辽宁省抚顺二中2015届高三上学期期中考试数学(文) 试题

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辽宁省抚顺市重点高中协作校高考数学模拟试卷文(含解析)

辽宁省抚顺市重点高中协作校2015届高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合P={﹣2，﹣1，1，2}，Q={x|x2﹣3x+2=0}，则集合P∩Q等于（）A．{﹣1，﹣2} B．{1，2} C．{﹣2，1} D．{﹣1，2}2．（5分）已知复数z满足=i，则复数z的虚部是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣13．（5分）某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法．抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取最大编号为（）A．15 B．18 C．21 D．224．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．（5分）已知||=1，=（0，2），且=，则向量与夹角的大小为（）A．B．C．D．6．（5分）已知3，a+2，b+4成等比数列，1，a+1，b+1成等差数列，则等差数列的公差为（）A．4或﹣2 B．﹣4或2 C．4 D．﹣47．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（）A．11 B．10 C．9 D．128．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，沿BD将三角形ABD折起，连接AC，所得三棱锥A﹣BCD的主视图和俯视图如图所示，则三棱锥A﹣BCD左视图的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）在如图的程序中所有的输出结果之和为（）A．30 B．16 C．14 D．910．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+4φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sinx B．g（x）=2sin2x C．g（x）=2sin x D．g（x）=2sin（2x﹣）11．（5分）设抛物线y2=16x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A、B两点，且2=，则|AF|+4|BF|=（）A．18 B．20 C．24 D．2612．（5分）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+] C．（e2+，+∞] D．（﹣e2﹣，e2+]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若，则cos2θ=．14．（5分）已知f（x）=则f（f（3））=．15．（5分）已知{a n}是公差不等于0的等差数列，a1=2且a2，a4，a8成等比数列，若b n=，则数列{b n}的前n项和的取值范围是．16．（5分）正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点D是线段BC的中点，过D作球O的截面，则截面面积的最小值为．三、判断题（共8小题，每小题12分，满分70分）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的边．（1）若=，判断△ABC的形状；（2）若a=2，B=，△ABC的面积为，求边长b的值．18．（12分）如图1所示，直角梯形ABCD，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=CD=AB=2，点E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直（如图2），在图2所示的几何体D﹣ABC中．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F﹣BCE的体积．19．（12分）某校2015届高三年级在某次模拟考试中，从全年级400名学生中选出40名学生的数学成绩制成了平率分布直方图如图所示．（1若成绩在120分以上为优秀，试估计该校2015届高三年级的优秀率；（2）根据频率分布直方图估计该校2015届高三年级的数学成绩的平均值；（3）样本中数学成绩在[130，140）分的同学中男女生人数之比为2：1，现从成绩在[130，140）分的同学中选出2个研究他们的失分情况，求选出的人中至少1名女生的概率．20．（12分）已知椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的离心率等于，点P（2，）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，过点Q（2，0）的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上？若存在，求出一个满足条件的t值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（k+）lnx+，其中常数k＞0．（1）当k=1时，求f（x）在定义域上的单调区间；（2）若k∈[4，+∞），曲线y=f（x）上总存在相异两点M（x1，y1），N（x2，y2）使得曲线y=f （x）在M，N两点的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．23．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，x∈R（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2﹣3m＜f（x），对∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．辽宁省抚顺市重点高中协作校2015届高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合P={﹣2，﹣1，1，2}，Q={x|x2﹣3x+2=0}，则集合P∩Q等于（）A．{﹣1，﹣2} B．{1，2} C．{﹣2，1} D．{﹣1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合Q，利用交集定义进行求解．解答：解：Q={x|x2﹣3x+2=0}={1， 2}，则P∩Q={1，2}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知复数z满足=i，则复数z的虚部是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：复数z满足=i，∴==﹣2=﹣i﹣2，则复数z的虚部是﹣1．故选；D．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．3．（5分）某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法．抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取最大编号为（）A．15 B．18 C．21 D．22考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义进行求解即可．解答：解：抽取样本间隔为24÷6=6，若抽到的最小编号为3，则抽取最大编号为3+3×6=21，故选：C点评：本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．4．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的渐近线方程，可得a，b的关系，利用e==，即可求得结论．解答：解：由题意，=1∴双曲线的离心率e===．故选：D．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）已知||=1，=（0，2），且=，则向量与夹角的大小为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：本题是一个求夹角的问题，已知条件得到两个向量的模长，利用向量的数量积的定义，建立关于夹角的方程，即可得到夹角，注意夹角的范围．解答：解：由于=（0，2），则||=2，又由||=1，则=1×2×cos=，即cos=，由于0≤≤π，则向量与夹角的大小为，故选：A点评：本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到求角的问题．注意解题过程中角的范围．6．（5分）已知3，a+2，b+4成等比数列，1，a+1，b+1成等差数列，则等差数列的公差为（）A．4或﹣2 B．﹣4或2 C．4 D．﹣4考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a和b的方程组，解方程组可得a和b的值，可得答案．解答：解：∵3，a+2，b+4成等比数列，1，a+1，b+1成等差数列，∴（a+2）2=3（b+4），2（a+1）=1+b+1，联立解得或，当时，a+2=0，与3，a+2，b+4成等比数列矛盾，应舍去；当时，等差数列的公差为（a+1）﹣1=a=4故选：C点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题．7．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（）A．11 B．10 C．9 D．12考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（0，4）．此时z的最大值为z=3×4=12，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．8．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，沿BD将三角形ABD折起，连接AC，所得三棱锥A﹣BCD的主视图和俯视图如图所示，则三棱锥A﹣BCD左视图的面积为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意可知平面ABD⊥平面BCD，三棱锥A﹣BCD左视图为等腰直角三角形，两条直角边分别是过B和D向AC所做的垂线，做出直角边的长度，得到左视图的面积．解答：解：由正视图和俯视图可知平面ABD⊥平面BCD．三棱锥A﹣BCD左视图为等腰直角三角形，两条直角边分别是过A和C向BD所做的垂线，由等面积可得直角边长为=，∴左视图面积为=．故选：B．点评：本题考查简单几何体的三视图，根据所给的两个三视图得到直观图，这是三视图经常考查的知识点，是一个基础题．9．（5分）在如图的程序中所有的输出结果之和为（）A．30 B．16 C．14 D．9考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算输出S的值，直到满足条件i＞7，程序运行终止，所有的输出结果相加可得答案．解答：解：由程序框图知：第一次循环S=0+1=1，i=2+1=3，输出S=1；第二次循环S=1+3=4，i=3+2=5，输出S=4；第三次循环S=4+5=9，i=5+2=7，输出S=9；第四次循环S=9+7=16，i=7+2=9，输出S=16．满足条件i＞7，程序运行终止，∴所有的输出结果之和为1+4+9+16=30．故选：A．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算输出S的值是解答本题的关键．10．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+4φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sinx B．g（x）=2sin2x C．g（x）=2sin x D．g（x）=2sin（2x﹣）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图象可得A，T，可解得ω，由图象过点C（0，1），可得sin4φ=，结合范围0＜φ＜，解得4φ=，可得解析式f（x）=2sin（x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．解答：解：∵由图象可知，A=2，，∴T=4，解得，故f（x）=2sin（x+4φ），∵图象过点C（0，1），∴1=2sin4φ，即sin4φ=，∵0＜φ＜，∴0＜4φ，∴4φ=，故f（x）=2sin（x+），若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得到的函数g（x）的解析式为y=2sin（2x+），再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin （2x﹣）．故选：D．点评：本题主要考查了三角函数解析式的求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基本知识的考查．11．（5分）设抛物线y2=16x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A、B两点，且2=，则|AF|+4|BF|=（）A．18 B．20 C．24 D．26考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据向量关系，用坐标进行表示，求出点A，B的横坐标，再利用抛物线的定义，可求|AF|+4|BF|．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵P（1，0）∴=（1﹣x2，﹣y2），=（x1﹣1，y1）∵2=，∴2（1﹣x2，﹣y2）=（x1﹣1，y1）∴x1+2x2=3，﹣2y2=y1，将A（x1，y1），B（x2，y2）代入抛物线y2=16x，可得y12=16x1，y22=16x2，又∵﹣2y2=y1∴4x2=x1又∵x1+2x2=3解得x2=，x1=2，∵|AF|+4|BF|=x1+4+4（x2+4）=2+4+4（+4）=24．故选：C．点评：本题重点考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，解题的关键是确定点A，B的横坐标．12．（5分）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+] C．（e2+，+∞] D．（﹣e2﹣，e2+]考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由题意先求函数的定义域，再化简为方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，则m==﹣x2+2ex+，求导求函数m=﹣x2+2ex+的值域，从而得m的取值范围．解答：解：∵f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx的定义域为（0，+∞），又∵g（x）=，∴函数g（x）至少存在一个零点可化为函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx至少有一个零点；即方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，则m==﹣x2+2ex+，m′=﹣2x+2e+=﹣2（x﹣e）+；故当x∈（0，e）时，m′＞0，当x∈（e，+∞）时，m′＜0；则m=﹣x2+2ex+在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，故m≤﹣e2+2•e•e+=e2+；又∵当x+→0时，m=﹣x2+2ex+→﹣∞，故m≤e2+；故选A．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点与方程的关系，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若，则cos2θ=．考点：诱导公式的作用；二倍角的余弦．分析：由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．解答：解：由可知，，而．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式及二倍角公式的应用．14．（5分）已知f（x）=则f（f（3））=．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由分段函数的特点，先求f（3），再代入求值可得．解答：解：∵f（x）=，∴f（3）=log2（3﹣1）=1∴f（f（3））=f（1）=21﹣2=故答案为：点评：本题考查函数求值，涉及分段函数，属基础题．15．（5分）已知{a n}是公差不等于0的等差数列，a1=2且a2，a4，a8成等比数列，若b n=，则数列{b n}的前n项和的取值范围是[，）．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}是公差为d且d不为0，由题意和等比中项的性质列出方程求出d的值，代入等差数列的通项公式求出a n，再代入b n=化简后进行裂项，由裂项相消法求出数列{b n}的前n项和，化简后由式子个特点和n的取值范围求出它的范围．解答：解：设等差数列{a n}是公差为d，且d不为0，由a1=2且a2，a4，a8成等比数列得，（2+3d）2=（2+d）（2+7d），解得d=2或d=0（舍去），所以a n=a1+（n﹣1）d=2n，则b n==（﹣），所以数列{b n}的前n项和S n=b1+b2+…+b n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=[1﹣]＜，又n≥1，所以S n≥，所以数列{b n}的前n项和S n的取值范围是[，），故答案为：[，）．点评：本题考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式，数列的求和方法：裂项相消法的应用，以及数列的函数特性．16．（5分）正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点D是线段BC的中点，过D作球O的截面，则截面面积的最小值为．考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD=．而经过点D的球O的截面，当截面与OD垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．解答：解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，结合O1C⊂平面ABC，可得O1O⊥O1C，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，∴Rt△O1OC中，O1C==．又∵D为BC的中点，∴Rt△O1DC中，O1D=O1C=．∴Rt△OO1D中，OD==．∵过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OD垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r===，可得截面面积为S=πr2=．故答案为：点评：本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．三、判断题（共8小题，每小题12分，满分70分）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的边．（1）若=，判断△ABC的形状；（2）若a=2，B=，△ABC的面积为，求边长b的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由条件利用正弦定理可得sinB=sinC，故有B=C，可得△ABC为等腰三角形．（2）由△ABC的面积为，求得c的值，再根据余弦定理求得b的值．解答：解：（1）△ABC中，由=，可得=，利用正弦定理可得=，∴sinB=sinC，故有B=C，即△ABC为等腰三角形．（2）∵a=2，B=，△ABC的面积为=ac•sinB=×2×c×sin，∴c=．再由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2ac•cosB=4+﹣2×2×=，∴b=．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．18．（12分）如图1所示，直角梯形ABCD，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=CD=AB=2，点E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直（如图2），在图2所示的几何体D﹣ABC中．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F﹣BCE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由题意知，AC=BC=2，从而由勾股定理得AC⊥BC，取AC中点E，连接DE，则DE⊥AC，从而ED⊥平面ABC，由此能证明BC⊥平面ACD．（2）取DC中点F，连结EF，BF，则EF∥AD，三棱锥F﹣BCE的高h=BC，S△BCE=S△ACD，由此能求出三棱锥F﹣BCE的体积．解答：（1）证明：在图1中，由题意知，AC=BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC取AC中点E，连接DE，则DE⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，DE⊂平面ACD，从而ED⊥平面ABC，∴ED⊥BC又AC⊥BC，AC∩ED=E，∴BC⊥平面ACD．（2）解：取DC中点F，连结EF，BF，∵E是AC中点，∴EF∥AD，又EF⊂平面BEF，AD⊄平面BEF，∴AD∥平面BEF，由（1）知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，∵三棱锥F﹣BCE的高h=BC=2=，S△BCE=S△ACD=×2×2=1，所以三棱锥F﹣BCE的体积为：V F﹣BCE==×1×=．点评：本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．19．（12分）某校2015届高三年级在某次模拟考试中，从全年级400名学生中选出40名学生的数学成绩制成了平率分布直方图如图所示．（1若成绩在120分以上为优秀，试估计该校2015届高三年级的优秀率；（2）根据频率分布直方图估计该校2015届高三年级的数学成绩的平均值；（3）样本中数学成绩在[130，140）分的同学中男女生人数之比为2：1，现从成绩在[130，140）分的同学中选出2个研究他们的失分情况，求选出的人中至少1名女生的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）通过频率分布直方图直接计算即可；（2）直接计算平均值即可；（3）通过频率分布直方图计算出男生4人，女生2人，利用列举法列出从6名学生中任取2名的所有情况，再找出满足条件的情况即可．解答：解：（1）∵成绩在120分以上（含120分）为优秀，∴2015届高三年级数学成绩的优秀率为10×（0.025+0.015）=40%，∴该校2015届高三年级的优秀率为40%；（2）平均成绩为x=0.05×95+0.2×105+0.35×115+0.25×125+0.15×135=117.5；（3）数学成绩在[130，140）分的同学的人数为0.015×10×40=6，∵男女生人数之比为2：1，∴男生4人，女生2人，女生2人即为A、B，男生4人即为c、d、e、f，则从6名学生中任取2名的所有情况有15种，具体如下：（A、B），（A、c），（A、d），（A、e），（A、f），（B、c），（B、d），（B、e），（B、f），（c、d），（c、e），（c、f），（d、e），（d、f），（e、f），其至少1名女生的情况有（A、B），（A、c），（A、d），（A、e），（A、f），（B、c），（B、d），（B、e），（B、f）共9种情况，故上述6人中选2人，至少一名女生的概率为P==．点评：本题考查频率分布直方图，考查列举法，考查概率的求法，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的离心率等于，点P（2，）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，过点Q（2，0）的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上？若存在，求出一个满足条件的t值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可得：，解得即可．（2）当l⊥x轴时，M，N，联立直线AN、BM的方程可得G．猜测常数t=8．即存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），G（8，t）．把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，由于=（12，t），=（x2+4，y2），利用三点共线可得t（x2+4）﹣12y2=0，只要证明三点B，M，G共线即可．利用向量的坐标运算及其根与系数的关系即可证明．解答：解：（1）∵椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的离心率等于，点P（2，）在椭圆上．∴，解得a2=16，b2=4，c=．∴椭圆C的方程为．（2）当l⊥x轴时，M，N，直线AN、BM的方程分别为，．分别化为：=0，=0．联立解得G．猜测常数t=8．即存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．证明：当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），G（8，t）．联立，化为（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣16=0．∴，．∵=（12，t），=（x2+4，y2），三点A，N，G共线．∴t（x2+4）﹣12y2=0，∴=由于=（4，t），=（x1﹣4，y1），要证明三点B，M，G共线．即证明t（x1﹣4）﹣4y1=0．即证明﹣4k（x1﹣2）=0，而3（x2﹣2）（x1﹣4）﹣（x1﹣2）（x2+4）=2x1x2﹣10（x1+x2）+32==0，∴﹣4k（x1﹣2）=0成立．∴存在定直线l′：x=8，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．综上可知：存在定直线l′：x=8，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的坐标运算、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=（k+）lnx+，其中常数k＞0．（1）当k=1时，求f（x）在定义域上的单调区间；（2）若k∈[4，+∞），曲线y=f（x）上总存在相异两点M（x1，y1），N（x2，y2）使得曲线y=f （x）在M，N两点的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）当k=1时，f（x）=5lnx+，x∈（0，+∞），则f′（x）=﹣﹣1=，分别解出f′（x）＜0，f′（x）＞0，即可得出单调区间．（2）f′（x）=﹣﹣1．由题意可得：（x1，x2＞0，且x1≠x2）．化为：4（x1+x2）=x1x2，而，因此x1+x2＞对k∈[4，+∞）都成立，令g（k）=，k∈[4，+∞），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．解答：解：（1）当k=1时，f（x）=5lnx+，x∈（0，+∞），则f′（x）=﹣﹣1=，当0＜x＜1或x＞4时，f′（x）＜0；当1＜x＜4时，f′（x）＞0．∴函数f（x）的单调递减区间为（0，1），（4，+∞），单调递减区间为（1，4）．（2）f′（x）=﹣﹣1．由题意可得：（x1，x2＞0，且x1≠x2）．∴﹣﹣1=﹣﹣1，化为：4（x1+x2）=x1x2，而，∴4（x1+x2）＜，化为x1+x2＞对k∈[4，+∞）都成立，令g（k）=，k∈[4，+∞），g′（k）=1﹣＞0，对k∈[4，+∞）恒成立，∴g（k）≥g（4）=5，∴，∴x1+x2＞，即x1+x2的取值范围是．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．解答：解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．23．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ把圆C的极坐标方程，由消元法把直线l的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）根据直线l与圆C有公共点的几何条件，建立关于a的不等式关系，解之即可．解答：解：（Ⅰ）由得，，则，∴直线l的普通方程为：4x﹣3y+5=0，…（2分）由ρ=2acosθ得，ρ2=2aρcosθ又∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x∴圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=a2，…（5分）（Ⅱ）∵直线l与圆C恒有公共点，∴，…（7分）两边平方得9a2﹣40a﹣25≥0，∴（9a+5）（a﹣5）≥0∴a的取值范围是．…（10分）点评：本题主要考查学生会将曲线的极坐标方程及直线的参数方程转化为普通方程，运用几何法解决直线和圆的方程的问题，属于基础题．24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，x∈R（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2﹣3m＜f（x），对∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；全称命题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）运用零点分区间的方法，讨论x＜﹣3，﹣3≤x≤1，x＞1去掉绝对值，解不等式，再求并集即可；（2）运用绝对值不等式的性质，可得f（x）的最小值为4，再由不等式恒成立思想可得二次不等式，解得即可．解答：解：（1）原不等式等价为或或，可得﹣≤x＜﹣3或﹣3≤x≤1或1＜x≤，则原不等式的解集为[﹣，]；（2）由于f（x）=|x﹣1|+|x+3|≥|（x﹣1）﹣（x+3）|=4，则f（x）的最小值为4，由题意可得m2﹣3m＜f（x）min，即有m2﹣3m＜4，解得﹣1＜m＜4．点评：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．。

辽宁省五校协作体2015届高三上学期期中数学试卷(文科)(解析版)

辽宁省五校协作体2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|＜3}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则集合A∩B为（）A．[0，3）B．[1，3）C．（1，3）D．（﹣3，1]2．（5分）下列函数中周期为π且为偶函数的是（）A．y=cos（2x﹣）B．y=sin（2x+）C．y=sin（x+）D．y=cos（x﹣）3．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．线性回归方程=x+对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点D．若“p∨（¬q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题4．（5分）已知平面向量=（2m+1，3），=（2，m），且与反向，则||等于（）A．B．或2C．D．25．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣6．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β7．（5分）已知f（x）=sin+cos的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知向量=（2，1），•=10，|+|=5，则||=（）A．5B．25 C．D．9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．1B．C．D．10．（5分）已知数列{a n}，定直线l：（m+3）x﹣（2m+4）y﹣m﹣9=0，若（n，a n）在直线l上，则数列{a n}的前13项和为（）A．10 B．21 C．39 D．7811．（5分）已知{a n}为等差数列，0＜d＜1，a5≠，sin2a3+2sina5cosa5=sin2a7，S n为数列{a n}的前n项和，若S n≥S10对一切n∈N*都成立，则首项a1的取值范围是（）A．[﹣π，﹣π）B．[﹣π，﹣π]C．（﹣π，﹣π） D．[﹣π，﹣π]12．（5分）已知函数f（x）在[0，+∞）上可导，其导函数记作f′（x），f（0）=﹣2，且f （x+π）=f（x），当x∈[0，π）时，f′（x）•cos2x＞f（x）•sin2x﹣f′（x），若方程f（x）+k n secx=0在[0，+∞）上有n个解，则数列{}的前n项和为（）A．（n﹣1）•2n+1 B．（n﹣1）•2n+1+2 C．n•2n﹣1D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为．14．（5分）平面上三个向量，，，满足||=1，||=，||=1，•=0，则•的最大值是．15．（5分）在数列{a n}中，a1≠0，a n+1=a n，S n为{a n}的前n项和．记R n=，则数列{R n}的最大项为第项．16．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f （y）+2014成立，若函数g（x）=f（x）+2014x2013有最大值M和最小值m，则M+m=．三、解答题：本大题共5小题，总计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=1，c=，cosC=．（1）求sinA的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．19．（12分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=1，数列{b n}满足b1=4，b n+1=3b n﹣2；（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=a n log3（b2n﹣1﹣1），其前n项和为T n，求T n．21．（12分）设f（x）=xlnx，g（x）=x2﹣1．（1）令h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（2）若当x≥1时，f（x）﹣mg（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，CD为△A BC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．辽宁省五校协作体2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|＜3}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则集合A∩B为（）A．[0，3）B．[1，3）C．（1，3）D．（﹣3，1]考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：集合．分析：根据绝对值和对数函数求出集合A和B，然后由交集的定义求出结果．解答：解：∵|x|＜3∴﹣3＜x＜3故A=（﹣3，3）∵y=lg（x﹣1）∴x﹣1＞0，解得x＞1故B=（1，+∞）∴A∩B=（1，3）故选：C．点评：本题考查交集的定义的运算，是基础题．解题时要认真审题，注意含绝对值不等式和对数函数的性质的灵活运用．2．（5分）下列函数中周期为π且为偶函数的是（）A．y=cos（2x﹣）B．y=sin（2x+）C．y=sin（x+）D．y=cos（x﹣）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先利用函数的周期性排除C，D，再利用诱导公式与函数的奇偶性可排除A，从而可得答案．解答：解：A：令g（x）=cos（2x﹣）=sin2x，则g（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣g（x），∴g（x）=cos（2x+）为奇函数，故可排除A；B：∵y=f（x）=sin（2x+）=cos2x，∴其周期T==π，f（﹣x）=cos（﹣2x）=cos2x=f（x），∴y=sin（2x+）是偶函数，∴y=sin（2x+）是周期为π的偶函数，故B正确；C：∵y=sin（x+）其周期T=2π，故可排除C；D：同理可得y=cos（x﹣）的周期为2π，故可排除D；故选：B．点评：本题考查正弦函数与余弦函数的周期性与奇偶性，考查诱导公式的应用，属于中档题．3．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．线性回归方程=x+对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点D．若“p∨（¬q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题考点：命题的真假判断与应用；特称命题；命题的否定．分析：利用全称命题与特称命题的否定关系判断A的正误；充要条件判断B的正误；回归直线方程判断C的正误；复合命题的真假判断D的正误；解答：解：对于A，命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”，不满足命题的否定形式，所以A不正确．对于B，“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件，正确，前者推出后者，后者不能说明前者一定成立，所以B正确；对于C，线性回归方程=x+对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点，显然不正确，一定经过样本中心，所以C不正确；对于D，若“p∨（¬q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题，不正确，所以D不正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件以及全称命题特称命题的否定关系，回归直线方程的应用，基本知识的考查．4．（5分）已知平面向量=（2m+1，3），=（2，m），且与反向，则||等于（）A．B．或2C．D．2考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，平面向量、共线且反向，求m的值，即可得出||．解答：解：∵平面向量=（2m+1，3），=（2，m），且与反向，∴m（2m+1）﹣3×2=0，解得m=﹣2，或m=；验证m=时不满足题意，∴=（2，﹣2）；∴||==2．故选：D．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应用平面向量的坐标表示求向量共线问题，是基础题．5．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣考点：函数的周期性．专题：计算题．分析：先通过有f（x+3）=﹣，且可推断函数f（x）是以6为周期的函数．进而可求得f（107.5）=f（5.5），再利用f（x+3）=﹣以及偶函数f（x）和x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x即可求得f（107.5）的值．解答：解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选B点评：本题主要考查了函数的周期性．要特别利用好题中有f（x+3）=﹣的关系式．在解题过程中，条件f（x+a）=﹣通常是告诉我们函数的周期为2a．6．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；若l⊥α，l⊥β，则由平面与平面平行的判定定理知α∥β，故D正确．故选：D．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．7．（5分）已知f（x）=sin+cos的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角恒等变换可得f（x）=2sin，依题意可知A=2，|x1﹣x2|的最小值为T=，从而可得答案．解答：解：∵f（x）=sin+cos=sin2014x+cos2014x+cos2014x+sin2014x=sin2014x+cos2014x=2sin，∴A=f（x）max=2，周期T==，又存在实数x1，x2，对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x2）=f（x）max=2，f（x1）=f（x）min=﹣2，|x1﹣x2|的最小值为T=，又A=2，∴A|x1﹣x2|的最小值为．故选：A．点评：本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．8．（5分）已知向量=（2，1），•=10，|+|=5，则||=（）A．5B．25 C．D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量的数量积的运算，结合题意，求出的模长．解答：解：∵向量=（2，1），•=10，|+|=5，∴||==，∴=+2•+=+2×10+=；解得=25，∴||=5．故选：A．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据平面向量的数量积，求向量的模长，是基础题．9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．1B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积和高，进而可得该几何体的体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面的两条直角边均为1，底面面积S=×1×1=，高h=2，故棱锥的体积V=Sh=，故选：D点评：本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．10．（5分）已知数列{a n}，定直线l：（m+3）x﹣（2m+4）y﹣m﹣9=0，若（n，a n）在直线l上，则数列{a n}的前13项和为（）A．10 B．21 C．39 D．78考点：数列与解析几何的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由点（n，a n）（n∈N*）在直线l：（m+3）x﹣（2m+4）y﹣m﹣9=0上，可得a n=n ﹣，即可得到数列{a n}的前13项和．解答：解：∵点（n，a n）（n∈N*）在直线l：（m+3）x﹣（2m+4）y﹣m﹣9=0上，∴（m+3）n﹣（2m+4）a n﹣m﹣9=0，∴a n=n﹣．∴数列{a n}的前13项和S13==39．故选C．点评：本题考查数列与解析几何的综合，考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题．11．（5分）已知{a n}为等差数列，0＜d＜1，a5≠，sin2a3+2sina5cosa5=sin2a7，S n为数列{a n}的前n项和，若S n≥S10对一切n∈N*都成立，则首项a1的取值范围是（）A．[﹣π，﹣π）B．[﹣π，﹣π]C．（﹣π，﹣π） D．[﹣π，﹣π]考点：数列与三角函数的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列；三角函数的求值．分析：先确定d=，可得S n=，对称轴n=，利用S n≥S10对一切n∈N*都成立，可得9.5≤≤10.5，即可求出首项a1的取值范围．解答：解：∵sin2a3+2sina5cosa5=sin2a7，∴2s ina5cosa5=2sin cos•2cos sin，∴sin4d=1，∴d=，∴S n=．对称轴n=．∵S n≥S10对一切n∈N*都成立，∴9.5≤≤10.5，∴﹣π≤a1≤﹣．故选：D．点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式和配方法、二次函数的单调性是解题的关键．12．（5分）已知函数f（x）在[0，+∞）上可导，其导函数记作f′（x），f（0）=﹣2，且f （x+π）=f（x），当x∈[0，π）时，f′（x）•cos2x＞f（x）•sin2x﹣f′（x），若方程f（x）+k n secx=0在[0，+∞）上有n个解，则数列{}的前n项和为（）A．（n﹣1）•2n+1 B．（n﹣1）•2n+1+2 C．n•2n﹣1D．考点：数列的求和．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：由于f（0）=﹣2，且f（x+π）=f（x），则f（π）=f（0）=﹣1，f（2π）==﹣，f（3π）=﹣，…，f（nπ）=﹣（）n﹣1．再由导数的积的运算法则和二倍角公式，得到f（x）cosx的单调性和极值，由条件可得，k n=﹣f（x）cosx在[0，+∞）上有n个解，k1=﹣f（0）cos0=2，k2=﹣f（π）cosπ=﹣1，…，k n=﹣f（（n﹣1）π）cos（n﹣1）π，则有k2n=（）n﹣1，即有=n•2n﹣1，再运用错位相减法，即可得到前n项和．解答：解：由于f（0）=﹣2，且f（x+π）=f（x），则f（π）=f（0）=﹣1，f（2π）==﹣，f（3π）=﹣，…，f（nπ）=﹣（）n﹣1．由于当x∈[0，π）时，f′（x）•cos2x＞f（x）•sin2x﹣f′（x），则有f′（x）（1+cos2x）﹣f（x）sin2x＞0，即有2cosx（f′（x）cosx﹣f（x）sinx）＞0，则2cosx•（f（x）cosx）′＞0，则有cosx＞0，（f（x）cosx）′＞0，f（x）cosx在（0，）递增，cosx＜0，（f（x）cosx）′＜0，f（x）cosx在（，π）递减，由于方程f（x）+k n secx=0在[0，+∞）上有n个解，即有k n=﹣f（x）cosx在[0，+∞）上有n个解，则k1=﹣f（0）cos0=2，k2=﹣f（π）cosπ=﹣1，k3=﹣f（2π）cos2π=，k4=﹣f（3π）cos3π=﹣，…，k n=﹣f（（n﹣1）π）cos（n﹣1）π，则有k2n=（）n﹣1，即有=n•2n﹣1，令S=1+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，则2S=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，两式相减得，﹣S=1+2+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n则S=（n﹣1）•2n+1．故选A．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查函数的零点问题，考查等比数列的通项和求和公式，考查错位相减法求数列的和，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为2．考点：基本不等式．专题：综合题．分析：将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2y﹣z的最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查基本不等式，将z=x2﹣3xy+4y2代入，求得取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．14．（5分）平面上三个向量，，，满足||=1，||=，||=1，•=0，则•的最大值是3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由于满足||=1，||=，||=1，•=0，建立如图所示的直角坐标系，可得A（1，0），B（0，），可设C（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．再利用向量的坐标运算、数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性即可得出．解答：解：∵满足||=1，||=，||=1，•=0，如图所示，∴A（1，0），B（0，），可设C（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．∴=（1﹣cosθ，﹣sinθ），=（﹣cosθ，﹣sinθ），∴•=﹣cosθ（1﹣cosθ）﹣sinθ（）=﹣cosθ﹣+1=﹣2sin （）+1≤3，当且仅当θ=时取等号．∴•最大值是3．故答案为：3．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性，属于中档题．15．（5分）在数列{a n}中，a1≠0，a n+1=a n，S n为{a n}的前n项和．记R n=，则数列{R n}的最大项为第4项．考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可得R n=，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵a1≠0，a n+1=a n，∴=，．S n=，S2n=．∴R n===≤，比较R3，R4，R5可得当n=4时，R n取得最大值．故答案为：4．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．16．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f （y）+2014成立，若函数g（x）=f（x）+2014x2013有最大值M和最小值m，则M+m=﹣4028．考点：函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：本题可先研究函数f（x）的特征，构造与f（x）、g（x）相关的奇函数，利用奇函数的图象对称性，得到相应的最值关系，从而得到g（x）的最大值M与最小值m的和，得到本题结论．解答：解：∵f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f （y）+2014成立，∴取x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0）+2014，f（0）=﹣2014，取y=﹣x，得到：f（0）=f（x）+f（﹣x）+2014，∴f（x）+f（﹣x）=﹣4028．记h（x）=f（x）+2014x2013+2014，则h（﹣x）+h（x）=[f（﹣x）+2014（﹣x）2013+2014]+f（x）+2014x2013+2014=f（x）+f（﹣x）+2014x2013﹣2014x2013+4028=f（x）+f（﹣x）+4028=0，∴y=h（x）为奇函数．记h（x）的最大值为A，则最小值为﹣A．∴﹣A≤f（x）+2014x2013+2014≤A，∴﹣A﹣2014≤f（x）+2014x2013≤A﹣2014，∵g（x）=f（x）+2014x2013，∴∴﹣A﹣2014≤g（x）≤A﹣2014，∵函数g（x）有最大值M和最小值m，∴M=A﹣2014，m=﹣A﹣2014，∴M+m=A﹣2014+（﹣A﹣2014）=﹣4028．故答案为：﹣4028．点评：本题考查了函数奇偶性及其应用，还考查了抽象函数和构造法，本题难度适中，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，总计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=1，c=，cosC=．（1）求sinA的值；（2）求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）根据正弦定理即可求sinA的值；（2）根据余弦定理和是三角形的面积公式即可求△ABC的面积．解答：解：（1）∵cosC=，∴sinC=，∵，∴，即．（2）∵c2=a2+b2﹣2abcos⁡C，∴，即2b2﹣3b﹣2=0，解得b=2，∴三角形的面积S=．点评：本题主要考查三角形的面积公式的计算以及正弦定理和余弦定理的应用，涉及的公式较多．18．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．考点：直线与平面垂直的性质；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）首先，得到BD⊥AC，然后，得到A1O⊥BD，最后，得到BD⊥面A1AC即可；（2）首先，得到A1B1∥AB AB∥CD，然后，得到四边形A1B1CD是平行四边形，从而得到证明结论；（3）直接根据体积公式进行求解即可．解答：解：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴AA1⊥BD．（2）∵A1B1∥AB，AB∥CD，∴A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．（3）∵A1O⊥面ABCD，∴A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，∴A1O=，∴V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．点评：本题考查了空间中点线面的位置关系，例如直线与平面平行、垂直，平面和平面平行等知识，属于中档题．19．（12分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求a n （II）由==，利用裂项求和即可求解解答：解：（I）设等差数列{a n}的公差为d∵a7=4，a19=2a9，∴解得，a1=1，d=∴=（II）∵==∴s n===点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易20．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=1，数列{b n}满足b1=4，b n+1=3b n﹣2；（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=a n log3（b2n﹣1﹣1），其前n项和为T n，求T n．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据递推公式分别求出{a n}和{b n}的通项公式；（2）由错位相减求和法求出数列{c n}的前n项和T n．解答：解：（1）①当n=1时，a1+S1=1∴a1=②当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（1﹣a n）﹣（1﹣a n﹣1）=a n﹣1﹣a n，∴a n=a n﹣1∴数列{a n}是以a1=为首项，公比为的等比数列；∴a n=•（）n﹣1=（）n∵b n+1=3b n﹣2∴b n+1﹣1=3（b n﹣1）又∵b1﹣1=3∴{b n﹣1}是以3为首项，3为公比的等比数列∴b n﹣1=3n、∴b n=3n+1（2）∵c n=（）n•log332n﹣1=（2n﹣1）•（）n∴S n=1×+3×（）2+5×（）3+…+（2n﹣3）•（）n﹣1+（2n﹣1）•（）n∴S n=1×（）2+3×（）3+5×（）4+…+（2n﹣3）•（）n+（2n﹣1）•（）n+1∴（1﹣）S n=1×+2[（）2+（）3+…+（）n﹣1+（）n]﹣（2n﹣1）•（）n+1 =﹣4×（）n+1﹣（2n﹣1）•（）n+1=﹣（2n+3）（）n+1∴S n=3﹣点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列求和，解题时要注意公式的灵活运用，特别是错位相减求和法的合理运用．21．（12分）设f（x）=xlnx，g（x）=x2﹣1．（1）令h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（2）若当x≥1时，f（x）﹣mg（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题；导数的综合应用．分析：（1）由题意h（x）=xlnx﹣x2+1，二阶求导以确定导数的正负，从而求函数的单调区间；（2）令F（x）=xlnx﹣m（x2﹣1），对其二阶求导以确定导数的正负，从而求函数的最值，将恒成立问题化为最值问题，从而求解．解答：解：（1）h（x）=xlnx﹣x2+1h′（x）=lnx+1﹣2x令t（x）=lnx+1﹣2x t′（x）=﹣2=∴t（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴t（x）≤t（）=﹣ln2＜0，即h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减．（2）令F（x）=xlnx﹣m（x2﹣1），则F′（x）=lnx+1﹣2mx，令G（x）=lnx+1﹣2mx，则G′（x）=﹣2m，①当m≥时，∵x≥1，∴≤1，∴﹣2m≤0，即G′（x）≤0；∴G（x）在[1，+∞）上单调递减，∴G（x）≤G（1）=1﹣2m≤0，即F′（x）≤0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴F（x）≤F（1）=0，∴f（x）﹣mg（x）≤0，∴m≥符合题意；②当m≤0时，显然有F′（x）=lnx+1﹣2mx≥0，∴F（x）在（1，+∞）上单调递增，∴F（x）＞F（1）=0，即f（x）﹣mg（x）＞0，不符合题意；③当0＜m＜时，令G′（x）=﹣2m＞0解得：1＜x＜，G′（x）=﹣2m＜0解得：x＞；∴G（x）在[1，]上单调递增，∴G（x）≥G（1）=1﹣2m＞0，即F′（x）＞0；∴F（x）在[1，]上单调递增；∴当x∈（0，）时，F（x）＞F（0）=0，即f（x）﹣mg（x）＞0，不符合题意；综合①②③可知，m≥符合题意，∴m的取值范围是[，+∞）．点评：本题考查了导数的综合应用，难在二阶求导以判断函数的单调性与最值，同时考查了恒成立问题化成最值问题的处理方法，属于难题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（I）由已知与圆的切线的性质可得△CDB∽△AEF，∠DBC=∠EFA．利用B，E，F，C 四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，∠EFA=∠CFE=90°，即可证明．（II）连接CE，由于∠CBE=90°，可得过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC2DB•BA=2DB2，可得CA2=4DB2+BC2=6DB2，而DC2=DB•DA=3DB2，即可得出．解答：（I）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠BCD=∠A，由题设知：=，故△CDB∽△AEF，∴∠DBC=∠EFA．∵B，E，F，C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，故∠EFA=∠CFE=90°∴∠CBA=90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．（2）解：连接CE，∵∠CBE=90°，∴过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC2DB•BA=2DB2，∴CA2=4DB2+BC2=6DB2，而DC2=DB•DA=3DB2，故B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC的外接圆面积的比值为．点评：本题考查了圆的切线的性质、四点共圆的性质、勾股定理、圆的面积与三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．专题：计算题；压轴题．分析：（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．解答：解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．专题：计算题；压轴题．分析：（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．解答：解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．欢迎下载，资料仅供参考!!!。

辽宁省抚顺县高级中学、第二高级中学、四方高中高二数学上学期期中试题文

辽宁省抚顺县高级中学、第二高级中学、四方高中高二数学上学期期中试题文数学(文)试卷命题单位：抚顺县高中本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两局部，考试时间为120分钟，总分值150分。

第I 卷〔60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的.1．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，那么sinB=〔〕A ．B ．C ．D ．2．实数c b a ,,满足b a <且0≠c ，那么以下不等式一定成立的是〔〕A ．b a 11>B ．22b a <C ．bc ac <D ．22c b c a < 3．，那么〝1-<x 〞是}121|{-<>x x x 或的〔〕 A ．充沛不用要条件 B ．必要不充沛条件C ．充要条件D ．既不充沛也不用要条件 4．满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-04001y x y x x ，那么目的函数y x z +=3的最小值是〔〕A ． 4B ． 6C ． 8D ． 105．椭圆164:22=+y x C 的长轴长、短轴长和焦点坐标依次为〔〕．A ．，，B ．，，C ．，，D ．，， 6．在正项等比数列}{n a 中，假定4a ，8a 是方程0232=+-x x 的两根，那么6a 的值是〔〕A ．B ．C ．D ．7．三角形的三边之比是3：5：7，那么其最大角为A ．900 B.1200 C.1350 D.15008．在等比数列}{n a 中1a =3，其前n 项和为S n ．假定数列{a n +3}也是等比数列，那么S n 等于〔〕A ．B ．3nC ．2n +1D ．3×2n ﹣39.命题〝()00x ∃∈+∞，，00ln 1x x =-〞的否认是〔〕A ．()0000ln 1x x x ∃∈+∞≠-，，B ．()0000ln 1x x x ∃∉+∞=-，，C ．()0ln 1x x x ∀∈+∞≠-，，D ．()0ln 1x x x ∀∉+∞=-，， 10．以下说法错误的选项是〔〕A ．命题〝假定x 2﹣4x +3=0，那么x =3〞的逆否命题是：〝假定x ≠3，那么x 2﹣4x +3≠0〞B ．〝x ＞1〞是〝|x |＞0〞的充沛不用要条件C ．假定p 且q 为假命题，那么p ，q 至少有一个假命题D ．命题p ：〝存在x ∈R 使得x 2+x +1＜0，〞那么￢p ：〝关于恣意x ∈R，均有x 2+x +1＞0〞11．在△ABC 中AB=3，BC=13，AC=4，那么边AC 上的高为 A ．23 B. 233 C.2 D. 332 12．a ，b 均为正数，341=+ba ，那么使a +b 的取值范围是〔〕 A ．[1,+∞) B ．[2,+∞)C ．[3,+∞)D ．[9,+∞)第II 卷(90分) 二、填空题: 本大题共4小题，每题5分.13. 假定不等式220x ax b ++<的解集为{|32}x x -<<，那么=+b a .14.到），（、1-4)3,2(B A -两点距离相等的点的轨迹方程是 .15．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，那么=16．在△ABC 中，假定∠B=300，AB=23，AC=2，那么△ABC 的面积是三、解答题: 解容许写出文字说明，证明进程或演算步骤.17. 〔本小题总分值10分〕在△ABC 中，a 、b 、c 区分为角A 、B 、C 的对边，03cos 42cos 2=+-A A .(1)求角A 的度数；(2)假定a =3，b +c =3，求b 和c 的值.18. 〔本小题总分值12分〕等差数列{a n }满足：a 5=11，a 2+a 6=18〔Ⅰ〕求数列{a n }的通项公式；〔Ⅱ〕假定b n =a n +3n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．19. 〔本小题总分值12分〕某单位建造一间空中面积为12m 2的反面靠墙的矩形小房，由于天文位置的限制，房子正面的长度x 不得超越5米，房屋正面的造价为400元/m 2,房屋正面的造价为150元/m 2，屋顶和空中的造价费用算计为5800元，假设墙高为3m ，且不计房屋反面的费用．〔1〕把房屋总造价y 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域.〔2〕当正面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？20. 〔本小题总分值12分〕 0m >，:(2)(6)0p x x +-≤，:22q m x m -≤≤+．〔1〕假定p 是q 的充沛条件，务实数m 的取值范围；〔2〕假定5m =，〝p 或q 〞为真命题，〝p 且q 〞为假命题，务实数x 的取值范围．21．〔本小题总分值12分〕数列}{n a 的前n 项和)(89812*∈+=N n n n S n . 〔Ⅰ〕求数列}{n a 的通项公式；〔Ⅱ〕令)1)(1(1611--=+n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T 22．如下图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，其左焦点到点M (2,1)的距离为10. 〔1〕求椭圆C 的规范方程；〔2〕假定P 在椭圆上，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．抚顺市三校研训体2021－2021上学期高二期中考试(文科)数学试卷一选择题:1B 2D 3A 4A 5B 6C 7B 8B 9C 10D 11B 12C.二.填空题.13.-10 .14. x+y-1=0 15.-11. 16.3或32三、解答题:17. 〔本小题总分值10分〕【解析】(1)由 03cos 42cos 2=+-A A得21cos ,01cos 4cos 42=∴=+-A A A O O O =∴<<60,1800A A --------------------------------------------------------------------5分---------------------------------------10分18. 〔本小题总分值12分〕【解析】〔1〕设数列的公差为d依题意得⎩⎨⎧=+=1811625a a a 即⎩⎨⎧=+=+186211411d a d a 解得⎩⎨⎧==231d a 所以数列{a n }的通项公式为12+=n a n -------------------------------------------------------6分〔2〕由〔1〕知n n n b 312++=--------------------------------------------------------------8分所以)13(23231)31(32)123(2-++=--+++=n n n n n n n S ------------------------------12分19. 〔本小题总分值12分〕【解析】〔1〕由题意可得，5800)40021502(3+⨯+⨯=x x y )50(5800)16(900≤<++=x xx ---6分〔2〕58001629005800)16(900+⨯⨯≥++=x x x x y =13000 当且仅当xx 16=即4=x 时取等号。

2015年辽宁文科数学高考试题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合{2,1,0,2}A =--，{|(1)(2)0}B x x x =-+<,则 A∩B=（）。

（A ）｛-1,0｝（B ）｛0,1｝（C ）｛-1,0,1｝（D ）｛0，1，2｝（2）若a 为实数且231aii i+=++,则a =（）。

（A ）-4 （B ）-3 （C ）3 （D ）4（3）根据下面给出的2004 年至2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是（）。

（A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著；（B ）2007 年我国治理二氧化硫排放显现（C ）2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D ）2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关（4）设(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+=a b a …………………………………（）（A ）-1（B ）0（C ）1（D ）2（5）设n S 是等差数列{}n a 的前n ，若1353a a a ++=，则5S =（）。

（A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11 （6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为（）。

（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）15（7）过三点(1,0),(0,3),(2,3)A B C ，ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为（）。

（A ）53 （B ）213 （C ）253 （D ）43（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入,a b 分别为 14,18，则输出的a = （）。

（A ）0（B ）2（C ）4（D ）14 （9）已知等比数列{}n a 满足114a =， 3544(1)a a a =-，则2a =（）。

2015年辽宁省抚顺市重点高中高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)

2014-2015学年辽宁省抚顺市重点高中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则（∁U A）∪B=（）A．{1，2}B．{2，3，4}C．{3，4}D．{1，2，3，4}2．（5分）i是虚数单位，复数的实部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣13．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣1）]=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．（5分）已知等比数列{a n}中，a5=10，则lg（a2a8）等于（）A．1 B．2 C．10 D．1005．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是（）A．﹣4 B．0 C．2 D．46．（5分）以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A．7 B．C．﹣ D．﹣78．（5分）运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A．B．C．D．9．（5分）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）A．2 B．C．D．10．（5分）已知函数f（n）=n2cos（nπ），且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100=（）A．0 B．﹣100 C．100 D．1020011．（5分）函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b﹣a．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x﹣[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]{x}，g （x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度，则当0≤x≤3时，有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4二、填空题（本大题共共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点A（﹣1，1），B（2，y），向量=（1，2），若∥，则实数y=．14．（5分）有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图估计，样本数据在[8，10）内的频数为．15．（5分）设p在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为．16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为．三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的角A、B、C，所对的边分别是a、b、c，且C=，设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b﹣2，a﹣2）．（1）若∥，求B；=，求边长c．（2）若⊥，S△ABC18．（12分）为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、1 8人、36人．（I）求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数；（Ⅱ）若从抽得的6人中随机抽取2人进行训查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率．19．（12分）在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE=1，AE ⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．（Ⅰ）AE∥平面BCD；（Ⅱ）平面BDE⊥平面CDE．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A、B，求△OAB面积的最大值．21．（12分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（1）若a=1，试求函数f（x）的单调区间；（2）令g（x）=，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，求a的取值范围．四、选修题（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分)【选修4-1：几何证明选讲】10分22．（10分）如图，直线AB过圆心O，交圆O于A、B，直线AF交圆O于F（不与B重合），直线L与圆O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．求证：（Ⅰ）∠BAC=CAG；（Ⅱ）AC2=AE•AF．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2014-2015学年辽宁省抚顺市重点高中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则（∁U A）∪B=（）A．{1，2}B．{2，3，4}C．{3，4}D．{1，2，3，4}【解答】解：∵集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，∴∁U A={3，4}∵B={2，4}∴（∁U A）∪B={2，3，4}故选：B．2．（5分）i是虚数单位，复数的实部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：由=．所以复数的实部为1．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣1）]=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：由函数f（x）=，因为﹣1＜0，所以f（﹣1）=，所以f[f（﹣1）]=f（）=．故选：B．4．（5分）已知等比数列{a n}中，a5=10，则lg（a2a8）等于（）A．1 B．2 C．10 D．100【解答】解：等比数列{a n}中，a5=10，∴a52=a2a8，∴lg（a2a8）=lg100=2．故选：B．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是（）A．﹣4 B．0 C．2 D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（1，0），此时z=2×1=2，故选：C．6．（5分）以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：∵双曲线以y=±x为渐近线，∴该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）∵点（2，0）是双曲线上的点，∴22﹣02=λ，可得λ=4由此可得双曲线方程为x2﹣y2=4，化成标准形式得﹣=1故选：B．7．（5分）已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A．7 B．C．﹣ D．﹣7【解答】解：∵α∈（π，π），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，则tan（﹣α）===．故选：B．8．（5分）运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：第一次执行循环结构：n←0+2，x←2×t，a←2﹣1；∵n=2＜4，∴继续执行循环结构．第二次执行循环结构：n←2+2，x←2×2t，a←4﹣1；∵n=4=4，∴继续执行循环结构，第三次执行循环结构：n←4+2，x←2×4t，a←6﹣3；∵n=6＞4，∴应终止循环结构，并输出38t．由于结束时输出的结果不小于3，故38t≥3，即8t≥1，解得t．故选：B．9．（5分）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）A．2 B．C．D．【解答】解：将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为D ﹣BD1C1，由直观图可知，最大的面为BDC1．在正三角形BDC1中，BD=，所以面积S=．故选：D．10．（5分）已知函数f（n）=n2cos（nπ），且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100=（）A．0 B．﹣100 C．100 D．10200【解答】解：∵，由a n=f（n）+f（n+1）=（﹣1）n•n2+（﹣1）n+1•（n+1）2=（﹣1）n[n2﹣（n+1）2]=（﹣1）n+1•（2n+1），得a1+a2+a3+…+a100=3+（﹣5）+7+（﹣9）+…+199+（﹣201）=50×（﹣2）=﹣100．故选：B．11．（5分）函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数y=sin （2x++φ）的图象，因为函数y=sin（2x++φ）为奇函数，故+φ=kπ，因为，故φ的最小值是﹣．所以函数为y=sin（2x﹣）．x∈，所以2x﹣∈[﹣，]，x=0时，函数取得最小值为．故选：A．12．（5分）定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b﹣a．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x﹣[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]{x}，g （x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度，则当0≤x≤3时，有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4【解答】解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）⇒[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈[2，3]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1．故选：A．二、填空题（本大题共共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点A（﹣1，1），B（2，y），向量=（1，2），若∥，则实数y=7．【解答】解：=（3，y﹣1），∵向量=（1，2），∥，∴y﹣1﹣6=0，解得y=7．故答案为：7．14．（5分）有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图估计，样本数据在[8，10）内的频数为76．【解答】解：根据频率分布直方图，得；样本数据不在[8，10）内的频率为（0.02+0.05+0.09+0.15）×2=0.62；∴样本数据在[8，10）内的频率为1﹣0.62=0.38；∴样本数据在[8，10）内的频数为0.38×200=76．故答案为：76．15．（5分）设p在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为．【解答】解：若方程x2+px+1=0有实根，则△=p2﹣4≥0，解得，p≥2或p≤﹣2；∵记事件A：“P在[0，5]上随机地取值，关于x的方程x2+px+1=0有实数根”，由方程x2+px+1=0有实根符合几何概型，∴P（A）=．故答案为：．16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为9．【解答】解：根据题意几何体为正三棱锥，如图，PD=a；OD=a；OP==．设棱长为a，则OD+PD=×a+a=a=2⇒a=3，V棱锥=×a2×a=9，故答案是9三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的角A、B、C，所对的边分别是a、b、c，且C=，设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b﹣2，a﹣2）．（1）若∥，求B；=，求边长c．（2）若⊥，S△ABC【解答】证明：（1）∵，，∴asinA=bsinB，再由正弦定理可得a2=b2，∴a=b．又C=，∴△ABC为等边三角形，故B=．（2）∵，∴=ab﹣2a+ab﹣2b=0，化简可得a+b=ab ①．由S=，可得=×=，∴ab=4 ②．△ABC再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC=（a+b）2﹣3ab=16﹣12=4，故c=2．18．（12分）为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、1 8人、36人．（I）求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数；（Ⅱ）若从抽得的6人中随机抽取2人进行训查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率．【解答】解：（I）家长委员会总数为54+18+36=108，样本容量与总体中的个体数比为，所以从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数为3，1，2．（II）设A1，A2，A3为从高一抽得的3个家长，B1为从高二抽得的1个家长，C1，C2为从高三抽得的2个家长，从抽得的6人中随机抽取2人，全部的可能结果有：C62=15种，这2人中至少有一人是高三学生家长的结果有（A1，C1），（A1，C2），（A2，C1），（A2，C2），（A3，C1），（A3，C2），（B1，C1），（B1，C2），（C1，C2），一共有9种．所以所求的概率为．19．（12分）在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE=1，AE ⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．（Ⅰ）AE∥平面BCD；（Ⅱ）平面BDE⊥平面CDE．【解答】证明：（Ⅰ）取BC的中点M，连接DM、AM，由已知可得DM=1，DM ⊥BC，AM⊥BC．又因为平面BCD⊥平面ABC，所以DM⊥平面ABC．…（2分）因为AE⊥平面ABC，所以，AE∥DM．…（4分）又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，所以AE∥平面BCD．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE∥DM，又AE=1，DM=1，所以四边形DMAE是平行四边形，则有DE∥AM．因为AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD．…（8分）又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD．由已知BD⊥CD，则CD⊥平面BDE．…（10分）因为CD⊂平面CDE，所以，平面BDE⊥平面CDE．…（12分）20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A、B，求△OAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题设可知，圆O的方程为x2+y2=b2，因为直线l：x﹣y+2=0与圆O相切，故有=b，所以b=，已知，所以有a2=3c2=3（a2﹣b2），解得a2=3，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）设点A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0，设AB交x轴于点D，由对称性知：S△OAB=2S△OAD=2×x0y0=，由，解得，所以S=k=≤，△OAB当且仅当，即k=时取等号，所以△OAB面积的最大值为．21．（12分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（1）若a=1，试求函数f（x）的单调区间；（2）令g（x）=，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx，定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2x+1﹣==，∴当0＜x＜，时f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，（2）g（x）==，定义域为（0，+∞），g′（x）=，令h（x）=，则h′（x）=﹣2x++2﹣a，h″（x）=﹣2﹣﹣＜0，故h′（x）在区间（0，1]上单调递减，从而对（0，1]，h′（x）≥h′（1）=2﹣a①当2﹣a≥0，即a≤2时，h′（x）≥0，∴y=h（x）在区间（0，1]上单调递增，∴h（x）≤h（1）=0，即F′（x）≤0，∴y=F（x）在区间（0，1]上是减函数，a≤2满足题意；②当2﹣a＜0，即a＞2时，由h′（1）＜0，h′（）=﹣+a2+2＞0，0＜＜1，且y=h′（x）在区间（0，1]的图象是一条连续不断的曲线，∴y=h′（x）在区间（0，1]有唯一零点，设为x0，∴h（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，1]上单调递减，∴h（x0）＞h（1）=0，而h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣e a+lne﹣a＜0，且y=h（x）在区间（0，1]的图象是一条连续不断的曲线，y=h（x）在区间（0，1）有唯一零点，设为x′，即y=F′（x）在区间（0，1）有唯一零点，设为x′，又F（x）在区间（0，x′）上单调递减，在（x′，1）上单调递增，矛盾，a＞2不合题意；综上所得：a的取值范围为（﹣∞，2]．四、选修题（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分)【选修4-1：几何证明选讲】10分22．（10分）如图，直线AB过圆心O，交圆O于A、B，直线AF交圆O于F（不与B重合），直线L与圆O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．求证：（Ⅰ）∠BAC=CAG；（Ⅱ）AC2=AE•AF．【解答】证明：（Ⅰ）连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠AGC=90°．（2分）∵GC切圆O于C，∴∠GCA=∠ABC．（4分）∴∠BAC=∠CAG．（5分）（Ⅱ）连接CF，∵EC切圆O于C，∴∠ACE=∠AFC．（6分）又∠BAC=∠CAG，∴△ACF∽△AEC．（8分）∴，∴AC2=AE•AF（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2=4x，得t+2=0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣6，t1t2=2．|AB|=|t1﹣t2|===8．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f （x ）≤|x ﹣4|若的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f （x ）≥3 即|x ﹣3|+|x ﹣2|≥3，即，可得x ≤1；，可得x ∈∅；，可得x ≥4．取并集可得不等式的解集为 {x |x ≤1或x ≥4}．（2）原命题即f （x ）≤|x ﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x +a |+2﹣x ≤4﹣x 在[1，2]上恒成立，等价于|x +a |≤2，等价于﹣2≤x +a ≤2，﹣2﹣x ≤a ≤2﹣x 在[1，2]上恒成立．故当 1≤x ≤2时，﹣2﹣x 的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x 的最小值为0，故a 的取值范围为[﹣3，0]．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。

辽宁省抚顺市第二中学2015届高三上学期期中考试语文试卷

辽宁省抚顺二中2015届高三上学期期中考试语文本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。

共150分，考试时间150分钟。

第Ⅰ卷（阅读题，共70分）甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1～3题。

戏曲脸谱与中国传统文化（选自2011年2月《黄梅戏艺术》，有删节） 1．根据文意，下列有关“戏曲脸谱”的表述，不符合原文意思的一项是（） A.中国戏曲脸谱属于戏曲文化现象的范畴，其文化意蕴和历史内容都很丰厚。

B.戏曲脸谱作为一种文化语言，既可供娱乐之用，也用于戏曲演员与观众的对话。

C.戏曲脸谱有其约定俗成的含义，脸谱的不同色彩往往代表不同的人物性格。

D.民族文化习俗和生活习俗的影响，使戏曲脸谱中折射着中国传统文化的诸多方面。

2．下列各项，不属于表述“戏曲脸谱与中国传统文化”关系的一项是（） A.戏曲脸谱可以用色彩表现的品德节操，同时承载着区分善恶、弘扬正气以及警戒世人的教化功能。

B.戏曲脸谱着重表现了人物充满着浓厚的道德评价色彩，这正是儒家文化的伦理道德内容在戏曲脸谱中的体现。

C.戏曲脸谱和中国书法都有谱有法，在勾画、构图、笔法等三方面有相似之处，依次为程式化特征、讲究布局、讲求节奏。

D.戏曲脸谱艺术为民间美术提供了大量素材，民间美术使戏曲人物脸谱深入到百姓生活的许多方面，两者相辅相成。

3．根据原文内容，下列理解和表述不符合文意的一项是（） A.戏曲脸谱的审美之所以受到各门传统艺术的影响，是因为戏曲艺术综合了多门类传统艺术，受到各门传统艺术美学思想的影响。

B戏曲艺术汲取了其他传统艺术形式中的长处和优点，又有所发展和创新，使文学艺术和绘画艺术的审美价值有所提升。

C.民间美术作品中的脸谱，与戏曲舞台上的脸谱大多是相同的，而那些不尽相同的脸谱图案，都是自由发挥和再创造的结果。

D.作为人类文化精品的脸谱艺术是中华民族文化的重要组成部分，只有继承和发展好戏曲脸谱艺术，它才能拥有更辉煌灿烂的未来。

2018-2019学年辽宁省抚顺市抚顺县高级中学、二中、四方高中高二(上)期中数学试卷(文科)(解析版)

2018-2019学年辽宁省抚顺市抚顺县高级中学、二中、四方高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则sin B=（）A. 12B. 32C. 22D. 332.已知实数a，b，c满足a＜b且c≠0，则下列不等式一定成立的是（）A. 1a >1bB. a2<b2C. ac<bcD. ac2<bc23.已知x∈R，则“x<−1”是{x|x>12或x<−1}的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知x，y满足不等式组x−1≥0x−y≤0x+y−4≤0，则目标函数z=3x+y的最小值是（）A. 4B. 6C. 8D. 105.椭圆C：4x2+y2=16的长轴长，短轴长，焦点坐标依次为（）A. 8,4,(±20)B. 8,4,(0,±2C. 4,2,(±20)D. 4,2,(0,±26.在等比数列{a n}中，若a4，a8是方程x2-3x+2=0的两根，则a6的值是（）A. ±2B. −2C. 2D. ±27.三角形的三边之比是3：5：7，则其最大角为（）A. 900B. 1200C. 1350D. 15008.在等比数列{a n}中a1=3，其前n项和为S n．若数列{a n+3}也是等比数列，则S n等于（）A. 3n+1−32B. 3nC. 2n+1D. 3×2n−39.命题“∃x0∈（0，+∞），ln x0=x0-1”的否定是（）A. ∃x0∈(0,+∞)，ln x0≠x0−1B. ∃x0∉(0,+∞)，ln x0=x0−1C. ∀x∈(0,+∞)，ln x≠x−1D. ∀x∉(0,+∞)，ln x=x−110.下列说法错误的是（）A. 命题“若x2−4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2−4x+3≠0”B. “x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C. 若p且q为假命题，则p，q至少有一个假命题D. 命题p：“存在x∈R使得x2+x+1<0，”则￢p：“对于任意x∈R，均有x2+x+1>0”11.在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC上的高为（）A. 322 B. 323 C. 32D. 3312.已知a，b均为正数，1a +4b=3，则使a+b的取值范围是（）A. [1,+∞)B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. [9,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若不等式2x2+ax+b＜0的解集为{x|-3＜x＜2}，则a+b=______．14.到A（2，-3）和B（4，-1）的距离相等的点的轨迹方程是______．15.设S n为等比数列{a n}的前n项和，若8a2+a5=0，则S5=______．S216.在△ABC中，若B=30°，AB=23，AC=2，求△ABC的面积______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，2cos2A-4cos A+3=0．（1）求角A的度数；（2）若a=3，b+c=3，求b和c的值．18.已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+3n，求数列{b n}的前n项和S n．19.某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．（1）把房屋总价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域．（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？20.已知m＞0，p：（x+2）（x-6）≤0，q：2-m≤x≤2+m．（I）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．21. 已知数列{a n }的前n 项和S n =18n 2+98n ，(n ∈N ∗)．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）令b n =116(a n −1)⋅(a n +1−1)，求数列{b n }的前n 项和T n ．22. 如图所示，椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为12，其左焦点到点M （2，1）的距离为10．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若P 在椭圆上，且∠PF 1F 2=120°，求△PF 1F 2的面积．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意可得，A+C=2B∵A+B+C=180°∴B=60°，sinB=故选：B．由题意可得A+C=2B，结合三角形的内角和可求B，进而可求sinB本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题2.【答案】D【解析】解：对于A，a＜0＜b时，＜，∴A不成立；对于B，a＜b＜0时，a2＞b2，∴B不成立；对于C，c＜0时，ac＞bc，∴C不成立；对于D，c≠0时，c2＞0，∴＜，D成立．故选：D．根据不等式的基本性质，对选项中的不等式判断正误即可．本题考查了不等式的基本性质与应用问题，是基础题．3.【答案】A【解析】解：“x＜-1”⇒{x|x或x＜-1}，反之不成立．∴“x＜-1”是{x|x或x＜-1}的充分不必要条件．故选：A．“x＜-1”⇒{x|x或x＜-1}，反之不成立．即可判断出结论．本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：画出可行域如图1所示，当目标函数y=-3x+z经过点C（1，1）时，z的值为4；当目标函数y=-3x+z经过点B（2，2）时，z的值为8，当目标函数y=-3x+z经过点A（1，3）时，z的值为6；故选：A．画出可行域，求出A，B坐标，利用角点法求解即可．本题考查线性规划的简单应用，角点法求法具体目标函数的最值的求法的应用，考查数形结合思想以及计算能力．5.【答案】B【解析】解：椭圆C：4x2+y2=16，即，所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，焦点坐标为（0，+2）．故选：B．化简椭圆方程为标准方程，然后求解椭圆的几何量即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.【答案】C【解析】解：∵a4，a8是方程x2-3x+2=0的两根，∴a4a8=2，a4+a8=3＞0．∴a4＞0，a8＞0．由等比数列{a n}，，∴．由等比数列的性质可得：a4，a6，a8同号．∴．利用根与系数的关系可得a4a8，再利用等比数列的性质即可得出．本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等比数列的性质，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：三角形的三边之比是3：5：7，设：a=3k，b=5k，c=7k，故：cosC==-，由于：0＜C＜π，故：C=120°．故选：B．直接利用余弦定理求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.【答案】B【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，由数列{a n+3}也是等比数列，∴，∴（3q+3）2=（3+3）（3q2+3），化为（q-1）2=0，解得q=1．∴S n=3n．故选：B．设等比数列{a n}的公比为q，由数列{a n+3}也是等比数列，可得，即（3q+3）2=（3+3）（3q2+3），解出即可．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1，故选：C．根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．10.【答案】D【解析】解：命题“若x2-4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2-4x+3≠0”，故A 正确；“|x|＞0”⇔“x＞0，或x＜0”，故“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件，故B正确；若p且q为假命题，则p，q至少有一个假命题，故C正确；命题p：“存在x∈R使得x2+x+1＜0，”则￢p：“对于仸意x∈R，均有x2+x+1≥0”，故D错误；故选：D．A中逆否命题需将条件和结论交换后分别否定；B中“x＞1”是“|x|＞0”的一部分，因此“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件；C中p且q为假命题，则有一个假命题或两个假命题；D中特称命题的否定是全称命题，需将结论加以否定，x2+x+1＜0的否定为x2+x+1≥0本题考查的知识点是四种命题与全称命题特称命题，是简易逻辑内容的简单综合应用，难度中档．11.【答案】B【解析】解：由点B向AC作垂线，交点为D．设AD=x，则CD=4-x，∴BD==，解得x=∴BD==故选：B．由点B向AC作垂线，交点为D，设AD=x，则CD=4-x，利用勾股定理可知BD==进而解得x的值，再利用勾股定理求得AD．本题主要考查了三角形中勾股定理的应用．属基础题．12.【答案】C【解析】解：∵，，即，a＞0，b＞0，∴a+b=（a+b）（）==3，当且仅当2a=b时，即a=1，b=2取等号．∴a+b的最小值是3．故选：C．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．13.【答案】-10【解析】解：关于x的不等式2x2+ax+b＜0的解集是{x|-3＜x＜2}，∴方程2x2+ax+b=0的解是-3和2，∴，解得a=2，b=-12；∴a+b=-10．故答案为：-2．根据不等式与对应的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值即可．本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题．14.【答案】x+y-1=0【解析】解：由点P满足|PA|=|PB|，可知点P的轨迹为点A（2，-3）和B（4，-1）的垂直平分线．∵A（2，-3）和B（4，-1）由中点坐标公式得AB的中点为（3，-2），k AB==1，∴其垂直平分线的斜率为-1．∴点P的轨迹方程是y+2=-（x-3），即x+y-1=0．故答案为：x+y-1=0．由中点坐标公式求出AB的中点坐标，由两点求斜率得到AB所在直线的斜率，求其负倒数得AB的垂直平分线的斜率，然后由直线方程的点斜式得点P的轨迹方程．本题考查了中点坐标公式，考查了直线的垂直与斜率之间的关系，是基础的计算题．15.【答案】-11【解析】解：∵8a2+a5=0∴8a1q+a1q4=0∴q=-2∴=故答案为：-11．利用等比数列的通项公式将已知等式8a2+a5=0用首项和公比表示，求出公比；再利用等比数列的前n项和公式表示，将公比的值代入其中求出值．解决等比数列、等差数列两个特殊数列的有关问题，一般利用通项及前n项和公式得到关于基本量的方程，利用基本量法来解决．16.【答案】3或23【解析】解：在△ABC中，设BC=x，由余弦定理可得4=12+x2-4xcos30°，x2-6x+8=0，∴x=2，或x=4．当x=2 时，△ABC的面积为=×2•x•=，当x=4 时，△ABC的面积为=×2•x•=2，故答案为或2．设BC=x，由余弦定理可得4=12+x2-4xcos30°，解出x 的值，代入△ABC的面积为=×2•x•，运算求得结果．本题考查余弦定理的应用，求得BC 的长度x=2或x=4，是解题的关键． 17.【答案】（本小题满分10分）解：（1）由2cos2A -4cos A +3=0，得4cos 2A -4cos A +1=0，可得：cos A =12，∵A ∈（0°，180°）． ∴A =60°．--------------------------------------------------------------------（5分）（2）由余弦定理可得：cos A =b 2+c 2−a 22bc，∵cos A =12， ∴b 2+c 2−a 22bc=12，可得：（b +c ）2-a 2=3bc ， ∵a = 3，b +c =3，∴解得：bc =2，∴由 bc =2b +c =3，解得： c =2b =1或 c =1b =2．---------------------------------------（10分）【解析】（1）由二倍角公式化简已知可得4cos 2A-4cosA+1=0，解得cosA=，结合范围A ∈（0°，180°）．可求A 的值．（2）由已知及余弦定理可得（b+c ）2-a 2=3bc ，根据已知即可解得b ，c 的值．本题主要考查了二倍角公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 5=11，a 2+a 6=18，∴ 2a 1+6d =18a 1+4d =11，解得a 1=3，d =2． ∴a 1=2n +1．（Ⅱ）由（I ）可得：b n =2n +1+3n．∴S n =[3+5+…+（2n +1）]+（3+32+…+3n ） =n (3+2n +1)2+3(3n −1)3−1=n 2+2n +3n +12-32．【解析】（I ）利用等差数列的通项公式即可得出；（II ）利用等差数列与等比数列的前n 项和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）由题意可得，y =3(2x ×150+12x ×400)+5800=900(x +16x )+5800(0＜x ≤a )…（5分）（2）y =900(x +16x )+5800≥900×2 x ×16x +5800=13000 当且仅当x =16x 即x =4时取等号…（7分）若a ≥4，x =4时，有最小值13000．…（8分）若a ＜4，任取x 1，x 2∈（0，a ]且x 1＜x 2y 1−y 2=900(x 1+16x 1)+5800−900(x 2+16x 2)−5800=900[(x 1−x 2)+16(1x 1−1x 2)]=900(x 1−x 2)(x 1x 2−16)x 1x 2∵x 1＜x 2≤a ，∴x 1−x 2＜0，x 1x 2＜a 2＜16∴y 1-y 2＞0∴y =900(x +16x )+5800在(0，a ]上是减函数…（10分）∴当x =a 时y 有最小值900(a +16a )+5800…（12分）故当a ≥4时，当侧面的长度为4时，总造价最底，最低总造价是13000，当a ＜4时，当侧面的长度为a 时，总造价最底，最低总造价是900(a +16a )+5800．【解析】（1）分别算出房子的两个侧面积乘以150再加上房子的正面面积乘以400再加上屋顶和地面的造价即为总造价；（2）我们可以先求房屋总造价的函数解析式，利用基本不等式或导数即可求出函数的最小值，进而得到答案．本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，正确构建函数是关键，属于基础题．20.【答案】解：p ：-2≤x ≤6．（I ）∵p 是q 的充分条件，∴[-2，6]是[2-m ，2+m ]的子集∴ m ＞02−m ≤−22+m ≥6⇒m ≥4∴实数m 的取值范围是[4，+∞）．---------（6分）（Ⅱ）当m =5时，q ：-3≤x ≤7．据题意有，p 与q 一真一假．--------------（7分） p 真q 假时，由 x <−3或x >7−2≤x≤6⇒x ∈∅---------（9分）p假q真时，由−3≤x≤7x<−2或x>6⇒−3≤x＜−2或6＜x≤7．---------（11分）∴实数x的取值范围为[-3，-2）∪（6，7]．---------（12分）【解析】（I）通过解不等式化简命题p，将p是q的充分条件转化为[-2，6]是[2-m，2+m]的子集，列出不等式组，求出m的范围．（II）将复合命题的真假转化为构成其简单命题的真假，分类讨论，列出不等式组，求出x的范围．判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先化简各个命题再利用充要条件的定义判断；解决复合命题的真假问题常转化为简单命题的真假情况．21.【答案】解：（Ⅰ）由题意知，当n≥2时，a n=S n−S n−1=14n+1；当n=1时，a1=S1=14+1．符合上式．所以a n=14n+1…………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）b n=116(a n−1)⋅(a n+1−1)知，b n=1n −1n+1，T n=1-12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1-1n+1．∴T n=1−1n+1=nn+1．…………………（12分）【解析】（Ⅰ）利用数列的和，通过；求解数列的通项公式；（Ⅱ）化简数列的递推关系式，利用裂项相消法求解数列的和即可．本题考查数列的和的求法，裂项相消法的应用，考查计算能力．22.【答案】解：（1）由题目条件，知e=ca =12．①左焦点（-c，0）到点M（2，1）的距离d=（2+c）2+12=10．②联立①②，解得a2=4，b2=3，c2=1，所以所求椭圆C的标准方程为x24+y23=1．-----------------------------（4分）（2）由已知a=2，b=3，c=1，|F1F2|=2c=2，在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|•cos 120°，即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|．①由椭圆定义，得|PF1|+|PF2|=4，即|PF2|=4-|PF1|．②②代入①解得|PF1|=65．-----------------------------------------------（8分）所以△PF1F2的面积为：12|PF1|•|F1F2|•sin 120°=1 2×65×2×32=335，即△PF1F2的面积是355．------------------（12分）【解析】（1）利用椭圆的离心率与左焦点到点M（2，1）的距离为10，求出a，b即可得到椭圆方程．（2）利用椭圆的定义及余弦定理，确定|PF1|、|PF2|，利用三角形的面积公式，即可求得结论．本题考查椭圆的定义与椭圆的简单性质的应用，考查余弦定理，考查三角形面积的计算，属于基础题．。

高三上学期期中数学试卷

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），若$f(1) = 3$，$f(2) = 8$，$f(3) = 15$，则$a + b + c$的值为：A. 6B. 7C. 8D. 92. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 3$，公差$d = 2$，则$a_{10} + a_{20} + a_{30}$的值为：A. 120B. 150C. 180D. 2103. 已知复数$z = 2 + 3i$，则$|z|^2$的值为：A. 13B. 14C. 15D. 164. 若直线$y = kx + 1$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k$的取值范围为：A. $(-1, 1)$B. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$C. $(-\infty, 1] \cup [1, +\infty)$D. $[-1, 1]$5. 若等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1 = 1$，公比$q = -2$，则$a_3 \cdot a_5\cdot a_7$的值为：A. -8B. -16C. 8D. 166. 若不等式组$\begin{cases} x + y \geq 1 \\ x - y \leq 1 \end{cases}$的解集在坐标系中对应的图形为：A. 一个正方形B. 一个矩形C. 一个三角形D. 一个平行四边形7. 函数$f(x) = x^3 - 3x$在区间$[0, 3]$上的最大值和最小值分别为：A. $-2, -3$B. $-3, -2$C. $2, -3$D. $3, -2$8. 已知椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$b^2$的值为：A. 4B. 3C. 2D. 19. 若函数$g(x) = \log_2(x + 1) - \log_2(x - 1)$的定义域为$[1, 3]$，则$g(x)$在定义域内的最大值为：A. 1B. 0C. -1D. 无最大值10. 若直线$y = kx + 1$与直线$y = -\frac{1}{k}x + 1$的交点在第一象限，则$k$的取值范围为：A. $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$B. $(-\infty, 0) \cup (0,1)$ C. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ D. $(-1, 0) \cup (0, 1)$二、填空题（每小题5分，共25分）11. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 4n^2 - 3n$，则$a_1$的值为______。

高中高三数学上学期期中试卷文(含解析)-人教版高三全册数学试题

某某省某某市潮师高中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，总50分）1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|0＜x＜2}2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）A．y=x﹣1B．y=log2x C．y=|x| D．y=﹣x23．（5分）设i为虚数单位，则复数等于（）A．B．C．D．4．（5分）设f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+x，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣15．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．36πD．12π6．（5分）已知函数f（x）=x+1（x＜0），则f（x）的（）A．最小值为3 B．最大值为3 C．最小值为﹣1 D．最大值为﹣1 7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．（5分）如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则=（）A．B．C．D．9．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值X围是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2]10．（5分）设函数f（x）=x3﹣4x+a（0＜a＜2）有三个零点x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）A．x1＞﹣1 B．x2＜0 C．0＜x2＜1 D．x3＞2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．（5分）已知a∈（﹣，0），且sin（+a）=，则tana=．12．（5分）直线y=﹣x+b是函数f（x）=的切线，则实数b=．13．（5分）设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值X围是．14．（5分）向量在正方形网格中的位置如图所示．设向量=，若，则实数λ=．三、解答题（共80分）15．（12分）已知函数的周期是π．（1）求ω和的值；（2）求函数的最大值及相应x的集合．16．（12分）某学校甲、乙两个班参加体育达标测试，统计测试成绩达标人数情况得到如下所示的列联表，已知在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为．（1）请完成列联表；组别达标不达标总计甲班8乙班54合计120（2）若用分层抽样的方法在所有测试不达标的学生中随机抽取6人，问其中从甲、乙两个班分别抽取多少人？（3）从（2）中的6人中随机抽取2人，求抽到的两人恰好都来自甲班的概率．17．（14分）已知=（sinB，1﹣cosB），且与=（1，0）的夹角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值X围．18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．19．（14分）已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）的极值；（Ⅲ）讨论f（x）的单调区间．20．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x+a．（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞成立．某某省某某市潮师高中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，总50分）1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|0＜x＜2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即B={x|0＜x＜2}，∵A={x|x＞1}，∴A∩B={x|1＜x＜2}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）A．y=x﹣1B．y=log2x C．y=|x| D．y=﹣x2考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据y=x﹣1=在区间（0，+∞）上单调递减，得A项不符合题意；根据y=log2x的定义域不关于原点对称，得y=log2x不是偶函数，得B项不符合题意；根据y=﹣x2的图象是开口向下且关于x=0对称的抛物线，得y=﹣x2的在区间（0，+∞）上为减函数，得D项不符合题意．再根据函数单调性与奇偶性的定义，可得出只有C项符合题意．解答：解：对于A，因为函数y=x﹣1=，在区间（0，+∞）上是减函数不满足在区间（0，+∞）上单调递增，故A不符合题意；对于B，函数y=log2x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称故函数y=log2x是非奇非偶函数，故B不符合题意；对于C，因为函数y=|x|的定义域为R，且满足f（﹣x）=f（x），所以函数y=|x|是偶函数，而且当x∈（0，+∞）时y=|x|=x，是单调递增的函数，故C符合题意；对于D，因为函数y=﹣x2的图象是开口向下的抛物线，关于直线x=0对称所以函数y=﹣x2的在区间（0，+∞）上为减函数，故D不符合题意故选：C点评：本题给出几个基本初等函数，要求我们找出其中的偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增的函数，着重考查了基本初等函数的单调性与奇偶性等知识，属于基础题．3．（5分）设i为虚数单位，则复数等于（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的复数分子分母同时乘以2﹣i，然后整理成a+bi（a，b∈R）的形式即可．解答：解：=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．4．（5分）设f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+x，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣1考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数的性质可得f（﹣1）=﹣f（1），再根据已知表达式可求得f（1）．解答：解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），又当x＞0时，f（x）=x2+x，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故选A．点评：本题考查函数奇偶性的性质及其应用，属基础题，定义是解决问题的基本方法．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．36πD．12π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体是一个倒置的圆锥，其底面的直径为6，母线长为5．如图所示：底面上的高PO==4．据此可计算出其体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个倒置的圆锥，其底面的直径为6，母线长为5．如图所示：底面上的高PO==4．∴V==12π．故选D．点评：由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．6．（5分）已知函数f（x）=x+1（x＜0），则f（x）的（）A．最小值为3 B．最大值为3 C．最小值为﹣1 D．最大值为﹣1考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式即可得出．解答：解：∵x＜0，∴函数f（x）=x+1=+1=﹣1，当且仅当x=﹣1时取等号．因此f（x）有最大值﹣1．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由已知函数的图象求出函数解析式，然后看自变量x的变化得答案．解答：解：由图可知，A=1，，∴，即ω=2．由五点作图的第三点可知，+φ=π，得φ=（|φ|＜），则f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．∴为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象向左平移个单位长度．故选：C．点评：本题考查由函数的部分图象求函数解析式，考查了函数图象的平移，解答的关键是利用五点作图的某一点求初相，是基础题．8．（5分）如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则=（）A．B．C．D．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出．解答：解：===．故选C．点评：熟练掌握向量的三角形法则和向量共线定理是解题的关键．9．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值X围是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2]考点：简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．专题：数形结合．分析：先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入•分析比较后，即可得到•的取值X围．解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，•=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，•=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，•=﹣1×0+1×2=2故•和取值X围为[0，2]解法二：z=•=﹣x+y，即y=x+z当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2．当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0．故•和取值X围为[0，2]故选：C点评：本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．10．（5分）设函数f（x）=x3﹣4x+a（0＜a＜2）有三个零点x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）A．x1＞﹣1 B．x2＜0 C．0＜x2＜1 D．x3＞2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．解答：解：∵函数f （x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x2﹣4．令f′（x）=0，得x=±．∵当x＜﹣时，f′（x）＞0；在（﹣，）上，f′（x）＜0；在（，+∞）上，f′（x）＞0．故函数在（﹣∞，﹣）上是增函数，在（﹣，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．故f（﹣）是极大值，f（）是极小值．再由f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，得 x1＜﹣，﹣＜x2＜，x3＞．根据f（0）=a＞0，且f（）=a﹣＜0，得＞x2＞0．∴0＜x2＜1．故选C．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．（5分）已知a∈（﹣，0），且sin（+a）=，则tana=﹣．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：先由诱导公式求出cosα的值，再根据角的X围求出sinα，从而可求tana的值．解答：解：sin（+a）=⇒cosα=，∵a∈（﹣，0），=﹣，故tana===﹣．故答案为：﹣．点评：本题主要考察了诱导公式的应用，考察了同角三角函数的关系式的应用，属于基础题．12．（5分）直线y=﹣x+b是函数f（x）=的切线，则实数b=1或﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：设切点为P（m，n），求出函数f（x）=的导数，得切线斜率为﹣，再根据切点P既在切线y=﹣x+b上又在函数f（x）=的图象上，列出关于m、n、b的方程组，解之即可得到实数b之值．解答：解：由于函数f（x）=的导数，若设直线y=﹣x+b与函数f（x）=相切于点P（m，n），则解之得m=2，n=，b=1或m=﹣2，n=﹣，b=﹣1综上所述，得b=±1故答案为：1或﹣1点评：本题给出已知函数图象的一条切线，求参数b的值，着重考查了导数的运算公式与法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于基础题．13．（5分）设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值X围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．考点：指数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：计算题；分类讨论．分析：根据函数表达式分类讨论：①当x0≤0时，可得2﹣x﹣1＞1，得x＜﹣1；②当x0＞0时，x0.5＞1，可得x＞1，由此不难得出x0的取值X围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．解答：解：①当x0≤0时，可得2﹣x0﹣1＞1，即2﹣x0＞2，所以﹣x0＞1，得x0＜﹣1；②当x0＞0时，x00.5＞1，可得x0＞1．故答案为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）点评：本题考查了基本初等函数的单调性和值域等问题，属于基础题．利用函数的单调性，结合分类讨论思想解题，是解决本题的关键．14．（5分）向量在正方形网格中的位置如图所示．设向量=，若，则实数λ=3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据正方形网格确定向量的长度和两个向量的夹角，然后利用，可以某某数λ．解答：解：设正方形的边长为1，则AB=1，AC=，∴cos∠CAB=，∵，=，∴，即，∴，解得λ=3．故答案为：3．点评：本题主要考查平面数量积的应用，利用向量垂直和数量积的关系即可求出λ，要根据表格确定向量是解决本题的关键．三、解答题（共80分）15．（12分）已知函数的周期是π．（1）求ω和的值；（2）求函数的最大值及相应x的集合．考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据函数的周期公式即可求ω和的值；（2）将函数g（x）进行化简，然后利用三角函数的性质即可求函数的最大值．解答：解：（1）∵函数的周期是π，且ω＞0，∴，解得ω=2．∴．∴．（2）∵=，∴当，即时，g（x）取最大值．此时x的集合为．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数的周期性和函数最值的求解方法．16．（12分）某学校甲、乙两个班参加体育达标测试，统计测试成绩达标人数情况得到如下所示的列联表，已知在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为．（1）请完成列联表；组别达标不达标总计甲班8乙班54合计120（2）若用分层抽样的方法在所有测试不达标的学生中随机抽取6人，问其中从甲、乙两个班分别抽取多少人？（3）从（2）中的6人中随机抽取2人，求抽到的两人恰好都来自甲班的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）根据在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为，总人数为120，故不达标的人数为12，达标的人数为108，乙班不达标为4人，甲班达标的人数为54，故可得结论；（2）用分层抽样的方法，可求甲班、乙班抽取的人数；（3）利用枚举法确定基本事件的个数，根据古典概型概率公式，可得结论．解答：解：（1）在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为，总人数为120，故不达标的人数为12，达标的人数为108，乙班不达标为4人，甲班达标的人数为54，故有组别达标不达标总计甲班54 8 62乙班54 4 58合计108 12 120…（3分）（2）由表可知：用分层抽样的方法从甲班抽取的人数为人，…（4分）从乙班抽取的人数为人…（5分）（3）设从甲班抽取的人为a，b，c，d，从乙班抽取的人为1，2；“抽到的两个人恰好都来自甲班”为事件A．…（6分）所得基本事件共有15种，即：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12…（8分）其中事件A包含基本事件ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种，…（10分）由古典概型可得…（12分）点评：本题考查概率知识的运用，考查分层抽样，考查枚举法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（14分）已知=（sinB，1﹣cosB），且与=（1，0）的夹角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值X围．考点：平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据两向量的夹角及两向量的求出两向量的数量积，然后再利用平面向量的数量积的运算法则计算，两者计算的结果相等，两边平方且利用同角三角函数间的基本关系化简，得到关于cosB的方程，求出方程的解即可得到cosB的值，由B的X围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由B的度数，把所求的式子利用三角形的内角和定理化为关于A的式子，再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，最后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由A的X围求出这个角的X围，根据正弦函数的图象可知正弦函数值的X围，进而得到所求式子的X围．解答：解：（1）∵=（sinB，1﹣cos B），且与=（1，0）的夹角为，∴=2sinB，又=×1×cos=，∴2sinB=，化简得：2cos2B﹣cosB﹣1=0，∴cosB=1（舍去）或cosB=﹣，又∵B∈（0，π），∴B=；（2）sinA+sinC=sinA+sin（﹣A）=sinA+cosA﹣sinA=sinA+cosA=sin（A+），∵0＜A＜，∴，则，∴sin A+sin C∈（，1]．点评：此题考查了平面向量的数量积的运算，向量的数量积表示向量的夹角，三角函数的恒等变换以及同角三角函数间基本关系的运用．学生做题时注意角度的X围，熟练掌握三角函数公式，牢记特殊角的三角函数值，掌握正弦函数的值域．18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，A B⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证AB1∥平面BC1D，根据线面平行的判定定理可知只需证AB1与平面BC1D内一直线平行，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，根据中位线定理可知OD∥AB1，OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的判定定理可知平面ABC⊥平面AA1C1C，作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，然后求出棱长，最后根据四棱锥B﹣AA1C1D的体积求出四棱锥B﹣AA1C1D的体积即可．解答：解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．（3分）∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（6分）（2）∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC．作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，（8分）∵AB=BB1=2，BC=3，在Rt△ABC中，，，（10分）∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积（12分）==3．∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积为3．（14分）点评：本题主要考查了线面平行的判定定理，以及棱锥的体积的度量，同时考查了空间想象能力，计算能力，以及转化与化归的思想，属于基础题．19．（14分）已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）的极值；（Ⅲ）讨论f（x）的单调区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由求导公式求出导函数，求出切线的斜率f′（1）及f（1）的值，代入点斜式方程再化为一般式方程；（Ⅱ）先求出函数的定义域，再对导函数进行化简，判断出导函数的符号，即可得函数的单调性即极值情况；（Ⅲ）先对导函数进行化简，再对a进行分类讨论，利用列表格判断出导函数的符号，即可得函数的单调区间．解答：解：（I）当a=1时，f（x）=x+lnx，则，﹣﹣﹣（1分）所以f′（1）=2，且f（1）=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以切线方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），由（1）得=，﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴f（x）在（0，∞）上单调递增，没有极值﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）由题意得，（x＞0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当a≥0时，在（0，∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）的单调增区间是f′（x）＞0；﹣﹣﹣﹣﹣（11分）当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：x （0，a）﹣a （﹣a，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）综上，当a≥0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间是（﹣a，+∞），减区间是（0，a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查导数的几何意义，切线方程的求法，以及导数与函数的单调性、极值的应用，考查了分类讨论思想，注意一定先求出函数的定义域，以及把导函数化到最简．20．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x+a．（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞成立．考点：利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：（1）当a=2时，由g（x）=，x∈[0，3]，利用二次函数的性质求出它的值域．（2）利用函数f（x）的导数的符号，分类讨论f（x）单调性，从而求出f（x）的最小值．（3）令 h（x）==﹣，通过h′（x）=的符号研究h（x）的单调性，求出h（x）的最大值为h（1）=﹣．再由f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值为﹣，且f（1）=0大于h（1），可得在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即．解答：解：（1）当a=2时，g（x）=，x∈[0，3]，当x=1时，；当x=3时，，故g（x）值域为．（2）f'（x）=lnx+1，当，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当，f'（x）＞0，f（x）单调递增．①若，t无解；②若，即时，；③若，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt，所以 f（x）min=．（3）证明：令 h（x）==﹣，h′（x）=，当 0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数．当1＜x时．h′（x）＜0，h（x）是减函数，故h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．而由（2）可得，f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值为﹣，且当h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）时，f（x）的值为ln1=0，故在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．。

辽宁省抚顺市数学高三上学期理数期中考试试卷

辽宁省抚顺市数学高三上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知=（5，-3），C（-1，3），=2，则点D的坐标为（）A . （11，9）B . （4，0）C . （9， 3）D . （9，-3）2. （2分）已知是上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高一下·嘉兴期中) 设、、，，则下列不等式一定成立的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高三上·洛阳期中) 执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分） (2019高三上·洛阳期中) 已知，，，则的大小关系是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·洛阳期中) 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1 ，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为，平面被此正方体所截得截面图形的面积为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高三上·洛阳期中) 已知偶函数的图象关于对称，且当时，，则时，＝（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高三上·洛阳期中) 已知函数的定义域为，对任意实数恒成立，若真，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高三上·洛阳期中) 双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1 ， F2 ，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A .B . 或C .D . 或10. （2分） (2019高三上·洛阳期中) 已知函数若有三个不等实数根，则的取值范围是（）A . （2，＋∞）B . [2，＋∞）C . （，）D . [ ， ]11. （2分） (2019高三上·洛阳期中) 已知数列{ }满足，，，则· 的值为（）A . 0B . 1C . 10102D . 1010101012. （2分） (2019高三上·洛阳期中) 菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，沿对角线AC将三角形ACD折起，当三棱锥D－ABC体积最大时，其外接球表面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·广东模拟) 设等比数列的前n项和为，已知，，则 ________14. （1分）已知集合A＝{1，3，m}，B＝{3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则m＝________15. （1分） (2019高一上·揭阳月考) 已知是R上的奇函数，当时, ，则________.16. （1分） (2019高三上·洛阳期中) 已知点P是曲线上任意一点，过点P向y轴引垂线，垂足为H，点Q是曲线上任意一点，则｜PH｜＋｜PQ｜的最小值为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高二下·鹤壁期末) 已知函数f（x）= （a＞0）（1）若a=1，证明：y=f（x）在R上单调递减；（2）当a＞1时，讨论f（x）零点的个数．18. （10分） (2019高三上·洛阳期中) 在△ABC中，D是BC中点，AB＝3，AC＝，AD＝．（1）求边BC的长；（2）求△ABD内切圆半径．19. （10分） (2019高三上·洛阳期中) 如图，在三棱锥中，为正三角形，为棱的中点，，，平面平面．（1）求证：平面；（2）若是棱上一点，，求二面角的大小．20. （10分） (2019高三上·洛阳期中) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且经过点P（2，2）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（1，－1）的直线与椭圆C相交于M，N两点（与点P不重合），试判断点P与以MN为直径的圆的位置关系，并说明理由．21. （10分） (2019高三上·洛阳期中) 已知函数．（1）求在点处的切线方程；（2）求证：在上仅有2个零点．22. （10分） (2019高三上·洛阳期中) 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若直线与曲线交于、两点，设，求的值．23. （10分） (2019高三上·洛阳期中) 已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若的最大值为，、、为正数且，求证：．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

辽宁省抚顺二中2015届高三上学期期中考试物理 Word版含答案

2015届高三期中测试物理试题满分：100分时间：90分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。

其中第1题至第7题每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意要求。

第8题至第12题有多项符合题意要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，选错的得0分。

）1. 在力学发展的过程中，许多物理学家的科学发现推动了物理学的进步。

对以下几位物理学家所作科学贡献的表述中，与事实不相符．．．．．．的是 A. 伽利略首先建立平均速度、瞬时速度和加速度等描述运动的概念B. 胡克提出如果行星的轨道是圆形，太阳与行星间的引力与距离的平方成反比C. 卡文迪许是测量地球质量的第一人D. 伽利略根据理想斜面实验，得出自由落体运动是匀变速直线运动2. 如图所示，质量为m 1的木块在质量为m 2的无限长木板上，在力F 的作用下向右滑行，长木板始终处于静止状态，已知木块与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与地面间的动摩擦因数为μ2，则 A ．木板受到地面的摩擦力大小一定为μ1m 1g B ．木板受到地面的摩擦力大小一定为μ2(m 1＋m 2)g C ．木板受到地面的摩擦力大小一定为 F D ．木块受到木板的摩擦力大小一定为 F3. 将质量为m 的小球置于半径为l 的固定光滑圆槽与圆心等高的一端无初速度释放，小球在竖直平面内做圆周运动，若小球在最低点的势能取做零，则小球运动过程中第一次动能和重力势能相等时重力的瞬时功率为A.gl mg 321 B. gl mg 331C. gl mgD. gl mg 214. 德国天文学家开普勒对第谷观测的行星数据进行多年研究，得出著名开普勒行星三定律。

根据周期定律，设太阳的行星匀速圆周运动的半径立方与周期平方的比值为K 1，地球的卫星匀速圆周运动的半径立方与周期平方的比值为K 2，月球的卫星匀速圆周运动的半径立方与周期平方的比值为K 3，则三者大小关系为A.K 1=K 2=K 3B. K 1＞K 2＞K 3C. K 1＜K 2＜K 3.D. K 1＞K 2=K 35. 在空中某一高度将一小球水平抛出，取抛出点为坐标原点，初速度方向为x 轴正方向，竖直向下为y轴正方向，得到其运动的轨迹方程为y =ax 2（a 为已知量），不计空气阻力，重力加速度为g 。

2014-2015年辽宁省抚顺二中高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)

2014-2015学年辽宁省抚顺二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|﹣4≤x≤0}，则A∩∁R B=（）A．R B．{x∈R|X≠0}C．{x|0＜x≤2}D．∅2．（5分）若复数z满足iz=2+4i，则复数z=（）A．2+4i B．2﹣4i C．4﹣2i D．4+2i3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（）A．21 B．24 C．28 D．74．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b5．（5分）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx6．（5分）函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=15，若f（1）=2，则f（99）等于（）A．B．C．2 D．157．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C．D．38．（5分）已知：a，b均为正数，，则使a+b≥c恒成立的c的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（0，1]C．（﹣∞，9]D．（﹣∞，8]9．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位10．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）11．（5分）直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：其中有中正确命题的个数是（）①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α．A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）若向量，满足||=1，||=2，且与的夹角为，则|2|=．14．（5分）若cos（）﹣sinα=，则sin（）=．15．（5分）一个三棱柱的底面是正三角形，侧面垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图（单位：cm）．则该三棱柱的表面积为cm2．16．（5分）已知2＞x a对任意x∈（0，1）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调区间；（2）求函数f（x）的最小值及取得最小值时相应的x值．18．（12分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c依次成等差数列．（Ⅰ）若向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，求cosA的值；（Ⅱ）若ac=8，求△ABC的面积S的最大值．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E，F分别是AB，PB的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；（3）设PD=AD=a，求三棱锥B﹣EFC的体积．20．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．21．（12分）设函数f（x）=lnx+（x﹣a）2，a∈R．（Ⅰ）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）求函数f（x）的极值点．四、选做题：请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB（不包括端点）上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ=∠PBC．求证：（1）；（2）△ADQ∽△DBQ．23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．2014-2015学年辽宁省抚顺二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|﹣4≤x≤0}，则A∩∁R B=（）A．R B．{x∈R|X≠0}C．{x|0＜x≤2}D．∅【解答】解：由A中的不等式解得：0≤x≤2，即A={x|0≤x≤2}，∵B={x|﹣4≤x≤0}，∴∁R B={x|x＜﹣4或x＞0}，则A∩（∁R B）={x|0＜x≤2}．故选：C．2．（5分）若复数z满足iz=2+4i，则复数z=（）A．2+4i B．2﹣4i C．4﹣2i D．4+2i【解答】解：由iz=2+4i，得z==4﹣2i，故选：C．3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（）A．21 B．24 C．28 D．7【解答】解：∵a2+a4+a6=12，∴a2+a4+a6=12=3a4=12，即a4=4，则S7=，故选：C．4．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：D．5．（5分）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx【解答】解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选：C．6．（5分）函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=15，若f（1）=2，则f（99）等于（）A．B．C．2 D．15【解答】解：∵f（x）•f（x+2）=15，∴f（x+2）•f（x+4）=15，∴f（x）=f（x+4），∴f（99）=f（96+3）=f（3），又∵f（1）•f（3）=15，且f（1）=2，∴f（99）=f（3）=；故选：B．7．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C．D．3【解答】解：约束条件，表示的可行域如图，解得A（0，3），解得B（0，）、解得C（1，1）；由A（0，3）、B（0，）、C（1，1）；所以t=x﹣y的最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；故选：A．8．（5分）已知：a，b均为正数，，则使a+b≥c恒成立的c的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（0，1]C．（﹣∞，9]D．（﹣∞，8]【解答】解：∵a，b均为正数，，∴a+b=（a+b）×=（5+）≥（5+2）=，当且仅当，即b=2a时，取等号；∴a+b的最小值是，由题意可知c，故选：A．9．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y==的图象．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【解答】解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选：C．11．（5分）直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：其中有中正确命题的个数是（）①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：注意前提条件直线m，n均不在平面α，β内．对于①，根据线面平行的判定定理知，m∥α，故①正确；对于②，如果直线m与平面α相交，则必与β相交，而这与α∥β矛盾，故m ∥α，故②正确；对于③，在平面α内任取一点A，设过A，m的平面γ与平面α相交于直线b，∵n⊥α，∴n⊥b，又m⊥n，∴m⊥b，∴m∥α，故③正确；对于④，设α∩β=l，在α内作m′⊥β，∵m⊥β，∴m∥m′，∴m∥α，故④正确．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]【解答】解：∵函数f（x）=的图象如下图所示：∵函数f（x）的值域是[0，2]，∴1∈[0，a]，即a≥1，又由当y=2时，x3﹣3x=0，x=（0，﹣舍去），∴a∴a的取值范围是[1，]．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）若向量，满足||=1，||=2，且与的夹角为，则|2|= 2．【解答】解：∵||=1，||=2，且与的夹角为，∴=4+4•+=4×12+4×1×2×cos+22=4+4+4=12；∴|2|==2；故答案为：2．14．（5分）若cos（）﹣sinα=，则sin（）=．【解答】解：∵cos（）﹣sinα===，∴，∵sin（）=sin（）=，∴sin（）=，故答案为：15．（5分）一个三棱柱的底面是正三角形，侧面垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图（单位：cm）．则该三棱柱的表面积为12+12cm2．【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱柱，三棱柱的高是2，底面是高为3的正三角形，所以底面的边长是2，∴两个底面的面积是2××2×3=12侧面积是2×3×2=12，∴几何体的表面积是12+12（cm2），故答案为：12+1216．（5分）已知2＞x a对任意x∈（0，1）成立，则实数a的取值范围是（﹣eln2，+∞）．【解答】解：对＞x a两边取对数，得ln2＞alnx，由于0＜x＜1，∴＞，令f（x）=，（0＜x＜1），∴f′（x）=﹣，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，∴f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，∴f（x）max=f（）=﹣e，∴＞﹣e，∴a＞﹣eln2，故答案为：（﹣eln2，+∞）．三、解答题（解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调区间；（2）求函数f（x）的最小值及取得最小值时相应的x值．【解答】解：（1）函数．=2cosx（sinxcos+cosxsin）﹣sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin（2x+）∴f（x）的最小正周期T=π．f（x）的单调增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z（2）当2x==2kπ﹣，k∈Z即：x=kπ﹣k∈Z时，f（x）取最小值﹣2．18．（12分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c依次成等差数列．（Ⅰ）若向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，求cosA的值；（Ⅱ）若ac=8，求△ABC的面积S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c依次成等差数列，∴2b=a+c．∵向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，∴2sinB=3sinC，∴由正弦定理可得2b=3c，∴a=2c，b=，∴cosA==﹣；（Ⅱ）∵2b=a+c，∴cosB==≥=，∵B∈[0，π]，∴0＜sinB≤，∴S=acsinB≤=2，∴△ABC的面积S的最大值为2．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E，F分别是AB，PB的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；（3）设PD=AD=a，求三棱锥B﹣EFC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵E，F分别是AB，PB的中点，∴EF∥AP．又∵EF⊄平面PAD，AP⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD．（4分）（Ⅱ）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD⊥CD．又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD，且AD∩PD=D．∴CD⊥平面PAD，又∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA．又∵EF∥PA，∴EF⊥CD．（8分）（Ⅲ）解：连接AC，DB相交于O，连接OF，则OF⊥面ABCD，=EB•BC=则OF为三棱锥F﹣EBC的高，OF==，S△EBC∴．（12分）20．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{a n}的通项式为a n=．（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．21．（12分）设函数f（x）=lnx+（x﹣a）2，a∈R．（Ⅰ）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）求函数f（x）的极值点．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）因为，所以f（x）在[1，e]上是增函数，当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1．所以f（x）在[1，e]上的最小值为1．…（3分）（Ⅱ）解法一：设g（x）=2x2﹣2ax+1，…（4分）依题意，在区间上存在子区间使得不等式g（x）＞0成立．…（5分）注意到抛物线g（x）=2x2﹣2ax+1开口向上，所以只要g（2）＞0，或即可．…（6分）由g（2）＞0，即8﹣4a+1＞0，得，由，即，得，所以，所以实数a的取值范围是．…（8分）解法二：，…（4分）依题意得，在区间[，2]上存在子区间使不等式2x2﹣2ax+1＞0成立．又因为x＞0，所以．…（5分）设g（x）=2x+，所以2a小于函数g（x）在区间[，2]的最大值．又因为，由，解得；由，解得．所以函数g（x）在区间上递增，在区间上递减．所以函数g（x）在，或x=2处取得最大值．又，，所以，所以实数a的取值范围是．…（8分）（Ⅲ）因为，令h（x）=2x2﹣2ax+1①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，这时f'（x）＞0，此时，函数f（x）没有极值点；…（9分）②当a＞0时，（ⅰ）当△≤0，即时，在（0，+∞）上h（x）≥0恒成立，这时f'（x）≥0，此时，函数f（x）没有极值点；…（10分）（ⅱ）当△＞0，即时，易知，当时，h（x）＜0，这时f'（x）＜0；当或时，h（x）＞0，这时f'（x）＞0；所以，当时，是函数f（x）的极大值点；是函数f（x）的极小值点．…（12分）综上，当时，函数f（x）没有极值点；当时，是函数f（x）的极大值点；是函数f（x）的极小值点．…（13分）四、选做题：请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB（不包括端点）上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ=∠PBC．求证：（1）；（2）△ADQ∽△DBQ．【解答】证明：（Ⅰ）连接AB．∵△PBC∽△PDB，∴．同理．又∵PA=PB，∴，即．（Ⅱ）∵∠BAC=∠PBC=∠DAQ，∠ABC=∠ADQ，∴△ABC∽△ADQ，即．故．又∵∠DAQ=∠PBC=∠BDQ，∴△ADQ∽△BDQ．23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴原不等式转化为或或，解得：x≥6或﹣2≤x≤﹣或x＜﹣2，∴原不等式的解集为：（﹣∞，﹣]∪[6，+∞）；（2）只要f（x）max＜t2﹣3t，由（1）知，当x∈[0，1]时，f（x）max=﹣1，∴t2﹣3t＞﹣1，解得：t＞或t＜．∴实数t的取值范围为（﹣∞，）∪（，+∞）．。

辽宁省抚顺市高三上学期期中数学试卷

辽宁省抚顺市高三上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________.2. （1分）用符号“ ”或“ ”表示命题：实数的平方大于或等于为________.3. （1分） (201920高三上·长宁期末) 已知点在角终边上，且，则________.4. （1分） (2017高二下·瓦房店期末) 函数的值域是________．5. （1分） (2016高一上·扬州期末) 在用二分法求方程x3﹣2x﹣1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为________．6. （1分） (2016高一上·邹平期中) 设f（x）是R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=x2﹣2x，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=________．7. （1分）(2017·海淀模拟) 设偶函数f（x）=sin（ωx+ϕ），ω＞0，若f（x）在区间[0，π]至少存在一个零点，则ω的最小值为________．8. （1分） (2017高二下·正阳开学考) 在△ABC中，，C=150°，BC=1，则AB=________．9. （1分） (2018高二上·新乡月考) 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则的面积等于________.10. （1分） (2016高一下·深圳期中) 已知，是单位向量，• =0．若向量满足| ﹣﹣ |=1，则| |的取值范围是________．11. （1分） (2016高二下·渭滨期末) 函数f（x）=ax3﹣5x2+3x﹣2在x=3处有极值，则函数的递减区间为________．12. （1分）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=________13. （1分） (2016高二上·上海期中) 前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是________．14. （1分） (2018高二上·武汉期末) 曲线在点（e，f（e））处的切线方程为________二、解答题 (共6题；共60分)15. （10分） (2016高一下·福建期末) 已知函数 =（2sinx，cosx+sinx）， =（cosx，cosx﹣sinx），f（x）= • ．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0（m∈R）在区间（0，）内有两个不相等的实数根x1，x2，记t=mcos （x1+x2），求实数t的取值范围．16. （5分） (2019高二上·阜阳月考) 设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．17. （10分）如图，A ， B ， C ， D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：tan=（2）若A+C=180°， AB=6， BC=3， CD=4， AD=5，求tan+tan+tan+tan的值.18. （15分） (2017高一上·武汉期中) 已知，a∈R．（1）求f（x）的解析式；（2）解关于x的方程f（x）=（a﹣1）•4x（3）设h（x）=2﹣xf（x），时，对任意x1，x2∈[﹣1，1]总有成立，求a的取值范围．19. （10分）(2017·南通模拟) 已知函数f（x）=ax3﹣bx2+cx+b﹣a（a＞0）．（1）设c=0．①若a=b，曲线y=f（x）在x=x0处的切线过点（1，0），求x0的值；②若a＞b，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．（2）设f（x）在x=x1，x=x2两处取得极值，求证：f（x1）=x1，f（x2）=x2不同时成立．20. （10分） (2016高一下·内江期末) 已知Sn为数列{an}的前n项和，且an＞0，an2+an=2Sn ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn= ，记Tn=b12b32…b2n﹣12，求证：Tn≥ ．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共60分)15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、。

辽宁省师大附中高三数学上学期期中试卷文(含解析)

辽宁师大附中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一．选择题（每题5分共60分）1．（5分）对于非0向量，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）设，则的定义域为（）A．（﹣4，0）∪（0，4）B．（﹣4，﹣1）∪（1，4）C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣4，﹣2）∪（2，4）3．（5分）设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β4．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣15．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．B．C．D．16．（5分）设数列{a n}是公差d＜0的等差数列，S n为其前n项和，若S6=5a1+10d，则S n取最大值时，n=（）A．5 B．6 C．5或6 D．6或77．（5分）设x，y∈R，且x+4y=40，则lgx+lgy的最大值是（）A．40 B．10 C．4 D．28．（5分）已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=y﹣ax取得最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（0，1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（）A．12πB．24πC．32πD．48π10．（5分）在等差数列{a n}中，a1＞0，a10•a11＜0，若此数列的前10项和S10=36，前18项和S18=12，则数列{|a n|}的前18项和T18的值是（）A．24 B．48 C．60 D．8411．（5分）已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）12．（5分）设函数f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[，] C．[，2] D．[，2]二．填空题（每题5分共20分）13．（5分）函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为．14．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n．已知a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m=．15．（5分）已知x＞0，y＞0，x+3y+xy=9，则x+3y的最小值为．16．（5分）已知，是单位向量，•=0．若向量满足|﹣﹣|=1，则||的取值范围是．三．解答题17．（10分）设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．18．（12分）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2）．（Ⅰ）若•=1，求cos（﹣x）的值；（Ⅱ）记f（x）=•，在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．19．（12分）已知在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1+2b2+3b3+…+nb n=a n（n∈N*），求{b n}的通项公式b n．20．（12分）21、设的大小，并证明你的结论．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，A B⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．22．（12分）已知函数f（x）=kx，（1）求函数的单调递增区间；（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；（3）求证：．辽宁师大附中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（每题5分共60分）1．（5分）对于非0向量，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：向量的共线定理；充要条件．专题：常规题型．分析：利用向量垂直的充要条件，得到由前者推出后者；通过举反例得到后者推不出前者；利用充要条件的定义得到选项．解答：解：∵⇒⇒反之，推不出，例如满足两个向量平行但得到所以是的充分不必要条件故选A点评：本题考查向量共线的充要条件、考查说明一个命题不成立只要举一个反例即可、考查条件判断条件的方法．2．（5分）设，则的定义域为（）A．（﹣4，0）∪（0，4）B．（﹣4，﹣1）∪（1，4）C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣4，﹣2）∪（2，4）考点：对数的运算性质．分析：根据对数函数的真数大于0且分式中的分母不为0可得f（x）的定义域，再由f（x）中的x、f（）中的、f（）的满足的条件相同求出x的取值答案．解答：解：由题意知，＞0，∴f（x）的定义域是（﹣2，2），故：﹣2＜＜2且﹣2＜＜2解得﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4故选B．点评：本题主要靠求对数函数定义域的问题．这里注意对数函数的真数一定要大于0，分式中分母不为0．3．（5分）设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β考点：平面与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：对于A、由面面平行的判定定理，得A是假命题对于B、由m⊥α，n⊥β且α⊥β，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m或n都平行的平面，则所得平面与α、β都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论．对于C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可；对于D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可．解答：解：对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题B正确．对于C，根据面面垂直的性质，可知m⊥α，n⊂β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C不正确；对于D，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β”，则“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．故选B．点评：本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，基本知识的应用题目．4．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选B．点评：熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．5．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．B．C．D．1考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可．解答：解：由图知，T=2×=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（﹣），0=sin（﹣+ϕ）∵，所以ϕ=，∴，，所以．故选C．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力．6．（5分）设数列{a n}是公差d＜0的等差数列，S n为其前n项和，若S6=5a1+10d，则S n取最大值时，n=（）A．5 B．6 C．5或6 D．6或7考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用S6=5a1+10d，可得a6=0，根据数列{a n}是公差d＜0的等差数列，即可得出结论．解答：解：∵S6=5a1+10d，∴6a1+15d=5a1+10d得到a1+5d=0即a6=0，∵数列{a n}是公差d＜0的等差数列，∴n=5或6，S n取最大值．故选：C．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的通项与求和，比较基础．7．（5分）设x，y∈R，且x+4y=40，则lgx+lgy的最大值是（）A．40 B．10 C．4 D．2考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质和对数的运算性质即可求出．解答：解：∵x＞0，y＞0，x+4y=40，∴40，化为xy≤100，当且仅当x=4y=，即x=20，y=5时取等号，∴lgx+lgy=lg（xy）≤lg100=2．故选D．点评：熟练掌握基本不等式的性质和对数的运算性质是解题的关键．8．（5分）已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=y﹣ax取得最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（0，1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，则由图可知，若使目标函数z=y﹣ax取得最大值时的唯一最优解是B（1，3），则a＞1，故选D．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（）A．12πB．24πC．32πD．48π考点：球内接多面体；由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：该几何体的直观图如图所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD 是边长为4的正方形，高为CC1=4，故可求结论．解答：解：由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为4的正方形，高为4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为，即球的半径为，所以该球的表面积是．故选D．点评：本题考查三视图与直观图的关系，考查空间想象能力，考查学生的计算能力．10．（5分）在等差数列{a n}中，a1＞0，a10•a11＜0，若此数列的前10项和S10=36，前18项和S18=12，则数列{|a n|}的前18项和T18的值是（）A．24 B．48 C．60 D．84考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件，求出其正负转折项，然后再求数列{|a n|}的前18项和．解答：解：∵a1＞0，a10•a11＜0，∴d＜0，a10＞0，a11＜0，∴T18=a1+…+a10﹣a11﹣…﹣a18=S10﹣（S18﹣S10）=60．故选C．点评：求数列{|a n|}的前n项和，关键是求出其正负转折项，然后转化成等差数列求和．11．（5分）已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）考点：基本不等式；函数恒成立问题．专题：计算题．分析：x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．解答：解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：﹣4＜m＜2．故选D．点评：本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．12．（5分）设函数f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[，] C．[，2] D．[，2]考点：导数的运算．专题：压轴题．分析：利用基本求导公式先求出f′（x），然后令x=1，求出f′（1）的表达式，从而转化为三角函数求值域问题，求解即可．解答：解：∵f′（x）=sinθ•x2+cosθ•x，∴f′（1）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）．∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]．∴sin（θ+）∈[，1]．∴2sin（θ+）∈[，2]．故选D．点评：本题综合考查了导数的运算和三角函数求值域问题，熟记公式是解题的关键．二．填空题（每题5分共20分）13．（5分）函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为π．考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期T．解答：解：函数y=sin2x+2sin2x=sin2x+1﹣cos2x=sin（2x﹣）+1，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n．已知a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m=10．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的性质a n﹣1+a n+1=2a n，我们易求出a m的值，再根据a m为等差数列{a n}的前2m﹣1项的中间项（平均项），我们可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值．解答：解：∵数列{a n}为等差数列，∴a n﹣1+a n+1=2a n，∵a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，∴2a m﹣a m2=0解得：a m=2，又∵S2m﹣1=（2m﹣1）a m=38，解得m=10故答案为10．点评：本题考查差数列的性质，关键利用等差数列项的性质：当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q，同时利用了等差数列的前n和公式．15．（5分）已知x＞0，y＞0，x+3y+xy=9，则x+3y的最小值为6．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由于要求x+3y的最小值，故在解题时注意把x+3y看为一个整体，需将已知方程中的xy利用基本不等式转化为x+3y的形式．解答：解：由于x＞0，y＞0，x+3y+xy=9，则9﹣（x+3y）=xy=，当且仅当x=3y时，取“=”则此时，由于x＞0，y＞0，解得，故x+3y=6故答案为6．点评：本题考查利用基本不等式求解式子的最值问题，属于基础题，可以训练答题者灵活变形及选用知识的能力．16．（5分）已知，是单位向量，•=0．若向量满足|﹣﹣|=1，则||的取值范围是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由，是单位向量，•=0．可设=（1，0），=（0，1），=（x，y）．由向量满足|﹣﹣|=1，可得（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．其圆心C（1，1），半径r=1．利用|OC|﹣r≤||=≤|OC|+r即可得出．解答：解：由，是单位向量，•=0．可设=（1，0），=（0，1），=（x，y）．∵向量满足|﹣﹣|=1，∴|（x﹣1，y﹣1）|=1，∴=1，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．其圆心C（1，1），半径r=1．∴|OC|=．∴≤||=．∴||的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．三．解答题17．（10分）设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）若f（x）＜0恒成立，则m=0或，分别求出m的范围后，综合讨论结果，可得答案．（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，则恒成立，结合二次函数的图象和性质分类讨论，综合讨论结果，可得答案．解答：解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，则解得﹣4＜m＜0综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，即恒成立．令﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当 m＞0时，g（x）是增函数，所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，解得．所以当m=0时，﹣6＜0恒成立．当m＜0时，g（x）是减函数．所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0，解得m＜6．所以m＜0．综上所述，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．18．（12分）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2）．（Ⅰ）若•=1，求cos（﹣x）的值；（Ⅱ）记f（x）=•，在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．考点：数量积的坐标表达式；两角和与差的余弦函数；正弦定理．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用向量的数量积公式列出方程求出，利用二倍角的余弦公式求出要求的式子的值．（2）利用三角形中的正弦定理将等式中的边转化为角的正弦值，利用三角形的内角和为180°化简等式，求出角B，求出角A的范围，求出三角函数值的范围．解答：解：（1）∵∴∵（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA∵sinA＞0∴cosB=∵B∈（0，π），∴∴∵∴∵∴∴点评：本题考查向量的数量积公式、考查三角形的正弦定理、考查三角形的内角和为180°、考查利用三角函数的单调性求三角函数值的范围．19．（12分）已知在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1+2b2+3b3+…+nb n=a n（n∈N*），求{b n}的通项公式b n．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设出等比数列的公比，直接利用a2是a1和a3﹣1的等差中项列式求出公比，则等比数列的通项公式可求；（2）当n=1时由递推式求出b1，模仿递推式写出n=n﹣1时的递推式，作差后代入a n即可求出b n．解答：解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a2是a1和a3﹣1的等差中项得：2a2=a1+a3﹣1，∴，∴2q=q2，∵q≠0，∴q=2，∴；（2）n=1时，由b1+2b2+3b3+…+nb n=a n，得b1=a1=1．n≥2时，由b1+2b2+3b3+…+nb n=a n ①b1+2b2+3b3+…+（n﹣1）b n﹣1=a n﹣1②①﹣②得：．，∴．点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的递推式，解答的关键是想到错位相减，是基础题．20．（12分）21、设的大小，并证明你的结论．考点：对数的运算性质；对数值大小的比较．专题：压轴题．分析：先判断与的大小，再由对数函数的单调性可得到答案．解答：解：当t＞0时，由基本不等式可得，当且仅当t=1时取“=”号∴t≠1时，当0＜a＜1时，y=log a x是单调减函数，∴，即当a＞1时，y=log a x是单调增函数，∴＞，即＞点评：本题主要考查对数函数的单调性，即当底数大于1时函数单调递增，当底数大于0小于1时函数单调递减．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（Ⅰ）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）根据已知条件判断ABED为平行四边形，故有BE∥AD，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE∥平面PAD．（Ⅲ）先证明ABED为矩形，可得BE⊥CD ①．现证C D⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位线的性质可得EF∥PD，从而证得CD⊥EF ②．结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理证得平面BEF⊥平面PCD．解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF ②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理，直线和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）=kx，（1）求函数的单调递增区间；（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；（3）求证：．考点：不等式的证明；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；综合题．分析：（1）由g'（x）＞0，解得x的范围，就是函数的增区间．（2）问题转化为k大于等于h（x）的最大值，利用导数求得函数h（x）有最大值，且最大值为，得到k≥．（3）先判断＜（x≥2），得＜，用放缩法证明＜1，即得要证的不等式．解答：解：（1）∵（x＞0），∴，令g'（x）＞0，得0＜x＜e，故函数的单调递增区间为（0，e）．（2）由，则问题转化为k大于等于h（x）的最大值．又，令．当x在区间（0，+∞）内变化时，h'（x）、h（x）变化情况如下表：x （0，）（，+∞）h'（x）+ 0 ﹣h（x）↗↘由表知当时，函数h（x）有最大值，且最大值为，因此k≥．（3）由≤，∴＜（x≥2），∴＜．又∵＜=1﹣+++…+=1﹣＜1，∴＜．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，求函数极值，用放缩法证明不等式，放缩不等式是解题的难点．。

辽宁省沈阳二中2015届高三上学期期中考试数学文试题Word版含答案

沈阳二中 2014—— 2015 学年度上学期期中考试高三（ 15 届）文科数学试题说明： 1.测试时间： 120 分钟总分： 150 分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应地点上第 I 卷（ 60 分）一、选择题： ( 本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .)1. 直线 x cos3y 2 0 的倾斜角的取值范围是（）A.[ ,) (,5]B. [0, 6 ] [5, ) C. [0,5]D.[ , 5]622 6666 62. 已知会合 M{ x | xx 2} ， N { y | y4x , x M}，则 MN()2A ． { x ｜0＜ x ＜ 1}B.{x ｜ 1＜ x ＜ 1} C.{x ｜0＜ x ＜1} D.{ x ｜ 1＜ x ＜ 2}223. 以下相关命题的说法正确的选项是( )A ．命题“若 x 2 1，则 x 1 ”的否命题为： “若 x 2 1 ，则 x 1”．B ．“ x1 ” 是“ x 25x6 0 ”的必需不充足条件 .C ．命题“若 x y ，则 sin xsin y ”的逆否命题为真命题 .D ．命题“ xR 使得 x 2 x 1 0 ”的否认是： “ x R 均有 x 2x1 0 ”．4. 已知各项均为正数的等比数列 { a n1a11 a13（）3a 1, 2 a 3,2 a2成等差数列，则a 8a 10} 中，A. 27B.3C.1或 3D.1 或 275. 函数 f ( x) 的定义域为 ( 0,1] ，则函数 f (lgx 2 x) 的定义域为()2A ． [ 5,4]B ． [ 5, 2)C ． [ 5, 2] [1,4]D ． [ 5, 2) (1,4]6. 已知 cos(x) 3 cos(x)()3 , 则 cos x63A ． 2 3B ．2 3C ． 1D ．1337. 已知 x ，y 足目函数z 2x y 的最小1，最大7， b, c的分（）A. -1 ，-2B. -2， -1 C. 1 ， 2 D. 1， -28．已知等比数列a n 足 a n ＞ 0， n ＝1,2 ，⋯，且 a 5a 2 n 5 22n (n3) ，当 n ≥1 ，log 2 a 1 log 2 a 2log 2 a 2 n 1 ＝（）A ． n (2 －1)B．( ＋1)2C． n 2 D．( －1)2nnn9. 已知 x ∈ 0，π，且函数 f ( x )＝ 1＋ 2sin 2x 的最小b ，若函数 g ( x ) ＝2 sin 2 x－ 1 π ＜ x ＜ π4 2，不等式 g ( x ) ≤1的解集( )2－ 6 ＋ 4 0＜ x ≤π8 xbx4π，ππ 3333 πA. 42B.4 ，2C.4 ，2D.4 ，210. F 1 ，F 2 是双曲： x 2 y 21(a ＞ 0，b ＞ 0)的左、右焦点，F 1 的直 l 与 C 的左、C a 2b 2右两支分交于A ，B 两点．若 | AB| : | BF 2| :| 2: :5，双曲的离心率（）AF |＝34A ． 13B ． 15C ． 2D ． 311．若曲 f ( x ，y ) ＝ 0 上两个不一样点的切重合，称条切曲f ( x ，y ) ＝ 0 的“自公切 ”．以下方程： ①x 2－ y 2＝1；② ＝2－ | x | ；③ y ＝ 3sin x ＋ 4cos x ；④ | x | ＋1＝ 4－2y xy的曲中存在“自公切 ”的有()A ．①②B．②③C．①④D．③④12. 函数 f xx 3 ax 2bx c ，在定域 x2,2 上表示的曲原点，且在 x1的切斜率均1. 有以下命：①f x 是奇函数； ②若 f x在 s,t 内减， ts 的最大 4；③ fx 的最大 M ，最小mMm=0 ；④若 x2,2 ， k f x恒建立，k的最大，2. 此中正确命的个数（）A. 1 个B.2个C.3 个D.4 个第Ⅱ卷（ 90 分）二、填空题：本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分 .若函数 f x 在R上可导， f x x3x2 f12x dx13..，则 f.14.若 x 0, y0, 且 x 2 y1，则 2x3y 2的最小值为.15.抛物线 C 的极点在原点，焦点 F 与双曲线x2y 21的右焦点重合，过点P（ 2,0 ）且36斜率为 1 的直线l与抛物线 C 交于 A,B 两点，则弦 AB 的中点到抛物线准线的距离为_______16.关于实数 a,b,定义运算 " " ：a b a 2ab( a b)( 2x 1)( x1) ，且关b 2ab(a设 f ( x)b)于 x 的方程f ( x)m(m R) 恰有三个互不相等的实数根x1 , x2 , x3，则 x1 x2 x3的取值范围是___________三、解答题：本大题共六个大题，满分70；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（此题满分 10 分）（1）已知cos 1, cos()11，且 ,(0, ) ，求 cos的值；71422cos()（2）已知为第二象限角，且sin4的值 .，求cos2 sin(24) 118.( 此题满分 12 分) 在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且3a 2csin A0 .( Ⅰ ) 求角C的大小；(Ⅱ )若c2,求 a b 的最大值．19．（此题满分12 分）设数列 { a n }是等差数列，数列 { b n } 的前 n 项和 S n知足S n 3b1 ,a5 b2(b n 1) 且a22（Ⅰ）求数列 { a n} 和 { b n } 的通项公式：（Ⅱ）设 c n a n b n ,，设T n为c n的前n项和，求T n.20. （此题满分12 分）设椭圆 C ：x 2y 2 1(a b 0) 的离心率 e 1 ，右焦点到直线x y 1的距离a 2b 22a bd21， O 为坐标原点 . （ 1）求椭圆 C 的方程；7（2）过点 O 作两条相互垂直的射线，与椭圆 C 分别交于 A,B 两点，证明：点O 到直线 AB的距离为定值，并求弦AB 长度的最小值。

辽宁省抚顺二中2015届高三上学期期中考试数学(文) Word版含答案

2015届高三期中测试数学试题（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20},{|40}A x x x B x x =-≤=-≤≤，则R A C B ⋂= A ．R B ．{|0}x x ≠ C ．{|02}x x <≤ D ．φ2．若复数z 满足24iz i =+，则复数z =A ．24i +B ．24i -C ．42i -D ．42i +3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24612a a a ++=，则7S 的值 A ．21 B ．24 C ．28 D ．74．已知13212112,log ,log 33a b c -===，则A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A ．1()f x x= B．()f x = C ．()22x x f x -=- D ．()tan f x x =-6．函数()f x 满足()(2)15f x f x ⋅+=，若(1)2f =，则(99)f 等于 A ．215 B ．152C ．2D ．157．设变量,x y 满足02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则的z x y =-最小值为A ．3-B ．0C ．32D ．3 8．已知,a b 均为正数，且142a b+=，则使a b c +≥恒成立的c 的取值范围A ．9(,]2-∞ B ．(0,1] C ．(,9]-∞ D ．(,8]-∞9．为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以将函数y x =的图象 A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位C ．向右平移12π个单位 D ．向左平移12π个单位 10．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是( )A ．),2()1,(+∞⋃--∞B ．)2,1(-C ．)1,2(-D ．),1()2,(+∞⋃--∞11．直线,m n 均不在．．平面,αβ内，给出下列命题： ①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ②若m ∥β，α∥β，则m ∥α； ③若,m n n α⊥⊥，则m ∥α；④若,m βαβ⊥⊥，则m ∥α；其中有中正确命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．已知函数23log (1)1,10()32,0x x f x x x x a -+-≤<⎧=⎨-+≤≤⎩的值域为[0,2]，则实数a 的取值范围是A ．(0,1] B． C ．[1,2] D．2] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分) 13．若向量,a b 满足||1,||2a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则|2|a b +=_________． 14．若cos()sin 65παα+-=，则5sin()6πα+=__________．15．一个三棱柱的底面是正三角形，侧面垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下(单位：cm )．则该三棱柱的表面积为__________2cm ．16．若12a xx >对于任意(0,1)x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知2()2cos sin()sin cos 3f x x x x x x π=⋅++⋅．俯视图(1)求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； (2)求函数()f x 的最小值及取最小值时的x 的值．18．(本小题满分12分)△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,a b c 依次成等差数列． (1)若向量(3,sin )m B =与(2,sin )n C =共线，求cos A 的值； (2)若8ac =，求△ABC 的面积S 的最大值．19．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PD DC a ==，,E F 分别是,AB PB 的中点． (1)求证：EF ∥面PAD ； (2)求证：EF CD ⊥；(3)求三棱锥B EFC -的体积．20．(本小题满分12分)等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =⋅． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设31323log log log n n b a a a =+++，求数列1{}nb 的前n 项和n S ．21．(本小题满分12分)设函数2()ln ()()f x x x a a R =+-∈．(1)若0a =，求函数(f x ）在[1,]e 上的最小值；(2)若函数(f x ）在1[,2]2上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围；(3)求函数(f x ）的极值点．请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4—1，几何证明选讲如图，,PA PB 是圆O 的两条切线，,A B 是切点，C 是劣弧AB (不包括端点)上一点，直线PC 交圆O 于另一点D ，Q 在弦CD 上，且DAQ PBC ∠=∠．求证：(1)BD BCAD AC=；BA(2)△ADQ ∽△DBQ ．23．(本小题满分10分)选修4 —4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos (24sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数)，直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π． (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||||PA PB ⋅的值．24．(本小题满分10分)选修4 —5：不等式选讲设函数()|21||2|f x x x =--+． (1)求不等式()3f x ≥的解集；(2)若关于x 的不等式2()3f x t t ≥-在[0,1]上无解，求实数t 的取值范围．2015届高三期中测试数学试题（文）参考答案一．选择题1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B 7．A 8．A 9．C10．C 11．D 12．B 二．填空题13．14．3515． 16．(ln 2,)e -⋅+∞三．解答题17．21()2cos (sin cos sin cos 2f x x x x x x x =⋅⋅+-+⋅=222sin cos sin )sin 22x x x x x x ⋅+-=+2sin(2)3x π=+4分 (1)最小正周期22T ππ== 6分222232k x k πππππ-+≤+≤+ 所以函数()f x 的单调增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ 8分 (2)当sin(2)13x π+=-时，函数()f x 的最小值为2-，10分此时2232x k πππ+=-，即5()12x k k Z ππ=-∈ 12分18．因为,,a b c 依次成等差数列，所以2b a c =+因为向量(3,sin )m B =与(2,sin )n C =共线，所以2sin 3sin B C =，由正弦定理得23b c =，于是32,2a cbc ==． 3分因此由余弦定得22222229414cos 234c c c a c b A ac c +-+-===-．6分(2)由(1)知2b a c =+，于是由余弦定理得2222233241cos 2882a cb ac ac ac B ac ac ac +-+-==≥=．(当且仅当a c =时取等号)．因为角B是三角形的内角，所以(0,],0sin 3B B π∈<≤， 9分因此11sin 8222S ac B =≤⨯⨯=S的大值为 12分19．(1) 因为,E F 分别是,AB PB 的中点，所以EF ∥PA ．又PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ．4分(2)因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD CD ⊥，ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥，又因PD AD D =，所以CD ⊥面PAD ， EF ⊂面PAD ，所以CD EF ⊥8分 (3)1111122362B EFC F EBC P EBC EBC V V V S PD EB BC PD ---===⨯⋅=⨯⋅⋅311112224a a a a =⨯⨯⨯= 12分20．(1)设等比数列的公比为q ，由22326499a a a a =⋅=，等比数列的各项为正数，所以343a a =，13q =．3分又11231a a q +=，所以113a =．故111()3n n n a a q-=⋅=5分 (2)2333111log log ()log ()333nn b =+++(1)(12)2n n n +=-+++=-8分所以12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 10分所以11111122()122311n nS n n n =--+-++-=-++ 12分 21．(1)1()2f x x x'=+，因为0x >，所以()0f x '>，所以函数()f x 在[1,]e 上递增，()f x 最小值为(1)1f =所以()f x 的最小值为1．4分(2)21221()2()x ax f x x a x x-+'=+-=，设2()221g x x ax =-+依题意，在区间1[,2]2上存在子区间使得()0g x >成立．即22210x ax -+>，则12a x x<+． 12x x +在上的最大值为94，所以的取值范围是9(,)4-∞ 8分(3) 2221()x ax f x x-+'=，设2()221h x x ax =-+1)当0a ≤时，()0h x >恒成立，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，没有极值点． 2)当0a >时①当△0≤，即0a <≤时，()0h x ≥，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增，没有极值点．②当△0>，即a >22210x ax -+=，12x x ==且120,0x x >>当12x x x <<时，()0h x <，()0f x '<，当2x x >或10x x <<时，()0h x >，()0f x '>．所以x =是函数()f x的极大值点，x =是函数()f x 的极小值点．综上，当a ≤()f x 没有极值点；当a >x =是函数()f x 的极大值点，2a x =是函数()f x 的极小值点．12分22．证明：(1)因为△PBC ∽△PDB ，所以BD PD BC PB =．同理AD PDAC PA=．又因为PA PB =，所以BD AD BC AC =，即BD BCAD AC=． 5分BA(2)连接AB ，因为BAC PBC DAQ ∠=∠=∠，ABC ADQ ∠=∠，所以△ABC ∽△ADQ ，即BC DQ AC AQ =，故BD DQAD AQ=．又因为DAQ PBC BDQ ∠=∠=∠，所以ADQ △∽△BDQ ． 10分23．解：圆22:(1)(2)16C x y -+-=．直线132:(52x t l t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)．5分(2)将直线的参数方程代入圆的方程可得2(230t t ++-=．8分设12,t t t 是此方程的两个根，则123t t ⋅=-，所以1212||||||||||3PA PB t t t t ==⋅=．10分24．解：（1）13,21()31,223,2x x f x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=---≤<⎨⎪-<-⎪⎪⎩，所以原不等式转化为1233x x ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩，或122313x x ⎧-≤<⎪⎨⎪--≥⎩，或233x x <-⎧⎨-≥⎩ 3分所以原不等式的解集为4(,][6,)3-∞-+∞．6分（2）只要2max ()3f x t t <-，8分由(1)知2max ()23f x t t =-<-，解得2t >或1t <．10分。

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2015届高三期中测试数学试题（文）命题单位抚顺市第二中学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20},{|40}A x x x B x x =-≤=-≤≤，则R A C B ⋂= A ．R B ．{|0}x x ≠ C ．{|02}x x <≤ D ．φ2．若复数z 满足24iz i =+，则复数z =A ．24i +B ．24i -C ．42i -D ．42i +3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24612a a a ++=，则7S 的值 A ．21 B ．24 C ．28 D ．74．已知13212112,log ,log 33a b c -===，则A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A ．1()f x x= B．()f x = C ．()22x x f x -=- D ．()tan f x x =-6．函数()f x 满足()(2)15f x f x ⋅+=，若(1)2f =，则(99)f 等于 A ．215 B ．152C ．2D ．157．设变量,x y 满足02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则的z x y =-最小值为A ．3-B ．0C ．32D ．3 8．已知,a b 均为正数，且142a b+=，则使a b c +≥恒成立的c 的取值范围A ．9(,]2-∞ B ．(0,1] C ．(,9]-∞ D ．(,8]-∞9．为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象，可以将函数y x =的图象A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移12π个单位 D ．向左平移12π个单位10．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是( )A ．),2()1,(+∞⋃--∞B ．)2,1(-C ．)1,2(-D ．),1()2,(+∞⋃--∞11．直线,m n 均不在．．平面,αβ内，给出下列命题： ①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ②若m ∥β，α∥β，则m ∥α； ③若,m n n α⊥⊥，则m ∥α；④若,m βαβ⊥⊥，则m ∥α；其中有中正确命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．已知函数23log (1)1,10()32,0x x f x x x x a -+-≤<⎧=⎨-+≤≤⎩的值域为[0,2]，则实数a 的取值范围是A ．(0,1] B．[1 C ．[1,2] D．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分) 13．若向量,a b 满足||1,||2a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则|2|a b +=_________． 14．若cos()sin 6παα+-=，则5sin()6πα+=__________．15．一个三棱柱的底面是正三角形，侧面垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下(单位：cm )．则该三棱柱的表面积为__________2cm ．16．若12a xx >对于任意(0,1)x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知2()2cos sin()sin cos 3f x x x x x x π=⋅+-+⋅．(1)求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； (2)求函数()f x 的最小值及取最小值时的x 的值．18．(本小题满分12分)△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,a b c 依次成等差数列． (1)若向量(3,sin )m B =与(2,sin )n C =共线，求cos A 的值；(2)若8ac =，求△ABC 的面积S 的最大值．19．在四棱锥P A B C D -中，PD ⊥底面A B C D ，底面A B C D 是正方形，PD DC a ==，,E F 分别是,AB PB 的中点．(1)求证：EF ∥面PAD ； (2)求证：EF CD ⊥；(3)求三棱锥B EFC -的体积．20．(本小题满分12分)等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =⋅．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设31323log log log n n b a a a =+++，求数列1{}nb 的前n 项和n S ．21．(本小题满分12分)设函数2()ln ()()f x x x a a R =+-∈．(1)若0a =，求函数(f x ）在[1,]e 上的最小值；(2)若函数(f x ）在1[,2]2上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围；(3)求函数(f x ）的极值点．请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4—1，几何证明选讲如图，,PA PB 是圆O 的两条切线，,A B 是切点，C 是劣弧AB (不包括端点)上一点，直线PC 交圆O 于另一点D ，Q 在弦CD 上，且DAQ PBC ∠=∠．求证：(1)BD BCAD AC=；BA(2)△ADQ ∽△DBQ ．23．(本小题满分10分)选修4 —4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos (24sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数)，直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π． (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||||PA PB ⋅的值．24．(本小题满分10分)选修4 —5：不等式选讲设函数()|21||2|f x x x =--+． (1)求不等式()3f x ≥的解集；(2)若关于x 的不等式2()3f x t t ≥-在[0,1]上无解，求实数t 的取值范围．2015届高三期中测试数学试题（文）参考答案一．选择题1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B 7．A 8．A 9．C 10．C 11．D 12．B 二．填空题13． 14．3515． 16．(ln 2,)e -⋅+∞ 三．解答题17．21()2cos (sin cos sin cos 2f x x x x x x x =⋅⋅+-+⋅=222sin cos sin )sin 2x x x x x x ⋅-= 2sin(2)3x π=+4分 (1)最小正周期22T ππ== 6分222232k x k πππππ-+≤+≤+ 所以函数()f x 的单调增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ 8分 (2)当sin(2)13x π+=-时，函数()f x 的最小值为2-，10分此时2232x k πππ+=-，即5()12x k k Z ππ=-∈ 12分18．因为,,a b c 依次成等差数列，所以2b a c =+因为向量(3,sin )m B =与(2,sin )n C =共线，所以2sin 3sin B C =，由正弦定理得23b c =，于是32,2a cbc ==． 3分因此由余弦定得22222229414cos 234c c c a c b A ac c +-+-===-．6分(2)由(1)知2b a c =+，于是由余弦定理得2222233241cos 2882a cb ac ac ac B ac ac ac +-+-==≥=．(当且仅当a c =时取等号)．因为角B 是三角形的内角，所以(0,],0sin 32B B π∈<≤， 9分因此11sin 8222S ac B =≤⨯⨯=S 的大值为 12分19．(1) 因为,E F 分别是,AB PB 的中点，所以EF ∥PA ．又PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ．4分(2)因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD CD ⊥，ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥，又因PD AD D =，所以CD ⊥面PAD ，EF ⊂面PAD ，所以CD EF ⊥ 8分(3)1111122362B EFC F EBC P EBC EBC V V V S PD EB BC PD ---===⨯⋅=⨯⋅⋅311112224a a a a =⨯⨯⨯= 12分 20．(1)设等比数列的公比为q ，由22326499a a a a =⋅=，等比数列的各项为正数，所以343a a =，13q =．3分又11231a a q +=，所以113a =．故111()3n n n a a q -=⋅= 5分(2)2333111log log ()log ()333n n b =+++(1)(12)2n n n +=-+++=-8分所以12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 10分所以11111122()122311n nS n n n =--+-++-=-++ 12分 21．(1)1()2f x x x'=+，因为0x >，所以()0f x '>，所以函数()f x 在[1,]e 上递增，()f x 最小值为(1)1f =所以()f x 的最小值为1．4分(2)21221()2()x ax f x x a x x-+'=+-=，设2()221g x x ax =-+依题意，在区间1[,2]2上存在子区间使得()0g x >成立．即22210x ax -+>，则12a x x<+．12x x +在上的最大值为94，所以的取值范围是9(,)4-∞ 8分(3) 2221()x ax f x x-+'=，设2()221h x x ax =-+1)当0a ≤时，()0h x >恒成立，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，没有极值点． 2)当0a >时①当△0≤，即0a <≤时，()0h x ≥，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增，没有极值点．②当△0>，即a >22210x ax -+=，12x x ==且120,0x x >>当12x x x <<时，()0h x <，()0f x '<，当2x x >或10x x <<时，()0h x >，()0f x '>．所以2a x =是函数()f x的极大值点，2a x +=是函数()f x 的极小值点．综上，当a ≤()f x 没有极值点；当a >2a x -=是函数()f x 的极大值点，2a x +=是函数()f x 的极小值点． 12分22．证明：(1)因为△PBC ∽△PDB ，所以BD PD BC PB =．同理AD PDAC PA=．又因为PA PB =，所以BD AD BC AC =，即BD BCAD AC=． 5分BA(2)连接AB ，因为BAC PBC DAQ ∠=∠=∠，ABC ADQ ∠=∠，所以△ABC ∽△ADQ ，即BC DQ AC AQ =，故BD DQAD AQ=．又因为DAQ PBC BDQ ∠=∠=∠，所以ADQ △∽△BDQ ． 10分23．解：圆22:(1)(2)16C x y -+-=．直线132:(5x t l t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)．5分(2)将直线的参数方程代入圆的方程可得2(230t t ++-=． 8分设12,t t t 是此方程的两个根，则123t t ⋅=-，所以1212||||||||||3PA PB t t t t ==⋅=．10分24．解：（1）13,21()31,223,2x x f x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=---≤<⎨⎪-<-⎪⎪⎩，所以原不等式转化为1233x x ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩，或122313x x ⎧-≤<⎪⎨⎪--≥⎩，或233x x <-⎧⎨-≥⎩ 3分所以原不等式的解集为4(,][6,)3-∞-+∞． 6分（2）只要2max ()3f x t t <-，8分由(1)知2max ()23f x t t =-<-，解得2t >或1t <．10分。