春季高一 第8讲 算法案例与题型总结 教师版 尖子班

当前形势算法问题在近五年北京卷（理）考查5分高考 要求内容要求层次 具体要求A B C 算法的含义 √ 理解算法步骤“明确”、“有效”、“有限”的要求体会算法“通用化”、“机械化”、“程序化”的特点程序框图的基本逻辑结构√理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件分支结构、循环结构北京 高考 解读 2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第4题5分第4题5分第4题5分<教师备案> ① 算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书中只对它作了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．”所以教学中，只要使学生明确算法实际上就是解决某一个或某一类问题的一种程序化的方法，它通常以一系列明确有限的步骤的形式出现即可．中学课程中的算法更强调具体算法所蕴涵的算法思想，重点在于培养学生的算法意识，这是在算法教学中始终应该注意的．但算法和方法也有不同．算法必须是可重复执行的，并且是经过有限次运算能得出结果的．② 第一个板块主要讲解算法结构和典型案例，第二个板块着眼于不同题型的总结（主 要以填写运算结果和判断条件为主）．新课标剖析第8讲 算法案例与题型汇总1．算法的概念：由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照一定规则解决某一类问题的明确的和有限的步骤，称为算法（2．算法的特性：⑴明确性：算法的每一个步骤必须有确定的含义；⑵有限性：算法必须在有限的时间内执行完，即算法必须在执行有限个步骤之后终止．⑶可执行性：①算法的每个步骤必须是能实现的；②算法的执行结果要达到预期的目的，并尽可能降低算法的复杂度．3、算法的描述：⑴用自然语言；⑵用数学语言；⑶用算法语言（程序设计语言）；⑷用程序框图（流程图）．4、程序框图：对于一定条件下才会被执行或重复执行的步骤，用自然语言表示算法显得相对困难，而且不直观不准确，而用程序框图便可清晰精确地表达．用一些通用的图形符号构成的一张图来表示算法，称为程序框图（简称框图）．整个框图由起止框、输入输出框、处理框、判断框及流程线组成．具体图形符号见下表．图形符号名称符号表示的意义起、止框（终端框）框图的开始或结束知识切片寒假知识回顾<教师备案> 可以结合以上知识点，对算法作一个回顾，特别是了解一下程序框图使用的图形符号，高中阶段主要是用程序框图表达算法的．可以从“方法”入手，举一些有意思的例子，如下面给出的两个例子，使其认识算法的本质是解决问题．例：有三个油瓶子分别能装8kg、5kg、3kg的油，当装8kg油的瓶子装满油时，设计一个用这三个瓶子倒油的算法，使这些油被平分到两个瓶子里．【解析】设8kg、5kg、3kg的油瓶分别为A、B、C ，S1 从A瓶往C瓶倒3kg将C装满，此时A剩5kg；S2 将C中3kg的油全部倒入B；S3 再从A往C中倒3kg油；S4 从C往B倒2kg油，将B装满；S5 将B中油全部倒入A；S6 将C中油全部倒入B；S7 从A往C中倒油，将C装满，此时A中的油为4kg；S8 将C中的油全部倒入B，则B中的油也为4kg；<教师备案> 引入算法的概念，与方法相区分（“方法”可以理解为是广义的算法，狭义的算法是指在计算机上通过运行程序来解决某类问题的方法）．强调算法的概念和其三大特性并说明可以使用程序框图来清晰精确地表达算法．算法可以用自然语言等来描述，但是算法代表着解决问题的操作步骤，因此图形化表示能够更直观、形象的描述算法解决问题的过程．算法的一个非常好的表征工具就是程序框图．程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形．考点1：条件分支结构条件分支结构：当需要根据不同情况做不同处理时，就需要用到条件分支结构．它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构．条件分支结构中常有判断框，算法程序运行至此会根据判断框中的条件做出选【铺垫】 画出解方程0ax b +=的程序框图，其中,a b 为常数．【追问】画出解方程20ax bx c ++=的程序框图，其中,,a b c 为常数．【解析】经典精讲知识点睛8.1典型算法案例【追问】【例1】某次考试的阅卷工作由甲、乙、丙三个评阅人共同担任（它们对每一道题的评分都是独立进行的），考生最终的得分规则如下：⑴当甲与乙对某试卷的评分差距在两分以内（包含两分）时，则该卷的最终得分为甲与乙评分的平均数；⑵当甲与乙对某试卷的评分的差距超过两分时，需要丙对该试卷进行评分．取“甲、乙的评分中与丙的评分更近的分数（若甲、乙的评分与丙的评分差距相同，则取乙的评分）”与丙的评分的平均数为最终得分．试用程序框图的语言给出一个算法，输入评阅人的分数，直接输出该考生的最终得分．【追问】若将评分规则⑵修改如下：①若丙的评分恰为甲、乙所评分的平均数，取甲、乙的平均分为最终得分；②若丙的评分不是甲、乙所评分的平均数，取“甲、乙的评分中与丙的评分距离更近的分数”与丙的评分的平均数为最终得分． 则程序框图可以如何修改？【解析】 记123x x x ，，为三个评阅人对同一份试卷的独立评分，p 为该题的最终得分，追问：附：（2011陕西高考8）上图（左）中，123x x x ，，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当16x =，29x =，8.5p =时，3x 等于（ Ｃ ） A ．11 B ．10 C ．8 D ．7考点2：循环结构循环结构：⑴ 从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的，就是循环结构，其中反复执行的步骤称为循环体．循环结构分为直到型和当型两种．⑵ 直到型循环语句是先执行一次循环体，再对一些条件进行判断，然后根据判断的结果决知识点睛定是否继续执行循环体．下图左就是直到型循环结构．⑶当型循环结构则先对条件进行判断，再根据判断的条件决定是否执行循环体．下图右就是当型循环结构．图4图3经典精讲【铺垫】画出计算12320122013+++++值的程序框图．【解析】【教师备案】①这里需要强调一点：该铺垫中的式子可以用等差数列求和公式来计算，但是对于计算机来说，如果要用该方式计算，首先就要判断出该数列是一个等差数列，因此就需要验证所有数是否都满足等差数列成立，这需要不少的计算量．其次，算法要求的是对某一类问题都具有处理能力，因此算法要有一定的适用性和普遍性．所以，倘若用等差数列求和公式计算的话，则对非等差数列求和就无能为力了，因而需要换一种计算方式．②计算机有很强大的计算能力和存储资源，利用这个特点进行可重复的机械计算是非常简单的一件事，所以对于求和采用循环累加的方法是最合适的． 这也是人脑和计算机的显著差别，教师在授课时应该着重强调一下．【例2】 ⑴画出计算1111111234599100-+-+-+-值的程序框图．⑵画出求2222147100++++的值的程序框图．【解析】⑴ 方法一： 方法二：<教师备案>上面是给出的两种框图，可以让学生思考一下还有什么其它方法．⑵【点评】 通过这几道题，可以对比出循环结构的优点，也从一方面说明算法往往具有指向性，即算法往往是解决某一类问题的．考点3：其他典型案例<教师备案> 在典型案例中会出现几个中国古代数学算法，（教师在授课时可以根据具体情况简要介绍其他经典的中外算法范例，如：二分法、割圆术等经典方法）．出于系统讲解的考虑，先以更相减损术（辗转相除）为铺垫，复习如何找出两数的最大公约数，进而引出如何判断一个数是否为质数并在给定范围内进行检索，最后综合使用这些方法进行质因数的分解．需要注意的是，要在这部分提及算法的优化，并结合秦九韶算法让学生计算一下经优化后的算法到底省去多少次加法和乘法．⑴ 此部分要求能够灵活综合应用多种逻辑结构解决实际问题； ⑵ 掌握经典的中国古代算法：更相减损术、秦九韶算法；【铺垫】使用更相减损术找出420和882的最大公约数．知识点睛经典精讲【追问】如果是求多个数的最大公约数呢？如求出84,108,132,156的最大公约数．【解析】所以42是最大公约数．【追问】最大公约数12．【例3】写出用更相减损术算出任意的两个正整数a b，的最大公约数的程序框图．<教师备案>例3与后面的备选涉及到模块化的思想，即先写出一个程序，后面的程序可以调用前面的程序去完成更多的事情，对于程序比较好的同学，可以在这方面适当进行拓展，对于程度不太好的学生，可以以更相减损术与秦九韶算法为重点．【备选】借助求最大公约数的程序，写出如何判断一个整数是质数？并找出n以内的所有质数．可以直接计算a b，的最大公约数．【解析】11第8讲·尖子班·教师版【点评】 需要注意的是，因为任何一个整数n 所以检索循环的退出判断条件可改为”i ”，以降低计算量提高运行速度．教师授课时在此处可提及算法的优化．【备选】如何对一个正整数n 进行质因数分解．（注：可以直接求a b ，的最大公约数，可以直接判断一个数是否为质数） 【解析】【点评】 在这个框图中涉及到了例3与备选中的两个子程序框图：12 第8讲·尖子班·教师版⑴ 判断一个整数是否为质数的程序框图； ⑵ 计算两个整数的最大公约数的程序框图．在解决质因数分解问题时，采用了不同程序模块完成不同的功能，之后再通过调用将其组合在一起的方法．这样设计会使设计思路清晰，便于程序的修改和完善．教师在此要强调一下算法的优化，并强调算法程序的模块化及其调用，与实际软件工程项目的编写相联系，此处可适当拓展课外知识．<教师备案>⑴为了说明算法优化的效果，可以举秦九韶算法案例，将其与常规计算方法进行对比，计算一下其减少的加法乘法的运算次数．如()654323456781,f x x x x x x x =++++++当计算0.4x =时的值时，使用常规计算方法，共需21次乘法和6次加法；使用秦九韶算法只需6次乘法和6次加法． 对于一个n 次的多项式（不缺项），使用常规计算方法需要计算的乘法次数为(1)2n n +，而使用秦九韶算法只需要计算n 次乘法．⑵与这部分相关的题目学生在学校也做过，所以可作为复习题目，加深学生印象．【铺垫】用秦九韶算法计算多项式5432()7125635f x x x x x x =+--+-在0x x =时的值，需做加法和乘法的次数分别是___和______，并用秦九韶算法求出这个多项式当5x =时的值．【解析】55，；(5)28610f =．【例4】写出用秦九韶算法计算n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++的任一点处的函数值的程序框图．【解析】13第8讲·尖子班·教师版【例5】已知()2251f x x x =-+在()0,1上有唯一的零点0x ，求出一个近似零点m ，使得00.0001m x -<．【解析】14 第8讲·尖子班·教师版<教师备案>本板块内容是高考中比较常见的题型，主要是算法结构和数列不等式的结合，更多的是对其它知识点的考察，算法只是将各知识点串接的工具．需要留心的是循环体在什么时候截止。