常微分方程期末综合练习
福师《常微分方程》期末试卷解析
福师《常微分方程》期末试卷解析一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 答案：A解析：对常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
2. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
3. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。
4. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。
5. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
6. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
7. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。
8. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。
9. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
10. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
常微分期末试题及答案
常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分：选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数，则实数 c 的取值范围是：A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案：A) c > 1/4解析：当 f(x) 是增函数时，f'(x) > 0。
对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c，求导得到 f'(x) = 6x + 2。
显然当 x > -1/3 时，f'(x) > 0，即 c > 1/4。
2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为：A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案：A) y = (1/3)x^3 + x + C解析：对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分，得到 y = (1/3)x^3 + x + C，其中 C 为积分常数。
3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3)，则 f'(x) = ？A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案：B) 2cos(2x - π/3)解析：根据链式法则，对sin(2x + π/3) 求导，得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。
4. 设 f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则 f(g(2)) = ？A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案：A) e^2解析：首先求 g(2) = ln(2)，然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算，得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。
常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分方程期末试题
常微分方程期末试题一、填空题（3618''⨯=）1．x x xe C e C y 21+=所满足的一阶微分方程是 ．2. 方程1,(0)0dy x y y dx=++=的皮卡序列 . 3 12(),()y x y x ϕϕ==是二阶齐次微分方程''()'()0y p x y q x y ++=的两个线性无关的解，1()y x ϕ=，2()y x ϕ=的朗斯基行列式W(x)= ．4．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ，则Ax e = ． 5．方程x dxdy 2-=的解为 ． 6．奇解和包络的关系 .二、求解下列一阶微分方程.（8324''⨯=）1..2x xe y dxdy -=+2．0)cos sin ()sin cos =++-dy x x x y dx x x x y （3．')1'(y e y y -=三、求解下列微分方程组 （810'18''+=） (1) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x dtdy yx dt dx 432(2) 110,010104dy Ay A dx -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭, 满足初始条件3(0)9.1y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭四．求234sin 2y y x '''+=+的通解．(10)'五．设二阶常系数微分方程22,0,(),a b dx x p q p a d q ad bc c d dt ⎛⎫=+≠=-+=- ⎪⎝⎭证明（1）0,0p q >>零解渐近稳定．（2）0,0p q =>零解稳定(10)'六、讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=y x dtdy yx dt dx αα 的零解的稳定性。
（10'）七．判定二阶系统⎪⎩⎪⎨⎧-=+=y x dt dy yx dt dx 53的奇点类型并作出其相图．（10'）。
《常微分方程》期末练习
B）一阶变量可分离方程 D）一阶隐方程 （ C）特解； D）不是解 ）
班级:＿＿＿＿＿＿＿＿姓名:＿＿＿＿＿＿学号:＿＿＿＿＿＿＿＿
x
0
e t dt 是 y"2 xy' 0 的
B）通解；
2
一．填空题（15 分）
1． 已知一曲线上任一点 ( x, y ) 处的切线斜率为 y 则曲线方程为： 2．二阶线性常系数非齐次方程 x x (t 1)e 的特解可待定为：
（ ； ）
*
则下列结论正确的是： A） x (t ) cos 2t 是（1）式的解
x * (t ) =
线
1 8
3．设 X 1 (t ), , X n (t ) 是一阶 n 维齐线性方程组
dX (t ) A(t ) X (t ) 的 n 个线性无关解， dt
封
X * (t ) 是非齐线性方程组
t
A）解；
1 ：且曲线过（1，1）点， x2
3．已知 x * (t ) ie 2 it i cos 2t
1 1 1 sin 2t 是方程 x 4 x 4 x e 2it 的解 8 8 8 记方程： x 4x 4x cos 2t （1） （2） x 4x 4x sin 2t （3） x 4x 4x cos 2t sin 2t
1.
dy xy x 2 y 4 dx
2.
x y x x t t y 2 x y e
班级:＿＿＿＿＿＿＿＿姓名:＿＿＿＿＿＿学号:＿＿＿＿＿＿＿＿
四．求下列方程的通解或特解（共 42 分）
线
1． （6 分）求方程 3x y dx 2 x ydy cos xdx 0 的满足初始条件 y( ) 1 解
常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ．22d d y x x y+=2. 方程组的任何一个解的图象是 n+1 维n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 空间中的一条积分曲线.3．连续是保证方程初值唯一的 充分 条件．),(y x f y '),(d d y x f xy=4．方程组的奇点的类型是 中心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d )0,0( 5．方程的通解是2)(21y y x y '+'=221C Cx y +=6．变量可分离方程的积分因子是()()()()0=+dy y q x p dx y N x M ()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=条件是 线性无关8．方程的基本解组是440y y y '''++=x x x 22e ,e--二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程的积分因子是（ A ）．d ()()d yp x y q x x+=（A ）（B ）（C ）（D ）⎰=xx p d )(e μ⎰=xx q d )(e μ⎰=-xx p d )(e μ⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程是（ B ）0d )ln (d ln =-+y y x x y y （A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A)(B)1±=x 1±=y (C ), (D ), 1±=y 1±=x 1=y 1=x12．阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．n （A ）构成一个线性空间（B ）构成一个维线性空间1-n（C ）构成一个维线性空间（D ）不能构成一个线性空间1+n 13．方程（ D ）奇解．222+-='x y y （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分方程期末试题标准答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分期末考试试题和答案
《 常微分方程 》期末考试试卷（1）班级 学号 姓名 成绩.一、填空（每格3分，共30分）1、方程(,)(,)M x y d x N x y d y +=有只与x有关的积分因子的充要条件是 。
2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是 。
3、若()t Φ和()t ψ都是'()x A t x=的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果 。
5、当 时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。
6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x的解 。
7、若()(1,2,,)i x t i n =为n 阶齐线性方程()()1()()0n n n x a t x a t x +++=的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为 。
8、求dxdy=f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程 的解。
9、如果),(y x f 在R 上 且关于y 满足李普希兹条件，则方程),(y x f dxdy=存在唯一的解)(x y ϕ=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中h = ，),(max ),(y x f M Ry x ∈=。
二、计算题(每题10分,共50分)10、求方程 221dy y dx xy x y +=+ 的解。
11、求方程2dyx y dx=-通过点(1,0)的第二次近似解。
12、求非齐线性方程sin x xt ''+=的特解。
13、求解恰当方程 0)4()3(2=---dy x y dx x y 。
常微分方程期末考试题
常微分方程期末考试题以下是某校 ode 期末考试题一：计算题（ 1,2,3,5 各8分，第4题18分，总50分）1） \frac{dy}{dx}=\frac{x+y-3}{x-y+1}2) \frac{dy}{dx}+2xy+xy^4=03) x'=Ax,A=\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&3\end{matrix}\right) 求基解矩阵4） x^2y''+xy'-y=x （该题给出3种解法）5) x''+2x'-3x=e^t+cost二：解答题（每题10分，总50分）6）证明：如已知 Riccati 方程的一个特解，则可用初等解法得到它的通解.7）方程 \frac{dy}{dx}=x^2+y^2 定义在矩形域 \left| x\right|\leq1，\left| y \right|\leq1 试利用存在唯一性定理确定经过 y(0)=0 的解存在区间，并写出 \varphi_n(x) 的迭代序列，求第二次近似解及误差估计。
8）微分方程 \frac{dy}{dx}+ay=f(x)(a>0)\\f(x) 是以 2\pi 为周期的连续函数，试求方程的 2\pi 周期解。
9）设 \phi(x) 是齐次线性微分方程组\frac{dy}{dx}=A(x)y\\ 的一个基解矩阵，并且 n 维向量函数 f(x,y) 在区域 a<x<b,\left| \left| y\right|\right|<+\infty 上连续，试证明：求解初值问题\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x,y),y(x_0)=y_0\\ 等价于求解积分方程 y(x)=\phi (x)\phi^{-1}(x_0)y_0+\int_{x_0}^{x}\phi (x)\phi^{-1}(s)f(s,y(s))ds\\ 其中 x_0\in(a,b)10）证明：方程 y'=\sqrt[5]{\frac{y^4+2}{x^6+2}} 的每条积分曲线有两条水平渐近线。
常微分方程期末考试练习题及答案.
（ c>0） .
即： t 1
cy ，变量回代得：
x ln
c1 y +1 ( c1
c)
y
类型二： 形式： dy f ( a1x b1y c1 )
dx
a 2 x b2 c2
解法： 1. 当 c1=c2=0 时，
y
dy
f ( a1x b1y )
a1 f(
b1 x )
g( y)
dx
a2 x b2 y
y a2 b2 x
dx
分离变量得： dy dx ，两边同时积分，
y
得： y cex ，因而可设原方程的通解为： y c( x)ex ，则 dy dc( x) ex exc( x) ，
dx dx
将之入原方程，得：
dc( x) ex exc(x) c( x)ex sin x ，即： dc( x)
dx
dx
两边积分得： c(x) sin xe xdx ，而
a2 b2
a1x b1y c1 0
解方程组｛ a2x b2y c2 0 ，求交点 ( , ) , 令 x=X+α ， y Y ，则原方程化为： dX ( Y )
dY X
这是齐次方程。
例 5. 求解方程 dy 2x y 1 .
dx x 2 y 1
x1
解：｛ 2x y 1 0 得交点
x 2y 1 0
｛
y
M N ， (x, y) D .
yx
3. 解的形式： u c.
4. 解法： a. 朴素化简法：由 u M ，得 u( x, y) M ( x, y)dx ( y) ，
x
再由 u N ，得 ( y) y4 N (x, y)
常微分方程期末考试试卷(6)
常微分方程期末考试试卷(6)学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。
1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。
2、________________称为齐次方程。
3、求dxdy =f(x,y)满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程____________________的连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dxdy = 的解 y=),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。
5、若)(),..(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。
6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。
7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。
8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（共6小题，每题10分）。
1、求解方程：dx dy =312+++-y x y x2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程23=dx dy 31y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：t e x x x t cos 32///-=+-5、试求方程组Ax x =/的一个基解矩阵，并计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421,为其中A e At 6、试讨论方程组cy dtdy by ax dtdx =+=, （1）的奇点类型，其中a,b,c 为常数，且ac ≠0。
(完整版)常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
福建师范大学2024年2月课程考试《常微分方程》作业考核试题
《常微分方程》期末考试答题纸姓名： 专业： 学号： 学习中心：成绩：注意：全卷请在答题纸上作答，否则不得分！一、单项选择题1、6-=x y dydx ；将方程重写为：dy/dx = 6^(x-y)对方程两边取对数，得到：ln|dy/dx| = (x - y) ln6再对方程进行积分，得到：ln|y'| = (x - y) ln6 + C其中，y'表示y 关于x 的导数，C 为积分常数。
接下来需要解出y'，对上式两边同时取指数，得到：|y'| = e^[(x - y) ln6 + C]由于y'必须为正数，所以可去绝对值，得到：y' = e^[(x - y) ln6 + C]进一步化简和移项，得到：dy/e^[(x - y) ln6] = dx对于等式左边，进行变量代换，令u = x - y ，则du/dx = 1 - dy/dx = 1 - 6^(x-y)由于dy/dx = 6^(x-y)，所以可以将右边代入，得到：du/dx = 1 - dy/dx = 1 - y'将等式右边代入并移项，得到：dy/e^[uln6] + y'/e^[uln6] = 1再对等式两边进行积分，得到：∫[dy/e^[uln6]] + ∫[y'/e^[uln6]] = ∫dx对左边第一项进行换元，令t = e^[uln6] = 6^u ，则dt = 6^u du ，代入后得到：∫[1/t] dt = ln|t| + C1对左边第二项进行换元，令v = e^[uln6] = 6^u ，则dv = u' 6^u du ，代入后得到：∫[1/v]v dv = ∫u' 6^u du∫[1/v]v dv = ln|v| + C2由于v = e^[uln6]，所以v = 6^u ，代入得到：∫[1/6^u] 6^u du = ∫u' 6^u du化简可得：∫[1/6^u] 6^u du = u + C3将上述结果代回原方程中，得到：ln|t| + C1 + ln|v| - C2 + C3 = x + C4化简可得：ln(tv) = x + C5由于t = 6^u ，v = 6^u ，所以tv = (6^u)^2 = 6^(2u)因此，可得到最终结果为：ln(6^(2u)) = x + C6化简得到：2u ln6 = x + C6即最终的解为：u = (x + C6) / (2ln6)由于u = x - y ，所以可得到y = x - (x + C6) / (2ln6) = (C6 - x) / (2ln6)因此，dy/dx=6^(x-y)的通解为：y = (C6 - x) / (2ln6)，其中C6为任意常数。
《常微分方程》期末考试试题库
《常微分方程》期末考试试题目录《常微分方程》期末考试题（一） (1)《常微分方程》期末考试题（二） (6)《常微分方程》期末考试题（三） (13)《常微分方程》期末考试题（四） (18)《常微分方程》期末考试题（五） (24)《常微分方程》期末考试题（六） (31)《常微分方程》期末考试题库 (36)《常微分方程》期末考试题（一）一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x x y+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
《常微分方程》福师期末试题与解答
《常微分方程》福师期末试题与解答常微分方程福师期末试题与解答试题一1. 求解以下常微分方程：(a) $y'' + 5y' + 6y = 0$;(b) $y'' + 2y' + y = e^{-x}$;解答一1. (a) 特征方程为 $r^2 + 5r + 6 = 0$，解得 $r_1 = -2$ 和 $r_2 = -3$。
因此齐次方程的通解为 $y_c = C_1e^{-2x} + C_2e^{-3x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为常数。
(b) 齐次方程的特征方程为 $r^2 + 2r + 1 = 0$，解得 $r = -1$（重根）。
因此齐次方程的通解为 $y_c = (C_1 + C_2x)e^{-x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为常数。
对于非齐次方程，根据常数变易法，假设非齐次方程的特解为$y_p = Ae^{-x}$，代入方程得到 $Ae^{-x} = e^{-x}$，解得 $A = 1$。
因此非齐次方程的特解为 $y_p = e^{-x}$。
综上所述，非齐次方程的通解为 $y = (C_1 + C_2x)e^{-x} +e^{-x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为常数。
试题二2. 解析解以下常微分方程：(a) $y' + \frac{1}{x}y = x^2$，已知 $y(1) = 2$；(b) $xy' - y = x^2$。
解答二2. (a) 首先将方程改写为标准形式 $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^2$。
根据线性一阶常微分方程的解法，通过乘以积分因子$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = |x|$，得到方程的通解为 $y = \frac{1}{|x|}\left(\int x^2 |x| dx + C\right)$，其中 $C$ 为常数。
常微分方程期末综合练习参考解答
“常微分方程”课程综合练习参考解答一、填空题1．满足||1y <的条形区域 2．全平面3． }0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面） 4．00(,)d xx y y f s y s =+⎰5．充分6．),(∞+-∞7．221C Cx y +=8．0=y ,1=y 9．1,1±=±=x y 10．2 11．必要 12．xx xx x W sin cos cos sin )(-=13．⎪⎩⎪⎨⎧--='='y x xy y y y 211114．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==yx g y x f x y y x y)()(d d d d 11115．e ,e x x x 16．恒等于零 17．线性无关 18．稳定焦点 19．不稳定结点20．0),(),(0000==y x Q y x P 21．)0,0(，)0,1(-22．齐次23． ,2,1,0,±±==k k y 24．)()]()([1211x y x y x y C +- 25．不能 26．相切27．满足012>-y 的平面区域 28．任何一点不为零 29．n +130．n31．线性无关二、单项选择题1．C 2．D 3． B 4．B 5．A 6．C 7．D 8．A 9．C 10．C 11．B 12．C 13．D 14．C 15．A 16．A 17．B 18．D 19．C 20．A 21．D 22．B 23．C 24．C 25．C 26．A 27．D 28．D 29．A 30．B 31．B 32．B三、计算题(求下列方程的通解或通积分) 1．解 齐次方程的通解为： xCy = 设原方程的通解为： xx C y )(=代入原方程，得 C x x C +=4)(4所以，原方程的通解为: )41(14x C x y +=2．解 将方程改写为d d y y x x= 令yu x=，则y xu u ''=+代入上式得d d ux x= 分离变量积分得 arcsin ln u x C =+ 原方程的通积分为： arcsinln ||yx C x=+ …3．解 分离变量积分，得e d (sin )d y y x x x C =++⎰⎰21e cos 2y x x C =-+ 4．解 )3e (),(22y x y x M x +=，y x y x N 32),(=xNy x y M ∂∂==∂∂26 因此,原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ,原方程的通积分为 C x y x x xx =+⎰0222)d 3e ( 或 C x y x x x xxx =+⎰⎰02202d 3d e 即 C y x x x x =++-232e )22( 5．解 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为 C y y x xy yx=-⎰⎰020d d 2即 C y y x =-3231 6．解 因为21M Ny x x∂∂=-=∂∂，所以原方程是全微分方程． 取00(,)(1,0)x y =,原方程的通积分为210(e )d d xy x y x y C x-+=⎰⎰ 即 e x yC x+= 7． 解 令p y =',则221p p x +=，原方程的参数形式为 ⎪⎩⎪⎨⎧='+=p y p p x 221由x y y d d '=，有 p p p p p p y )d 221()d 2121(d 2+-=+-=积分有：C p p y ++-=241ln 21得原方程参数形式通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+=C p p y p p x 241ln 212218．解 方程改写成 22sin 0yy y x y '''--=即 cos 0y x y ''⎛⎫+= ⎪⎝⎭有11d cos d yx C y x+= 积分，得通积分: 12ln ||sin y x C x C +=+9．解 积分因子为 21)(x x =μ 原方程的通积分为： 1012d d )(e C y x xy y x x=+-⎰⎰即 1e ,e C C C x yx +==+10．解 原方程是恰当导数方程，可写成 0)(3='+'x y y 即 13C x y y =+' 分离变量解此方程，通积分为24124121C x x C y +-=11．解 特征方程12||(2)(1)034A E λλλλλ----==--=-特征根122,1λλ==12λ=对应的特征向量为23⎛⎫⎪-⎝⎭21λ=对应的特征向量为11⎛⎫⎪-⎝⎭原方程的通解为：2122e 2e e 3e t t t t x C C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭12．解 特征方程23||(1)(1)012A E λλλλλ---==+-=--特征根为 121,1λλ==-.1λ和2λ对应的特征向量分别是31⎛⎫ ⎪⎝⎭和11⎛⎫⎪⎝⎭原方程组的通解是:123e e e e t t t t x C C y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13．解 特征方程为11||(3)(1)041A E λλλλλ--==-+=-特征根123,1λλ==-13λ=对应的特征向量为12⎛⎫⎪⎝⎭21λ=-对应的特征向量为12⎛⎫⎪-⎝⎭原方程组的通解为： 3123e e 2e 2e t t t t x C C y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭14．解 特征方程为21||101A E λλλλ--==-=-特征根121,1λλ==-12,λλ对应的特征向量分别为11⎛⎫ ⎪⎝⎭和11⎛⎫⎪-⎝⎭原方程组的通解为：12e e e e t t t t x C C y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭15．解 对应齐次方程的特征方程是 012=+λ特征根为i ±=2,1λ，齐次方程的通解为 t C t C x sin cos 21+=因为i i ±=±βα是一重特征根．故非齐次方程有形如)sin cos ()(1t B t A t t x +=的特解，代入原方程,得 21-=A ， 0=B故原方程的通解为 t t t C t C x cos 21sin cos 21-+=16．解 对应齐次方程的特征方程为 0222=+-λλ特征根为 i ±=121，λ，故齐次方程的通解为 x x C x C y e )sin cos (21+=由于i i ±=±1βα是一重特征根,故原方程有形如为 )sin cos (e )(1x B x A x x y x += 的特解，代入原方程，得 0=A ， 2=B 所以，原方程的通解为x x x C x C y x x sin e 2)e sin cos (21++= 17．解 先求出齐次方程的通解为: x C x C y sin cos 21+= 令非齐次方程的特解为： x x C x x C x y sin )(cos )()(211+= )(),(21x C x C ''满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+'-='+'xx c x C x s x C x s x C x x C 32121sec 2os )(in )(0in )()cos ( 解出 x x x C 31sec sin 2)(-='， x C 21sec (t)-= x x C 22sec 2)(=', x x C tan 2)(2= 原方程的通解为： xxx C x C y cos 2cos sin cos 21-+=18．解 对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ,52=λ，齐次方程的通解为 x C C y 521e +=因为0=α是特征根。
《常微分方程》期末练习(1)答案
共3页 第1页《常微分方程》期末练习（1）答案一．填空题（3×5=15分）1． xy 1= ； 2． t e b at t t x )()(*+=3． )()()()(*111t X c t X c t X c t X n n +++= ； 4．013=+dxdpp x ；5.（1）),(y x f 在G 内连续；（2）),(y x f 在G 内满足局部L 条件二．选择题（3×5=15分）1． C) ； 2．A) ； 3．C) ； ； 5. ；B)三．变换题 （2×5=10分）1．令3-=y z ，则原方程化为233x xz dx dz--=2．令μ='x ，则原方程化为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---='⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t e t y x y x 0120111010μμ四．计算题（42分）1．解：32323sin sin 0)(π=+=+x y x x y x d ,2．解：令p x ='，则32--+=p p t ，dp p p dx )32(32----=，c p p x ++=--21232所以，原方程的通解为：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=----c p p x p p t 2132232 3．解：特征方程为：0)2)(3(323345=-+=-+λλλλλλ特征根为：1,3,0543,2,1=-==λλλ原方程的通解为：t t e c e c t c t c c t x 5342321)(++++=-4．解：用拉斯变换法对应齐线性方程的特征方程为：042=+λ 特征根为：i 22,1±=λ对应齐线性方程的通解为：t c t c t x c 2sin 2cos )(21+=设)(*t x 为原方程的特解，0)0(*=x ，0)0(*='x则：2222*)4(2241)4()()()]([+⨯=+==s ss s s A s F t x L 所以，t t t x 2sin 41)(*=所以，原方程的通解为：tt t c t c t x 2sin 412sin 2cos )(21++=接到上一页右边共3页 第3页六．证明题（8分）1．证明：构造迭代数列：)1,(n ,)=⎩⎨⎧==-100(n n x f x x x则：0111)21(x x x x n n n -≤---)(1101010-=--+=-++-+=∑i n i i n n n x x x x x x x x x∑∑∑=-=--=-≤-≤-ni ii i n i i i i n i i x x x x x x 11111121)( 所以，)(11-∞=-∑i i i x x 收敛，故可令*lim x x n n =+∞→，有)(**x f x =如果另有)~(~x f x =，则**~21~x x x x -≤-，从而0~*=-x x2．证明：取22),(y x y x v +=则：2222222)(2)]([2)]([2y x y x y x y y x x y x dtdv+-=++-++-=由于),(y x v 正定，而dtdv负定，所以零解渐近稳定。
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“常微分方程”课程综合练习一、填空题1．方程d d y x=满足初值解存在且唯一的区域是 ． 2．方程d ||d y y x=满足初值解存在且唯一的区域是 ． 3．方程1d d +=y xy 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 4．初值问题00d (,)d ()y f x y x y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩的解所满足的积分方程是 ．5．(,)y f x y '有界是保证方程d (,)d y f x y x =初值解惟一的 条件． 6．方程x x y xy e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 7．方程2)(21y y x y '+'=的通解是 ． 8．方程y y xy ln d d =所有常数解是 ． 9．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是 ．10．一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条曲线．11．向量函数组在区间I 上的朗斯基行列式()0W x =是它们线性相关的 条件．12．函数组⎩⎨⎧==x y x y cos sin 21的朗斯基行列式)(x W 是 ． 13．方程02=+'+''y x y x y 的等价方程组是 ．14．二阶方程()()0y f x y g x y '''++=的等价方程组是 ．15．方程20y y y '''-+=的基本解组是 ．16．如果函数组12(),()y x y x 在区间I 是线性相关，那么它们的朗斯基行列式()w x 在区间I 上 ．17．二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()x x ϕϕ为基本解组的充要条件是 ．18．平面系统d d d d y y x yx y t⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩的奇点(0,0)O 的类型是 ． 19．平面系统d 23d d 3d y x y x yx yt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的奇点类型是 ．20．点),(00y x 是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(d d ),(d d y x Q ty y x P t x 奇点的充分条件是 ． 21．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----==22d d d d y x y x ty y t x 的奇点是 ． 22．方程0)(22='-+y xy x y 是 微分方程．23. 方程y x xy tan d d =的所有常数解是 ． 24．若y=y 1(x )，y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．25. 方程2sin d d x y xy =的任一非零解 与x 轴相交． 26．曲线L 为方程),(d d y x f xy =的积分曲线的条件是L 在每一点均与线素场的线素 ． 27. 方程212)1(d d y xy -=满足解的存在惟一性定理条件的区域是 ． 28．线性齐次微分方程组Y A Y )(d d x x =的n 个解在其定义区间I 上线性无关的充分必要条件是它们的朗斯基行列式W （x ）在I 上 ．29. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线.30. 线性齐次微分方程组Y A Y )(d d x x=的一个基本解组的个数不能多于 个，其中R ∈x ，n R Y ∈．31．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 ．二、单项选择题1．方程323d d y xy =过点)0,0(的解（ ）． （A ）只有一个 （B ）只有两个 （C ）有无数个 （D ） 只有三个2．方程y xy '= ）． （A ）Cx y = （B ）x C y = （C ）2Cx y = （D ）C Cx y +=3．积分方程⎰+=x t t y t x y 02d )(31)(的解是（ ）．（A ）1y = （B ）3e x y = （C ）2e x y = （D ）xy e =4．方程⎪⎩⎪⎨⎧≠==0,ln 00d d y y y y x y 当当， 在xoy 平面上任一点的解（ ）． （A ）都不是惟一的 （B ）都是惟一的（C ）都与x 轴相交 （D ）都与x 轴相切5. 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件．（A ）充分 （B ）必要 （C ）充分必要 （D ）必要非充分6．方程d 1d y x=（ ）． （A ）有奇解1y =± （B ）有奇解1y = （C ）无奇解 （D ）有奇解7．方程222+-='x y y （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无8．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x+=的积分因子是（ ）． （A ）⎰=x x p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 9．方程2d d y xy =过点)1,3(-的解的存在区间是（ ）． （A ）),0(∞+ （B ）)3,(-∞ （C ）),2(∞+ （D ）),2[∞+ 10．方程21y y -='过点)0,0(的解x y sin =，这个解的存在区间是（ ）．（A ）),0(∞+ （B ）)0,(-∞ （C ）]2,2[ππ-（D ）),(∞+-∞ 11．一阶线性非齐次方程组T 1),,(),()(d d n y y Y x F Y x A xY =+=的任一解的图像是1n +维空间1(,,,)n x y y 中的（ ）．（A ）一个曲面 （B ）一条曲线 （C ）一族曲线 （D ）一族曲面12．n 维方程组),(d d Y x F xY =的任一解的图像是n +1维空间),(Y x 中的（ ）． （A ）一个曲面 （B ）n 个曲面 （C ）一条曲线 （D ）n 条曲线13．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=t y x ty t y x t x e 23d d sin d d 的任一解的图像是),,(y x t 空间中的（ ）． （A ）一个曲面 （B ）两个曲面 （C ）两条曲线 （D ）一条曲线14．若12(),()x x ϕϕ是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则它们（ ）共同零点．（A ）可以有 （B ）在0x =处可以有（C ）不能有 （D ）在1x =处可以有15. 用特定系数法求方程sin y y x x ''+=的非齐次特解11,y y 应设为（ ）．（A ）1()sin ()cos y x Ax B x x Cx D x =+++ （B ）1sin y Ax x =（C ）1()sin y Ax B x =+ （D ）1()sin ()cos y Ax B x Cx D x =+++16．已知方程4xy y x '''+=的一个特解为2x ，又对应齐次方程0xy y '''+=有一个特解为ln x ，则原方程的通解为（ ）．（A ）212ln y C C x x =++ （B ）2212ln y C x C x x =++（C ）212ln y C x C x x =++ （D ）3212ln y C x C x x =++17．方程的2e tx x x ++=的任一解的图像是三维空间(,,)t x x 中的（ ）． （A ）一个曲面 （B ）一条曲线 （C ）一族曲面 （D ）一族曲线18．方程22e x y x y xy x '''++=的任一解的最大存在区间一定是（ ）．（A ）(,0)-∞ （B ）[0,)+∞ （C ）[1,)+∞ （D ）(,)-∞+∞19．平面自治系统在相平面上的一条轨线，对应（ ）积分曲线．（A ）一条 （B ）两条 （C ）无穷多条 （D ）三条 20．平面系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x t x 43d d 2d d 的奇点类型是（ ）． （A ）不稳定结点 （B ）稳定焦点 （C ）不稳定焦点 （D ）鞍点21．相平面上的一条轨线对应平面自治系统的（ ）积分曲线．（A ）一条 （B ）二条 （C ）三条 （D ）无穷条22．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是（ ）． （A ）结点 （B ）中心 （C ）鞍点 （D ）焦点23．下列微分方程中的线性微分方程为（ ）（A ）02=-''y y （B ）y x y +='5（C ）21xy ='' （D ）x y y y e 2='+'' 24. 方程)0(d d ∞<≤=y y x y 过点(0, 0)有（ ）． (A) 一个解 (B) 两个解 (C) 无数个解 (D) 三个解25．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x26. 方程4d d +-=x y x y （ ）奇解．(A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 27．),(y x f y '有界是方程),(d d y x f x y =初值解惟一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分28. 两个不同的线性齐次微分方程组（ ）的基本解组．(A) 一定有相同 (B) 可能有相同 (C) 一定有相似 (D) 没有相同29.若A (x ), F (x )≠0在(-∞,+∞)上连续，那么线性非齐次方程组n x x x xR Y R F Y A Y ∈∈+=,),()(d d 的任一非零解 ( ).（A ）可以与x 轴相交 （B ）不可以与x 轴相交（C ）可以与x 轴相切 （D ）不可以可以与x 轴相切30. 函数组)(1x ϕ，)(2x ϕ在区间],[b a 上的朗斯基行列式恒为零是它们在],[b a 上线性相关的（ ）．(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件31. 方程02=+'+''xy y y 的非零解在xoy 平面上（ ）与x 轴相切．(A) 可以 (B) 不可以 (C) 原点处可以 (D) 也许可以32．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，当系数满足（ ）时，其朗斯基行列式等于常数．(A)⎰x x p d )(e =常数 (B)⎰-x x p d )(e =常数 (C)⎰x x q d )(e =常数(D)⎰-x x q d )(e =常数三、计算题(求下列方程的通解或通积分)1．2d d xyx y=+2．xy y '=3．d sin d e y y x xx +=4．0d 2d )3e (322=++y y x x y x x5．0)d (d 222=-+y y x x xy6．21(e )d d 0x yx y x x -+=7．012)(2=+'-'y x y8．22sin yy y y x '''-=9．0d d )e (2=+-y x x y x y10．03)(22=+'+''x y y y11. d 2d d 34d x x yt y x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩12. d 23d d 2d y x yt y x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩13. d d d 4d x x yty x yt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩14．d d d d x yt y xt ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩15．求方程t x x sin =+的通解． 16．求方程x y y y x cos e 422=+'-''的通解．17．求方程x y y 3sec 2=+''的通解．18．求方程255x y y -='-''的通解．19．x xy xy y=+2d d 20. y x xy +=e d d 21．222d d -=+y x xy x y 22. xy x y x y tan d d += 23. 5d d xy y xy += 24．y y x y xy sin sin cos cos d d 2=- 25．0d 3d 24223=-+y y x y x y x 26．0d d )1(2=+--y x x y x27．01)d (d )cos 2(2=-+-y x x x xy28．3)(y y x y '+'=29．x y y 2sin 34=+''30．239x y y =-'' 31．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==y x tyy t x 2d d 3d d 32．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=yx tyy x t x 32d d d d四、证明题1．设()y x 是),0[∞+上的连续可微函数，且满足lim (()())0x y x y x →+∞'+=．求证lim ()0x y x →+∞=． 2．证明：一阶微分方程1sin d d 22++=y x y x y 的任一解的存在区间必是(,)-∞+∞．3．证明：若)(x y 是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(s i n )(d d y y x P x y的解，则0)(≡x y ，其中)(x P 在区间),(∞+-∞上连续．4．设)(x f 为区间),(∞+-∞上的有界连续函数．证明：方程)(d d x f y xy =+ 在区间),(∞+-∞上存在一个有界解．5．设)(x y 是方程0)(d d )(d d 22=++y x q x y x P x y 的非零解，其中)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续．求证：当0)(0=x y 时，必有0d d 0≠=x x x y ． 6．证明，当0,0p q ≥>时，方程 0y py qy '''++=的一切解在[0,)+∞上有界．7．试证当0,0p q >>时，方程0y py qy '''++=的一切解当x →+∞，都趋于零．8．设方程()()0y p x y q x y '''++=中()p x 和()q x 在(,)-∞+∞上连续，且()0q x <．求证：对方程的任一满足00()y x y =的非零解()y y x =．函数0()d ()()()e xx p t t f x y x y x ⎰'=为(,)-∞+∞上的严格单调递增函数，其中0,0()x y 为平面内任一点． 9．设函数)(t f 在区间),[∞+a 上连续，且0)(lim =+∞→t f t ，试证明：非齐次线性方程 )(4d d 4d d 22t f x t x tx =++ 的任一解)(t x 均有0)(lim =+∞→t x t ． 10．设)(t f 是),0[∞+上的连续函数，且0)(lim =+∞→t f t ．证明：方程 )(7d d 8d d 22t f x t x t x =++ 的任一解)(t x 均满足0)(lim =+∞→t x t ． 11．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．12．假设)(1x y ，)(2x y 是方程0)()(=+'+''y x q y x p y 定义在),(b a 上的解，其中)(x p ，)(x q 在),(b a 上连续，求明：如果)(1x y ，)(2x y 均在),(0b a x ∈点取局部极值，则)(1x y ，)(2x y 在),(b a 上不能构成方程的基本解组．13．设G 是xoy 平面上的某区域，),(y x f 在G 内连续且对y 是单调不增的．求证：方程 ),(d d y x f xy = 的右行解恒由初值惟一确定．14．假设)(x ϕ在),(∞+-∞上连续，且在该区间上0)(<x ϕ，求证：方程y x xy sin )(d d ϕ=的所有解的存在区间为),(∞+-∞，且是单调不增或单调不减函数．。