高二数学答题纸

合集下载

河南省南阳市2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)

高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：北师大版选择性必修第一册第一章，第二章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设直线的倾斜角为，则（）A ．B ．C ．D ．2．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数的值为（）A ．B ．C ．D ．3．已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．4．直线被圆截得的弦长为（）ABCD ．5．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，则的最小值为（）A ．1B ．C ．D ．6．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（）A ．B ．C ．D ．:80l x -+=αα=120︒60︒30︒150︒221(0)1x y a a a -=>+a 1214131822124x y m m+=--y m ()2,3()3,4()()2,33,4⋃()2,426y x =+22(2)4x y ++=23y x =F P PF 43323422122:1(0)x y C a b a b +=>>1e 22222:1x y C a b-=2e 22122e e +=112e e +=22211e e =+212e e =7．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点，，且的周长为10，则双曲线的焦距为（）A ．3BCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆的标准方程可能为（）A ．B ．C ．D ．10．如图，抛物线的焦点为，过抛物线上一点（点在第一象限）作准线的垂线，垂足为为边长为8的等边三角形．则（）A ．B ．C ．点的坐标为D ．点的坐标为11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（）xOy ()222:()()(0),3,0C x a y a a a A -+-=>-C P 2PA PO =a (]0,1[]1,21,3⎡+⎣⎤⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 2F ,A B 12224BF BF AF ==1ABF △C C C 22149x y +=22195x y +=22194x y +=22159x y +=2:2(0)C y px p =>F C P P l ,H PHF △2p =4p =P (P (222:1(0)3x y C b b-=>12,F F P C P ,A B 22(2)1x y -+=CA ．双曲线的渐近线方程为B ．双曲线的离心率C ．当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上D．为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为______．13．已知是圆______．14．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知的顶点坐标为．（1）若点是边上的中点，求直线的方程；（2）求边上的高所在的直线方程．16．（本小题满分15分）已知动点到点为常数且的距离与到直线的距离相等，且点在动点的轨迹上．（1）求动点的轨迹的方程，并求的值；（2）在（1）的条件下，已知直线与轨迹交于两点，点是线段的中点，求直线的方y x =C e =P C 12PF F △x =PA PB ⋅32()3,1x y (),P m n 22:(4)(4)8C x y -+-=2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F 1F C,P Q 222QF PF =21cos 4PF Q ∠=C ABC △()()()1,6,3,1,4,2A B C ---D AC BD AB P (),0(F t t 0)t >x t =-()1,1-P P C t l C ,A B ()2,1M AB l程．17．（本小题满分15分）已知点，动点满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围．18．（本小题满分17分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上．（1）求双曲线的标准方程；（2）过定点的动直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于（点在点的左边）两点，证明：线段与线段的长度始终相等．19．（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆，短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点分别为椭圆的左、右顶点，点为椭圆的下顶点，点为椭圆上异于椭圆顶点的动点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点．证明：直线与轴垂直．()()2,0,6,0O A -(),P x y 3PA PO =P C Q (),(0)Q t t t >Q y Q C t 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>20x y +=()1-C C ()0,1P l C ,A B ,M N M N AM BN xOy 2222:1(0)x y C a b a b+=>>C ,A B C D C P C AP BD M BP AD N MN x2024~2025学年度10月质量检测·高二数学参考答案、提示及评分细则1．C 因为直线的斜率为，由斜率和倾斜角的关系可得又，．故选C ．2．D，解得．3．A 若方程表示为焦点在轴上的一个椭圆，有解得．4．B 圆心，直线被圆截得的弦长为．故选B ．5．D 设点的坐标为，有，故的最小值为．6．A 由，可得．7．C 设点的坐标为，有，整理为，可化为，若圆上存在这样的点，只需要圆与圆有交点，有，解得C ．8．B 设，可得，有，解得，在和中，由余弦定理有，解得，可得双曲线的焦距为．9．BD 由题意有，故椭圆的标准方程可能为或．10．BD 设抛物线的准线与轴的交点为，由，有:80l x +=k =tan α=0180α︒≤<︒30α=︒=18a =y 20,40,24,m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩23m <<()2,0-=P ()00,x y 03344PF x =+≥PF 34222222221222221,1a b b a b b e e a a a a-+==-==+22122e e +=P (),x y =22230x y x +--=22(1)4x y -+=C P C 22(1)4x y -+=22a a -≤≤+13a ≤≤+221,2,4AF m BF m BF m ===13AF m =23410m m m m +++=1m =12AF F △12BF F △224194416048c c c c +-+-+=c =3,2,5a c b ====C 22195x y +=22159x y +=C x Q 60,PHF HFO FQ p ∠=∠=︒=，有，得，点的坐标为．11．ABC 由题意得，对于选项A ：双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1（舍去），又，故A 正确；则，离心率为B 正确；对于选项C ：设的内切圆与轴相切于点，由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，故C 正确；对于选项D ：设，则，渐近线方程是，则为常数，故D 错误．故选ABC ．12．或设在轴、轴上的截距均为，若，即直线过原点，设直线为，代入，可得，所以直线方程为，即；若，则直线方程为，代入，则，解得，所以此时直线方程为；综上所述：所求直线方程为或．13．表示点到原点的距离，由，有的取值范围为．14设椭圆的焦距为，有，在中，由余弦定理有，有，可得，有．在中，由余弦定理有可得2,HF p HQ ==28p =4p =P (0bx ±=22(2)1x y -+=()2,01,1b ==1-1,b b y x a ===2c ==c e a ===12PF F △x M 122F M F M a -=M x a =I x a =x a ==()00,P x y 222200001,333x y x y -=-=0x ±=3440x y +-=30x y -=x y a 0a =y kx =()3,113k =13y x =30x y -=0a ≠1x ya a+=()3,1311a a+=4a =4x y +=40x y +-=30x y -=⎡⎣P O 28OC r ==OC OP OC -≤≤+OP ≤≤⎡⎣C 222,,2c PF t QF t ==112,22,43PF a t QF a t PQ a t =-=-=-2PQF △2222(43)4a t t t t -=+-45t a =21886,,555QF a PQ a PF a ===22PF Q QPF ∠=∠12PF F △2c ==c e a ==15．解：（1）因为点是边上的中点，则，所以，所以直线的方程为，即；（2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即．16．解：（1）由题意知，动点的轨迹为抛物线，设抛物线的方程为，则，所以，所以抛物线的方程为，故；（2）设点的坐标分别有，可得有，可得，有，可得直线的斜率为，故直线的议程为，整理为．17．解：（1）由得，，整理得，故动点的轨迹的方程为；（2）点的坐标为且圆与轴相切，圆的半径为，圆的方程为，D AC 3,42D ⎛⎫⎪⎝⎭14103932BD k --==--BD 01(3)9y x 1+=+109210x y -+=167312AB k --==-+AB 27-AB ()2247y x -=--27220x y +-=P C 22(0)y px p =>12p =12p =C 2y x =124p t ==,A B ()()1122,,,x y x y 12124,2,x x y y +=⎧⎨+=⎩211222y x y x ⎧=⎨=⎩222121y y x x -=-212121112y y x x y y -==-+l 12l 11(2)2y x -=-12y x =3PA PO =229PA PO =2222(6)9(2)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦22(3)9x y -+=P C 22(3)9x y -+= Q (),(0)t t t >Q y ∴Q t ∴Q 222()()x t y t t -+-=圆与圆两圆心的距离为，圆与圆有公共点，，即，解得，所以实数的取值范围是．18．（1）解：由渐近线方程的斜率为，有，可得，将点代入双曲线的方程，有，联立方程解得故双曲线的标准议程为；（2）证明：设点的坐标分别为，线段的中点的坐标为，线段的中点的坐标为．设直线的方程为，联立方程解得，联立方程解得，可得，联立方程消去后整理为，∴Q C CQ == Q C 33t CQ t ∴-≤≤+2222|3|(3)(3)t t t t -≤-+≤+012t <≤t (]0,1220x y +=12-12b a -=-2a b =()1-C 22811a b-=222,811,a b a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩2,1,a b =⎧⎨=⎩C 2214x y -=,,,A B M N ()()()()11223344,,,,,,,x y x y x y x y AB D ()55,x y MN E ()66,x y l 1y kx =+1,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩3221x k =-+1,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩4221x k =--5212242212141kx k k k ⎛⎫=--=- ⎪+--⎝⎭221,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2241880k x kx -++=有，可得，由，可知线段和共中点，故有．19．（1）解：设椭圆的焦距为，由题意有：，解得故椭圆的标准方程为；（2）证明：由（1）知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，设点的坐标为（其中，），有，可得，直线的方程为，整理为，直线的方程为，整理为，直线的方程为，联立方程，解得：，故点的横坐标为，直线的方程为，联立方程，解得：，故点的横坐标为，122841k x x k +=--62441kx k =--46x x =AB MN AM BN =C 2c 22222a b c b c a⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2,1,a b c ===C 2214x y +=A ()2,0-B ()2,0D ()0,1-P (),m n ()()2,00,2m ∈- 2214m n +=2244m n +=BD 121x y +=-112y x =-AD 121x y +=--112y x =--AP ()22ny x m =++()2,2112n y x m y x ⎧=+⎪⎪+⎨⎪=-⎪⎩24422m n x m n ++=-+M ()22222m n m n ++-+BP ()22ny x m =--()2,2112n y x m y x ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=--⎪⎩42422n m x m n -+=+-N ()22222n m m n -++-又由，故点和点的横坐标相等，可得直线与轴垂直．()()()()()()22222222222222222222m n m n m n m n m n n m m n m n m n m n +++-+-+--++-+-=-++--++-()()()()()()()222222(2)4(2)42442880222222222222m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n ⎡⎤⎡⎤+-+--+-+-⎣⎦⎣⎦====-++--++--++-M N MN x。

山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含解析)

高二数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写济楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第二章~第三章第2节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.B. C. D.2.已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（）A. B.C.D.3.已知椭圆与椭圆有相同的焦点，则（）A.B.C.3D.44.已知点在圆的外部，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.5.已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（）A.2B.4C.6D.86.已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围103x --=π6π32π35π6()222:11x C y a a-=>C y =y x=±y =y x =()222:1016x y C b b +=>221125x y +=b =()0,1-22220x y x my +--+=m ()3,∞-+()3,2-()()3,22,∞--⋃+()2,2-M 22:1916x y C -=12,F F C 1122MF F F MF +-=()()2,3,3,2A B ---()1,1P l AB l k是（）A.B.C.D.7.当变动时，动直线围成的封闭图形的面积为（）A.C.D.8.已知椭圆，若椭圆上的点到直线的最短距离，则长半轴长的取值范围为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若直线与直线平行，则的值可以是（）A.0B.2C.D.410.已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（）A.的离心率为B.C.的值可以为3D.若的面积为，则11.已知点及圆，点是圆上的动点，则（）A.过原点与点的直线被圆截得的弦长为B.过点作圆的切线，则切线方程为C.当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线的方程为D.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦α2cos2sin24cos x y ααα+=π2π4π()2222:10x y E a b a b +=>>E 50x y ++=a (]0,2((⎤⎦()240a x y a -++=()()222420a x a a y -+++-=a 2-,A B 22:143x y C +=C 12,F F C O C 12228AF BF +=AB 12AF F V 3212154AF AF ⋅=()4,4P 22:40C x y x +-=Q C O P C P C 3440x y -+=Q PC Q PC 240x y ---=P C ,A B AB 240x y +-=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若方程表示椭圆，则的取值范围是__________.13.已知圆与两直线都相切，且圆经过点，则圆的半径为__________.14.把放置在平面直角坐标系中，点在直线的上方，点在边上，平分，且点都在轴上，直线的斜率为，则点的坐标为__________；直线在轴上的截距为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知直线及点.（1）若与垂直的直线过点，求与的值；（2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程.16.（本小题满分15分）已知双曲线的顶点为，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的左顶点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为为坐标原点，求的面积.17.（本小题满分15分）已知圆经过点，且与圆相切于原点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值.18.（本小题满分17分）已知椭圆的上顶点与左，右焦点连线的斜率之积为.（1）求椭圆的离心率；（2）已知椭圆的左､右顶点分别为，且，点是上任意一点（与不重合），直线22164x y m m +=--m C 220,220x y x y -+=++=C ()1,1C ABC V A BC ,D E BC AD ,BAC AE BC ∠⊥,A E y AD 40,y AD -+==AC3-C AB x :210l x ay a -+-=()2,2A -l 320x my -+=A m a A ()1,1B -l l ()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P C C A C ,H O OHA V 1C ()2,0-222:480C x y x y +-+=O 1C :20(,l ax by a b a b ++-=)1C ,A B AB l 2C ,C D CD ()2222:10x y C a b a b+=>>45-C C ,A B 6AB =M C ,A B分别与直线交于点为坐标原点，求.19.（本小题满分17分）已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.,MA MB :5l x =,,P Q O OP OQ ⋅,A B P (0PAPBλλ=>1)λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()()()2,0,,2A B a b a -≠-(),A B λ221240x y x +-+=,,a b λQ (),A B OQ O 0,b λ==,a μ(),A B μ参考答案1.A 直线，所以其倾斜角为.故选A.2.D 由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选D.3.C 因为椭圆与㮁圆有相同的焦点.所以，解得或（舍去）.故选C.4.C 由题意可知解得或.故选C.5.B 因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，所以，故，由于，所以.故选B6.A 直线过定点，且直线与线段相交，由图象知，或，则紏率的取值范围是.故选A 7.D 方程可化为变动时，点到该直线的距离，则该直线是圆的切线，所以动直线围成的封闭图形的面积是圆的面积，面积为.故选D.103x --=π6214a +=23a =22213x C y -=y x =()22221016x y C b b +=>221125x y +=216125b -=-3b =3b =-222(1)20,(2)420,m m ⎧-++>⎨-+-⨯>⎩32m -<<-2m >M 22:1916x y C -=12,F F C 212MF MF a -=112222MF F F MF c a +-=-3,4,5a b c ====1122221064MF F F MF c a +-=-=-= l ()312131,1,4,21314PA PA P k k ----==-==--- AB ∴34k …4k -…k (]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭2cos2sin24cos x a y a a +=()2cos2sin22,x a y a α-+=()2,02d ==22(2)4x y -+=2cos2sin24cos x y ααα+=22(2)4x y -+=4π8.C 设直线与，则的方程为，由整理，得，因为上的点到直线的最短，所以，整理得，由椭圆的离心，可知，所以，所以，则，所以.故选C.9.AB 因为两直线平行，由斜率相等得，所以或，解得或0或，当时两直线重合，舍去.故选.10.AD 对于A ，椭圆中，，离心率为，A 正确；对于B.由对称性可得，所以，B 错误；对于C ，设且，则，故，所以C 错误；对于D ，不妨设在第一象限，，则，是，则，则，故，故D 正确.故选AD.11.ACD 圆的标准方程为，圆的半径，对于，直线的方程为0，点到直线，所以直线被圆截得的弦长为正确；对于，圆的过点的切线斜率存在时，设其方程为，即，，解得，此时切线方程为，另一条切线是斜率不存在的切线错误；对于C ，当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线，即为与直线距离为2的图的切线，直线的斜率为2，设该切线方程为，则正确；对于D ，设，，可得切线的方程分别为l 50x y ++=l 30x y ++=22221,30,x y ab x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩()2222222690a b x a x a a b +++-=E 50x y ++=()()422222Δ36490a a baa b =-+-…2290a b +-…E 22112b a -=2212b a =221902a a +-…26a …0a <…222424a a a a ---=-++20a -=2244a a ++=2a =2-2a =-AB 22:143x y C +=2,1a b c ===12c a =21BF AF =222124AF BF AF AF a +=+==(),,B m n n <<0n ≠22143m n +=)2OB ===()24,AB OB =∈A ()00,A x y 12013222AF F S c y =⋅⋅=V 032y =31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭21335,4222AF AF ==-=12154AF AF ⋅=C ()22(2) 4.2,0x y C -+=C 2r =A OP x y -=C OP OP C A =B C P ()44y k x -=-440kx y k --+=234k =3440x y -+=4,x B =Q PC Q PC PC C PC 20x y t -+=2,4t =-±(11,A x y ()22,B x y ,PA PB，将代入两方程得，所以者在直线上，所以直线的方程为，即，D 正确.故选ACD.12.且且也给分）由题意得，且6—，所以且，所以实数的取值范围是.易知直线与关于轴对称或关于对称，又当圆心在上时，该圆不存在，所以圆的圆心在轴上，设圆的方程为，由题意可知，，整理得，解得或，当时，，当时，.14.（2分）（3分）直线的方程与直线联立得，因为直线的斜率为3，所以直线的方程为，由，得直线的斜率为0，由，得，所以直线的方程为，与联立得.设直线与轴交于点，点关于直线的对称点为，则点在直线上，所以.联立解得代入，得，所以直线在轴上的截距为15.解：（1）因为直线过点，所以，解得，因为与垂直，()()11122220,20x x y y x x x x y y x x +-+=+-+=()4,4P ()()11122244240,44240x y x x y x +-+=+-+=()()1122,,,A x y B x y ()44240x y x +-+=AB ()44240x y x +-+=240x y +-=()()4,55,6{|46m m ⋃<<5},46m m ≠<<5m ≠60,40m m ->->4m m ≠-46m <<5m ≠m ()()4,55,6⋃220x y -+=220x y ++=x 2x =-2x =-C x C 222()x a y r -+==22730a a -+=12a =3a =12a =r =3a =r =(1,1)AE 0x =AD 40y -+=()0,4A AC -AC 34y x =-+AE BC ⊥BC AD =AD 3AE =BC 1y =34y x =-+()1,1C AB x (),0F t F AD (),G a b G AC b a t =-402b -+=122,a tb ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩34y x =-+t =AB x 320x my -+=()2,2A -6220m --+=2m =-3220x y ++=l所以.（2）解法一，若点与点到直线的距离相等，则直线与的斜率相等或的中点在上，又直钱的斜率为的中点坐标为，所以或.解得或.当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.解法二：因为点与点到直线的距离相等，.解得，当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.16.解：（1）因为双曲线的顶点为，且过点，所以，且，解得的标准方程为.（2）由双曲线方程，得渐近线方程为，，又，所以所以.123,32a a ==A()1,1B -l AB l AB l AB ()211,21AB --=---11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭11a =-1121022a a --+-=1a =-1a =1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+A ()1,1B -l =1a =±1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P a =2254161a b -=a b ==C 221188x y -=221188x y -=230x y ±=,OH HA OA ⊥=OH =11542213OHA S OH HA =⨯⨯==V17.解：（1）因为圆与图相切，且点在圆的外部，所以圆与圆外切，则三点共线，图化为.所以圆心，故圆心在直线上.设圆的标准方程为，又圆过原点，则，圆经过点，则，解得，故圆的标准方程为.（2）由（1）可知，圆的圆心坐标为，由直线化为，所以直线恒过点，易知点在圆的内部，设点到直线的距离为，则，要使取得最小值，则取得最大值，所以，此时.所以，则直线的方程为，即.又圆心到直线的距离，所以.18.解：（1）椭圆的上顶点的坐标为，左､右焦点的坐标分别为，由题意可知，即，1C 2C ()2,0-2C 1C 2C 12,,C O C 222:480C x y x y +-+=22(2)(4)20x y -++=()22,4C -1C 2y x =-1C 222()(2)x t y t r -++=1C ()0,0O 225r r =1C ()2,0-222(2)(02)5t t t --++=1t =-1C 22(1)(2)5x y ++-=1C ()1,2-:20l ax by a b ++-=()()210a x b y ++-=L ()2,1P -P 1C 1C l d AB ==AB d 1PC l ⊥121112PC k -==-+1t k =-l ()12y x -=-+10x y ++=2C 10x y ++=d 'CD ==C ()0,b ()(),0,,0c c -45b b c c ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭2245b c =又，所以，即的离心率.（2）由，得，即，所以椭圆的方程为.设，则，即，又，则，因为直线分别与直线交于点，所以，所以.19.（1）解：因为以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，所以，因为为常数，所以，且，所以.（2）解：由（1）知，设，由，所以，，監理得，即，所以，222a b c =+2295a c =225,9c ca a ==C e =6AB =26a =3,2a c b ===C 22194x y +=()00,M x y 2200194x y +=22003649x y -=()()3,0,3,0A B -()()0000:3,:333y yMA y x MB y x x x =+=-+-,MA MB :5L x =,P Q 0000825,,5,33y y P Q x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()()220000220000163648216641615,5,2525253399999x y y y OP OQ x x x x -⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=+=-= ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-22222222222222||(2)4416||()()22(122)24PA x y x y x xPB x a y b x y ax by a b a x by a b +++++===-+-+--++--+-+22||||PA PB 2λ2240,0a b b -+==2a ≠-2,0,a b λ====()()2,0,2,0A B -(),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--…42890x x --…()()22190x x +-…209x ……由，得，即的取值范围是.（3）证明：若，则以一阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.由点关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称OQ ==209r ……13OQ ……OQ []1,30b =(),A B 2222(2)2()x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()()2,0,,0A B a -2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-,a μ(),A B μ。

北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案

北京市2023—2024学年第一学期期中阶段练习高二数学（答案在最后）2023.11班级____________姓名____________学号____________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知(1,3),(3,5)A B --，则直线AB 的斜率为（）A.2 B.1C.12D.不存在【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB 的斜率.【详解】由(1,3),(3,5)A B --，可得35213AB k --==--.故选：A.2.圆222430x y x y +-++=的圆心为（）．A.(1,2)-B.(1,2)- C.(2,4)- D.(2,4)-【答案】A 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.【详解】由222430x y x y +-++=，得22(1)(2)2x y -++=，所以圆心为(1,2)-，故选：A3.一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F -，()23,0F ，椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A.2216428x y += B.221167x y += C.221169x y += D.22143x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，故28,4a a ==，且()13,0F -，故2223,7c b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为221167x y +=.故选：B4.任意的k ∈R ，直线13kx y k -+=恒过定点（）A.()0,0 B.()0,1 C.()3,1 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点.【详解】因为13kx y k -+=，即()31y k x =-+，所以直线13kx y k -+=恒过定点()3,1.故选：C.5.已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，得到12124C C r r ==+，得到两圆外切.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆()22222:87049C x y x x y +-+=⇒-+=，故圆心()24,0C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外切.故选：D6.过点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与圆2214x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角取值范围是（）A.π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12，圆心为原点，当倾斜角为π2时，即直线l 方程为12x =-，此时直线l 与圆相切满足题意；当斜率存在时，不妨设直线l方程为122y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则圆心到其距离为12d =≤，解不等式得33k ≤-，所以直线l 的倾斜角取值范围为π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A7.“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出当12l l //时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12l l //时，()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时，直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //；当4a =时，直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //.因为{}1-{}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件.故选：A.8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+= 故选：B9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点()2,0A ，()1,2B ，且AC BC =，则△ABC 的欧拉线的方程为（）A.240x y --=B.240x y +-=C.4210x y ++=D.2410x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由题设条件求出AB 垂直平分线的方程，且△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得20212AB k -==--，且AB 中点为3(,1)2，∴AB 垂直平分线的斜率112AB k k =-=，故垂直平分线方程为131()12224x y x =-+=+，∵AC BC =，则△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线的方程为2410x y -+=.故选：D10.曲线33:1C x y +=.给出下列结论:①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①② B.②C.②③D.③【答案】C 【解析】【分析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.故选：C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.已知空间()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，a b ⊥ ，则b ＝_____．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案.【详解】由a b ⊥ ，且()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，则860a b x ⋅=-++=r r ，解得2x =，故b =r.故答案为：12.已知过点(0,2)的直线l 的方向向量为(1,6)，点(,)A a b 在直线l 上，则满足条件的一组,a b 的值依次为__________．【答案】1；8【解析】【分析】根据方向向量设出直线l 的方程，再由点(0,2)求出其方程，从而得出62b a =+，即可得出答案.【详解】直线l 的方向向量为(1,6)，可设直线l 的方程为60x y C -+=因为点(0,2)在直线l 上，所以2C =，即直线l 为620x y -+=所以620a b -+=，即62b a =+可取1a =，则8b =故答案为：1；813.在正方体ABCD A B C D -''''中，E 是C D ''的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为______.【答案】10【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.【详解】如图所示，取A B ''的中点F ，易得//AF DE ，则FAC ∠或其补角为所求角，不妨设正方体棱长为2，则,3,AF FC FC AC '====，由余弦定理知：222cos 210AF AC FC FAC AF AC +-∠==⋅，则FAC ∠为锐角，即异面直线DE 与AC 所成角.故答案为：1010.14.将一张坐标纸对折，如果点()0,m 与点()()2,22m m -≠重合，则点()4,1-与点______重合.【答案】()1,2--【解析】【分析】先求线段AB 的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,A m 与点()2,2B m -，可知线段AB 的中点为1,122mm M ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且212AB mk m -==--，则线段AB 的中垂线的斜率1k =，则线段AB 的中垂线方程为1122m m y x ⎛⎫⎛⎫-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20x y -+=，设点()4,1-关于直线20x y -+=的对称点为(),a b ，则114412022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求点为()1,2--.故答案为：()1,2--.15.给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a，b垂直的向量；（ii ）a，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯= ；②AB AD AD AB ⨯=⨯；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是______________.【答案】①③④【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解： ||||||sin902214AB AD AB AD ⨯=︒=⨯⨯=，且1AA 分别与,AB AD 垂直，∴1AB AD AA ⨯= ，故①正确；由题意，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB A A ⨯=，故②错误；AB AD AC +=，∴11|()|||41AB AD AA AC AA +⨯=⨯=⨯= 且1()AB AD AA +⨯ 与DB 共线同向， 1||2418AB AA ⨯=⨯⨯= ，1AB AA ⨯ 与DA 共线同向，1||2418AD AA ⨯=⨯⨯= ，1AD AA ⨯ 与DB共线同向，11||AB AA AD AA ∴⨯+⨯= 11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB共线同向，故③正确；11()||||||sin90cos022416AB AD CC AB AD CC ⨯=⨯⨯︒⨯︒=⨯⨯=，故④成立．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案．．．写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．.16.在平面直角坐标系中，已知(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，线段AC 的中点M ；（1）求过M 点和直线BC 平行的直线方程；（2）求BC 边的高线所在直线方程．【答案】（1）3170x y -+=（2）30x y +=【解析】【分析】（1）根据(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，求得点M 的坐标，和直线直线BC 的斜率，写出直线方程；（2）根据13BC k =，得到BC 边的高线的斜率，写出直线方程；【小问1详解】解：因为(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，所以()1,6M ，13BC k =，所以过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1613y x -=-，即3170x y -+=；【小问2详解】因为13BC k =，所以BC 边的高线的斜率为-3，所以BC 边的高线所在直线方程()933y x -=-+，即30x y +=17.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点.（1）求证：1//BC 平面1AED ；（2）求点1A 到平面1AED 的距离；（3）直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43（3）23【解析】【分析】（1）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点1A 到平面1AED 的距离；（3）利用空间向量法可求得直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，故四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，因此，1//BC 平面1AED .【小问2详解】解：以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()0,2,1E 、()12,0,2D ，所以，()10,0,2AA = ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE = ，设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2z =-，可得()2,1,2n =- ，所以，点1A 到平面1AED 的距离为143AA n d n⋅== .【小问3详解】解：因为11142cos ,233AA n AA n AA n ⋅<>===⨯⋅ ，因此，直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值为23.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与x 轴相切于点()1,0.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，____，求m 的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆C 被直线l 分成两段圆弧，其弧长比为2:1；条件②：2AB =；条件③：90ACB ∠=︒.【答案】（1）()()22124x y -+-=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =.又圆C 与x 轴相切于点()1,0，1a ∴=，2b =，则02r b =-=.∴圆C 圆心坐标为()1,2，则圆C 的方程为()()22124x y -+-=【小问2详解】如果选择条件①：120ACB ∠=°，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离1cos 60d CA =⨯= ，则1d ==，解得1m +或1+.如果选择条件②和③：AB =，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离d =，则d ==，解得1m =-或3.如果选择条件③：90ACB ∠=︒，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离cos 45d CA ⨯== ，则d ==，解得1m =-或3.19.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是33，求m 的值；（3）若2m =，在线段A 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）推导出⊥BC 平面PAB ．,AE BC AE PB ⊥⊥．由此能证明AE ⊥平面PBC ;（2）建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出m 的值;（3）设()()0,0,03F t t ≤≤，当2m =，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ，由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．【小问1详解】证明：因为AD ⊥平面PAB ，BC AD ∥,所以⊥BC 平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．在PAB 中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以AE ⊥平面PBC ．【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ，()1,1,0AE = ，设平面AEC 的法向量为 =s s ．则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z m =，故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED ．又因为()2,2,0PB =- ，所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ，3=，解得21m =．又因为0m >，所以1m =；【小问3详解】结论：不存在．理由如下：证明：设()()0,0,03F t t ≤≤．当2m =时，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ，由PF CE ⊥知0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．20.已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-.（1）求a 的值及MON △的面积；（2）若圆C 与x 轴交于,A B 两点，点Q 是圆C 上异于,A B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于,R S 两点.当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）12,2MON a S =-=（2）()4-【解析】【分析】（1）先确定直线OP 的方程，联立直线方程求得P 点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a ，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设QA 方程，含参表示QB 方程，求出,R S 坐标，从而求出以RS 为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.【小问1详解】由题知：直线OP 方程为13y x =-，则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点P 为线段MN 的中点，MN PC ∴⊥，即1021132MN PC k k a -⋅=-⨯=-+，2a ∴=-，即圆心−2,0；C ∴到直线=1y x --距离为2d ==，MN ∴==，又O 到直线=1y x --的距离为22，MN 边上的高为22.11222MON S ∴=⨯= .【小问2详解】由上可知()()3,0,1,0A B --,不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+，其中0k ≠，在直线QA 的方程中，令4x =-，可得()4,R k --，因为QA QB ⊥，则直线QB 的方程为()11y x k =-+，在直线QB 的方程中，令4x =-，可得3y k =，即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径平方为2232k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，以线段MN 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2223430k x y y k -++--=，由()2430031x y x ⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩，解得40x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，因此，当点Q 变化时，以RS 为直径的圆恒过圆C内的定点()4-+.21.已知{}1,2,,n S = ，A S ⊆，{}12,T t t S =⊆，记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，用X 表示有限集合X 的元素个数.（1）若4n =，12A A =∅ ，分别指出{}1,2,3A =和{}1,2,4A =时，集合T 的情况（直接写出结论）；（2）若6n =，12A A =∅ ，求12A A ⋃的最大值；（3）若7n =，4A =，则对于任意的A ，是否都存在T ，使得12A A =∅ 说明理由.【答案】（1）{}1,4（2）10（3）不一定存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，当{}1,2,3A =时，12t t ，相差3；由此可求得T ，当{}1,2,4A =时，同理可得；（2）若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当{}2,3,4,5,6A =时，则12t t ，相差5，所以{}1,6T =，A 中至多有5个元素，所以12,A A 也至多有5个元素，求出12,A A 得出结果；（3）举反例{}1,2,5,7A =和{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，根据题意检验即可说明.【小问1详解】若12A A =∅ ，则12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，否则12t a t b +=+，12A A ⋂≠∅，若4n =，当{}1,2,3A =时，211-=，312-=，所以121,2t t -≠，则1t ，2t 相差3，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以{}1,4T =；当{}1,2,4A =时，211-=，422-=，413-=，所以121,2,3t t -≠，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以T 不存在；【小问2详解】若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当A S =时，211-=，514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，所以A S ≠，121,2,3,4,5t t -≠，所以T 不存在；所以A 中至多有5个元素；当{}2,3,4,5,6A =时，321-=，422-=，523-=，624-=，所以121,2,3,4t t -≠，则1t ，2t 相差5，所以{}1,6T =；{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，所以{}1345,6,7A =,,，{}28910,11,12A =,,，{}12345,6,7,8910,11,12A A = ,,,,.因为A 中至多有5个元素，所以1A ，2A 也至多有5个元素，所以12A A ⋃的最大值为10.【小问3详解】不一定存在，理由如下：例如{}1,2,5,7A =，则211-=514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，则1t ，2t 相差不可能1，2，3，4，5，6，这与{}{}12,1,2,3,4,5,6,7T t t =⊆矛盾，故不都存在T ；例如{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，不妨令121,6t t ==，则{}{}122,3,4,5,7,8,9,10A A ==，满足12A A =∅ .【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.。

湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题(含答案)

武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．考试时间：2024年11月12日下午14：00—16：00祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线在轴上的截距为（）A ．B ．2C ．D ．2．已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第__________象限．A ．四B ．三C ．二D ．一3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412451312531224344151254424142435414135432123233314232353442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（）A ．0.4B ．0.45C ．0.5D ．0.554．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为，且，则（）A ．B ．C ．D ．5．现有一段底面周长为厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行5厘米到达P 点，另一只从B320x y --=y 2-2323-1:1l y x =-(0,1)-512π2l 2l 13()3()P A P B =()P B =1613235612π2π沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．12C ．D ．6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（）A ．甲315枚，乙105枚B ．甲280枚，乙140枚C ．甲210枚，乙210枚D ．甲336枚，乙84枚7．在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点．现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．8．如图所示，四面体的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点E ，F 分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面与棱AB ，AC ，AD 分别交于O ，P ，Q ，设四面体的体积为，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．给出下列命题，其中是真命题的是（）2πP 50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭22121:10504C x x y y -+-+=(,0)T t x P T x C t 1527,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦710,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦727,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦1510,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABCD αAOPQ V 'V V'1418116127A ．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底B ．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则C ．若，则是锐角D ．若对空间中任意一点，有，则M ，A ，B ，C 四点不共面10．下列命题正确的是（）A ．设A ，B 是两个随机事件，且，，若，则A ，B 是相互独立事件B ．若，，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥有可能同时成立C ．若三个事件A ，B ，C 两两相互独立，则满足D ．若事件A ，B 相互独立，，，则11．平面内到两个定点A ，B 的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（）A ．点的轨迹的方程是B ．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1C ．直线与点的轨迹相离D ．已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C ，D ，则四边形面积的最小值是3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．同时扡掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为6的概率为__________．13．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是__________．14．在空间直角坐标系中，，，，，，P 为所确定的平面内一点，设的最大值是以为自变量的函数，记作．若，则{,,}a b c 23m a c =+ ,,}a b m 〈α(2,1,0)A (1,3,1)B -(2,2,1)C -(1,,)n u t =α2u t +=0a b ⋅> ,a b <>O 111362OM OA OB OC =++1()2P A =1()3P B =1()6P AB =()0P A >()0P B >()()()()P ABC P A P B P C =()0.4P A =()0.2P B =()0.44P AB AB = (1)λλ≠P (2,0)A (6,0)B P ||1||3PA PB =P τP τ2230x y x +-=(1,1)N P τ220x y -+=P τ3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭M :270l x -+=M P τECMD 1y =+y x b =+b (0,0,0)O (0,,3)A a (3,0,)B a (,3,0)C a 33,3,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ABC △||PO PD -a ()f a 03a <<()f a的最小值为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分13分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A ，B ，C ，D 四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A ，B ，C的概率分别是，，．（1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率．16．（本题满分15分）已知的顶点，边AB 上的中线CD 所在直线方程为，边AC 上的高线BE 所在直线方程为．（1）求边BC 所在直线的方程；（2）求的面积．17．（本题满分15分）如图所示，已知斜三棱柱中，，，，在上和BC 上分别有一点和且，，其中．（1）求证：，，共面；（2）若，且，设为侧棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．18．（本题满分17分）已知在平面直角坐标系中，，，平面内动点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）点轨迹记为曲线，若曲线与轴的交点为M ，N 两点，Q 为直线上的动点，直线121418ABC △(4,2)A 7250x y +-=40x y +-=BCD △111ABC A B C -AB a = AC b = 1AA c =1AC M N AM k AC = BN k BC =01k ≤≤MN a c||||||2a b c ===13AB =160BAC BB C ∠=∠=︒P 1BB 1B 1PC 11ACC A xOy (1,0)A -(7,0)B -P ||2||PB PA =P P C C x :17l x =MQ ，NQ 与曲线C 的另一个交点分别为E ，F ，求|EF|的最小值．19．（本题满分17分）对于三维向量，定义“F 变换”：，其中，，，．记，．（1）若，求及；（2）证明：对于任意，必存在，使得经过次F 变换后，有；（3）已知，，将再经过次F 变换后，最小，求的最小值．武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案与评分细则题号1234567891011答案ADCDBA DCABADACD12．13．1415．解：（1）设事件A ，B ，C ，D 分别表示“被评定为等级A ，B ，C ，D ”．由题意得，事件A ，B ，C ，D 两两互斥，所以．所以．因此其得分低于4分的概率为；（2）设事件，，，表示"第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，．（2）设事件，，，表示“”第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，．则“两次射击得分之和为8分”为事件，且事件，，互斥，，，所以两次射击得分之和为8分的概率．()(),,,,N,0,1,2,k k k k k k k a x y z x y z k =∈= ()1F k k a a +=1k k k x x y +=-1k k k y y z +=-1k k k z z x +=-k k k k a x y z = k k k k a x y z =++0(2,3,1)a =2a 2a 0a *k ∈N 0a k 0k a = 1(,2,)()a p q q p =≥ 12024a = 1am m a m 5361)+1111()12488P D =---=111()()()884P C D P C P D =+=+= 14i A i B i C i D i 1,2=i A i B i C i D i 1,2=()()()121221B B AC A C 12B B 12AC21A C ()121114416P B B =⨯=()()12211112816P AC P A C ==⨯=()()()()()()121221*********2161616P P B B AC A C P B B P ACP A C ⎡⎤==++=+⨯=⎣⎦16．解：（1）因为，所以设直线AC 的方程为：，将代入得，所以直线AC 的方程为：，联立AC ，CD 所在直线方程：，解得，设，因为为AB 的中点，所以，因为在直线BE 上，在CD 上，所以，，解得，，所以，，所以BC 所在直线的方程为：，即．（2）由（1）知点到直线BC 的距离为：，又，所以．17．（1）证明：因为，，所以．由共面向量定理可知，，，共面．（2）取BC 的中点为，在中，，由余弦定理可得，所以，依题意，均为正三角形，所以，，又，平面，平面，AC BE ⊥0x y m -+=(4,2)A 2m =-20x y --=207250x y x y --=⎧⎨+-=⎩(1,1)C -()00,B x y D 0042,22x y D ++⎛⎫⎪⎝⎭()00,B x y D 0040x y +-=0042725022x y ++⨯+⨯-=06x =-010y =(6,10)B -10(1)11617BC k --==---111(1)7y x +=--11740x y +-=(1,6)D -d ==||BC ==12722BCD S ==△1AM k AC kb kc ==+()(1)AN AB BN a k BC a k a b k a kb =+=+=+-+=-+(1)(1)MN AN AM k a kb kb kc k a kc =-=-+--=-- MN a cO 1AOB △1AO B O ==13AB =11cos 2AOB ∠==-12π3AOB ∠=ABC △1B BC △BC AO ⊥1BC B O ⊥1B O AO O = 1B O ⊂1B AO AO ⊂1B AO所以平面，因为平面，所以平面平面，所以在平面内作，则平面，以OA ，OC ，Oz 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示：则，，，，，设是平面的一个法向量，，，则，即，取得，依题意可知，则．设直线与平面所成角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．18．解：（1）设动点坐标，因为动点满足，且，，化简可得，，即，BC ⊥1AOB BC ⊂ABC 1AOB ⊥ABC 1AOB Oz OA ⊥Oz ⊥ABC x y z 132B ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,1,0)B -A (0,1,0)C 132C ⎛⎫⎪⎝⎭132A ⎫⎪⎭(,,)n x y z =11ACC A (AC =132AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 03202y x y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩1z =(3,1)n =- 123BP BB =11112323713,,323232C P C B BP C B BB ⎫⎛⎫⎫=+=+=--+⨯=--⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭ 1PC 11ACC A θ1119sin cos ,13||n C PC P n n C Pθ⋅====⋅ 1PC 11ACC A 913(,)P x y P ||2||PB PA =(1,0)A -(7,0)B -=222150x y x +--=22(1)16x y -+=所以点的轨迹方程为．（2）曲线中，令，可得，解得或，可知，，当直线EF 为斜率为0时，即为直径，长度为8，当直线EF 为斜率不为0时，设EF 的直线方程为，，，联立消去可得：，化简可得；由韦达定理可得，因为，，，，所以EM ，FN 的斜率为，，又点在曲线上，所以，可得，所以，所以EM ，FN 的方程为，，令可得，化简可得；，又，在直线上，可得，，所以，P 22(1)16x y -+=22:(1)16C x y -+=0y =2(1)16x -=3x =-5x =(3,0)M -(5,0)N ||||EK FK +x ny t =+()11,E x y ()22,F x y 22(1)16x ny t x y =+⎧⎨-+=⎩x 22(1)16ny t y +-+=()2212(1)(3)(5)0n y t ny t t ++-++-=1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩()11,E x y ()22,F x y (3,0)M -(5,0)N 113EM y k x =+225FN y k x =-()11,E x y C ()2211116x y -+=()()()22111116135y x x x =--=+-111153EM y x k x y -==+115(3)x y x y -=+22(5)5yy x x =--17x =()1212205125Q x y y y x -==-()()121235550y y x x +--=()11,E x y ()22,F x y x ny t =+11x ny t =+22x ny t =+()()121235550y y ny t ny t ++-+-=化简可得；，又，代入可得，化简可得，，，所以或，当时EF 为，必过，不合题意，当时EF 为，必过，又为圆的弦长，所以当直径MN 时弦长最小，此时半径，圆心到直线EF 的距离为，综上，的最小值．19．解：（1）因为，，，所以，，（2）设假设对，，则，，均不为0；所以，即，因为，，所以，与矛盾，所以假设不正确；综上，对于任意，经过若干次F 变换后，必存在，使得．（3）设，因为，所以有或，当时，可得，三式相加得()()221212535(5)5(5)0n y y n t y y t ++-++-=1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩()2222(3)(5)2(1)535(5)5(5)011t t t n n n t t n n +--++-+-=++()()222253(3)(5)10(5)(1)5(5)10n t t n t t t n ++-+--+-+=()222222(5)3951510105525250t t n t n n n t n t t n -++++-++--=(5)(816)0t t --=2t =5t =5t =5x ny =+(5,0)2t =2x ny =+(2,0)||EF EF ⊥||EF 4r =211-=||8EF ===<||EF 0(2,3,1)a = 1(1,2,1)a = 2(1,1,0)a =21100a =⨯⨯= 21102a =++={}max ,,(0,1,2)k k k k M x y z k == N k ∀∈10k a +≠1k x +1k y +1k z +12k k M M ++>123M M M >>> *(1,2)k M k ∈=N 112321121M M M M M M +≥+≥+≥≥++ 121M M +≤-120M M +>0aK N *∈0K a = ()0000,,a x y z = 1(,2,)()a p q q p =≥000x y z ≤≤000x y z ≥≥000x y z ≥≥0000002p x y y z q z x=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩2q p -=又因为，可得，；当时，也可得，，所以；设的三个分量为这三个数，当时，的三个分量为，2，m 这三个数，所以；当时，的三个分量为2，2，4，则的三个分量为0，2，2，的三个分量为2，0，2，所以；所以，由，可得，；因为，所以任意的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2，所以的三个分量只能是2，2，4三个数，的三个分量只能是0，2，2三个数，所以当时，；当时，，所以的最小值为505．12024a =1010p =1012q =000x y z ≤≤1010p =1012q =1(1010,2,1012)a =k a()*2,,2m m m +∈N 2m >1k a +2m -14k k a a +=- 2m =k a 1k a + 2k a +124k k a a ++=== 12024a = 5058a = 5064a =1(1010,2,1012)a = k a505a 506a505m <18m a +≥ 505m ≥14m a +=m。

浙江金华十校2024年高二下学期6月期末数学试题

金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试高二数学试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分。

考试时间120分钟。

试卷总分为150分。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数zz1=2+ii2，zz2=−1+2ii，则zz1−zz2在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知向量aa=(1,2)，bb=(3−xx,xx)，且aa⊥(aa+2bb)，则xx=A．11 B．−11C．112D．−1123．已知xx是实数，则“xx+1xx≥52”是“xx≥2”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数ff(xx)=cos(2xx+φφ)(0<φφ<π2)的对称中心为(π6,0)，则能使函数ff(xx)单调递增的区间为A．[0,π4]B．[π4,π2]C．[π2,3π4]D．[3π4,π]5．函数ff(xx)=ln|xx|cosxx xx的图象为A．B．C．D．6．.已知随机变量XX∼NN(1,4)，且PP(XX≥aa)=PP(XX≤0,2)=0.1，则PP(aa9<XX<1)=A．0.4 B．0.2 C．0.8 D．0.17．高二某班男生20人，女生30人，男、女生身高平均数分别为170cm、160cm，方差分别为170、160，记该班全体同学身高的平均数为XX，方差为ss2，则A．XX>165,ss2>165B．XX<165,ss2>165C．XX>165,ss2<165D．XX<165,ss2<1658．已知当xx∈[0,1)时，ff(xx)=3xx−3，若函数ff(xx)的定义域为RR，且有ff(xx+1)为奇函数，ff(xx+2)为偶函数，则ff(log3300)所在的区间是A．(−∞,0)B．(0,12)C．(12,1)D．(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9．在正方体AAAAAAAA−AA1AA1AA1AA1中，A．AAAA⊥AAAA1B．直线AAAA1与AAAA所成角为π4C．AA1AA1//平面AAAA1AA D．直线AAAA1与平面AAAA1AA1AA所成角为π610．投掷一枚质地均匀的硬币两次，记“第一次正面向上”为事件AA，“第二次正面向上”为事件AA，“至少有一次正面向上”为事件AA，则下列判断正确的是A．AA与AA相互独立B．AA与AA互斥C．PP(AA|AA)=23D．PP(AA)=PP(AA)+PP(AA)−PP(AAAA)11．在△AAAAAA中，已知4cos AA+3sin AA+4sin(AA−AA)=9，AAAA=6，则A．AA>AA B．AAAA=2AAAAC．△AAAAAA的外接圆直径为10 D．△AAAAAA的面积为12非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合AA={1,2,3,4,5,6}，集合AA={xx∈RR|−1<xx<4}，则AA∩AA= . 13．若(2xx+1)5=aa0+aa1xx+aa2xx2+⋯+aa5xx5，则aa2= .14．在三棱锥AA−AAAAAA中，AAAA⊥AAAA，AAAA⊥AAAA，且AAAA=AAAA=10，AAAA=3，若三棱锥AA−AAAAAA的外接球表面积的取值范围为[6614π,409π]，则三棱锥AA−AAAAAA的取值范围为 .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本题满分13分）某校开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图。

浙江省强基联盟2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷含答案

浙江强基联盟2024年10月高二联考数学试题（答案在最后）浙江强基联盟研究院命制考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，已知点(2,1,2),(1,2,2)A B --，则AB =（）A.(1,3,4)-B.(2,6,8)-C.(1,3,1)--D.(2,6,2)--【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合向量减法运算的运算法则，即可求解.【详解】由向量减法运算的运算法则，因为(2,1,2),(1,2,2)A B --，可得(1,3,4)AB =-。

故选：A.2.直线10x y -+=的倾斜角为（）A.1B.6π C.4π D.34π【答案】C 【解析】【分析】先求出斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系，即可得到结果.【详解】由方程得直线斜率111k =-=-，所以倾斜角4πα=.故选:C .3.已知α，β是两个不重合的平面，且直线l α⊥，则“ αβ⊥”是“//l β”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由线面、面面关系，结合平面的基本性质判断线面关系，根据面面垂直的判定判断线面是否平行，再由充分、必要性定义判断条件间的充分、必要关系.【详解】解：由l α⊥，若αβ⊥，则,l β可能平行或l β⊂，充分性不成立；由l α⊥，//l β，由面面垂直的判定知αβ⊥，必要性成立.所以“ αβ⊥”是“//l β”的必要不充分条件.故选：B.4.在平面直角坐标系中，直线:123x yl -=，则直线l 过（）A.一、二、三象限B.一、二、四象限C.二、三、四象限D.一、三、四象限【答案】D 【解析】【分析】用坐标轴上的截距得到大致草图可解.【详解】直线在x 轴上截距为2，y 轴上截距为3-，画出直线l ，发现直线l 过一、三、四象限，故选：D.5.设复数z 满足1z i +=，z 在复平面内对应的点为(),P x y ，则点P 的轨迹方程为（）A.()2211x y ++= B.()2211x y -+=C.()2211x y +-= D.()2211x y ++=【答案】D 【解析】【分析】复数z 满足1z i +=，由复数的模的几何意义可得：z 在复平面内对应的点(),P x y 到复数i -在复平面内对应的点()0,1A -的距离为1，再求解即可.【详解】解：由z 在复平面内对应的点为(),P x y ，且复数z 满足1z i +=，由复数的模的几何意义可得：z 在复平面内对应的点(),P x y 到复数i -在复平面内对应的点()0,1A -的距离为11=，则点P 的轨迹方程为()2211x y ++=，故选：D.【点睛】本题考查了复数的模的几何意义，重点考查了运算能力，属基础题.6.已知点(1,2,3)Q ，平面{|0}P n PQ α=⋅= ，其中(2,1,2)=-n ，则点(1,0,1)A -到平面α的距离是（）A.53B.73C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得(2,2,2)QA =---和平面α的法向量，结合向量的距离公式，即可求解.【详解】由点(1,2,3),,(1,01)A Q -，可得(2,2,2)QA =---，又由{|0}P n PQ α=⋅= ，可得向量n为平面α的法向量，且3n = ，则4246QA n =-+-⋅=-uu r r ，所以点A 到平面α的距离为||623||QA n d n ⋅===.故选：C.7.正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）作为一种对称稳定的几何结构，在物质世界中具有广泛的应用.从晶体材料到生物分子，正八面体结构都发挥着重要作用，影响着物质的性质.如六氟化硫（化学式为6SF ）分子结构为正八面体结构，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.则在如图所示的正八面体E ABCD F --中，二面角E AB F --的正弦值为（）A.13B.223C.33D.63【答案】B 【解析】【分析】由图可得EGF ∠为所求的二面角的平面角，后由余弦定理可得答案.【详解】取AB 中点G ，连结EG ，GF ，EF ，由正八面体定义可知，EGF ∠为所求的二面角的平面角，不妨设2AB =，则3EG FG ==22EF =，在EFG 中，由余弦定理，得222(3)(3)(22)1cos 3233EGF ∠+-=-⨯⨯，所以22sin 3EGF ∠=.故选：B.8.已知正三角形ABC 的边长为1，D 在平面ABC 内，若向量AD 满足2430AD AD AB -⋅+=，则||CD 的最大值为（）A.31+B.31-C.2 D.3【答案】A 【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算，确定出点D 的轨迹为圆，即可求解.【详解】以A 为坐标原点，AB 为x 轴建立平面直角坐标系，如图，设(,)D x y ，则(,)AD x y = ，(1,0)AB =，所以，满足2430AD AD AB -⋅+=的点D 坐标满足：22430x y x +-+=，即D 在以(2,0)E 为圆心，1为半径的圆上，当C ，E ，D 三点共线，且D 在如图所示位置时，||CD最大，因为1(,22C ,所以CE ==，，所以max ||1CD =.故选：A.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题，共1.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,2,1)A -，(0,1,1)B ，下列结论正确的有（）A.||4AB = B.1OA OB ⋅= C.若(4,2,)n t = ，且n AB ⊥，则3t = D.若(1,1,)m k = 且//m AB，则2k =【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，得到向量(1,2,1)OA =- ，(0,1,1)OB =，(1,1,2)AB =-- ，结合空间向量的坐标运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A ，因为(1,2,1)A -，(0,1,1)B ，所以(1,1,2)AB =-- ，可得||AB ==A 错误；对于B ，因为(1,2,1)OA =- ，(0,1,1)OB = ，所以0211OA OB ⋅=+-=，所以B 正确；对于C ，若(4,2,)n t = ，且n AB ⊥ ，则4(1)2(1)20n AB t =⨯-+⨯-+⋅⨯=，解得3t =，所以C 正确，对于D ，若(1,1,)m k = 且//m AB ，因为(1,1,2)AB =-- ，可得112k=-，解得2k =-，所以D 错误.故选：BC.10.已知曲线22:x y x y Ω+=+，点(,)P a b 在曲线Ω上，则下列结论正确的是（）A.曲线Ω有4条对称轴B.3a b ++的最小值是C.曲线Ω围成的图形面积为π2+ D.2ba -的最大值是1【答案】ACD 【解析】【分析】当0,0x y >>时，化简方程为22111()()222x y -+-=，结合曲线Ω的对称性，画出曲线Ω的图象，结合图象，可得判定A 正确，把3a b ++表示曲线Ω上的点P 到直线30x y ++=倍，可判定B 错误；结合圆的面积公式和正方形的面积公式，可判定以C 正确；设2bk a =-表示点(2,0)与点P 确定的直线的斜率，结合图象，利用点到直线的距离公式，列出方程，可得判定D 正确.【详解】当0,0x y >>时，原方程化为22x y x y +=+，即22111()()222x y -+-=，所以曲线是以圆心为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2的圆在第一象限的部分，又由22||||x y x y +=+图象关于x 轴，y 轴对称，所以曲线Ω，如图所示.，对于A 中，由图象可得，该曲线Ω关于x 轴，y 轴，y x =和y x =-对称，所以该曲线Ω有4条对称轴，所以A 正确，对于B 中，由3a b ++表示曲线Ω上的点P 到直线30x y ++=倍，结合图象得，当(,)P a b 是(1,1)--2=，所以3a b ++最小值为12=，所以B 错误；对于C 中，曲线Ω的正方形组成，所以面积为22(π24π22⨯+=+，所以C 正确；对于D 中，设2bk a =-表示点(2,0)与点P 确定的直线的斜率，设该直线方程为(2)y k x =-，结合图象，当0,0x y ><，即22x y x y +=-，则圆心为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，半径为2的圆在第四象限的部分与直线相切时，该切线的斜率是k 的最大值，由d r =，可得2=，解得1k =或17k =-（舍），则k 的最大值为1，所以D 正确.故选：ACD.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别是11B C ，11C D 的中点，点P 在正方体表面上运动，且(0PA x x =<<，记点P 的轨迹长度为()f x ，则下列结论正确的是（）A.3π(1)2f =B.3πf =C.若//PA 平面BEF ，且点P ∈平面11A C ，则x的最小值为3D.若(,)BP BE BF λμλμ=+∈ R，则()2f x =+【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，得到点P 的轨迹为以A 为球心，1为半径的球与正方体表面的交线，从而求出轨迹长度；B 选项，与A 同理可得；C 选项，作出辅助线，得到点P 的轨迹是线段HI ，则当AP HI ⊥时，AP 最小，由勾股定理求出答案；D 选项，作出辅助线，得到P 的轨迹为等腰梯形EFDB ，求出轨迹总长()f x .【详解】对于A 、B ，如图，(1)f 等于以A 为球心，1为半径的球与正方体表面的交线总长，所以(1)2π3f =，故A 正确；(2)f 等于以A 2为半径的球与正方体表面的交线总长，21>，所以球A 与过A 的三个正方体表面没有交线，与另外三个面的交线长为2π3π3(2)122⨯-=，故B 错误；对于C ，如图，取11A D 的中点H ，11A B 的中点I ，连接,,,,,EF BE BF HI AH AI ，可知//,//HI AH BE EF ，因为EF ⊂平面EFB ，HI ⊄平面EFB ，所以//HI 平面EFB ，同理可得//AH 平面EFB ，又AH HI H = ，,AH HI ⊂平面AHI ，故平面//AHI 平面EFB ，则当点P ∈平面AHI 时，//PA 平面EFB ，又点P ∈平面11A C ，所以点P 的轨迹是线段HI ，则当AP HI ⊥时，AP 最小，由勾股定理得22232144AP ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，即x 的最小值为324，故C 错误；对于D ，因为(,)BP BE BF λμλμ=+∈R ，所以点P 与点B ，E ，F 共面，从而点P 的轨迹为平面BEF 与正方体表面的交线，连接BD ，则//EF BD ，故,,,B D E F 四点共面，画出交线如图，所以P 的轨迹为等腰梯形EFDB （如图），故轨迹总长2532()225f x =，故D 正确.故选：AD.【点睛】思路点睛：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线1:22l y x =+，直线:m y kx =，若l m ⊥，则实数k 的值为________.【答案】−2【解析】【分析】根据垂直关系得到直线的斜率之积为1-，得到方程，求出2k =-.【详解】因为l m ⊥，所以两直线的斜率之积为1-，即112k =-，所以2k =-.故答案为：−2.13.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠= ，1CB =，2CA =，M 是1CC 的中点，若1AM BA ⊥，则1AA =________.【答案】6【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设1AA t =，再利用空间向量求解即可.【详解】以B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，1BB 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设1AA t =，则由题意：A ，0,1,2t M ⎛⎫⎪⎝⎭，1)A t ，则2t AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1)BA t =，又1AM BA ⊥所以21302t BA AM ⋅=-+= ，解得t =，即1AA =..14.在平面直角坐标系中，已知圆22:21M x y x ++=，直线:230l x y --=，过l 上一点P 作圆M 的切线，切点为A ，则PA PM ⋅的最小值为________.【答案】3【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系，结合平面向量数量积的几何意义将PA PM ⋅ 化为22PM - ，计算minPM 即可.【详解】由题意()2212x y ++=，则圆M的半径()1,0AM M =-，根据向量数量积的几何意义，得2222PA PM PA PM MA PM ⋅==-= 2-.所以只要PM 最小即可，当PM l ⊥时，min ||PM ==，所以PA PM⋅的最小值为223-=.故答案为：3四、解答题：本大题共5小题，共7.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知空间三点(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)D -，以向量AB ，AD为一组邻边组成平行四边形ABCD ，（1）求C 点坐标；（2）求平行四边形ABCD 的面积S .【答案】（1）(1,2,8)--（2）【解析】【分析】（1）设(,,)C x y z ，根据空间向量的线性运算及平行四边形法则求解即可；（2）先根据空间向量求出,AB AD，进而结合面积公式求解即可.【小问1详解】设(,,)C x y z ，则(2,1,3)AB =-- ，(1,3,2)AD =- ，(,2,3)AC x y z =--，由平行四边形法则：(1,4,5)(,2,3)AC AB AD x y z =+=--=--，所以1x =-，2y =-，8z =，即C 点坐标为(1,2,8)--.【小问2详解】由题意，||AB ==，||AD ==，1cos ,2AB AD AB AD AB AD ⋅==⋅，所以π,3AB AD = ，所以πsin3S AB AD =⋅⋅==.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰三角形，120ACB ∠= ，1AC BC AA ==，D ，E 分别是棱AB ，11B C 的中点.（1）求证：//DE 平面11ACC A ；（2）求直线DE 与平面11A B C 所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）35.【解析】【分析】（1）取AB 中点D ，以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.（2）求出平面11A B C 的法向量，利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，120ACB ∠= ，取AB 中点D ，连接CD ，则CD AB ⊥，过点D 作1//Dz AA ，由1AA ⊥平面ABC ，得Dz ⊥平面ABC ，则直线,,DB DC Dz 两两垂直，以点D 为原点，直线,,DB DC Dz 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，设2AC =，则1(0,0,0),(0,1,)1((0,0),,1,2)(,,222D C A CE ，则1(,,2)22DE =，0)AC =，1AC = ，设平面11ACC A 的法向量(,,)n x y z =，则1020n AC y n AC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1x =，得(1,n =，于是0022DE ⋅=-+=n ，即DE n ⊥ ，//DE 平面11ACC A ，又DE ⊄平面11ACC A ，所以//DE 平面11ACC A .【小问2详解】由（1）知(0,1,0)C，1)2(0,A，1B，则1(1,2)CA =-，11A B =，设平面11CA B 的法向量为(,,)m a b c =，则11120m CA b c m A B ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1c =得(0,2,1)m = ，又31(,,2)22DE = ，设直线DE 与平面11A B C 所成的角为θ，则|3sin |cos ,|5|||||DE m DE m DE m θ⋅=〈〉===，所以直线DE 与平面11A B C 所成的角的正弦值为35.17.已知平面直角坐标系中，圆22:8O x y +=，点(4,2)P -，（1）若A 是圆O 上的动点，线段AP 的中点为M ，求M 的轨迹方程；（2）以OP 为直径的圆交圆O 于C ，D 两点，求CD .【答案】（1）22(2)(1)2x y ++-=（2）5CD =【解析】【分析】（1）利用轨迹方程求法设(,)M x y ，可求得M 的轨迹方程为22(2)(1)2x y ++-=；（2）求出公共弦CD 的方程240x y -+=，利用点到直线距离以及弦长公式可得5CD =.【小问1详解】设(,)M x y ，00(,)A x y ，则根据题意可得()004,22,2x x y y ⎧+-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩所以可得002422x x y y =+⎧⎨=-⎩，代入圆22:8O x y +=，得()()2224228x y ++-=，化简得()()22212x y ++-=，M 的轨迹方程为()()22212x y ++-=.【小问2详解】如下图所示：因为OP 的中点坐标为()2,1-，OP ==，所以以OP 为直径的圆的方程为22(2)(1)5++-=x y ，即22420x y x y ++-=.圆22420x y x y ++-=的圆心为()2,1-，半径为圆228x y +=的圆心为()0,0，半径为+-<<，两圆相交，由22228420x y x y x y ⎧+=⎨++-=⎩得直线CD 的方程240x y -+=.圆心O 到直线CD 的距离d =O 的半径R =，可得CD ===，4305CD ==，所以4305CD =.18.如图，三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，PA PC ==.（1）若PB =，求三棱锥P ABC -的外接球的表面积；（2）若异面直线PC 和AB 所成角的余弦值为4，点F 是线段PB （不含端点）上的一个动点，平面ACF 与平面PBC 的夹角为α，求cos α的取值范围.【答案】（1）6π（2）7⎡⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据题意可知PA ，PB ，PC 两两垂直，所以可将其补成正方体，正方体对角线就是外接球的直径，再根据外接球的表面积计算公式可求解；（2）根据异面直线所称的角的关系求出OB OP ⊥，构建空间坐标系，分别求出平面ACF 的一个法向量m，平面PBC 的一个法向量为n，再利用空间向量法求出二面角的余弦值取值范围.【小问1详解】当PB =时，PA ，PB ，PC 两两垂直，可将其补成正方体，正方体的体对角线即为外接球的直径.所以三棱锥P ABC -的外接球直径为：2R =，两边平方得246R =，所以24π6πS R ==.【小问2详解】如图，取AC 中点O ，由题意，1OP =，OB =，设POB θ∠=，OC a =，OB b = ，OP c =.则0a b ⋅=，0a c ⋅= ，θ⋅=b c ，因为PC ，AB 所成角的余弦值为24，所以cos ,4PC AB PC AB PC AB⋅=〈〉== ，得1PC AB ⋅=±.又PC =-a c ，AB =+b a ，2()()11PC AB θ⋅=-+=⋅+-⋅-⋅=-=±a c b a a b a c b c a，解得cos 0θ=或cos 13θ=>（舍去）.所以cos 0θ=，此时,90〈〉=︒b c ，这样，可以以OA ，OB ，OP分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系（如图）.则(1,0,0)A ，3,0)B ，(1,0,0)C -，(0,0,1)P ，设(,,)F x y z ，因为点F PB ∈，所以设((0,1))PF tPB t =∈，3,1)PB =- ，(,,1)PF x y z =-，所以(,,1)3,1)x y z t -=-.所以0,3,1,x y t z t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩得3,1)F t t -.因为(2,0,0)AC =- ，3,1)OF t t =-，设平面ACF 的一个法向量000(,,)m x y z =，则00020,3(1)0,AC m x OF m ty t z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 取(0,1,3)m t t =- ，又(1,0,1)PC =--，3,1)PB =- ，同理可求得平面PBC 的一个法向量为(3,1,3)n =-.因为平面ACF 与平面PBC 的夹角为α，所以2222||71681cos 7421||||(1)37m n t t t t m n t t α⋅-+===-+-+⋅ 设242x t t =-，(0,1)t ∈，1,24x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，则221681414211t t x t t x -++=-++，记()413411x f x x x +==-++，1,24x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，显然()f x 在1,24x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以min 1()04f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，当2x →时，()3f x →，所以21cos 0,7α⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭.即cos α的取值范围是210,7⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.19.古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（Pappus ，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：平面上，到两条已知直线距离的乘积是到第三条直线距离的平方的k 倍的动点轨迹为二次曲线（在平面上，由二元二次方程所表示的曲线，叫做二次曲线）.常数k 的大小和直线的位置等决定了曲线的形状.为了研究方便，我们设平面内三条给定的直线为(1,2,3)i l i =，当三条直线中有相交直线时，记12l l A ⋂=，23l l B ⋂=，31l l C ⋂=，动点P 到直线i l 的距离为(1,2,3)i d i =，且满足2123d d kd =.阅读上述材料，完成下列问题：（1）当12l l //，31l l ⊥时，若1k =，且1l 与2l 的距离为2，点P 在1l 与2l 之间运动时，求动点P 的轨迹所围成的面积.（2）若ABC V 是等腰直角三角形，BAC ∠是直角，点P 在BAC ∠内（包括两边）运动，试探求k 为何值时，P 的轨迹是圆？（3）若ABC V 是等腰三角形，AB AC =，点P 在BAC ∠内（包括两边）任意运动，当1k =时，问在此等腰三角形对称轴上是否存在一点D ，使PAPD为大于1的定值.若存在，求出点D 的位置，若不存在，请说明理由.【答案】（1）π（2）当1k =时，P 的轨迹是圆（3）存在，点D 为BC 中点【解析】【分析】（1）适当建系，以1l 为y 轴，3l 为x 轴，同时2:2l x =，再结合新定义确定轨迹方程即可求解；（2）适当建系，以A 为坐标原点，1l 为y 轴，2l 为x 轴，同时3:0(0)l x y c c +-=>.再结合新定义即可求解；（3）适当建系，以A 为坐标原点，CAB ∠的角平分线为x 轴，设1:l y tx =，2:(0)l y tx t =->，3:(0)l x a a =>，结合新定义列出等式即可求解.【小问1详解】以1l 为y 轴，3l 为x 轴，建立平面直角坐标系，2:2l x =，设(,)P x y ，因为P 在1l ，2l 之间，所以1d x =，22d x =-，3||d y =，由定义得2123d d d =，所以2(2)x x y -=，化简得22(1)1x y -+=，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆.所以动点P 的轨迹围成的图形面积2ππS r ==.【小问2详解】以A 为坐标原点，1l （AB ）为y 轴，2l （AC ）为x 轴，建立平面直角坐标系.设()3:0(0)l BC x y c c +-=>，点(,)(00)P x y x y ≥≥且，则1d x =，2d y =，3d =，2123d d kd =，代入坐标得：2222222x y c xy cx cyxy k +++--=.化简整理：222(22)220kx ky k xy kcx kcy kc ++---+=①当1k =时，方程①没有xy 项，此时方程①为：222220x y cx cy c +--+=.即222()()x c y c c -+-=，此方程表示圆心为(,)c c ，半径为c 的圆，所以当1k =时，P 的轨迹是圆.【小问3详解】以A 为坐标原点，CAB ∠的角平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，设()1:l AB y tx =，()2:(0)l AC y tx t =->，()3:(0)l BC x a a =>，点(,)P x y ，先求点P 的轨迹方程：由1d =P 在CAB ∠内部，所以0tx y ->，得1d =同理：2d =3||d x a =-.由题意，当1k =时，得2||x a =-.化简整理得：222222(1)(1)0x y a t x a t +-+++=.②假设存在点(,0)(0)D m m >，满足条件，则PA PD =③由②得：222222(1)(1)x y a t x a t +=+-+.代入③得PAPD=要使此式为定值，则22222()2(1)at a m a t m a+-=+-，化简得m a =，故存在点(a,0)D ，即点D 为3l 与CAB ∠的角平分线的交点，即点D 为BC 中点，此时1PA PD t=>.【点睛】关键点点睛：这类新定义的关键是适当建系，简化计算过程，减少计算量是关键点.。

山东省济宁市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题含答案

济宁市高二年级第一学期九月模块测试数学试题（答案在最后）注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.3．选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.以下事件是随机事件的是（）A.标准大气压下，水加热到100C ，必会沸腾B.走到十字路口，遇到红灯C.长和宽分别为,a b的矩形，其面积为abD.实系数一元一次方程必有一实根【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的概念判断即可【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C．长和宽分别为,a b的矩形，其面积为ab是必然事件；故本选项不符合题意；D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B．2.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品【答案】B【解析】【详解】试题分析：事件A 不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A 的对立事件为至多一件次品．故B 正确．考点：对立事件．3.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A.12B.14C.13D.16【答案】B 【解析】【分析】列举出所有的可能事件，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】两名同学分3本不同的书，记为,,a b c ，基本事件有(0，3)，(1a ，2)，(1b ，2)，(1c ，2)，(2，1a )，(2，1b )，(2，1c )，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p ＝28＝14.故选:B4.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（）A.13B.12C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】由互斥事件的概率可知(()(1())P A B P A P B +=+-，从而得解.【详解】由已知得：1()3P A =，2()3P B =，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B 表示“出现5点或6点”故事件A 与事件B 互斥，122()()(1())(1)333P A B P A P B ∴+=+-=+-=故选：C5.直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1A B = （）A.a b c+-r r r B.a b c-+r r r C.a b c -++D.a b c-+- 【答案】D 【解析】【分析】由空间向量线性运算法则即可求解．【详解】()11111A A B B a b B A B c CC C CB =+=-+=-+--+.故选：D ．6.已知空间向量0a b c ++=，2a = ，3b = ，4c = ，则cos ,a b = （）A.12B.13C.12-D.14【答案】D 【解析】【分析】设,,AB a BC b CA c ===，在ABC V 中由余弦定理求解.【详解】空间向量0a b c ++= ，2a = ，3b = ，4c =，则,,a b c三向量可能构成三角形的三边.如图，设,,AB a BC b CA c === 2a = ，则ABC V 中，||2,||3,||4AB BC CA === 2a =，222||||cos ,cos 2AB BC CA a b ABC AB BC+-∴=-∠=-⨯⨯ 491612234+-=-=⨯⨯.故选：D7.端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）A.5960 B.35 C.12 D.160【答案】B【解析】【分析】这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，由此能求出这段时间内至少1人回老家过节的概率.【详解】端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，∴这段时间内至少1人回老家过节的概率为：1113 11113455 p⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.8.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（）A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%【答案】B【解析】【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案.【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为12，大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为5150≈3.33%.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（）A.(2,1,3)B.(2,1,3)--C.(4,2,6)-D.(4,2,6)-【答案】BC 【解析】【分析】由已知可得//AB C D ''，所以它们的方向向量共线，利用向量共线的坐标关系，即可判断各个选项.【详解】由已知可得//AB C D ''，故它们的方向向量共线，对于B 选项，(2,1,3)(2,1,3)--=--，满足题意；对于C 选项，(4,2,6)2(2,1,3)-=-，满足题意；由于A 、D 选项不满足题意．故选：BC.10.下列各组事件中，是互斥事件的是（）A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%【答案】ACD 【解析】【分析】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，命中环数大于8与命中环数小于6，发芽90粒与发芽80粒，合格率高于0070与合格率为0070均为互斥事件，而平均分数不低于90分与平均分数不高于90分，当平均分为90分时可同时发生，即得解.【详解】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，对于A ，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6,为互斥事件；对于B ，统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分当平均分为90分时可同时发生，不为互斥事件；对于C ，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒,为互斥事件；对于D ，检查某种产品，合格率高于0070与合格率为0070,为互斥事件；故选：ACD.11.已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（）A.1m =，12n =- B.12m =，1n = C.12m =-，1n =- D.32m =，1n =【答案】CD 【解析】【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：()()AP y AC z AB AO OP y AO OC z AO OB =+⇒+=+++ ，化简得：(1)OP y z OA yOC zOB =--++，显然有11y z y z --++=，而12OP OA mOB nOC =+- ，所以有11122m n m n +-=⇒-=，当1m =，12n =-时，32m n -=，所以选项A 不可能；当12m =，1n =时，12m n -=-，所以选项B 不可能；当12m =-，1n =-时，12m n -=，所以选项C 可能；当32m =，1n =时，12m n -=，所以选项D 可能，故选：CD第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．【答案】34【解析】【详解】从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条这一事件共有4种，而不能构成三角形的情形为2,3,5.所以这三条线段为边可以构成三角形的概率是P ＝34.13.已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=______．【答案】0.9##910【解析】【分析】由互斥事件与对立事件的相关公式求解【详解】由题意得()1()0.4P B P B =-=，则()()()()0.9P A P P A B C B P C ⋃⋃=++=．故答案为：0.914.在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA ，DC ，1DD方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =______，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为______．【答案】①.(1,2,2)-②.6【解析】【分析】第一空，根据向量的坐标运算可得答案；第二空，求出平面11A BC 的法向量，利用向量法求点到平面的距离即可得解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为122AB AA AD ===，则(1,0,0)A ，1(0,2,2)C ，1(1,0,2)A ，(1,2,0)B ，(1,1,0)P ，所以1(1,2,2)AC =- ，11(1,2,0)A C =- ，1(0,2,2)A B =- ，(0,1,0)PB =，设平面11A BC 的法向量为(,,)n x y z = ，则11100A B n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则2,1x z ==，故(2,1,1)n =，则P 到平面11A BC距离为66n PB d n⋅== .故答案为：(1,2,2)-；66.四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知2,3a b == ，且a b ⊥ 求2a b a b +⋅（）（-）（2）已知a b a b +=- ，求a b⋅ 【答案】（1）1-（2）0【解析】【分析】（1）由已知，利用向量数量积运算，结合向量垂直的向量表示即可求解；（2）由a b a b +=-，两边平方，展开运算即可.【详解】（1）因为2,3a b == ，且a b ⊥ ，所以22222222031a b a b a a b b +⋅+⋅-=⨯+-=- （）（-）=.（2）因为a b a b +=- ，则22a b a b +=- ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，化简得22a b a b ⋅=-⋅ ，所以0a b ⋅=.16.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）5 21【解析】【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=5 21．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=5 21．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．17.甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；（2）求甲获得这次比赛胜利的概率．【答案】（1）0.52（2）0.648【解析】【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得；（2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可.【小问1详解】用i A 表示事件“第i 局甲胜”，j B 表示事件“第j 局乙胜”（,3,4,5i j =），设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则3434A A A B B =+，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A 与事件34B B 互斥.所以()()()()()()()()343434343434P A P A A B B P A A P B B P A P A P B P B =+=+=+0.60.60.40.40.52=⨯+⨯=．故再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.【小问2详解】记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而34345345B A A B A A A B A =++，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A ，345B A A ，345A B A 两两互斥，所以()0.60.60.40.60.60.60.40.60.648P B =⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.18.如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，ABAF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD ＝N ，连结NE.则N 22,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E(0，0，1)，220)，M 22,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝AM 且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM.∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE.(2)由(1)知AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∵2，0，0)，22，1)，∴DF ＝(02，1)，∴AM ·DF＝0，∴AM ⊥DF.同理AM ⊥BF.又DF∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF.19.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．（1）求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；（2）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）0（2）存在，12AP =【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设AB a =，写出点的坐标，求出110B E AD ⋅= ，得到异面直线夹角余弦值为0；（2）设()00,0,P z ，求出平面1B AE 的一个法向量1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据0DP n ⋅= 得到方程，求出12z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.【小问1详解】以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，设AB a =，则()()()11,0,1,,1,0,0,0,0,0,1,12a B a E A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()()()11,1,0,0,1,1,1,0,1,10,0,00,1,122a a B E a AD ⎛⎫⎛⎫=-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()11,1,10,1,11102a B E AD ⎛⎫⋅=--⋅=-= ⎪⎝⎭，故直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值为0；【小问2详解】存在满足要求的点P ，理由如下：设棱1AA 上存在点()00,0,P z ，使得//DP 平面1B AE ，0,1,0，则()00,1,DP z =- ，设平面1B AE 的一个法向量为(),,n x y z =，则()()()1,,,0,10,,,1,0022n AB x y z a ax z a a n AE x y z x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎩，取1x =得,2a y z a =-=-，故1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，要使//DP 平面1B AE ，则n DP ⊥，即()00,1,1,,02a DP n z a ⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭ ，所以002a az -=，解得012z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.。

贵州省贵阳市清华中学2024-2025学年高二上学期10月阶段考试数学试卷(含答案)

贵阳市清华中学2024—2025学年度第一学期10月阶段考试试卷高二数学（考试时间：120分钟；试卷满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系Oxy 中，直线的倾斜角等于（）A．B ．C ．D ．2．在空间直角坐标系Oxyz 中，点关于Oyz 坐标平面的对称点的坐标是（）A ．B ．C ．D ．3．王伟在“国庆”节七天假期中每天的运动时长（单位：分钟）统计数据如下表，则（）日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日运动时长589210070804560A ．王伟这七天每天运动时长的平均数是73B ．王伟这七天每天运动时长的中位数是75C ．王伟这七天每天运动时长的第80百分位数是92D ．王伟这七天每天运动时长的极差是454．下列三角函数式的值不等于的是（）A ． B ．C ．D ．5．下列函数中，其图象不关于原点对称的是（）A ．B ．C ．D ．10x -=6π3π23π56π(1,2,3)P -'P (1,2,3)--(1,2,3)--(1,2,3)--(1,2,3)-12cos 75cos15sin 75sin15︒︒-︒︒2sin 75cos 75︒︒22cos 301︒-2tan 22.51tan 22.5︒-︒13()f x x =3()sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2x xe ef x --=1()ln1x f x x -=+6．如图，在棱长为1的正方体中，E ，F 分别是，的中点，则直线EF 到平面的距离为（）ABCD7．已知，，，则实数a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．B ．C ．D ．8．口袋中有2个红球和2个白球（形状和大小完全相同），从中随机不放回地依次摸出2个球，设事件“第1次摸出的是红球”，“第2次摸出的是红球”，“摸出的两个球均为红球”，“摸出的两个球颜色不同”。

山西省2023-2024学年高二上学期10月联合考试数学含解析

2023~2024学年山西省高二10月联合考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第一册第一章至第二章2.2。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点()7,9,5A 关于xOy 平面对称的点的坐标为A.()7,9,5- B.()7,9,5- C.()7,9,5- D.()7,9,5---2.直线l 320y -+=的倾斜角为A.150︒B.120︒C.60︒D.30︒3.已知向量(),2,3a x = ，()3,4,3b =-- ，若()a b a +⊥，则x =A.4- B.4C.4-或1D.4或1-4.已知点()1,4A ，()3,2B -，则经过线段AB 的中点，且与直线290x y -+=平行的直线的方程为A.280x y --= B.20x y -=C.2100x y +-= D.250x y +-=5.若直线l ：0Ax By C ++=的倾斜角为α，则“0A B ⋅<”是“α不是钝角”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知点()1,2A ，(),B a b ，(),C c d ，若A 是直线1l ：10ax by ++=和2l ：10cx dy ++=的公共点，则直线BC 的方程为A.210x y +-= B.210x y ++=C.210x y +-= D.210x y ++=7.如图，将菱形纸片ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，O 是AC 的中点，23ABC π∠=，则折后平面OEF 与平面ABC 的夹角的余弦值为A.31111 B.1111 C.31313D.2178.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是空间内的动点，且1PB PD += ，则AP PB ⋅的最小值为A.1-B.1C.4-+D.4--二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E ，F 分别为PB ，PD 的中点，则A.BF 在AD 方向上的投影向是为12ADB.EF 在AD 方向上的投影向还为ADC.CE 在AB 方向上的投影向是为12AB-D.CF 在AB方向上的投影向是为AB- 10.经过点()6,3P -，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能为A.20x y += B.90x y --=C.30x y +-= D.2150x y --=11.直线1l ：y ax b =+与2l ：y bx a =+在同一平面直角坐标系内的位置可能是A. B. C. D.12.已知正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，P是正方体1111ABCD A B C D-所在空间内一点，下列结论正确的是A.若()1014AP AB ADλλ=+，则1B P PD+B.若()()101AP AB ADλλλ=+-，则平面1PAD截正方体1111ABCD A B C D-所得截面积的最大值为C.若112AP AD=，则三棱锥P ABC-的表面积为2D.若()101AP ADλλ=，则直线1C D与BP所成角的最小值为45︒三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点()3,2,3A，()1,1,4B，()2,0,1C，则AB AC⋅=______.14.已知直线l：310x y+-=的倾斜角为α，则cosα=______.15.如图，已知二面角A EF D--的平面角大小为3π，四边形ABFE，EDCF均是边长为4的正方形，则BD=______.16.某公园的示意图为如图所示的六边形ABCDEF，其中AB AF⊥，AF BC∥，AB DE∥，BCD AFE∠∠=，且3tan4BCD∠=-，50CD EF==米，80BC DE==米.若计划在该公园内建一个有一条边在AB上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知直线l ：210ax y a -++=经过第一、二、四象限.（1）求a 的取值范围；（2）若直线1l ：()37230a x y +-+=与直线l 垂直，求a 的值.18.（12分）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面PBC ，BC ⊥平面PAB ，D 为PC 的中点，2BE EA =.（1）设PA a = ，PB b = ，BC c = ，用a ，b ，c表示DE ；（2）若1PA PB BC === ，求AC DE ⋅.19.（12分）已知直线l ：()()22150a x a y ++-+=.（1）证明无论a 为何值，直线l 经过定点P ，并求出点P 的坐标；（2）若斜率大于0，且经过（1）中点P 的直线与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OAB △面积的最小值.20.（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，E ，F ，G 分别为11B C ，AC ，1A C 的中点，12AA AB ==.（1）求直线1D F 与EG 所成角的余弦值；（2）求点1D 到平面EFG 的距离.21.（12分）已知ABC △的三个顶点是()1,1A ，()3,3B ，()2,8C .（1）过点B 的直线1l 与边AC 相交于点D ，若BCD △的面积是ABD △面积的3倍，求直线1l 的方程；（2）求BAC ∠的角平分线所在直线2l 的方程.22.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2AB =，5PA PD ==，E 为BC 的中点.（1）证明：AD PE ⊥.（2）若二面角P AD B --的平面角为23π，G 是线段PC 上的一个动点，求直线DG 与平面PAB 所成角的最大值.2023~2024学年山西省高二10月联合考试数学参考答案1.A 点()7,9,5A 关于xOy 平面对称的点的坐标为()7,9,5-.2.D设l 的倾斜角为α，则tan 3α=.因为0180α︒︒< ，所以30α=︒.3.C 因为()a b a +⊥ ，所以22133170a a b x x +⋅=++-= ，解得4x =-或1.4.B 线段AB 中点的坐标为()2,1，过点()2,1且与直线290x y -+=平行的直线的方程为20x y -=.5.A 若0A B ⋅<，则l 的斜率0AB->，则α不是钝角.若0α=︒或90α=︒，则0A B ⋅=.故“0A B ⋅<”是“α不是钝角”的充分不必要条件.6.B 由点()1,2A 在1l ：10ax by ++=上可知，210a b ++=，同理210c d ++=，故点(),B a b 与(),C c d 均满足方程210x y ++=，因此直线BC 的方程为210x y ++=.7.D以O 为原点，OB ，OC ，OD 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，AB 为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,1D，10,,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,,022F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，10,,22OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,22OF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面OEF 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n OE n OF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得10,2210,22y z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，取1y =，则x =，z =，得平面OEF的一个法向量为(n =，易得平面ABC 的一个法向量为()0,0,1OD =，所以平面OEF 与平面ABC的夹角的余弦值为7n OD n OD⋅= .8.D 取1BD 的中点M ，连接PM （图略），则12PB PD PM +=，则12PB PD PM +==，即PM =，故动点P 的轨迹为以M为球心，.由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可知正方体1111ABCD A B C D -即动点P 的轨迹为正方体1111ABCD A B C D -的外接球.取AB 的中点N ，连接PN （图略），则()()()()2221AP PB PN NA PN NB PN NA PN NA NA PN PN ⋅=-+⋅+=-+⋅-=-=- .由题可知，MN =PN，255PN -+则2414PN ----+ 9.ACD 由图可知，BF 在AD 方向上的投影向量为12AD ，EF 在AD 方向上的投影向量为12AD ，CE在AB 方向上的投影向量为12AB -，CF 在AB 方向上的投影向量为AB - .故选ACD.10.AC 若直线在两坐标轴上的截距均为0，则直线的方程为20x y +=，A 正确.若直线在两坐标轴上的截距不为0，可设直线的方程为1x ya a+=，将()6,3P -代入方程得3a =，则直线的方程为30x y +-=，C 正确.11.BC对于A 选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，不符合题意，A 不正确.对于B 选项，当0ab <时，符合题意，B 正确.对于C 选项，当0,0a b =⎧⎨<⎩或0,a b <⎧⎨=⎩时，符合题意，C 正确.对于D 选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，D 不正确.12.ABD 对于A 选项，在AB 上取点H （图略），使得14AH AB =，在CD 上取点K ，使得14DK DC = ，则由14AP AB AD λ=+ ，得AP AH AD λ-= ，即HP AD λ=，故P 是线段HK 上一点.将平面11HKC B 沿HK 展开至与平面AHKD 共面，此时113AB AH B H =+=，当1B ，P ，D 三点共线时，1B P PD +A 正确.对于B 选项，由()()101AP AB AD λλλ=+-，可知P 是线段BD 上一点.连接AC 并与BD 交于点Z （图略）.当P 与D 重合时，平面1PAD 与平面11ADD A 重合，不符合题意.当P 在线段DZ （不含点D ）上时，平面1PAD 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为三角形，且当P 与Z重合时，截面面积最大，最大值为当P 在线段BZ （不含点B ，Z ）上时，延长AP 并与BC 交于点W ，作1WR AD ∥并与1CC 交于点R ，则截面为等腰梯形1AWRD ，设BW x =，则1AW D R ==)2WR x =-.梯形1AWRD 的高h =，面积为()(14122x AD WR h -+⋅=<.当P 与B 重合时，截面为矩形11ABC D ，面积为.故平面1PAD 截正方体1111ABCD A B CD -所得截面积的最大值为，B 正确.对于C 选项，因为112AP AD =，所以P 为1AD 的中点，三棱锥P ABC -的表面积为1111222222222⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+，C 不正确.对于D 选项，以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()12,2,0C ，()0,2,2D ，()2,0,2B ，()0,2,22P λλ-，则()12,0,2C D =- ，()2,2,2BP λλ=--，111cos ,C D BP C D BP C D BP ⋅==因为01λ，所以202，所以直线1C D 与BP 所成角的最小值为45︒，D 正确.13.2因为()3,2,3A ，()1,1,4B ，()2,0,1C ，所以()2,1,1AB =-- ，()1,2,2AC =--- ，2AB AC ⋅=.14.10-由题可知tan 3α=-，因为[)0,απ∈，所以cos 10α=-.15.因为BD BF FC CD=++ ，所以()22222222BD BF FC CDBF FC CD BF FC BF CD FC CD =++=+⋅+++⋅+⋅ .又二面角A EF D --的平面角大小为3π，四边形ABFE ，EDCF 均为边长为4的正方形，所以22216BF FC CD === ，14482BF FC ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，0BF CD FC CD ⋅=⋅= ，所以232BD =，则BD =.16.338003以AF 所在直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为矩形PQMN .由题可知，直线EF 的方程为3304y x =-+，直线CD 的方程为31104y x =+.设3,304P a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，其中040a ，则3,1104Q a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，3120,304N a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则3802PQ a =+，120PN a =-，四边形PQMN 的面积()23310033800801202233S PQ PN a a a ⎛⎫⎛⎫==+-=--+⎪⎝⎭⎝⎭.当1003a =时，S 取得最大值338003.17.解：（1）将直线l 的方程转化为21y ax a =++.因为l 经过第一、二、四象限，所以0,210,a a <⎧⎨+>⎩解得102a -<<，即a 的取值范围为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）将直线1l 的方程转化为37322a y x +=+，因为1l l ⊥，所以()3712a a +=-解得2a =-或13a =-.又102a -<<，所以13a =-.18.解：（1）连接BD ，PE （图略）.DE PE PD PA AE PB BD=-=+--因为D 为PC 的中点，2BE EA = ，所以1111111,3332222AE AB PB PA BD BP BC PB BC==-=+=-+所以211211362362DE PA PB BC c =--=-- .（2）因为AC AP PB BC PA PB BC =++=-++，所以()211362AC DE PA PB BC PA PB ⎛⎫⋅=-++⋅-- ⎪⎝⎭222211572362663PA PB BC PA PB PA BC PB BC =---+⋅+⋅-⋅.因为PA ⊥平面PBC ，BC ⊥平面PAB ，所以PA PB ⊥，PA BC ⊥，PB BC ⊥.又1PA PB BC === ，所以22221157243626633PA PB BC PA PB PA BC PB BC ---+⋅+⋅-⋅=- ，即43AC DE ⋅=- .19.（1）证明：将直线l 的方程转化为()2250x y a x y ++-+=，令20, 250,x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得2,1,x y =-⎧⎨=⎩，故无论a 为何值，直线l 经过定点P ，且点P 的坐标为()2,1-.（2）解：依题意可设该直线的方程为()12y k x -=+，0k >令0y =，得12,0A k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，令0x =，得()0,21B k +，则OAB △的面积()1112112224222k S OA OB k k k k+==⋅⋅+=++ ，当且仅当12k =时，等号成立，故OAB △面积的最小值为4.20.解：（1）连接BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD⊥因为F ，G 分别为AC ，1A C 的中点，所以1FG AA ∥，则FG ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA ，FB ，FG 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由60BAD ∠=︒，12AA AB ==，得()0,0,0F ，()10,1,2D -，()0,0,1G，1,,222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则()10,1,2D F =-，1,,122GE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.111122cos ,20D F GE D F GE D F GE-⋅==-，故直线1D F 与EG所成角的余弦值为20.（2）由（1）知()0,0,1FG = .设平面EFG 的法向量为()000,,m x y z =，则000010,220,x y z z ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩令01x =，得()m =.点1D 到平面EFG 的距离为132D F m m⋅=.21.解：（1）设()00,D x y ，则()001,1AD x y =-- ，()002,8DC x y =--因为BCD △的面积是ABD △面积的3倍，所以3DC AD = 则()()0000231,831,x x y y -=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得005,411,4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故直线1l 的方程为()113433534y x --=--，即7180x y -+=.（2）显然，2l 的斜率存在且不为零，设2l 的方程为()11y k x -=-，则过点B 且与2l 垂直的直线l 的方程为()133y x k-=--.设点B 关于直线l 对称的点为()111,33B x x k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'，因为直线AC 的方程为760x y --=，所以()()1111173360,1333311,22x x kx x k k ⎧-+--=⎪⎪⎨+--⎪+⎛⎫-=-⎪⎪⎝⎭⎩整理得322320k k k --=.因为0k ≠，所以22320k k --=，解得2k =或12k =-.又70AC k =>，10AB k =>，所以0k >，故直线2l 的方程为()121y x -=-，即210x y --=.22.（1）证明：如图，取AD 的中点F ，连接PF ，EF .∵底面ABCD 是正方形，PA PD =，∴AD EF ⊥，AD PF ⊥，∵EF PF F = ，EF ，PF ⊂平面PE ，∴AD ⊥平面PEF 又∵PE ⊂平面PEF ，∴AD PE⊥（2）解：如图，由（1）可知，二面角P AD B --的平面角为PFE ∠，且23PFE π∠=，过点P 作PO 垂直于直线EF ，垂足为O .以O 为原点，OE ，OP 所在的直线分别为y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得3PFO π∠=，2PF =，1OF =，PO =，则(P ，()1,1,0A ，()1,3,0B ，()1,3,0C -，()1,1,0D -，(1,1,PA = ，()0,2,0AB =，(1,DP =-，(1,3,PC =- 设平面PAB 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n PA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,20,x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩取1z =，则)n =设(),3,PG PC λλλ==- ，[]0,1λ∈，则()1,3DG DP PG λλ=+=--设直线DG 与平面PAB 所成的角为θ，则sin cos ,DG nDG n DG nθ--⋅===.令1t λ=-，则[]0,1t ∈，sin θ-==.当0t =时，sin 0θ=，0θ=；当0t≠时，sin θ==。

高二第一学期期中考试数学试题

高二数学第一学期期中试卷第1页共34页高二数学第一学期期中试卷第2页共34 页北京市育英学校高二第一学期数学期中试卷（满分100分，考试时间90分钟） 11月 8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 椭圆1162522=+y x 的焦点坐标为（） A. (3±，0) B. (4±，0) C. (0， 3±) D. (0， 4±) 命题“Q a ∈∀，a a ≥2”的否定是（） A. Q a ∉∀，a a ≥2 B. Q a ∈∃，a a <2 C. Q a ∈∃，a a ≥2 D. Q a ∉∀，a a <2 圆0204222=-+-+y x y x 截直线0125=+-c y x 所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－68 曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线)95(19522<<=-+-n n y n x 的（） A 形状相同 B. 离心率相等 C. 焦点相同 D. 焦距相等命题p ：R,x ∀∈210ax ax ++≥，若p 是假命题，则实数a 的取值范围是（） A.(0,4) B.[0,4] C.(,0)(4,)-∞+∞U D. (,0][4,)-∞+∞U高二数学第一学期期中试卷第3页共34页高二数学第一学期期中试卷第4页共34 页班级姓名密 O 封O 装 O 订O 线 O //////O // // / / O / / / / 6. 已知点M 是平面α内的动点，1F ，2F 是平面α内的两个定点，则“点M 到点1F ，2F 的距离之和为定值”是“点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆”的（） A.充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 即不充分也不必要条件 7. 设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF （） A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9 8.如图，点A ，B ，C 是椭圆M ：12222=+b y a x )0(>>b a 的三个顶点，1F ，2F 是它的左、右焦点，P 是M 上一点，且OB PF ⊥2。

湖北省荆州市部分学校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题含答案

2024年湖北部分名校高二10月联考高二数学试卷（答案在最后）考试时间：2024年10月10日下午15:00-17:00试卷满分：150分注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()1i 13iz +=+，则复数z 的虚部为（）A.1B.1- C.iD.2【答案】B 【解析】【分析】根据除法运算求得2i z =+，即可得复数z 的虚部.【详解】由题意可得：()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2z +-++====+++-，所以2i z =-的虚部为1-.故选：B.2.一组数据23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位数是（）A.14B.15C.23D.25【答案】D 【解析】【分析】根据上四分位数的概念求值即可.【详解】把数据按从小到大的顺序排列：11，14，16，17，19，23，27，31.因为3864⨯=，∴上四分位数是2327252+=.故选：D3.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深4CD =-锯道AB =则图中弧 ACB与弦AB 围成的弓形的面积为（）A.4πB.8C.4π8-D.8π8-【答案】C 【解析】【分析】根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，结合扇形的面积公式即可得解.【详解】由题意4AD BD OD OC CD OA ===-=-+，在Rt AOD 中，222AD OD OA +=，即(2284OA OA +-+=，解得4OA =，故OD =π2AOB ∠=，因此221π1444π8222AOB AOB S S S =-=⨯⨯-⨯=-弓形扇形△.故选：C.4.已知πcos 410θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.410+ B.310+ C.410- D.310-【答案】A 【解析】【分析】以π4θ+为整体，利用诱导公式结合倍角公式求sin 2,cos 2θθ，结合两角和差公式运算求解.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444，且πcos 410θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，可得πsin 410⎛⎫+==⎪⎝⎭θ，则2ππππ4sin 2sin 2cos 212cos 42445⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦θθθθ，πππππ3cos 2cos 2sin 22sin cos 424445⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+=++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦θθθθθ，所以π14sin 2sin 2232210+⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭θθθ，故选：A.5.平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，13AA =，M 为11A C ，11B D 的交点，则线段BM 的长为（）A.3B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算可得11122BM AA AD AB =+-，进而结合数量积运算求模长.【详解】由题意可知：()11111111111112222BM BB B D BB A D A B AA AD =+=+-=+-uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu u r uuu r uuu r uu u r，则2222211111111122442BM AA AD AB AA AD AB AA AD AA AD AB AD⎛⎫=+-=+++⋅-⋅-⋅ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r11911323201122=+++⨯⨯-⨯⨯-=，所以BM =uuu r故选：C.6.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为{1,2,3,4,5,6,7,8}Ω=，记事件A =“得到的点数为奇数”，记事件B =“得到的点数不大于4”，记事件C =“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）A.事件B 与C 互斥B.()58P A B ⋃=C.()()()()P ABC P A P B P C =D.,,A B C 两两相互独立【答案】C 【解析】【分析】对于A ：根据互斥事件的概念分析判断；对于BC ：先求A B ，ABC ，结合古典概型分析判断；对于D ：根据独立事件改了乘法公式可知事件A 与C 不相互独立.【详解】由题意得，事件A 的样本点为{}1,3,5,7，事件B 的样本点为{}1,2,3,4，事件C 的样本点为{}2,3,5,7，对于选项A ：事件B 与C 共有样本点2，3，所以不互斥，故A 错误；对于选项B ：A B 事件样本点n S ，所以()6384P A B ⋃==，故B 错误；对于选项D ：因为()4182P A ==，()12P C =，且AC 事件样本点{}3,5,7，则()38P AC =，可得()()()P AC P A P C ≠，所以事件A 与C 不相互独立，故D 错误；对于选项C ：因为ABC 事件样本点{}3，可得()18P ABC =，所以()()()()P ABC P A P B P C =，故C 正确.故选：C.7.若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的正弦值为2，则此圆台与其内切球的表面积之比为（）A.43B.2C.136D.73【答案】C 【解析】【分析】根据圆台的内切球的性质以及线面夹角可得213r r =，且14BC r =，以及内切球O的半径r =，再结合圆台和球的面积公式运算求解.【详解】设上底面半径为1r ，下底面半径为2r ，如图，取圆台的轴截面，作CM AB ⊥，垂足为M，设内切球O 与梯形两腰分别切于点,E F ，可知12=+BC r r ，21BM r r =-，由题意可知：母线与底面所成角为π3B ∠=，则211212r r BM BC r r -==+，可得213r r =，即14BC r =，12BM r =，可得1CM =，可知内切球O的半径1r =，可得()222111111π9ππ3426πS r r r r r r =+++⨯=圆台，)22114π12πS r =⨯=球，所以212126π1312π6S r S r ==台球.故选：C.8.在ABC V 中，2BC =，π3BAC ∠=，O 是ABC V 的外心，则OA BC BA CA ⋅+⋅ 的最大值为（）A.2B.103C.113D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意结合向量运算可得22OA BC BA CA c ⋅+⋅=-+uu r uu u r uu r uu r，利用正弦定理求边c 的最大值即可.【详解】设角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为O 是ABC V 的外心，记BC 中点为D ，则有OD BC ⊥，即0OD BC ⋅=，可得()OA BC BA CA OD DB BA BC BA CA⋅+⋅=++⋅+⋅uu r uu u r uu r uu r uuu r uu u r uu r uu u r uu r uu rDB BC BA BC BA CA=⋅+⋅+⋅uu u r uu u r uu r uu u r uu r uu r 222122BC BA c =-+=-+，在ABC V中，由正弦定理可得：sin sin 2c a C BAC ===∠则c C =≤sin 1C =，即π2C =时，等号成立，所以OA BC BA CA ⋅+⋅的最大值为21023-+=.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.“1a =-”是“直线210a x y -+=与直20x ay --=互相垂直”的充要条件B.“2a =-”是“直线220ax y a ++=与直线()110x a y +++=互相平行”的充要条件C.直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D.若点()1,0A ，()0,2B ，直线l 过点()2,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是112k -≤≤【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B ：由题意可得[]tan sin 1,1k θα==-∈-，进而可得倾斜角的范围；对于C ：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D ：根据图形结合斜率公式分析求解.【详解】对于选项A ：当1a =-时，直线10x y -+=与直线20x y +-=斜率分别为1，1-，斜率之积为1-，故两直线相互垂直，即充分性成立；若“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”，则20a a +=，故0a =或1a =-，所以得不到1a =-，即必要性不成立，故A 错误；对于选项B ：由直线平行得()212a a a a ⎧+=⎨≠⎩，解得2a =-，所以“2a =-”是“直线220ax y a ++=与直线()110x a y +++=互相平行”的充要条件，故B 正确；对于选项C ：直线的倾斜角为θ，则[]tan sin 1,1k θα==-∈-，因为0πθ≤<，所以π3π0,,π44θ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故C 正确；对于选项D ：如图所示：可得12PB k =-，1PA k =，结合图象知112k -≤≤，故D 正确；故选：BCD.10.已知函数()cos f x x =，()sin g x x =，下列说法正确的是（）A.函数()()()m x f x g x =⋅在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.函数()()()m x f x g x =⋅的最小正周期为2πC.函数()()()n x f x g x =+的值域为⎡-⎣D.函数()()()n x f x g x =+的一条对称轴为π4x =【答案】BC 【解析】【分析】根据三角恒等变换、三角函数的单调性、周期性、值域、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()sin g x x =，()1sin cos sin 22m x x x x ==，此时()2π,2πx ∈，而sin y x =在()π,2π上不单调，故A 错误；B 选项，函数()()()()2πcos 2πsin 2πcos sin m x x x x x m x +=+⋅+==，而()sin cos ,2π2ππsin cos ,2ππ2π2πx x k x k m x x x k x k ≤≤+⎧=⎨-+<<+⎩1sin 2,2π2ππ,Z 21sin 2,2ππ2π2π,Z 2x k x k k x k x k k ⎧≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪-+<<+∈⎪⎩，所以()m x 的最小正周期为2π，故B 正确；C 选项，当[]()2π,2ππZ x k k k ∈+∈时，()ππ5π2π+,2πZ 444x k k k ⎡⎤+∈+∈⎢⎥⎣⎦，πsin 42x ⎛⎫ ⎪⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎝⎦⎭，所以()πcos sin 1,4⎛⎫⎡=+=+∈- ⎪⎣⎝⎭n x x x x ，当()()2ππ,2π2πZ x k k k ∈++∈时，()π5π9π2π,2πZ 444x k k k ⎛⎫+∈++∈ ⎪⎝⎭，πcos ,142x ⎛⎤⎛⎫+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以()(πcos sin 1,4⎛⎫=-=+∈- ⎪⎝⎭n x x x x ，综上，函数()()()n x f x g x =+的值域为⎡-⎣，故C 正确；D 选项，因为1π3ππ2444⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，πππcos sin 444⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n ，3π3π3πcos sin 0444n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以π4x =不是()n x 的一条对称轴.故选：BC11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AB 、BC 、11B C 的中点，则下列结论正确的有（）A.三棱锥E FGH -的外接球的表面积为πB.过点E ，F ，H 作正方体的截面，则截面面积为334C.若P 为线段11B D 上一动点(包括端点)，则直线1PA 与平面1A BD 所成角的正弦值的范围为,33⎣⎦D.若Q 为线段CD 上一动点(包括端点)，过点1A ，G ，Q 的平面分别交1BB ，1DD 于M ，N ，则BM DN +的范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：由条件确定三棱锥的外接球的球心位置，求出球的半径，由此可得结论；对于B ：分析可知截面为EFKHLJ ，其截面正六边形，即可得面积；对于C ：根据体积关系求得点P 到平面1A BD 的距离h ，可得1sin hPA =θ，进而分析范围；对于D ：根据平面性质作截面，设CQ CD λλ==，结合平面几何性质分析求解即可.【详解】对于选项A ：由题意可得：,12EF FG EG GH ====，且GH ⊥平面ABCD ，则222EF FG EG +=，即π2EFG ∠=，可知三角形EFG 外接圆的半径为1122r EG ==，所以三棱锥E FGH -的外接球的球心为EH 的中点，可得三棱锥E FGH -的外接球的半径为2R ==，所以其表面积为24π2πR =，故A 错误；对于选项B ：取1111,,BB C D DD 的中点分别为,,K L J ，可知过点E ，F ，H 作正方体的截面为EFKHLJ ，其截面正六边形，边长为2所以其面积为122336sin 602224S =⨯⨯⨯︒=，故B 正确；对于选项C ：设点P 到平面1A BD 的距离为h ，由正方体的性质可得：//BD 11B D ，11B D 不在平面1A BD 内，BD ⊂平面1A BD ，则11//B D 平面1A BD ，当点P 在线段11B D 上运动时，则点P 到平面1A BD 的距离即为点1D 到平面1A BD 的距离，由11D A BD -的体积可得111111132322h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h ，设直线1PA 与平面1A BD 所成角θ，则11sin h PA =θ，若P 为11B D 的中点时，111PA B D ⊥，()111min122PA B D ==；当点P 为线段11B D 的端点时，()1max 1PA =；即112PA ≤≤，所以1sin ,33h PA θ=∈⎣⎦，故C 正确；对于选项D ：设,QG AB S QG AD T ==I I ，可知平面1A GQ 即为平面1A ST ，则1111,A S BB M AT DD N ==I I，可得1122BG CG BC ===，设CQ CD λλ==，当01λ<<时，由相似三角形知识可得：11BM λλ=+，11211112DN λλλλλλ--==-++，即1BM λλ=+，11DN λλ-=+，且当0λ=或1λ=时，也符合1BM λλ=+，11DN λλ-=+；则11111BM DN λλλλλ-+=+=+++，且01λ≤≤，可得11,112BM DN λ⎡⎤+=∈⎢⎥+⎣⎦，所以BMDN +的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：1、对于三棱锥体积的求解可采用等体积法求解，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.2、对于线面角的计算问题可以通过根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；3、对于球的组合体问题：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()2,1A ，()4,3B 两点到直线10x ay -+=的距离相等，则a =__________．【答案】1或2【解析】【分析】根据题意利用点到直线的距离公式列式求解即可.=353a a -=-，可得353a a -=-或353a a -=-，解得1a =或2a =.故答案为：1或2.13.在空间直角坐标系中已知()1,2,1A ，()1,0,2B ，()1,1,4C -，CD 为三角形ABC 边AB 上的高，则CD =__________．【答案】3【解析】【分析】应用空间向量法求点到直线距离.【详解】()2,1,3AC =-- ，()0,2,1AB =-，则AC =AC AB AD AB⋅=== ，所以3CD ===，故答案为：314.对任意两个非零的平面向量a 和b，定义：22a b a b a b⋅⊕=+，2a b a b b⋅=，若平面向量a ，b满足0a b >> ，且a b ⊕ 和a b 都在集合|,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭Z 中，则a b ⊕= __________，cos ,a b =__________．【答案】①.14##0.25②.8或3【解析】【分析】设a 与b 的夹角为θ，分析可得cos 2a b θ⊕< ，进而可得14a b ⊕= ，且1cos θ2>，分析可得1cos 2a b >>θr r e ，即可得34a b = 或1，结合向量夹角公式运算求解.【详解】设a 与b的夹角为θ，因为a b ⊕ 和a b 都在集合|,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭Z 中，所以其取值可能为113,,,1424⎧⎫⎨⎬⎩⎭，因为0a b >> ，则222a b a b +> ，可得22cos cos 22a b a ba b a b a bθθ⋅⊕=<=+，因为cos 1θ≤，即cos 122θ≤，可得12a b ⊕< ，所以14a b ⊕= ；又因为cos 2a b θ⊕< ，即cos 124θ>，解得1cos θ2>，因为0a b >>，可得22cos cos 1cos 2a b a a b a b b b b θθθ⋅===>>，即34a b = 或1，当14a b ⊕= 且34a b = 时，即2214a b a b ⋅=+r r r r 且234a b b⋅=r rr ，可得23,4a b b a ⋅==r r r r，所以2234cos ,8a b b a b b a ⋅===⋅r r r r r r r r ；当14a b ⊕= 且1a b =时，即2214a b a b ⋅=+r r r r 且21a b b⋅=r rr ，可得2,a b b a ⋅==r r r r r，所以22cos ,3b a b a a b b ⋅===⋅r rr r r r r r ；综上所述：32cos ,8a b =或33.故答案：14；8或3.四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3sin cos 3a C Cb =+.（1）求角B ；（2）若D 是ABC V 边AC 上的一点，且满足BA BD BD BCBA BC⋅⋅=，9425a c +=，求BD 的最大值．【答案】（1）π3B =（2【解析】【分析】（1）根据题意可得3sin cos 3a b C b C =+，利用正弦定理结合三角恒等变换可得tan B =，即可得结果；（2）根据题意结合向量夹角公式可得π6ABD CBD ∠==，利用面积关系可得311BD a c=+，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为3cos 3a C C b =+，即3sin cos 3a b C b C =+，由正弦定理可得sin sin sin cos 3A B C B C =+，且()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，即sin cos cos sin sin sin sin cos 3B C B C B C B C +=+，可得cos sin sin sin 3B C B C =，且()0,πC ∈，则sin 0C ≠，可得tan B =，又因为0πB <<，所以π3B =.【小问2详解】因为BA BD BD BCBA BC ⋅⋅=，即BA BD BD BC BA BD BC BD⋅⋅= ，可得cos cos ABD CBD ∠=∠，即ABD CBD ∠=∠，可知BD 平分ABC ∠，则π6ABD CBD ∠==，因为ABC ABD BCD S S S =+△△△，即131111222222ac BD a BD c ⨯=⨯⨯+⨯⨯，整理可得311BD a c=+，又因为9425a c +=，则()11114919413131252525c a a c BD a c a c ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当49c aa c=，即53a =，52c =时取等号，可得BD ≤，所以BD 16.已知ABC V 的顶点()1,1A ，边AC 上的高BH 所在直线的方程为80-+=x y ，边AB 上的中线CM 所在直线的方程为53100x y --=．（1）求直线AC 的方程；（2）求ABC V 的面积．【答案】（1）20x y +-=（2）24【解析】【分析】（1）根据两直线垂直，求直线方程.（2）先确定B 、C 点的坐标，可求线段AC 的长度，利用点到直线的距离求点B 到直线AC 的距离，即三角形的高，就可以求出三角形的面积.【小问1详解】由于边AC 上的高BH 所在直线方程为80-+=x y ，所以设直线AC 的方程为0x y c ++=，由于点()1,1A 在直线AC 上，即110c ++=，解得2c =-，所以直线AC 的方程为20x y +-=.【小问2详解】由于点C 既满足直线53100x y --=的方程，又满足20x y +-=的方程，所以5310020x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得2x y =⎧⎨=⎩，故()2,0C ，所以AC ==设(),B a b ，由于点B 满足直线80-+=x y ，故80a b -+=，设AB 的中点坐标为11,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭，满足53100x y --=，所以115310022a b ++⨯-⨯-=，整理得53180a b --=，所以8053180a b a b -+=⎧⎨--=⎩，解得2129a b =⎧⎨=⎩，所以()21,29B ，则点()21,29B 到直线20x y +-=的距离d ==，故112422ABC S AC d =⨯⨯==△.17.某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x 作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？（2）从样本数据在8090x ≤<，90100x ≤<两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率．（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：12310,,,,x x x x ，已知这10个分数的平均数90x =，标准差5s =，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．【答案】（1）73分合理（2）815（3）22.25【解析】【分析】（1）由题意知可得，20.160.8a =计算可求得a ；根据小长方形的面积和为1求得b ，利用频率分布直方图计算第60百分位数即可；（2）利用分层抽样可得两层应分别抽取4人和2人，分别记为a ，b ，c ，d 和A ，B ，列出所有基本事件，根据古典概型计算即可得出结果；（3）根据平均数和方差的计算公式求解即可.【小问1详解】由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，20.160.8a =，解得0.032a =，又()0.0080.0160.0320.04101b ++++⨯=，解得0.004b =，所以0.032a =，0.004b =，成绩落在[)50,70内的频率为：0.160.320.48+=，落在[)50,80内的频率为：0.160.320.400.88++=，设第60百分位数为m ，则()700.040.60.48m -=-，解得73m =，所以晋级分数线划为73分合理；【小问2详解】由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为a ，b ，c ，d 和A ，B ，则所有的抽样有：()Ω,,,,,,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd =，共15个样本点，A =“抽到的两位同学来自不同小组”，则{},,,,,,,A Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd =共8个样本点，所以()815P A =.【小问3详解】因为90x =，所以12101090900x x x +++=⨯= ，所以()2222221210190510s x x x =+++-= ，所以222121081250x x x +++= ，剔除其中的96和84两个分数，设剩余8个数为1x ，2x ，3x ，…，8x ，平均数与标准差分别为0x ，0s ，则剩余8个分数的平均数：1238090096849088x x x x x ++++--=== ，方差：()()22222222012811908125096849022.2588s x x x =+++-=---= 18.在ABC V 中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，满足DE BC ∥，且DE 经过ABC V 的重心．将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，存在动点M 使()110A M A D λλ=>如图所示．（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）当12λ=时，求二面角C MB E --的正弦值；（3）设直线BM 与平面1A BE 所成线面角为θ，求sin θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）20（3）148【解析】【分析】（1）先证DE ⊥平面1A CD ，可得1DE A C ⊥，进而可得1A C ⊥平面BCDE ；（2）建系标点，分别求平面BMC 、平面BME 的法向量，利用空间向量求二面角；（3）根据题意可得()2,3,BM λ=-和平面1A BE 的法向量，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】因为90C ∠=︒，则AC BC ⊥，且DE BC ∥，可得AC DE ⊥，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，始终有1DE A D ⊥，DECD ⊥，因为1A D CD D = ，1A D ，CD ⊂平面1A CD ，所以DE ⊥平面1ACD ，由1A C ⊂平面1A CD ，可得1DE A C ⊥，且1A C CD ⊥，CD DE D = ，CD ，DE ⊂平面BCDE ，所以1A C ⊥平面BCDE .【小问2详解】由（1）可知，1AC ，CD ，CB 两两垂直，翻折前，因为DE 经过ABC V 的重心，且DE BC ∥，所以2AD CD =，所以2CD =，4=AD ，223DE BC ==，翻折后14A D =，由勾股定理得1AC ===以C 为原点，直线CD ，CB ，1CA 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C，(10,0,A ，()2,0,0D，(M ，()0,3,0B ，()2,2,0E ，可得(CM =，(1,3,MB =- ，()2,1,0BE =-，设平面BMC 的法向量 =1,1,1，则11111030m CM x m MB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令11z =，则110x y==，可得()m =，设平面BME 的法向量 =2,2,2，则222223020n MB x y n BE x y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令21x =，则222,y z ==，可得1,n ⎛= ⎝，可得10cos ,20m nm n m n⋅====⋅，且[],0,πm n ∈，则sin ,20m n ===，所以二面角C MB E --的正弦值为39020.【小问3详解】由（2）可知(10,3,BA =- ，()2,1,0BE =-，(12,0,A D =- 设平面1A BE 的法向量()333,,p x y z =，则133333020p BA y p BE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令31x =，则331,y z ==，可得(1,p =，且((()110,3,2,0,2,3,BM BA A D λλλ=+=-+-=-，因为直线BM 与平面1A BE 线面角为θ，则sin cos ,p BM p BM p BM θ⋅==⋅8=当且仅当74λ=时，等号成立，所以sin θ的最大值为148.19.对于一组向量123,,,n a a a a （*n ∈N 且3n ≥），令123n n S a a a a =++++ ，如果存在{}()1,2,3,,m a m n ∈ ，使得m n m a S a ≥- ，那么称m a，是该向量组的“H 向量”．（1）设()()*,n a x n n n =+∈N ，若3a 是向量组1a ，2a ，3a 的“H 向量”，求实数x 的取值范围；（2）若()*ππcos ,sin 22n n n a n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，向量组1a ，2a ，3a ，，11a 是否存在“H 向量”？若存在求出所有的“H 向量”，若不存在说明理由；（3）已知1a ，2a ，3a 均是向量组1a ，2a ，3a 的“H 向量”，其中1x a ⎫=⎪⎭，2x a -⎫=⎪⎭，求证：222123a a a ++ 可以写成一个关于e x 的二次多项式与一个关于e x -的二次多项式的乘积．【答案】（1）[]2,0-（2）存在“H 向量”，分别为2a ，6a ，10a （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分析可得312a a a ≥+ ，结合模长公式列式求解即可；（2）根据题意可得1n a = ，4n n a a +=uuu r u u r ，结合111m s a -= 可得π1cos 22m ≤-，即可分析证明；（3）根据题意分析可得1230a a a ++=，3x x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合模长公式分析证明即可.【小问1详解】由题意可得：33312a S a a a ≥-=+ ，因为(),n a x n n =+ ，则()()()121,2,223,3a a x x x x +=+++=+ ，()33,3a x =+ ，则22312a a a ≥+ ，即()()2239239x x ++≥++，整理得()360x x +≤，解得20x -≤≤，所以实数x 的取值范围为[]2,0-.【小问2详解】存在，理由如下：假设存在“H 向量”m a ，因为ππcos ,sin 122n n n a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且444ππcos π,sin πcos ,sin 2222n n n n n n a a +++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则由题意，只需要使得111m S a -= ，又因为()()()()()12340,11,00,11,00,0a a a a +++=+-+-+= ，则()11123111231,0S a a a a a a a =++++=++=- ，可得11ππ1cos ,sin 22m m m S a ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，由ππ1cos ,sin 122m m ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭1≤，整理得π22cos 12m +≤，解得π1cos 22m ≤-，又因为{}*|11m x m ∈∈≤N ，即2m =，6，10满足上式，所以存在“H 向量”，分别为2a ，6a ，10 a 满足题意；【小问3详解】由题意得：123a a a ≥+ ，22123a a a ≥+ ，即()22123a a a ≥+ ，222123232a a a a a ≥++⋅ ，同理222213132a a a a a ≥++⋅ ，222312122a a a a a ≥++⋅ ，三式相加并化简得：2221231213230222a a a a a a a a a ≥+++⋅+⋅+⋅，即()21230a a a ++≤ ，1230a a a ++≤ ，所以1230a a a ++= ，由1230a a a ++=，可得3x x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()()222222222123e e e e e e 1e e 2222222x x x x x x x x a a a ----+++=++=++++ ()()()222e e 1e e 1e e 1e e 1x x x x x x x x ----=++=+-=+++-()()2211e 1e 1e e 1e e 1e e x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫=+++-=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以222123a a a ++ 可以写成一个关于e x 的二次多项式与一个关于e x -的二次多项式的乘积.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

高二期末试题

高二数学模块测试 2012.6本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1.复数22iz i-=+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（） A ．2B ．12C ．12- D ．2-3．64(1(1的展开式中x 的系数是（）A ．4-B ．3-C ．3D ．44. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线⊄b 平面α，直线⊂a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 5．112e x dx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值是（） A ．2e B ．21e - C ．22e - D ．23e -6. 设随机变量X ~N （0，1），已知( 1.96)0.025P X <-=，则( 1.96)P X <= （） A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.9757.在直角坐标系中，)3,2(-A ，)2,3(-B 沿x 轴把直角坐标系折成0120的二面角，则此时线段AB 的长度为（）A ．52B ．112C ． 25D ．24 8.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元9．某校准备组建一个8人的篮球队，这8人由5个班的同学组成，每个班至少一人，名额分配方案有（）种A. 120B. 56 C ．35 D ．2010．如图, 111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==, 从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A ．1314B ．47C ．114 D ．37 11．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为12318 ，，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（） A ．151B ．168C ．1306D ．140812．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）2222112343345675456789107=++=++++=++++++= 13.观察下式：，，，，，则可得到一般结论____________________________________________；14. 在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球．如果不放回地依次取两个球，则在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率是______________．15根据表中数据判断屠宰场与零售点猪肉带菌率有差异，那么这种判断出错的可能性为_______________.16. 点P 在曲线323yx x =-+上移动，则在P 点处的切线的倾斜角取值范围为_____________________.x xA ．B ．C ．D ．三、解答题（本大题共6小题，共74分）17. （本小题12分）在二项式n 1)的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列（Ⅰ）求展开式的常数项；（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项；（Ⅲ）求展开式中各项的系数和.18. （本小题12分）甲乙两人进行射击比赛，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为32：（Ⅰ）一次射击中甲乙二人至少一人击中目标的概率；（Ⅱ）三次射击中乙恰好比甲多击中两次的概率。

高二数学试卷附答案解析

高二数学试卷附答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.函数的定义域为（）A ．B ．C ．D ．2.已知等差数列的前n 项和为，且满足，则数列的公差（）A ．B ．C ．D ．3.“”是“ 函数在区间上单调递减”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.下图中程序的运行结果是（）A ．1B ． 3C ．2D ．45.定积分等于（）ＡＢＣＤ6.将直线沿轴的负方向平移个单位，再沿轴正方向平移个单位得直线，此时直线与重合，则直线的斜率为（）A ．B ．C ．D ．7.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A ．B ．C ．D ．8.函数的最大值为（） A ．B ．C ．D ．9.经过椭圆右焦点作与轴垂直的直线，直线与椭圆交于两点，若与左焦点构成等边三角形，则椭圆离心率是（） A ． B ．C ．D ．10.在等比数列{a n }中，若a 4，a 8是方程x 2－4x ＋3＝0的两根，则a 6的值是( )A ．－B ．C ．±D ．±311.已知，且，则的值为（）A ．B ．C ．D ．12.已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，是的中点，若，则的长等于（）A ．B ．C ．D ．13.在中,、、分别是角、、的对边，若,则（） A ． B ．C ．D ．14.下列给出的赋值语句中正确的是（）A ．B ．C ．D ．15.下列函数中，图象关于y 轴对称，且在上单调递增的函数是（）A ．B ．C ．D．16.3．已知函数，则（）A．－4 B．－ C． D．417.定义在R上的函数，若对任意，都有，则称为“H函数”，给出下列函数：①；②；③；④.其中是“H函数”的个数为（）A． B． C． D．18.已知实数满足那么A．B．C．D．19.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（）A．0.99 B．0.98 C．0.97 D．0.9620.已知点和点在直线的两侧,则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题21.命题“存在一个四边形没有外接圆”是命题（填“全称”“特称”）22.设若则_______．23.函数f(x)＝e x(sinx＋cosx)在x∈上的值域为 _____________24.某班有男生25名，女生15名，采用分层抽样的方法从这40名学生中抽取一个容量为8的样本，则应抽取的女生人数为名．25.己知圆，及，：①是轴上动点，当最大时，点坐标为②过任作一条直线，与圆交于,则③过任作一条直线，与圆交于，则成立④任作一条直线与圆交于，则仍有上述说法正确的是．26.椭圆上的点到直线的最大距离是．27. 已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是________ 28.命题P ：“内接于圆的四边形对角互补”，则P 的否命题是，非P 是29.在△中，如果，，，那么△的面积等于．30.已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a 与b 的夹角为________．三、解答题31.若是不全相等的正数，求证：．32.(本小题满分l0分)计算下列定积分（1）（2）33.已知抛物线，圆，过点作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线和圆相切，A ，B 为切点（A 为抛物线切点，B 为圆的切点）.（1）求点A ，B 坐标；（2）求面积.34.（本小题满分13分）设命题:对任意实数，不等式恒成立；命题:方程表示焦点在轴上的双曲线.(I)若命题为真命题，求实数的取值范围； (II)若命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围.35.．（本小题12分）如图（答题纸），倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，Q 为A 、B 中点，（1）求抛物线的焦点坐标及准线l 方程；（2）若，作线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，证明：|AB|＝2|PF|。

山东烟台市2023-2024学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学试题及答案

2023—2024学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出答题区书写的答案无效：在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.从6名大学毕业生中任选3名去某中学支教，不同选派方法的总数为（）A.12B.18C.20D.1202.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.36B.45C.72D.903.已知曲线在点处的切线与轴相交于点，则实数（）A.-2B.-1C.1D.24.已知等比数列的前项和，则（）A.-1B.1C.-2D.25.中心极限定理在概率论中应用广泛.根据该定理，若随机变量，当充分大时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的均值､方差分别与随机变量的均值､方差近似相等.某射手对目标进行400次射击，且每次射击命中目标的概率为，则估计射击命中次数小于336的概率为（附：）若，则，.B.0.9773C.0.8414D.0.5在上单调递增，则实数的取值范围为（A.0.99876.已知函数A ）.B.C.D.7.某产品只有一等品､二等品，现随机装箱销售，每箱15件.假定任意一箱含二等品件数为的概率分别为.一顾客欲购一箱该产品，开箱随机查看其中1件，若该件产品为一等品，则买下这箱产品，否则退回，则该顾客买下这箱产品的概率为（）A. B. C. D.8.已知，且，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则（）A.时，弹簧振子的位移为B.时，弹簧振子的瞬时速度为C.时，弹簧振子的瞬时加速度为D.时，弹簧振子的瞬时速度为10.已知某两个变量具有线性相关关系，由样本数据确定的样本经验回归方程为，且.若剔除一个明显偏离直线的异常点后，利用剩余9组数据得到修正后的经验回归方程为，由修正后的方程可推断出（）A.变量的样本相关系数为正数B.经验回归直线恒过C.每增加1个单位，平均减少1.6个单位D.样本数据对应的残差的绝对值为0.211.设数列满足下列条件：，且当时，.记项数为的数列的个数为，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.展开式中含项的系数为__________.13.若曲线与总存在关于原点対称的点，则的取值范围为__________.14.南京大学2023年的本科生录取通知书用科赫曲线的数学规律鼓励新生成为独一无二的自己，还附赠“科赫雪花”微章，意在有限的生命中，创造无限可能.科赫曲线的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.下图展示的分别是1阶､2阶､3阶､4阶科赫曲线，设1阶科赫曲线的周长为，则阶科赫曲线的周长为__________；若阶科赫曲线围成的平面图形的面积为，且满足，则的最小值为__________.（本小题第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）某高中在高二年级举办创新作文比赛活动，满分100分，得分80及以上者获奖.为了解学生获奖情况与选修阅读课程之间的关系，在参赛选手中随机选取了50名学生作为样本，各分数段学生人数及其选修阅读课程情况统计如下：成绩学生人数6102473选修读课程人数03953（1）根据以上统计数据完成下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为学生获奖与选修阅读课程有关联；获奖没有获奖合计选修阅读课程不选阅读课程合计（2）在上述样本的获奖学生中随机抽取3名学生，设3人中选修阅读课程人数为，求的分布列及数学期望.参考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.82816.（15分）已知函数.（1）当时，求过点且与图象相切的直线的方程；（2）讨论函数的单调性.17.（1.5分）已知数列是等差数列，且，数列满足，，且.（1）求数列的通项公式；（2）将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，证明：.18.（17分）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球､3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出.（1）求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率；（2）记抽取3次取出白球的数量为，求随机变量的分布列；（3）记恰好在第次取出第二个白球的概率为，求.19.（17分）已知函数存在两个不同的极值点.（1）求的取值范围；（2）设函数的极值点之和为，零点之和为，求证：.2023～2024学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学参考答案及评分标准一、选择题 C C A D 二、 B D C A 选择题10.BCD 9.ABD 11.AC 三、填空题12.−80 113.(,]e −∞414.()n −1L 3L 2四、解答题15.解：（1）根据已知条件，可得：······················································3分零假设为H 0：创新作文比赛获奖与选修阅读课程无关联，根据列联表中数据计算得到，2 50(828212)25χ2=××−× ≈> =8.3337.879.×××203010403·······························6分根据小概率值α=0.005的独立性检验，推断H 0不成立，即认为创新作文比赛获奖与选修阅读课程有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.····························7分（2）由题意可知X 的可能取值为1,2,3,则···································8分1231C C 82C 10 2137C C 82P X (1)===15，P X (2)===15C 10，C 8373P X (3)===15C 10，········································11分所以,随机变量X 的分布列为: 17712所以E X ()123=×+×+×=1515155. ··························13分2()(21)e 2′16.解：（1）当a =−2时，f x x x =−+x，所以f x x ()(1)e x . ·········1=−分x y 002设切点为(,)，则y x x =−+(21)e x0000 2，k x =−(1)e x00，获奖没有获奖合计选修阅读课程81220不选阅读课程22830合计1040500 22000(21)e(1)e ()x x所以，切线方程为y x x x x x 0. ························3−−+=−−分2将(1,0)代入得(1)0，解得x 0=0或x 0=1. ·····························5x x 00−=分故过(1,)的切线方程为y =0或x y +−=10.················································70分′2()(2)e (1)e (1)(1)e （2）f x x a x ax x a x x x x . ·····················8=++++=+++分 ′=+2′当a =0时，f x x ()(1)e x ，恒有f x ()0，函数f x ()单调递增.·········10≥分a ′当a >0时，−−<−11，当x a ∈−∞−−(,1)，或x ∈−+∞(1,)时，f x ()0，>函′数f x ()单调递增，当x a ∈−−−(1,1)时，f x ()0，函数f x ()单调递减.····12<分a(1,)′当a <0时，−−>−11，当x ∈−∞−(,1)，或x a ∈−−+∞时，f x ()0，>函数′f x ()单调递增，当x a ∈−−−(1,1)时，f x ()0，函数f x ()单调递减.·······14<分a 综上，当a =0时，f x ()在R 上单调递增，当a >0时，f x ()在(,1)，−∞−−(1,)−+∞a −−−上单调递增，在(1,1)上单调递减，当a <0时，f x ()在(,1)，−∞−(1,) a−−+∞ a 上单调递增，在(1,1)上单调递减−−−.······························15分17.解：（1）由题意可知，b b a ，即b 2−=−11，故b 2=0. ························1212−=分由b b a ，可得a 3=1. ······················································2323−=分a n 所以数列{}的公差d =2，所以a n n 12(2)25. ······················3n =−+−=−分−n n n 1−=n n n 121−=由b b a ，b b a −−−，，b b a 212−=，(1)(125)n n 2n n −−+−叠加可得b b a a a −=+++=123 ，2整理可得b n n n =−+≥44(2)；当n =1时，满足上式n ，2所以b n n =−+44················································································5n 分N m n ∗m n −=− 2(2)5n 2−+（2）不妨设a b m n =∈(,)，即25(2)2，可得m =，········6分=2 2924当n k 时，m k k 2=−+，不合题意，2当n k =−21时，m k k k k =−+=−+∈N ∗，································72672(3)7分所以b 21在数列{}中均存在公共项a k −n ，135721又因为b b b b =<<< ，所以c n =b n =−(21)2.·································9n +分 514（3）当n =1时，T 1=<············································10，结论成立，分 2111111(21)(22)241n =<=−当n ≥2时，c n n n n n()，·····················12−−×−分1111111(1所以T n <+−+−++−n n 43351)− 114n 515444=+−1(1)n =−<，5.综上，T n <4··················································15分18.解：（1）记事件A =“第2次取出的小球为黑球”；事件B =“第1次取出的小球为白球”， 333311则P A ()=×+×=666520，············································2分333=× ()6 P ABP AB ()=6510，所以P B A (|)P A ()11==；··································4分（2）由题意，X 的可能取值为0,1,2,3，则··············································5分 3331P X (0)==××=6668， 33333333391P X (1)++==××××××=655665666200,32333233237P X (2)++==××××××=654655665100,3211P X (3)==××=65420，10分（3）由题意可知，前n −1次取了一个白球，第n 次取了第二个白球，则：23233333332[()()()] 65665665n n n−−−P n =×+××++×× ···························12分 233232333333=[()()()()]××+×+×+65565656−−−−n n n n = 22213555()[1()()]55666×+++−−n n 51()136555 n −52131()n −2−−−n n 11n n ≥∈N 1−6*=×=×−2[()()](2,).····················16分31n n 11n n ≥∈N 52−−*所以P n =×−2[()()](2,).··································17分19.解：（1）函数f x ()定义域为(0,)+∞，11x x x+′()ln (1)1(ln )1f x a x a x a x =++⋅+=++，····································1分显然0a ≠，令()0f x ′=，可得11ln x x x a++=−，令1()ln x t x x x +=+，由()f x 有两个不同极值点得1()t x a =−有两个不同的正根. ·· 3分因为22111()x t x xx x−′=−=. 当(0,1)x ∈时，()0t x ′<，()t x 单减，(1,)x ∈+∞时，()0t x ′>，()t x 单增.················································································ 5分所以()t x 的极小值即最小值(1)2t =，又当0x →时，()t x →+∞，且x →+∞时，()t x →+∞，所以12a−>，即102a −<<. ··········································· 6分（2）设12,x x 为函数()f x 的极值点，由（1），不妨设121x x <<，下证122x x +>.要证：2121x x >−>，只要证21()(2)t x t x >−.令()()(2)(01)g x t x t x x =−−<<. ···························· 8分因为22222114(1)()()(2)0(2)(2)x x x g x t x t x x x x x −−−−′′′=+−=+=<−−. ··········· 10分所以()g x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0g x g >=，故21()(2)t x t x >−，即122x x +>. ························· 11分由（1）可知，在1(0,)x 上，1()(())0f x a t x a′=+<，()f x 单调递减，在12(,)x x 上，()0f x ′>，()f x 单调递增，在2(,)x +∞上，()0f x ′<，()f x 单调递减，又因为(1)0f =，所以1()(1)0f x f <=，因为102a −<<，所以12a <−，所以12e e 1a −<<，而11111(e )(e 1)ln e e 12e 0a a a a af a =++−=>，所以()f x 在11(e ,)ax 上存在点3x ，使得3()0f x =， ····························· 13分同理2()(1)0f x f >=，又12a−>，12e e 1a −>>， 1111(e )(e1)ln ee120aaaaf a −−−−=++−=−<，所以()f x 在12(,e )ax −上存在点4x ，使得4()0f x =， ····························· 14分故()f x 存在3个零点34,1,x x ，注意到111111()(1)ln 1((1)ln 1)()f a a x x x f x x x x x x x =++−=−++−=−， · 15分所以341x x =，所以343312x x x x +=+>. ··································· 16分所以123415x x x x ++++>，即5m n +>. ···································· 17分。

河北省石家庄市普通高中2024_2025学年高二数学10月月考试题

河北省石家庄市一般中学2024-2025学年高二数学10月月考试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.要完成下列2项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担状况. 应采纳的抽样方法是A.①用随机抽样法 ②用系统抽样法B.①用分层抽样法 ②用随机抽样法C.①用系统抽样法 ②用分层抽样法D.①、②都用分层抽样法2.我校15届高二出名840学生, 现采纳系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1,2,,840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[]481,720的人数为（）..A 11 .B 12 .C 13 .D 143.有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，其频率分布直方图如图所示.依据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为（）A. 48B. 60C. 64D.724.对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以推断( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 5.某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：零件数x （个） 10 20 30 加工时间y （分钟）213039现已求得上表数据的回来方程y bx a =+中的b 值为0.9，则据此回来模型可以预料，加工100个零件所须要的加工时间约为 A ．84分钟B ．94分钟C ．102分钟D ．112分钟6.已知事务M”3粒种子全部发芽”，事务N“3粒种子都不发芽”，那么事务M 和N 是（） A. 互斥且对立事务B. 不是互斥事务C. 互斥但不对立事务D. 对立事务7.现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是 . A.13 B. 14C.15 D. 168.函数[]2()255f x x x x =--∈-，，，在定义域内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是（）. Ａ．110Ｂ．23Ｃ．310Ｄ．459.在下列四个命题中，真命题是（A ）“22320x x x =-+=时” 的否命题；（B ）“239b b ==若则”的逆命题；（C ）若ac bc a b >>，则；（D ）“相像三角形的对应角相等”的逆否命题10.已知p ：方程22(2)3100x a x a +--+=没有实数根，q ：方程2210x ax ++=有两个不相等的正数根，则使p q ∨为真，p q ∧为假的实数a 的取值范围是 (A)(2,1)-- (B)(-∞，3) (C)(][),21,3-∞-- (D)(][),31,2-∞--11.若方程220x y x y m +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是( ).21.<m A 1.2B m > .0C m < 1.2D m ≤12.在圆224x y +=上，与直线43120x y +-=的距离最小的点的坐标为（）86.(,)55A - 86.(,)55B - 86(,)55C 86.(,)55D --第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若命题1:(0),2p x R x x x∀∈≠+≥，则:p ⌝________________。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。