ，则：等于( )A.5：17B.5：7C.5：12D.7：12【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，平行四边形性质；数学思想：数形结合】4.如图，直线l 1∥l 2，：＝3：4，：＝3：2，则：为( )A.3：2B.4：3C.2：1D.15：8【知识点：平行线分线段成比例定理及推论；数学思想：数形结合】5.如图，正方形的边长为6，E 为中点，4，线段的两端点在、上滑动，当△与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似时，长为（ ）. A.554 B.558 C.554或558 D.554或556 【知识点：相似三角形，正方形，勾股定理；数学思想：数形结合，分类讨论】6.如图，已知、、都与垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且＝4，＝10，那么的长是( ) A.38 B.310 C.720 D.514 【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】7.如图，已知∥∥，∶4∶5，27，那么.【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】8.如图，分别交平行四边形的对角线、边于P 、N ，交的延长线于M ，若10，8，则的长为.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】9.如图，在Δ中，D 为中点，E 为上一点，且ED AE 54=，的延长线交于F ，若8，则 .【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】10.如图△∽△，∥，∠∠.（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若20，24，12.求、的长.【知识点：相似三角形；数学思想：数形结合】11.如图，在△中，＝30 ，＝24 ，菱形的顶点在△的边上，求的长.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合，方程思想】12.如图，∥，，相交于点E ，过点E 作∥，交于点F ，则：(1)求证：EF CD AB 111=+； (2)请找出S △，S △和S △间的关系式，并给出证明.【知识点：相似三角形判定的预备定理，三角形面积；数学思想：数形结合】五.参考答案预习自测1.相似 ABC ∆∽C B A '''∆ 相似比 全等2.50°3.∵，∴EF DE BC AB =，∴10126DE =，∴5. 随堂检测1.C2.B3.D4.B 由FB CF DB AD EC AE == 5.A课后作业基础型12345.19.26.52能力型 7.52 8.4.89.∵l 1∥l 2∥l 3，∴＝＝＝2，∴＝＝6，∴＝18 ，∴＝，∴＝＝510.∵，，∴四边形是平行四边形.∴∥，∴＝，又∵∥，∴＝，∴＝1，∴2＝·探究型11.解：(1)如图，过点C 作∥，交于点M.∵点C 为的中点，∴点M 为的中点，＝＝.∵∥，∴△∽△.∴＝AF CM＝2. ∴＝2.∴＝＝＝.(2)∵＝6，∴＝＝3.又∵＝，∴＝3. ∴＝3＝9.12.(1)如图1，作∥交于点H ，则△∽△，∵，∴CD mEH =，∥∥，∴△∽△ ∴2CG BC EH BE ==，∴2，∴.22CD mEH m CG EH == (2)如图2，过点E 作∥交的延长线于点H ，则有∥∥.∵∥，∴△∽△. ∴b BEBC EH CD ==.∴＝. 又a CD AB =，∴＝＝. ∵∥，∴△∽△. ∴ab EHabEH EH AB EF AF ===. ∴1+=+=+=ab EF EF EF AF EF EF AF EF AE . 自助餐1234. D 由题意得43==FB AF BD AG ，∵25=CD BC ，∴815=CD AG ，∴815==CD AG EC AE . 5 由题意得53，5343=DM 或5346=DM ，∴558554或=DM . 6. C 由题意得25410===AB CD AE DE ，∴75=DA DE ，∴75==DA DE AB EF ，即754=EF ， 7. 12 由题意得：54==DF BD CE AC ，5427=-AC AC ， ∴12.8. 12 ∵∥，∴Δ∽Δ，∴DPBP PN AP =.∵∥， ∴Δ∽Δ，∴DP BP AP MP =，∴AP MP PN AP =，即APAP 188=，∴12. 9. 28 过点D 做∥交与点M ，∴94==AD AE AM AF ，∵D 为中点，∴. 图1 图2∴144=AB AF ，∴1448=AB ，∴28. 10.（1）;AD CA CA BC DC AB == (2)∠∠，∠∠，∠∠;（3）∵,DAAC CA BC DC AB ==又20，24，12 11.设菱形的边长为x ，由题意知∥，∥，∴CB CE AB EF =，BCBF AC DE =， ∴1==+=+=+BC BC BC BE CE BC BE CB CE AC DE AB EF ，∴13024=+x x ，解得x ＝340， ∴340. 12.（1）证明：∵∥，∴DBDF AB EF =. ∵∥，∴DB BF CD EF =. (2)关系式为：BED BDC ABD S S S ∆∆∆=+111.证明如下：分别过A 作⊥于M ，过E 作⊥于N ，过C 作⊥交的延长线于K ，由题设可得：EN CK AM 111=+. 即BED BDC ABD S S S ∆∆∆=+111.。
人教版九年级数学下27.2.1相似三角形的判定(第一课时)教学设计
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时，教师要善于运用启发式教学，引导学生主动发现、总结相似三角形的判定方法，提高他们的数学素养。通过本章节的学习，使学生掌握相似三角形的判定方法，为后续几何学习打下坚实基础。
（2）结合数学学科特点，探讨相似三角形在艺术、建筑等领域的应用，撰写一篇小论文。
作业要求：
1.学生独立完成作业，确保解题过程的正确性和答案的准确性。
2.注重作业书写的规范性和整洁性，体现良好的学习态度。
3.鼓励学生积极参与小组合作作业，提高团队协作能力。
4.教师在批改作业时，关注学生的解题思路和方法，及时给予评价和指导。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：相似三角形的判定方法及其应用。
2.难点：相似三角形的判定过程中，学生对于比例关系的理解和运用；以及在解决实际问题时，相似变换的灵活运用。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
利用生活中常见的相似图形，如照片放大、缩小等，引导学生观察、思考相似三角形的性质。通过实际案例，激发学生探究相似三角形判定的兴趣。
1.帮助学生巩固几何基础知识，特别是全等三角形的判定方法，为学习相似三角形打下坚实基础。
2.注重培养学生的观察能力和空间想象力，提高他们发现相似三角形判定方法的能力。
3.针对学生个体差异，设计不同难度的问题，使每位学生都能在课堂上得到锻炼和提升。
4.加强对学生合作学习的引导，培养他们沟通交流、共同解决问题的能力。
（2）鼓励学生积极参与拓展性学习，提高他们的数学素养。
（3）充分挖掘学生的潜能，激发他们的创新意识。
人教版数学九年级下册第二十七章第二节相似三角形的判定教案
复备
我们就说△ ABC 与△ A ′ B ′ C ′相似，记作△ ABC∽△A′B′C′，k 就是它们的相似比．
1
反之如果△ABC∽△A′B′C′， 则有∠ A= ∠ A ′ , ∠ B= ∠ B ′ , ∠ C= ∠ C ′ , 且
AB BC CA ． A B B C CA
教学重点 教学难点 教具学 具准备 教 法
理解掌握平行线分线段成比例定理及应用 掌握平行线分线段成比例定理应用
三角尺
引导，启发 教 学 过
学
法 程
发现
一、导入新课： 谈话复习引入课题 （1）相似多边形的主要特征是什么？ （2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在△ABC 与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B= ∠B′, ∠C=∠C′, 且 AB BC CA k ．
课题：27.2.1 相似三角形的判定（一）
课 课 教 学 目 标 题 型 相似三角形的判定（一） 新授 授课时间 课时安排 第三课时
知识与技能：会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽△A′B′C′ 过程与方法：在平行线分线段成比例定理探究过程中， 让学生运用“操作—比较—发现—归纳”分析问题． 情感态度与价值观：在探究平行线分线段成比例定理 过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质
2
） ，BC︰AC=（ ）
︰DF，师生共同交流．强调“对应线段的比是否相等”
三条平行线截两条直线，
的比会相等吗？依据是什么？
2、如果把图 27.2-1 中 l1 , l2 两条直线相交，交点 A 刚 落到 l4 上，如图 27.2-2（2） ，所得的对应线段的比会 相等吗？依据是什么？ 学生活动: 学生观察思考，小组讨论回答； 师生归纳总结：(板书并朗读) 平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一 边的直线截其他两边（或两边延长线） ，所得的对应线 段的比相等 三、课堂练习： 如图，在△ABC 中，DE∥ BC ， AC=4 ， AB=3 ， EC=1. 求 AD 和 BD. 四、课堂小结： 1、谈谈本节课你有哪些收获． “三角形相似的预备 定理” ．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必 构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作 平行线构造三角形与已知三角形相似． 2、相似比是带有顺序性和对应性的 五、布置作业： 习题 27.2 第 1 题 六、板书设计：
相似三角形的判定第一课时教案,
1.相似多边形的主要特征是什么？
2.在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且 ．我们就说△ABC与△A′B′C′，记作，它们的相似比为,△ 与△ABC的相似比为．
反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有,且．
3.如图,（1）在∆ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E，
课题27．2．1相似三角形的判定
（第一课时）
鹤城中学 初三年级组（潘立新）
【教学目标】
1．知识技能:(1)会用符号“∽”表示相似三角形，如△ABC ∽△ ;
(2)知道当△ABC与△ 的相似比为k时，△ 与△ABC的相似比为1/k．
(3)理解掌握平行线分线段成比例定理和三角形相似的预备定理
2．解决问题:运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．
4.用几何语言描述上述三个定理
〖设计说明〗1.通过预习作业检查和师生共同探讨，培养学生自学能力，以防差生出现
2.使学生加深对平行线分线段成比例定理和三角形相似的预备定理的理解
2、 展示探究
例1如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．
〖设计说明〗通过对相似三角形定义的回顾和特殊情况三角形的中位线出发观察讨论两三角形对应线段的比的关系，两三角形形状关系，从而引伸出平行线分线段成比例定理和三角形相似的预备定理
【教学设计】
1．预习交流
1.检查学生的预习作业，师生共同探讨预习作业的第2,3题
2.如图27.2-1),任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行线l3,l4,l5.
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定(教案)
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过这个案例，展示相似三角形在实际中的应用，以及如何利用判定定理来解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调AAA、AA、SAS相似判定定理这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学下册第27章第二节，27.2.1相似三角形的判定：
1.掌握相似三角形的定义及性质。
2.学习并掌握AAA（角角角）相似判定定理、AA（角角）相似判定定理、SAS（边角边）相似判定定理。
3.能够运用相似三角形的判定定理解决实际问题。
此外，我在教学过程中也注意到了一些同学在解决实际问题时，仍然存在困难。这让我意识到，在今后的教学中，要更加注重培养同学们的数学建模素养，让他们学会从实际问题中抽象出数学模型，并运用所学知识解决问题。
-能够运用相似三角形的判定定理进行几何问题的证明和计算。
-通过实际案例分析，让学生感受相似三角形在实际问题中的应用。
举例解释：重点在于学生能够准确理解相似三角形的定义，并能够运用判定定理。例如，通过具体图形，讲解AAA相似判定定理，强调当三角形的三个角分别相等时，可以判定两个三角形相似。
2.教学难点
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个三角形看起来很相似，但不知道如何证明的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形的判定方法。
人教版九年级数学下册：27.2.1相似三角形判定教案
（3）SAS相似定理：如果两个三角形的两边和夹角对应相等，那么这两个三角形相似。
3.相似三角形的判定方法：通过实际例题，让学生掌握如何运用上述定理来判断两个三角形是否相似。
4.相似三角形的性质应用：探讨相似三角形在实际问题中的应用，如比例尺、图形放大与缩小等。
2.教学难点
-理解并内化相似三角形的判定定理：学生对定理的理解往往停留在表面，难以灵活运用到实际问题中。
-识别并构建相似三角形：在实际问题中，学生需要能够从复杂的图形中识别出相似三角形，这要求学生有较强的观察能力和空间想象力。
-解决相似三角形相关的问题时，选择合适的判定方法：学生往往在面对多种判定方法时，难以选择最有效的方法。
实物模型，增强学生的直观感受，帮助他们理解和记忆相似三角形的判定定理。
-设计不同难度的题目，逐步引导学生从简单到复杂的问题解决过程中，培养他们识别和构建相似三角形的能力。
-通过小组讨论和合作，让学生在互动交流中学会选择合适的判定方法。
-结合实际情境，设计贴近生活的例题，指导学生如何将相似三角形的性质应用于实际问题，提高他们解决问题的能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形的基本概念、判定方法以及在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对相似三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。它们对应角相等，对应边成比例。相似三角形在几何学中占有重要地位，广泛应用于实际问题中。
人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定》教案
c.三角形两边对应成比例且夹角相等的情况，要求学生掌握这一判定方法的运用。
-举例：给出具体三角形，指导学生如何通过已知条件，运用两边对应成比例且夹角相等的方法判断三角形相似。
2.教学难点
本节课的难点内容主要包括以下方面，教师应采取有效的教学方法帮助学生突破难点：
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相似三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的判定基本概念。相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。判定相似三角形的方法有对应角相等、对应边成比例等，它们在几何学中具有重要地位，并在实际应用中广泛使用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过案例分析，展示相似三角形的判定在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
-难点突破：通过分析复杂图形中的三角形，引导学生发现并应用两边对应成比例且夹角相等的方法，培养学生逻辑推理和数学抽象能力。
d.解决实际问题时的数学建模和数据分析。
-难点突破：设计实际应用题，让学生学会将相似三角形的判定方法应用于解决实际问题，提高数学建模和数据分析能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
三、教学难点与重点
1.教学重点
本节课的核心内容是相似三角形的判定方法，教师应针对性地进行讲解和强调以下方面：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
27.2.1 相似三角形的判定 第一课时一、教学目标1.核心素养通过相似三角形的判定的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力.2.学习目标掌握平行线分线段成比例定理和推论、相似三角形判定的预备定理；并且会进行简单应用.3.学习重点平行线分线段成比例定理和推论的应用，相似三角形判定的预备定理及其应用.4.学习难点平行线分线段成比例定理及推论、相似三角形判定的预备定理的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1. 阅读教材P29-30，思考：什么是平行线分线段成比例定理？如何得到此定理？任务2. 阅读教材P30，思考：什么是平行线分线段成比例定理的推论？此定理是如何得来的？任务3. 阅读教材P30-31，思考：相似三角形判定的预备定理是什么？怎么证明呢？2.预习自测1.在△ABC 与C B A '''∆中，如果 ∠A=∠A '，∠B=∠B '，∠C=∠C '，且 k AC CA C B BC B A AB =''=''=''，那么△ABC 与C B A '''∆_______，记作 _________，其中k就是两个相似三角形的 ______； 如果 k = 1，那么这两个三角形_______.【知识点：相似三角形定义，相似比，三角形全等】2.已知△ABC ∽△EFD ，若∠ABC=70°，∠ACB=60°，则∠FED=______度.【知识点：相似三角形性质】3.如图，AD//BE//CF ，且AB=6，BC=12，EF=10，则DE=_______.【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】（二）课堂设计1.知识回顾1.相似多边形的概念：两个边数相同的多边形，如果它们所有的角分别相等、所有的边成比例，那么这两个多边形相似.2.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.3.成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a ：b=c ：d ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段.2.问题探究问题探究一 什么是相似三角形？●活动1 阅读教材，联想相似多边形，得出相似三角形的概念回顾与思考：回忆什么是相似多边形？想一想什么是相似三角形？相似比为1的两个三角形有怎样的关系？归纳 如图，在△ABC 和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，==,AB BC AC k A B B C A C =''''''即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC 与△A′B′C′相似，相似比为k.相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ABC 与△A′B′C′相似记作 “△ABC ∽△A′B′C′”.相似比为1的两个三角形全等.说明：(1)判定两个三角形相似的必备条件：三个角分别相等，三条边成比例；（2）相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形.(3)对应性：表示两三角形相似时，要注意对应性，即要把对应顶点写在对应位置上.(4)顺序性：求两相似三角形的相似比，要注意顺序性.若当△ABC ∽△A′B′C′时，==,AB BC AC k A B B C A C =''''''则△A′B′C′∽△ABC 时，1==.A B B C A C AB BC AC k''''''= （5）相似三角形具有传递性：即若△ABC ∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC ∽△A″B″C″；●活动2 例题讲解，相似三角形定义的应用例 如图，△ABC ∽△DEF ，其中AB ＝6，DE ＝9，指出对应边、对应角，并求出相似比.解：对应边分别是：AB 与DE ，BC 与EF ，AC 与DF.对应角分别是：∠A 与∠D ，∠B 与∠E ，∠C 与∠F.∵AB ∶DE ＝6∶9＝2∶3，∴相似比为2∶3.点拨：用“∽”表示两个图形相似时，表示对应顶点的字母应该写在对应的位置上.问题探究二 什么是平行线分线段成比例定理？●活动1 探究定理 应用多媒体展示问题，让学生自主去探索.问题：如图，任意画两条直线m 、n ，再画三条与m 、n 都相交的平行线1l 、 2l 、3l ，分别度量1l 、 2l 、3l 在m 上截得的两条线段AB ，BC 和在n 上截得的两条线段DE ，EF 的长度，AB DE BC EF与相等吗？任意平移3l ，AB DE BC EF 与 还相等吗？ 探究：如图，小方格的边长都是1，直线 1l ∥2l ∥3l ，分别交直线m ，n 于 A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3 .问题1：计算 12122323,A A B B A A B B ，你有什么发现？ 问题2：将2l 向下平移到如图的位置，直线m ，n 与2l 的交点分别为2A ，2B ，问题1中的结论还成立吗？计算试一试.问题3：还可以得到那些对应线段的比值相等？学生讨论，通过计算12122323,A A B B A A B B 可以发现：将2l 平移到其他位置，上述结果一样.还可得到下面的比例式：于是有，平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.可简记为：===.上上上上下下，，下下全全全全说明：(1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；(3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等.●活动2 例题讲解，平行线分线段成比例性质的应用例：如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AF 交BE 于点H ，下列结论中错误的是( )A.BH AH HC HD= B.AD BC DF CE = C.HC HD HE DF = D.AF BE DF CE = 详解：根据AB ∥CD ∥EF ，结合平行线分线段成比例的基本事实可得解. ∵AB ∥CD ∥EF ，故选项A ，B ，D 正确.∵CD ∥EF ，∴ ,HC HD HE HF=故选项C 错误. 点拨：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形中找出比例线段即可判断.在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面得到信息：一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之间的关系，即平行线分线段成比例.●活动3 应用练习1.已知两条直线被三条平行线所截，截得线段长度如图所示，则x=________.【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】2.如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F.已知，则的值为（ )A.23B.32C.52D.53【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】解：D问题探究三 平行线分线段成比例定理有怎样的推论呢？●活动1 利用多媒体演示，引导学生得出行线分线段成比例定理的推论. 把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况. 在图 (1)中，把4l 看成平行于△ABC 的边BC 的直线；在图 (2)中，把3l 看成平行于△ABC 的边BC 的直线，那么我们可以得到结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.数学表达式：如图，∵DE ∥BC ，●活动2 例题讲解，平行线分线段成比例性质推论的应用例1.如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 和AC 上的点，且 EF ∥BC ，（1）如果AE = 7，EB=5，FC = 4，那么AF 的长是多少？（2）如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么FC 的长是多少？【知识点：平行线分线段成比例定理推论；数学思想：数形结合】详解：(1)∵EF ∥BC ，∴AE EB ＝AF FC. ∵AE ＝7，EB ＝5，FC ＝4，∴AF ＝AE·FC EB ＝7×45＝285. (2)∵EF ∥ BC ，∴AE AB ＝AF AC. ∵AB ＝10，AE ＝6，AF ＝5，A B CE F∴AC ＝AB·AF AE ＝10×56＝253， ∴FC ＝AC －AF ＝253－5＝103. 点拨：写比例式时，注意线段的对应关系.例2：如图，F 是平行四边形ABCD 的边CD 上一点，连接BF ，并延长BF 交AD 的延长线于点E. 求证：.DE DF AE DC = 【知识点：平行线分线段成比例定理推论】解析： 先根据平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线分线段成比例定理的推论得出对应边成比例即可得出结论.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，AD ∥BC.∴EBEF AE DE （平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）.同理可得.EF DF EB DC = 点拨：本题是证明等积式的典型题.要证明 a c b d=， 经常要把它转化为两个等式：.a e e c b f f d ==和我们通常把e f叫做中间比.而找中间比的常见的方法就是通过找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它的推论来构造比例式. ●活动3 应用练习1.如图，已知AB ∥CD ，AC 与BD 交于点O ，则下列比例式中不成立的是( )A.OC ∶OD ＝OA ∶OBB.OC ∶OD ＝OB ∶OAC.OC ∶AC ＝OD ∶DBD.BD ∶AC ＝OB ∶OA【知识点：平行线分线段成比例定理的推论】解：B2.如图，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝6 cm ，CD ＝9 cm ，BF ＝7 cm.则BC ＝________.【知识点：平行线分线段成比例定理定理的推论；数学思想：数形结合】AB C D EF解：17.5问题探究四 相似三角形判定的预备定理是什么？ ●活动1 分组讨论，探究相似三角形判定的预备定理提出问题：在同学交流、评判的过程中，老师进一步阐述，平行于三角形一边的直线截其他两边（或其延长线）所得的三角形与原三角形相似吗？如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，△ADE 与△ABC 有什么关系？分析引导：直觉告诉我们，△ADE 与△ABC 相似，我们通过相似的定义证明它，即证明∠A ＝∠A ，∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，AD AB ＝AE AC ＝DE BC. 由前面的结论可得，AD AB ＝AE AC .而DE BC中的DE 不在△ABC 的边BC 上，不能直接利用前面的结论.但从要证的AE AC ＝DE BC 可以看出，除DE 外，AE ，AC ，BC 都在△ABC 的边上，因此只需将DE 平移到BC 边上去，使得BF ＝DE ，再证明AE AC ＝BF BC就可以了.只要过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F ，BF 就是平移DE 所得的线段.师生活动：先证明两个三角形的角分别相等.如图，在△ADE 与△ABC 中，∠A ＝∠A.∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C.再证明两个三角形的边成比例.过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F.∵DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴AD AB ＝AE AC ，BF BC ＝AE AC. ∵四边形DBFE 是平行四边形，∴DE ＝BF ，∴DE BC ＝AE AC ，∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC. 这样，我们证明了△ADE 和△ABC 的角分别相等、边成比例，所以△ADE ∽△ABC ，追问：若点D 、E 分别在AB 、AC 的反向延长线上，△ADE 与△ABC 是否还相似呢？因此，我们有如下判定三角形相似的定理. 相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的反向延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.(定理的证明由学生独立完成)定理的几何语言表述：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC.●活动2 例题讲解，相似三角形判定的预备定理的应用例1：如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，AB ＝7，AD ＝5，DE ＝10，求BC 的长.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC， ∴BC ＝AB·DE AD ＝7×105＝14. 点拨 在根据相似三角形写比例式时，对应线段不要写错了.例2：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB.求证：△ADE ∽△EFC.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，又∵EF ∥AB ，∴△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC点拨：利用平行线得三角形相似，是判定三角形相似的常用方法.●活动3 应用练习1.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA＝3：4，EF＝3，则CD的长为( )A.4B.7C.3D.12【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】解：B2.在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点D在边AB所在的直线上，且AD＝2，过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E，则CE的长为___________.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合、分类讨论】解：6或12问题探究五如何巧作平行线构造相似三角形解题？解题时，往往会遇到要求的线段比或要证的比例式找不到成比例的线段，与相似三角形联系不上，或者说图中没有平行线也根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是解决这类几何题的一种重要方法.而作平行线构造三角形相似是常用方法.活动1 合作探究，巧作平行线构造相似三角形解题技巧1：连接线段的中点构造相似三角形例1.如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP：PQ：QD.【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】分析：题中无平行线，又无相似三角形，得不到成比例的线段，无法求出三条线段的比，需构造出平行线.由题意，D、F分别是AC、EC的中点，连接DF可得DF//AE，由此平行得线段成比例可求.解：如图，连接DF，∵E，F是边BC的两个三等分点，∴BE＝EF＝FC.∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∴DF是△ACE的中位线.∴DF ∥AE ，且DF ＝12AE.∴DF ∥PE. ∴△BEP ∽△BFD.∴BE BF ＝BP BD. ∵BF ＝2BE ，∴BD ＝2BP.∴BP ＝PD.∴DF ＝2PE.∵DF ∥AE ，∴∠APQ ＝∠FDQ ，∠PAQ ＝∠DFQ.∴△APQ ∽△FDQ.∴PQ QD ＝AP DF. 设PE ＝a ，则DF ＝2a ，AP ＝3a.∴PQ ：QD ＝AP ：DF ＝3：2.∴BP ：PQ ：QD ＝5：3：2.点拨：当题中已知有多条线段的中点时，可将中点与中点连接，构造三角形中位线，得到平行线.口诀是“中点连中点，构造中位线”.技巧2：过顶点作平行线构造相似三角形例2.如图，在△ABC 中，F 为底边AB 上一点，BF ：AF ＝3：2，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC的值. 【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】分析：要求BE EC，不能与已知条件BF ：AF ＝3：2联系起来，求不出.因此可作平行线，得到成比例线段，把它们联系起来，再求出.解：如图，过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G.∵CG ∥AB ，∴∠DAF ＝∠G.又∵D 为CF 的中点，∴CD ＝DF.又∵∠ADF ＝∠CDG.∴△ADF ≌△GDC.∴AF ＝CG.∵BF ：AF ＝3：2，∴AB ：AF ＝5：2.∵AB ∥CG.∴△ABE ∽△GCE.∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝52.点拨：过顶点作平行线构造相似三角形，是常用之法.本题也可过顶点B 作AE 的平行线与CF 的延长线相交求；也可过顶点A 作CB 的平行线与CF 的延长线相交求.技巧3：过分点作平行线构造相似三角形例3.如图，在△ABC 中，AM MD ＝4，BD DC ＝23，求AE EC的值. 【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】分析：要求AE EC，需作平行线，构造相似三角形，利用成比例线段求. 解：过D 点作DN ∥AC ，交BE 于N ，如图.易知△DMN ∽△AME ，△BDN ∽△BCE.∵BD DC ＝23，∴BD BC ＝25. ∴DN CE ＝BD BC ＝25. ∵AM MD ＝4，∴AE DN ＝AM MD＝4. ∴AE EC ＝DN EC ·AE DN ＝25×4＝85. 点拨：点D 、M 、E 分别为线段BC 、AD 、AC 的分点，过它们任一点作平行线都可求.活动2 应用练习1.如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，23 CD BD ，E 为AD 中点，求FB AF 的值. 【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】解：如图，过点D 作DP ∥CF 交AB 于点P ，∴△AFE ∽△APD ，.△BPD ∽△BFC.∵E 为AD 中点，BD=2CD ，∴AE=ED ，∴AF=FP.2.如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC. 【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理】 证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ，∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP ＝BD CF. ∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC.∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED.∵∠AED ＝∠CEP ，∴∠EFC ＝∠CEP.∴EC ＝CF.∴BP CP ＝BD EC. 3.课堂总结【知识梳理】(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.(2)平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段成比例.（3）相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.【重难点突破】（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.（2）平行线除了具备造成“三线八角”相等或互补的功能外，还可以分线段成比例，利用平行线得线段成比例的基本思路是：①善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形： “型”或“ 型”，得到相应的比例式；②平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，一般从分点或中点出发作平行线.（3）相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似.（4）解与线段成比例有关的问题时，往往会遇到求解的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加平行线构造相似三角形是解决这类问题的一种重要方法.4.随堂检测1.如图，△ABC ∽△AED ，∠ADE ＝75°，∠A ＝60°，则∠C 等于( )A.45° B .60° C .75° D .80°【知识点：相似三角形；数学思想：数形结合】2.如图，直线1l ∥2l ∥3l ，若AB=4，BC=6，DE=2，则EF 的值为（ ）A.34B.3C.12D.31 【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】3.如图，直线1l ∥2l ∥3l ，直线AC 分别交1l 、2l 、3l 于点A ，B ，C ，直线DF 分别交1l 、2l 、3l 于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG ＝5，GB ＝3，BC ＝10，则DE EF的值为( ) A. 21 B.135 C. 53 D.54 【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】4.如图， △ABC 中D ，DE//BC ，DF//AC ，则下列比例式中正确的是（ ） A.AE BD EC AD = B.AE CF EC FB= C.BF AD BD FC = D.EC CF AE BF = 【知识点：平行线分线段成比例定理的推论】5.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，CE ∶AE ＝5∶3，DE ＝12，则BC 等于( )A.32B.24C.20D.16【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】（三）课后作业基础型自主突破1.下列各组三角形一定相似的是（）.A.两个直角三角形B.两个都有一个内角等于130°的钝角三角形C.两个等腰三角形D.两个等边三角形【知识点：相似三角形】2.如图，△ABC∽△DEF，相似比为3∶7.若BC＝14，则EF的长是( )A.3B.6C.7D.8【知识点：相似比；数学思想：数形结合】3.已知，如图，AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是( )A.ACCE＝BDDFB.ACAE＝BDBFC.BDCE＝ACDFD.AECE＝BFDF【知识点：平行线分线段成比例定理】4.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD，F是CD上一点，连接AF.延长CD 到H，连接BH，分别交AF、AD于G、E，则图中相似三角形共有( )A.2对B.3对C.4对D.5对【知识点：相似三角形判定的预备定理】5.如图，已知：l1∥l2∥l3，BC=12，EF=10，DE=6，则AC= .【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】6.如图，AB//CD，AE=3，DE=2，则B CCE=_________.【知识点：平行线分线段成比例定理的推论；数学思想：数形结合】能力型师生共研7.已知在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，ADAB＝27，那么AECE的值等于____.【知识点：平行线分线段成比例定理的推论；数学思想：数形结合】8.如图，四边形ABCD是平行四边形，且EF：FC=3：5，CD=3，则BE的长为________.【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，平行四边形性质；数学思想：数形结合】9.如图所示l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝2BC ，DF ＝15 cm ，AG ＝12 cm ，求GF ，AF ，EF 的长.【知识点：平行线分线段成比例定理及推论；数学思想：数形结合】10.如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，AD=BC.延长DC 到G ，连接AG ，分别交对角线BD 、边BC 于点E ，F.求证：EG EF ⋅=2EF .【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：转化思想】探究型 多维突破11.如图，已知△ABC ，延长BC 到点D ，使CD ＝BC.取AB 的中点F ，连接FD 交AC 于点E.(1)求AE AC的值； (2)若AB ＝6，FB ＝EC ，求AC 的长.【知识点：平行线分线段成比例定理的推论；数学思想：数形结合】12.如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交CD 于点G ，（1）若)0( m m EF AF =，求CD CG的值（用含m 的代数式表示）. （2）（拓展迁移）如图2，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ，若,(0,0)AB BC a b a b CD BE==>>，求EF AE 的值（用含,a b 的代数式表示）.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合、类比、转化思想】 自助餐1.如图，AB ∥CD ∥EF ，则在图中下列关系式一定成立的是（ ）【知识点：平行线分线段成比例定理】2.如图，△ABC 中，∠ADE=∠ABC ，MN ∥AB ，则图中与△ABC 相似的三角形有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个【知识点：相似三角形判定的预备定理】3.如图，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 上一点，BE ：EC=5：7，AE 交BD 于F ，则BF ：BD 等于( )A.5：17B.5：7C.5：12D.7：12【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，平行四边形性质；数学思想：数形结合】4.如图，直线l 1∥l 2，AF ：FB ＝3：4，BC ：CD ＝3：2，则AE ：EC 为( )A.3：2B.4：3C.2：1D.15：8【知识点：平行线分线段成比例定理及推论；数学思想：数形结合】5.如图，正方形ABCD 的边长为6，E 为BC 中点，MN=4，线段MN 的两端点在CD 、AD 上滑动，当△ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似时，DM 长为（ ）. A.554 B.558 C.554或558 D.554或556 【知识点：相似三角形，正方形，勾股定理；数学思想：数形结合，分类讨论】6.如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝4，CD ＝10，那么EF 的长是( ) A.38 B.310 C.720 D.514 【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】7.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，BD ∶DF=4∶5，AE=27，那么AC=_______.【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】8.如图，AM 分别交平行四边形ABCD 的对角线BD 、边CD 于P 、N ，交BC 的延长线于M ，若MN=10，PN=8，则AP 的长为_______.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】9.如图，在ΔABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 上一点，且ED AE 54，CE 的延长线交AB 于F ，若AF=8，则AB= .【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】10.如图△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA.（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=20，BC=24，CA=12.求AD 、DC 的长.【知识点：相似三角形；数学思想：数形结合】11.如图，在△ABC 中，AB ＝30 cm ，AC ＝24 cm ，菱形ADEF 的顶点在△ABC 的边上，求EF 的长.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合，方程思想】12.如图，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交BD 于点F ，则：(1)求证：EFCD AB 111=+； (2)请找出S △ABD ，S △BED 和S △BDC 间的关系式，并给出证明.【知识点：相似三角形判定的预备定理，三角形面积；数学思想：数形结合】五.参考答案预习自测1.相似 ABC ∆∽C B A '''∆ 相似比 全等2.50°3.∵AD//BE//CE ，∴EF DE BC AB =，∴10126DE =，∴DE=5. 随堂检测1.C2.B3.D4.B 由FB CF DB AD EC AE == 5.A课后作业基础型1.D2.B3.C4.C5.19.26.52能力型 7.52 8.4.89.∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝AG GF ＝DE EF＝2， ∴GF ＝12AG ＝6cm ，∴AF ＝18 cm ，∴EF DF ＝13，∴EF ＝13DF ＝5 cm 10.∵AB=CD ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形.∴AD ∥BC ，∴AE EF ＝DE BE，又∵AB ∥CD ， ∴AE EG ＝BE DE ，∴AE 2EF·EG＝1，∴AE 2＝EF·EG 探究型11.解：(1)如图，过点C 作CM ∥AB ，交DF 于点M.∵点C 为BD 的中点，∴点M 为DF 的中点，CM ＝12BF ＝12AF. ∵CM ∥AB ，∴△AEF ∽△CEM.∴AE CE ＝AF CM＝2. ∴AE ＝2CE.∴AE AC ＝AE AE ＋CE ＝2CE 2CE ＋CE ＝23. (2)∵AB ＝6，∴FB ＝12AB ＝3. 又∵FB ＝EC ，∴EC ＝3. ∴AC ＝3EC ＝9.12.(1)如图1，作EH ∥AB 交BG 于点H ，则△EHF ∽△ABF ，∵AB=CD ，∴CD mEH =，EH ∥AB ∥CD ，∴△BEH ∽△BCG ∴2CG BC EH BE ==，∴CG=2EH ，∴.22CD mEH m CG EH == (2)如图2，过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H ，则有EH ∥AB ∥CD.∵EH ∥CD ，∴△BCD ∽△BEH. ∴b BEBC EH CD ==.∴CD ＝bEH. 又a CD AB =，∴AB ＝aCD ＝abEH. ∵EH ∥AB ，∴△ABF ∽△EHF. ∴ab EHabEH EH AB EF AF ===. ∴1+=+=+=ab EF EF EF AF EF EF AF EF AE . 自助餐1.c2.B3.A4. D 由题意得43==FB AF BD AG ，∵25=CD BC ，∴815=CD AG ，∴815==CD AG EC AE .5.C 由题意得AE=53，5343=DM 或5346=DM ，∴558554或=DM . 6. C 由题意得25410===AB CD AE DE ，∴75=DA DE ，∴75==DA DE AB EF ，即754=EF ， 7. 12 由题意得：54==DF BD CE AC ，5427=-AC AC ， ∴AC=12.8. 12 ∵AB ∥DN ，∴ΔABP ∽ΔNDP ，∴DPBP PN AP =.∵AD ∥BM ， ∴ΔADP ∽ΔMBP ，∴DP BP AP MP =，∴AP MP PN AP =，即APAP 188=，∴AP=12. 9. 28 过点D 做DM ∥FC 交AB 与点M ，∴94==AD AE AM AF ，∵D 为BC 中点，∴BM=FM. ∴144=AB AF ，∴1448=AB ，∴AB=28. 图1 图210.（1）;AD CA CA BC DC AB ==(2)∠BAC=∠CDA ，∠B=∠DCA ，∠ACB=∠DAC;（3）∵,DAAC CA BC DC AB ==又AB=20，BC=24，CA=12 11.设菱形的边长为x ，由题意知EF ∥AB ，DE ∥AC ，∴CB CE AB EF =，BCBF AC DE =， ∴1==+=+=+BC BC BC BE CE BC BE CB CE AC DE AB EF ，∴13024=+x x ，解得x ＝340， ∴EF=340cm. 12.（1）证明：∵AB ∥EF ，∴DBDF AB EF =. ∵CD ∥EF ，∴DB BF CD EF =. (2)关系式为：BED BDC ABD S S S ∆∆∆=+111.证明如下：分别过A 作AM ⊥BD 于M ，过E 作EN ⊥BD 于N ，过C 作CK ⊥BD 交BD 的延长线于K ，由题设可得：EN CK AM 111=+. 即BED BDC ABD S S S ∆∆∆=+111.。