2017年温州中学奥赛数学总结评估试题卷、答题卷及参考复习资料
浙江省温州中学2017届高三2月奥赛班数学模拟评估试题
2017年温州中学奥赛班数学模拟评估{ M A T H E M A T I C S }（本卷满分：150 分 考试时间：150 分钟）一、填空题（共15小题，1~14题5分，15题6分，计76分）． 1. 已知122≤+y x ，则222y xy x -+的最大值为 ．2. 已知()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+-=5421,22y x y x A ，(){}a y x y x B ≤-+-=221,，若B A ⊆，则a 的取值范围是 ． 3. 已知0>x ，0>y ，y x a +=，22y xy x b ++=，xy m c =，若存在正数m使得对于任意正数y x ,，可使c b a ,,为三角形的三边构成三角形，则m 的值是 ．4. 若不等式xkx x x x x +->++1ln 11ln 在0>x 且1≠x 时恒成立，则k 的取值范围是 ．5. 已知现有4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长是 ．6. 已知椭圆()012222>>=+b a by a x 与直线x y l 21:1=，x y l 21:2-=，过椭圆上一点P 作21l l ，的平行线，分别交21l l ，于M ，N 两点．若MN 为定值，则ba的值是 ．7. A 是集合{1,2,3,…,14}的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值是 ．8. 模长为1的复数x ，y ，z 满足0≠++z y x ，则zy x zxyz xy ++++的值是 ．9. 若a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在[)π,0有唯一解，则a 的值是 ． 10. 已知点()0，m A ()R ∈m 和双曲线122=-y x 右支上的两个动点B ，C ，在动点B ，C 运动的过程中，若存在三个等边三角形ABC ，则点A 横坐标的取值范围是 ． 11. 若λ为实数，若关于x 的方程x x x =-+-1222λ有实数解，则λ的取值范围是 ．12. 在正三角形ABC 的底边BC 上取中点M ，在与底边BC 相邻的两条边BA 和CA 上分别取点P 、Q ，若线段PQ 对M 的张角∠PMQ 为锐角，则称点P 、Q 亲密．若点P 、Q 在BA 、CA 上的位置随机均匀分布，则P 、Q 亲密的概率称为正三角形的亲密度．则正三角形的亲密度为 ． 13. 正六边形ABCDEF 的对角线AC 和CE 分别被内点M 和N 分割，且有r CECNAC AM ==．如果B 、M 、N 共线，则r 的值为 ． 2017年2月 命题人：前进者 特别鸣谢：意琦行 老师班级：姓名：14. 已知AB 为21x y -=上在y 轴两侧的点，则过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值是 ．15. xyz O -坐标系内xoy 平面内220x y -≤≤绕y 轴旋转一周构成一个不透光立体，在()101，，设置一光源，在xoy 平面内有一以原点为圆心C 被光照到的长度为π2，则曲线C 上未被照到的长度为 ． 二、解答题（共4小题，16、17题16分，18题18分，19题24分，计74分）． 16. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点P 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1表面上运动，且()30<<=r r PA ．记点P 的轨迹的长度为()r f ．求关于r 的方程()k r f =的解的个数的所有可能的值．17. 过抛物线px y 22=（p 为不等于2的素数）的焦点F ，作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线交MN 于点P ，交x 轴于点Q ．(Ⅰ) 求PQ 的中点R 的轨迹L 的方程；(Ⅱ) 证明：轨迹L 上有无穷多个整点，但L 上任意整点到原点的距离均不是整数．18. ⑴ 已知数列{}n a 中，211=a ，()*+∈⎪⎭⎫⎝⎛=Νn a a n n 2sin 1π，n S 为数列{}n a 的前n项和，求证：25->n S n ．⑵ 在数列{}n a 中，11=a ，()1211++=++n ca a n n n ，*∈Νn ，其中实数0≠c ．(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若对一切*∈Νk 有122->k k a a ，求c 的取值范围．19. ⑴ 已知函数()x m x f ln =与函数()()021>-=x xx x h 的图像有且只有一条公 切线，求实数m 的值．⑵ 已知函数()b ax x y +-=ln 有两个不同的零点1x ，2x ，求证：22111ax x a e b <<+．2017年2月 温州中学奥赛班模拟 数学评估试题 < 答题卷 > 制备人：前进者2017年温州中学奥赛班数学模拟评估（参考答案）[ MATHEMATICS Examination paper reference answer ]（本卷满分： 150 分）一、填空题（共15小题，1~14题5分，15．．题．6．分．，计76分）． 1 2、 ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，25 3、 ()3232+-， 4、 (]0，∞-5、 2+6、 27、 88、 19、 1 10、()∞+，6 11、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡340， 12、43ln 36- （注：第12题若写0.676也得分）13、33 14、 938 15、 ()12-r π二、解答题（本大题分4小题，共80分）．16、(16分)(可能有多种解法)17、(16分)(可能有多种解法)(Ⅰ)解：px y 22=的焦点F ⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，设直线l 的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2p x k y ()0≠k ，由⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-==222p x k y pxy ，得()041222222=++-k p x p pk x k ， 设M ，N 的横坐标为x 1，x 2，则22212kppk x x +=+， 得2221222k ppk x x x p +=+=，k p p kp pk k y p =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22222，由PQ ⊥l ， 得PQ 的斜率为k1-， 故PQ 的方程为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=-22221k p pk x k k p y ， 代入y Q =0，得222222322k ppk k p pk p x Q +=++=， 设R 的坐标为()y x ,，则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=k py y y k p p x x x Q P Q P 221212，整理得：()()04222≠==-y y k p p x p ，∴ PQ 的中点R 的轨迹L 的方程为()()042≠-=y p x p y ；(8分)(Ⅱ)证明：显然对任意非零整数t ，点()()pt t p ，142+都是l 上的整点，故l 上有无穷多个整点． 反设l 上由一个整点()y x ,到原点的距离为正数m ， 不妨设x ＞0，y ＞0，m ＞0，则()⎪⎩⎪⎨⎧-==+p x p y m y x 22224， ∵ p 是奇素数，于是y 整除p ，由②可推出x 整除p ，再由①可推出m 整除p ， 令x=px 1，y=py 1，m=pm 1，则有⎪⎩⎪⎨⎧-==+14121212121x y m y x ，由③，④得：2112141m x x =-+， 于是()()178182121=-+m x ，则8x 1 + 1 + 8m 1 =17，8x 1 + 1﹣8m 1 =1， 得x 1 =m 1 =1，故y 1 =0，有y = py 1 =0，与l 上的点满足y ≠ 0矛盾．∴轨迹l 上有无穷多个整点，但l 上任意整点到原点的距离均不是整数．(16分) 18、(18分)(可能有多种解法)（1）(8分)（2）(18分) 19、(24分)(可能有多种解法)（1）(10分)(24分)。
浙江温州2017中考试题数学卷(word版含解析)
2017年浙江省温州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）：1．﹣6的相反数是（）A．6 B．1 C．0 D．﹣62．某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有100人，则乘公共汽车到校的学生有（）A．75人B．100人C．125人D．200人3．某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（）A． B．C．D．4．下列选项中的整数，与最接近的是（）A．3 B．4 C．5 D．65．温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：零件个数（个）5678人数（人）3152210表中表示零件个数的数据中，众数是（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个6．已知点（﹣1，y1），（4，y2）在一次函数y=3x﹣2的图象上，则y1，y2，0的大小关系是（）A．0＜y1＜y2B．y1＜0＜y2C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y17．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα=，则小车上升的高度是（）A．5米 B．6米 C．6.5米D．12米8．我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（）A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3 9．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．12S B．10S C．9S D．8S10．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（）A．（﹣6，24）B．（﹣6，25）C．（﹣5，24）D．（﹣5，25）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）：11．分解因式：m2+4m=．12．数据1，3，5，12，a，其中整数a是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是．13．已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为．14．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：．15．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，则k的值为．16．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E 到洗手盆内侧的距离EH为cm．三、解答题（共8小题，共80分）：17．（1）计算：2×（﹣3）+（﹣1）2+；（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．18．如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．（1）求证：△ABC≌△AED；（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．19．为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）．（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数．（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A，B，C三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在A班，求他和小慧被分到同一个班的概率．（要求列表或画树状图）20．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；（2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．21．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．22．如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．23．小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等①求AB，BC的长；②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．24．如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C 在线段BD上），连结AC，DE．（1）当∠APB=28°时，求∠B和的度数；（2）求证：AC=AB．（3）在点P的运动过程中①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比．2017年浙江省温州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）：1．﹣6的相反数是（）A．6 B．1 C．0 D．﹣6【考点】14：相反数．【分析】根据相反数的定义求解即可．【解答】解：﹣6的相反数是6，故选：A．2．某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有100人，则乘公共汽车到校的学生有（）A．75人B．100人C．125人D．200人【考点】VB：扇形统计图．【分析】由扇形统计图可知，步行人数所占比例，再根据统计表中步行人数是100人，即可求出总人数以及乘公共汽车的人数；【解答】解：所有学生人数为100÷20%=500（人）；所以乘公共汽车的学生人数为500×40%=200（人）．故选D．3．某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（）A． B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，故选：C．4．下列选项中的整数，与最接近的是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】2B：估算无理数的大小．【分析】依据被开放数越大对应的算术平方根越大进行解答即可．【解答】解：∵16＜17＜20.25，∴4＜＜4.5，∴与最接近的是4．故选：B．5．温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：零件个数（个）5678人数（人）3152210表中表示零件个数的数据中，众数是（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【考点】W5：众数．【分析】根据众数的定义，找数据中出现最多的数即可．【解答】解：数字7出现了22次，为出现次数最多的数，故众数为7个，故选C．6．已知点（﹣1，y1），（4，y2）在一次函数y=3x﹣2的图象上，则y1，y2，0的大小关系是（）A．0＜y1＜y2B．y1＜0＜y2C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y1【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出y1、y2的值，将其与0比较大小后即可得出结论．【解答】解：∵点（﹣1，y1），（4，）在一次函数y=3x﹣2的图象上，∴y1=﹣5，y2=10，∵10＞0＞﹣5，∴y1＜0＜y2．故选B．7．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα=，则小车上升的高度是（）A．5米 B．6米 C．6.5米D．12米【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．【解答】解：如图AC=13，作CB⊥AB，∵cosα==，∴AB=12，∴BC==132﹣122=5，∴小车上升的高度是5m．故选A．8．我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（）A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3【考点】A3：一元二次方程的解．【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3，然后解两个一元一次方程即可．【解答】解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3=1或2x+3=﹣3，所以x1=﹣1，x2=﹣3．故选D．9．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．12S B．10S C．9S D．8S【考点】KR：勾股定理的证明．【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a ﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，∵AM=2EF，∴2a=2b，∴a=b，∵正方形EFGH的面积为S，∴b2=S，∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，故选C．10．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（）A．（﹣6，24）B．（﹣6，25）C．（﹣5，24）D．（﹣5，25）【考点】D2：规律型：点的坐标．【分析】观察图象，推出P9的位置，即可解决问题．【解答】解：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离=21+5=26，所以P9的坐标为（﹣6，25），故选B．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）：11．分解因式：m2+4m=m（m+4）．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【分析】直接提提取公因式m，进而分解因式得出答案．【解答】解：m2+4m=m（m+4）．故答案为：m（m+4）．12．数据1，3，5，12，a，其中整数a是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是 4.8或5或5.2．【考点】W4：中位数；W1：算术平均数．【分析】根据中位数的定义确定整数a的值，由平均数的定义即可得出答案．【解答】解：∵数据1，3，5，12，a的中位数是整数a，∴a=3或a=4或a=5，当a=3时，这组数据的平均数为=4.8，当a=4时，这组数据的平均数为=5，当a=5时，这组数据的平均数为=5.2，故答案为：4.8或5或5.2．13．已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为3．【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】根据扇形的面积公式，可得答案．【解答】解：设半径为r，由题意，得πr2×=3π，解得r=3，故答案为：3．14．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：=．【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】设甲每天铺设x米，则乙每天铺设（x+5）米，根据铺设时间=和甲、乙完成铺设任务的时间相同列出方程即可．【解答】解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得：=．故答案是：=．15．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，则k的值为．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；LB：矩形的性质．【分析】设B（m，1），得到OA=BC=m，根据轴对称的性质得到OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，求得∠A′OA=60°，过A′作A′E⊥OA于E，解直角三角形得到A′（m，m），列方程即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCO是矩形，AB=1，∴设B（m，1），∴OA=BC=m，∵四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称，∴OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，∴∠A′OA=60°，过A′作A′E⊥OA于E，∴OE=m，A′E=m，∴A′（m，m），∵反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，∴m•m=m，∴m=，∴k=．故答案为：．16．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E 到洗手盆内侧的距离EH为24﹣8cm．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】先建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，根据△ABQ∽△ACG，求得C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得抛物线为y=﹣x2+x+24，最后根据点E的纵坐标为10.2，得出点E的横坐标为6+8，据此可得点E到洗手盆内侧的距离．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，∴BQ=12﹣8=4，由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG，∴=，即=，∴CG=12，OC=12+8=20，∴C（20，0），又∵水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），∴可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得，解得，∴抛物线为y=﹣x2+x+24，又∵点E的纵坐标为10.2，∴令y=10.2，则10.2=﹣x2+x+24，解得x1=6+8，x2=6﹣8（舍去），∴点E的横坐标为6+8，又∵ON=30，∴EH=30﹣（6+8）=24﹣8．故答案为：24﹣8．三、解答题（共8小题，共80分）：17．（1）计算：2×（﹣3）+（﹣1）2+；（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算；4A：单项式乘多项式．【分析】（1）原式先计算乘方运算，化简二次根式，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果．（2）运用平方差公式即可解答．【解答】解：（1）原式=﹣6+1+2=﹣5+2；（2）原式=1﹣a2+a2﹣2a=1﹣2a．18．如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．（1）求证：△ABC≌△AED；（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠EDC=90°，可得∠ACB=∠ADE，进而运用SAS即可判定全等三角形；（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE的度数．【解答】解：（1）∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，又∵∠BCD=∠EDC=90°，∴∠ACB=∠ADE，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS）；（2）当∠B=140°时，∠E=140°，又∵∠BCD=∠EDC=90°，∴五边形ABCDE中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．19．为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）．（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数．（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A，B，C三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在A班，求他和小慧被分到同一个班的概率．（要求列表或画树状图）【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VC：条形统计图．【分析】（1）利用样本估计总体，用480乘以样本中选“数学故事”的人数所占的百分比即可估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出他和小慧被分到同一个班的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）480×=90，估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数为90人；（2）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中他和小慧被分到同一个班的结果数为2，所以他和小慧被分到同一个班的概率==．20．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；（2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．【考点】N4：作图—应用与设计作图．【分析】（1）设P（x，y），由题意x+y=2，求出整数解即可解决问题；（2）设P（x，y），由题意x2+42=4（4+y），求出整数解即可解决问题；【解答】解：（1）设P（x，y），由题意x+y=2，∴P（2，0）或（1，1）或（0，2）不合题意舍弃，△PAB如图所示．（2）设P（x，y），由题意x2+42=4（4+y），整数解为（2，1）等，△PAB如图所示．21．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．【考点】MC：切线的性质；L7：平行四边形的判定与性质；T7：解直角三角形．【分析】（1）连接CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°，根据切线的性质得到∠FEC=∠B=45°，∠FEO=90°，根据平行线的性质得到∠ECD=∠FEC=45°，得到∠EOC=90°，求得EF∥OD，于是得到结论；（2）过G作GN⊥BC于N，得到△GMB是等腰直角三角形，得到MB=GM，根据平行四边形的性质得到∠FCD=∠FED，根据余角的性质得到∠CGM=∠ACD，等量代换得到∠CGM=∠DEF，根据三角函数的定义得到CM=2GM，于是得到结论．【解答】解：（1）连接CE，∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∴∠B=45°，∵EF是⊙O的切线，∴∠FEC=∠B=45°，∠FEO=90°，∴∠CEO=45°，∵DE∥CF，∴∠ECD=∠FEC=45°，∴∠EOC=90°，∴EF∥OD，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）过G作GN⊥BC于N，∴△GMB是等腰直角三角形，∴MB=GM，∵四边形CDEF是平行四边形，∴∠FCD=∠FED，∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°，∴∠CGM=∠ACD，∴∠CGM=∠DEF，∵tan∠DEF=2，∴tan∠CGM==2，∴CM=2GM，∴CM+BM=2GM+GM=3，∴GM=1，∴BG=GM=．22．如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）思想确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标；（2）①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD；②当点D在对称轴上时，在Rt△OD=OC=5，OE=4，可得DE===3，求出P、D的坐标即可解决问题；【解答】解：（1）由题意A（﹣2，5），对称轴x=﹣=4，∵A、B关于对称轴对称，∴B（10，5）．（2）①如图1中，由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD=﹣5=5﹣5．②如图2中，图2当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，∴DE===3，∴点D的坐标为（4，3）．设PC=PD=x，在Rt△PDK中，x2=（4﹣x）2+22，∴x=，∴P（，5），∴直线PD的解析式为y=﹣x+．23．小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等①求AB，BC的长；②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．【考点】C9：一元一次不等式的应用；HE：二次函数的应用；LB：矩形的性质．【分析】（1）根据题意可得300S+（48﹣S）200≤12000，解不等式即可；（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，由此即可解决问题；②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为元/m2，由PQ ∥AD，可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12+5x•s+3x•（12﹣s）=4800，解得s=，由0＜s＜12，可得0＜＜12，解不等式即可；【解答】解：（1）由题意300S+（48﹣S）200≤12000，解得S≤24．∴S的最大值为24．（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，∴AB=6﹣2a=4，CB=8﹣2a=6．②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为元/m2，∵PQ∥AD，∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12+5x•s+3x•（12﹣s）=4800，解得s=，∵0＜s＜12，∴0＜＜12，∴0＜x＜50，∴丙瓷砖单价3x的范围为0＜3x＜150元/m2．24．如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C 在线段BD上），连结AC，DE．（1）当∠APB=28°时，求∠B和的度数；（2）求证：AC=AB．（3）在点P的运动过程中①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）根据三角形ABP是等腰三角形，可得∠B的度数，再连接MD，根据MD为△PAB的中位线，可得∠MDB=∠APB=28°，进而得到=2∠MDB=56°；（2）根据∠BAP=∠ACB，∠BAP=∠B，即可得到∠ACB=∠B，进而得出AC=AB；（3）①记MP与圆的另一个交点为R，根据AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，即可得到PR=，MR=，再根据Q为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当∠ACQ=90°时，当∠QCD=90°时，当∠QDC=90°时，当∠AEQ=90°时，即可求得MQ的值为或或；②先判定△DEG是等边三角形，再根据GMD=∠GDM，得到GM=GD=1，过C作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH=AC=1=MG，即可得到CG=MH=﹣1，进=CG×CH=，再根据S△DEG=，即可得到△ACG和△DEG的而得出S△ACG面积之比．【解答】解：（1）∵MN⊥AB，AM=BM，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B，∵∠APB=28°，如图1，连接MD，∵MD为△PAB的中位线，∴MD∥AP，∴∠MDB=∠APB=28°，∴=2∠MDB=56°；（2）∵∠BAC=∠MDC=∠APB，又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，∴∠BAP=∠ACB，∵∠BAP=∠B，∴∠ACB=∠B，∴AC=AB；（3）①如图2，记MP与圆的另一个交点为R，∵MD是Rt△MBP的中线，∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，∴RC=RP，∵∠ACR=∠AMR=90°，∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，∴12+MR2=22+PR2，∴12+（4﹣PR）2=22+PR2，∴PR=，∴MR=，Ⅰ．当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，∴Q与R重合，∴MQ=MR=；Ⅱ．如图3，当∠QCD=90°时，在Rt△QCP中，PQ=2PR=，∴MQ=；Ⅲ．如图4，当∠QDC=90°时，∵BM=1，MP=4，∴BP=，∴DP=BP=，∵cos∠MPB==，∴PQ=，∴MQ=；Ⅳ．如图5，当∠AEQ=90°时，由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，∴MQ=；综上所述，MQ的值为或或；②△ACG和△DEG的面积之比为．理由：如图6，∵DM∥AF，∴DF=AM=DE=1，又由对称性可得GE=GD ， ∴△DEG 是等边三角形， ∴∠EDF=90°﹣60°=30°， ∴∠DEF=75°=∠MDE ， ∴∠GDM=75°﹣60°=15°， ∴∠GMD=∠PGD ﹣∠GDM=15°， ∴GMD=∠GDM ， ∴GM=GD=1， 过C 作CH ⊥AB 于H ，由∠BAC=30°可得CH=AC=AB=1=MG ，AH=，∴CG=MH=﹣1，∴S △ACG =CG ×CH=，∵S △DEG =，∴S △ACG ：S △DEG =．2017年7月18日。
浙江省温州州市2016-2017学年高一数学奥林匹克选拔测试二Word版含答案
浙江省温州州市2016-2017学年高一数学奥林匹克选拔测试二（本卷满分：200分 考试时间：150分钟）（高一试卷）第一部分（共2小题，每题25分，计50分）I.设集合{}6102，，，含的十进制表示中数码不x x A *∈=N ． 证明：31<∑∈A x x．II.如图，给定凸四边形ABCD ，︒<∠+∠180D B ，P 是平面上的动点，令()AB PC CA PD BC PA P f ⋅+⋅+⋅=．⑴ 求证：当()P f 达到最小值时，C B A P 、、、四点共圆；⑵ 设E 是ABC ∆外接圆O 的 AB 上一点，满足：23=AB AE ，13-=EC BC ，ECA ECB ∠=∠21，又DC DA ，是O 的切线，2=AC ，求()P f 的最小值．第二部分（共2大题，计150分）第II 题一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．1. 设5021a a a ，，，⋅⋅⋅，5021b b b ，，，⋅⋅⋅为互不相同的数，则关于x 的方程：∑∑==-=-501501i i i i b x a x 的所有有限个实根的个数最大值为 ． 2. 在平面直角坐标系中，点集()()(){}06363≤-+-+y x y x y x ，所对应的平面区域的面积3. 是一个高为 3，底面边长为 2 的正四棱锥，K 是棱SC 的中点，过AK 作平面与线段SB ，SD 分别交于M ，N (M ，N 可以是线段的端点)．则四棱锥AMKN S -的体积V 的值域为 ．4. 已知abc = -1，122=+cbc a ，则代数式555ca bc ab ++的值为 ．5. 在ABC ∆中，︒=∠60A ，点P 为ABC ∆所在平面上一点，使得PA =6，PB =7，PC =10，则ABC S ∆的最大值为 ．6. 在数列n a 中，11=a ，前n 项和为n S ，()1241≥+=+n a S n n ，则2013a 的值为 ．7. 用()s σ表示非空整数集S 中所有元素的和，设{}1121a a a A ，，，⋅⋅⋅=是正整数集，且1121a a a <⋅⋅⋅<<，若对每个正整数1500≤n ，存在A 的子集S ，使得()n s =σ，则满足上述要求的10a 的最小值为 ．8. 设z y x 、、是3个不全为零的实数，则2222z y x yzxy +++的最大值为 ．9. 实数a 使得对任意实数54321x x x x x ，，，，，不等式14151+==∑∑≥i i i i i x x a x 都成立，则a 的最大值为 ．10. 设()d cx bx ax x f +++=23对任意[]11，-⊆x ，总有()1≤x f ．则d c b a +++的最大值为 ．11. 两个平行平面α和β将四面体截成三部分．已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的体积，点A 和B 到平面α的距离分别为30和20．而点A 和C 到平面β的距离分别为20和16，两个截面中有一个是梯形，点D 到平面α的距离小于24．则平面α和β截四面体所得的截面面积之比为 ．12. 空间四个球，它们的半径分别是2、2、3、3．每个球都与其他三个球外切．另一个小球与这四个球都相切，则这个小球的半径为 ．13. 钝角ABC ∆的内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且满足()C b B c a cos cos 2=-，()R ∈-+=λλC B C B A sin sin sin sin sin 222， 则λ的值域为 ．14. 若存在整数k ，使得kn n n ->+⎥⎦⎤⎢⎣⎡22313对所有正整数2≥n 恒成立，则k 的最大值为 ．ACDKSMN15. 有n 个砝码(重量可以相同)可以将它们分成4组，使得每组的重量之和相同；也可以将它们分成5组，使得每组的重量之和相同；还可以将它们分成9组，使得每组的重量之和相同．则n 的最小可能值为 ．三、解答题（本大题分3小题，每题20分，计60分）．16. (本题满分20分)证明：任意一个四面体总有一个顶点，由这个顶点出发的三条棱可以构成一个三角形的三边．17. (本题满分20分)正整数数列{}n a 满足：12211+-==+n n n a a a a ，．证明：数列的任何两项皆互质．18. (本题满分20分)求最小常数a >1，使得对正方形ABCD 内部任一点P ，都存在PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆中的某两个三角形，使得它们的面积之比属于区间][1a a ，-．浙江省温州州市2016-2017学年高一数学奥林匹克选拔测试二参考答案（本卷满分： 200 分）第一部分（共2小题，每题25分，计50分）I.II.解 ⑴ 如图，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有 PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅．因此()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因上面不等式当且仅当P A B C 、、、顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在 AC 上时，()()f P PB PD CA =+⋅．又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()P f 取最小值min ()f P AC BD =⋅． 故当()P f 达最小值时，C B A P 、、、四点共圆．………………………10分⑵ 记 ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有 sin 2sin 3AE AB αα==2sin 2αα=，即34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得 24cos 0αα-=，解得 cosα=cos α=舍去)，故 30α= ，60ACE ∠= ． ………………………………………15分由已知 1BCEC ==()0sin 30EAC EAC∠-∠,有 sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠ ，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得 21cos 22EAC EAC ∠=∠，故 tan 2EAC ∠==，可得 75EAC ∠= ，从而45E ∠= ，45DAC DCA E ∠=∠=∠= ，ADC ∆为等腰直角三角形．因 AC =，则1CD =．……………………………………20分 又ABC ∆也是等腰直角三角形，故 BC =212215BD =+-⋅= ，BD =故 min ()f P BD AC =⋅=25分第二部分（共2大题，计150分）一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．1、 492、 243、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2334，4、 35、 36+、 201223019⨯ 7、 248 8、 25 9、 332 10、 7 11、 134129 12、 11613、 ()()2301-，，14、 5 15、 14三、解答题（本大题分3小题，共60分）． 16、(20分)(可能有多种解法)证明 利用反证法．设四面体ABCD 中AB 是最长的棱，如果任一顶点出发的三条都不能构成一个三角形，则对由A 出发的三条棱，有AD AC AB +≥．又对由B 出发的三条棱，有 BD BC BA +≥． 两式相加，得BD BC AD AC AB +++≥2．(＊)(12分) 但在ABC ∆与ABD ∆中，有BC AC AB +<，BD AD AB +<． 两式相加，有BD BC AD AC AB +++<2．与(＊)式矛盾，故原命题得证．(20分)17、(20分)(可能有多种解法)证明 改写条件为()111-=-+n n n a a a ，(8分)从而 ()1111-=---n n n a a a ，……， 据此迭代得()1111-=--+n n n n a a a a()1221-=---n n n n a a a a ()1111-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-a a a a n n 11a a a n n ⋅⋅⋅=-，所以，1121+⋅⋅⋅=--a a a a n n n ， 因此当k n <，()1=k n a a ，．(20分)18、(20分)(可能有多种解法)解min a =．首先证明min a ≤，记ϕ=对正方形ABCD 内部一点P ，令1S ，2S ，3S ，4S 分别表示PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆的面积，不妨设1243S S S S ≥≥≥．令1224,S SS S λμ==，如果,λμϕ>，由13241S S S S +=+=， 得221S S μ=-，得21S μμ=+． 故2121111111S S λμλϕϕλμϕμϕ===>==++++，矛盾． 故{}min ,λμϕ≤，这表明min a ϕ≤．(12分)反过来对于任意(1,)a ϕ∈，取定(,t a ∈，使得2819t b t =>+． 我们在正方形ABCD 内取点P ，使得12342,,,1b bS b S S S b t t====-，则我们有12231(,2S S t a S S +==∈，3242,(1)4(1)S b b a S t b b =>>>-- 由此我们得到对任意{},1,2,3,4i j ∈，有1[,]ijS a a S -∉． 这表明min a ϕ=．(20分)。
最新奥数班数学综合评估试卷+Word版含答案
2017年温州中学奥数班综合评估试卷{ M A T H E M A T I C S }（本卷满分：150 分 考试时间：150 分钟）一、填空题（共16小题，每题7分，计112分）．1. 设()()()x h x g x f ，， 是定义域为R 的三个函数，且有命题：P . 若()() x g x f +，()()x h x f +，()()x h x g +均为增函数，则()()()x h x g x f ，， 中至少有一个为增函数；Q . 若()() x g x f +，()()x h x f +，()()x h x g +均是以T 为周期的函数，则()()()x h x g x f ，， 均是以T 为周期的函数．对于以下说法：①P 真，Q 真；②P 真，Q 假；③P 假，Q 真；④P 假，Q 假．正确的是 ．2. 一等腰梯形腰和底的长分别为2和3，则此梯形面积最大值是 ．3. 设动直线()Z ∈+=m k m kx y ,与椭圆1121622=+y x 交于不同的两点A ，B ，与双曲线112422=-y x 交于不同的两点A ，B ，且=+，则符合条件直线的条数为 ．4. 已知复数y x ,满足144=+=+y x y x ，则xy 的不同取值的种数为 ．5. 在矩形ABCD 中，AB =1，BC =2，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，1=，则⋅的最小值是 ．6. 如图所示，在一个高为10，底面半径为1的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）．一个平面与两个乒乓球均相切．已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则此椭圆的离心率是 ． 7. 已知211=a ，201221n n n a a a +=+，则使得11+<<k k a a 的k 的值是 ．8. 若存在凸n 边形，其各内角及其正切值都为有理度数，则正整数n 的最大值是 ．9. 已知周六降雨概率为40%，周日降雨概率为30%，周六降雨的条件下周日降雨概率是周六不降雨的条件下周日降雨概率的2倍．设周六周日两天至少有一天下雨的概率为ba，其中b a ,为互质的正整数．则b a +的值是 ．10. c b a ,,是三个不同的正整数，615141312111⋅⋅⋅⋅⋅=abc ．则所有满足要求的集合{}c b a ,,的个数为 ．11. 设0>m ，2311 ≤--x p ：，012 22≤-+-m x x q ：，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则m 的取值范围是 ．12. 已知abc = -1，122=+cbc a ，则555ca bc ab ++的值为 ． 2017年3月 命题人：考号：姓名：第6题13. 在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AC 1、A 1B 1的中点．点P 在该正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于 ． 14. 记[]x 为不超过x 的最大整数．若集合()[][]{}1 ≤-++=y x y x y x S ，，则集合S 所表示的平面区域的面积为 ．15. 已知线段AB 是半径为2的球O 的直径，C 、D 两点在球O 的球面上，2=CD ，AB ⊥CD ，︒≤∠≤︒13545AOC ，则四面体ABCD 体积的取值范围是 ． 16. 过抛物线2x y =上的一点()11，A 作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B ．点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足1λ=ECAE；点F 在线段BC 上，满足2λ=FCBF，且121=+λλ，线段CD 与EF 交于点P ．当点C 在抛物线上移动时，则点P 的轨迹方程是 ． 二、解答题（共2小题，17题14分，18题24分，计38分）．17. 是否存在一个非等腰三角形ABC ∆，满足C B A cos cos cos +=．请说明理由．18. ⑴ 已知整数列{}n a ，{}n b 满足11n n a a +=+，112n n n b a b +=+，对于正整数n ，定义函数()n n n b x a x x f ++=2，证明：若存在某个()x f k 有两个整数零点，则必有无穷多个()x f n 有两个整数零点．⑵ 设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为()0≠d d 的等差数列．(Ⅰ) 是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由． (Ⅱ) 是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得351234,,,n n k n k n k a a a a +++依次成等比数列，并说明理由．2017年奥数班综合性评估数学试卷<答题卷 >制备人：2017年温州中学奥数班综合性评估 参考答案及解析一、填空题（共16小题，每题7分，计112分）1 考点：周期，增减 函数{ 答案：③ }2 考点：三角，导数 [2014年北京大学全国优秀中学生体验营]{ 答案：477 } 提示 S 取max 时，上底为3，设底角为x ，x x S 2sin sin 23+=3 考点：椭圆，双曲线，直线，向量{ 答案：9 }提示 k = 0时，0123，，，±±±=m ；k ≠ 0时，1±=k 4 考点：复数{ 答案：2 }提示（如下）5 考点：向量，函数，圆，切线{ 答案：55- }提示（如下）6 考点：椭圆，圆柱{ 答案：415 } 提示（如下）7 考点：数列{ 答案：2013 }提示 变形累加，推导两边8 考点：抽屉原理，三角{ 答案：8 }提示（如下）9 考点：概率 [2016年美国数学邀请赛]{ 答案：107 } 提示（如下）10 考点：排列与组合，集合 [2016年美国数学邀请赛]{ 答案：728 } 提示（如下）11 考点：充要条件，函数，不等式{ 答案：[)∞+，9 }12 考点：代数式 [2013年清华保送]（注：原题条件多余，此题已删去） { 答案：3 }解 将ac b 1-=代入122=+cbc a ⇒3231ac c a +=(﹡)再代入555ca bc ab ++，⇒555ca bc ab ++=5469931-ca c a c a -+ =()()54696233-11-c a c a c a ac ac -++=()3466231-acc a c a ac -+=()()3623331-1-ac c a ac ac ac -+．将(﹡)代入，555ca bc ab ++=3．13 考点：立体几何，动点轨迹{ 答案：52+ }14 考点：平面线性规划，绝对值，分类讨论{ 答案：25 }15 考点：立体几何（球，体）[2016年全国高中数学联赛 广西预赛]{ 答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33434，}16 考点：抛物线，轨迹方程{ 答案：()⎪⎭⎫⎝⎛≠-=3213312x x y } 提示 方法一：常规推导出EF ，CD 直线方程；方法二：面积法，P 为ABC ∆的重心．注意：x 的取值不可为32二、解答题（共2小题，17题14分，18题24分，计38分）．17 考点：三角及反三角，奇偶分析，函数，构造 （本题14分）解析18（1）考点：奇偶性，零点，函数（本题8分）18（2）考点：数列，反证法，对数，构造函数，求导，零点存在（本题16分）分析：解答：。
2017年温州高中招生考试数学试卷
2017年温州市初中毕业生学业考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本题有10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、错选,均不给分)1.-6的相反数是()A.6B.1C.0D.-62.某校学生到校方式情况的统计图如图所示.若该校步行到校的学生有100人,则乘公共汽车到校的学生有()某校学生到校方式情况统计图A.75人B.100人C.125人D.200人3.某运动会颁奖台如图所示,它的主视图是()4.下列选项中的整数,与最接近的是()A.3B.4C.5D.65.温州某企业车间有50名工人,某一天他们生产的机器零件个数统计如下表:表中表示零件个数的数据中,众数是()A.5个B.6个C.7个D.8个6.已知点(-1,y1),(4,y2)在一次函数y=3x-2的图象上,则y1,y2,0的大小关系是()A.0<y1<y2B.y1<0<y2C.y1<y2<0D.y2<0<y17.如图,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知cosα=,则小车上升的高度是()A.5米B.6米C.6.5米D.12米8.我们知道方程x2+2x-3=0的解是x1=1,x2=-3.现给出另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0,它的解是()A.x1=1,x2=3B.x1=1,x2=-3C.x1=-1,x2=3D.x1=-1,x2=-39.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边,AM=2EF,则正方形ABCD 的面积为()A.12SB.10SC.9SD.8S10.我们把1,1,2,3,5,8,13,21,…这组数称为斐波那契数列.为了进一步研究,依次以这列数为半径作90°的圆弧,,,…得到斐波那契螺旋线,然后顺次连接P1P2,P2P3,P3P4,…得到螺旋折线(如图).已知点P1(0,1),P2(-1,0),P3(0,-1),则该折线上点P9的坐标为()A.(-6,24)B.(-6,25)C.(-5,24)D.(-5,25)第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)11.分解因式:m2+4m=.12.数据1,3,5,12,a,其中整数a是这组数据的中位数,则该组数据的平均数是.13.已知扇形的面积为3π,圆心角为120°,则它的半径为.14.甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务,已知乙比甲每天多铺设5米,甲、乙完成铺设任务的时间相同,问甲每天铺设多少米?设甲每天铺设x米,根据题意可列出方程:.15.如图,矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴上,点B在第一象限,点D在边BC上,且∠AOD=30°,四边形OA'B'D与四边形OABD关于直线OD对称(点A'和A,B'和B分别对应).若AB=1,反比例函数y=(k≠0)的图象恰好经过点A',B,则k的值为.16.小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1).完全开启后,水流路线呈抛物线,把手端点A、出水口B和落水点C恰好在同一直线上,点A到出水管BD的距离为12cm,洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示,现用高10.2cm的圆柱形水杯去接水,若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E,则点E到洗手盆内侧的距离EH为cm.三、解答题(本题有8小题,共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)17.(本题10分)(1)计算:2×(-3)+(-1)2+;(2)化简:(1+a)(1-a)+a(a-2).18.(本题8分)如图,在五边形ABCDE中,∠BCD=∠EDC=90°,BC=ED,AC=AD.(1)求证:△ABC≌△AED;(2)当∠B=140°时,求∠BAE的度数.19.(本题8分)为培养学生数学学习兴趣,某校七年级准备开设“神奇魔方”“魅力数独”“数学故事”“趣题巧解”四门选修课(每位学生必须且只选其中一门).(1)学校对七年级部分学生进行选课调查,得到如图所示的统计图,根据该统计图,请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数;(2)学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A,B,C三个班,小聪、小慧都选择了“数学故事”,已知小聪不在A班,求他和小慧被分到同一个班的概率.(要求列表或画树状图)20.(本题8分)在直角坐标系中,我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点,记顶点都是整点的三角形为整点三角形.如图,已知整点A(2,3),B(4,4),请在所给网格区域(含边界)上按要求画整点三角形.(1)在图中画一个△P1AB,使点P1的横、纵坐标之和等于点A的横坐标;(2)在图中画一个△P2AB,使点P2,B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍.21.(本题10分)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,☉O(圆心O在△ABC内部)经过B、C两点,交AB于点E,过点E作☉O的切线交AC于点F,延长CO交AB于点G,作ED∥AC 交CG于点D.(1)求证:四边形CDEF是平行四边形;(2)若BC=3,tan∠DEF=2,求BG的值.22.(本题10分)如图,过抛物线y=x2-2x上一点A作x轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y 轴于点C.已知点A的横坐标为-2.(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;(2)在AB上任取一点P,连接OP,作点C关于直线OP的对称点D.①连接BD,求BD的最小值;②当点D落在抛物线的对称轴上,且在x轴上方时,求直线PD的函数表达式.23.(本题12分)小黄准备给长8m,宽6m的长方形客厅铺设瓷砖,现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ(阴影部分)和一个环形区域Ⅱ(空白部分),其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设,且满足PQ∥AD,如图所示.(1)若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2,面积为S(m2),区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2,且两区域的瓷砖总价不超过12000元,求S的最大值;(2)若区域Ⅰ满足AB∶BC=2∶3,区域Ⅱ四周宽度相等.①求AB,BC的长;②若甲、丙两种瓷砖单价之和为300元/m2,乙、丙两种瓷砖单价之比为5∶3,且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元,求丙瓷砖单价的取值范围.24.(本题14分)如图,已知线段AB=2,MN⊥AB于点M,且AM=BM,P是射线MN上一动点,E,D 分别是PA,PB的中点,过点A,M,D的圆与BP的另一交点为C(点C在线段BD上),连接AC,DE.(1)当∠APB=28°时,求∠B和的度数;(2)求证:AC=AB;(3)在点P的运动过程中.①当MP=4时,取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q,若以这三点为顶点的三角形是直角三角形,且Q为锐角顶点,求所有满足条件的MQ的值;②记AP与圆的另一个交点为F,将点F绕点D旋转90°得点G,当点G恰好落在MN上时,连接AG,CG,DG,EG,直接写出△ACG和△DEG的面积之比.答案全解全析：一、选择题1.A-(-6)=6.故选A.2.D100÷20%×40%=200(人).故选D.3.C由三视图的定义知从主视方向所观察到的图形为主视图.故选C.4.B因为<<,所以4<<5,又<=4.5,∴比较接近4.故选B.5.C生产7个零件的人数最多,所以众数是7个.故选C.6.B解法一:将x=-1代入y=3x-2,得y=-5,∴y1=-5;将x=4代入y=3x-2得y=10,∴y2=10,所以y1<0<y2.解法二:∵k=3>0,∴y随x的增大而增大,易知x=时,y=0,又-1<<4,∴y1<0<y2.故选B.7.A因为cosα=,且小车沿斜坡向上行驶13米,所以小车水平向前移动了13×=12米,由勾股定理得小车上升的高度是5米.故选A.8.D通过两个方程的形式进行整体代换.由题意可得2x+3=1或2x+3=-3.所以x1=-1,x2=-3.故选D.9.C如图,由题意知AN=NM,四个白色的四边形为全等的矩形,即AK+KN=EF+FQ,KN=FQ,∴AK=EF,∴BM=EF,因为AM=2EF,AB2=BM2+AM2,所以AB2=9EF2,所以S正方形ABCD=AB2=9EF2=9S.故选C.10.B根据图示规律可知,P9的横坐标是0-1+1+2-3-5+8+13-21=-6,P9的纵坐标是1-1-1+2+3-5-8+13+21=25,∴P9(-6,25).二、填空题11.答案m(m+4)解析m2+4m=m(m+4).12.答案 4.8或5或5.2解析∵数据1,3,5,12,a的中位数是整数a,∴a=3或a=4或a=5,当a=3时,这组数据的平均数为=4.8,当a=4时,这组数据的平均数为=5,当a=5时,这组数据的平均数为=5.2,故答案为4.8或5或5.2.13.答案3解析由扇形的面积为3π,圆心角为120°,可知整圆的面积是9π,根据圆的面积公式S=πr2,得半径为3.14.答案=解析根据时间=工程量÷工效,甲、乙完成铺设任务的时间相同,可以列出方程=.15.答案解析∵四边形ABCO是矩形,AB=1,∴可设B(m,1)(m>0),∴OA=BC=m,∵四边形OA'B'D与四边形OABD关于直线OD对称,∴OA'=OA=m,∠A'OD=∠AOD=30°,∴∠A'OA=60°,过A'作A'E⊥OA于E,∴OE=m,A'E=m,∴A',∵反比例函数y=(k≠0)的图象恰好经过点A',B,∴m·m=m,∴m=(∵m>0),∴k=.16.答案24-8解析如图所示,建立直角坐标系,过A作AG⊥OC于G,交BD于Q,过M作MP⊥AG于P,由题可得,AQ=12,PQ=MD=6,故AP=6,AG=36,在Rt△APM中,MP==8,故DQ=OG=MP=8,∴BQ=12-8=4,由BQ∥CG可得,△ABQ∽△ACG,∴=,即=,∴CG=12,OC=12+8=20,∴C(20,0),∵水流所在抛物线经过点D(0,24),∴可设抛物线为y=ax2+bx+24,把C(20,0),B(12,24)代入抛物线解析式,可得解得∴抛物线的解析式为y=-x2+x+24,又∵点E的纵坐标为10.2,∴令y=10.2,则10.2=-x2+x+24,解得x1=6+8,x2=6-8(舍去),∴点E的横坐标为6+8,又∵ON=30,∴EH=30-(6+8)=24-8.即点E到洗手盆内侧的距离EH为(24-8)cm.三、解答题17.解析(1)原式=-6+1+2=-5+2.(2)原式=1-a2+a2-2a=1-2a.18.解析(1)证明:∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC.∵∠BCD=∠EDC=90°,∴∠ACB=∠ADE.∵BC=ED,∴△ABC≌△AED(SAS).(2)由(1)得△ABC≌△AED,∴∠B=∠E,∵∠B=140°,∴∠E=140°.∵五边形ABCDE的内角和为540°,∴∠BAE=540°-2×(140°+90°)=80°.19.解析(1)480×=90(人).∴估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数为90.(2)画树状图如下:∴P(同班)==.20.解析(1)如图1或图2.(2)如图3或图4.图1图2图3图4 21.解析(1)证明:连接OE.∵AC=BC,∠AC B=90°,∴∠B=45°,∴∠COE=90°.∵EF与☉O相切,∴∠FEO=90°,∴∠COE+∠FEO=180°,∴EF∥CO.∵DE∥CF,∴四边形CDEF是平行四边形.(2)过点G作GH⊥CB于点H.∵∠ACB=90°,∴AC∥GH,∴∠FCD=∠CGH.在▱CDEF中,∠DEF=∠FCD,∴∠DEF=∠CGH,∴tan∠CGH=tan∠DEF=2,∴=2.∵∠B=45°,∴GH=BH,∴CH=2BH.∵BC=3,∴BH=GH=1,∴BG=.22.解析(1)对称轴是直线x=-=-=4.∵点A,B关于直线x=4对称,点A的横坐标为-2,∴点B的横坐标为10.当x=10时,y=5,∴点B的坐标为(10,5).(2)①如图,连接OD,OB.∵点C,D关于直线OP对称,∴OD=OC=5.∵OD+BD≥OB,∴BD≥OB-OD=5-5,∴当点D在线段OB上时,BD有最小值5-5.②如图,连接OD,设抛物线的对称轴交x轴于点F,交BC于点H.∵OD=5,OF=4,∴DF=3,∴D(4,3),DH=HF-DF=2.设CP=a,则PD=PC=a,PH=4-a,在Rt△PHD中,(4-a)2+22=a2,∴a=,∴P.设直线PD的函数表达式为y=kx+b(k≠0),∴解得∴直线PD的函数表达式为y=-x+.23.解析(1)由题意得300S+200(48-S)≤12000,∴S≤24,∴S的最大值为24.(2)①设AB=2a m,则BC=3a m,由题意得6-2a=8-3a,∴a=2,∴AB=4m,BC=6m.②解法一:设丙瓷砖的单价为3x元/m2,铺设乙瓷砖的面积为S1m2.由PQ∥AD得铺设甲瓷砖的面积为12m2,∴12(300-3x)+5xS1+3x(12-S1)=4800,∴x=.∵0<S1<12,∴x>50,∴3x>150.又∵3x<300,∴150<3x<300,∴丙瓷砖的单价大于150元/m2且小于300元/m2.解法二:设丙瓷砖的单价为x元/m2,铺设丙瓷砖的面积为S2m2.由PQ∥AD得铺设甲瓷砖的面积为12m2.由题意得12(300-x)+x(12-S2)+xS2=4800,∴x=.∵0<S2<12,∴x>150.又∵x<300,∴150<x<300.∴丙瓷砖的单价大于150元/m2且小于300元/m2.24.解析(1)∵MN⊥AB,AM=BM,∴PA=PB,∴∠PAB=∠B.∵∠AP B=28°,∴∠B=76°.如图1,连接MD.∵MD为△PAB的中位线,∴MD∥AP,∴∠MDB=∠APB=28°,∴的度数为2∠MDB=56°.图1(2)证明:∵∠BAC=∠MDC=∠APB,∠BAP=180°-∠APB-∠B,∠ACB=180°-∠BAC-∠B,∴∠BAP=∠ACB.∵∠BAP=∠B,∴∠B=∠ACB,∴AC=AB.(3)①如图2,记MP与圆的另一个交点为R,连接AR,CR.∵MD是Rt△MBP的中线,∴DM=DP,∴∠DPM=∠DMP=∠RCD,∴RC=RP.图2∵∠ACR=∠AMR=90°,∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2.∴12+MR2=22+PR2,∴12+(4-PR)2=22+PR2,∴PR=,∴MR=.a.当∠ACQ=90°时,AQ为圆的直径,∴Q与R重合,∴MQ=MR=.b.如图3,当∠QCD=90°时,在Rt△QCP中,PQ=2PR=,∴MQ=.图3 c.如图4,当∠QDC=90°时,∵BM=1,MP=4,∴BP=,∴DP=.∵cos∠MPB==,∴PQ=,∴MQ=.图4 d.如图5,当∠AEQ=90°时,连接QD,由对称性得∠AEQ=∠BDQ=90°,∴MQ=.综上所述,MQ的值为或或.图5②.提示:如图6,∵DM∥AF,∴DF=AM=DE=1,可得△DEG为正三角形.易得∠GMD=∠GDM=15°,得MG=DG=1.作CH⊥AB于点H,由∠BAC=30°得CH=1=MG,CG=MH=-1,∴S△ACG=.∵S△DEG=,∴S△ACG∶S△DEG=.图6。
2017年浙江省温州市中考数学试卷(含答案解析版)
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则乘公共汽车表中表示零件个数的数据中，众数是（个A．ABCD是这组数据的中位数，120°,则它的半径为第16题图．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1)，完全开启后，水流路线呈抛物线，把(2)化简：EDC=90在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整请在所给网格区域两点交，区域Ⅱ的瓷砖均价为②若甲、丙两瓷砖单价之和为种瓷砖总价为AM=BM（点与圆的另一个交点为F将点，直接写出△的面积之比．2017年浙江省温州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分）:1．（4分）﹣6的相反数是( ）A．6B．1C．0D．﹣6【分析】根据相反数的定义求解即可．【解答】解：﹣6的相反数是6,故选：A．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数,0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．2．（4分）某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有100人,则乘公共汽车到校的学生有（ ）A．75人B．100人C．125人D．200人【分析】由扇形统计图可知,步行人数所占比例,再根据统计表中步行人数是100人，即可求出总人数以及乘公共汽车的人数；【解答】解：所有学生人数为 100÷20%=500（人）；所以乘公共汽车的学生人数为 500×40％=200（人）．故选D．．B．．．解：从正面看，下列选项中的整数，与最接近的是（ ）＜＜∴与最接近的是=，则小车上升的A．5米B．6米C．6.5米D．12米【分析】在Rt△ABC中,先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．【解答】解：如图AC=13，作CB⊥AB，∵cosα==,∴AB=12，∴BC==132﹣122=5，∴小车上升的高度是5m．故选A．【点评】此题主要考查解直角三角形,锐角三角函数,勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型．8．(4分）我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1,x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（ )A．x1=1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=﹣1，x2=3D．x1=﹣1，x2=﹣3【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3)﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3，然后解两个一元一次方程即可．【解答】解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3=1或2x+3=﹣3，所以x1=﹣1，x2=﹣3．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9．（4分)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边,AM=2EF，则正方形ABCD的面积为( ）A．12S B．10S C．9S D．8S【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2,由题意可知EF=（2a﹣b)﹣2(a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2由题意可知EF=（2a﹣b)﹣2(a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，∵AM=2EF，∴2a=2b，∴a=b，∵正方形EFGH的面积为S，∴b2=S,∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，故选C．【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．10．（4分）我们把1，1,2，3，5，8,13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，,，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2,P2P3，P3P4,…得到螺旋折线(如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1,0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（ )A．（﹣6，24)B．（﹣6,25）C．（﹣5，24）D．（﹣5，25）【分析】观察图象，推出P9的位置,即可解决问题．【解答】解：由题意,P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方,且到P6的距离=21+5=26，所以P9的坐标为（﹣6，25）,故选B．【点评】本题考查规律型:点的坐标等知识,解题的关键是理解题意，确定P9的位置．这组数据的平均数为=4.8时，这组数据的平均数为=5时，这组数据的平均数为=5×=3出方程： = ．=和甲、乙完成铺:=．故答案是：=．y=（的值为 ．(m，m【解答】解:∵四边形ABCO是矩形,AB=1，∴设B（m,1），∴OA=BC=m，∵四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称，∴OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°,∴∠A′OA=60°，过A′作A′E⊥OA于E，∴OE=m，A′E=m，∴A′（m，m），∵反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点A′,B，∴m•m=m，∴m=，∴k=．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,矩形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．16．（5分)小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A,出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm,洗手盆8 ﹣x+x+246+8，据此可得点∴=，即=，，解得，∴抛物线为y=﹣x2+x+24，又∵点E的纵坐标为10.2，∴令y=10.2，则10。
浙江省温州市2017年中考数学真题试题(含解析1)
浙江省温州市2017年中考数学真题试题(含解析1)2017年浙江省温州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）：1．﹣6的相反数是（）A．6 B．1 C．0 D．﹣62．某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有100人，则乘公共汽车到校的学生有（）A．75人 B．100人C．125人D．200人3．某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（）A． B．C．D．4．下列选项中的整数，与最接近的是（）A．3 B．4 C．5 D．65．温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：表中表示零件个数的数据中，众数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个6．已知点（﹣1，y1），（4，y2）在一次函数y=3x﹣2的图象上，则y1，y2，0的大小关系是（）A．0＜y1＜y2B．y1＜0＜y2C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y17．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα=，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米8．我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（）A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣39．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM 较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．12S B．10S C．9S D．8S10．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（）A．（﹣6，24）B．（﹣6，25）C．（﹣5，24）D．（﹣5，25）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）：11．分解因式：m2+4m= ．12．数据1，3，5，12，a，其中整数a是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是．13．已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为．14．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：．15．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，则k的值为．16．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为cm．三、解答题（共8小题，共80分）：17．（1）计算：2×（﹣3）+（﹣1）2+；（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．18．如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．（1）求证：△ABC≌△AED；（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．19．为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）．（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数．（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A，B，C三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在A班，求他和小慧被分到同一个班的概率．（要求列表或画树状图）20．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；（2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．21．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．22．如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．23．小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ ∥AD，如图所示．（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等①求AB，BC的长；②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．24．如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE．（1）当∠APB=28°时，求∠B和的度数；（2）求证：AC=AB．（3）在点P的运动过程中①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D 旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG 的面积之比．2017年浙江省温州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）：1．﹣6的相反数是（）A．6 B．1 C．0 D．﹣6【考点】14：相反数．【分析】根据相反数的定义求解即可．【解答】解：﹣6的相反数是6，故选：A．2．某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有100人，则乘公共汽车到校的学生有（）A．75人 B．100人C．125人D．200人【考点】VB：扇形统计图．【分析】由扇形统计图可知，步行人数所占比例，再根据统计表中步行人数是100人，即可求出总人数以及乘公共汽车的人数；【解答】解：所有学生人数为 100÷20%=500（人）；所以乘公共汽车的学生人数为 500×40%=200（人）．故选D．3．某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（）A． B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，故选：C．4．下列选项中的整数，与最接近的是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】2B：估算无理数的大小．【分析】依据被开放数越大对应的算术平方根越大进行解答即可．【解答】解：∵16＜17＜20.25，＜＜4.5，∴4∴与最接近的是4．故选：B．5．温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：表中表示零件个数的数据中，众数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个【考点】W5：众数．【分析】根据众数的定义，找数据中出现最多的数即可．【解答】解：数字7出现了22次，为出现次数最多的数，故众数为7个，故选C．6．已知点（﹣1，y1），（4，y2）在一次函数y=3x ﹣2的图象上，则y1，y2，0的大小关系是（）A．0＜y1＜y2B．y1＜0＜y2C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y1【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出y1、y2的值，将其与0比较大小后即可得出结论．【解答】解：∵点（﹣1，y1），（4，）在一次函数y=3x﹣2的图象上，∴y1=﹣5，y2=10，∵10＞0＞﹣5，∴y1＜0＜y2．故选B．7．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα=，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．【解答】解：如图AC=13，作CB⊥AB，∵cosα==，∴AB=12，∴BC==132﹣122=5，∴小车上升的高度是5m．故选A．8．我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（）A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3【考点】A3：一元二次方程的解．【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3，然后解两个一元一次方程即可．【解答】解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3=1或2x+3=﹣3，所以x1=﹣1，x2=﹣3．故选D．9．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM 较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．12S B．10S C．9S D．8S【考点】KR：勾股定理的证明．【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD 的面积=4a2+b2由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，∵AM=2EF，∴2a=2b，∴a=b，∵正方形EFGH的面积为S，∴b2=S，∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，故选C．10．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（）A．（﹣6，24）B．（﹣6，25）C．（﹣5，24）D．（﹣5，25）【考点】D2：规律型：点的坐标．【分析】观察图象，推出P9的位置，即可解决问题．【解答】解：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离=21+5=26，所以P9的坐标为（﹣6，25），故选B．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）：11．分解因式：m2+4m= m（m+4）．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【分析】直接提提取公因式m，进而分解因式得出答案．【解答】解：m2+4m=m（m+4）．故答案为：m（m+4）．12．数据1，3，5，12，a，其中整数a是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是 4.8或5或5.2 ．【考点】W4：中位数；W1：算术平均数．【分析】根据中位数的定义确定整数a的值，由平均数的定义即可得出答案．【解答】解：∵数据1，3，5，12，a的中位数是整数a，∴a=3或a=4或a=5，当a=3时，这组数据的平均数为=4.8，当a=4时，这组数据的平均数为=5，当a=5时，这组数据的平均数为=5.2，故答案为：4.8或5或5.2．13．已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为 3 ．【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】根据扇形的面积公式，可得答案．【解答】解：设半径为r，由题意，得πr2×=3π，解得r=3，故答案为：3．14．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：=．【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】设甲每天铺设x米，则乙每天铺设（x+5）米，根据铺设时间=和甲、乙完成铺设任务的时间相同列出方程即可．【解答】解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得： =．故答案是： =．15．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，则k的值为．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；LB：矩形的性质．【分析】设B（m，1），得到OA=BC=m，根据轴对称的性质得到OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，求得∠A′OA=60°，过A′作A′E⊥OA于E，解直角三角形得到A′（m， m），列方程即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCO是矩形，AB=1，∴设B（m，1），∴OA=BC=m，∵四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD 对称，∴OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，∴∠A′OA=60°，过A′作A′E⊥OA于E，∴OE=m，A′E=m，∴A′（m， m），∵反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，∴m•m=m，∴m=，∴k=．故答案为：．16．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为24﹣8cm．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】先建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，根据△ABQ ∽△ACG，求得C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得抛物线为y=﹣x2+x+24，最后根据点E的纵坐标为10.2，得出点E的横坐标为6+8，据此可得点E到洗手盆内侧的距离．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过A 作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，∴BQ=12﹣8=4，由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG，∴=，即=，∴CG=12，OC=12+8=20，∴C（20，0），又∵水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），∴可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得，解得，∴抛物线为y=﹣x2+x+24，又∵点E的纵坐标为10.2，∴令y=10.2，则10.2=﹣x2+x+24，解得x1=6+8，x2=6﹣8（舍去），∴点E的横坐标为6+8，又∵ON=30，∴EH=30﹣（6+8）=24﹣8．故答案为：24﹣8．三、解答题（共8小题，共80分）：17．（1）计算：2×（﹣3）+（﹣1）2+；（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算；4A：单项式乘多项式．【分析】（1）原式先计算乘方运算，化简二次根式，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果．（2）运用平方差公式即可解答．【解答】解：（1）原式=﹣6+1+2=﹣5+2；（2）原式=1﹣a2+a2﹣2a=1﹣2a．18．如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．（1）求证：△ABC≌△AED；（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠EDC=90°，可得∠ACB=∠ADE，进而运用SAS即可判定全等三角形；（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE的度数．【解答】解：（1）∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，又∵∠BCD=∠EDC=90°，∴∠ACB=∠ADE，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS）；（2）当∠B=140°时，∠E=140°，又∵∠BCD=∠EDC=90°，∴五边形ABCDE中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．19．为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）．（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数．（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A，B，C三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在A班，求他和小慧被分到同一个班的概率．（要求列表或画树状图）【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VC：条形统计图．【分析】（1）利用样本估计总体，用480乘以样本中选“数学故事”的人数所占的百分比即可估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出他和小慧被分到同一个班的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）480×=90，估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数为90人；（2）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中他和小慧被分到同一个班的结果数为2，所以他和小慧被分到同一个班的概率==．20．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；（2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．【考点】N4：作图—应用与设计作图．【分析】（1）设P（x，y），由题意x+y=2，求出整数解即可解决问题；（2）设P（x，y），由题意x2+42=4（4+y），求出整数解即可解决问题；【解答】解：（1）设P（x，y），由题意x+y=2，∴P（2，0）或（1，1）或（0，2）不合题意舍弃，△PAB如图所示．（2）设P（x，y），由题意x2+42=4（4+y），整数解为（2，1）等，△PAB如图所示．21．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D （1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．【考点】MC：切线的性质；L7：平行四边形的判定与性质；T7：解直角三角形．【分析】（1）连接CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°，根据切线的性质得到∠FEC=∠B=45°，∠FEO=90°，根据平行线的性质得到∠ECD=∠FEC=45°，得到∠EOC=90°，求得EF ∥OD，于是得到结论；（2）过G作GN⊥BC于N，得到△GMB是等腰直角三角形，得到MB=GM，根据平行四边形的性质得到∠FCD=∠FED，根据余角的性质得到∠CGM=∠ACD，等量代换得到∠CGM=∠DEF，根据三角函数的定义得到CM=2GM，于是得到结论．【解答】解：（1）连接CE，∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∴∠B=45°，∵EF是⊙O的切线，∴∠FEC=∠B=45°，∠F EO=90°，∴∠CEO=45°，∵DE∥CF，∴∠ECD=∠FEC=45°，∴∠EOC=90°，∴EF∥OD，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）过G作GN⊥BC于N，∴△GMB是等腰直角三角形，∴MB=GM，∵四边形CDEF是平行四边形，∴∠FCD=∠FED，∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°，∴∠CGM=∠ACD，∴∠CGM=∠DEF，∵tan∠DEF=2，∴tan∠CGM==2，∴CM=2GM，∴CM+BM=2GM+GM=3，∴GM=1，∴BG=GM=．22．如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）思想确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标；（2）①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD；②当点D在对称轴上时，在Rt△OD=OC=5，OE=4，可得DE===3，求出P、D的坐标即可解决问题；【解答】解：（1）由题意A（﹣2，5），对称轴x=﹣=4，∵A、B关于对称轴对称，∴B（10，5）．（2）①如图1中，由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD=﹣5=5﹣5．②如图2中，图2当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，∴DE===3，∴点D的坐标为（4，3）．设PC=PD=x，在Rt△PDK中，x2=（4﹣x）2+22，∴x=，∴P（，5），∴直线PD的解析式为y=﹣x+．23．小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ ∥AD，如图所示．（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等①求AB，BC的长；②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．【考点】C9：一元一次不等式的应用；HE：二次函数的应用；LB：矩形的性质．【分析】（1）根据题意可得300S+（48﹣S）200≤12000，解不等式即可；（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，由此即可解决问题；②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为元/m2，由PQ∥AD，可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12+5x•s+3x•（12﹣s）=4800，解得s=，由0＜s＜12，可得0＜＜12，解不等式即可；【解答】解：（1）由题意300S+（48﹣S）200≤12000，解得S≤24．∴S的最大值为24．（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，∴AB=6﹣2a=4，CB=8﹣2a=6．②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为元/m2，∵PQ∥AD，∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12+5x•s+3x•（12﹣s）=4800，解得s=，∵0＜s＜12，∴0＜＜12，∴0＜x＜50，∴丙瓷砖单价3x的范围为0＜3x＜150元/m2．24．如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE．（1）当∠APB=28°时，求∠B和的度数；（2）求证：AC=AB．（3）在点P的运动过程中①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D 旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG 的面积之比．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）根据三角形ABP是等腰三角形，可得∠B的度数，再连接MD，根据MD为△PAB的中位线，可得∠MDB=∠APB=28°，进而得到=2∠MDB=56°；（2）根据∠BAP=∠ACB，∠BAP=∠B，即可得到∠ACB=∠B，进而得出AC=AB；（3）①记MP与圆的另一个交点为R，根据AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，即可得到PR=，MR=，再根据Q为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当∠ACQ=90°时，当∠QCD=90°时，当∠QDC=90°时，当∠AEQ=90°时，即可求得MQ的值为或或；②先判定△DEG是等边三角形，再根据GMD=∠GDM，得到GM=GD=1，过C作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH=AC=1=MG，即可得到CG=MH=﹣1，进而得出S△ACG=CG×CH=，再根据S△DEG=，即可得到△ACG和△DEG的面积之比．【解答】解：（1）∵MN⊥AB，AM=BM，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B，∵∠APB=28°，∴∠B=76°，如图1，连接MD，∵MD为△PAB的中位线，∴MD∥AP，∴∠MDB=∠APB=28°，∴=2∠MDB=56°；（2）∵∠BAC=∠MDC=∠APB，又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，∴∠BAP=∠ACB，∵∠BAP=∠B，∴∠ACB=∠B，∴AC=AB；（3）①如图2，记MP与圆的另一个交点为R，∵MD是Rt△MBP的中线，∴DM=DP，∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，∴RC=RP，∵∠ACR=∠AMR=90°，∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，∴12+MR2=22+PR2，∴12+（4﹣PR）2=22+PR2，∴PR=，∴MR=，Ⅰ．当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，∴Q与R重合，∴MQ=MR=；Ⅱ．如图3，当∠QCD=90°时，在Rt△QCP中，PQ=2PR=，∴MQ=；Ⅲ．如图4，当∠QDC=90°时，∵BM=1，MP=4，∴BP=，∴DP=BP=，∵cos∠MPB==，∴PQ=，∴MQ=；Ⅳ．如图5，当∠AEQ=90°时，由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，∴MQ=；综上所述，MQ的值为或或；②△ACG和△DEG的面积之比为．理由：如图6，∵DM∥AF，∴DF=AM=DE=1，又由对称性可得GE=GD，∴△DEG是等边三角形，∴∠EDF=90°﹣60°=30°，∴∠DE F=75°=∠MDE，∴∠GDM=75°﹣60°=15°，∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°，∴GMD=∠GDM，∴GM=GD=1，过C作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH=AC=AB=1=MG，AH=，∴CG=MH=﹣1，∴S△ACG=CG×CH=，∵S△DEG=，∴S△ACG：S△DEG=．。
2017年浙江省温州市中学考试数学试卷(含问题详解解析汇报版)
主视方向2017年浙江省温州市初中毕业生学业考试数学试题卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．6-的相反数是（ ）A ．6B ．1C ．0D ．6-2．某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有100人，则乘公共汽车到校的学生有（ ）A ．75人B ．100人C ．125人D ．200人乘公共汽车40%步行20%其他15%骑自行车25%3．某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列选项中的整数，与17最接近的是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表： 零件个数（个） 5 6 7 8人数（人） 3 15 22 10表中表示零件个数的数据中，众数是（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个6．已知点（1-，1y ），（4，y2）在一次函数32y x =-的图象上，则1y ，2y ，0的大小关系是（） A ．120y y << B ．120y y << C ．120y y << D ．210y y <<7．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知12cos 13α=，则小车上升的高度是（）A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米α8．我们知道方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-，现给出另一个方程2(23)2(23)30x x +++-=，它的解是（ ）A ．11x =，23x =B ．11x =，23x =-C ．11x =- ，23x =D ．11x =-，23x =-9．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形EFGH ，已知AM 为Rt △ABM 较长直角边，AM=22EF ，则正方形AB CD 的面积为（ ）D C B M AH EF GA ．12sB ．10sC ．9sD ．8s10．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧12PP ，23P P ，34P P ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结12P P ，23P P ，34P P ，…得到螺旋折线（如图），已知点1P （0，1），2P （1-，0），3P （0，1-），则该折线上的点9P 的坐标为（ ） x yP 6P 5P 2P 4P 3P 1OA ．（6-，24）B ．（6-，25）C ．（5-，24）D ．（5-，25） 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）：11．分解因式：24m m +=_______________．12．数据1，3，5，12，a ，其中整数a 是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是__________．13．已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为________．14．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x 米，根据题意可列出方程：_____________________．15．如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 在第一象限，点D 在边BC 上，且∠AOD=30°，四边形OA ′B ′D 与四边形OABD 关于直线OD 对称（点A ′和A ，B ′和B 分别对应），若AB=1，反比例函数(0)k y k x=≠的图象恰好经过点 A ′，B ，则k 的值为_________． y B'A 'C A O B第15题图 第16题图16．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A ，出水口B 和落水点C 恰好在同一直线上，点A 至出水管BD 的距离为12cm ，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E ，则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为_________cm ．三、解答题（共8小题，共80分）： 17．（本题10分）（1）计算：22(3)(1)8⨯-+-+；（2）化简：(1)(1)(2)a a a a +-+-．18．（本题8分）如图，在五边形ABCDE 中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED ，AC=AD ．（1）求证：△ABC ≌△AED ；（2）当∠B=140°时，求∠BAE 的度数．EC D AB19．（本题8分）为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）．（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图，根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数。
2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准（1）
2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准（1）2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知实数,,abc满足213390abc，3972abc，则32bcab??＝（）A.2．B.1．C.0．D.1?．【答】B.已知等式可变形为2(2)3(3)90abbc，3(2)(3)72abbc，解得218ab??，318bc??，所以32bcab1.2．已知△ABC的三边长分别是,,abc，有以下三个结论：（1）以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以222,,abc为边长的三角形一定存在；（3）以||1,||1,||1abbcca为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设abc??，则有bca??.（1）因为bca??，所以2bcbca，即22()bca??（），即bca??，故以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以2,3,4abc为边长可以构成三角形，但以2224,9,16abc为边长的三角形不存在；（3）因为abc??，所以||11,||11,||11ababbcbccaac，故三条边中||1ca??大于或等于其余两边，而||1||111abbcabbc（）（）（）（）111||1acacca=，故以||1ab??，||1bc??，||1ca??为边长的三角形一定存在.3．若正整数,,abc满足abc??且2()abcabc，则称(,,)abc为好数组.那么，好数组的个数为（）A.1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若(,,)abc为好数组，则2()6abcabcc，所以6ab?.显然，a只能为1或2.若a＝2，由6ab?可得2b?或3，2b?时可得4c?，3b?时可得52c?（不是整数）；若a＝1，则2(1)bcbc，于是可得(2)(2)6bc，可求得(,,)abc ＝（1，3，8）或（1，4，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共7页）5）.综合可知：共有3个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.109．B.87．C.65．D.43．【答】A.过B作//BEAD，交AC的延长线于点E，则180ABEBAD ACB??，所以△ABC∽△AEB，所以ACBCABEB?，所以631855ABBCEBAC.再由//BEAD，得4101895DOADOBBE.5．设A是以BC为直径的圆上的一点，ADBC?于点D，点E在线段DC上，点F在CB的延长线上，满足BAFCAE.已知15BC?，6BF?，3BD?，则AE＝（）A.43．B.213．C.214．D.215．【答】B.如图，因为BAFCAE，所以BAFBAECAEBAE，即90FAEBAC.又因为ADBC?，故2ADDEDFDBDC.而639DFBFBD，15312DCBCBD，所以29312ADDE，所以6AD?，4DE?.从而222264213AEADDE.6．对于正整数n，设na是最接近n的整数，则1232001111aaaa（）A.1917．B.1927．C.1937．D.1947．【答】A.对于任意自然数k，2211()24kkk不是整数，所以，对于正整数n，12n?一定不是整数.设m是最接近n的整数，则1||2mn??，1m?.易知：当1m?时，1||2mn2211()()mnm??221144mmnmm.于是可知：对确定的正整数m，当正整数n满足221mmnmm时，m是最接近n的整数，即nam?.所以，使得na＝m的正整数n的个数为2m.注意到2213131822001414210，因此，12200,,,aaa?中，有：2个1，4个2，6个3，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共7页）EOCBADCBFDE8个4，……，26个13，18个14.所以123200111111111191246261812313147aaaa.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．使得等式311aa成立的实数a的值为_______．【答】8.由所给等式可得32(11)aa.令1xa??，则0x?，且21ax??，于是有322(1)(1)xx，整理后因式分解得2(3)(1)0xxx，解得10x?，23x?，31x??（舍去），所以1a??或8a?.验证可知：1a??是原方程的增根，8a?是原方程的根.所以，8a?.2．如图，平行四边形ABCD中，72ABC，AFBC?于点F，AF交BD于点E，若2DEAB?，则AED?＝_______．【答】66?.取DE的中点M，在Rt△ADE中，有12AMEMDEAB.设AED，则1802AME，18ABM.又ABMAMB，所以180218，解得66.3．设,mn是正整数，且mn?.若9m与9n的末两位数字相同，则mn?的最小值为．【答】10.由题意知，999(91)mnnmn是100的倍数，所以91mn??是100的倍数，所以9mn?的末两位数字是01，显然，mn?是偶数，设2mnt??（t是正整数），则29981mntt.计算可知：281的末两位数字是61，381的末两位数字是41，481的末两位数字是21，581的末两位数字是01.所以t的最小值为5，从而可得mn?的最小值为10.4．若实数,xy满足3331xyxy，则22xy?的最小值为．【答】12.因为333322031()(1)333xyxyxyxyxyxy22(1)[()()(1)(1)]3(1)xyxyxyxyxy2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共7页）MEFCBDA22(1)(1)xyxyxyxy2221(1)[()(1)(1)]2xyxyxy，所以1xy或1xy??.若1xy，则22xy?＝2.若1xy??，则22222111[()()][1()]222xyxyxyxy，当且仅当12xy??时等号成立.所以，22xy?的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数2(0)yaxbxcc的图象与x轴有唯一交点，则二次函数3233yaxbxc的图象与x轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数2yaxbxc的图象与x轴有唯一交点，所以2140bac，所以240bac??.故二次函数3233yaxbxc的判别式323363623211()4(4)()1616bacbacbb61516b?0?，所以，二次函数3233yaxbxc的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第1题相同.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4．已知正整数,,abc满足26390abc，260abc，则222abc??＝（）A.424．B.430．C.441．D.460．【答】C.由已知等式消去c整理得22(9)3(1)75ab，所以23(1)75b??，又b为正整数，所以16b??.若b＝1，则2(9)75a??，无正整数解；若b＝2，则2(9)72a??，无正整数解；若b＝3，则2(9)63a??，无正整数解；若b＝4，则2(9)48a??，无正整数解；若b＝5，则2(9)27a??，无正整数解；若b＝6，则2(9)0a??，解得9a?，此时18c?.2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）因此，9a?，b＝6，18c?，故222abc＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.43．B.65．C.87．D.109．【答】D.解答过程与（A）卷第4题相同.6．题目和解答与（A）卷第5题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．题目和解答与（A）卷第1题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，,DE分别为线段,BCOA的中点，7ACBOED，5ABCOED，则OED?＝_________.【答】10?.如图，设OEDx??，则5ABCx??，7ACBx??，DOC??18012BACx，10AOCx??，所以1802AODx，180(1802)ODExxx，所以1122ODOEOAOC，所以60DOC，从而可得10x??.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4.题目和解答与（A）卷第4题相同.第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数,xy满足3xy??，221112xyxy，求55xy?的值.解由221112xyxy可得2233222()xyxyxyxyxy.设xyt?，则222()292xyxyxyt，332()[()3]3(93)xyxyxyxyt，代入上式可得22(392)3(93)tttt，解得1t?或3t?.……………………10分当3t?时，3xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2330mm的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当1t?时，1xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2310mm的两实数根，符合题意.此时552233222()()()(92)[3(93)]3123xyxyxyxyxyttt.……………………20分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共7页）DEOBAC二、（本题满分25分）如图，△ABC中，ABAC?，45BAC，E 是BAC?的外角平分线与△ABC的外接圆的交点，点F在AB上且EFAB?.已知1AF?，5BF?，求△ABC的面积.解在FB上取点D，使FD＝AF，连接ED并延长，交△ABC的外接圆于点G.由EF⊥AD，AF＝FD知△AED是等腰三角形，所以∠AED＝1802??∠EAD＝∠BAC，……………………10分所以??AGBC?，所以??ACBG?，所以AC＝BG (15)分又∠BGE＝∠BAE＝∠ADE＝∠BDG，所以BG＝BD，所以AC＝BD ＝5－1＝4，……………………20分△ABC的AB边上的高sin4522hAC.所以，△ABC的面积116226222SABh (25)分三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(,)ab，使得34938ba.解显然，4938b??为奇数，所以a为奇数.又因为33493849385ba，所以5a?.……………………5分由34938ba可得38493ba，即22(2)(24)73baaa.……………………10分设2(2,24)aaad，则d为奇数.注意到224(2)(4)12aaaa，所以|12d，所以d＝1或3.……………………15分若d＝1，则有22 27, 243,b aaa或22 23, 247, ba aa均无正整数解.……………………20分若d＝3，则有221237,243,baaa?或12223,2437,baaa解得11a?，3b?.所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25分第二试（B）一、（本题满分20分）已知实数,,abc满足abc??，16abc，22211284abcabc，求c的值.解设abx??，aby?，依题意有2212(16)(16)1284xyxyx，整理得21(8)(8)8xyx，所以8x?或8(8)yx??.……………………10分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页（共7页）FEABCD（1）若8x?，则8ab??，此时c＝8.（2）若8(8)yx??，即8(8)abab，则(8)(8)0ab，所以8a?或8b?.当8a?时，结合abc??可得24abc，与16abc矛盾.当8b?时，结合abc??及16abc可得0a?，8c?.综合可知：8c?.……………………20分二、（本题满分25分）求所有的正整数m，使得21221mm 是完全平方数.解当m＝1时，212211mm是完全平方数.……………………5分当1m?时，设212221mmn（n为正整数）.注意到2112112122212(2)221(21)(2)mmmmmm，故可得12122(21)(2)mmn，……………………10分所以22212112(21)(21)(21)mmmmnnn.……………………15分设121mxn，121myn，则xy?，222mxy??，所以,xy均为2的方幂.……………………20分又22myx被4除余数为2，所以，只可能2x?，2my?，故22222mm，解得3m?.综上可知：满足条件的正整数m有两个，分别为1和3.……………………25分三、（本题满分25分）如图，O为四边形ABCD内一点，OADOCB，OAOD?，OBOC?.求证：2222ABCDADBC.证明由题设条件可知90AODBOC，又OADOCB，所以△AOD∽△COB，……………………5分所以ODAOOBCO?，从而OCAOOBOD?.……………………10分又AOCAOBBOCAOBAODDOB，所以△AOC∽△DOB，所以OACODB.……………………15分设AC和BD交于点P，则90APDAOD，所以ACDB?，……………………20分所以222222222222()()()()ABCDAPPBPDPCAPPDPBPCADBC .……………………25分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页（共7页）PDAO CB。
最新浙江省温州市竞赛试卷附解析
浙江省温州市竞赛试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．用弧长为8π的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面的半径是（）．A．4πB．8πC．4 D．82．如图，在⊙O中，直径CD=5，CD⊥AB于E，OE= 0.7，则AB的长是（）A．2.4 B．4.8 C．1.2 D．2.53．在△ABC 所在平面上到顶点A、B、C距离相等的点有（）A．1 个B．4个C．7 个D．无数个4．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形5．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）A．2倍B．3倍C．4倍D．无法确定6．七年级某班60名同学为“四川灾区”捐款，共捐款700无，捐款情况如下：元的有x名同学，捐款20元的有y名同学，根据题意，可得方程组（）A．271020400x yx y+=⎧⎨+=⎩B．271020700x yx y+=⎧⎨+=⎩C．272010400x yx y+=⎧⎨+=⎩D．272010700x yx y+=⎧⎨+=⎩7．方程组525x yx y=+⎧⎨-=⎩的解满足方程0x y a++=，那么a的值是（）A．5 B．-5 C．3 D．-38．运用分配律计算：（-3）×（-8+2-3），有下列四种不同的结果，其中正确的是（）A．-3×8-3×2-3×3 B．-3×（-8）-3×2-3×3C．（-3）×（-8）+3×2-3×3 D．（-3）×（-8）-3×2+3×3二、填空题9．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，•∠D=•130•°，则∠BAC•的度数为_____．10．如图，在直角三角形中，AB=8，BC=6，M是斜边AC上的中点，则BM的长是 .11．在“We like maths．”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频率约为 (结果保留2个有效数字）．12．四边形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是AB，CD的中点，AD=4，BC=6，则MN= ．13．在一个班的40名学生中，14岁的有15人，15岁的有14人，l6岁的有7人，l7岁的有4人，则这个班的学生年龄的中位数是岁，众数是岁．14．用x、y分别表示 2辆三轮车和3辆卡车一次运货的吨数，那么5辆三轮车和4辆卡车共能运货24吨所表示的数量关系式是 .15．三个连续奇数的和为69，则这三个数分别为 .16．绝对值大于23小于83的整数有．17．如图，数轴上点A、B 表示的数分别是，．18．党的“十六大”提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国内生产总值到2020年比2000年翻两番，在21世纪的头20年(2001~2020年)，要实现这一目标，以十年为单位计算，设每十年的国内生产总值的增长率都是x，则可列方程．三、解答题19．根据下列俯视图，找出对应的物体并用线连接起来．(1)(2)(3)(4)(5)A B C D E20．如图，已知点 A ．B 和直线l ，求作一圆，使它经过A 、B 两点，且圆心在直线l 上．21．如图，已知 OA 、OB 、OC 是⊙O 的三条半径，∠AOC = ∠BOC ，M ，N 分别为 OA 、OB 的中点．求证：MC=NC ．22．已知一次函数23y x =-的图象与反比例函数2k y x+=的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为 3，求k 的值和反比例函数的解析式.23． 春秋旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去该风景区旅游, 共支付给春秋旅行社旅游费用27000元：，请问该单位这次共有多少员工去该风景区旅游？．．l BB A B24．衢州市总面积8837平方千米，总人口 247万人(截目 2006年底)，辖区有 6 个县(市、区)，各县(市、区)的行政区域面积及平均每万人拥有面积统计如图①、图②所示：(1)行政区域面积最大的是哪个县(市、区)？这个县(市、区)约有多少面积(精确到 1平 方千米)？(2) 衢州市的人均拥有面积是多少(精确到 1平方米)？6个县(市、区)中有哪几个县 (市、区)的人均拥有面积超过衢州市人均拥有面积？ (3)江山市约有多少入(精确到 1万人)？25．试判断下列各命题的真假，对于真命题给出证明，对于假命题举反例说明． 命题l ：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； 命题2：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．26．已知点P （2，2）在反比例函数xky =（0≠k ）的图象上． （1）当3-=x 时，求y 的值； （2）当31<<x 时，求y 的取值范围．27．化简：县(市、区衢州市各县(市、区)平均每万人拥有面积统计图 面积(平方千米) 010 2030 4050 60 70 衢江江山常山开化柯城龙游14.85 43.7 34.79 33.3 63.54 28.48(1)1112+-+a a a (2)442222---⋅+x x x x28．21124x x ++是完全平方式吗？如果你认为是完全平方式，请你写出这个平方式；如果你认为不是完全平方式，请你加上一个适当的含 x 的一次单项式，梗它成为一个完全平方式，再写出这个完全平方式.29．按要求完成作图，并回答问题. 如图，已知线段AB 、BC 、CA. (1)作线段BC 的中点D ，并连接AD ； (2)过点A 作BC 的垂线，垂足为点E ； (3)过点B 作AB 的平行线，交AC 于点F ； (4)作∠ABC 的平分线，交AC 于点 G ；(5} 根据上述作图，若∠ABC = 60°,则∠GBC= .30．为了方便管理，学校每年都为新的七年级学生制作学生卡片，卡片上有了位数字的编号，其中前六位数表示该生入学年份、所在班及该生在班级中的序号；末位数表示性别；1 表示男生，2表示女生. 如：2007年入学的3班32号男同学的编号为 0703321. 则2008年入学的 10班的 15号女同学的编号为多少？有一次老师捡到一张编号为0 807 021 的学生卡片，你能帮忙找到失主吗？【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．B3．A4．D5．A6．A7．A8．D二、填空题9．40°10．511．0.1812．513．15，1414．542423x y +=15． 21，23，2516．1,2,-1,-217．-2. 5，218．2(1)4x +=三、解答题 19． 如图：20． 画AB 的垂直平分线与直线l 的交点就是圆心，图略.21．∵OA 、OB 是⊙O 的半径，∴OA=OB ．∵M 、N 分别为 OA 、OB 的中点，∴OM=12OA ，ON= 12OB ． ∴OM =ON ．∵∠AOC=∠BOC ，OC=OC ，∴△AOM ≌△ONC(SAS) ，∴MC =NC.22．y=3代入23y x =-，得x=3，∴ 交点为(3，3)(1)(2)(3)(4)(5)A B C D E把x= 3，y=3代入2k y x +=，得k=7,故反比例函数的解析式是9y x= 23．30人24．(1)开化县，2224、平方千米 (2)3578平方米/人，衢江区和开化县的人均拥有面积超过衢州市人均拥有面积 (3)约有58万人25．略26．解 （1）∵点P （2，2）在反比例函数xk y =的图象上，∴22k=．即4=k ．∴反比例函数的解析式为xy 4=． ∴当3-=x 时，34-=y ． （2）∵当1=x 时，4=y ；当3=x 时，34=y ， 又反比例函数xy 4=在0>x 时y 值随x 值的增大而减小， ∴当31<<x 时，y 的取值范围为434<<y ． 27．（1）1-a ，（2）22+x ． 28．不是完全平方式，再加上12x ，则2211()42x x x ++=+或加上32x - 使它成为2211()42x x x -+=- 29．30°，作图如图 所示，图中点线即为所求30．2008年入学的10班的15号女同学的编号是0810152. 编号为0807021的学生卡是2008年入学的7班的2号男同学的。
2017温州中学提前招数学试题及答案(1)
2017年温州中学保送生招生综合素质测试数学试题（本卷满分150，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置）1．若a b <，代数式()2b a aa ba--的化简结果是（ ）A .aB .a -C .a -D .a -- 解：()()()2222000,b a aa a a bb a b a a a a a baa b a ->⇒>⇒<---⎛⎫∴=-⋅=- ⎪--⎝⎭由2．已知,a b 为整数，且方程20x ax b ++=的一个根是23-，则另一个根为（ ） A .23-+ B .23+ C .23-- D .23-()()()()222230232307243072=04,4=0141023x x ax b a b a b a a b a a b a b x x x =-++=⇒-+-+=⇒+++--=++=-⎧⎧∴⇒⎨⎨--=⎩⎩∴-+=⇒=±Q 代入均为整数，3．如图1，在正方体ABCD -1111A B C D 中，2AB =，M 为棱1CC 的中点，P 为四边形1111A B C D 所在平面上的动点，Q 为四边形11BDD B 所在平面上的动点，设△MPQ 的周长为c ，若c k > 恒成立，则k 的最大值为（ ）A .22B .23C .221+D .231+()111111121211111112122222121212max ,,,2222323,23M A B C D M M BDD B M M M A B C D BDD B P Q MPQ MP PQ MQ M P PQ M Q M M M M MM MM c M M k ++=++==+=+=∴≥=∴=作关于平面的对称点，作关于平面的对称点，连接分别交平面，平面于点此时△的周长最小.4．已知,,x y z 为实数，且5x y z ++=，3xy yz zx ++=，若z 的 最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为（ ）A.73 B .83C .3D .103()()()()()()()()222222max min 553333553,55305453031013031310131313113;3313131,1133x y z x y zxy yz zx xy m yz zx z x y z z z z x y z m z z z z z z z z z z z x y z x y z z ++=⇒+=-++=⇒=--=+=-+=--=-+-+-+=---+≥⇒--≤⇒-+≤⇒-≤≤=-=======-⇒-=△以为根构造一元二次方程：当时，解得当时，解得综上所述：035．如图2，已知△ABC 与△GHI 为两个全等的正三角形，点G 为△ABC 的重心，GH 交BC 于点D ，GI 交BC 于点E ，设 BGD α∠=，060α︒≤≤︒，△GDE 的面积为S ，则S 作为α的 函数，所对应的图像是（ D ）A B C D6．如图3，在锐角ABC ∆中，60ACB ︒∠=，点D 为线段 AB 上的一点，ACD ∆的外接圆交BC 于点M ，BCD ∆的外接圆交AC 于点N ，则CM CNCA CB+=（ ） A ．1 B ．3 C ．62 D ．32()()()()222222222222222cos 2cos602AN AC AD AB AC CN AC AB BD AB AC CN AC AB BD ABBD AB BM BC BC CM BC BC CM BC AC CN AC AB BC CM BC AC BC AB CN AC CM BCAC BC AB ACB AC BC AB AC BC AC BCCN AC CM BC AC BC ⋅=⋅⇒-⋅=-⋅⇒-⋅=-⋅⋅=⋅=-⋅=-⋅∴-⋅=--⋅⇒+-=⋅+⋅+-∠=⇒+-=⋅⋅︒=⋅∴⋅+⋅=⋅⇒又又1CM CNCA CB +=二、填空题：（本大题共8小题，每小题6分，共48分)7．关于x 的方程1122k x x +=-有且只有一个实根，则k =___________．()()()()()221212114022(1)220242421600,4042304k x x x x x x x x k k k k k k k k +=⇒-+=-===-==++-=⇒==-==-==-△当当，符合题意时，方程不成立时，时，方程的解为增根；时，方程的解为当当，不合题意所以，8．函数12131y x x x =-+-+-的最小值为____________．min 12131=12311111111=2322333111111,,,,,11333223y x x x x x x x x x x x x x x y =-+-+--+-+--+-+-+---++=⇒==当时， 9．某次台球比赛之后，老陈、小苏、小刘三人各获得了一枚奖牌，其中一人获得金牌、一个获得银牌、一人获得铜牌．老胡猜测：“老陈没有获得金牌、小苏获得金牌、小刘得到的不是铜牌”．结果老胡只猜对了一个，由此推断：得到金牌的人是____________． 列表假设法：①老陈没有获得金牌（√），小苏获得金牌（×），小刘得到的不是铜牌（×） 可知：小刘铜牌，老陈银牌，小苏金牌，矛盾！②老陈没有获得金牌（×），小苏获得金牌（√），小刘得到的不是铜牌（×） 可知：老陈金牌，矛盾！③老陈没有获得金牌（×），小苏获得金牌（×），小刘得到的不是铜牌（√） 可知：老陈金牌，小刘银牌，小苏铜牌符合题意。
2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知实数,,a b c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b ca b++＝ （ ）A. 2．B. 1．C. 0．D. 1-． 【答】B.已知等式可变形为2(2)3(3)90a b b c +++=，3(2)(3)72a b b c +++=，解得218a b +=，318b c +=，所以32b ca b+=+ 1.2．已知△ABC 的三边长分别是,,a b c ，有以下三个结论：（1 （2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以||1,||1,||1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为 （ ） A ．0． B ．1． C ．2． D ．3． 【答】C.不妨设a b c ≥≥，则有b c a +>.（1）因为b c a +>，所以b c a ++，即22>>边长的三角形一定存在；（2）以2,3,4a b c ===为边长可以构成三角形，但以2224,9,16a b c ===为边长的三角形不存在； （3）因为a b c ≥≥，所以||11,||11,||11a b a b b c b c c a a c -+=-+-+=-+-+=-+，故三条边中||1c a -+大于或等于其余两边，而||1||111a b b c a b b c -++-+=-++-+（）（）（）（）111||1a c a c c a -++>-+=-+=，故以||1a b -+，||1b c -+，||1c a -+为边长的三角形一定存在.3．若正整数,,a b c 满足a b c ≤≤且2()abc a b c =++，则称(,,)a b c 为好数组.那么，好数组的个数为 （ ）A. 1． B ．2． C ．3． D ．4． 【答】C.若(,,)a b c 为好数组，则2()6abc a b c c =++≤，所以6ab ≤.显然，a 只能为1或2. 若a ＝2，由6ab ≤可得2b =或3，2b =时可得4c =，3b =时可得52c =（不是整数）； 若a ＝1，则2(1)bc b c =++，于是可得(2)(2)6b c --=，可求得(,,)a b c ＝（1，3，8）或（1，4，5）.综合可知：共有3个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）. 4．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若180BAD ACB ∠+∠=︒，且3BC =，4AD =，5AC =，6AB =，则DOOB＝ （ ） A. 109． B. 87． C. 65． D. 43．【答】A.过B 作//BE AD ，交AC 的延长线于点E ，则180ABE BAD ∠=︒-∠ACB =∠，所以△ABC ∽△AEB ，所以AC BCAB EB=，所以 631855AB BC EB AC ⋅⨯===. 再由//BE AD ，得4101895DO AD OB BE ===.5．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD BC ⊥于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB 的延长线上，满足BAF CAE ∠=∠.已知15BC =，6BF =，3BD =，则AE ＝ （ ）A.B.C.．D.【答】B. 如图，因为BAF CAE ∠=∠，所以BAF BAE CAE BAE ∠+∠=∠+∠，即90FAE BAC ∠=∠=︒.又因为AD BC ⊥，故2AD DE DF DB DC =⋅=⋅.而639DF BF BD =+=+=，15312DC BC BD =-=-=，所以29312AD DE =⋅=⋅，所以6AD =，4DE =.从而AE ==6．对于正整数n ，设n a1232001111a a a a ++++= （ ） A.1917． B. 1927． C. 1937． D. 1947．【答】A.对于任意自然数k ，2211()24k k k +=++不是整数，所以，对于正整数n12一定不是整数.设m1|2m <，1m ≥. 易知：当1m ≥时，1|2m <⇔2211()()22m n m -<<+⇔221144m m n m m -+<<++.于是可知：对确定的正整数m ，当正整数n 满足221m m n m m -+≤≤+时，m即n a m =.所以，使得n a ＝m 的正整数n 的个数为2m .注意到2213131822001414210+=<<+=，因此，12200,,,a a a 中，有：2个1，4个2，6个3，8个4，……，26个13，18个14.所以123200111111111191246261812313147a a a a ++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．=a 的值为_______．【答】8.由所给等式可得32(1a =.令x =，则0x ≥，且21a x =-，于是有322(1)(1)x x +=-，整理后因式分解得2(3)(1)0x x x -+=，解得10x =，23x =，31x =-（舍去），所以1a =-或8a =. 验证可知：1a =-是原方程的增根，8a =是原方程的根. 所以，8a =.2．如图，平行四边形ABCD 中，72ABC ∠=︒，AF BC ⊥于点F ，AF 交BD 于点E ，若2DE AB =，则AED ∠＝_______．【答】66︒.取DE 的中点M ，在Rt △ADE 中，有12AM EM DE AB ===.设AED α∠=，则1802AME α∠=︒-，18ABM α∠=-︒. 又ABM AMB ∠=∠，所以180218αα︒-=-︒，解得66α=︒.3．设,m n 是正整数，且m n >.若9m与9n的末两位数字相同，则m n -的最小值为 ． 【答】10.由题意知，999(91)mnnm n--=⋅-是100的倍数，所以91m n --是100的倍数，所以9m n -的末两位数字是01，显然，m n -是偶数，设2m n t -=（t 是正整数），则29981m nt t -==.计算可知：281的末两位数字是61，381的末两位数字是41，481的末两位数字是21，581的末两位数字是01.所以t 的最小值为5，从而可得m n -的最小值为10.4．若实数,x y 满足3331x y xy ++=，则22x y +的最小值为 ． 【答】12. 因为333322031()(1)333x y xy x y x y xy xy =++-=++---+ 22(1)[()()(1)(1)]3(1)x y x y x y xy x y =+-+-+⋅-+--+-B22(1)(1)x y x y xy x y =+-+-+++2221(1)[()(1)(1)]2x y x y x y =+--++++，所以1x y ==-或1x y +=. 若1x y ==-，则22x y +＝2. 若1x y +=，则22222111[()()][1()]222x y x y x y x y +=++-=+-≥，当且仅当12x y ==时等号成立.所以，22x y +的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数2(0)y ax bx c c =++≠的图象与x 轴有唯一交点，则二次函数3233y a x b x c =++的图象与x 轴的交点个数为 （ ）A ．0．B ．1．C ．2．D ．不确定． 【答】C.因为二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有唯一交点，所以2140b ac ∆=-=，所以240b ac =≠.故二次函数3233y a x b x c =++的判别式323363623211()4(4)()1616b a c b ac b b ∆=-=-=-61516b = 0>，所以，二次函数3233y a x b xc =++的图象与x 轴有两个交点.2．题目和解答与（A ）卷第1题相同.3. 题目和解答与（A ）卷第3题相同.4．已知正整数,,a b c 满足26390a b c --+=，260a b c -++=，则222a b c ++＝ （ ） A. 424． B. 430． C. 441． D. 460． 【答】C.由已知等式消去c 整理得22(9)3(1)75a b -+-=，所以23(1)75b -≤，又b 为正整数，所以16b ≤≤. 若b ＝1，则2(9)75a -=，无正整数解； 若b ＝2，则2(9)72a -=，无正整数解； 若b ＝3，则2(9)63a -=，无正整数解； 若b ＝4，则2(9)48a -=，无正整数解； 若b ＝5，则2(9)27a -=，无正整数解；若b ＝6，则2(9)0a -=，解得9a =，此时18c =.因此，9a =，b ＝6，18c =，故222a b c ++=＝441.5．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若180BAD ACB ∠+∠=︒，且3BC =，4AD =，5AC =，6AB =，则DOOB＝ （ ） A. 43． B. 65． C. 87． D. 109．【答】D.解答过程与（A ）卷第4题相同. 6．题目和解答与（A ）卷第5题相同. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．题目和解答与（A ）卷第1题相同.2．设O 是锐角三角形ABC 的外心，,D E 分别为线段,BC OA 的中点，7ACB OED ∠=∠，5ABC OED ∠=∠，则OED ∠＝_________. 【答】10︒.如图，设OED x ∠=，则5A B C x ∠=，7ACB x ∠=，DOC ∠=18012BAC x ∠=︒-，10AOC x ∠=，所以1802AOD x ∠=︒-，180(1802)ODE x x x ∠=︒--︒-=，所以1122OD OE OA OC ===，所以60DOC ∠=︒，从而可得10x =︒.3. 题目和解答与（A ）卷第3题相同.4. 题目和解答与（A ）卷第4题相同.第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知实数,x y 满足3x y +=，221112x y x y +=++，求55x y +的值. 解 由221112x y x y +=++可得2233222()x y x y x y x y xy +++=+++. 设xy t =，则222()292x y x y xy t +=+-=-，332()[()3]3(93)x y x y x y xy t +=++-=-，代入上式可得22(392)3(93)t t t t +-=-++，解得1t =或3t =. ……………………10分当3t =时，3xy =，又3x y +=，故,x y 是一元二次方程2330m m -+=的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意. ……………………15分当1t =时，1xy =，又3x y +=，故,x y 是一元二次方程2310m m -+=的两实数根，符合题意.此时552233222()()()(92)[3(93)]3123x y x y x y x y x y t t t +=++-+=-⋅--=.……………………20分二、（本题满分25分）如图，△ABC 中，AB AC >，45BAC ∠=︒，E 是BAC ∠的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF AB ⊥.已知1AF =，5BF =，求△ABC 的面积.解 在FB 上取点D ，使FD ＝AF ，连接ED 并延长，交△ABC 的外接圆于点G.由EF ⊥AD ，AF ＝FD 知△AED 是等腰三角形，所以∠AED ＝1802︒-∠EAD ＝∠BAC ， ……………………10分所以 AG BC =，所以 AC BG=，所以AC ＝BG. ……………………15分 又∠BGE ＝∠BAE ＝∠ADE ＝∠BDG ，所以BG ＝BD ，所以AC ＝BD ＝5－1＝4， ……………………20分 △ABC 的AB边上的高sin 45h AC =︒=所以，△ABC的面积11622S AB h =⋅⋅=⨯⨯= ……………………25分三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(,)a b ，使得34938ba =⨯+. 解 显然， 4938b⨯+为奇数，所以a 为奇数.又因为33493849385b a =⨯+≥⨯+>，所以5a >. ……………………5分 由34938b a =⨯+可得38493b a -=⨯，即22(2)(24)73ba a a -++=⨯. ……………………10分 设2(2,24)a a a d -++=，则d 为奇数.注意到224(2)(4)12a a a a ++=-++，所以|12d ，所以d ＝1或3. ……………………15分若d ＝1，则有2227,243,b a a a ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩或2223,247,b a a a ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩均无正整数解. ……………………20分若d ＝3，则有221237,243,b a a a -⎧-=⨯⎪⎨++=⎪⎩或12223,2437,b a a a -⎧-=⎪⎨++=⨯⎪⎩解得11a =，3b =.所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）. ……………………25分第二试 （B ）一、（本题满分20分）已知实数,,a b c 满足a b c ≤≤，16a b c ++=，22211284a b c abc +++=，求c 的值.解 设a b x +=，ab y =，依题意有2212(16)(16)1284x y x y x -+-+-=，整理得 21(8)(8)8x y x -=-， 所以8x =或8(8)y x =-. ……………………10分（1）若8x =，则8a b +=，此时c ＝8.（2）若8(8)y x =-，即8(8)ab a b =+-，则(8)(8)0a b --=，所以8a =或8b =.当8a =时，结合a b c ≤≤可得24a b c ++≥，与16a b c ++=矛盾. 当8b =时，结合a b c ≤≤及16a b c ++=可得0a =，8c =.综合可知：8c =. ……………………20分二、（本题满分25分）求所有的正整数m ，使得21221m m --+是完全平方数.解 当m ＝1时，212211m m --+=是完全平方数. ……………………5分当1m >时，设212221m m n --+=（n 为正整数）.注意到2112112122212(2)221(21)(2)m m m m m m ------+=⋅-⋅+=-+，故可得12122(21)(2)m m n ---+=， ……………………10分所以22212112(21)(21)(21)m m m m n n n ----=--=+--+. ……………………15分设121m x n -=-+，121m y n -=+-，则x y <，222m xy -=，所以,x y 均为2的方幂.……………………20分又22m y x -=-被4除余数为2，所以，只可能2x =，2m y =，故22222m m -⨯=，解得3m =.综上可知：满足条件的正整数m 有两个，分别为1和3. ……………………25分 三、（本题满分25分）如图，O 为四边形ABCD 内一点，OAD OCB ∠=∠，OA OD ⊥，OB OC ⊥.求证：2222AB CD AD BC +=+.证明 由题设条件可知90AOD BOC ∠=∠=︒，又O A D O C B ∠=∠，所以△AOD ∽△COB ， ……………………5分所以OD AO OB CO =，从而OC AO OB OD=. ……………………10分 又AOC AOB BOC AOB AOD DOB ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以△AOC ∽△DOB ，所以OAC ODB ∠=∠. ……………………15分设AC 和BD 交于点P ，则90APD AOD ∠=∠=︒，所以AC DB ⊥， ……………………20分所以222222222222()()()()AB CD AP PB PD PC AP PD PB PC AD BC +=+++=+++=+. ……………………25分B。
2017年浙江省温州市中考数学试卷及答案
浙江省温州市2017年中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）（2017•温州）计算：（﹣3）+4的结果是（）
2．（4分）（2017•温州）如图是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），则捐款人数最多的一组是（）
3．（4分）（2017•温州）如图所示的支架是由两个长方形构成的组合体，则它的主视图是（）
．．
解：从几何体的正面看可得此几何体的主视图是，
4．（4分）（2017•温州）要使分式有意义，则x的取值应满足（）
63
6．（4分）（2017•温州）小明记录了一星期天的最高气温如下表，则这个星期每天的最高气。
2017年浙江省初中毕业升学考试(温州市卷)数学试卷及答案
2017年浙江省初中毕业升学考试（温州市及答案）数学试题卷姓名： 准考证号： 亲爱的同学：欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点：1.全卷共4页，有三大题，24小题．全卷满分150分．考试时间120分钟．2.答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效．3.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 祝你成功！卷Ⅰ一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1．-6的相反数是（ ▲ ）A ．6B ．1C ．0D ．-62．某校学生到校方式情况的统计图如图所示．若该校步行到校的学生有100人，则乘公共汽车到校的学生有（ ▲ ） A ．75人 B ．100人 C ．125人 D ．200人3．某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（ ▲ ）4．下列选项中的整数，与17最接近的是（ ▲ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表．表中表示零件个数的数据中，众数是（ ▲ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个6．已知点（-1，y 1），（4，y 2）在一次函数y =3x -2的图象上，则y 1，y 2，0的大小关系是（ ▲ ） A ．0<y 1<y 2 B ．y 1<0<y 2 C ．y 1<y 2<0 D ． y 2<0<y 1 7．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知12cos 13α=，则小车上升的高度是（ ▲ ） A ．5米 B ．6米 C ．6.5米 D ．12米零件个数（个） 5 6 7 8人数（人） 3 15 22 10主视方向(第3题) (第7题)A BC D某校学生到校方式情况统计图(第2题)骑自行车25% 其他15% 步行 20%乘公共汽 车40%8．我们知道方程2230x x +-=的解是1213x x ==-，.现给出另一个方程2(2+3)2(2+3)30x x +-=，它的解是（ ▲ ）A ．121,3x x ==B ．121,3x x ==-C ．121,3x x =-=D ．121,3x x =-=- 9．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形EFGH ．已知AM 为Rt △ABM 较长直角边，AM =22EF ，则正方形ABCD 的面积为（ ▲ ） A ．12SB ．10SC ．9SD ．8S 10．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列．为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧¼12PP ，¼23P P ，¼34P P ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结12PP ，23P P ，34P P ，…得到螺旋折线（如图）．已知点P 1（0，1），P 2（-1，0），P 3（0，-1），则该折线上点9P 的坐标为（ ▲ ） A ．（-6，24） B ．（-6，25） C ．（-5，24） D ．（-5，25） 卷Ⅱ二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．分解因式：24m m += ▲ .12．数据1，3，5，12，a ，其中整数a 是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是 ▲ . 13．已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为 ▲ . 14．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x 米，根据题意可列出方程： ▲ .15．如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 在第一象限，点D 在边BC上，且∠AOD =30°，四边形OA ′B ′D 与四边形OABD 关于直线OD 对称（点A ′和A ，B ′和B 分别对应）．若AB =1，反比例函数ky x=（k ≠0）的图象恰好经过点A ′，B ，则k 的值为 ▲ .16．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1）．完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A 、出水口B 和落水点C 恰好在同一直线上，点A 到出水管BD 的距离为12cm ，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E ，则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为 ▲ cm ．x yD A'B'B O A C（第15题） （第9题）(第16题)图1 图2 单位：cm141261030H E C AB D (第10题)xyP 3P 2OP 1P 6P 4P 5三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（本题10分）（1）计算：22(3)(1)⨯-+-（2）化简：(1)(1)(2)a a a a +-+-．18．（本题8分）如图，在五边形ABCDE 中，∠BCD =∠EDC =90°，BC =ED ，AC =AD . （1）求证：△ABC ≌△AED .（2）当∠B =140°时，求∠BAE 的度数.19．（本题8分）为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）. （1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数.（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A ，B ，C 三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”．已知小聪不在A 班，求他和小慧被分到同一个班的概率.（要求列表或画树状图）20．（本题8分）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A （2，3），B （4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．（1）在图1中画一个△P AB ，使点P 的横、纵坐标之和等于点A 的横坐标． （2）在图2中画一个△P AB ，使点P ，B 横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．注：图1，图2在答题纸上．21．（本题10分）如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，⊙O （圆心O 在△ABC 内部）经过B ，C 两点，交AB 于点E ，过点E 作⊙O 的切线交AC 于点F ，延长CO 交AB 于点G ，作ED ∥AC 交CG 于点D .（1）求证：四边形CDEF 是平行四边形． （2）若BC =3，tan ∠DEF =2，求BG 的值．B(第18题)(第20题)(第19题) 某校七年级部分学生选课巧解故事数独魔方人数22．（本题10分）如图，过抛物线2124y x x =-上一点A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点B ，交y 轴于点C ．已知点A 的横坐标为-2．（1）求抛物线的对称轴和点B 的坐标．（2）在AB 上任取一点P ，连结OP ，作点C 关于直线OP 的对称点D ．①连结BD ，求BD 的最小值．②当点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方时，求直线PD 的函数表达式．23．（本题12分）小黄准备给长8m ，宽6m 的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD 区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ ∥AD ，如图所示．（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/ m 2，面积为S （m 2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/ m 2，且两区域的瓷砖总价不超过12000元，求S 的最大值． （2）若区域Ⅰ满足AB ﹕BC =2﹕3，区域Ⅱ四周宽度相等．①求AB ，BC 的长．②若甲、丙瓷砖单价之和为300元/m 2，乙、丙瓷砖单价之比为5﹕3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围.24．（本题14分）如图，已知线段AB =2，MN ⊥AB 于点M ，且AM =BM ．P 是射线MN 上一动点，E ，D 分别是P A ，PB 的中点，过点A ，M ，D 的圆与BP 的另一交点为C (点C 在线段BD 上)，连结AC ，DE .（1）当∠APB =28°时，求∠B 和¼CM的度数． （2）求证：AC =AB .（3）在点P 的运动过程中．①当4MP =时，取四边形ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点Q ，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q 为锐角顶点，求所有满足条件的MQ 的值. ②记AP 与圆的另一个交点为F ，将点F 绕点D 旋转90°得点G ，当点G 恰好落在MN 上时，连结AG ，CG ，DG ，EG ，直接写出△ACG 与△DEG 的面积之比．(第24题) NC DEABM P (第23题) (第22题)xyDA BC OP2017年浙江省初中毕业升学考试（温州市卷）数学参考答案和评分标准一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．)4(+m m 12．245或5或265 13．3 14．1602005x x =+ 15．334 16．2824-三、解答题（本题有8小题，共80分） 17．（本题10分）解 （1）原式=61-++5=-+ （5分）（2）原式=2212a a a -+-12.a =- （5分）18．（本题8分）（1）证明 ∵AC =AD ，∴∠ACD =∠ADC ．∵∠BCD =∠EDC =90°， ∴∠ACB =∠ADE ．∵BC =ED ，∴△ABC ≌△AED (SAS )． （4分）（2）解 由（1）得△ABC ≌△AED ，∴∠B =∠E =140°．∵五边形ABCDE 的内角和为540°，∴∠BAE=()=︒+︒⨯-︒90140254080°． （4分） 19．（本题8分）解 （1）903618271518480=+++⨯(人)．答：估计该校七年级学生选“数学故事”的人数为90人． （4分）（2）画树状图如下：∴1.3P =（同班） （4分） 20．（本题8分）解 （1）如图1或图2．（4分） （2）如图3或图4．（4分）A B CB C A CB 小慧小聪(第20题)21．（本题 10分）解 （1）连结OE ．∵AC=BC ，∠ACB =90°，∴∠B =45°，∴∠COE =90°．∵EF 与⊙O 相切， ∴∠FEO =90°， ∴∠COE +∠FEO =180°，∴EF ∥CO ． ∵DE ∥CF ，∴四边形CDEF 是平行四边形． （5分）（2）过点G 作GH ⊥CB 于点H ．∵∠ACB =90°， ∴AC ∥GH ，∴∠FCD =∠CGH .在□CDEF 中，∠DEF =∠FCD ，∴∠DEF =∠CGH ， ∴tan ∠CGH =tan ∠DEF =2，∴CH GH=2．∵∠B =45°，∴GH =BH ，∴CH =2BH ．∵BC =3，∴BH =GH =1，∴BG（5分）22.（本题10分）解 （1）对称轴是直线=2b x a-2124-=-⨯=4． ∵点A ，B 关于直线x =4对称，点A 的横坐标为-2， ∴点B 的横坐标为10． 当x =10时，y =5，∴点B 的坐标为（10，5）．（4分）（2）①如图1，连结OD ，OB ． ∵点C ，Ｄ关于直线OP 对称， ∴OD =OC =5． ∵OD +BD ≥OB ，∴BD ≥OB -OD 5=-， ∴当点D 在线段OB 上时，BD 有最小值5． （2分）②如图2，设抛物线的对称轴交x 轴于点F ，交BC 于点H . ∵ OD =5，OF =4 ，∴DF =3， ∴D （4，3），DH =HF －DF =2． 设CP =a ，则PD =PC =a ，PH =4-a ， 在Rt △PHD 中，(4-a )2+22=a 2， ∴a =52，∴5 52P （，）.设直线PD 的函数表达式为 y =kx +b （k ≠0），∴5=524=3.k b k b ⎧+⎪⎨⎪+⎩， 解得4325.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， （第22题） 图2 图1∴直线PD 的函数表达式为425.33y x =-+ （4分）23．（本题12 分）解 （1）由题意得3002004812000S S +-（）≤，∴S ≤24，∴S 的最大值为24. （4分） （2）①设AB =2a （m ），则BC =3a （m ），由题意得6－2a =8－3a ，∴a =2，∴AB =4m ，BC =6m ． （4分）②解法一：设丙瓷砖的单价为3x 元/m 2，乙的面积为S （m 2）．由PQ ∥AD 得甲的面积为12m 2，∴()()12300353124800x xS x S -++-=，∴600.x S= ∵012S <<，∴50x >，∴3150x >．又∵3300x <，∴1503300x <<，∴丙瓷砖单价大于150元/m 2且小于300元/m 2． （4分）解法二：设丙瓷砖的单价为x 元/m 2，丙的面积为S （m 2）． 由题意得()()5123001248003x x S xS -+-+=，∴180012x S=-．∵012S <<，∴150x >．又∵300x <，∴150300x <<． 24．（本题14分）解 （1）∵MN ⊥AB ，AM =BM ，∴P A =PB ，∴∠P AB =∠B ． ∵∠APB =28°，∴∠B =76°.如图1，连结MD ．∵MD 为△P AB 的中位线，∴MD ∥AP ，∴∠MDB =∠APB =28°， ∴¼m CM 2∠MDB =56°. （4分）（2）∵∠BAC =∠MDC =∠APB ，又 ∵∠BAP =180°-∠APB -∠B ，∠ACB =180°-∠BAC -∠B ， ∴∠BAP =∠ACB ． ∵∠BAP =∠B ， ∴∠B =∠ACB ， ∴AC =AB ． （4分） （3）①如图2，记MP 与圆的另一个交点为R ．∵MD 是Rt △MBP 的中线， ∴DM =DP ，∴∠DPM =∠DMP =∠RCD ，∴RC =RP ． 图1∵∠ACR =∠AMR =90°，∴22222AM MR AR AC CR +==+． ∴22221+=2+MR PR ，∴22221+=2+PR PR （4-），∴138PR =，∴MR =198.Ⅰ．当∠ACQ =90°时，AQ 为圆的直径，∴Q 与R 重合，∴MQ =MR =198． Ⅱ．如图3，当QCD ∠=90°时，在Rt △QCP 中，1324PQ PR ==， ∴34MQ =． Ⅲ．如图4，当QDC ∠=90°时，∵BM=1，MP=4，∴，∴DP = ∵cos MP DPMPB PB PQ∠==， ∴178PQ =，∴158MQ =．Ⅳ．如图5，当AEQ ∠=90°时， 由对称性得∠AEQ =∠BDQ =90°， ∴158MQ =．综上所述，MQ 的值为198或34或158. （4分）（2分）提示：如图6，∵ DM ∥AF ，∴DF=AM=DE =1，可得△DEG 为正三角形． 易得∠GMD =∠GDM =15°，得MG=DG =1． 作CH ⊥AB 于点H ，由∠BAC =30°得CH =1=MG ，CG=MH -1，∴S △ACG∵S △DEG ，∴S △ACG ﹕S △DEG图5图3图6 (第24题)。
2017年浙江省温州市中考数学试卷(含答案解析版)(优选.)
主视方向最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改2017年浙江省温州市初中毕业生学业考试数学试题卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．6-的相反数是（ ）A ．6B ．1C ．0D ．6-2．某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有100人，则乘公共汽车到校的学生有（ ）A ．75人B ．100人C ．125人D ．200人乘公共 汽车40%步行20%其他15%骑自行车25%3．某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．417最接近的是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：零件个数（个） 5 6 7 8人数（人） 3 15 22 10表中表示零件个数的数据中，众数是（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个6．已知点（1-，1y ），（4，y2）在一次函数32y x =-的图象上，则1y ，2y ，0的大小关系是（ ）A ．120y y <<B ．120y y <<C ．120y y <<D ．210y y << 7．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知12cos 13α=，则小车上升的高度是（ ）A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米 α8．我们知道方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-，现给出另一个方程2(23)2(23)30x x +++-=，它的解是（ ）A ．11x =，23x =B ．11x =，23x =-C ．11x =- ，23x =D ．11x =-，23x =-9．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形EFGH ，已知AM 为Rt △ABM 较长直角边，AM=22EF ，则正方形AB CD 的面积为（ ）D B M AH EF GA ．12sB ．10sC ．9sD ．8s10．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧12PP ，23PP ，34P P ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结12P P ，23P P ，34P P ，…得到螺旋折线（如图），已知点1P （0，1），2P （1-，0），3P （0，1-），则该折线上的点9P 的坐标为（ ）x yP 6P 5P 2P 4P 3P 1OA ．（6-，24）B ．（6-，25）C ．（5-，24）D ．（5-，25） 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）：11．分解因式：24m m +=_______________．12．数据1，3，5，12，a ，其中整数a 是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是__________．13．已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为________．14．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x 米，根据题意可列出方程：_____________________．15．如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 在第一象限，点D 在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA ′B ′D 与四边形OABD 关于直线OD 对称（点A ′和A ，B ′和B 分别对应），若AB=1，反比例函数(0)k y k x=≠的图象恰好经过点 A ′，B ，则k 的值为_________．y B 'A 'C A O B第15题图 第16题图16．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A ，出水口B 和落水点C 恰好在同一直线上，点A 至出水管BD 的距离为12cm ，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E ，则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为_________cm ．三、解答题（共8小题，共80分）：17．（本题10分）（1）计算：22(3)(1)8⨯-+-+；（2）化简：(1)(1)(2)a a a a +-+-．18．（本题8分）如图，在五边形ABCDE 中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED ，AC=AD ．（1）求证：△ABC ≌△AED ；（2）当∠B=140°时，求∠BAE 的度数．EC D B19．（本题8分）为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）．（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图，根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数。
2017年温州中学奥赛数学总结评估试题卷、答题卷及参考复习资料
2016学年温州中学奥赛总结评估{ M A T H E M A T I C S } （本卷满分：150 分 考试时间：120 分钟）一、填空题（共10小题，每题7分，计70分）．1. 设函数()()()[)⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈-∞-∈--=，，，，2221211x x f x x x f ，则函数()()1-=x xf x F 的零点个数为 ．2. 已知双曲线C ：()0012222>>=-b a by a x ，，1F ，2F 分别为C 的左右焦点．P 为C 右支上一点，且使12=3F PF π∠，又21PF F ∆的面积为2．设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，若存在常数()0λλ>，使得22=QF A QAF λ∠∠恒成立，则λ的值为 ．3. 现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，则出错的数据是 ．4. 设三个底面半径都为1的圆柱侧面两两相切，且它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱侧面都相切的球的半径最小值为 ．5. 已知三棱锥BCD A -，DA ，DB ，DC 两两垂直，且 CAD BAC DAB ∠+∠+∠ ︒=90，则二面角D BC A --的余弦值的最大值为 ．6. 设ω为正实数，若存在实数()ππ2≤<≤b a b a ，，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ．7.正2015边形201521A A A ⋅⋅⋅内接于单位圆O ，任取它的两个不同的顶点j i A A 、，1≥+的概率为 ．8. 已知0a >，0b >，0c >，则5823232b c a c b ca b b c c a++++++++的最小值为 ． 9. 已知r z =，1>r ，则1z z+在复平面内的轨迹的焦距为 ．10. 已知{}1691≤≤∈∈i i c b a N ，，()c b a <<，且a ，b ，c 构成以整数为公比的递增等比数列，则()c b a ，，的组数为 ．2017年1月 制备人：前进者班级：姓名：（模拟）QA CBDER二、解答题（本大题分4小题，每题20分，计80分）． 11. ⑴ 如图，弧AEC 是半径为a 的半圆，AC为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足5FB FD a ==，6FE a =．已知点,Q R 分别为线段,FE FB 上的点，使得FE FQ λ=，FB FR λ=，求当RD 最短时，平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值．⑵ 如图ABC ∆为正三角形，且2BC CD ==，CD BC ⊥，将ABC ∆沿BC 翻折．若点A 的射影在BCD ∆内，且AB 与面ACD 所成的角的正弦值为22211，求AD 的长．12. 设1C 和2C 是平面上两个不重合的固定圆，C 是平面上的一个动圆．若C 和1C ，2C 都相切，则C 的圆心轨迹是何种曲线？13. ⑴ 已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值．⑵ 已知0a >，函数()ln (1),()x f x x a x g x e =--=．(Ⅰ) 经过原点分别作曲线()y f x =和()y g x =的切线1l 和2l ．已知两切线的斜率互为倒数，求证：211e e a e e--<<． (Ⅱ) 设()(1)()h x f x g x =++，当0x ≥时，()1h x ≥恒成立，试求实数a 的取值范围．14. 将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次，以 p n 表示未出现连续 3 次正面的概率．(Ⅰ) 求p 1，p 2，p 3，p 4；(Ⅱ) 探究数列{ p n }的递推公式，并给出证明；(Ⅲ) 讨论数列{ p n }的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．第11题⑴第11题⑵2017年1月奥赛总结Mathematics 评估试题<答题卷 >制备人：前进者ACBFG QDERH2016学年 奥赛总结评估[ MATHEMATICS Examination paper reference answer ]（本卷满分： 150 分）一、填空题（共10小题，每题7分，计70分）．1、 62、 23、 ()()83，4、 12-5、 316、 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎪⎭⎫⎢⎣⎡，，4132549 7、10076718、 6 9、 4 10、 91二、解答题（本大题分4小题，共80分）． 11、(10+10=20分)(可能有多种解法)⑴ 解法一：如图，以B 为原点，BE 为x 轴正方向，过B 作平面BEC 的垂线，建立空间直角坐标系，由此得(0,0,0)B ，(0,,0)C a ，(0,2,0)D a ，(,0,0).E a∵,,FD FB BC CD ==∴.FC BD ⊥ ∴2.FC a =当RD FB ⊥时，RD 最短. 此时4555RD a a== 255BR a ∴=35λ∴=. ∵33,,55FQ FE FR FB ==∴24(0,,),55R a a 33(,0,0).55RQ BE a ==∴84(0,,).55RD a a =-设平面RQD 的法向量为1(,,),n x y z =则10,n RD ⋅=10,n RQ ⋅=∴1(0,1,2).n = ∵平面BED 的法向量为2(0,0,1),n =xzy∴1225cos ,.n n=∴125sin ,.n n = ∴平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值为5.5解法二：（确定二面角的平面角—综合方法一）过D 作HD ∥QR .∵,,FQ FE FR FB λλ==∴QR ∥.EB ∴HD ∥.EB ∵D ∈平面BED平面RQD ，∴HD 为平面BED 与平面RQD 的交线.∵,BD RD ⊂平面,BDF EB ⊥平面BDF ，∴,.HD BD HD RD ⊥⊥ ∴RDB ∠为平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角.BRD ∆是直角三角形，2555sin 25aBR BDR BD a ∴∠===. (10分)(10分)12、(20分)(可能有多种解法)（1）两定圆1C ，2C 外离 (4分)① 若C 与1C ，2C 都外切，那么12121212()OO OO r r OO r r -=-<>，则可知C 的圆心轨迹是以点12,O O 为焦点，12r r -为实轴长的双曲线的一支（内切时是双曲线另一支如图1）.（21r r =时C 的圆心轨迹是12O O 的垂直平分线如图2）.② 若C 与1C ，2C 一个外切，一个内切，具体地，比如与圆1C 内切，圆2C 外切那么212112OO OO r r OO -=+<，则C 的圆心轨迹是双曲线一支（离2O 较远的一支）；反之，则是双曲线的另一支（离1O 较远的一支）（如图3）.（2）两定圆1C ，2C 外切 (4分) ①若C 与1C ，2C 都外切，那么21211212()OO OO r r OO r r -=-<>，则C 的圆心轨迹是双曲线的一支（内切时为双曲线另一支如图4）.（21r r =时C 的圆心轨迹是12O O 的垂直平分线）.② 若C 与1C ，2C 一个外切，一个内切，具体地，比如与圆1C 外切切，圆2C 内切，则11OO r r =+，22OO r r =-.当220OO r r =->时，即圆2C 内切于动圆C 时，121212OO OO r r OO -=+=，所求轨迹是从以点2O 为端点的一条射线；当220OO r r =->时，即动圆C 内切于圆2C 时，121212OO OO r r OO +=+=，所求轨迹是不含端点的线段12O O .反之，所求轨迹是以点1O 为端点的一条射线和线段12O O .综上可知若圆与1C ，2C 一个外切，一个内切时，所求轨迹是不含点1O 和2O 的直线12O O .（3）两定圆1C ，2C 相交 (4分)① 若C 与1C ，2C 都外切，那么12121212()OO OO r r OO r r -=-<>，则C 的圆心轨迹是双曲线的一支（内切时为双曲线另一支如图5）.（21r r =时C 的圆心轨迹是12O O 的垂直平分线不含两定圆的交点）.② 若C 与1C ，2C 一个外切，一个内切，那么211212OO OO r r OO +=+>，则C 的圆心轨迹是以点1O ，2O 为焦点，12r r +为长轴长的椭圆（如图6）.（4）两定圆1C ，2C 内切（由于圆1C ，2C 不重合则21r r ≠） (4分) ① 若C 与1C ，2C 都外切，则121212OO OO r r OO -=-=，所求C 的圆心轨迹是一条射线.② 若C 与1C ，2C 都内切，则212112OO OO r r OO -=-=，所求C 的圆心轨迹是一条射线.③ 若C 与1C ，2C 一个外切，一个内切，那么121212OO OO r r OO +=+>，则C 的圆心轨迹是以点1O ，2O 为焦点，12r r +为长轴长的椭圆（如图7）.（5）两定圆1C ，2C 内含（由于圆1C ，2C 不重合则21r r ≠） (4分)① 若两定圆的圆心1O ，2O 重合，则所求轨迹为以1O （或2O ）为圆心，122r r+为半径的圆.② 若两定圆的圆心1O ，2O 不重合，则分以下两种情况： 若C 与1C ，2C 都内切（不存在外切情况），那么122112OO OO r r OO +=->，则C 的圆心轨迹是以点1O ，2O 为焦点，21r r -为长轴长的椭圆.③ 若C 与1C ，2C 一个外切，一个内切，只可能与大圆1C 内切，与小圆2C 外切，那么121212OO OO r r OO +=+>，则C 的圆心轨迹是以点1O ，2O 为焦点，12r r +为长轴长的椭圆（如图8）.综上所述，动圆C 的圆心轨迹可以是双曲线、直线、椭圆、射线.13、(20分)(可能有多种解法)（1）解法一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤，所以 38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.解法二：c bx ax x f ++='23)(2.设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g . 设 12-=x z ，则 11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h .从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ， 即21434302≤++++≤c b a z a ，从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知38≤a .又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为 38.(6分)（2）(Ⅰ)(8分) (Ⅱ)(6分)14、(20分)(可能有多种解法)(Ⅰ)显然p 1＝p 2＝1，878113=-=p ； 又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正 或 正正正反 或 反正正正，故161316314=-=p . (2分)(Ⅱ)共分三种情况：① 如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面的概率121-⨯n P ； ② 如果第n 次出现正面，第n －1次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是241-⨯n P ； ③ 如果第n 次出现正面，第n －1次出现正面，第n －2次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －3次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是381-⨯n P . 综上，=n P +⨯-121n P +⨯-241n P 381-⨯n P .（4≥n ），④ (8分) (Ⅲ)由(Ⅱ)知 =-1n P +⨯-221n P +⨯-341n P 481-⨯n P ，（5≥n ）⑤， ④－12×⑤，有 =n P --1n P 4161-⨯n P （5≥n ） 所以5≥n 时，p n 的单调递减，又易见p 1＝p 2＞p 3＞p 4＞…3≥n 时，p n 的单调递减，且显然有下界0，所以p n 的极限存在.对=n P --1n P 4161-⨯n P 两边同时取极限可得0lim =-∞→n n p . (6分)其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比值趋近于零.(4分)。
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2016学年温州中学奥赛总结评估{ M A T H E M A T I C S } （本卷满分：150 分 考试时间：120 分钟）一、填空题（共10小题，每题7分，计70分）．1. 设函数()()()[)⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈-∞-∈--=，，，，2221211x x f x x x f ，则函数()()1-=x xf x F 的零点个数为 ．2. 已知双曲线C ：()0012222>>=-b a by a x ，，1F ，2F 分别为C 的左右焦点．P 为C 右支上一点，且使12=3F PF π∠，又21PF F ∆的面积为2．设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，若存在常数()0λλ>，使得22=QF A QAF λ∠∠恒成立，则λ的值为 ．3. 现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，则出错的数据是 ．4. 设三个底面半径都为1的圆柱侧面两两相切，且它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱侧面都相切的球的半径最小值为 ．5. 已知三棱锥BCD A -，DA ，DB ，DC 两两垂直，且 CAD BAC DAB ∠+∠+∠ ︒=90，则二面角D BC A --的余弦值的最大值为 ．6. 设ω为正实数，若存在实数()ππ2≤<≤b a b a ，，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ．7.正2015边形201521A A A ⋅⋅⋅内接于单位圆O ，任取它的两个不同的顶点j i A A 、，1≥+的概率为 ．8. 已知0a >，0b >，0c >，则5823232b c a c b ca b b c c a++++++++的最小值为 ． 9. 已知r z =，1>r ，则1z z+在复平面内的轨迹的焦距为 ．10. 已知{}1691≤≤∈∈i i c b a N ，，()c b a <<，且a ，b ，c 构成以整数为公比的递增等比数列，则()c b a ，，的组数为 ．2017年1月 制备人：前进者班级：姓名：（模拟）QA CBDER二、解答题（本大题分4小题，每题20分，计80分）． 11. ⑴ 如图，弧AEC 是半径为a 的半圆，AC为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足5FB FD a ==，6FE a =．已知点,Q R 分别为线段,FE FB 上的点，使得FE FQ λ=，FB FR λ=，求当RD 最短时，平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值．⑵ 如图ABC ∆为正三角形，且2BC CD ==，CD BC ⊥，将ABC ∆沿BC 翻折．若点A 的射影在BCD ∆内，且AB 与面ACD 所成的角的正弦值为22211，求AD 的长．12. 设1C 和2C 是平面上两个不重合的固定圆，C 是平面上的一个动圆．若C 和1C ，2C 都相切，则C 的圆心轨迹是何种曲线？13. ⑴ 已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值．⑵ 已知0a >，函数()ln (1),()x f x x a x g x e =--=．(Ⅰ) 经过原点分别作曲线()y f x =和()y g x =的切线1l 和2l ．已知两切线的斜率互为倒数，求证：211e e a e e--<<． (Ⅱ) 设()(1)()h x f x g x =++，当0x ≥时，()1h x ≥恒成立，试求实数a 的取值范围．14. 将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次，以 p n 表示未出现连续 3 次正面的概率．(Ⅰ) 求p 1，p 2，p 3，p 4；(Ⅱ) 探究数列{ p n }的递推公式，并给出证明；(Ⅲ) 讨论数列{ p n }的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．第11题⑴第11题⑵2017年1月奥赛总结Mathematics 评估试题<答题卷 >制备人：前进者ACBFG QDERH2016学年 奥赛总结评估[ MATHEMATICS Examination paper reference answer ]（本卷满分： 150 分）一、填空题（共10小题，每题7分，计70分）．1、 62、 23、 ()()83，4、 12-5、 316、 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎪⎭⎫⎢⎣⎡，，4132549 7、10076718、 6 9、 4 10、 91二、解答题（本大题分4小题，共80分）． 11、(10+10=20分)(可能有多种解法)⑴ 解法一：如图，以B 为原点，BE 为x 轴正方向，过B 作平面BEC 的垂线，建立空间直角坐标系，由此得(0,0,0)B ，(0,,0)C a ，(0,2,0)D a ，(,0,0).E a∵,,FD FB BC CD ==∴.FC BD ⊥ ∴2.FC a =当RD FB ⊥时，RD 最短. 此时4555RD a a== 255BR a ∴=35λ∴=. ∵33,,55FQ FE FR FB ==∴24(0,,),55R a a 33(,0,0).55RQ BE a ==∴84(0,,).55RD a a =-设平面RQD 的法向量为1(,,),n x y z =则10,n RD ⋅=10,n RQ ⋅=∴1(0,1,2).n = ∵平面BED 的法向量为2(0,0,1),n =xzy∴1225cos ,.n n=∴125sin ,.n n = ∴平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值为5.5解法二：（确定二面角的平面角—综合方法一）过D 作HD ∥QR .∵,,FQ FE FR FB λλ==∴QR ∥.EB ∴HD ∥.EB ∵D ∈平面BED平面RQD ，∴HD 为平面BED 与平面RQD 的交线.∵,BD RD ⊂平面,BDF EB ⊥平面BDF ，∴,.HD BD HD RD ⊥⊥ ∴RDB ∠为平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角.BRD ∆是直角三角形，2555sin 25aBR BDR BD a ∴∠===. (10分)(10分)12、(20分)(可能有多种解法)（1）两定圆1C ，2C 外离 (4分)① 若C 与1C ，2C 都外切，那么12121212()OO OO r r OO r r -=-<>，则可知C 的圆心轨迹是以点12,O O 为焦点，12r r -为实轴长的双曲线的一支（内切时是双曲线另一支如图1）.（21r r =时C 的圆心轨迹是12O O 的垂直平分线如图2）.② 若C 与1C ，2C 一个外切，一个内切，具体地，比如与圆1C 内切，圆2C 外切那么212112OO OO r r OO -=+<，则C 的圆心轨迹是双曲线一支（离2O 较远的一支）；反之，则是双曲线的另一支（离1O 较远的一支）（如图3）.（2）两定圆1C ，2C 外切 (4分) ①若C 与1C ，2C 都外切，那么21211212()OO OO r r OO r r -=-<>，则C 的圆心轨迹是双曲线的一支（内切时为双曲线另一支如图4）.（21r r =时C 的圆心轨迹是12O O 的垂直平分线）.② 若C 与1C ，2C 一个外切，一个内切，具体地，比如与圆1C 外切切，圆2C 内切，则11OO r r =+，22OO r r =-.当220OO r r =->时，即圆2C 内切于动圆C 时，121212OO OO r r OO -=+=，所求轨迹是从以点2O 为端点的一条射线；当220OO r r =->时，即动圆C 内切于圆2C 时，121212OO OO r r OO +=+=，所求轨迹是不含端点的线段12O O .反之，所求轨迹是以点1O 为端点的一条射线和线段12O O .综上可知若圆与1C ，2C 一个外切，一个内切时，所求轨迹是不含点1O 和2O 的直线12O O .（3）两定圆1C ，2C 相交 (4分)① 若C 与1C ，2C 都外切，那么12121212()OO OO r r OO r r -=-<>，则C 的圆心轨迹是双曲线的一支（内切时为双曲线另一支如图5）.（21r r =时C 的圆心轨迹是12O O 的垂直平分线不含两定圆的交点）.② 若C 与1C ，2C 一个外切，一个内切，那么211212OO OO r r OO +=+>，则C 的圆心轨迹是以点1O ，2O 为焦点，12r r +为长轴长的椭圆（如图6）.（4）两定圆1C ，2C 内切（由于圆1C ，2C 不重合则21r r ≠） (4分) ① 若C 与1C ，2C 都外切，则121212OO OO r r OO -=-=，所求C 的圆心轨迹是一条射线.② 若C 与1C ，2C 都内切，则212112OO OO r r OO -=-=，所求C 的圆心轨迹是一条射线.③ 若C 与1C ，2C 一个外切，一个内切，那么121212OO OO r r OO +=+>，则C 的圆心轨迹是以点1O ，2O 为焦点，12r r +为长轴长的椭圆（如图7）.（5）两定圆1C ，2C 内含（由于圆1C ，2C 不重合则21r r ≠） (4分)① 若两定圆的圆心1O ，2O 重合，则所求轨迹为以1O （或2O ）为圆心，122r r+为半径的圆.② 若两定圆的圆心1O ，2O 不重合，则分以下两种情况： 若C 与1C ，2C 都内切（不存在外切情况），那么122112OO OO r r OO +=->，则C 的圆心轨迹是以点1O ，2O 为焦点，21r r -为长轴长的椭圆.③ 若C 与1C ，2C 一个外切，一个内切，只可能与大圆1C 内切，与小圆2C 外切，那么121212OO OO r r OO +=+>，则C 的圆心轨迹是以点1O ，2O 为焦点，12r r +为长轴长的椭圆（如图8）.综上所述，动圆C 的圆心轨迹可以是双曲线、直线、椭圆、射线.13、(20分)(可能有多种解法)（1）解法一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤，所以 38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.解法二：c bx ax x f ++='23)(2.设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g . 设 12-=x z ，则 11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h .从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ， 即21434302≤++++≤c b a z a ，从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知38≤a .又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为 38.(6分)（2）(Ⅰ)(8分) (Ⅱ)(6分)14、(20分)(可能有多种解法)(Ⅰ)显然p 1＝p 2＝1，878113=-=p ； 又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正 或 正正正反 或 反正正正，故161316314=-=p . (2分)(Ⅱ)共分三种情况：① 如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面的概率121-⨯n P ； ② 如果第n 次出现正面，第n －1次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是241-⨯n P ； ③ 如果第n 次出现正面，第n －1次出现正面，第n －2次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －3次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是381-⨯n P . 综上，=n P +⨯-121n P +⨯-241n P 381-⨯n P .（4≥n ），④ (8分) (Ⅲ)由(Ⅱ)知 =-1n P +⨯-221n P +⨯-341n P 481-⨯n P ，（5≥n ）⑤， ④－12×⑤，有 =n P --1n P 4161-⨯n P （5≥n ） 所以5≥n 时，p n 的单调递减，又易见p 1＝p 2＞p 3＞p 4＞…3≥n 时，p n 的单调递减，且显然有下界0，所以p n 的极限存在.对=n P --1n P 4161-⨯n P 两边同时取极限可得0lim =-∞→n n p . (6分)其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比值趋近于零.(4分)。