【解析版】2015中考压轴题系列36_动态几何之线面动形成的全等
中考复习 动态几何型压轴题
1、解决这类问题时，要 、解决这类问题时， 理解图形运动的过程， 理解图形运动的过程， 探索运动的特点和规律， 探索运动的特点和规律， 掌握好动静的切换---“动 掌握好动静的切换 动 中求静” 中求静”。 2、多作出几个符合要求 、多作出几个符合要求 草图。 的草图。
Page 4
例题： 中考回放 例题：09中考回放
（1）当t = 2时，AP = ） 时 ，点Q到AC的距离是 到 的距离是 ； 运动的过程中， 的面积S与 的 （2）在点 从C向A运动的过程中，求△APQ的面积 与t的 ）在点P从 向 运动的过程中 的面积 函数关系式；（不必写出t的取值范围 ；（不必写出 的取值范围） 函数关系式；（不必写出 的取值范围） 运动的过程中， （3）在点 从B向C运动的过程中，四边形 ）在点E从 向 运动的过程中 四边形QBED能否成为 能否成为 直角梯形？若能， 的值 若不能，请说明理由； 的值． 直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； 经过点C 请直接写出t的值 的值． （4）当DE经过点 时，请直接写出 的值． ） 经过点
解：②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC， 如图 ， ∥ 时 ⊥ ， 四边形QBED是直角梯形． 是直角梯形． ∴四边形 是直角梯形 此时∠ 此时∠APQ =90°． ° 由△AQP ∽△ABC，得 AQ = AP ， AB AC Q 即 t = 3-t ，解得t= 15 解得 3 5 8 D
A P B
解：（3）能． ：（ ） ①当DE∥QB时，如图 ．∵DE⊥PQ， ∥ 时 如图4． ⊥ ， 是直角梯形． ∴PQ⊥QB，四边形 ⊥ ，四边形QBED是直角梯形． 是直角梯形 此时∠ 此时∠AQP=90° ° AQ = AP 由△APQ ∽△ABC，得 AC AB ， 9 t 即 3 = 3-t ，解得，t= 8 5
专题25 动态几何之线动形成的函数关系问题(预测题)-中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，包括单动点形成的函数关系和图象问题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和图象问题。
本专题原创编写线动点形成的函数关系问题模拟题。
线动问题就是在一些基本几何图形上，设计一个动线（包括平移和旋转），或由点动、面动形成线动，并对线在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。
在中考压轴题中，线动形成的函数关系问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。
原创模拟预测题1. 如下图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，AD=2，BC=6，AB=DC=线l 垂直于BC ，且从经过点B 的位置向右平移，直至经过点C 的位置停止，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数关系式是▲ 。
【答案】。
【考点】动线问题的函数图象，等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，分类思想的应用。
【分析】如图1，分别过点A ，D 作BC 的垂线，垂足为E ，F ，()()()221x 0x 22S 2x 22x 41x 6x 104x 62⎧≤≤⎪⎪⎪=-≤⎨⎪⎪-+-≤⎪⎩＜＜∵等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，AD=2，BC=6，AB=DC=∴BE=EF=FC=2。
2015中学考试压轴题系列26动态几何之面动形成地函数关系问题
《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题26：动态几何之面动形成的函数关系问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，包括单动点形成的函数关系和图象问题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和图象问题。
本专题原创编写面动形成的函数关系问题模拟题。
面动问题就是在一些基本几何图形上，设计一个动面（包括平移和旋转），或由点动、线动形成面动，并对面在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究在中考压轴题中，面动形成的函数关系问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。
原创模拟预测题1.如图，点G、E、A、B在一条直线上，等腰直角△EFG从如图所示是位置出发，沿直线AB以1单位/秒向右匀速运动，当点G与B重合时停止运动。
已知AD=1，AB=2，设△EFG与矩形ABCD重合部分的面积为S平方单位，运动时间为t秒，则S与t的函数关系是。
【答案】()()()221t t 0t 121S 1<t 2219t 3t 2<t 322⎧-+≤≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪-+≤⎪⎩。
【考点】面动问题的函数图象，矩形和等腰直角三角形性质，数形结合思想和分类思想的应用。
中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)
（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
答案：
1、解：1）PD=PE。以图②为例，连接PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴PC=PB，CP⊥AB，∠DCP=∠B=45°，
(3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC,连结CL，点E是CL上任一点,EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
3.在 中，AC=BC， ，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作 ，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
动态几何问题的解题技巧
解这类问题的基本策略是：
1．动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．
2．动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．
3．以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．
又∵∠DPC+∠CPE=90°，∠CPE+∠EPB=90°
∴∠DPC=∠EPB
∴△DPC≌△EPB（AAS）
∴PD=PE
2）能，①当EP=EB时，CE= BC=1
②当EP=PB时，点E在BC上，则点E和C重合，CE=0
③当BE=BP时，若点E在BC上，则CE=
专题39动态几何之面动形成的等腰三角形的存在性问题 -《决胜中考压轴题全揭秘知识篇》(解析版)
《中考压轴题全揭秘知识篇》（解析版）专题39：动态几何之面动形成的等腰三角形的存在性问题1．（2014年重庆市A12分）已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=320,AE ⊥BD ，垂足是E.点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF. （1）求AE 和BE 的长；（2）若将△A BF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）.当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值.（3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF 为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD 交于点P.与直线BD 交于点Q.是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由.∵SBD 11S AB AD BD AE 22∆=⋅=⋅，∴1201255AE 2323⨯⨯=⨯，解得AE=4. ∴2222BE AB AE 543=-=-=.（2）当点F 在线段AB 上时，m 3=；当点F 在线段AD 上时，16m 3=. （3）存在，理由如下：①当DP=DQ 时，若点Q 在线段BD 的延长线上时，如答图1，有∠Q=∠1，则∠2=∠1+∠Q=2∠Q.∵∠3=∠4+∠Q ，∠3=∠2，∴∠4+∠Q=2∠Q. ∴∠4=∠Q.∴A′Q=A′B=5. ∴F′Q=4+5=9.在Rt △BF′Q 中，2222593DQ 3⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，解得25DQ 3103=-或25DQ 3103=--（舍去）. 若点Q 在线段BD 上时，如答图2，有∠1=∠2=∠4， ∵∠1=∠3，∴∠3=∠4.∵∠3=∠5+∠A′，∠A′=∠CBD ，∴∠3=∠5+∠CBD=∠A′BQ. ∴∠4=∠∠A′BQ. ∴A′Q= A′B=5.∴F′Q=5-4=1. ∴22BQ 3110=+=. ∴25DQ 103=-. ②当QP=QD 时，如答图3，有∠P=∠1， ∵∠A′=∠1，∠2=∠3， ∴∠4=∠P. ∴∠4=∠A′. ∴QB=Q A′.设QB=Q A′=x ，在Rt △BF′Q 中，()22234x x +-=， 解得2525125x 3824=-=. ③当PD=PQ 时，如答图4，∴2510DQ 533=-=. 综上所述，当△DPQ 为等腰三角形时，DQ 的长为252512510310,10,,33243-- .【考点】1.轴对称、平移和旋转问题；2.矩形的性质；3.勾股定理；4.等腰三角形存在性问题；5.勾股定理；6.分类思想的应用.【分析】（1）由勾股定理求得BD 的长，根据三角形面积公式求出AE 的长，再应用勾股定理即可求得BE 的长.（2）根据平移的性质求解即可.（3）分DP=DQ （考虑点Q 在线段BD 的延长线和点Q 在线段BD 上两种情况），QP=QD ，PD=PQ 三种情况求解即可.2．（2014年重庆市B12分）如图1，在□ABCD 中，AH ⊥DC ，垂足为H ，AB ＝47，AD ＝7，AH ＝21.现有两个动点E 、F 同时从点A 出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC 方向匀速运动. 在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 与△ABC 在射线AC 的同侧，当点E 运动到点C 时，E 、F 两点同时停止运动. 设运转时间为t 秒. （1）求线段AC 的长；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围；（3）当等边△EFG 的顶点E 到达点C 时，如图2，将△EFG 绕着点C 旋转一个角度(0360)αα︒<<︒. 在旋转过程中，点E 与点C 重合，F 的对应点为F′，G 的对应点为G′. 设直线F′G′与射线DC 、射线AC 分别相交于M 、N 两点.试问：是否存在点M 、N ，使得△CMN 是以∠MCN 为底角的等腰三角形？若存在，请求出线段CM 的长度；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）在Rt △ADH 中，∵AD ＝7，AH ＝21，∴由勾股定理得DH ＝27. ∵BC ＝AB ＝47，∴HC ＝27. ∴点H 为DC 的中点. 又∴AH ⊥DC ，∴AC ＝AD ＝7.（2）()2273t 0t 31284987S t t 3<t 4555322898t t 34<t 7333⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+≤⎪⎩. （3）存在.如图2，当等边△EFG 的顶点E 到达点C 时，AE=AC=7，AF=21，EF=14. △EFG 绕点C 旋转过程中，以∠MCN 为底角的等腰三角形△CMN 有两种情况：①当∠CMN 为等腰△CMN 的另一底角时，如答图1，过点C 作CI ⊥MN 于点I ，过N 作NJ ⊥CM 于点J. 在等边△CG ′I 中，易得77IG',CI 322==. 设IN a,CN MN b === ， 易得△ACH ∽△NCJ ，∴AC CHNC CJ=，即727b =， ∴27CJ b =.∴47CM b =. 在△CNI 中，由勾股定理得222CI IN CN +=，即22273a b 2⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 在△CMI 中，由勾股定理得222CI IM CM +=，即()2227473a b b 2⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，二者联立，解得49b 4=，∴47CM b 777==. ②当∠CNM 为等腰△CMN 的另一底角时，如答图2，过点C 作CI ⊥MN 于点I ，过N 作NJ ⊥CM 于点J. 在等边△CG ′I 中，易得77IG',CI 322== . 设IN a,C M MN b === ， 易得△ACH ∽△MCJ ，∴AC CHMC CJ=，即727b CJ =， ∴27CJ b 7=.∴47CN b 7=. 在△CNI 中，由勾股定理得222CI IN CN +=，即()2227473a b b 27⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 在△CMI 中，由勾股定理得222CI IM CM +=，即22273a b 2⎛⎫+= ⎪⎝⎭，二者联立，解得49b 4=，∴49CM b 4==.综上所述，线段CM 的长度为77或494.【考点】1.双动点和面动旋转问题；2.勾股定理；3.线段垂直平分线的性质；4.等边、腰三角形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.旋转的性质；7.相似三角形的判定和性质；8.等腰三角形存在性问题；9.分类思想的应用.【分析】（1）由勾股定理求出DH 的长，证明点H 为DC 的中点，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得AC ＝AD ＝7.（2）分770t ,<t 4,4<t 733≤≤≤≤ 三种情况讨论即可.3. （2013年重庆市B12分）已知：在矩形ABCD 中，E 为边BC 上的一点，AE ⊥DE ，AB=12，BE=16，F 为线段BE 上一点，EF=7，连接AF 。
中考数学 专题33 动态几何之线动形成的最值问题(含解析)
专题33 动态几何之线动形成的最值问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。
本专题原创编写线动形成的最值问题模拟题。
在中考压轴题中，线动形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。
1.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为．5【解析】考点：1.轴对称的应用（最短路线问题）；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.勾股定理.2.如图，矩形ABCD中， BC=2，点P是线段BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，平移线段PE得到CF，连接EF。
问：四边形P CFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由。
【答案】解：有。
依题意，得四边形PCFE是平行四边形。
设BP=x，则PC=2﹣x ，平行四边形PEFC的面积为S，【考点】四边形综合题，旋转和平移问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值。
中考数学压轴题专题39 动态几何之面动形成的等腰三角形存在性问题(解析版)
一、选择题 二、填空题 三、解答题1．（2016广西来宾市）如图，在矩形ABCD 中，AB =10，AD =6，点M 为AB 上的一动点，将矩形ABCD 沿某一直线对折，使点C 与点M 重合，该直线与AB （或BC ）、CD （或DA ）分别交于点P 、Q ．（1）用直尺和圆规在图甲中画出折痕所在直线（不要求写画法，但要求保留作图痕迹） （2）如果PQ 与AB 、CD 都相交，试判断△MPQ 的形状并证明你的结论；（3）设AM =x ，d 为点M 到直线PQ 的距离，2y d =，①求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；②当直线PQ 恰好通过点D 时，求点M 到直线PQ 的距离．【答案】（1）作图见解析；（2）△MPQ 是等腰三角形；（3）10． 【分析】（1）作线段CM 的垂直平分线即可；（2）由矩形的性质得出AB ∥CD ，CD =AB =10，得出∠QCO =∠PMO ，由折叠的性质得出PQ 是CM 的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得出CQ =MQ ，由ASA 证明△OCQ ≌△OMP ，得出CQ =MP ，得出MP =MQ 即可；（3）①作MN ⊥CD 于N ，如图2所示：则MN =AD =6，DN =AM =x ，CN =10﹣x ，在Rt △MCN 中，由勾股定理得出222(2)6(10)d x =+-，即可得出结果；②当直线PQ 恰好通过点D 时，Q 与D 重合，DM =DC =10，由勾股定理求出AM ，得出BM ，再由勾股定理求出CM ，即可得出结果．【解析】（1）如图1所示：（2）△MPQ是等腰三角形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，CD=AB=10，∴∠QCO=∠PMO，由折叠的性质得：PQ是CM的垂直平分线，∴CQ=MQ，OC=OM，在△OCQ和△OMP中，∵∠QCO=∠PMO，OC=OM，∠COQ=∠MOP，∴△OCQ≌△OMP（ASA），∴CQ=MP，∴MP=MQ，即△MPQ 是等腰三角形；考点：四边形综合题；动点型；探究型；压轴题．2．（2016吉林省）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=82cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以2cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点M落在AB上时，x= ；（2）当点M落在AD上时，x= ；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）4；（2）163；（3）2221(04)27163264 (4)23161664 (8)3x xy x x xx x x⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪-+<<⎪⎩．【分析】（1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，由此即可解决问题．（2）如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E，先证明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得PA DEAC DC==23，由此即可解决问题．（3）分三种情形①当0＜x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，②当4＜x≤163时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．③当163＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，分别计算即可解决问题．（3）①当0＜x ≤4时，如图2中，设PM 、PQ 分别交AD 于点E 、F ，则重叠部分为△PEF ，∵AP =2x ，∴EF =PE =x ，∴y =S △PEF =12•PE •EF =212x ． ②当4＜x ≤163时，如图3中，设PM 、MQ 分别交AD 于E 、G ，则重叠部分为四边形PEGQ ．∵PQ =PC =822x -，∴PM =16﹣2x ，∴ME =PM ﹣PE =16﹣3x ，∴y =S △PMQ ﹣S △MEG =2211(822)(163)22x x ---=2732642x x -+-．③当163＜x ＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ ，∴y =S △PMQ =212PQ =21(822)2=21664x x -+．综上所述2221 (04)27163264 (4)23161664 (8)3x x y x x x x x x ⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪-+<<⎪⎩．考点：三角形综合题；分类讨论；分段函数；动点型；压轴题．3．（2016江苏省苏州市）如图，在矩形ABCD 中，AB =6cm ，AD =8cm ，点P 从点B 出发，沿对角线BD 向点D 匀速运动，速度为4cm /s ，过点P 作PQ ⊥BD 交BC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得点N 落在射线PD 上，点O 从点D 出发，沿DC 向点C 匀速运动，速度为3m /s ，以O 为圆心，0.8cm 为半径作⊙O ，点P 与点O 同时出发，设它们的运动时间为t （单位：s ）（0＜t ＜85）． （1）如图1，连接DQ 平分∠BDC 时，t 的值为 ；（2）如图2，连接CM ，若△CMQ 是以CQ 为底的等腰三角形，求t 的值； （3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O 始终在QM 所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM 与⊙O 相切时，求t 的值；并判断此时PM 与⊙O 是否也相切？说明理由．【答案】（1）1；（2）4049；（3）①证明见解析；②t =43s 时，⊙O 与直线QM 相切，PM 与⊙O 不相切．【分析】（1）先利用△PBQ ∽△CBD 求出PQ 、BQ ，再根据角平分线性质，列出方程解决问题．（2）由△QTM ∽△BCD ，得QM TQBD BC=列出方程即可解决． （3）①如图2中，由此QM 交CD 于E ，求出DE 、DO 利用差值比较即可解决问题． ②如图3中，由①可知⊙O 只有在左侧与直线QM 相切于点H ，QM 与CD 交于点E ．由△OHE ∽△BCD ，得OH OEBC BD=，列出方程即可解决问题．利用反证法证明直线PM 不可能由⊙O 相切．【解析】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =∠ADC =∠ABC =90°，AB =CD =6．AD =BC =8，∴BD 22AD AB +2268+=10，∵PQ ⊥BD ，∴∠BPQ =90°=∠C ，∵∠PBQ =∠DBC ，∴△PBQ ∽△CBD ，∴PB PQ BQ BC DC BD ==，∴48610t PQ BQ==，∴PQ =3t ，BQ =5t ，∵DQ 平分∠BDC ，QP ⊥DB ，QC ⊥DC ，∴QP =QC ，∴3t =8﹣5t ，∴t =1，故答案为：1．（2）解：如图2中，作MT ⊥BC 于T ．∵MC =MQ ，MT ⊥CQ ，∴TC =TQ ，由（1）可知TQ =12（8﹣5t ），QM =3t ，∵MQ ∥BD ，∴∠MQT =∠DBC ，∵∠MTQ =∠BCD =90°，∴△QTM ∽△BCD ，∴QM TQBD BC=，∴1(85)32108t t -=，∴t =4049（s ），∴t =4049s 时，△CMQ 是以CQ 为底的等腰三角形．（3）①证明：如图2中，由此QM 交CD 于E ，∵EQ ∥BD ，∴EC CQ CD CB =，∴EC =34（8﹣5t ），ED =DC ﹣EC =6﹣34（8﹣5t ）=154t ，∵DO =3t ，∴DE ﹣DO =154t ﹣3t =34t ＞0，∴点O 在直线QM 左侧．②解：如图3中，由①可知⊙O 只有在左侧与直线QM 相切于点H ，QM 与CD 交于点E ． ∵EC =34（8﹣5t ），DO =3t ，∴OE =6﹣3t ﹣34（8﹣5t ）=34t ，∵OH ⊥MQ ，∴∠OHE =90°，∵∠HEO =∠CEQ ，∴∠HOE =∠CQE =∠CBD ，∵∠OHE =∠C =90°，∴△OHE ∽△BCD ，∴OH OE BC BD =，∴30.84810t=，∴t =43，∴t =43s 时，⊙O 与直线QM 相切． 连接PM ，假设PM 与⊙O 相切，则∠OMH =12PMQ =22.5°，在MH 上取一点F ，使得MF =FO ，则∠FMO =∠FOM =22.5°，∴∠OFH =∠FOH =45°，∴OH =FH =0.8，FO =FM =0.82，∴MH =0.8(21)+，由OH HE BC DC =得到HE =35，由EC CQ BD CB =得到EQ =53，∴MH =MQ ﹣HE ﹣EQ =4﹣35﹣53=2625，∴0.8(21)+≠2625，矛盾，∴假设不成立，∴直线PM 与⊙O 不相切．考点：圆的综合题；动点型；探究型；压轴题． 4．（2016河南省）如图1，直线43y x n =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点C （0，4），抛物线223y x bx c =++经过点A ，交y 轴于点B （0，﹣2）．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；（3）如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD ′P ′，且旋转角∠PBP ′=∠OAC ，当点P 的对应点P ′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）224233y x x =--；（2）PD =12或PD =72；（3）P （﹣5，4543+）或P （5，4543-+）或P （258，1132）． 【分析】（1）先确定出点A 的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由△BDP 为等腰直角三角形，判断出BD =PD ，建立m 的方程计算出m ，从而求出PD ； （3）分点P ′落在x 轴和y 轴两种情况计算即可．（3）∵∠PBP '=∠OAC ，OA =3，OC =4，∴AC =5，∴sin ∠PBP '=45，cos ∠PBP '=35，分两种情况讨论：①当点P '落在x 轴上时，过点D '作D 'N ⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，∠DBD '=∠ND 'P '=∠PBP '，如图1，ND '﹣MD '=2，∴23244()()25335m m m ---=，∴m =5（舍），或m =﹣5； 如图2， ND '+MD '=2，∴23244()25335m m m -+=，∴m =5，或m =﹣5（舍），∴P（﹣5，4543+）或P （5，4543-+）；②当点P '落在y 轴上时，如图3，过点D ′作D ′M ⊥x 轴，交BD 于M ，过P ′作P ′N ⊥y 轴，∴∠DBD ′=∠ND ′P ′=∠PBP ′，∵P ′N =BM ，∴24243()5335m m m -=，∴m =258，∴P （258，1132）； 综上所述：P （﹣5，4543+）或P （5，4543-+）或P （258，1132）．考点：二次函数综合题；分类讨论；动点型；压轴题．5．（2016甘肃省天水市）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且B （1，0），C （0，3），将△BOC 绕点O 按逆时针方向旋转90°，C 点恰好与A 重合．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点P 为线段AB 上的任一动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连结CP ，求△PCE 面积S 的最大值；（3）设抛物线的顶点为M ，Q 为它的图象上的任一动点，若△OMQ 为以OM 为底的等腰三角形，求Q 点的坐标．【答案】（1）223y x x =--+；（2）S △PCE 的最大值为32；（3）Q （91378-+，813732+），或（91378--，5913732-）． 【分析】（1）先求出点A 坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先求出S △PCE =S △PBC ﹣S △PBE ，即可求出最大面积；（3）先求出抛物线顶点坐标，由等腰三角形的两腰相等建立方程求出点Q 坐标．（3）∵二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标（﹣1，4），∵△OMQ 为等腰三角形，OM 为底，∴MQ =OQ ，∴222(1)(234)x x x ++--+-=222(23)x x x +--+，∴281870x x +-=，∴x =91378-±，∴y =813732+或y =5913732-，∴Q （91378-+，813732+），或（91378--，5913732-）． 考点：二次函数综合题；动点型；旋转的性质；最值问题；二次函数的最值；综合题． 6．（2015四川）如图，在△ABC 中，已知AB =AC =5，BC =6，且△ABC ≌△DEF ，将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，△DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 、始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点． （1）求证：△ABE ∽△ECM ；（2）探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM 最短时，求重叠部分的面积．此时，EF ⊥AC ，∴22221612EM=AE AM 455⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭．∴AEM 11161296S =AM EM 225525∆⋅⋅=⋅⋅=． ∴当线段AM 最短时，重叠部分的面积为9625．7．（2014年重庆市A 12分）已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =320，AE ⊥BD ，垂足是E ．点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ． （1）求AE 和BE 的长；（2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）．当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF 为△A ′BF ′，在旋转过程中，设A ′F ′所在的直线与直线AD 交于点P ．与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵AB =5，AD =203，∴由勾股定理得22222025BD AB AD 533⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.∵SBD 11S AB AD BD AE 22∆=⋅=⋅，∴1201255AE 2323⨯⨯=⨯，解得AE =4． ∴2222BE AB AE 543=-=-=.（2）当点F 在线段AB 上时，m 3=；当点F 在线段AD 上时，16m 3=. （3）存在，理由如下：①当DP =DQ 时，若点Q 在线段BD 的延长线上时，如答图1，有∠Q =∠1，则∠2=∠1+∠Q =2∠Q ．∵∠3=∠4+∠Q ，∠3=∠2，∴∠4+∠Q =2∠Q ． ∴∠4=∠Q ．∴A ′Q =A ′B =5． ∴F ′Q =4+5=9．在Rt △BF ′Q 中，2222593DQ 3⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，解得25DQ 3103=-或25DQ 3103=--（舍去）． 若点Q 在线段BD 上时，如答图2，有∠1=∠2=∠4， ∵∠1=∠3，∴∠3=∠4． ∵∠3=∠5+∠A ′，∠A ′=∠CBD ，∴∠3=∠5+∠CBD =∠A ′BQ ． ∴∠4=∠∠A ′BQ ． ∴A ′Q = A ′B =5．∴F ′Q =5-4=1． ∴22BQ 3110=+=. ∴25DQ 103=-. ②当QP =QD 时，如答图3，有∠P =∠1， ∵∠A ′=∠1，∠2=∠3， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠A ′． ∴QB =Q A ′． 设QB =Q A ′=x ，在Rt △BF ′Q 中，()22234x x +-=， 解得2525125x 3824=-=. ③当PD =PQ 时，如答图4， 有∠1=∠2=∠3，∵∠1=∠A ′，∴∠3=∠A ′．∴BQ =A ′B =5． ∴2510DQ 533=-=. 综上所述，当△DPQ 为等腰三角形时，DQ 的长为252512510310,10,,33243-- .【考点】1．轴对称、平移和旋转问题；2．矩形的性质；3．勾股定理；4．等腰三角形存在性问题；5．勾股定理；6．分类思想的应用．【分析】（1）由勾股定理求得BD 的长，根据三角形面积公式求出AE 的长，再应用勾股定理即可求得BE 的长．（2）根据平移的性质求解即可．（3）分DP =DQ （考虑点Q 在线段BD 的延长线和点Q 在线段BD 上两种情况），QP =QD ，PD =PQ 三种情况求解即可． 8．（2014年重庆市B 12分）如图1，在□ABCD 中，AH ⊥DC ，垂足为H ，AB ＝7，AD ＝7，AH 21.现有两个动点E 、F 同时从点A 出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC 方向匀速运动． 在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 与△ABC 在射线AC 的同侧，当点E 运动到点C 时，E 、F 两点同时停止运动． 设运转时间为t 秒． （1）求线段AC 的长；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围；（3）当等边△EFG 的顶点E 到达点C 时，如图2，将△EFG 绕着点C 旋转一个角度(0360)αα︒<<︒．在旋转过程中，点E 与点C 重合，F 的对应点为F ′，G 的对应点为G ′． 设直线F ′G ′与射线DC 、射线AC 分别相交于M 、N 两点．试问：是否存在点M 、N ，使得△CMN 是以∠MCN 为底角的等腰三角形？若存在，请求出线段CM 的长度；若不存在，请说明理由．（3）存在．如图2，当等边△EFG 的顶点E 到达点C 时，AE =AC =7，AF =21，EF =14． △EFG 绕点C 旋转过程中，以∠MCN 为底角的等腰三角形△CMN 有两种情况：①当∠CMN 为等腰△CMN 的另一底角时，如答图1，过点C 作CI ⊥MN 于点I ，过N 作NJ ⊥CM 于点J ．在等边△CG ′I 中，易得77IG ',CI 322== .设IN a,CN MN b === ， 易得△ACH ∽△NCJ ，∴AC CH NC CJ =，即727b CJ=， ∴27CJ b 7=.∴47CM b 7=.在△CNI 中，由勾股定理得222CI IN CN +=，即22273a b 2⎛⎫+= ⎪⎝⎭，在△CMI 中，由勾股定理得222CI IM CM +=，即()2227473a b b 27⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 二者联立，解得49b 4=，∴47CM b 777==.二者联立，解得49b 4=，∴49CM b 4==.综上所述，线段CM 的长度为77或494. 【考点】1．双动点和面动旋转问题；2．勾股定理；3．线段垂直平分线的性质；4．等边、腰三角形的性质；5．由实际问题列函数关系式；6．旋转的性质；7．相似三角形的判定和性质；8．等腰三角形存在性问题；9．分类思想的应用．【分析】（1）由勾股定理求出DH 的长，证明点H 为DC 的中点，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得AC ＝AD ＝7．（2）分770t ,<t 4,4<t 733≤≤≤≤ 三种情况讨论即可．（3）分∠CMN 为等腰△CMN 的另一底角和∠CNM 为等腰△CMN 的另一底角两种情况讨论即可．。
2015中考压轴题动态几何之面动形成的等腰三角形存在专题试题
数学因运动而充满活力，数学因变化而精
象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定
而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态
夺目、精彩四射。
丨动态几何形成的存在性性问
似二角形存在冋题;其它存在冋题等。
本专题
角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思］
模拟预测题 1.如图，矩形 ABC 中，AE 日3!
中EF 与BC 交于点N , Gh 与 BC 的延长线交于点
M|, EH 与|D （交于点一 P|, FG 与DC 勺延长线交于点
时 （〔1 口S 与I 吗？请说明理
NFQ （的面积
想和数形结合的思想准确地进行分类。
I 原创
Q •设S 表示矩形PCM 的面积， 表示矩形。
2015年中考题第五章动态专题解析
第五章动态专题§5.1 点运动解题模式【题型特点】1. 动态问题是用运动的观点研究几何图形中图形的位置及大小关系的一类试题•常常集几何、代数知识于一体，有较强的综合性，题目灵活、多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展空间想象能力，综合分析能力.点动型问题就是在一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对随着点的运动，出现的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性(等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等)进行研究的问题.2•点动型问题命题呈现方式：(1) 动中不变问题(2) 最值问题(3) 存在性问题【解题思路】总的来说：要“以静制动”，即把动态问题，变为静态冋题来解，而静态冋题又是动态冋题的特殊情况•一是要搞清在点运动变化的过程中，哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化，并在点运动在相对静止的瞬间，寻找变量的关系•二是要运用好相应的几何知识•三是要结合具体问题，建立函数模型，达到解题目的.(1) 动中不变问题对于这类问题，我们需要认真审题，从题目已知条件分析出哪些不变，是线段或者线段所在直线的夹角不变(长度或者角度)，还是直线或者线段所在直线位置关系不变(平行、垂直、夹角) ，还是图形的相互关系不变(全等、相似) ；(2) 最值问题对于这类问题，要分析出题目是利用什么性质来确定最值的，一般是：两点之间线段最短；垂线段最短；三角形两边之和大于第三边；二次函数的最值问题(需要考虑自变量的取值范围) •不管是哪种形式，或者由多少条线段组成，其本质都是要利用对称或者平移或者等量转化来使这些线段首尾相接，从而使它们共线•(3) 存在性问题动态几何与其他存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类•典题研究【例1】(2015?江苏宿迁)已知：00 上两个定点A B和两个动点C, D, AC与BD交于点E.(1)如图1,求证：EA?EC=EB?ED(2)如图2,若.「= ；］, AD是00的直径，求AD?AC=2BD?BC图］(3)如图3,若ACLBD点0到AD的距离为2，求BC的长.图3【思路点拨】(1)根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；(2)如图2,连接CD OB交AC于点F由B是弧AC的中点得到/ BAC M ADB M ACB且AF=CF=0.5AC 证得△ CBF^A ABD即可得到结论；(3)如图3,连接A0并延长交00于F,连接DF得到AF为00的直径于是得到/ ADF=90 ,过0 作OH L AD 于H,根据三角形的中位线定理得到DF=2OH=4通过△ ABE^A ADF得到仁/ 2,于是结论可得.【完全解答】(1)证明：•••/ EAD M EBC/ BCE M ADE•••△ AED^A BEC.馳DE• EA?EC=EB?ED；(2)证明：如图2,连接CD OB交AC于点F.是弧AC的中点，:丄 BAC K ADB d ACB 且AF=CF=0.5AC又••• AD为OO直径，:丄 ABC=90，又/ CFB=90 .•••△ CBF^A ABD• AC?AD=2BD?BC(3)解：如图3,连接AC并延长交OO于F, 连接DF ,圈3•AF为OO的直径，•••/ ADF=90 ,过O作OH L AD于H,•AH=DH OH/ DF,•/ AO=OF•DF=2OH=4•/ AC L BD•/ AEB K ADF=90 ,•••/ ABD K F,•△ABE^A ADF•/ 仁/ 2 ,•-;,•BC=DF=4【归纳交流】本题是一道双质点的运动动中不变问题，采用“以静制动”进行证明和计算•本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半•也考查了勾股定理和解直角三角形.【例2] (2015?浙江衢州)如图，在△ ABC中,97AB=5, AC=9, S A ABC=—;，动点P从A点出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C 点出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF(P、Q E、F按逆时针排序), 以CQ为边在AC上方作正方形QCGH1)求tanA的值；(2)设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S,请探究S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；(3)当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点 (Q 点除外)落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值.点M利用面积法求得BM的长度，利用勾股定理得到AM 的长度，最后由锐角三角函数的定义进行解答；(2)如图2，过点P作PN L AC于点N.利用(1)中的结论和勾股定理得到P N+N Q=P Q,所以由正方形的面积公式得到S关于t的二次函数，利用二次函数的顶点坐标公式和二次函数图象的性质来求其最值；(3)需要分类讨论：当点E在边HG上、点F 在边HG上、点P边QH(或点E在QC上)、点F边C上时相对应的t的值.【完全解答](1)如图1,过点B作BM L AC于点M-AC=9 S A AB=,21 27 1 27• 一AC?BM=，即X 9?BM=—,2 2 2 2解得BM=3由勾股定理，得AM= —= -「=4,则tanA^'，r='；AM 4• CF Bg'BD^，故CF?AD=BD?BC(2)存在.如图2,过点P作PNLAC于点N.D图：依题意得AP=CQ=5t■/ tan A= _,4••• AN=4t, PN=3t.•••QN=AC AN- CQ=9- 9t .2 2 2根据勾股定理得到：PN+NQ=PQ,S正方形PQE=P Q=( 3t)2+(9 - 9t)2=90t2- 162t+81 g(O v t v ').5•••- ：=」=•：在t的取值范围之内，2a 2X90 10④如图6，当点F边C上时，t4=iS最小值= ； l4ab[4X 90X81- 16 2匕1 =■：• u=ln(3)①如图3,当点E在边HG上时，「［；②如图4,DGE【归纳交流】本题是一道双质点的运动最值问题•本题考查三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理以及二次函数的最值的求法•其中，解答(3)题时，要分类讨论，做到不重不漏，结合图形解题，更形象、直观.【例3】(2015?湖北荆门)如图，在矩形OABC 中，OA=5 AB=4,点D为边AB上一点，将厶BCD沿直线CD 折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC OA 所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系•(1)求OE的长及经过O, D, C三点的抛物线的解析式；(2)—动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC 以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B 时，两点同时停止运动•设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ(3)若点N在(1)中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N,使得以M N C, E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由•③如图t3 = 1 ；o c5,当点P边QH (或点E在QC上)时,【思路点拨】(1)由折叠的性质可求得CE CO在Rt △ CCE中，由勾股定理可求得0E设AD=m在Rt△ ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D 点坐标，结合 C 0两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)用t表示出CP、BP的长，可证明△BP^A DQ 可得到BP=EQ可求得t的值；(3)可设出N点坐标，分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标.【完全解答】(1)v CE=CB=, C0=AB=4•••在Rt△ COE中,0E= 匚 _ ,「=3,设AD=m 贝y DE=BD=4- m•/ 0E=3•AE=5- 3=2,在Rt△ ADE中，由勾股定理可得AD J+A E^D E,即nf+22= (4 - m) 2,解得m=」23•- D(- , - 5),2•••C (- 4, 0), 0 (0, 0),•设过0 D C三点的抛物线为y=ax (x+4),•- 5= - - a (-二+4),解得a=> ,2 2 3•••抛物线解析式为y=：x (x+4) =：x2+「'x；(2 )••• CP=2t,•BP=5- 2t ,在Rt△ DBP和Rt△ DEQ中，TP 二DQ\BD=ED'•Rt△ DB磴Rt△ DEQ( HL),•BP=EQ• 5 - 2t=t ,(3)•••抛物线的对称为直线x=- 2 ,•设N (- 2 , n),又由题意可知C (- 4 , 0), E (0, - 3), 设M ( m,y),①当EN为对角线，即四边形ECNM H平行四边形时，则线段EN的中点横坐标为一丄=-1 ,2线段CM中点横坐标为二'一，2•EN CM互相平分，•一丄=-1，解得m=2,2又M点在抛物线上，•y=_2X22+" 'X 2=16,3 3•M( 2 , 16);②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，贝懺段EM的中点横坐标为」"，线段CN中点2横坐标为一-一—=-3 ,2•EN CM互相平分，• =- 3,解得m=- 6 ,2又TM点在抛物线上，• M(- 6 , 16);③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，则M为抛物线的顶点，即M (- 2,-儿).3综上可知，存在满足条件的点M,其坐标为(2 , 16)或(-6 , 16)或(-2,"').3【归纳交流】本题是一道点动平行四边形存在性问题，主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、平行四边形的性质等知识点.在( 1)中求得D点坐标是解题的关键，在(2)中证得全等，得到关于t的方程是解题的关键，在(3)中注意分类讨论思想的应用.本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.名题选练一、选择题1. (2015?可北)如图，点A, B为定点，定直线I // AB P是I上一动点，点M N分别为PA PB 的中点，对下列各值：①线段MN的长；②厶PAB的周长；③A PHN 的面积；④直线MN AB之间的距离；⑤/ APB的大小.其中会随点P的移动而变化的是• y== X( - 6)32+ ''X(- 6) =16 ,3( ).C.①③④D. ④⑤2. （2015?四川乐山）如图，已知直线 y= x -43与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0,1）为圆心，1为半径的圆上一动点， 连结PA PB 则 △ PAB面积的最大值是（ ）.3. （ 2015?四川泸州）在平面直角坐标系中， 点 A（,2, .2），B （3、23.2），动点 C 在 x 轴上, 若以A 、B C 三点为顶点的三角形 是等腰三角形， 则点C 的个数为（）.A.2B.3C.4D.5二、填空题4. （2015 •江苏宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0,4 ）,直线y=^x_3与x 轴、4y 轴分别交于 A B,点M 是直线AB 上的一个动点,则PM 长的最小值为 _______6. （2015 •江西）如图，在△ ABC 中，AB = BC =4, AO= BQ P 是射线 CO 上的一个动点，/ AOC =60°,则当△ PAB 为直角三角形时，AP 的长为7. （ 2015?四川成都）如图，在半径为5的O Q 中, 弦AB = 8, P 是弦AB 所对的优弧上的动点，连 接AP ，过点A 作AP 的垂线交射线PB 于点C , 当 PAB 是等腰三角形时，线段BC 的长为8. （ 2015?浙江嘉兴）如图，在直角坐标系 xQy 中，已知点 A （ 0,1 ）,点P 在线段QA 上，以AP 为 半径的o P 周长为1•点M 从A 开始沿o P 按逆时针 方向转动，射线 AM 交x 轴于点N （n , 0）,设点M 转过的路程为 m （0v m x 1）.] 1 （1）当 m* 时，n= ____ ; 45. （ 2015?广东佛山）如图，四边形 ABCD 中，/A=90° AB=3,3 , AD=3 点 M N 分别为线段 BC AB 上的动点（含端点，但点 M 不与点B 重合），点 E , F 分别为DM MN 的中点，则EF 长度的最大值为 ⑵ 随着点M 的转动，当m 从-变化到-时, 3 3 点N 相应移动的路径长为 c 21 D. 17C. 一 2 2A.8A N B三、解答题9. (2015?湖北宜昌)如图，在Rt △ ABC中，/ ACB=90 , AC=6 BC=8 点D 为边CB上的一个动点(点D不与点B重合)，过D作DQL AB垂足为Q,点B'在边AB上，且与点B关于直线DQ对称，连接DB , AD(1) 求证：△ DQ MA ACB(2 )若AD平分/ CAB求线段BD的长；(3)当厶AB D为等腰三角形时，求线段BD 的长.10. (2015 •江苏盐城)如图，把厶EFP按图所示的方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB AD AC上.已知EP=FP=4 , EF=4^3 , / BAD=60，且AB A4§⑴求/ EPF的大小；(2) 若AP=6，求AE+AF 的值；(3) 若厶EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB AD AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值.12. ( 2015?湖北咸宁)如图1,已知直线y=x+3 与x 轴交于点A,与y轴交于点B,将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象(图(1)类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；(2)如图2,双曲线y=「与新函数的图象交于x点C (1, a),点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E,与双曲线交于点P.7A 0J*J FJTX11. (2015 •安徽)在O O中，直径AB= 6, BC是弦，/ ABC= 30°，点P在BC上，点Q在O O上，且OPL PQ(1)如图1,当PQ// AB时，求PQ的长度；⑵如图2,当点P在BC上移动时，求PQ长的①试求△ PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由.13. ( 2015?山东聊城)如图，在直角坐标系中，Rt△ OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4 AB=3动点M 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x秒(0 v X V 4)时，解答下列问题：(1)求点N的坐标(用含x的代数式表示)；(2)设A OMN的面积是S,求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？(3 )在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△ OMN是直角三角形？若存在，求出x的最大值.圉2D C值；若不存在，请说明理由.的中点，连接CD点E在第一象限，且DEL DC DE= DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C,E两点.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒.过点P作PF丄CD 于点F.当t为何值时，以点P, F, D为顶点的三角形与△ COD相似？(3)点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M N,使得以点M N, D E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由•14. (2015 •湖北襄阳)边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA§5.2线运动解题模式【题型特点】1. 线动型问题，通常表现为在几何图形中，某条线(直线或射线或线段)在进行平移、旋转时，考虑原来存在的位置关系或数量关系的变化情况•题目体现由特殊到一般的思想.2. 线动型问题命题呈现方式：(1)动中不变问题(2)动中变化问题的函数或最值问题【解题思路】解决此类题的关键是要把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系•从运动变化得到图形的特殊位置，进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示.(1)动中不变问题对线的运动到指定位置的问题，解题方法同一般的证明或计算题的方法相同；对线的运动，原来存在的某种关系不变问题，可通过转化解决•(2)动中变化问题的函数或最值问题一般是根据题意列出函数关系，进而求出最大或最小值.这类问题往往是动态中的面积问题.求一个图形的面积时，可能是利用面积公式直接求解，但更多的是对图形进行割补然后求面积.在平面直角坐标系中，对图形进行割补时，一般选取平行于坐标轴的线段作为图形的底或高，而这条线段可能是一个定值，为解题提供方便，尤其是有关二次函数里求面积最值的时候.典题研究【例1】(2015?湖南益阳)已知点P是线段AB 上与点A不重合的一点，且AP V PB AP绕点A逆时针旋转角a (0°V a < 90°)得到AR, BP绕点B顺时针也旋转角a得到BF2,连接PR、PF2.(1)如图1,当a =90°时，求/P 1PR的度数；图1(2)如图2,当点P2在AR的延长线上时，求证：AP 2卩1~3 2PA图2(3)如图3,过BP的中点E作l i丄BP,过BF2 的中点F作12丄BF2, l i与12交于点Q,连接FQ求证：P i P丄FQ【思路点拨】(1)利用旋转的性质以及等腰直角三角形得出/ APP i=Z BPB=45° 进而得出答案；(2)根据题意得出△ PAP i和厶PBP z均为顶角为a 的等腰三角形，进而得出/P i PP>=Z PAP=a , 求出AP 2P i P^^P 2PA(3 )首先连结QB得出Rt△ QBE^ Rt△ QBF 利用/P i PQ=180 -/ APP i-/ QPB求出即可.【完全解答】(1)解：由旋转的性质得：AP=AP, BP=BP.•/ a =90°,•••△PAR和厶PBR均为等腰直角三角形，•••/ AP^=/BPP2=45°•/P i PP2=180°-/ APP i- / BPP2=90°;(2)证明：由旋转的性质可知△ PAP i和厶PBR 均为顶角为a的等腰三角形，•/ APR=/BPP=90°-二，2•/P 沪^二促。
2015年中考数学压轴题强化训练专题33动态几何之线动形成的最值问题(压轴题)
EF ，CF． （1
P 在 CB 延长线上时，求证：四边形 PCFE 是平行四边形；
（2
P 在线段 BC 上时，四边形 PCFE 是否还是平行四边形，说明理由；
（ 3）在（ 2）的条件下，四边形 PCFE 的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大
值及此时 BP 长；若
没有，请说明理由．
[来源:]
抛物线 W′上的动点，试判断是否存在这样的点 M 和点 N，使 得以 D、 F、 M 、N 为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
2
7．（ 2014 年陕西省 10 分） 已知抛物线 C： y= ﹣x +bx+c 经过 A （﹣ 3， 0）和 B （ 0， 3）两点，将这条抛物 线的顶点记为 M ，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N ． （ 1）求抛物线 C 的表达式； （ 2）求点 M 的坐标； （ 3）将抛物线 C 平移到 C′，抛物线 C′的顶点记为 M′，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N′．如果以点 M 、N、 M′、N′为顶点的四边形是面积为 16 的平行四边形，那么应将抛物线 C 怎样平移 ？为什么？
求出 a 的值；若不存在，请说明理由；
（ 2）如图 2，当 OB= 2 3 m （ 0＜ m＜ 3 ）时，请直接写出到△ ABD 的三边所在直线的距离相等的所有 点的坐标（用含 m 的式子表示） ．
2
2. （ 2014 年广东广州 14 分） 已知平面直角坐标系中两定点 A （﹣ 1， 0）、 B（ 4， 0），抛物线 y=ax +bx﹣ 2 （ a≠０）过点 A ， B ，顶点为 C，点 P（ m， n）（ n＜ 0）为抛物线上一点． （ 1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标； （ 2）当∠ APB 为钝角时，求 m 的取值范围；
专题36 动态几何之线、面动形成的全等、相似三角形存在性问题(压轴题)
《中考压轴题》专题36：动态几何之线面动形成的全等、相似三角形存在性问题1.如图，抛物线213y x x 242=-+-交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，分别过点B ，C 作y 轴，x 轴的平行线，两平行线交于点D ，将△BDC 绕点C 逆时针旋转，使点D 旋转到y 轴上得到△FEC ，连接BF ．（1）求点B ，C 所在直线的函数解析式；（2）求△BCF 的面积；（3）在线段BC 上是否存在点P ，使得以点P ，A ，B 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线2y ax 2ax c =-+（a≠0）交x 轴于A 、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，4），以OC 、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 在边OA （不包括O 、A 两点）上平行移动，分别交x 轴于点E ，交CD 于点F ，交AC 于点M ，交抛物线于点P ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示PM 的长；（3）在（2）的条件下，连结PC ，则在CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出此时m 的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由。
3.如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上．（1）求抛物线的解析式．（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）4.如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．5.如图1，已知菱形ABCD 的边长为，点A 在x 轴负半轴上，点B 在坐标原点．点D 的坐标为（-，3），抛物线y=ax 2+b （a≠0）经过AB 、CD 两边的中点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移（如图2），过点B 作BE ⊥CD 于点E ，交抛物线于点F ，连接DF 、AF ．设菱形ABCD 平移的时间为t 秒（0＜t ＜3）①是否存在这样的t ，使△ADF 与△DEF 相似？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；②连接FC ，以点F 为旋转中心，将△FEC 按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x 轴与抛物线在x 轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t 的取值范围．（写出答案即可）6.已知直线y=2x 5-与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，抛物线2y=x +bx+c -的顶点M 在直线AB 上，且抛物线与直线AB 的另一个交点为N ．（1）如图①，当点M 与点A 重合时，求：①抛物线的解析式；（4分）②点N 的坐标和线段MN 的长；（4分）（2）抛物线2y=x +bx+c -在直线AB 上平移，是否存在点M ，使得△OMN 与△AOB 相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）7.如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上的一个动点（点A与点B不重合）．在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C．连接OC、CD，设点A的横坐标为t．（1）用含t的式子表示点E的坐标为_______；（2）当t为何值时，∠OCD=180°？（3）当点C与点F不重合时，设△O CF的面积为S，求S与t之间的函数解析式．。
【决胜】(预测题)中考数学 专题35 动态几何之动点形成的全等、相似三 角形存在性问题(含解析)
专题35 动态几何之动点形成的全等、相似三角形存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等。
本专题原创编写动点形成的全等、相似三角形存在性问题模拟题。
在中考压轴题中，动点形成的全等、相似三角形存在性问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。
1.如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP.将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设∠ABP=β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式.【答案】（1）相似。
【决胜】(预测题)中考数学 专题33 动态几何之线动形成的最值问题(含解析)
专题33 动态几何之线动形成的最值问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。
本专题原创编写线动形成的最值问题模拟题。
在中考压轴题中，线动形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。
1.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为．【解析】考点：1.轴对称的应用（最短路线问题）；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.勾股定理.2.如图，矩形ABCD中， BC=2，点P是线段BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，平移线段PE得到CF，连接EF。
问：四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由。
【答案】解：有。
依题意，得四边形PCFE是平行四边形。
设BP=x，则PC=2﹣x ，平行四边形PEFC的面积为S，【考点】四边形综合题，旋转和平移问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值。
专题29 动态几何之线动形成的面积问题(压轴题)
《中考压轴题》专题29：动态几何之线动形成的面积问题一、选择题1.如下图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，若动直线l 垂直于BC ，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是【】A ．B ．C ．D ．2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y 1x 2=经过平移得到抛物线21x 2y 2x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为【】A ．2B ．4C ．8D ．163.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．4.如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．5.如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题1.直角三角形两直角边长是3cm和4cm，以该三角形的边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是cm2．（结果保留π）2.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．下．其中正确的说法列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为1是．（把你认为正确的说法的序号都填上）三、解答题1.如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A、B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）.第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为▲，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH.①请判断四边形EFGH的形状为▲，此时AE与BF的数量关系是▲；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围.（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．2.如图1，抛物线23y x 16=-平移后过点A （8，,0）和原点，顶点为B ，对称轴与x 轴相交于点C ，与原抛物线相交于点D ．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S 影阴；（2）如图2，直线AB 与y 轴相交于点P ，点M 为线段OA 上一动点，PMN ∠为直角，边MN 与AP 相交于点N ，设OM t =，试探求：①t 为何值时，△MAN 为等腰三角形？②t 为何值时，线段PN 的长度最小，最小长度是多少？3.如图①，在平面直角坐标中，点A 的坐标为（1，﹣2），点B 的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x 2的图象为l 1．（1）平移抛物线l 1，使平移后的抛物线经过点A ，但不过点B ．①满足此条件的函数解析式有个．②写出向下平移且经点A 的解析式．（2）平移抛物线l 1，使平移后的抛物线经过A ，B 两点，所得的抛物线l 2，如图②，求抛物线l 2的函数解析式及顶点C 的坐标，并求△ABC 的面积．（3）在y 轴上是否存在点P ，使S △ABC =S △ABP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线2y ax 8ax 12a =-+（a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（﹣6，0），且∠ACD=90°．（1）请直接写出A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△PAC 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；（4）平行于y 轴的直线m 从点D 出发沿x 轴向右平行移动，到点A 停止．设直线m 与折线DCA 的交点为G ，与x 轴的交点为H （t ，0）．记△ACD 在直线m 左侧部分的面积为s ，求s 关于t 的函数关系式及自变量t 的取值范围．5．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设O′A′B′C′与OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N时抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？7.如图，在坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A （1，0），B （0，2），抛物线21y x bx 22=+-的图象过C 点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l ．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？（3）点P 是抛物线上一动点，是否存在点P ，使四边形PACB 为平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．8.如图，抛物线2y ax bx c =++关于直线x 1=对称，与坐标轴交于A 、B 、C 三点，且AB=4，点D 322⎛⎫ ⎪⎝⎭，在抛物线上，直线l 是一次函数()y kx 2k 0=-≠的图象，点O 是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l 平分四边形OBDC 的面积，求k 的值.（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l 交于M 、N 两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.9.如图①，已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （0，3），B （3，0），C （4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积S （图②中阴影部分）．10.如图1，已知抛物线C经过原点，对称轴x=3-与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，∠=。