不定积分的典型例题

例1．計算 dx x x ⎰++1

1

42

解法1

).12)(12(1224+-

++

=+x x x x x

而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以

)121

121(21112242dx x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++++-=++

.

)]12arctan()12[arctan(2

11

)12(

)

1221

1

)12(

)

12(21)

21)22(121)22(1[212

2

22c x x x x d x x d dx x dx x +++-=

++++

+--=++

++-

=⎰⎰⎰⎰

解法2 dx x x x x x

x x dx x x ⎰⎰+++-++-=++)12)(12(2)12(112

2242

.

arctan 21)12arctan(211212242

c x x dx x x

x x dx +++=++++=⎰⎰

解法3

⎰⎰⎰+-=++=++≠22222421)1

(11111,0x

x x x d dx x x x dx x x x 当 c x x x

x x x d +-=+--=⎰21arctan 212)1()

1

(22

,2

221arctan

2

1lim 20

π

-

=-+

→x

x x Θ

,2

221arctan 21lim 20π=--→x x x

由拼接法可有

.0

2

221arctan 2100

,2

221arctan 21112242

⎪⎪⎩

⎪

⎪

⎨

⎧<+--=>++-=++⎰x c

x x x x c x x dx x x ππ 例2.求 .)

1()1(2

2

23dx x x x ⎰+++ 解 将被积函数化为简单的部分分式

(*)1

)1(1)1()1(222223⋅⋅⋅⋅⋅++++++=+++x D

Cx x B x A x x x

两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得

.2

11)1(2)1(2

3=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为

.

2.24

26)1()

2(2)1(3lim ]12[lim )1()

1()1(2[lim 2232212312

2231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以

.2

1

-=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得

.1,1-=⇒+=C C A 故有

.

arctan 2

1

)1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dx

x D

Cx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++⎰⎰

例3. 求 .)

()1(2

424dx x x x x

⎰

++ 解 令 ,2x u =再用部分分式，則

⎰⎰++=++))(1(21)()1(22244u u u du

dx x x x x

,1

1)()1(1222+++++=++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再

令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令,1-→u 得

.2

1

-=B 两边乘以,u 再令,+∞→u 得

.21,0-=⇒++=C C B A 令.2

1

,1-=⇒=D u

.arctan 4

1)1()1(ln 81arctan 41

)1ln(81)1ln(41ln 21arctan 41

)1ln(811ln 41ln 21]12121)1(211[21)

)(1(21)()1(24

22824222222244c x x x x c x x x x c

u u u u du u u u u u u u du

dx x x x x +-++=+-+-+-=+-+-+-=+-

-++-=++=

++∴⎰⎰⎰ 例4 82

887

28828

15)1(1181)1()1(dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰+-+=⋅+=+ )1(])

1(111[818

288++-+=

⎰x d x x .)

1(81)1ln(8188c x x ++++= 例5.求 .sin cos 1cos 1dx x x x

⎰

-++

解 令 ,2tan t x =则=-++⎰

dx x x x

sin cos 1cos 1