高数期末复习资料

函数、极限、连续一、考试内容函数的概念及表示法、基本初等函数的性质及其图形、复合函数、反函数、初等函数、分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数、函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性、函数关系的建立；数列极限与函数极限的定义及其性质、 函数的左极限和右极限、 无穷小量和无穷大量的概念及其关系、 无穷小量的性质及无穷小量的比较、 极限的四则运算、 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、 两个重要极限；函数连续的概念、 函数间断点的类型、 初等函数的连续性 、闭区间上连续函数的性质。

（一）函数1、函数(Function)的定义 设D 是一个非空实数集合，若∃对应关系f ，对于x D ∀∈，按照f ，对应唯一确定的R y ∈，称f 是定义在D 上的函数, 习惯上也称y 是x 的函数，记为)(x f y =.notes ：10. 两个常用的数学符号：:∀ “任意”或“任意一个”，它是英文单词Arbitrary “表示任意的”打头字母A 的倒写；:∃ “存在，它是英文单词 Existence “表示存在” 打头字母E 的倒写.2、基本初等函数为以下五类函数(1) 幂函数 ，是常数．图Ⅰ—1μx y =μ(2) 指数函数 (是常数且)，．图Ⅰ—2(3) 对数函数(是常数且)，．对数（Logarithm ）是由英国人纳皮尔创立的, 是相对于真数的比率数.图Ⅰ—3(4) 三角函数1.何谓正？何谓余？正就是正角。

余就是余角，就是90度减去正角. 2.何谓弦？何谓切？何谓割？弦就是弦线，切就是切线，割就是割线.圆上两点相连叫做"弦"；圆外与圆相切的线叫"切线"；圆外割入圆内的线叫"割线". 其实一切都是从一个半径为1的单位圆来的.正弦函数 ，，．图Ⅰ—4xa y =a 01a a >≠，),(+∞-∞∈x x y a log =a 01a a >≠，(0,)x ∈+∞x y sin =),(+∞-∞∈x ]1,1[-∈y余弦函数 ，，．图Ⅰ—5正切函数 ，，，．图Ⅰ—6余切函数 ，，，．图Ⅰ—7(5) 反三角函数反正弦函数， ，．x y cos =),(+∞-∞∈x ]1,1[-∈y x y tan =2ππ+≠k x k Z ∈),(+∞-∞∈y x y cot =πk x ≠k Z ∈),(+∞-∞∈y xy arcsin =]1,1[-∈x ]2,2[ππ-∈y图Ⅰ—8反余弦函数 ，，．图Ⅰ—9反正切函数，，．图Ⅰ—10反余切函数 ，，．x y arccos =]1,1[-∈x ],0[π∈y xy arctan =),(+∞-∞∈x )2,2(ππ-∈y x y cot arc =),(+∞-∞∈x ),0(π∈y图Ⅰ—113、初等函数：由基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所得到的、能用一个式子表达的函数，称为初等函数．高等数学的主要讨论对象是初等函数．（1）幂指函数：()()ln ()()v x v x u x y u x e ==．4、分段函数：分段函数是没有严格定义的，任意函数都可以是分段函数．一般而言，把函数的定义域分成几个区间,在各个区间内,函数的解析式不一样的，这样的函数称为分段函数.即便如此，有些分段函数也可称为初等函数．（1）符号函数：1,0sgn 0,0,sgn ,sgn 1,0x y x x x x x x x x x >⎧⎪=====⎨⎪-<⎩．图I －12（2）高斯函数：函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -==1[][]1x x x x -<≤<+，][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －13；x}{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －14.图I －13 图 I －14 （图I －13中，空心点与实心点应反调）（3）极值函数：(),{()()}1max{(),()}[()()()()](),{()()}2f x x x g x f x f x g x f x g x f x g x g x x x g x f x ⎧∈≤⎪==++-⎨∈>⎪⎩，(),{()()}1min{(),()}[()()()()](),{()()}2f x x x f x g x f x g x f x g x f x g x g x x x f x g x ⎧∈≤⎪==+--⎨∈>⎪⎩．对数一、三而言，在概率论中有极值分布max{,},min{,}X Y X Y ．5、隐函数：若方程(,)0f x y =能确定y 与x 的对应关系，那么称这个方程确定了隐函数()y y x =，但其未必能显化． 函数都是方程，但方程却不一定是函数．6、参数方程所确定的函数：若参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩能确定y 与x 的对应关系，那么称这个方程确定了隐函数()y y x =，但其未必能显化．有时消参后，原参数方程仅能转化为(,)0f x y =．7、函数的奇偶性sin ,tan ,arcsin ,arc tan ,ln(()(),cos ,()()x x x x x f x f x x x f x f x +--+-，为奇；为偶；±=±=⨯÷=⨯÷=奇奇奇，奇偶（非零常数）非奇非偶，奇（）奇偶，奇（）偶奇．（二）极限1、函数自变量变化过程的方式:n →∞自变量取正整数且无限增大的过程；:x →+∞自变量取正数且无限增大的过程:x →-∞自变量取负数且其绝对值无限增大的过程:x →∞自变量绝对值无限增大的过程0:x x +→自变量从0x 的右侧向0x 无限趋近的过程 0:x x -→自变量从0x 的左侧向0x 无限趋近的过程0:x x →自变量向0x 无限趋近的过程，也指0(,)x x δ∈，δ为正小数．2、无穷小量与无穷大量：若lim ()0f x =，则称)(x f 为某自变量变化过程时的无穷小量，零为无穷小量；若lim ()f x =∞，则称)(x f 为某自变量变化过程时的无穷大量．在同一自变量变化过程中，无穷大量倒数是无穷小量；非零的无穷小量的倒数是无穷大量．无穷小量与有界变量的乘积依然是无穷小量，无穷大量为无界变量的充分不必要条件．3、基本函数的极限 0011lim ,lim ;lim 0(0),lim 1(0),lim (0)x x x x x x x x x xαααααα-+→+∞→+∞→+∞→→=-∞=+∞=<===+∞>;lim 1,lim 0,lim ,lim /x x x x x x x x e e e e →→-∞→+∞→∞===+∞=; 0lim 1x x a →=，lim /(0,1)x x a a a →∞=>≠lim ,lim 0(01)x x x x a a a →-∞→+∞=+∞=<<;lim 0,lim (1)x x x x a a a →-∞→+∞==+∞>;∞-=+→x x ln lim 0，0lim ln(1)0x x →+=，lim ln x x →+∞=+∞;lim sin /,lim cos /,x x x x →∞→∞==2lim tan ,x x π→=∞0lim cot x x →=∞;0lim arctan 0,x x →=lim arctan ,2x x π→-∞=-lim arctan ,2x x π→+∞=lim arctan /x x →∞=; 0lim cot ,2x arc x π→=lim cot ,x arc x π→-∞=lim cot 0,x arc x →+∞=lim cot /x arc x →∞=．4、记忆以下几个关于极限的充要条件 ①a x x a x k k k k n n ==⇔=∞→-∞→∞→212lim lim lim ；②A x f x f A x f x x x ==⇔=+∞→-∞→∞→)(lim )(lim )(lim ；③A x f x f A x f x x ==⇔=+-→)()()(lim 000；④0lim ,)()(lim =+=⇔=αα且A x f A x f ．5、 无穷小的比较：在同一极限过程中，设()x αα=，()x ββ=均为无穷小，则①如果0lim =αβ，称β是比α高阶的无穷小；记作()αβo =；或称α是比β低阶的无穷小；②如果c =αβlim)0(≠c ，称β与α为同阶无穷小； 特别当1=c 时，即1lim =αβ称β与α为等价无穷小，记作αβ~；③如果c k =αβlim )0,0(>≠k c ，称β是α的k 阶无穷小．(若0lim k x c x β→=，称β是x 的k 阶无穷小)6、无穷小的等价代换定理：设α，α'，β，β'是同一极限过程中的无穷小，且满足αα'~，ββ'~，及βα''lim 存在或为无穷大，则：βαlim lim αβ'='.（若~αα'，γ为无穷大，则lim lim A()αγαγ'==∞）记住当0→x 时，下列的等价关系：arcsin ~arctan ~sin ~tan ~1~ln(1)~,1~ln ,log (1)~x x a x x x x e x x a x a x x a-+-+221cos ~,ln cos ~22x x x x --1~,(1)1~(0)xx x n ααα+-≠．7、极限存在准则（1）夹逼准则：在同一极限过程中，函数()x f ，()x g ，()x h 满足① ()≤x g ()≤x f ()x h ② ()A x g =lim ，()A x h =lim ， 则()x f lim 存在，且()A x f =lim ．（2）单调有界准则：单调增（减）、上（下）有界的数列必有极限（收敛）．收敛数列必有界．8、极限逆问题中两个常用的结论：（1）)()(limx g x f 存在，;0)(lim 0)(lim =⇒=x f x g （2）()lim0,lim ()0lim ()0()f x A f xg x g x =≠=⇒=．（三）连续1、 连续的定义: 若)()(lim 00x f x f x x =→，称)(x f 在0x 处连续，否则，0x 为)(x f 的间断点．若00()()f x f x -=，称)(x f 在0x 左连续，若00()()f x f x +=称)(x f 在0x 右连续．若对(,)x a b ∀∈，使得)(x f 连续，称)(x f 在(,)a b 内连续，即对(,)x a b ∀∈，求证lim[()()]h f x h f x →+-0=.进一步，若()(),()()f a f a f b f b +-==，称)(x f 在[,]a b 上连续．2、间断点及其类型1）第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点．可去间断点:左极限=右极限的间断点． 跳跃间断点:左极限≠右极限的间断点．2）第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在的间断点． 3、连续函数的性质1） 连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续；2） 初等函数在其定义区间内处处连续，初等函数在其定义点处的极限为其定义点处的函数值；3） 闭区间上连续函数的性质 （1）最值（有界）、介值性：若)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上上必有最大值和最小值（当然有界），且)(x f 在],[b a 上也可取到介于它在],[b a 上最小值与最大值之间的一切值. (2）零点定理:若)(x f 在],[b a 连续,且0)()(<⋅b f a f ,则必),(b a ∈∃ξ，使0)(=ξf ．（介值定理与零点定理将结合微积分中值定理进行应用）一元微分学的概念、性质与计算一、考试内容导数和微分的概念 函数的可导性、可微性与连续性之间的关系 基本初等函数的导数、 导数和微分的四则运算、复合函数、反函数、隐函数、参数方程所确定的函数、高阶导数、 一阶微分形式的不变性（一）导数与微分的概念与性质 0000()()lim ()h f x h f x a f x a h →+-'=⇔=,0()()lim ()'()()h F x h F x f x F x f x h→+-=⇔=, (0)000000()()()(0)lim ,()lim (),f x h f x mh f x nh f mx f a ma f x a m n a x h=→→+--''=⇔==⇒=+0000000()'()'(),lim ()()'()'()()x x f x a f x f x a f x f x f x f x f x -+-+→''''=⇔===⇔==，()()()()'(),(())'()()'()'()'(),y x A x x o x A x y x dy u x y u du x y u u x dx y x dx ∆=∆+∆⇔====若函数()f x 在()a b ，内点点可导，则()f x 在()a b ，内可导，又若'(),'()f a f b +-存在，则()f x 在[]a b ，上可导，可导是可微的充要条件，其皆为连续的充分条件. 函数()f x 在点0x 处可导，则其所示曲线在点0x 处有切线，反之不然.（三）基本函数的导数及高阶导数表12111()')',()'ln ,(log )',ln a a x x a x ax a a a x x x x a -=-==== 22(tan )'sec ,(cot )'csc ,(sec )'tan sec ,(csc )'cot csc ,x x x x x x x x x x ==-==-21(arcsin )'(arccos )')'(arccot )',1x x x x x =-==-=+[ln(x +=2211(ln )',2a x a a x a x +=-- 11,1(ln )',()',[()]'(1)()1,n n x a x x a x a x a n x a x a x ax ->⎧=-=--=+--⎨-<⎩；()()(1)()101(1)!()!,()ln ,[ln()](),()n m n x n x n n n n n m n mn m n x n n m a a a x a x a x a A x n m++->⎧-⎪===±==⎨±±⎪<⎩)2sin()(sin )(πn ax a ax n n +=，)2cos()(cos )(πn ax a ax n n +=. （四）导数与微分的运算法则1212[()()]()(),[()()]()[()]()[()];d k u x k v x k du x k dv x d u x v x v x d u x u x d v x +=+=+ 22[1()][()](),[()()][()()()()]()d v x d v x v x d u x v x v x du x u x dv x x =-=-；()()()()[()]()[()ln ()]()['()'()ln ()]()v x v x v x v x d u x u x d v x u x u x u x v x u x dx u x ==+，对幂指函数也可用对数求导法，其适用于幂指函数、连乘、连除、开方、乘方等；()()()()()()12120[()()]()(),[()()][()][()]nn n n n kn k k n k k u x k v x k u x k v x u x v x C u x v x -=+=+=⋅∑； 设)(x f y =二阶可导，且'0y ≠，则'()1'x y y =，3''()'''x y y y =-；设(),()x t y t 二阶可导，若()y y x =由(),()x x t y y t ==所确定，则'()'()'()y x y t x t = ，3''()['()'()]()[()()()()]()y x d y t x t dx t y t x t y t x t x t '''''''==-.导数的应用一、考试内容罗必达(L’Hospital)法则 平面曲线的切线和法线 函数单调性的判别 函数极值 函数最值 函数图形的凹凸性、拐点 函数图形的描绘 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径（一）平面曲线的切线和法线函数()f x 在点0x 处可导，则其所示曲线在点0x 处有切线，反之不然.极坐标曲线()ρρθ=在(,)ρθ处的切线斜率为'()'()tan ()'()'()'()()tan y k y x x θρθθρθθρθρθθ+===-， 设切线倾角α，则()'()tan()ρθρθαθ=-.注：2222'()'()()'()x y θθρθρθ+=+， 22'()''()''()'()()2'()()''()x y x y θθθθρθρθρθρθ-=+-. （二）罗必达(L’Hospital)法则00lim ()()lim '()'()()f x g x f x g x a ∞∞==∞（'()'()f x g x 、需在x 的变化过程中存在），对数列极限问题不能直接使用罗必达(L’Hospital)法则.（三）函数性态1.函数的奇偶性()'()'()()f x f x f x f x ⇒⇒为可导的奇（偶）函数为偶（奇）函数，为奇函数为偶函数;2．函数的周期性()(0)()'()'()()f T f f x T f x T f x Tf x T =⇒⇒为周期的导函数为周期的函数，周期为周期为;3．函数的单调性'()()0,(())()(),f x x I f x I f x I ≥≤∈⇒在内具有有限个驻点在内单调增减反之不成立；()'()f x f x ，二者的单调性在一般情况下不能相互推出；'()'()()0()()f x a f a f x a ><⇒在处连续必在处充分小的邻域内单调增减.()()()f x f x 单调区间的分界点可能为驻点,尖点连续但一导不存在,间断点；视条件而定；4．函数的凹凸性''()()0,('())()()(),f x x I f x I f x I ≥≤∈⇒在内具有有限个驻点在内是向上凹凸的反之不成立；''()''()()0()()();f x a f a f x a ><⇒在处连续必在处充分小的邻域内是向上凹凸的()()f x f x 的拐点必为连续的坐标点,其横坐标可能为二导零点,二导不存在点；视条件而定；00000''()0(''()/),''()(,());f x f x f x x x f x ==⇒在两邻的符号相反为拐点00''()0000000''()''()0,'''()0(,());lim 0(,())f x x x x f x f x f x x f x A x f x x x →=≠⇒=≠⇒-在处连续为拐点为拐点;223()''(1'),()1()ds K x d ds y y R x K x α-===+=弧微分曲率半径.5．函数的极值性()()f x f x 的极值点必含于定义域,其可能为驻点,尖点,间断点；若可导,其极值点必为驻点；00000'()0('()/),'()()(),()();f x f x f x x x f x ==⇒在两邻由正到负由负到正为极大小点为极大小值00'()00000'()'()0,''()()0();lim ()0()f x x x x f x f x f x x A x x x →=<>⇒=<>⇒-在处连续为极大小点为极大小点;000000200()()''()lim ()0()'()0,lim ()0().()n x x x x f x f x f x A x f x A x x x x x →→-=<>⇒==<>⇒--为极大小点;为极大小点6．函数的最值性：()f x 连续于[,]a b ，则[,][,]m a x ()(m i n ()m a x (m i n ){(),(),()};x a b x a b f x f x f f f ∈∈⇒驻点尖点端点()(,)()(),()(,)()f x a b f x a b连续函数在内有唯一驻点尖点且取极大小值则其亦为在内的最大小值.一元积分学的概念与计算一、考试内容原函数、（不）定积分、基本积分公式、牛一莱(N一L)公式、换元积分法与分部积分法、有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分、定积分的对称奇偶性、分段函数的积分、积分变限函数.（一）基本函数的不定积分1(1),111,ln,, ln,1x Cx dx dx ax b C Cx C ax b aμμμμμ+⎧++≠-⎪==++=⎨+=-+⎪⎩⎰⎰22222111111,arctan,ln,()()2x x a dx C dx C dx C ax b a ax b x a a a x a a x a-=-+=+=+ +++-+⎰⎰⎰ln(,arcsin,,lnkx bkx bx adx x C C a dx Ca k a++=++=+=+⎰(sin cos)cos sin,(sec tan)ln sec tan ln sec, x x dx x x C x x dx x x x C±=-±++=+++⎰⎰(csc cot)ln csc cot ln csc,(tan cot)ln tanx x dx x x x C x x dx x C-=-+++=+⎰⎰;2222sin2sin2(sin cos)()(),(sec tan)tan(tan),2424x x x xx x dx C x x dx x x x C+=-+++-=--+⎰⎰22(csc cot)cot(cot),(tan sec cot csc)sec csc, x x dx x x x C x x x x dx x x C-=-++++=-+⎰⎰ln(ln1),arcsin arcsin,arctan arctan ln, xdx x x C xdx x x C xdx x x C =-+==+⎰⎰⎰120222()12()()()/,/,()/,/,sin()/,sin()/.ln sinnn n n n nP xn nn n nP x P xP x dx dx dx a dx P x dx arc P x dxx x>>>>>±±±======⎰⎰⎰⎰⎰⎰（二）重要函数的不定积分术22331,,,()npx q px qx rdx dx dxax bx c x a x ax b+++++++⎰⎰⎰用拆、凑，[2[,]()(),,()mttm nf tf bp aq dt f dxat p--⎰⎰⎰为最小公倍sin tan secsec,,(0),x a x a x a ax a af dx f dx f dx aθθθθ===>=-<-=>==⎰⎰⎰sin cos,tan sec,m n m nmx xdx x xdx nm n⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰谁奇凑谁奇凑切割同奇凑低偶凑割方同偶降次偶奇分部tantan2221,(sin,cos),()sin,sinsin cosxtt x tmndx f x x dx P x axdxa xb x===+==⎰⎰⎰⎰分部消幂, (),(),(sin)kx ba t tkx b kx b kx bn nf a dx P x a dx P x a dx+=+++===⎰⎰⎰⎰分部分部消幂移项，,ln ln ()ln,(ln(,sin ln, n n nx t x tP x xdx P x x dx xdxμμ======⎰⎰⎰⎰分部降次化简分部分部移项分部降次，arcsinarctan()arcsin,()arctan,x tn nxP x xdx P x xdxμμθ====⎰⎰分部t t⎰⎰，.（三）基本函数的定积分112(1)(1),()()()[(1)(2)]x a tb n nax dx x a x b dx b a n nμμμ-=-+=+≠---=-++⎰⎰，取0a>，则2004aπ==⎰⎰，22001342,253sin cos(2),1331,2422n nn nnn nxdx xdx nn nnn nπππ--⎧⎪⎪-==≥⎨--⎪⎪-⎩⎰⎰为奇数为偶数22000sin(sin,cos)(cos,sin),sin cos4nn nxf x x dx f x x dx dxx xππππ==+⎰⎰⎰，22 00000(sin)(sin)(sin)sin sin2n n xf x dx f x dx f x dx x xdx xdxππππππππ===⎰⎰⎰⎰⎰,.（四）微积分基本关系()()()()dF x f x dx f x dx F x C=⇔=+⎰，()(),()()d f x dx f x dx df x f x C==+⎰⎰.()f x在[,]a b上连续，则()(),xaf x dx f t dt C=+⎰⎰()[()],b baaf x dx f x dx=⎰⎰12()()()(),()(),()[()]'(), x x b g xa a x ad d d df t dt f t dt f x f t dt f x f t dt fg x g xdx dx dx dx===-=⎰⎰⎰⎰()()()[()]'()[()]'()g xh xdf t dt fg x g x fh x h xdx=-⎰，()()()(())'()()u g xb g ba g af g x g x dx f u du==⎰⎰，()()()()()(),()()[()()]()()b bbaa au x dv x u x v x v x du x u x dv x u x v x v x du x=-=-⎰⎰⎰⎰，00 '()()(),''()'()(),[()]()a x aaxf x dx xf x f x dx xf x dx xf x f x C f t dt dx xf x dx =-=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,0,()()[()()]2(),()a aaaf xf x dx f x f x dxf x dx f x-⎧⎪=+-=⎨⎪⎩⎰⎰⎰连奇.连偶。