人教B版选修(2-2)1.3.3《导数的实际应用》word练习题1
人教B版选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)
第一章导数及其应用测试题一、 选择题1．设 y1 x 2（ ）．，则 y'sin xA ．2x sin x (1x 2 ) cos x2x sin x(1 x 2 ) cos xsin 2xB ．sin2x2x sin x (1x 2 )2x sin x(1 x 2 )C ．sin xD ．sin x2．设 f ( x)ln x21 ，则 f ' (2) （ ）．42C ．1 D ．3A ．B ．55553．已知 f (3)2, f ' (3)2 ，则 lim2x3 f ( x) 的值为（ ）．x3x 3A ． 4B ． 0C ． 8D ．不存在4．曲线 yx 3 在点( 2,8) 处的切线方程为（）．A ． y6x 12 B ． C ． y8x10D ． y 12x 16y2x 325．已知函数 f ( x) ax 3 bx 2cx d 的图象与 x 轴有三个不一样交点(0,0), ( x 1,0) ，(x 2 ,0) ，且 f (x) 在 x1， x 2 时获得极值，则 x 1 x 2 的值为（）A ． 4B ． 5C ． 6D ．不确立6．在 R 上的可导函数 f ( x)1 x 3 1 ax2 2bx c ，当 x (0,1) 获得极大值， 当 x (1,2)32获得极小值，则 b2的取值范围是（）．a 1A ． (1,1)B ． (1,1)C ．( 1,1)D ． ( 1,1)422 42 27．函数 f ( x)1 e x (sin x cos x) 在区间 [0, ] 的值域为（ ）．22A ．[1 , 1e 2 ]B ． (1 , 1e 2 )C ． [1, e 2 ]D ． (1, e2)2 22 2aa2x 2dx （）．8．积分aA．1a2 B．1a 2 C．a2 D ．2 a24 29．由双曲线x 2 y 21，直线 y b, y b 围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体a 2 b2积为（）A．8ab2 B．8a2b C．4a2b D．4ab2 3 3 3 310．由抛物线y2 2x 与直线 y x 4 所围成的图形的面积是（）．A ．1838 16D．16 B．C．3 311．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（）．Ａ． 3 V Ｂ．3 2V Ｃ．34V D．23V二、填空题13．曲线y x3在点 (a, a 3 )( a 0) 处的切线与 x 轴、直线 x a 所围成的三角形的面积为1，则 a _________ 。
人教B版选修(2-2)第一章《导数及其应用》word练习题2
导数的应用一、选择题1．函数2()sin f x x =的导数()f x '=（ ） A ．2sin x B ．22sin xC ．2cos xD ．sin 2x答案：D2．已知函数3223624y x ax x =++-在2x =处有极值，则该函数的一个递增区间是（ ）A ．(23)，B ．(3)+，∞C ．(2)+，∞D ．(3)-∞，答案：B3．曲线3y x =在点(11)，处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．43B ．89C ．83D ．49答案：C 4．设0()sin x f x tdt =⎰，则π2f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值等于（ ） A ．1- B ．1C ．cos1-D ．1cos1-答案：D5．若函数xe y x=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，则0x 的值（ ）A ．等于0B ．等于1C ．等于12D ．不存在答案：C 6．定积分π220sin 2xdx ⎰的值等于（ ） A ．π142- B ．π142+ C ．1π24- D ．π12- 答案：A7．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为(0)k k >，货款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为(00.048)x x ∈，，为使银行获得最大收益，则存款利率为（ ） A ．0.032B ．0.024C ．0.04D ．0.036答案：A8．若函数2()ln (0)f x x x x =>的极值点为α，函数2()ln (0)g x x x x =>的极值点为β，则有（ ） A ．αβ> B ．αβ<C ．αβ=D ．α与β的大小不确定答案：A9．由曲线x y e =，x y e -=以及1x =所围成的图形的面积等于（ ） A ．2B ．22e -C ．12e-D ．12e e+- 答案：D10．函数32()33f x x x x a =++-的极值点的个数是（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．由a 确定答案：C11．经过点(30)，的直线l 与抛物线22x y =的两个交点处的切线相互垂直，则直线l 的斜率k等于（ ） A ．16-B ．13-C ．12D ．12-答案：A12．下列关于函数2()(2)x f x x x e =-的判断正确的是（ ） ①()0f x >的解集是{}|02x x <<；②(f 是极小值，f 是极大值； ③()f x 既没有最小值，也没有最大值． A ．①③ B ．①②③C ．②D ．①②答案：D 二、填空题13．已知2()f x x =，3()g x x =，若()()2f x g x ''-=-，则x = ．答案：13±14．若函数24()1xf x x =+在区间(21)m m +，上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是 ．答案：10m -<≤15．一个质点以速度2()6v t t t =-+（m/s ）运动，则在时间间隔(14)，上的位移是 ．答案：31.5m16．已知函数3211()232f x x x x m =+-+的图象不经过第四象限，则实数m 的取值范围是 ． 答案：76m ≥ 三、解答题17．已知作用于某一质点的力01()112x x F x x x ⎧=⎨+<⎩，≤≤，，≤（单位：N ），试求力F 从0x =处运动到2x =处（单位：m ）所做的功． 答案：解：力F 所做的功122122010111(1)||3J 22W xdx x dx x x x ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭⎰⎰． 答：力F 所作的功为3J ．18．已知函数32()f x x ax bx c =+++．()f x 在点0x =处取得极值，并且在单调区间[02]，和[45]，上具有相反的单调性． （1）求实数b 的值；（2）求实数a 的取值范围．解：（1）2()32f x x ax b '=++，因为()f x 在点0x =处取得极值， 所以(0)0f '=，即得0b =；（2）令(0)0f '=，即2320x ax +=， 解得0x =或23x a =-． 依题意有203a ->． x(0)-∞，203a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 23a - 23a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞ ()f x ' +0 -0 +()f x极大值极小值因为在函数在单调区间[02]，和[45]，上具有相反的单调性，所以应有2243a -≤≤， 解得63a --≤≤．19．已知函数3()16f x x x =+-．（1）求曲线()y f x =在点(26)-，处的切线方程； （2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 解：（1）32()(16)31f x x x x ''=+-=+，∴在点(26)-，处的切线的斜率2(2)32113k f '==⨯+=， ∴切线的方程为1332y x =-；（2）设切点为00()x y ，，则直线l 的斜率为200()31f x x '=+， ∴直线l 的方程为230000(31)()16y x x x x x =+-++-．又直线l 过点(00)，， 2300000(31)()16x x x x ∴=+-++-， 整理，得308x =-，02x ∴=-，30(2)(2)1626y ∴=-+--=-，l 的斜率23(2)113k =⨯-+=，∴直线l 的方程为13y x =，切点坐标为(226)--，．20．如图所示，求抛物线22(0)y px p =>和过它上面的点12p P p ⎛⎫⎪⎝⎭，的切线的垂线所围成的平面图形的面积．解：由题意令0)y x =≥，12222y p px px '==，2|1p x y ='=，所以过1P 点且垂直于过1P 点的抛物线的切线的直线的斜率为1-． 其方程为2p y p x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭． 即2230x y p +-=．与抛物线方程联立消去x ，得22230y py p +-=， 解得y p =或3y p =-． 又32x y p =-+，所以所求平面图形的面积为 23322pp y S y p dy p -⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰23331|226pp y py y p -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭222222131999226222p p p p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+----+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2163p =．21．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t （吨）满足函数关系x =若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）．（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙生产影响的经济损失金额20.002y t =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？解：（1）因为赔付价格为s 元/吨，所以乙方的实际年利润为w st =．由w s'=-=， 令0w '=，得201000t t s ⎛⎫== ⎪⎝⎭．当0t t <时，0w '>；当0t t >时，0w '<， 所以0t t =时，w 取得最大值．因此乙方取得最大年利润的年产量0t 为21000s ⎛⎫⎪⎝⎭（吨）；（2）设甲方净收入为v 元，则20.002v st t =-．将21000t s ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入上式，得到甲方净收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式69410210v s s =-⨯．又63510(8000)s v s ⨯-'=，令0v '=，得20s =．当20s <时，0v '>；当20s >时，0v '<， 所以20s =时，v 取得最大值．因此甲方应向乙方要求赔付价格20s =（元/吨）时，获最大净收入．22．由曲线222(13)y x x =-≤≤及直线0y =，绕y 轴旋转所得的旋转体做容器，每秒钟向容器里注水38cm ，问几秒钟后能注满容器？（坐标的长度单位是cm ） 解：如图，底面是x 轴上01x ≤≤部分的线段绕y 轴旋转所生成的圆，侧面是抛物线222y x =-上13x ≤≤，016y <≤部分绕y 轴旋转所得的曲面．由222y x =-，得222y x +=， 注满容器时的体积为16216302ππ80π(cm )24y y V dy y ⎛⎫+==+= ⎪⎝⎭⎰． 每秒注水83cm ，充满容器所需时间为80π810π÷=（秒）． 所以10π秒钟后能注满容器．。
【人教B版】高中数学选修2-2学案全集(全册 共65页 附答案)
【人教B版】高中数学选修2-2学案全集（全册共65页附答案）目录1.2 导数的运算1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理2.1.1 合情推理2．1.2 演绎推理2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法1.2 导数的运算1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 2．熟练运用导数的运算法则．3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数．1．基本初等函数的导数公式表y ＝f (x ) y′＝f′(x )(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求． (2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．【做一做1－1】给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y′＝133x ；③若y ＝1x2，则y′＝－2x －3；④若y ＝f (x )＝3x ，则f′(1)＝3；⑤若y ＝cos x ，则y′＝sin x ；⑥若y ＝sin x ，则y′＝cos x ．其中正确的个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【做一做1－2】下列结论中正确的是( )．A ．(log a x )′＝a xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(5x )′＝5xD ．(5x )′＝5xln 5 2．导数的四则运算法则(1)函数和(或差)的求导法则： 设f (x )，g (x )是可导的，则(f (x )±g (x ))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________．(2)函数积的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )g (x )]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法则立即可以得出[Cf (x )]′＝Cf′(x )，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．(3)函数的商的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，g (x )≠0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝________________.(1)比较：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )，注意差异，加以区分．(2)f (x )g (x )≠f ′(x )g ′(x )，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′≠g (x )f ′(x )＋f (x )g ′(x )g 2(x ).(3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则．(4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． 若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 【做一做2】下列求导运算正确的是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 3．复合函数的求导法则对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f [g (x )]．如函数y ＝(2x ＋3)2是由y ＝u 2和u ＝2x ＋3复合而成的．复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y′x ＝y′u ·u ′x .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y′x ＝y′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写． 【做一做3】函数y ＝ln(2x ＋3)的导数为________．1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数．2．导数公式表中y′表示什么？剖析：y′是f′(x )的另一种写法，两者都表示函数y ＝f (x )的导数． 3．如何理解y ＝C (C 是常数)，y′＝0；y ＝x ，y′＝1?剖析：因为y ＝C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y ＝x 的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1.题型一 利用公式求函数的导数 【例题1】求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x2(1－2cos 2x4)．分析：熟练掌握常用函数的求导公式．运用有关的性质或公式将问题转化为基本初等函数后再求导数．反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导． 题型二 利用四则运算法则求导 【例题2】求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，然后进行求导．反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．题型三 求复合函数的导数 【例题3】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n(x ∈N ＋)；(2)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5；(3)y ＝sin 3(4x ＋3)；(4)y ＝x cos x 2.分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量．易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导．复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环．题型四 易错辨析易错点：常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错．牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键．【例题4】求函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数．错解：y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x ＋e －x)．1下列各组函数中导数相同的是( )． A ．f (x )＝1与f (x )＝xB ．f (x )＝sin x 与f (x )＝cos xC ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin xD ．f (x )＝x －1与f (x )＝x ＋12已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f′(－1)＝4，则a 的值为( )． A ．193 B ．103 C ．133 D ．1633函数y ＝cos xx的导数是( )．A ．－sin xx2 B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos xx 24设y ＝1＋a ＋1－x (a 是常数)，则y′等于( )．A ．121＋a ＋121－xB ．121－xC ．121＋a －121－xD ．－121－x5已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y ＝－3x ＋7，则a ＝________，b ＝________.答案：基础知识·梳理1．nxn －1a xln a1x ln acos x －sin x 【做一做1－1】B 由求导公式可知，①③④⑥正确． 【做一做1－2】D2．(1)f′(x )±g′(x ) 导数和(或差) (2)f′(x )g (x )＋f (x )g′(x ) 函数的导数 (3)fx g x －f x gxg 2x【做一做2】B 由求导公式知，B 选项正确.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x′＝x ′＋(x －1)′＝1－x －2＝1－1x2.(3x )′＝3x ln 3，(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 【做一做3】y′＝22x ＋3函数y ＝ln(2x ＋3)可看作函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋3的复合函数，于是y′x ＝y′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ×2＝22x ＋3.典型例题·领悟【例题1】解：(1)y′＝(x x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y′＝(5x 3)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y′＝cos x .【例题2】解：(1)y′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′－6′＝4x 3－6x －5.(2)y′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·sin x cos x ′＝x ·sin x ′·cos x －x ·sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x ·cos x ·cos x ＋x ·sin 2xcos 2x＝sin x ·cos x ＋x ·cos 2x ＋x ·sin 2x cos 2x ＝12sin 2x ＋x cos 2x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . (3)方法1：y′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.方法2：y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， y′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法1：y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.方法2：y ＝1－2x ＋1， y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.【例题3】解：(1)y′＝[(2x ＋1)n]′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1.(2)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5′＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝5x4x ＋16.(3)y′＝[sin 3(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)[sin(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)·cos(4x ＋3)·(4x ＋3)′＝12sin 2(4x ＋3)cos(4x ＋3)．(4)y′＝(x cos x 2)′＝x ′·cos x 2＋(cos x 2)′·x＝cos x 2－2x 2sin x 2.【例题4】错因分析：y ＝e －x 的求导错误，y ＝e －x 由y ＝e u与u ＝－x 复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行．正解：令y ＝e u ，u ＝－x ，则y′x ＝y′u ·u ′x ，所以(e －x )′＝(e u )′(－x )′＝e －x×(－1)＝－e －x，所以y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋e －x ′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )． 随堂练习·巩固1．D2．B f′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.3．C y′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －cos x ·x ′x ＝－x sin x －cos xx ＝－x sin x ＋cos xx 2.4．D 由x 是自变量，a 是常数，可知(1＋a )′＝0，所以y′＝(1＋a )′＋(1－x )′＝[(1－x )12]′＝12(1－x )－12·(1－x )′＝－121－x .5．－3 9 ∵y′＝2ax ＋b ，∴y′|x ＝2＝4a ＋b ，∴方程y －1＝(4a ＋b )(x －2)与方程y ＝－3x ＋7相同，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，1－a ＋b ＝7，即4a ＋b ＝－3，又点(2,1)在y ＝ax 2＋bx －5上， ∴4a ＋2b －5＝1.即4a ＋2b ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，4a ＋2b ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9.1.3.1 利用导数判断函数的单调性1．理解可导函数单调性与其导数的关系，会用导数确定函数的单调性． 2．通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性．用函数的导数判定函数单调性的法则1．如果在(a ，b )内，f′(x )＞0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调增区间；2．如果在(a ，b )内，f′(x )＜0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调减区间．(1)在(a ，b )内，f′(x )＞0(＜0)只是f (x )在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件．(2)函数f (x )在(a ，b )内是增(减)函数的充要条件是在(a ，b )内f′(x )≥0(≤0)，并且f′(x )＝0在区间(a ，b )上仅有有限个点使之成立．【做一做1－1】已知函数f (x )＝1＋x －sin x ，x ∈(0,2π)，则函数f (x )( )． A ．在(0,2π)上是增函数 B ．在(0,2π)上是减函数C ．在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数D ．在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数【做一做1－2】设f′(x )是函数f (x )的导数，f′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象最有可能是( )．1．函数的单调性与其导数有何关系？剖析：(1)求函数f(x)的单调增(或减)区间，只需求出其导函数f′(x)＞0(或f′(x)＜0)的区间．(2)若可导函数f(x)在(a，b)内是增函数(或减函数)，则可以得出函数f(x)在(a，b)内的导函数f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．2．利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么？剖析：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题时只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点．(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．题型一求函数的单调区间【例题1】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x ax－x2(a＞0)．分析：先求f′(x)，然后解不等式f′(x)＞0得单调增区间，f′(x)＜0得单调减区间．反思：运用导数讨论函数的单调性需注意如下几点：(1)确定函数的定义域，解决问题时，只能在函数的定义域内，通过讨论函数导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点；(3)在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．题型二根据函数的单调性求参数的取值范围【例题2】已知函数f(x)＝2ax－1x2，x∈(0,1]，若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．分析：函数f(x)在(0,1]上是增函数，则f′(x)≥0在(0,1]上恒成立．反思：函数f(x)在区间M上是增(减)函数，即f′(x)≥0(≤0)在x∈M上恒成立．题型三证明不等式【例题3】已知x＞1，求证：x＞ln(1＋x)．分析：构造函数f(x)＝x－ln(1＋x)，只要证明在x∈(1，＋∞)上，f(x)＞0恒成立即可．反思：利用可导函数的单调性证明不等式，是不等式证明的一种重要方法，其关键在于构造一个合理的可导函数．此法的一般解题步骤为：令F(x)＝f(x)－g(x)，x≥a，其中F(a)＝f(a)－g(a)＝0，从而将要证明的不等式“当x＞a时，f(x)＞g(x)”转化为证明“当x＞a时，F(x)＞F(a)”．题型四易错辨析易错点：应用导数求函数的单调区间时，往往因忘记定义域的限制作用从而导致求解结果错误，因此在求函数的单调区间时需先求定义域．【例题4】求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调减区间．错解：f′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令4x 2－1x ＜0，得x ＜－12或0＜x ＜12，所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.1在区间(a ，b )内f′(x )＞0是f (x )在(a ，b )内为增函数的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)3若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 为增函数，则一定有( )．A ．b 2－4ac ≤0 B．b 2－3ac ≤0C ．b 2－4ac ≥0 D．b 2－3ac ≥04如果函数f (x )＝－x 3＋bx (b 为常数)在区间(0,1)上是增函数，则b 的取值范围是__________．5函数y ＝－13x 3＋x 2＋5的单调增区间为________，单调减区间为________．答案：基础知识·梳理 1．增函数 2．减函数 【做一做1－1】A f′(x )＝1－cos x ，当x (0,2π)时，f′(x )＞0恒成立，故f (x )在(0,2π)上是增函数．【做一做1－2】C 由f′(x )的图象知，x (－∞，0)或x (2，＋∞)时，f′(x )＞0，故f (x )的增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，同理可得f (x )的减区间为(0,2)．典型例题·领悟【例题1】解：(1)f (x )′＝1－3x 2.令1－3x 2＞0，解得－33＜x ＜33.因此函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. 令1－3x 2＜0，解得x ＜－33或x ＞33.因此函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. (2)由ax －x 2≥0得0≤x ≤a ，即函数的定义域为[0，a ]．又f (x )′＝ax －x 2＋x ×12(ax －x 2)－12·(a －2x )＝－4x 2＋3ax 2ax －x2， 令f (x )′＞0，得0＜x ＜3a 4；令f (x )′＜0，得x ＜0或x ＞34a ，又x [0，a ]，∴函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a 4，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4，a .【例题2】解：由题意，得f′(x )＝2a ＋2x3.。
高中数学《导数的实际应用》同步练习3 新人教B版选修2-2
导数的实际应用一、选择题1．下列函数在()-+，∞∞内为单调函数的是（ ） Ａ．2y x x =-Ｂ．y x = Ｃ．x y e -= Ｄ．sin y x =答案：Ｃ2．函数ln y x x =在区间(01)，上是（ ） Ａ．单调增函数Ｂ．单调减函数 Ｃ．在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调减函数，在11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调增函数 Ｄ．在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调增函数，在11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调减函数答案：Ｃ3．函数23()(2)(1)f x x x =+-的极大值点是（ ） Ａ．45x =- Ｂ．1x = Ｃ．1x =- Ｄ．2x =-答案：Ｄ4．已知函数32()f x x px qx =--的图象与x 轴相切于(10)，极大值为427，极小值为（ ） Ａ．极大值为427，极小值为0 Ｂ．极大值为0，极小值为427- Ｃ．极大值为0，极小值为527-Ｄ．极大值为527，极小值为0答案：Ａ5．函数2cos y x x =+在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上取最大值时，x 的值为（ ）Ａ．0 Ｂ．π6 Ｃ．π3 Ｄ．π2答案：Ｂ6．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）答案：Ｂ二、填空题7．函数22ln (0)y x x x =->的单调增区间为 ．答案：12⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞ 8．函数2()ln 3f x a x bx x =++的极值点为11x =，22x =，则a = ，b = ． 答案：122--，9．函数42()25f x x x =-+在[22]-，上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．答案：410．函数32()5f x ax x x =-+-在()-+，∞∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．答案：13⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞11．函数543()551f x x x x =-++在[12]-，上的值域为 ．答案：[102]-，12．在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图2所示．当x 为 时，正三棱柱的体积最大，最大值是 ．答案：3654a a ，三、解答题13．已知0x >，证明不等式ln(1)x x >+．证明：原不等式等价于证明ln(1)0x x -+>．设()ln(1)f x x x =-+，则1()111x f x x x '=-=++． 0x >∵，()0f x '>∴． ()f x ∴在(0)x ∈+，∞上是单调增函数．又(0)0ln10f =-=，()(0)0f x f >=∴即ln(1)0x x -+>，亦即ln(1)x x >+．14．已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =处有极小值1-，试求a b ，的值，并求出()f x 的单调区间．解：由已知，可得(1)1321f a b =-+=-，又2()362f x x ax b '=-+， ①(1)3620f a b '=-+=∴， ② 由①，②，解得1132a b ==-，． 故函数的解析式为32()f x x x x =--．由此得2()321f x x x '=--，根据二次函数的性质，当13x <-或1x >时，()0f x '>； 当113x -<<，()0f x '<． 因此函数的单调增区间为13⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞和(1)+，∞，函数的单调减区间为113⎛⎫- ⎪⎝⎭，．15．已知某工厂生产x 件产品的成本为212500020040C x x =++（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：（1）设平均成本为y 元，则2125000200250004020040x x x y x x ++==++， 225000140y x -'=+，令0y '=得1000x =． 当在1000x =附近左侧时0y '<；在1000x =附近右侧时0y '>，故当1000x =时，y 取极小值，而函数只有一个点使0y '=，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品．（2）利润函数为2250025000200300250004040x x S x x x ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭，30020x S '=-， 令0S '=，得6000x =，当在6000x =附近左侧时0S '>；在6000x =附近右侧时0S '<，故当6000x =时，S 取极大值，而函数只有一个点使0S '=，故函数在该点处取得最大值，因此，要使利润最大，应生产6000件产品．。
人教B版高中数学选修2-2 1-3-3 导数的实际应用 素材
1.3.3 导数的实际应用1.考查形式与特点(1).高考对函数概念的考查主要有:求函数的定义域、值域及反函数。
这类题型直接通过具体问题找出函数关系，再研究函数的定义域、值域及反函数。
(2).在每年的高考试题中，以中等难度题型设计新颖的试题考查函数的性态——即函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图象的对称性等，近两年，以组合形式一题多角度考查函数性质的高考题正成为新的热点。
(3).以比较容易的中档题来考查函数性质的灵活运用，在考查函数内容的同时也考查能否用运动、变化的函数观点观察问题、分析问题、解决问题。
(4).函数的最值问题在高考试卷中几乎年年出现，它们是高考中的重要题型之一．特别是函数在经济生活中的应用问题，大多数都是最值问题，这类考题在近几年考查明显增加．此类考题一要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧。
二要灵活、准确地列出模型函数．(5).近几年．为了突出函数在中学数学中的主线地位，高考强化了对函数推理、论证能力(代数推理题是高考的热点题型)及探索性问题的综合考查，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度．这类试题或者是函数与其他知识的糅合，或者是多种方法的渗透，每道考题都具有鲜明的特色，值得深思．(6).函数与解析几何、不等式、方程、数列、参数范围、导数等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题综合在一起编拟的新颖考题，成为近几年高考中的高档解答题，以综合考查应用函数知识分析、解决问题的能力坝I试对函数思想方法的理解与灵活运用，等价转化及数形结合和分类讨论等解题策略和掌握程度．这类试题每年至少会有一个．(7).高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下三个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率问题也是导数的一个重要作用，并且也是高考考查的重点内容之一.函数y=f(x)在X=Xo处的导数，表示曲线在点P(x0,f(x0))处的切线斜率．③运用导数的有关知识，研究函数的单调性是导数的又一重点应用，在高考中所占的地位是比较重的．2.命题趋势由于函数在数学中具有举足轻重的地位，它仍必将是高考的一个热点，而且对能力的考查还将高于课程标准．(1)对函数的概念、基本性质及图象的考查主要以小题的形式出现．(2)函数与不等式、数列、向量、解析几何等知识的综合问题会以解答题形式出现，属于理解、灵活运用层次，难度较大．(3)通过函数应用题考查建立函数模型及解读信息的能力，将是高考命题的热点之一．(4)新课程新增内容中与函数有关的内容——函数连续与极限、导数是考查的重点，所占比重将进一步加大.例1、 用总长14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.分析：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．解：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为()0.5x + m ，高为()14.8440.5 3.224x x x --+=-． 由3.220x ->和0x >，得0 1.6x <<，设容器的容积为3ym ，则有 ()()0.5 3.22y x x x =+- ()0 1.6x <<．即322 2.2 1.6y x x x =-++，令0y '=，有26 4.4 1.60x x -++=，即2151140x x --=，解得11x =，2415x =-（不合题意，舍去）.当x ＝1时，y 取得最大值，即max 2 2.2 1.6 1.8y =-++=，这时，高为3.221 1.2-⨯=.答：容器的高为1.2m 时容积最大，最大容积为31.8m ．。
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.3知识点总结含同步练习题及答案
描述：例题：高中数学选修2-2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 导数及其应用 1.3 导数的应用
一、学习任务
1. 理解函数的单调性与导数的关系；会利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式
函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值，最大（小）值的概念；了解函数的极值与最值的区别和联系；掌
握求函数的极值与最值的方法．
3. 体会导数在解决实际问题中的作用；会利用导数解决实际生活中的有关利润最大、用料最
省、效率最高等优化问题；掌握最优化问题的建模及求解．二、知识清单
导数与函数的图象
利用导数研究函数的单调性
利用导数求函数的极值
利用导数求函数的最值
利用导数处理生活中的优化问题
三、知识讲解
1.导数与函数的图象
（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，
切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．
（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．
()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,
b )
(x )=0f ′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选
项中的（ ）
(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )
y=f
(x)
已知函数 的图象如图所示，则导函数
f(x)(a,b)则函数 在开区间
0.001 m
）？
S
（2）求面积 的最大值．解：（1）依题意，以
y=f(x)(−3,1)
2。
选修2-2《导数及其应用》测试题
人教B 版选修2-2《导数及其应用》测试题 姓名 得分 一．选择题：（只有一个结论正确，每小题4分,共60分） 1．曲线123-+=x x y 在点P （－1，－1）处的切线方程是 （ ）A ．1-=x yB ．2-=x yC ．x y =D ．1+=x y2. 曲线f (x )= x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y = 4x －1，则P 0点的坐标为 （ ） A ．（1，0） B ．（2，8） C ．（1，0）和（－1，－4） D ．（2，8）和（－1，－4）3．已知函数x x y 33-=，则它的单调递减区间是 ( ) A.)0,(-∞ B.)1,1(- C. ),0(+∞ D.)1,(--∞及),1(+∞4．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝ ( ) A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 25. .设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = ( )A ．2B ． 2-C ． 12-D.126已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝ ( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．27. 下列求导运算正确的是 （ ）xx x D e C x x B x x x A x x sin 2)cos (.log 3)3(.2ln 1)(log .11)1(.2322-='='='+='+ 8. 函数)2ln()(2--=x x x f 的单调递增区间是 （ ）），和（∞+-+∞---∞2)21,1(.),2(.)21,1(.)1,(.D C B A 9. 设)()(),()(),()(,sin )(112010x f x f x f x f x f x f x x f n n '='='==+， ，)(N n ∈则=')(2005x f （ ） x D x C x B x A cos .cos .sin .sin .--10．已知函数y = f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则000()()limh f x h f x h h→+--= ( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．011. 设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))((0,0x f x P 处切线的倾角的取值范围为]4,0[π，则P 点到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为 （ ）ab D ab C aB aA21,0[.]2,0[.]21,0[.]1,0[- 12．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝ ( ) A ．26B ．29C ．212D ．215二.填空题：（每小4分,共20分）13.若过原点作曲线y ＝e x的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________． 14.设函数f (x )＝x (e x＋1)＋12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．15.函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 16.如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示， 给出下列判断：(1) 函数y=f(x)在区间（3，5）内单调递增； (2) 函数y=f(x)在区间（-1/2，3）内单调递减；(3) 函数y=f(x)在区间（-2，2）内单调递增；(4) 当x= -1/2时，函数y=f(x)有极大值; (5) 当x=2时，函数y=f(x)有极大值;则上述判断中正确的是 .三.解答题：17.求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝log 2(2x 2＋3x ＋1)．18.设x x a x f ln 6)5()(2+-=，其中R a ∈，曲线)(x f 在点（1，f(1)）处切线与y 轴交于点（0,6）. (1)确定a 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间.19.若函数xe xf x=)(在c x =处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值.20.已知二次函数f (x )满足：①在x =1时有极值；②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x +y =0平行． ⑴求f (x )的解析式；⑵求函数g (x )=f (x 2)的单调递增区间.21.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值。
人教B版选修22高中数学第一章《导数及其应用》同步练习
导数的应用第1题、 2007海南、宁夏文)设函数错误！超链接引用无效. （Ⅰ）讨论错误！超链接引用无效。
的单调性;(Ⅱ）求错误！超链接引用无效。
在区间错误！超链接引用无效.的最大值和最小值.答案:解:错误!超链接引用无效。
的定义域为错误!超链接引用无效。
.(Ⅰ)错误！超链接引用无效。
.当错误！超链接引用无效。
时,错误！超链接引用无效。
；当错误！超链接引用无效。
时，错误！超链接引用无效。
；当错误!超链接引用无效.时，错误！超链接引用无效.. 从而，错误！超链接引用无效.分别在区间错误！超链接引用无效。
，错误！超链接引用无效.单调增加,在区间错误！超链接引用无效.单调减少.(Ⅱ)由（Ⅰ)知错误!超链接引用无效。
在区间错误！超链接引用无效.的最小值为错误！超链接引用无效。
又错误！超链接引用无效.错误！超链接引用无效。
. 所以错误！超链接引用无效。
在区间错误！超链接引用无效.的最大值为错误！超链接引用无效.. 第2题、 (2002海南、宁夏理)曲线错误！超链接引用无效。
在点错误！超链接引用无效.处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ。
错误！超链接引用无效。
Ｂ。
错误！超链接引用无效。
Ｃ。
错误！超链接引用无效.Ｄ.错误！超链接引用无效。
答案：Ｄ第3题、 （2007海南、宁夏理）设函数错误！超链接引用无效。
.(I ）若当错误！超链接引用无效.时，错误!超链接引用无效。
取得极值，求错误！超链接引用无效。
的值,并讨论错误！超链接引用无效。
的单调性;（II ）若错误！超链接引用无效。
存在极值，求错误！超链接引用无效。
的取值范围，并证明所有极值之和大于错误！超链接引用无效。
答案：解:（Ⅰ)错误！超链接引用无效。
，依题意有错误！超链接引用无效。
，故错误！超链接引用无效。
.从而错误!超链接引用无效.。
错误！超链接引用无效。
的定义域为错误！超链接引用无效。
.当错误！超链接引用无效。
时,错误!超链接引用无效.;当错误！超链接引用无效。
人教b版数学选修2-2导数专题之导数的综合应用3(真题专练)
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）导数专题之导数的综合应用——真题专练1、已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围。
2、已知函数f （x ）=ln x -ax 2+（2-a ）x .(I)讨论f （x ）的单调性；（II ）设a ＞0，证明：当0＜x ＜1a 时，f （1a +x ）＞f （1a-x ）； 3、设函数()1x f x e -=-． (I)证明：当x ＞-1时，()1x f x x ≥+； （II ）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，求a 的取值范围． 4、设函数2()1x f x e x ax =---。
(I)若0a =，求()f x 的单调区间；（II ）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围解：0a =时，()1x f x e x =--，'()1x f x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加（II ）'()12x f x e ax =--由（I ）知1x e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，从而当120a -≥，即12a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =， 于是当0x ≥时，()0f x ≥.由1(0)x e x x >+≠可得1(0)x e x x ->-≠.从而当12a >时， '()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--，故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <. 综合得a 的取值范围为1(,]2-∞. 5、设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；（II ）证明：()21224In f x -> 解: （I ）()2222(1)11a x x a f x x x x x++'=+=>-++ 令2()22g x x x a =++，其对称轴为12x =-。
2018版高中数学人教B版选修2-2学案：1.3.3导数的实际应用
2018版高中数学人教B版选修2-2学案：1.3.3导数的实际应用1．3.3 导数的实际应用明目标、知重点1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．导数在实际问题中的应用1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题．2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的数学模型．写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )，然后再利用导数研究函数的最值．[情境导学]生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．探究点一面积、体积的最值问题思考如何利用导数解决生活中的优化问题？答(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y ＝f (x )． (2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值．(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2，上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解设版心的高为x dm ，则版心的宽为128 x dm ，此时四周空白面积为S (x )＝(x ＋4)128x ＋2－128 ＝2x ＋512x ＋8，x >0.求导数，得S ′(x )＝2－512x2.令S ′(x )＝2－512x 2＝0，解得x ＝16(x ＝－16舍去)．于是宽为128x ＝12816＝8.当x ∈(0,16)时，S ′(x )<0；当x ∈(16，＋∞)时，S ′(x )>0.因此，x ＝16是函数S (x )的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使海报四周空白面积最小．反思与感悟(1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．跟踪训练1 如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________米．答案 32,16解析要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x 米，则长为512x 米，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512x2. 令L ′＝0，得x ＝±16. ∵x >0，∴x ＝16.当x ＝16时，L min ＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．探究点二利润最大问题例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr 2分，其中r (单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是 y ＝f (r )＝0.2×4 3πr 3－0.8πr 2＝0.8πr33－r 2，0<="" 2－2r="" p="" ′(r="" ≤6.="" 令f="">当r ＝2时，f ′(r )＝0. 当r ∈(0,2)时，f ′(r )<0；当r ∈(2,6)时，f ′(r )>0.因此，当半径r >2时，f ′(r )>0，它表示f (r )单调递增，即半径越大，利润越高；半径r <2时，f ′(r )<0，它表示f (r )单调递减，即半径越大，利润越低．∴半径为2cm 时，利润最小，这时f (2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．半径为6cm 时，利润最大．反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<="">(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润 f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<6.<="" p="">从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．探究点三费用(用材)最省问题例3 已知A 、B 两地相距200km ，一只船从A 地逆水行驶到B 地，水速为8km /h ，船在静水中的速度为v km/h(80)，则y 1＝k v 2，当v ＝12时，y 1＝720，∴720＝k ·122，得k ＝5. 设全程燃料费为y ，由题意，得y ＝y 1·200v －8＝1000v 2v －8，∴y ′＝2000v (v －8)－1000v 2(v －8)2＝1000v 2－16000v (v －8)2.令y ′＝0，得v ＝16，∴当v 0≥16，即v ＝16km/h 时全程燃料费最省，y min ＝32000(元)；当v 0<16，即v ∈(8，v 0]时，y ′<0，即y 在(8，v 0]上为减函数，∴当v ＝v 0时，y min ＝1000v 2v 0－8(元)．综上，当v 0≥16时，v ＝16km/h 全程燃料费最省，为32000元；当v 0<16，即v ＝v 0时全程燃料费最省，为1000v 20v 0－8元．反思与感悟本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v ＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内．跟踪训练3 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r .计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记CD ＝2x ，梯形的面积为S .(1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值．解(1)依题意，以AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系(如图所示)，则点C 的横坐标为x .设点C 的纵坐标为y ，则(x ，y )满足方程x 2r 2＋y24r 2＝1(y >0)，解得y ＝2r 2－x 2(0<="">2(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )·r 2－x 2，其定义域为{x |0<="">(2)记f (x )＝4(x ＋r )2(r 2－x 2)，0<="" )＝8(x=""令f ′(x )＝0，得x ＝12r ，或x ＝－r (舍去)．因为当0<1<="" p="">2r 时，f ′(x )>0；当12r <="" )2r )是f (x )的最大值．因此，当x ＝12r 时，S 也取得最大值，最大值为f (12r )＝332r 2，即梯形面积S 的最大值为332r 2.1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A ．4 B ．6 C ．4.5 D ．8答案 A解析设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2，。
人教B版高中数学选修2-2 1-3-3 导数的实际应用 测试学
1.3.3 导数的实际应用（检测学生版）时间:50分钟 总分：80分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x (x ∈N ＋)满足y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运多少年可使其营运年平均利润最大( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．62．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四个角截去的正方形的边长为( ) A ．6cm B ．8cm C ．10cmD ．12cm3．有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为( ) A ．32m 2 B ．14m 2 C ．16m 2D ．18m 24．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2xx ，则总利润最大时，每年生产的产品是( ) A ．100 B ．200 C ．250D ．3005．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( ) A ．2πr 2 B ．πr 2 C ．4πr 2D ．12πr 26．某工厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( ) A ．32 16 B ．30 15 C ．40 20D ．36 18二、 填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．把长60cm 的铁丝围成矩形，当长为________cm ，宽为________cm 时，矩形面积最大． 8．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．9．货车欲以x km/h 的速度行驶去130km 远的某地，按交通法规，限制x 的允许范围是[50,100]，假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油的速率是⎝⎛⎭⎫2＋x2360升/小时，司机的工资是14元/小时，则最经济的车速是________，这次行车的总费用最低是________．10．在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为________时它的面积最大．三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）11．永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x－b ln x10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝30万元时，y ＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)． (1)求f (x )的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)． 12．已知某厂生产x 件产品的总成本为f (x )＝25000＋200x ＋140x 2(元)．(1)要使生产x 件产品的平均成本最低，应生产多少件产品？ (2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？13．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m 2，中间两道隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽视不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该地的长和宽都不能超过16m ，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．。
最新-高中数学《导数的实际应用》同步练习1 新人教B版
导数的实际应用选择题1．设函数0()f x x 在可导，则000()(3)limt f x t f x t t→+--=（ ）A ．'0()f xB ．'02()f x -C ．'04()f xD ．不能确定2．（2018年浙江卷）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）3．（2018年江西卷）设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．54．已知函数x x f =)(，在0=x 处函数极值的情况是（ ）A ．没有极值B ．有极大值C ．有极小值D ．极值情况不能确定 5．曲线321x y =在点⎪⎭⎫ ⎝⎛41,8R 的切线方程是（ ）A ．02048=-+y xB ．48200x y ++=C ．48200x y -+=D ．4200x y --= 6．已知曲线)1000)(100(534002≤≤-++=x x x y 在点M 处有水平切线，则点M 的坐标是（ ）． A ．（-15，76） B ．（15，67） C ．（15，76） D ．（15，-76） 7．已知函数x x x f ln )(=，则（ ）A ．在),0(+∞上递增B ．在),0(+∞上递减C ．在⎪⎭⎫⎝⎛e 1,0上递增 D ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递减A ．B ．C ．D ．8．（2018年福建卷）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，二、填空题9．函数53)(23--=x x x f 的单调递增区间是_____________．10．若一物体运动方程如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=)2()3( )3(329)1( )30(2322t t t t s 则此物体在1=t 和3=t 时的瞬时速度是________．11．曲线x x y 23+-=在点（－1，－1）处的切线的倾斜角是________．12．已知c x x f +=2)(，且)1()()(2+==x f x f f x g ，设)()()(x f x g x λϕ-=， )(x ϕ在)1,(--∞上是减函数，并且在（－1，0）上是增函数,则λ=________．13．（2018年湖北卷）半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)`＝2πr ○1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 导数的实际应用课后训练 新人教B版选修2-2
1.3.3 导数的实际应用课后训练1．以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )．A．10 B．15 C．25 D．502．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是21400,0400,280000,400,x x xRx⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩则总利润最大时，每年的产量是( )．A．100 B．150 C．200 D．3003．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为( )．A．3cm B．3cmC．3cm D．3cm4．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )．A．5．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．6．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大．7．某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)，求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价．8．如图，在直线y＝0和y＝a(a＞0)之间表示的是一条河流，河流的一侧河岸(x轴)是一条公路，且公路随时随处都有公交车来往，家住A(0，a)的某学生在位于公路上B(d,0)(d＞0)处的学校就读，每天早晨该学生都要从家出发，可以先乘船渡河到达公路上某一点，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上B(d,0)处的学校，已知船速为v0(v0＞0)，车速为2v0(水流速度忽略不计)．(1)若d ＝2a ，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间； (2)若2ad，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间．参考答案1. 答案：C2. 答案：D 由题意，总成本为C ＝20 000＋100x . 所以总利润为P ＝R －C＝2140010020000,0400,28000010020000,400,x x x x x x ⎧---≤≤⎪⎨⎪-->⎩ 则300,0400,100,400,x x P'x -≤≤⎧=⎨->⎩令P ′＝0，得x ＝300，易知当x ＝300时，总利润最大．3. 答案：D 设圆锥的高为x， 其体积为V ＝13πx (202－x 2)(0＜x ＜20)， V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得1x =2x =舍去)． 当0＜x时，V ′＞0＜x ＜20时，V ′＜0，所以当x时，V 取最大值．4. 答案：C 设底面边长为x ，则表面积S＝2x 2＋x V (x ＞0)，S′＝2x(x 3－4V )， 令S ′＝0，得唯一极值点x 5. 答案：6 cm 3 cm 4 cm 设底面两邻边的长分别为x cm ，2x cm ，高为y cm ，则72＝2x 2·y ，所以2272362y x x ==，所以表面积S ＝2(2x 2＋xy ＋2xy )＝4x 2＋6xy ＝4x 2＋216x.则S ′＝8x －2216x，令S ′＝0，得x ＝3.所以长为6 cm ，宽为3 cm ，高为4 cm 时表面积最小． 6. 答案：32r 如图，设∠OBC ＝θ，则0＜θ＜π2，OD ＝r sin θ，BD ＝r cos θ.∴S △ABC ＝r cos θ(r ＋r sin θ)＝r 2cos θ＋r 2sin θcos θ.令S △ABC ′＝－r 2sin θ＋r 2(cos 2θ－sin 2θ)＝0.得cos 2θ＝sin θ.又0＜θ＜π2， ∴θ＝π6，∴当θ＝π6时，△ABC 的面积最大，即高为OA ＋OD ＝3+22r r r =时面积最大．7. 答案：分析：设矩形一边长为x m ，从而得到总造价关于边长x 的函数关系式，由实际问题求定义域，在定义域的限制条件下求最值．解：设矩形污水处理池的长为x m ，宽为200x m ，据题意16,200,x x x≤⎧⎪⎨≤⎪⎩解得≤x ≤16，y＝20022x x ⎛⎫+⨯⎪⎝⎭×400＋400x×248＋200×80 ＝800x ＋259 200x ＋16000(x ≤16)，令y′＝800－259 200x＝0，得x ＝18，当x (0,18)时，函数为减函数；当x (18，＋∞)时，函数为增函数．因此在定义域内函数为减函数，当且仅当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价y 最低，为45 000元．8. 答案：分析：首先要选取适当的变量，表示出从家到达学校所用的时间，通过求该函数的导数，进而求出函数的最小值．解：(1)设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上的某一点P (x,0)(0≤x ≤d )，再乘公交车到学校，所用的时间为t ，则t ＝f (x )＝002d xv v -+(0≤x ≤d )， ∴f′(x )＝00111222x v v ⋅-12v -. 令f′(x )＝0，得3x a =. 当0≤x＜3a 时，f′(x )＜0；当3a ＜x ≤d 时，f′(x )＞0.∴当x =时，所用的时间最短，最短时间为0032d at v -=+. 当d ＝2a时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间为012a v ⎛+⋅ ⎝⎭.(2)由(1)的讨论可知，当2a d ＝时，t ＝f (x )在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以当2ax =时，该学生直接乘船渡河到达学校上学，所用的时间最短，最短时间为t＝0022a v v =.。
2019-2020学年人教B版选修2-2 1.3.3 导数的实际应用 学案
1．3.3 导数的实际应用问题：将8分成两个非负数之和，使其立方和最小，应该怎么分？ 提示：设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则其立方和 y ＝x 3＋(8－x )3＝83－192x ＋24x 2，且0≤x ≤8， y ′＝48x －192.令y ′＝0，即48x －192＝0，得x ＝4. 当0≤x <4时y ′<0，当4<x ≤8时y ′>0， ∴当x ＝4时，y 最小． 即分成的这两个数应为4,4.最优化问题在经济生活中，为使经济利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题．解决最优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )； (2)求导函数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值；(4)依据实际问题的意义给出答案．[例1] 在高为H 、底面半径为R 的圆锥内作一个内接圆柱，当圆柱底面半径r 为多大时，圆柱的体积最大？[思路点拨] 建立关于圆柱底面半径r 、高h 的函数关系式是解题的关键． [解] 设圆柱底面半径为r 、高为h 、体积为V ， 在圆锥的轴截面△ABC 中(如图)，[对应学生用书P22][对应学生用书P22]∵H H －h ＝Rr，∴h ＝H ⎝⎛⎭⎫1－r R ， ∴V ＝πr 2h ＝πr 2H ⎝⎛⎭⎫1－r R ＝πHr 2－πHR r 3(0＜r ＜R )，V ′＝2πHr －3πHRr 2.令V ′＝0得r ＝23R 或r ＝0(舍去)．由于在(0，R )内函数只有一个极大值点，根据题意知该点即为最大值点， ∴当r ＝23R 时，体积最大且V max ＝427πR 2H .[一点通] 解决几何中的长度、面积、体积的最值问题，关键是正确引入变量，利用相关知识把相关量均用该变量表示，从而将长度、面积、体积表示为所引入变量的函数，再利用导数求解函数的最值，但因为是实际问题，要根据题目中的条件，求出定义域．1．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)． 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.2．要做成一个截面为等腰梯形的水槽，下底长和腰都为a ，如图，问斜角θ为多大时，水槽的流量最大？解：设横截面面积为S ，则 S ＝12(AB ＋ED )·CD ， AB ＝a ＋2a cos θ，CD ＝a sin θ， S ＝12[a ＋(a ＋2a cos θ)]·a sin θ ＝a 2sin θ(1＋cos θ)⎝⎛⎭⎫0<θ<π2. 又S ′＝a 2(2cos 2θ＋cos θ－1)，令S ′＝0，即a 2(2cos 2θ＋cos θ－1)＝0， 得cos θ＝12或cos θ＝－1.因为0<θ<π2，故cos θ≠－1，则cos θ＝12，此时θ＝π3.而0<θ<π3时，S ′>0；π3<θ<π2时，S ′<0.故当θ＝π3时，横截面的面积最大，此时，水槽的流量最大．[例2] 如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖) .(1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价． [思路点拨]分析题意→写出函数关系式→写出定义域→对函数关系式求导→讨论单调性→求最值[精解详析] (1)设长为x m ，则宽为200x m.据题意⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<200x ≤16，解得252≤x ≤16，y ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋2·200x ×400＋400x ×248＋16 000 ＝800x ＋259 200x ＋16 000 ，定义域为⎣⎡⎦⎤252，16. (2)由y ′＝800－259 200x 2＝0，解得x ＝18.当x ∈(0,18)时，函数y 为减函数； 当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数． 又∵252≤x ≤16，∴当x ＝16时，y min ＝45 000.∴当且仅当长为16 m 、宽为12.5 m 时，总造价y 最低为45 000元． [一点通](1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答．(2)利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )A ．32米，16米B ．30米，15米C ．40米，20米D ．36米，18米解析：设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x 米，其他两边的边长均为y 米，则xy ＝512.则所用材料l ＝x ＋2y ＝2y ＋512y (y ＞0)，求导数，得l ′＝2－512y2.令l ′＝0，解得y ＝16或y ＝－16(舍去)．当0＜y ＜16时，l ′＜0；当y ＞16时，l ′＞0.所以y ＝16是函数l ＝2y ＋512y (y ＞0)的极小值点，也是最小值点．此时，x ＝51216＝32.所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省． 答案：A4．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/时)的函数关系是P ＝119 200v 4－1160v 3＋15v ，(1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值． 解：(1)Q ＝P ·400v ＝⎝⎛⎭⎫119 200v 4－1160v 3＋15v ·400v ＝⎝⎛⎭⎫119 200v 3－1160v 2＋15·400 ＝v 348－52v 2＋6 000(0＜v ≤100)． (2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80， 当0＜v ＜80时，Q ′＜0； 当80＜v ≤100时，Q ′＞0，∴v ＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且从而Q min ＝Q (80)＝2 0003(元).[例3] (12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x4x ＋32(x ∈N ＋)，(1)将该厂的日盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数； (2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？ [解] (1)因为次品率p ＝3x4x ＋32，所以当每天生产x 件时，有x ·3x4x ＋32件次品，有x ⎝⎛⎭⎫1－3x4x ＋32件正品．⇨(2分)所以T ＝200x ·⎝⎛⎭⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x 4x ＋32＝25·64x －x 2x ＋8(x ∈N ＋)．⇨(6分)(2)T ′＝－25·(x ＋32)(x －16)(x ＋8)2，⇨(8分)由T ′＝0，得x ＝16或x ＝－32(舍去)．⇨(9分) 当0<x <16时，T ′>0； 当x >16时，T ′<0.所以当x ＝16时，T 最大，即该厂的日产量定为16件时，能获得最大盈利．⇨(12分)[一点通] 利润问题是经济生活中最为常见的问题．一般来说，利润L 等于总收入减去总成本，而总收入等于(正品)产量乘以价格．由此可以得到利润L 与产量的函数关系式，进而用导数求最大利润．另外，如果依据条件所确定的函数关系中含有参数a ，在解决时，一定要根据情况确定分类标准，对参数a 进行讨论，做到不重不漏．5．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)， ∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．答案：A6．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系x ＝2 000t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元(以下称s 为赔付价格)．(1)将乙方的年利润w (元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？解：(1)因为赔付价格为s 元/吨，所以乙方的实际年利润为w ＝2 000t －st . 由w ′＝1 000t －s ＝1 000－s t t ，令w ′＝0得t 0＝⎝⎛⎭⎫1 000s 2.当t ＜t 0时，w ′＞0；当t ＞t 0时w ′＜0，所以t ＝t 0时，w 取得最大值．因此乙方取得最大利润的年产量t 0＝⎝⎛⎭⎫1 000s 2吨． (2)设甲方净收入为v 元，则v ＝st －0.002t 2.将t ＝⎝⎛⎭⎫1 000s 2代入上式，得到甲方净收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式， v ＝1 0002s －2×1 0003s 4，又v ′＝－1 0002s 2＋8×1 0003s 5＝1 0002×(8 000－s 3)s 5，令v ′＝0，得s ＝20.当s ＜20时，v ′＞0；当s ＞20时，v ′＜0， 所以s ＝20时，v 取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格s ＝20(元/吨)时，获最大净收入．1．利用导数解决生活中最优化问题的基本思路解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，利用数学知识建立实际问题的数学模型，再对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，最后把数学结论返回到实际问题中去，其思路如下：2．解决优化问题时应注意的问题(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f (x )在给定区间内只有一个极值点或函数f (x )在开区间上只有一个点使f ′(x )＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．[对应课时跟踪训练(九)]1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为s ＝43t 3－2t 2，那么速度为0的时刻是( )A ．1秒末B ．0秒C ．2秒末D ．0或1秒末解析：由题意可得t ≥0，且s ′＝4t 2－4t ，令s ′＝0，解得t 1＝0，t 2＝1. 答案：D2．把一段长为12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A.332 cm 2B ．4 cm 2C ．3 2 cm 2D ．2 3 cm 2解析：设一段为x ，则另一段为12－x (0＜x ＜12)， 则S (x )＝12×⎝⎛⎭⎫x 32×32＋12×⎝⎛⎭⎫12－x 32×32＝34⎝⎛⎭⎫2x 29－8x3＋16， ∴S ′(x )＝34⎝⎛⎭⎫49x －83. 令S ′(x )＝0，得x ＝6， 当x ∈(0,6)时，S ′(x )＜0， 当x ∈(6,12)时，S ′(x )＞0， ∴当x ＝6时，S (x )最小． ∴S ＝34⎝⎛⎭⎫2×19×62－83×6＋16＝23(cm 2)．答案：D3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高应为( ) A.2033 cmB ．100 cmC ．20 cmD.203cm 解析：设高为h ，体积为V ， 则底面半径r 2＝202－h 2＝400－h 2， ∴V ＝13πr 2h ＝π3(400h －h 3)，V ′＝π3(400－3h 2)，令V ′＝0，得h ＝2033或h ＝－2033(舍)，则0＜h ＜2033时，V ′＞0，h ＞2033时，V ′＜0，故h ＝2033时V 最大．答案：A4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q ，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元解析：设毛利润为L (p )，由题意知 L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20) ＝(8 300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以，L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．答案：D5.如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，0， 点B 坐标为⎝⎛⎭⎫x2，1－⎝⎛⎭⎫x 22，∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫x 22 ＝－x 34＋x ，x ∈(0,2)．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，f ′(x )＞0，f (x )是递增的， x ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，f ′(x )＜0，f (x )是递减的， 当x ＝23时，f (x )取最大值439.答案：4396．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分________次进货、每次进________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．解析：设每次进书x 千册(0＜x ＜150)，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x 2，故有y ＝150x ×30＋x2×40，y ′＝－4 500x 2＋20＝20(x ＋15)(x －15)x 2，∴当0＜x ＜15时y ′＜0，当15＜x ＜150时y ′＞0. 故当x ＝15时，y 取得最小值， 此时进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少． 答案：10 15 0007．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加，年销售量y 关于x 的函数为y ＝3 240⎝⎛⎭⎫－x 2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)解：由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x )， 每辆车的出厂价为13(1＋0.7x )， 年利润为f (x )＝[13(1＋0.7x )－10(1＋x )]·y ＝(3－0.9x )×3 240×⎝⎛⎭⎫－x 2＋2x ＋53＝ 3 240(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)， 则f ′(x )＝3 240(2.7x 2－9.6x ＋4.5) ＝972(9x －5)(x －3)，由f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3(舍去)． 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，59时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫59，1时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．所以当x ＝59时，f (x )取极大值，f ⎝⎛⎭⎫59＝20 000，因为f (x )在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．所以当x ＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元． 8．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值．解：(1)由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)， 再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5. 而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2， 令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6， 解得x ＝5，x ＝－253(舍去)． 当0＜x ＜5时，f ′(x )＜0，当5＜x ＜10时，f ′(x )＞0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．。
人教版-数学-高二-数学人教B版选修2-2自我小测 1.3.3导数的实际应用
自我小测1．将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为( ) A ．2和6 B ．4和4C ．3和5D ．以上都不正确2．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一件产品，成本增加100元，已知总收益R (元)与年产量x (件)的关系是R ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x ＞400，则总利润P 最大时，每年的产量是( )A ．100件B ．150件C ．200件D ．300件3．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k ＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x 〔x ∈(0,0.048)〕，则存款利率为__________时，银行可获得最大收益．( )A ．0.012B ．0.024C ．0.032D ．0.0364．已知矩形的两相邻顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的部分，则此矩形面积的最大值是__________．5．已知某工厂生产x 件产品的成本为C ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)，则当平均成本最低时，x ＝________件．6．将边长为1 m 正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是________．7．某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)，求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价．8．货车欲以x km/h 的速度行驶，去130 km 远的某地．按交通法规，限制x 的允许范围是50≤x ≤100.假设汽油的价格为2元/L ，而汽车耗油的速率是⎝⎛⎭⎫2＋x2360L/h.司机的工资是14元/h ，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用最低是多少？(结果保留整数)9．如图所示，扇形AOB 中，半径OA ＝1，∠AOB ＝π2，在OA 的延长线上有一动点C ，过C 作CD 与AB 相切于点E ，且与过点B 所作的OB 的垂线交于点D ，问当点C 在什么位置时，直角梯形OCDB 的面积最小．参考答案1．解析：设其中一个数为x ，两数立方之和为y ，则另一个数为8－x ，y ＝x 3＋(8－x )3,0≤x ≤8，y ′＝3x 2－3(8－x )2， 令y ′＝0，即3x 2－3(8－x )2＝0，得x ＝4. 当0≤x ＜4时，y ′＜0；当4＜x ≤8时，y ′＞0. 所以当x ＝4时，y 最小． 答案：B2．解析：由题意，总成本为C ＝20 000＋100x .所以总利润P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－100x －20 000，0≤x ≤400，80 000－100x －20 000，x ＞400，则P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x ＞400，令P ′＝0，得x ＝300，易知当x ＝300(件)时，总利润最大． 答案：D3．解析：由题意，存款量g (x )＝kx (k ＞0)，银行应支付的利息h (x )＝xg (x )＝kx 2，x ∈(0,0.048)．设银行可获得的收益为y ，则y ＝0.048kx －kx 2. 于是y ′＝0.048k －2kx ，令y ′＝0，解得x ＝0.024， 依题意知y 在x ＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益． 答案：B4．解析：由题意可设点A (x ，y )，则点B (－x ，y )，C (－x,0)，D (x,0)，其中0＜x ＜2,0＜y ＜4，设矩形的面积为S ，则S ＝2xy ＝2x (4－x 2)＝8x －2x 3， 令S ′＝8－6x 2＝0，得x ＝233.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，233时，S ′＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫233，2时，S ′＜0，故当x ＝233时，面积取得最大值，此时S ＝3239.答案：32395．解析：设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x 2x ＝25 000x ＋200＋x40(x ≥0)，y ′＝－25 000x 2＋140，令y ′＝0，得x ＝1 000或x ＝－1 000(舍去)． 当0≤x ＜1 000时，y ′＜0，当x ＞1 000时，y ′＞0， 故当x ＝1 000时，y 取最小值． 答案：1 0006．解析：如图所示，设剪成的两块中是正三角形的那一块边长为x m ，则梯形的周长为x ＋(1－x )＋(1－x )＋1＝3－x ，梯形的面积为34－34x 2， ∴S ＝(3－x )234(1－x 2)＝433·x 2－6x ＋91－x2(0＜x ＜1)， 对S 求导得S ′＝433·－2(3x 2－10x ＋3)(1－x 2)2.令S ′＝0，得x ＝13或x ＝3(舍去)，∴S min ＝S ⎝⎛⎭⎫13＝3233.答案：32337．解：设矩形污水处理池的长为x m ，宽为200xm ，据题意⎩⎪⎨⎪⎧x ≤16，200x ≤x ，解得102≤x ≤16，总造价f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ×400＋400x ×248＋200×80＝800x ＋259 200x＋16 000(102≤x ≤16)，令f ′(x )＝800－259 200x 2＝0，得x ＝18，当x ∈(0,18)时，函数f (x )为减函数；当x ∈(18，＋∞)时，函数f (x )为增函数．因此在定义域内函数f (x )为减函数，当且仅当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价最低，为45 000元．8．解：由已知可得汽车的运行时间为130x h ，耗油量为130x ·⎝⎛⎭⎫2＋x 2360L ，耗油费用为2·130x ·⎝⎛⎭⎫2＋x 2360元， 司机的工资为14·130x 元，故这次行驶的总费用为y ＝2·130x ·⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14·130x ＝130⎝⎛⎭⎫x 180＋18x ， ∴y ′＝130⎝⎛⎭⎫1180－18x 2.令y ′＝0，即130⎝⎛⎭⎫1180－18x 2＝0， 解得x ＝1810(x ＝－1810舍去)． ∵50≤x ≤100，∴x ＝1810≈57(km/h)时， 最低费用为130×⎝⎛⎭⎫57180＋1857≈82(元)．9．解：如图所示，作DF ⊥OA 于F ，则DF ＝OB ＝OE ，可知，△OEC ≌△DFC ，∴OC ＝CD .设OC ＝x (x ＞1)，在Rt △CDF 中，CD 2＝CF 2＋DF 2，即x 2＝(x －BD )2＋1，∴BD ＝x －x 2－1，∴梯形的面积为S ＝12(BD ＋OC )·OB ＝12(2x －x 2－1)，S ′＝12⎝⎛⎭⎪⎫2－xx 2－1， 令S ′＝0，得xx 2－1＝2，解得x 1＝233，x 2＝－233(舍去)，当x ＞233时，S ′＞0；当1＜x ＜233时，S ′＜0，∴当x ＝233时，S 取最小值，故当OC ＝233时，直角梯形OCDB 的面积最小．。
人教新课标版数学高二B版选修2-2学业测评 1.3.3 导数的实际应用
学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)()A．32,16B．30,15C．40,20D．36,18【解析】要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为512x 米，因此新墙总长L＝2x＋512x(x>0)，则L′＝2－512x2.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为51216＝32(米)，可使L最短．【答案】 A2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为() A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不对【解析】设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x ＝4.当0≤x<4时，y′<0；当4<x≤8时，y′>0.所以当x＝4时，y最小．【答案】 B3．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为()A.R2和32R B.55R和455RC.45R和75R D．以上都不对【解析】设矩形的宽为x，则长为2R2－x2，则l＝2x＋4R2－x2(0<x<R)，l ′＝2－4x R 2－x2，令l ′＝0，解得x 1＝55R ，x 2＝－55R (舍去)． 当0<x <55R 时，l ′>0；当55R <x <R 时，l ′<0，所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为55R ，455R .【答案】 B4．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000， x >400，则总利润最大时，每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300【解析】 由题意，得总成本函数为C (x )＝20 000＋100x ，总利润P (x )＝R (x )－C (x )＝ ⎩⎨⎧300x －x 22－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.所以P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400.令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时， 总利润P (x )最大． 【答案】 D5．用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图1-3-12)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )图1-3-12A ．8 cmB ．9 cmC ．10 cmD ．12 cm【解析】 设容器的高为x cm ， 容器的体积为V (x )cm 3， 则V (x )＝(90－2x )(48－2x )x ＝4x 3－276x 2＋4 320x (0<x <24)， 因为V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320，由12x 2－552x ＋4 320＝0，得x ＝10或x ＝36(舍)， 因为当0<x <10时，V ′(x )>0，当10<x <24时， V ′(x )<0，所以当x ＝10时，V (x )在区间(0,24)内有唯一极大值， 所以容器高x ＝10 cm 时，容器体积V (x )最大． 【答案】 C 二、填空题6．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为__________米． 【解析】 设广场的长为x 米，则宽为40 000x米，于是其周长为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋40 000x (x >0)，所以y ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－40 000x 2，令y ′＝0，解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.当0<x <200时，y ′<0；当x >200时，y ′>0.所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800米．【答案】 8007．已知矩形的两个顶点A 、D 位于x 轴上，另两个顶点B 、C 位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．【解析】 由题意，设矩形边长AD ＝2x ，则AB ＝4－x 2， ∴矩形面积为S ＝2x (4－x 2)＝8x －2x 3(0<x <2)． ∴S ′＝8－6x 2.令S ′＝0，解得x 1＝23 3，x 2＝－23 3(舍去)． 当0<x <233时，S ′>0； 当23 3<x <2时，S ′<0.∴当x ＝23 3时，S 取得最大值为3239.即矩形的边长分别是433，83时，矩形的面积最大． 【答案】433，838．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km /h 时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为________km/h.【解析】 设轮船的速度为x km/h 时，燃料费用为Q 元，则Q ＝kx 3(k ≠0)． 因为6＝k ×103，所以k ＝3500，所以Q ＝3500x 3. 所以行驶每千米的费用总和为 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3500x 3＋96·1x ＝3500x 2＋96x (x >0)． 所以y ′＝3250x －96x 2.令y ′＝0，解得x ＝20. 因为当x ∈(0,20)时，y ′<0，此时函数单调递减； 当x ∈(20，＋∞)时，y ′>0，此时函数单调递增，所以当x ＝20时，y 取得最小值，即此轮船以20 km/h 的速度行驶时，每千米的费用总和最小． 【答案】 20 三、解答题9．如图1-3-13，一矩形铁皮的长为8 cm ，宽为5 cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？图1-3-13【解】 设小正方形的边长为x cm ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <52，则盒子底面长为(8－2x ) cm ，宽为(5－2x ) cm ，V ＝(8－2x )(5－2x )x ＝4x 3－26x 2＋40x ， V ′＝12x 2－52x ＋40，令V ′＝0，得x ＝1或x ＝103(舍去)，V 极大＝V (1)＝18，在定义域内仅有一个极大值，所以V 最大值＝18，即当小正方形的边长为1 cm 时，盒子容积最大． 10．(2016·银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】 设每次进书x 千册(0<x <150)，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x 2，故有y ＝150x ×30＋x2×40，y′＝－4 500x2＋20＝20(x＋15)(x－15)x2，令y′＝0，得x＝15，列表如下：单调递减单调递增所以当x＝时，y取得最小值，此时进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15千册书，所付手续费与库存费之和最少．1．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28 000元D．23 000元【解析】设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23 000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．【答案】 D2．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使体积最大，则其高应为( )A.533 cm B.1033 m C ．5 3 mD.20 33 m【解析】 如图，设圆锥底面半径为r ，高为h ，则h 2＋r 2＝202. 所以r ＝400－h 2，所以圆锥体积V ＝13πr 2h ＝13π(400－h 2)h ＝13π(400h －h 3)， 所以V ′＝13π(400－3h 2)，令V ′＝0，得h ＝2033或h ＝－2033(舍去)． 当0<h <2033时，V ′>0；当h >2033时，V ′<0. 所以当h ＝2033时，V 最大．故选D. 【答案】 D3．如图1-3-14，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是__________．图1-3-14【解析】 设CD ＝x ，则点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，0，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝⎛⎭⎪⎫x 22，∴矩形ABCD 的面积 S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22 ＝－x 34＋x ，x ∈(0,2)． 由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0， 得x 1＝－233(舍)，x 2＝233，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝233时，f (x )取最大值439. 【答案】4394．(2016·广州高二检测)如图1-3-15所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km 的B 处，乙厂到海岸的垂足D 与A 相距50 km.两厂要在此岸边A ，D 之间合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，则供水站C 建在何处才能使水管费用最省？图1-3-15【解】 设C 点距D 点x km ，则AC ＝50－x (km)， 所以BC ＝BD 2＋CD 2＝x 2＋402(km)．又设总的水管费用为y 元， 依题意，得y ＝3a (50－x )＋5ax 2＋402(0<x <50)．y′＝－3a＋5axx2＋402.令y′＝0，解得x＝30.在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km 处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．。
2019-2020年高中数学人教B版选修2-2同步训练：1.3 导数的应用 Word版含答案
1.3 导数的应用1、函数32()f x x ax bx c =+++,其中,,a b c 为实数,当230a b -<时,()f x 在R 上( ) A.是增函数 B.是减函数C.是常函数D.既不是增函数也不是减函数2、设(),()f x g x 是定义在R 上的恒大于0的可导函数,且'()()()'()0f x g x f x g x -<,则当a x b <<时,有( )A.()()()()f x g x f b g b >B.()()()()f x g a f a g x >C.()()()()f x g b f b g x >D.()()()()f x g x f a g a >3、已知函数()y f x =在定义域3(,3)2-内可导,其图象如图所示.记()y f x =的导函数为'()y f x =,则不等式'()0xf x ≤的解集为( )A.[][)31,0,12,323⎛⎤--⋃⋃ ⎥⎝⎦ B.[]18,01,2,333⎡⎤⎡⎫-⋃⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C.[)1,12,33⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦D.31148,,,323233⎛⎤⎡⎤⎡⎫--⋃⋃ ⎪⎥⎢⎥⎢⎝⎦⎣⎦⎣⎭4、已知函数322(f x x ax bx a =+++）在处1?x =取极值10,则a = ( )A.4或-3B.4或-11C.4D.-3 5、已知函数()()()sin cos ,0,2015,xf x e x x x π=-∈则函数()f x 的极大值之和为( )A. 22014211e e e πππ-- B. 2014211e e e πππ--C. 1007211e e e πππ--D. 100711e e eπππ-- 6、已知()()3261f x x ax a x =++++既有极大值和极小值,则a 的取值范围为( )A. 12a -<<B. 36a -<<C. 1a <-或2a >D. 3a <-或6a >7、已知定义在()0,+∞上的函数f ()x 的导函数'()f x 满足ln '()()xxf x f x x+=,且1()f e e =,其中e 为自然对数的底数,则不等式1()f x e x e+>+的解集是( )A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()0,eC. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8、已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为22'(),(2)()xf x f x f x e --= (e 为自然对数的底数),且当x 1≠时, [](1)()()0x f x f x '-->,则( ) A. ()()10f f < B. ()()20f ef > C. ()()330f e f >D. ()()440f e f <9、已知函数f ()x 的定义域为R ,(2)2022f -=,对任意(),x ∈-∞+∞,都有'()2f x x <成立,则不等式2()2018f x x >+的解集为( )A. ()2,-+∞B. ()2,2-C. (),2-∞-D. (),-∞+∞10、已知函数()y f x =的导数是()'y f x =,若(0,)x ∀∈+∞,都有()()'2xf x f x <成立,则( )A. 23ff >B. ()21f f <C. ()432f f <D. ()()412f f > 11、若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1,)-+∞上是减函数,则b 的取值范围是__________. 12、直线y a =与函数3()3f x x x =-的图象有三个相异的公共点,则a 的取值范围是__________.13、已知()333f x x bx b =-+在()0,1内有极小值,则实数b 的取值范围是__________14、函数231()23f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是__________ 15、已知函数()()()221ln 1f x mx m x x m m R =-++---∈1.若函数()()1g x f x x =-+有一个极小值点和一个极大值点,求m 的取值范围;2.设12m ≤,若存在()1,2n ∈,使得当(]0,x n ∈时, ()f x 的值域是()),f n +∞⎡⎣,求m 的取值范围答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：2'()32f x x ax b =++,方程2320x ax b ++=的判别式22(2)434(3)a b a b ∆=-⨯=-.因为230a b -<,所以24(3)0a b ∆=-<,所以'()f x 在R 上恒大于0,故()f x 在R 上是增函数.2答案及解析： 答案：C 解析：令()()()f x F x g x =,则2'()()()'()'()0()f xg x f x g x F x g x -=<,所以函数()F x 在R 上单调递减.又a x b <<,∴()()()0()()()f a f x f bg a g x g b >>>.又()0,()0f x g x >>,∴()()()()f x g b f b g x >.3答案及解析： 答案：A解析：对于不等式'()0xf x ≤,当302x -<<时,'()0f x ≥,则结合图象,知原不等式的解集为31,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦;当03x ≤<时,'()0f x ≤,则结合图象,知原不等式的解集为[][)0,12,3⋃.综上,原不等式的解集为[][)31,0,12,323⎛⎤--⋃⋃ ⎥⎝⎦.4答案及解析： 答案：C 解析：5答案及解析： 答案：B解析：()2sin xf x e x '=,令()'0f x =得sin 0x =,∴,x k k Z π=∈,当22k x k πππ<<+时, ()'0f x >,()f x 单调递增,当()212k x k ππ-<<时,()'0f x <,()f x 单调递减,∴当()21x k π=+时, ()f x 取到极大值,∵()0,2015x π∈,∴()0212015k ππ<+<,∴01007,k k Z ≤<∈. ∴()f x 的极大值之和为()()()()352013352013S f f f f e e e e ππππππππ=++++=++++210072014221111e e e e e eππππππ⎡⎤--⎣⎦==--,故选B.6答案及解析： 答案：D解析：因为三次函数存在极大值和极小值,因此则其导函数必有两个不等的实数根,即()()2'326f x x ax a =+++中判别式大于零,即为()241260a a -⨯+>,解得为3a <-或6a >7答案及解析： 答案：B 解析：8答案及解析： 答案：C 解析：9答案及解析： 答案：C解析：选C. ()22()201820180f x x f x x >+⇒-->设()()220180,g x f x x =-->∴()y g x =是减函数()()22420180,g f -=---=原不等式等价于()()2g x g >-故2x <-10答案及解析： 答案：D 解析：选D()()()()'2'220xf x f x x f x xf x <⇒-<构建函数:()()()()()'2'2420f x f x x xf x F x F x x x-=⇒=< 可知: ()y F x =是减函数,经验证:()()()()()()12121241214f f F F f f <⇒>⇒>⇒>11答案及解析： 答案：(],1-∞-解析：∵()f x 在()1,-+∞上为减函数, ∴()'0f x ≤在()1,-+∞上恒成立, ∵()',022b b f x x x x x =-+∴-+≤++ ∵()2b x x ≤+在()1,-+∞上恒成立,()()()2211g x x x x =+=+-,∴()min 1,1g x b =-∴≤-.12答案及解析： 答案：()2,2-解析：令2()330f x x =-=,得1x =±, 可得极大值为(1)2f -=, 极小值为(1)2f =-,得22?a -<<时恰有三个不同的公共点.13答案及解析： 答案：()0,1解析：∵()()22'333.f x x b x b =-=-因为函数()f x 在()0,1内有极小值,故方程()230x b -=在()0,1内有解,所以01<<,即01b <<.14答案及解析： 答案：323解析：15答案及解析：答案：1. ()()21ln g x m x x =---,则()()21221'21mx mx g x m x x x-+-=---=令()()2221,0h x mx mx x =-+->,若函数()g x 有两个极值点,则方程()0h x =必有两个不等的正根,于是()()201480210222h m m m m ⎧⎪=-⎪⎪∆=->⎨⎪⎪-=>-⎪⎩,解得2?m >;当2?m >时, ()0h x =有两个不相等的正实根, 设为12,x x ,不妨设12x x <,则()()()()122'm x x x x h x g x xx--=-=-. 当10x x <<时, ()()0,'0h x g x ><,()g x 在1(0,)x 上为减函数; 当12x x x <<时, ()()0,'0h x g x <>,()g x 在12,x x 上为增函数; 当2x x >时, ()()0,'0h x g x ><函数()g x 在2(,)x +∞上为减函数.由此, 1x x =是函数()g x 的极小值点, 2x x =是函数()g x 的极大值点.符合题意. 综上,所求实数m 的取值范围是()2,+∞2. ()()1'121f x m x x=---()22211mx m x x -++=-()()121x mx x --=- ①当0m ≤时,210mx x-<. 当01x <<时, ()'0f x <,()f x 在()0,1上为减函数;当1x >时, ()'0f x >,()f x 在()1,+∞上为增函数.所以,当(]()0,12x n n ∈<<时, ()()()min 10f x f f n ==<,()f x 的值域是[)0,+∞.不符合题意.②当102m <≤时, ()()1212'm x x m f x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-.(i)当112m =,即12m =时, ()()210x f x x-'=≤,当且仅当1x =时取等号. 所以()f x 在()0,1上为减函数.从而()f x 在(]0,n 上为减函数.符合题意 (ii)当11>,即10m <<时,当x 变化时, ()()',f x f x 的变化情况如表:若满足题意,只需满足()()21f f <,且22m < (若22m ≥,不符合题意), 即1ln 2m >-,且14m >.又11ln 24->,所以1ln 2m >-,此时11ln 22m -<<,所以实数m 的取值范围是11ln 22m -<≤解析：。
高中数学《导数的实际应用》同步练习1 新人教B版选修2-2
导数的实际应用选择题1．设函数0()f x x 在可导，则000()(3)limt f x t f x t t→+--=（ ）A ．'0()f xB ．'02()f x -C ．'04()f xD ．不能确定2．（2007年浙江卷）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）3．（2007年江西卷）设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．54．已知函数x x f =)(，在0=x 处函数极值的情况是（ ）A ．没有极值B ．有极大值C ．有极小值D ．极值情况不能确定 5．曲线321x y =在点⎪⎭⎫ ⎝⎛41,8R 的切线方程是（ ）A ．02048=-+y xB ．48200x y ++=C ．48200x y -+=D ．4200x y --= 6．已知曲线)1000)(100(534002≤≤-++=x x x y 在点M 处有水平切线，则点M 的坐标是（ ）． A ．（-15，76） B ．（15，67） C ．（15，76） D ．（15，-76） 7．已知函数x x x f ln )(=，则（ ）A ．在),0(+∞上递增B ．在),0(+∞上递减C ．在⎪⎭⎫⎝⎛e 1,0上递增 D ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递减A ．B ．C ．D ．8．（2007年福建卷）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，二、填空题9．函数53)(23--=x x x f 的单调递增区间是_____________．10．若一物体运动方程如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=)2()3( )3(329)1( )30(2322t t t t s 则此物体在1=t 和3=t 时的瞬时速度是________．11．曲线x x y 23+-=在点（－1，－1）处的切线的倾斜角是________．12．已知c x x f +=2)(，且)1()()(2+==x f x f f x g ，设)()()(x f x g x λϕ-=， )(x ϕ在)1,(--∞上是减函数，并且在（－1，0）上是增函数,则λ=________．13．（2006年湖北卷）半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)`＝2πr ○1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
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选择题A1 c 1L A.B. 0C. 一D. 5554. 已知函数f (x) =|x ，在X = 0处函数极值的情况是()A .没有极值B .有极大值C .有极小值D .极值情况不能确定1 ( 15. 曲线y =—円在点R 8 - |的切线方程是()Vx 2 I 4 丿A .x48y-20=0B .x 48y 20=0C .x-48y 20=0D .x-4y-20 = 0236.已知曲线y400 x2(100 -x)(0乞x 乞100)在点M 处有水平切线，则点 M 的坐5标是().A . (-15, 76)B . (15, 67)C . ( 15, 76)D . (15, -76)7.已知函数f(X)=xln X ，则()A .在(0「：：)上递增B .在(0/::)上递减D .在0,1上递减 i e.丿9.函数f(x) =x 3 —3x 2—5的单调递增区间是 __________ ■—.导数的实际应用1设函数 f(x)在X 。
可导，则lim of(X o t) - f (X o -3t)& (2007年福建卷)已知对任意实数 f(X)0, g(x) 0 ,则 x ：： 0时(A . f (x) 0, g (x) 0C . f (x):： 0, g (x) 0 X ，有 f (-X) _ - f (x) ,gO=g(x))B . f (x)0, g (x) ：： 0,且x 0时,A • f '(X 0)B • -2f '(x 。
)C . 4f '(X 0)D •不能确定2.( 2007年浙江卷)设f (x)是函数f (X)的导函数，将y = f(x)和y = f (x)的图象画在处的切线的斜率为()则此物体在t =1和t = 3时的瞬时速度是.f~23t +2 (0斗3) (1) 10 .若一物体运动方程如下：s = £2[29+3(t—3)2(t^3) (2)311._______________________________________________________________ 曲线y = —x +2x 在点(一1, - 1)处的切线的倾斜角是___________________________________ .12.已知f (x) =x2c，且g(x) = f f (x) f (x21)，设：(x) =g(x) -，f (x) , (x) 在上是减函数，并且在(—1, 0) 上是增函数，则九= _________ .13.(2006年湖北卷)半径为r的圆的面积S(r)=二r2,周长C(r)=2二r，若将r看作(0，+R)上的变量，贝U (二r2)' = 2二r①，0式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R的球，若将R看作(0,+^ )上的变量，请你写出类似于O 1的式子：_________________________________________ ②，②式可以用语言叙述为：14.___________________________ (2007年江苏卷)已知函数f (x) =x3-12x 8在区间［-3,3］上的最大值与最小值分别为M ,m，贝U M -m 二.三、解答题2x15.( 1)求曲线y 在点(1，1 )处的切线方程；x +1t — 1 2(2)运动曲线方程为S 厂• 2t2，求t=3时的速度.116.设函数f(x)是定义在［—1,0) U( 0,1 ］上的奇函.数，当x€ ［—1,0)时，f(x) = 2ax + px(a € R).(1)当x€ (0, 1］时，求f (x)的解析式；(2)若a>—1,试判断f (x)在(0, 1)上的单调性，并证明你的结论；(3)是否存在a，使得当x€( 0, 1)时，f(x)有最大值—6.17.函数f (x)对一切实数x, y 均有f (x y) - f (y) =(x 2y 1)x 成立，且f(1) =0 ,(1)求f (0)的值；1(2)当0 _ x "时，f (x) 3 . 2x a恒成立，求实数a的2取值范围.18.(2006年江苏卷)请您设计一个帐篷。
它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。
试问当帐篷的顶点O到底面冲心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？319. (2006年天津卷)已知函数f x =4x3-3X2COS COST，其中Rj为参数，16且0 _2二.(1)当时COST - 0，判断函数f x是否有极值；(2)要使函数f x的极小值大于零，求参数d的取值范围；(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数二，函数f X在区间2a-1,a内都是增则此物体在t =1和t = 3时的瞬时速度是.函数，求实数a的取值范围.20.(2007年广东高考压轴题)已知函数f(x^x2 x -1, :-/■是方程f(x)=0的两个根(〉，)，f (an)f '(x)是f(x)的导数；设印=1 , 二an - ( n=1,2,,,)f '(a n)(1 )求亠：的值；(2)证明：对任意的正整数n,都有a n >a ；(3)记b n =1 n a n一- (n=1,2,”)，求数列｛b n｝的前n 项和S n. a n —a1参考答案、填空题9.（-二,0）与（2, ：：） . 10. 03兀11. .4 4313.V 球=R , 31■/ f(x)是奇函数.••• f(x)=2ax — 2，x € (0, 1].x2 1(2)证明：••• f ' (x)=2a+ 3 = 2(a • 3),x x 1 1-a> — 1, x € (0, 1 ], — >1 ,• a+ -3 >0.即 f ' xx• f(x)在(0, 1 ]上是单调递增函数. )解：当a>— 1时，仞在(0, 1 ]上单调递增.—5f(x)max =f(1)= — 6, = a= — (不合题意，舍之)，12. 4.又（4二R 3） =4二R 2故0式可填（-n R ） = 4二R 2，用语言叙述3 3为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数14. 32.三、解答题15. 分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数曲线y=f （x ）在点p （X 0,y 。
）处的切线的斜率。
瞬时速度是位移函数 2—2x 2 _（x 2 1）2，2解: (1) y '二2(x° —2 2(x +1)即曲线在点(1 , 1)处的切线斜率 因此曲线 y = -~x +1 在（1, 1 ）处的切线方程为 y=1.(2) S'S'|t =3 -二 V ' (2t 2)' .t 21 22612 =11 .t 2 —2t(t -1)t 44t 16. (1)解：设 x € (0, 1 ],贝U — x € [— 1, 0),y=f （x ）在x 0处的导数就是2F 4t.1f( 一 x)= 一 2ax+2 ，x(x)>0.当 a w— 1 时，f' (x)=0, x=3 -如下表：f max(x)=f( 3'-丄)=—6,解出a= —2^2 . X= € (0, 1).\ a 21•••存在a= 2 f(x)01 6.17.(I)因为 f(x y) — f(y)=(x 2y 1)x , 令 y =0, f (x) 一 f (0) (x 1)x ,再令 x =1,f (1)一 f(0) =2, f (0) 2. (n)由知 f (x) = (x • 1)x 一2，即 f (x) = x2• x - 2.21 2 3 由 f (x) 3 ■■ 2x - a 恒成立，等价于 a • f (x) -2x • 3 = x -x • 1 = (x )恒成241 2 3 立，即 a [(x ) ]max •2 4 1 1 23 1 2 3当 0 沁 时，［(X-;) ：］max 二［(0 -；)匚］"2 2 4 2 4故 a (1, • ：：) •18.解：设 001 为 x m ，则 1 ：：： x ：：： 4 .由题设可得正六棱锥底面边长为：32 -(x -1)2「8 2x -x 2 , ( m )故底面正六边形的面积为：帐篷的体积为:3叫 3 2 1 乜 3 3 3V (x)(8 2x -x ) [—(x -1) 1] (16 12x - x ) ( m ) 2 3 2求导得 V(x)3(12 —3x 2) .令 V(x) 0 ,2解得x=—2 (不合题意，舍)，x=2 ,当 1 ：： x ::: 2时，V(x) 0 , V (x)为增函数； 当 2 :: x ::: 4 时，V(x) ：：： 0 , V (x)为减函数. •••当x =2时，V ( x)最大.答：当OO 1为2 m 时，帐篷的体积最大，最大体积为16、.. 3 m 3.19. (I)解：当 cos^-0时，f(x)=4x 3,6于(.8 2x"号2(8 2x -x ),(m 2 )则f (x)在(-：：,=)内是增函数，故无极值.n)解： f (x) -12x - 6xcos：，令f '(x) - 0，得为- 0, x2 - 由(I),只需分下面两种情况讨论.① 当cosh 0时，随x的变化f '(x)的符号及f (x)的变化情况如下表:)0,必有cos)(cos 2「) 0,可得 0 ：：：cosr4 43 斗卡3二.11二由于0 _cos，故或2 6 2 2 6②当时COST ：：：0，随x 的变化，f '(x)的符号及f (x)的变化情况如下表:因此，函数在x = 0处取得极小值f (0)，且f (0)COST .16若f(0)・0,则COST 0.矛盾.所以当cos 八：0时，f (x)的极小值不会大于零. 综上，要使函数f (x)在(」：，•：：)内的极小值大于零，参数二的取值范围为cos 二由(II )知，函数f (x)在区间(_：：,•：：)与( ，•：：)内都是增函数.2由题设，函数f(x)在(2a-1,a)内是增函数, 则a 须满足不等式组2a -1 ：： a,12a T 去一 cos8L.2(,)时，0 ：：cosr (,)一 6 2 2 6 21 rx/3 4 + V3要使不等式2a 「1 cos 71关于参数-恒成立，必有2a —1，即a . 2484+运因此，函数f (x)在cos 、 1 3 f( ) cos 2 4 cos 要使f( 2COS cos T Rx处取得极小值f( )，且2 2—.16,3< 2二二3 二 (C3T11二(III )解: 2a 「a，或a 岂0.二 二 3 二 11 二5由( II ),参数时综上，解得a岂0或4一< a <1.8——4；3所以a的取值范围是(-：：,0)一•[—3,1).820.解析：(1 )T f(x) =x2，x-1 ,是方程f(x)=0 的两个根(：；"：,),2_1 .、5 - _1 j 5 … ,2 (2) f '(x) =2x 1 , 1 = _(2a n 1) 4 2 a n ' a n -1 2a n 1 5 4 ■ 2 a n 1 5 a n (2a n ' 1) (2a n' 1)-一 2 4 42 a n +1=1 ,.•.有基本不等式可知 a ^J T 1 0 （当且仅当"害 时取等号）， …a 2 5-1 _ —0， <5-1 2 , ，， , a n ■ 》1 = :- (n=1,2,” ) , (3) a n1_，a n 「_(a n J (a 「) 2a n 七 而:--'■ = -1，即〉• 1 二—'■, R (a ^P )2a n 1 — 2 a n +1 同样a 3 ■ ：n _ 4 (a n T ：), 2a n 1 同理 a n 1 —-导 ，b n gm 2a n +1 1「:: 3 • 5 3 • 5 又 bi 二 In In 2ln 1 Y 3 _(5 2 n 3 +75 S =2(2 -1)ln。