河南省洛阳市2018届高三上学期期中考试数学(文)试题
河南省南阳市2024届高三上学期期中考试数学
2023年秋期高中三年级期中质量评估数学试题注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效。
2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
第I 卷 选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列集合中，表示空集的是A.{}0 B.{}2,2x x x <->且C.{}210x x ∈-=N D.{}4x x >2.命题“0x ∃∈R ，20010x x ++…”的否定为A.x ∀∈R ，210x x ++> B.x ∃∈R ，210x x ++>C.x ∀∈R ，210x x ++… D.x ∃∈R ，210x x ++<3.若复数z 满足()12z i +=，则z z -=A.2- B.2C.4i- D.4i4.公比不为1的等比数列{}n a 满足574816a a a a +=，若23964m a a a a =，则m 的值为A.8B.9C.10D.115.若函数()()24125xxf x a a =--+-有两个零点，则实数a 的取值范围为A.71,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.(- C.73⎫⎪⎭D.53⎫⎪⎪⎭6.已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin sin x αα=，()sin cos y αα=，()cos sin z αα=，则A.x y z<< B.x z y << C.y x z << D.z x y<<7.已知a ，b ，c 分别为ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边，若点P 在ABC △的内部，且满足PAB PBC PCA ∠∠∠θ===，则称P 为ABC △的布洛卡（Brocard ）点，θ称为布洛卡角.布洛卡角满足：cot cot cot cot A B C θ=++（注：tan cot 1x x =）.则PA PB PC c a b++=A.2sin θB.2cos θC.2tan θD.2cot θ8.已知()212xf x ae x ax =+-在()0,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为A.(],1-∞- B.(),1-∞- C.()0,+∞ D.[)0,+∞二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.如图是函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象，则函数()f x =A.sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B.sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭C.cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭D.5cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭10.已知n S 是数列{}n a 的前n 32n n S a =+，则A.{}n a 是等比数列 B.9100a a +>C.910110a a a > D.0n S >11.设,x y ∈R ，若2241x y xy ++=，则x y +的值可能为A.2- B.1- C.1D.212.设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极小值点，则下列关系可能成立的是A.0a >且a b >B.0a >且a b <C.0a <且a b< D.0a <且a b>第II 卷 非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.一个正实数的小数部分的2倍，整数部分和自身成等差数列，则这个正实数是______.14.四边形ABCD 中，2AD =，3CD =，BD 是四边形ABCD 的外接圆的直径，则AC BD ⋅=______.15.奇函数()f x 满足()()21f x f x +=-，()12023f -=，则()2023f =______.16.互不相等且均不为1的正数a ，b ，c 满足b 是a ，c 的等比中项，则函数()2xxx f x a bc -=++的最小值为______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为()*n S n ∈N，数列{}nb 为等比数列.已知111ab ==，523a b =，424S S =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）已知函数()21cos sin 2f x x x x ωωω=-+，其中0ω>，若实数1x ，2x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π.（1）求ω的值及()f x 的单调递减区间；（2）若不等式()22cos 22206f x a x a π⎛⎫⎡⎤++--< ⎪⎣⎦⎝⎭对任意,126x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时恒成立，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+.（1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若1a ，3a ，7a 成等比数列，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2024项的和.20.（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足_____.（从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答.）条件①：()()sin sin sin 3sin b c B C a A b C ++=+条件②：25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭（1）求角A ；（2）若ABC △为锐角三角形，1c =，求ABC △面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()3f x x x =-，()2g x x a =+，a ∈R ，曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线.（1）若11x =，求a ；（2）求a 的取值范围.22.（本小题满分12分）（1）已知函数()ln f x x x =，判断函数()()()11g x f x f x =++-的单调性并证明；（2）设n 为大于1的整数，证明：()()1111211nnn n n +-+->.2023年秋期高中三年级期中质量评估数学参考答案一.选择题：1-8.BADCCDBA 二.选择题：9.BC10.ABD11.BC12.AC三.填空题：13.43或8314.5-15.2023-16.4四.解答题：17.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由424S S =可得()114642a d a d +=+，即()6442d d +=+，解得2d =，所以，()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-，25339b q a ===，∴3q =则1113n n n b b q--==；（2）()1213n n n a b n -=-⋅，则()0121133353213n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅①，可得()()12131333233213n n n T n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅②，①-②得：()()()()1121613212333213121313n n n nn T n n ----=+++⋅⋅⋅+--⋅=+--⋅-()2232n n =-⋅-，因此，()131nn T n =-⋅+18.解：（1）()21cos sin 2f x x x x ωωω=-+1cos2122x x ωω-=-+1cos22x x ωω=+sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为实数1x ，2x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π.所以()f x 的最小正周期22T ππω==，解得1ω=，所以()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）不等式()22cos 22206f x a x a π⎛⎫⎡⎤++--< ⎪⎣⎦⎝⎭对任意,126x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时恒成立，()22cos 2226f x a x a π⎛⎫⎡⎤++-- ⎪⎣⎦⎝⎭2sin 22cos 22266x a x a ππ⎛⎫⎛⎫=+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 22cos 22166x a x a ππ⎛⎫⎛⎫=-+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos 26t x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，20,62x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴()cos 20,16x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭22210t at a -+--<，()0,1t ∈()2211a t t -<+，2121t a t +>-恒成立令()11,0m t =-∈-，221222211t m m m t m m+++==++<--∴21a -…，解得：12a ≥-，故实数a 的取值范围是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭19.解：（1）因为221nn S n a n+=+，即222n n S n na n +=+①，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----，即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且*N n ∈，所以{}n a 是以1为公差的等差数列.（2）由（1）可得312a a =+，16a a =+又1a ，3a ，7a 成等比数列，所以()()211126a a a +=⋅+，解得12a =，所以1n a n =+∴()()111111212n n a a n n n n +==-++++.∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2024项和为：111111111150623344520252026220261013⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭20.解：解析：（1）选择条件①：由题意及正弦定理知()223b c a bc +=+，∴222a b c bc =+-，∴2221cos 22b c a A bc +-==∵0A π<<，∴3A π=.选择条件②：因为25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=，解得1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=（2）由sin sin b cB C=可得sin sin 3sin sin C B b C Cπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==112tan C==+因为ABC △是锐角三角形，由（1）知3A π=，A B C π++=得到23B C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<，所以122b <<.1sin 2ABC S bc A ==△，ABC S ∈△21.解：（1）由题意知，()10f =，()231f x x =-'，()1312f =-='，则()y f x =在点()1,0处的切线方程为()21y x =-，22y x =-设该切线与()g x 切于点()()22,x g x ，()2g x x '=，则()2222g x x =='，解得21x =，则()11220g a =+=-=，解得1a =-；（2）因为()231f x x =-'，则()y f x =在点()()11,x f x 处的切线方程为()()()32111131y x x x x x --=--，整理得()2311312y x x x =--，设该切线与()g x 切于点()()22,x g x ，()2g x x '=，则()222g x x '=，则切线方程为()()22222y x a x x x -+=-，整理得2222y x x x a =-+，则21232123122x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩，整理得2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭，令()4329312424h x x x x =--+，则()()()329633311h x x x x x x x '=--=+-，令()0h x '>，解得103x -<<或1x >，令()0h x '<，解得13x <-或01x <<，则x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：则()h x 的值域为[)1,-+∞，故a 的取值范围为[)1,-+∞22.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，函数()g x 的定义域为()1,1-函数()()()()()1ln 11ln 1g x x x x x =+++--在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增证明：()()()()()1ln 11ln 1g x x x x x -=--+++，∴()()g x g x -=所以()g x 为()1,1-上的偶函数.()()()12ln 1ln 1lnln 1011x g x x x x x '+⎛⎫=+--==--> ⎪--⎝⎭对()0,1x ∀∈恒成立.所以函数()g x 在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增（2）（证法一）要证明()()1111211nnn n n +-+->，需证明()()11111111111n nnnn n nn+-+-+⋅->⋅即证明()()1111111111ln 0n n n n n n n n +-+-⎡⎤+-⎢⎥⋅>⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即11111ln 11ln 10n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（1）可知即证10g n ⎛⎫>⎪⎝⎭.∵()10,1n ∈且()g x 在()0,1单调递增，∴()100g g n ⎛⎫>= ⎪⎝⎭所以()()1111211nnn n n +-+->对*n N ∈，1n >成立.（证法二）要证明()()1111211nnn n n +-+->即证明()()111ln 11ln 12ln n n n n n ⎛⎫⎛⎫+++--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证()()()()1ln 11ln 12ln n n n n n n +++-->，即证()()()()1ln 1ln ln 1ln 1n n n n n n n n ++->---设函数()()()1ln 1ln g x x x x x=++-()()ln 1ln 0g x x x =+->'，故函数()g x 在()0,+∞上单调递增又1n n >-，∴()()1g n g n >-，故原不等式成立.。
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。
$(-4,-3)$B。
$[-4,-3]$C。
$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。
$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。
$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。
$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。
$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。
$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。
$\frac{2}{3}$B。
$\frac{1}{5}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。
2018-2019学年河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷(理科)
2018-2019学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）设集合A={x|log2x＜0}，B={x|2x+1＞1}，则A∩B=（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x＞0}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）若实数x，y满足+y=2+i（i为虚数单位），则x+yi在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知直线l：x+y+m=0与圆C：x2+y2﹣4x+2y+1=0相交于A，B两点，若△ABC为等腰直角三角形，则m=（）A．1B．2C．﹣5D．1或﹣3 4．（5分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知0＜θ＜，则双曲线与C2：﹣=1的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等6．（5分）某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16D．327．（5分）已知cos（α+）﹣sinα=，则sin（α﹣）的值是（）A．﹣B．C．﹣D．8．（5分）若实数x，y满足，且z=y﹣mx（m＜﹣1）的最大值为7，则m的值是（）A．﹣2B．﹣5C．﹣6D．﹣89．（5分）已知a=20.9，b=50.4，，则（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．a＞b＞c 10．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+θ），其中ω＞0，，f'（x1）=f'（x2）=0（x1≠x2），，，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）A．B．C．D．11．（5分）设椭圆的右顶点为A，右焦点为F，B为该椭圆在第二象限上的点，直线BO交椭圆于C（O为坐标原点）．若M为线段AC 的中点，且，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，若方程恰有三个实数根，则实数m的取值范围是（）A．（1，3]B．[1，3]C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知平面向量满足，，且，则夹角的余弦值为．14．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a3﹣a2=1，则a4+3a2的最小值为．15．（5分）在直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，∠ACB=90°，AC=2，，P是BC1上一动点，则A1P+PC的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，对任意的p∈（0，1），q∈（0，1）当p≠q时，＞1，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程．17．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}首项为1，且a2，a3，a6成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n是数列{a n}的前n项和，是否存在n∈N*，使得S n+9n+80＜0成立？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，B=2C，D是BC 上的点，AD平分∠BAC，△ABD的面积与△ACD的面积的比为2：3．（Ⅰ）求cosC；（Ⅱ）若，求DC的长．19．（12分）面PAC与面ABC互相垂直，已知点E，F分别为边BA，BC的中点，PA=PC=5，AB=6．（Ⅰ）求证：AF⊥PE；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，C上一点P的纵坐标为3，且|PF|=4，过M（m，0）作抛物线C的切线MA（斜率不为0），切点为A．抛物线C的准线l与该切线交于点B．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若△MFB的外接圆半径为1，求切线MA的方程．21．（12分）设函数f（x）=（x+1）ln2（x+1）+bx+a，曲线y=f（x）在点（0，f （0））处的切线为y=x+1．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）若g（x）=x2+x+1，证明：当x∈（0，+∞）时，f（x）＜g（x）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）点P是曲线C1：（x﹣2）2+y2=4上的动点，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹方程为曲线C2．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线θ=与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M（2，0），求△MAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x+3m|（m＞0）．（Ⅰ）当m=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）对于任意实数x，t，不等式f（x）＜|2+t|+|t﹣1|恒成立，求m的取值范围．2018-2019学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）设集合A={x|log2x＜0}，B={x|2x+1＞1}，则A∩B=（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x＞0}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|0＜x＜1}【解答】解：∵集合A={x|log2x＜0}={x|0＜x＜1}，B={x|2x+1＞1}={x|x＞﹣1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}．故选：D．2．（5分）若实数x，y满足+y=2+i（i为虚数单位），则x+yi在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵+y=2+i（i为虚数单位），∴x+y+yi=（1+i）（2+i）=1+3i，∴，解得y=3，x=﹣2．则x+yi在复平面内对应的点（﹣2，3）位于第二象限．故选：B．3．（5分）已知直线l：x+y+m=0与圆C：x2+y2﹣4x+2y+1=0相交于A，B两点，若△ABC为等腰直角三角形，则m=（）A．1B．2C．﹣5D．1或﹣3【解答】解：△ABC为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径的．圆C的标准方程是（x﹣2）2+（y+1）2=4，圆心到直线l的距离d=，依题意得=，解得m=1或﹣3．故选：D．4．（5分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）已知0＜θ＜，则双曲线与C2：﹣=1的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【解答】解：双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率，双曲线的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率，故它们的离心率相同．故选：D．6．（5分）某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16D．32【解答】解：回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，等于，故选：A．7．（5分）已知cos（α+）﹣sinα=，则sin（α﹣）的值是（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵cos（α+）﹣sinα=，⇒cosα﹣sinα﹣sinα=，⇒cosα﹣sinα=．∴sin（α﹣）=sinα﹣cosα=﹣（cosα﹣sinα）=﹣．故选：C．8．（5分）若实数x，y满足，且z=y﹣mx（m＜﹣1）的最大值为7，则m的值是（）A．﹣2B．﹣5C．﹣6D．﹣8【解答】解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，解得A（1，2），化目标函数z=y﹣mx（m＜﹣1）为y=mx+z，由图可知，当直线y=mx+z过A（1，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2﹣m=7，即m=﹣5．故选：B．9．（5分）已知a=20.9，b=50.4，，则（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．a＞b＞c【解答】解：1＜a=20.9==，b=50.4==，∴b＞a＞1＜lne=1，∴b＞a＞c．故选：A．10．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+θ），其中ω＞0，，f'（x1）=f'（x2）=0（x1≠x2），，，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），f'（x1）=f'（x2）=0，|x2﹣x1|min=，∴•T==，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+θ）．又f（x）=f（﹣x），∴f（x）的图象的对称轴为x=，∴2•+θ=kπ+，k∈Z，又，∴θ=，f（x）=sin（2x+）．将f（x）的图象向左平移个单位得G（x）=sin（2x++）=cos2x 的图象，令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，则G（x）=cos2x 的单调递减区间是[kπ，kπ+]，故选：B．11．（5分）设椭圆的右顶点为A，右焦点为F，B为该椭圆在第二象限上的点，直线BO交椭圆于C（O为坐标原点）．若M为线段AC 的中点，且，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接OM，∵椭圆椭圆的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，直线BF平分线段AC于M，∴OM为△ABC的中位线，∴△OFM∽△AFB，且OF：FA=1：2，∴c：（a﹣c）=1：2，解得椭圆E的离心率e==故选：C．12．（5分）已知函数，若方程恰有三个实数根，则实数m的取值范围是（）A．（1，3]B．[1，3]C．D．【解答】解：令f（t）=2得t=﹣或t=（m＜0），∵f（f（x））=2，∴f（x）=﹣或f（x）=（m＜0），（1）当m=0时，f（x）=，f（f（x））=2只有一解，不符合题意；（2）当m＞0时，f（x）=，由2＜3，可得f（f（x））=2只有一解，不符合题意；（3）当m＜0时，做出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f（x）=﹣有1解，∵f（f（x））=2有3解，∴f（x）=（m＜0）有2解，∴1＜≤3，解得2﹣3＜m≤．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知平面向量满足，，且，则夹角的余弦值为﹣．【解答】解：∵，，∴=8，∵，∴﹣﹣6=3，∴=﹣1，则夹角的余弦值cosθ===﹣，故答案为：﹣．14．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a3﹣a2=1，则a4+3a2的最小值为6．【解答】解：等比数列{a n}的各项均为正数，且a3﹣a2=1，∴q≠1，∴a2q﹣a2=1，∴＞0，∴q＞1，则a4+3a2===（q﹣1）+=6，即最小值为6．故答案为：615．（5分）在直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，∠ACB=90°，AC=2，，P是BC1上一动点，则A1P+PC的最小值为．【解答】解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，在BC1上取一点与A1C构成三角形，∵三角形两边和大于第三边，∴A1P+PC的最小值是A1C的连线．可求解．作展开图：由∠ACB=90°，AC=2，BC=CC1=，得AB==，又AA1=CC1=，∴A1B==，BC1==2，A1C1=AC=2，∴∠A1BC1=45°，∠CBC1=45°，∴∠A1BC=90°，由余弦定理A1C===．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，对任意的p∈（0，1），q∈（0，1）当p≠q时，＞1，则实数a的取值范围是[15，+∞）．【解答】解：∵的几何意义为：表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，∵实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．不等式＞1恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．由函数的定义域知，x＞﹣1，∴f′（x）=﹣2x＞1 在（1，2）内恒成立．即a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．由于二次函数y=2x2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，故x=2时，y=2x2+3x+1在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15∴a∈[15，+∞），故答案为：[15，+∞）．三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程．17．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}首项为1，且a2，a3，a6成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n是数列{a n}的前n项和，是否存在n∈N*，使得S n+9n+80＜0成立？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）公差d不为0的等差数列{a n}首项为1，且a2，a3，a6成等比数列，可得a32=a2a6，即（1+2d）2=（1+d）（1+5d），解得d=﹣2（0舍去），则a n=1﹣2（n﹣1）=3﹣2n；（Ⅱ）S n==2n﹣n2，假设存在n∈N*，使得S n+9n+80＜0成立，可得2n﹣n2+9n+80＜0，即n2﹣11n﹣80＞0，解得n＞16或n＜﹣15（舍去），即存在n∈N*，使得S n+9n+80＜0成立，且n的最小值为17．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，B=2C，D是BC 上的点，AD平分∠BAC，△ABD的面积与△ACD的面积的比为2：3．（Ⅰ）求cosC；（Ⅱ）若，求DC的长．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴==，由正弦定理可得：，∵B=2C，∴，即2cosC=，∴cosC=…6分（Ⅱ）∵b=，即AC=，又∵cosB=cos2C=2cos2C﹣1=，∴sinB=，∵sinC=，∴cosA=﹣cos（B+C）=sinBsinC﹣cosBcosC=…9分又∵=，∴AB=AC=，在△ABC中，由余弦定理可得BC==，…10分又∵==，∴DC=BC=…12分19．（12分）面PAC与面ABC互相垂直，已知点E，F分别为边BA，BC的中点，PA=PC=5，AB=6．（Ⅰ）求证：AF⊥PE；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点O，连结PO，EO，∵E是AB的中点，∴EO∥BC，∵等边三角形中，AF⊥BC，∴AF⊥OE，∵面PAC⊥面ABC，等腰三角形中PO⊥AC，且面PAC∩面ABC=AC，∴PO⊥面ABC，又AF⊂平面POE，∴PE⊂平面POE，∴AF⊥PE．解：（Ⅱ）以O为原点，OA、OB、OP所成直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（3，0，0），P（0，0，4），C（﹣3，0，0），=（0，3，0）是平面PAC的一个法向量，设平面PBC的一个法向量=（x，y，z），又=（3，3，0），=（3，0，4），则，取x=1，得=（1，﹣，﹣），∴cos＜，＞==﹣．结合图形得二面角A﹣PC﹣B的平面角为锐角，∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，C上一点P的纵坐标为3，且|PF|=4，过M（m，0）作抛物线C的切线MA（斜率不为0），切点为A．抛物线C的准线l与该切线交于点B．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若△MFB的外接圆半径为1，求切线MA的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵|PF|=y P+，∴4=3+，解得p=2，∴抛物线方程为x2=4y．（Ⅱ）设切线MA的方程为y=k（x﹣m），k≠0，联立方程，消y可得x2﹣4kx+4km=0，由题意可得△=16k2﹣16km=0，即m=k，又EM的中垂线方程为y﹣=m（x﹣），BM的中垂线方程为y+=﹣（x﹣），联立上面两式解得x=，y=0，∴△FMB的外接圆的圆心为（，0），∴|m﹣|=1，解得m=±1，∴切线MA的方程为x+y+1=0或x﹣y﹣1=021．（12分）设函数f（x）=（x+1）ln2（x+1）+bx+a，曲线y=f（x）在点（0，f （0））处的切线为y=x+1．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）若g（x）=x2+x+1，证明：当x∈（0，+∞）时，f（x）＜g（x）．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x+1）ln2（x+1）+bx+a，∴函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=ln2（1+x）+2ln（1+x）+b，f′（0）=b，由题意得f（0）=1，f′（0）=1，∴a=1，b=1．证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=（x+1）ln2（x+1）+x+1，令h（x）=f（x）﹣g（x）=（x+1）ln2（x+1）﹣x2，h′（x）=ln2（x+1）+2ln（x+1）﹣2x，令φ（x）=ln2（x+1）+2ln（x+1）﹣2x，则φ′（x）=+﹣2=[ln（x+1）﹣x]，令F（x）=ln（x+1）﹣x，则F′（x）==﹣＜0，∴F（x）=ln（x+1）﹣x单调递减，∴F（x）＜F（0）=0，∴φ′（x）=[ln（x+1）﹣x]＜0，∴φ（x）在（0，+∞）上单调递减，∴φ（x）＜φ（0）=0，即h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，h（x）＜h（0）=0，∴f（x）＜g（x）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）点P是曲线C1：（x﹣2）2+y2=4上的动点，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹方程为曲线C2．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线θ=与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M（2，0），求△MAB的面积．【解答】解：（1）曲线C1：（x﹣2）2+y2=4上，把互化公式代入可得：曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．设Q（ρ，θ），则，则有．所以，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（2）M到射线的距离为，，则．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x+3m|（m＞0）．（Ⅰ）当m=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）对于任意实数x，t，不等式f（x）＜|2+t|+|t﹣1|恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），当m=1时，由或x≤﹣3，得到，∴不等式f（x）≥1的解集为；（Ⅱ）不等式f（x）＜|2+t|+|t﹣1|对任意的实数t，x恒成立，等价于对任意的实数f（x）＜[|2+t|+|t﹣1|]min恒成立，即[f（x）]max＜[|2+t|+|t﹣1|]min，∵f（x）=|x﹣m|﹣|x+3m|≤|（x﹣m）﹣（x+3m）|=4m，|2+t|+|t﹣1|≥|（2+t）﹣（t﹣1）|=3，∴4m＜3又m＞0，所以．。
2017-2018学年河南省洛阳市高二上学期期中数学试题(解析版)
2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|x＞﹣4或x＞2}D．{x|x＜﹣4或x ＞﹣2}2．（5分）△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c4．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则a2=（）A．12 B．18 C．24 D．365．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则的最小值是（）A．25 B．24 C．22 D．166．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（）n mile．A．8 B．4 C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，若a k是a6与a k+6等比中项，则k=（）A．5 B．6 C．9 D．368．（5分）若函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＞0，a8+a9＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．1811．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1﹣a n=a n2，设T m=，若T m＜2018，则正整数m的最大值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B.{x|-2＜x＜3}C.{x|x＞13．（5分）不等式组表示的平面区域内的整点坐标是．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2且sinA+cosA=2，则角C的大小为．15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD的面积为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=l，S n为其前n项和，当n≥2时，2a n+S n2=a n S n成立，则S10=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．（1）求B；（2）若，，求a，c．18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0．（1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．19．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和S n=n2，求数列的前n项和T n．20．（12分）某市园林局将一块三角形地块ABC的一个角AMN建设为小游园，已知A=120°，AB，AC的长度均大于400米，现要在边界AM，AN处建设装饰墙，沿MN建设宽1.5米的健康步道．（1）若装饰墙AM，AN的总长度为400米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块AMN的面积最大？（2）若AM段装饰墙墙髙1米，AN段装饰墙墙髙1.5米，AM段装饰墙造价为每平方米150元，AN段装饰墙造价为每平方米100元，建造装饰墙用了90000元．若建设健康步道每100米需5000元，AM，AN的长度分别为多少时，所用费用最少？21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，求2b﹣c的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．（1）令b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）是否存在n∈N*，使得不等式成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|x＞﹣4或x＞2}D．{x|x＜﹣4或x ＞﹣2}【分析】解不等式得出集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}={x|（x+4）（x﹣2）＞0}={x|x＜﹣4或x＞2}，则A∪B={x|x＜﹣4或x＞﹣2}．故选：D．【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．2．（5分）△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【分析】由，利用正弦定理可得tanA=tanB=tanC，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：=，又，∴tanA=tanB=tanC，又A，B，C∈（0，π），∴A=B=C=，则△ABC是等边三角形．故选：D．【点评】本题考查了正弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c【分析】对于A，根据不等式的性质即可判断，举反例即可判断B，C，D【解答】解：A、∵a﹣b＞0，c2＞0，∴＞0B、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项不一定成立，C、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立；D、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立；故选A【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型．4．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则a2=（）A．12 B．18 C．24 D．36【分析】先求出公比q，即可求出答案．【解答】解：设公比为q，由a1=6，a1+a2+a3=78，可得6+6q+6q2=78，解得q=3或q=﹣4（舍去），∴a2=6q=18，故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．5．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则的最小值是（）A．25 B．24 C．22 D．16【分析】直接利用函数的关系式及均值不等式求出函数的最小值．【解答】解：正实数a，b满足2a+3b=1，则=（2a+3b）（）=+9≥13+12=25，故的最小值为25．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，均值不等式的应用．6．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（）n mile．A．8 B．4 C．D．【分析】作出示意图，根据等腰三角形锐角三角函数的定义即可求出继续航行的路程．【解答】解：设海岛位置为A，海伦开始位置为B，航行8n mile后到达C处，航行到D处时，海岛在正北方向，由题意可知BC=8，∠ABC=15°，∠BCA=150°，∠ADC=90°，∠ACD=30°，∴∠BAC=15°，∴AC=BC=8，∴CD=AC•cos∠ACD=4．故选C．【点评】本题考查了解三角形的应用，属于基础题．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，若a k是a6与a k+6等比中项，则k=（）A．5 B．6 C．9 D．36【分析】运用等差数列的通项公式，以及等比数列的中项的性质，化简整理解方程即可得到k的值．【解答】解：等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，可得a1=a2﹣d=﹣2d，则a n=a1+（n﹣1）d=（n﹣3）d，若a k是a6与a k+6的等比中项，即有a k2=a6a k+6，即为（k﹣3）2d2=3d•（k+3）d，由d不为0，可得k2﹣9k=0，解得k=9（0舍去）．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于基础题．8．（5分）若函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【分析】要使函数有意义，则2﹣1≥0，解得即可．【解答】解：要使函数有意义，则2﹣1≥0，即x2+ax+1≥0，∴△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故选：D【点评】本题考查了函数的定义域和不等式的解法，属于基础题．9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用三角形面积公式求出ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值．【解答】解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＞0，a8+a9＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．18【分析】由于S15==15a8＞0，a8+a9＜0，可得a8＞0，a9＜0，进而得出．【解答】解：∵S15==15a8＞0，a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴S16==8（a8+a9）＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为16．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．【分析】由约束条件作出可行域，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．结合直线与圆的位置关系求得答案．【解答】解：∵不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，∴圆x2+y2=r2的面积为4π，则r=2．由约束条件作出可行域如图，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．设过P的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x+3），即kx﹣y+3k+2=0．由=2，解得k=0或k=﹣．∴z=的最小值为1﹣=﹣．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1﹣a n=a n2，设T m=，若T m＜2018，则正整数m的最大值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016=a n2+a n=a n（a n+1）≥6，推导出=，从而【分析】a n+1，进而T m=m﹣（﹣）＜m﹣，由此能求出正整数m的最大值．【解答】解：由a n﹣a n=a n2，得a n+1=a n2+a n=a n（a n+1）≥6，+1∴=，∴=﹣，∴++…+=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣∈（0，），∵，∴T m==m﹣（﹣）=m﹣+＜m﹣+=m﹣∵T m＜2018，∴m﹣＜2018，∴m＜2018+∴正整数m的最大值为2018，故选：B【点评】本题考查了数列递推关系、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B.{x|-2＜x＜3}C.{x|x＞13．（5分）不等式组表示的平面区域内的整点坐标是（﹣1，1）．【分析】先根据不等式组画出可行域，再验证哪些当横坐标、纵坐标为整数的点是否在可行域内．【解答】解：根据不等式组画出可行域如图：由图象知，可行域内的点的横坐标为整数时x=﹣1，纵坐标可能为﹣1或﹣2即可行域中的整点可能有（﹣1，1）、（﹣1，2），经验证点（﹣1，1）满足不等式组，（﹣1，2）不满足不等式组，∴可行域中的整点为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1），【点评】本题考查一元二次不等式表示的区域，要会画可行域，同时要注意边界直线是否能够取到，还要会判断点是否在可行域内（点的坐标满足不等式组时，点在可行域内）．属简单题．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2且sinA+cosA=2，则角C的大小为．【分析】利用三角恒等变换求出A，再利用正弦定理得出C．【解答】解：∵sinA+cosA=2，即2sin（A+）=2，∵0＜A＜π，∴A+=，即A=，由正弦定理得：，即，∴sinC=，∴C=或C=（舍）．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理，属于基础题．15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD 的面积为 6．【分析】利用余弦定理可求BD 2=5﹣4cosA=25+24cosA ，解得cosA=，结合范围0＜A ＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵四边形ABCD 圆内接四边形， ∴∠A +∠C=π，∵连接BD ，由余弦定理可得BD 2=AB 2+AD 2﹣2AB•AD•cosA=36+25﹣2×6×5cosA=61﹣60cosA ， 且BD 2=CB 2+CD 2﹣2CB•CD•cos （π﹣A ） =9+16+2×3×4cosA=25+24cosA ， ∴61﹣60cosA=25+24cosA ， ∴cosA= 又0＜A ＜π， ∴sinA=．∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △CBD =AB•AD•sinA +CD•CB•sin （π﹣A ）=×6×5×+×3×4×=6，故答案为：6【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=l，S n为其前n项和，当n≥2时，2a n+S n2=a n S n成立，则S10=．S n=S n﹣1﹣S n，可得数列{}是首项为1，公差为的等【分析】由已知得S n﹣1差数列，从而能求【解答】解：∵2a n+S n2=a n S n，∴S n2=a n（S n﹣2），a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），∴S n2=（S n﹣S n﹣1）（S n﹣2），S n=S n﹣1﹣S n，…①即S n﹣1•S n≠0，由题意S n﹣1•S n，得﹣=，将①式两边同除以S n﹣1∵a1=l，∴=1∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=1+（n﹣1）=（n+1）∴S n=，∴S10=，故答案为：【点评】本题考查数列的递推公式和前n项和，属于中档题三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．（1）求B；（2）若，，求a，c．【分析】（1）直接利用关系式的恒等变换，转化为余弦定理的形式，进一步求出B的值．（2）利用正弦定理已知条件求出结果．【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．则：，由于：0＜B＜π，解得：B=．（2）由于，所以：a=2c，由及a2+c2﹣b2=﹣ac．得到：a2+c2+ac=7．解得：a=2，c=1．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，正弦定理的应用．18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0．（1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．【分析】（1）当方程有两个负根时，利用判别式△≥0和根与系数的关系求出a的取值范围；（2）根据方程有一个正根和一个负根时，对应二次函数满足f（0）＜0，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0的判别式为△=4（a+2）2﹣4（a2﹣1）=16a+20，当△=16a+20≥0时，设方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0两个实数根为x1、x2，则x1+x2=﹣2（a+2），x1x2=a2﹣1；（1）∵方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0有两个负根，∴，解得，即a＞1或﹣≤a＜﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣，﹣1）∪（1，+∞）；（2）∵方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0有一个正根和一个负根，∴对应二次函数满足f（0）=a2﹣1＜0，解得﹣1＜a＜1，∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．【点评】本题考查了一元二次方程根的分布情况以及判别式和根与系数的关系应用问题，是中档题．19．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和S n=n2，求数列的前n项和T n．【分析】（1）设数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意列方程组求得首项和公比，则数列{a n}的通项公式可求；（2）由{b n}的前n项和求得通项，代入，然后利用错位相减法求其前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，（q＞0），由a1+a2=6，a1a2=a3，得，解得a1=q=2．∴；（2）当n=1时，b1=S1=1，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，∴，∴，，∴=，∴．【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．20．（12分）某市园林局将一块三角形地块ABC的一个角AMN建设为小游园，已知A=120°，AB，AC的长度均大于400米，现要在边界AM，AN处建设装饰墙，沿MN建设宽1.5米的健康步道．（1）若装饰墙AM，AN的总长度为400米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块AMN的面积最大？（2）若AM段装饰墙墙髙1米，AN段装饰墙墙髙1.5米，AM段装饰墙造价为每平方米150元，AN段装饰墙造价为每平方米100元，建造装饰墙用了90000元．若建设健康步道每100米需5000元，AM，AN的长度分别为多少时，所用费用最少？（1）设AM=x米，AN=y米，则x+y=400，△AMN的面积S=xysin120°=xy，【分析】利用基本不等式，可得结论；（2）由题意得，即x+y=600，要使竹篱笆用料最省，只需MN最短，利用余弦定理求出MN，即可得出结论．【解答】解：设AM=x米，AN=y米，则（1）x+y=400，A=120°，△AMN的面积S=xysin120°=xy≤，当且仅当x=y=200时取等号；（2）由题意得150x+1.5y•100=90000，即x+y=600，要使竹篱笆用料最省，只需MN最短，所以MN2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy=（x+y）2+y2﹣xy=360000﹣xy所以x=y=300时，MN有最小值300．∴AM=AN=300米时，所用费用最少为3×5000=15000元．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角形面积的计算，余弦定理的运用，属于中档题．21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，求2b﹣c的取值范围．【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式变形求出sinA的值，即可确定出角A的大小；（2），由（1）可得A，由正弦定理可得，从而利用三角函数恒等变换的应用可得2b﹣c=2sin（B﹣），结合B的范围B，可得2b﹣c 取值范围．【解答】解：（1）由（b2+c2﹣a2）tanA=bc．及余弦定理b2+c2﹣a2=2bccosA，得sinA=∵△ABC为锐角三角形，∴A=．（2）由正弦定理可得，∴2b﹣c=4sinB﹣2sinC=4sinB﹣2sin（）=3sinB﹣cosB=2sin（B﹣）．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴∴，2∴2b﹣c的取值范围为（0，3）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于中档题．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．（1）令b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）是否存在n∈N*，使得不等式成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知可得2a n=a n﹣1+，故2n﹣1•a n=2n﹣2•a n﹣1+1，进而可得数列{b n}为等差数列，并得到{b n}的通项公式；（2）存在n=1，使得不等式成立，且9≤λ≤10，利用对勾函数和反比例函数的图象性质，可得答案．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．∴当n=1时，a1=S1=4﹣a1﹣，即a1=1，=4﹣a n﹣1﹣．当n≥2时，S n﹣1则a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣1﹣a n﹣，即2a n=a n﹣1+，故2n﹣1•a n=2n﹣2•a n﹣1+1，即2n﹣1•a n﹣2n﹣2•a n﹣1=1，∵b n=2n﹣1•a n，即{b n}是以1为首项，以1为公差的等差数列；即b n=n；（2）由（1）知：⇔，根据对勾函数的性质，可得：在n=3时取最小值，由反比例函数的性质，可得：在n=1时取最大值10；当n=1时，9≤λ≤10；当n=2时，6≤λ≤5，不存在满足条件的λ值；当n=3时，≤λ≤，不存在满足条件的λ值；当n≥4时，不存在满足条件的λ值；综上可得：存在n=1，使不等式成立，9≤λ≤10．【点评】本题考查的知识点是数列与不等式及函数的综合应用，难度中档．。
XXX2018年高三下学期期初考试(3月)数学(文)试题
XXX2018年高三下学期期初考试(3月)数学(文)试题2018年全国高三文科数学统一联合考试一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合$A=\{x|x\leq1\}$，且$A\cap B=\{0,1\}$，则集合$B$可能是(。
)A.$\{x|x\geq\}$B.$\{x|x>-1\}$C.$\{-1,0,1\}$D.$\{0,1,2\}$2.已知向量$a=(1,2)$，$b=(-1,0)$，则$2a-b=$(。
)A.$17$B.$17\vec{a}$C.$5$D.$25$3.若复数$z$在复平面内对应的点的坐标是$(1,-2)$，则$z=$ (。
)A.$1-2i$B.$1+2i$C.$2-i$D.$-2-i$4.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边同时相向打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”如果这两只老鼠恰好用了7天把墙打穿，则墙厚为(。
)A.$8255$尺B.$129$尺C.$2079$尺D.$65$尺5.若双曲线$C:-\frac{x^2}{x^2+y^2}=1$的离心率为3，则实数$m=$ (。
)frac{m}{m+1}$A.$1$B.$2$C.$1$或$-2$D.$1$或$2$6.已知命题$p:\exists m\in R$，使得$f(x)=x^2+mx$是偶函数；命题$q:x^2=1\Rightarrow x=1$，现给出下列命题：①$p$；②$q$的逆否命题；③$p\land q$；④$p\lor(\negq)$。
其中真命题的个数为(。
)A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$7.如图，网格纸上小正方形的边长为$1$，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(。
河南省洛阳市第一高级中学2023-2024学年高一上学期期中达标数学测评卷(A卷)
河南省洛阳市第一高级中学2023-2024学年高一上学期期中达标数学测评卷（A卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．2-B ．1C ．2D ．37．若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-ÈD ．[]1,7-8．已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在()0+¥，上单调递增，函数()2x g x a =-，[]11,5x "Î，[]21,5x $Î，使得()()12f x g x ³成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ³B ．23a ³-C ．31a ³D ．7a ³12．函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，则（ ）A ．()()11f x f x --=-+B ．()()4f x f x +=-C ．()f x 为偶函数D ．()3f x -为奇函数四、解答题17．已知非空集合{123}A x a x a =-££+∣，{24}B x x =-££∣，全集U =R ．(1)当2a =时，求()()U U A B U ðð；(2)若x A Î是x B Î成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．已知幂函数()()225222k k f x m m x -=-+（k ÎZ ）是偶函数，且在()0,+¥上单调递增．（1）求函数()f x 的解析式；60x \=时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B 6．B【分析】分两种情况，求出分段函数在各自区间上的取值范围或最大值，最终求出结果.【详解】当2242x x x -£-+-，即[]0,3x Î时，()2f x x =-在[]0,3x Î上单调递增，所以()max ()3321f x f ==-=，当2242x x x ->-+-，即()(),03,x Î-¥+¥U 时，()()224222f x x x x =-+-=--+在(),0x Î-¥上单调递增，在()3,+¥上单调递减，因为()02f =-，()31f =，所以()()31f x f <=；综上：函数()f x 的最大值为1故选：B 7．C【分析】由题设可得()()30x x m --<，讨论,3m 的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m 的范围即可.【详解】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<，当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <£；当3m =时，不等式解集为Æ，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -£<；。
河南省洛阳市第一高级中学2018-2019学年高一5月月考数学试题(pdf版)
高一月考数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 012？B ．i >2 012?C ．i ≤2 014?D ．i >2 014?2．某网站对“双十二”网上购物的情况做了一项调查，收回的有效问卷共50 000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下表：已知在购买“家用电器”这一类中抽取了92份问卷，则在购买“服饰鞋帽”这一类中应抽取的问卷份数为( )A ．198B ．116C ．99D ．943．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是( ) A ．2 010 B ．－1 C.12 D ．24．一个k 进制的三位数与某六进制的二位数等值，则k 不可能是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．75. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( )A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,86．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( )A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5 7．已知流程图如下图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填( )A ．2B ．3C ．5D ．78．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，则n 的值为( )A ．100B ．1 000C ．90D ．9009．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是( )A ．70,25B ．70,50C ．70,1.04D ．65,2510．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.7811．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差12．自平面上一点O 引两条射线OA ，OB ，点P 在OA 上运动，点Q 在OB 上运动且保持PQ 为定值a (点P ，Q 不与点O 重合)，已知∠AOB ＝π3，a ＝7，则3PQ PO QP QO POQO⋅⋅+的取值范围为( )A ．(12，7]B ．(72，7]C ．(－12，7]D ．(－72，7]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．14．在2019年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：y ∧＝－3.2 x ＋a ∧(参考公式：回归方程 y ∧＝b ∧x ＋a ∧ ， a ∧＝y －b x )，则a ＝________.15．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．11sin cos ,1631()()=33().y a x b x c y f x f x f x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭= 16.已知图像上有一最低点，若图像上各点纵坐标不变，横坐标缩为原来的倍，再左移个单位得，又的所有根从小到大依次相差个单位，则的解析式为__________ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．18．(本小题满分12分)高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：(1)根据上面图表，①②③④处的数值分别为________、________、________、________；(2)在所给的坐标系中画出[85,155]的频率分布直方图；(3)根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在[129,155]中的频率．19．(本小题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)标准煤的几组对照数据．(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(注：b ∧＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x i 2－n x －2，a ∧=y －-b ∧x －)20．(本小题满分12分)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b ＝0.(1)若a ∈{0，1，2，3}，b ∈{0，1，2}，求方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率； (2)若a ∈[0，3]，b ∈[0，2]，求方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率．21. (本小题满分12分)已知f (x )＝1＋cos x －sin x 1－sin x －cos x ＋1－cos x －sin x 1－sin x ＋cos x 且x ≠2k π＋π2,k ∈Z,且x ≠k π＋π，k ∈Z .①化简f (x )；②是否存在x ，使得tan x2·f (x )与1＋tan 2x2sin x 相等？若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分12分)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0且A 为常数)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A 的值；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在[0，5π24]上的值域．参考答案：一、CABDC ABABC DD二、13. 0.25；14. 40；15. [)1+∞，；16 ()=2sin 33f x x π+.三、17: 答案 (1)14 (2)1529解析 (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.18. （1）1 0.025 0.1 1(2)略(3)总体平均数约为122.5，总体落在[129,155]上的频率约为0.315. 解析 (1)随机抽出的人数为120.300＝40，由统计知识知④处应填1；③处应填440＝0.1；②处应填1－0.050－0.1－0.275－0.300－0.200－0.050＝0.025；①处应填0.025×40＝1. (2)频率分布直方图如图． (3)利用组中值算得平均数：90×0.025＋100×0.05＋110×0.2＋120×0.3＋130×0.275＋140×0.1＋150×0.05＝122.5；总体落在[129,155]上的频率为610×0.275＋0.1＋0.05＝0.315.19. 解析 (1)散点图，如图所示．(2)由题意，得∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i ＝14x i 2＝32＋42＋52＋62＝86，∴b ∧=66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ∧＝y －－b ∧x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35.故线性回归方程为y ∧＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故能耗减少了90－70.35＝19.65(吨)．20. 解析 用(a ，b)表示a ，b 取相应值时所对应的一个一元二次方程．要使x 2＋2ax ＋b ＝0有实根，则(2a)2－4b ≥0，即a ≥b.(1)(a ，b)的所有可能取值有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中满足a ≥b 的有9个． 故方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率为912＝34.(2)设事件A 表示“一元二次方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根”，则(a ，b)的所有可能取值构成的区域为{(a ，b)|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，这是一个长方形区域，面积为2×3＝6；构成事件A 的区域为{(a ，b)|0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b}，如图中阴影部分，面积为2×3－12×22＝4.故方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率为46＝23.21.【解析】 ①∵1＋cos x －sin x 1－sin x －cos x ＝2cos 2x 2－2sin x 2cos x 22sin 2x 2－2sin x 2cosx 2 ＝2cos x 2(cos x 2－sin x 2)－2sin x 2(cos x 2－sin x 2)＝－cos x2sin x 2， 同理得1－cos x －sin x 1－sin x ＋cos x ＝－sin x2cos x 2.∴f (x )＝－cos x 2sin x 2－sin x 2cos x 2＝－cos 2x 2＋sin 2x 2sin x 2·cos x 2＝－2sin x .且x ≠2k π＋π2，k ∈Z.②若tan x2·f (x )＝1＋tan 2x 2sin x ，则－2tan x 2sin x ＝1＋tan 2x2sin x . ∴2tan x 21＋tan 2x2＝－1，即sin x ＝－1. 此时x ＝2k π＋3π2，(k ∈Z )，即为存在的值．22. 解析 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos2x ＝A (32sin2x ＋12cos2x )＝A sin(2x ＋π6)．因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)知f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到 y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π3)的图像；再将得到图像上的各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图像． 因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π6]． 故g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．。
2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷(文科)
2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：｛本大题共12小题.每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的)1．（5分)已知集合A={x｜2x﹣1＜1}，B=｛y|y=}，则A∩B=（）A．[﹣1,0)B．[﹣1，1）C．[0，1］D．[O，1）2．（5分）复数(1+i）3（i是虚数单位）化简的结果是(）A．﹣8B．8C．﹣8i D．8i3．（5分)为了规定学校办学，省电教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查,抽查到班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号，33号，46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是（)A．13B．19C．20D．524．（5分）已知等比数列{a n}，a2=，a5=,则数列｛log2a n}的前10项之和是（）A．45B．﹣35C．55D．﹣555．（5分）若x＞m是x2﹣3x+2＜0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（)A．［1，+∞）B．（﹣∞，2］C．(﹣∞,1]D．[2，+∞）6．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入a=，则输出的k值是（）A．9B．10C．11D．127．（5分）一个几何体的侧视图如图所示，若该几何体的体积为,则它的正视图为（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x)=e ln｜x｜﹣2sinx的图象大致是(）A．B．C．D．9．（5分）若函数f(x）=的最小值为f（0）,则实数a的取值范围（）A．［﹣1，2]B．［﹣1，0］C．[1，2]D．[0，2］10．（5分）已知x,y满足约束条件，目标函数z=2x﹣3y的最大值是2,则实数a=（）A．B．1C．D．411．（5分)在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是()A．4πB．C．6πD．12．(5分）定义在R上的函数f（x)的导函数为f’（x)，f（0)=0若对任意x∈R，都有f（x)＞f’（x）+1,则使得f（x）+e x＜1成立的x的取值范围为(）A．（0，+∞）B．(﹣∞，0)C．(﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共2013．（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为．14．（5分)如图所示,已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AC两边分别交于M，N两点，且=x，=y,则x+2y的最小值为．15．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F,若F关于直线+y=0的对称点A是双曲线C上的点，则双曲线C的离心率为．16．（5分）已知函数f（x）=x﹣(a+1）lnx﹣（a∈R，且a＜1），g（x）=x2+e x ﹣xe x，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意x2∈[﹣2，0］，f（x1）＜g(x2）恒成立,则a的取值范围是．三、解答题：共5小题，总计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）△ABC中，角A，B,C的对边分别为a，b,c，且a，b,c依次成等差数列．（1）若向量=（3，sinB)与=(2,sinC）共线，求cosA的值;（2）若ac=8，求△ABC的面积S的最大值．18．（12分)某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在［70，85）内,记为B等；分数在［60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100］内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），［60，70），［70，80），［80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C,D 的所有数据的茎叶图如图2所示．(1)求图2中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在乙校的样本中，从成绩等级为C,D的学生中随机抽取两名学生进行调研,求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．19．（12分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，,AB=2BC=2，AC⊥FB．（Ⅰ)求证：AC⊥平面FBC;（Ⅱ）求四面体FBCD的体积；（Ⅲ)线段AC上是否存在点M，使EA∥平面FDM?证明你的结论．20．（12分）已知点M，N分别是椭圆的左右顶点,F为其右焦点，|MF｜与｜FN|的等比中项是，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设不过原点O的直线l与该轨迹交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．21．（12分）已知a∈R,函数f（x）=e x﹣ax．（1）若函数f（x）在区间（﹣e，﹣1）上是减函数,求实数a的取值范围；（2）若函数F（x）=f（x）﹣(e x﹣2ax+2lnx+a）在区间（0，)内无零点，求实数a的最大值．［选修4—4：参数方程与极坐标系］22．（10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，),半径r=．（Ⅰ)求圆C的极坐标方程；(Ⅱ)若α∈［0，)，直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点,求弦长|AB|的取值范围．［选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣1｜﹣|x+2|．（1)解不等式f（x)＞0；（2）若∃x0∈R，使得f（x0)+2m2＜4m，求实数m的取值范围．2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：{本大题共12小题。
21 平面向量中最值、范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板含解析
【高考地位】平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法一 利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板:第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步 运用基本不等式求其最值问题; 第三步 得出结论。
例1.已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=，则221a ba b b+++的最小值是___________ 【答案】222例2 如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．3223+ D ．34【答案】C【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．43D ．34【答案】CMNA BGQ考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A（1, 1)，B(4,0），C（2，2）．平面区域D由所有满足AP AB ACλμ=+(1≤≤a，1≤≤b）的点P（x，y)组成的区域．若区域D的面积为8,则a+b的最小值为．【答案】4考点:1、平面向量的线性运算；2、基本不等式． 【变式演练3】平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠===为平行四边形内一点,且22AP =，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ,则2u λ+的最大值为 ． 6【解析】试题分析：对),(R AD AB AP ∈+=μλμλ两边平方可得()()22AP AB AD λμ=+可化为222222APAB AB AD ADλλμμ=+⋅⋅+,据已知条件可得22122λμ=+≥,即λμ≤，又()22212223λλμ=++=+≤，则λ+≤. 考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二 利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步 运用向量的数量积的性质求解； 第三步 得出结论。
2018-2019学年河南省洛阳市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离是（）A．4B．2C．D．2．（5分）命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是（）A．若a，b都不是奇数，则a+b是偶数B．若a+b是偶数，则a，b都是奇数C．若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数D．若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数3．（5分）已知空间向量＝（0，1，﹣1），＝（x，0，﹣1），则“x＝1”是“向量与的夹角是”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S3，S2成等差数列，则{a n}的公比q等于（）A．1B．2C．D．﹣5．（5分）已知双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为（）A．B．9C．18D．166．（5分）已知数列a n＝，令T n＝a1•a2…a n，若T n≥14，则n的最小值为（）A．4B．5C．6D．77．（5分）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（sin2A+sin2C﹣sin2B）•tan B ＝sin A•sin C，则B＝（）A．B．C．或D．或8．（5分）已知点（x，y）满足，目标函数z＝ax+y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围为（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（）D．（）9．（5分）给出如下四个命题：①命题p：∃x0∈R，x02+x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x﹣1≥0；②四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad＝bc；③函数y＝x2+2+的最小值是2；④在△ABC中，a＜b是cos2A＜cos2B的充要条件．其中假命题的个数是（）A．0B．1C．2D．310．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），过左焦点F1的直线切圆x2+y2＝a2于点P，交双曲线C右支于点Q，若＝，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±D．y＝11．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[）B．[]C．[）D．[]二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在等差数列{a n}中，a4+a6+2a9＝16，则S13＝．14．（5分）为了计算不可直接测量的A，B两点间的距离，另选一点C，测得AC＝2，∠BAC ＝75°，∠ACB＝60°，则AB＝．15．（5分）化简：++……++……+＝．16．（5分）已知P是抛物线y2＝4x上一动点，F为焦点，点A在圆（x﹣4）2+（y+1）2＝1上运动，则|P A|+|PF|的最小值为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题p：点（1，1）在不等式x﹣（m2﹣2m+4）y+6＞0表示的平面区域内；命题q：x2﹣mx+1≥0对一切x∈（0，+∞）恒成立，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，点（a n+1，S n）在直线x﹣y﹣1＝0上，且a1＝1．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝，且数列{b n}的前n项和为T n，求T n．19．（12分）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，c＝．（1）若cos B＝﹣，求sin C的值；（2）求角C的取值范围．20．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，斜率为1的一条直线与抛物线交于A，B两点，且线段AB中点的纵坐标为2．（1）求抛物线的方程；（2）在x轴正半轴上是否存在点M（m，0），使得过点M与抛物线有两个交点C，D的任一直线均满足∠CFD为钝角？若存在，求出m的范围，若不存在，请说明理由．21．（12分）四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，P A⊥平面ABCD，E，F分别为线段AB，BC的中点．（1）线段AP上一点M，满足＝，求证：EM∥平面PDF；（2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值．22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），离心率为，F1，F2是椭圆C的左，右焦点，且|F1F2|＝2，点P是直线x＝2上的动点，过点P作圆O：x2+y2＝a2的两条切线，切点分别为M，N，直线MN与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求△F1AB面积的最大值．2018-2019学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：抛物线y＝4x2，即x2＝y的焦点到准线的距离为：p＝．故选：C．2．【解答】解：根据逆否命题的定义可知：命题的逆否命题为：若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数．故选：D．3．【解答】解：空间向量＝（0，1，﹣1），＝（x，0，﹣1），则•＝0+0+1，||＝＝，||＝，∴cos＜，＞＝＝＝cos＝，解得x＝±1，故“x＝1”是“向量与的夹角是”的充分不必要条件，故选：A．4．【解答】解：S1，S3，S2成等差数列，可得2S3＝S1+S2，即为2（a1+a2+a3）＝a1+a1+a2，即有2a1（1+q+q2）＝a1（2+q），化为2q2+q＝0，解得q＝﹣（q＝0舍去），故选：D．5．【解答】解：由题意可得F2（5，0），F1 （﹣5，0），由余弦定理可得100＝PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°＝（PF1﹣PF2）2+PF1•PF2＝64+PF1•PF2，∴PF1•PF2＝36．S△F1PF2＝PF1•PF2sin60°＝×36×＝9．故选：A．6．【解答】解：数列a n＝，令T n＝a1•a2…a n＝＝，由于T n≥14，则：，故：（n+1）（n+2）≥28，当n＝4时5×6＝30≥28，故选：A．7．【解答】解：∵（sin2A+sin2C﹣sin2B）•tan B＝sin A•sin C，∴（sin2A+sin2C﹣sin2B）•sin B＝sin A•sin C•cos B，∴由正弦定理可得：（a2+c2﹣b2）•sin B＝a•c•cos B，∴由余弦定理可得：2a•c•cos B•sin B＝a•c•cos B，可得：2cos B•sin B＝cos B，∴cos B＝0（舍去），或sin B＝，∵B∈（0，π），∴B＝或．故选：C．8．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，可行域为△ABC，由z＝ax+y可得y＝﹣ax+z，直线的斜率k＝﹣a∵k AC＝2，k AB＝﹣1若目标函数z＝ax+y仅在点A（1，0）处取得最小值，则有k AB＜k＜k AC 即﹣1＜﹣a＜2∴﹣2＜a＜1，即实数a的取值范围是（﹣2，1）故选：B．9．【解答】解：①，命题p：∃x0∈R，x02+x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x﹣1≥0，故①正确；②，四个实数a，b，c，d依次成等比数列可得ad＝bc，但ad＝bc＝0，推不到a，b，c，d成等比数列，故②正确；③，函数y＝x2+2+，可令t＝x2+2（t≥2），由y＝t+在t≥2递增，可得函数y的最小值是2，故③错误；④，在△ABC中，a＜b⇔A＜B⇔sin A＜sin B⇔sin2A＜sin2B，即1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B，即cos2A＞cos2B，故④错误．故选：C．10．【解答】解：∵过双曲线C：（a＞0，b＞0），左焦点F引圆x2+y2＝a2的切线，切点为P，∴丨OP丨＝a，设双曲线的右焦点为F′，∵P为线段FQ的中点，∴|QF′|＝2a，|QF|＝2b，由双曲线的定义知：2b﹣2a＝2a，∴b＝2a．∴双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay＝0，即2ax±ay＝0，∴2x±y＝0．故选：B．11．【解答】解：在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），＝（0，﹣1，﹣2），＝（1，﹣1，0），＝（0，0，2），设平面ABB1A1的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，0），设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ，则sinθ＝＝＝，∴cosθ＝＝．∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为．故选：A．12．【解答】解：如图，设椭圆的另一焦点为F1，连接AF1，AF2，BF1，则四边形AF2BF1为矩形，∴AB＝F1F2＝2c，∵AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，∴2c•sin∠ABF2+2c•cos∠ABF2＝2a，得e＝＝．∵∠ABF2∈[]，∴，则∈[]．则椭圆离心率的取值范围为[]．故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：设过程为d，∵在等差数列{a n}中，a4+a6+2a9＝a5﹣d+a5+d+2a9＝2（a5+a9）＝16，∴a5+a9＝8，∴a1+a13＝8，∴前13项和S13＝（a1+a13）＝×8＝52，故答案为：52．14．【解答】解：在△ABC中，由于∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，则：∠ABC＝45°利用正弦定理：，解得：故答案为：15．【解答】解：＝＝＝﹣，则++……++……+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣．故答案为：1﹣．16．【解答】解：圆（x﹣4）2+（y+1）2＝1的圆心为C（4，﹣1），过点C作抛物线y2＝4x准线x＝﹣1的垂线，垂足为N，如图所示：由抛物线的定义可知：|PF|＝|PN|，当P、A、N经过圆C的圆心时，|P A|+|PF|取得最小值，圆心（4，﹣1），半径为1，所以|P A|+|PF|最小值为：4﹣（﹣1）﹣1＝4．故答案为：4．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：命题p真等价于：1﹣（m2﹣2m+4）+6＞0，即﹣1＜m＜3；命题q真等价于：m≤（x+）min＝2；“p∨q”为真，“p∧q”为假等价于p，q一真一假；等价于：或解得2＜m＜3或m≤﹣118．【解答】解：（1）（a n+1，S n）在直线x﹣y﹣1＝0上，可得S n＝a n+1﹣1，n＝1时，a2＝1+S1＝1+1＝2，当n≥2时，S n﹣1＝a n﹣1，相减可得a n＝S n﹣S n﹣1＝a n+1﹣a n，即为a n+1＝2a n，可得a n＝2•2n﹣2＝2n﹣1；（2）b n＝＝＝n•（）n﹣1，前n项和为T n＝1•（）0+2•（）1+…+n•（）n﹣1，T n＝1•（）+2•（）2+…+n•（）n，相减可得T n＝1+（）+（）2+…+（）n﹣1﹣n•（）n＝﹣n•（）n，化简可得T n＝4﹣（n+2）•（）n﹣1．19．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵cos B＝﹣，∴可得：sin B＝＝，∵a＝2，c＝．由余弦定理可得：b＝＝＝3，∴由正弦定理，可得：sin C＝＝＝．（2）∵△ABC中，a＝2，c＝，∴由正弦定理，得，由此可得sin C＝sin A，∵A∈（0，π），可得：0＜sin A≤1，∴sin C∈（0，]，结合函数y＝sin x的图象，可得C∈（0，]∪[，π），又∵a＞c，可得角C是锐角，∴C∈（0，]．20．【解答】解：（1）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则，所以，y1+y2＝4．由于直线AB的斜率为1，则．将点A、B的坐标代入抛物线的方程得，将上述两式相减得，则（y1﹣y2）（y1+y2）＝2p（x1﹣x2），所以，，即，解得p＝2．因此，抛物线的方程为y2＝4x；（2）设直线CD的方程为x＝ty+m，设点C（x3，y3）、D（x4，y4）．将直线CD的方程与抛物线的方程联立，消去x得，y2﹣4ty﹣4m＝0．∵m＞0，△＝16t2+16m＞0恒成立，由韦达定理得y3+y4＝4t，y3y4＝﹣4m．由于∠CFD为钝角，则，且，同理可得．∴＝＝﹣4m（t2+1）+4t2（m﹣1）+（m﹣1）2＝m2﹣6m+1﹣4t2＜0，即不等式m2﹣6m+1＜4t2对任意的实数t∈R恒成立，所以，m2﹣6m+1＜0，解得．由于m＞0，因此，实数m的取值范围为．所以，在x轴正半轴上是否存在点M（m，0），使得过点M与抛物线有两个交点C，D 的任一直线均满足∠CFD为钝角，且实数m的取值范围是．21．【解答】证明：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），设P A＝a，则M（0，0，），P（0，0，a），F（2，1，0），D（0，2，0），E（1，0，0），＝（﹣1，0，），＝（2，1，﹣a），＝（0，2，﹣a），设平面PDF的法向量＝（x，y，z），则，取z＝2，得＝（，a，2），∵＝﹣＝0，EM⊄平面PDF，∴EM∥平面PDF．解：（2）∵PB与平面ABCD所成的角为45°，∴P A＝AB＝2，P（0，0，2），D（0，2，0），F（2，1，0），＝（0，2，﹣2），＝（2，1，0），设平面PDF的法向量为＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（﹣，1，1），平面P AD的法向量＝（1，0，0），设二面角A﹣PD﹣F的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角A﹣PD﹣F的余弦值为．22．【解答】解：（1）由题意可得c＝1，＝，可得a＝，则b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆方程为+y2＝1，（2）设点P（2，t），A（x1，y1）、B（x2，y2），以点P为圆心，MP的长为半径的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣t）2＝2+t2，①，由已知圆的方程为x2+y2＝2，∴由①﹣②可得直线MN的方程为：2x+2t﹣2＝0，∴直线MN恒过点（1，0），此点为椭圆的右焦点，由，可得（t2+8）y2﹣4ty﹣4＝0，∴△＝（﹣4t）2﹣4×（﹣4）×（t2+8）＞0，∴y1+y2＝，y1y2＝，∴△F1AB的面积S＝|F1F2|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝＝＝4•＝≤4×＝，当且仅当＝，即t＝0时等号成立，故△F1AB面积的最大值．。
2023-2024学年河南省顶级名校联盟高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省顶级名校联盟高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |a 2﹣a ＜x ＜2，x ∈Z }中恰有两个元素，则a 的取值范围为（ ） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．（1，2）D ．[1，2]2．在复平面内，复数z =i+2i对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．里氏震级（M ）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A ）和观测点所在地规模标准地震所应有的振幅（A 0）的常用对数演算而来的，其计算公式为M =lgAA 0.2023年8月6日2时33分，山东省德州市平原县发生5.5级地震，29分钟后又发生3.0级地震，用A 5.5和A 3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则A 5.5A 3.0≈（ ）（参考数据：√10≈3.16）A ．25B ．31.6C ．250D ．3164．已知函数f （x ）＝a sin x +cos （x +π6）的图象关于直线x =π3对称，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣25．某班男生人数是女生人数的两倍，某次数学考试中男生成绩（单位：分）的平均数和方差分别为120和20，女生成绩的平均数和方差分别为123和17，则全班学生数学成绩的方差为（ ） A ．21B ．19C ．18D ．3726．玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，其余棱用另4种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，同一面内再无同色的棱，则染法总数为（ ） A ．216B ．360C ．720D ．10807．已知ω是正整数，函数f （x ）＝sin （ωx +ω）在（0，ωπ）内恰好有4个零点，其导函数为f ′（x ），则f （x ）+f ′（x ）的最大值为（ ） A ．2B ．√5C ．3D ．√108．已知过点P （﹣2，2）的直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且PA →=λPB →，点Q 满足QA →=−λQB →，点C （4，0），则|QC |的最小值为（ ） A ．2√2B ．2C ．√2D ．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，且S 7＞S 6＞S 8，则下列结论中正确的是（ ） A ．a 5+a 10＞0 B ．d ＜0C ．S 14＜0D ．当n ＝7时，S n 取得最大值10．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，点A 在椭圆上，且AF 1⊥F 1F 2，直线AF 2与椭圆的另一个交点为B ，且AF 2→=3F 2B →，则下列结论中正确的是（ ） A ．椭圆的长轴长是短轴长的√6倍 B ．线段AF 1的长度为23aC ．椭圆的离心率为√33D ．△BF 1F 2的周长为6+√33a 11．已知函数f （x ）=x 2−x+1e x，则（ ）A ．f （x ）的极大值为3e 2B ．存在无数个实数m ，使关于x 的方程f （x ）＝m 有且只有两个实根C ．f （x ）的图象上有且仅有两点到直线y ＝1的距离为1D ．若关于x 的不等式f （x ）≥ax 的解集内存在正整数，则a 存在最大值，且最大值为1e12．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的棱长均为2，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点，动点Q 满足QM →•QN →=0，则下列结论中正确的是（ ） A ．动点Q 的轨迹是半径为√22的球面B ．点P 在动点Q 的轨迹外部C ．动点Q 的轨迹被平面ABCD 截得的是半径为√104的圆D ．动点Q 的轨迹与平面P AB 有交点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出对任意x ∈R ，都有sin （x +θ）＝sin x sin θ+cos x cos θ成立的—个θ的值 ．14．过点P 向圆C 1：x 2+y 2﹣2x ﹣3y +3＝0作切线，切点为A ，过点P 向圆C 2：x 2+y 2+3x ﹣2y +2＝0作切线，切点为B ，若|P A |＝|PB |，则动点P 的轨迹方程为 ．15．已知在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝1，PB =3√2，P A ⊥AB ，AD ⊥平面P AB ．当四棱锥P ﹣ABCD 的体积最大时，cos ∠CPD ＝ ．16．已知函数f （x ）＝x 2−12lnx +ax 在区间（1，+∞）上没有零点，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，√3b tan B ＝a cos C +c cos A ． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）过点A 作AD ∥BC ，连接CD ，使A ，B ，C ，D 四点组成四边形ABCD ，若AB =√72，AC ＝1，CD =√22，求AD 的长．18．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝CA ＝15，PB ＝CB ＝13，AB ＝14，PC =12√2，PO ⊥AB 于点O ．（Ⅰ）证明：CO ⊥平面P AB ；（Ⅱ）若点Q 满足PQ →=13QC →，求二面角P ﹣AB ﹣Q 的余弦值．19．（12分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的倾斜角为30°，其中一个焦点到E 上的点的最小距离为2−√3． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）已知直线l ：y ＝x ﹣2与双曲线E 交于A ，B 两点，过A ，B 作直线l 的垂线分别交E 于另一点D ，C ，求四边形ABCD 的面积．20．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 1+S 2+…+S n ＝4a n ﹣2n ﹣4． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）记b n ＝log 2a n ，求证：1b 12+1b 22+⋯+1b n2＜53．21．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会的召开推动了全民健身的热潮．某小区甲、乙、丙、丁四位乒乓球爱好者准备开展一次乒乓球比赛．每两人进行一场比赛，胜一场得1分，负一场得0分，最终累计得分最高者获得冠军，若多人积分相同，则名次并列．已知甲胜乙、丙、丁的概率均为23，乙胜丙、丁的概率均为35，丙胜丁的概率为12，且各场比赛的结果相互独立． （Ⅰ）设比赛结束后，甲的积分为X ，求X 的分布列和期望；（Ⅱ）在甲获得冠军的条件下，求乙也获得冠军的概率． 22．（12分）已知函数f （x ）＝e x sin x ﹣aln （x +1）（a ∈R ）． （Ⅰ）若x ＝0为f （x ）的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若f （x ）在区间（﹣1，0），（π4，π）上各有一个零点，求a 的取值范围．参考数据：√22e π4＞1．2023-2024学年河南省顶级名校联盟高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |a 2﹣a ＜x ＜2，x ∈Z }中恰有两个元素，则a 的取值范围为（ ） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．（1，2）D ．[1，2]解：由集合A ＝{x |a 2﹣a ＜x ＜2，x ∈Z }中恰有两个元素，得﹣1≤a 2﹣a ＜0，解得a ∈（0，1）． 故选：B ．2．在复平面内，复数z =i+2i对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：z =i+2i =(i+2)⋅(−i)i⋅(−i)=−i 2−2i1=1−2i ，故复数对应的点坐标为（1，﹣2），所以位于第四象限．故选：D ．3．里氏震级（M ）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A ）和观测点所在地规模标准地震所应有的振幅（A 0）的常用对数演算而来的，其计算公式为M =lgAA 0.2023年8月6日2时33分，山东省德州市平原县发生5.5级地震，29分钟后又发生3.0级地震，用A 5.5和A 3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则A 5.5A 3.0≈（ ）（参考数据：√10≈3.16）A ．25B ．31.6C ．250D ．316解：由题意得，5.5=lg A 5.5A 0，3.0=lg A3.0A 0，从而A 5.5A 0=105.5，A 3.0A 0=103.0， 因此A 5.5A 3.0=105.5103.0=102.5=102×√10≈100×3.16=316．故选：D ．4．已知函数f （x ）＝a sin x +cos （x +π6）的图象关于直线x =π3对称，则实数a 的值为（ ）A．1B．2C．﹣1D．﹣2解：函数f（x）＝a sin x+cos（x+π6）＝a sin x+√32cos x−12sinx＝（a−12）sin x+√32cos x=√(a−12)2+34sin（x+θ），其中tanθ=√32a−12=√32a−1，因为函数图象关于直线x=π3对称，则θ+π3=kπ+π2，k∈Z，解得θ=kπ+π6，k∈Z，则tanθ=√32a−1=√33，解得a＝2．故选：B．5．某班男生人数是女生人数的两倍，某次数学考试中男生成绩（单位：分）的平均数和方差分别为120和20，女生成绩的平均数和方差分别为123和17，则全班学生数学成绩的方差为（）A．21B．19C．18D．37 2解：根据题意，设该班有女生m人，则男生有2m人，则全班有3m人，则全班学生数学成绩的平均数2m×120+m×1233m=121，全班学生数学成绩的方差S2=2m3m[20+（120﹣121）2]+m3m[17+（123﹣121）2]＝21．故选：A．6．玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，其余棱用另4种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，同一面内再无同色的棱，则染法总数为（）A．216B．360C．720D．1080解：根据题意，如图：分3步进行分析：①要求侧棱用同一种颜色，则侧棱有5种选色的方法，②对于上底ABCD，有4种颜色可选，而要求4条边的颜色都不相同，则有A44=24种选法，③对于下底A1B1C1D1，每条边与上底和侧棱的颜色不同，有3×3×1×1＝9种选法，则共有5×24×9＝1080种选法． 故选：D ．7．已知ω是正整数，函数f （x ）＝sin （ωx +ω）在（0，ωπ）内恰好有4个零点，其导函数为f ′（x ），则f （x ）+f ′（x ）的最大值为（ ） A ．2B ．√5C ．3D ．√10解：因为f （x ）在（0，ωπ）内恰好有4个零点， 所以3T 2＜ωπ−0≤5T 2，即3πω＜ωπ≤5πω，所以3＜ω2≤5，又ω∈N +，所以ω＝2，所以f （x ）＝sin （2x +2），f ′（x ）＝2cos （2x +2），所以f(x)+f ′(x)=√5sin(2x +2+φ)≤√5，其中tanφ=2(φ∈(0，π2))．故选：B ．8．已知过点P （﹣2，2）的直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且PA →=λPB →，点Q 满足QA →=−λQB →，点C （4，0），则|QC |的最小值为（ ） A ．2√2B ．2C ．√2D ．1解：易知直线l 的斜率存在且不为零，不妨设直线l 的方程为y ＝k （x +2）+2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{y =k(x +2)+2y 2=4x，消去x 并整理得ky 2﹣4y +8k +8＝0， 因为Δ＝16﹣4k （8k +8）＞0，所以2k 2+2k ﹣1＜0， 由韦达定理得y 1+y 2=4k ，y 1y 2=8k+8k，①不妨设Q （x 0，y 0），因为PA →=λPB →，所以y 1﹣2＝λ（y 2﹣2），② 因为QA →=−λQB →，所以y 1﹣y 0＝﹣λ（y 2﹣y 0），③ 联立②③可得（y 0+2）（y 1+y 2）﹣2y 1y 2﹣4y 0＝0，④ 又k =y 0−2x 0+2，⑤ 联立①④⑤，可得x 0﹣y 0﹣2＝0，所以|QC |的最小值即为点C （4，0）到直线x ﹣y ﹣2＝0的距离，则最小距离d =|4−2|√1+(−1)=√2，经检验，其满足2k 2+2k ﹣1＜0，所以|QC |的最小值为√2． 故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，且S 7＞S 6＞S 8，则下列结论中正确的是（ ） A ．a 5+a 10＞0 B ．d ＜0C ．S 14＜0D ．当n ＝7时，S n 取得最大值解：由题意，S 6+a 7＞S 6＞S 6+a 7+a 8，即a 7＞0，a 7+a 8＜0，且a 8＜0， A 项，a 5+a 10＝a 7+a 8＜0，错误； B 项，d ＝a 8﹣a 7＜0，正确； C 项，S 14＜=a 1+a 142×14＝7（a 7+a 8）＜0，正确； D 项，由已知可得，数列单调递减，且在n ＝7时加完所有正项，即当n ＝7时，S n 取得最大值，正确． 故选：BCD ．10．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，点A 在椭圆上，且AF 1⊥F 1F 2，直线AF 2与椭圆的另一个交点为B ，且AF 2→=3F 2B →，则下列结论中正确的是（ ） A ．椭圆的长轴长是短轴长的√6倍 B ．线段AF 1的长度为23aC ．椭圆的离心率为√33D ．△BF 1F 2的周长为6+√33a 解：由AF 1⊥F 1F 2，可设A （﹣c ，b 2a ），B （x ，y ），又F 2（c ，0），AF 2→=3F 2B →，可得2c ＝3（x ﹣c ），−b2a=3y ，解得x =53c ，y =−b 23a ，即B （53c ，−b23a ），将B 的坐标代入椭圆方程，可得25c 29a 2+b 29a 2=25(a 2−b 2)9a 2+b 29a 2=1，化为2a 2＝3b 2，即a =√62b ，故A 错误；|AF 1|=b 2a =23a ，故B 正确；椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a2=√1−23=√33，故C 正确；△BF 1F 2的周长为|BF 1|+|BF 2|+|F 1F 2|＝2a +2c =6+2√33a ，故D 错误． 故选：BC ． 11．已知函数f （x ）=x 2−x+1e x ，则（ ） A ．f （x ）的极大值为3e 2B ．存在无数个实数m ，使关于x 的方程f （x ）＝m 有且只有两个实根C ．f （x ）的图象上有且仅有两点到直线y ＝1的距离为1D ．若关于x 的不等式f （x ）≥ax 的解集内存在正整数，则a 存在最大值，且最大值为1e解：∵f （x ）=x 2−x+1e x， ∴f ′(x)=(2x−1)e x −(x 2−x+1)e x (e x )2=−(x−1)(x−2)e x ， ∴当x ∈（﹣∞，1）∪（2，+∞）时，f ′（x ）＜0；当x ∈（1，2）时，f ′（x ）＞0， ∴f （x ）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减， ∴f （x ）极小值为f （1）=1e ，f （x ）极大值为f （2）=3e2，且f （0）＝1，当x →﹣∞时，f （x ）→+∞；当x →+∞时，f （x ）→0， ∴作出f （x ）的图象如下：对A 选项，∵f （x ）极大值为f （2）=3e 2，∴A 选项正确； 对B 选项，由图可知仅存m =3e2或m =1e ，使关于x 的方程f （x ）＝m 有且只有两个实根，∴B 选项错误；对C 选项，由图可知f （x ）图象上仅有一个在y ＝1上方的点到直线y ＝1的距离为1，∴C 选项错误； 对D 选项，∵f （x ）≥ax 的解即为f （x ）的图象在直线y ＝ax 上方所对应的x 范围，∴要使关于x 的不等式f （x ）≥ax 的解集内存在正整数，则直线y ＝ax 的斜率a 最大为过点（1，1e）时，∴a 的最大值为1e，∴D 选项正确．故选：AD ．12．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的棱长均为2，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点，动点Q 满足QM →•QN →=0，则下列结论中正确的是（ ） A ．动点Q 的轨迹是半径为√22的球面B ．点P 在动点Q 的轨迹外部C ．动点Q 的轨迹被平面ABCD 截得的是半径为√104的圆D ．动点Q 的轨迹与平面P AB 有交点解：设点O 是底面正方形ABCD 的中心，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 中，AO =√22AB =√2，PO =√PA 2−AO 2=√22−(√2)2=√2，连接OM 、ON ，则OM =12PB ＝1，ON =12AB ＝1，△OMN 中，∠MON ＝180°﹣∠P AB ＝120°，可得MN =√OM 2+ON 2−2OM ⋅ONcos120°=√3． ∵QM →•QN →=0，∴QM ⊥QN ，点Q 在以MN 为直径的球面上， 因此动点Q 的轨迹是半径为√32的球面，故A 错误； ∴OM ＝1，OP =√2，∴PM =√3，∴PM ＞OM ，∴点P 在以M 为球心的球面外，故B 正确；∵OM ＝1，OA =√2，∴AM =√3，MA ＞OM ，∴球面与平面ABCD 相交，故C 正确； 由前面的分析，可得点Q 的轨迹被平面ABCD 截得的是圆，且该圆的半径为√104， 故点Q 的轨迹被平面ABCD 截得的圆面和平面P AB 没有公共点，故D 错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出对任意x∈R，都有sin（x+θ）＝sin x sinθ+cos x cosθ成立的—个θ的值：θ=π4（答案不唯一）．解：因为sin（x+θ）＝sin x cosθ+cos x sinθ，又sin（x+θ）＝sin x sinθ+cos x cosθ，故只要sinθ＝cosθ，即tanθ＝1，故满足条件的一个θ=π4．故答案为：θ=π4（答案不唯一）．14．过点P向圆C1：x2+y2﹣2x﹣3y+3＝0作切线，切点为A，过点P向圆C2：x2+y2+3x﹣2y+2＝0作切线，切点为B，若|P A|＝|PB|，则动点P的轨迹方程为5x+y﹣1＝0．解：设P（x，y），由|P A|＝|PB|及圆的切线长的性质可得：P到相应圆心的距离平方减去对应圆半径的平方相等：即x2+y2﹣2x﹣3y+3＝x2+y2+3x﹣2y+2，化简可得所求曲线方程为5x+y﹣1＝0．故答案为：5x+y﹣1＝0．15．已知在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝1，PB=3√2，P A⊥AB，AD⊥平面P AB．当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，cos∠CPD＝2√3819．解：四棱锥P﹣ABCD的体积为V=13⋅12⋅(AD+BC)⋅AB⋅PA=23⋅AB⋅PA．要使四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值，只需AB•P A取得最大值．由条件可得P A2+AB2＝PB2＝18≥2P A•AB，即P A•AB≤9，当且仅当P A＝AB＝3 时，P A•AB取得最大值9，此时计算可得PC=√19，又PD=3√2CD=√13，所以由余弦定理可得：cos∠CPD=PC2+PD2−CD22⋅PC⋅PD=2√3819．故答案为：2√38 19．16．已知函数f（x）＝x2−12lnx+ax在区间（1，+∞）上没有零点，则实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．解：∵f（x）＝x2−12lnx+ax在区间（1，+∞）上没有零点，且x→+∞时，f（x）→+∞，∴f（x）＝x2−12lnx+ax＞0在区间（1，+∞）上恒成立，∴a＞lnx2x−x在区间（1，+∞）上恒成立，设g（x）=lnx2x−x，x＞1，∴g′(x)=1−lnx2x2−1=1−lnx−2x22x2，又x＞1时，1﹣lnx﹣2x2＜0，∴g′（x）＜0，∴g （x ）在区间（1，+∞）上单调递减，∴g （x ）＜g （1）＝﹣1， 故a ≥﹣1，即实数a 的取值范围为[﹣1，+∞）． 故答案为：[﹣1，+∞）．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，√3b tan B ＝a cos C +c cos A ． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）过点A 作AD ∥BC ，连接CD ，使A ，B ，C ，D 四点组成四边形ABCD ，若AB =√72，AC ＝1，CD =√22，求AD 的长．解：（Ⅰ）由√3b tan B ＝a cos C +c cos A ，所以由正弦定理可得√3sin B tan B ＝sin A cos C +sin C cos A ， 故√3sin B tan B ＝sin （A +C ）， 而sin B ＝sin （A +C ）＞0， 所以tanB =√33，又B ∈（0，π）， 所以B =π6；（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理可得sin ∠ACB =AB ×sinB AC =√74， 因为AD ∥BC ，所以sin ∠DAC =√74，在△ACD 中，因为CD ＜AC ，所以∠DAC 为锐角，所以cos ∠DAC =34，由余弦定理可得cos ∠DAC =AD 2+12−(√22)22AD×1=34，解得AD ＝1或12．18．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝CA ＝15，PB ＝CB ＝13，AB ＝14，PC =12√2，PO ⊥AB 于点O ．（Ⅰ）证明：CO ⊥平面P AB ；（Ⅱ）若点Q 满足PQ →=13QC →，求二面角P ﹣AB ﹣Q 的余弦值．（Ⅰ）证明：因为P A ＝CA ，PB ＝CB ，AB 是公共边，所以△P AB ≌△CAB ， 因为PO ⊥AB ，所以CO ⊥AB ，且PO ＝CO ，设OB ＝x ，则OA ＝14﹣x ，所以152﹣（14﹣x ）2＝132﹣x 2，解得x ＝5， 故OB ＝5，OA ＝9，PO ＝CO ＝12，在△POC 中，因为PO 2+CO 2＝PC 2，所以PO ⊥CO ， 又因为CO ⊥AB ，AB ∩PO ＝O ， 所以CO ⊥平面P AB ；（Ⅱ）解：如图所示，以O 为坐标原点，以OC ，OA ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，则O （0，0，0），A （0，9，0），B （0，﹣5，0），C （12，0，0）， P （0，0，12），AB →=(0，−14，0)，设Q （x 0，y 0，z 0）， 则PQ →=(x 0，y 0，z 0−12)，QC →=(12−x 0，−y 0，−z 0)，因为PQ →=13QC →，所以{x 0=13(12−x 0)y 0=−13y 0z 0−12=−13z 0，解得{x 0=3y 0=0z 0=9，故Q （3，0，9），QA →=(−3，9，−9)，设平面QAB 的法向量为m →=（x 1，y 1，z 1），则{m →⋅AB →=−14y 1=0m →⋅QA →=−3x 1+9y 1−9z 1=0，令x 1＝3，可得m →=（3，0，﹣1），易知平面P AB 的一个法向量为n →=（1，0，0）， 因为cos ＜m →，n →＞=3√3+(−1)2×1=3√1010，所以二面角P ﹣AB ﹣Q 的余弦值为3√1010． 19．（12分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的倾斜角为30°，其中一个焦点到E 上的点的最小距离为2−√3． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）已知直线l ：y ＝x ﹣2与双曲线E 交于A ，B 两点，过A ，B 作直线l 的垂线分别交E 于另一点D ，C ，求四边形ABCD 的面积．解：（Ⅰ）不妨设双曲线的半焦距为c （c ＞0），因为的一条渐近线的倾斜角为30°，所以ba=tan30°，①因为一个焦点到E 上的点的最小距离为2−√3，所以c −a =2−√3，② 又a 2+b 2＝c 2，③联立①②③，解得a =√3，b ＝1， 则E 的方程为x 23−y 2=1；（Ⅱ）联立{x 23−y 2=1y =x −2，消去y 并整理得2x 2﹣12x +15＝0，不妨设A （x 1，x 1﹣2），B （x 2，x 2﹣2）， 由韦达定理得x 1+x 2＝6，x 1x 2=152，不妨设x 1＞x 2， 所以x 1=3+√62，x 2=3−√62，此时|AB|=√1+12|x 1−x 2|=2√3，易知直线AD 的方程为y ＝﹣（x ﹣x 1）+x 1﹣2，联立{y =−(x −x 1)+x 1−2x 23−y 2=1，消去y 并整理得2x 2−12(x 1−1)x +12x 12−24x 1+15=0， 由韦达定理得x D ＝（x 1+x D ）﹣x 1＝5x 1﹣6， 同理x C ＝5x 2﹣6，所以|AD |+|BC |=√2（x D ﹣x 1）+√2（x C ﹣x 2）=√2（4x 1﹣6）+√2（4x 2﹣6）＝4√2（x 1+x 2）﹣12√2=12√2， 故四边形ABCD 的面积S =|AD|+|BC|2×|AB|=12√22×2√3=12√6．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S1+S2+…+S n＝4a n﹣2n﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝log2a n，求证：1b12+1b22+⋯+1b n2＜53．（Ⅰ）解：当n＝1时，S1＝a1＝4a1﹣6，解得a1＝2；当n＝2时，S1+S2＝2a1+a2＝4a2﹣8，解得a2＝4，当n≥2时，由S1+S2+⋯+S n＝4a n﹣2n﹣4，得S1+S2+⋯+S n﹣1＝4a n﹣1﹣2（n﹣1）﹣4，两式相减得S n＝4a n﹣4a n﹣1﹣2，从而S n+1＝4a n+1﹣4a n﹣2，所以S n+1﹣S n＝a n+1＝4a n+1﹣8a n+4a n﹣1，整理得3（a n+1﹣2a n）＝2（a n﹣2a n﹣1）（n≥2），因为a2﹣2a1＝0，所以a n﹣2a n﹣1＝0，即a n＝2a n﹣1（n≥2），所以数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为a n＝2n．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，b n＝log2a n＝log22n＝n，当n＝1时，1b12=1＜53，不等式成立；当n≥2时，1b n2=1n2=44n2＜44n2−1=2（12n−1−12n+1），所以1b12+1b22+⋯+1b n2＜1+2[（13−15）+（15−17）+…+（12n−1−12n+1）]＝1+2（13−12n+1）＜1+23=53，综上，原不等式成立．21．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会的召开推动了全民健身的热潮．某小区甲、乙、丙、丁四位乒乓球爱好者准备开展一次乒乓球比赛．每两人进行一场比赛，胜一场得1分，负一场得0分，最终累计得分最高者获得冠军，若多人积分相同，则名次并列．已知甲胜乙、丙、丁的概率均为23，乙胜丙、丁的概率均为35，丙胜丁的概率为12，且各场比赛的结果相互独立．（Ⅰ）设比赛结束后，甲的积分为X，求X的分布列和期望；（Ⅱ）在甲获得冠军的条件下，求乙也获得冠军的概率．解：（Ⅰ）易知X的所有可能取值为0，1，2，3，此时P(X=0)=(1−23)3=127，P(X=1)=C31⋅23⋅(1−23)2=29，P(X=2)=C32⋅(23)2⋅(1−23)=49，P(X=3)=C33⋅(23)3=827，则X 的分布列为：故E （X ）＝0×127+1×29+2×49+3×827=2； （Ⅱ）记“甲获得冠军”为事件A ，“乙获得冠军”为事件B ，“甲胜乙、丙、丁”分别记为事件 A 1，A 2，A 3，“乙胜丙、丁”分别记为事件B 1，B 2，“丙胜丁”记为事件C ， 此时P(A 1)=P(A 2)=P(A 3)=23，P(B 1)=P(B 2)=35，P(C)=12，所以P （A ）＝P （A 1A 2A 3）+P （A 1A 2A 3）[1﹣P （B 1B 2）] +P （A 1A 2A 3）[1﹣P （B 1C ）]+P （A 1A 2A 3）[1﹣P （B 2C ）]=(23)3+13×(23)2×[1−(35)2]+13×(23)2×(1−25×12)+13×(23)2×(1−25×12)=424675， P （AB ）＝P （A 1A 2A 3）[P （B 1B 2）+P （B 1B 2）]+P （A 1A 2A 3）P （B 1B 2）+P （A 1A 2A 3）P （B 1B 2） =13×(23)2×25×35×2+13×(23)2×(35)2×2=845， 所以在甲获得冠军的条件下，乙也获得冠军的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=1553． 22．（12分）已知函数f （x ）＝e x sin x ﹣aln （x +1）（a ∈R ）． （Ⅰ）若x ＝0为f （x ）的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若f （x ）在区间（﹣1，0），（π4，π）上各有一个零点，求a 的取值范围．参考数据：√22e π4＞1．解：（Ⅰ）已知f （x ）＝e x sin x ﹣aln （x +1）（a ∈R ），函数定义域为（﹣1，+∞）， 可得f ′(x)=e x (sinx +cosx)−a x+1， 因为x ＝0为f （x ）的极值点， 所以f ′（0）＝1﹣a ＝0，解得a ＝1， 当a ＝1时，f ′(x)=e x (sinx +cosx)−1x+1， 不妨设g(x)=e x (sinx +cosx)−1x+1， 可得g ′(x)=2e x cosx +1(x+1)2， 当﹣1＜x ＜1时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，又g（0）＝0，所以当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以x＝0为函数f（x）的极值点，故a＝1；（Ⅱ）若a≤0，当x∈（﹣1，0）时，f（x）＝e x sin x﹣aln（x+1）＜0，所以函数f（x）在（﹣1，0）上无零点，不符合题意；若a＞0，易知f′(x)=e x(sinx+cosx)−ax+1，不妨设ℎ(x)=e x(sinx+cosx)−ax+1，可得ℎ′(x)=2e x cosx+a(x+1)2，当﹣1＜x＜0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，f′（x）单调递增，所以f′（x）＜f′（0）＝1﹣a；若a≥1，此时f′（x）＜f′（0）＝1﹣a≤0，所以函数f（x）在（﹣1，0）上单调递减，则f（x）＞f（0）＝0，所以函数f（x）在区间（﹣1，0）上无零点，不符合题意；若0＜a＜1，当﹣1＜x＜0时，h（0）＝f′（0）＝1﹣a＞0，当x→﹣1时，h（x）→﹣∞，所以存在x1∈（﹣1，0），使得h（x1）＝f′（x1）＝0，当x∈（﹣1，x1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x1，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因为当x→﹣1时，f（x）→+∞，又f（0）＝0，所以f（x1）＜0，则函数f（x）在区间（﹣1，x1）上存在一个零点，当x∈(π4，π)时，不妨设m（x）＝h′（x），可得m′(x)=2e x cosx−2e x sinx−2a(x+1)3=2e x(cosx−sinx)−2a(x+1)3＜0，所以h′（x）在(π4，π)上单调递减，又ℎ′(π4)＞0，ℎ′(π)=−2eπ+a(π+1)2＜−2eπ+1(π+1)2＜0，所以存在x2∈(π4，π)，使得h′（x2）＝0，则当x∈(π4，x2)时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x∈（x2，π）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，因为ℎ(π4)=√2eπ4−a4＞0，ℎ(π)=−eπ−aπ+1＜0，所以存在x3∈（x2，π），使得h（x3）＝0，则当x∈(π4，x3)时，h（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（x3，π）时，h（x）＜0，f（x）单调递减，因为f(π4)=√22eπ4−aln(π4+1)＞√22eπ4−ln(π4+1)＞√22eπ4−1＞0，f（π）＝﹣aln（π+1）＜0，所以存在x4∈（x3，π），使得f（x4）＝0，则函数f（x）在(π4，π)上存在一个零点，综上，满足条件的a的取值范围为（0，1）．。
2023-2024学年山东省淄博市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＜3，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．{0，1，2}2．已知复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．−15B ．−85C ．−15iD ．−85i3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞24．数列{a n }满足a 1=12，a n+1=1+a n1−a n(n ∈N ∗)，则a 2023＝（ ） A ．12B ．3C ．﹣2D ．−135．已知O 为△ABC 的外心，且AO →=λAB →+(1−λ)AC →．若向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，则cos∠AOC 的值为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．126．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（ ） A ．108种B ．216种C ．240种D ．252种7．已知函数y ＝xf （x ）是R 上的偶函数，f （x ﹣1）+f （x +3）＝0，当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝2x ﹣2﹣x +x ，则（ ）A ．f （x ）的图象关于直线x ＝2对称B ．4是f （x ）的一个周期C ．f(2023)=52D ．f(12)＞f(0．50.2)8．设函数f （x ）={x +|lnx|−2，x ＞0，sin(ωx +π4)−12，−π≤x ≤0有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．[134，174) B ．[174，214) C ．[4912，6512)D ．[6512，7312)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（ ）A ．样本的众数为6712B ．样本的80%分位数为7212C ．样本的平均值为66D ．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人10．正数a ，b 满足a ＜b ，a +b ＝2，则（ ） A ．1＜b ＜2B ．2a ﹣b ＞1C ．√a +√b ＜2D ．1a+2b≥311．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A ．P(A)=37B ．P(B)=1742 C ．事件A 与事件B 相互独立D ．P(B|A)=1212．已知偶函数f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的周期为π，将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，下列结论正确的是（ ）A ．g(x)=2cos(2x −π6)B ．函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称C ．不等式g （x ）≥1的解集为{x|kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z} D ．g(x)=12f 2(x 2)在(0，π2)上有两个相异实根 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在（x 2√x ）8的展开式中，含x 2项的系数为 ． 14．已知向量a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →，则sin2α3−2sin 2α= ．15．若项数为n 的数列{a n }，满足：a i ＝a n +1﹣i （i ＝1，2，3，…，n ），我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{c n }为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2，…，c k +1是公差为﹣2的等差数列，数列{c n }的最小项等于﹣10，记数列{c n }的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1＝﹣50，则k 的值为 ． 16．若对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a 恒成立，则实数a 的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①a 2﹣c 2＝bc ；②b +bcosA =√3asinB ；③sinA =√3sinC ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 18．（12分）已知函数f(x)=(1x+1)ln(1+x)．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）求函数f （x ）的单调增区间．19．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．（1）求第三回合甲发球的概率；（2）设前三个回合中，甲的总得分为X ，求X 的分布列及期望．20．（12分）已知公差为d 的等差数列{a n }和公比q ＞0的等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2+b 3＝8，a 3+b 2＝9．（1）求数{a n }列{b n }和的通项公式；（2）删去数列{b n }中的第a i 项（其中i ＝1，2，3，⋯），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前n 项和S n ．21．（12分）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金x i （亿元）与年销售额y i （亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y ＝α+βx 2，②y ＝e λx +t ，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金x i 和年销售额y i 的数据，i ＝1，2，⋯，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令u i =x i 2(i =1，2，⋯，12)，v i ＝lny i （i ＝1，2，⋯，12），经计算得如下数据：（1）设{u i }和{y i }的相关系数为r 1，{x i }和{v i }的相关系数为r 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；（3）为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如表：根据小概率α＝0.001的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关． 附：①相关系数r =∑(x i −x)(y −y)ni=1√∑(x i −x)2∑n i=1(y i −y)2i=1，回归直线y =a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑x i y i −nxy ni=1∑x i 2−x2ni=1=∑(x i−x)(y i −y)ni=1∑ n i=1(x i −x)2，a =y −b x ；②χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ；③参考数据：308＝4×77．22．（12分）已知函数f（x）＝x2（lnx﹣a），a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x＝e处取得极值，f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x1）＝f′（x2），x1＜x2，证明：2＜x1+x2＜e．2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＜3，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．{0，1，2}解：因为B ＝{x |x ＜3，x ∈N }＝{0，1，2}，A ＝{0，1，2，3}，因此A ∩B ＝{0，1，2}． 故选：D ．2．已知复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．−15B ．−85C ．−15iD ．−85i解：∵（1+2i ）z ＝3﹣2i ， ∴z =3−2i 1+2i =(3−2i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−15−85i ， ∴z 的虚部为−85． 故选：B ．3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞2解：由|x |＞2解得：x ＜﹣2或x ＞2，找“|x |＞2”的一个充分不必要条件，即找集合{x |x ＜﹣2或x ＞2}的真子集， ∵{x |x ＞2}⫋{x |x ＜﹣2或x ＞2}，∴“|x |＞2”的一个充分不必要条件是{x |x ＞2}． 故选：D ．4．数列{a n }满足a 1=12，a n+1=1+a n1−a n(n ∈N ∗)，则a 2023＝（ ） A ．12B ．3C ．﹣2D ．−13解：因为a 1=12，a n+1=1+an 1−a n(n ∈N ∗)，所以a 2=1+a 11−a 1=1+121−12=3，a 3=1+a 21−a 2=1+31−3=−2， a 4=1+a31−a 3=1−21+2=−13，a 5=1+a 41−a 4=1−131+13=12，a 6=1+a 51−a 5=1+121−12=3，所以数列{a n }是周期为4的周期数列， 所以a 2023＝a 505×4+3＝a 3＝﹣2． 故选：C ．5．已知O 为△ABC 的外心，且AO →=λAB →+(1−λ)AC →．若向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，则cos∠AOC 的值为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．12解：因为AO →=λAB →+(1−λ)AC →=λAB →+AC →−λAC →， 所以CA →+AO →=λAB →+λCA →=λ(CA →+AB →)，即CO →=λCB →，所以O 在BC 上，故△ABC 的外接圆以O 为圆心，BC 为直径， 所以△ABC 为直角三角形，且AC ⊥AB ，O 为BC 中点， 过A 作BC 的垂线AQ ，垂足为Q ，因为向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，所以OA →在BC →上的投影向量为OQ →=BQ →−BO →=34BC →−12BC →=14BC →， 因为|OA →|=12|BC →|，所以cos ∠AOC =|OQ||OA|=|OQ →||OA →|=14|BC →|12|BC →|=1412=12． 故选：D ．6．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（ ） A ．108种B ．216种C ．240种D ．252种解：根据题意，可分为四类：①当甲乙都未选中，则不同的选择方案有A44=24种；②当甲选中，乙未选中，则不同的选择方案有C43C31A33=72种；③当甲未选中，乙选中，则不同的选择方案有C43C31A33=72种；④当甲乙都选中，则由C42种选法，先安排甲，再安排乙，若甲去了金华赛区，则有A33=6；若甲未去金华赛区，则有C21C21A22=8，则不同的安排方案有C42×(6+8)=84种，由分类计数原理，可得共有24+72+72+84＝252种不同的安排方案．故选：D．7．已知函数y＝xf（x）是R上的偶函数，f（x﹣1）+f（x+3）＝0，当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝2x﹣2﹣x+x，则（）A．f（x）的图象关于直线x＝2对称B．4是f（x）的一个周期C．f(2023)=52D．f(12)＞f(0．50.2)解：∵函数y＝xf（x）是R上的偶函数，∴﹣xf（﹣x）＝xf（x），∴﹣f（﹣x）＝f（x），即y＝f（x）为奇函数，对于A：∵f（x﹣1）+f（x+3）＝0，∴f（x）+f（x+4）＝0，从而f（﹣x）+f（﹣x+4）＝0，∴﹣f（x）+f（﹣x+4）＝0即f（﹣x+4）＝f（x），即f（x）的图象关于直线x＝2对称，A正确；对于B：∵f（﹣x+4）＝f（x），∴﹣f（x﹣4）＝f（x），即f（x﹣4）+f（x）＝0，∴f（x﹣8）+f（x﹣4）＝0，∴f（x）＝f（x﹣8），∴f（x）是以8为周期的函数，B错误；对于C：f(2023)=f(253×8−1)=f(−1)=12−2−1=−52，C错误；对于D：当x∈[﹣2，0]时，y＝2x，y＝﹣2﹣x，y＝x均为单调递增函数，∴f（x）＝2x﹣2﹣x+x在[﹣2，0]上单调递增，又y＝f（x）为奇函数，∴y＝f（x）在[0，2]上单调递增，又0＜12=0．51＜0．50.2＜2，∴f(12)＜f(0．50.2)，D错误．故选：A．8．设函数f（x）={x+|lnx|−2，x＞0，sin(ωx+π4)−12，−π≤x≤0有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（）A．[134，174)B．[174，214)C．[4912，6512)D．[6512，7312)解：∵当0＜x＜1时，f（x）＝x﹣lnx﹣2，f′(x)=1−1x＜0恒成立，f（x）单调递减，且f（e﹣2）＝e﹣2＞0，f（1）＝﹣1＜0，此时f（x）有且只有一个零点；当x≥1时，f（x）＝x+lnx﹣2单调递增，且f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝ln2＞0，此时f（x）有且只有一个零点，∴当﹣π≤x≤0时，f(x)=sin(ωx+π4)−12有5个零点，即方程sint=12在[−ωπ+π4，π4]上有5个实根，则−5π−π6＜−ωπ+π4≤−4π+π6，即4912≤ω＜6512．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（）A ．样本的众数为6712 B ．样本的80%分位数为7212C ．样本的平均值为66D ．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人 解：对于选项A ，样本的众数为65+702=6712，故正确；对于选项B ，∵0.03×5+0.05×5+0.06×5＝0.7＜0.8， 0.03×5+0.05×5+0.06×5+0.04×5＝0.9＞0.8， ∴样本的80%分位数在（70，75]之间， 70+0.8−0.70.04×5×5＝7212，故正确；对于选项C ，样本的平均值为57.5×0.03×5+62.5×0.05×5+67.5×0.06×5+72.5×0.04×5+77.5×0.02×5＝66.75， 故错误； 对于选项D ，该校男生中低于60公斤的学生大约为2000×0.03×5＝300人，故正确； 故选：ABD ．10．正数a ，b 满足a ＜b ，a +b ＝2，则（ ） A ．1＜b ＜2 B ．2a ﹣b ＞1C ．√a +√b ＜2D ．1a+2b≥3解：因为a +b ＝2， 所以a ＝2﹣b ，由题意得2﹣b ＜b 且2﹣b ＞0， 故1＜b ＜2，A 正确； 因为a ＜b ，即a ﹣b ＜0， 所以2a ﹣b ＜1，B 错误；因为（√a+√b 2）2≤a+b2=1，显然等号无法取得， 故√a +√b ＜√2，C 正确；1a+2b=a+b 2a+a+b b=32+b 2a+a b≥32+√2，当且仅当b =√2a 且a +b ＝2，即a ＝2√2−2，b ＝4﹣2√2时取等号，D 错误． 故选：AC ．11．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A ．P(A)=37B ．P(B)=1742 C ．事件A 与事件B 相互独立D ．P(B|A)=12解：由题意P(A)=37，故A 正确； P(B)=37×36+47×26=1742，故B 正确； P(AB)=37×36=314， 因为P(A)P(B)=37×1742=1798≠P(AB)，所以事件A 与事件B 不相互独立，故C 错误； P(B|A)=P(AB)P(A)=31437=12，故D 正确．故选：ABD ．12．已知偶函数f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的周期为π，将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，下列结论正确的是（ ）A ．g(x)=2cos(2x −π6)B ．函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称C ．不等式g （x ）≥1的解集为{x|kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z} D ．g(x)=12f 2(x 2)在(0，π2)上有两个相异实根解：f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)=2cos(2ωx +π3+φ)， 则T =2π2|ω|=π，ω＞0，解得，ω＝1， 又f （x ）为偶函数，所以π3+φ=kπ，k ∈Z ，即φ=−π3+kπ，k ∈Z ， 又|φ|＜π2，所以φ=−π3，所以f （x ）＝2cos2x ，其向右平移π6个单位长位得y =g(x)=2cos(2x −π3)，A 错误；g(π6)=2cos(2×π6−π3)=2，所以函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称，B 正确； 令g(x)=2cos(2x −π3)≥1，解得kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ，C 正确：； g(x)=12f 2(x2)，即2cos(2x −π3)=12(2cosx)2，整理得sin2x =√33，根据y ＝sin2x 的图象明显可得方程sin2x =√33在(0，π2)有两个相异实根，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在（x 2√x ）8的展开式中，含x 2项的系数为 1120 ． 解：（x 2√x ）8的展开式的通项公式为 T r +1=C 8r•（﹣2）r •x 8−3r2， 令8−3r 2=2，求得 r ＝4，可得含x 2项的系数为C 84×（﹣2）4＝1120， 故答案为：1120．14．已知向量a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →，则sin2α3−2sin 2α=47．解：因为a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →， 所以a →⋅b →=−2cos α+sin α＝0，所以tan α＝2， 所以sin2α3−2sin 2α=2sinαcosα3(sin 2α+cos 2α)−2sin 2α=2sinαcosαsin 2α+3cos 2α=2tanαtan 2α+3=2×222+3=47．故答案为：47．15．若项数为n 的数列{a n }，满足：a i ＝a n +1﹣i （i ＝1，2，3，…，n ），我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{c n }为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2，…，c k +1是公差为﹣2的等差数列，数列{c n }的最小项等于﹣10，记数列{c n }的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1＝﹣50，则k 的值为 5或4． ．解：由于c 1，c 2，⋯，c k +1是公差为﹣2的等差数列，故c 1，c 2，⋯，c k +1单调递减，所以c k +1＝﹣10， 故c 1﹣2k ＝﹣10，则c 1＝﹣10+2k ，c k ＝c k +1+2＝﹣8．又S 2k +1＝﹣50，故2（c 1+c 2+⋯+c k ）+c k +1＝﹣50，即c 1+c 2+⋯+c k ＝﹣20， 由等差数列前n 项和公式有k(−10+2k−8)2=−20，化简得k 2﹣9k +20＝0，解得k ＝5或k ＝4． 故答案为：5或4．16．若对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a 恒成立，则实数a 的最大值为 ﹣1 ．解：∵x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a ，对任意的x 1，x 2∈[1，π2]恒成立，∴sinx 1x 1+a x 1＜sinx 2x 2+a x 2对任意的x 1，x 2∈[1，π2]恒成立．令f(x)=sinx x +a x ，x ∈[1，π2]， 即对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，当x 1＜x 2时，f （x 1）＜f （x 2）， 则f(x)=sinx x +a x ，x ∈[1，π2]为单调递增函数， 即f ′(x)=xcosx−sinx−a x 2≥0在[1，π2]上恒成立，令g （x ）＝x cos x ﹣sin x ﹣a ，x ∈[1，π2]， g ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ＜0， 即g （x ）＝x cos x ﹣sin x ﹣a 在[1，π2]上单调递减， 可得g(x)min =g(π2)=π2cos π2−sin π2−a ≥0， 即﹣1﹣a ≥0，解得a ≤﹣1． 即实数a 的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①a 2﹣c 2＝bc ；②b +bcosA =√3asinB ；③sinA =√3sinC ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 证明：选①②当条件，③当结论 由②得sinB +sinBcosA =√3sinAsinB ， 因为sin B ＞0，所以1+cosA =√3sinA ，即sin(A −π6)=12，0＜A ＜π， 所以A =π3，则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ，由①知，a 2＝c 2+bc ，代入可得，b ＝2c ，所以a =√3c ， 即sinA =√3sinC ；选①③作条件，②当结论，由③得：a=√3c，因为a2＝c2+bc，所以3c2＝c2+bc，则b＝2c，所以cosA=b2+c2−a22bc=12，0＜A＜π，所以A=π3，由③知，sinA=√3sinC，所以sinC=sinA√3=12，所以C=π6，所以B=π2，所以，b+bcosA=2c+c=3c=√3×√3c=√3a=√3asinB；选②③作条件，①当结论，由②得：sinB+sinBcosA=√3sinAsinB，而sin B＞0，所以1+cosA=√3sinA，即√3sinA−cosA=1，根据辅助角公式可得，sin(A−π6)=12，所以，A=π3，由③，sinA=√3sinC，所以sinC=sinA3=12，得：C=π6，所以B=π2，所以sinA=√3sinC，sin B＝2sin C，则a=√3c，b＝2c，即：a2﹣c2＝bc．18．（12分）已知函数f(x)=(1x+1)ln(1+x)．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调增区间．解：（1）因为f(x)=(1x+1)ln(1+x)，定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），所以f′(x)=−1x2ln(1+x)+(1x+1)11+x=x−ln(x+1)x2，又f′（1）＝1﹣ln2，f（1）＝2ln2，所以切线方程为y＝（1﹣ln2）（x﹣1）+2ln2，即y＝（1﹣ln2）x+3ln2﹣1．（2）函数f（x）定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），f′(x)=x−ln(x+1)x2，设g（x）＝x﹣ln（x+1），x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），所以g′(x)=1−1x+1=xx+1，当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递递增，所以g （x ）min ＞g （0）＝0，所以g （x ）＝x ﹣ln （x +1）＞0恒成立， 所以f ′(x)=x−ln(x+1)x 2＞0在（﹣1，0）∪（0，+∞）上恒成立， 所以函数f （x ）在（﹣1，0）和（0，+∞）上单调递增， 所以函数f （x ）单调增区间为（﹣1，0）和（0，+∞）．19．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．（1）求第三回合甲发球的概率；（2）设前三个回合中，甲的总得分为X ，求X 的分布列及期望．解：（1）若第三回合甲发球，则前三回合发球的顺序分别为甲甲甲，或者甲乙甲， 故第三回合甲发球的概率为35×35+(1−35)×15=1125．（2）设甲在第i 回合得分记为事件A i ，乙在第i 回合得分记为事件 B i ，i ∈{1，2，3}， 则P(A 1A 2A 3)=(35)3=27125，此时甲得3分， P(A 1A 2B 3)=(35)2×25=18125，此时甲得2分， P(A 1B 2A 3)=35×25×15=6125，此时甲得2分， P(A 1B 2B 3)=35×25×45=24125，此时甲得1分， P(B 1A 2A 3)=25×15×35=6125，此时甲得2分， P(B 1A 2B 3)=25×15×25=4125，此时甲得1分， P(B 1B 2A 3)=25×45×15=8125，此时甲得1分， P(B 1B 2B 3)=25×45×45=32125，此时甲得0分， 故X 的分布列为：故E(X)=0×32125+1×36125+2×30125+3×27125=176125． 20．（12分）已知公差为d 的等差数列{a n }和公比q ＞0的等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2+b 3＝8，a 3+b 2＝9．（1）求数{a n }列{b n }和的通项公式；（2）删去数列{b n }中的第a i 项（其中i ＝1，2，3，⋯），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前n 项和S n ．解：（1）由已知得{a 2+b 3=1+d +q 2=8a 3+b 2=1+2d +q =9，解得d ＝3，q ＝2，∴a n =3n −2，b n =2n−1；（2）由已知得数列{c n }：b 2，b 3，b 5，b 6，b 8，b 9，…， 当n 为偶数时，S n =(b 2+b 5+b 8+⋯+b 3(n 2)−1)+(b 3+b 6+b 9+⋯+b 3(n 2)) =2(1−8n 2)1−8+4(1−8n 2)1−8=6(8n2−1)7， 当n 为奇数（n ≥3）时，S n =b 2+(b 3+b 6+⋯+b3(n−12))+(b 5+b 8+b 11+⋯+b 3(n−12)+2) =2+4(1−8n−12)1−8+16(1−8n−12)1−8=20(8n−12−1)7+2，当n ＝1时，S 1＝2，符合上式，故S n ={6(8n2−1)7，n 为偶数20(8n−12−1)7+2，n 为奇数．21．（12分）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金x i （亿元）与年销售额y i （亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y ＝α+βx 2，②y ＝e λx +t ，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金x i 和年销售额y i 的数据，i ＝1，2，⋯，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令u i =x i 2(i =1，2，⋯，12)，v i ＝lny i （i ＝1，2，⋯，12），经计算得如下数据：（1）设{u i }和{y i }的相关系数为r 1，{x i }和{v i }的相关系数为r 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；（3）为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如表：根据小概率α＝0.001的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关． 附：①相关系数r =∑(x i −x)(y −y)ni=1√∑(x i −x)2∑ n i=1(y i −y)2i=1，回归直线y =a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑x i y i −nxy ni=1∑x i 2−x2ni=1=∑(x i−x)(y i −y)ni=1∑n i=1(x i −x)2，a =y −b x ；②χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ；③参考数据：308＝4×77．解：（1）r 1=∑(u i −u)(y −y)12i=1√∑(u i −u)2i=1∑(y i −y)2i=1=3125000×200=2150025000=4350=0.86，r 2=∑(x i −x)(v i −v)12i=1√∑(x i −x)2i=1∑(v i −v)2i=1=14√770×0.308=1477×0.2=1011≈0.91，则|r1|＜|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx+t的拟合程度更好．（2）先建立v关于x的线性回归方程，由y＝eλx+t，得lny＝t+λx，即v＝t+λx，由于λ=∑(x i−x)(v i−v)12i=1∑(x i−x)212i=1=14770≈0.018，t=v−λx=4.20−0.018×20=3.84，所以v关于x的线性回归方程为v=0.02x+3.84，所以lny=0.02x+3.84，则y=e0.02x+3.84．（3）零假设为H0：对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关，χ2=(200×150−100×150)2350×250×300×300≈0.029＜10.828，根据小概率α＝0.001独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即H0成立，该地区对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关．22．（12分）已知函数f（x）＝x2（lnx﹣a），a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x＝e处取得极值，f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x1）＝f′（x2），x1＜x2，证明：2＜x1+x2＜e．解：（1）函数f（x）＝x2（lnx﹣a）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x（lnx﹣a）+x＝x（2lnx﹣2a+1），令f′（x）＝0，所以lnx=2a−12，得x=e2a−12，当x∈(0，e 2a−12)，f′（x）＜0，当x∈(e 2a−12，+∞)，f′（x）＞0，所以函数f（x）递减区间为(0，e 2a−12)，递增区间为(e2a−12，+∞)．（2）证明：因为函数f（x）在x＝e处取得极值，所以x=e 2a−12=e，得a=32，所以f(x)=x2(lnx−32)，f′（x）＝x（2lnx﹣2）＝2x（lnx﹣1），令g（x）＝2x（lnx﹣1），g′（x）＝2lnx，因为当x＝1时，g′（x）＝0，所以当x∈（0，1），g′（x）＜0，当x∈（1，+∞），g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，又当x∈（0，e）时，g（x）＝2x（lnx﹣1）＜0，当x∈（e，+∞）时，g（x）＝2x（lnx﹣1）＞0，所以0＜x1＜1＜x2＜e．①先证x1+x2＞2，需证x2＞2﹣x1，因为x2＞1，2﹣x1＞1，下面证明g（x1）＝g（x2）＞g（2﹣x1），设t（x）＝g（2﹣x）﹣g（x），x∈（0，1），则f′（x）＝﹣g′（2﹣x）﹣g′（x），t′（x）＝﹣2ln（2﹣x）﹣2lnx＝﹣2ln[（2﹣x）x]＞0，所以t（x）在（0，1）上为增函数，所以t（x）＜t（1）＝g（1）﹣g（1）＝0，所以t（x1）＝g（2﹣x1）﹣g（x1）＜0，则g（2﹣x1）＜g（x1）＝g（x2），又因为g（x）在（1，+∞）单调递增，所以2﹣x1＜x2，即得x1+x2＞2，②下面证明：x1+x2＜e，因为x1∈（0，1），g（x1）＝2x1（lnx1﹣1）＜﹣2x1，当x∈（1，e）时，设h（x）＝g（x）﹣（2x﹣2e）＝2xlnx﹣4x+2e，因为在（1，e）上h′（x）＝2lnx﹣2＜0，所以h（x）在（1，e）上单调递减，所以h（x）＞h（e）＝2e﹣4e+2e＝0，所以h（x2）＞0，g（x2）＞2x2﹣2e，因为g（x1）＝g（x2），所以2x2﹣2e＜g（x2）＝g（x1）＜﹣2x1，即x1+x2＜e，所以2＜x1+x2＜e．。
2018—2019学年度第一学期期中测试初三数学试卷(含答案)
2018～2019学年度初三年级数学第一学期期中检测（考试时间：120分钟 分值：150分）一、选择题（本大题共8小题．每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将答案序号填在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．．） 1. 方程x 2+x= 的解是 （ ） A ．x=0 B ．x=1 C ． x 1=0，x 2=1 D ． x 1=0，x 2=﹣1 2. 关于x 的一元二次方程（a −1）x 2−2x +3=0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A.2B.1C.0D.−1 3. 已知关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有一个根是－n(n ≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是 （ ） A ．n ＋m B ．n / m C ．n －m D ．nm 4. 对甲、乙两同学100米短跑进行5次测试,他们的成绩通过计算得:甲x =乙x ，2甲S =0.026, 2乙S =0.025,下列说法正确的是 （ ）A.甲短跑成绩比乙好B.乙短跑成绩比甲好C.甲比乙短跑成绩稳定D.乙比甲短跑成绩稳定 5．圆锥的底面半径为4cm ，高为3cm ，则它的表面积为 （ ）A ．24πcm 2B ．36πcm 2C ．48πcm 2D ．72πcm 26. 如图，一个直角三角形ABC 的斜边AB 与量角器的零刻度线重合，点D 对应56°，则∠BCD 的度数为 （ ）A ．28°B ．56°C ．62°D ．64°7. 如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D,DE ⊥AC 于E,连接AD,则下列结论正确的个数是 ( )①AD ⊥BC ②∠EDA=∠B ③2OA=AC ④DE 是⊙O 的切线 A ．1 个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个8. 如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，分别以A 、D 为圆心，1为半径画圆，E 、F 分别是⊙A 、⊙D 上的一动点，P 是BC 上的一动点，则PE+PF 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第6题图 第7题图 第8题图二、填空题（本大题共10小题．每小题4分，共40分．请将答案填在答题卡相应的位．．．．．．．．．．．．．置上．．）9. 如果一组数据－2，0，1，3，x的极差是7，那么x的值是．10. 已知关于x的方程x2−kx−6=0的一个根为x=3，则实数k的值为．11.设a、b是方程x2+x-2018=0的两个不等的实根，则a2+2a+b的值为．12.若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是．13.如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是．14.如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α＝．15.如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α＝．第13题图第14题图第15题图16.如图，△ABC的内切圆O与边BC切于点D，若∠BOC＝135°，BD＝3，CD＝2，则△ABC的面积为＝．17.如图正方形ABCD的边长为3，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE第16题图第17题图第18题图三、解答题（本大题共9大题，共86分．请将答案．．．．．．．．．．，解答时应．．．．写在答题卡相应的位置上写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．作图时用铅笔）19. (本题满分8分) 解下列方程：（1）（x+1）2= 9 （2）x2﹣2x﹣2=020．（本题满分9分）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的跳水运动员人数为多少？求出图①中m的值；（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数.21．(本题满分9分)已知□ ABCD两邻边是关于x的方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长．（2）若AB的长为2，那么□ ABCD的周长是多少？22．(本题满分9分)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，但售价不能超过70元．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？23．（本题满分9分）在半径为17dm 的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图． ①若油面宽AB=16dm ，求油的最大深度．②在①的条件下，若油面宽变为CD=30dm ，求油的最大深度上升了多少dm ？24．(本题满分9分) 如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧. （1）画出圆弧所在圆的圆心P ； （2）过点B 画一条直线，使它与该圆弧相切；（3）连结AC ，求线段AC 和弧AC 围成的图形的面积．25．（本题满分10分）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，AC 平分∠DAE ．（1）DE 与⊙O 有何位置关系？请说明理由． （2）若AB=6，CD=4，求CE 的长．26．（本题满分10分）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为2cm 的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．27.（本题满分13分）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点B在x轴的正半轴上，OA 边在直线x y 33=上，AB 边在直线233+-=x y 上． （1）直接写出：线段OA= ，∠AOC= ；（2）在对角线OB 上有一动点P ，以O 为圆心，OP 为半径画弧MN ，分别交菱形的边OA 、OC 于点 M 、N ，作⊙Q 与边AB 、BC 、弧MN 都相切，⊙Q 分别与边AB 、BC 相切于点D 、E ，设⊙Q 的半径为r ，OP 的长为y ，求y 与r 之间的函数关系式，并写出自变量r 的取值范围；（3）若以O 为圆心、OA 长为半径作扇形OAC ，请问在菱形OABC 中，在除去扇形OAC 后的剩余部分内，是否可以截下一个圆，使得它与扇形OAC 刚好围成一个圆锥，若可以，求出这个圆的半径，若不可以，说明理由．2018-2019学年度第一学期第二次质量调研测试初三数学参考答案（考试时间：120分钟分值：150分）二、填空题（本大题共10题，每小题4分，共计40分）．9. 5或-4， 10. 1， 11. 2017 12. 相离, 13. 2,14. 75°, 15. 52°, 16. 6, 17. 23， 18. 43π三、解答题（本大题共9大题，共86分．请将答案．．．．．．．．．．，解答时应．．．．写在答题卡相应的位置上写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．作图时用铅笔）19.（1）x1=2，x2=﹣4 （4分）（2）x1=1+，x2=1﹣；（4分）20.（1）4÷10%=40（人），…………………2分m=100-27.5-25-7.5-10=30；答为40人，m=30．…………………4分（2）平均数=（13×4+14×10+15×11+16×12+17×3）÷40=15，…………………6分16出现12次，次数最多，众数为16；…………………7分按大小顺序排列，中间两个数都为15，（15+15）÷2=15，中位数为15．…………………9分21.（1）若四边形为菱形，则方程两实根相等．∴△=m2﹣4（m﹣1）=0 …………………1分∴m2﹣4m+4=0∴m1=m2=2 …………………3分∴方程化为x2﹣2x+1=0解得：x1=x2=1∴菱形边长为1．…………………5分（2）由AB=2知方程的一根为2，将x=2代入得，4﹣2m﹣1=0，解得：m=3 …………………6分此时方程化为：x2﹣3x+2=0，解得（x﹣1）（x﹣2）=0解得：x1=1，x2=2 …………………8分∴平行四边形ABCD的周长=2×（1+2）=6．…………………9分22．(本题满分9分)设售价定为x元[600−10(x−40)](x−30)=10000 ……………………3分整理,得x2−130x+4000=0解得：x1=50，x2=80…………………………7分∵x≤70∴x=50 ………………………… 8分答：台灯的售价应定为50元。
人教版数学高三期中测试精选(含答案)8
【答案】A
9．设 a, b, c 是互不相等的整数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A．| a b || a c | | b c |
C．
|
a
b
|
a
1
b
2
B． a2
1 a2
a
1 a
D． a 3 a 1 a 2 a
【来源】上海市上海中学 2018-2019 学年高三上学期期中数学试题
x [2, 4] ，不等式 f (x) t 2 恒成立，则 t 的取值范围为__________．
【来源】山东省菏泽一中、单县一中 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（文)试
题 【答案】 (,10]
2x y 1 0,
12．设关于
x
，
y
的不等式组
x m 0,
表示的平面区域为 D ，若存在点
【答案】（1）见解析;(2) 2- n 2 n n2
2n
2
7x 5y 23 0
30．已知
x，y
满足条件：
x
7
y
11
0
，求：
4x y 10 0
（1） 4x 3y 的最小值； x y 1
（2） x 5 的取值范围.
【来源】上海市上海中学 2015-2016 学年高二上学期期中数学试卷
an
2n
的前
n
项和
Sn
．
【来源】江西省抚州市临川一中 2019-2020 届高三上学期第一次联合考试数学（文科)
试题
【答案】（1） an
1 2
n
；（2）
Sn
2n1
n2
n
2
.
34．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ， a2 a8 82 ， S41 S9 .
高三试卷数学-重庆2024届高三上学期期中考试数学试卷及参考答案
高2024届高三第一学期期中考试数学试题（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设,,M N U 均为非空集合，且满足M N U ，则()()U U M N ⋃=（）A.UB.M N⋃ C.U Mð D.U Nð2.已知命题:1p a =-，命题q ：复数1i1iz a +=+为纯虚数，则命题p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知向量a ，b 的夹角为π3，且2a b a b -=+ ，则向量a在向量b 上的投影向量为（）A.B.12b r C.2b D.2b4.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A.)02a ba b +>>> B.()2220a b ab a b +>>>C.)20aba b a b<>>+D.)02a b a b +<>>5.已知数列{}{},n n a b 均为等差数列，且11221,7,12a b a b ==+=，设数列{}n n a b +前n 项的和为n S ，则20S =（）A .84B.540C.780D.9206.函数()3πsin2cos 4f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最大值为（）A.2B.C.0D.98-7.为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设,,A B C 三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（）A .60种B.150种C.180种D.300种8.已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若方程()e xf x k =有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A.10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,2e ∞⎛⎫+⎪⎝⎭C.1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，并按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是（）A.样本的众数为70B.样本的80%分位数为78.5C.估计该市全体学生成绩的平均分为70.6D.该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为320人10.已知函数()()π2sin 2R 3f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A.()y f x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B.()y f x =的图象向右平移π12个单位长度后所得图象关于y 轴对称C.若()()0f x f x ≤对任意实数x 都成立，则()05ππZ 12x k k =+∈D.方程()2πlog f x x =有3个不同的实数根11.甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．从一个人传球到另一个人称传球一次．若传球开始时甲持球，记传球n 次后球仍回到甲手里的概率为n P ，则下列结论正确的是（）A.212P =B.458P =C.()1112n n P P -=- D.1111332n n P -⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭12.已知32,53a b ==，则下列结论正确的是（）A.a b> B.11a b a b+>+ C.2a b ab+< D.b aa ab b +<+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.6(2)()x y x y +-的展开式中，43x y 的系数为__________（用数字作答）．14.曲线3123y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则sin cos2sin cos αααα=+______．15.定义：在数列{}n a 中，()*211N n n n na a d n a a +++-=∈，其中d 为常数，则称数列{}n a 为“等比差”数列，已知“等比差”数列{}n a 中，121a a ==，33a =，则1210a a =______．16.若()f x 是定义在R 上的函数，且()2f x x -为奇函数，()2xf x +为偶函数．则()f x 在区间[]2,1--上的最小值为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，内角,,A B C的对边分别为2,,,2cos sin 2Aa b c b B =．（1）求A ；（2）若3a =，点D 在边AC 上，且13CD CA =，求BCD △面积的最大值．18.2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对该校男女学生是否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：男生女生合计喜欢120100220不喜欢80100180合计200200400（1）根据表中数据，采用小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关？（2）为弄清学生不喜欢电子竞技的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为X ，求X 的数学期望．参考公式及数据：()()()()()2n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.150.100.050.0250.01x α 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63519.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()111,212n n n a n S S n a +=-=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()*2,N n n b n S n =-∈，若对任意*N n ∈都有n b λ≤成立，求实数λ的取值范围．20.当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：年份201720182019202020212022编号x123456企业总数量y （单位：百个）5078124121137352（1）若用模型e bx y a =拟合y 与x 的关系，根据提供的数据，求出y 与x 的经验回归方程；（2）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为12，甲胜丙的概率为13，乙胜丙的概率为35，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．参考数据：661128.5,106.05ii i i i ux u ====∑∑，其中，ln i iu y =参考公式：对于一组数据()(),1,2,3,,i i x y i n =⋅⋅⋅，其经验回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121ˆˆˆ,niii nii x ynx y bay bx xnx ==-⋅==--∑∑21.已知函数()()21e xf x x mx =++．（1）若0m =，求()f x 在()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在()1,1-上恰有一个极小值点，求实数m 的取值范围；（3）若对于任意()()()20,π,ecos 1xx f x x x ∈>+恒成立，求实数m 的取值范围．22.已知函数()2ln ,R f x x x ax x a =-+∈．（1）若函数()f x 是减函数，求a 的取值范围；（2）若()f x 有两个零点12,x x ，且212x x >，证明：1228e x x >．高2024届高三第一学期期中考试数学试题（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设,,M N U 均为非空集合，且满足M N U ，则()()U U M N ⋃=（）A.U B.M N⋃ C.U Mð D.U Nð【答案】C 【解析】【分析】画出集合,,M N U 的韦恩图，利用韦恩图即可得解.【详解】集合,,M N U 的韦恩图，如图所示，因为M N U ，所以U N ð U M ð，所以()()UU UM N M ⋃=.故选：C.2.已知命题:1p a =-，命题q ：复数1i1iz a +=+为纯虚数，则命题p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】先将命题q 看成真命题求出a 的取值，再根据充要条件与集合间的关系即可写出答案【详解】2221i (1i)(1i)1(1)i 11i 1i (1i)(1i)111a a a a az a a a a a a ++-++-+-====+++-+++z 是纯虚数，22101101a a a a +⎧=⎪⎪+∴⎨-⎪≠⎪+⎩，1a ∴=-故命题p 是q 的充要条件故选：C3.已知向量a ，b 的夹角为π3，且2a b a b -=+ ，则向量a在向量b 上的投影向量为（）A.B.12b rC.2bD.2b【答案】B 【解析】【分析】由已知得，根据投影向量的概念直接得解.【详解】由2a b a b -=+ ，即2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ ，则22b a b =⋅ ，即2π2cos 3b a b a b =⋅⋅=⋅ ，所以b a = ，所以向量a在向量b 上的投影向量为π1cos 32b a b b ⋅⋅=，故选：B.4.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A.)02a ba b +>>> B.()2220a b ab a b +>>>C.)20aba b a b<>>+ D.)02a b a b +<>>【答案】D 【解析】【分析】计算出CF 和OF ，由OF CF <可得出合适的选项.【详解】由图形可知，22AC BC a b OF ++==，()022a b a bOC AC OA a a b +-=-=-=>>，由勾股定理可得CF ===，在Rt OCF 中，由OF CF <可得)02a b a b +<>>.故选：D.【点睛】本题考查利用几何关系得出不等式，考查推理能力，属于基础题.5.已知数列{}{},n n a b 均为等差数列，且11221,7,12a b a b ==+=，设数列{}n n a b +前n 项的和为n S ，则20S =（）A.84B.540C.780D.920【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列性质可得数列{}n n a b +是首项为8的等差数列，利用等差数列前n 项和公式即可求得20920S =.【详解】根据题意可设数列{}{},n n a b 的公差分别为12,d d ；由11221,7,12a b a b ==+=可知124d d +=，即可知数列{}n n a b +是以118a b +=为首项，公差为124d d +=的等差数列，所以可得()84144n n a b n n +=+-=+，即可得()()()118442622n n n n nS a b a b n n n =+++=++=+，所以()20202206920S =⨯+=.故选：D6.函数()3πsin2cos 4f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最大值为（）A.2B.C.0D.98-【答案】A 【解析】【分析】先利用二倍角的正弦公式和两角和的余弦公式化简，再令πcos sin 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用换元法求解即可.【详解】()()3π2sin2cos 2sin cos cos sin 42f x x x x x x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，令πcos sin 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，故()222sin cos sin cos 11x x x x t =+-=-，则2291,248y t t t ⎛⎡=-+=+-∈ ⎣ ⎪⎝⎭，所以当t =时，max 2y =，所以函数()3πsin2cos 4f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最大值为2.故选：A .7.为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设,,A B C 三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（）A.60种B.150种C.180种D.300种【答案】B【解析】【分析】对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理求解即可．【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选,,A B C 三门德育校本课程，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，①三组人数为1、1、3，此时有1133543322C C C A 60A ⋅=种；②三组人数为2、2、1，此时有2213531322C C C A 90A ⋅=种.所以不同的报名方法共有60＋90＝150种．故选：B ．8.已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若方程()e xf x k =有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A.10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭B.1,2e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】转化为()e xf x k =有两个不相等的实数根，构造()()xf xg x =e ，分0x ≥和0x <两种情况，求导，得到函数的单调性和极值情况，画出函数图象，数形结合得到实数k 的取值范围，得到答案.【详解】由题意得()exf x k =有两个不相等的实数根，令()()2,02ee ,0e xxxxx f x g x x x ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩，当0x ≥时，()2e x x g x =，()e 12xg x x-'=，当1x >时，()0g x '<，()2e xxg x =单调递减，当01x ≤<时，()0g x '>，()2exxg x =单调递增，且()21e 1g =，当0x >时，()02e xxg x =>恒成立，当0x <时，()2e x x g x =-，则()2e2xx xg x -'=，当0x <时，()0g x '>，()2ex xg x =-单调递增，且()20000eg =-=，画出()()x f x g x =e的图象如下：要想()e xf x k =有两个不相等的实数根，则10,2e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()e xf x k =有两个不相等的实数根，则10,2e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，并按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是（）A.样本的众数为70B.样本的80%分位数为78.5C.估计该市全体学生成绩的平均分为70.6D.该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为320人【答案】BC 【解析】【分析】样本的众数应是[)70,80区间中点75，故选项A 错误.设样本的80%分位数为t ，通过计算可判断t 在区间[)70,80内，计算区间[)50,60，[)60,70，[)70,t 所对应的矩形面积之和为0.8，即可求得样本的80%分位数为78.5，故选项B 正确.根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C 正确.用样本中低于60分的频率估计总体频率，即可判断选项D 错误.【详解】对于选项A ，样本的众数应是[)70,80区间中点75，故选项A 错误.对于选项B ，设样本的80%分位数为t ，因为左边两个矩形面积和为()0.0160.03100.46+⨯=，左边三个矩形面积和为()0.0160.030.04100.86++⨯=.因此t 在区间[)70,80内，所以()()0.0160.03100.04700.8t +⨯+⨯-=，解得78.5t =，故选项B 正确.对于选项C ，用样本平均分估计总体平均分，而样本的平均分为()550.016650.03750.04850.01950.0041070.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故选项C 正确.对于选项D ，样本中低于60分的学生的频率为0.016100.16⨯=，估计总体中低于60分的学生的人数约为200000.163200⨯=，故选项D 错误.故答案为：BC.10.已知函数()()π2sin 2R 3f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A.()y f x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B.()y f x =的图象向右平移π12个单位长度后所得图象关于y 轴对称C.若()()0f x f x ≤对任意实数x 都成立，则()05ππZ 12x k k =+∈D.方程()2πlog f x x =有3个不同的实数根【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦函数的单调性即可判断A ；根据平移变换的原则及三角函数的奇偶性即可判断B ；根据()()0f x f x ≤可得()()0max f x f x =，再根据正弦函数的最值即可判断C ；作出函数()2π,log y f x y x==的图象，结合图象即可判断D.【详解】对于A ，由π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππ2π2,333x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()y f x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上不具有单调性，故A 错误；对于B ，()y f x =的图象向右平移π12个单位长度得π2sin 22cos 22y x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为()2cos 22cos 2x x --=-，所以函数2cos 2y x =-是偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 正确；对于C ，若()()0f x f x ≤对任意实数x 都成立，则()()0max 2f x f x ==，所以0ππ22π32x k -=+，即()05ππZ 12x k k =+∈，故C 正确；对于D ，方程()2πlog f x x =根的个数，即为函数()2π,log y f x y x ==交点的个数，作出函数()2π,log y f x y x ==的图象，如图所示：由图可知()2πlog f x x =的根多于3个，故D 错误.故选：BC.11.甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．从一个人传球到另一个人称传球一次．若传球开始时甲持球，记传球n 次后球仍回到甲手里的概率为n P ，则下列结论正确的是（）A.212P =B.458P =C.()1112n n P P -=- D.1111332n n P -⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】AC 选项，由题意得到10P =，212P =，()1112n n P P -=-；D 选项，在C 选项基础上，构造等比数列，得到通项公式；B 选项，在D 选项基础上求出答案.【详解】A 选项，第一次传球后到乙或丙手里，故10P =，第二次传球，乙或丙有12的概率回到甲手里，故212P =，A 正确；C 选项，1n P -为传球()1n -次后球仍回到甲手里的概率，要想传球n 次后球仍回到甲手里，则第()1n -次传球后球不在甲手里，在乙，丙手里，且下一次传球有12的概率回到甲手里，故()1112n n P P -=-，C 正确；D 选项，由C 选项知()1112n n P P -=-，即11122n n P P -=-+，设()112n n P P λλ-+=-+，故11322n n P P λ-=--，所以3122λ-=，解得13λ=-，故1111323n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又111033P -=-≠，所以13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为13-，公比为12的等比数列，故1111332n n P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，故1111332n n P -⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，D 正确，B 选项，由D 选项可知3411133328P ⎛⎫=-⋅-= ⎪⎝⎭，B 错误.故选：ACD12.已知32,53a b ==，则下列结论正确的是（）A.a b >B.11a b a b+>+ C.2a b ab+< D.b aa ab b +<+【答案】BD 【解析】【分析】根据题意可得35log 2,log 3a b ==，分别限定出,a b 的取值范围即可得2013a b <<<<，可知A 错误；利用作差法可得B 正确，C 错误；构造函数()ln xf x x=利用导数判断出其单调性即可得D 正确.【详解】由32,53a b ==可得，3531log 2,log 3log 5a b ===，对于A ，易知2332>，则2332>，所以2333320log 1log 2log 33a =<=<=，易知3235>，即2335>，所以23552log 3log 53>=，所以23b >，且55log 3log 51<=即可得2013a b <<<<，可知A 错误；对于B ，()()11111a b ab a b a b a b a b ab--⎛⎫+-+=-+-= ⎪⎝⎭，由A 可知2013a b <<<<，则0a b -<，01ab <<，所以()()10a b ab ab-->；可知110a b a b ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，所以11a b a b+>+，即B 正确；对于C ，355312log 22log 2log 4l 2og 5ab ⋅===，则355353542log 2log 3log 4log 2log log log 03a b ab +-=+-=->，即可得2a b ab +>，即C 错误；对于D ，构造函数()ln xf x x=，其中()0,e x ∈，则()21ln xf x x-'=，当()0,e x ∈时，()0f x ¢>，即()f x 在()0,e 上单调递增，因为01a b <<<，所以()()f a f b <，即ln ln a ba b<，可得ln ln b a a b <，即ln ln b a a b <，所以b a a b <，又a b <，因此b a a a b b +<+，即D 正确.故选：BD【点睛】方法点睛：指数式与对数式比较大小问题时，作差是最常用的方法之一，当式子结构相似时可考虑构造函数并利用导数得出单调性也可比较其大小.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.6(2)()x y x y +-的展开式中，43x y 的系数为__________（用数字作答）．【答案】10【解析】【详解】要得到43x y 项需,2x y 分别与6()x y -展开式中的3342,x y x y 项相乘，6()x y -展开式中通项为616(1)k k k kk T C x y -+=-，0,1,26k = 所以43x y 项的系数为3322660(1)(1)21C C -+-⨯⨯⨯=，故答案为：1014.曲线3123y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则sin cos2sin cos αααα=+______．【答案】35-##0.6-【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义可得tan 3α=，再结合齐次式问题运算求解.【详解】因为222'=+y x x，可得1|3x y ='=，由题意可知：tan 3α=，所以()()()2222sin cos sin sin cos sin sin cos2sin cos sin sin cos sin cos sin cos ααααααααααααααααα--==-=+++()()22tan 1tan 3133tan 1315ααα--===-++，即sin cos23sin cos 5αααα=-+.故答案为：35-.15.定义：在数列{}n a 中，()*211N n n n na a d n a a +++-=∈，其中d 为常数，则称数列{}n a 为“等比差”数列，已知“等比差”数列{}n a 中，121a a ==，33a =，则1210a a =______．【答案】399【解析】【分析】根据“等比差”数列的概念可得()111221nn a n n a -=+-⨯=-，进而得解.【详解】由数列{}n a 为“等比差”数列，则213212131211n n n n a a a a a a a a +++-=-=-=，所以1122n n n n a a a a ----=，即数列1n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列，所以()111221n na n n a +=+-⨯=-，2121n n an a ++=+，则()()22211212141n n nn n n a a a n n n a a a ++++=⋅=-+=-，所以212104101399a a =⨯-=，故答案为:399.16.若()f x 是定义在R 上的函数，且()2f x x -为奇函数，()2xf x +为偶函数．则()f x 在区间[]2,1--上的最小值为______．【答案】74##1.75【解析】【分析】由()2f x x -为奇函数，()2xf x +为偶函数，求出()f x 的解析式，判断()f x 在区间[]2,1--的单调性即可求出答案.【详解】因为()2f x x -为奇函数，()2xf x +为偶函数，所以()()()()2222x x f x x f x x f x f x -⎧--=-+⎪⎨-+=+⎪⎩，解得：()222211122222x x x x f x x x --=+=⋅-⋅+，因为1122x y =⋅在[]2,1--上单调递减，122x y =-⋅在[]2,1--上单调递减，2y x =在[]2,1--上单调递减，所以()222211122222x x x x f x x x --=+=⋅-⋅+在[]2,1--上单调递减，所以()()11min 11117121222244f x f --=-=⋅-⋅+=-=.故答案为：74.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为2,,,2cos sin 2Aa b c b B =．（1）求A ；（2）若3a =，点D 在边AC 上，且13CD CA =，求BCD △面积的最大值．【答案】（1）π3A =（2）4【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及二倍角公式化简即可得3tan23A =，即可知π3A =；（2）结合（1）中结论，由余弦定理可得229b c bc +=+，利用不等式即可求出9bc ≤，再由向量比例关系可知11133sin 3324BCD ABC S S bc A ==⨯≤，即可求出结果.【小问1详解】根据22cossin 2A b B =，由正弦定理可得22sin cos sin 2AB A B =，由二倍角公式可得22sin coscos sin 222A A AB B =，又因为(),0,πA B ∈，所以cos 0,sin 02A B ≠≠，即可得cos 22A A=，即3tan23A =，所以π26A =，即π3A =；【小问2详解】如下图所示：由（1）可知2221cos 22b c a A bc +-==，即229b c bc +-=，可得229b c bc +=+又2292b c bc bc +=+≥，解得9bc ≤，当且仅当3==b c 时，等号成立；所以193sin 24ABC S bc A =≤△，由13CD CA = 可得11133sin 3324BCD ABC S S bc A ==⨯≤ ，所以BCD △面积的最大值为334.18.2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对该校男女学生是否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：男生女生合计喜欢120100220不喜欢80100180合计200200400（1）根据表中数据，采用小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关？（2）为弄清学生不喜欢电子竞技的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为X，求X的数学期望．参考公式及数据：()()()()()2n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++．α0.150.100.050.0250.01xα 2.072 2.706 3.841 5.0246.635【答案】（1）采用小概率值0.05α=的独立性检验，能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关（2）37 42（3）11 ()2 E X=【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及对立事件概率和为1，即可求解．（3）结合二项分布的期望公式，即可求解．【小问1详解】22⨯列联表如下表所示：男生女生合计喜欢120100220不喜欢80100180合计200200400零假设0H ：该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别无关，22400(12010080100)400 4.040 3.84120020022018099χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，2( 3.841)0.05P χ≥= ，采用小概率值0.05α=的独立性检验，可推断0H 不成立，即能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关，【小问2详解】采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名男生”的概率为3539C 103711C 8442-=-=．【小问3详解】由题意可知喜欢电子竞技的概率为2201140020=，所以11~(10,20X B ，故1111()10202E X =⨯=．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()111,212n n n a n S S n a +=-=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()*2,N n n b n S n =-∈，若对任意*N n ∈都有n b λ≤成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）2n nna =（2）2λ≥【解析】【分析】（1）由()()121n n n n S S n a +-=+，得()121n n na n a +=+，再利用累乘法即可得解；（2）先利用错位相减法求出n S ，即可求得n b ，再求出n b 的最大值，即可得解.【小问1详解】由()()121n n n n S S n a +-=+，得()121n n na n a +=+，则当2n ≥时，()121n n a n a n -=-，所以()()()1211211212122222n n n nn n n a a a nn a a a a a n n ----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⨯=-- ，当1n =时，上式成立，所以2n nn a =；【小问2详解】由（1）知231232222n n n S =+++⋅⋅⋅+，2341112322222n n nS +∴=++⋅⋅⋅+，23111111222222n n n n S +∴=+++⋅⋅⋅+-，112122n n n S ++=- ，222n n n S +∴=-．因此()22n nn n b +=，()()()1113222n nn n n n n n b b +++++-=-2132n n +-+=，∴当211,0n b b =->，即21b b >，当2n ≥时，10n n b b +-<，即1n n b b +<，2b ∴最大项22b =，2λ∴≥．20.当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：年份201720182019202020212022编号x123456企业总数量y （单位：百个）5078124121137352（1）若用模型e bx y a =拟合y 与x 的关系，根据提供的数据，求出y 与x 的经验回归方程；（2）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为12，甲胜丙的概率为13，乙胜丙的概率为35，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．参考数据：661128.5,106.05ii i i i ux u ====∑∑，其中，ln i iu y =参考公式：对于一组数据()(),1,2,3,,i i x y i n =⋅⋅⋅，其经验回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121ˆˆˆ,niii nii x ynx y bay bx xnx ==-⋅==--∑∑【答案】（1）0.36 3.49e x y +=（2）310【解析】【分析】（1）令ln ln e ln bx u y a bx a ===+，利用最小二乘法求出 ,ln ba ，即可得解；（2）由根据相互独立事件概率的乘法公式计算即可得到答案.【小问1详解】令ln ln e ln bx u y a bx a ===+，12345628.53.5,4.7566x u +++++====，则()616222222221106.056 3.5 4.75ˆ0.361234566 3.5i i i ii x unx ubxnx ==-⋅-⨯⨯===+++++-⨯-∑∑，ˆln 4.750.36 3.5 3.49a=-⨯=，所以 3.49e a =，所以 3.490.360.36 3.49e e e x x y +=⋅=；【小问2详解】设甲公司获得“优胜公司”为事件A ，则()11123112113232352253210P A =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以甲公司获得“优胜公司”的概率为310．21.已知函数()()21e xf x x mx =++．（1）若0m =，求()f x 在()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在()1,1-上恰有一个极小值点，求实数m 的取值范围；（3）若对于任意()()()20,π,e cos 1xx f x x x ∈>+恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1y x =+（2）()2,0-（3）[)0,∞+【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出在()()0,0f 处的切线斜率即可求得切线方程；（2）利用导函数求出函数()f x 在()1,1-上的单调性，利用极值点定义即可求得实数m 的取值范围为()2,0-；（3）根据题意将不等式转化为cos x x x m >-在()0,πx ∈恒成立，求出()cos g x x x x =-的单调性即可求得m 的取值范围是[)0,∞+.【小问1详解】若0m =时，()()2e1xf x x=+，则()()2e 21x x f x x =++'，()()01,01f f '==，可得()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为1y x -=，即1y x =+．【小问2详解】函数()()2e1xf x xmx =++，则()()2e 21xf x x m x m '⎦=+++⎡⎤⎣+，令()00f '=得121,1x m x =--=-，①若12x x ≤，则()0,0m f x ≥≥'在()1,1-上恒成立，此时()f x 在()1,1-上单调递增，无极值，不符合题意，②若12x x >，则()0,m f x '<与()f x 的情况如下：x(),1-∞-1-()1,1m ---1m --()1,m --+∞()f x '+-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增若()f x 在()1,1-上恰有一个极小值点，则需满足111m -<--<，解得20m -<<，即实数m 的取值范围为()2,0-．【小问3详解】易知e 0x >，所以()()()22e1e cos 1xx f x xmx x x =++>+可化为22cos x mx x x +>，又()0,πx ∈，所以可得cos x m x x +>，即对于任意()0,π,cos x m x x x ∈>-恒成立，令()cos g x x x x =-，则()()cos sin 1cos 1sin g x x x x x x x =--=--'，又()0,πx ∈，所以cos 10x -<，又sin 0,x x >可得()0g x '<即()g x 在()0,π上单调递减，所以()()00g x g <=，可得0m ≥，即实数m 的取值范围为[)0,∞+．22.已知函数()2ln ,R f x x x ax x a =-+∈．（1）若函数()f x 是减函数，求a 的取值范围；（2）若()f x 有两个零点12,x x ，且212x x >，证明：1228ex x >．【答案】（1）e,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）()ln 220f x x ax '=-+≤在()0,∞+上恒成立，参变分离ln 22x a x+≥在()0,∞+上恒成立，构造函数求出()ln 2x u x x+=的最大值，从而求出a 的取值范围；（2）由零点得到121122ln 1ln 1x x a x x x x =+=+，令21(2)x tx t =>，从而得到1ln ln 11t x t =--，2ln ln 11t t x t =--，()()121ln ln 21t tx x t +=--，构造()()1ln 2(2)1t t h t t t +=->-，求导得到其单调性，从而证明出结论.【小问1详解】()2ln ,R f x x x ax x a =-+∈的定义域为()0,∞+，()ln 121ln 22f x x ax x ax '=+-+=-+，函数()f x 是减函数，故()ln 220f x x ax '=-+≤在()0,∞+上恒成立，即ln 22x a x+≥在()0,∞+上恒成立，令()ln 2x u x x+=，()0,x ∈+∞，()221ln 2ln 1x x u x x x ----'==，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0u x '>，()ln 2x u x x +=单调递增，当1,ex ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0u x '<，()ln 2x u x x+=单调递减，故()ln 2x u x x +=在1e x =处取得极大值，也是最大值，且1e e u ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2e a ≥，解得e 2a ≥，故a 的取值范围是e ,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；【小问2详解】若有两个零点12,x x ，则2211112222ln 0,ln 0x x ax x x x ax x -+=-+=，得121122ln 1ln 1x x a x x x x =+=+．2120x x >> ，令21(2)x tx t =>，则()111111ln ln 11tx x x x tx tx +=+，故1ln ln 11tx t =--，则()211ln ln ln ln ln 11t tx tx t x t ==+=--，()()12121ln ln ln ln ln ln 112111t t t t tx x x x t t t +∴=+=-+-=----，令()()1ln 2(2)1t t h t t t +=->-，则()212ln (1)t t t h t t -'+-=-，令()12ln (2)t t t t t ϕ=-+->，则()22221(1)10t t t t t ϕ-=-++=>'，()t ϕ∴在()2,+∞上单调递增，()()3334ln 2ln e ln1622ln20222t ϕϕ--∴>=-==>，()()20(1)t h t t ϕ∴='>-，则()h t 在()2,+∞上单调递增，()()2823ln22lne h t h ∴>=-=，即()212l 8en ln x x >，故1228e x x >.【点睛】极值点偏移问题，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用1122ln ln lnx x x x -=进行变形，可构造关于12x t x =的函数，利用导函数再进行求解.。
2018年河南省南阳市高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：1．（5分）已知集合，B={x|lgx＜1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．（﹣1，3]C．（0，1]D．（0，3]2．（5分）复数z满足，则z=（）A．3+4i B．3﹣4i C．4+3i D．4﹣3i3．（5分）设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，x﹣lnx≤0 B．∀x＞0，x﹣lnx＜0C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0 D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤04．（5分）设{a n}为等差数列，公差d=﹣2，s n为其前n项和，若S10=S11，则a1=（）A．18 B．20 C．22 D．245．（5分）若x，y是正数，且+=1，则xy有（）A．最小值16 B．最小值C．最大值16 D．最大值6．（5分）在△ABC中，a=8，b=10，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解7．（5分）已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）=﹣ln（1﹣x），函数若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．C．（﹣1，2）D．8．（5分）已知y=f（x）是定义域为，值域为的函数，则这样的函数共有（）个．A．6 B．27 C．64 D．819．（5分）若函数f（x）=有且只有2个不同的零点，则实数k 的取值范围是（）A．（﹣4，0）B．（﹣∞，0]C．（﹣4，0]D．（﹣∞，0）10．（5分）已知O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心11．（5分）已知有穷数列{a n}中，n=1，2，3，…，729．且a n=（2n﹣1）•（﹣1）n+1．从数列{a}中依次取出a2，a5，a14，…．构成新数列{b n}，容易发现数列{b n}n是以﹣3为首项，﹣3为公比的等比数列．记数列{a n}的所有项的和为S，数列{b n}的所有项的和为T，则（）A．S＞T B．S=TC．S＜T D．S与T的大小关系不确定12．（5分）4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，则2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差的最大值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2二、填空题：13．（5分）已知sinθcosθ=，则tanθ=．14．（5分）在△ABC中，AB=7，AC=25．若O为△ABC的外心，则=．15．（5分）下列结论：①“a＞1“是“a＞“的充要条件②∃a＞1，x＞0，使得a x ＜log a x；③函数的最小正周期为；④任意的锐角三角形ABC中，有sinB＞cosA成立．其中所有正确结论的序号为．16．（5分）已知k＞0，b＞0，且kx+b≥ln（x+2）对任意的x＞﹣2恒成立，则的最小值为．三、解答题：17．（10分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S6=S3+14，a6=10﹣a4，a4＞a3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}中，b n=log2 a n，求数列{a n•b n}的前n项和T n．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且c=acosB+bsinA （1）求A；（2）若，求△ABC的面积的最值．20．（12分）已知函数，k∈R．（1）如果对任意x＜0，f（x）＜0恒成立，求k的取值范围；（2）若函数f（x）有两个零点，求k的取值范围；（3）若函数f（x）的两个零点为x1，x2，证明：x1+x2＜﹣2．21．（12分）讨论函数在定义域（0，+∞）上的单调性．22．（12分）已知函数f（x）=﹣mlnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）若m≥1，试讨论关于x的方程f（x）=x2﹣（m+1）x的解的个数，并说明理由．2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（5分）已知集合，B={x|lgx＜1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．（﹣1，3]C．（0，1]D．（0，3]【解答】解：∵集合={x|﹣1＜x≤3}，B={x|lgx＜1}={x|0＜x＜10}，∴A∩B={x|0＜x≤3}=（0，3]．故选：D．2．（5分）复数z满足，则z=（）A．3+4i B．3﹣4i C．4+3i D．4﹣3i【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵，∴a﹣bi+=8﹣4i，∴a+=8，﹣b=﹣4，联立解得b=4，a=3．则z=3+4i．故选：A．3．（5分）设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，x﹣lnx≤0 B．∀x＞0，x﹣lnx＜0C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0 D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是∃x＞0，x﹣lnx≤0．故选：D．4．（5分）设{a n}为等差数列，公差d=﹣2，s n为其前n项和，若S10=S11，则a1=（）A．18 B．20 C．22 D．24【解答】解：由s10=s11，得到a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11即a11=0，所以a1﹣2（11﹣1）=0，解得a1=20．故选：B．5．（5分）若x，y是正数，且+=1，则xy有（）A．最小值16 B．最小值C．最大值16 D．最大值【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴1=≥2=4，当且仅当4x=y=8时取等号．∴，即xy≥16，∴xy有最小值为16．故选：A．6．（5分）在△ABC中，a=8，b=10，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解【解答】解：在△ABC中，∵a=8，b=10，A=45°，∴由正弦定理得：，即sinB===，∵A=45°，可得0°＜B＜135°，∴则B=arcsin或π﹣arcsin，即此三角形解的情况是两解．故选：B．7．（5分）已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）=﹣ln（1﹣x），函数若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．C．（﹣1，2）D．【解答】解：∵奇函数g（x）满足当x＜0时，g（x）=﹣ln（1﹣x），∴当x＞0时，g（﹣x）=﹣ln（1+x）=﹣g（x），得当x＞0时，g（x）=﹣g（﹣x）=ln（1+x）∴f（x）的表达式为，∵y=x3是（﹣∞，0）上的增函数，y=ln（1+x）是（0，+∞）上的增函数，∴f（x）在其定义域上是增函数，由此可得：f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，解之得﹣2＜x＜1故选：A．8．（5分）已知y=f（x）是定义域为，值域为的函数，则这样的函数共有（）个．A．6 B．27 C．64 D．81【解答】解：∵={0，，1}，故y=f（x）的定义域和值域均有3个元素，故y=f（x）是一一映射，故有：3×2×1=6个，故选：A．9．（5分）若函数f（x）=有且只有2个不同的零点，则实数k 的取值范围是（）A．（﹣4，0）B．（﹣∞，0]C．（﹣4，0]D．（﹣∞，0）【解答】解：由题意得：x≤0时，f（x）=﹣kx2，令g（x）==1+，h（x）=kx2，当x＞0时，f（x）=lnx，函数f（x）过（1，0）点，有一个零点，∴只需g（x）和h（x）有一个交点即可，如图示：，∴k的范围是：（﹣∞，0]．故选：B．10．（5分）已知O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心【解答】解：∵分别表示，方向上的单位向量∴的方向与∠BAC的角平分线一致∵∴∴的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：D．11．（5分）已知有穷数列{a n}中，n=1，2，3，…，729．且a n=（2n﹣1）•（﹣1）n+1．从数列{a}中依次取出a2，a5，a14，…．构成新数列{b n}，容易发现数列{b n}n是以﹣3为首项，﹣3为公比的等比数列．记数列{a n}的所有项的和为S，数列{b n}的所有项的和为T，则（）A．S＞T B．S=TC．S＜T D．S与T的大小关系不确定【解答】解：S=1﹣3+5﹣…﹣（2×728﹣1）+（2×729﹣1）=﹣728+2×729﹣1=729．由|﹣3×（﹣3）n﹣1|≤2k﹣1，k≤729，解得：n≤6，可取n=6，﹣3×（﹣3）5=729=（2×365﹣1）×（﹣1）366，∴T==546．∴S＞T．故选：A．12．（5分）4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，则2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差的最大值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：设1枝玫瑰花与1枝茶花的价格分别为x元和y元；则有：，对应的平面区域如图：令z=2x﹣3y当过点A时，2x﹣3y有最大值，由，解得A（3，2）此时z=2×3﹣3×2=0．故选：B．二、填空题：13．（5分）已知sinθcosθ=，则tanθ=2或．【解答】解：∵sinθcosθ===，解得tanθ=2，或，故答案为：2或．14．（5分）在△ABC中，AB=7，AC=25．若O为△ABC的外心，则=288．【解答】解：设BC中点为D，则OD⊥BC，=（），∴=（）•==（）（）=﹣=（252﹣72）=288．故答案为：288．15．（5分）下列结论：①“a＞1“是“a＞“的充要条件②∃a＞1，x＞0，使得a x ＜log a x；③函数的最小正周期为；④任意的锐角三角形ABC中，有sinB＞cosA成立．其中所有正确结论的序号为①②④．【解答】解：①“a＞1“时，“a＞“成立，“a＞“时，“a＞1“也成立，即①“a＞1“是“a＞“的充要条件，正确；②当a=1.1，x=1.21时，满足a x＜log a x，故∃a＞1，x＞0，使得a x＜log a x，正确；③函数=tan2x（x≠，且x≠）的最小正周期为π，故错误；④任意的锐角三角形ABC中，有A+B，即A＞﹣B，则cos（﹣B）＞cosA，即sinB＞cosA成立，故正确；故答案为：①②④．16．（5分）已知k＞0，b＞0，且kx+b≥ln（x+2）对任意的x＞﹣2恒成立，则的最小值为1．【解答】解：因为k＞0，b＞0，且kx+b≥ln（x+2）令f（x）=ln（x+2）﹣kx﹣b则f′（x）=，令f′（x）=0，得x=，显然x＞﹣2．∴f（x）的最大值为ln（﹣2+2）﹣k（2）﹣b，即ln（﹣2+2）﹣k（2）﹣b=0，∴b=﹣lnk﹣1+2k，那么：==2﹣，令g（k）=，g′（k）=，（k＞0），当0＜k＜1时，g（k）是递增函数，当k＞1时，g（k）是递减函数，当k=1时，g（k）取得最大值为1，∴=2﹣的最小值为1．故答案为：1．三、解答题：17．（10分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】（1）证明：∵f（x）=e x+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+e x=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）解：若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣≥﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m≤﹣．18．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S6=S3+14，a6=10﹣a4，a4＞a3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}中，b n=log2 a n，求数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由已知a4+a5+a6=14，∴a5=4，又数列{a n}成等比，设公比q，则+4q=10，∴q=2或（与a4＞a3矛盾，舍弃），∴q=2，a n=4×2n﹣5=2n﹣3；（Ⅱ）b n=n﹣3，∴a n•b n=（n﹣3）×2n﹣3，T n=﹣2×2﹣2﹣1×2﹣1+0+…+（n﹣3）×2n﹣3，2T n=﹣2×2﹣1﹣1×20+0+…+（n﹣3）×2n﹣2，相减得T n=2×2﹣2﹣（2﹣1+20+…+2n﹣3）+（n﹣3）×2n﹣2=﹣（2n﹣2﹣）+（n﹣3）×2n﹣2=（n﹣4）×2n﹣2+1，19．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且c=acosB+bsinA （1）求A；（2）若，求△ABC的面积的最值．【解答】解：（1）由题意知，c=acosB+bsinA，由正弦定理得，sinC=sinAcosB+sinBsinA，∵sin（A+B）=sinC，∴化简得，sinBcosA=sinBsinA，∵sinB＞0，∴cosA=sinA，则tanA=1，由0＜A＜π得，；…6分（2）∵，，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得，，因为b2+c2≥2bc，故可得（当且仅当b=c时取等号），∴△ABC的面积∴△ABC的面积的最大值是．没有最小值．…12分．20．（12分）已知函数，k∈R．（1）如果对任意x＜0，f（x）＜0恒成立，求k的取值范围；（2）若函数f（x）有两个零点，求k的取值范围；（3）若函数f（x）的两个零点为x1，x2，证明：x1+x2＜﹣2．【解答】解：（1）∵对∀x＜0，f（x）＜0恒成立∴k＜xe x，对∀x＜0恒成立令g（x）=xe x，则g'（x）=（x+1）e x，易知：g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，0）上递增．∴，∴k的取值范围是．…4分（2）f（x）有两个零点，等价于y=k与y=g（x）=xe x有两个不同的交点，由（1）知，．…6分（3）证明：由（2）知：不妨设x1＜﹣1＜x2＜0，则，，即g（x1）=g（x2）=k令h（x）=（x+2）e﹣x﹣2+xe x，x∈（﹣1，0）h'（x）=（x+1）（e x﹣e﹣x﹣2）＞0，即h（x）为增函数∴h（x）＞h（﹣1）=0，即xe x＞（﹣x﹣2）e﹣x﹣2因为x2∈（﹣1，0），故g（x2）＞g（﹣x2﹣2）由g（x1）=g（x2），得g（x1）＞g（﹣x2﹣2）由（1）知g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，故x1＜﹣x2﹣2，即：x1+x2＜﹣2…12分．21．（12分）讨论函数在定义域（0，+∞）上的单调性．【解答】解：∵f'（x）=（k﹣1）（x2+1）+2x，x＞0，∴①当k≥1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；又，f'（x）=k（x2+1）﹣（x﹣1）2，∴②当k≤0时，f'（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上递减；③当0＜k＜1时，方程f'（x）=0的判别式△=4k（2﹣k）＞0，该方程有两根，且0＜x1＜x2，则当x变化时，f（x）和f'（x）的变化情况如下表：所以f（x）在（0，x1）上递减，在（x1，x2）上递增，在（x2，+∞）上递减．22．（12分）已知函数f（x）=﹣mlnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）若m≥1，试讨论关于x的方程f（x）=x2﹣（m+1）x的解的个数，并说明理由．【解答】解：（1）依题意得，，x∈（0，+∞）当m≤0时，f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值； (2)分当m＞0时，令f'（x）=0，或（舍）当时，f'（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；当时，f'（x ）＞0，函数f （x ）在上单调递增．故函数f （x ）有极小值．…5分综上所述：当m ≤0时，f （x ）无极值； 当m ＞0时，f （x ）有极小值，无极大值． …6分（2）令F （x ）=f （x ）﹣x 2+（m +1）x=﹣x 2+（m +1）x ﹣mlnx ，x ＞0， 问题等价于求F （x ）函数的零点个数． 易得当m=1时，F'（x ）≤0，函数F （x ）为减函数，因为，F （4）=﹣ln4＜0，所以F （x ）有唯一零点； …8分当m ＞1时，则当0＜x ＜1或x ＞m 时，F'（x ）＜0，而当1＜x ＜m 时，F'（x ）＞0，所以，函数F （x ）在（0，1）和（m ，+∞）上单调递减，在（1，m ）单调递增， 因为，F （2m +2）=﹣mln （2m +2）＜0，所以函数F （x ）有唯一零点．综上，若m ≥1，函数F （x ）有唯一零点，即方程方程f （x ）=x 2﹣（m +1）x 有唯一解．…12分．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn mna a a m n N+=>∈且1)n>．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmn n na a m n Na a-+==>∈且1)n>．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r sa a a a r s R+⋅=>∈②()(0,,)r s rsa a a r s R=>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R=>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
2023-2024学年河南省洛阳市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省洛阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若命题p ：∃x ＞0，x 2﹣2x +1＜0，则￢p 为（ ）A ．∃x ＞0，x 2﹣2x +1≥0B ．∀x ＞0，x 2﹣2x +1≥0C ．∃x ≤0，x 2﹣2x +1＞0D ．∀x ≤0，x 2﹣2x +1＞02．已知集合M ＝{（x ，y ）|y ＝3x +4}，N ＝{（x ，y ）|y ＝x 2}，则M ∩N ＝（ ）A ．{﹣1，4}B ．{1，4}C ．{（﹣1，1），（4，16）}D ．（﹣1，1），（4，16）3．若幂函数f （x ）＝x m 的图象过点（2，√2），则实数m ＝（ ）A ．2B ．3C ．﹣1D ．124．已知﹣1＜a ＜2，﹣2＜b ＜3，则下列不等式错误的是（ ）A ．﹣3＜a +b ＜5B ．﹣4＜a ﹣b ＜4C ．2＜ab ＜6D ．a 2+b 2＜135．已知a =(32)0.1，b =(32)0.2，c =(94)0.04，则a ，b ，c 之间的大小关系为（ ） A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c6．已知U 为全集，集合A ，B 为U 的两个子集，则“A ⊆∁U B ”的充要条件是（ ）A ．B ⊆∁U A B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．∁U A ⊆B7．已知a ＞b ＞c ，a ﹣c ＝5，则（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2的最小值为（ ）A ．25B ．252C ．5D ．528．已知函数 f （x ）＝a x （1﹣2x ）（a ＞0 且a ≠1）是奇函数，则a ＝（ ）A ．2B ．√2C ．√22D ．12二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
2023-2024学年洛阳市一中高二数学上学期期中达标测评卷附答案解析
2023-2024学年洛阳市一中高二数学上学期期中达标测评卷2023.10【满分：120分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量(2,4,)a x = ，(2,,2)b y = ，若||6a = ，a b ⊥ ，则x y +的值为（）A ．-3或1B ．-2C ．1或-2D ．22．一入射光线经过点(2,6)M ，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线经过点(3,4)N -，则反射光线所在直线方程为（）A ．2130x y -+=B ．6220x y -+=C ．3150x y -+=D ．6270x y -+=3．已知椭圆2212516x y +=的左､右焦点分别为B 、C ，A 为椭圆上的一点（不在x 轴上），则△ABC 面积的最大值是（）A ．15B ．12C ．6D ．34．抛物线()220y px p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22142x y -=的渐近线相交于A 、B 两点，若ABF∆的周长为p =（）A ．2B ．C ．8D ．45．已知圆C 过圆221:42100C x y x y ++--=与圆222:(3)(3)6C x y ++-=的公共点．若圆1C ，2C 的公共弦恰好是圆C 的直径，则圆C 的面积为（）A ．115πB ．265πC ．D ．1045π6．已知椭圆C 过点(3,0)，且离心率为，则椭圆C 的标准方程为（）A ．22193x y +=B ．221279y x +=C ．22193x y +=或22139x y +=D ．22193x y +=或221279y x +=7．已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为a ，D 是侧棱1CC 的中点，则平面ABC 与平面1AB D 的夹角的余弦值为（）A ．12B ．C ．32D ．08．设抛物线24y x =的准线与x 轴交于点K ，过点K 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点．设线段AB 的中点为M ，过点M 作x 轴的平行线交抛物线于点N ．已知NAB △的面积为2，则直线l 的斜率为（）A ．B ．12±C ．D ．2±二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知1F ､2F是双曲线C ：2212y x -=的上､下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12F F 为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的有（）A ．双曲线C 的渐近线方程为y =B ．以12F F 为直径的圆方程为222x y +=C ．点M 的横坐标为D ．12MF F △10．已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =11．如图，在菱形ABCD 中，3AB =，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起，使点A ，C 之间的距离为P ，Q 分别为直线BD ，CA 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．当AQ QC =，4PD DB =时，点D 到直线PQ 的距离为14B ．线段PQC ．平面ABD ⊥平面BCDD ．当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，PQ 与AD 所成角的余弦值为12．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是（）A ．抛物线的方程是22x y=B ．抛物线的准线是1y =-C ．sin QMN ∠的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设(12)a m =- ,,，(2,,4)b n =- ，若b a λ= ，则||a b -=r r ．14．已知圆221:(1)(2)4C x y -+-=和圆222:(2)(1)2C x y -+-=交于,A B 两点，直线l 与直线AB 平行，且与圆2C 相切，与圆1C 交于点,M N ，则MN =．15．如图，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若124PF QF =，则直线2PF 的斜率为16．《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ．若3AB EF =，ADE V 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为．四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知圆C 关于直线x ＋y ＋2＝0对称，且过点P(－2，2)和原点O.(1)求圆C 的方程；(2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(－1，0)，若l1，l2被圆C 所截得的弦长相等，求此时直线l1的方程．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD 是正三角形，CD ⊥平面PAD ，,,E F G 分别是,,PC PD BC 的中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ．(2)线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6？若存在，求线段PM 的长度；若不存在，请说明理由．19．生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C 的焦点在y 轴上，中心在坐标原点，从下焦点1F 射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点2F ，这束光线的总长度为4e22<.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若从椭圆C 中心O 出发的两束光线OM 、ON ，分别穿过椭圆上的A 、B 点后射到直线4y =上的M 、N 两点，若AB 连线过椭圆的上焦点2F ，试问，直线BM 与直线AN 能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.20．如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为．(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．1．A【分析】由向量模长的坐标表示求得4x =±，根据向量垂直的坐标表示列方程求y ，即得结果》【详解】||6a == ，可得4x =±．又a b ⊥，则4420a b y x ⋅=++= ．当4x =-时，1y =，此时3x y +=-；当4x =时，=3y -，此时1x y +=．故选：A2．D【分析】求得点(2,6)M 关于直线l ：30x y -+=的对称点M '的坐标，可得M N '的方程，即反射光线所在直线方程.【详解】解：因为点(2,6)M 关于l ：30x y -+=的对称点为(3,5)M '，所以反射光线M N '的方程为6270x y -+=.故选：D.3．B【分析】由三角形面积公式可知△ABC 的底BC为定值，当高为最大时，面积即为最大，故当点A 位于椭圆上顶点或下顶点时高最大，即可求解.【详解】由三角形面积公式12ABC A S BC y =⋅ 可知，当Ay 最大时ABCS 有最大值，即点A 位于椭圆上顶点或下顶点，其中26BC c ====，则△ABC 面积的最大值是164122ABC S =⨯⨯= ，故选：B .4．A【解析】由题意设2,24p A p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2,24p B p ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，再由ABF ∆的周长为p 的方程，从而求得p 的值.【详解】双曲线22142x y -=渐近线方程为2y x =±，抛物线()220y px p =>的准线方程为2px =-，则224p A p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2,24p B p ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，22AB p ∴=，324FA FB ==，又ABF ∆的周长为FA FB AB ∴++=++=∴2p =.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程、抛物线的准线方程、三角形的周长等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将周长表示成关于p 的方程.5．B【分析】根据题意求解圆1C ，2C 的公共弦方程，再计算圆2C 中的公共弦长即可得圆C 的直径，进而求得面积即可【详解】由题，圆1C ，2C 的公共弦为2242100x y x y ++--=和22(3)(3)6x y ++-=的两式相减，化简可得2110x y -+=，又()23,3C -到2110x y -+=的距离d ==，故公共弦长为=，故圆C ，故圆C 的面积为265π故选：B6．D【分析】就焦点的位置分类讨论后结合基本量的关系可求标准方程.【详解】若焦点在x 轴上，则3a=．由3c ea ==，得c =2223b a c =-=，此时椭圆C 的标准方程为22193x y +=．若焦点在y 轴上，则3b =．由3c e a ==，得227a =，此时椭圆C 的标准方程为221279y x +=．综上所述，椭圆C 的标准方程为22193x y +=或221279y x +=．故选：D.7．B【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面1AB D 的法向量，由向量的夹角公式结合特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：以点A 为坐标原点，以垂直于AC 的直线为x 轴，以AC 所在直线为y 轴，以1AA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，因为111ABC A B C -是各棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点，所以11(0,0,0),,,),(0,,),(0,,)22a aA B a D a C a a ，故1,,),(0,,)22a aAB a AD a == ，1(0,0,)2a DC = ，设平面1AB D 的法向量为(,,)n x y z =，则100n AB n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0202ay az a ay z ++=⎨⎪+=⎪⎩，令1y =，则2z =-，x =2)n =-，又平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =，所以|||cos ,|||||2m n m n m n ⋅<>===，所以平面ABC 与平面1AB D所成的锐二面角的余弦值为22．故选：B．8．A【分析】利用抛物线的图象与性质、直线方程、一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式运算即可得解.【详解】解：如上图，由题意，抛物线24y x =的准线为=1x -，可得(1,0)K -．∵直线l 与抛物线交于A ，B 两点，∴直线l 的斜率存在且不为0，∴设直线l 方程为1(0)x ty t =-≠，将其代入24y x =，化简并整理得：2440y ty -+=．由2(4)160t ∆=-->，得21t >．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =，∴()2121212112x x y y t y t t y t +=+-==+---．∵M 是AB 的中点，∴()221,2M t t -．过点M 平行x 轴的直线为2y t =，与抛物线交点为知()2,2N t t，所以2||1MN t=-．又∵()()()()22221212124416441y y y y y y t t -=+--=⨯=-，则21241y yt -=-∴NAB △的面积32121||212S MN y y t =⋅-=-．由已知条件知2S =，∴32212t -=，解得22t=（满足0∆>），解得：2t =.∴直线l 的方程为21x y =±-，即)212y x =±+，∴直线l 的斜率为22±．故选：A ．9．AD【解析】由双曲线的标准方程可求得渐近线方程，可判断A 选项；求得c 的值，可求得以12F F 为直径的圆的方程，可判断B 选项；将圆的方程与双曲线的渐近线方程联立，求得点M 的坐标，可判断C 选项；利用三角形的面积公式可判断D 选项【详解】由双曲线方程2212y x -=知2a =1b =，焦点在y 轴，渐近线方程为2a y x xb =±=，A 正确；c ==12F F 为直径的圆的方程是223x y +=，B 错误；由223x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩223x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩所以，M 点横坐标是1±，C错误；121211122MF F M S F F x =⋅=⨯=△D 正确．故选：AD ．【点睛】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，而双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的渐近线方程为a y xb =±（即b x y a =±），应注意其区别与联系.10．ACD【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB4==>，所以，点P 到直线AB的距离的最小值为425-<，最大值为4105+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，BM ==4MP =，由勾股定理可得BP =CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 的圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+.11．BCD【分析】易知,OA BD OC BD ⊥⊥，从而OA ⊥平面BDC ，进而有平面ABD ⊥平面BDC ，即可判断C ；建立坐标系，利用向量法可判断ACD【详解】取BD 的中点O ，连接,OA OC ，由题意可知：2OA OC ==，因为222OA OC AC +=，所以OA OC ⊥，又易知,OA BD OC BD ⊥⊥，因为OA OC ⊥，OA BD ⊥，OC BD O = ，所以OA ⊥平面BDC ，因为OA ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BDC ，故C 正确；以O 为原点，,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则()(),0,2,0,0,0,2,,0,0B C A D ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当AQ QC =，4PD DB =时，()0,1,1Q，3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，PQ ⎫=⎪⎪⎝⎭，DP ⎫=⎪⎪⎝⎭ ，所以点D 到直线PQ的距离为1321PQ DP d PQ⋅===，故A 错误；设(),0,0P a ，(),,Q x y z ，由CQ CA λ=得，()0,22,2Q λλ-，PQ =当10,2a λ==时，min PQ ，故B 正确；当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，()0,0,0P ，()0,1,1Q ，()0,1,1PQ=，2AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设PQ 与AD 所成的角为θ，则cosPQ ADPQ ADθ⋅=⋅，所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确；故选：BCD12．BC【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p，进而得到抛物线方程和准线方程；求得()F，1，设()11,A x y，()22,B x y，直线l的方程为1y kx=+，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得线段AB的最小值，可得圆Q的半径，由中点坐标公式可得Q的坐标，运用直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求sin QMN∠的最小值.【详解】抛物线()2:20C x py p=>的焦点为2pF⎛⎫⎪⎝⎭，，得抛物线的准线方程为2py=-，点()2E t，到焦点F的距离等于3，可得232p+=，解得2p=，则抛物线C的方程为24x y=，准线为1y=-，故A错误，B正确；由题知直线l的斜率存在，()F，1，设()11,A x y，()22,B x y，直线l的方程为1y kx=+，由214y kxx y=+⎧⎨=⎩，消去y得2440x kx--=，所以124x x k+=，124x x=-，所以()21212242y y k x x k+=++=+，所以AB的中点Q的坐标为()2221k k+，，221242244AB y y p k k=++=++=+，故线段AB的最小值是4，即D错误；所以圆Q的半径为222r k=+，在等腰QMN 中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++，当且仅当0k =时取等号，所以sin QMN ∠的最小值为12，即C 正确，故选：BC.【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，课程中心方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题.13．9【分析】根据题意，由共线向量定理即可得到,a b的坐标，再由空间向量的坐标运算即可求得模长.【详解】由b a λ= ，得(2,,4)(1,2,)n m λ-=-，2,2,4,n m λλλ=-⎧⎪∴=⎨⎪-=⎩解得2,2,4,m n λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩(1,2,2)a ∴=- ，(2,4,4)b =-- ，(3,6,6)a b ∴-=-，9a b ∴-== ．故答案为：914．4【分析】由题可得10:x y AB --=，利用点到直线的距离公式可得:10l x y -+=，然后利用弦长公式即得.【详解】由圆221:(1)(2)4C x y -+-=，可知圆心()11,2C ，半径为2，圆222:(2)(1)2C x y -+-=，可知圆心()22,1C，又221:2410C x y x y +--+=，2224230:C x y x y +--+=，所以可得直线10:x y AB --=，设:0l x y c -+=，直线l 与圆2C=1c =，或3c =-，当1c =时，:10l x y -+=，∴4MN ==，当3c =-时，:30l x y --=2>，故不合题意.故答案为：4.15．2-【分析】根据椭圆的定义及直径所对的圆周角等于90，利用勾股定理及锐角三角函数的定义，结合三角函数的诱导公式及斜率的定义即可求解.【详解】连接1QF，如图所示设()20,QF x x =>则14PF x =，由椭圆的定义得12122,2,PF PF a QF QF a +=+=所以2124,2,PF a x QF a x =-=-222423,PQ PF QF a x x a x =+=-+=-在1PF Q △中，190F PQ ∠= ,所以22211PF PQ QF +=,即()()()2224242x a x x a x +-+=-，整理得3a x =，所以121244tan 22464PF x x PF F PF a x x x ∠====--，所以直线2PF 的斜率为()212tan 180tan 2k PF F PF F =-∠=-∠=- .故答案为：2-.16．2π##90︒【分析】在CD 上取点G ，满足3CD CG =，可得AEG ∠即为异面直线AE 与CF 所成角（或补角），设出边长，可得222AE EG AG +=，即可求出.【详解】如图，在CD 上取点G ，满足3CD CG =，因为//EF AB ，3AB EF =，四边形ABCD 为矩形，所以//EF CD ，且=EF CG ，则四边形EFCG 为平行四边形，则//CF EG ，所以AEG ∠即为异面直线AE 与CF 所成角（或补角），设3AD x =，则EF x =，22AD EF x ==，因为ADE V 和BCF △都是正三角形，所以2AE x =，2EG x =，由2DG x =，所以AG =，满足222AE EG AG +=，所以AE EG ⊥，即异面直线AE 与CF 所成角的大小为2π.故答案为：2π.17．(1)(x ＋2)2＋y2＝4(2)x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0【分析】（1）设圆心C(a ，－a －2)，由题意可得(a ＋2)2＋(－a －2－2)2＝a2＋(－a －2)2，解方程即可得出答案.（2）设出直线12,l l 的直线，因为圆心C 到直线l1，l2的距离相等，用点到直线的距离公式可得=.【详解】（1）由题意知，直线x ＋y ＋2＝0过圆C 的圆心，设圆心C(a ，－a －2)．由题意，得(a ＋2)2＋(－a －2－2)2＝a2＋(－a －2)2，解得a ＝－2.因为圆心C(－2，0)，半径r ＝2，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋y2＝4.（2）由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设l1的斜率为k ，则l2的斜率为1k -，所以l1：y ＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，l2：()11y x k =-+，即x ＋ky ＋1＝0.由题意，得圆心C 到直线l1，l2的距离相等，=，解得1k =±，所以直线l1的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.18．(1)证明见解析(2)不存在满足条件的点M ，理由见解析点【分析】（1）利用面面垂直的判断定理可证平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量法可判断M 是否存在.【详解】（1）CD ⊥ 平面PAD ，CD ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）设AD 的中点为O ，连接,PO OG ，因为PAD 是正三角形，故PO AD ⊥，而平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，故PO ⊥平面ABCD ，而OG ⊂平面ABCD ，故PO OG ⊥，由四边形ABCD 为正方形且,O G 分别为,AD BC 的中点得AD OG ⊥，故可以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,P ，(2,0,0)A ，(2,4,0)B ，(2,4,0)C -，()2,0,0D -，故(0,4,0)G ，(E -，(F -，(2,0,PA ∴=-，(0,2,0)EF =- ，(1,2,EG =．假设线段PA 上存在点(,0,)M x z ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，且(01)PM tPA t =≤≤ ，则(,0,(2,0,x z t -=-，2x tz =⎧⎪⎨=⎪⎩，(2,)GM t ∴=--．设平面EFG 的一个法向量为(,,)n a b c = ，则2020EF n b EG n a b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令1c =，则n =，||1sin |cos ,|62||||GM nGM n GM n π⋅∴====，整理可得22320t t -+=，方程无解，故假设不成立，即不存在满足条件的点M ．19．(1)22143y x +=(2)能，定点为（0，85）【分析】（1）由条件列方程求,,a b c 可得椭圆方程；（2）联立方程组，利用设而不求法结论完成证明.【详解】（1）由已知可设椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>，则24a =，122c b ⨯⨯，222a b c =+又e <所以21a b c ===，，故椭圆C 的标准方程为22143y x +=（2）设AB 方程为1y kx =+，由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690k x kx ++-=，222(6)36(34)1441440k k k ∆=++=+>设()()1122A x y B x y ，，，，则121222693434kx x x x k k --+==++，..由对称性知，若定点存在，则直线BM 与直线AN 交于y 轴上的定点，由114yy x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩得1144x M y ⎛⎫⎪⎝⎭，，则直线BM 方程为211121444()4y xy x x y xy --=--，令0x =，则122114(4)44x y y x y x -=+-()()112211414114x x kx x kx x ⎡⎤-+=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦112211234(1)4x kx x x x kx x -=+-+2121124()4xx x x kx x -=-+又12123()2x x kx x +=，则21212112214()4()83554()()22x x x x y x x x x x x --===-++-，所以，直线BM 过定点（0，85），同理直线AN 也过定点8(0,)5.则点（0，85）即为所求点.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20．(2)【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则111111112211433333A A BC A A ABC A ABC A B BC C C B V S h h V S A A V ---=⋅===⋅== ，解得h =所以点A 到平面1A BC（2）取1A B 的中点E,连接AE,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥,又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以⊥AE 平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE =12AA AB ==，12A B =2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1A C 的中点()1,1,1D ，则()1,1,1BD =，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z = ，则020m BDx y z m BA y ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩，可取()1,0,1m =-，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c = ，则020n BD a b c n BC a ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩ ，可取()0,1,1n =-r，则1cos ,222m n m n m n ⋅===⨯⋅，所以二面角A BD C --213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
洛阳市2017——2018学年高中三年级期中考试
数学试卷（文科）
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.设全集{}|15U x N x =∈-<<，集合{}1,3A =，则集合U C A 的子集的个数为
A.16
B. 8
C. 7
D.4
2.已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()1,1,2,1-，则21
z z = A. 1322i + B. 1322i -+ C. 1322i - D.1322
i -- 3.设m R ∈，则"2"m =是“1,,4m 成等比数列”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知函数()[][]
2,0,1,0,1x f x x x ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩，若()()2f f x =，则x 取值集合为 A.∅ B. []0,1 C. {}2 D.{}[]20,1
5.设,a b 是不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列四个命题中错误的是
A.若,,a b a b αα⊥⊥⊄，则//b α
B.若,//,a a βα⊥，则αβ⊥
C. 若αβ⊥,,a β⊥，则//a α
D. 若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则a β⊥
6.设等差数列{}n a 满足3835a a =，且10,n a S >为其前n 项和，则数列{}n S 的最大项为
A. 15S
B. 16S
C. 29S
D.30S
7. 等比数列{}n a 中，1102,4a a ==，函数
()()()()1210f x x x a x a x a =---，则()0f '=
A. 62
B. 92
C. 122
D. 15
2
8.已知函数()sin 0,1y a b x b b =+>≠的图象如图所示，那么函数()log b y x a =+的图象可能是
9.某几何体的三视图如图所示，图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为
A. 60
B. 48
C. 24
D. 20
10.已知函数()()sin cos sin f x x x x =+，则下列说法不正确
的是
A. 函数()f x 的最小正周期为π
B.()f x 在37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减 C.()f x 的图象关于直线8x π
=-对称
D.将函数()f x 的图象向右平移
8
π个单位，再向下平移12个单位长度后会得到一个奇函数的图象 11.在平面直角坐标系xoy 中，已知点()()()2,3,3,2,1,1A B C ，点(),P x y 在ABC ∆三边围成的区域内（包含边界），设(),OP mAB nCA m n R =+∈，则2m n +的最大值为
A. -1
B. 1
C. 2
D. 3
12.已知定义在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()f x 满足()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，且当[]1,x π∈时，()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有唯一的零点，则实数a 的取值范围是 A. 1,ln e ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. {}ln ,ln 0ππππ⎛⎤
⎥⎝⎦
C. []0,ln ππ
D.{}1,ln 0e ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知()()2,2,1,0a b =-=，若向量c 与a b λ+共线，则
λ= .
14.若函数()212
x
x k f x k -=+⋅在定义域上为奇函数，则实数k = .
15.已知()11sin 22f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，数列{}n a 满足()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭，则2017a = . 16.已知菱形ABCD 边长为2，60A
=将ABD ∆沿对角线BD 翻折成四面体ABCD ，当四面体ABCD
的体积最大时，它的外接球的表面积为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分10分）
设函数()21cos sin .22
f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ （1）求()f x 的单调递减区间；
（2）当,34x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最值.
18.（本题满分12分） 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项的和为6，且248,,a a a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设11n n n b a a +=
，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使1415n S <的n 的最大值.
19.（本题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()2,,cos ,cos m c b a n A C =-=，
且.m n ⊥
（1）求角A 的大小；
（2）若3a b c =+=，求ABC ∆的面积.
20.（本题满分12分）
已知函数()()32,,.f x x ax bx c a b c R =+++∈
（1）若函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值，求,a b 的值；
（2）在（1）的条件下，当[]2,3x ∈-时，()2f x c >恒成立，求c 的取值范围.
21.（本题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，60,A D C A D P ∠=∆是边长
为2的等边三角形，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点，1,BC CD PB ==
（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；
（2）求三棱锥B PQM -的体积.
22.（本题满分10分）
已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()x f x ae =且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20ebx y a -+-=
（1）求,a b 的值；
（2）若存在实数m ，对任意的[]()1,1x k k ∈>，都有()2f x m ex +≤，求整数k 的最小值.。