第四章 方差检验

g 个处理组的试验结果
处理分 组 1 水平 2 水平 … g 水平 测量值 统计量 … …
X 1n1 X 2n2
X11 X21 Xg1
…
X12 X22 Xg2
…
… … …
X1j X2j
…
n1 n2
…
X1 X2
S1 S2
…
… Xgj
…
…
…
X gng
ng
…
Xg
Sg
完全随机设计资料在进行统计分析时，需根据数 据的分布特征选择方法，对于正态分布且方差齐 同的资料，常采用完全随机设计的单因素方差分 析(one-way ANOVA)或成组资料的 t 检验（ g=2）； 对于非正态分布或方差不齐的资料，可进行数据 变换或采用Wilcoxon秩和检验。 g ni 记总均数为 X X /N
SS组内 ( X ij X i )
i 1 j 1
g
ni
2
组内 N g
3．组间变异 各处理组由于接受处理的水 平不同，各组的样本均数 (i＝1，2，…， g)也大小不等，三组2型糖尿病患者餐后2 小时血糖的样本均数各不相同，它与总均 数也不相同，这种变异称为组间变异。 其大小可用各组均数与总均数的离均差平 方和表示，记为SS组间，它反映了三组用药 不同的影响(如处理确实有作用)，同时也 包括了随机误差
②处理的不同水平可能对试验结果的影响。
基本思想：
SS总 SS组间 SS组内
总 组间 组内
变异程度:除与离均差平方和的大小有关外，还与 其自由度有关，将各部分离均差平方和除以相应 自由度，其比值称为均方差，简称均方(mean square，MS)。
MS组间
SS组间
组间
主要内容
第一节 方差分析的基本概念
第二节 完全随机设计的单因素方差分析
第三节 随机区组设计的两因素方差分析
第四节 多个样本均数间的多重比较
第一节 方差分析的基本概念
一、方差分析的几个名词 什么是方差？ 离均差 离均差平方和SS 方差（2 S2 ）均方（MS） 标准差：S 自由度： 关系： MS= SS/
3.计算统计量F： F=MS处理/MS误差
4.求概率值P
5.做出推论
完整书写方差分析的过程
1.建立假设：
H0 ：8窝小白鼠体重增量相等
1 = 2 = 3。。。
H1 ：8窝小白鼠体重增量不全相等
2.确定显著性水平，取0.05。
3.计算统计量F： F2=MS区组/MS误差
4.求概率值P 5.做出推论
例 4-1 的方差分析表 变异来源 总变异 组 间 组 内（误差）
df
59 2 57
SS
MS
F
5.537
P
<0.01
1086.63 176.76 88.38 909.87 15.96
(3)确定P值，作出推断结论 以求F值时分子的自由度ν1=ν组间、分母的自 由度ν2=ν组内查附表3的F界值表得P值。若 F≥Fα(ν1, ν2)，则P≤α，按α水准，拒绝H0， 接受H1，有统计学意义。 本例：ν1=3−1=2，ν2=60−3=57。因附表3中ν2无 57，故取最接近者ν2=60,得P<0.01。按α=0.05水 准，拒绝H0，接受H1，有统计学意义。可以认为2 型糖尿病患者经药物(新药和标准药物)治疗4周， 其餐后2小时血糖的总体平均水平不全相同，即三 个总体均数中至少有两个不同。
例
题
给小白鼠分别喂A、B、C三种不同的营养素，了 解不同营养素的增重效果。以窝别作为区组特征， 以消除遗传因素对体重增长的影响。现将同系同 体重的24只小白鼠分为8个区组，每组3只。3周 后测量增重结果，结果如下表， 问3种不同营养素喂养后所增体重有无差别？
变异间的关系 SS总 总 SS处理 处理 MS处理 SS区组 区组 MS区组
列举存在的变异及意义
1、全部的19个实验数据之间大小不等，存在变 异（总变异）。 2、各个组间存在变异（组间变异）：反映处理 因素之间的作用，以及随机误差。 3、各个组内个体间数据不同：反映了观察值的 随机误差（组内变异）。
各种变异的表示方法
SS总 总 MS总
SS组内 组内 MS组内
注意：方差分析的结果若拒绝 H0 ，接受 H1 ，不能 说明各组总体均数两两间都有差别。如果要分析 哪些两组间有差别，要进行多个均数间的多重比 较（见本章第四节）。当g=2时，方差分析的结果 与两样本均数比较的 t 检验等价，有 。
t F
第三节 随机区组设计的两因 素方差分析
(Randomized block design Two-way ANOVA） 将全部受试对象按某种或某些特性分为若干个区组， 使每个区组内的观察对象与研究对象的水平尽可 能相近，减少了个体间差异对研究结果的影响， 比成组设计更容易检验出处理因素间的差别，提 高了研究效率。 （复习配对资料）是配对资料的扩充。
MS组内
SS组内
组内
如果各组样本的总体均数相等（ H0 ：…），即各处 理组的样本来自相同总体，无处理因素的作用 （处理效应），则组间变异同组内变异一样，只 反映随机误差作用的大小。组间均方与组内均方 的比值称为F统计量
MS组间 F MS组内
1 组间
2 组内
MS组间 F MS组内
分组方法：先将60名糖尿病患者从1开始到60编号； 从随机数字表（附表15）中的任一行任一列开始，依 次读取三位数作为一个随机数录于编号下；然后将全 部随机数从小到大编序号(数据相同的按先后顺序编 序号)，将每个随机数对应的序号记录；规定序号121为甲组，序号22-40为乙组，序号41-60为丙组。
通过比较不同来源变异的方差（也叫均方MS），借 助F分布做出统计推断，从而判断某因素对观察指 标有无影响。
第二节 成组设计的多个样本均 数比较（单因素方差分析）
某社区随机抽取糖尿病患者、IGT异常和正常 人共30人进行载蛋白测定，结果如下，问3种人的 载蛋白有无差别？
四组不同摄入方式病人的血浆游离吗啡水平
SS误差 误差 MS误差
变异之间的关系： • SS总= SS处理+ SS区组+ SS误差 总= 处理+ 区组+误差
统计量F 的计算
F1=MS处理/MS误差 F2=MS区组/MS误差 自由度： 处理=组数-1=3-1=2 区组=区数-1=8-1=7 误差=（组数-1）（区数-1）=14
SS总 X ij X X ij C
g ni 2 g ni 2 i 1 j 1 i 1 j 1
C ( X ij ) / N
2 i 1 j 1
g
ni
总 N 1
2．组内变异 在同一处理组中，虽然每个受 试对象接受的处理相同，但测量值仍各不 相同，各组内2型糖尿病患者的餐后2小时 血糖Xij大小各不相同，与本组的样本均数 也不相同，这种变异称为组内变异（误 差）。组内变异可用组内各测量值 Xij 与其 所在组的均数的差值的平方和表示，记为 SS组内, 表示随机误差(含个体差异和测量误 差)的影响。又称误差变异
方差分析结果
变异 来源 总 处理 间 区组 间 误差 SS
2861.84

23
MS
F
P
144.92
2376.38
2
14
完整书写方差分析的过程
1.建立假设： H0 ：3种营养素喂养的小白鼠体重增量相等 1 = 2 = 3 H1 ：3种营养素喂养的小白鼠体重增量不全相等 2.确定显著性水平，用 表示，常取0.05。
例 某医生为研究一种四类降糖新药的疗效，以 统一的纳入标准和排除标准选择了60名2型糖尿 病患者，按完全随机设计方案将患者分为三组 进行双盲临床试验。其中，降糖新药高剂量组 21人、低剂量组19人、对照组20人。对照组服 用公认的降糖药物，治疗4周后测得其餐后2小 时血糖的下降值(mmol/L)，结果如表9-1所示。 问治疗4周后，餐后2小时血糖下降值的三组总 体平均水平是否不同？
组间变异 处理 误差 组内变异 误差
F 值（Fisher）接近于l，就没有理由拒绝H0；反之， F值越大，拒绝H0的理由越充分。数理统计的理论证 明，当H0成立时，F统计量服从F分布。F分布有两个 自由度， 分子自由度为1，分母自由度为2，记
为 F ,
1
。
2
通过上述变异的分解，可以看出，方差分析 的基本思想就是根据试验设计的类型，将全部测 量值总的离均差平方和及其自由度分解为两个或 多个部分，除随机误差作用外，每个部分的变异 可由某个因素的作用(或某几个因素的交互作用) 加以解释，如组间变异SS组间可由处理因素的作用 加以解释。通过比较不同变异来源的均方，借助F 分布做出统计推断，从而推论各种研究因素对试 验结果有无影响。
应用条件： 1）各样本是相互独立的随机样本 2）各样本来自正态总体 3）各处理组总体方差相等，即方差齐
(2)计算检验统计量 可根据下表的公式和前面表下半部分数据来计 算。也可用统计软件包如SAS或SPSS等进行计算， 直接获得下表的方差分析表。 按表中的公式计算各离均差平方和SS、自由度、 均方MS和F 值。
二、方差分析的含义
方差是描述变异的一种指标，方差分析是一种假 设检验的方法。方差分析也就是对变异的分析。 是对总变异进行分析。看总变异是由哪些部分组 成的，这些部分间的关系如何。
三、方差分析的基本思想
根据变异的来源，将全部观察值总的离均差平方和 及自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外， 其余每个部分的变异可由某些特定因素的作用加以 解释。

i 1 j 1
ij
各处理组均数为
X i X ij / ni