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2020年中考数学一轮复习《圆》分类专项培优、拔高(含解析)

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2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合及答案

2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合及答案

2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合及答案一、圆的综合1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT=TC=123∴124；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF=90°，∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，在△AEH和△AFH中，∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH=FH；（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，∴CG=4，连AG，∵∠BCG=90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG=90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AF=CG=4．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．（1）OC的长为；（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．【答案】（1）4；（2）35；（3）点E的坐标为（1，2）、（53，103）、（4，2）．【解析】分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题．详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH．∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4．∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，∴tan∠BAH=BHHA=1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4．故答案为4．（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）．由（1）得：OH=2，BH=4．∵OC与⊙M相切于N，∴MN⊥OC．设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．∵BC ⊥OC ，OA ⊥OC ，∴BC ∥MN ∥OA ．∵BM =DM ，∴CN =ON ，∴MN =12（BC +OD ），∴OD =2r ﹣2，∴DH =OD OH -=24r -．在Rt △BHD 中，∵∠BHD =90°，∴BD 2=BH 2+DH 2，∴（2r ）2=42+（2r ﹣4）2．解得：r =2，∴DH =0，即点D 与点H 重合，∴BD ⊥0A ，BD =AD ．∵BD 是⊙M 的直径，∴∠BGD =90°，即DG ⊥AB ，∴BG =AG ．∵GF ⊥OA ，BD ⊥OA ，∴GF ∥BD ，∴△AFG ∽△ADB ， ∴AF AD =GF BD =AG AB =12，∴AF =12AD =2，GF =12BD =2，∴OF =4，∴OG同理可得：OB AB ，∴BG =12AB ．设OR =x ，则RG x ．∵BR ⊥OG ，∴∠BRO =∠BRG =90°，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=BG 2﹣RG 2，∴（2﹣x 2=（）2﹣（x ）2．解得：x ，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=（2）2=365，∴BR在Rt △ORB 中，sin ∠BOR =BR OB35． 故答案为35． （3）①当∠BDE =90°时，点D 在直线PE 上，如图2．此时DP =OC =4，BD +OP =BD +CD =BC =2，BD =t ，OP =t ． 则有2t =2．解得：t =1．则OP =CD =DB =1．∵DE ∥OC ，∴△BDE ∽△BCO ，∴DE OC =BD BC =12，∴DE =2，∴EP =2， ∴点E 的坐标为（1，2）．②当∠BED =90°时，如图3．∵∠DBE =OBC ，∠DEB =∠BCO =90°，∴△DBE ∽△OBC ，∴BEBC =2DB BE OB ∴，∴BE ． ∵PE ∥OC ，∴∠OEP =∠BOC ．∵∠OPE =∠BCO =90°，∴△OPE ∽△BCO ， ∴OEOB =OP BC，2t ，∴OE ．∵OE+BE=OB=255，∴t+55t=25．解得：t=53，∴OP=53，OE=55，∴PE=22OE OP-=103，∴点E的坐标为（51033，）．③当∠DBE=90°时，如图4．此时PE=PA=6﹣t，OD=OC+BC﹣t=6﹣t．则有OD=PE，EA=22PE PA+=2（6﹣t）=62﹣2?t，∴BE=BA﹣EA=42﹣（62﹣2t）=2t﹣22．∵PE∥OD，OD=PE，∠DOP=90°，∴四边形ODEP是矩形，∴DE=OP=t，DE∥OP，∴∠BED=∠BAO=45°．在Rt△DBE中，cos∠BED=BEDE=22，∴DE=2BE，∴t=22（t﹣22）=2t﹣4．解得：t=4，∴OP=4，PE=6﹣4=2，∴点E的坐标为（4，2）．综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（1，2）、（51033，）、（4，2）．点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性．3．（1）如图1，在矩形ABCD 中，点O 在边AB 上，∠AOC =∠BOD ，求证：AO =OB ； （2）如图2，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OPA =40°，求∠ABC 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）25°.【解析】试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论．（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数．试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD即∠AOD=∠BOC∵四边形ABCD 是矩形∴∠A=∠B=90°，AD=BC∴AOD BOC ∆≅∆∴AO=OB（2）解：∵AB 是O e 的直径，PA 与O e 相切于点A ，∴PA ⊥AB ，∴∠A=90°.又∵∠OPA=40°，∴∠AOP=50°，∵OB=OC ，∴∠B=∠OCB.又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1252B OCB AOP ∠=∠=∠=︒.4．图1和图2，半圆O 的直径AB=2，点P （不与点A ，B 重合）为半圆上一点，将图形延BP 折叠，分别得到点A ，O 的对称点A′，O′，设∠ABP=α．（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．【答案】（1）A′C与半圆O相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】试题分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．试题解析：（1）相切，理由如下：如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，∵α=15°，A′C∥AB，∴∠ABA′=∠CA′B=30°，∴DE=A′E，OE=BE，∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB=OA，∴A′C与半圆O相切；（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，∴∠OBA′=2α=90°，∴α=45°，当O′在上时，如图2，连接AO′，则可知BO′=AB ，∴∠O′AB=30°，∴∠ABO′=60°，∴α=30°，（3）∵点P ，A 不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B ； 当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B ． 当α继续增大时，点P 逐渐靠近点B ，但是点P ，B 不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B ．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．考点：圆的综合题．5．已知O e 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______o ；()2如图②，若m 6=．①求C ∠的正切值；②若ABC V 为等腰三角形，求ABC V 面积．【答案】()130；()2C ∠①的正切值为34；ABC S 27=V ②或43225. 【解析】【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB V 是等边三角形，即可得出结论；()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结论；②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．【详解】()1如图1，连接OB ，OA ，OB OC 5∴==，AB m 5==Q ，OB OC AB ∴==，AOB ∴V 是等边三角形，AOB 60∠∴=o ，1ACB AOB 302∠∠∴==o ， 故答案为30；()2①如图2，连接AO 并延长交O e 于D ，连接BD ，AD Q 为O e 的直径，AD 10∴=，ABD 90∠=o ，在Rt ABD V 中，AB m 6==，根据勾股定理得，BD 8=， AB 3tan ADB BD 4∠∴==， C ADB ∠∠=Q ，C ∠∴的正切值为34； ②Ⅰ、当AC BC =时，如图3，连接CO 并延长交AB 于E ，AC BC =Q ，AO BO =，CE ∴为AB 的垂直平分线，AE BE 3∴==，在Rt AEO V 中，OA 5=，根据勾股定理得，OE 4=， CE OE OC 9∴=+=，ABC 11S AB CE 692722∴=⨯=⨯⨯=V ； Ⅱ、当AC AB 6==时，如图4，连接OA 交BC 于F ，AC AB =Q ，OC OB =，AO ∴是BC 的垂直平分线，过点O 作OG AB ⊥于G ， 1AOG AOB 2∠∠∴=，1AG AB 32==， AOB 2ACB ∠∠=Q ，ACF AOG ∠∠∴=，在Rt AOG V 中，AG 3sin AOG AC 5∠==， 3sin ACF 5∠∴=， 在Rt ACF V 中，3sin ACF 5∠=， 318AF AC 55∴==， 24CF 5∴=， ABC 111824432S AF BC 225525∴=⨯=⨯⨯=V ； Ⅲ、当BA BC 6==时，如图5，由对称性知，ABC 432S 25=V ．【点睛】圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．6．如图1，以边长为4的正方形纸片ABCD 的边AB 为直径作⊙O ，交对角线AC 于点E ． （1）图1中，线段AE= ；（2）如图2，在图1的基础上，以点A 为端点作∠DAM=30°，交CD 于点M ，沿AM 将四边形ABCM 剪掉，使Rt △ADM 绕点A 逆时针旋转（如图3），设旋转角为α（0°＜α＜150°），在旋转过程中AD 与⊙O 交于点F ．①当α=30°时，请求出线段AF 的长；②当α=60°时，求出线段AF 的长；判断此时DM 与⊙O 的位置关系，并说明理由； ③当α= °时，DM 与⊙O 相切．【答案】（1）2（2）①2②2，相离③当α=90°时，DM与⊙O相切【解析】（1）连接BE，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=45°，∴△AEB是等腰直角三角形，又∵AB=8，∴AE=4；（2）①连接OA、OF，由题意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，则∠OAF=60°，又∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∵OA=4，∴AF=OA=4；②连接B'F，此时∠NAD=60°，∵AB'=8，∠DAM=30°，∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4；此时DM与⊙O的位置关系是相离；③∵AD =8，直径的长度相等，∴当DM 与⊙O 相切时，点D 在⊙O 上，故此时可得α=∠NAD =90°．点睛：此题属于圆的综合题，主要是仔细观察每一次旋转后的图形，根据含30°角的直角三角形进行计算，另外在解答最后一问时，关键是判断出点D 的位置，有一定难度．7．在⊙O 中，点C 是AB u u u r上的一个动点(不与点A ，B 重合)，∠ACB=120°，点I 是∠ABC 的内心，CI 的延长线交⊙O 于点D ，连结AD,BD ．（1）求证：AD=BD ．（2）猜想线段AB 与DI 的数量关系，并说明理由．（3）若⊙O 的半径为2，点E ，F 是»AB 的三等分点，当点C 从点E 运动到点F 时，求点I 随之运动形成的路径长．【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI ，理由见解析（323 【解析】分析：（1）根据内心的定义可得CI 平分∠ACB ，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD，可求出∠BAD的度数，再根据AD=BD，可证得△ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠BID=∠IBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；（3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，可证得∠DAI1=∠AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I 随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：∵点I是∠ABC的内心∴CI平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∴弧AD=弧BD∴AD=BD（2）AB=DI理由：∵∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD∴∠BCD=×120°=60°∵弧BD=弧BD∴∠DAB=∠BCD=60°∵AD=BD∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∠ABD=∠C∵I是△ABC的内心∴BI平分∠ABC∴∠CBI=∠ABI∵∠BID=∠C+∠CBI，∠IBD=∠ABI+∠ABD∴∠BID=∠IBD∴ID=BD∵AB=BD∴AB=DI（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧∵∠ACB=120°，弧AD=弧BD∴∠AED=∠ACB=×120°=60°∵圆的半径为2，DE是直径∴DE=4，∠EAD=90°∴AD=sin∠AED×DE=×4=2∵点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°∴弧AB的度数为120°，∴弧AM、弧BF的度数都为为40°∴∠ADM=20°=∠FAB∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80°∴∠DAI1=∠AI1D∴AD=I1D=2∴弧I1I2的长为：点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.8．如图1，延长⊙O的直径AB至点C，使得BC=12AB，点P是⊙O上半部分的一个动点（点P不与A、B重合），连结OP，CP．（1）∠C的最大度数为；（2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．【答案】（1）30°；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；（2）由△OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，得到CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．试题解析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：∵sin∠OCP=OPOC =24=12，∴∠OCP=30°∴∠OCP的最大度数为30°，故答案为：30°；（2）有最大值，理由：∵△OPC的边OC是定值，∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，也就是高为半径长，∴最大值S△OPC=12OC•OP=12×6×3=9；（3）连结AP，BP，如图2，在△OAP与△OBD中，OA ODAOP BODOP OB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，∵PC=DB，∴AP=PC，∵PA=PC，∴∠A=∠C，∵BC=12AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，在△APB和△CPO中，AP CPA CAB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．9．如图，正三角形ABC 内接于⊙O ，P 是BC 上的一点，且PB ＜PC ，PA 交BC 于E ，点F 是PC 延长线上的点，CF=PB ，AB=13，PA=4．（1）求证：△ABP ≌△ACF ；（2）求证：AC 2=PA•AE ；（3）求PB 和PC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）PB=1，PC=3．【解析】试题分析：（1）先根据等边三角形的性质得到AB=AC ，再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP ，于是可根据“SAS”判断△ABP ≌△ACF ；（2）先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，再根据圆周角定理得∠APC=∠ABB=60°，加上∠CAE=∠PAC ，于是可判断△ACE ∽△APC ，然后利用相似比即可得到结论；（3）先利用AC 2=PA•AE 计算出AE=134 ，则PE=AP-AE=34，再证△APF 为等边三角形，得到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABP ∽△CEP ，得到PB•PC=PE•A=3，然后根据根与系数的关系，可把PB 和PC 看作方程x 2-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB 和PC 的长．试题解析：（1）∵∠ACP+∠ABP=180°，又∠ACP+∠ACF=180°，∴∠ABP=∠ACF在ABP ∆和ACF ∆中，∵AB=AC ，∠ABP=∠ACF ， CF PB =∴ABP ∆≌ACF ∆．(2)在AEC ∆和ACP ∆中，∵∠APC=∠ABC ，而ABC ∆是等边三角形，故∠ACB=∠ABC=60º，∴∠ACE =∠APC .又∠CAE =∠PAC ，∴AEC ∆∽ACP ∆ ∴AC AE AP AC=,即2AC PA AE =⋅. 由（1）知ABP ∆≌ACF ∆，∴∠BAP=∠CAF ， CF PB =∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC∴∠PAF=∠BAC=60°，又∠APC ＝∠ABC ＝60°.∴APF ∆是等边三角形∴AP=PF∴4PB PC PC CF PF PA +=+===在PAB ∆与CEP ∆中，∵∠BAP=∠ECP ，又∠APB=∠EPC=60°，∴PAB ∆∽CEP ∆ ∴PB PA PE PC=,即PB PC PA PE ⋅=⋅ 由（2）2AC PA AE =⋅， ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+= ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+=∴22222243PB PC PA AC PA AB ⋅=-=-=-=因此PB 和PC 的长是方程2430x x --=的解．解这个方程，得11x =， 23x =．∵PB<PB ，∴PB=11x =，PC=23x =，∴PB 和PC 的长分别是1和3。

2020年中考数学一轮复习基础考点及题型专题 圆(解析版)

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专题圆考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或等弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 弦心距、半径、弦长的关系：（考点）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。

2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合附详细答案

2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合附详细答案

2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合附详细答案一、圆的综合1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x=上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设MBN∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，∴OA旋转了45°．∴OA在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=．（2）∵MN∥AC，∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．又∵BA=BC，∴AM=CN．又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．∴∠AOM=∠CON=12（∠AOC-∠MON）=12（90°-45°）=22.5°．∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．证明：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．∴△OAE≌△OCN．∴OE=ON，AE=CN．又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN，∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．考点：旋转的性质.2．如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB=CD．(1)如图(1),求证:AD∥BC；(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DG∥AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF；(3)在(2)的条件下,若DG平分∠∠,求⊙O的半径。

2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合及答案解析

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2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合及答案解析一、圆的综合1．图 1 和图 2 中，优弧»AB纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝23，点P为优弧»AB上一点（点P 不与A，B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′．发现：（1）点O 到弦AB 的距离是，当BP 经过点O 时，∠ABA′＝；（2）当BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿NP 折叠，分别得到点M，O 的对称点A′， O′，设∠MNP＝α．（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图 3，判断A′C 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆O 相切，当α＝ °时，点O′落在»NP上．（3）当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时，直接写出β的取值范围．【答案】发现：（1）1，60°；（2）3；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】【分析】发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切；（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在»PB时，连接M O′，则可知NO′=12MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【详解】发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,∵⊙O的半径为2，AB=23，∴OH=22OB HB-=222(3)1-=在△BOH中，OH=1，BO=2∴∠ABO=30°∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．∴∠OBP=30°．∴OG=12OB=1．∴3．∵OG⊥BP，∴3．∴3．∴折痕的长为3拓展：（1）相切．分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示，∵A'C∥MN∴四边形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=12A'N=12MN=2∴A'C与半圆（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′，∴∠ONA′=2α=90°，∴α=45当O′在»PB上时，连接MO′，则可知NO′=12 MN，∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°，∴α=30°，故答案为：45°；30°．（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时NA′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．2．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E.（1）求证：BD平分∠ABC；（2）求证：BE=2AD；（3）求DEBE的值.【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）21 2 -【解析】试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；（2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，DH=21-, 然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：（1）∵D是的中点∴AD=DC∴∠CBD=∠ABD∴BD平分∠ABC（2）提示：延长BC与AD相交于点F,证明△BCE≌△ACF,BE=AF=2AD（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，2，21, DEBE=DHBCDE BE =2123．如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P在AB边上，⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．（1）求⊙P的半径；（2）当AP=65时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为35；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AMMP、PNNC的值，得出AMMP=PNNC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，∵⊙P与边AC相切，∴BD就是⊙P的半径，在Rt△ABD中，tanA= 1BD2AD =，设BD=x，则AD=2x，∴x2+(2x)2=152，解得：5∴半径为5（2）相似，理由见解析，如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，∴PH垂直平分MN，∴PM=PN，在Rt△AHP中，tanA=12PHAH =，设PH=y，AH=2y，y 2+（2y ）2=（65）2 解得：y=6（取正数）， ∴PH=6，AH=12，在Rt △MPH 中，MH=()22356-=3，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5， ∴35535AM MP ==，355PN NC =， ∴AM MP =PN NC， 又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ，∴∠AMP=∠PNC ，∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.4．如图1，在Rt △ABC 中，AC=8cm ，BC=6cm ，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，连结DE ，点P 从点A 出发，沿折线AD ﹣DE 运动，到点E 停止，点P 在AD 上以5cm/s 的速度运动，在DE 上以1cm/s 的速度运动，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t （s ）．（1）当点P 在线段DE 上运动时，线段DP 的长为_____cm ．（用含t 的代数式表示） （2）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S （cm 2），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．（3）如图2，若点O在线段BC上，且CO=1，以点O为圆心，1cm长为半径作圆，当点P 开始运动时，⊙O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t值．【答案】（1）t﹣1；（2）S=﹣38t2+3t+3（1＜t＜4）；（3）t=103s．【解析】分析：（1）根据勾股定理求出AB，根据D为AB中点，求出AD，根据点P在AD上的速度，即可求出点P在AD段的运动时间，再求出点P在DP段的运动时间，最后根据DE段运动速度为1c m/s，即可求出DP；（2）由正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形，可知点P在DE上，求出DP=t﹣1，PQ=3，根据MN∥BC，求出FN的长，从而得到FM的长，再根据S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，列出S与t的函数关系式即可；（3）当圆与边PQ相切时，可求得r=PE=5﹣t，然后由r以0.2c m/s的速度不断增大，r=1+0.2t，然后列方程求解即可；当圆与MN相切时，r=CM=8﹣t=1+0.2t，从而可求得t的值．详解：（1）由勾股定理可知：AB=22AC BC=10．∵D、E分别为AB和BC的中点，∴DE=12AC=4，AD=12AB=5，∴点P在AD上的运动时间=55=1s，当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t﹣1）s．∵DE段运动速度为1c m/s，∴DP=（t﹣1）cm．故答案为t﹣1．（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示．当正方形的边长大于DP时，重叠部分为五边形，∴3＞t﹣1，t＜4，DP＞0，∴t﹣1＞0，解得：t＞1，∴1＜t＜4．∵△DFN∽△ABC，∴DNFN=ACBC=86=43．∵DN=PN﹣PD，∴DN=3﹣（t﹣1）=4﹣t，∴4t FN -=43，∴FN =344t -（）， ∴FM =3﹣344t -（）=34t ， S =S 梯形FMHD +S 矩形DHQP ， ∴S =12×（34t +3）×（4﹣t ）+3（t ﹣1）=﹣38t 2+3t +3（1＜t ＜4）． （3）①当圆与边PQ 相切时，如图：当圆与PQ 相切时，r =PE ，由（1）可知，PD =（t ﹣1）cm ，∴PE =DE ﹣DP =4﹣（t ﹣1）=（5﹣t ）cm ．∵r 以0.2c m/s 的速度不断增大，∴r =1+0.2t ，∴1+0.2t =5﹣t ，解得：t =103s ． ②当圆与MN 相切时，r =CM ．由（1）可知，DP =（t ﹣1）cm ，则PE =CQ =（5﹣t ）cm ，MQ =3cm ，∴MC =MQ +CQ =5﹣t +3=（8﹣t ）cm ，∴1+0.2t =8﹣t ，解得：t =356s ． ∵P 到E 点停止，∴t ﹣1≤4，即t ≤5，∴t =356s （舍）． 综上所述：当t =103s 时，⊙O 与正方形PQMN 的边所在直线相切． 点睛：本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，直线和圆的位置关系，依据题意列出方程是解题的关键．5．已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+23 =0的两根（k为常数）．（1）求证：PA•BD=PB•AE；（2）求证：⊙O的直径长为常数k；（3）求tan∠FPA的值．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）tan∠FPA=2﹣3 .【解析】试题分析：（1）由PB切⊙O于点B，根据弦切角定理，可得∠PBD=∠A，又由PF平分∠APB，可证得△PBD∽△PAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PA•BD=PB•AE；（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：⊙O的直径长为常数k；（3）由∠A=60°，并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tan∠FPB的值，则可得tan∠FPA的值．试题解析：（1）证明：如图，∵PB切⊙O于点B，∴∠PBD=∠A，∵PF平分∠APB，∴∠APE=∠BPD，∴△PBD∽△PAE，∴PB：PA=BD：AE，∴PA•BD=PB•AE；（2）证明：如图，∵∠BED=∠A+∠EPA，∠BDE=∠PBD+∠BPD．又∵∠PBD=∠A，∠EPA=∠BPD，∴∠BED=∠BDE．∴BE=BD．∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），∴AE+BD=k，∴AE+BD=AE+BE=AB=k，即⊙O直径为常数k．（3）∵PB切⊙O于B点，AB为直径．∴∠PBA=90°．∵∠A=60°．∴PB=PA•sin60°=PA，又∵PA•BD=PB•AE，∴BD=AE，∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数）．∴AE•BD=2，即AE2=2，解得：AE=2，BD=，∴AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，在Rt△PBA中，PB=AB•tan60°=（2+）×=3+2．在Rt△PBE中，tan∠BPF===2﹣，∵∠FPA=∠BPF，∴tan∠FPA=2﹣．【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．6．已知：如图1，∠ACG=90°，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F．（1）当BC=233时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；（2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB=∠BAD=∠DAH时，求BC的长．【答案】（1）直线FD与以AB为直径的⊙O相切，理由见解析；（2）22 .【解析】试题分析：（1）根据已知及切线的判定证明得，直线FD与以AB为直径的⊙O相切；（2）根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长．试题解析：（1）判断：直线FD与以AB为直径的⊙O相切．证明：如图，作以AB为直径的⊙O；∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，∴△ADB≌△ACB，∴∠ADB=∠ACB=90°．∵O为AB的中点，连接DO，∴OD=OB=AB，∴点D在⊙O上．在Rt△ACB中，BC=，AC=2；∴tan∠CAB==，∴∠CAB=∠BAD=30°，∴∠ABC=∠ABD=60°，∴△BOD是等边三角形．∴∠BOD=60°．∴∠ABC=∠BOD，∴FC∥DO．∵DF⊥CG，∴∠ODF=∠BFD=90°，∴OD⊥FD，∴FD为⊙O的切线．（2）延长AD交CG于点E，同（1）中的方法，可证点C在⊙O上；∴四边形ADBC是圆内接四边形．∴∠FBD=∠1+∠2．同理∠FDB=∠2+∠3．∵∠1=∠2=∠3，∴∠FBD=∠FDB，又∠DFB=90°．∴EC=AC=2．设BC=x，则BD=BC=x，∵∠EDB=90°，∴EB=x．∵EB+BC=EC，∴x+x=2，解得x=2﹣2，∴BC=2﹣2．7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D，E在⊙O上，连接AE，DE，CD，BE，CE，∠EAC+∠BAE=180°，»»AB CD．（1）判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；（2）求证：△ABE≌△DCE；（3）若∠EAC=60°，BC=8，求⊙O的半径．【答案】（1）BE=CE，理由见解析；（2）证明见解析；（3）833．【解析】分析：（1）由A、B、C、E四点共圆的性质得：∠BCE+∠BAE=180°，则∠BCE=∠EAC，所以»»BE CE=，则弦相等；（2）根据SSS证明△ABE≌△DCE；（3）作BC和BE两弦的弦心距，证明Rt△GBO≌Rt△HBO（HL），则∠OBH=30°，设OH=x，则OB=2x，根据勾股定理列方程求出x的值，可得半径的长．本题解析：（1）解：BE=CE ，理由：∵∠EAC+∠BAE=180°，∠BCE+∠BAE=180°，∴∠BCE=∠EAC ，∴»»BECE =， ∴BE=CE ；（2）证明：∵»»AB CD =，∴AB=CD ，∵»»BE CE =，»»AE ED=，∴AE=ED ， 由（1）得：BE=CE ，在△ABE 和△DCE 中，∵AE DE AB CD BE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DCE （SSS ）；（3）解：如图，∵过O 作OG ⊥BE 于G ，OH ⊥BC 于H ，∴BH=12BC=12×8=4，BG=12BE ， ∵BE=CE ，∠EBC=∠EAC=60°， ∴△BEC 是等边三角形，∴BE=BC ，∴BH=BG ，∵OB=OB ，∴Rt △GBO ≌Rt △HBO （HL ），∴∠OBH=∠GBO=12∠EBC=30°， 设OH=x ，则OB=2x ， 由勾股定理得：（2x ）2=x 2+42，x=43， ∴OB=2x=83，∴⊙O 的半径为83．点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30°的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键.8．如图，AC 是⊙O 的直径，OB 是⊙O 的半径，PA 切⊙O 于点A ，PB 与AC 的延长线交于点M ，∠COB ＝∠APB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）当MB ＝4，MC ＝2时，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）根据题意∠M +∠P ＝90°，而∠COB ＝∠APB ，所以有∠M +∠COB ＝90°，即可证明PB 是⊙O 的切线.（2）设圆的半径为r ,则OM =r +2,BM=4,OB =r ,再根据勾股定理列方程便可求出r .【详解】证明：（1）∵AC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，∴PA ⊥OA∴在Rt △MAP 中，∠M +∠P ＝90°，而∠COB ＝∠APB ，∴∠M +∠COB ＝90°，∴∠OBM ＝90°，即OB ⊥BP ，∴PB 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为r ，2OM r ∴=+ ,OB r = ,4BM =OBM ∆Q 为直角三角形∴222OM OB BM =+ ，即222(2)+4r r +=解得：r ＝3，∴⊙O 的半径为3．【点睛】本题主要考查圆的切线问题，证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径，另一种是证明半径垂直.9．在O e 中，AB 为直径，C 为O e 上一点.（Ⅰ）如图①，过点C 作O e 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若28CAB ∠=︒，求P ∠的大小；（Ⅱ）如图②，D 为弧AC 的中点，连接OD 交AC 于点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若12CAB ∠=︒，求P ∠的大小.【答案】（1）∠P ＝34°；（2）∠P ＝27°【解析】【分析】（1）首先连接OC ，由OA=OC ，即可求得∠A 的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC 的度数，继而求得答案；（2）因为D 为弧AC 的中点，OD 为半径，所以OD ⊥AC ，继而求得答案．【详解】（1）连接OC ，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠OCA ＝28°，∴∠POC ＝56°，∵CP 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°，∴∠P ＝34°；（2）∵D 为弧AC 的中点，OD 为半径，∴OD ⊥AC ，∵∠CAB ＝12°，∴∠AOE ＝78°，∴∠DCA ＝39°，∵∠P ＝∠DCA ﹣∠CAB ，∴∠P ＝27°．【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．10．如图1，已知⊙O 是ΔADB 的外接圆，∠ADB 的平分线DC 交AB 于点M ，交⊙O 于点C ，连接AC ，BC ．（1）求证：AC=BC ；（2）如图2，在图1 的基础上做⊙O 的直径CF 交AB 于点E ，连接AF ，过点A 作⊙O 的切线AH ，若AH//BC ，求∠ACF 的度数；（3）在（2）的条件下，若ΔABD的面积为63，ΔABD与ΔABC的面积比为2：9，求CD 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）30°；（3）233【解析】分析：（1）运用“在同圆或等圆中，弧相等，所对的弦相等”可求解；（2）连接AO并延长交BC于I交⊙O于J,由AH是⊙O的切线且AH∥BC得AI⊥BC，易证∠IAC=30°，故可得∠ABC=60°=∠F=∠ACB，由CF是直径可得∠ACF的度数；（3）过点D作DG⊥AB ，连接AO，知ABC为等边三角形，求出AB、AE的长，在RtΔAEO 中，求出AO的长，得CF的长，再求DG 的长，运用勾股定理易求CD的长.详解：（1）∵DC平分∠ADB，∴∠ADC=∠BDC，∴AC=BC．（2）如图，连接AO并延长交BC于I交⊙O于J∵AH是⊙O的切线且AH∥BC，∴AI⊥BC，∴BI=IC，∵AC=BC，∴IC=1AC，2∴∠IAC=30°，∴∠ABC=60°=∠F=∠ACB．∵FC 是直径，∴∠FAC=90°，∴∠ACF=180°-90°-60°=30°．（3）过点D 作DG AB ⊥，连接AO由（1）（2）知ABC 为等边三角形∵∠ACF=30°，∴AB CF ⊥，∴AE=BE ， ∴2ΔABC 33S AB == ∴AB=3 ∴33AE =在RtΔAEO 中，设EO=x ，则AO=2x ，∴222AO AE OE =+，∴()(222233x x =+，∴x =6，⊙O 的半径为6，∴CF=12． ∵ΔABD 11636322S AB DG DG =⨯⨯=⨯= ∴DG=2．如图，过点D 作DG CF '⊥,连接OD ．∵AB CF ⊥,DG AB ⊥，∴CF//DG ，∴四边形G ′DGE 为矩形，∴2G E '=， 63211CG G E CE +=++'=='，在RtΔOG D '中，5,6OG OD ='=， ∴11DG '=∴222''=+=+=CD DG CG1111233点睛：本题是一道圆的综合题.考查了圆的基本概念，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等相关知识.比较复杂，熟记相关概念是解题关键.11．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴PO，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE 为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．12．如图1，等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，过点A ，C 的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，连结DE（1）若AD=7，BD=1，分别求DE ，CE 的长（2）如图2，连结CD ，若CE=3，△ACD 的面积为10，求tan ∠BCD（3）如图3，在圆上取点P 使得∠PCD=∠BCD （点P 与点E 不重合），连结PD ，且点D 是△CPF 的内心①请你画出△CPF ，说明画图过程并求∠CDF 的度数②设PC=a ，PF=b ，PD=c ，若（a-2c ）（b-2c ）=8，求△CPF 的内切圆半径长．【答案】（1）DE=1，CE=322）tan ∠BCD=14；（3）①135°；②2. 【解析】【分析】 （1）由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解；（2）找∠BDF 与∠ODA 为对顶角，在⊙O 中，∠COD=2∠CAD ，证明△OCD 为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；（3）过点D 做DH CB 于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF 是直角，再求证四边形PKDN 是正方形，最后以△PCF 面积不变性建立等量关系，结合已知（a-2c ）（b-2c ）=8，消去字母a ，b 求出c 值，即求出△CPF 的内切圆半径长为22c ． 【详解】（1）由图可知：设BC=x ．在Rt △ABC 中，AC=BC ．由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，∵AB=AD+BD ，AD=7，BD=1，∴x 2+x 2=82，解得：x=42．∵⊙O 内接四边形，∠ACD=90°，∴∠ADE=90°，∴∠EDB=90°，∵∠B=45°，∴△BDE 是等腰直角三形．∴DE=DB ，又∵DB=1，∴DE=1，又∵CE=BC-BE ，∴CE=42232-=．（2）如图所示：在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ，设BE=y ，则DM=12y ， 又∵CE=3，∴BC=3+y ，∵S △ACB =S ACD +S DCB ， ∴()1114242103y y 222⨯⨯=+⨯+⨯， 解得：y=2或y=-11（舍去）．∴EM=1，CM=CE+ME=1+3=4，又∵∠BCD=∠MCD ，∴tan ∠BCD=tan ∠MCD ， 在Rt △DCM 中，tan ∠MCD=DM CM =14， ∴tan ∠BCD=14． （3）①如下图所示：过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ．∵∠CAD=45°，∴∠CPD=∠CAD=45°，又∵点D 是CPF ∆的内心，∴PD 、CD 、DF 都是角平分线，∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF ，∠PFD=∠CFD∴∠CPF=90°∴∠PCF+∠PFC=90°∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°，即∠CDF 的度数为135°．②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ，DM ⊥CF ，DN ⊥PF 于直线PC ，CF 和PF 于点K ，M ，N 三点， 设△PCF 内切圆的半径为m ，则DN=m ，∵点D 是△PCF 的内心，∴DM=DN=DK ，又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°，∴∠DCF+∠CFD=45°，又∵DC ，DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线，∴∠PCF=2∠DCF ，∠PFC=2∠DFC ，∴∠PCF+∠PFC=90°，∴∠CPF=90°．在四边形PKDN 中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°，∴四边形PKDN 是矩形，又∵KD=ND ，∴四边形PKDN 是正方形．又∵∠MBD=∠BDM=45°，∠BDM=∠KDP ，∴∠KDP=45°．∵PC=a ，PF=b ，PD=c ，∴PN=PK=2C 2， ∴NF=2b c 2-，CK=2a c 2-， 又∵CK=CM ，FM=FN ，CF=CM+FM ，∴CF=a b 2c +，又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ， ∴112121ab a c b c (a b 2222222=⨯+⨯++-）×2c 2， 化简得：)22a b c c +-------（Ⅰ），又∵若（2c ）（2c ）=8 化简得：()2ab 2c a b 2c 8++=------（Ⅱ），将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c2=8，解得：c22=-（舍去），=，或c22∴m=22=⨯=，c22222即△CPF的内切圆半径长为2．【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF的内切圆半径长．13．如图，在中，，以为直径作，交边于点，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得列出方程即可解决问题．试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴△FOD∽△FAE，∴，∴，整理得R2﹣R﹣12=0，∴R=4或（﹣3舍弃）．∴⊙O的半径为4．考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．14．如图, Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F， (1)设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r＝12(a+b-c).(2) 若AD交圆于P, PC交圆于H, FH//BC, 求∠CPD;(3)若r=310, PD＝18, PC=272. 求△ABC各边长.【答案】（1）证明见解析（2）45°（3）1010,1510，12【解析】【分析】（1）根据切线长定理，有AE=AF，BD=BF，CD=CE．易证四边形BDOF为正方形，BD=BF=r，用r表示AF、AE、CD、CE，利用AE+CE=AC为等量关系列式．（2）∠CPD为弧DH所对的圆周角，连接OD，易得弧DH所对的圆心角∠DOH=90°，所以∠CPD=45°．（3）由PD=18和10,联想到垂径定理基本图形，故过圆心O作PD的垂线OM，求得弦心距OM=3，进而得到∠MOD的正切值．延长DO得直径DG，易证PG∥OM，得到同位角∠G=∠MOD．又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G，即得到∠ADB的正切值，进而求得AB．再设CE=CD=x，用x表示BC、AC，利用勾股定理列方程即求出x．【详解】解：（1）证明：设圆心为O，连接OD、OE、OF，∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE=AF，BD=BF，CD=CE ∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°∴四边形BDOF是矩形∵OD=OF=r∴矩形BDOF是正方形∴BD=BF=r∴AE=AF=AB-BF=c-r，CE=CD=BC-BD=a-r∵AE+CE=AC∴c-r+a-r=b整理得：r=12（a+b-c）（2）取FH中点O，连接OD∵FH∥BC∴∠AFH=∠B=90°∵AB与圆相切于点F，∴FH为圆的直径，即O为圆心∵FH∥BC∴∠DOH=∠ODB=90°∴∠CPD=12∠DOH=45°（3）设圆心为O，连接DO并延长交⊙O于点G，连接PG，过O作OM⊥PD于M ∴∠OMD=90°∵PD=18∴DM=12PD=9 ∵BF=BD=OD=r=310， ∴OM=22OD DM -＝22(310)9-＝9081-＝3∴tan ∠MOD=DM OM ＝3 ∵DG 为直径∴∠DPG=90°∴OM ∥PG ，∠G+∠ODM=90°∴∠G=∠MOD∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°∴∠ADB=∠G∴∠ADB=∠MOD∴tan ∠ADB=AB BD=tan ∠MOD=3 ∴AB=3BD=3r=910∴AE=AF=AB-BF=910−310＝610设CE=CD=x ，则BC=310+x ，AC=610+x∵AB 2+BC 2=AC 2∴(910)2．+(310+x)2＝(610+x)2解得：x=910∴BC=1210，AC=1510∴△ABC 各边长AB=910，AC=1510，BC=1210【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理．切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法．15．如图，已知等边△ABC ，AB=16，以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，连结GD ．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求FG的长；（3）求tan∠FGD的值．【答案】(1)证明见解析；（2）6；（3）．【解析】试题分析：(1)连接OD，根据等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，根据OD=OB得到∠ODB=60°，得到OD∥AC，根据垂直得出切线；(2)根据中位线得出BD=CD=6，根据Rt△CDF的三角函数得出CF的长度，从而得到AF的长度，最后根据Rt△AFG的三角函数求出FG的长度；(3)过点D作DH⊥AB，根据垂直得出FG∥DH，根据Rt△BDH求出BH、DH的长度，然后得出∠GDH的正切值，从而得到∠FGD的正切值.试题解析：(1)如图①，连结OD，∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，而OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线(2)∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴BD＝CD＝6.在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9 在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF·sinA＝9×＝(3)如图②，过D作DH⊥AB于H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3.∴tan∠GDH＝＝＝，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝考点：(1)圆的基本性质；(2)三角函数.。

备战2020中考数学一轮复习专项练习卷——《圆》解析版

备战2020中考数学一轮复习专项练习卷——《圆》解析版

备战2020中考数学一轮复习专项练习卷——《圆》一．选择题1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝37°，那么∠BAD＝（）A．51°B．53°C．57°D．60°2．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BF∥OC，若AB＝10，BC＝2，则CF ＝（）A．4B．5C．4D．33．如图，△ABC内接于⊙O，AC＝5，BC＝12，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（）A．B．C．D．44．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与A、B、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）A．B．C．D．5．如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD＝CD，∠B＝50°，则∠DAE的度数为（）A．70°B．65°C．60°D．55°6．已知在矩形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（）A．⊙C与直线AB相交B．⊙C与直线AD相切C．点A在⊙C上D．点D在⊙C内7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4π，BC＝3π，半径是2的⊙O从与AC相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AC相切于点D的位置，则⊙O自转了（）A．2周B．3周C．4周D．5周8．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒点P位于点C的位置，……，则第2019秒点P所在位置的坐标为（）A．（，）B．（﹣，）C．（0，﹣1）D．（，﹣）9．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，则∠A的度数等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．如图．BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，若∠ADC＝48°，则∠ACB等于（）度．A．42B．48C．46D．5011．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，BD为直径，若∠A＝65°，则∠DBC的值是（）A．15°B．25°C．35°D．65°12．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为，点G，H，I，J，K，L依次在正六边形的六条边上，且AG＝BH＝CI＝DJ＝EK＝FL，顺次连结G，I，K，和H，J，L，则图中阴影部分的周长C的取值范围为（）A．6≤C≤6B．3≤C≤3C．3≤C≤6D．3≤C≤6二．填空题13．如图，AB是⊙O的直径，OB是⊙C的直径，AE是⊙C的切线且交⊙O于点D．若AB ＝8，则BD＝．14．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为．15．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E．F．且AB＝5，AC＝12，BC＝13，则⊙O的半径是．16．如图，⊙O经过A，B，C三点，P A，PB分别与⊙O相切于A，B点，∠P＝46°，则∠C＝．17．如图，P A，PB分别切半径为2的⊙O于A，B两点，BC为直径，若∠P＝60°，则PB的长为．18．如图，A、B是⊙O上两点，弦AB＝a，P是⊙O上不与点A、B重合的一个动点，连结AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝．（用含a 的代数式表示）．19．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2米，F是线段CD的中点，EF 经过圆心O交⊙O与点E，EF＝3米，则⊙O直径的长是米．20．如图所示，在平面直角坐标系中，在x轴正半轴上选取点A1，A2，A3，…，A n；以A1A2，A2A3，A3A4，…，A n A n+1为边作等边△A1A2B1，△A2A3B2，…，△A n A n+1B n；顶点B1，B2，B3，…，B n在直线l上，且∠B1OA1＝30°，分别作△A1A2B1，△A2A3B2，…，△A n A n+1B n 的内切圆O1，O2，O3，…，O n，若⊙O1的半径为1，则⊙O n的半径为．（用含正整数n的式子表示）三．解答题21．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝4，DF＝，求⊙O的半径．22．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．23．如图，已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D为EC的延长线上一点，DH⊥AB，垂足为点H，交AC于点F．（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2）若点F为AC的中点，且∠E＝30°，BE＝2，求DF的长．24．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P 在CD的延长线上，PN＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．25．已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧两点，∠BAC＝26°．（Ⅰ）如图1，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；（Ⅱ）如图2，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．参考答案一．选择题1．解：连接BD，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．在△ABD中，∠ABD＝∠ACD＝37°，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝53°．故选：B．2．解：连OF、AC．∵BF∥OC，∴∠A＝∠BFC＝∠FCO．∵OF＝OC＝OA，∴∠ACO＝∠A＝∠FCO＝∠OFC，∴△OAC≌△OFC（AAS），∴CF＝AC＝＝4，故选：C．3．解：作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，则∠CBD ＝90°，∵∠A＝90°+∠ABC，∴∠A ＝∠ABD ，∴∠ABD +∠D ＝∠A +∠D ＝180°， ∴CD ∥AB ，∴∠B DC ＝∠ABC ， ∴＝，∴BD ＝AC ＝5．∴OM ＝BN ，在Rt △ABD 中，CD ＝＝13， ∵×BN ×CD ＝×BC ×BD ， ∴BN ═＝＝， ∴OM ＝，即点O 到AB 的距离为． 故选：B ．4．解：连接OD ，OF ．∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB ＝∠DAC ，∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠OAD ，∴∠ODA ＝∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB ＝∠C ＝90°， ∴S △AFD ＝S △OF A ，∴S 阴＝S 扇形OF A ，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OF A＝＝．故选：C．5．解：连接OC、OD，∵AD＝CD，∴＝，∴∠AOD＝∠COD，∵∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°，∴AOD＝50°，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝＝65°，即∠DAE＝65°，故选：B．6．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝13，AB＝5，∴BC＝＝＝12，∵⊙C的半径长为12，∴⊙C与直线AB相切，故A选项不正确，∵CD＝AB＝5＜12，∴⊙C与直线AD相交，故B选项不正确，∵AC＝13＞12，∴点A在⊙C外，故C选项不正确，∵CD＝5＜12，∴点D在⊙C内，故D选项正确，故选：D．7．解：Rt△ABC中，AC＝4π，BC＝3π，∴AB＝5π，圆在三边运动自转周数：＝3，圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周；可见，⊙O自转了3+1＝4周．故选：C．8．解：2019÷8＝252…3，即第2019秒点P所在位置如图：过P作PM⊥x轴于M，则∠PMO＝90°，∵OP＝1，∠POM＝45°，∴PM＝OM＝1×sin45°＝，即此时P点的坐标是（﹣，），故选：B．9．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵AC＝BC，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠A＝45°．故选：B．10．解：连接AB，如图所示：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠B＝∠ADC＝48°，∴∠ACB＝90°﹣∠B＝42°；故选：A．11．解：∵BD为直径，∴∠BCD＝90°，由圆周角定理得，∠D＝∠A＝65°，∴∠DBC＝90°﹣65°＝25°，故选：B．12．解：根据对称性可知，△GKI，△HLJ是等边三角形．阴影部分是正六边形，边长为GK的．∵GK的最大值为3，GK的最小值为，∴阴影部分的正六边形的边长的最大值为1，最小值为，∴图中阴影部分的周长C的取值范围为：3≤C≤6．故选：C．二．填空题（共8小题）13．解：连接CE、BD，∵AD是⊙C的切线，∴CE⊥AD，∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，∴CE∥BD，∴△ACE∽△ABD，∴＝，即＝，解得，BD＝，故答案为：．14．解：∵所对的圆周角∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×50°＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝∠AOB﹣∠AOP＝100°﹣55°＝45°．故答案为45°．15．解：如图，连接OD、OE、OF，∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E．F，∴OE⊥AC，OF⊥AB，AE＝AF，∵AB＝5，AC＝12，BC＝13，即52+122＝132，∴△ABC为直角三角形，∴∠A＝90°，∴四边形AEOF是正方形，∴OE＝OF＝AE＝AF，设⊙O的半径是r，则AF＝AE＝r，BF＝BD＝5﹣r，EC＝DC＝12﹣r，∵BD+DC＝BC＝13，∴5﹣r+12﹣r＝13，解得r＝2．所以⊙O的半径是2．故答案为2．16．解：∵P A，PB分别与⊙O相切于A，B点，∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣46°＝134°，由圆周角定理得，∠C＝∠AOB＝67°，故答案为：67°．17．解：如图所示：连接AC，∵P A，PB是切线，∴P A＝PB．又∵∠P＝60°，∴AB＝PB，∠ABP＝60°，又CB⊥PB，∴∠ABC＝30°．∵BC是直径，BC＝4，∴∠BAC＝90°．∴AB＝BC•cos30°＝4×＝2．∴PB＝2；故答案为：2．18．解：连接AB，∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，∴AE＝PE，PF＝BF，∴EF是△APB的中位线，∴EF∥AB，EF＝AB＝，故答案为：a．19．解：如图，连接OC，∵F是弦CD的中点，EF过圆心O，∴EF⊥CD．∴CF＝FD．∵CD＝2，∴CF＝1，设OC＝x，则OF＝3﹣x，在Rt△COF中，根据勾股定理，得12+（3﹣x）2＝x2．解得x＝，∴⊙O的直径为．故答案为：．20．解：∵△A1A2B1是等边三角形，内切圆半径为1，∴△A1A2B1的边长为，∵∠A1OB1＝30°，∠B1A1A2＝∠A1OB1+∠A1B1O＝60°，∴∠A1OB1＝∠OB1A1∴OA1＝A1B1＝A1A2＝，同法可证OA2＝A2B2＝A2A3＝2，OA3＝A3B3＝A3A4＝4，∴⊙O2的半径＝×＝2，⊙O3的半径为×4＝22，…，由此可知⊙O n的半径为2n﹣1，故答案为2n﹣1三．解答题（共5小题）21．证明：（1）连接AO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠CF A＝∠OFD，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD＝90°，∴∠CF A+∠DAO＝90°，∴∠OAC＝90°，且OA是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△ODF中，DF2＝OD2+OF2，∴10＝OD2+（4﹣OD）2，∴OD＝1（不合题意舍去），OD＝3，∴⊙O的半径为3．22．解：（1）证明：∵I是△ABC内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠DBC＝∠DAB，∵∠ABI＝∠CBI，∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI∠DIB＝∠DAB+∠ABI∴∠DBI＝∠DIB，∴BD＝ID．（2）连接OD，∵＝，根据垂径定理，得OD⊥BC于点H，CH＝BH＝BC＝3，∵AI⊥OI．∴AI＝DI，∴AI＝BD，作IG⊥AB于点G，∴∠AGI＝∠BED＝90°，∠DBC＝∠BAD，∴△AGI≌△BHD（AAS）∴AG＝BH＝3．过点I作IM⊥BC，IN⊥AC于点M、N，∵I是△ABC内心，∴AN＝AG＝3，BM＝BG＝4﹣3＝1，CN＝CM＝6﹣1＝5，∴AC＝AN+CN＝8．答：AC的长为8．23．（1）证明：连结OC，如图1，∵DC为⊙O的切线，∴OC⊥DC，∴∠OCD＝90°，即∠ACO+∠FCD＝90°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝90°，∴∠CAO+∠AFH＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠AOC，∴∠FCD＝∠AFH，而∠AFH＝∠DFC，∴∠DFC＝∠DCF，∴△FCD是等腰三角形；（2）解：连结OF，OC，如图2，在Rt△COE中，∠E＝30°，BE＝2，∴OE＝2OC，即OB+2＝2OC，而OB＝OC，∴OC＝2，∴⊙O的半径为2；∵∠EOC＝90°﹣∠E＝60°，∴∠ACO＝∠AOC＝30°，∴∠FCD＝90°﹣∠ACO＝60°，∴△FCD为等边三角形，∵F为AC的中点，∴OF⊥AC，∴AF＝CF，在Rt△OCF中，OF＝OC＝1，∴CF＝OF＝，∴．24．（1）证明：连接OE，如图1所示：∵PN＝PE，∴∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE．∵AB⊥CD，∴∠OBE+∠BNF＝90°，∴∠OEB+∠PEN＝90°，即∠OEP＝90°，∴PE⊥OE，∴PE是⊙O的切线．（2）解：连接CE，如图2所示：∵DE∥AB，AB⊥CD，∴∠EDC＝90°∴CE为⊙O的直径．∵AB⊥CD，∴CF＝DF，∴DE＝2OF＝6．∵OF＝3，BF＝2，∴OC＝OB＝5，CE＝10，∴CD＝＝＝8，由（1）知PE⊥CE．设PD＝x，则PC＝x+8．在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理，得：PD2+DE2＝PE2＝PC2﹣CE2，即x2+62＝（x+8）2﹣102，解得：x＝，∴PD＝．∴PE＝＝＝，∴PN＝PE＝．25．解：（Ⅰ）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝26°，∴∠ABC＝64°，∵OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠ACD＝∠AOD＝×90°＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝26°，∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝71°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝71°；（Ⅱ）如图2，连接OC，∵∠BAC＝26°，∴∠EOC＝2∠A＝52°，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∴∠E＝38°，∵OD∥CE，∴∠AOD＝∠E＝38°，∴∠ACD＝AOD＝19°．。

2020年中考数学一轮复习之圆中考真题训练(含解析)

2020年中考数学一轮复习之圆中考真题训练(含解析)

2020年中考数学一轮复习之圆1．（2019•北京）在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称为△ABC 的中内弧．例如，图1中是△ABC 的一条中内弧．（1）如图2，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，画出△ABC 的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），B （0，0），C （4t ，0）（t ＞0），在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．①若t ＝，求△ABC 的中内弧所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围；②若在△ABC 中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．2．（2019•荆州）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线1⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）当点E是的中点时，①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．3．（2019•广元）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求P A的长；（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．4．（2019•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．5．（2019•广东）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD ＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．6．（2019•宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．（1）填空：点A（填“在”或“不在”）⊙O上；当＝时，tan∠AEF的值是；（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH＝AE+DH；（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM＝FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AE＝AD时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF的值．7．（2019•淮安）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE ⊥AC，垂足为E．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．8．（2019•毕节市）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O 相交于点A、B．（1）若∠A＝30°，求证：P A＝3PB；（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝（90°﹣∠P）成立．请你写出推理过程．9．（2019•十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．10．（2019•随州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．11．（2019•常德）如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．12．（2019•益阳）如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC 于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．（1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由；（2）求证：ND＝NE；（3）若DE＝2，EC＝3，求BC的长．13．（2019•天门）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求的值．14．（2019•河北）如图1和2，▱ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝．点P为AB 延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP＝x．（1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE 与BC的位置关系；（2）当x＝4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小；（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．15．（2019•咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是等补四边形；探究：（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．运用：（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．参考答案1．解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，∴BC＝＝＝4，DE＝BC＝×4＝2，∴弧＝×2π＝π；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE 垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当t＝时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，∵OA＝OC，∠AOC＝90°∴∠ACO＝45°，∵DE∥OC∴∠AED＝∠ACO＝45°作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF＝根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；∴m≤综上所述，m≤或m≥1．②如图4，设圆心P在AC上，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM＝，∴P（t，），∵DE∥BC∴∠ADE＝∠AOB＝90°∴AE＝＝＝，∵PD＝PE，∴∠AED＝∠PDE∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，∴∠DAE＝∠ADP∴AP＝PD＝PE＝AE由三角形中内弧定义知，PD≤PM∴AE≤，AE≤3，即≤3，解得：t≤，∵t＞0∴0＜t≤．如图5，设圆心P在BC上，则P（t，0）PD＝PE＝＝，PC＝3t，CE＝AC＝＝由三角形中内弧定义知，∠PEC＜90°，∴PE2+CE2≥PC2即+≥（3t）2，∵t＞0∴0＜t≤；综上所述，t的取值范围为：0＜t≤．2．解：（1）证明：连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵PF⊥AB，∴∠BPD＝90°，∴∠OBC+∠BDP＝90°，∵FC＝FD∴∠FCD＝∠FDC∵∠FDC＝∠BDP∴∠OCB+∠FCD＝90°∴OC⊥FC∴FC是⊙O的切线．（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵点E是的中点，∴∠BOE＝∠COE＝60°，∵OB＝OE＝OC∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB＝BE＝CE＝OC∴四边形BOCE是菱形；②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．∵＝tan∠ABC＝，设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得k＝4，∴AC＝12，BC＝16，∵点E是的中点，∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，∴OE×BH＝OB×PE，即10×8＝10PE，解得：PE＝8，由勾股定理得OP＝＝＝6，∴BP＝OB﹣OP＝10﹣6＝4，∵＝tan∠ABC＝，即DP＝BP＝＝3∴DE＝PE﹣DP＝8﹣3＝5．3．解：（1）证明：连接OD，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，即∠PCD+∠OCD＝90°，∵OA⊥CD∴CE＝DE∴PC＝PD∴∠PDC＝∠PCD∵OC＝OD∴∠ODC＝∠OCD，∴∠PDC+∠ODC＝∠PCD+∠OCD＝90°，∴PD是⊙O的切线．（2）如图2，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴tan B＝＝设AC＝m，BC＝2m，则由勾股定理得：m2+（2m）2＝102，解得：m＝，AC＝2，BC＝4，∵CE×AB＝AC×BC，即10CE＝2×4，∴CE＝4，BE＝8，AE＝2在Rt△OCE中，OE＝OA﹣AE＝3，OC＝5，∴CE＝＝＝4，∵∴OP×OE＝OC×OC，即3OP＝5×5，∴OP ＝，P A ＝OP ﹣OA ＝﹣5＝． （3）AB 2＝4OE •OP如图2，∵PC 切⊙O 于C ，∴∠OCP ＝∠OEC ＝90°，∴△OCE ∽△OPC∴，即OC 2＝OE •OP∵OC ＝AB∴即AB 2＝4OE •OP ．4．解：（1）FG 与⊙O 相切，理由：如图，连接OF ，∵∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，∴CD ＝BD ，∴∠DBC ＝∠DCB ，∵OF ＝OC ，∴∠OFC ＝∠OCF ，∴∠OFC ＝∠DBC ，∴OF ∥DB ，∴∠OFG+∠DGF＝180°，∵FG⊥AB，∴∠DGF＝90°，∴∠OFG＝90°，∴FG与⊙O相切；（2）连接DF，∵CD＝2.5，∴AB＝2CD＝5，∴BC＝＝4，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∴FD⊥BC，∵DB＝DC，∴BF＝BC＝2，∵sin∠ABC＝，即＝，∴FG＝．5．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC；（2）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∴＝，∴OA⊥BC，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CF A，∴∠ACD＝∠CAF+∠CF A＝2∠CAF，∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线；（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∴△ABE∽△CBA，∴＝，∴AB2＝BC•BE，∵BC•BE＝25，∴AB＝5，如图2，连接AG，∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，∵点G为内心，∴∠DAG＝∠GAC，又∵∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，∴∠BAG＝∠BGA，∴BG＝AB＝5．6．解：（1）连接AO，∵∠EAF＝90°，O为EF中点，∴AO＝EF，∴点A在⊙O上，当＝时，∠AEF＝45°，∴tan∠AEF＝tan45°＝1，故答案为：在，1；（2）∵EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠DFH＝90°，∴∠AEF＝∠DFH，又FE＝FH，∴△AEF≌△DFH（AAS），∴AF＝DH，AE＝DF，∴AD＝AF+DF＝AE+DH；（3）延长EF交HD的延长线于点G，∵F分别是边AD上的中点，∴AF＝DF，∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，∴△AEF≌△DGF（ASA），∴AE＝DG，EF＝FG，∵EF⊥FH，∴EH＝GH，∴GH＝DH+DG＝DH+AE，∴EH＝AE+DH；（4）过点M作MQ⊥AD于点Q．设AF＝x，AE＝a，∵FM＝FEEF⊥FH，∴△EFM为等腰直角三角形，∴∠FE M＝∠FMN＝45°，∵FM＝FE，∠A＝∠MQF＝90°，∠AEF＝∠MFQ，∴△AEF≌△QFM（ASA），∴AE＝FQ＝a，AF＝QM，∵AE＝AD，∴AF＝DQ＝QM＝x，∵DC∥QM，∴，∵DC∥AB∥QM，∴，∴，∵FE＝FM，∴，∠FEM＝∠FMN＝45°，∴△FEN～△HMN，∴，∴．7．解：（1）直线DE与⊙O相切，连结OD．∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）过O作OG⊥AF于G，∴AF＝2AG，∵∠BAC＝60°，OA＝2，∴AG＝OA＝1，∴AF＝2，∴AF＝OD，∴四边形AODF是菱形，∴DF∥OA，DF＝OA＝2，∴∠EFD＝∠BAC＝60°，∴EF＝DF＝1．8．解：（1）∵AB是直径∴∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC∵PC是⊙O切线∴∠BCP＝∠A＝30°，∴∠P＝30°，∴PB＝BC，BC＝AB，∴P A＝3PB（2）∵点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B，∴∠BCP＝∠A，∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°，∴2∠BCP＝90°﹣∠P，∴∠BCP＝（90°﹣∠P）9．解：（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，∵∠CDE＝∠BAC．∴∠CDE＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵∠ADO+∠ODC＝90°，∴∠ODC+∠CDE＝90°∴∠ODE＝90°又∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝3BD，∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，∴AD＝＝2x，∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，∴△CDE∽△DAE，∴＝，即＝＝∴DE＝4，x＝，∴AC＝3x＝14，∴⊙O的半径为7．10．（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵AB＝AC，∴2∠1＝∠CAB．∵∠BAC＝2∠CBF，∴∠1＝∠CBF∴∠CBF+∠2＝90°即∠ABF＝90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线；（2）解：过点C作CH⊥BF于H．∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，∴sin∠1＝，∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝3，∴BE＝AB•sin∠1＝3×＝，∵AB＝AC，∠AE B＝90°，∴BC＝2BE＝2，∵sin∠CBF＝＝，∴CH＝2，∵CH∥AB，∴＝，即＝，∴CF＝6，∴AF＝AC+CF＝9，∴BF＝＝6．11．（1）证明：连接OD、CD，∵CE是⊙O的直径，∴∠EDC＝90°，∵DE∥OA，∴OA⊥CD，∴OA垂直平分CD，∴OD＝OC，∴OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE∥OA，∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，∵AC是切线，∴∠ACB＝90°，在△AOD和△AOC中∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∵OD是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接OD，CD，∵BD是⊙O切线，∴∠ODB＝90°，∴∠BDE+∠ODE＝90°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∴∠ODC+∠ODE＝90°，∴∠BDE＝∠ODC，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠BDE＝∠OCD，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCD，∴∴BD2＝BE•BC，设BE＝x，∵BD＝4，E C＝6，∴42＝x（x+6），解得x＝2或x＝﹣8（舍去），∴BE＝2，∴BC＝BE+EC＝8，∵AD、AC是⊙O的切线，∴AD＝AC，设AD＝AC＝y，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴（4+y）2＝y2+82，解得y＝6，∴AC＝6，故AC的长为6．12．（1）解：四边形AMCD是菱形，理由如下：∵M是Rt△ABC中AB的中点，∴CM＝AM，∵CM为⊙O的直径，∴∠CNM＝90°，∴MD⊥AC，∴AN＝CN，∵ND＝MN，∴四边形AMCD是菱形．（2）∵四边形CENM为⊙O的内接四边形，∴∠CEN+∠CMN＝180°，∵∠CEN+∠DEN＝180°，∴∠CMN＝∠DEN，∵四边形AMCD是菱形，∴CD＝CM，∴∠CDM＝∠CMN，∴∠DEN＝∠CDM，（3）∵∠CMN＝∠DEN，∠MDC＝∠EDN，∴△MDC∽△EDN，∴，设DN＝x，则MD＝2x，由此得，解得：x＝或x＝﹣（不合题意，舍去），∴，∵MN为△ABC的中位线，∴BC＝2MN，∴BC＝2．13．解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，∴△ABE和△BCD都是等边三角形，∴∠DBE＝∠ABC，AB＝BE，BC＝BD，∴△BED≌△BAC（SAS），∴DE＝AC，∴AD＝AE+DE＝AB+AC；故答案为：AB+AC＝AD．（2）AB+AC＝AD．理由如下：如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠MBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD＝45°，∴△MBD≌△ACD（SAS），∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，∴MD⊥AD．∴AM＝，即AB+BM＝，∴AB+AC＝；（3）如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠NBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴△NBD≌△ACD（SAS），∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，∴△NAD∽△CBD，∴，∴，又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝5，BD＝4，∴＝．14．解：（1）如图1，AP 经过圆心O ，∵CP 与⊙O 相切于P ，∴∠APC ＝90°，∵▱ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠PBC ＝∠DAB∴＝tan ∠PBC ＝tan ∠DAB ＝，设CP ＝4k ，BP ＝3k ，由CP 2+BP 2＝BC 2， 得（4k ）2+（3k ）2＝152，解得k 1＝﹣3（舍去），k 2＝3，∴x ＝BP ＝3×3＝9，故当x ＝9时，圆心O 落在AP 上；∵AP 是⊙O 的直径，∴∠AEP ＝90°，∴PE ⊥AD ，∵▱ABCD ，∴BC ∥AD∴PE ⊥BC（2）如图2，过点C 作CG ⊥AP 于G ，∵▱ABCD ，∴BC ∥AD ，∴∠CBG ＝∠DAB∴＝tan ∠CBG ＝tan ∠DAB ＝，设CG ＝4m ，BG ＝3m ，由勾股定理得：（4m ）2+（3m ）2＝152，解得m ＝3，∴CG ＝4×3＝12，BG ＝3×3＝9，PG ＝BG ﹣BP ＝9﹣4＝5，AP ＝AB +BP ＝3+4＝7， ∴AG ＝AB +BG ＝3+9＝12∴tan ∠CAP ＝＝＝1，∴∠CAP ＝45°；连接OP ，OQ ，过点O 作OH ⊥AP 于H ，则∠POQ ＝2∠CAP ＝2×45°＝90°，PH ＝AP＝，在Rt△CPG中，＝＝13，∵CP是⊙O的切线，∴∠OPC＝∠OHP＝90°，∠OPH+∠CPG＝90°，∠PCG+∠CPG＝90°∴∠OPH＝∠PCG∴△OPH∽△PCG∴，即PH×CP＝CG×OP，×13＝12OP，∴OP＝∴劣弧长度＝＝，∵＜2π＜7∴弦AP的长度＞劣弧长度．（3）如图3，⊙O与线段AD只有一个公共点，即圆心O位于直线AB下方，且∠OAD ≥90°，当∠OAD＝90°，∠CPM＝∠DAB时，此时BP取得最小值，过点C作CM⊥AB于M，∵∠DAB＝∠CBP，∴∠CPM＝∠CBP∴CB＝CP，∵CM⊥AB∴BP＝2BM＝2×9＝18，∴x≥1815．解：（1）证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴，∴AD＝CD，∴四边形ABCD是等补四边形；（2）AC平分∠BC D，理由如下：如图2，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，则∠AEB＝∠AFD＝90°，∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠B+∠ADC＝180°，又∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF，∴AC是∠BCF的平分线，即AC平分∠BCD；（3）如图3，连接AC，∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，又∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD，∵AF平分∠EAD，∴∠F AD＝∠EAD，由（2）知，AC平分∠BCD，∴∠FCA＝∠BCD，∴∠FCA＝∠F AD，又∠AFC＝∠DF A，∴△ACF∽△DAF，∴，即，∴DF＝5﹣5．。

2020中考数学一轮专项复习《圆》中考真题能力提升卷(含答案)

2020中考数学一轮专项复习《圆》中考真题能力提升卷(含答案)

2020中考数学一轮专项复习《圆》中考真题能力提升卷一．选择题（每题3分，共36分）1．如图，AB为⊙O的直径，C，D两点在圆上，∠CAB＝20°，则∠ADC的度数等于（）A．114°B．110°C．108°D．106°2．已知一个三角形的三边长分别为5，12，13，则其内切圆的半径为（）A．1B．2C．4D．6.53．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝125°，则∠C的度数为（）A．45°B．55°C．65°D．75°4．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝59°，则∠P的度数为（）A．59°B．62°C．118°D．124°5．如图，AB是⊙O的直径，点D是半径OA的中点，过点D作CD⊥AB，交〇O于点C，点E为弧BC的中点，连结ED并延长ED交⊙O于点F，连结AF、BF，则（）A．sin∠AFE＝B．cos∠BFE＝C．tan∠EDB＝D．tan∠BAF＝6．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A．2B．2C．3D．47．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝5，AC ＝8，则cos B的值是（）A．B．C．D．8．如图，DE是边长为2的菱形ABCD的高，CE＝1，以点D为圆心，DE的长为半径画弧，交BD于F，交DC于G，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．C．D．9．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD 边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB＝6，BC＝3，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE＝4CE；④S＝．其中正确的结论有（）阴影A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5B．4C．3D．211．如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝6，则△PCD的周长为（）A．8B．6C．12D．1012．如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC＝2，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．二．填空题（每题3分，共24分）13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E连接EB、DE，EC＝2，BC＝6，则⊙O的半径为．14．如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B，作直线BC，连接AB，AC，若∠P＝80°，则∠C＝°．15．在⊙O中，∠AOB＝120°，P为劣弧AB上的一点，则∠APB的度数是．16．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆的半径OA交小圆于点D，若OD＝3，tan∠OAB＝，则AB的长是．17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为．18．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为弧AB中点，点P是⊙O上一个动点，取弦AP的中点D，则CD的最大值为．19．正△ABC的边长为4，⊙A的半径为2，D是⊙A上动点，E为CD中点，则BE的最大值为．20．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．①AD AN（填“＞”，“＝”或“＜”）；②AB＝8，ON＝1，⊙O的半径为．三．解答题（每题8分，共40分）21．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC 的中点．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝6，求图中阴影部分的面积．22．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE＝60°，cos C＝，BC＝2．（1）求∠A的度数；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）求MD的长度．23．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．24．如图1，在矩形ABCD中，AB＝18cm，BC＝24cm．在Rt△GEF中，∠GFE＝90°．EF ＝12cm，GF＝16cm．E，F两点在BC边上，GE，GF两边分别与矩形ABCD对角线BD 交于M，N两点．现矩形ABCD固定不动，△GEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以2cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FG﹣GE上以4cm/s的速度向点E运动．⊙G是以G为圆心．GP的长为半径的圆．△GEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△GEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s）．（1）当t＝2s时，PN＝cm，GM＝cm；（2）当△PGE为等腰三角形时，求t的值；（3）当⊙G与BD相切时，求t的值．25．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝4，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠ACD＝∠B．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AD＝1，求BC的长；（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．参考答案一．选择题1．解：连接BC．∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝20°，∴∠B＝90°﹣20°＝70°，在圆内接四边形ABCD中，∠ADC＝180°﹣70°＝110°．故选：B．2．解：∵AC2+BC2＝25+144＝169，AB2＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠C＝90°，连接OE、OQ，∵圆O是三角形ABC的内切圆，∴AE＝AF，BQ＝BF，∠OEC＝∠OQC＝∠C＝90°，OE＝OQ，∴四边形OECQ是正方形，∴设OE＝CE＝CQ＝OQ＝r，∵AF+BF＝13，∴12﹣r+5﹣r＝13，∴r＝2，故选：B．3．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝125°，∴∠C＝55°，故选：B．4．解：连接OA、OB，如图所示：∵P A、PB是⊙O切线，∴P A⊥OA，PB⊥OB，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∵∠P+∠P AO+∠AOB+∠PBO＝360°，∴∠P＝180°﹣∠AOB，∵∠ACB＝59°，∴∠AOB＝2∠ACB＝118°，∴∠P＝180°﹣118°＝62°，故选：B．5．解：连接OC、OF，作EG⊥AB于G，∵OD＝OC，∴∠OCD＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∴∠AFE＝∠BOC＝60°，∴，A错误；∵点E为弧BC的中点，∴∠BOE＝∠BOC＝60°，∴∠BFE＝30°，∴cos∠BFE＝，B错误；设OD＝a，则OC＝2a，由勾股定理得，CD＝＝a，在△COD和△EOG中，，∴△COD≌△EOG（AAS）∴EG＝CD＝a，OG＝OD＝a，∴tan∠EDB＝＝，C正确；∵tan∠EDB＝，∴∠EDB≠60°，则∠BAF≠60°，∴tan∠BAF≠，D错误；故选：C．6．解：∵⊙O与AC相切于点D，∴AC⊥OD，∴∠ADO＝90°，∵AD＝OD，∴tan A＝＝，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠C＝∠ADO＝90°，∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝6，AC＝BC＝6，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝×6＝2；故选：A．7．解：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°．Rt△ACD中，AD＝2r＝10，AC＝8．根据勾股定理，得：CD＝．∴cos D＝．∵∠B＝∠D，∴cos B＝cos D＝，故选：B．8．解：∵DE是边长为2的菱形ABCD的高，CE＝1，∴∠DEC＝90°，DC＝2，∴cos∠DCE＝，DE＝＝，∴∠DCE＝60°，∴∠ADC＝120°，∴∠FDG＝60°，∴图中阴影部分的面积为：＝，故选：B．9．解：①∵AF是AB翻折而来，∴AF＝AB＝6，∵AD＝BC＝3，∴DF＝＝3，∴F是CD中点；∴①正确；②连接OP，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∵AD⊥DC，∴OP∥CD，∴＝，设OP＝OF＝x，则＝，解得：x＝2，∴②正确；③∵Rt△ADF中，AF＝6，DF＝3，∴∠DAF＝30°，∠AFD＝60°，∴∠EAF＝∠EAB＝30°，∴AE＝2EF；∵∠AFE＝90°，∴∠EFC＝90°﹣∠AFD＝30°，∴EF＝2EC，∴AE＝4CE，∴③正确；④连接OG，作OH⊥FG，∵∠AFD ＝60°，OF ＝OG ，∴△OFG 为等边△；同理△OPG 为等边△；∴∠POG ＝∠FOG ＝60°，OH ＝OG ＝，S 扇形OPG ＝S 扇形OGF ， ∴S 阴影＝（S 矩形OPDH ﹣S 扇形OPG ﹣S △OGH ）+（S 扇形OGF ﹣S △OFG ）＝S 矩形OPDH ﹣S △OFG ＝2×﹣（×2×）＝．∴④正确；故选：D ．10．解：连接AI 、BI ，∵点I 为△ABC 的内心，∴AI 平分∠CAB ，∴∠CAI ＝∠BAI ，由平移得：AC ∥DI ，∴∠CAI ＝∠AID ，∴∠BAI ＝∠AID ，∴AD ＝DI ，同理可得：BE ＝EI ，∴△DIE 的周长＝DE +DI +EI ＝DE +AD +BE ＝AB ＝4，即图中阴影部分的周长为4，故选：B ．11．解：∵P A 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，∴P A ＝PB ＝6，AC ＝EC ，BD ＝ED ，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝P A+AC+PD+BD＝P A+PB＝6+6＝12，即△PCD的周长为12，故选：C．12．解：连接OC，∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，∴∠AOC＝60°，∠BOC＝120°，∵AB为半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝2，∴△BOC的面积＝×△ABC的面积＝××2×2＝，扇形BOC的面积＝＝π，则阴影部分的面积＝π﹣，故选：A．二．填空题（共8小题）13．解：连接BE，AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵BC＝6，AB＝AC，∴CD＝BD＝3，∵由圆周角定理得：∠CAD＝∠CBE，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CEB，∴＝，∴＝，解得：AC＝9，∵AB＝AC，∴AB＝9，∴⊙O的半径为＝4.5，故答案为：4.5．14．解：连接OA，∵过⊙O外一点P作⊙O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝80°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，∴∠C＝AOB＝50°，故答案为：50．15．解：作所对的圆周角∠ACB，如图，∴∠ACB＝∠AOB＝×120°＝60°，∵∠ACB+∠APB＝180°，∴∠APB＝180°﹣60°＝120°．故答案为120°．16．解：连接OC，∵大圆的弦AB切小圆于点C，∴OC⊥AB，∴AB＝2AC，∵OD＝3，∴OC＝3，∵tan∠OAB＝＝，∴AC＝6，∴AB＝12．故答案为：12．17．解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA﹣AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，∴CH＝，∴CD＝2CH＝2．故答案为：218．解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥P A，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为弧AB中点，∴OC⊥AB，在Rt△OCK中，∵∠COA＝90°，OC＝2，OK＝AO＝，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝，∴CD＝+，∴CD的最大值为+，故答案为：+．19．解：连接AD，∵⊙A的半径是2，∴⊙A与AC边交于AC的中点F，∵E为CD中点，E点的运动轨迹是以F为圆心FE为半径的圆，∴当点B，E，F三点共线，此时BE与圆A相切时，BE的值最大，∵AF＝2，AB＝4，∴BF＝2，∵E为CD中点，F是AC的中点，∴EF＝AD＝1，∴BE＝2+1；故答案为2+1．20．解：（1）AD＝AN，证明：∵CD⊥AB∴∠CEB＝90°∴∠C+∠B＝90°，同理∠C+∠CNM＝90°∴∠CNM＝∠B∵∠CNM＝∠AND∴∠AND＝∠B，∵∠D＝∠B，∴∠AND＝∠D，∴AN＝AD，故答案为＝；（2）设OE的长为x，连接OA∵AN＝AD，CD⊥AB∴DE＝NE＝x+1，∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，∴OA＝OD＝2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，∴x2+42＝（2x+1）2．解得x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），∴OA＝2x+1＝2×+1＝，即⊙O的半径为，故答案为．三．解答题（共5小题）21．解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OE、OD，如图，∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠OAC＝90°，∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，∴OE∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，∵OB＝OD，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，在△AOE和△DOE中，∴△AOE≌△DOE（SAS）∴∠ODE＝∠OAE＝90°，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵DE、AE是⊙O的切线，∴DE＝AE，∵点E是AC的中点，∴AE＝AC＝3，∠AOD＝2∠B＝2×50°＝100°，∴图中阴影部分的面积＝2××2×3﹣＝6﹣π．22．（1）解：∵∠BOE＝60°，∴∠A＝∠BOE＝30°．（2）证明：在△ABC中，∵cos C＝，∴∠C＝60°．又∵∠A＝30°，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．∴BC是⊙O的切线．（3）解：∵点M是的中点，∴OM⊥AE．在Rt△ABC中，∵BC＝2，∴AB＝BC•tan60°＝2×＝6．∴OA＝＝3，∴OD＝OA＝，∴MD＝．23．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG．（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，∴OE＝AE﹣OA＝，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（）2+42，解得r＝或（舍弃），∴⊙O的半径为．24．解：（1）当t＝2时，BF＝2×2＝4（cm），FP＝2×4＝8（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝18cm，tan∠DBC＝＝＝，∵∠GFE＝90°，∴∠BFN＝90°＝∠C，∴GF∥CD，∴△BFN∽△BCD，∴＝，即＝，解得：FN＝3cm，∴PN＝FP﹣FN＝5cm；GN＝GF﹣FN＝16﹣3＝13（cm），∵Rt△GEF中，∠GFE＝90°．EF＝12cm，GF＝16cm，∴GE＝＝20cm，tan∠G＝＝＝，∴∠DBC＝∠G，∵∠BFN＝180°﹣90°＝90°，∴∠DBC+∠BNF＝90°，∵∠GNM＝∠BNF，∴∠G+∠GNM＝90°，∴∠GMN＝90°，∴△GNM∽△GEF，∴＝，即＝，∴GM＝cm，故答案为：5，；（2）由题意得：当△PGE为等腰三角形时，PG＝PE，如图2所示：设PF＝x，则PE＝PG＝（16﹣x）cm，在Rt△PEF中，由勾股定理得：122+x2＝（16﹣x）2，解得：x＝，∴PF＝，∴t＝÷4＝（s）；（3）由勾股定理得：BD＝＝30cm，由（1）得：∠GMN＝90°，∴GM⊥BD，∵GP是⊙G的半径，∴当⊙G与BD相切时，GM＝GP，∵∠BME＝∠C＝90°，∠DBC＝∠EBM，∴△BME∽△BCD，∴＝，即＝，解得：ME＝（2t+12），∴GM＝GE﹣ME＝20﹣（2t+12）＝，分两种情况：①当0＜t≤4时，∵GP＝16﹣4t，∴＝16﹣4t，解得：t＝；②当4＜t≤6时，P与M重合，GP＝4t﹣16，∴＝4t﹣16，解得：t＝；综上所述，当⊙G与BD相切时，t的值为s或s．25．（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB ＝90°，即∠BCO +∠OCA ＝90°，∵OB ＝OC ，∴∠BCO ＝∠B ，∵∠ACD ＝∠B ，∴∠ACD +∠OCA ＝90°，∵OC 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝∠B ，∠ACB ＝∠ADC ，∴Rt △ABC ∽Rt △ACD ，∴，∴AC 2＝AD •AB ，AC 2＝1×4＝4，∴AC ＝2，BC 2＝AB 2﹣AC 2＝42﹣4＝12，∴；（3）解：在Rt △ABC 中∵AC ＝2，AB ＝4，∴∠B ＝30°，∴∠OAC ＝60°，∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC ＝60°，在Rt △ADC 中∵∠ACD ＝∠B ＝30°，AD ＝1，∴CD ＝＝＝，∴S 阴影＝S 梯形ADCO ﹣S 扇形OAC ＝．。

2020年中考数学一轮复习基础考点及题型专题23圆(含解析)

2020年中考数学一轮复习基础考点及题型专题23圆(含解析)

专题23 圆考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段OO绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点O所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OO叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以O、O为端点的弧记作OO⏜，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 弦心距、半径、弦长的关系：（考点）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。

中考数学一轮复习培优训练：《圆》

中考数学一轮复习培优训练：《圆》

2020年中考数学一轮复习培优训练：《圆》1．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F 为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．2．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．3．（1）已知等边△ABC内接于⊙O．点P为上的一个动点，连结PA、PB、PC．①如图1，当线段PC经过点O时，试写出线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并说明理由；②如图2，点P为上的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图3，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，∠BAC的外角平分线交△ABC的外接圆于点P，PE⊥AC于E，求AE的长．4．感知定义在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．尝试运用（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线．①证明△ABD是“类直角三角形”；②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．类比拓展（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝10，弦AD＝6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．5．已知：AB是⊙O直径，点E、F是弦AD、CD延长线上的点，∠F＝∠BAD；（1）求EF与AC的位置关系．（2）连接CE交⊙O于G，连接BD，若2∠CAE+∠DAG＝∠ABD，求证：AC＝CE．（3）在（2）的条件下，延长AB、EF交于K，EK＝2AC，AK＝10，△AEK的面积＝18，求线段EK的长度．6．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的长．7．（2019秋•如皋市期中）如图，AB是⊙O的切线，切点为B，OA交⊙O于点C，过点C的切线交AB于点D．若∠BAO＝30°，CD＝2．（1）求⊙O的半径；（2）若点P在上运动，设点P到直线BC的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．8．如图：已知△ADC内接于⊙ O，AO是 ⊙O的半径．点E是CD上一点，连接AE，∠DAE ＝∠CAO．（1）求证：AE⊥CD；（2）如图2，延长AO交CD于点G，交 ⊙O于点B，过B作BF⊥CD于F．求证：CF＝DE；（3）如图3，M是弧CD的中点，连接CM交AB于点H，连接AM交CD于点N，连接DM．若CN＝DM，AD＝，tan∠CGB＝，求 ⊙O的半径．9．已知，如图△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，BD＜DC，过点A、D、C三点的⊙O交AB于点F，点E在上，连接DF、AE、DE、CE．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）若，请用题意可以推出的结论说明命题：“一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题．10．如图1，在⊙O中，弦AB与半径OC交于点E，连接AC、OB，∠BOE＝2∠OEB．（1）求证：AC＝EC；（2）如图2，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，垂足为M，连接CB，求证：CD＝CB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DO并延长DO交AB于点F，连接CF、BD，过点M 作MP⊥DB于点P，交DF于点Q，连接OP，若∠DFC＝90°，QO＝1时，求线段OP的长度．11．已知：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E为弧AC上一点，连接BE．（1）如图1，求证：∠CEB＝∠DEB；（2）如图2，若弦CD经过圆心O，过点A作AF⊥AE交DE于，求证：CE＝DF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC交ED、EB于点H、G，连接BF，若CG＝2，AH＝3，求BF的长．12．已知，△ABC内接于 O，AB＝AC，连接AO并延长交BC于点D．（1）如图1，求证：AD⊥BC；（2）如图2，过点B作AC的垂线，交AD于点E，交⊙O于点F，垂足为点G，连接CF，求证：CF+FG＝BG；（3）如图3，在（2）的条件下，P为弧AC上一点，弧PF＝弧CF，连接PA、PB、PC，PB 交AD于点M，交AC于点N，若PB＝16，PC＝10，求△AMN的面积．13．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分线交AC边于点D，交AB 边于点O，以点O为圆心，OB的长为半径作圆，与AB边交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点P为⊙O上的动点（含点E，B），连接BD、BP、DP．①当点P只在BE左侧半圆上时，如果BC∥DP，求∠BDP的度数；②若Q是BP的中点，当BE＝4时，直接写出CQ长度的最小值．14．如图，AB是⊙O的直径，CE是⊙O切线，C是切点，EA交弦BC于点D、交⊙O于点F，连接CF：（1）如图1，求证：∠ECB＝∠F+90°；（2）如图2，连接CD，延长BA交CE于点H，当OD⊥BC、HA＝HE时，求证：AB＝CE；（3）如图3，在（2）的条件K在EF上，EH＝FK，S△ADO＝，求WE的长．15．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦且与AB交于点E（E不与O重合），CE ＝DE，点F在弧AD上，连接AD、CF、DF，CF交AB于点H，交AD于点G．（1）如图1，求证：∠CFD＝2∠BAD；（2）如图2，过点B作BN⊥CF于点N，交⊙O于点M，求证：FN＝CN+DF；（3）如图3，在（2）的条件下，延长CF至点Q，连接QA并延长交BM的延长线于点P，若∠Q＝∠ADF，HE＝BE，AQ＝2DG＝10，求线段PN的长．参考答案1．（1）证明：连结OA，∴∠AOE＝2∠F，∵∠BEF＝2∠F，∴∠AOE＝∠BEF，∴AO∥DF，∵DF⊥AC，∴OA⊥AC，∴AC为⊙O切线；（2）解：连接OF，∵∠BEF＝2∠F，∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，∴∠BAF＝∠BEF＝2α，∵∠B＝∠AFE＝α，∴∠BAO＝∠B＝α，∴∠OAF＝∠BAO＝α，∵OA＝OF，∴∠AFO＝∠OAF＝α，∴△ABO≌△AFO（AAS），∴AB＝AF＝5，∵DF＝4，∴AD＝＝3，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FDA，∵∠B＝∠AFD，∴△ABE∽△DFA，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴⊙O半径＝．2．解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．∴∠CEF∠CEF∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根据勾股定理可得：，解得或（舍弃），∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．3．解：（1）①PA+PB＝PC，理由如下：∵线段PC经过点O，∴PC是⊙O的直径，∴∠PAC＝∠PBC＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ACP＝∠BCP＝30°，∴PA＝PC，PB＝PC，∴PA+PB＝PC；②PA+PB＝PC，理由如下：在PC上截取PD＝PA，连接AD，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠APD＝∠ABC＝60°，∵PD＝PA，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠PAD＝60°＝∠BAC，∴∠DAC＝∠PAB，在△ACD和△ABP中，，∴△ACD≌△ABP（SAS），∴DC＝PB，∴PA+PB＝PD+DC＝PC；（2）在AC上截取ED＝AE．连接PD并延长交圆O于G．连接CG，如图3所示：∵PE⊥AC，DE＝AE，∴PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA＝∠CDG．∵∠PAD＝∠G．∴∠CDG＝∠G，∴CG＝CD，又∵PA平分∠FAC，∴∠BAC＝180°﹣2∠PAD＝180°﹣（∠PAD+∠PDA）＝∠APG．∴∴，∴AB＝CG．∴AC﹣AB＝AC﹣CD＝AD＝2AE，即2AE＝AC﹣AB＝7﹣4＝3，∴AE＝．4．（1）①证明：如图1中，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABD，∵∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠A+2∠AB D＝90°，∴△ABD为“类直角三角形”．②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得△ABE是“类直角三角形”．在Rt△ABC中，∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°，∴∠ABE+2∠A＝90°，∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°∴∠A＝∠CBE，∴△ABC∽△BEC，∴＝，∴CE＝＝，（2）∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AD＝6，AB＝10，∴BD＝＝＝8，①如图2中，当∠ABC+2∠C＝90°时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB．则点F在⊙O上，且∠DBF＝∠DOA，∵∠DBF+∠DAF＝180°，且∠CAD＝∠AOD，∴∠CAD+∠DAF＝180°，∴C，A，F共线，∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°∴∠C＝∠ABF，∴△FAB∽△FBC，∴＝，即＝，∴AC＝．②如图3中，由①可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分∠FBC，∴∠C+2∠ABC＝90°，∵∠CAD＝∠CBF，∠C＝∠C，∴△DAC∽△FBC，∴＝，即＝，∴CD＝（AC+6），在Rt△ADC中，[（ac+6）]2+62＝AC2，∴AC＝或﹣6（舍弃），综上所述，当△ABC是“类直角三角形”时，AC的长为或．5．解：（1）如图1，延长FE，AC交于点H，连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠HCD＝∠ABD，且∠F＝∠BAD，∴∠HCD+∠F＝90°，∴∠H＝90°，∴AC⊥EF；（2）如图2，延长FE，AC交于点H，连接BD，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠HCD＝∠ABD，∵2∠CAE+∠DAG＝∠ABD，且∠HCD＝∠CAE+∠ADC，∴∠CAE+∠ADC＝2∠CAE+∠DAG，∴∠ADC＝∠CAE+∠DAG，且∠AGC＝∠ADC，且∠AGC＝∠AEC+∠GAD，∴∠CAE+∠DAG＝∠GAD+∠AEC，∴∠AEC＝∠CAE，∴AC＝CE；（3）如图3，过点K作KM⊥AE，过点E作EN⊥AK，过点A作AP⊥CE，交EC的延长线于P，∵∠H＝∠AMK＝90°，∠AEH＝∠MEF，∴∠HAE＝∠MKE，且∠HAE＝∠CEA，∴∠CEA＝∠MKE，∵PA⊥AE，∠HAE＝∠CEA，∴∠CPA＝∠CAP，∴PC＝AC，且AC＝CE，∴PE＝2AC，且EK＝2AC，∴PE＝EK，且∠PAE＝∠KME＝90°，∠CEA＝∠MKE，∴△PAE≌△EMK（AAS）∴AE＝MK，∵AK＝10，△AEK的面积＝18，∴AK×EN＝×10×EN＝18， AE×MK＝×AE2＝18，∴EN＝，AE＝6，∴AN＝＝＝，∴KN＝AK﹣AN＝，∴EK＝＝＝2．6．（1）证明：连接OC．∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O切线．（2）证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵∠AOB＝∠ODF+∠OFD＝∠AOC+∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADC＝∠CDF．（3）解：作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4，在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴＝3，∵∠OCM+∠CMN＝180°，∠OCM＝90°，∴∠OCM＝∠CMN＝∠MNO＝90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON＝CM＝3，MN＝OC＝5，在RT△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN+MN＝9，∴CD＝＝＝3．7．解：（1）连结OB，如图，∵AB、CD是⊙O的切线，∴DB＝DC＝2，OB⊥AB，CD⊥OA，∴∠ABO＝∠ACD＝90°，∵∠BAO＝30°，∴AD＝2CD＝2BD，∴AD＝4，AB＝AD+BD＝6，∴OB＝AB＝2，即⊙O的半径为2；（2）∵∠BAO＝30°，∴∠BOC＝60°，∵点P到直线BC的距离为x，∴△PBC的面积为×2×x＝x，弓形BC的面积＝扇形COB的面积﹣△COB的面积＝＝2，∴y＝x+2，当点P到BC的垂线经过圆心O时，其值最大，即2+3，∴自变量x的取值范围是0≤x≤2+3．8．（1）证明：如图1中，延长AO交⊙O于M，连接CM．∵AM是直径，∴∠ACM＝90°，∴∠CAM+∠M＝90°，∵∠CAO＝∠DAE，∠D＝∠M，∴∠DAE+∠D＝90°，∴∠AED＝90°，∴AE⊥CD．（2）证明：如图2中，连接BC，延长AE交⊙O于H，连接DH．∵∠CAO＝∠DAE，∴＝，∴DH＝BC，∵BF⊥CD，∴∠BFC＝90°＝∠ACB，∴∠ACD+∠BCF＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACD＝∠CBF，∵∠H＝∠ACD，∴∠H＝∠CBF，∵∠DEH＝∠BFC＝90°，∴△BFC≌△HED（AAS），∴CF＝DE．（3）解：如图3中，作GM⊥AD于M，作NJ⊥AB于J，连接BC．∵∠CGB＝∠AGE，AE⊥CD，∴tan∠CGB＝tan∠AGE＝＝，设AE＝4k，EG＝3k，则AG＝5k，∵＝，∴DM＝CM，∠DAM＝∠MAC，∵CN＝DM，∠ACN＝∠AMD，∴△ACN≌△AMD（AAS），∴AN＝AD，∵AE⊥DN，∴DE＝EN，∠DAE＝∠NAE＝∠CAB＝∠MAB，∵NE⊥AE，NJ⊥AB，∴NE＝NJ，∵＝＝＝＝，∴EN＝EG＝k，∴DN＝k，DG＝k，∴AD＝＝＝k，∵•AD•GM＝•DG•AE，∴GM＝＝，∴AM＝＝＝k，∵∠GAM＝∠CAE，∠AMG＝∠AEC＝90°，∴△AEC∽△AMG，∴＝，∴＝，∴AC＝k，∵△ACB∽△AED，∴＝，∴＝，∴AB＝10，∴⊙O的半径为5．9．解：（1）∵AB＝AC，∠B＝∠C，∵四边形AFDC是圆内接四边形，∴∠AFD+∠C＝∠BFD+∠AFD＝180°，∴∠BFD＝∠C，∴∠BFD＝∠B，∴BD＝DF，∴△BDF是等腰三角形；（2）如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，则四边形ABDE是平行四边形是假命题；∵＝，∴DE＝AC，∵AB＝AC，∴AB＝DE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠C＝∠E，∴∠B＝∠E，﹣＝﹣，∴＝，∴AE＝CD＞BD，但四边形ABDE不是平行四边形，∴“一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题．10．（1）证明：如图1中，延长CO交⊙O于T，连接BT．∵OT＝OB，∴∠T＝∠OBT，∵∠EOB＝∠T+∠OBT＝2∠T，∠EOB＝2∠OEB＝2∠AEC，∴∠T＝∠AEC，∵∠A＝∠T，∴∠A＝∠AEC，∴CA＝CE．（2）证明：如图2中，作OH⊥BC于H，OF⊥CD于F．∵OC＝OB，OH⊥BC，∴∠COH＝∠BOH，∵∠EOB＝2∠OEB＝2∠CEM，∴∠COH＝∠CEM，∴∠CEM+∠OCF＝90°，∠OCH+∠OCH＝90°，∴∠OCH＝∠OCF，∵OF⊥CD，OH⊥CB，∴OF＝OH，∵OC＝OC，∠OFC＝∠OHC＝90°，∴Rt△COF≌Rt△COH（HL），∴CF＝CH，∵DF＝CF，CH＝BH，∴CD＝CB．（3）延长CO交BD于T，连接TF，TM．∵CD＝CB，∠DCO＝∠BCO，∴CT⊥BD，DT＝BT，∵OC＝OD，∴∠FDC＝∠TCD，∵∠DFC＝∠CTD＝90°，CD＝DC，∴△CDT≌△DCF（AAS），∴DT＝CF，∠TDC＝∠FCD，DF＝CT，∴∠TDF＝∠FCT，∵△TDF≌△FCT（SAS），∴∠DFT＝∠CTF，∵∠DOC＝∠FOT，∴∠OCD＝∠OTF，∴CD∥TF，∴∠BTF＝∠BDC＝∠FCM，∵CF＝BT，∠CMF＝∠TFB，∴△CMF≌△TFB（AAS），∴FT＝CM，∴四边形FTMC是平行四边形，∴TE＝EC，EM＝EF，∵DF＝CT，OD＝OC，∴OT＝OF，∴∠OTF＝∠OFT，∵∠OTF+∠FET＝90°，∠OFT+∠OFE＝90°，∴∠OEF＝∠OFE，∴OE＝OF＝OT，∵OE∥MO，EF＝EM，∴OQ＝OF＝1，∴ET＝EC＝2，∴OD＝OC＝3，∴DQ＝2，∵QP∥OT，∴＝＝，∴＝＝，∴PQ＝，∴DP＝＝＝，DT＝2，∴PT＝DT﹣DP＝2﹣＝，∴OP＝＝＝．11．解：（1）如图1中，∵CD⊥AB，AB是直径，∴＝，∠CEB＝∠DEB．（2）如图2中，连接AC、AD，∵AB⊥CD，OC＝OD，∴AC＝AD，∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∵AE⊥AF，∠EAF＝∠AOD＝45°，∴∠EAF＝90°，AE＝AF，∴∠EAF＝∠CAD，∴∠EAC＝∠FAD，∴△ACE≌△ADF（SAS），∴CE＝DF．（3）过点A作AS⊥CE交CE的延长线于S，AT⊥ED于T，过点E作EN⊥AC于N．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AED+∠DEG＝90°，∠SEA+∠CEB＝90°，∵∠CEG＝∠DEG，∴∠AES＝∠AED，∵AS⊥ES，AT⊥ET，∴AS＝AT，∴＝＝，∴＝，同法可证＝∴，设HG＝x，，∴x＝1，∴AC＝6，tan∠ECA＝，tan∠EAC＝，AE＝，EF＝，BE＝BF＝＝＝．12．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，∴＝，∵AD经过圆心O，∴AD⊥BC．（2）如图2中，设BF交AD于H，连接CH．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴HB＝HC，∵BF⊥AC，∴∠AGH＝∠BDH＝90°，∴∠HAG+∠AHG＝90°，∠DBH+∠BHD＝90°，∵∠AHG＝∠BHD，∴∠HAG＝∠DBH，∵∠GAF＝∠DBH，∴∠GAF＝∠GAH，∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠GAF+∠AFG＝90°，∴∠AHG＝∠AFG，∴AH＝AF，∵AC⊥FH，∴GH＝FG，∴CH＝CF＝BH，∴BG＝BH+GH＝CF+FG．（3）如图3中，作MK⊥AB于K，MJ⊥AC于J．∵＝，∴∠PBF＝∠CBF，∴∠PBC＝2∠PBF＝2∠CAD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠CAD，∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝2∠DAC，∴∠CBP＝∠CPB，∴CB＝CP＝10，∵∠BCN＝∠CBA＝∠CBN+∠ABN，∠CNB＝∠ABN+∠BAN，∠BAN＝∠CBN，∴∠BCN＝∠BNC，∴BN＝BC＝10，∵PB＝16，∴PN＝16﹣10＝6，∵∠BCN＝∠BCA，∠CBN＝∠CAB，∴△CBN∽△CAB，∴＝，设CN＝x，∴＝，∴AC＝，∵∠ABN＝∠PCN，∠ANB＝∠PNC，∴△ANB∽△PNC，可得AN•NC＝BN•PN，∴（﹣x）＝10×6，∴x＝2（负根已经舍弃），∴CN＝2，AC＝AB＝5，AN＝3，在Rt△ADC中，AD＝＝＝15，∴S△ABC＝•AD•BC＝75，∵AN：CN＝3：2，∴S△ABN＝×75＝45，∵MJ⊥AC，MK⊥AB，∠MAB＝∠MAC，∴MJ＝MK，∴＝＝＝＝∴S△AMN＝×45＝．13．（1）证明：如图1中，连接OC．∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，∵OD垂直平分线段AC，∴OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝30°，∴∠OCB＝∠OCD＝30°，∵∠ODC＝∠OBC＝90°，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC（AAS），∴OD＝OB，∴AC是⊙O的切线．（2）①解：如图1中，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠DBC，∵∠ABC＝90°，AD＝DC，∴BD＝DC＝AD，∵∠DCB＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴∠DBC＝60°，∴∠BDP＝60°．②解：如图2中，连接OP，取OB的中点J，连接JQ．∵BE＝4，∴OB＝OE＝OD＝OP＝2，JO＝JB＝1，∵∠OBC＝90°，∠OCB＝30°，∴BC＝OB＝2，∴JC＝＝＝，∵QP＝QB，JO＝JB，∴JQ＝OP＝1，∵CQ≥JC﹣JQ，∴CQ≥﹣1，∴CQ的最小值为﹣1．14．解：（1）证明：如图1，连接OC，∵OB＝OC ∴∠OCB＝∠B∵＝∴∠F＝∠B∴∠OCB＝∠F∵CE是⊙O切线，∴OC⊥CE∴∠OCE＝90°∵∠ECB＝∠OCB+∠OCE∴∠ECB＝∠F+90°；（2）证明：如图2，过点C作CG⊥EF于G，连接BF，则∠CGE＝∠CGD＝90° ∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°＝∠CGE＝∠CGD∵OD⊥BC∴BD＝CD在△BDF和△CDG中，∴△BDF≌△CDG（AAS）∴BF＝CG∵HA＝HE∴∠EAH＝∠E∵∠BAF＝∠EAH∴∠BAF＝∠E在△ABF和△ECG中，∴△ABF≌△ECG（AAS）∴AB＝CE；（3）如图3，过点C作CG⊥EF于G，连接AC，OC，OF，BF，由（2）知：AB＝CE，∠BAF＝∠E∵OA＝OC∴∠OCA＝∠OAC∵AB是⊙O的直径，CE是⊙O切线，∴∠ACB＝∠ECO＝90°，即∠ECA+∠OCA＝∠ABC+∠OAC∴∠ECA＝∠ABC∴△ABD≌△ECA（ASA）∴BD＝AC∵BD＝CD∴AC＝CD∴△ACD为等腰直角三角形∴∠ADC＝45°∴∠EDF＝45°∴△DEF是等腰直角三角形设FK＝a，BF＝b，则DF＝b，BD＝CD＝AC＝b，AD＝AC＝2b，BC＝2b，∵BD＝CD，OA＝OB∴OD＝AC＝b，∵∠BDO＝90°∴OB＝＝＝b∴AB＝CE＝b∵S△ADO＝，∴S△BOD＝S△COD＝，S△BOC＝1∴BC•OD＝1，即×2b×b＝1∴b＝1∴AB＝CE＝，BF＝1，AC＝，BC＝2∴AF＝＝＝3过点C作CT⊥AB于T，则CT＝＝＝，∴OT＝＝＝，∵tan∠COH＝＝，∴CH•OT＝CT•OC，即： CH＝×∴CH＝，∵EH＝FK＝a，∴CH＝CE﹣EH＝﹣a，∴﹣a＝，解得：a＝，∴FK＝，EH＝，∵△AEH∽△AFO∴＝，即AE•OA＝AF•EH，AE×＝3×，∴AE＝2，EK＝AE+AF﹣FK＝2+3﹣＝过W作WR⊥EF于R，易证：△BFK∽△WRK∴＝＝＝，设KR＝m，WR＝2m∵＝tan∠WER＝tan∠BAF＝＝∴＝，即ER＝6m，∴EK＝7m＝，解得：m＝∴ER＝6×＝，WR＝2×＝∴WE＝＝＝．15．（1）证明：如图1中，连接AC．∵AB是⊙O直径，CE＝DE，∴AB⊥CD，∴，∴∠BAC＝∠BAD，∵∠CFD＝∠CAD，∴∠CFD＝2∠BAD．（2）如图2中，连接BC，BD，在FC上截取FK＝FD，连接BK．∵，∴BC＝BD，∠B FD＝∠BFK，∵FK＝FD，FB＝FB，∴△BFD≌△BFK（SAS），∴BK＝BD，∴BC＝BK，∵BN⊥CK，∴CN＝NK，∴FN＝FK+KN＝DF+CN．（3）如图3中，连接AC，AF．∵HE＝BE，∴设HE＝16a，EB＝27a，由题意知点H是△ACD重心，∴AH＝32a，AE＝48a，连接BD，由射影定理知DE2＝AE•EB，解得DE＝36a，∵AD＝10，DE＝36a，AE＝48a，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得a＝，∴DE＝6，EB＝，AE＝8，CE＝6，CB＝，HE＝，∴tan∠QCD＝＝，∵EB＝，∴CR＝4，∴tan∠QCD＝，∴CN＝，∵tan∠ACE＝＝，∴tan∠ACQ＝＝，∴AK＝10×＝，则CQ＝2CK＝，∵CN＝，∴NQ＝，在Rt△PNQ中，∠PNQ＝90°，tan∠Q＝＝，∴NP＝NQ×＝．。

2020年中考数学一轮复习精选题 圆(含答案)

2020年中考数学一轮复习精选题 圆(含答案)

3.如图，⊙O 的半径为 5，弦 AB=8，M 是弦 AB 上C.4
D.5
4.如图,AB 是⊙O 的直径,C、D 是⊙O 上两点,CD⊥AB,若∠DAB=65°,则∠AOC 等于（ ）
A.25°
B.30°
C.50°
D.65°
5.在直径为 200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽 AB=160cm，则油的
于 8cm，则 PA=
cm；已知⊙O 的直径是 6cm，PO=
cm．
三、解答题 19.如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，延长 BC 至点 D，使 DC=CB，延长 DA 与⊙O 的另一个
交点为 E，连接 AC，CE． （1）求证：∠B=∠D； （2）若 AB=4，BC﹣AC=2，求 CE 的长．
参考答案
9.B 10.C． 11.C 12.A 13.答案为：48． 14.答案为：130°．
15.答案为：70°． 16.5 17.答案为：2 ． 18.答案为：4，5. 19.解：
（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC， 又∵DC=CB，∴AD=AB， ∴∠B=∠D； （2）解：设 BC=x，则 AC=x﹣2， 在 Rt△ABC 中，AC2+BC2=AB2， ∴（x﹣2）2+x2=42，解得：x1=1+ ，x2=1﹣ （舍去）， ∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE， ∵CD=CB， ∴CE=CB=1+ ．
最大深度为（
）
A．40cm
B．60cm
C．80cm
D．100cm
6.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（

2020中考数学一轮专项复习《圆》大题综合提升卷(含详细解答)

2020中考数学一轮专项复习《圆》大题综合提升卷(含详细解答)

2020中考数学一轮专项复习《圆》大题综合提升卷1．（10分）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．2．（10分）如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）如图2，点F在⊙O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF井延长交EC的延长线于点G．①试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．3．（10分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线交AC上点E，过点E 作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝9，EH＝3，求⊙O的半径长；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP⊥AB于P，求CP的长．4．（10分）如图，线段AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，过点C的直线与AD 的延长线垂直，垂足为点E，与AB的延长线相交于点F，连接OE，交AC于点G．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）连接DC、CO，判断四边形ADCO的形状，并证明；（3）求OG与GE的比值．5．（10分）已知：CD为△ABC的外角平分线，交△ABC的外接圆O于D．（1）如图1，连接0A，OD，求证：∠AOD＝2∠BCD；（2）如图2．连接BC，若CB平分∠ACD，求证：AB＝BD；（3）如图3，在（2）的条件下，在AB上取一点E，BD上取一点F．连接DE、AF交于点M，连接EF，若∠DMF＝60°，AC＝EF＝7，CD＝8（DF＞BF），求AE的长．6．（10分）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长A0与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线P A为⊙O的切线；（2）证明：OA2＝OD•OP；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．7．（10分）如图1，已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，∠是⊙O的半圆弧上一动点（不与A，B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB＝CE．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）求证：AB2＝4AD•BC；（3）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．8．（10分）如图，在▱ABCD中，以AB为直径的圆O交BC于点E，已知AB＝2，BE ＝2，若DE是圆O的切线，（1）求证：∠B＝∠AED；（2）求AD的长；（3）点F为线段DE上一点，并且AE＝AF．①求证：△ADF∽△DEC；②求DF的长．9．（10分）△DLA内接于⊙O，AL＝2，连接OD，∠ADL＝n∠ODA．（1）如图1，当n＝2，∠DAL＝45°时，求DL的长；（2）如图2，当n＝3，∠DAL＝30°时，求DL的长；（3）如图3，当n＝4时，点B在AD上，且DB＝DL，连接OB，3∠DAL+5∠OBD＝270°，求DL的长．10．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB延长线于点F．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O半径为5，CD＝6，求DE的长；（3）求证：BC2＝4CE•AB．11．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是弦BC上动点（不与端点重合），过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交弧BC于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：△DCP是等腰三角形；（2）若OA＝6，∠CBA＝30°．①当OE＝EB时，求DC的长；②若以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形，求的长．12．（10分）如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若，AD＝2，求BC的长；（3）如图②，在（2）的条件下，连接AE，延长AE和BC，交于点G，求GE的长．13．（10分）（1）已知等边△ABC内接于⊙O．点P为上的一个动点，连结P A、PB、PC．①如图1，当线段PC经过点O时，试写出线段P A，PB，PC之间满足的等量关系，并说明理由；②如图2，点P为上的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段P A，PB，PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图3，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，∠BAC的外角平分线交△ABC的外接圆于点P，PE⊥AC于E，求AE的长．14．（10分）如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0）点C在y的正半轴上，∠CBO＝45°，CD ∥AB．∠CDA＝90°，点P从点A出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．（1）当时t＝1，求PC的长；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以线段PC为直径的⊙Q随点P的运动而变化，当⊙Q与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．15．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝5，延长AB至点E，使得BE＝2，点D是上的一个动点，连结AD，BD，ED．（1）当DE∥BC时，求证：∠ADB＝∠E；（2）若BC＝6，则：①求⊙O的半径；②当△ABD为直角三角形时，求DE的长．参考答案1．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG．（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，∴OE＝AE﹣OA＝，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（）2+42，解得r＝或（舍弃），∴⊙O的半径为．2．如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）如图2，点F在⊙O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF井延长交EC的延长线于点G．①试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．（1）证明：如图1，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵CD⊥AB，∴∠OBC+∠BCD＝90°，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠OCB+∠BCE＝90°，即OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）解：①线段CF与CD之间满足的数量关系是：CF＝2CD，理由如下：如图2，过O作OH⊥CF于点H，∴CF＝2CH，∵∠FCE＝2∠ABC＝2∠OCB，且∠BCD＝∠BCE，∴∠OCH＝∠OCD，∵OC为公共边，∴△COH≌△COD（AAS），∴CH＝CD，∴CF＝2CD；②∵CD＝4，BD＝2，∴BC＝＝2，由①得：CF＝2CD＝8，设OC＝OB＝x，则OD＝x﹣2，在Rt△ODC中，OC2＝OD2+CD2，∴x2＝（x﹣2）2+42，解得：x＝5，即OB＝5，∵OC⊥GE，∴∠OCF+∠FCG＝90°，∵∠OCD+∠COD＝90°，∠FCO＝∠OCD，∴∠GCF＝∠COB，∵四边形ABCF为⊙O的内接四边形，∴∠GFC＝∠ABC，∴△GFC∽△CBO，∴＝，∴＝，∴FG＝．3．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝9，EH＝3，求⊙O的半径长；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP⊥AB于P，求CP的长．（1）证明：连接OE．如图1所示：∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圆O的直径，∴OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC⊥OE，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB＝90°，∴EC⊥BC，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，∴EH＝EC，∠BHE＝90°，在Rt△BHE和Rt△BCE中，，∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL），∴BH＝BC＝9，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°＝∠BHE，BF是圆O的直径，∴BE＝＝＝3，∵∠EBH＝∠FBE，∴△BEH∽△BFE，∴＝，即＝，解得：BF＝10，∴⊙O的半径长＝BF＝5；（3）解：连接OE，如图2所示：由（2）得：OE＝OF＝5，EC＝EH＝3，∵EH⊥AB，∴OH＝＝＝4，在Rt△OHE中，cos∠EOA＝＝，在Rt△EOA中，cos∠EOA＝＝，∴OA＝OE＝，∴AE＝＝＝，∴AC＝AE+EC＝+3＝，，∵AB＝OB+OA＝5+＝，∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝AB×CP＝BC×AC，∴CP＝＝＝．4．如图，线段AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，过点C的直线与AD的延长线垂直，垂足为点E，与AB的延长线相交于点F，连接OE，交AC于点G．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）连接DC、CO，判断四边形ADCO的形状，并证明；（3）求OG与GE的比值．（1）证明：连接OC，∵C、D是半圆的三等分点，∴＝＝，∴∠DAC＝∠CAB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∴∠OCF＝∠AEC＝90°，∴OC⊥EF，∴FC是⊙O的切线；（2）解：四边形ADCO是菱形，理由如下：连接DC、DO，由（1）知＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝COB＝×180°＝60°，又∵OA＝OD＝OC，∴△OAD与△OCD是等边三角形，∴OA＝OD＝AD，OD＝OC＝DC，∴OA＝AD＝DC＝OC，∴四边形ADCO是菱形；（3）解：由（1）知，OC∥AE，∴△OCG∽△EAG，△FCO∽△FEA，∠COF＝∠EAF＝60°，∴＝，＝，∴＝，在Rt△OCF中，∠F＝30°，设OC＝r，则OF＝2r，∴＝＝，∴＝，∴OG与GE的比值为．5．已知：CD为△ABC的外角平分线，交△ABC的外接圆O于D．（1）如图1，连接0A，OD，求证：∠AOD＝2∠BCD；（2）如图2．连接BC，若CB平分∠ACD，求证：AB＝BD；（3）如图3，在（2）的条件下，在AB上取一点E，BD上取一点F．连接DE、AF交于点M，连接EF，若∠DMF＝60°，AC＝EF＝7，CD＝8（DF＞BF），求AE的长．解：（1）如图1，连接BD，∵CD为△ABC的外角平分线，∴∠HCD＝∠BCD，∵∠HC D＝∠ABD，∴∠ABD＝∠BCD，∵∠AOD＝2∠ABD，∴∠AOD＝2∠BCD；（2）∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠DCB，∴＝，∴AB＝BD；（3）如图3，作FG⊥AB于G，EP⊥AF于P，CN⊥AC交AC的延长线于N．在Rt△CDN中，∵∠DCN＝60°，CD＝8，∴∠CDN＝30°，∴CN＝CD＝4，DN＝4，∴AD＝＝＝13，∵AB＝BD，∠B＝60°，∴∠ABC是等边三角形，∴AD＝DB＝BD＝13，∠DAB＝60°，∵∠DMF＝∠ADM+∠MAD＝60°，∠MAE+∠MAD＝60°，∴∠ADE＝∠BAF，∵∠DAE＝∠B，∴△ADE≌△BAF（ASA），∴AE＝BF，设AE＝BF＝x，则BE＝13﹣x，BG＝x，EG＝13﹣x，FG＝x，在Rt△EFG中，72＝（13﹣x）2+（x）2，解得x＝5或8（舍弃），∴AE＝BF＝5．6．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长A0与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线P A为⊙O的切线；（2）证明：OA2＝OD•OP；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．（1）证明：连接OB，如图1所示：∵PB为⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP＝90°，∵BA⊥PF，∴AD＝BD，即OP垂直平分AB，∴P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠P AB+∠OAB＝∠PBA+∠OBA＝90°，即∠OAP＝90°，∴OA⊥P A，∴直线P A为⊙O的切线；（2）∵∠ADO＝∠OAP＝90°，∠AOD＝∠POA，∴△OAD∽△OP A，∴＝，∴OA2＝OD•OP；（3）解：连接AE，如图2所示：∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∵OD垂直平分AB，∴OD∥BC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝BC＝3，设DE＝x，则OE＝OA＝OF＝3+x，∵OD垂直平分AB，∴＝，∴∠F＝∠DAE，∴tan∠DAE＝tan∠F＝，∴AD＝2DE＝2x，在Rt△ADF中，tan∠F＝＝，∴＝，解得：x＝2，∴AD＝4，BC＝6，OA＝OE＝5，在Rt△ABC中，AC＝2OA＝10，∴cos∠ACB＝＝＝．7．如图1，已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，∠是⊙O的半圆弧上一动点（不与A，B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB＝CE．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）求证：AB2＝4AD•BC；（3）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．（1）证明：如图1，连接OE，OC，在△BCO与△ECO中，，∴△BCO≌△ECO（SSS），∴∠OEC＝∠OBC，∵BN是⊙O的切线，∴AB是⊙O的直径，∴AB⊥BN，∴∠ABC＝90°，∴∠OEC＝90°，∴CD为⊙O的切线；（2）证明：连接OC、OD，如图1所示：∵AM和BN是它的两条切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∴∠ADE+∠BCE＝180°∵DC切⊙O于E，∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，∴∠ODE+∠OCE＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠AOD+∠COB＝90°，∵∠AOD+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝∠OCB，∵∠OAD＝∠OBC＝90°，∴△AO D∽△BCO，∴＝，∴OA2＝AD•BC，∴（AB）2＝AD•BC，∴AB2＝4AD•BC；（2）解：连接OD，OC，如图2所示：∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC，∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC，∴CF＝OC，∴CD垂直平分OF，∴OD＝DF，在△COD和△CFD中，，∴△COD≌△CFD（SSS），∴∠CDO＝∠CDF，∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，∴∠ODA＝60°＝∠BOC，∴∠BOE＝120°，在Rt△DAO，AD＝OA，Rt△BOC中，BC＝OB，∴AD：BC＝1：3，∵AD＝1，∴BC＝3，OB＝，∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC ﹣S扇形OBE＝2×××3﹣＝3﹣π．8．如图，在▱ABCD中，以AB为直径的圆O交BC于点E，已知AB＝2，BE＝2，若DE是圆O的切线，（1）求证：∠B＝∠AED；（2）求AD的长；（3）点F为线段DE上一点，并且AE＝AF．①求证：△ADF∽△DEC；②求DF的长．解：（1）连接OE，∵D E是圆O的切线，∴∠OED＝90°，∴∠AEO+∠AED＝90°，∵AB为圆O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠B+∠BAE＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠B＝∠AED；（2）∵∠AEB＝90°，AB＝2，BE＝2，∴AE＝＝＝4，∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB＝90°，∵∠B＝∠AED，∴△ABE∽△DEA，∴＝，∴＝，∴AD＝8；（3）①∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∴∠AFE＝∠B，∵∠AFE+∠AFD＝∠C+∠B＝180°，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；②∵∠EAD＝90°，AE＝4，AD＝8，∴DE＝＝＝4，∴CD＝AB＝2，∵△ADF∽△DEC，∴＝，∴＝，∴DF＝．9．△DLA内接于⊙O，AL＝2，连接OD，∠ADL＝n∠ODA．（1）如图1，当n＝2，∠DAL＝45°时，求DL的长；（2）如图2，当n＝3，∠DAL＝30°时，求DL的长；（3）如图3，当n＝4时，点B在AD上，且DB＝DL，连接OB，3∠DAL+5∠OBD＝270°，求DL的长．解：（1）如图1，连接LO并延长交⊙O于C，连接AC，∵∠DAL＝45°，∴∠DOL＝2∠DAL＝90°，∵OD＝OL，∴∠ODL＝∠OLD＝45°，∵∠ADL＝2∠ODA，∴∠ADL＝30°，∴∠C＝∠ADL＝30°，∵CL是⊙O的直径，∴∠CAL＝90°，∵AL＝2，∴CL＝2AL＝4，∴OD＝2，∴LD＝OD＝2；（2）如图2，连接LO并延长交⊙O于C，连接AC，∵∠DAL＝30°，∴∠DOL＝2∠DAL＝60°，∴△ODJ是等边三角形，∴∠ODL＝∠OLD＝60°，∵∠ADL＝3∠ODA，∴∠ADL＝45°，∴∠C＝∠ADL＝45°，∵CL是⊙O的直径，∴∠CAL＝90°，∵AL＝2，∴CL＝2AL＝2，∴OD＝，∴LD＝OD＝；（3）如图3，连接OA，OL，设∠ODB＝α，则∠BDL＝4α，∠DOL＝180°﹣10α，∠DAL＝＝90°﹣5α，∵3∠DAL+5∠OBD＝270°，∴∠OBD＝3α，∵DB＝DL，将△BOD绕着点D顺时针旋转得到△LCD，∴∠DLC＝∠DBO＝3α，∠CLO＝∠DLO﹣∠DLC＝2α＝∠AOB，∵CL＝OB，OL＝OA，∴△CLO≌△BOA（SAS），∴∠LOC＝∠OAB＝α＝∠ODB，∴∠OCD＝∠OLD+∠LOC+∠DLC＝5α+2α＝7α，∵OD＝CD，∴∠DOC＝∠DCO＝7α，∵∠ODC＝4α，∴7α+7α+4α＝180°，∴α＝10°，∴∠ADL＝40°，∴∠DAL＝90°﹣5α＝90°﹣50°＝40°，∴∠ADL＝∠DAL，∴DL＝AL＝2．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC 于点E，交AB延长线于点F．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O半径为5，CD＝6，求DE的长；（3）求证：BC2＝4CE•AB．解：（1）EF与⊙O相切，理由如下：连接AD，OD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．∵AB＝AC，∴CD＝BD＝BC．∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC．∵EF⊥AC，∴EF⊥OD．∴EF与⊙O相切．（2）解：由（1）知∠ADC＝90°，AC＝AB＝10，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝8．∵S ACD＝AD•CD＝AC•DE，∴×8×6＝×10×DE．∴DE＝．（3）证明：由（1）得：CD＝BC，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵EF⊥AC，∴∠DEC＝90°＝∠ADC，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴＝，∴CD2＝CE•AB，∵AB＝AC，∴BC2＝CE•AB，∴BC2＝4CE•AB．11．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是弦BC上动点（不与端点重合），过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交弧BC于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：△DCP是等腰三角形；（2）若OA＝6，∠CBA＝30°．①当OE＝EB时，求DC的长；②若以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形，求的长．（1）证明：连接OC，如图1，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，即∠OCB+∠BCD＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵PE⊥AB，∴∠B+∠BPE＝90°，∵∠BPE＝∠DPC，∴∠OCB+∠DPC＝90°，∴∠DPC＝∠BCD，∴DC＝DP，∴△DCP是等腰三角形；（2）解：①连接AC，如图2，∵AB是⊙O的直径，AB＝2AO＝12，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝6，BC＝AC＝6，Rt△PEB中，∵OE＝BE＝3，∠ABC＝30°，∴PE＝BE＝，PB＝2 PE＝2，∴CP＝BC﹣PB＝6﹣2＝4，∵∠DCP＝∠CPD＝∠EPB＝60°，∴△PCD为等边三角形，∴DC＝CP＝4；②连接OF，如图3所示：，∵四边形OCFB是菱形，∴OB＝OC＝CF＝BF，OF⊥BC，∠BOF＝∠COF，∵∠CBA＝30°，∴∠BOF＝∠COF＝60°，∴的长＝＝2π．12．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若，AD＝2，求BC的长；（3）如图②，在（2）的条件下，连接AE，延长AE和BC，交于点G，求GE的长．（1）证明：如图①，连接OE、OC，∵DE与⊙O相切于点E，∴∠OEC＝90°，在△OBC和△OEC中，，∴△OBC≌△OEC（SSS）∴∠OBC＝∠OEC＝90°，∴BC为⊙O的切线；（2）作DF⊥BC于F，则四边形ABFD为矩形，∴BF＝AD＝2，DF＝，由切线长定理得，DE＝AD＝2，设BC＝x，则CE＝x，CF＝x﹣2，CD＝x+2，在Rt△DFC中，CD2＝DF2+FC2，即（x+2）2＝（2）2+（x﹣2）2，解得，x＝，即BC＝；（3）如图②，连接BE，作DF⊥BC于F，∵AD∥BG，∴∠DAE＝∠EGC，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠AED，∵∠AED＝∠CEG，∴∠EGC＝∠CEG，∴CG＝CE＝CB＝，∴BG＝5，∴AG＝＝＝3，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠GEB＝∠GBA，又∠G＝∠G，∴△GEB∽△GBA，∴＝，∴BG2＝GE•GA，∴GE＝＝＝．13．（1）已知等边△ABC内接于⊙O．点P为上的一个动点，连结P A、PB、PC．①如图1，当线段PC经过点O时，试写出线段P A，PB，PC之间满足的等量关系，并说明理由；②如图2，点P为上的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段P A，PB，PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图3，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，∠BAC的外角平分线交△ABC的外接圆于点P，PE⊥AC于E，求AE的长．解：（1）①P A+PB＝PC，理由如下：∵线段PC经过点O，∴PC是⊙O的直径，∴∠P AC＝∠PBC＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ACP＝∠BCP＝30°，∴P A＝PC，PB＝PC，∴P A+PB＝PC；②P A+PB＝PC，理由如下：在PC上截取PD＝P A，连接AD，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠APD＝∠ABC＝60°，∵PD＝P A，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠P AD＝60°＝∠BAC，∴∠DAC＝∠P AB，在△ACD和△ABP中，，∴△ACD≌△ABP（SAS），∴DC＝PB，∴P A+PB＝PD+DC＝PC；（2）在AC上截取ED＝AE．连接PD并延长交圆O于G．连接CG，如图3所示：∵PE⊥AC，DE＝AE，∴P A＝PD，∴∠P AD＝∠PDA＝∠CDG．∵∠P AD＝∠G．∴∠CDG＝∠G，∴CG＝CD，又∵P A平分∠F AC，∴∠BAC＝180°﹣2∠P AD＝180°﹣（∠P AD+∠PDA）＝∠APG．∴∴，∴AB＝CG．∴AC﹣AB＝AC﹣CD＝AD＝2AE，即2AE＝AC﹣AB＝7﹣4＝3，∴AE＝．14．如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0）点C在y的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB．∠CDA＝90°，点P从点A出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．（1）当时t＝1，求PC的长；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以线段PC为直径的⊙Q随点P的运动而变化，当⊙Q与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．解：（1）A（﹣5，0），B（﹣3，0），∴OA＝5，OB＝3，当t＝1时，AP＝1，∴OP＝OA﹣AP＝4，∵∠CBO＝45°，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，OC＝OB＝3，∴PC＝＝＝5；（2）分两种情况：如图1所示：①当P在点B的左侧时，∵∠CBO＝45°，∠BCP＝15°∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝45°+15°＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OP＝OC＝3，∴AP＝OA﹣OP＝5﹣3，∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t＝5﹣3，②当P在点B的右侧时，∵∠OCB＝45°，∠BCP＝15°∴∠OCP＝∠OCB﹣∠BCP＝45°﹣15°＝30°，∴OP＝OC＝，∴AP＝OA﹣OP＝5﹣，∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t＝5﹣；综上所述，当∠BCP＝15°时，t的值为（5﹣3）秒或（5﹣）秒；（3）如图2中，由题意知，若该圆与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：①当该圆与BC相切于点C时，有∠BCP＝90°，从而∠OCP＝45°，得到OP1＝OC＝3，此时AP1Q＝5+3＝8，∴t＝8；②当该圆与CD相切于点C时，有P2C⊥CD，即点P2与点O重合，此时AP2＝5，∴t＝5；③当该圆与AD相切时，设P3（5﹣t，0），则Q（，），半径r2＝（）2+（）2，作QH⊥AD于点H，则QH＝，∵QH2＝r2，∴（）2＝（）2+（）2，解得t＝，综上所述，t的值为8秒或5秒或秒．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝5，延长AB至点E，使得BE＝2，点D 是上的一个动点，连结AD，BD，ED．（1）当DE∥BC时，求证：∠ADB＝∠E；（2）若BC＝6，则：①求⊙O的半径；②当△ABD为直角三角形时，求DE的长．（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠E，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，由圆周角定理得，∠ADB＝∠C，∴∠ADB＝∠E；（2）解：①连接AO并延长交BC于F，连接OC，∵AB＝AC，∴＝，∴AF⊥BC，∴BF＝FC＝BC＝3，在Rt△AFC中，AF＝＝＝4，设⊙O的半径为r，则OF＝4﹣r，在Rt△OCF中，OF2+FC2＝OC2，即（4﹣r）2+32＝r2，解得，r＝，即⊙O的半径为；②当∠ABD＝90°时，AD＝2r＝，∴BD＝＝＝，∴DE＝＝＝，当∠BAD＝90°时，BD＝2r＝，∴AD＝，∴DE＝＝＝．。

2020年中考考前冲刺复习《圆》含答案

2020年中考考前冲刺复习《圆》含答案

中考复习之培优综合压轴大题练习卷：《圆》1．如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE、EC．（1）若∠AEC＝28°，求∠AOB的度数；（2）若∠BEA＝∠B，EC＝3，求⊙O的半径．2．如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，点F是的中点，连接OF并延长交CD于点E，连接BD，BF．（1）求证：BD∥OE；（2）若OE＝3，tan C＝，求⊙O的半径．3．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点A，C，D分别为⊙O的三等分点，连接AC，AD，DC，延长AD交BM于点E，CD交AB于点F．（1）求证：CD∥BM；（2）连接OE，若DE＝m，求△OBE的周长．4．如图，△ABC内接于⊙O，过点C作BC的垂线交⊙O于D，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求⊙O直径的长．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，PA是⊙O切线，PC交⊙O于点D．（1）求证：∠PAC＝∠ABC；（2）若∠BAC＝2∠ACB，∠BCD＝90°，AB＝，CD＝2，求⊙O的半径．6．已知OA，OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，垂足为O，P是射线OA上的一点（点A除外），直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交射线OA于点E．（I）如图①，点P在线段OA上，若∠OBQ＝15°，求∠AQE的大小；（Ⅱ）如图②，点P在OA的延长线上，若∠OBQ＝65°，求∠AQE的大小．7．如图，点O是△ABC的边AB上一点，以OB为半径的⊙O交BC于点D，过点D的切线交AC于点E，且DE⊥AC．（1）证明：AB＝AC；（2）设AB＝cm，BC＝2cm，当点O在AB上移动到使⊙O与边AC所在直线相切时，求⊙O的半径．8．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点M，点M在以AB为直径的⊙O上，AD与⊙O 相交于点E，连接ME．（1）求证：ME＝MD；（2）当∠DAB＝30°时，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC，（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当AB＝AC时，若CE＝2，EF＝3，求⊙O的半径．10．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝Rt∠，以OA为半径的⊙O交BO于点C，交BO延长线于点D．在⊙O上取一点E，且＝，延长DE与BA交于点F．（1）求证：△BDF是直角三角形；（2）连接AC，AC＝2，OC＝2BC，求AF的长．11．在△ABC中，∠ABC＝45°，∠C＝60°，⊙O经过点A，B，与BC交于点D，连接AD．（Ⅰ）如图①．若AB是⊙O的直径，交AC于点E，连接DE，求∠ADE的大小．（Ⅱ）如图②，若⊙O与AC相切，求∠ADC的大小．12．如图，PA切⊙O于点A，射线PC交⊙O于C、B两点，半径OD⊥BC于E，连接BD、DC和OA，DA交BP于点F；（1）求证：∠ADC+∠CBD＝∠AOD；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．13．如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆⊙O交于点D．（1）求证：DB＝DC；（2）若∠CAB＝30°，BC＝4，求劣弧的长度．14．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC交⊙O于点F．（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求：图中阴影部分的面积．15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM＝2∠A．（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA＝6，∠BCM＝60°，求图中阴影部分的面积．16．如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．17．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径；（3）若∠ADB＝60°，BD＝1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）18．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AF＝6，EF＝2，求⊙O的半径长．19．已知△A BC中，∠BCA＝90°，BC＝AC，D是BA边上一点（点D不与A，B重合），M是CA中点，当以CD为直径的⊙O与BA边交于点N，⊙O与射线NM交于点E，连接CE，DE．（1）求证：BN＝AN；（2）猜想线段CD与DE的数量关系，并说明理由．参考答案1．解：（1）连接OC．∵半径OA⊥弦BC，∴＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOC＝2∠AEC＝56°，∴∠AOB＝56°．（2）∵BE是⊙O的直径，∴∠ECB＝90°，∴EC⊥BC，∵OA⊥BC，∴EC∥OA，∴∠A＝∠AEC，∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA，∵∠BEA＝∠B，∴∠B＝∠AEB＝∠AEC＝30°，∵EC＝3，∴EB＝2EC＝6，∴⊙O的半径为3．2．（1）证明：∵OB＝OF，∴∠1＝∠3，∵点F是的中点，∴∠1＝∠2．∴∠2＝∠3，∴BD∥OE；（2）解：连接OD，如图，∵直线CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，在Rt△OCD中，∵tan C＝＝，∴设OD＝3k，CD＝4k．∴OC＝5k，BO＝3k，∴BC＝2k．∵BD∥OE，∴．即．∴DE＝6k，在Rt△ODE中，∵OE2＝OD2+DE2，∴（3）2＝（3k）2+（6k）2，解得k＝∴OB＝3，即⊙O的半径的长．3．（1）证明：∵点A、C、D为⊙O的三等分点，∴，∴AD＝DC＝AC．∴△ACD为等边三角形，而点O为△ACD的外心，∴AB⊥CD．∵BM为⊙O的切线，∴BE⊥AB．∴CD∥BM；（2）解：连接DB，如图，∵△ACD为等边三角形，∴∠C＝60°，∴∠ABD＝∠C＝60°，∴∠DBE＝30°，在Rt△DBE中，BE＝2DE＝2m，DB＝DE＝m．在Rt△ADB中，AB＝2BD＝2m，则OB＝m，在Rt△OBE中，OE＝＝m，∴△OBE周长为2m+m+m＝（2++）m．4．证明：（1）连接BD，交AC于F，∵DC⊥BE，∴∠BCD＝∠DCE＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵，∴∠BAC＝∠BD C，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴BD⊥DE，∴DE是⊙O切线；解：（2）∵AC∥DE，BD⊥DE，∴BD⊥AC．∵BD是⊙O直径，∴AF＝CF，∴AB＝BC＝8，∵BD⊥DE，DC⊥BE，∴∠BCD＝∠BDE＝90°，∠DBC＝∠EBD，∴△BDC∽△BED，∴，∴BD2＝BC•BE＝8×10＝80，∴BD＝．即⊙O直径的长是4．5．（1）证明：连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．∵AE是直径，∴∠ACE＝90°，∴∠EAC+∠E＝90°，∵∠B＝∠E，∴∠B+∠EAC＝90°，∵PA是切线，∴∠PAO＝90°，∴∠PAC+∠EAC＝90°，∴∠PAC＝∠ABC．（2）解：连接BD，作OM⊥BC于M交⊙O于F，连接OC，CF．设⊙O的半径为x．∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵OM⊥BC，∴BM＝MC，＝，∵OB＝OD，∴OM＝CD＝1，∵∠BAC＝∠BDC＝2∠ACB，＝，∴∠BDF＝∠CDF，∴∠ACB＝∠CDF，∴＝，∴AB＝CF＝2，∵CM2＝OC2﹣OM2＝CF2﹣FM2，∴x2﹣12＝（2）2﹣（x﹣1）2，∴x＝3或﹣2（舍弃），∴⊙O的半径为3．6．解：（I）如图①中，连接OQ．∵EQ是切线，∴OQ⊥EQ，∴∠OQE＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠AQB＝∠AOB＝45°，∵OB＝OQ，∴∠OB Q＝∠OQB＝15°，∴∠AQE＝90°﹣15°﹣45°＝30°．（Ⅱ）如图②中，连接OQ．∵OB＝OQ，∴∠B＝∠OQB＝65°，∴∠BOQ＝50°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOQ＝40°，∵OQ＝OA，∴∠OQA＝∠OAQ＝70°，∵EQ是切线，∴∠OQE＝90°，∴∠AQE＝90°﹣70°＝20°．7．（1）证明：连接OD．∵DE是⊙O的切线，∵DE⊥OD，∵AC⊥DE，∴O D∥AC，∴∠ODB＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．（2）设AC与⊙O相切于点F，连接OF，作AH⊥BC于H．设半径为r．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝1，∴AH＝＝2，∴tan∠C＝＝2，∵∠OFE＝∠ODE＝∠DEF＝90°，∴四边形ODEF是矩形，∵OD＝OF，∴四边形ODEF是正方形，∴EF＝DE＝r，∵tan C＝＝2，∴EC＝，∴AF＝﹣r﹣r＝﹣r，在Rt△AOF中，∵OA2＝AF2+OF2，∴（﹣r）2＝r2+（﹣r）2，解得r＝．8．证明：（1）∵AB是⊙O直径，∴∠AMB＝90°，∴▱ABCD是菱形，∴AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD，∵四边形AEMB是圆内接四边形，∴∠DEM＝∠ABD，∴∠ADB＝∠DEM，∴ME＝MD．（2）直线CD与⊙O相切理由如下：过O作OH⊥CD于H，过D作DF⊥AB于F，∵DF⊥AB，AB∥CD，∴DF⊥CD，且OH⊥CD，∴OH∥DF，且AB∥CD，∴四边形OFDH是平行四边形，∴OH＝DF，∵在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF＝AD，又∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∴OH＝DF＝AD＝AB，又∵OH⊥CD，∴直线CD与⊙O相切．9．解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CD E＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°，∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠F＝∠EDF，∴DE＝EF＝3，∵CE＝2，∠BCD＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD＝＝，∵∠BDE＝90°，CD⊥BE，∴△CDE∽△CBD，∴＝，∴BD＝＝，∴⊙O的半径＝．10．（1）证明：如图连接EC交OA于H．∵＝，∴OA⊥EC，∵CD是⊙O的直径，∴∠DEC＝90°，∴DF⊥EC，∴OA∥DF，∵BF是⊙O的切线，∴OA⊥BF，∴DF⊥BF，∴∠F＝90°，∴△DFB是直角三角形．（2）解：∵∠DEC＝∠F＝90°，∴EC∥FB，∴＝＝2，∴OH＝2AH，设AH＝m，则OH＝2m，OC＝3m，∵CH2＝OC2﹣OH2＝AC2﹣AH2，∴9m2﹣4m2＝40﹣m2，∴m＝（负根已经舍弃），∴CH＝，∵OA⊥EC，∴EH＝HC＝，∵∠F＝∠FAH＝∠AHE＝90°，∴四边形AFEH是矩形，∴AF＝EH＝．11．解：（Ⅰ）如图，连接BE∵∠ABC＝45°，∠C＝60°，∴∠BAC＝75°，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠AEB﹣∠BAC＝15°，∵∠ABE＝∠ADE，∴∠ADE＝15°，（Ⅱ）连接OA，OD，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∵∠ABC＝45°∴∠AOD＝90°，且OA＝OD∴∠OAD＝45°∴∠DAC＝∠OAC﹣∠DAO＝45°，且∠C＝60°∴∠ADC＝75°12．（1）证明：∵OD⊥BC，∴＝，∴∠CBD＝∠DCB，∵∠DFE+∠EDF＝90°，∴∠EDF＝90°﹣∠DFE，∵OD＝OA，∴∠ODA＝（180°﹣∠AOD）＝90°﹣∠AOD，∴90°﹣∠DFE＝90°﹣∠AOD，∴∠DEF＝∠AOD，∵∠DFE＝∠ADC+∠DCB＝∠ADC+∠CBD，∴∠ADC+∠CBD＝∠AOD；（2）解：∵OD⊥BC，∴BE＝CE，＝，∴BD＝CD，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD，∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO＝90°，∴∠OAD+∠DAP＝90°，∵∠PFA＝∠DFE，∴∠PFA+∠ADO＝90°，∴∠PAF＝∠PFA，∴PA＝PF．13．（1）证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵A，D，C，B四点共圆，∴∠EAD＝∠DCB，由圆周角定理得，∠CAD＝∠CBD，∴∠DCB＝∠DBC，∴DB＝DC；（2）解：由圆周角定理得，∠COB＝2∠CAB＝60°，∠C DB＝∠CAB＝30°，∴△COB为等边三角形，∴OC＝BC＝4，∵DC＝DB，∠CDB＝30°，∴∠DCB＝75°，∴∠DCO＝15°，∴∠COD＝150°，则劣弧的长＝＝π．14．解：（1）AB＝AC．理由是：连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，又∵DC＝BD，∴AB＝AC；（2）连接OD、过D作DH⊥AB．∵AB＝8，∠BAC＝45°，∴∠BOD＝45°，OB＝OD＝4，∴DH＝2∴△OBD的面积＝扇形OBD的面积＝，阴影部分面积＝．15．解：（1）MN是⊙O切线．理由：连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠BOC＝∠A+∠OCA＝2∠A，∠BCM＝2∠A，∴∠BCM＝∠BOC，∵∠B＝90°，∴∠BOC+∠BCO＝90°，∴∠BCM+∠BCO＝90°，∴OC⊥MN，∴MN是⊙O切线．（2）由（1）可知∠BOC＝∠BCM＝60°，∴∠AOC＝120°，在RT△BCO中，OC＝OA＝6，∠BCO＝30°，∴BO＝OC＝3，BC＝3，∴S阴＝S扇形OAC﹣S△OAC＝﹣•6＝12π﹣9．16．证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．17．（1）证明：连接OA、OD，如图，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODF+∠OFD＝90°，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，而∠CFA＝∠OFD，∴∠ODF+∠CAF＝90°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OF＝8﹣r，在Rt△ODF中，（8﹣r）2+r2＝（）2，解得r1＝6，r2＝2（舍去），即⊙O的半径为6；（3）解：∵∠BOD＝90°，OB＝OD，∴△BOD为等腰直角三角形，∴OB＝BD＝，∴OA＝，∵∠AOB＝2∠ADB＝120°，∴∠AOE＝60°，在Rt△OAC中，AC＝OA＝，∴阴影部分的面积＝••﹣＝．18．（1）证明：∵PD为⊙O的切线，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＝∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝45°，∴∠BOE＝2∠BCE＝90°，∴∠OFE+∠OEF＝90°，而∠OFE＝∠CFP，∴∠CFP+∠OEF＝90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP＝90°，即∠OCF+∠PCF＝90°，而∠OCF＝∠OEF，∴∠PCF＝∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：连结OE．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝45°，∴∠BOE＝90°，即OE⊥AB，设⊙O的半径为r，则OF＝6﹣r，在Rt△EOF中，∵OE2+OF2＝EF2，∴r2+（6﹣r）2＝（2）2，解得，r1＝4，r2＝2，当r1＝4时，OF＝6﹣r＝2（符合题意），当r2＝2时，OF＝6﹣r＝4（不合题意，舍去），∴⊙O的半径r＝4．19．（1）证明：∵CD为⊙O的直径，∴∠CND＝90°，∴CN⊥AB，∵BC＝AC，∴BN＝AN；（2）解：CD＝DE，理由如下：∵△ABC中，∠BCA＝90°，BN＝AN，∴CN＝AN，∵点M是CA中点，∴NM平分∠CNA，∵∠CNA＝90°，∴∠CNM＝45°，∴∠CDE＝∠CNE＝45°，∵CD为⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∴∠DCE＝45°＝∠CDE，∴DE＝CE，∵CE2+DE2＝CD2，∴CD＝DE．。

2020年中考数学考点过关培优训练卷：《圆》(附答案)

2020年中考数学考点过关培优训练卷：《圆》(附答案)

2020年中考数学考点过关培优训练卷：《圆》一．选择题（每小题4分，共40分）1．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝55°，若P为上一点，∠AOP＝73°，OP∥CB，则∠OBC的度数为（）A．30°B．35°C．37°D．55°2．已知⊙A在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣7，0），点B的坐标为（﹣7，4），点C的坐标为（﹣12，0），若⊙A的半径为5，则下列说法中不正确的是（）A．点B在⊙A内B．点C在⊙A上C．y轴和⊙A相切D．x轴和⊙A相交3．△ABC中，以AB边上的高为直径作一个圆，则与这个圆相切的直线是（）A．AB B．AC C．BC D．不确定4．⊙O的半径r＝10cm，圆心到直线l的距离OM＝6cm，在直线l上有一点P，且PM＝3cm，则点P（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．可能在⊙O上或在⊙O内5．已知：如图，在扇形OAB中，∠AOB＝100°，半径OA＝18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为（）A．2πB．3πC．4πD．5π6．半径为7的圆，其圆心在坐标原点，则下列各点在圆外的是（）A．（3，4）B．（4，4）C．（4，5）D．（4，6）7．如图，在半径为6的⊙O中，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．27﹣9B．18C．54﹣18D．548．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠C＝25°，AB＝6，则劣弧的长为（）A．10πB．C．D．9．如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝，那么BC＝（）A．3B．C．D．10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，动点P从B点出发以2个单位/s向A作直线运动，同时动点Q从C点出发以个单位/s向B作直线运动，以PQ为直径作⊙O，设运动时间为t（s），当⊙O与AB相切时t＝（）A．B．2C．D．二．填空题（每小题4分，共20分）11．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝75°，则∠DAO+∠DCO的大小是．12．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标为（，0）、（3，0）、（0，5），点D在第一象限，且∠ADB＝60°，则线段CD的长的最小值为．13．如图，AB是半圆O的直径，四边形ABCD内接于圆O，连接BD，AD＝BD，则∠BCD ＝度．14．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝5cm，以B为圆心，3cm长为半径作⊙B，D 是⊙B上一动点，⊙B的切线DE交AC于点E，则DE长的最小值为cm．15．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，连接BC、BD．点F 为线段CB上一点，连接DF，若CE＝2，AB＝8，BF＝，则tan∠CDF＝．三．解答题（每题8分，共40分）16．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AC＝AB，作直线AD∥BC，AD⊥CD于D．（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．①求证：∠BAD+∠BAG＝180°；②若AD＝3，CD＝4，求FG的长．17．如图，AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线，切点为D，连接BD，过点B作射线PD的垂线，垂足为C．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）如果AB＝6，sin∠CBD＝，求PD的长．18．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．（1）在线段PQ上取一点D，使DQ＝DC连接DC，求证：DC是⊙O的切线；（2）若cos B＝，BP＝6，AP＝1，求QC的长．19．点C，D是半圆弧上的两个动点，在运动的过程中保持∠COD＝80°．（1）如图1，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；（2）如图2，若∠AOC＝x°，OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．20．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝4，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠ACD＝∠B．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AD＝1，求BC的长；（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．参考答案一．选择题1．解：∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝2∠ACB＝110°，∵∠AOP＝73°，∴∠POB＝∠AOB﹣∠AOP＝110°﹣73°＝37°，∵OP∥CB，∴∠OBC＝∠POB＝37°，故选：C．2．解：如图，∵点A的坐标为（﹣7，0），点B的坐标为（﹣7，4），点C的坐标为（﹣12，0），∴AC＝5，AB＝4＜5，OA＝7＞5∴点C在⊙A上，点B在⊙A内，x轴和⊙A相交，y轴和⊙A相离，故选：C．3．解：如图所示：∵△ABC中，CD为AB上的高，以AB边上的高为直径作一个圆O，∴CD⊥AB，CD为直径，∴AB是园O的切线；故选：A．4．解：∵过点O作OM⊥l，连接OP，∴MP＝3cm，OM＝6cm，∴CO＝＝＝3，∵⊙C的半径r＝10cm，∴d＝3＜10，∴点P在圆内，．故选：A．5．解：如图，连接OD．根据折叠的性质知，OB＝DB．又∵OD＝OB，∴OD＝OB＝DB，即△ODB是等边三角形，∴∠DOB＝60°．∵∠AOB＝100°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝40°，∴的长为＝4π．故选：C．6．解：A、d＝5＜r，所以在圆内；B、d＝4＜r，所以在圆内；C、d＝＜r，所以在圆内；D、d＝2＞r，所以在圆外．故选：D．7．解：设EF交AH于M、交HD于N，连接OF、OE、MN，如图所示：根据题意得：△EFO是等边三角形，△HMN是等腰直角三角形，∴EF＝OF＝6，∴△EFO的高为：OF•sin60°＝6×＝3，MN＝2（6﹣3）＝12﹣6，∴FM＝（6﹣12+6）＝3﹣3，＝4×（3﹣3）×3＝54﹣18；∴阴影部分的面积＝4S△AFM故选：C．8．解：连结OC、OD，如图，∵∠C＝25°，∴∠AOD＝2∠C＝50°，∵CD⊥AB，∴＝，∴∠AOC＝∠AOD＝50°，∴∠COD＝100°，而OD＝AB＝3，∴劣弧的长＝＝π．故选：C．9．解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，OM过O，ON过O，∴AN＝CN，AM＝BM，∴BC＝2MN，∵MN＝，∴BC＝2，故选：C．10．解：如图，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，∴AB＝2AC＝2×4＝8，BC＝，由题意得BP＝2t，CQ＝，BQ＝4﹣，∵⊙O与AB相切，∴PQ⊥AB，∴∠ACB＝∠QPB＝90°，∵∠PBQ＝∠ABC，∴△QPB∽△ACB，∴，∴，解得：t＝．故选：A．二．填空题（共5小题）11．解：由AO＝BO＝CO可知：O是三角形ABC的外心，∴∠ABC是圆周角，∠AOC是圆心角，∴∠AOC＝2∠ABC＝150°，又∠D＝75°，所以∠DAO+∠DCO＝360°﹣150°﹣75°＝135°．故答案为：135°．12．解：作圆，使∠ADB＝60°，设圆心为P，连结P A、PB、PC，PE⊥AB于E，如图所示：∵A（，0）、B（3，0），∴E（2，0）又∠ADB＝60°，∴∠APB＝120°，∴PE＝1，P A＝2PE＝2，∴P（2，1），∵C（0，5），∴PC＝＝2，又∵PD＝P A＝2，∴只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成△CDP）∴CD最小值为：2﹣2．故答案为：2﹣2．13．解：∵AB是半圆O的直径，AD＝BD，∴∠ADB＝90°，∠DAB＝45°，∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠BCD＝180°﹣45°＝135°，故答案为：135．14．解：连接BE、BD，∵DE是⊙B的切线，∴BD⊥DE，∴DE＝，∵BD＝3cm，∴当BE最小时，DE的值最小，据垂线段最短，即当BE⊥AC时，DE最小，此时，在Rt△ABE中，AB＝5cm，∠BAC＝45°，∴BE＝AB＝5，∴DE＝＝4，即DE长的最小值为4cm，故答案为4．15．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣2，∵CD⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝4，在Rt△BCE中，BC＝＝2，在Rt△OAE中，42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5，∴OE＝3，∵BF＝，∴F点为BC的中点，作FH⊥CE于H，如图，∴FH为△BCE的中位线，∴FH＝BE＝2，HE＝CE＝1，在Rt△DHF中，tan∠HDF＝＝＝．故答案为．三．解答题（共5小题）16．证明：（1）如图1，连接OA，OB，OC．在△OAC和△OAB中，，∴△OAC≌△OAB（SSS），∴∠OAC＝∠OAB，∴AO平分∠BAC，∴AO⊥BC．又∵AD∥BC，∴AD⊥AO，∴AD是⊙O的切线．（2）①证明：如图2，连接AE．∵AD∥BC，AD⊥CD，∴∠BCE＝90°，∴∠BA E＝90°．又∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°．∵∠BAG+∠EAF＝∠AEB+∠EAF＝90°，∴∠BAG＝∠AEB．∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，∴∠BAG＝∠ABC，∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∴∠BAD+∠BAG＝180°；②在△ADC和△AFB中，，∴△ADC≌△AFB（AAS），∴AF＝AD＝3，BF＝CD＝4，∵∠BAG＝∠ABC，∴AG＝BG设FG＝x，在Rt△BFG中，FG＝x，BF＝4，BG＝AG＝x+3，∴FG2+BF2＝BG2，即x2+42＝（x+3）2，∴x＝，∴FG＝．17．解：（1）证明：连接OD，如图1，∵PD是⊙O的切线，∴OD⊥PC，∵BC⊥PC，∴OD∥BC，∴∠ODB＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠CBD＝∠OBD，即BD平分∠ABC；（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵sin∠CBD＝sin∠ABD＝＝，AB＝6，∴AD＝2，∴BD＝4，∵sin∠CBD＝＝，∴CD＝，∴BC＝，∵OD∥BC，∴△PDO∽△PCB，∴，∴＝，∴PD＝．18．证明：（1）连结OC，如图，∵OC＝OB，∴∠2＝∠B，∵DQ＝DC，∴∠1＝∠Q，∵QP⊥PB，∴∠BPQ＝90°，∴∠Q+∠B＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠DCO＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°，∴OC⊥CD，而OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：连接AC，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，cos B＝＝＝，而BP＝6，AP＝1，∴BC＝，在Rt△BPQ中，cos B＝＝，∴BQ＝＝10，∴QC＝BQ﹣BC＝10﹣＝．19．（1）解：如图1，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC＝∠AOC，∠NOD＝∠BOD，又∵∠COD＝80°，∴∠AOC+∠BOD＝100°﹣80°＝100°，∴∠MON＝∠COD+∠MOC+∠NOD＝80°+×100°＝130°；（2）解：如图2，∠AOC＝x°，则∠AOD＝x°+80°，∠BOD＝100°﹣x°，∵OM平分∠AOD∴∠AOM＝∠AOD＝x°+40°；又∵ON平分∠BOC∴∠BON＝∠BOC＝（180°﹣x°）＝90°﹣x°，∴∠MON＝180°﹣（∠AOM+∠BON）＝180°﹣（x°+40°+90°﹣x°）＝180°﹣130°＝50°．20．（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠OCA＝90°，∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠B，∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠OCA＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC和Rt△ACD中，∵∠ACD＝∠B，∠ACB＝∠ADC，∴Rt△ABC∽Rt△ACD，∴，∴AC2＝AD•AB，AC2＝1×4＝4，∴AC＝2，BC2＝AB2﹣AC2＝42﹣4＝12，∴；（3）解：在Rt△ABC中∵AC＝2，AB＝4，∴∠B＝30°，∴∠OAC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，在Rt△ADC中∵∠ACD＝∠B＝30°，AD＝1，∴CD＝＝＝，∴S阴影＝S梯形ADCO﹣S扇形OAC＝．。

2020中考数学一轮专项复习《圆》中考真题综合提升卷(含详细解答)

2020中考数学一轮专项复习《圆》中考真题综合提升卷(含详细解答)

2020中考数学一轮专项复习《圆》中考真题综合提升卷1．已知AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点．连接AC，DO．（Ⅰ）如图①，求∠BOD及∠A的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点H，若⊙O的半径为2．求CH的长．2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的半圆⊙O交AC于点D，点E是AB的中点，连接DE并延长，交CB延长线于点F．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CF＝8，DF＝4，求⊙O的半径和AC的长．3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E，连接OC．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝，DE＝3，求⊙O的半径及AC的长．4．如图1，在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（﹣3，0），与y轴相交于B、C两点，且BC＝8，连接AB．（1）求证：∠ABO1＝∠ABO；（2）求AB的长；（3）如图2，⊙O2经过A、B两点，与y轴的正半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，求出BM﹣BN的值．5．如图①，在平行四边形OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．（1）求∠OAB的度数；（2）如图②，点E在⊙O上，连接CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠COE的度数．6．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径．（3）过点B作⊙O的切线交CA的延长线于G，如果连接AE，将线段AC以直线AE为对称轴作对称线段AH，点H正好落在⊙O上，连接BH，求证：四边形AHBG为菱形．7．已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，AC＝BC，D、E是⊙O上两点，连接AD、DE、AE．（1）如图1，求证：∠AED﹣∠CAD＝45°；（2）如图2，若DE⊥AB于点H，过点D作DG⊥AC于点G，过点E作EK⊥AD于点K，交AC于点F，求证：AF＝2DG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF、CD，若∠CDF＝∠GAD，DK＝3，求⊙O的半径．8．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△P AB的外接圆⊙O交BD于E．（1）如图1，当PB＝3时，求P A的长以及⊙O的半径；（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠P AD；（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．9．如图1，在平面内，不在同一条直线上的三点A，B，C同在以点O为圆心的圆上，且∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）如图2，过点D作DE⊥BA，垂足为点E，作DF⊥BC，垂足为点F，延长DF交⊙O于点M，连接CM．若AD＝CM，请判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE∥AC交CB的延长线于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，BD＝3，求BC的长．11．如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线，交DA的延长线于点E，连接BD，且∠E＝∠DBC．（1）求证：DB平分∠ADC；（2）若CD＝9，tan∠ABE＝，求⊙O的半径．12．如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，E为DA延长线上一点，且∠E＝∠DBC，若DB平分∠ADC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）若CB＝10，tan∠ABE＝，求⊙O的面积．13．点C，D是半圆弧上的两个动点，在运动的过程中保持∠COD＝80°．（1）如图1，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；（2）如图2，若∠AOC＝x°，OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．14．已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，交⊙O于G，CF⊥AB于F，点C是弧BG的中点．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AF，BF（AF＞BF）是一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两根，求CE和AG的长．15．已知：AB、AC是⊙O中的两条弦，连接OC交AB于点D，点E在AC上，连接OE，∠AEO＝∠BDO．（1）如图1，若∠CAD＝∠COE，求证：＝；（2）如图2，连接OA，若∠OAB＝∠COE，求证：AE＝CD；（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长AO交⊙O于点F，点G在AB上，连接GF，若∠ADC＝2∠BGF，AE＝5，DG＝1，求线段BG的长．参考答案1．已知AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点．连接AC，DO．（Ⅰ）如图①，求∠BOD及∠A的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点H，若⊙O的半径为2．求CH的长．解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵点C，D是半圆O的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD，∵AB为直径，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝×180°＝60°，∵OC＝OA，∴∠A＝60°；即∠BOD及∠A的大小烦恼为60°，60°；（Ⅱ）如图②，连接OC，∵CF⊥AB，∴CF＝HF，在Rt△OCF中，∵∠COF＝60°，∴OF＝OC＝1，∴CF＝OF＝，∴CH＝2CF＝2．2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的半圆⊙O交AC于点D，点E是AB的中点，连接DE并延长，交CB延长线于点F．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CF＝8，DF＝4，求⊙O的半径和AC的长．解：（1）相切证明：连接OD，OE∵点E是AB中点，点O是BC中点∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC∴∠1＝∠4，∠2＝∠3∵OC＝OD，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2∴△OBE≌△ODE∴∠ODE＝∠OBE＝90°∴OD⊥DE，∴直线DF与⊙O相切．（2）设⊙O半径为x，则OD＝x，OF＝8﹣x在Rt△FOD中，OD2+FD2＝OF2，∴x2+42＝（8﹣x）2，∴x＝3∴⊙O半径为3；∵∠FBE＝∠FDO＝90°，∠F＝∠F，∴△FBE∽△FDO，∴，∵BF＝FC﹣BC＝2，OD＝3，DF＝4，∴BE＝，∵点E是AB中点，∴AB＝2BE＝3在Rt△ABC中，AC＝＝．3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E，连接OC．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝，DE＝3，求⊙O的半径及AC的长．∴△OCB≌△OC D（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（3﹣r）2＝r2+（）2，∴r＝1∴OE＝3﹣1＝2Rt△ABC中，∴∠E＝30°∴∠ECD＝90°﹣30°＝60°Rt△BCO中，OC＝2OB＝2×1＝2，Rt△ABC中，4．如图1，在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（﹣3，0），与y轴相交于B、C两点，且BC＝8，连接AB．（1）求证：∠ABO1＝∠ABO；（2）求AB的长；（3）如图2，⊙O2经过A、B两点，与y轴的正半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，求出BM﹣BN的值．（1）证明：如图1﹣1，连接AO1，∵⊙O1与x轴相切于点A，∴∠OAO1＝90°，又∠AOB＝90°，∴AO1∥OB，∴∠ABO＝∠O1AB，∵O1A＝O1B，∴∠O1AB＝∠ABO1，∴∠ABO1＝∠ABO；（2）解：如图1﹣2，过点O1作O1H⊥BC于H，则CH＝BH＝BC＝4，∴∠O1HO＝∠HOA＝∠OAO1＝90°，∴四边形AO1HO是矩形，∴AO1＝AO＝3，∴在Rt△O1HB中，O1B＝＝5，∴HO＝O1A＝O1B＝5，∴OB＝HO﹣BH＝1，∴在Rt△AOB中，AB＝＝＝；（3）解：如图2，作点B关于x轴的对称点B'，则点OB'＝OB＝1，AB＝AB'，∴BB'＝2，∠AB'O＝∠ABO∴由（1）知，∠ABO＝∠ABO1，∴∠ABO1＝∠AB'O，∴180°﹣∠ABO1＝180°﹣∠AB'O，即∠ABN＝∠AB'M，又∵，∴∠AMB'＝∠N，∴△AMB'≌△ANB（AAS），∴MB'＝NB，∴BM﹣BN＝BM﹣B'M＝BB'＝2，∴BM﹣BN的值为2．5．如图①，在平行四边形OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．（1）求∠OAB的度数；（2）如图②，点E在⊙O上，连接CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠COE的度数．解：（1）如图①，连接OB，∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，∴OB⊥OA，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°；（2）如图②，过点O作OH⊥EC于点H，设EH＝t，∵OH⊥EC，∴EF＝2HE＝2t，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝CO＝EF＝2t，∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝t，则HO＝＝＝t，∵OC＝2OH，∴∠OCE＝30°，∴∠COE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．6．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径．（3）过点B作⊙O的切线交CA的延长线于G，如果连接AE，将线段AC以直线AE为对称轴作对称线段AH，点H正好落在⊙O上，连接BH，求证：四边形AHBG为菱形．（1）证明：如图1，连接OA，OD，则∠OAF＝∠D，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴，∴∠EOD＝∠BOD＝×180°＝90°，∴∠OFD+∠D＝90°，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CF A＝∠OFD，∴∠CAF+∠∠OAF＝90°，即∠CAO＝90°，∴OA⊥CA，∴AC是⊙O的切线；（2）如图1，设半径为r，则OF＝BF﹣OB＝8﹣r，∵在Rt△OFD中，OF2+OD2＝DF2，∴（8﹣r）2+r2＝（）2，解得，r1＝6，r2＝2（舍去），∴⊙O的半径为6；（3）如图2，连接EH，由对称性可知AC＝AH，∠CAE＝∠HAE，又∵AE＝AE，∴△CAE≌△HAE（SAS），∴∠C＝∠EHA，∵，∴∠EHA＝∠ABE，∴∠C＝∠ABE，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵BE为⊙O的直径，∴∠EAB＝90°，∴∠OAB+∠OAE＝90°，又∵∠CAE∠+∠OAE＝90°，∴∠CAE＝∠OAB，∴∠C＝∠OBA＝∠∠OAB＝∠CAE，∴AC＝AB，∴△CAE≌△BAO（ASA），∴AE＝AO＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴∠AEO＝60°，∴∠ABE＝90°﹣∠AEO＝30°，∠AHB＝∠AEO＝60°，∴∠ABG＝90°﹣∠ABE＝60°，∵CA＝AH，CA＝AB，∴AH＝AB，又AHB＝60°，∴△ABH是等边三角形，∴AB＝BH＝AH，∵GB，GA是⊙O的切线，∴GB＝GA，又∠ABG＝60°，∴△ABG是等边三角形，∴AB＝BG＝AG，∴BH＝AH＝BG＝AG，∴四边形AHBG是菱形．7．已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，AC＝BC，D、E是⊙O上两点，连接AD、DE、AE．（1）如图1，求证：∠AED﹣∠CAD＝45°；（2）如图2，若DE⊥AB于点H，过点D作DG⊥AC于点G，过点E作EK⊥AD于点K，交AC于点F，求证：AF＝2DG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF、CD，若∠CDF＝∠GAD，DK＝3，求⊙O的半径．（1）证明：如图1，连接CO，CE，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∴∠COA＝2∠B＝90°，∵，∴∠CAD＝∠CED，∴∠AED﹣∠CAD＝∠AED﹣∠CED＝∠AEC＝∠COA＝45°，即∠AED﹣∠CAD＝45°；（2）如图2，连接CO并延长，交⊙O于点N，连接AN，过点E作EM⊥AC于M，则∠CAN＝90°，∵AC＝BC，AO＝BO，∴CN⊥AB，∴AB垂直平分CN，∴AN＝AC，∴∠NAB＝∠CAB，∵AB垂直平分DE，∴AD＝AE，∴∠DAB＝∠EAB，∴∠NAB﹣∠EAB＝∠CAB﹣∠DAB，即∠GAD＝∠NAE，∵∠CAN＝∠CME＝90°，∴AN∥EB，∴∠NAE＝∠MEA，∴∠GAD＝∠MEA，又∵∠G＝∠AME＝90°，AD＝EA，∴△ADG≌△EAM（AAS），∴AG＝EM，AM＝DG，又∵∠MEF+∠MFE＝90°，∠MFE+∠GAD＝90°，∴∠MEF＝∠GAD，又∵∠G＝∠FME＝90°，∴△ADG≌△EFM（ASA），∴DG＝MF，∵DG＝AM，∴AF＝AM+MF＝2DG；（3）∵∠CDF＝∠GAD，∠FCD＝∠DCA，∴△FCD∽△DCA，∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA，∵AC＝BC，AB为直径，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA＝45°，∴△GFD为等腰直角三角形，设GF＝GD＝a，则FD＝a，AF＝2a，∴＝＝，∵∠F AK＝∠DAG，∠AKF＝∠G＝90°，∴△AFK∽△ADG，∴＝＝，在Rt△AFK中，设FK＝x，则AK＝3x，∵FK2+AK2＝AF2，∴x2+（3x）2＝（2a）2，解得，x＝a（取正值），∴FK＝a，在Rt△FKD中，FK2+DK2＝FD2，∴（a）2+32＝（a）2，解得，a＝（取正值），∴GF＝GD＝，AF＝，∵△FCD∽△DCA，∴＝，∴CD2＝CA•FC，∵CD2＝CG2+GD2，∴CG2+GD2＝CA•FC，设FC＝n，则（﹣n）2+（）2＝（+n）n，解得，n＝，∴AC＝AF+CF＝+＝，∴AB＝AC＝，⊙O的半径为．8．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△P AB的外接圆⊙O交BD于E．（1）如图1，当PB＝3时，求P A的长以及⊙O的半径；（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠P AD；（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．解：（1）如图1，过点A作BP的垂线，垂足为H，作直径AM，连接MP，在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝2，AH＝AB•sin60°＝2，∴HP＝BP﹣BH＝1，∴在Rt△AHP中，AP＝＝，∵AB是直径，∴∠APM＝90°，在Rt△AMP中，∠M＝∠ABP＝60°，∴AM＝＝＝，∴⊙O的半径为，即P A的长为，⊙O的半径为；（2）当∠APB＝2∠PBE时，∵∠PBE＝∠P AE，∴∠APB＝2∠P AE，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠APB＝∠P AD，∴∠P AD＝2∠P AE，∴∠P AE＝∠DAE，∴AE平分∠P AD；（3）①如图3﹣1，当AE⊥BD时，∠AEB＝90°，∴AB是⊙O的直径，∴r＝AB＝2；②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，∵AD∥BC，∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，∴＝，在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，∴AF＝AB•sin60°＝2，BF＝AB＝2，∴＝，∴EF＝，在Rt△BFE中，BE＝＝＝，∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE，∴△OBE是等边三角形，∴r＝；③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°，∴AE为⊙O的直径，∴∠BPE＝90°，如图3﹣3，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点N，延开PE交AD于点Q，在Rt△DCN中，∠DCN＝60°，DC＝4，∴DN＝DC•sin60°＝2，CN＝CD＝2，∴PQ＝DN＝2，设QE＝x，则PE＝2﹣x，在Rt△AEQ中，∠QAE＝∠BAD﹣BAE＝30°，∴AE＝2QE＝2x，∵PE∥DN，∴△BPE∽△BND，∴＝，∴＝，∴BP＝10﹣x，在Rt△ABE与Rt△BPE中，AB2+AE2＝BP2+PE2，∴16+4x2＝（10﹣x）2+（2﹣x）2，解得，x1＝6（舍），x2＝，∴AE＝2，∴BE＝＝＝2，∴r＝，∴⊙O的半径为2或或．9．如图1，在平面内，不在同一条直线上的三点A，B，C同在以点O为圆心的圆上，且∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）如图2，过点D作DE⊥BA，垂足为点E，作DF⊥BC，垂足为点F，延长DF交⊙O于点M，连接CM．若AD＝CM，请判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．证明：（1）∵BC平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD；（2）直线DE与⊙O相切；理由：连接OD，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，∵＝，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线．10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE∥AC交CB的延长线于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，BD＝3，求BC的长．解：（1）如图1，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD．EODCBA∵BD是△ABC的外角平分线，∴∠DBE＝∠OBD．∴∠DBE＝∠ODB，∴BE∥OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵DE∥AC，∴∠DEB＝90°，∴OD⊥DE且点D在⊙O上．∴直线DE与⊙O相切；（2）如图1，连接OC，∵∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形．∴∠OBC＝60°，∵BE∥OD，∴∠DOB＝60°，∴∠DOB＝∠BOC，∴BD＝BC．11．如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线，交DA的延长线于点E，连接BD，且∠E＝∠DBC．（1）求证：DB平分∠ADC；（2）若CD＝9，tan∠ABE＝，求⊙O的半径．（1）证明：连接OB，∵BE为⊙O的切线，∴OB⊥BE，∴∠OBE＝90°，∴∠ABE+∠OBA＝90°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠ABE+∠OAB＝90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠OAB+∠ADB＝90°，∴∠ABE＝∠ADB，∵四边形ABCD的外接圆为⊙O，∴∠EAB＝∠C，∵∠E＝∠DBC，∴∠ABE＝∠BDC，∴∠ADB＝∠BDC，即DB平分∠ADC；（2）解：∵tan∠ABE＝，∴设AB＝x，则BD＝2x，AD＝＝x，∵∠E＝∠E，∠ABE＝∠BDE，∴△AEB∽△BED，∴BE2＝AE•DE，且＝＝，设AE＝a，则BE＝2a，∴4a2＝a（a+x），∴a＝x，∵∠BAE＝∠C，∠ABE＝∠BDC，∴△AEB∽△CBD，∴，∴＝，解得＝3，∴AD＝x＝15，∴OA＝．12．如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，E为DA延长线上一点，且∠E＝∠DBC，若DB平分∠ADC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）若CB＝10，tan∠ABE＝，求⊙O的面积．（1）证明：连接OB，∵∠EAB＝∠C，∠E＝∠DBC，∴△AEB∽△CBD，∴∠ABE＝∠BDC，∵DB平分∠ADC，∴∠BDC＝∠BDA，∴∠ADE＝∠BDA，∵AD是⊙O的直径，∴∠BDA+∠DAB＝90°，∵∠BAD＝∠OBA，∴∠EBA+∠ABO＝90°，∴BE为⊙O的切线；（2）解：∵∠BDC＝∠BDA，∴＝，∴AB＝BC＝10，∵∠ABE＝∠ADB，∴tan∠ABE＝tan∠ADB＝，∴＝，∴BD＝20，∴AD＝＝10，∴⊙O的面积＝（）2•π＝125π．13．点C，D是半圆弧上的两个动点，在运动的过程中保持∠COD＝80°．（1）如图1，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；（2）如图2，若∠AOC＝x°，OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．（1）解：如图1，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC＝∠AOC，∠NOD＝∠BOD，又∵∠COD＝80°，∴∠AOC+∠BOD＝100°﹣80°＝100°，∴∠MON＝∠COD+∠MOC+∠NOD＝80°+×100°＝130°；（2）解：如图2，∠AOC＝x°，则∠AOD＝x°+80°，∠BOD＝100°﹣x°，∵OM平分∠AOD∴∠AOM＝∠AOD＝x°+40°；又∵ON平分∠BOC∴∠BON＝∠BOC＝（180°﹣x°）＝90°﹣x°，∴∠MON＝180°﹣（∠AOM+∠BON）＝180°﹣（x°+40°+90°﹣x°）＝180°﹣130°＝50°．14．已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，交⊙O于G，CF⊥AB于F，点C是弧BG的中点．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AF，BF（AF＞BF）是一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两根，求CE和AG的长．（1）证明：连接OC，∵点C是弧BG的中点，∴＝，∴∠EAC＝∠CAF，∵OA＝OC，∴∠CAF＝∠OCA，∴∠OCA＝∠EAC，∴OC∥AE，∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∵OC为⊙O半径，∴DE是⊙O的切线；（2）连接CG，∵＝，∴CG＝BC，∵AF，BF（AF＞BF）是一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两根，∴AF＝6，BF＝2，∴AB＝8，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CF⊥AB，∴AC2＝AF•AB＝6×8＝48，BC2＝BF•AB＝16，∴AC＝4，BC＝4，∴tan∠CAB＝＝，∴∠CAE＝∠CAB＝30°，∴CE＝AC＝2，AE＝AC＝6，∵CG＝BC＝4，∴EG＝＝＝2，∴AG＝4．15．已知：AB、AC是⊙O中的两条弦，连接OC交AB于点D，点E在AC上，连接OE，∠AEO＝∠BDO．（1）如图1，若∠CAD＝∠COE，求证：＝；（2）如图2，连接OA，若∠OAB＝∠COE，求证：AE＝CD；（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长AO交⊙O于点F，点G在AB上，连接GF，若∠ADC＝2∠BGF，AE＝5，DG＝1，求线段BG的长．（1）证明：设OE与AB交于点H，∵∠CAD＝∠COE，∠EHA＝∠DHO，∴∠AEO＝∠ODA，∵∠AEO＝∠BDO，∴∠BDO+∠ADO＝180°，∴∠ADO＝∠BDO＝90°，∴OD⊥AB，∴；（2）证明：∵∠AEO+∠CEO＝180°，∠BDO+∠ADO＝180°，∴∠AEO＝∠BDO，∴∠CEO＝∠ADO，在△CEO和ODA中，∵∠COE＝∠OAD，∠CEO＝∠ADO，OC＝OA，∴△CEO≌△ODA（AAS），∴CE＝OD，∠ECO＝∠AOD，∴OA＝AC＝OC，∴△AOC为等边三角形，∵AE＝AC﹣CE，CD＝OC﹣OD，∴AE＝CD；（3）证明：延长FG交OC于点S，延长CO到点T，使OT＝OS，连接AT，BF，设∠BGF＝α，则∠BGF＝∠SGD＝α，∵∠ADC＝2∠BGF＝2α，∠ADC＝∠GSD+∠SGD∴∠DSG＝∠DGS＝α∴SD＝DG＝1∵AE＝CD＝5∴CS＝CD﹣SD＝4在△FOS和△AOT中，∵OS＝OT，∠SOF＝∠AOT，OF＝OA，∴△FOS≌△AOT（SAS）∴∠ATO＝∠FSO＝α，∵∠ADC＝2α，∴∠DAT＝∠DTA＝α，∴AD＝DT，设OA＝OC＝AC＝r，∴OT＝OS＝r﹣4，OD＝r﹣5，AD＝DT＝2r﹣9，在△ADC中，CD＝5，AC＝r，AD＝2r﹣9，∠ACD＝60°，解△ADC得，r＝8，AD＝7，过点D作DK⊥OA，在△DOK中，∵OD＝3，∠DOK＝60°，∴OK＝，AK＝，cos∠DAK＝＝，在△ABF中，AB＝AF×cos∠DAK＝，∴BG＝AB﹣AG＝．。

2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合及详细答案

2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合及详细答案

2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合及详细答案一、圆的综合1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题：（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解．试题解析：（1）证明：连接OD ，∵OD=OA ，∴∠ODA=∠A ，∵四边形OABC 是平行四边形，∴OC ∥AB ，∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ，∴∠EOC=∠DOC ，在△EOC 和△DOC 中，OE OD EOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOC ≌△DOC （SAS ），∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD ⊥DC ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）由（1）知CD 是圆O 的切线，∴△CDO 为直角三角形，∵S △CDO =12CD•OD ， 又∵OA=BC=OD=4，∴S △CDO =12×6×4=12， ∴平行四边形OABC 的面积S=2S △CDO =24．2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重合），且四边形BDCE 为菱形．（1）求证：AC=CE ；（2）求证：BC 2﹣AC 2=AB•AC ；（3）已知⊙O 的半径为3．①若AB AC =53，求BC 的长； ②当AB AC为何值时，AB•AC 的值最大？【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；②32【解析】 分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC ，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC ，据此得证； （2）以点C 为圆心，CE 长为半径作⊙C ，与BC 交于点F ，于BC 延长线交于点G ，则CF=CG=AC=CE=CD ，证△BEF ∽△BGA 得BE BG BF BA =，即BF•BG=BE•AB ，将BF=BC-CF=BC-AC 、BG=BC+CG=BC+AC 代入可得；（3）①设AB=5k 、AC=3k ，由BC 2-AC 2=AB•AC 知6k ，连接ED 交BC 于点M ，Rt △DMC 中由DC=AC=3k 、MC=126k 求得22CD CM -3，可知OM=OD-3，在Rt △COM 中，由OM 2+MC 2=OC 2可得答案．②设OM=d ，则MD=3-d ，MC 2=OC 2-OM 2=9-d 2，继而知BC 2=（2MC ）2=36-4d 2、AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=（3-d ）2+9-d 2，由（2）得AB•AC=BC 2-AC 2，据此得出关于d 的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．详解：（1）∵四边形EBDC为菱形，∴∠D=∠BEC，∵四边形ABDC是圆的内接四边形，∴∠A+∠D=180°，又∠BEC+∠AEC=180°，∴∠A=∠AEC，∴AC=CE；（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，由（1）知AC=CE=CD，∴CF=CG=AC，∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，∴∠G+∠AEF=180°，又∵∠AEF+∠BEF=180°，∴∠G=∠BEF，∵∠EBF=∠GBA，∴△BEF∽△BGA，∴BE BGBF BA=，即BF•BG=BE•AB，∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；（3）设AB=5k、AC=3k，∵BC2﹣AC2=AB•AC，∴6k，连接ED交BC于点M，∵四边形BDCE是菱形，∴DE垂直平分BC，则点E、O、M、D共线，在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=126k，∴223CD CM k-=，∴OM=OD﹣DM=33k，在Rt △COM 中，由OM 2+MC 2=OC 2得（3﹣3k ）2+（6k ）2=32，解得：k=233或k=0（舍）， ∴BC=26k=42； ②设OM=d ，则MD=3﹣d ，MC 2=OC 2﹣OM 2=9﹣d 2，∴BC 2=（2MC ）2=36﹣4d 2，AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=（3﹣d ）2+9﹣d 2，由（2）得AB•AC=BC 2﹣AC 2=﹣4d 2+6d+18=﹣4（d ﹣34）2+814， ∴当d=34，即OM=34时，AB•AC 最大，最大值为814， ∴DC 2=272， ∴AC=DC=36， ∴AB=96，此时32AB AC ． 点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．3．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点F 在⊙O 上，且点C 是的中点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，交AF 的延长线于点E ．（1）求证：AE ⊥DE ；（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】 试题分析：（1）首先连接OC ，由OC=OA ，，易证得OC ∥AE ，又由DE 切⊙O 于点C ，易证得AE ⊥DE ； （2）由AB 是⊙O 的直径，可得△ABC 是直角三角形，易得△AEC 为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB 中，利用已知条件求得答案．试题解析：（1）证明：连接OC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∵∴∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AE，∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AE⊥DE；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA=60°，∴∠BAC=∠EAC=30°，∵△AEC为直角三角形，AE=3，∴AC=2，连接OF，∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，∴△OAF为等边三角形，∴AF=OA=AB，在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，∴BC=2，∴AB=4，∴AF=2．考点：切线的性质．e的直径，连接DB，过点C的切线交DB的延长线于点E．4．已知AB，CD都是O()1如图1，求证：AOD 2E 180∠∠+=o ；()2如图2，过点A 作AF EC ⊥交EC 的延长线于点F ，过点D 作DG AB ⊥，垂足为点G ，求证：DG CF =；()3如图3，在()2的条件下，当DG 3CE 4=时，在O e 外取一点H ，连接CH 、DH 分别交O e 于点M 、N ，且HDE HCE ∠∠=，点P 在HD 的延长线上，连接PO 并延长交CM 于点Q ，若PD 11=，DN 14=，MQ OB =，求线段HM 的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）837+【解析】【分析】（1）由∠D +∠E =90°，可得2∠D +2∠E =180°，只要证明∠AOD =2∠D 即可； （2）如图2中，作OR ⊥AF 于R ．只要证明△AOR ≌△ODG 即可；（3）如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT ⊥CL 于T ，作NK ⊥CH 于K ，设CH 交DE 于W ．解直角三角形分别求出KM ，KH 即可；【详解】()1证明：如图1中，O Q e 与CE 相切于点C ，OC CE ∴⊥，OCE 90∠∴=o ，D E 90∠∠∴+=o ，2D 2E 180∠∠∴+=o ，AOD COB ∠∠=Q ，BOC 2D ∠∠=，AOD 2D ∠∠=，AOD 2E 180∠∠∴+=o ．()2证明：如图2中，作OR AF ⊥于R ．OCF F ORF 90∠∠∠===o Q ，∴四边形OCFR 是矩形，AF//CD ∴，CF OR =，A AOD ∠∠∴=，在AOR V 和ODG V 中，A AOD ∠∠=Q ，ARO OGD 90∠∠==o ，OA DO =，AOR ∴V ≌ODG V ，OR DG ∴=，DG CF ∴=，()3解：如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT CL ⊥于T ，作NK CH ⊥于K ，设CH 交DE 于W ．设DG 3m =，则CF 3m =，CE 4m =，OCF F BTE 90∠∠∠===o Q ，AF//OC//BT ∴，OA OB =Q ，CT CF 3m ∴==，ET m ∴=，CD Q 为直径，CBD CND 90CBE ∠∠∠∴===o ，E 90EBT CBT ∠∠∠∴=-=o ，tan E tan CBT ∠∠∴=，BT CT ET BT∴=，BT 3m m BT ∴=， BT 3m(∴=负根已经舍弃)，3m tan E 3∠∴==， E 60∠∴=o ，CWD HDE H ∠∠∠=+Q ，HDE HCE ∠∠=，H E 60∠∠∴==o ，MON 2HCN 60∠∠∴==o ，OM ON =Q ，OMN ∴V 是等边三角形，MN ON ∴=，QM OB OM ==Q ，MOQ MQO ∠∠∴=，MOQ PON 180MON 120∠∠∠+=-=o o Q ，MQO P 180H 120∠∠∠+=-=o o ， PON P ∠∠∴=，ON NP 141125∴==+=，CD 2ON 50∴==，MN ON 25==，在Rt CDN V 中，2222CN CD DN 501448=-=-=，在Rt CHN V 中，CN 48tan H 3HN HN∠===， HN 163∴=，在Rt KNH V 中，1KH HN 832==，3NK HN 24==， 在Rt NMK V 中，2222MK MN NK 25247=-=-=，HM HK MK 837∴=+=+．【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键.5．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是的中点，D 是的中点，AC 与BD 相交于点E .（1）求证：BD平分∠ABC；（2）求证：BE=2AD；（3）求DEBE的值.【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）21 -【解析】试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；（2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，DH=21-, 然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：（1）∵D是的中点∴AD=DC∴∠CBD=∠ABD∴BD平分∠ABC（2）提示：延长BC与AD相交于点F,证明△BCE≌△ACF,BE=AF=2AD（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，2，21, DEBE=DHBCDE BE 21 -6．已知：如图，△ABC中，AC=3，∠ABC=30°．（1）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；（2）求（1）中所求作的圆的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．【解析】试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC＝3，如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以∆AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．（2）连接OA，OB．∵AC=3，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴圆的半径是3，∴圆的面积是S=πr2=9π．7．阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。

2020年江西省赣州市于都县中考数学一轮复习测试：圆(含解析)

2020年江西省赣州市于都县中考数学一轮复习测试：圆(含解析)

2020年江西省赣州市于都县中考数学一轮测试：圆一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，若OP＝8，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不确定2．（3分）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，圆心距O1O2＝10cm，那么⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离3．（3分）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（）A．8B．4C．10D．54．（3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是（）A．115°B．105°C．100°D．95°5．（3分）如图，P A、PB是⊙O的切线，切点是A、B，若∠P＝70°，则∠AOB的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°6．（3分）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，若∠AOB＝120°，则大圆半径R与小圆半径r之间满足（）A．B．R＝3r C．R＝2r D．7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（）A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离8．（3分）如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论中，错误的是（）A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B．＝C．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长D．∠BAC＝30°二.填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝20°，则∠BOC的度数为．10．（3分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠AOC＝60°，则∠B＝度．11．（3分）如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝度．12．（3分）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB＝120°，弦AB＝2cm，则OA＝cm．13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝．14．（3分）某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB＝10米，则该圆锥的侧面积是平方米（结果保留π）．15．（3分）如图，⊙O1、⊙O2相内切于点A，其半径分别是8和4，将⊙O2沿直线O1O2平移至两圆相外切时，则点O2移动的长度是．16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°、∠A＝30°，在AC边上取点O画圆，使⊙O 经过A、B两点，下列结论正确的序号是（多填或错填得0分，少填酌情给分）．①AO＝2CO；②AO＝BC；③以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；④延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点．三、（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，求∠PCA的度数．18．（6分）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD＝3，cos∠BCD＝．（1）求证：CD∥BF；（2）求⊙O的半径；（3）求弦CD的长．19．（6分）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC交⊙O于点F．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）20．（8分）有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减xcm．最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等．（1）用含x的代数式表达出其余四个圆的直径长；（2）若最大圆与最小圆的直径之比为15：11，求相邻两圆的间距．21．（8分）如图，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．（1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．23．（9分）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作△ABC的外接圆，圆心为O；②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD；③连接BD，交⊙O于点E，连接AE，（2）综合与运用：在你所作的图中，若AB＝4，BC＝2，则：①AD与⊙O的位置关系是．②线段AE的长为．六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，OP＝4，直线OA与y轴的夹角为30°，以P为圆心，r为半径作⊙P，与OA交于点B，C．（1）当r为何值时，△PBC为等边三角形？（2）当⊙P与直线y＝﹣2相切时，求BC的值．25．（10分）如图（1），∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，OB＝4，以点O为圆心，长为半径作⊙O交BC于点D、E．（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由．（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，如图（2），求的长．参考答案与试题解析一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，若OP＝8，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不确定【分析】知道OP的长，点A是OP的中点，得到OA的长与半径的关系，即可确定A 与圆的位置关系．【解答】解：∵OP＝8，A是线段OP的中点，∴OA＝4，小于圆的半径5，∴点A在圆内．故选：A．2．（3分）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，圆心距O1O2＝10cm，那么⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离【分析】根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d＝R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d＝R﹣r；内含，则d＜R﹣r．【解答】解：∵3+4＝7＜10，∴两圆外离．故选：D．3．（3分）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（）A．8B．4C．10D．5【分析】连接OA，即可证得△OAM是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM，根据勾股定理即可求得OA的长．【解答】解：连接OA，∵M是AB的中点，∴OM⊥AB，且AM＝4在直角△OAM中，OA＝＝5故选：D．4．（3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是（）A．115°B．105°C．100°D．95°【分析】根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD＝180°，而∠BCD与∠DEC 为邻补角，得到∠DCE＝∠BAD＝105°．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，而∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠BAD，而∠BAD＝105°，∴∠DCE＝105°．故选：B．5．（3分）如图，P A、PB是⊙O的切线，切点是A、B，若∠P＝70°，则∠AOB的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】根据切线的性质得到∠P AO＝90°，∠PBO＝90°，根据四边形内角和等于360°计算即可．【解答】解：∵P A、PB是⊙O的切线，∴∠P AO＝90°，∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，故选：B．6．（3分）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，若∠AOB＝120°，则大圆半径R与小圆半径r之间满足（）A．B．R＝3r C．R＝2r D．【分析】首先连接OC，根据切线的性质得到OC⊥OB，再根据等腰三角形的性质可得到∠COB＝60°，从而进一步求出∠B＝30°，再利用直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可得到R与r的关系．【解答】解：连接OC，∵C为切点，∴OC⊥AB，∵OA＝OB，∴∠COB＝∠AOB＝60°，∴∠B＝30°，∴OC＝OB，∴R＝2r．故选：C．7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（）A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离【分析】首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．【解答】解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3，4＝4，3＜4，∴圆与x轴相切，与y轴相交，故选：C．8．（3分）如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论中，错误的是（）A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B．＝C．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长D．∠BAC＝30°【分析】根据正多边形的性质和圆的相关概念对四个选项逐一进行分析．【解答】解：A、因为OA＝OB，OA＝AB，所以OA＝OB＝AB，所以△ABO为等边三角形，∠AOB＝60°，以AB为一边可构成正六边形，故A正确；B、因为OC⊥AB，根据垂径定理可知，；再根据A中结论，弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故B正确；C、根据垂径定理，；故C正确；D、根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，∠BAC＝∠BOC＝×∠BOA＝×60°＝15°，故D错误．故选：D．二.填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝20°，则∠BOC的度数为40°．【分析】根据圆周角定理，同同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得到∠BOC＝2∠BAC，即可得到答案．【解答】解：∵∠BAC＝20°，∴∠BOC＝2∠BAC＝40°．故答案是：40°．10．（3分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠AOC＝60°，则∠B＝30度．【分析】根据垂径定理和圆周角定理求解．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴由垂径定理知，弧AD＝弧AC，所以有∠B＝∠AOC＝30°．11．（3分）如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝40度．【分析】首先由AD∥OC可以得到∠BOC＝∠DAO，又由OD＝OA得到∠ADO＝∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．【解答】解：∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠DAO＝70°，又∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO＝70°，∴∠AOD＝180﹣70°﹣70°＝40°．12．（3分）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB＝120°，弦AB＝2cm，则OA＝2cm．【分析】过点O作OC⊥AB，根据垂径定理，可得出AC的长，再由余弦函数求得OA 的长．【解答】解：过点O作OC⊥AB，∴AC＝AB，∵AB＝2cm，∴AC＝cm，∵∠AOB＝12O°，OA＝OB，∴∠A＝30°，在直角三角形OAC中，cos∠A＝＝，∴OA＝＝2cm，故答案为2．13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝120°．【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．【解答】解：连接OC、OD，∵BC＝CD＝DA，∴＝＝，∴弦BC、CD、DA三等分半圆，∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，∴∠BCD＝（180°+60°）＝120°．故答案是：120°．14．（3分）某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB＝10米，则该圆锥的侧面积是60π平方米（结果保留π）．【分析】根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S＝lr，求得答案即可．【解答】解：∵AO＝8米，AB＝10米，∴OB＝6米，∴圆锥的底面周长＝2×π×6＝12π米，∴S扇形＝lr＝×12π×10＝60π米2，故答案为60π．15．（3分）如图，⊙O1、⊙O2相内切于点A，其半径分别是8和4，将⊙O2沿直线O1O2平移至两圆相外切时，则点O2移动的长度是8或16．【分析】由题意可知点O2可能向右移，此时移动的距离为⊙O2的直径长；如果向左移，则此时移动的距离为⊙O1的直径长．【解答】解：∵⊙O1、⊙O2相内切于点A，其半径分别是8和4，如果向右移：则点O2移动的长度是4×2＝8，如果向左移：则点O2移动的长度是8×2＝16．故点O2移动的长度8或16．故答案为：8或16．16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°、∠A＝30°，在AC边上取点O画圆，使⊙O 经过A、B两点，下列结论正确的序号是①③④（多填或错填得0分，少填酌情给分）．①AO＝2CO；②AO＝BC；③以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；④延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点．【分析】连接OB，可得∠ABO＝30°，则∠OBC＝30°，根据直角三角形的性质得OC ＝OB＝OA，再根据三角函数cos∠OBC＝，则BC＝OB，因为点O在∠ABC的角平分线上，所以点O到直线AB的距离等于OC的长，根据垂径定理得直线AC是弦BD的垂直平分线，则点A、B、D将⊙O的三等分．【解答】解：连接OB，∴OA＝OB，∴∠A＝∠ABO，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠OBC＝30°，∴OC＝OB＝OA，即OA＝2OC，故①正确；∵cos∠OBC＝，∴BC＝OB，即BC＝OA，故②错误；∵∠ABO＝∠OBC＝30°，∴点O在∠ABC的角平分线上，∴点O到直线AB的距离等于OC的长，即以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；故③正确；延长BC交⊙O于D，∵AC⊥BD，∴AD＝AB，∴△ABD为等边三角形，∴＝＝，∴点A、B、D将⊙O的三等分．故④正确．故答案为①③④．三、（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，求∠PCA的度数．【分析】根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠D＝∠COD ＝45°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵PD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∵CO＝CD，∴∠D＝∠COD＝45°，∵CO＝AO，∴∠A＝∠OCA，∵∠A+∠OCA＝∠COD，∴∠A＝22.5°，∴∠PCA＝∠A+∠D＝67.5°．18．（6分）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD＝3，cos∠BCD＝．（1）求证：CD∥BF；（2）求⊙O的半径；（3）求弦CD的长．【分析】（1）由BF是⊙O的切线得到AB⊥BF，而AB⊥CD，由此即可证明CD∥BF；（2）连接BD，由AB是直径得到∠ADB＝90°，而∠BCD＝∠BAD，cos∠BCD＝，所以cos∠BAD＝，然后利用三角函数即可求出⊙O的半径；（3）由于cos∠DAE＝，而AD＝3，由此求出AE，接着利用勾股定理可以求出ED，也就求出了CD．【解答】（1）证明：∵BF是⊙O的切线，∴AB⊥BF，∵AB⊥CD，∴CD∥BF；（2）解：连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠BCD＝∠BAD，cos∠BCD＝，∴cos∠BAD＝，又∵AD＝3，∴AB＝4，∴⊙O的半径为2；（3）解：∵∠BCD＝∠DAE，∴cos∠BCD＝cos∠DAE＝，AD＝3，∴AE＝AD cos∠DAE＝3×＝，∴ED＝，∴CD＝2ED＝．19．（6分）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC交⊙O于点F．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．【分析】（1）连接AD，则AD垂直平分BC，那么AB＝AC；（2）应把△ABC的各角进行分类，与直角进比较，进而求得△ABC的形状．【解答】解：（1）连接AD．（1分）∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，（3分）∵BD＝CD，∴AB＝AC．（4分）（2）连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠B＜∠ADB＝90度．∠C＜∠ADB＝90度．∴∠B、∠C为锐角．（6分）∵AC和⊙O交于点F，连接BF，∴∠A＜∠BFC＝90度．∴△ABC为锐角三角形．（7分）四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）20．（8分）有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减xcm．最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等．（1）用含x的代数式表达出其余四个圆的直径长；（2）若最大圆与最小圆的直径之比为15：11，求相邻两圆的间距．【分析】（1）根据图示即可列出关于x的表达式；（2）根据题意列出方程即可求出x与d的值；【解答】解：（1）其余四个圆的直径依次为：（3﹣x）cm，（3﹣2x）cm，（3﹣3x）cm，（3﹣4x）cm，（2）由题意可知：＝，解得，x＝0.2cm，经检验：x＝0.2是原方程的解，∴2×1.5+[3+（3﹣x）+（3﹣2x）（3﹣3x）+（3﹣4x）]+4d＝21．∴d＝1.25cm．答：相邻两圆的间距为1.25cm．21．（8分）如图，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．（1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．【分析】（1）先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为120度，在Rt△ABF中根据勾股定理可求出半径的长，利用扇形的面积公式即可求解；（2）直接根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得圆锥的底面圆的半径．【解答】解：（1）法一：过O作OE⊥AB于E，则BF＝AB＝2．在Rt△AEO中，∠BAC＝30°，cos30°＝．∴OA＝＝＝4．又∵OA＝OB，∴∠ABO＝30度．∴∠BOC＝60度．∵AC⊥BD，∴．∴∠COD＝∠BOC＝60度．∴∠BOD＝120度．∴S阴影＝＝．法二：连接AD．∵AC⊥BD，AC是直径，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，BF＝FD，．∴∠BAD＝2∠BAC＝60°，∴∠BOD＝120度．∵BF＝AB＝2，sin60°＝，AF＝AB•sin60°＝4×＝6．∴OB2＝BF2+OF2．即．∴OB＝4．∴S阴影＝S圆＝．法三：连接BC．∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90度．∵AB＝4，∴．∵∠A＝30°，AC⊥BD，∴∠BOC＝60°，∴∠BOD＝120度．∴S阴影＝π•OA2＝×42•π＝．以下同法一；（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴．∴．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．【分析】（1）根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r：a＝1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；（2）根据相似多边形的面积比是相似比的平方．由（1）可以求得其相似比，再进一步求得其面积比．【解答】解：（1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以r：a＝1：1；连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，所以r：b＝AO：BO＝sin60°＝：2；（2）T1：T2的边长比是：2，所以S1：S2＝（a：b）2＝3：4．23．（9分）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作△ABC的外接圆，圆心为O；②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD；③连接BD，交⊙O于点E，连接AE，（2）综合与运用：在你所作的图中，若AB＝4，BC＝2，则：①AD与⊙O的位置关系是相切．②线段AE的长为．【分析】（1）①以AB为直径作圆O即可；②分别以A、C为圆心，AC长为半径作弧交于点D，连接AD，CD即可；③根据题意连接，找到交点即可．（2）①可证∠BAD＝90°，由切线的判定得出AD与⊙O的位置关系．②根据三角形的面积公式即可求出线段AE的长．【解答】解：评分说明：第①小题（2分），第②小题（2分），第③小题（1分）．（1）如图．若考生作两条边或三条边的垂直平分线不扣分．（2）①∵AB＝4，BC＝2，△ACD是等边三角形，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝30°+60°＝90°，∴AD与⊙O的位置关系是相切．②AD＝AC＝AB•＝2，BD＝＝2，AE＝AB•AD÷（BD）＝．故线段AE的长为．故答案为：相切．．六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，OP＝4，直线OA与y轴的夹角为30°，以P为圆心，r为半径作⊙P，与OA交于点B，C．（1）当r为何值时，△PBC为等边三角形？（2）当⊙P与直线y＝﹣2相切时，求BC的值．【分析】（1）作PM⊥OA于M，∵△PBC是等边三角形，算得PM值和PM的值，进而求出半径．（2）连接PC，⊙P与直线y＝﹣2相切，求出圆的半径，求出MC，PM⊥BC，求出BC．【解答】（1）作PM⊥OA于M，∵△PBC是等边三角形，∴．∵∠POA＝30°，∴，∴，∴，（2）连接PC∵⊙P与直线y＝﹣2相切，∴⊙P的半径为4+2＝6，∴PC＝6，则，∵PM⊥BC，∴．25．（10分）如图（1），∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，OB＝4，以点O为圆心，长为半径作⊙O交BC于点D、E．（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由．（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，如图（2），求的长．【分析】（1）首先设切点为F，连OF．则OF⊥BF，由特殊角的三角函数值，即可求得∠OBF的度数，继而求得当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切；（2）首先过点O作OH⊥AB于点H，由射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O 相交于M、N两点，即可得∠ABC＝30°，继而求得OH的长，然后由特殊角的三角函数值，求得∠MOH的度数，继而求得∠MON的度数，然后由弧长公式求得的长．【解答】解：（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45度°或135°时与⊙O相切．理由如下：如图，设切点为F，连OF．则OF⊥BF，在Rt△OBF中，OF＝2，OB＝4，∴cos∠OBF＝＝，∴∠OBF＝∠BOF＝45°，∴∠ABF＝45°，同理：当∠ABF＝135°时，AB旋转的此时BF的反向延长线上，∴当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45度°或135°时与⊙O相切．（2）过点O作OH⊥AB于点H，∵射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，∴∠ABC＝30°，∴OH＝OB＝×4＝2，在Rt△OMH中，OM＝2，∴cos∠MOH＝＝，∴∠MOH＝45°，∴∠MON＝90°，∴的长为：＝π．。

2020届中考数学一轮复习基础考点专题23 圆(含解析)

2020届中考数学一轮复习基础考点专题23 圆(含解析)

专题23 圆考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段OO绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点O所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OO叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以O、O为端点的弧记作OO⏜，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 弦心距、半径、弦长的关系：（考点）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。

2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合含答案解析

2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合含答案解析

2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合含答案解析一、圆的综合1．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重合），且四边形BDCE 为菱形．（1）求证：AC=CE ；（2）求证：BC 2﹣AC 2=AB•AC ；（3）已知⊙O 的半径为3．①若AB AC =53，求BC 的长； ②当AB AC为何值时，AB•AC 的值最大？【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；②32【解析】 分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC ，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC ，据此得证；（2）以点C 为圆心，CE 长为半径作⊙C ，与BC 交于点F ，于BC 延长线交于点G ，则CF=CG=AC=CE=CD ，证△BEF ∽△BGA 得BE BG BF BA =，即BF•BG=BE•AB ，将BF=BC-CF=BC-AC 、BG=BC+CG=BC+AC 代入可得； （3）①设AB=5k 、AC=3k ，由BC 2-AC 2=AB•AC 知6k ，连接ED 交BC 于点M ，Rt △DMC 中由DC=AC=3k 、MC=126k 求得22CD CM -3，可知OM=OD-3，在Rt △COM 中，由OM 2+MC 2=OC 2可得答案．②设OM=d ，则MD=3-d ，MC 2=OC 2-OM 2=9-d 2，继而知BC 2=（2MC ）2=36-4d 2、AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=（3-d ）2+9-d 2，由（2）得AB•AC=BC 2-AC 2，据此得出关于d 的二次函数，利用二次函数的性质可得答案． 详解：（1）∵四边形EBDC 为菱形，∴∠D=∠BEC ，∵四边形ABDC 是圆的内接四边形，∴∠A+∠D=180°，又∠BEC+∠AEC=180°，∴∠A=∠AEC ，∴AC=CE；（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，由（1）知AC=CE=CD，∴CF=CG=AC，∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，∴∠G+∠AEF=180°，又∵∠AEF+∠BEF=180°，∴∠G=∠BEF，∵∠EBF=∠GBA，∴△BEF∽△BGA，∴BE BGBF BA=，即BF•BG=BE•AB，∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；（3）设AB=5k、AC=3k，∵BC2﹣AC2=AB•AC，∴6k，连接ED交BC于点M，∵四边形BDCE是菱形，∴DE垂直平分BC，则点E、O、M、D共线，在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=126k，∴223CD CM k-=，∴OM=OD﹣DM=33k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（33）2+6k）2=32，解得：k=33或k=0（舍），∴62；②设OM=d，则MD=3﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，∴BC2=（2MC）2=36﹣4d2，AC2=DC2=DM2+CM2=（3﹣d）2+9﹣d2，由（2）得AB•AC=BC2﹣AC2=﹣4d2+6d+18=﹣4（d﹣34）2+814，∴当d=34，即OM=34时，AB•A C最大，最大值为814，∴DC2=272，∴AC=DC=362，∴AB=964，此时32ABAC．点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．2．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tan A=12，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3．【解析】试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出结论．试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC +∠EDF =90°，即∠ODE =90°，∴OD ⊥DE ．∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线； （2）线段AB 、BE 之间的数量关系为：AB =3BE ．证明如下：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB =90°，∴∠ADO =∠BDE ．∵OA =OD ，∴∠ADO =∠A ，∴∠BDE =∠A ，而∠BED =∠DEA ，∴△EBD ∽△EDA ，∴DE BE BD AE DE AD ==．∵Rt △ABD 中，tan A =BD AD =12，∴DE BE AE DE ==12， ∴AE =2DE ，DE =2BE ，∴AE =4BE ，∴AB =3BE ； （3）设BE =x ，则DE =EF =2x ，AB =3x ，半径OD =32x ．∵OF =1，∴OE =1+2x ． 在Rt △ODE 中，由勾股定理可得：（32x ）2+（2x ）2=（1+2x ）2，∴x =﹣29（舍）或x =2，∴圆O 的半径为3．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD ∽△EDA 是解答本题的关键．3．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上DCE B ∠=∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．【答案】（1）见解析；(2)13【解析】分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；（2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可.详解：（1）证明：如图，连接CO .∵AB 是半圆的直径，∴∠ACB =90°.∴∠DCB =180°-∠ACB =90°.∴∠DCE+∠BCE=90°.∵OC =OB ,∴∠OCB =∠B.∵=DCE B ∠∠，∴∠OCB =∠DCE .∴∠OCE =∠DCB =90°.∴OC ⊥CE .∵OC 是半径，∴CE 是半圆的切线.（2）解：设AC =2x ，∵在Rt △ACB 中，2tan 3AC B BC ==, ∴BC =3x .∴()()222313AB x x x =+=. ∵OD ⊥AB ,∴∠AOD =∠A CB=90°.∵∠A =∠A ，∴△AOD ∽△ACB .∴AC AO AB AD=. ∵1132OA AB ==，AD =2x +10, ∴113221013x x x =+. 解得 x =8. ∴138413OA == 则半圆的半径为413点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.4．图 1 和图 2 中，优弧»AB纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝23，点P为优弧»AB上一点（点P 不与A，B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′．发现：（1）点O 到弦AB 的距离是，当BP 经过点O 时，∠ABA′＝；（2）当BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿NP 折叠，分别得到点M，O 的对称点A′， O′，设∠MNP＝α．（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图 3，判断A′C 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆O 相切，当α＝ °时，点O′落在»NP上．（3）当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时，直接写出β的取值范围．【答案】发现：（1）1，60°；（2）3；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】【分析】发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切；（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在»PB时，连接MO′，则可知NO′=12MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【详解】发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,∵⊙O的半径为2，AB=23，∴OH=22OB HB-=222(3)1-=在△BOH中，OH=1，BO=2∴∠ABO=30°∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．∴∠OBP=30°．∴OG=12OB=1．∴3．∵OG⊥BP，∴3．∴3．∴折痕的长为3拓展：（1）相切．分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示，∵A'C∥MN∴四边形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=12A'N=12MN=2∴A'C与半圆（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′，∴∠ONA′=2α=90°，∴α=45当O′在»PB上时，连接MO′，则可知NO′=12 MN，∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°，∴α=30°，故答案为：45°；30°．（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时NA′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．5．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．（1）求证：AE⊥DE；（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB 中，利用已知条件求得答案．试题解析：（1）证明：连接OC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∵∴∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AE，∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AE⊥DE；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA=60°，∴∠BAC=∠EAC=30°，∵△AEC为直角三角形，AE=3，∴AC=2，连接OF，∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，∴△OAF为等边三角形，∴AF=OA=AB ，在Rt △ACB 中，AC=2，tan ∠CBA=，∴BC=2，∴AB=4，∴AF=2．考点：切线的性质．6．已知AB ，CD 都是O e 的直径，连接DB ，过点C 的切线交DB 的延长线于点E ． ()1如图1，求证：AOD 2E 180∠∠+=o ；()2如图2，过点A 作AF EC ⊥交EC 的延长线于点F ，过点D 作DG AB ⊥，垂足为点G ，求证：DG CF =；()3如图3，在()2的条件下，当DG 3CE 4=时，在O e 外取一点H ，连接CH 、DH 分别交O e 于点M 、N ，且HDE HCE ∠∠=，点P 在HD 的延长线上，连接PO 并延长交CM 于点Q ，若PD 11=，DN 14=，MQ OB =，求线段HM 的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）37【解析】【分析】（1）由∠D +∠E =90°，可得2∠D +2∠E =180°，只要证明∠AOD =2∠D 即可； （2）如图2中，作OR ⊥AF 于R ．只要证明△AOR ≌△ODG 即可；（3）如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT ⊥CL 于T ，作NK ⊥CH 于K ，设CH 交DE 于W ．解直角三角形分别求出KM ，KH 即可；【详解】()1证明：如图1中，O Q e 与CE 相切于点C ，OC CE ∴⊥，OCE 90∠∴=o ， D E 90∠∠∴+=o ，2D 2E 180∠∠∴+=o ，AOD COB ∠∠=Q ，BOC 2D ∠∠=，AOD 2D ∠∠=，AOD 2E 180∠∠∴+=o ．()2证明：如图2中，作OR AF ⊥于R ．OCF F ORF 90∠∠∠===o Q ， ∴四边形OCFR 是矩形，AF//CD ∴，CF OR =， A AOD ∠∠∴=， 在AOR V 和ODG V 中，A AOD ∠∠=Q ，ARO OGD 90∠∠==o ，OA DO =， AOR ∴V ≌ODG V ， OR DG ∴=， DG CF ∴=，()3解：如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT CL ⊥于T ，作NK CH ⊥于K ，设CH交DE 于W ．设DG 3m =，则CF 3m =，CE 4m =，OCF F BTE 90∠∠∠===o Q ，AF//OC//BT ∴， OA OB =Q ， CT CF 3m ∴==， ET m ∴=， CD Q 为直径，CBD CND 90CBE ∠∠∠∴===o ， E 90EBT CBT ∠∠∠∴=-=o ，tan E tan CBT ∠∠∴=， BT CT ET BT ∴=， BT 3m m BT∴=， BT 3m(∴=负根已经舍弃)，3mtan E 3∠∴== E 60∠∴=o ，CWD HDE H ∠∠∠=+Q ，HDE HCE ∠∠=，H E 60∠∠∴==o ， MON 2HCN 60∠∠∴==o ，OM ON =Q ， OMN ∴V 是等边三角形， MN ON ∴=，QM OB OM ==Q ， MOQ MQO ∠∠∴=，MOQ PON 180MON 120∠∠∠+=-=o o Q ，MQO P 180H 120∠∠∠+=-=o o ，PON P ∠∠∴=，ON NP 141125∴==+=，CD 2ON 50∴==，MN ON 25==，在Rt CDN V 中，2222CN CD DN 501448=-=-=， 在Rt CHN V 中，CN 48tan H 3HN HN∠===， HN 163∴=，在Rt KNH V 中，1KH HN 832==，3NK HN 24==， 在Rt NMK V 中，2222MK MN NK 25247=-=-=，HM HK MK 837∴=+=+．【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键.7．如图，在RtΔABC 中，∠ABC=90°，AB=CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，点E 是AB 边上一点（点E 不与点A 、B 重合），DE 的延长线交⊙O 于点G ，DF ⊥DG ，且交BC 于点F.（1）求证：AE=BF ；（2）连接EF ，求证：∠FEB=∠GDA ； （3）连接GF,若AE=2，EB=4，求ΔGFD 的面积.【答案】（1）（2）见解析；（3）9 【解析】分析：（1）连接BD ，由三角形ABC 为等腰直角三角形，求出∠A 与∠C 的度数，根据AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB 为直角，即BD 垂直于AC ，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD =DC =BD =12AC ，进而确定出∠A =∠FBD ，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA 得到三角形AED 与三角形BFD 全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（2）连接EF ，BG ，由三角形AED 与三角形BFD 全等，得到ED =FD ，进而得到三角形DEF 为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；（3）由全等三角形对应边相等得到AE =BF =1，在直角三角形BEF 中，利用勾股定理求出EF 的长，利用锐角三角形函数定义求出DE 的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED 与三角形GEB 相似，由相似得比例，求出GE 的长，由GE +ED 求出GD 的长，根据三角形的面积公式计算即可．详解：（1）连接BD ．在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，∴∠A =∠C =45°． ∵AB 为圆O 的直径，∴∠ADB =90°，即BD ⊥AC ，∴AD =DC =BD =12AC ，∠CBD =∠C =45°，∴∠A =∠FBD ．∵DF ⊥DG ，∴∠FDG =90°，∴∠FDB +∠BDG =90°．∵∠EDA +∠BDG =90°，∴∠EDA =∠FDB ．在△AED 和△BFD 中，A FBD AD BD EDA FDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AED ≌△BFD （ASA ），∴AE =BF ； （2）连接EF ，BG ． ∵△AED ≌△BFD ，∴DE =DF ．∵∠EDF =90°，∴△EDF 是等腰直角三角形，∴∠DEF =45°． ∵∠G =∠A =45°，∴∠G =∠DEF ，∴GB ∥EF ，∴∠FEB =∠GBA ． ∵∠GBA =∠GDA ，∴∠FEB =∠GDA ；（3）∵AE =BF ，AE =2，∴BF =2．在Rt △EBF 中，∠EBF =90°，∴根据勾股定理得：EF 2=EB 2+BF 2．∵EB =4，BF =2，∴EF∵△DEF 为等腰直角三角形，∠EDF =90°，∴cos ∠DEF =DEEF． ∵EF=∴DE=2． ∵∠G =∠A ，∠GEB =∠AED ，∴△GEB ∽△AED ，∴GE AE =EBED，即GE •ED =AE •EB ，∴GE =8，即GE=5，则GD =GE +ED=5．∴1119222S GD DF GD DE =⨯⨯=⨯⨯==．点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答本题的关键．8．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，小圆直径AE的延长线与大圆交于点B，点D 在大圆上，BD与小圆相切于点F，AF的延长线与大圆相交于点C，且CE⊥BD．找出图中相等的线段并证明．【答案】见解析【解析】试题分析：由AE是小⊙O的直径，可得OA=OE，连接OF，根据切线的性质，可得OF⊥BD，然后由垂径定理，可证得DF=BF，易证得OF∥CE，根据平行线分线段成比例定理，可证得AF=CF，继而可得四边形ABCD是平行四边形，则可得AD=BC，AB=CD．然后连接OD、OC，可证得△AOD≌△EOC，则可得BC=AD=CE=AE．试题解析：图中相等的线段有：OA=OE，DF=BF，AF=CF，AB=CD，BC=AD=CE=AE．证明如下：∵AE是小⊙O的直径，∴OA=OE．连接OF，∵BD与小⊙O相切于点F，∴OF⊥BD．∵BD是大圆O的弦，∴DF=BF．∵CE⊥BD，∴CE∥OF，∴AF=CF．∴四边形ABCD是平行四边形．∴AD=BC，AB=CD．∵CE：AE=OF：AO，OF=AO，∴AE=EC．连接OD、OC，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD．∵∠AOD=∠ODC，∠EOC=∠OEC，∴∠AOC=∠EOC，∴△AOD≌△EOC，∴AD=CE．∴BC=AD=CE=AE．【点睛】考查了切线的性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法，小心不要漏解．9．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC,垂足为H，连接OB．(1)如图1,求证:∠DAC=∠ABO;(2)如图2,在弧AC上取点F,使∠CAF=∠BAD,在弧AB取点G，使AG∥OB，若∠BAC=600，求证:GF=GD;(3)如图3,在(2)的条件下,AF、BC的延长线相交于点E,若AF：FE=1:9，求sin∠ADG的值。

2020年中考数学知识点过关培优训练：圆(附答案)

2020年中考数学知识点过关培优训练：圆(附答案)

2020年中考数学知识点过关培优训练：圆1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE＝CE；（2）求∠CBF的度数；（3）若AB＝6，求的长．2．已知：如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B＝30°，OH＝．（1）求⊙O的半径；（2）求出劣弧AC的长（结果保留π）．3．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA＝GE．（1）判断AG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若BA＝8，∠B＝37°，求直径BC的长（结果精确到0.01）．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O是AB上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交BC、AC、AB于点D、E、F，点D是弧EF的中点．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝2，BF＝2，求弧DF的长度（结果保留π）5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．（1）求证：∠A＝∠DOB；（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是AC边延长线上的一点，以点O为圆心的圆与射线AC交于点D和点H，过点D作DF∥AB，DF交⊙O于点F，交BC边于点B，且BF＝BE．（1）判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，BC＝8，EF＝6，请求出⊙O的直径．7．已知，点A为⊙O外一点，过A作⊙O的切线与⊙O相切于点P，连接PO并延长至圆上一点B连接AB交⊙O于点C，连接OA交⊙O于点D连接DP且∠OAP＝∠DP A．（1）求证：PO＝PD；（2）若AC＝，求⊙O的半径．8．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．（I）如图①，若∠F＝50°，求∠GBF的大小；（II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠GBF的度数．9．如图1，在平面内，不在同一条直线上的三点A，B，C同在以点O为圆心的圆上，且∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）如图2，过点D作DE⊥BA，垂足为点E，作DF⊥BC，垂足为点F，延长DF交⊙O 于点M，连接CM．若AD＝CM，请判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．10．如图，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；（2）设BP＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．11．⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，点P是弦CD的延长线上的一点，直线PM与⊙O相切于点M，直线AM与直线CD相交于点N．（1）如图，当切点M在优弧上时，探究∠DPM与∠DNM的数量关系；（2）当切点M在劣弧上时，直接写出∠DPM与∠DNM之间确定的等量关系．12．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC交⊙O于点F．（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求：图中阴影部分的面积．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．（1）判断直线BE与△DEC的外接圆的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝，BD＝1，求△DEC的外接圆的半径．14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．（1）若∠C＝30°，判断BE与△DCE的外接圆的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝，BD＝1，求△DCE的外接圆的直径．15．如图，AB为⊙O直径，OE⊥BC垂足为E，AB⊥CD垂足为F．（1）求证：AD＝2OE；（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求两阴影部分面积的和．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点．（1）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；（2）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．17．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．（1）求证：BD＝CD；（2）若AB＝4，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB＝30°，BC＝时，求⊙O的半径．参考答案1．（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE．（2）解：∵∠BAC＝54°，AB＝AC，∴∠ABC＝63°，∵BF是⊙O切线，∴∠ABF＝90°，∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝27°．（3）解：连接OD，∵OA＝OD，∠BAC＝54°，∴∠AOD＝72°，∵AB＝6，∴OA＝3，∴弧AD的长是＝．2．解：（1）∵∠AOC＝2∠B，∠B＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OH⊥AC，OA＝OC，∴OH是等腰三角形AOC的底边AC上的高，∴∠AOH＝∠AOC＝30°，∴AO＝＝5×＝10，即⊙O的半径为10；（2）∵⊙O的半径为10，∠AOC＝60°，∴劣弧AC的长为．3．解：（1）AG与⊙O相切，证明：如图连接OA，∵OA＝OB，GA＝GE，∴∠ABO＝∠BAO，∠GEA＝∠GAE．∵EF⊥BC，∴∠BFE＝90°．∴∠ABO+∠BEF＝90°．又∵∠BEF＝∠GEA，∴∠GAE＝∠BEF．∴∠BAO+∠GAE＝90°．∴OA⊥AG，即AG与⊙O相切．（2）∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°．∵BA＝8，∠B＝37°，∴BC＝≈10.02．4．解：（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，∵OD为半径，∴线BC与⊙O的位置关系是相切；（2）设⊙O的半径为R，则OD＝OF＝R，在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，即（R+2）2＝（2）2+R2，解得：R＝2，即⊙O的半径是2．∴弧DF的长度＝．5．（1）证明：连接OC，∵D为的中点，∴＝，∴∠BOD＝BOC，∵∠BAC＝BOC，∴∠A＝∠DOB；（2）解：DE与⊙O相切，理由：∵∠A＝∠DOB，∴AE∥OD，∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切．6．（1）解：结论：BF是⊙O的切线；理由：连接OF．∵BE＝BF，∴∠BFE＝∠BEF，∵∠ACB＝90°，∴∠CDE+∠CED＝90°，∵OD＝OF，∴∠OFD＝∠ODF，∵∠BEF＝∠DEC，∴∠OFD+∠BFE＝90°，∴∠OFB＝90°，∴OF⊥BF，∴BF是⊙O的切线．（2）解：连接FH．∵DF∥AB，∠A＝30°，∴∠ODF＝∠A＝30°，∴∠DEC＝∠BEF＝60°，∵BE＝BF，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝EF＝6，∵BC＝8，∴EC＝2，DE＝2EC＝4，∴DF＝DE+EF＝10，∵DH是直径，∴∠DFH＝90°，∴cos30°＝，∴DH＝．∴⊙O的直径为．7．（1）证明：∵P A与⊙O相切于点P，∴BP⊥AP∴∠OPD+∠DP A＝90°，∠OAP+∠AOP＝90°∵∠OAP＝∠DP A．∴∠OPD＝∠AOP∴OD＝PD∵PO＝OD∴PO＝PD．（2）连接PC，∵PB为⊙O的直径∴∠BCP＝90°∵PO＝PD＝OD∴∠AOP＝60°设⊙O的半径为x，则PB＝2x，＝tan60°∴P A＝x∴AB＝＝x∵∠BP A＝∠BCP＝90°，∠B＝∠B∴△BAP∽△BPC∴＝∵AC＝∴＝∴7x﹣＝4x∴x＝∴⊙O的半径为．8．解：（I）如图①，连接OB，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∴∠OBF＝90°，∵OA⊥CD，∴∠OED＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠F＝180°﹣50°＝130°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠A＝（180°﹣130°）＝25°，∴∠GBF＝90°﹣∠OBA＝65°；（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∵AC∥BF，∴BH⊥AC，与（Ⅰ）方法可得到∠AOB＝180°﹣∠F＝180°﹣36°＝144°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝（180°﹣144°）＝18°，∴∠GBF＝90°﹣∠OBA＝90°﹣18°＝72°．9．证明：（1）∵BC平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD；（2）直线DE与⊙O相切；理由：连接OD，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，∵＝，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线．10．（1）证明：连接OE，∵FE、F A是⊙O的两条切线，∴OA⊥F A，OE⊥EF，F A＝FE，∴∠AOF＝∠EOF＝∠AOE，又∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∠AOE＝∠OBE+∠OEB＝2∠OBE ∴∠AOF＝∠OBE．∴OF∥BE；（2）解：过F作FQ⊥BC于Q，∴PQ＝BP﹣BQ＝x﹣y，PF＝EF+EP＝F A+BP＝x+y，∵在Rt△PFQ中，FQ2+QP2＝PF2，∴22+（x﹣y）2＝（x+y）2，化简得y＝，（1＜x＜2）．11．解：（1）如图1，连接OM，∵直线PM与⊙O相切于点M，∴∠OMP＝90°，∴∠AMO+∠PMN＝90°，∵AB⊥CD，∴∠AED＝90°，∴∠A+∠PNM＝90°，∵OM＝OA，∴∠A＝∠AMO，∴∠PMN＝∠PNM，∵∠DPM＝∠PMN+∠PNM，∴∠DPM＝2∠PNM；（2）如图2，连接OM，∵直线PM与⊙O相切于点M，∴∠OMP＝90°，∴∠AMO+∠PMN＝90°，∵AB⊥CD，∴∠AED＝90°，∵∠OFE＝∠PFM，∴∠EOM＝∠MPN，∵OA＝OM，∴∠A＝∠AMO，∵∠EOM＝∠A+∠AMO＝2∠A，∴∠DPM＝∠EOM＝2∠A，∵∠PNM＝∠ANE＝90°﹣∠A，∴∠PNM＝90°﹣．12．解：（1）AB＝AC．理由是：连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，又∵DC＝BD，∴AB＝AC；（2）连接OD、过D作DH⊥AB．∵AB＝8，∠BAC＝45°，∴∠BOD＝45°，OB＝OD＝4，∴DH＝2∴△OBD的面积＝扇形OBD的面积＝，阴影部分面积＝．13．解：（1）连接OE，∵DE是AC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠C＝30°，∴∠BEC＝120°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C＝30°，∴∠BEO＝90°，∴直线BE与△DEC的外接圆的位置关系为相切；（2）∵BE是⊙O的切线，∴BE2＝BD•BC，即（）2＝1•BC，∴BC＝3，∴CD＝2，∴△DCE的外接圆的半径是1．14．解：（1）连接OE，∵DE是AC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠C＝30°，∴∠BEC＝120°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C＝30°，∴∠BEO＝90°，∴BE是⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴BE2＝BD•BC，即（）2＝1•BC，∴BC＝3，∴CD＝2，∴△DCE的外接圆的直径是2．15．解：（1）证明：连接AC，∵AB⊥CD，∴，∴AC＝AD，∵OE⊥BC，∴E为BC的中点，∵O为AB的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴OE＝AC，∴OE＝AD，即AD＝2OE；＝π•OB2＝＝2π，（2）S半圆∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝30°，AB＝4，∴AC ＝AB ＝，BC ＝，S △ABC ＝AC •BC ＝＝2，∵AB ⊥CD ， ∴拱形AD 的面积＝弓形AC 的面积，∴S 阴影＝S 半圆﹣S △ABC ＝2π﹣2．16．解：（1）如图，连接OE ，∵∠C ＝60°，AB ＝AC ，∴∠BAC ＝60°，∴∠AOE ＝60°，∴∠BOE ＝120°，∴∠OBE ＝30°，∵AB ＝8，∴OB ＝4，∴S 阴影＝S 扇形AOE +S △BOE ＝+×2×4＝π+4；（2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BEA ＝90°，∴∠EBC +∠C ＝∠CAD +∠C ＝90°，∴∠EBC ＝∠CAD ，∴∠CAB ＝2∠EBC ．17．（1）证明：连结AD ，∵AB 为⊙O 直径，∴AD ⊥BC ，又∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ；（2）解：连结OE ，∵AB ＝4，∠BAC ＝45°，∴∠BOE ＝90°，BO ＝EO ＝2，∠AOE ＝90°，∴S 阴＝S △BOE +S 扇形OAE ＝×2×2+＝π+2．18．（1）证明：∵OD ⊥AC ，∴＝，∴∠CBD ＝∠DBA ，∴BD 平分∠ABC ；（2）∵OD ＝OB ，∴∠OBD ＝∠ODB ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝，∴AB ＝2BC ＝2，∴⊙O 的半径为．。

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2020年中考数学一轮复习《圆》分类专项培优、拔高第1节 圆的性质及其证明与计算数学核心素养提升1．如图，⊙O 的弦GH ，EF ，CD ，AB 中最短的是( )A. GHB. EFC. CDD. AB2．(2018绍兴)如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A 、B 是圆上的点，O 为圆心，∠AOB ＝120°，从A 到B 只有路AB ︵，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB .通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了________步(假设1步为0.5米，结果保留整数)．(参考数据：3≈1.732，π取3.142)数学文化专练《农政全书》——筒车3. (2019安徽)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图①，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图②，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB 的长为6米，∠OAB ＝41.3°.若点C 为运行轨道的最高点(C ，O 的连线垂直于AB )，求点C 到弦AB 所在直线的距离．(参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88)第2节微专题辅助圆问题1．(2019锦州)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是________．第1题图2．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为(－3，－2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ与⊙A相切于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为________．第2题图3．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且始终有AP⊥BP，则线段CP的最小值为______________．第3题图4．如图，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD 方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为____________．第4题图5．如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，取AC的中点E，△ABC绕E点旋转任意角度得到△GMN，直线BN、GC相交于点H，则旋转过程中，线段AH的最大值为__________．第5题图6．如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在x轴的正半轴及原点上滑动，点E为AB的中点，AB＝24，BC＝5.(1)点A从点O出发，到点B运动至点O为止，请求出点E经过的路径长；(2)请求出△OAB的面积最大值；(3)当OD最大时，请求出点D的坐标．第6题图第3节与切线有关的证明与计算数学核心素养提升1. (2018舟山)用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是()A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆心上D. 点在圆上或圆内2.命题：直角三角形的一条直角边与以另一条直角边为直径的圆相切．符合该命题的图形是()数学文化专练《九章算术》——勾股容圆勾股容圆是通过勾股形和圆的各种相切关系求圆直径的问题，这是中国数学史上的一个重要问题．西汉的《九章算术》勾股章有已知勾股形的勾、股求其内切圆直径的问题，开创了勾股容圆的研究，其给出的公式是“三位(即勾、股、弦)并之为法，以勾乘股，倍之为实，实如法得径一步．”此即内切圆的直径d ＝2aba＋b＋c.3.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径．．是多少步．”该问题的答案是________步．第4节四种方法求阴影部分面积1.(2019宿迁)如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和(阴影部分面积)是()A. 63－πB. 63－2πC. 63＋πD. 63＋2π第1题图2.(2019包头)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是()A. π－1B. 4－πC. 2D. 2第2题图3.(2019十堰) 如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C 的位置，则图中阴影部分的面积为________．第3题图4.如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB＝6，则扇形(图中阴影部分)的面积是________．第4题图参考答案第1节1．A2．15 【解析】如解图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，∵∠AOB ＝120°，∴∠BOC ＝60°，∵OB ＝20米，∴BC ＝OB ·sin ∠BOC ＝20·sin60°＝103(米)，∴AB ＝2BC ＝203≈34.64(米)．∵AB ︵＝120π·20180＝40π3≈41.89(米)，∴少走了41.89－34.64＝7.25(米)，7.25÷0.5＝14.5≈15步，即少走了15步．第2题解图3．解：如解图，连接CO 并延长，交AB 于点D ，则CD ⊥AB ，∴D 为AB 的中点，所求运行轨道的最高点C 到弦AB 所在直线的距离即为线段CD 的长．在Rt △AOD 中，∵AD ＝12AB ＝3米，∠OAD ＝41.3°， ∴OD ＝AD ·tan41.3°≈3×0.88＝2.64(米)，OA ＝AD cos41.3°≈30.75＝4(米)， ∴CD ＝CO ＋OD ＝AO ＋OD ＝4＋2.64＝6.64(米)．答：运行轨道的最高点C 到弦AB 所在直线的距离约为6.64米．第3题解图第2节 1.10－1 【解析】∵四边形ABCD 为矩形，点M 为AD 的中点，∴如解图，以点M 为圆心，以AM长为半径画圆，连接MC 与⊙M 相交于点A ′，此时A ′C 最小．∵AB ＝DC ＝3，MD ＝12AD ＝12BC ＝1，∴MC ＝MD 2＋DC 2＝10.∵MA ′＝MA ＝1，∴A ′C ＝MC －MA ′＝10－1.第1题解图2．(－3，0) 【解析】如解图，连接AQ 、AP ，则∠AQP ＝90°，∴PQ ＝AP 2－AQ 2＝AP 2－12，∴当AP 最小时，PQ 最小，当AP ⊥x 轴时，AP 最小，∵A 点坐标为(－3，－2)，∴PQ 最小时，P (－3，0)．第2题解图3．2 【解析】如解图，∠APB ＝90°，则点P 在以AB 为直径的⊙O 上运动，且点P 在⊙O 内，连接PO 、CP 、CO 交⊙O 于点P ’，∵AB ＝6，BC ＝4，∴OC ＝5，OP ＝3，∵OP ＋CP ≥OC ，∴当且仅当点P 与点P ’重合时，OP ＋CP ＝OC ，此时CP ＝2为CP 的最小值．第3题解图4．25－2 【解析】如解图，连接AC 、BD 交于点E ，依题意，易得BM ＝CN ，∠ABM ＝∠BCN ，AB ＝BC ，∴△ABM ≌△BCN .∴∠BAM ＝∠CBN .又∵∠CBN ＋∠NBA ＝90°，∴∠BAM ＋∠NBA ＝90°.∴∠APB ＝90°.又∵AB ＝4，根据“定边定角”模型可得点P 在以AB 为直径的BE ︵上运动，取AB 的中点O ，连接OC ，线段OC 交BE ︵于点P ，此时PC 的长最小，PC ＝OC －OP ＝BC 2＋BO 2－2＝22＋42－2＝25－2.第4题解图5．23＋2 【解析】如解图，连接EN ，EB ，∵EB ＝EN (分别是△ABC 、△GMN 的高)，EC ＝EG ，且∠GEC ＝∠NEB (旋转角相等)，∴△GEC ∽△NEB ，∴∠GCE ＝∠EBH ，又∵∠GCE ＋∠ECH ＝180°，∴∠EBH ＋∠ECH ＝180°，故E 、B 、H 、C 四点共圆，∵∠BEC ＝90°，∴BC 为直径，圆心O 是BC 中点，R ＝2，当A 、O 、H 三点共线时，AH 长度最大，AH ＝AO ＋OH ＝23＋2.第5题解图6．解：(1)点E 的运动轨迹是以O 为圆心，以12为半径的四分之一圆弧，∴点E 经过的路径长是14×2×π×12＝6π；(2)当OA ＝OB 时，△OAB 的面积达到最大值，此时OA ＝OB ＝24÷ 2＝12 2.S △OAB ＝12×12 2×12 2＝144； (3)当点O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，∵AE ＝12AB ＝12，AD ＝5， ∴DE ＝13，OE ＝12AB ＝12，∴OD 最大为12＋13＝25.如解图，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ，设E (12x ，12y )，则A (0，24y )，B (24x ，0)，D (25x ，25y )，∴G (0，25y )，∴AG ＝y ，DG ＝25x ，∴AG OB ＝DG AO ＝524， 即y 24x ＝25x 24y ＝524，∴y ＝5x ， 在△ADG 中，(5x )2＋(25x )2＝25，解得x ＝2626， 则y ＝52626， 则D (252626，1252626)．第6题解图第3节1. D2. C 【解析】A .该圆的直径不是直角三角形的直角边，故A 错误；B .该圆的半径是直角三角形的直角边，而不是直径，故B 错误；C .直角三角形的一个直角边与该圆相切，另一条直角边是该圆的直径，故C 正确；D .直角三角形的两条直角边都没有与圆相切，故D 错误．3. 6 【解析】如解图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，AB ＝8，BC ＝15，AC ＝152＋82＝17，设⊙O 的半径为r ，则BE ＝OE ＝OF ＝BF ＝OG ＝r ，AE ＝AG ，CG ＝CF ，∴FC ＝BC －BF ＝AC －AG ＝AC －(AB －r )，即15－r ＝17－(8－r )，解得2r ＝15＋8－17＝6，即该直角三角形的内切圆的直径是6.第3题解图第4节1. A 【解析】如解图，易得△OAB 为等边三角形，则每个月牙形的面积＝S △OAB ＋S半圆－S 扇形AOB ＝12×2×2×32＋(12×2)2π×12－60×π×22360＝3－π6，∴6个月牙形的面积＝63－π.第1题解图2. D 【解析】如解图，连接CD ，∵BC 是半圆的直径，∴CD ⊥AB ，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，∴△ACB 是等腰直角三角形，∴CD ＝BD ，∴S 阴影＝12S △ABC ＝12×12×22×22＝2.第2题解图3. 6π 【解析】∵半圆绕点A 顺时针旋转60°，∴S 半圆AB ＝S 半圆AC ，∠BAC ＝60°，∵S 阴影部分＋S 半圆AB ＝S 半圆AC ＋S 扇形BAC ，∴S 阴影部分＝S 扇形BAC ＝60π·62360＝6π. 4. 6π 【解析】∵四边形AECD 是平行四边形，∴AE ＝CD ，∵AB ＝CD ，∴AB ＝AE ，∵以点B 为圆心，BA 为半径的圆弧与BC 交于点E ，∴AB ＝BE ，∴AB ＝AE ＝BE ，∴△ABE 为等边三角形且边长AB ＝6，∴∠B ＝60°，∴S 扇形＝60π×62360＝6π.。

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