1-1知能提升演练

第一讲 坐标系
第一节 平面直角坐标系
一、选择题
1．已知▱ABCD 中三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－1，2)、(3，0)、(5，1)，则点D 的坐标是
( )．
A ．(9，－1)
B ．(－3，1)
C ．(1，3)
D ．(2，2)
解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D 点坐标．设D (x ， y )，
则⎩⎨⎧k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧2－0－1－3＝y －1
x －5，
2－y －1－x ＝0－13－5.∴⎩
⎨⎧x ＝1，y ＝3.，故D (1，3)． 答案 C
2．把函数y ＝sin 2x 的图象变成y ＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的变换是
( )．
A ．向左平移π
6 B ．向右平移π6
C ．向左平移π3
D ．向右平移π
3 解析 设y ′＝sin2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ′＋π6，变换公式为⎩⎨⎧x ′＝x ＋λ，y ′＝μy ，
将其代入y ′＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，得μy ＝sin2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋λ＋π6，
∴μ＝1，λ＝－π6，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝x －π6，y ′＝y .
由函数y ＝sin 2x 的图象得到y ＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3的图象所作的变换为
⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝x －π6，
y ′＝y ，故是向左平移π6个单位． 答案 A
3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，
y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2
＋4y ′2＝1，则曲线C 的方程为
( )．
A ．25x 2＋36y 2＝1
B ．9x 2＋100y 2＝1
C ．10x ＋24y ＝1
D.225x 2＋8
9y 2＝1
解析 将⎩⎨⎧x ′＝5x ，
y ′＝3y 代入x ′2＋4y ′2＝1，得25x 2＋36y 2＝1，为所求曲线C 的方
程． 答案 A
4．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( )． A.⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝2x ′y ＝13y ′
B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y
C.⎩⎨⎧x ＝2x ′y ＝3y ′
D.⎩⎨⎧x ′＝2x y ′＝3y
解析 设⎩⎨⎧x ′＝λx y ′＝uy 代入第二个方程y ′＝sin x ′得uy ＝sin λx ，即y ＝1
u sin λ
x ，比较系数可得⎩⎪⎨⎪⎧u ＝
13λ＝2.
答案 B 二、填空题
5．在△ABC 中，B (－2，0)，C (2，0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为____________________________． 解析 ∵△ABC 的周长为10， ∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4，
即有|AB |＋|AC |＝6>4.
∴A 点轨迹为椭圆除去长轴两项两点， 且2a ＝6，2c ＝4.∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5. ∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 2
5＝1 (y ≠0)．
答案 x 29＋y 2
5＝1 (y ≠0)
6．在平面直角坐标系中，方程x 2
＋y 2
＝1所对应的图形经过伸缩变换⎩
⎨⎧x ′＝2x ，
y ′＝3y 后
的图形所对应的方程是____________． 解析 代入公式，比较可得x ′24＋y ′2
9＝1.
答案 x ′24＋y ′2
9＝1
7．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝3x ，
y ′＝y 后，曲线C 变为曲线x ′2
＋9y ′2＝9，则曲线C 的方程是__________． 答案 x 2＋y 2＝1
8．在同一平面直角坐标系中，使曲线y ＝2sin 3x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是____________________________． 答案 ⎩⎪⎨⎪
⎧x ′＝3x y ′＝12y
三、解答题
9．已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程． 解 (代入法)设A (a ，0)，B (0，b )，M (x ，y )， ∵|AB |＝6，∴a 2＋b 2＝36.
①
M 分AB
→的比为12
.
∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋12×0
1＋12＝2
3a ，
y ＝0＋12b
1＋12
＝1
3b .⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y .
②
将②式代入①式，化简为x 216＋y 2
4＝1.
10．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，
y ′＝y 后，曲线C 变为曲
线x ′2－9y ′2＝9，求曲线C 的方程． 解 直接代入得曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.
11．(图形伸缩变换与坐标变换之间的联系)阐述由曲线y ＝tan x 得到曲线y ＝3tan 2x 的变化过程，并求出坐标伸缩变换．
解 y ＝tan x 的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1
2，得到y ＝tan 2x ，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y ＝3tan 2x . 设y ′＝3tan 2x ′，变换公式为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0
y ′＝μy ，μ>0.
将其代入y ′＝3tan 2x ′得⎩⎪⎨⎪
⎧μ＝3λ＝12，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x
y ′＝3y
.。