4-5无穷大与无穷小极限运算法则-PPT精品文档
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第6讲无穷小与无穷大
( 无穷大的倒数为无穷小, x 0 )
1 (2) lim . x 0 x
( 无穷小的倒数为无穷大, x 0 )
定理
在某一极限过程中
若 f ( x) 是一个无穷大,
1 则 为无穷小 . f ( x)
若 f ( x) 是一个无穷小且 f ( x) 0,
1 则 为无穷大 . f ( x)
证
设 , 为 x x0 时的两个无穷小量 , 则 0 , 1 0 , 当 0 | x x0 | 1 时, | | , 2 2 0 , 当 0 | x x0 | 2 时, | | , 2 取 min{1, 2} , 则当 0 | x x0 | 时, 有
例9
有界函数与无穷大的乘积
是否一定为无穷大？ 不一定再是无穷大！ 不着急, 看个例题:
1 当 x (不妨设 | x | 1) 时, | g ( x) | 2 1, x
f1 ( x) x ( x ) , f 2 ( x) x3 ( x ) ,
而 1 1 f1 ( x) g ( x) x 2 0 ( x ) . x x 3 1 f 2 ( x) g ( x) x 2 x ( x ) . x
证
设 lim f ( x) a , a 0 ; ( x) 0 ( x x0 ) .
x x0
|a| 取 , 则 0 0, 当 0 | x x0 | 0 时, 有 2 |a| | f ( x) a | , 2 |a| 1 2 故 | a | | f ( x) | x U( x0 , 0 ) , 2 f ( x) | a | 1 即 x x0 时, 有界 . f ( x) ( x) 有界函数与无穷小之积！ 故 lim 0. x x0 f ( x)
第四、五节 无穷大与无穷小 极限运算法则
M0,0,使得 0x 当 x0时 恒f有 (x)1,
M
当xx0时, f(1x)为无穷 . 大 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
16
容易证明
∗ 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大; ∗ 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; ∗ 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之
积仍为无穷大;
过程；
5
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证: lim f(x)A
xx0
0,0,当 0xx0 时,有
f(x)A
f(x)A
lim
0
xx0
注： 对自变量的其它变化过程类似可证 . 6
f(2n)0.
所以 x时,f (x)不是无穷大!
13
y
例 证明lim 1
x1 x1
解出 | x1|
y 1 x1
证
M0,
要使 1 x1
M,
O •1
x
只要 x1 1, M
取
1, M
1
铅直渐近线
当 0x1时 ,有 1 M. lim 1 .
x1
x1 x1
结 如x l 果 ix0m f(x) ,则直 xx0是 线函 yf(数 x) 论 的图形的铅直渐近线(vertical asymptote).
14
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证 设lim f(x). x x0 0,0,使得 0x 当 x0时 恒f有 (x)1, 当xx0时, f(1x)为无穷 . 小 15
M
当xx0时, f(1x)为无穷 . 大 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
16
容易证明
∗ 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大; ∗ 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; ∗ 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之
积仍为无穷大;
过程；
5
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证: lim f(x)A
xx0
0,0,当 0xx0 时,有
f(x)A
f(x)A
lim
0
xx0
注： 对自变量的其它变化过程类似可证 . 6
f(2n)0.
所以 x时,f (x)不是无穷大!
13
y
例 证明lim 1
x1 x1
解出 | x1|
y 1 x1
证
M0,
要使 1 x1
M,
O •1
x
只要 x1 1, M
取
1, M
1
铅直渐近线
当 0x1时 ,有 1 M. lim 1 .
x1
x1 x1
结 如x l 果 ix0m f(x) ,则直 xx0是 线函 yf(数 x) 论 的图形的铅直渐近线(vertical asymptote).
14
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证 设lim f(x). x x0 0,0,使得 0x 当 x0时 恒f有 (x)1, 当xx0时, f(1x)为无穷 . 小 15
无穷小与无穷大、极限的四则运算与复合函数的极限.ppt
1 1 3 2 2 3 4 3 2 x 3 x 4 3 2 2x 3x 4 ①lim 3 ; x x 但又 x 5x 6x 7 3 1 1 5x 6x 7 56 2 3 x x 1 而 lim n 0 ( n 1 , 2 , 3 ) x x 运用极限的和、商运算 法则，立即可得： 1 1 2 3 4 3 3 2 2x 3x 4 2 x x lim lim 3 x 5 x 6 x 7 x 1 1 5 56 2 3 2019/3/21 x x
n n 1 ②设 P ( x ) a x a x a xa ，则： n n n 1 1 0 x x 0
lim P ( x ) P ( x ) 。 ( 其中 n Z ,a 为常数 ) n n 0 n
解①：
lim x x 0
x x 0 x x 0
证明：①由极限的四则 运算法则，立得； ②设 lim ( x ) 0 , f ( x ) 是有界量，即：
x x0
M 0 , x | f ( x ) | M ; 0 , 1 0 , 使得：当 则： 对于正数 0 | x x 0 | 1时，| ( x ) |
2019/3/21
x 1
机动
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结束
运用四则运算求极限的例子（续2） 例5： 求极限：③ lim (x 1 x ) 。
x
解③： 原式
lim
x
lim lim
x
x
x 1 x ( x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 1 1 x
M
经典高等数学课件无穷小与无穷大四则运算法则演示文稿
Q( x0 )
不确定
当 lim Q( x) 0时 x x0
当 lim Q（x） 0但 lim P( x) 0 时
x x0
x x0
当 lim Q（x） 0且 lim P( x) 0时
x x0
x x0
0 型：约去零因式法. 变形后用四则法则. 0
第二十页，共23页。
例5.
求
lim
x
3x3 4x 2 7x3 5x2 3 .
若
为无穷大,
则
f
1 (x)
为无穷小
;
若
为无穷小, 且
f (x) 0, 则
f
1 (x)
为无穷大.
(自证)
意义：关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.
想一想：无穷大的和、差、积、商是否为无穷大呢？
当x 时,x 1与x均为无穷大, 但( x 1) x不是无穷大.
而无穷大－无穷大= 0吗？ 不一定等零.
f ( x) A , g( x) B , 其中 , 为无穷小
设
A A 1 (B A )
B B B(B ) 无穷小
1
B
1 g( x)
2 B
有界 x U ( x0 )
因此 为无穷小, 且 f ( x) A
g(x) B
推由论极2限. l与im无f穷( x小) 关A系( A定理0),得 x x0
解: lim( x2 5 x 4) 0, 所以商的法则不能用 x 1 又 lim(2x 3) 1 0, x1
但因
lim
x1
x2 5x 4 2x 3
lim( x2 5x 4)
x1
lim(2x 3)
12 5 1 4 21 3
第2周：函数的极限、无穷大与无穷小、极限四则运算法则
相加、减不一定 ，相乘则仍是。 2.无穷小量与有界函数的乘积仍然是无穷小量。 例：lim sin x
x x
。 y sin x x
lim x 2 sin 1
x0
x
3.在自变量的同一变化过程中,
若
为无穷大, 则 1 为无穷小 ;
f (x)
若
为无穷小, 且
f
(x)
0, 则
1 f (x)
为无穷大。
x
5.定理：x 时y=f (x)的极限存在的充要条件是 x 和 x 时的极限都存在且相等。
即：lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
x
x
x
例：观察图形判断以下极限是否存在：
lim ex 不存在， lim ex 0, lim ex 不存在
x x0
3.以上法则，对于 x 等情形也同样成立。
例：lim x2
2x2 x x2 4
2
注1：求初等函数在x x0 时的极限，如果把 x x0 代入函数有意义，则函数值就是极限值。
例：lim x3
x2
3x 2x
4 15
注2：运用无穷小与无穷大的关系求极限。
例如: lim 1 x0 x
Байду номын сангаас
lim(2x2 1)
x
注：1.说一个函数是无穷小（大）量需说明x变化
趋势。
2.无穷小（大）量表示的是函数的一种变化趋势，
而不是一个很小（大）的数。
问题：零是无穷小量吗？ 是（特例）
3.无穷大量的极限并不存在，lim f (x) 只是
一个记号而已。
x
x x
。 y sin x x
lim x 2 sin 1
x0
x
3.在自变量的同一变化过程中,
若
为无穷大, 则 1 为无穷小 ;
f (x)
若
为无穷小, 且
f
(x)
0, 则
1 f (x)
为无穷大。
x
5.定理：x 时y=f (x)的极限存在的充要条件是 x 和 x 时的极限都存在且相等。
即：lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
x
x
x
例：观察图形判断以下极限是否存在：
lim ex 不存在， lim ex 0, lim ex 不存在
x x0
3.以上法则，对于 x 等情形也同样成立。
例：lim x2
2x2 x x2 4
2
注1：求初等函数在x x0 时的极限，如果把 x x0 代入函数有意义，则函数值就是极限值。
例：lim x3
x2
3x 2x
4 15
注2：运用无穷小与无穷大的关系求极限。
例如: lim 1 x0 x
Байду номын сангаас
lim(2x2 1)
x
注：1.说一个函数是无穷小（大）量需说明x变化
趋势。
2.无穷小（大）量表示的是函数的一种变化趋势，
而不是一个很小（大）的数。
问题：零是无穷小量吗？ 是（特例）
3.无穷大量的极限并不存在，lim f (x) 只是
一个记号而已。
x
第五节 无穷小与无穷大
1 lim f ( x ) lim A 0. x x x
一、填空题:
练 习 题
1、 凡无穷小量皆以________为极限.
2、在 __________条件下, 直线 y c 是函数 y f ( x ) 的水平渐近线 .
3、lim f ( x ) A _______ f ( x ) A ,
例如，
x2 lim 0， x 0 3 x
sin x lim 1， x 0 x
即 x 2 o( 3 x ) ( x 0 ).
当 x 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小 ;
即 sin x ~ x ( x 0 ).
当 x 0 时， sin x 与 x 是等价无穷小 ．
2 2
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( )；
( ２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小 ; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
第 2章
极限与连续
§2.2无穷小与无穷大
§2.2无穷小与无穷大
一、无穷小
1、定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 当 x x 0 (或 x )时,如果函数 f ( x ) 的 极限为零， 则称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时 为无穷小,记作
x x0
四、无穷小的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x 2 lim 0, x 比3 x要快得多; 观 x0 3 x 察 各 lim sin x 1, sin x与x大致相同; 极 x0 x 1 2 限 x sin 1 x 0 lim lim sin 不存在. 不可比. 2 x 0 x 0 （ 型） x x 0 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
无穷小与无穷大及四则运算ppt课件
(2) 有界函数与无穷小的积 仍为无穷小.
1
例3
求极限 lim x sin .
x0
x
解 因为lim x 0, x0
而 sin 1 1, x
由性质（2）lim x 0
x sin
1 x
0.
1
例4
求极限
lim sin x. x x
解
因为 lim 1 0, x x
而sin x 1,
由性质（2） lim 1 sin x 0.
实例1
在日常生活中，经常用樟脑丸来保护收藏 的衣物，但我们发现随着时间推移，樟脑 丸会变得越来越小，最后樟脑丸的质量将 会如何变化？
3
宁波职业技术学院数学教研室
高等数学 Advanced Mathematics
实例2
❖ 将单摆离开铅直位置的偏度用角来度量，让单摆 自己摆动，考虑机械摩擦力和空气阻力，在这个 过程中，角的变化趋势如何？
注意！
1 无穷大不是数,而是当 x x0 或x 时极限
为的函数,因此要把无穷大与很大 的数分开.
2 无穷大必须指明自变 量的变化趋向.
3 极限为，但极限仍然不存在。
简言之 ，极限为 无穷 的量叫做无穷大量.
17
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三、无穷小与无穷大的关系
x 4x 3 2x 3
312
lim( )
x x
x2 x3
lim(4
x
2 x2
3 x3
)
0 0. 4
27
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例8 求
无穷小量极限运算法则
证明：在某极限过程中, 两个无穷小量之 和仍是一个无穷小量.
证 设 , 为 x x0 时的两个无穷小量, 则
0 ,
1
0,
当
0 |
x
x0
| 1
时,
|
|
,
2
2
0,
当
0 | x x0 | 2
时,
|
| ,
2
取 min{1, 2} , 则当 0 | x x0 | 时, 有
| || || | ,
而
f1(x)
g(x)
x
1 x2
1 x
0
(x ) .
f2(x)
g(x)
x3
1 x2
x
(x ) .
结论: 在某个极限过程中,
无穷大量一定是无界量, 但无界量 不一定是无穷大量.
两个无穷大量的和不一定是无穷大量.
无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.
三. 极限运算法则 极限运算法则的理论依据
定理
f (x) a (x) (x x0 ) .
反之亦然.
由以上的分析, 你可得出 什么结论 ?
定理
lim f (x) a f (x) a (x) ,
xx0 ( x)
其中, (x) 0 (x x0 , (x )) .
由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则.
f (x) (x x0 (或x ) ).
( x)
换成 f (x) M , 则
lim f (x) , x x0 ( x)
称为正无穷大量. .
换成 f (x) M , 则
lim f (x) , x x0 ( x)
称为负无穷大量. .
四节无穷小与无穷大
lim (1)n n n
0,
数列{(1)n }是当n n
时的无穷小.
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证 必要性. 设 lim f ( x) A,则 0, 0,使当 x x0
3
.
解 lim( x 2 2x 3) 0, 商的法则不能用 x1 又lim(4x 1) 3 0, x1
lim x2 2x 3 0 0. x1 4x 1 3
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1
lim
x1
x2
2x
3
.
例3
求
lim
x 1
x
2
x2 1 2x
3
.
解 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
什么？
思考题解答
没有极限．
假设 f ( x) g( x) 有极限， f ( x)有极限，
由极限运算法则可知：
g( x) f ( x) g( x) f ( x) 必有极限，
与已知矛盾，
故假设错误．
例7
3
求 lim
x3
a.
xa 3 x a
解
原式
(3 lim
x
3
a )3
( x a)2
xa
xa
lim 3 ( x a)2 xa 3 x2 3 ax 3 a2
令u x a
lim 3 u2
u0
0．
33 a2
思考题
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) g( x)是否有极限？为
无穷小量与无穷大量0541926页PPT
能与任何一个绝对值很大的常数如101000 ，
10001000 等混为一谈。
2
性 质 1若 liX m L 0 ， liY m ， 则 liX m Y ；
性 质 2 若 li X m L ， lY i m ， 则 l( i X m Y ) ； 性 质 3 若 li X m ， l Y i m ， 则 l( i X m Y ) ； 性 质 4 若 X Y ， lX i m ， 则 lY i m ； 性 质 5 若 lX i m ， 则 l( i X ) m 。
注意 ① 无穷小量是以0为极限的变量；
② 无穷小量不一定是零，零作为函数来讲是 无穷小量；
③ 讲一个函数是无穷小量，必须指出自变量 的变化趋向；
④ 任何非零常数，不论其绝对值如何小，都 不是无穷小量。因为非零常数的极限是其本身， 并不是零。
2 .
性 质 1 ： 若 X ,Y 都 是 无 穷 小 量 ， 则 X Y ,X Y 也 是 无 穷 小 量 ； 有限个无穷小无穷小量。
问 ： 两 个 无 穷 大 量 的 和 是 否 是 无 穷 大 量 ？
例 如 ： f ( x ) 2 x 1 ， g ( x ) 2 x ， 2 x
l f ( x ) i ， m l g ( x ) i ， 它 m 们 都 是 无 穷 大 量 ，
x x
但 l [ f ( x i ) g ( x ) m l 1 ] i 0 是 无 穷 m 小 量 。 x x 2 x
穷 大 量 。
无 穷 大 量 、 正 无 穷 大 量 和 负 无 穷 大 量 列 表 对 比 如 下 ：
x l x i f( x m ) G 0 , 0 , 0 x x ,恒 f( x ) G 有 . x l x i f( x m ) G 0 , 0 , 0 x x ,恒 f( x ) G 有 . x l x i f( x m ) G 0 , 0 , 0 x x ,恒 f( x ) G 有 .
10001000 等混为一谈。
2
性 质 1若 liX m L 0 ， liY m ， 则 liX m Y ；
性 质 2 若 li X m L ， lY i m ， 则 l( i X m Y ) ； 性 质 3 若 li X m ， l Y i m ， 则 l( i X m Y ) ； 性 质 4 若 X Y ， lX i m ， 则 lY i m ； 性 质 5 若 lX i m ， 则 l( i X ) m 。
注意 ① 无穷小量是以0为极限的变量；
② 无穷小量不一定是零，零作为函数来讲是 无穷小量；
③ 讲一个函数是无穷小量，必须指出自变量 的变化趋向；
④ 任何非零常数，不论其绝对值如何小，都 不是无穷小量。因为非零常数的极限是其本身， 并不是零。
2 .
性 质 1 ： 若 X ,Y 都 是 无 穷 小 量 ， 则 X Y ,X Y 也 是 无 穷 小 量 ； 有限个无穷小无穷小量。
问 ： 两 个 无 穷 大 量 的 和 是 否 是 无 穷 大 量 ？
例 如 ： f ( x ) 2 x 1 ， g ( x ) 2 x ， 2 x
l f ( x ) i ， m l g ( x ) i ， 它 m 们 都 是 无 穷 大 量 ，
x x
但 l [ f ( x i ) g ( x ) m l 1 ] i 0 是 无 穷 m 小 量 。 x x 2 x
穷 大 量 。
无 穷 大 量 、 正 无 穷 大 量 和 负 无 穷 大 量 列 表 对 比 如 下 ：
x l x i f( x m ) G 0 , 0 , 0 x x ,恒 f( x ) G 有 . x l x i f( x m ) G 0 , 0 , 0 x x ,恒 f( x ) G 有 . x l x i f( x m ) G 0 , 0 , 0 x x ,恒 f( x ) G 有 .
《高职工科应用数学》第一章第4节极限的运算PPT课件
极限的运算
1. 无穷小量与无穷大量
2．无穷大量 定义 1.15 在自变量 x 的某一变化过程中（如 x x0 或 x ），若| f (x) | 无限增大，
则称函数 f (x) 为自变量 x 在该变化过程中的无穷大量，简称无穷大，并记作
lim f ( x) 或 lim f (x) ，
xx0
极限的运算
3. 两个重要极限
例 1.20 求下列极限．
（1）
lim
x
1
1 2x
x
．
（2）
lim
x
1
2 x
x
．
1
1
解
（1）
lim
x
1
1
x
2x
lim
2 x
1
1
2
x
2
2x
lim 2 x
1
1 2x 2
2x
1
e2
．
（2）
lim
x
1
2 x
x
lim
x 2
1
2 x
x
2
2
lim
1. 无 可以看出，lim f ( x) 0 ，lim g( x) ，说明当 x 1 时，函数
x1
x1
f (x) x 1 是无穷小量，而函数 g(x) 1 是无穷大量． x 1
从例 1.11 可以看出， f (x) 与 g(x) 互为倒数，即 g(x) 1 ，而它们中的一个为无穷 f (x)
小量，另一个为无穷大量，一般地，我们可以得到如下结论．
极限的运算
1. 无穷小量与无穷大量
定理 1.3 （无穷大量与无穷小量的倒数关系）在自变量 x 的同一变化过程中，若 f (x)
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在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理 论价值，值得我们单独给出定义。
一、无穷小
1. 定义
极限Байду номын сангаас零的变量称为无穷小量,简称 无穷小.
如, 当x0时, 函数 sinx是无穷小;
当x时,函数sinx 是无穷小; x
当x2时,函数 x2是无穷小;
当x1时,
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
如 yxsinx 是无界函数, 但不是无穷大.
因为取 xxn2n2时 ,
f(2n)2n (当 n )
2
2
而取 xxn2n时 ,
f(2n)0.
所以 x时,f (x)不是无穷大!
y
例 证明lim 1
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么
大),总存在正数 (或正数 X ),使得对于适合不等式
0 x x0 (或 x X )的一切 x,所对应的函数
值 f ( x)都满足不等式 f ( x) M ,
则称函数 f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷大,
第四节 极限运算法则
一、无穷小与无穷大 二、极限的运算法则
数学分析的历史表明, 很多变化状态比
较复杂的变量,都可以转化为一种简单而重 要的变量,即所谓无穷小量.常常把整个变量 的理论称为“无穷小量分析”.
N牛ew顿ton对微积分的探讨,可以说使用了无 穷小的方法.英意国大数利学数家学、家物、理力学学家家(1(614723—6—1712871)3)
xx0
x
注 “无穷小量”并不是表达量的大小,而是表
达它的变化状态的. “无限制变小的量”
1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; 2) 零是可以作为无穷小的唯一的数. 3) 称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证 必要性 设lim f(x)A, 令 (x )f(x )A , x x0 则l有 im (x)0, f(x ) A (x ). x x0 充分性 设 f(x ) A (x ),
其 中 (x)是x当 x0时的,无穷小
x1 x1
解出 | x1|
则 lif m (x ) li(A m (x ))Alim (x)A.
x x 0
x x 0
x x0
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小); 2.给出了函 f(x数 )在x0附近的近似表达 f(x)A,误差为 (x).
3.无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
1
n(n 1)
lim 2 n
n2
lim1(11) n2 n
1. 2
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证 设函 u在 数 U0(x0,1)内有界， 则 M 0 ,10 ,使0 得 x当 x 01 时 恒u 有 M . 又 设 是x当 x0时的无 , 穷小
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例,当 如 x 0时 ,xsi1n ,x2arc1t都a是n 无穷小
x
x
例1. 求 lim sin x . x x
解: sinx1
y
y sin x x
o
x
lim 1 0 x x
利用定理 3 可知
limsinx 0. x x
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
lim f(x ) (或 lim f(x ))
x x 0 (x )
x x 0 (x )
注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
2.切勿 li将 m f(x)认为极.限存 xx0
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不 为是无.穷小 n
例
求 ln i (m n 12n 22 n n 2).
解 n时,是无穷小之先和变．形再求极限.
l n i(n 1 m 2 n 2 2 n n 2 ) l n i1 m 2 n 2 n
证 设及是当 x时的两个, 无穷小
0 , N 1 0 ,N 2 0 ,使得
当 xN1时恒 有 2 ; 当 xN2时恒 有 2 ; 取 N mN a 1 ,N x 2 }当 { , xN时 ,恒有 ,
22 0 (x )
L拉ag格ra朗ng日e 曾用无穷小分析的方法,系统 地建立了动力学基础,创立了“分析力学”.
E欧ule拉r 于1748年写的二卷名著书名冠以 《无穷小分析引论》. 瑞士数学家(1707 —1783)
本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 首先来介绍无穷小。
0,20,使得 0x当 x02时 恒 有 .
M
取 m 1 i, n 2}{ 则 , 0 当 xx 0 时 ,恒有 uu M ,
M 当 x x0时 ,u为无 . 穷小
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小.
皆非无穷小.
当n时,数列{(1)n}是无穷.小 n
无穷小是指 在某个过程中 函数变化的趋势.
定义1 0(不论它多么),小 0(或X0),
使得当 0|xx0|(或|x|X),
恒有 | f(x)|
则f称 (x)当 x x0(或x)时的无 ,记作穷小
limf(x)0(或limf(x)0).
一、无穷小
1. 定义
极限Байду номын сангаас零的变量称为无穷小量,简称 无穷小.
如, 当x0时, 函数 sinx是无穷小;
当x时,函数sinx 是无穷小; x
当x2时,函数 x2是无穷小;
当x1时,
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
如 yxsinx 是无界函数, 但不是无穷大.
因为取 xxn2n2时 ,
f(2n)2n (当 n )
2
2
而取 xxn2n时 ,
f(2n)0.
所以 x时,f (x)不是无穷大!
y
例 证明lim 1
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么
大),总存在正数 (或正数 X ),使得对于适合不等式
0 x x0 (或 x X )的一切 x,所对应的函数
值 f ( x)都满足不等式 f ( x) M ,
则称函数 f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷大,
第四节 极限运算法则
一、无穷小与无穷大 二、极限的运算法则
数学分析的历史表明, 很多变化状态比
较复杂的变量,都可以转化为一种简单而重 要的变量,即所谓无穷小量.常常把整个变量 的理论称为“无穷小量分析”.
N牛ew顿ton对微积分的探讨,可以说使用了无 穷小的方法.英意国大数利学数家学、家物、理力学学家家(1(614723—6—1712871)3)
xx0
x
注 “无穷小量”并不是表达量的大小,而是表
达它的变化状态的. “无限制变小的量”
1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; 2) 零是可以作为无穷小的唯一的数. 3) 称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证 必要性 设lim f(x)A, 令 (x )f(x )A , x x0 则l有 im (x)0, f(x ) A (x ). x x0 充分性 设 f(x ) A (x ),
其 中 (x)是x当 x0时的,无穷小
x1 x1
解出 | x1|
则 lif m (x ) li(A m (x ))Alim (x)A.
x x 0
x x 0
x x0
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小); 2.给出了函 f(x数 )在x0附近的近似表达 f(x)A,误差为 (x).
3.无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
1
n(n 1)
lim 2 n
n2
lim1(11) n2 n
1. 2
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证 设函 u在 数 U0(x0,1)内有界， 则 M 0 ,10 ,使0 得 x当 x 01 时 恒u 有 M . 又 设 是x当 x0时的无 , 穷小
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例,当 如 x 0时 ,xsi1n ,x2arc1t都a是n 无穷小
x
x
例1. 求 lim sin x . x x
解: sinx1
y
y sin x x
o
x
lim 1 0 x x
利用定理 3 可知
limsinx 0. x x
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
lim f(x ) (或 lim f(x ))
x x 0 (x )
x x 0 (x )
注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
2.切勿 li将 m f(x)认为极.限存 xx0
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不 为是无.穷小 n
例
求 ln i (m n 12n 22 n n 2).
解 n时,是无穷小之先和变．形再求极限.
l n i(n 1 m 2 n 2 2 n n 2 ) l n i1 m 2 n 2 n
证 设及是当 x时的两个, 无穷小
0 , N 1 0 ,N 2 0 ,使得
当 xN1时恒 有 2 ; 当 xN2时恒 有 2 ; 取 N mN a 1 ,N x 2 }当 { , xN时 ,恒有 ,
22 0 (x )
L拉ag格ra朗ng日e 曾用无穷小分析的方法,系统 地建立了动力学基础,创立了“分析力学”.
E欧ule拉r 于1748年写的二卷名著书名冠以 《无穷小分析引论》. 瑞士数学家(1707 —1783)
本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 首先来介绍无穷小。
0,20,使得 0x当 x02时 恒 有 .
M
取 m 1 i, n 2}{ 则 , 0 当 xx 0 时 ,恒有 uu M ,
M 当 x x0时 ,u为无 . 穷小
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小.
皆非无穷小.
当n时,数列{(1)n}是无穷.小 n
无穷小是指 在某个过程中 函数变化的趋势.
定义1 0(不论它多么),小 0(或X0),
使得当 0|xx0|(或|x|X),
恒有 | f(x)|
则f称 (x)当 x x0(或x)时的无 ,记作穷小
limf(x)0(或limf(x)0).