2018高考(江苏专版)大一轮(文)复习检测：第32课解三角形的综合应用

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江苏专用2018版高考数学专题复习专题4三角函数解三角形第30练三角函数综合练练习文

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题4 三角函数、解三角形第30练三角函数综合练练习文1．(2016·柳州、北海、钦州三市模拟)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－4＝－cos 2α，则sin 2α的值可以为________．2．(2016·南昌模拟)已知sin(α－2π)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，且α≠k π＋π2(k ∈Z )，则3sin 2α－sin 2α3＋cos 2α的值为________． 3．已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________ cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm 2. 4．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 5．若cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则β＝________. 6．(2016·扬州一模)函数y ＝sin 2x ＋cos 2(x －π3)的单调增区间是________________________． 7．(2016·镇江模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2b 2＝tan A tan B，则△ABC 的形状为________________三角形．8．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝________. 9.如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217s ．在A 地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，则该仪器的垂直弹射高度CH ＝________ m ．(声音在空气中的传播速度为340 m/s)10．(2016·黄冈适应性测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，函数f (x )＝2sin 2(x ＋π3)－cos 2x ，x ∈[π4，π2]在x ＝A 处取到最大值．(1)求角A 的大小；(2)若b ＝4，c ＝233a ，求△ABC 的面积．答案精析1．－12或1 2.43 3.1 2 1 4.782 5.π3解析 ∵cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin α＝437. 又∵cos(α＋β)＝－1114，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin(α＋β)＝5314， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴β∈(0，π)，∴β＝π3. 6．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z (开区间也正确) 解析原式＝1－cos 2x 2＋1＋cos 2x －2π3 2＝1＋12(－32·cos 2x ＋32sin 2x )＝1＋32sin(2x －π3)．令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，故所求增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .(开闭均可) 7．等腰或直角解析由a 2b 2＝tan A tan B ，得sin 2A sin 2B ＝sin A cos A ·cos B sin B. ①当cos C ＝0，即C ＝π2时，△ABC 为直角三角形； ②当cos C ≠0时，sin A sin B ＝cos B cos A，所以△ABC 为等腰三角形，所以△ABC 为直角三角形或等腰三角形．8.π6解析因为g (x )＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)，所以|f (x 1)－g (x 2)|＝|sin 2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2.因为－1≤sin 2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ)≤1，所以sin 2x 1和sin(2x 2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x 1＝1，sin(2x 2－2φ)＝－1，则2x 1＝2k 1π＋π2，k 1∈Z,2x 2－2φ＝2k 2π－π2，k 2∈Z ，2x 1－2x 2＋2φ＝2(k 1－k 2)π＋π，(k 1－k 2)∈Z ，得|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ k 1－k 2 π＋π2－φ. 因为0＜φ＜π2，所以0＜π2－φ＜π2，故当k 1－k 2＝0时，|x 1－x 2|min ＝π2－φ＝π3，则φ＝π6. 9．140 3解析由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －217×340＝(x －40) m ．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ，即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420.在△ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°，∠ACH ＝90°，所以CH ＝AC ·tan∠CAH ＝1403(m)．故该仪器的垂直弹射高度CH 为140 3 m.10．解 (1)f (x )＝2sin 2(x ＋π3)－cos 2x ＝1－cos(2x ＋2π3)－cos 2x ＝1＋12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝1＋32sin 2x －12cos 2x ＝sin(2x －π6)＋1. 又x ∈[π4，π2]，所以π3≤2x －π6≤5π6，所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数f (x )取到最大值．所以A ＝π3.(2)由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝16＋43a 2－2×4×233a ×12，解得a ＝43，c ＝8，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×8×32＝8 3.。

江苏2018高三数学一轮复习三角函数与解三角形

第1讲弧度制与任意角的三角函数考试要求 1.任意角的概念，弧度制的概念，弧度与角度的互化，A级要求；2.任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，B级要求．知识梳理1．角的概念的推广(1)(2)象限．(3)2(1)(2)公式3.续表1(1)(2)(3)(4)若α(5)解析(1)锐角的取值范围是.(2)第一象限角不一定是锐角．(3)顺时针旋转得到的角是负角．(5)终边相同的角不一定相等．答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2．若角α与角的终边相同，则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是________．解析由题意知，α＝2kπ＋，k∈Z，∴＝＋，k∈Z，又∈[0,2π]，∴k＝0，α＝；k＝1，α＝；k＝2，α＝；k＝3，α＝.答案，，，3．(必修解析由y轴的负答案三4解析∴x＝－4∴cosα答案－5．(必修答案考点一【例1】(1)若角α是第二象限角，则是第________象限角．(2)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．解析(1)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．(2)如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0,2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为.答案(2)确定kα【训练1①M＝N(2)解析N＝＝{法二由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M?N.(2)当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样．答案(1)②(2)③考点二弧度制及其应用【例2】已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；(3)解(1)α(2)(3)所以S＝此时l＝规律方法(1)(2)(3)【训练2(1)若α＝90°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解(1)设弧长为l，弓形面积为S，则弓α＝90°＝，R＝10，l＝×10＝5π(cm)，S弓＝S扇－S△＝×5π×10－×102＝25π－50(cm2)．(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，＝α·R2＝α·2∴S扇＝·＝·≤.当且仅当考点三【例3】________.．(3)若sin解析(2)∵r∴cosα∴m>0即m＝.(3)由sin，tanα异号，从而答案(1)－(2)(3)三规律方法(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.(2)根据三角函数定义中x，y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围．【训练3】(1)(2017·无锡期末)已知角α的终边与单位圆的交点P，则sinα·tanα＝________.(2)满足cosα≤－的角α的集合为________．解析(1)由|OP|2＝＋y2＝1，得y2当y此时，当y此时，(2)连接OCα的集合为答案[1|OP|＝r2余弦．3．在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．[易错防范]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．基础巩固题组(建议用时：30分钟)1解析－400°答案 32解析答案二3．解析答案 34.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．解析在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，所以，所求角的集合为(k∈Z)．答案(k∈Z)5．设P是角α终边上一点，且|OP|＝1，若点P关于原点的对称点为Q，则Q点的坐标是________．解析由已知P(cosα，sinα)，则Q(－cosα，－sinα)．答案(－cosα，－sinα)6．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________．解析设扇形半径为r，弧长为l，则解得答案7．点P．解析答案8．设θ解析由∵＝－答案二9．解析答案10cos2θ＝________.解析由题意知，tanθ＝2，即sinθ＝2cosθ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－.答案－11．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是________．解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；当答案 112．a的解析∵ 3.答案(13N，以ON解析答案 114．(2017·泰州模拟)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝________. 解析因为α是第二象限角，所以cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，所以tanα＝＝－.答案－15．函数y＝的定义域为________．解析∵2sin x－1≥0，∴sin x≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x∈(k答案(k16.P的位置在(0,0)解析为垂足．根据题意得劣弧＝故∠DCP|CQ|＝所以P(2－sin2,1答案(2考试要求α，－α的正弦、余弦的诱导公式，B级要求.知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tanα.2．三角函数的诱导公式1(1)sin(π(2)(3)(4)若解析(4)当k当k为偶数时，sinα＝－.答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．sin600°的值为________．解析sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－. 答案－3．(2017·苏北四市摸底)已知sin＝，那么cosα＝________.解析∵sin＝sin＝cosα，∴cosα＝.答案4．(2017·南通调研)已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则sinθ－cosθ＝________.解析∵sinθ＋cosθ＝，∴sinθcosθ＝.又∵(sinθ∴sinθ－又∵θ答案－5．(必修解析答案 3考点一【例1】．解析(2)∵<α<，∴cosα<0，sinα<0且cosα>sinα，∴cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝.(3)tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝.答案(1)－(2)(3)规律方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)(sinα±cos(3)【训练1解析得：2cos即2＝0又α∈(0(2)3sinα＝＝.答案考点二诱导公式的应用【例2】(1)化简：sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)；(2)求值：设f(α)＝(1＋2sinα≠0)，求f的值．解(1)原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝×＋×＝1.(2)∵f(α)＝＝＝＝，∴f规律方法(2)含2π【训练2(2)解析k(2)原式＝＝＝＝－1.答案(1){2，－2}(2)－1考点三诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用【例3】(1)已知tan＝，则tan＝________.(2)(2017·南京、盐城模拟)已知cos＝，且－π<α<－，则cos＝________. 解析(1)∵＋＝π，∴tan＝tan＝－tan＝－.(2)因为＋＝，所以cos因为－又cos＝所以sin＝－＝－答案规律方法(2)【训练3(2)解析∴cos＝(2)由f(x＋π)＝f(x)＋sin x，得f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，所以f＝f＝f＝f＝f＋sinπ.因为当0≤x<π时，f(x)＝0.所以f＝0＋＝.答案(1)(2)[思想方法]1．同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函2公式tan(2)和积转换法：2θ＋cos2θ＝cos2θ(1[1负—脱周23(建议用时：30分钟)1．(2016·四川卷)sin750°＝________.解析sin750°＝sin(720°＋30°)＝sin30°＝.答案2．(2017·镇江期末)已知α是第四象限角，sinα＝－，则tanα＝________.解析因为α是第四象限角，sinα＝－，所以cosα＝＝，故tanα＝＝－.答案－3．已知tanα＝，且α∈，则sinα＝________.解析∵∴sin2α∴sinα答案－4.＝解析＝＝＝|sin2答案5．解析∴tan＝答案－6．(2017·扬州中学质检)向量a＝，b＝(cosα，1)，且a∥b，则cos＝________. 解析∵a＝，b＝(cosα，1)，且a∥b，∴×1－tanαcosα＝0，∴sinα＝，∴cos＝－sinα＝－.答案－7．(2017·广州二测改编)cos＝，则sin＝________.解析sin＝sin＝cos＝.答案8．(2017·泰州模拟)已知tanα＝3，则的值是________．解析原式＝答案 29．已知解析答案－10．已知解析答案－11解析答案 112．．解析∵f(4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sinα＋b cosβ＝3，∴f(2017)＝a sin(2017π＋α)＋b cos(2017π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sinα－b cosβ＝－3.答案－3能力提升题组(建议用时：15分钟) 13．已知解析∵∴－sinθ∴tanθ答案14．若解析又2＝1＋∴＝1又Δ＝4答案115．解析sin＋sin2＝sin＋sin2＝－sin＋cos2＝－sin＋1－sin2＝.答案16．已知cos＝a，则cos＋sin＝________.解析∵cos＝cos ＝－cos＝－a.sin＝sin＝cos＝a，∴cos＋sin＝0.答案01(1)由sin(2)(3)(4)已知y(5)y＝sin|解析(2)(3)数．(4)当k>0答案2．(必修4P33例4改编)函数y＝2tan的定义域为________．解析∵x－≠kπ＋，k∈Z，∴x≠kπ＋，k∈Z，即函数的定义域为.答案3．(2017·苏州一模)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝.答案4．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．解析由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.答案－5．．解析当x＝时，2cosπ＝1所以ω＝答案考点一【例1】(2)(3)函数f解析即x≠＋(2)由＋2cos x≥0，得cos x≥－，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x≥－的解集为，故原不等式的解集为.(3)由题意，得由①得－8≤x≤8，由②得sin x>，由正弦曲线得＋2kπ<x<π＋2kπ(k∈Z)．所以不等式组的解集为∪∪.答案(1)(2)(3)∪∪规律方法(2)【训练1(2)函数y解析∴y＝(2)法一要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．所以定义域为.法三≤x－≤π＋2kπ(k解得2kπ答案(2)考点二【例2】(3)函数y解析－2sin x(2)由f(x)＝cos2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，所以当sin x＝1时函数的最大值为5.(3)设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x cos x，sin x cos x＝，且－≤t≤.∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.当t＝1时，y max＝1；当t＝－时，y min＝－－.∴函数的值域为.答案(1)(－2,1](2)5(3)规律方法(1)形如y(2)形如y最值)；(3)形如y值域(【训练2(0≤x≤(2)函数y解析所以sin所以y∈(2)y max此时，x－＝2kπ＋π，即x＝4kπ＋(k∈Z)．答案(1)2－(2)3考点三三角函数的性质(多维探究)命题角度一三角函数的奇偶性与周期性【例3－1】(1)(2017·常州期末)函数y＝2cos2－1的最小正周期为________的________函数(填“奇”或“偶”)．(2)(2017·衡水中学金卷)设函数f(x)＝sin－cos的图象关于y轴对称，则θ＝________.解析(1)y＝2cos2－1＝cos2＝cos＝cos＝(2)f(x)＝2sin|θ|<，∴k ＝－1答案规律方法①f(x)②f(x)(2)函数y T＝.【例3－(2)若f(x)＝2sinωx＋1(ω>0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．解析(1)由已知可得函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．(2)法一由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，得f(x)的增区间是(k∈Z)．因为f(x)在上是增函数，所以?.所以－≥－且≤，所以ω∈.法二所以ωx又f(x)所以?，则又ω得0<ω法三得0<ω≤. 答案y＝A sin(ωx注意要先把ω命题角度三三角函数的对称轴或对称中心【例3－3】(1)(2017·苏、锡、常、镇四市调研)若函数f(x)＝2sin(4x＋φ)(φ<0)的图象关于直线x＝对称，则φ的最大值为________．(2)(2016·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为________．解析(1)由题可得，4×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，∵φ<0，∴φmax＝－.(2)因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋kT，即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9.答案(1)－(2)9规律方法(1)对于可化为f(x)＝A sin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．(2)∈Z)，求x【训练3＝______.(2)已知解析sin2x(2)函数y则(k∈Z)解得4k又由4k得k＝1答案[思想方法]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．2．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．3．数形结合是本讲的重要数学思想．[易错防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆．1填序号)．解析①③y＝cos④y＝tan答案2．解析当y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)．答案(k∈Z)3．(2017·南通、扬州、泰州、淮安调研)设函数y＝sin(0<x<π)，当且仅当x＝时，y取得最大值，则正数ω的值为________．解析由题意可得ω＋＝＋2kπ，k∈Z且π≤，解得ω＝2.答案 24．(2017·徐州检测)函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为________．解析y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x＝－sin2x－2sin x＋1，令t＝sin x，则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以ymax答案25．解析∵由2kπ－解得2kπ又x答案6．解析答案7．(2017·银川模拟)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，给出以下结论：①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝对称；④函数f(x)在区间上是增函数．其中正确的是________(填序号)．解析f(x)＝sin＝－cos2x，故其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由函数f(x)＝－cos2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，③错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上是增函数，④正确．答案①②④8．解析为函数f(法二答案9．(1)求f(x)(2)求f(x)解(1)所以函数(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.当x∈时，2x＋∈，由正弦函数y＝sin x在上的图象知，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.10．(2016·天津卷)已知函数f(x)＝4tan x sin·cos－.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．解(1)f(f(x)＝＝4sin x＝4sin x＝2sin x＝sin2x＝sin2x所以f(x)(2)得－＋kπ由＋2kπ得＋kπ≤所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．能力提升题组(建议用时：20分钟)11．(2016·江苏卷)定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________．解析在区间[0,3π]上分别作出y＝sin2x和y＝cos x的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．答案712．若函数f(x)＝4sin5ax－4cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数a的值为________解析答案±13．．解析f(∵f＝f∴T＝>答案14．(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．解f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝a sin＋a＋b.(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.(ⅰ)当a(ⅱ)当a考试要求A1．““五点法骤为：(1)(2)的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝A sin(ωx＋φ)中各量的物理意义当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：3.函数1(1)(2))(3)函数y.()(4)的．(解析(2)“ω≠1答案2．(必修4P40练习5改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为________．答案2，，－3．(2016·全国Ⅰ卷改编)若将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为________．解析函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin＝2sin.答案y＝2sin4．(2017·南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且它的图象过点，则φ的值为________．解析由题意可得T＝＝π，解得ω＝2，则f(x)＝2sin(2x＋φ)．又f＝2sin＝－，解得φ＝－.答案－5，ω＞0,0＜φ＜π)解析6，所以ω＝b＝(30＋∴y＝答案y考点一【例1】(1)(2)解f(x)＝sinωx＋cosωx＝2＝2sin，又∵T＝π，∴＝π，即ω＝2，∴f(x)＝2sin.(1)令z＝2x＋，则y＝2sin＝2sin z.列表，并描点画出图象：(2)法一把y＝sin x y＝sin的图象上法二将的图象；再将y＝规律方法(1)＋φ，由z取0(2)“先平移后伸缩【训练1(1)求ω(2)解(1)∵T＝＝π，ω＝2，又f＝cos＝，∴sinφ＝－，又－＜φ＜0，∴φ＝－.(2)由(1)得f(x)＝cos，列表：描点画出图象(如图)考点二由图象求函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式【例2】的图象，若f(x)，(2)函数f________．解析)＝sin[2(x －φ)＋θ]所以sinθ所以θ即φ＝.(2)法一所以T＝因此f(x)又对应五点法作图中的第三个点，因此2×＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝sin.法二以为第二个“零点”，为最小值点，列方程组解得故f(x)＝sin.答案(1)(2)f(x)＝sin规律方法已知f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，【训练2的解析式为解析答案f(考点三【例3】10－cos t－sin t，t(1)(2)解(1)＝10－2sin，又0≤t<24，所以≤t＋<，当t＝2时，sin＝1；当t＝14时，sin＝－1.于是f(t)在[0,24)上取得最大值12℃，取得最小值8℃.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温，由(1)得f(t)＝10－2sin，故有10－2sin>11，即sin<－.又0≤t在10规律方法【训练3上一点A(1)(2)解(1)设点A设∠OO1y＝－又θ＝×t，即θ＝t，所以y＝－2cos t＋2，h＝f(t)＝－2cos t＋2.5.(2)函数h＝－2cos t＋2.5(0≤t≤12)的大致图象如下．[思想方法]1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．2．由图象确定函数解析式破口，殊点．[1x前面的23y＝A sin t1．(2016·全国Ⅱ卷改编)若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为________．解析由题意将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x ＋＝kπ＋得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)．答案x＝＋(k∈Z)2．(2017·衡水中学金卷)若函数y＝sin(ωx－φ)(ω>0，|φ|<)在区间上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．解析由题图可知，T＝2＝π，所以ω＝＝2，又sin＝0，所以－φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－kπ(k∈Z)，而|φ|<，所以φ＝.答案2，3．(2017·苏北四市调研)如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sinωx(ω>0)在y轴右侧图象上的第一个解析答案 44．φ)(0<φ<π)φ＝解析＝sin的图<π，则φ＝.答案5．f(0)的值为解析f(x)＝3sin的一个下降零点，所以×3＋φ＝(2k＋1)π(k∈Z)，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝，所以f(x)＝3sin，则f(0)＝3sin＝.答案6．(2017·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋A cos(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温为________℃.解析因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，所以y＝f(x)＝23＋5cos，所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cos＝23－5×＝20.5.答案7f(x)解析即f(x)＝故f(2)＝又－≤φ解得φ答案f(8．函数解析f(x)有5个零点．答案 5二、解答题9．已知函数f(x)＝sinωx＋cos，其中x∈R，ω＞0.(1)当ω＝1时，求f的值；(2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在上取得最大值时x的值．解(1)当ω＝1时，f＝sin＋cos＝＋0＝.(2)f(x)＝sinωx＋cos＝sinωx＋cosωx－sinωx＝sinωx∵＝π由x∴当2x10．(1)求f(2)解(1) 2. 又f(x)所以φ则f＝sin(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，所以g(x)＝f＝sin＝sin.当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．能力提升题组(建议用时：20分钟)11．①f(x)②f(x)③f(x)④把f(x)解析f＝sinf＝sin＝12x把f(x)答案③12．(2017·泰州一模)已知函数f(x)＝2sinωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．解析当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，由题意知－ω≤－，即ω≥；当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，由题意知ω≤－，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪.答案(－∞，－2]∪13．(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.解析由得sinωx＝cosωx，∴tanωx＝1，ωx＝kπ＋(k∈Z)．∵ω>0且(x1，y1∴(x2－x1∴2＋(2)2答案14．π.(1)求ω(2)x0的值．解(1)得cosφ＝，∵0≤φ≤，∴φ＝.∵最小正周期T＝π，且ω>0，∴ω＝＝2.(2)由(1)知y＝2cos.∵A，Q(x0，y0)是P A中点，y0＝，∴P.又∵点P在y＝2cos的图象上，∴2cos＝，∴cos＝－.∵x0∈，∴4x0＋∈，∴4x0＋＝2π＋π－或4x0＋＝2π＋π＋，∴x余弦、C级要求．1sin(α±cos(α?tan(α±2sin2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝.注意：①在二倍角的正切公式中，角α是有限制条件的，即α≠kπ＋，且α≠＋(k∈Z)．②“倍角”的意义是相对的，如4α是2α的二倍角，α是的二倍角．3．有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)．(2)cos2α＝，sin2α＝.(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝sin.4．函数f(α)＝a sinα＋b cosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).1(1)(2)(3)公式＝tan(α(4)解析答案2．解析答案3．(2015·江苏卷)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为________．解析∵tanα＝－2，∴tan(α＋β)＝＝＝，解得tanβ＝3.答案 34．(2017·广州调研)已知sinα＋cosα＝，则sin2＝________.解析由sinα＋cosα＝两边平方得1＋sin2α＝，解得sin2α＝－，所以sin2＝＝＝＝.答案5．(必修4P109习题4改编)sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝________.解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝＝(－＝sin58°＝答案考点一【例1】解析＝＝.因为0<α答案规律方法三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等．【训练1】(1)＋2的化简结果是________．(2)化简：＝________.。

2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义文档第四章

1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }. (3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限. 2.弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3.任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0).三个三角函数的初步性质如下表：4.三角函数线如图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段【知识拓展】1.三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx (x ≠0).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同.( × ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等.( √ ) (5)若α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( √ )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )1.(教材改编)在0°到360°之间与－120°终边相同的角是 . 答案 240°解析与－120°终边相同的角α＝－120°＋k ·360°(k ∈Z )，由0°≤－120°＋k ·360°＜360°，k ∈Z ，得13≤k <43，又k ∈Z ，所以k ＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°. 2.(教材改编)圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为 .答案 6π解析扇形的面积为12×62×π3＝6π.3.(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为P (55，－255)，则sin α＋cos α＝ . 答案－55解析因为sin α＝y ＝－255，cos α＝x ＝55，所以sin α＋cos α＝－255＋55＝－55.4.设集合M ＝{α|α＝k π2－π3，k ∈Z }，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝ .答案 {－5π6，－π3，π6，2π3}解析分别取k ＝－1,0,1,2，得α＝－5π6，－π3，π6，2π3.故M ∩N ＝{－5π6，－π3，π6，2π3}.5.函数y ＝2cos x －1的定义域为 . 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).∴x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ).题型一角及其表示例1 (1)若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在第象限.(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为 .答案 (1)一或三 (2)⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ) 解析 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，α＝2n ·180°＋45°＝n ·360°＋45°，α为第一象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α＝(2n ＋1)·180°＋45°＝n ·360°＋225°，α为第三象限角. 所以α为第一或第三象限角.(2)∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝⎛⎭⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ). 思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角.(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限.(1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是 .(2)(2016·苏州模拟)若角θ的终边与6π7角的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ3角的终边相同的角的个数为 .答案 (1){α|α＝π3＋k π，k ∈Z } (2)3解析 (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角为π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 {α|α＝π3＋k π，k ∈Z }.(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )，依题意0≤2π7＋2k π3≤2π，k ∈Z ，∴－37≤k ≤187，∴k ＝0,1,2，即在[0,2π]内终边与θ3角的终边相同的角为2π7，20π21，34π21共三个.题型二弧度制例2 (1)(2016·南京模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是 . 答案2解析设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2. (2)已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . ①若α＝100°，r ＝2，求扇形的面积；②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数. 解 ①S ＝12lr ＝12αr 2＝12×59π×4＝109π.②由题意知l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ， S ＝12l ·r ＝12(20－2r )·r ＝－(r －5)2＋25，当r ＝5时，S 的最大值为25.当r ＝5时，l ＝20－2×5＝10，α＝lr＝2(rad).即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2. 思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 .(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 . 答案 (1)－π3(2) 3解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.(2)如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB 垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ，∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr ＝ 3.题型三三角函数的概念命题点1 三角函数定义的应用例3 (1)(2016·徐州模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为 .(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 .答案 (1)－64 (2)⎝⎛⎭⎫－12，32 解析 (1)由题意知r ＝3＋m 2， ∴sin θ＝m 3＋m 2＝24m ， ∵m ≠0，∴m ＝±5，∴r ＝3＋m 2＝22，∴cos θ＝－322＝－64.(2)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足 x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. ∴Q 点的坐标为(－12，32).命题点2 三角函数线例4 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为 . 答案 [2k π＋π3，2k π＋5π6)(k ∈Z )解析要使原函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x >12，cos x ≤12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为[2k π＋π3，2k π＋5π6)(k ∈Z ).思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.(1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a 的取值范围是 .(2)满足cos α≤－12的角α的集合为 .答案 (1)(－2,3] (2){α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }解析 (1)∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0， ∴－2<a ≤3.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }.6.数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →的坐标为 .(2)(2016·盐城模拟)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为 .思想方法指导在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数不等式的解集. 解析 (1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin(2－π2)＝－cos 2，CB ＝cos(2－π2)＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，yP ＝1＋PB ＝1－cos 2，所以OP →＝(2－sin 2,1－cos 2). (2)∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z ). 答案 (1)(2－sin 2,1－cos 2) (2)⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )1.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 .①2k π＋45°(k ∈Z ) ②k ·360°＋94π(k ∈Z )③k ·360°－315°(k ∈Z ) ④k π＋5π4(k ∈Z )答案 ③解析与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有③正确.2.若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是 . ①sin α＋cos α＜0 ②tan α－sin α＜0 ③cos α－tan α＜0 ④tan αsin α＜0 答案 ②解析 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除①、③、④. 3.(2016·镇江一模)已知α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α＝ . 答案－153解析 ∵P (x ，5)，∴y ＝ 5. 又cos α＝24x ＝xr，∴r ＝22， ∴x 2＋(5)2＝(22)2，解得x ＝±3. 由α是第二象限的角，得x ＝－3， ∴tan α＝y x ＝5－3＝－153.4.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第象限. 答案二解析 ∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0，∴角α的终边在第二象限. 5.已知点P (sin α－cos α，2)在第二象限，则α的一个变化区间是 . ①⎝⎛⎭⎫－π2，π2 ②⎝⎛⎭⎫－π4，3π4 ③⎝⎛⎭⎫－3π4，π4 ④⎝⎛⎭⎫π2，π答案 ③解析 ∵P (sin α－cos α，2)在第二象限，∴sin α<cos α， ∴α的一个变化区间是⎝⎛⎭⎫－3π4，π4. 6.已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为 . 答案－1解析由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7.在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为 . 答案 (－1，3)解析依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3).8.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于 . 答案 π3解析设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎨⎧ l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2. 9.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第象限角. 答案二解析由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2， ∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角. 10.在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为 .答案 (π4，5π4) 解析如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈(π4，5π4).11.若－3π4<α<－π2，则sin α，cos α，tan α的大小关系是 . 答案 sin α＜cos α＜tan α解析如图，在单位圆中，作出－3π4＜α＜－π2内的一个角及其正弦线，余弦线，正切线.由图知，OM ＜MP ＜AT ，考虑方向可得MP ＜OM ＜AT ，即sin α＜cos α＜tan α.12.一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2. ∴圆心角α＝l r＝2(rad). 如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm).∴圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm.13.已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求α2终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号. 解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }. (2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限.(3)当α2在第二象限时，tan α2<0， sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0， sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号. 因此，tan α2sin α2cos α2取正号.。

2018高考(江苏专版)大一轮数学(文)复习检测：第30课正弦定理与解三角形含答案

第30课正弦定理与解三角形A 应知应会1.在△ABC中,若A=60°，a=4，b=4，则角B的大小为.2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c。

若a=,c=,A=45°,则C= .3。

在△ABC中,已知9cos2A-4cos2B=5,那么= 。

4.在△ABC中,若AB=,AC=1,B=30°，则△ABC的面积等于。

5。

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c.已知3a cos C=2c cos A，tan A=,求角B的大小.6.(2016·苏北四市期末)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。

已知sin A=，tan（A-B）=—。

（1）求tan B的值；（2) 若b=5,求c的值.B 巩固提升1.在△ABC中，已知角A,B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列,且a=1,b=，则S△ABC= .2。

（2016·泰州中学改编）在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b，c.若<C〈，且=，则△ABC的形状为.3.在锐角三角形ABC中，若BC=1，B=2A,则的值等于，AC的取值范围是。

4.(2016·苏州、无锡、常州、镇江一调) 若一个钝角三角形的三个内角成等差数列,且最长边与最短边的长度之比为m，则实数m的取值范围是.5.在△ABC中,角A，B,C的对边分别为a，b，c。

已知A=,b sin-c sin=a.（1）求证：B—C=；(2) 若a=，求△ABC的面积。

6。

在△ABC中,已知2a cos B=c，sin A sin B（2—cos C）=sin2+，试判断△ABC的形状。

第30课正弦定理与解三角形A 应知应会1。

45°【解析】由正弦定理可得=，即sin B==,注意到内角和为180°,且a〉b,所以B=45°.2。

60°或120°【解析】在△ABC中，由正弦定理可得=,即=，解得sin C=，所以C=60°或120°。

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.7解三角形的综合应用教师用书理

第四章三角函数、解三角形 4.7 解三角形的综合应用教师用书理苏教版1.仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).2.方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等. 3.方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②). 【知识拓展】 1.三角形的面积公式S ＝p p －a p －b p －c (p ＝a ＋b ＋c 2)，S ＝abc 4R ＝rp (R 为三角形外接圆半径，r 为三角形内切圆半径，p ＝a ＋b ＋c 2).2.坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，π2].( × )(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( √ )(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，π2).( √)1.(教材改编)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为________ m. 答案 50 2 解析由正弦定理得AB sin∠ACB ＝ACsin B，又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m).2.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是________n mile. 答案 70解析设两船之间的距离为d ，则d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900， ∴d ＝70，即两船相距70 n mile.3.(教材改编)海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC ＝________ n mile. 答案 5 6解析如图，在△ABC 中，AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，∴BCsin 60°＝10sin 45°，∴BC ＝5 6.4.如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝________.答案32a 解析由已知得∠DAC ＝30°，△ADC 为等腰三角形，AD ＝3a ，又在Rt△ADB 中，AB ＝12AD＝32a . 5.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h ；水的流向是正东，流速是20 km/h ，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________ km/h.答案 60° 20 3解析如图，∠AOB ＝60°，由余弦定理知OC 2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC ＝203，∠COY ＝30°＋30°＝60°.题型一求距离、高度问题例1 (1)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD 是60 m ，则河流的宽度BC ＝________ m.(2)如图，A ，B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的射影，则山高CD ＝________ m. 答案 (1)120(3－1) (2)800(3＋1)解析 (1)如图，在△ACD 中，∠CAD ＝90°－30°＝60°，AD ＝60 m ，所以CD ＝AD ·tan 60°＝603(m).在△ABD 中，∠BAD ＝90°－75°＝15°，所以BD ＝AD ·tan 15°＝60(2－3)(m). 所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3) ＝120(3－1) (m).(2)在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°. 由AB sin 15°＝AD sin 45°，得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24 ＝800(3＋1)(m).∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°， ∴CD ＝AD ＝800(3＋1) m.思维升华求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念.(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.(1)一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________ km.(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.答案 (1)30 2 (2)30＋30 3解析 (1)如图，由题意，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，∴B ＝45°，AC ＝60 km ，由正弦定理BC sin 30°＝ACsin 45°，∴BC ＝30 2 km.(2)在△PAB 中，∠PAB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PB sin 30°＝ABsin 15°，∴PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，∴树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m). 题型二求角度问题例2 甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9海里的B 处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C 处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值.(结果保留根号，无需求近似值)解设用t 小时，甲船追上乙船，且在C 处相遇，那么在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∠ABC ＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理，得(28t )2＝81＋(20t )2－2×9×20t ×(－12)，128t 2－60t －27＝0，解得t ＝34或t ＝－932(舍去)，所以AC ＝21(海里)，BC ＝15(海里)，根据正弦定理，得sin∠BAC ＝BC sin∠ABC AC ＝5314， cos∠BAC ＝1－75142＝1114. 又∠ABC ＝120°，∠BAC 为锐角，所以θ＝45°－∠BAC ， sin θ＝sin(45°－∠BAC )＝sin 45°cos∠BAC －cos 45°sin∠BAC ＝112－5628.思维升华解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.(1)(2016·苏州模拟)如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________. 答案2114解析在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理，得AB sin∠ACB ＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°) ＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝2114. 题型三三角形与三角函数的综合问题例3 (2016·扬州调研)在斜三角形ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1.(1)求C 的值；(2)若A ＝15°，AB ＝2，求△ABC 的周长.解 (1)方法一因为tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1，即tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B ，因为在斜三角形ABC 中，1－tan A tan B ≠0，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝1，即tan(180°－C )＝1，即tan C ＝－1，因为0°<C <180°，所以C ＝135°.方法二由tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1，得sin A cos A ＋sin B cos B ＋sin A sin Bcos A cos B＝1，化简得sin A cos B ＋sin B cos A ＋sin A sin B ＝cos A cos B ，即sin(A ＋B )＝cos(A ＋B )，所以sin C ＝－cos C ，因为斜三角形ABC ，所以C ＝135°.(2)在△ABC 中，A ＝15°，C ＝135°，则B ＝180°－A －C ＝30°. 由正弦定理BC sin A ＝CA sin B ＝ABsin C得BCsin 15°＝CA sin 30°＝2sin 135°＝2，故BC ＝2sin 15°＝2sin(45°－30°) ＝2(sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°)＝6－22， CA ＝2sin 30°＝1.所以△ABC 的周长为AB ＋BC ＋CA ＝2＋6－22＋1 ＝2＋6＋22. 思维升华三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题.(2016·南京学情调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cosB ＝b cos A .(1)求b a的值；(2)若sin A ＝13，求sin(C －π4)的值.解 (1)方法一由a cos B ＝b cos A ，结合正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ，即sin(A －B )＝0.因为A ，B ∈(0，π)，所以A －B ∈(－π，π)，所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ，即ba＝1. 方法二由a cos B ＝b cos A ，结合余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b ·b 2＋c 2－a 22bc，即2a 2＝2b 2，即b a＝1.(2) 因为sin A ＝13，由(1)知A ＝B ，因此A 为锐角，所以cos A ＝223.所以sin C ＝sin(π－2A )＝sin 2A ＝2sin A cos A ＝429，cos C ＝cos(π－2A )＝－cos 2A ＝－1＋2sin 2A ＝－79.所以sin(C －π4)＝sin C cos π4－cos C sin π4＝429×22＋79×22＝8＋7218.10.函数思想在解三角形中的应用典例 (14分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.思想方法指导已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决. 规范解答解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，[1分]则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos 90°－30° ＝900t 2－600t ＋400＝900 t －132＋300.[3分]故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.[6分]即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小. [7分](2)设小艇与轮船在B 处相遇.则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t2.[10分]∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30，故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.[13分]故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时.[14分]1.(2017·苏北四市联考)一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是________海里. 答案 10 2解析如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里).2.在高出海平面200 m 的小岛顶上A 处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________ m. 答案 200(3＋1)解析过点A 作AH ⊥BC 于点H ，由图易知∠BAH ＝45°，∠CAH ＝60°，AH ＝200 m ，则BH ＝AH ＝200 m ，CH ＝AH ·tan 60°＝200 3 (m). 故两船距离BC ＝BH ＋CH ＝200(3＋1) (m).3.江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m. 答案 10 3解析如图，OM ＝AO tan 45°＝30 (m)，ON ＝AO tan 30°＝30×33＝10 3 (m)，在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝ 900＋300－2×30×103×32＝300＝10 3 (m).4.(2016·南京模拟)如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________.答案 45°解析依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝ 305 2＋ 2010 2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.5.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________.答案 15 6解析在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BC sin 30°＝30sin 135°，所以BC ＝15 2.在Rt△ABC 中，AB ＝BC tan∠ACB ＝152×3＝15 6.6.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗.答案 0.6解析在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°，CD ＝106(米).由正弦定理，得BC ＝CD sin 45°sin 30°＝203(米).在Rt△ABC 中，AB ＝BC sin 60°＝203×32＝30(米). 所以升旗速度v ＝AB t ＝3050＝0.6(米/秒).7.如图，CD 是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD 所在水平面上的山体外取点A ，B ，并测得四边形ABCD 中，∠ABC ＝π3，∠BAD ＝23π，AB ＝BC ＝400米，AD ＝250米，则应开凿的隧道CD 的长为________米.答案 350解析在△ABC 中，AB ＝BC ＝400米，∠ABC ＝π3， ∴AC ＝AB ＝400米，∠BAC ＝π3. ∴∠CAD ＝∠BAD －∠BAC ＝2π3－π3＝π3. ∴在△CAD 中，由余弦定理，得CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos∠CAD＝4002＋2502－2·400·250·cos π3＝122 500. ∴CD ＝350米.8.如图，一艘船上午9∶30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是______ n mile/h.答案 32解析设航速为v n mile/h ，在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，∴v ＝32. 9.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.答案 507解析如图，连结OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC ＝507.*10.在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________.答案 (1，2]解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin π4＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤sin π2，即x ∈(1，2]. 11.要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度.解如图，设电视塔AB 高为x m ，则在Rt△ABC 中，由∠ACB ＝45°，得BC ＝x .在Rt△ADB 中，∠ADB ＝30°，则BD ＝3x .在△BDC 中，由余弦定理得，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°，即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°，解得x ＝40，所以电视塔高为40 m.12.(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值. 解 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154. 由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8.由asin A ＝c sin C ，得sin C ＝158. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6 ＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316. *13.在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解如图，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获走私船(在D 点)，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，解得BC ＝ 6.又BC sin∠BAC ＝ACsin∠ABC ， ∴sin∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin 120°6＝22， ∴∠ABC ＝45°，故B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin∠BCD ＝CD sin∠CBD ， ∴sin∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝6，解得t ＝610小时≈15分钟. ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.14.(教材改编)如图，有两条相交成60°角的直路X ′X ，Y ′Y ，交点是O ，甲、乙两人分别在OX 、OY 上，甲的起始位置离点O 3 km ，乙的起始位置离点O 1 km.后来甲沿XX ′的方向，乙沿YY ′的方向，同时以4 km/h 的速度步行.(1) 求甲、乙在起始位置时两人之间的距离；(2) 设t h 后甲、乙两人的距离为d (t )，写出d (t )的表达式.当t 为何值时，甲、乙两人之间的距离最短？并求出两人之间的最短距离.解 (1) 由余弦定理，得起初两人的距离为12＋32－2×1×3×cos 60°＝7(km).(2)设t h 后两人的距离为d (t )，则当0≤t ≤14时，d (t )＝1－4t 2＋ 3－4t 2－2× 1－4t × 3－4t ×cos 60° ＝16t 2－16t ＋7；当t >34时，d (t )＝4t －1 2＋ 4t －3 2－2× 4t －1 × 4t －3 ×cos 60° ＝16t 2－16t ＋7；当14<t ≤34时，d (t )＝4t －1 2＋ 3－4t 2－2× 4t －1 × 3－4t ×cos 120°＝16t 2－16t ＋7.所以d (t )＝16t 2－16t ＋7＝ 16 t －12 2＋3 (t ≥0)，当t ＝12时，两人的距离最短. 答当t ＝12时，两人的最短距离为 3 km.。

2018年江苏省高考数学一轮训练试题考点3：三角函数,解三角形与平面向量

2018-2019学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷数学 Ⅰ试题 2018.17、设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是 ▲ 答案：42511、在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 ▲ 12、已知函数x x x f sin )(=，∈x R ，则)5(πf ，)1(f ，）（3π-f 的大小关系为 ▲16、（本题满分14分）已知向量)sin ,(sin B A =，)cos ,(cos A B =，C n m 2sin =⋅，其中A 、B 、C 为ABC ∆的内角. (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)(=-⋅，求AB 的长. 解：(Ⅰ))sin(cos sin cos sin B A A B B A +=⋅+⋅=⋅ ………………………(2分)对于C B A C C B A ABC sin )sin(0,,=+∴<<-=+∆ππ，.sin C =⋅∴………………………(4分)又C n m 2sin =⋅ ，.3,21cos ,sin 2sin π===∴C C C C ………………………(7分) (Ⅱ)由B A C B C A sin sin sin 2,sin ,sin ,sin +=得成等差比数列，由正弦定理得.2b a c +=………………………(9分)18,18)(=⋅∴=-⋅ ，即.36,18cos ==ab C ab……………………(12分)由余弦弦定理ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+=，36,3634222=⨯-=∴c c c ，.6=∴c …………………(14分)江苏省2018高考数学模拟题(压题卷)3．已知点O 为△ABC 的外心，且4AC = ，2AB =，则AO BC ⋅ 的值等于 6 ．4．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a，则c 的最大值是2． 6. 已知2πn x ≠，函数xx 22cos 4sin 1+的最小值是 8 . 二、1．已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，向量(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n B B =，cos m n B C ⋅=- ． (1)求角A 的大小；(2)若a =3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)cos cos sin sin m n A B A B ⋅=+，又cos()m n B A B ⋅=++cos cos sin sin B A B A B =+-，s i n 2s i ns i n B B A =， sin 2A =， 3A π∴=或23A π=． (2)2222cos a b c bc A =+-， ①当3A π=时，229b c bc bc +-=≥，1s i n 2s b c A b ∴=；②当23A π=时，2293b c bc bc =++≥，故3bc ≤，1sin 2S bc A ∴=≤．六、函数题1．如图，海岸线MAN ，2,A θ∠=现用长为l 的拦网围成一养殖场，其中,B MA C NA ∈∈．(1)若BC l =,求养殖场面积最大值；(2)若B 、C 为定点，BC l <，在折线MBCN 内选点D ，使B D D C l +=，求四边形养殖场DBAC 的最大面积．解：(1)设,,0,0.AB x AC y x y ==>>2222cos222cos2l x y xy xy xy θθ=+-≥-，22222cos 24sin l l xy θθ≤=-，22211cos sin 22sin cos 224sin 4sin l l S xy θθθθθθ=≤⋅⋅=，所以，△ABC 面积的最大值为2cos 4sin l θθ，当且仅当x y =时取到．(2)设,(AB m AC n m n ==，为定值)． 2BC c =(定值) ，由2DB DC l a +==，a =12l ，知点D 在以B 、C 为焦点的椭圆上，1sin 22ABC S mn θ∆=为定值．只需D B C ∆面积最大,需此时点D 到BC 的距离最大, 即D 必为椭圆短轴顶点． BCD b S ∆==面积的最大值为122c b c ⋅⋅=因此,四边形ACDB 面积的最大值为1sin 22m n c θ⋅⋅+2．如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB 的长为4.5km ，且跑道所在的直线与海岸线l 的夹角为60o （海岸——可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B 到海岸线的距离,BC D =为海湾一侧海岸线CT 上的一点，设()CD x km =，点D 对跑道AB 的视角为θ．(1)将tan θ表示为x 的函数； (2)求点D 的位置，使θ取得最大值．解：(1)过A 分别作直线CD ，BC 的垂线，垂足分别为E ，F ．由题知， 4.5,906030AB BC ABF ==∠=︒-︒=︒，所以94.5sin 30, 4.5cos304CE AF BF AE CF BC BF ==⨯︒==⨯︒===+=，因为(0C D x x =>，所以tan BC BDC CD ∠== 当94x >时，9,tan 4AE ED x ADC ED=-∠=494x ==-（如图1），当904x <<时, 9,4ED x =-tan AE ADC ED ∠=-=(如图2)，所以tan tan tan()ADB ADC BDC θ=∠=∠-∠tan tan 1tan tan ADC BDC ADC BDC ∠-∠==+∠⋅∠=0x >且9.4x ≠ 当94x =，tan 48CE BC θ==符合上式．所以tan 0x θ=>.(2)4)tan ,0400(49)3004(4)414x x x x x x θ+==>-+++-+，因为4004(4)4141394x x ++-≥=+，当且仅当4004(4)4x x +=+，即6x =时取等号．所以当6x =时，4004(4)414x x ++-+取最小值39，所以当6x =时，tan θ取最大值13由于tan y x =在区间(0,)2π上是增函数，所以当6x =时θ取最大值，答：在海湾一侧的海岸线CT 上距C 点6km 处的D 点处观看飞机跑道的视角最大．2019届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题9.在△ABC 中,已知b =22,a =2,如果三角形有解,则角A 的取值范围是答案：(0,π4]二、16．(本小题满分14分) 在∆ABC 中，点M 是BC 的中点，∆AMC 的三边长是连续三个正整数，tan ∠C •tan ∠BAM=1 (1)判断∆ABC 的形状；(2)求∠BAC 的余弦值。

2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第四章三角函数、解三角形 4.2 含答案精品

1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2.各角的终边与角α的终边的关系3.六组诱导公式【知识拓展】1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.2.同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( × )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.( √ )1.(2015·福建改编)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为 .答案－512解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512.2.(教材改编)已知cos θ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tan θ的值为 .答案－43解析因为θ为第四象限角，所以tan θ＜0，sin θ＜0， sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.3.(2016·连云港模拟)计算：sin116π＋cos 103π＝ .答案－1 解析 ∵sin 116π＝sin(π＋56π)＝－sin 5π6＝－12， cos103π＝cos(2π＋4π3)＝cos 4π3＝－12， ∴sin116π＋cos 103π＝－1. 4.(教材改编)已知tan α＝1，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝ .答案 12解析原式＝2tan α－1tan α＋1＝2－11＋1＝12.5.(教材改编)化简：tan (3π－α)sin (π－α)sin (3π2－α)＋sin (2π－α)cos (α－7π2)sin (3π2＋α)cos (2π＋α)＝ .答案 1解析因为tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α， sin(3π2－α)＝－cos α，sin(2π－α)＝－sin α，cos(α－7π2)＝cos(α＋π2)＝－sin α，sin(3π2＋α)＝－cos α，cos(2π＋α)＝cos α，所以原式＝－tan αsin α(－cos α)＋－sin α(－sin α)－cos αcos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α ＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.题型一同角三角函数关系式的应用例1 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为 .(2)(2016·苏州期末)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝ .答案 (1)32 (2)－3125解析 (1)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－2cos θ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，解得cos θ＝35或－725.因为θ是第三象限角，所以cos θ＝－725，从而sin θ＝－2425，所以sin θ＋cos θ＝－3125.思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝ .答案－1解析由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0， ∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.题型二诱导公式的应用例2 (1)(2016·宿迁模拟)已知f (x )＝sin (2π－x )·cos (32π＋x )cos (3π－x )·sin (112π－x )，则f (－21π4)＝ .(2)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是 .答案 (1)－1 (2){2，－2}解析 (1)f (x )＝－sin x ·sin x－cos x ·(－cos x )＝－tan 2x ，f (－21π4)＝－tan 2(－21π4)＝－tan 234π＝－1.(2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.∴A 的值构成的集合是{2，－2}. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了. (2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.(1)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin (α－3π2)cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝ .(2)(2016·南京模拟)已知角α终边上一点P (－4,3)，则 cos (π2＋α)·sin (－π－α)cos (11π2－α)·sin (9π2＋α)的值为 .答案 (1)－1 (2)－34解析 (1)原式＝tan αcos αsin[－2π＋(α＋π2)]cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin (π2＋α)(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)原式＝(－sin α)sin α(－sin α)cos α＝tan α，根据三角函数的定义得tan α＝－34.题型三同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3 (1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是 . 答案31010解析 2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，①tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为 tan α－6sin β－1＝0.②由①②消去sin β，解得tan α＝3. 又α为锐角，根据sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝31010.(2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15.①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值.解 ①由已知，得sin x ＋cos x ＝15，sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.由－π<x <0，知sin x <0，又sin x ＋cos x >0， ∴cos x >0，sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75.②sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.引申探究本题(2)中，若将条件“－π<x <0”改为“0<x <π”，求sin x －cos x 的值. 解若0<x <π，又2sin x cos x ＝－2425，∴sin x >0，cos x <0，∴sin x －cos x >0，又(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，故sin x －cos x ＝75.思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数符号的影响.已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，求sin (α＋3π2)sin (3π2－α)tan 2(2π－α)tan (π－α)cos (π2－α)cos (π2＋α)的值.解由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35，所以sin α＝－35，再由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以tan α＝±34，所以原式＝－cos α(－cos α)·tan 2α(－tan α)sin α·(－sin α)＝tan α＝±34.7.分类讨论思想在三角函数中的应用典例 (1)已知sin α＝255，则tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝ .(2)已知k ∈Z ，化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)＝ .思想方法指导 (1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论.(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k 是奇数或偶数进行讨论. 解析 (1)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角.tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ①当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2 α＝55，原式＝1sin αcos α＝52.②当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.(2)当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α(－cos α)＝－1.综上，原式＝－1. 答案 (1)52或－52(2)－11.(2016·盐城模拟)已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值为 .答案 34解析 ∵α∈(0，π)， ∴sin α＝ 1－cos 2α＝1－(45)2＝35，由tan α＝sin αcos α，得tan α＝34. 2.已知cos α＝13，且－π2＜α＜0，则cos (－α－π)sin (2π＋α)tan (2π－α)sin (3π2－α)cos (π2＋α)＝ .答案－2 2解析原式＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－cos α)·(－sin α)＝tan α，∵cos α＝13，－π2<α<0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.3.若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 .答案－3解析由角α的终边落在第三象限，得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.4.若sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α的值为 .答案－25解析由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 5.已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为 . 答案－3解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－3.*6.(2016·扬州模拟)若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为 . 答案 1－ 5解析由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.7.已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝ .答案－74解析因为α为钝角，所以cos(π4＋α)＝－74，所以sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)＝－74.8.(2016·江苏如东高级中学期中)若sin α＝2cos α，则sin 2α＋2cos 2α的值为 . 答案 65解析由sin α＝2cos α，得tan α＝2，因此sin 2α＋2cos 2α＝sin 2α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α＋2tan 2α＋1＝4＋24＋1＝65. 9.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin (3π2＋θ)＋cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝ . 答案 2解析由题意可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2. 10.(2016·无锡模拟)已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α 1＋1tan 2α＝ . 答案 0解析原式＝cos α sin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α sin 2α＋cos 2αsin 2α ＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0. 11.已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16. (2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 12.已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值.解 (1)∵(sin A ＋cos A )2＝125， ∴1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225. (2)∵sin A cos A <0，又0<A <π，∴cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形.(3)(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝4925. 又sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75， ∴sin A ＝45，cos A ＝－35，故tan A ＝－43. *13.已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π).求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值.解 (1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12. (2)由sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θ·cos θ＝34，知⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.。

2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义文档第四章三角函数、解三角形 4.6 含答案精品

1.正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下3.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径).【知识拓展】 1.三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2.2.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cosC 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B . 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( × ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形.( × ) (5)在△ABC 中，asin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C.( √ )(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ )1.(教材改编)在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S △ABC ＝________. 答案3＋1解析 ∵b ＝a sin B sin A ＝2×sin 105°sin 30°＝6＋2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝(6＋2)×22＝3＋1.2.(教材改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c ＝________.答案1063解析由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即1032＝c 22，∴c ＝1063.3.(教材改编)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝________. 答案 1解析方法一在△ABC 中，根据余弦定理，即BC 2＝AB 2＋AC 2－2·AB ·AC ·cos 60°，得(3)2＝AB 2＋22－2AB ×2×cos 60°，整理得AB 2－2AB ＋1＝0，解得AB ＝1. 方法二在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，即2sin B ＝3sin 60°，解得sin B ＝1，因为B ∈(0°，180°)，所以B ＝90°，所以AB ＝22－(3)2＝1.4.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝120°，a ＝2，b ＝233，则B ＝________.答案 π6解析 ∵A ＝120°，a ＝2，b ＝233，∴由正弦定理a sin A ＝bsin B 可得，sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12.∵A ＝120°，∴B ＝30°，即B ＝π6.5.(教材改编)在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为________. 答案 7解析由条件知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝92＋82－722×9×8＝23，设AC 边上的中线长为x ，由余弦定理知 x 2＝(AC 2)2＋AB 2－2×AC2×AB cos A＝42＋92－2×4×9×23＝49，∴x ＝7，故所求中线长为7.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (1)(2016·南京、盐城调研)在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝π4，cos B ＝35，则c ＝________.答案 7解析因为cos B ＝35，所以B ∈(0，π2)，从而sin B ＝45，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×35＋22×45＝7210，又由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即522＝c7210，解得c ＝7.(2)(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .①证明：sin A sin B ＝sin C ； ②若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .①证明根据正弦定理，可设 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .所以sin A sin B ＝sin C . ②解由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由①知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B .故tan B ＝sin Bcos B＝4.思维升华应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A 或其他相应变形公式求解.(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa或其他相应变形公式求解.(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.(1)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A＝2a ，则ba＝________.(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝b ，且sin(A －C )＝2cos A sin C ，则b ＝______. 答案 (1)2 (2)2 解析 (1)(边化角)由a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 及正弦定理，得 sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A ＝ 2.(2)(角化边)由题意，得sin A cos C －cos A sin C ＝2cos A sin C ，即sin A cos C ＝3cos A sin C ，由正弦、余弦定理，得 a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3c ·b 2＋c 2－a 22bc ，整理得2(a 2－c 2)＝b 2， ① 又a 2－c 2＝b ，②联立①②得b ＝2.题型二和三角形面积有关的问题例2 (2016·南通模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2a cos B ，b ＝2，求△ABC 的面积.解 (1)在△ABC 中，由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，即cos C ＝－12.因为0<C <π，所以C ＝2π3.(2) 方法一因为c ＝2a cos B ，由正弦定理，得 sin C ＝2sin A cos B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，又－π3<A －B <π3，所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2. 所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.方法二由c ＝2a cos B 及余弦定理，得 c ＝2a ×a 2＋c 2－b 22ac ，化简得a ＝b ，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________. 答案332解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6. ①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.题型三正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 的形状为__________三角形.(2)设ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则△ABC 的形状为________三角形. 答案 (1)钝角 (2)钝角解析 (1)由c b <cos A ，得sin Csin B <cos A ，所以sin C <sin B cos A ，即sin(A ＋B )<sin B cos A ，所以sin A cos B <0，因为在三角形中sin A >0，所以cos B <0，即B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形. (2)由3sin A ＝5sin B 及正弦定理得3a ＝5b ，故a ＝53b ，c ＝73b .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，即C ＝23π.从而△ABC 为钝角三角形. 引申探究1.例3(2)中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状. 解 ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos B sin A ， ∴sin(A －B )＝0，又A ，B 为△ABC 的内角. ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形.2.例3(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状. 解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ，故△ABC 为等边三角形.命题点2 求解几何计算问题例4 (2016·连云港调研)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD ＝1，BD ＝210，∠CAD ＝π4，tan ∠ADC ＝－2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.解 (1)因为tan ∠ADC ＝－2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC ＝255，cos ∠ADC ＝－55.所以sin ∠ACD ＝sin(π－∠ADC －π4)＝sin(∠ADC ＋π4)＝sin ∠ADC ·cos π4＋cos ∠ADC ·sin π4＝1010，在△ADC 中，由正弦定理得 CD ＝AD ·sin ∠DACsin ∠ACD＝ 5.(2)因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD ＝－cos ∠ADC ＝55，sin ∠BCD ＝sin ∠ADC ＝255. 在△BDC 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD ，得BC 2－2BC －35＝0，解得BC ＝7, 所以S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD＝12×7×5×255＝7. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论. (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.(1)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点，已知∠B ＝60°，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，则AB ＝______.(2)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________.答案 (1)263 (2)(6－2，6＋2)解析 (1)由题意得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝4＋2－102×2×2＝－22，∴sin ∠ADC ＝22，∴sin ∠ADB ＝sin(π－∠ADC )＝22. 由正弦定理可得，AD sin 60°＝ABsin ∠ADB ，∴AB ＝232·22＝263.(2)如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°， BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.二审结论会转换典例 (14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值.(1)求cos A ―――――→根据余弦定理求三边a ，b ，c 的长或长度问题――――――→已有a －c ＝66b 利用正弦定理将sin B ＝6sin C 化为b ＝6c (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6―→求cos 2A ，sin 2A ―→ 求sin A ，cos A ――――→第(1)问已求出cos A 根据同角关系求sin A 规范解答解 (1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c ， [2分] 又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ，[4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.[7分](2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. [9分] 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，[10分] sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[11分]所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A cos π6＋sin 2A sin π6 ＝⎝⎛⎭⎫－14×32＋154×12＝15－38.[14分]1.(教材改编)若△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则S △ABC ＝________.答案154解析由cos C ＝14，得sin C ＝154，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝154.2.(2016·全国乙卷改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝______. 答案 3解析由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去. 3.(2016·盐城模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为____________三角形. 答案等腰直角解析由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ，在三角形中sin A ≠0， ∴sin A ＝1，∴A ＝90°，由sin 2B ＝sin 2C ，知b ＝c ，综上可知，△ABC 为等腰直角三角形.4.在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是有________解.(填0,1,2) 答案 0解析由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在.5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 的形状是________三角形. 答案直角解析在△ABC 中，∵cos 2A 2＝b ＋c2c ，∴1＋cos A 2＝b 2c ＋12，∴cos A ＝bc， ∴由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2.即a 2＋b 2＝c 2.故△ABC 是直角三角形.6.(2016·连云港模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________. 答案3＋1解析 ∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c ＝b sin Csin B ＝2×2212＝22，A ＝π－(π6＋π4)＝712π，∴sin A ＝sin(π4＋π3)＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝2＋64. 则S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.7.(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a＝1，则b ＝________. 答案2113解析在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.8.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin ∠CED ＝________.答案1010解析由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5. 在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC EC ＝15＝55，所以sin ∠CED ＝55·sin ∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. 9.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A 的值等于________.答案 16 2解析依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B＝16 2.10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________. 答案 12解析由正弦定理a sin A ＝bsin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3.∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3(b ＋c 2)2，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.11.(2016·苏锡常镇一调)若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60°.设最小角为α，则最大角为120°－α，其中0°<α<30°.由正弦定理得m ＝sin (120°－α)sin α＝32·1tan α＋12>32×3＋12＝2.12.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若∠B ＝∠C 且7a 2＋b 2＋c 2＝43，则△ABC 的面积的最大值为________.答案55解析由∠B ＝∠C ，得b ＝c ，代入7a 2＋b 2＋c 2＝43，得7a 2＋2b 2＝43，即2b 2＝43－7a 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a2b，所以sin C ＝1－cos 2C ＝4b 2－a 22b ＝83－15a 22b，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12ab ×83－15a 22b ＝14a 83－15a 2＝14a 2(83－15a 2) ＝14×11515a 2(83－15a 2)≤14×115×15a 2＋83－15a 22 ＝14×115×43＝55，当且仅当15a 2＝83－15a 2时取等号，此时a 2＝4315.所以△ABC 的面积的最大值为55. 13.(2015·湖南)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A . (1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .(1)证明由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， ∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得 sin A ＝sin B ·sin Acos A ，又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴1＝sin B cos A ，即sin B ＝cos A .(2)解由sin C －sin A cos B ＝34知，sin(A ＋B )－sin A cos B ＝34，∴cos A sin B ＝34.由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角，故A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos A ＝32，A ＝π6. sin B ＝32，B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π6. 14.(2015·陕西)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行. (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积. 解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)方法一由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而由a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332.方法二由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.。

2018年江苏省高考数学一轮训练试题考点3：三角函数,解

2018－2018学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷1.2018.17、设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是 2、在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于3、已知函数x x x f sin )(=，∈x R ，则)5(πf ，)1(f ，）（3π-f 的大小关系为4、（本题满分14分）已知向量)sin ,(sin B A m =，)cos ,(cos A B n =，C n m 2sin =⋅，其中A 、B 、C 为ABC ∆的内角. (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)(=-⋅AC AB CA ，求AB 的长.江苏省2018高考数学模拟题(压题卷)1．已知点O 为△ABC 的外心，且4AC =，2AB =，则AO BC ⋅的值等于．2．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a，则c 的最大值是．3 已知2πn x ≠，函数xx 22cos 4sin 1+的最小值是 . 4．已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，向量(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n B B =，3sin cos m n B C ⋅=-． (1)求角A 的大小；(2)若a =3，求△ABC 面积的最大值．六、函数题1．如图，海岸线MAN ，2,A θ∠=现用长为l 的拦网围成一养殖场，其中,B MA C NA ∈∈．(1)若BC l =,求养殖场面积最大值；(2)若B 、C 为定点，BC l <，在折线MBCN 内选点D ，使B D D C l +=，求四边形养殖场DBAC 的最大面积．2．如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB 的长为4.5km ，且跑道所在的直线与海岸线l 的夹角为60o （海岸——可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离,BC D =为海湾一侧海岸线CT 上的一点，设()CD x km =，点D 对跑道AB 的视角为θ．(1)将tan θ表示为x 的函数； (2)求点D 的位置，使θ取得最大值．2018届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题9.在△ABC 中,已知b =22,a =2,如果三角形有解,则角A 的取值范围是16．(本小题满分14分) 在∆ABC 中，点M 是BC 的中点，∆AMC 的三边长是连续三个正整数，tan ∠C •tan ∠BAM=1 (1)判断∆ABC 的形状； (2)求∠BAC 的余弦值。

2018届高考数学文大一轮复习检测：第三章三角函数、

课时作业23 正弦定理、余弦定理一、选择题 1．在△ABC 中，A B ＝12，sin C ＝1，则a b c 等于( )A ．12 3B ．32 1C ．13 2D ．23 1解析：由sin C ＝1，∴C ＝π2，由AB ＝12，故A ＋B ＝3A ＝π2，得A ＝π6，B ＝π3，由正弦定理得，ab c ＝sin A sin Bsin C ＝12321＝132.答案：C2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C ， ∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．答案：C3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，且b ＝2a cos B ，c＝1，则△ABC 的面积等于( )A.34B.32C.36D.38解析：由正弦定理可得sin B ＝2sin A cos B ，即tan B ＝2sin A ＝3，所以B ＝π3，因此△ABC 是一个正三角形，所以S △ABC ＝12×32×1×1＝34. 答案：A4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A.12 B ．1 C. 3D ．2解析：∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4.∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝3. 答案：C5．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2D ．1解析：由题意知S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ，即12＝12×1×2sin B ，解得sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×22＝1. 此时AC 2＋AB 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意；当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，解得AC ＝ 5.符合题意．故选B.答案：B6．(2016·新课标全国卷Ⅱ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010解析：设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52c 2＋c 2－92c22×102c ×c＝－1010，故选C.答案：C 二、填空题7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.解析：由a sin A ＝b sin B ，得a 13＝5sin π4，所以a ＝523.答案：5238．(2016·北京卷)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________.解析：∵a ＝3c ，∴sin ∠A ＝3sin ∠C ，∵∠A ＝2π3，∴sin ∠A ＝32，∴sin ∠C ＝12，又∠C 必为锐角，∴∠C ＝π6，∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，∴∠B ＝π6，∴∠B ＝∠C ，∴b ＝c ，∴b c＝1.答案：19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：因为cos A ＝－14，所以sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315.所以，bc ＝24，则(b ＋c )2＝(b －c )2＋4bc ＝4＋4×24＝100，所以，b ＋c ＝10，又b －c ＝2，所以，b ＝6，c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝64，所以a ＝8.答案：8 三、解答题10．(2016·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin2B ＝3b sin A .(Ⅰ)求B ；(Ⅱ)若cos A ＝13，求sin C 的值．解：(Ⅰ)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6. (Ⅱ)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin(A ＋π6)＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16.11．(2016·四川卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos Bb＝sin C c.(Ⅰ)证明：sin A sin B ＝sin C ； (Ⅱ)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .解：(Ⅰ)证明：根据正弦定理，可设asin A＝b sin B ＝csin C＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C ，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C . (Ⅱ)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(Ⅰ)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4.1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－34解析：因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，所以结合三角形的面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2Csin 2C ＋cos 2C＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C. 答案：C2．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为( )A.32B.332C. 3 D ．2 3解析：由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc－4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3.答案：C3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋bc的取值范围为________．解析：由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3.由正弦定理得a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝233·(sin A ＋sin B )，又A ＋B ＝π3，∴B ＝π3－A ，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3.又0<A <π3，∴π3<A ＋π3<2π3，∴sin A ＋sin B ∈⎝⎛⎦⎥⎤32，1，∴a ＋b c ∈⎝⎛⎦⎥⎤1，233.答案：⎝⎛⎦⎥⎤1，2334．(2016·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B .(Ⅰ)证明：A ＝2B ；(Ⅱ)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．解：(Ⅰ)证明：由正弦定理得 sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(Ⅱ)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.。

(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.3三角函数的图象与性质课件文苏教版

答案解析
因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反，
π π 所以 y＝－tan x 的单调递减区间为(－2＋kπ，2＋kπ) (k∈Z).
sin 11° ＜sin 168° 3.(教材改编)sin 11° ， cos 10° ， sin 168° 的大小关系为_________________ ＜cos 10° 答案 _________.
奇偶性
奇函数 _______
偶函数 _______
π (2＋kπ，0) (k∈Z) ________________
奇函数 _______
对称中心
对称轴方程周期
(kπ，0)(k∈Z) ____________
π x＝2＋kπ(k∈Z) _______________
kπ ( 2 ，0)(k∈Z) _____________
余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，( π ，0)， 2 (π，－1) ，( 3π ，0)，(2π，1). 2
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域值域
R ___ [－1，1] ________
2 π (6)若 sin x> 2 ，则 x>4.( × )
考点自测
π 1.函数f(x)＝cos(2x－ π )的最小正周期是____. 6
答案解析
2π 2π 最小正周期为 T＝ ω ＝ 2 ＝π.
π π (－2＋kπ，2＋kπ)(k∈Z) 2.(教材改编)函数y＝－tan x的单调递减区间是______________________.
思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题专题4 三

1．(2016·隆化期中)在△ABC 中，如果sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么cos C ＝________.2.(2016·银川月考)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点间的距离为______________m.3．(2016·安庆检测)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2－c 2＝3bc ，sin B ＝23sin C ，则A ＝________.4．(2016·苏北四市一模)在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，那么边BC 的长为________．5．(2016·常州一模)在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若tan A ＝7tan B ，a 2－b 2c ＝3，则c ＝________.6．(2016·东营期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B ＝________. 7．(2016·南京、盐城、徐州二模)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，已知∠B ＝60°，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，那么AB ＝________.8．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x ，y ，使得AO→＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为________． 9．△ABC 中，A 、B 、C 是其内角，若sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的形状是________________三角形．10．(2016·惠州二调)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且∠C ＝60°，c ＝3，则a ＋23cos Asin B＝________.11．(2016·佛山期中)如图，一艘船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.12．(2016·吉安期中)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，若△ABD 是等边三角形，且AC ＝43，则△ADC 的面积的最大值为________．13．(2016·如东高级中学期中)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________． 14．(2016·南通二模)若一个钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．答案精析1．－14 2.502 3.π6 4.7 5.4 6．45°解析由正弦定理可知a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c sin C ＝2R sin C ·sin C ，∴sin C ＝1，C ＝90°.∴S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)，解得a ＝b ，因此B ＝45°. 7.263解析在△ADC 中，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，则cos ∠ADC ＝－22，所以∠ADC ＝135°，从而在△ABD 中，∠ADB ＝45°.又因为∠B ＝60°，由正弦定理得ADsin B ＝AB sin ∠ADB ，即232＝AB 22，解得AB ＝263.8.23解析设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC . 因为AO→＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →. 又x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23.9．等腰或直角解析因为sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝sin2A ＋sin(A －C )－sin(A ＋C ) ＝2sin A cos A －2sin C cos A ＝2cos A (sin A －sin C )＝0，所以cos A ＝0或sin A ＝sin C ，所以A ＝π2或A ＝C .故△ABC 为等腰或直角三角形．10．4解析由正弦定理知a sin A ＝csin C ＝2，所以a ＝2sin A ，代入得原式＝2sin A ＋23cos A sin B ＝4·sin (A ＋60°)sin B ＝4. 11．30 2解析依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，解得BM ＝30 2. 12．4 3解析在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝AD 2＋DC 2－482AD ·DC ＝－12，整理得AD 2＋DC 2＝48－AD ·DC ≥2AD ·DC ，∴AD ·DC ≤16，当且仅当AD ＝CD 时等号成立， ∴△ADC 的面积S ＝12AD ·DC · sin ∠ADC ＝34AD ·DC ≤4 3. 13.533解析由题意得203＝12×8×10×sin C ⇒sin C ＝32⇒C ＝π3或C ＝2π3(舍)，由余弦定理得c 2＝82＋102－2×8×10×12＝84，由三角形中大边对大角知角B 最大，则cos B ＝82＋84－1022×8×84＝384，所以tan B ＝533. 14．(2，＋∞)解析设A 为钝角，C 为最小角，则A ＋C ＝120°，C ∈(0°，30°)，由正弦定理得m ＝a c ＝sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.而0＜tan C ＜33，∴1tan C ＞3，则m ＞2.。

2018高考江苏专版大一轮数学文复习课件：第五章三角

7 得 4cos －cos2A＝， 2 2 7 即 2(1＋cosA)－(2cos A－1)＝， 2
2
2A
整理得 4cos2A－4cosA＋1＝0， 1 即(2cosA－1) ＝0，所以 cosA＝， 2
2
又 0° <A<180° ，所以 A＝60° .
(2) 若 a＝ 3，b＋c＝3，求 b，c 的值．
又因为 a＋b＝6，所以 c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－ 3ab＝12，所以 c＝2 3.
【思维引导】 (1) 本题可以利用余弦定理将角化边，运算量较大，最后根据三角形内角范围确定所求角的大小，同时，也可以利用正弦定理将边化角，然后求解． 1 (2) 因为已知角 C，所以三角形面积公式选用 S△ABC＝ 2 absinC，从而得到 ab＝8，这样已知两边一角求第三边，利用余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝12，故可求得 c.
【解答】因为a(bcos B－ccos C)＝(b2－c2)cos A，
2 2 2 c2＋a2－b2 a2＋b2－c2 b ＋ c － a 所以 ab· －ac· ＝(b2－c2) ， 2ca 2ab 2bc
去分母化简，得a2b2－b4－a2c2＋c4＝0，
即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0⇒a2＝b2＋c2或b＝c，
3. 题：
利用余弦定理，我们可以解决以下两类解三角形的问
(1) 已知三边，求三个角；
(2) 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
课堂导学
结合余弦定理判断三角形的形状
例1
在△ABC中，已知a(bcos B－ccos C)＝(b2－c2)cos

2018届高考数学一轮复习配餐作业25解三角形的综合应用含解析理

配餐作业(二十五) 解三角形的综合应用(时间：40分钟)1．(2016·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4。

(1)求AB 的长；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值。

解析 (1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35。

由正弦定理知AC sinB ＝AB sinC ，所以AB ＝AC·sinC sinB ＝6×2235＝52。

(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210。

因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos2A ＝7210。

因此， cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620。

答案 (1)5 2 (2)72－6202．(2016·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。

已知2(tan A ＋tan B )＝tanA cosB ＋tanB cosA。

(1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值。

解析 (1)由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinA cosA ＋sinB cosB ＝sinA cosAcosB ＋sinB cosAcosB，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C 。

2018高考(江苏专版)大一轮数学(文)复习检测第30课正弦定理与解三角形 Word版含答案

第课正弦定理与解三角形应知应会.在△中,若°,则角的大小为..在△中,角所对的边分别为.若°,则..在△中,已知,那么..在△中,若°,则△的面积等于..在△中,角的对边分别为.已知,求角的大小..(·苏北四市期末)在锐角三角形中,角的对边分别为.已知().()求的值;()若,求的值.巩固提升.在△中,已知角的对边分别为.若角依次成等差数列,且,则△..(·泰州中学改编)在△中,已知角所对的边分别为.若<<,且,则△的形状为..在锐角三角形中,若,则的值等于的取值范围是..(·苏州、无锡、常州、镇江一调)若一个钝角三角形的三个内角成等差数列,且最长边与最短边的长度之比为,则实数的取值范围是..在△中,角的对边分别为.已知.()求证;()若,求△的面积..在△中,已知(),试判断△的形状.第课正弦定理与解三角形应知应会. °【解析】由正弦定理可得,即,注意到内角和为°,且>,所以°.. °或°【解析】在△中,由正弦定理可得,即,解得,所以°或°..【解析】由,得()(),所以,即.由正弦定理得..或【解析】由正弦定理有,得,即°或°,则°或°,所以△的面积为或..【解答】由题设及正弦定理得,故.因为,所以,所以[°()]().因为∈(°),所以°..【解答】()方法一:在锐角三角形中,由,得,所以.由(),得.方法二:在锐角三角形中,由,得,所以,所以[()].()由,得,所以().由正弦定理得,则.巩固提升.【解析】因为依次成等差数列,所以°.由正弦定理得,即,所以°或°(舍去),所以°,所以△××..等腰三角形【解析】因为,所以,所以.由正弦定理得,所以或π.若,由<<,知<,即<,所以>π,与三角形内角和为π矛盾,故舍去.所以π,所以π()π(π),故△为等腰三角形..(,)【解析】由正弦定理得,则,即.因为≠,故,所以.又由已知得角的大小满足解得<<,故∈,所以的取值范围为(,)..(∞)【解析】由三角形的三个内角成等差数列,得中间角为°.设最小角为α,则最大角为°α,其。

高考(江苏专版)大一轮数学(文)复习检测：第32课解三角形的综合应用 Word版含答案

第32课解三角形的综合应用A 应知应会1.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船A的航行速度是25 n mile/h,轮船B的航行速度是15 n mile/h,那么下午2时时两船之间的距离为.2.小明同学骑电动车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在北偏东30°的方向上,15 min后到达点B处,望见电视塔S在北偏东75°的方向上,则电动车在点B时到电视塔S的距离是.(第3题)3.如图,要测量河对岸A,B两点之间的距离,现沿河岸选取相距40 m的C,D两点,测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则A,B两点之间的距离为m.4.(2016·南师附中)在Rt△ABC中,若C=90°,且角A,B,C所对的边a,b,c满足a+b=cx,则实数x的取值范围是.5.(2016·启东中学)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足=.(1)求角A的大小;(2)若a,c,b成等差数列,试判断△ABC的形状.6.(2016·如东期中)在△ABC中,已知B=,D是边BC上一点,AD=5,CD=3,AC=7.(1)求∠ADC的大小;(2)求·的值.B 巩固提升1.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,那么BD的长为.(第1题)2.如图,某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min,从D沿DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min,则该扇形的半径为m.(第2题)3.(2015·苏州、无锡、常州、镇江调研)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=b+1=a+2,C=2A,则△ABC的面积等于.4.(2015·湖北卷)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西60°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶D在北偏西15°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.(第4题)5.如图,在一条海防警戒线上的点A,B,C处各有一个水声监测点,B,C两处到A的距离分别为20 km和50 km.某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8 s后A,C同时接收到该声波信号.已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km,用x表示B,C两处到P的距离,并求x的值;(2)求P到海防警戒线AC的距离.(结果精确到0.01 km)(第5题)6.(2015·苏州一模)某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一条对角线在l上的四边形电气线路,如图所示,为充分利用现有材料,边BC,CD用一根5 m长的材料弯折而成,边BA,AD用一根9 m长的材料弯折而成,要求∠A和∠C互补,且AB=BC.(1)设AB=x m,cos A=f(x),求f(x)的解析式,并指出x的取值范围;(2)求四边形ABCD面积的最大值.(第6题)第32课解三角形的综合应用A 应知应会1.70 n mile【解析】设轮船A,B航行到下午2时时所在的位置分别是E,F,则依题意有CE=25×2=50,CF=15×2=30,且∠ECF=120°,所以由余弦定理得EF==70.(第2题)2.3 km【解析】如图,由条件知AB=24×=6.在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,所以∠ASB=45°.由正弦定理知=,故BS=·sin 30°=3.3. 20【解析】如图,由题设知△BDC为等腰直角三角形,故DB=40.由∠ACB=60°和∠ADB=60°知A,B,C,D四点共圆,所以∠BAD=∠BCD=45°.在△BDA中,运用正弦定理可得AB=20.(第3题)4.(1,]【解析】x===sin A+cos A=sin.又A∈,所以<A+<,所以<sin≤1,即x∈(1,].5.【解答】(1)由正弦定理得=,整理得a2=b2+c2-bc,又由余弦定理得cos A=.因为A是△ABC的内角,所以A=.(2)因为a,c,b成等差数列,所以2c=a+b.由(1)可知a2=b2+c2-bc,所以(2c-b)2=b2+c2-bc,整理得3c2-3bc=0,由c>0,得b=c,所以a=b=c,所以△ABC是等边三角形.6.【解答】(1)在△ADC中,由余弦定理得AD2+CD2-2AD·CD cos∠ADC=AC2.将AD=5,CD=3,AC=7代入上式中,得cos∠ADC=-.因为0<∠ADC<π,所以∠ADC=.(2)在△ABD中,由正弦定理得=,所以AB=×sin∠ADB=,所以·=×5×cos=.B 巩固提升1.【解析】因为AD⊥AC,所以∠DAC=90°,所以在△ABD中,cos∠BAD=cos(∠BAC-90°)=sin∠BAC=,所以BD==.2.50【解析】如图,连接OC.在△OCD中,OD=100,CD=150,∠CDO=60°,由余弦定理可得OC2=1002+1502-2×100×150×=17 500,则OC=50.(第2题)3.【解析】在△ABC中,由正弦定理得=,所以=,所以2cos A=.又由余弦定理得cos A==,所以2×=,解得b=5,所以cos A=×=,故sin A=,故△ABC的面积等于×5×6×=.4.100【解析】在△ABC中,∠CAB=30°,∠ACB=75°-30°=45°,根据正弦定理知=,即BC=×sin∠BAC=×=300,所以CD=BC×tan∠DBC=300×=100.5.【解答】(1)由题意知PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12.在△PAB中,AB=20,所以cos∠PAB===.在△PAC中,AC=50,所以cos∠PAC===.因为cos∠PAB=cos∠PAC,所以=,解得x=31.(2)过点P作PD⊥AC于点D.在△ADP中,由cos∠PAD=,得sin∠PAD==,所以PD=PA·sin∠PAD=31×=4≈18.33.6.【解答】(1)在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos A.在△CBD中,BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cos C.因为∠A和∠C互补,所以AB2+AD2-2AB·AD·cos A=CB2+CD2-2CB·CD·cos C=CB2+CD2+2CB·CD·cos A,即x2+(9-x)2-2x(9-x)cos A=x2+(5-x)2+2x(5-x)cos A,解得cos A=,即f(x)=,其中x∈(2,5).(2)四边形ABCD的面积S=(AB·AD+CB·CD)sin A=[x(9-x)+x(5-x)]·=x(7-x)·==.记g(x)=(x2-4)(x2-14x+49),x∈(2,5).令g'(x)=2x(x2-14x+49)+(x2-4)·(2x-14)=2(x-7)(2x2-7x-4)=0,解得x=4.故函数g(x)在区间(2,4)内单调递增,在区间(4,5)内单调递减.因此g(x)在区间(2,5)内的最大值为g(4)=12×9=108,所以S的最大值为=6.。

江苏2018高三数学一轮复习三角函数与解三角形

第1讲弧度制与任意角的三角函数考试要求 1.任意角的概念，弧度制的概念，弧度与角度的互化，A级要求；2.任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，B级要求．知识梳理1．角的概念的推广(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．() 解析(1)锐角的取值范围是.(2)第一象限角不一定是锐角．(3)顺时针旋转得到的角是负角．(5)终边相同的角不一定相等．答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2．若角α与角的终边相同，则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是________．解析由题意知，α＝2kπ＋，k∈Z，∴＝＋，k∈Z，又∈[0,2π]，∴k＝0，α＝；k＝1，α＝；k＝2，α＝；k＝3，α＝.答案考点一角的概念及其集合表示【例1】(1)若角α是第二象限角，则是第________象限角．(2)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．解析(1)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．(2)如图，其中正确的是________(填序号)．(2)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是________(填序号)．解析(1)法一由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M?N.法二由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M?N.(2)当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样．值25，此时l＝10，α＝2.规律方法应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．【训练2】已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R.(1)若α＝90°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？的值为________．(3)若sinα·tanα<0，且<0，则角α是第________象限角．解析(1)根据题意可知，cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.(2)∵r＝，∴cosα＝＝－，∴m>0，∴＝，即m＝.(3)由sinα·tanα<0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限的角，由<0，可知cosα，tanα异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．答案(1)－(2)(3)三当y＝－时，sinα＝－，tanα＝，此时，sinα·tanα＝－.(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为.答案(1)－(2)[思想方法]1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．其中正确的命题的个数为________．解析－是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．答案 32．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第________象限．解析由题意知tanα＜0，cosα＜0，∴α是第二象限角．答案二3．(2017·苏州期末)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sinθ＝，则m＝________. 解析sinθ＝＝，解得m＝3.答案7．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．解析由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.答案8．设θ是第三象限角，且＝－cos，则是第________象限角．解析由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，∵＝－cos，∴cos≤0，综上知为第二象限角．答案二9．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；当cosθ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．答案 112．(2017·苏北四市期末)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是________．解析∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴∴－2<a≤3.答案(－2,3]能力提升题组答案－15．函数y＝的定义域为________．解析∵2sin x－1≥0，∴sin x≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x∈(k∈Z)．答案(k∈Z)16.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．为垂足．根据题意得劣弧＝(1)平方关系：sinα＋cosα＝1.(2)商数关系：＝tanα.2．三角函数的诱导公式2．sin600°的值为________．解析sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－. 答案－3．(2017·苏北四市摸底)已知sin＝，那么cosα＝________.解析∵sin＝sin＝cosα，∴cosα＝.答案4．(2017·南通调研)已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则sinθ－cosθ＝________. 解析∵sinθ＋cosθ＝，∴sinθcosθ＝.又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝，(2)∵<α<，∴cosα<0，sinα<0且cosα>sinα，∴cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝.(3)tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝.答案(1)－(2)(3)规律方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．考点二诱导公式的应用【例2】(1)化简：sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)；(2)求值：设f(α)＝(1＋2sinα≠0)，求f的值．解(1)原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝×＋×＝1.(2)∵f(α)＝k为奇数时，A＝－＝－2.(2)原式＝＝＝＝－1.答案(1){2，－2}(2)－1考点三诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用【例3】(1)已知tan＝，则tan＝________.(2)(2017·南京、盐城模拟)已知cos＝，且－π<α<－，则cos＝________. 解析(1)∵＋＝π，∴tan＝tan＝－tan＝－.解析(1)∵＋＝，∴cos＝cos＝sin＝.(2)由f(x＋π)＝f(x)＋sin x，得f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，所以f＝f＝f＝f＝f＋sinπ.因为当0≤x<π时，f(x)＝0.所以f＝0＋＝.答案(1)(2)3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.基础巩固题组(建议用时：30分钟) 1．(2016·四川卷)sin750°＝________.解析sin750°＝sin(720°＋30°)＝sin30°＝.答案2．(2017·镇江期末)已知α是第四象限角，sinα＝－，则tanα＝________.解析因为α是第四象限角，sinα＝－，所以cosα＝＝，5．(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.解析由题意，得cos＝，∴tan＝.∴tan＝tan＝－＝－.答案－6．(2017·扬州中学质检)向量a＝，b＝(cosα，1)，且a∥b，则cos＝________.解析∵a＝，b＝(cosα，1)，且a∥b，∴×1－tanαcosα＝0，∴sinα＝，∴cos＝－sinα＝－.答案－7．(2017·广州二测改编)cos＝，则sin＝________.解析sin＝sin＝cos＝.11．化简：＝________.解析原式＝＝＝1.答案 112．(2017·西安模拟)已知函数f(x)＝a sin(πx＋α)＋b cos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2017)的值为________．解析∵f(4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sinα＋b cosβ＝3，∴f(2017)＝a sin(2017π＋α)＋b cos(2017π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sinα－b cosβ又2＝1＋2sinθcosθ，∴＝1＋，解得m＝1±.又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.答案1－15．(2017·苏州调研)已知sin＝，则sin＋sin2的值为________．解析sin＋sin2＝sin＋sin2＝－sin＋cos2＝－sin＋1－sin2＝.答案16．已知cos＝a，则cos＋sin＝________.解析∵cos＝cos(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)解析(1)函数y＝sin x的周期是2kπ(k∈Z)．(2)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条．(3)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数．(4)当k>0时，y max＝k＋1；当k<0时，y max＝－k＋1.答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．(必修4P33例4改编)函数y＝2tan的定义域为________．解析∵x－≠kπ＋，k∈Z，∴x≠kπ＋，k∈Z，即函数的定义域为.答案答案考点一三角函数的定义域及简单的三角不等式【例1】(1)函数f(x)＝－2tan的定义域是________．(2)不等式＋2cos x≥0的解集是________．(3)函数f(x)＝＋log2(2sin x－1)的定义域是________．解析(1)由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，即x≠＋(k∈Z)．(2)义域．②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域．(2)简单三角不等式的解法①利用三角函数线求解．②利用三角函数的图象求解．【训练1】(1)函数y＝tan2x的定义域为________．(2)函数y＝的定义域为________．解析(1)由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，∴y＝tan2x的定义域为.解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．所以定义域为.答案(1)(2)考点二三角函数的值域【例2】(1)函数y＝－2sin x－1，x∈的值域是________．(2)(2016·全国Ⅱ卷改编)函数f(x)＝cos2x＋6cos的最大值为________．(3)函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为________．解析(1)由正弦曲线知y＝sin x在上，－1≤sin x<，所以函数y＝－2sin x－1，x∈的值域是(－2,1]．(1)形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数化为y＝A sin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝a sin2x＋b sin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．【训练2】(1)(2017·泰州模拟)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________．(2)函数y＝－2cos＋1的最大值是________，此时x的取值集合为________．解析(1)因为0≤x≤9，所以－≤x－≤，所以sin∈.＝cos＝sin2x，则函数为最小正周期为π的奇函数．(2)f(x)＝sin－cos＝2sin，由题意可得f(0)＝2sin＝±2，即sin＝±1，∴θ－＝＋kπ(k∈Z)，∴θ＝＋kπ(k ∈Z)，∵|θ|<，∴k＝－1时，θ＝－.答案(1)π奇(2)－规律方法(1)若f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．(2)函数y＝A sin(ωx＋φ)与y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期T＝，y＝A tan(ωx＋φ)的所以?.所以－≥－且≤，所以ω∈.法二因为x∈，ω>0.所以ωx∈，又f(x)在区间上是增函数，所以?，则又ω>0，得0<ω≤.法三因为f(x)在区间上是增函数，故原点到－，的距离不超过，即得T≥，即≥，又ω>0，得0<ω≤.(2)因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋kT，即＝T ＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9.答案(1)－(2)9规律方法(1)对于可化为f(x)＝A sin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．(2)对于可化为f(x)＝A cos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可．【训练3】(1)(2017·无锡期末)若函数f(x)＝cos的图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈，则x0＝______.2．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．3．数形结合是本讲的重要数学思想．[易错防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆．基础巩固题组(建议用时：40分钟)3．(2017·南通、扬州、泰州、淮安调研)设函数y＝sin(0<x<π)，当且仅当x＝时，y取得最大值，则正数ω的值为________．解析由题意可得ω＋＝＋2kπ，k∈Z且π≤，解得ω＝2.答案 24．(2017·徐州检测)函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为________．解析y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x＝－sin2x－2sin x＋1，令t＝sin x，则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以y max＝2，y min＝－2.答案2，－2①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝对称；④函数f(x)在区间上是增函数．其中正确的是________(填序号)．解析f(x)＝sin＝－cos2x，故其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由函数f(x)＝－cos2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x ＝对称，③错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上是增函数，④正确．答案①②④8．(2017·承德模拟)若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在上单调递增，在区间上单调递减，(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.当x∈时，2x＋∈，由正弦函数y＝sin x在上的图象知，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.10．(2016·天津卷)已知函数f(x)＝4tan x sin·cos－.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．能力提升题组(建议用时：20分钟)11．(2016·江苏卷)定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________．解析在区间[0,3π]上分别作出y＝sin2x和y＝cos x的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．答案712．若函数f(x)＝4sin5ax－4cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则答案14．(2017·南通调研)已知函数f(x)＝a＋b.(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．解f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝a sin＋a＋b.(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，(1)定点：如下表所示.(2)sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝A sin(ωx＋φ)中各量的物理意义当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：点的值确定的．()解析(1)将函数y＝3sin2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos2x.(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等．答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．(必修4P40练习5改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为________．答案2，，－3．(2016·全国Ⅰ卷改编)若将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为________．b＝(30＋10)＝20.又×10＋φ＝2π，解得φ＝，∴y＝10sin＋20，x∈[6,14]．答案y＝10sin＋20，x∈[6,14]考点一函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及变换【例1】设函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)的周期为π.(1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．解f(x)＝sinωx＋cosωx＝2＝2sin，又∵T＝π，∴＝π，即ω＝2，∴f(x)＝2sin.2sin的图象．规律方法作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y＝A sin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．【训练1】设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．的解析式为________．解析(1)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g(x)＝sin[2(x－φ)＋θ]＝sin(2x－2φ＋θ)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，所以sinθ＝，sin(－2φ＋θ)＝，所以θ＝，sin＝.又0＜φ＜π，所以－＜－2φ＜，所以－2φ＝－.即φ＝.(2)由题图可知A＝，法一＝－＝，所以T＝π，故ω＝2，合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．【训练2】(2016·全国Ⅱ卷改编)函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．解析由题图可知，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为f(x)＝2sin.答案f(x)＝2sin考点三三角函数模型及其应用【例3】某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cos t－sin t，t∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；又0≤t<24，因此<t＋<，即10<t<18.在10时至18时实验室需要降温．规律方法三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.【训练3】如图，某大风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．(1)求函数h＝f(t)的关系式；(2)画出函数h＝f(t)(0≤t≤12)的大致图象．解(1)如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系．2．由图象确定函数解析式解决由函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象确定A，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．[易错防范]1．由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩再平移时，要把x前面的系数提取出来．2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．3．求函数y＝A sin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值，可先求t＝ωx＋φ的范围，再答案2，3．(2017·苏北四市调研)如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sinωx(ω>0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的周期是________．解析设函数的周期为T，由图象可得A，B，则·＝－3＝0，解得T＝4.答案 44．(2017·南京师大附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数y＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数y＝f(x)的图象，若函数f(x)的图象过原点，则φ＝________.解析将函数y＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数f(x)＝sin＝sin的图象，若函数f(x)的图象过原点，则f(0)＝sin＝0，＋φ＝kπ，k∈所以y＝f(x)＝23＋5cos，所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cos＝23－5×＝20.5.答案20.57．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)的解析式为________．解析据已知两个相邻最高和最低点距离为2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，即f(x)＝sin.又函数图象过点，故f(2)＝sin＝－sinφ＝－，又－≤φ≤，＝＋0＝.(2)f(x)＝sinωx＋cos＝sinωx＋cosωx－sinωx＝sinωx＋cosωx＝sin.∵＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f(x)＝sin.由x∈，得2x＋∈，∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1.10．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x ＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f的值；即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．能力提升题组(建议用时：20分钟)11．(2017·南京模拟)设函数f(x)＝sin，给出下列结论：①f(x)的图象关于直线x＝对称；②f(x)的图象关于点对称；③f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数；④把f(x)的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象．由题意知ω≤－，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪.答案(－∞，－2]∪13．(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.解析由得sinωx＝cosωx，∴tanωx＝1，ωx＝kπ＋(k∈Z)．∵ω>0，∴x＝＋(k∈Z)．设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1＝，x2＝，则|x2－x1|＝＝.∵0≤φ≤，∴φ＝.∵最小正周期T＝π，且ω>0，∴ω＝＝2.(2)由(1)知y＝2cos.∵A，Q(x0，y0)是P A中点，y0＝，∴P.。

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第32课解三角形的综合应用
A 应知应会
1. 轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船A的航行速度是25 n mile/h,轮船B的航行速度是15 n mile/h,那么下午2时时两船之间的距离为.
2. 小明同学骑电动车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在北偏东30°的方向上,15 min后到达点B处,望见电视塔S在北偏东75°的方向上,则电动车在点B时到电视塔S的距离是.
(第3题)
3. 如图,要测量河对岸A,B两点之间的距离,现沿河岸选取相距40 m的C,D两点,测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则A,B两点之间的距离为m.
4. (2016·南师附中)在Rt△ABC中,若C=90°,且角A,B,C所对的边a,b,c满足a+b=cx,则实数x的取值范围是.
5. (2016·启东中学)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足=.
(1) 求角A的大小;
(2) 若a,c,b成等差数列,试判断△ABC的形状.
6. (2016·如东期中)在△ABC中,已知B=,D是边BC上一点,AD=5,CD=3,AC=
7.
(1) 求∠ADC的大小;
(2) 求·的值.
B 巩固提升
1. 如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,那么BD的长为.
(第1题)
2. 如图,某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min,从D沿DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min,则该扇形的半径为m.
(第2题)
3. (2015·苏州、无锡、常州、镇江调研)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=b+1=a+2,C=2A,则△ABC的面积等于.
4. (2015·湖北卷)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D 在北偏西60°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶D在北偏西15°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.
(第4题)
5. 如图,在一条海防警戒线上的点A,B,C处各有一个水声监测点,B,C两处到A的距离分别为20 km和50 km.某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8 s后A,C同时接收到该声波信号.已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1) 设A到P的距离为x km,用x表示B,C两处到P的距离,并求x的值;
(2) 求P到海防警戒线AC的距离.(结果精确到0.01 km)
(第5题)
6. (2015·苏州一模)某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一条对角线在l上的四边形电气线路,如图所示,为充分利用现有材料,边BC,CD用一根5 m长的材料弯折而成,边BA,AD用一根9 m长的材料弯折而成,要求∠A和∠C互补,且AB=BC.
(1) 设AB=x m,cos A=f(x),求f(x)的解析式,并指出x的取值范围;
(2) 求四边形ABCD面积的最大值.
(第6题)
第32课解三角形的综合应用
A 应知应会
1. 70 n mile【解析】设轮船A,B航行到下午2时时所在的位置分别是E,F,则依题意有CE=25×2=50,CF=15×2=30,且∠ECF=120°,所以由余弦定理得EF==70.
(第2题)
2. 3 km 【解析】如图,由条件知AB=24×=6.在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,所以∠ASB=45°.由正弦定理知=,故BS=·sin 30°=
3.
3. 20 【解析】如图,由题设知△BDC为等腰直角三角形,故DB=40.由∠ACB=60°和∠ADB=60°知A,B,C,D 四点共圆,所以∠BAD=∠BCD=45°.在△BDA中,运用正弦定理可得AB=20.
(第3题)
4.(1,] 【解析】x===sinA+cosA=sin.又A∈,所以<A+<,所以<sin≤1,即x∈(1,].
5.【解答】(1) 由正弦定理得=,整理得a2=b2+c2-bc,又由余弦定理得cosA=.因为A是△ABC的内角,所以A=.
(2) 因为a,c,b成等差数列,所以2c=a+b.由(1)可知a2=b2+c2-bc,
所以(2c-b)2=b2+c2-bc,整理得3c2-3bc=0, 由c>0,得b=c,所以a=b=c,
所以△ABC是等边三角形.
6.【解答】(1) 在△ADC中,由余弦定理得AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=AC2.
将AD=5,CD=3,AC=7代入上式中,
得cos∠ADC=-.
因为0<∠ADC<π,所以∠ADC=.
(2) 在△ABD中,由正弦定理得=,所以AB=×sin∠ADB=,
所以·=×5×cos=.
B 巩固提升
1. 【解析】因为AD⊥AC,所以∠DAC=90°,所以在△ABD中,cos∠BAD=cos(∠BAC-90°)=sin∠BAC=,所以BD==.
2. 50【解析】如图,连接OC.在△OCD中,OD=100,CD=150,∠CDO=60°,由余弦定理可得OC2=1002+1502-2×100×150×=17 500,则OC=50.
(第2题)
3. 【解析】在△ABC中,由正弦定理得=,所以=,所以2cosA=.又由余弦定理得cosA==,所以2×=,解得b=5,所以cosA=×=,故sinA=,故△ABC的面积等于×5×6×=.
4. 100【解析】在△ABC中,∠CAB=30°,∠ACB=75°-30°=45°,根据正弦定理知=,即BC=×sin∠BAC=×=300,所以CD=BC×tan∠DBC=300×=100.
5. 【解答】(1) 由题意知PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12.
在△PAB中,AB=20,所以cos∠PAB===.
在△PAC中,AC=50,所以cos∠PAC===.
因为cos∠PAB=cos∠PAC,
所以=,解得x=31.
(2) 过点P作PD⊥AC于点D.在△ADP中,由cos∠PAD=,得sin∠PAD==,
所以PD=PA·sin∠PAD=31×=4≈18.33.
6. 【解答】(1) 在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos A.
在△CBD中,BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cosC.
因为∠A和∠C互补,所以AB2+AD2-2AB·AD·cosA=CB2+CD2-2CB·CD·cosC=CB2+CD2+2CB·CD·cosA,
即x2+(9-x)2-2x(9-x)cosA=x2+(5-x)2+2x(5-x)cosA,
解得cosA=,即f(x)=,其中x∈(2,5).
(2) 四边形ABCD的面积S=(AB·AD+CB·CD)sinA=[x(9-x)+x(5-x)]·=x(7-x)·==.
记g(x)=(x2-4)(x2-14x+49),x∈(2,5).
令g'(x)=2x(x2-14x+49)+(x2-4)·(2x-14)=2(x-7)(2x2-7x-4)=0,
解得x=4.
故函数g(x)在区间(2,4)内单调递增,在区间(4,5)内单调递减.
因此g(x)在区间(2,5)内的最大值为g(4)=12×9=108,
所以S的最大值为=6.。

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