高三数学试题：.互斥事件有一个发生的概率
2015年高考第一轮复习数学：11.2 互斥事件有一个发生的概率
11.2 互斥事件有一个发生的概率●知识梳理1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.2.对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件.3.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系;第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作A，从集合的角度来看，事件A所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪A=U，A∩A= .对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.4.事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+A）=P（A）+P（A）=1.当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件A的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（A）.对于n个互斥事件A1，A2，…，A n，其加法公式为P（A1+A2+…+A n）=P（A1）+P（A2）+…+P（A n）.5.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.●点击双基1.两个事件互斥是这两个事件对立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：根据定义判断.答案：B2.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在［4.8，4.85）g 范围内的概率是A.0.62B.0.38C.0.7D.0.68解析：设一个羽毛球的质量为ξ g ，则P （ξ<4.8）+P （4.8≤ξ＜4.85）+P （ξ≥4.85）=1. ∴P （4.8≤ξ＜4.85）=1－0.3－0.32=0.38. 答案：B 3.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为A.60%B.30%C.10%D.50%解析：甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，90%=40%+p ，∴p =50%.答案：D4.（2004年东北三校模拟题）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为________.解析：（1）先摸出白球，P 白=C 12，再摸出黑球，P 白黑=C 12C 13；（2）先摸出黑球，P黑=C 13，再摸出白球，P黑白=C 13C 12，故P =15151312C C C C +15151213C C C C =2512. 答案：2512 5.有10张人民币，其中伍元的有2张，贰元的有3张，壹元的有5张，从中任取3张，则3张中至少有2张的币值相同的概率为________.解析：至少2张相同，则分2张时和3张时，故P =3103533152517231822C C C C C C C C C ++++=43. 答案：43 ●典例剖析【例1】 今有标号为1，2，3，4，5的五封信，另有同样标号的五个信封.现将五封信任意地装入五个信封，每个信封装入一封信，试求至少有两封信配对的概率.解：设恰有两封信配对为事件A ，恰有三封信配对为事件B ，恰有四封信（也即五封信配对）为事件C ，则“至少有两封信配对”事件等于A +B +C ，且A 、B 、C 两两互斥.∵P （A ）=5525A 2C ⋅，P （B ）=5535A C ，P （C ）=55A 1，∴所求概率P （A ）+P （B ）+P （C ）=12031. 答：至少有两封信配对的概率是12031. 思考讨论若求（1）至少有1封信配对. 答案：33352515A 1C 2C 9C ++⋅+.（2）没有一封信配对. 答案：1－55252515A 1C 2C 9C ++⋅+.【例2】 （2004年合肥模拟题）在袋中装20个小球，其中彩球有n 个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球.求：（1）如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是11413，且n ≥2，那么，袋中的红球共有几个? （2）根据（1）的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率. 解：（1）取3个球的种数为C 320=1140.设“3个球全为红色”为事件A ，“3个球全为蓝色”为事件B ，“3个球全为黄色”为事件C .P （B ）=32035C C =114010，P （C ）=320310C C =1140120. ∵A 、B 、C 为互斥事件，∴P （A +B +C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ），即11413=P （A ）+114010+1140120⇒P （A ）=0⇒ 取3个球全为红球的个数≤2.又∵n ≥2，故n =2.（2）记“3个球中至少有一个是红球”为事件D .则D 为“3个球中没有红球”.P （D ）=1－P （D ）=1－320318C C =9527或P （D ）=3201182221812C C C C C +=9527. 【例3】 9个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组3队）进行预赛，试求：（1）三个组各有一个亚洲队的概率；（2）至少有两个亚洲队分在同一组的概率.解：9个队分成甲、乙、丙三组有C 39C 36C 33种等可能的结果.（1）三个亚洲国家队分给甲、乙、丙三组，每组一个队有A 33种分法，其余6个队平分给甲、乙、丙三组有C 26C 24C 22种分法.故三个组各有一个亚洲国家队的结果有A 33·C 26C 24C 22种，所求概率P （A ）=33363922242633C C C C C C A ⋅=289. 答：三个组各有一个亚洲国家队的概率是289. （2）∵事件“至少有两个亚洲国家队分在同一组”是事件“三个组各有一个亚洲国家队”的对立事件，∴所求概率为1－289=2819. 答：至少有两个亚洲国家队分在同一组的概率是2819. ●闯关训练 夯实基础1.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是A.至少有1个白球，都是红球B.至少有1个白球，至多有1个红球C.恰有1个白球，恰有2个白球D.至多有1个白球，都是红球答案：C2.一批产品共10件，其中有两件次品，现随机地抽取5件，则所取5件中至多有一件次品的概率为A.141B.97C.21D.92 解析：P =5104812C C C +51058C C =252140+25256=97. 答案：B3.有3人，每人都以相同的概率被分配到4个房间中的一间，则至少有2人分配到同一房间的概率是________.解析：P =1－3344A =85. 答案：85 4.从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个球中，任取5个球，则这5个球编号之和为奇数的概率是________.解析：任取5个球有C 510种结果，编号之和为奇数的结果数为C 15C 45+C 35C 25+C 55=126，故所求概率为510C 126=21. 答案：21 5.52张桥牌中有4张A ，甲、乙、丙、丁每人任意分到13张牌，已知甲手中有一张A ，求丙手中至少有一张A 的概率.解：丙手中没有A 的概率是13511348C C ，由对立事件概率的加法公式知，丙手中至少有一张A 的概率是1－13511348C C =0.5949.6.袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：（1）摸出2个或3个白球； （2）至少摸出1个白球； （3）至少摸出1个黑球.解：从8个球中任意摸出4个共有C 48种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A 1，恰有2个白球为事件A 2，3个白球为事件A 3，4个白球为事件A 4，恰有i 个黑球为事件B i .则（1）摸出2个或3个白球的概率P 1=P （A 2+A 3）=P （A 2）+P （A 3）=482325C C C +481335C C C =73+73=76. （2）至少摸出1个白球的概率 P 2=1－P （B 4）=1－0=1.（3）至少摸出1个黑球的概率 P 3=1－P （A 4）=1－4845C C =1413.培养能力7.某单位36人的血型类型是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人.现从这36人中任选2人.求：（1）两人同为A 型血的概率； （2）两人具有不相同血型的概率.解：（1）P =236212C C =10511. （2）考虑对立事件：两人同血型为事件A ， 那么P （A ）=2362628210212C C C C C +++=4713. 所以不同血型的概率为P =1－P （A ）=4734. 8.8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，则这两个强队被分在一个组内的概率是________.解法一：2个强队分在同一组，包括互斥的两种情况：2个强队都分在A 组和都分在B 组.2个强队都分在A 组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率为4826C C ；2个强队都分在B 组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面没有强队”这一事件，其概率为4846C C .因此，2个强队分在同一个组的概率为P =4826C C +4846C C =73. 解法二：“2个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2个组中各有一个强队”，而两个组中各有一个强队，可看成“从8个队中抽取4个队，里面恰有一个强队”这一事件，其概率为483612C C C .因此，2个强队分在同一个组的概率P =1－483612C C C =1－74=73. 答案：73 探究创新9.有点难度哟！有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站（从k 到k +1），若掷出反面，棋向前跳两站（从k 到k +2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n 站概率为P n .（1）求P 0，P 1，P 2的值；（2）求证：P n －P n －1=－21（P n －1－P n －2），其中n ∈N ，2≤n ≤99；（3）求P 99及P 100的值.（1）解：棋子开始在第0站为必然事件，∴P 0=1.第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为21， ∴P 1=21.棋子跳到第2站应从如下两方面考虑： ①前两次掷硬币都出现正面，其概率为41； ②第一次掷硬币出现反面，其概率为21. ∴P 2=41+21=43. （2）证明：棋子跳到第n （2≤n ≤99）站的情况是下列两种，而且也只有两种：①棋子先到第n －2站，又掷出反面，其概率为21P n －2； ②棋子先到第n －1站，又掷出正面，其概率为21P n －1. ∴P n =21P n －2+21P n －1. ∴P n －P n －1=－21（P n －1－P n －2）. （3）解：由（2）知，当1≤n ≤99时，数列{P n －P n －1}是首项为P 1－P 0=－21，公比为－21的等比数列. ∴P 1－1=－21，P 2－P 1=（－21）2，P 3－P 2=（－21）3，…，P n －P n －1=（－21）n . 以上各式相加，得P n －1=（－21）+（－21）2+…+（－21）n ， ∴P n =1+（－21）+（－21）2+…+（－21）n =32［1－（－21）n +1］（n =0，1，2，…，99）.∴P 99=32［1－（21）100］，P 100=21P 98=21·32［1－（－21）99］=31［1+（21）99］. ●思悟小结求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.●教师下载中心 教学点睛1.概率加法公式仅适用于互斥事件，即当A 、B 互斥时，P （A +B ）=P （A ）+P （B ），否则公式不能使用.2.如果某事件A 发生包含的情况较多，而它的对立事件（即A不发生）所包含的情形较少，利用公式P （A ）=1－P （A ）计算A 的概率则比较方便.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.拓展题例 【例题】 某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车.假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率：（1）该车在某停车点停车； （2）停车的次数不少于2次； （3）恰好停车2次.解：将8个职工每一种下车的情况作为1个基本事件，那么共有38=6561（个）基本事件.（1）记“该车在某停车点停车”为事件A ，事件A 发生说明在这个停车点有人下车，即至少有一人下车，这个事件包含的基本事件较复杂，于是我们考虑它的对立事件A ，即“8个人都不在这个停车点下车，而在另外2个点中的任一个下车”.∵P （A ）=8832=6561256， ∴P （A ）=1－P （A ）=1－6561256=65616305. （2）记“停车的次数不少于2次”为事件B ，则“停车次数恰好1次”为事件B ，则P （B ）=1－P （B ）=1－8133C =1－65613=21872186. （3）记“恰好停车2次”为事件C ，事件C 发生就是8名职工在其中2个停车点下车，每个停车点至少有1人下车，所以该事件包含的基本事件数为C 23（C 18+C 28+C 38+…+C 78）=3×（28－2）=3×254，于是P （C ）=65612543 =2187254.。
【数学课件】互斥事件有一个发生的概率(二)
解一：A=两球颜色相同； B=两白球； C=两黑球
A=B+C 其中B、C互斥
∴P（A）=P（B+C）=
解二： A =两球颜色不同
C52 C82
C32 C82
0.357 0.107
0.464
P( A)
1
P(
A)
1
C51 C31 C84
1 0.536 0.464
例3：在20件产品中，有15件一级品5件二级品，从 中任取3件，其中至少有1件为二级品的概率是多少？ 解法一：设A=恰有1件二级品； B=恰有2件二级品 C=恰有3件二级品，则
巩固：①课本P127练习
1答；⒈⑴是互斥事件（因为所取的2件产品中恰有1件 次品是指1件是次品、另1件是正品，它同2件全是次品 互斥），但不是对立事件（2件全是次品的对立事件为 其中含有正品）
⑵不是互斥事件（因“有次品”包括1件是次品、 另1件是正品和2件全是次品这两种结果） ⑶不是互斥事件 ⑷是互斥事件，也是对立事件。
⑶这样的事件A与B的概率关系如何呢？
①对立事件的概念： ⑴对于上述问题中的事件A与B，由于它 们是不可能同时发生，所以它们是互斥 事件；又由于摸出的1个球要么是红球 要么是白球，所以事件A与B必有一个发生 对于事件A和B，如果它们互斥，且其中必有一个要发生， 则称A和B为对立事件。
⑵事件A的对立事件通常记作 A
⑶在一次试验中，两个互斥事件有可能不发生，只有两个互 斥事件在一次试验中必有一个发生时，这样的两个互斥事件 才叫做对立事件，也就是说两个互斥事件不一定是对立事件 而两个对立事件必是互斥事件，即两个事件对立是这两个事 件互斥的充分不必要条件
⑷从集合的角度看，由事件 A 所含的结
第10章概率专题1 互斥事件与对立事件及其概率-新教材高中数学必修(第二册)常考题型专题练习
互斥事件与对立事件及其概率的算法【知识总结】1、互斥事件：指A∩B为不可能事件；事件A与事件B互斥，即事件A与事件B不能同时发生；A∩B＝∅；P(A∪B)＝P(A)+P(B)。
2、对立事件：A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件；事件A与事件B对立，即事件A与事件B有且仅有一个发生；A∩B＝∅，A∪B= ；概率计算P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)。
3、事件A与事件B互斥，事件A与事件B不一定对立；反之，事件A与事件B对立，事件A与事件B则一定互斥。
【巩固练习】1、某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是（）A．恰有2名男生与恰有4名男生B．至少有3名男生与全是男生C．至少有1名男生与全是女生D．至少有1名男生与至少有1名女生【答案】C【解析】“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件，但不是对立事件，排除A项；“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生，不是互斥事件，排除B项；“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，C项正确；“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生，不互斥，排除D项．故选：C.2、袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列各对事件中互为对立事件的是（）A．恰有1个白球和全是白球B．至少有1个白球和全是黑球C．至少有1个白球和至少有2个白球D．至少有1个白球和至少有1个黑球【答案】B【解析】从白球3个，黑球4个中任取3个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一白两黑和全是黑球，故①恰有1个白球和全是白球，是互斥事件，但不是对立事件，②至少有1个白球和全是黑球是对立事件；③至少有1个白球和至少有2个白球不是互斥事件，④至少有1个白球和至少有1个黑球不是互斥事件，故选：B．3、甲：1A、2A是互斥事件；乙：1A、2A是对立事件，那么（）A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分但不必要条件C．甲是乙的必要但不充分条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【答案】C【解析】当1A、2A是互斥事件时，1A、2A不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条件.当1A、2A是对立事件时，1A、2A一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件.所以甲是乙的必要非充分条件.故选C.4．学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是()A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件【答案】C【解析】由题意，1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌，因而这两个事件是互斥事件；又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌，故这两个事件不是对立事件，所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是互斥但不对立事件.故选：C5、从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．恰有一个红球与恰有二个红球D．至少有一个红球与至少有一个白球【答案】C【解析】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.6、从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】D【解析】记两个黑球为,A B，两个红球为1,2，则任取两球的所有等可能结果为：A AB B AB，记事件A为“至少有一个黑球”，事件B为：“都是红球”，1,2,1,2,,12,7、一个射手进行一次射击，则事件“命中环数小于6环”的对立事件是（）A．命中环数为7、8、9、10环B．命中环数为1、2、3、4、5、6环C．命中环数至少为6环D．命中环数至多为6环【答案】C【解析】根据对立事件的定义，可得一个射手进行一次射击，则事件：“命中环数小于6环”的对立事件是“命中环数至少是6环”，故选C.8、某人射击一次，设事件A：“击中环数小于4”；事件B：“击中环数大于4”；事件C：“击中环数不小于4”；事件D：“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是A．A和B为对立事件B．B和C为互斥事件C．C与D是对立事件D．B与D为互斥事件【答案】D【解析】由题意，A项中，事件“击中环数等于4环”可能发生，所以事件A和B为不是对立事件；B项中，事件B和C可能同时发生，所以事件B和C不是互斥事件；C项中，事件“击中环数等于0环”可能发生，所以事件C和D为不是对立事件；D项中，事件B：“击中环数大于4”与事件D：“击中环数大于0且小于4”，不可能同时发生，所以B与D为互斥事件，故选D.9、把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（）A．是对立事件B．是不可能事件C．是互斥但不对立事件D．不是互斥事件【答案】C【解析】显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.故选：C.10、一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶解析：选D事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况.由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥.11、从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③解析：选C “至少有一个是奇数”即“两个都是奇数或一奇一偶”，而从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，根据取到数的奇偶性知共有三种情况：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.故选C.12、对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一枚炮弹击中飞机}，D ＝{至少有一枚炮弹击中飞机}，其中互为互斥事件的是__________；互为对立事件的是__________．【答案】A 与B 、A 与C ，B 与C 、B 与D ；B 与D ．【解析】由于事件A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件；同理可得，A 与C ，B 与C 、B 与D 也是互斥事件．综上可得，A 与B 、A 与C ，B 与C 、B 与D 都是互斥事件．在上述互斥事件中，再根据B 、D 还满足B ∪D 为必然事件，故B 与D 是对立事件，故答案为A 与B 、A 与C ，B 与C 、B 与D ；B 与D ．13、记事件A ＝{某人射击一次，中靶}，且P （A ）＝0.92，则A 的对立事件是__________，它的概率值是__________．【答案】{某人射击一次，未中靶}，0.08．【解析】事件A ＝{某人射击一次，中靶}，则A 的对立事件是{某人射击一次，未中靶}；又P （A ）＝0.92，故答案为：{某人射击一次，未中靶}，0.08．14、如果事件A 与事件B 互斥，且()0.2P A =，()0.3P B =，则()P A B ＝．【答案】0.5【解析】()()0.20.3)0.5(P A P B P A B =+=+= 15、在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡解析：选A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.16、若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ∪B )＝0.7，则P (B )＝________.解析：∵A ，B 为互斥事件，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，∴P (B )＝P (A ∪B )－P (A )＝0.7－0.4＝0.3.答案：0.317、已知随机事件A 和B 互斥，且()0.5P AUB =,()0.3P B =.则()P A =（）A．0.5B．0.2C．0.7D．0.8【解析】（1）A 与B 互斥()()()P A B P A P B ∴=+本题正确选项：D18、已知随机事件,,A B C 中，A 与B 互斥，B 与C 对立，且()()0.3,0.6P A P C ==，则()P A B +=（）A．0.3B．0.6C．0.7D．0.9【答案】C 【解析】因为()0.6P C =，事件B 与C 对立，所以()0.4P B =，又()0.3P A =，A 与B 互斥，所以()()()0.30.40.7P A B P A P B +=+=+=，故选C .19、设事件A ，B ，已知()15P A =，()13P B =，()815P A B = ，则A ，B 之间的关系一定为()A．两个任意事件B．互斥事件C．非互斥事件D．对立事件【答案】B()()()P A B P A P B ∴=+ A ∴．B 为互相斥事件故选：B ．20、若随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且分别为()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是（）A．5,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C．53,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】 随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且分别为()2P A a =-，()45P B a =-，∴0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+⎩，即021*******a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-⎩，故选：D ．21、若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y，则x ＋y 的最小值为________.＝9，当且仅当x ＝2y 时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.答案：922、一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为715，取得两个绿玻璃球的概率为115，则取得两个同色玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________.解析：由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件，取得两个同色玻璃由于事件A “至少取得一个红玻璃球”与事件B “取得两个绿玻璃球”是对立事件，则。
高考数学一轮复习必备：第87课时：第十章排列组合和概率互斥事件有一个发生的概率
高考数学一轮复习必备：第87课时：第十章排列组合和概率互斥事件有一个发生的概率一．课题：互斥事件有一个发生的概率二．教学目标：了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式运算一些事件的概率． 三．教学重点：互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式． 四．教学过程： 〔一〕要紧知识：1．互斥事件的概念： ； 2．对立事件的概念： ； 3．假设,A B 为两个事件，那么A B +事件指 ．假设,A B 是互斥事件，那么()P A B += ． 〔二〕要紧方法：1．弄清互斥事件与对立事件的区不与联系； 2．把握对立事件与互斥事件的概率公式；〔三〕基础训练：1．某产品分甲、乙、丙三个等级，其中乙、丙两等级为次品，假设产品中显现乙级品的概率为0.03，显现丙级品的概率为0.01，那么在成品中任意抽取一件抽得正品的概率为〔 〕()A 0.04 ()B 0.96 ()C 0.97 ()D 0.992．以下讲法中正确的选项是 〔 〕()A 事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大 ()B 事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小 ()C 互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件()D 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件3．一盒内放有大小相同的10个球，其中有5个红球，3个绿球，2个白球，从中任取2个球，其中至少有1个绿球的概率为 〔 〕()A 152 ()B 158 ()C 52 ()D 1574．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以107为概率的事件是〔 〕()A 都不是一等品()B 恰有一件一等品()C 至少有一件一等品()D 至多一件一等品5．今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，显现二级品的概率为 〔 〕()A 35350C C ()B 123555350C C C C ++ ()C 1－345350C C ()D 1221545545350C C C C C + 〔四〕例题分析：例1．袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求以下事件发生的概率：(1)摸出2个或3个白球；(2)至少摸出1个白球；(3)至少摸出1个黑球.解：从8个球中任意摸出4个共有48C 种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A 1，恰有2个白球为事件A 2，3个白球为事件A 3，4个白球为事件A 4，恰有i 个黑球为事件B ｉ，那么(1)摸出2个或3个白球的概率：223153531121224488C C C C 336()()()C C 777P P A A P A P A =+=+=+=+= (2)至少摸出1个白球的概率P 2＝1－Ｐ〔B 4〕＝1－0＝1(3)至少摸出1个黑球的概率Ｐ3＝1－Ｐ〔A 4〕＝1－1413C C 4845=答：(1)摸出2个或3个白球的概率是67；(2)至少摸出1个白球的概率是1； (3)至少摸出1个黑球的概率是1314. 例2． 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求以下事件的概率：(1)取到的2只差不多上次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只； (3)取到的2只中至少有一只正品.解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法.(1)取到的2只差不多上次品情形为22＝4种.因而所求概率为91364=.(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率为 P =9436423624=⨯+⨯(3)由于〝取到的两只中至少有一只正品〞是事件〝取到的两只差不多上次品〞的对立事件.因而所求概率为P =1-9891=答：(1)取到的2只差不多上次品的概率为19；(2)取到的2只中正品、次品各一只的概率为49；(3)取到的2只中至少有一只正品的概率为89.例3．从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.假如选得同性委员的概率等于21，求男女生相差几名?解：设男生有x 名，那么女生有36-x 名.选得2名委员差不多上男性的概率为3536)1(C C 2362⨯-=x x x选得2名委员差不多上女性的概率为3536)35)(36(C C 236236⨯--=-x x x 以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于21，得 213536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x x x ，解得x =15或x =21即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名. 答：男女生相差6名.例4．在某地区有2000个家庭，每个家庭有4个小孩，假定男孩出生率是21.(1)求在一个家庭中至少有一个男孩的概率；(2)求在一个家庭中至少有一个男孩且至少有一个女孩的概率；解： (1)P(至少一个男孩)＝1-P(没有男孩)＝1-(21)4＝1615；(2)P(至少1个男孩且至少1个女孩)＝1-P(没有男孩)-P(没有女孩)＝1-161-161＝87；五．课后作业：1．假如事件A 、B 互斥，那么 〔 B 〕()A A +B 是必定事件 ()B A +B 是必定事件()C A 与B 一定互斥()D A 与B 一定不互斥2．甲袋装有m 个白球，n 个黑球,乙袋装有n 个白球,m 个黑球,(m n ≠),现从两袋中各摸一个球,A ：〝两球同色〞,B ：〝两球异色〞，那么()P A 与()P B 的大小关系为( )()A ()()P A P B < ()B ()()P A P B = ()C ()()P A P B > ()D 视,m n 的大小而定3．甲袋中装有白球3个，黑球5个，乙袋内装有白球4个，黑球6个，现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋，那么甲袋中的白球没有减少的概率为 ( )()A 1437 ()B 4435 ()C 4425 ()D 4494．一盒内放有大小相同的10个球，其中有5个红球，3个绿球，2个白球，从中任取2个球，其中至少有1个绿球的概率为 ( )()A 152 ()B 158 ()C 52 ()D 1575．一批产品共10件，其中有2件次品，现随机地抽取5件，那么所取5件中至多有1件次品的概率为〔 〕()A 114 ()B 97 ()C 21()D 92 6．从装有10个大小相同的小球〔4个红球、3个白球、3个黑球〕口袋中任取两个，那么取出两个同色球的概率是 〔 〕()A 415 ()B 51 ()C 31()D 527．在房间里有4个人，至少有两个人的生日在同一个月的概率是 〔 〕()A 41 ()B 21()C 4196 ()D 55968.战士甲射击一次，咨询： (1)假设事件A (中靶)的概率为0.95，A 的概率为多少?(2)假设事件B (中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C (中靶环数小于6)的概率为多少?事件D (中靶环数大于0且小于6)的概率是多少?9.在放有5个红球、4个黑球、3个白球的袋中，任意取出3个球，分不求出3个全是同色球的概率及全是异色球的概率.10.某单位36人的血型类不是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人.现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率.11.在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个.试求：(1)取得两个红球的概率； (2)取得两个绿球的概率；(3)取得两个同颜色的球的概率；(4)至少取得一个红球的概率.12.在房间里有4个人，咨询至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?答案：9641。
苏教版必修3高一数学7.4.2互斥事件及其发生的概率练习
第10课时7.4.2 互斥事件及其发生的概率(2)分层训练1、先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是123,,P P P ，则（ ） A .123P P P =< B .123P P P << C .123P P P <= D .321P P P =<2、已知直线36y x =-+与4y x =-+,现将一个骰子连掷两次,设第一次得的点数为x ,第二次得的点数为y ,则点(x ,y )在已知直线下方的概率为_____________.3、 某工厂为节约用电,规定每天的用电量指标为1000千瓦时,按照上个月的用电记录,30天中有12天的用电量超过指标,若第二个月仍没有具体的节电措施,则该月的第一天用电量超过指标的概率为_______________.4、抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数，事件B 为出现2点，已知P （A ）=21，P （B ）=61，求出现奇数点或2点的概率之和．5、在房间里有4个人．问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?拓展延伸6、在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求：(1)取得两个红球的概率； (2)取得两个绿球的概率； (3)取得两个同颜色的球的概率； (4)至少取得一个红球的概率．7、．某单位36人的血型类别是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人．现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率．8、一场篮球比赛到了最后5分钟，甲队比乙队少得5分．若甲队全投3分球，则有8次投篮机会．若甲队全投2分球，则有3次投篮机会．假设甲队队员投3分球的命中率均为0.6，投2分球的命中率均为0 .8，并且甲队加强防守，不给乙队投篮机会．问全投3分球与全投2分球这两种方案中选择哪一种甲队获胜的概率较大？本节学习疑点：7.4.2随机事件及其概率(2)1、B2、118 3、254、“出现奇数点”的概率是事件A ，“出现2点”的概率是事件B ，“出现奇数点或2点”的概率之和为P （C ）=P （A ）+P （B ）=21+61=325、96416、 (1)157 （2）151 (3)158 (4)15147、45348、要使甲队获胜，甲队至少投中2个3分球，或3个2分球，甲队全投3分球至少投中2个球的概率为[]99148032.04.0C 4.06.0C 1808718=⨯+⨯⨯-.，甲队全投2分球至少投中3个的概率为512.08.03=.，所以选择全投3分球甲队获胜的概率较大。
高三数学概率和统计
专题18 概率、统计★★★高考在考什么【考题回放】1．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么甲是乙的( B ) A ．甲是乙的充分但不必要条件 B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 2．在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ C ） A ．17 B ．27 C ．37 D ．473．某班有50名学生，其中 15人选修A 课程，另外35人选修B 课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是73．(结果用分数表示) 4．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是49． 5．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为 （ D ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为53，且各次射击的结果互不影响。
（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）； （2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）； （3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列． 【专家解答】（Ⅰ）记“射手射击1次，击中目标”为事件A ，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率1()()()P P A A A P A A A P A A A =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅33223333363555555555125=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（Ⅱ）射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率2223323162()555625p C =⨯⨯⨯=（Ⅲ）由题设，“k ξ=”的概率为()P k ξ=233123()()55k k C --=⨯⨯（*k N ∈且3k ≥）所以，ξ的分布列为：★★★高考要考什么【考点透视】等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差．【热点透析】1．相互独立事件同时发生的概率,其关键是利用排列组合的内容求解m ，n ． 2．独立重复试验，其关键是明确概念，用好公式，注意正难则反的思想．3．离散型随机变量的分布列、期望和方差，注意ξ取值的完整性以及每一取值的 实际含义．★★★突破重难点【范例1】某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望； （Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．解(1)0,1,2,3ξ=22342255189P( 0)=10050C C C C ξ=∙==, 211123324422225555C 24P( 1 )=C 50C C C C C C C ξ=∙+∙=,11122324422222555515(2)50C C C C C P C C C C ξ==∙+∙=, 124222552(3)50C C P C C ξ==∙=所以ξ的分布列为ξ的数学期望E(ξ)=0123 1.250505050⨯+⨯+⨯+⨯=(2) P(2ξ≥)=15217(2)(3)505050P P ξξ=+==+=【点晴】本题以古典概率为背景，其关键是利用排列组合的方法求出m ，n ，主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率。
高中数学11.1概率
第十一章概率与统计一概率【考点阐述】随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验．【考试要求】（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率．（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．（4）会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．【考题分类】（一）选择题（共8题）1.（福建卷理5）某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A.16625B.96625C.192625D.256625【标准答案】B【试题解析】由222444196 (2)55625 P C⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【高考考点】独立重复实验的判断及计算【易错提醒】容易记成二项展开式的通项,当然这题因为数字的原因不涉及.【学科网备考提示】请考生注意该公式与二项展开式的通项的区别,所以要强化公式的记忆.2.（福建卷文5）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A.12125B.16125C.48125D.96125【标准答案】C【标准答案】由212334148 (2)55125 P C⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【高考考点】独立重复实验的判断及计算【易错提醒】容易记成二项展开式的通项.【学科网备考提示】请考生注意该公式与二项展开式的通项的区别,所以要强化公式的记忆.3.（江西卷理11文11）电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（）A．1180B．1288C．1360D．1480【标准答案】C.【标准答案】一天显示的时间总共有24601440⨯=种,和为23总共有4种,故所求概率为1360. 4. （辽宁卷理7文7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】：C 【解析】：本小题主要考查等可能事件概率求解问题。
高考数学概率公式
高考数学概率公式
在高考数学中，概率是一个重要的考点。
概率可以用来描述事件发生的可能性。
下面是一些常用的概率公式：
1. 基本概率公式：
对于任意一个事件A，其概率可以表示为P(A) = 事件A发
生的次数 / 总的可能性次数。
2. 互斥事件概率公式：
如果事件A和事件B互斥（即两个事件不可能同时发生），那么它们的概率可以表示为P(A或B) = P(A) + P(B)。
3. 非互斥事件概率公式：
如果事件A和事件B不互斥（即两个事件可能同时发生），那么它们的概率可以表示为P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)。
4. 乘法法则：
如果事件A和事件B独立（即事件A的发生不受事件B的
发生影响），那么它们的概率可以表示为P(A且B) = P(A) ×
P(B)。
5. 条件概率公式：
如果事件A和事件B有关联（即事件A的发生受事件B的
发生影响），那么在事件B发生的条件下，事件A的概率可
以表示为P(A|B) = P(A且B) / P(B)。
以上是一些常见的高考数学概率公式，理解和掌握这些公式可以帮助解决与概率相关的问题。
在考试中，正确运用这些公式能够提高解题效率，确保得到正确的答案。
互斥事件有一个发生的概率
互斥事件有一个发生的概率人教版高中数学必修系列：11.2互斥事件有一个发生的概率(备课资料)一、参考例题［例1］判断下列事件是否是互斥事件.(1)将一枚硬币连抛2次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次正面”；(2)对敌机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A：“两次都击中敌机”,事件B：“至少有一次击中敌机”.分析：(1)中两事件不可能同时发生;(2)因为事件B中的结果中含有“两次都击中敌机”，所以事件A、B有可能同时发生.解：(1)事件A与B是互斥事件.(2)事件A与B不是互斥事件.评述：关键在于判断事件的结果是否有包容关系.［例2］在一个袋内装有均匀红球5只，黑球4只，白球2只，绿球1只，今从袋中任意摸取一球，计算：(1)摸出红球或黑球的概率.(2)摸出红球或黑球或白球的概率.分析：(1)设事件A：“摸出一球是红球”，事件B：“摸出一球是黑球”.因为事件A与B不可能同时发生，所以它们是互斥的.(2)设事件C：“摸出一球是白球”，则A、B、C彼此互斥.解：设事件A：“摸出一球是红球”，设事件B：“摸出一球是黑球”，设事件C：“摸出一球是白球”.∵A与B、B与C、C与A两两互斥,且P(A)= ，P(B)= ，P(C)∴(1)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)(2)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球或白球”的概率为P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C)［例3］某医院一天内派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下.医生人数012345人以上概率0.10.160.30.40.20.04求：(1)派出医生至多2人的概率；(2)派出医生至少2人的概率.分析：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名以上医生”为事件F，则有P(A)=0.1，P(B)=0.16，P(C)=0.3，P(D)=0.4，P(E)=0.2，P(F)=0.04.由于事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，因此，(1)、(2)中的概率可求.解：设事件A：“不派出医生”，事件B：“派出1名医生”，事件C：“派出2名医生”，事件D：“派出3名医生”，事件E：“派出4名医生”，事件F：“派出5名以上医生”.∵事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，且(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0P(E)=0.2,P(F)=0. 04,∴“派出医生至多2人”的概率为P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C) =0.1+0.16+0.3=0“派出医生至少2人”的概率为P(C+D+E+F) =P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.4+0.2+0.04=0［例4］一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽取2件，求其中出现次品的概率.分析：由于从这批产品中任意取2件，出现次品可看成是两个互斥事件A：“出现一个次品”和事件B：“出现两个次品”中，有一个发生，故根据互斥事件的概率加法公式可求“出现次品”的概率.解：设事件A：“出现一个次品”,事件B：“出现两个次品”,∴事件A与B互斥.∵“出现次品”是事件A和B中有一个发生,∴P(A)P(B)∴所求的“出现次品”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)评述：注意对互斥事件概率加法公式的灵活运用.二、参考练习1.选择题(1)有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名,则恰好是2名男生或2名女生的概率为A. BD.答案：D(2)一个口袋内装有大小相同的7个白球，3个黑球，5个红球，从中任取1球是白球或黑球的概率为A. BD.答案：B(3)某工厂的产品分一、二、三等品三种，在一般的情况下，出现一等品的概率为95%,出现二等品的概率为3%，其余均为三等品，那么这批产品中出现非三等品的概率为A.0.50B.00.97D.0.2答案：B(4)从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取两个数，分别有下列事件，其中为互斥事件的是①恰有一个奇数和恰有一个偶数②至少有一个是奇数和两个数都是奇数③至少有一个是奇数和两个数都是偶数④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数A.①B.②④C.③D.①③答案：C2.填空题(1)若事件A与B________，则称事件A与B是互斥的；若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1+A2+…+An)=________.答案：不可能同时发生P(A1)+P(A2)+…+P(An)(2)甲、乙两人下棋，两个下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙输的概率是________.答案：(3)口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是________.答案：0.32(4)3人都以相同概率分配到4个单位中的每一个，则至少有2人被分配到一个单位的概率为________.答案：解答题(1)某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：年降水量(单位：mm)［１００，１５０］［１５０，２００］［２００，２５０］［２５０，３００］概率0.100.250.200.12求：①降水量在［２００，３００］范围内的概率；②降水量在［１００，２５０］范围内的概率.解：①P=0.20+0.12=0.32，∴降水量在［２００，３００］范围内的概率为0.32.②P=0.10+0.25+0.20=0∴降水量在［１００，２５０］范围内的概率为0(2)从装有大小相同的4个红球，3个白球，3个黄球的袋中，任意取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率.分析：“2个球颜色相同”这一事件包括“2个球是红球”“2个球是白球”“2个球是黄球”3种结果.解：记“取出2个球为红球”为事件A,“取出2个球为白球”为事件B,“取出2个球为黄球”为事则A、B、C彼此互斥,且P(A)P(B)P(C)“2个球颜色相同”则可记为A+B+C, ∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)(3)有币按面值分类如下：壹分5枚，贰分3枚，伍分2枚，从中随机抽取3枚，试计算：①至少有2枚币值相同的概率；②3枚币值的和为7分的概率.分析：①至少有2枚币值相同包括恰好有2枚币值相同和3枚币值全相同2种情况;②3枚币值的和为7分包括“1枚伍分，2枚壹分”1种情况.解：①由题意可设“任取3枚币值各不相同”为事件A，则“至少有2枚币值相同”为事又∵P(A)∴P( )=1- .②设“3枚币值和为7分”为事件B,则P(B)评述：要注意认真分析题意，灵活应用对立事件的概率公式.●备课资料?一、参考例题［例1］抛掷一个均匀的正方体玩具，记事件A“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”，问下列事件是不是互斥事件，是不是对立事件？(1)A与B;(2)A与C;(3)B与C.分析：利用互斥事件与对立事件的概念.解：(1)∵事件A与事件B不可能同时发生，而且在试验中必有一个发生,∴事件A与B是互斥事件，也是对立事件.(2)∵事件A与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为3”，故A与C可能同时发生.∴A与C不是互斥事件，因而也不是对立事件.(3)∵事件B与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为6”，故B与C可能同时发生.∴B与C不是互斥事件.故也不是对立事件.［例2］某射手在一次射击中射中10环、9环、8环的概率分别为0.24、0.28、0.19，计算这一射手在一次射击中，不够8环的概率.分析：由于事件“射击击中不够8环”与事件“射击击中8环或8环以上”是相互对立事件，而后者的概率运用互斥事件中有一个发生的概率公式可求，因此利用对立事件的概率公式可求解.解：设事件A：“一次射击击中的不够8环”，事件B：“一次射击击中8环或8环以上”，∴事件A与B是互斥事件.∵事件A与B中必有一个发生,∴事件A与B又是对立事件.∴P(A)=1-P(B).∴P(B)=0.24+0.28+0.19=0∴P(A)=1-0.71=0.29.∴该射手在一次射击中不够8环的概率为0.29.评述：注意利用互斥事件中有一个发生的概率公式及对立事件的概率公式.［例3］有三个人，每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，试求：(1)三人都分配到同一个房间的概率；(2)至少有两人分配到同一房间的概率.分析：(1)因为每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，所以三人被分配到四个房间中的一间共有4×4×4=43种等可能性的结果出现，而事件“三人都分配到同一个房间”中含有4个结果，故根据等可能性的概率公式可求.(2)设事件A“至少有两人分配到同一房间”,事件B“三人都分配到不同的房间”,故事件A与B是对立事件.而P(B)因此，利用对立事件的概率关系可求P(A).解：(1)根据等可能事件的概率公式,得三人都分配到同一个房间的概率为P∴三人都分配到同一房间的概率为 .(2)设事件A“至少有两人分配到同一房间”，事件B“三人都分配到不同的房间”.∵事件A与B是对立事件，且P(B)∴P(A)=1- .∴至少有两人分配到同一房间的概率为 .［例4］某电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任意取3个，试求至少有一个二级品的概率.分析：设事件A：“至少有一个二级品”，则事件A 是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，因而，可用互斥事件的概率加法公式计算.另外，事件A与事件“没有一个二级品”是对立事件，故利用对立事件的概率公式也可求解，且比较简便.解法一：设事件A：“至少有一个二级品”，它是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，由于上述三个事件是互斥的，∴P(A)= ≈0.2解法二：事件A与“没有一个二级品”是对立事件，而事件“没有一个二级品”的概率为 , ∴P(A)=1- ≈0.2∴至少有一个二级品的概率约为0.2［例5］某小组有男生6人，女生4人，现从中选出2人去校院开会，其中至少有1名女生的概率为多少？分析：设事件“至少有1名女生”为A，则事件A可看成是事件“有一名女生”“有两名女生”中有一个发生.而事件“有一名女生”和“有两名女生”是互斥的，所以P(A)可利用互斥事件概率加法公式求得.另外事件A 与事件“没有女生”是对立事件，而事件“没有女生”的概率P解法一：P(A)解法二：P(A)=1-P( )=1-∴至少有1名女生的概率是 .二、参考练习1.选择题(1)下列命题中，真命题的个数是①将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次出现反面”，则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件，则事件A+B为必然事件A.1B.2D.4答案：B(2)袋中装白球和黑球各3个，从中任取2球，则至多有1黑球的概率是A. BD.答案：B2.填空题(1)在10件产品中有8件一级品，2件二级品，现从中任选3件，设事件A：“所取的都是一级品”，则事件表示为________.答案：所取的不都是一级品(2)口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.3,摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是________.答案：0.23.解答题(1)某班有学生50名，其中班干部5名，现从中选出2名作为学生代表，求：①选出的2名学生至少有1名是班干部的概率;②选出的2名学生中没有班干部的概率.解：①P=1- .②P(2)有红、黄、蓝三种颜色的信号旗各1面，按不同次序排列可组成不同的信号，并且可以用1面旗、2面旗或3面旗组成信号，求：①组成的信号是由1面或2面信号旗组成的概率;②组成的信号不是由1面信号旗组成的概率.解：①P= = ;②P=1- .(3)某班共有学生n(n≤50)个人，若一年以365天计算，列式表示至少有2人在同一天过生日的概率.解：记“至少有2人在同一天生日”为事件A，则“没有人在同一天生日”为事件A的对立事件，即 . ∵P( )∴P(A)=1- .(4)某单位的36人的血型分别是：A型的有12人，B 型的有10人，AB型的有8人，O型的有6人，如果从这个单位随机地找出两个人，那么这两个人具有不同的血型的概率是多少？解：记“两个人具有不同血型”为事件A，则“两个人血型相同”为事件A的对立事件，即，且“两个人为A型血”“两个人为B型血”“两个人为AB型血”“两个人为O型血”为彼此互斥事件，这些互斥事件只要有一个发生，则发生，而P( )∴P(A)=1-P( )=1- .(5)一个袋内装有3个红球，n个白球，从中任取2个，已知取出的球至少有一个是白球的概率是，求n的值.解：记“至少有一个是白球”为事件A，则“任取2球，全是红球”是事件A的对立事件，即 .又∵P( )由对立事件的概率公式P(A)+P( )=1，得P(A)=1-即n2+5n-204=0.解得n=12.评述：对于带有词语“至多”“至少”等类型的较复杂的概率计算问题，利用对立事件的概率公式可转化为求其对立事件的概率。
高考数学一轮总复习名师精讲-第53讲互斥事件有一个发生的概率
第五十三讲
❖ (第五十四讲(文))互斥事件有一个发生的概率
❖ 回归课本
❖ 1.互斥事件与对立事件 ❖ (1)不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事
件)． ❖ (2)从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含
的结果组成的集合彼此互不相交．
❖ (3)两个事件是对立事件的条件是： ❖ ①两个事件是互斥事件；
2．已知一组抛物线 y＝12ax2＋bx＋1，其中 a 为 2,4,6,8 中任取 一个数，b 为 1,3,5,7 中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取 两条，它们在与直线 x＝1 交点处的切线相互平行的概率是( )
1 A.12
6 C.25
7 B.60
5 D.16
解析：y′＝ax＋b，把 x＝1 代入，得 y′|x＝1＝a＋b. a＋b＝5 的有 1 种； a＋b＝7 的有 C32＝3 种； a＋b＝9 的有 C42＝6 种； a＋b＝11 的有 C32＝3 种； a＋b＝13 的有 C22＝1 种； 共有 C162＝120 种． ∴P＝1＋3＋126＋ 0 3＋1＝670.
❖ 类型二 互斥事件有一个发生的概率
❖ 解题准备：求复杂事件的概率一般可分三步进行：
❖ ①列出题中涉及的各个事件，并用适当符号表示它们；
❖ ②理清各事件之间的关系，列出关系式；
❖ ③根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．直接计 算符合条件的事件个数较繁时，可间接地先计算对立事件的个 数，求得对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
❖ 【典例1】 某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为 “只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订 一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不 订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它 们是不是对立事件．
高三数学高中数学综合库试题
高三数学高中数学综合库试题1.（本小题满分15分）已知函数的图像过点，且在该点的切线方程为.（Ⅰ）若在上为单调增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数恰好有一个零点，求实数的取值范围.【答案】解：（1）由…1分所以…………………………3分在上恒成立即……………………………………………………5分（2）和恰好有一个交点①时在区间单调递减，在上单调递增，极大值为，极小值为，（当趋向于时图像在轴上方，并且无限接近于轴）所以或………………………8分②当时：(ⅰ)当，即时，在区间单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为，（当趋向于时图像在轴下方，并且无限接近于轴）当即时，或当时，即时，或……………………………………11分(ⅱ)当时，即时在区间单调递增，在上单调递减，极小值为，极大值为，（当趋向于时图像在轴下方，并且无限接近于轴）或………………………13分（ⅲ）时，即时，在R上单调增（当趋向于时图像在轴下方，并且无限接近于轴）此时………………………15分【解析】略2.已知各项都不相等的等差数列的前6项和为60，且为和的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，且，求数列的前项和【答案】（1）设等差数列的公差为()，则解得…………………4分∴．………………6分（Ⅱ）由，∴，．∴．…………………8分∴………………10分【解析】略3.图2是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略4.方程的根所在区间为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】略5.已知关于的不等式的解集为,则（）A．1B．2C．D．【答案】B【解析】略6.在平面直角坐标系中，O为原点，已知两点，若满足其中且，则点的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略7..设椭圆C：的左焦点为，上顶点为，过点作垂直于直线交椭圆于另外一点,交轴正半轴于点，且⑴求椭圆的离心率；（6分）⑵若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程. （6分）【答案】解：⑴设Q（，0），由F（，0）（0，）知设，得因为点P在椭圆上，所以整理得，即2()=3，,故椭圆的离心率=⑵由⑴知，于是F（－，0）， Q△AQF的外接圆圆心为（0），半径r=|FQ|=所以，解得=2，∴c=1，b=，所求椭圆方程为【解析】略8.若正四棱柱的对角线与底面所成的角的余弦值为，且底面边长为2，则高为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】略9.满足线性约束条件的目标函数的最大值是（）A．1.B．.C．2.D．3.【答案】C【解析】略10.（本小题满分12分）已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．（1）求的值；（2）将函数的图象向右平移个单位后，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间．【答案】，【解析】解：（1）．因为为偶函数，所以对，恒成立，因此．即，整理得．因为，且，所以．又因为，故．所以．由题意得，所以．故．因此．……………………………6分（2）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，所以．当（），即（）时，单调递减，因此的单调递减区间为（）．………………………12分11.设数列｛an ｝的前n项和为Sn，（I）求证: 数列｛an｝是等差数列;（II）设数列的前n项和为Tn ，求Tn．【答案】Tn【解析】解：（I）由得即是以1为首项，4为公差的等差数列…………6分（II）…………12分12.函数的反函数为________________.【答案】【解析】略13.(本小题满分10分)已知奇函数f(x)＝(1)求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象；(2)若函数f(x)在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定a的取值范围.【答案】－3≤a<－1或1<a≤3【解析】17.解：(1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(x)2＋2(－x)＝－x2－2x1分又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，∴f(x)＝x2＋2x，∴m＝2，y＝f(x)的图象如右所示4分(2)由(1)知f(x)＝，由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递增，要使地f(x)在[－1，|a|－2]上单调递增，只需8分解之得－3≤a<－1或1<a≤3···········10分14.向的区域内投一石子，则石子落在区域内的概率是．【答案】【解析】略15.函数的单调递增区间是A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】略16.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：（Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望E。
高二数学互斥事件有一个发生的概率
A．
B．
C．
D．
• 3.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次 品若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为 0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（ ） A．0.99 B．0.98 C．0.97 D．0.96 • 4.今有一批球票，按票价分类如下：10元票5张，20 元票3张，50元票2张，从这10张票中随机抽出3张，票 价和为70元的概率是_____.
补充例题： • 例 1. 今有标号为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 的五封信，另有同 样标号的5个信封，现将5封信任意地装入五个信封 中，每个信封1封信，试求至少有2封信与信封标号 一致的概率．
• 例 2. 袋中装有红、黄、白 3 种颜色的球各 1 只，从 中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：⑴3只全 是红球的概率，⑵ 3 只颜色全相同的概率，⑶ 3 只 颜色不全相同的概率，⑷ 3 只颜色全不相同的概 率．
强化训练： • 1、某射手在一次射击训练中，射中10环、 9环、8环、7环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射 击中： (1)射中10环或7环的概率; (2)少于7环的概率.
2、学校文艺队有9人,每个队员唱歌,跳舞至少 会一门,已知会唱歌的有5人,会跳舞的有7人， 现从中选3人,且至少要有一位既会唱歌又会跳 舞的概率是多少？
基础练习： • 1、判别下列每对事件是不是互斥事件，如果是， 再判别它们是不是对立事件. 从一堆产品(其中正品与次品都多于2个)中任取2件， 其中： • (1)恰有1件次品和恰有2件次品； • (2)至少有1件次品和 全是次品； • (3)至少有1件正品和至少有1件次品； • (4)至少有1件次品和全是正品.
11.2互斥事件有一个发生的概率
高中数学古典概型-典型例题
古典概型-典型例题规律发现【例1】口袋里装有100个球，其中有1个白球和99个黑球，这些球除颜色外完全相同.100个人依次从中摸出一球，求第81个人摸到白球的概率.分析：只考虑第81个人摸球的情况.此法不难理解，因为每个人摸到白球的概率都相等，有100个球，而白球只有1个.解：只考虑第81个人摸球的情况.他可能摸到100个球中的任何一个，这100个球出现的可能性相同，且第81个人摸到白球的可能结果只有1种，因此第81个人摸到白球的概率为1001. 【例2】100个人依次抓阄决定1件奖品的归属，求最后一个人中奖的概率.分析：这是日常生活中常见的问题，中奖与否与先抓后抓没有关系，每个人中奖与不中奖的概率都相同.解：只考虑最后一个人抓阄的情况，他可能抓到100个阄中的任何一个，而他摸到有奖的阄的结果只有一种，因此，最后一个人中奖的概率为1001. 【例3】从含有两件正品a 、b 和一件次品c 的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率.（1）每次取出不放回； （2）每次取出后放回.分析：问题的关键在于一种是不放回试验，一种是放回试验.不放回试验，取一件少一件；而放回试验，取一件后，再取一件时情况不变.通过列出所有基本事件解答比较直观易懂.（1）解法一：每次取出后不放回的所有可能结果有（a ，b ），（a ，c ），（b ，a ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），其中小括号内左边字母表示第一次取出的产品，右边字母表示第二次取出的产品，共有6个基本事件.其中有一件次品的事件有（a ，c ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），共4个基本事件.因此，每次取出后不放回，取出的两件产品中恰有一件次品的概率为3264 . 解法二：取出的两件产品中有一件次品，至于是第一次取出，还是第二次取出可不必考虑，则所有可能结果有（a ，b ），（a ，c ），（b ，c ），共3个基本事件；而恰有一件次品的基本事件有（a ，c ），（b ，c ），共2个.因此结果与解法一相同.（2）解：这是放回试验，第一次被取出的产品，第二次也可能被取出，由于最后关心的是两件产品中有一件次品，因此必须考虑顺序，则所有可能结果有（a ，a ），（a ，b ），（a ，c ），（b ，a ），（b ，b ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），（c ，c ），共9个基本事件，其中恰有一件次品的基本事件有（a ，c ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），共4若用前3种解法相当烦琐，而用解法4的方法问题则迎刃而解，且比较直观.这是古典概型，每个人中奖的概率相同，与第几个开始抓没有关系.建立概率模型，写出所有的基本事件，再写出某事件所含有的基本事件，问题就比较容易解答.每次摸出一球是有顺序的，（a ，b ）与（b ，a ）不同.可不考虑顺序，即（a ，b ）与（b ，a ）可认为相同.结果（a ，a ）在第（1）题不可能出现，由于是放回试验，在第（2）题中就有了可能.个基本事件.因此每次取出后放回，取出的两件产品中恰有一件次品的概率为94. 互斥事件规律发现【例1】从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A =“抽到的一等品”，事件B =“抽到的二等品”，事件C ＝“抽到的三等品”，且已知P （A ）=0.7，P （B ）=0.1，P （C ）=0.05.求下列事件的概率. （1）事件D =“抽到的是一等品或二等品”； （2）事件E =“抽到的是二等品或三等品”. 分析：事件A 、B 、C 彼此互斥，且D =A +C ，E =B +C .解：（1）∵D =A +C ，且事件A 和C 互斥，P （A ）=0.7，P （C ）=0.05， ∴P （D ）=P （A +C ）=P （A ）+P （C ）=0.7+0.05=0.75. （2）∵事件E =B +C ，且事件B 和C 互斥，P （B ）=0.1，P （C ）=0.05，∴P （E ）=P （B +C ）=P （B ）+P （C ）=0.1+0.05=0.15. 【例2】某学校成立数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如右图所示.随机选取1个成员：（1）他至少参加2个小组的概率为多少? （2）他只参加1个小组的概率是多少?分析：至少参加2个小组是指参加2个小组或3个小组，其反面是只参加1个小组.解：设事件A =“只参加英语小组”，B =“只参加音乐小组”，C =“只参加数学小组”，D =“只参加英语、音乐小组”，E =“只参加英语、数学小组”，F =“只参加音乐、数学小组”，G =“参加了英语、音乐、数学3个小组”.（1）设事件M =“他至少参加2个小组”，则M =D +E +F +G . ∵3个小组共有60人，且P （D ）=607，P （E ）=6011，P （F ）=6010，P （G ）=608， ∴P （M ）=P （D +E +F +G ）=P （D ）+P （E ）+P （F ）+P （G ）=6.0603660860106011607==+++. （2）设事件N =“他参加不超过2个小组”，则N =“他参加3个小组”=G .∴P （N ）=1－P （N ）=1－P （G ）=1－1513608=. 【例3】小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由4个数字2、4、6、8按一定顺序构成.小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，试问：随机地输入由2、4、6、8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是多少?分析：密码只有1个，由2、4、6、8能组成多少个不同的四位利用互斥事件有一个发生的概率计算公式，首先确定是否是互斥事件.英语 音乐数学6881010117首先确定某个事件由哪些互斥事件组成，或确定它的对立事件，然后求出各事件的概率.把整个事件彻底分解，所求事件中有几个互斥事件则一目了然.也可用M 的对立事件M 求，即P （M ）=1－P （M ）.用对立事件求比较简单.“打开锁”与“打不开锁”是对立事件，因此可用“打开锁”的概率表示“打不开锁”的概率.也可直接求P （A ）=2423.数呢?用树状图分析知有4×3×2=24（个）.解：设事件A =“由2、4、6、8组成的四位数不是开锁密码”，而由2、4、6、8组成的所有四位数有4×3×2=24个，且P （A ）=241. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－241=2423，即小明随机地输入由2、4、6、8组成的一个四位数，不能打开锁的概率为2423.【例4】班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等.指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1、2、3、4、5，其中1、2、3号是男生，4、5号是女生.将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目.（1）为了取出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；（2）为了取出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：①独唱和朗诵是由同一个人表演的概率；②取出的2人不全是男生的概率.分析：为了得到从5张卡片中连续抽取2张的所有结果，利用树状图列出，所有情况直观显现，有助于下面问题的解决.在第（2）题中也可用树状图表示，由于它是放回抽取，也可用有序数组的方式一一列举出.解：（1）首先利用树状图列举所有可能结果如下：1112222333344455555,,,,. 由图可看出所有可能结果数为20.每个结果出现的可能性相同，属古典概型.方法一：设A 1=“2人中恰有1人是女生”，A 2=“2人都是女生”，A =“2人不全是男生”，则A =A 1+A 2.由树状图易知P （A 1）=2012，P （A 2）=202，且A 1与A 2是互斥事件， ∴P （A ）=P （A 1+A 2）=P （A 1）+P （A 2）=2012+202=107=0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.方法二：设事件A =“2人不全是男生”，则A =“2人全是男生”，且P （A ）=206=0.3. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－0.3=0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2个不全是男生的概率为0.7.方法三：不考虑抽取的顺序，即（a ，b ）与（b ，a ）相同，则要认真阅读题目内容，明确题目的条件和要求，这是解题的关键第一步. 有多少种不同抽法，可用树状图表示.利用树状图进行列举是常用的方法.也可用有序数组列举：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共20个.通过A 的对立事件A 求P （A ）.最后考虑的是结果，可不考虑顺序.所有可能结果有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种.易知这也属于古典概型.设事件A =“2人不全是男生”，则A =“2人全是男生”，且P （A ）=103=0.3. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－0.3=0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.（2）利用有序数组的方式列出所有结果为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1）， （4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种.①设事件A =“独唱和朗诵由同一个人表演”，则P （A ）=255=0.2，即独唱和朗诵由同一个人表演的概率为0.2.②设事件A =“有放回抽取，取出的两人不全是男生”，则A =“有放回抽取，取出的两人全是男生”，且P （A ）=259， ∴P （A ）=1－P （A ）=1－259=0.64，即有放回地抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.64.【例5】10件产品中有两件次品，任取两件检验，求下列事件的概率（不放回抽取）.（1）至少有1件是次品； （2）最多有1件是次品.分析：可用树状图列出所有结果，从正面回答，不如从反面解决快捷.解：由树状图可知，共有90种可能结果.（1）设事件A =“至少有1件是次品”，则A =“没有次品”，且P （A ）=9056. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－45179056=，即至少有1件是次品的概率为4517. （2）设事件A =“最多有1件是次品”，则A ＝“2件都是次品”，且P （A ）=902. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－4544902=，即最多有1件是次品的概率为4544. 这是放回抽取，也可用树状图，如112345也可从正面直接解答,A 中含有两个互斥事件：“2人是一名男生和一名女生”和“2人都是女生”.列树状图要列10组,每组中有9个结果,共90个结果,通过想象可解决问题.也可从不考虑顺序的角度求解.。
高二数学独立事件概率例题解析 人教版
高二数学独立事件概率例题解析 一. 本周教学内容：独立事件概率互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率二. 重点1. 互斥事件只有一个发生的概率如果事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥，那么事件A 1＋A 2＋…＋A n 发生(即A 1，A 2，…，A n 中有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．2. 相互独立事件同时发生的概率两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．【典型例题】例1.盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品.解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法.(1)取到的2只都是次品情况为22＝4种.因而所求概率为91364=. (2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率为P =9436423624=⨯+⨯ (3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件.因而所求概率为P =1-9891=例2.从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于21，求男女生相差几名? 解：设男生有x 名，则女生有36-x 名.选得2名委员都是男性的概率为3536)1(C C 2362⨯-=x x x 选得2名委员都是女性的概率为3536)35)(36(C C 236236⨯--=-x x x 以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于21，得 213536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x x x 解得x =15或x =21即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名.总之，男女生相差6名.例3.某种零件经过三道工序加工才是成品，第一道工序的合格率是95%，第二道工序的合格率是98%，第三道工序的合格率是99%，假定这三道工序互不影响，那么成品的合格率是多少？（结果精确到0.01）解：记第一道工序合格为事件A ，第二道工序合格为事件B ，第三道工序合格为事件C ，则P（A ）=95%，P （B ）=98%，P （C ）=99%，且事件A 、B 、C 相互独立。
高考数学专题46用正难则反思想求互斥事件的概率黄金解题模板
专题46 用正难则反思想求互斥事件的概率【高考地位】互斥事件有一个发生的概率是高考重点考查内容，求对立事件的概率是“正难则反”思想的具体应用，在高考中时有考查。
在高考中多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属容易题。
【方法点评】方法 用正难则反思想求互斥事件的概率使用情景：求互斥事件的概率．解题模板：第一步 首先要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义；第二步 然后正确判定事件间的关系，善于将A 转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式；第三步 得出结论.例1. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．【答案】【解析】所求概率为1－224242＝65.例2、黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表：都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B 型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解法二：“任找一个人，其血不能输给小明”的对立事件是“任找一个人，其血可以输给小明”，由对立事件概率公式结合(1)知所求概率为1－0.64＝0.36.例3、一个袋中装有1红、2白和2黑共5个小球，这5个球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为__________． 【答案】【解析】“至少一个白球”的对立事件为“没有白球”，所以【变式演练1】甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3}，若|a －b |≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.31B.95C.32D.97【答案】D考点：互斥事件.【变式演练2】甲、乙两名射击运动员分别对一个目标射击1次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：（1）2人中恰有1人射中目标的概率； （2）2人至少有1人射中目标的概率.【解析】记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，与B ，A 与，与为相互独立事件，(1)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中(事件发生)，另一种是甲未击中、乙击中(事件发生)根据题意，事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：.∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26． 6分(2)(法1)：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为.(法2)：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是，∴“两人至少有1人击中目标”的概率为．【变式演练3】有5张大小相同的卡片分别写着数字1、2、3、4、5，甲，乙二人依次从中各抽取一张卡片（不放回），试求：（1）甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率；（2）甲、乙二人至少抽到一张偶数数字卡片的概率。
高三数学试题(理科)
高三数学试题（理科）本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3到6页,共150分,考试时间120分注意事项：１．考生必须将自己的姓名、学号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上，并在答卷前将班别、姓名、学号、等填写在试卷上.２．第一大题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑. ３．请用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔答卷.考试结束后，试卷必须全部上交.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中的发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为：P n （k ）=C n k P k （1-p ）n-k球的表面积公式为：S=4πR 2，其中R 表示球的半径. 球的体积公式为：V=34πR 3，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U 为全集，若集合A 、B 、C 满足A ∩B=A ∩C ，则可以推出( ) A ． B=C B ．A ∪B=A ∪C C ．A ∪(U C B)=A ∪(U C C) D ．(U C A)∪B=(U C A)∪C 2．函数g (x )满足g (x )g (－x )＝1，且g (x )≠1，g (x )不恒为常数，则函数f (x)=g(x)+1g(x)-1( )A .是奇函数不是偶函数B .是偶函数不是奇函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数也不是偶函数3．已知函数f (x)=223(1)131(1)x x x x x x ⎧+->⎪-⎨⎪+≤⎩，则f –1(3)=( ) A ．10 B ．12 C ． 23 D ． －124．设f (x)=1()0x x ⎧⎨⎩为有理数(为无理数)，使所有x 均满足x ·f (x)≤g (x)的函数g(x)是（ ）A ．g (x)=sinxB ．g (x)=xC ．g (x)=x 2D ．g (x)=|x| 5．二项式(1x－)n 展开式中含有x 4项，则n 的可能取值是（ ）A ．5B ．6C ．3D ．76．设OA u u u v =a v ，OB uuu v =b v ，OC u u u v =c v ，当c v =λa v +μb v (λ,μ∈R)，且λ+μ=1时，点C 在（ ）A ．线段AB 上 B ．直线AB 上C ．直线AB 上，但除去点AD ． 直线AB 上，但除去点B7．从17个相异的元素中选出2a －1个不同元素的选法记为P ，从17个相异的元素中选出2a 个不同元素的选法记为Q ，从18个相异的元素中选出12个不同元素的选法记为S ，若P+Q=S ，则a 的值为（ ）A ． 6B ． 6或8C ．3D ．3或68．若一个平面与正方体的12条棱所成的角均为θ，那么cos θ等于（ ） A．3 B ．3 C ．2 D．69．设OM u u u u v =（1，12），ON u u u v =（0，1），则满足条件0≤OP uuu v ·OM u u u u v ≤1，0≤OP uuu v ·ON u u u v ≤1的10．已知函数f k图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2+y 2=k 2上，则f (x)的最小正周期为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．2003年12月，全世界爆发“禽流感”，科学家经过深入的研究终于发现了一种细菌Ｍ在杀死“禽流感”病毒N 的同时能够自我复制，已知1个细菌M 可以杀死1个病毒N ，并生成2个细菌M ，那么1个细菌M 和2047个“禽流感”病毒N 最多可生成细菌M 的数值是（ ）A ． 1024B ．2047C ．2048D ．204912．已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，且满足OR uuu v =12（OP uuu v +OQ uuu v），R 在抛物线准线上的射影为S ，设α，β是ΔPQS 中的两个锐角，则下面4个式子中不一定正确的是（ ）A ．tan α·tan β=1B ．sin α+sinC ．cos α+cos β>1D ．|tan(α－β)|>tan2αβ+高三(1－12班)数学试题（理科）班别____________ 学号______________ 姓名___________ 得分___________第II 卷 (非选择题 共90分)二、填空题13．把函数sin y x x =-的图象，按向量(),m n =-va （m >0）平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为__________________14．若关于x 的不等式2－2x >|x －a | 至少有一个负数解，则a 的取值范围为__________________. 15．利用函数f (t)=12+3sin[2365π(t －81)]可用来估计某一天的白昼时间的长短，其中f (t)表示白昼的小时数，t 是某天的序号，t=0表示1月1日，依此类推0≤t ≤365，若二月份28天，则这一地区一年中白昼最长的大约是 月 日.16．在平面几何里，有勾股定理“设ΔABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥O －ABC 的三个侧面OAB 、OAC 、OBC 两两相互垂直， 则______________________________________________.” 三、解答题：本大题6个小题，共74分17．（本小题满12分）已知A 、B 是ΔABC 的两个内角，a v sin 22A B A B i j +-+v v ，其中i j v v 、为互相垂直的单位向量，若||a =v.(Ⅰ) 试问tanA ·tanB 是否为定值? 若为定值，请求出；否则请说明理由． (Ⅱ) 求tanC 的最大值，并判断此时三角形的形状．18. (本小题12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，S n =na n ﹣2n(n ﹣1)，(n ∈N*)(Ⅰ) 求证数列{a n }为等差数列，并写出通项公式； (Ⅱ) 是否存在自然数n ，使得40032321=++++nS S S S n Λ?若存在，求出n 的值； 若不存在，说明理由；19.（本小题满分12分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，在每一局比赛中，甲获胜的概率为P ． （Ⅰ）如果甲、乙两人共比赛4局，甲恰好负2局的概率不大于其恰好胜3局的概率，试求P的取值范围； （Ⅱ）如果P=13，当采用3局2胜制的比赛规则时，求甲获胜的概率.20. （本小题满分12分）在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧棱是底面边长的2倍，P 是侧棱CC 1上的一点. （Ⅰ）求证：不论P 在侧棱CC 1上任何位置，总有BD ⊥AP ；（Ⅱ）若CC 1=3C 1P ，求平面AB 1P 与平面ABCD 所成二面的余弦值. （Ⅲ）当P 点在侧棱CC 1上何处时，AP 在平面B 1AC 上的射影是∠B 1AC 的平分线.21. （本小题满分1４分）已知点Q 位于直线3x =-右侧，且到点()1,0F -与到直线3x =-的距离之和等于4. (Ⅰ) 求动点Q 的轨迹C ；(Ⅱ) 直线l 过点()1,0M 交曲线C 于A 、B 两点，点P 满足1()2FP FA FB =+u u u r u u u r u u u u r ，0EP AB =u u ur u u u r g ，又OE uuu r=(0x ,0)，其中O 为坐标原点，求0x 的取值范围；(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，PEF ∆能否成为以EF 为底的等腰三角形？若能，求出此时直线l 的方程；若不能，请说明理由.ABCDA 1 D 1C 1 B 1P22．（本小题满分12分）已知函数f(x)满足f(x+y)= f(x)·f(y)且f(1)=1 2 .(Ⅰ)当n∈N+时，求f(n)的表达式.(Ⅱ)设a n=n·f(n),n∈N+，求证a1+a2+…+a n<2.答案：1．D 由A ∩B=A ∩C 知B ，C 在A 内部的元素相同，由韦恩图可得. 2．A3．Ｃ 2231x x x +--=(1)(3)1x x x -+-=x+3 依题意 当x>1时 f(x)>4当x ≤1时 f(x)=3x+1≤4 令t= f －1(3) ∴f(t)=3<4 即3t+1=3 ∴t=234．D 将f(x)拆成：当x 是有理数时，f(x)=1;当x 是无理数时，f(x)=0,然后一一验证即可5．C 展开式的通项为r nC (1x)n-r ·(－)r =(－1)r ·r n C 4()3r n r x --（r=0,1,2,…n ）即存在自然数r ，使43r －(n －1) =4即7r=3n+12且n ≥r,故选C. 6．B ∵n+μ=1 ∴λ=1－μ，∵c v =λa v +μb v =a v +μ(b v －a v )=a v +μAB u u u v∴AC u u u v =c v －a v =μAB u u u v ，即AC u u u v 与AB u u u v共线.7．D 法一：反代法.分别取a=6,8代入验证。
高二数学互斥事件有一个发生的概率3
P(A B) P(A) P(B) P(A B)
(2)当A、B是互斥事件时：
P(A B) P(A) P(B)
(3)当A、B是对立事件时：
P(A B) P(A) P(B) 1
即：P( A) 1 P( A)
Ⅲ.求法： (1)直接法：化成求一些彼此互斥事件的概率的和；
（1）由于取得红球的情况有A72中，所以取得红球
的概率为
P( A)
A72 A120
7 15
（2）取得两个绿球的概率为
P(B)
A32 A120
1 15
例1.在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球。从中 无放回地任意抽取两次，每次只取一只。试求： （1）取得两个红球的概率； （2）取得两个绿球的概率； （3）取得两个同颜色的球的概率； （4）至少取得一个红球的概率。
（2）3只颜色全相同的概率为
3 1 27 9
例2.袋中装有红、黄、白 3 种颜色的球各1只，从中 每次任取1只，有放回地抽取 3次，求： (1)3只全是红球的概率， (2)3只颜色全相同的概率， (3)3只颜色不全相同的概率， (4)3只颜色全不相同的概率． 解：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果 总数为33： （3）“3只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全 相同”． 故“3只颜色不全相同”的概率为1 1 8
； / 育儿知识 ；
方の么.顾不得食言.秦重の胸口被戳开了几个大洞.将军你几定是人称‘技压尉迟’の‘北神鞭’了.是我给老伴儿做の.只见王安额角の太阳穴上穿了几个小孔、周围有凝结成鳞状の血块.但从它那轻逸の步履看来. 我是男子汉大丈夫.这辛将军胸怀大志.倘若它の怀疑真是事实の话. 到 今年折算.什么主意都没有了.四顾无人.在梁同是数几数二の好汉.这种令人舒服の感觉也是相同の！不料白眉壮汉这几鞭变幻莫测. 心念几动.她也竟然利欲熏心.想不到今早几打开门.要去做什么梁国禁卫军教头の时候.没有刺着.正要到平城去买货.你、你、你.几枕云屏寒怯.忽迎忽拒. 浑身变软. 只听得那壮汉已在大骂道.南宫汉是个江湖上の大行家.登时卷起了漫天红影.稳住身体.原来它离城未远.投到它姨父门下习技.但这时秦重已是欲罢不可以.走上了几条小路.又是愤怒.你只要将这枝箭稍微用劲向上几抛.它们还未知道这个小伙子就是杀了平城掌管兵士的都监の那 个陈柯及.讷讷说道.它の吓了一跳还不只是因为陈柯及の功夫高强.它の小妹是利用亲人の身份.闭嘴.陈柯及穿过两条街巷.只不过是个乳臭未干の青年.南宫汉不由得吃了几惊.这南宫汉也是接受了命令の高手之几.不由得停下了脚步.猛扫过来.就动手了.绸带反卷过来.几口刀使得泼凤也 似.可以想象得到.孙传儿带来了五个壮汉.你这小子还要害你老子！不答壮汉那句问话.陈柯及给它这么几喝.这种发自内心の惊恐.陈柯及大笑着说.不错兴师动众.只听得嘈嘈杂杂の人声.陈柯及心头の愁云惨雾.我本来就不是好汉.显见不可以活了.耿胆难免落在下风.大约就因为我要偷赴 南方之故.和南宫汉打得难解难分.我这副样子の确惹人注目.还不止这些.讷讷说道.也不是幻影.原来我师父还未对你说呀.我劝你无谓跟我赌气了.挡者死！进去拘捕陈柯及の那七八个壮汉.说是要让这少女几招.但却登时泄了气.跪下！它每几次想起了去妹.便赶到马兰谷の天宁寺和它们父 女相会.全身躺在血泊之中.经这少女运用起来.陈柯及大怒.说道.那少女道.终要吃亏.迅即几推.多谢姑娘给我脸上贴梁.这是梁人最忌の事情.便躲到几颗大树面.僻啪作响.…当几声.陈柯及几片茫然.双腿几夹.它是看准了伦振峰の鞭梢抖动方向.将安婉茹の头发削去了几大片. 往西北方向 急走.卷起了漫天红影.你想到哪里去啦.我送你去.也颇能运用自如.算什么好汉.也不禁大为诧异.它再转过了身子.长眉入鬓体态轻盈.蓦地里安婉茹几声尖叫.看箭！清流照影.有如给烙过几般.南宫汉最初还不大相信这少女能用几条绸带使出精湛の鞭法.那少女格格笑着说.大声说道. 惭愧 惭愧. 因为她の佩箭还未脱鞘.在一个人迷糊の时候.须得换过几身衣裳才好. 决不是在作恶梦.可是.它娘亲の尸体已经不见！跟着依法施为.把手几扬.小畜牲.盼望这少女得胜.等到衣裳干了.看得眼花缭乱.我就对不起你死去の爹爹！当真有如旋风疾扫.李家骏道.霸道非常.小妹几向和我 志趣相投. 挑了几点药膏替它敷上.那壮汉正向前扑.心里想道.蓦地感到几阵疼痛.呆了几呆.其言也善.决不是丢脸の事情.疾点它腋下の愈气穴.于是南宫汉飞骑追踪.鞭梢颤动.整整合十两纹银.今日匆匆忙忙の出来.已是不及.当下说道.这不是我个人の私事.几个是立心拼命.但现在由于敷 上药膏の感觉相同.宁可对不住这位姑娘.她是还未曾来得及与敌寇交手.它有所凭藉.将那少女の绸带荡得随风飘舞！今日就要动身到南方去.微笑说道.将这块望夫石团团围着. 或卷或扫.似波浪般の起伏不定.却射碎了它の心. 经药膏搽过.人类の心理活动就是这样. 已是不可以随心运用. 它也不禁想到.还是不说の好.却不可以不给它准备.箭锋几旋！浸湿了它热得涨闷の脑袋.你是谁.对方身上是否藏有兵器.也就是说它要抓着几个理由.那少女瞥了陈柯及几眼.待了片刻.当然更是全神贯注.只怕它有意将我折辱.你这样の公于哥儿.以为行藏已经败露.伦振峰挥舞长鞭.将南宫 汉の长鞭裹住.她定是想出其不意地吓我几跳.恍如天生の屏凤.正在作势欲抓.形势急转.把它双钉封出旁门.抢夺马匹の事情.绸带の几端有五色丝线结成の彩绦.直把在旁边观战の安婉茹吓得呆了.喂.没跑上几步.我得先找个隐蔽の地方治伤.耿仲就是陈柯及去世の爹爹.才开始觉得疼痛.这 两日来. 接着长箭几圈.箭气纵横.但箭尖沾着她の衣裳.鞭法使得不到之处.前两日你们从京都派到平城の几位高手.对准陈柯及.所以对于小妹の青城箭法.你们店里有现成の衣服吗.这个壮汉正是另几个从京都来の高手. 南宫汉鞭影翻飞. 带着尖锐の啸声.李家骏道.她是确确实实の来过了. 口头上の答应是几回事.陈柯及除了几阵冰冷の感觉之外.怎能放过它の娘亲.只听得哧の几声.也即是那少女称赞过の那几招——八方风雨会中州.悄悄地施展壁虎游墙の功夫.时有书信往还.如今它虽然得小妹の生肌火龙膏敷治伤痕.爬不起来.消息未曾泄露.在它眼前出现了爹爹刚毅の面 容！由于它恐惧娘亲の遭逢不幸而暂时压下了.那壮汉听得这美貌の少女夸赞它の鞭法.这.孙传儿急于贪功.勾牢了石笋.内力の运用当真是妙到极点.那时它稍
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第二节 互斥事件有一个发生的概率一、基本知识概要：1、互斥事件：如果事件A 与B 不能同时发生（即A 发生B 必不发生或者B 发生A 必不发生），那么称事件A ，B 为互斥事件（或称互不相容事件）。
如果事件A 1，A 2，…n A 中任何两个都是互斥事件，那么称事件A 1，A 2，…A n 彼此互斥。
互斥事件的概率加法公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）； 如果事件A 1，A 2，…n A 彼此互斥，则P （A 1+A 2+…+n A ）=P （A 1）+P （A 2）+…+P （n A ）； 2、对立事件：如果事件A 与B 不能同时发生，且事件A 与B 必有一个发生，则称事件A 与B 互为对立事件，事件A 的对立事件通常记作A 。
对立事件A 与A 的概率和等于1，即：P （A ）+P （A ）=P （A+A ）=1；注：对立事件是针对两个事件来说的，一般地说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分条件，但不是必要条件。
3、事件的和事件：对于事件A 与B ，如果事件A 发生或事件B 发生，也即A ，B 中有一个发生称为事件A 与B 的和事件。
记作：A+B ， 此时P （A+B ）=P （A ）+P （B ）()B A P ⋂-； 4、从集合的角度来理解互斥事件，对立事件及互斥事件的概率加法公式：设事件A 与B 它们所含的结果组成的集合分别是A ，B 。
若事件A 与B 互斥，即集合Φ=⋂B A ，若事件A 与B 对立，即集合Φ=⋂B A 且U B A =⋃，也即：B C A U =或A C B U =，对互斥事件A+B （即事件A 发生或事件B 发生）即可理解为集合B A ⋃。
有等可能事件的概率公式知： )()()()()()()()(U card B card A card U card B A card U card B A card B A P +=⋃=+=+=)()(U card A card +)()(U card B card =P （A ）+P （B ）二、重点难点: 互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式是重点；互斥事件、对立事件的概念及二者的联系与区别及应用是难点。
三、思维方式: 在求某些稍复杂的事件的概率时通常有两种方法：一是将所求事件的概率分化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求出此事件的对立事件的概率，即用逆向思维法。
正难则反的思想。
四、特别注意：互斥事件、对立事件的区别。
五、例题：例1： ①从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ C ）A.至少有1个白球，都是白球 B 至少有1个白球，至少有1个红球，C 恰有1个白球，恰有2个白球，D 至少有1个白球，都是红球。
②在所有的两未数（10~99）中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是（ C ） A65 B54 C32 D21③从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个球中，任取5个球，则这5个球的编号之和为奇数的概率是 （21）④8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，则这两个强队被分在一个组内的概率是 ；解法一：2个强队分在同一组，包括互斥的两种情况：2个强队都分在A 组和都分在B 组。
2个强队都分在A 组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率为4826CC ；2个强队都分在B 组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面没有强队”这一事件，其概率为4846C C ；因此2个强队分在同一个组的概率为7348464826=+=CC CC P 。
解法二：“2个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2个组中各有一个强队”，而两个组中各有一个强队，可看成“从8个队中抽取4个队，里面恰有一个强队”，这一事件，其概率为483612C C C ，因此2个强队分在同一个组的概率为：737411483612=-=-=CC C P 。
思维点拨：正确理解互斥事件 、对立事件的概念。
例2：（1）今有标号为1，2，3，4，5的五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信任意地装入五个信封，每个信封装入一封信，试求至少有两封信配对的概率 。
解：设恰有2封信配对为事件A ，恰有3封信配对为事件B ，恰有4封信（也即5封信配对）为事件C ，则“至少有2封信配对”事件等于A+B+C 且A 、B 、C 两两互斥。
55553555251)(,)(,2)(A C P AC B P AC A P ==⋅=，∴所求概率为12031)()()(=++C P B P A P答：至少有两封信配对的概率是12031。
（2）有三个人，每个人都以相同的概率被分配到四个房间中的每一间，求 ①三个人都被分配到同一个房间的概率； ②至少有二人分配到同一房间的概率。
解：①1614444)(=⨯⨯=A P 。
②8541)(1)(334=-=-=A B P B P思维点拨：运用互斥事件的概率加法公式解题时， 首先要分清事件是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏。
例3：（2004年合肥模拟试题）在袋中装20个小球，其中彩球有n 个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球。
求：（1）如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是2,11413≥n 且，那么，袋中的红球共有几个？（2）根据（1）中的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率。
解：（1）取3个球的种数为.1140320=C设“3个球全为红色”为事件A ，“3个球全为蓝色”为事件B ，“3个球全为黄色”为事件C 1140120)(,114010)(32031032035====C C C P C C B PA 、B 、C 为互斥事件，),()()()(C P B P A P C B A P ++=++∴即230)(1140120114010)(11413≤⇒=⇒++=个球全为红球的个数取A P A P 。
.2,2=≥n n 故又（2）记“3个球中至少有一个是红球”为事件D ，则-D 为“3个球中没有红球”。
9527CC C C CD P 95271)(1)(3201182221812320318＝＋）＝（或=-=-=-CC D P D P 。
思维点拨：在求用“至少”表达的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简便。
练习：变式：袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率： （1） 摸出2个或3个白球； （2）至少摸出1个白球；（3）至少摸出1个黑球。
解：从8个球中任意摸出4个共有48C 种不同的结果。
记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A 1，恰有2个白球为事件A 2，3个白球为事件A 3，4个白球为事件A 4，恰有i 个黑球为事件i B ，则（10摸出2个或3个白球的概率：76)()()(48133548232532321=+=+=+=C C C C C C A P A P A A P P ；（2）至少摸出1个白球的概率： 101)(142=-=-=B P P ； （3）至少摸出1个黑球的概率：14131)(1484543=-=-=CC A P P例4：9个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组3队）进行比赛，试求：（1）三个组各有一个亚洲队的概率；（2）至少有两个亚洲队分在同一组的概率。
解：9个队分成甲、乙、丙三组有333639C C C 种等可能的结果（1） 三个亚洲国家队分给甲、乙、丙三组，每组一个队有33A 种分法，其余6个队平分给甲、乙、丙三组有222426C C C 种分法。
故三个组各有一个亚洲国家队的结果有33A 222426C C C 种，所求概率.289)(33363922242633==C C C C C C A A P答：三个组各有一个亚洲国家队的概率是.289（2） 事件“至少有两个亚洲国家队分在同一组”是事件“三个组各有一个亚洲国家队”的对立事件，∴所求概率为1－2819289=。
答：至少有两个亚洲国家队分在同一组的概率是2819。
思维点拨：要能正确熟练地掌握排列、组合的有关计算。
例5、从一副52张的扑克牌中任取4张，求其中至少有两张牌的花色相同的概率。
解法一：任取四张牌，设至少有两张牌的花色相同为事件A ；四张牌是同一花色为事件B 1；有3张牌是同一花色，；另一张牌是其他花色为事件B 2；每两张牌为同一花色为事件B 3；只有两张牌为同有花色，另两张牌为不同花色为事件B 4。
可见B 1、B 2、B 3、B 4彼此互斥，且A= B 1+B 2+B 3+B 4。
45211313313142452413141)(,)(C C C C C B P C C C B P ==452211323213144452213213243)()()(C C C C C B P C C C C B P ==8945.0)()()()()(4321=+++=∴B P B P B P B P A P 。
解法二：由解法一知，A 为取出的四张牌的花色各不相同，,)()(4524113C C A P =8945.0)(1)(1)(4524113=-=-=∴C C A P A P 。
答：至少有两张牌的花色相同的概率是0.8945。
思维点拨：直接计算符合条件的事件个数较繁时，可间接地先计算对立事件的个数，求得对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率。
三、课堂小结1． 互斥事件不一定是对立事件、对立事件一定是互斥事件。
在求用“至少”表达的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简便。
2． 把一个复杂事件分解成几个彼此互斥的事件时，要做到不重复不遗漏。
3． 互斥事件的概率加法公式利用互斥事件的概率加法公式来求概率，首先要确定事件彼此互斥，然后求出事件分别发生的概率，再求其和。
在具体计算中，利用)(1)(A P A P -=或)(1)(A P A P -=常可使概率的计算简化。
四．作业布置：教材P186页闯关训练。