高考数学第1部分重点强化专题专题5平面解析几何突破点12圆锥曲线的定义方程几何性质课件

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高考数学中的圆锥曲线知识

高考数学中的圆锥曲线知识高考数学中的圆锥曲线是一道重要的考题，也是很多学生容易失分的一道难题。

圆锥曲线是指平面上坐标系中的一种特殊的曲线，也是数学的重要分支之一。

本文将介绍圆锥曲线的基本概念，分类和应用，希望能对广大考生有所帮助。

一、圆锥曲线的基本概念1.圆锥圆锥是一个由一个圆绕着它的直径周而复始地旋转而成的立体物体，其中：该直径是铅锤线，圆锥的底面是这个圆，圆锥的顶点是铅锤线的另一端。

2.圆锥曲线的概念在平面直角坐标系中，将一个固定的点F（称为焦点）与一个固定的直线L（称为直角准线）连接。

在平面上，连结点P到直线L的距离为PF和P到点F的距离的比等于定值e（e>0）。

这样得到的曲线称为圆锥曲线。

圆锥曲线分为三种情况：椭圆、双曲线和抛物线。

二、圆锥曲线的分类1.椭圆椭圆是平面上与两个焦点F1，F2的距离之和等于定值2a（a>0）的点P的轨迹。

椭圆是圆锥曲线中最简单的一种形式。

椭圆可以通过平移、伸缩、旋转对平面上的圆形进行简单的变换。

2. 双曲线双曲线是平面上与两个焦点F1，F2的距离之差等于定值2a （a>0）的点P的轨迹。

双曲线有两条渐进线，即切射线和渐进线。

3. 抛物线抛物线是平面上焦点F到直线L的距离等于点P到焦点F的距离的平方与定值a（a>0）成正比例的点P的轨迹。

抛物线的形状像一个平翻的碗，有上凸抛物和下凸抛物两种。

三、圆锥曲线的应用1. 物理学圆锥曲线在物理学中得到广泛的应用。

例如，在宇宙空间中，行星的轨迹可以用椭圆来描述。

在天体力学中，利用双曲线描绘有关天体的相对运动情况。

抛物线则可用于描述抛体的轨迹。

2. 工程学圆锥曲线在工程学中也有重要的应用，特别是在光学的设计中。

例如，望远镜的光学系统用到的镜面都是椭圆形的；飞机的机翼、车轮和机器的轮子都是利用圆锥的形状进行设计的。

3. 数学研究圆锥曲线在数学研究中的应用也是相当广泛的，例如，利用双曲线求解微积分中的积分问题；还可以用抛物线中的特殊几何性质证明三次方程有一个实根。

解析高考数学中的圆锥曲线及应用

解析高考数学中的圆锥曲线及应用近年来，高考数学中的圆锥曲线部分一直是考生们的重点之一，也是不少学生难以攻克的难点。

在这篇文章中，我们将对圆锥曲线进行较为全面的解析，并探讨其在实际应用中的具体意义。

一、圆锥曲线的概念和基本形态圆锥曲线，是指在平面直角坐标系中，由一个固定点F（焦点）与一条固定直线l（准线）所确定的点P的轨迹。

这个点P与焦点的距离PF与P到直线l的距离PL之比始终相等，该比值称为偏心率，用字母e表示。

具体而言，圆锥曲线可以分为四类：椭圆、双曲线、抛物线和直线。

1. 椭圆椭圆是由一个固定点F1（焦点）和另外一个固定点F2（F2≠F1）到平面上的所有点P距离之和为定值的轨迹。

该定值等于两焦点距离之和的一半，用字母2a表示。

对于一个椭圆来说，它的中心点是两焦点的中点O，偏心距离e=OF1/OF2，长轴长度为2a，短轴长度为2b。

2. 双曲线双曲线是由一个固定点F1（焦点）和另外一个固定点F2（F2≠F1）到平面上的所有点P距离之差为定值的轨迹。

该定值等于两焦点距离之差的绝对值，用字母2a表示。

对于一个双曲线来说，它的中心点是两焦点的中点O，偏心距离e=OF1/OF2，距离焦点较远的那一部分曲线称为“远焦双曲线”，距离焦点较近的那一部分曲线称为“近焦双曲线”。

3. 抛物线抛物线是由一个固定点（焦点）F和一条固定直线（准线）l到平面上所有点P的距离之比为定值的轨迹。

该定值等于距离焦点F最近的点到准线l的距离，用字母p表示。

对于一个抛物线来说，它的中心点是准线l上的中点O，焦距f=2p。

4. 直线直线可以看作是一个非常特殊的圆锥曲线，它的两个焦点在无穷远点，准线可以看作是无穷远处的一条直线。

因此，直线的偏心率为0。

二、圆锥曲线的方程及参数表示圆锥曲线可以用不同的方程和参数表示，常用的有标准方程、参数方程和极坐标方程。

1. 椭圆的方程和参数表示椭圆的标准方程为：(x/a)^2+(y/b)^2=1。

高中数学圆锥曲线知识点

高中数学知识点—圆锥曲线部分一、平面解析几何的知识结构：二、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。

用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。

其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e 是离心率。

用集合表示为：；e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁（2）标准方程和性质：①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，22221x y a b+=||x a ≤||y b ≤x a =±所围成的矩形里；y b =±②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点y -y (,)x y 也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于(,)x y -x x -x 轴对称。

若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

y x -x y -y 所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，x y 椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。

在椭x y 圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。

0x =y b =±1(0,)B b -2(0,)B b y 同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。

0y =x a =±1(,0)A a -2(,0)A a x 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和21A A 21B B 2a 2b a 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

b 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，a 22Rt OB F ∆2||OBb =，，且，即；2||OF c =22||B F a =2222222||||||OF B F OB =-222c a b =-④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。

新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题5解析几何第2讲圆锥曲线的方程和性质核心考点1圆锥曲

第2讲圆锥曲线的方程和性质高频考点高考预测椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程重点考查椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；抛物线定义和性质的应用，常与三角、平面向量、圆相结合，以选择填空为主.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质直线和椭圆、抛物线、双曲线的位置关系1. (2023·全国新高考Ⅰ卷)设椭圆C 1：x2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，C 2：x24＋y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2.若e 2＝3e 1，则a ＝( A )A.233B ． 2C ． 3D ． 6【解析】由椭圆C 2：x 24＋y 2＝1可得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝4－1＝3，∴椭圆C 2的离心率为e 2＝32，∵e 2＝3e 1，∴e 1＝12，∴c 1a 1＝12，∴a 21＝4c 21＝4(a 21－b 21)＝4(a 21－1)，∴a ＝233或a ＝－233(舍去)．故选A.2. (2023·全国新高考Ⅱ卷)已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左焦点和右焦点分别为F 1和F 2，直线y ＝x ＋m 与C 交于点A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的两倍，则m ＝( C )A.23 B ．23C ．－23D ．－23【解析】记直线y ＝x ＋m 与x 轴交于M (－m,0)，椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，由△F 1AB 面积是△F 2AB 的2倍，可得|F 1M |＝2|F 2M |，∴|－2－x M |＝2|2－x M |，解得x M ＝23或x M ＝32，∴－m ＝23或－m ＝32，∴m ＝－23或m ＝－32，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1y ＝x ＋m可得，4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，∵直线y ＝x ＋m 与C 相交，所以Δ＞0，解得m 2＜4，∴m ＝－32不符合题意，故m ＝－23.故选C. 3. (多选)(2023·全国新高考Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线y ＝－3(x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则( AC )A ．p ＝2B ．|MN |＝83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形【解析】直线y ＝－3(x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，可得p2＝1，所以p＝2，所以A 正确；抛物线方程为：y 2＝4x ，与C 交于M ，N 两点，直线方程代入抛物线方程可得：3x 2－10x ＋3＝0，x M ＋x N ＝103，所以|MN |＝x M ＋x N ＋p ＝163，所以B 不正确；M ，N 的中点的横坐标为53，中点到抛物线的准线的距离为：1＋53＝83，所以以MN 为直径的圆与l 相切，所以C 正确；3x 2－10x ＋3＝0，不妨可得x M ＝3，x N ＝13，y M ＝－23，y N ＝233，|OM |＝9＋12＝21，|ON |＝19＋129＝133，|MN |＝163，所以△OMN 不是等腰三角形，所以D 不正确．故选AC.4. (2022·全国甲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→·BA 2→＝－1，则C 的方程为( B )A.x 218＋y 216＝1 B ．x 29＋y 28＝1C.x 23＋y 22＝1 D ．x 22＋y 2＝1【解析】因为离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝13，解得b 2a 2＝89，b 2＝89a 2，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，则A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 为上顶点，所以B (0，b )．所以BA 1→＝(－a ，－b )，BA 2→＝(a ，－b )，因为BA 1→·BA 2→＝－1，所以－a 2＋b 2＝－1，将b 2＝89a 2代入，解得a 2＝9，b 2＝8，故椭圆的方程为x 29＋y 28＝1.故选B.5. (2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |＝( B )A ．2B ．2 2C ．3D ．3 2【解析】由题意得，F (1,0)，则|AF |＝|BF |＝2，即点A 到准线x ＝－1的距离为2，所以点A 的横坐标为－1＋2＝1，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，A (1,2)，所以|AB |＝3－12＋0－22＝2 2.故选B.6. (2022·全国甲卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( A )A.32B ．22C ．12D ．13【解析】 A (－a,0)，设P (x 1，y 1)，则Q (－x 1，y 1)，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a，故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21－x 21＋a 2＝14，又x 21a 2＋y 21b 2＝1，则y 21＝b 2a 2－x 21a2，所以b 2a 2－x 21a2－x 21＋a2＝14，即b 2a 2＝14，所以椭圆C 的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选A.7. (2022·全国甲卷)若双曲线y 2－x 2m2＝1(m >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0相切，则m ＝33. 【解析】双曲线y 2－x 2m 2＝1(m >0)的渐近线为y ＝±xm，即x ±my ＝0，不妨取x ＋my ＝0，圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0，即x 2＋(y －2)2＝1，所以圆心为(0,2)，半径r ＝1，依题意圆心(0,2)到渐近线x ＋my ＝0的距离d ＝|2m |1＋m2＝1，解得m ＝33或m ＝－33(舍去)． 8. (2021·全国新高考Ⅱ卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±3x .【解析】因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .故答案为y ＝±3x .9. (2022·全国新高考Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12.过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |＝6，则△ADE的周长是_13__.【解析】 ∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，∴不妨可设椭圆C ：x 24c 2＋y 23c2＝1，a ＝2c ，∵C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，∴△AF 1F 2为等边三角形，∵过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，∴k DE ＝tan 30°＝33，由等腰三角形的性质可得，|AD |＝|DF 2|，|AE |＝|EF 2|，设直线DE 的方程为y ＝33(x ＋c )，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，将其与椭圆C 联立化简可得，13x 2＋8cx －32c 2＝0，由韦达定理可得，x 1＋x 2＝－8c 13，x 1x 2＝－32c213，|DE |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝13＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8c 132＋128c 213＝4813c ＝6，解得c ＝138，由椭圆的定义可得，△ADE 的周长等价于|DE |＋|DF 2|＋|EF 2|＝4a ＝8c ＝8×138＝13.10. (2023·全国新高考Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A →⊥F 1B →，F 2A →＝－23F 2B →，则C 的离心率为 355.【解析】方法一：如图，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，n )，设A (x ，y )，则F 2A →＝(x －c ，y )，F 2B →＝(－c ，n )，又F 2A →＝－23F 2B →，则⎩⎪⎨⎪⎧x －c ＝23c ，y ＝－23n ，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫53c ，－23n ，又F 1A →⊥F 1B →，且F 1A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83c ，－23n ，F 1B →＝(c ，n )，则F 1A →·F 1B →＝83c 2－23n 2＝0，化简得n 2＝4c 2.又点A在C 上，则259c 2a 2－49n 2b 2＝1，整理可得25c 29a 2－4n 29b 2＝1，代入n 2＝4c 2，可得25c 2a 2－16c 2b 2＝9，即25e2－16e 2e 2－1＝9，解得e 2＝95或15(舍去)，故e ＝355.方法二：由F 2A →＝－23F 2B →，得|F 2A →||F 2B →|＝23，设|F 2A →|＝2t ，|F 2B →|＝3t ，由对称性可得|F 1B →|＝3t ，则|AF 1→|＝2t ＋2a ，|AB →|＝5t ，设∠F 1AF 2＝θ，则sin θ＝3t 5t ＝35，所以cos θ＝45＝2t ＋2a 5t ，解得t ＝a ，所以|AF 1→|＝2t ＋2a ＝4a ，|AF 2→|＝2a ，在△AF 1F 2中，由余弦定理可得cos θ＝16a 2＋4a 2－4c 216a 2＝45，即5c 2＝9a 2，则e ＝355.核心考点1 圆锥曲线的定义及标准方程核心知识· 精归纳1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：|MF 1|－|MF 2|＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)． 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px (p ＞0)；y 2＝－2px (p ＞0)；x 2＝2py (p >0)；x 2＝－2py (p >0)．多维题组· 明技法角度1：椭圆的定义及标准方程1. (2023·浙江二模)已知F 是椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左焦点，点M 在C 上，N 在⊙P ：x2＋(y －3)2＝2x 上，则|MF |－|MN |的最大值是( A )A ．2B ．10－1 C.13－1D ．13＋1【解析】由⊙P ：x 2＋(y －3)2＝2x ，可得(x －1)2＋(y －3)2＝1，可得圆⊙P 的圆心坐标为P (1,3)，半径r ＝1，由椭圆C ：x 24＋y 23＝1，可得a ＝2，设椭圆的右焦点为F 1，根据椭圆的定义可得|MF |＝2a －|MF 1|，所以|MF |－|MN |＝2a －(|MF 1|＋|MN |)，又由|MN |min ＝|MP |－r ，如图所示，当点P ，M ，N ，F 1四点共线时，即为P ，N ′，M ′，F 1时，|MF 1|＋|MN |取得最小值，最小值为(|MF 1|＋|MN |)min ＝(|MF 1|＋|MP |－r )＝|PF 1|－r ＝3－1＝2，所以(|MF |－|MN |)max ＝2×2－2＝2.故选A.2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( A )A.x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 【解析】由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，所以c ＝1，所以b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A.角度2：双曲线的定义及标准方程3.设双曲线C ：x 28－y 2m ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上．若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( C )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 2【解析】由∠F 2MN ＝∠F 2NM 可知，|F 2M |＝|F 2N |，由双曲线定义可知，|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝42，两式相加得，|NF 1|－|MF 1|＝|MN |＝8 2.故选C.4. (多选)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( AB )A.x 24－y 22＝1 B ．y 24－x 28＝1C.x 24－y 28＝1 D ．y 24－x 22＝1【解析】由题意，设双曲线方程为x 22m －y 2m＝1(m ≠0)，又2a ＝4，∴a 2＝4，当m >0时，2m ＝4，则m ＝2；当m <0时，－m ＝4，则m ＝－4.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1.故选AB.角度3：抛物线的定义及标准方程5. (2023·新乡三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，C 上一点M (x 0，x 0)(x 0≠0)满足|MF |＝5，则p ＝( D )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】依题意得x 20＝2px 0，因为x 0≠0，所以x 0＝2p .由|MF |＝x 0＋p2＝5，解得p ＝2.故选D.6.已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_x 2＝4y __.【解析】 △FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2.因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .方法技巧· 精提炼1.求解圆锥曲线标准方程的方法(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2和p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．2.焦点三角形的面积公式(1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中两焦点F 1，F 2；点P 为椭圆上的一点，则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝b 2·tan θ2，其中θ＝∠F 1PF 2.(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线上的一点，则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝b 2tanθ2，其中θ＝∠F 1PF 2.(3)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦(即焦点弦)，焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S △AOB ＝p 22sin α＝12|AB ||d |＝12|OF |·|y 1－y 2|.加固训练· 促提高1. (2023·未央区模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M为C 上一点，若MF 1的中点为(0,1)，且△MF 1F 2的周长为8＋42，则C 的标准方程为( A )A.x 216＋y 28＝1 B ．x 28＋y 24＝1C.x 216＋y 24＝1 D ．x 232＋y 216＝1 【解析】 ∵M 1F 的中点为B (0,1)，∴OB 是△MF 1F 2的中位线，则MF 2＝2OB ＝2，且△MF 1F 2为直角三角形，∵△MF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝8＋42，∴a ＋c ＝4＋22①，∵MF 2＝2，∴MF 1＝2a －2，∵(MF 1)2－(MF 2)2＝4c 2，∴(2a －2)2－4＝4c 2，即(a －1)2－1＝c 2②，由①②得，a ＝4，c ＝22，b 2＝16－8＝8，∴C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.故选A.2.已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为_9__.【解析】因为F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，所以F (－4,0)，设其右焦点为H (4,0)，则由双曲线的定义可得|PF |＋|PA |＝2a ＋|PH |＋|PA |≥2a ＋|AH |＝4＋4－12＋0－42＝4＋5＝9.。

圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结

圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结圆锥曲线是高中数学的重要知识点，主要包括圆锥曲线的定义、性质、方程和参数方程、焦点、直线和曲线的位置关系等内容。

下面对圆锥曲线的相关知识点进行总结：一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上一个点到一定直线上一点的距离与另一定点（称为焦点）到这一定直线上一点的距离的比等于一个常数的几何图形。

根据这个定义，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种。

1. 椭圆：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和等于定长2a的点P的轨迹。

即|PF1| + |PF2| = 2a。

椭圆对应的方程为$\frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1$。

3. 抛物线：抛物线是平面上到一个定点F和一条直线L的距离相等的点P的轨迹。

即|PF| = |PM|，其中M是直线L上的一点。

抛物线对应的方程为$y^2 = 2px$。

二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质：A. 椭圆的长半轴是轴的两焦点的距离的2a，短半轴是2b。

B. 椭圆的离心率e的范围为0<e<1。

C. 椭圆的离心率e与半长轴a和半短轴b的关系为$e = \frac{\sqrt{a^2 -b^2}}{a}$。

3. 抛物线的性质：A. 抛物线的焦点为定点F。

B. 抛物线的离心率e=1。

C. 抛物线的焦点F到直线L的垂直距离等于抛物线的焦点到抛物线顶点的距离。

三、圆锥曲线的方程和参数方程1. 椭圆的方程：$ \frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1$，参数方程为$x = a\cos{t}, y = b\sin{t}$。

2. 双曲线的方程：$\frac{x^2} {a^2} - \frac{y^2} {b^2}= 1$，参数方程为$x = a\sec{t}, y = b\tan{t}$。

3. 抛物线的方程：$y^2 = 2px$，参数方程为$x = at^2, y = 2at$。

圆锥曲线中的最值与范围问题-专题突破

以F→M·F→N＝|F→M||F→N|cos∠NFM＝|F→M||F→N|
→ |FN| →
＝|F→N|2＝
|FM|
|F→M|2－|M→N|2＝|F→M|2－1.由抛物线的定义，得|F→M|＝|MQ|，则由图可得|MQ|
的最小值即抛物线顶点 O 到准线 x＝2 的距离，即|MQ|min＝2，所以 (F→M·F→N)min＝(|F→M|2－1)min＝(|MQ|2－1)min＝3.故，y2)，F34，0，联立 xy＝2＝m3yx＋，t，得 y2－3my－3t＝0，所以由根与系数的关系得 y1y2＝－3t，从而 x1x2＝y321×y322＝y13y22＝－33t2＝ t2，又由 OA⊥OB，可知O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝t2－3t＝0，
目录狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
解析
10．(2024·江西红色十校高三联考)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)
的焦距为 2 3，离心率为 23，过 C 上一点 P 分别作与 l1：y＝2x 和 l2：y
＝－2x 平行的直线，交直线 l2，l1 于 M，N 两点，则线段 MN 长度的最大值为( )
圆锥曲线中的最值与范围问题
高考概览
圆锥曲线中的最值与范围问题是解析几何中的重要题型，也是高考的重点，综合性强，题目难度较大，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分、12分
1.会利用圆锥曲线的定义、几何性质将最值转化，结合平面几何
中的定理、性质及图形的直观性求解
考点 2．能利用圆锥曲线的几何性质或利用已知条件或隐含的不等关
答案解析
5．已如 P(3，3)，M 是抛物线 y2＝4x 上的动点(异于顶点)，过 M 作圆 C： (x－2)2＋y2＝4 的切线，切点为 A，则|MA|＋|MP|的最小值为____3____．

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{0),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。

二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED --半径是2422F E D -+。

配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E );③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。

平面解析几何的圆锥曲线

平面解析几何的圆锥曲线圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，它研究了二次方程在平面上的各种特殊情况。

圆和椭圆、双曲线、抛物线都是圆锥曲线的具体表现形式。

本文将从定义、性质、方程及实际应用等方面综述圆锥曲线的基本知识。

一、定义及基本性质圆锥曲线是通过切割一个圆锥体而得到的曲线。

根据切割位置和角度的不同，可以得到不同类型的圆锥曲线。

1. 圆：当切割的平面与圆锥体的底面平行时，所得曲线为圆。

2. 椭圆：当切割的平面斜切圆锥体时，所得曲线为椭圆。

椭圆有两个焦点，对任意一点到两个焦点的距离之和是常数。

3. 双曲线：当切割的平面与圆锥体的底面不平行时，所得曲线为双曲线。

双曲线有两个焦点，对任意一点到两个焦点的距离之差是常数。

4. 抛物线：当切割的平面与与圆锥体的底面平行切成两半时，所得曲线为抛物线。

抛物线的焦点在无穷远处。

圆锥曲线的基本性质有：1. 对称性：椭圆、双曲线和抛物线在对应的轴上具有对称性。

2. 离心率：椭圆、双曲线和抛物线都有离心率这一重要性质。

离心率决定了曲线的形状，离心率越接近于0，曲线越接近于圆形，离心率越接近于1，曲线越拉长。

3. 弦段：圆锥曲线上的弦段在圆锥曲线内外的切线上截得的线段长度平方的比例是常数。

这个常数被称为圆锥曲线的离心率。

二、方程及参数表示圆锥曲线的方程有不同的表达形式，根据方程可以确定曲线的位置、形状和其他特征。

常见的表达形式有：1. 二次方程：圆锥曲线可以用二次方程的形式表示，如：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0。

通过该方程可以确定曲线的位置和形状。

2. 参数方程：圆锥曲线也可以用参数方程的形式表示，如：x = x(t)，y = y(t)。

通过参数方程可以确定曲线上各个点的坐标。

三、实际应用圆锥曲线在众多领域中被广泛应用，下面以几个具体的实际应用为例进行说明。

1. 天体运动：椭圆轨道是行星和其他天体的运动轨迹，通过研究椭圆轨道可以预测和解释行星和卫星的运动规律。

数学高考圆锥曲线知识点

数学高考圆锥曲线知识点圆锥曲线是高中数学中重要的知识点，广泛应用于数理化、工程学等领域。

本文将介绍圆锥曲线的基本概念和性质，以及与几何图形和实际问题的联系。

一、基本概念圆锥曲线是由圆锥和平面相交所得的曲线。

根据所切割的位置不同，圆锥曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

1. 椭圆椭圆是平面与圆锥相交时，切割位置在圆锥两侧并且切割面是圆锥的两个对称面的情况。

椭圆具有如下性质：- 离心率小于1，离焦点距离小于两倍长轴。

- 长轴和短轴是椭圆的两个重要参数，可用于描述椭圆的形态。

2. 双曲线双曲线是平面与圆锥相交时，切割位置在圆锥两侧并且切割面不包含圆锥顶点的情况。

双曲线具有如下性质：- 离心率大于1，离焦点距离大于两倍长轴。

- 长轴和短轴是双曲线的两个重要参数，可用于描述双曲线的形态。

3. 抛物线抛物线是平面与圆锥相交时，切割位置在圆锥两侧并且切割面与圆锥对称的情况。

抛物线具有如下性质：- 离焦点距离等于两倍焦半径。

- 抛物线的开口方向由焦点和准线的相对位置决定。

二、性质和方程圆锥曲线的性质和方程是研究圆锥曲线的核心内容。

根据圆锥曲线的类型，我们可以得到如下性质和方程：1. 椭圆的性质和方程椭圆有很多独特的性质，如焦点、离心率、焦半径等。

椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$其中，a为长半轴长度，b为短半轴长度。

2. 双曲线的性质和方程双曲线也有很多独特的性质，如焦点、离心率、焦半径等。

双曲线的方程分为两种情况：- 横轴为x轴时，方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$；- 横轴为y轴时，方程为$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$；其中，a为实轴长度，b为虚轴长度。

3. 抛物线的性质和方程抛物线也有诸多性质，如焦点、准线、抛物线方程等。

抛物线的方程为：$y=ax^2+bx+c$其中，a、b、c为常数，a决定了抛物线的开口方向。

平面解析几何中的圆锥曲线与参数方程

平面解析几何中的圆锥曲线与参数方程圆锥曲线是平面解析几何中非常重要的一类曲线，由参数方程描述。

本文将介绍圆锥曲线的定义、常见类型以及参数方程的应用。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上由一个动点P到两个定点F1和F2的距离之和恒定的点的轨迹。

这个恒定的距离称为焦距，定点F1和F2称为焦点，直线F1F2称为焦点连线，称为焦线。

圆、椭圆、双曲线和抛物线是四类常见的圆锥曲线。

二、圆圆是一种特殊的圆锥曲线，它的焦点和焦线重合。

圆的参数方程为：x = a*cosθ, y = a*sinθ，其中a为半径。

三、椭圆椭圆是一类圆锥曲线，它的焦点到任意一点的距离之和恒定。

椭圆可以通过参数方程来描述，参数方程为：x = a*cosθ, y = b*sinθ，其中a 和b分别为椭圆的长半轴和短半轴的长度。

四、双曲线双曲线是一类圆锥曲线，它的焦点到任意一点的距离之差恒定。

双曲线的参数方程有两种形式：x = a*secθ, y = b*tanθ和x = a*coshθ, y =b*sinhθ。

五、抛物线抛物线是一类圆锥曲线，它的焦点到任意一点的距离等于焦点到该点的垂直距离的平方。

抛物线的参数方程为：x = a*t, y = b*t^2，其中a 和b分别为抛物线的形状参数。

六、参数方程在圆锥曲线中的应用参数方程在解析几何中有广泛的应用，特别是在描述曲线的轨迹时非常有用。

在圆锥曲线中，参数方程可以帮助我们精确描述曲线的形状和位置。

通过改变参数a和b的值，我们可以获得不同形状和大小的圆锥曲线。

例如，改变参数a可以使椭圆的长半轴变长或变短，改变参数b可以使椭圆的短半轴变长或变短。

参数方程的灵活性使得我们能够根据需要绘制各种各样的曲线。

此外，参数方程还可以用来求解圆锥曲线上的点的坐标。

给定一个参数值，我们可以通过代入参数方程中求出对应的点的坐标。

这在计算机图形学和物理学等领域有着广泛的应用。

结束语圆锥曲线与参数方程是平面解析几何中的重要内容，了解它们的定义和应用对于深入理解曲线的性质和特征具有重要意义。

高考数学核心考点深度解析圆锥曲线篇

高考数学核心考点深度解析圆锥曲线篇在高考数学中，圆锥曲线一直是一个重要的考点，其涉及的知识点较为深奥，对学生的数学能力和逻辑思维能力都有很高的要求。

本文将从圆锥曲线的基本概念出发，深度解析其在高考数学中的应用，并对其中的核心考点进行逐一剖析。

一、基本概念1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是平面上的点到两个定点的距离之比等于到一个定点到一个定直线的距离的性质的点的轨迹。

2. 圆锥曲线的分类：圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型，它们分别对应着不同的几何特征和数学表达式。

二、椭圆1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

2. 椭圆的性质：椭圆具有对称性、焦点、长轴和短轴等几何特征，并且在数学上有严格的表达式和性质。

三、双曲线1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹。

2. 双曲线的性质：双曲线同样具有对称性、焦点、渐近线等独特的几何特征，其数学性质和表达式也有着明确定义。

四、抛物线1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到一个定点到一个定直线的距离相等的点的轨迹。

2. 抛物线的性质：抛物线是所有圆锥曲线中最简单的一种，其几何性质和数学表达式都具有很强的规律性和特殊性。

五、高考数学中的应用圆锥曲线在高考数学中有着举足轻重的地位，它涉及到的知识点既有几何直观又有严谨的数学表达，考查的内容也涵盖了平面几何、解析几何和代数方程等多个方面。

六、核心考点解析1. 圆锥曲线方程：掌握圆锥曲线的一般方程及标准方程是解题的基础，要熟练掌握各种类型圆锥曲线的方程形式和性质。

2. 圆锥曲线的性质：了解椭圆、双曲线和抛物线各自的特点和性质，对其焦点、渐近线、参数方程等知识要有深入的理解。

3. 圆锥曲线的应用：掌握圆锥曲线在现实生活和工程技术中的实际应用，能够将数学知识与实际问题相结合。

七、个人观点圆锥曲线作为高考数学的重要内容，不仅考查学生对数学知识的掌握和运用能力，更重要的是培养学生的逻辑思维和数学素养。

高中数学平面几何中的圆锥曲线与方程解析

高中数学平面几何中的圆锥曲线与方程解析在高中数学的学习中，圆锥曲线是一个重要的内容，它是解析几何的一个分支，与方程解析密切相关。

本文将以高中数学的角度，详细介绍圆锥曲线的基本概念、性质以及解析方程的应用。

一、圆锥曲线的基本概念与性质圆锥曲线是平面上一个点与一个定点的距离与一个定直线的距离之比为定值的点的轨迹。

根据这个定义，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它的定义是一个点到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

椭圆的解析方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$其中，a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。

在解析几何中，椭圆有许多重要的性质。

例如，椭圆的离心率小于1，焦点在椭圆的内部，且椭圆是对称的。

这些性质在解题过程中起到了重要的作用。

2. 双曲线双曲线也是圆锥曲线的一种，它的定义是一个点到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹。

双曲线的解析方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$双曲线的性质与椭圆有很大的不同。

双曲线的离心率大于1，焦点在双曲线的外部，且双曲线也是对称的。

这些性质在解析几何中起到了重要的作用。

3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中的一种，它的定义是一个点到一个定点的距离等于一个定直线的距离的点的轨迹。

抛物线的解析方程为：$y^2 = 2px$抛物线的性质与椭圆和双曲线也有所不同。

抛物线是对称的，焦点在抛物线的内部，且抛物线的开口方向由系数p的正负决定。

二、解析方程的应用解析方程是研究圆锥曲线的重要工具，通过解析方程可以确定圆锥曲线的形状、位置以及与坐标轴的交点等。

1. 求解焦点坐标对于给定的圆锥曲线，可以通过解析方程来求解其焦点坐标。

以椭圆为例，已知椭圆的解析方程为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，我们可以通过求解方程组$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$和$(x - c)^2 + y^2 = a^2$来确定焦点的坐标。

2025年高考数学一轮复习-第五板块-解析几何-微专题(二)圆锥曲线的定义与性质【课件】

妨取 A(1,2)，则|AB|＝ 1－32＋2－02＝ 8＝2 2，故选 B.
答案：B
3．双曲线 C：ay22－x2＝1(a>0)的离心率为 310，点 F 是 C 的下焦点，若点 P 为 C 上支上的动点，设点 P 到 C 的一条渐近线的距离为 d，则 d＋|PF|的最小值为 () A．6 B．7 C．8 D．9 解析：由题意，a2a＋2 1＝190，可得 a2＝9，即 a＝3(舍负)，则双曲线的渐近线方程为 y＝±3x，设上焦点为 F′(0， 10)，则|PF|－|PF′|＝ 2a＝6，故|PF|＝6＋|PF′|，所以 d＋|PF|＝6＋d＋|PF′|，如图，d＝|PH|，所以 d＋PF＝6＋|PH|＋PF′，要使 d＋PF最小，只需点 P，F′，H 共线，即 F′H 与渐近线垂直，而 F′ 到渐近线的距离为 12＋10±32＝1，故(d＋|PF|)min＝7.故选 B. 答案：B
()
B．点 A 到双曲线 C 的渐近线的距离为235 C．若|PF1|＝6，则|PF2|＝2 D．若―PF→1 ·―PA→＝0，则△PF1A 的外接圆半径为52
[解析] 由离心率为32，右顶点为 A(2,0)可得 a＝2，c＝3，∴b＝ 5，故双曲线 C 的方程为x42－y52＝1，A 正确；
双曲线的渐近线方程为 y＝± 25x，故点 A 到双曲线 C 的渐近线的距离为 |±54＋5|1＝235，B 正确；
()
A. 22，1
B．12，1
C.0，
2 2
D．0，12
[关键点拨]
设P(x，y)(或P(acos α，bsin α))，由B(0，b)，根据两点间的距切入点离公式表示出|PB|2，分类讨论求出|PB|2的最大值，再构建齐

最新高考数学2轮复习：第1部分重点强化专题专题5突破点12圆锥曲线的定义、方程、几何

突破点12圆锥曲线的定义、方程、几何性质(对应学生用书第44页)[核心知识提炼]提炼1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM | ,点F 不在直线l 上 ,PM ⊥l 于M (l 为抛物线的准线). 提炼2 圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ,b ,c 之间的关系①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝ca＝1－b 2a 2； ②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝ca＝1＋b 2a2. (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0 ,b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ；焦点坐标F 1(－c,0) ,F 2(c,0)；②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0 ,b ＞0)的渐近线方程为y ＝±abx ,焦点坐标F 1(0 ,－c ) ,F 2(0 ,c )．(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝±2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫±p 2 0 ,准线方程为x ＝∓p 2；②抛物线x 2＝±2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 ±p 2 ,准线方程为y ＝∓p 2.提炼3弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长斜率为k 的直线与圆锥曲线交于点A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2)时 ,|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2或|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2|y 1－y 2|＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2.(2)抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦 ,假设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么①x 1x 2＝p 24,y 1y 2＝－p 2；②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；③1|FA |＋1|FB |＝2p；④以弦AB 为直径的圆与准线相切．[ (高|考 )真题回访]回访1 椭圆及其性质1．(2021·浙江 (高|考 ))椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( ) A.133B.53C.23D.59B [∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1 ,∴a ＝3 ,c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5. ∴e ＝c a ＝53. 应选B.]2．(2021·浙江 (高|考 ))椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合 ,e 1 ,e 2分别为C 1 ,C 2的离心率 ,那么( ) A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1A [C 1的焦点为(±m 2－1 ,0) ,C 2的焦点为 (±n 2＋1 ,0) , ∵C 1与C 2的焦点重合 ,∴m 2－1＝n 2＋1 ,∴m 2＝n 2＋2 ,∴m 2>n 2. ∵m >1 ,n >0 ,∴m >n .∵C 1的离心率e 1＝m 2－1m ,C 2的离心率e 2＝n 2＋1n ,∴e 1e 2＝m 2－1m ·n 2＋1n＝m 2－1n 2＋1mn＝m 2－1n 2＋1m 2n 2＝n 2＋12n 2＋2n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2>1＝1.]3．(2021·浙江 (高|考 ))椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上 ,那么椭圆的离心率是________．22 [设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0) ,如图 ,连接QF 1 ,QF ,设QF 与直线y ＝bcx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点 ,且OM ⊥FQ . 又O 为线段F 1F 的中点 , ∴F 1Q ∥OM ,∴F 1Q ⊥QF ,|F 1Q |＝2|OM |. 在Rt △MOF 中 ,tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc,|OF |＝c , 可解得|OM |＝c 2a ,|MF |＝bca,故|QF |＝2|MF |＝2bc a ,|QF 1|＝2|OM |＝2c2a.由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c2a＝2a ,整理得b ＝c ,∴a ＝b 2＋c 2＝2c , 故e ＝c a ＝22.] 4．(2021·浙江 (高|考 ))如图121 ,设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) ,动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ,且点P 在第|一象限．图121(1)直线l 的斜率为k ,用a ,b ,k 表示点P 的坐标；(2)假设过原点O 的直线l 1与l 垂直 ,证明：点P 到直线l 1的距离的最||大值为a －b .[解] (1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0) ,由⎩⎨⎧y ＝kx ＋mx 2a 2＋y2b2＝1 消去y ,得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0.2分由于l 与椭圆C 只有一个公共点 ,故Δ＝0 ,即b 2－m 2＋a 2k 2＝0 ,解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2km b 2＋a 2k2 b 2m b 2＋a 2k2. 4分又点P 在第|一象限 ,故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－a 2kb 2＋a 2k 2b 2b 2＋a 2k 2. 6分(2)证明：由于直线l 1过原点O 且与l 垂直 ,故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0 ,所以点P 到直线l 1的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2k b 2＋a 2k2＋b 2k b 2＋a 2k 21＋k2,8分整理 ,得d ＝a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2.10分因为a 2k 2＋b 2k2≥2ab ,所以a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2≤a 2－b 2b 2＋a 2＋2ab＝a －b , 12分当且仅当k 2＝b a时等号成立．所以 ,点P 到直线l 1的距离的最||大值为a －b . 15分回访2 双曲线及其性质5．(2021·浙江 (高|考 ))设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1 ,F 2.假设点P 在双曲线上 ,且△F 1PF 2为锐角三角形 ,那么|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．(27 ,8) [∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,点P 在双曲线上 ,∴|F 1F 2|＝4 ,||PF 1|－|PF 2△F 1PF 2为锐角三角形 ,那么由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16>0 ,可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|>16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2 ,得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－42,代入不等式①可得(|PF 1|＋|PF 2|)2>28 ,解得|PF 1|＋|PF 2|>27.不妨设P 在左支上 ,∵|PF 1|2＋16－|PF 2|2>0 ,即(|PF 1|＋|PF 2|)·(|PF 1|－|PF 2|)>－16 ,又|PF 1|－|PF 2|＝－2 , ∴|PF 1|＋|PF 27<|PF 1|＋|PF 2|<8.]6．(2021·浙江 (高|考 ))双曲线x 22－y 2＝1的焦距是________ ,渐近线方程是________．2 3 y ＝±22x [由双曲线标准方程 ,知双曲线焦点在x 轴上 ,且a 2＝2 ,b 2＝1 ,∴c 2＝a 2＋b 2＝3 ,即c ＝ 3 ,∴焦距2c ＝2 3 ,渐近线方程为y ＝±b a x ,即y ＝±22x .] 7．(2021·浙江 (高|考 ))设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0 ,b >0)的两条渐近线分别交于点A ,B .假设点P (m,0)满足|PA |＝|PB | ,那么该双曲线的离心率是________．52 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax .由⎩⎨⎧ y ＝b ax x －3y ＋m ＝0得A⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫am3b －abm 3b －a ,由⎩⎨⎧y ＝－b axx －3y ＋m ＝0得B⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－am a ＋3b bm a ＋3b ,所以AB 的中点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2m 9b 2－a2 3b 2m 9b 2－a 2. 设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0) , 因为|PA |＝|PB | ,所以PC ⊥l , 所以k PC ＝－3 ,化简得a 2＝4b 2.在双曲线中 ,c 2＝a 2＋b 2＝5b 2,所以e ＝c a ＝52.] 回访3 抛物线及其性质8．(2021·浙江 (高|考 ))如图122 ,设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点A ,B ,C ,其中点A ,B 在抛物线上 ,点C 在y 轴上 ,那么△BCF 与△ACF 的面积之比是( )图122A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1A [由图形可知 ,△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ,且A ,B ,C 三点共线 ,易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1,0) ,作准线l ,那么l 的方程为x ＝－1.∵点A ,B 在抛物线上 ,过A ,B 分别作AK ,BH 与准线垂直 ,垂足分别为点K ,H ,且与y 轴分别交于点N ,M .由抛物线定义 ,得|BM |＝|BF |－1 ,|AN |＝|AF △CAN中 ,BM ∥AN ,∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.]9．(2021·浙江 (高|考 ))假设抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10 ,那么M 点到y 轴的距离是________．9 [设点M 的横坐标为x ,那么点M 到准线x ＝－1的距离为x ＋1 ,由抛物线的定义知x ＋1＝10 ,∴x ＝9 ,∴点M 到y 轴的距离为9.]10．(2021·浙江 (高|考 ))如图123 ,设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ,抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1. (1)求p 的值；(2)假设直线AF 交抛物线于另一点B ,过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ,AN 与x 轴交于点M ,求M 的横坐标的取值范围．[解] (1)由题意可得 ,抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离 , 由抛物线的定义得p2＝1 ,即p ＝2.4分(2)由(1)得 ,抛物线方程为y 2＝4x ,F (1,0) ,可设A (t 2,2t ) ,t ≠0 ,t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴 ,可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0) ,由⎩⎨⎧y 2＝4x x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0 ,6分故y 1y 2＝－4 ,所以B⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1t2－2t .7分又直线AB 的斜率为2t t 2－1 ,故直线FN 的斜率为－t 2－12t ,从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t(x －1) ,直线BN ：y ＝－2t,所以N⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t 2＋3t 2－1－2t. 8分设M (m,0) ,由A ,M ,N 三点共线得2tt 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1,于是m ＝2t 2t 2－1＝2＋2t 2－1 ,11分所以m <0或m >2.经检验 ,m <0或m >2满足题意．综上 ,点M 的横坐标的取值范围是(－∞ ,0)∪(2 ,＋∞). 15分(对应学生用书第46页)热点题型1 圆锥曲线的定义、标准方程题型分析：圆锥曲线的定义、标准方程是 (高|考 )常考内容 ,主要以选择、填空的形式考查 ,解题时分两步走：第|一步 ,依定义定 "型〞 ,第二步 ,待定系数法求 "值〞.【例1】 (1)方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线 ,且该双曲线两焦点间的距离为4 ,那么n 的取值范围是( ) 【导学号：68334125】 A ．(－1,3) B ．(－1 ,3) C ．(0,3)D ．(0 ,3)(2)抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点 ,Q 是直线PF 与C 的一个交点 ,假设FP →＝4FQ →,那么|QF |＝( ) A.72B ．3C.52D ．2(1)A (2)B [(1)假设双曲线的焦点在x 轴上 ,那么⎩⎨⎧m 2＋n ＞03m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4 ,∴m 2＝1 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n ＞03－n ＞0∴－1<n <3.假设双曲线的焦点在y 轴上 ,那么双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x2－m 2－n ＝1 ,即⎩⎪⎨⎪⎧n －3m 2＞0 －m 2－n ＞0即n >3m 2且n <－m 2,此时n 不存在．应选A.(2)如下列图 ,因为FP →＝4FQ → ,所以|PQ ||PF |＝34,过点Q 作QM ⊥l 垂足为M ,那么MQ ∥x 轴 ,所以|MQ |4＝|PQ ||PF |＝34 ,所以|MQ |＝3 ,由抛物线定义知|QF |＝|QM |＝3.][方法指津]求解圆锥曲线标准方程的方法是 "先定型 ,后计算〞1．定型 ,就是指定类型 ,也就是确定圆锥曲线的焦点位置 ,从而设出标准方程．2．计算 ,即利用待定系数法求出方程中的a 2,b 2或p .另外 ,当焦点位置无法确定时 ,抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0) ,椭圆常设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0 ,n ＞0) ,双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)．[变式训练1] (1)经过点(2,1) ,且渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切的双曲线的标准方程为( ) A.x 2113－y 211＝1 B.x 22－y 2＝1 C.y 2113－x 211＝1 D.y 211－x 2113＝1 (2)(2021·金华十校第|一学期调研)抛物线C ：y 2＝2px (p >0) ,O 为坐标原点 ,F 为其焦点 ,准线与x 轴交点为E ,P 为抛物线上任意一点 ,那么|PF ||PE |( )图124A ．有最||小值22B ．有最||小值1C ．无最||小值D ．最||小值与p 有关(1)A (2)A [(1)设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ,即kx －y ＝0 ,由题意知|－2|k 2＋1＝1 ,解得k ＝± 3 ,那么双曲线的焦点在x 轴上 ,设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1 ,那么有⎩⎪⎨⎪⎧22a 2－12b 2＝1ba＝ 3 解得⎩⎨⎧a 2＝113b 2＝11应选A.(2)过点P 作PF ′垂直于准线交准线于F ′.设P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 22p y ,故|PF ′|＝y 22p值22,＋p 2 ,|EF ′|＝y ,因为|EF ′||PF ′|＝1y 2p ＋p 2y≤1 ,此时|PF ||PE |有最||小应选A.]热点题型2 圆锥曲线的几何性质题型分析：圆锥曲线的几何性质是 (高|考 )考查的重点和热点 ,其中求圆锥曲线的离心率是最||热门的考点之一 ,建立关于a ,c 的方程或不等式是求解的关键.【例2】 (1)O 为坐标原点 ,F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点 ,A ,B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点 ,且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .假设直线BM 经过OE 的中点 ,那么C 的离心率为( ) A.13B.12C.23D.34(2)(2021·杭州第二次质检)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ,点A ,B 在抛物线上 ,且∠AFB ＝120° ,弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为M 1 ,那么|MM 1||AB |的最||大值为________．(1)A (2)33[(1)如下列图 ,由题意得A (－a,0) ,B (a,0) ,F (－c,0)．由PF ⊥x 轴得P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c b 2a .设E (0 ,m ) ,又PF ∥OE ,得|MF ||OE |＝|AF ||AO |, 那么|MF |＝m a －ca.①又由OE ∥MF ,得12|OE ||MF |＝|BO ||BF | ,那么|MF |＝m a ＋c2a. ②由①②得a －c ＝12(a ＋c ) ,即a ＝3c ,所以e ＝c a ＝13.应选A.(2)如下列图 ,由抛物线的定义以及梯形的中位线定理得|MM 1|＝|AF |＋|BF |2 ,在△ABF 中 ,由余弦定理得|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF |·|BF |cos 2π3＝|AF |2＋|BF |2＋|AF |·|BF |＝(|AF |＋|BF |)2－|AF |·|BF |≥(|AF |＋|BF |)2－⎝⎛⎭⎪⎫|AF |＋|BF |22＝3|MM 1|2 ,当且仅当|AF |＝|BF |时 ,等号成立 ,故|MM 1||AB |取得最||大值33.][方法指津]1．求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围 ,关键是根据条件确定a ,b ,c 的等量关系或不等关系 ,然后把b 用a ,c 代换 ,求c a的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零 ,分解因式可得．(2)用法：①可得b a 或a b 的值． ②利用渐近线方程设所求双曲线的方程． [变式训练2] (1)F 1 ,F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左 ,右焦点 ,点M 在E 上 ,MF 1与x 轴垂直 ,sin ∠MF 2F 1＝13,那么E 的离心率为( ) A. 2B.32C. 3 D ．2(2)(名师押题)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,过点F 2的直线与椭圆交于A ,B 两点 ,假设△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形 ,那么椭圆的离心率为( )【导学号：68334126】A.22 B ．2－ 3C.5－2D.6－ 3 ＝b 2a . (1)A (2)D [(1)法一：如图 ,因为MF 1与x 轴垂直 ,所以|MF 1|又sin ∠MF 2F 1＝13 ,所以|MF 1||MF 2|＝13, 即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ,所以b 2＝a 2 ,所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2 ,所以离心率e ＝ca＝ 2. 法二：如图 ,因为MF 1⊥x 轴 ,所以|MF 1|＝b 2a. 在Rt △MF 1F 2中 ,由sin ∠MF 2F 1＝13得 tan ∠MF 2F 1＝24. 所以|MF 1|2c ＝24 ,即b 22ac ＝24 ,即c 2－a 22ac ＝24, 整理得c 2－22ac －a 2＝0 , 两边同除以a 2得e 2－22e －1＝0.解得e＝2(负值舍去)．(2)设|F1F2|＝2c ,|AF1|＝m ,假设△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形 , ∴|AB|＝|AF1|＝m ,|BF1|＝2m.由椭圆的定义可知△F1AB的周长为4a ,∴4a＝2m＋2m ,m＝2(2－2)a.∴|AF2|＝2a－m＝(22－2)a.∵|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2 ,∴4(2－2)2a2＋4(2－1)2a2＝4c2 ,∴e2＝9－6 2 ,e＝6－ 3.]。

高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题5 解析几何第12讲圆锥曲线的定义、方程、几何性质

第12讲圆锥曲线的定义、方程、几何性质题型1 圆锥曲线的定义、标准方程(对应学生用书第40页)■核心知识储备………………………………………………………………………·圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M .■典题试解寻法………………………………………………………………………· [典题1] (考查圆锥曲线标准方程的求解)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1相交且有共同的焦点，其中一个交点的坐标为(15，4)，那么此双曲线的标准方程是( )A.y 24－x 25＝1 B ．y 25－x 24＝1C.x 24－y 25＝1 D ．x 25－y 24＝1[思路分析] 依据条件，得出双曲线的焦点坐标和双曲线过点(15，4)，利用定义法、待定系数法或共焦点曲线系方程求解即可．[解析] 法一：(定义法)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标分别是(0,3)，(0，－3)．根据双曲线的定义知，2a ＝|15－02＋4－32－15－02＋[4－－3]2|＝4，解得a ＝2，又b 2＝c 2－a 2＝5，所以所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.应选A.法二：(待定系数法)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标分别是(0,3)，(0，－3)．设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，那么a 2＋b 2＝9.①又点(15，4)在双曲线上，所以16a 2－15b2＝1.②由①②解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.应选A.法三：(共焦点的曲线系方程)设双曲线的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27＜λ＜36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ＝32或λ＝0(舍去)．故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.应选A.[答案] A[典题2] (考圆锥曲线定义的应用)抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，假设FP →＝4FQ →，那么|QF |＝( )[导学号：07804086]A.72B ．3C.52D ．2 [解析] 如下图，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ ||PF |＝34，过点Q 作QM ⊥l 垂足为M ，那么MQ ∥x轴，所以|MQ |4＝|PQ ||PF |＝34，所以|MQ |＝3，由抛物线定义知|QF |＝|QM |＝3.[答案] B[典题3] (考查圆锥曲线的轨迹问题)(2017·某某某某二模)在△ABC 中，O 是BC 的中点，|BC |＝32，△ABC 的周长为6＋32，假设点T 在线段AO 上，且|AT |＝2|TO |，建立合适的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程．[解] 以O 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy .依题意，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫322，0.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝6＋32，得|AB |＋|AC |＝6，故|AB |＋|AC |＝6＞|BC |，所以A 的轨迹是以B ，C 为焦点，长轴长为6的椭圆(除去长轴端点)．所以点A 的轨迹方程为x 29＋2y 29＝1(x ≠±3)．设A (x 0，y 0)，T (x ，y )，依题意OT →＝13OA →，所以(x ，y )＝13(x 0，y 0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y ，代入A 的轨迹方程x 29＋2y 29＝1(x ≠±3)，得3x29＋23y 29＝1(x ≠±1)，所以点T 的轨迹E 的方程为x 2＋2y 2＝1(x ≠±1)． [类题通法]1.求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算〞1定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程. 2计算，即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay a ≠0，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1m ＞0，n ＞0，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1mn ＞0.2.转化法利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离. ■对点即时训练………………………………………………………………………·1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．假设△AOB 的面积为3，那么抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝2 C ．x ＝1D ．x ＝－1D [因为e ＝c a＝2，所以c ＝2a ，b ＝3a ，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .又抛物线的准线方程为x ＝－p2，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，在△AOB 中，|AB |＝3p ，点O 到AB 的距离为p 2，所以12·3p ·p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的准线方程为x ＝－1，应选D.] 2．设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，那么|PF 1→|·|PF 2→|的值为( )[导学号：07804087]A ．8B ．10C ．12D ．15D [因为P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，所以|PF 1|＋|PF 2|＝8，|F 1F 2|＝4.因为PF 1→·PF 2→＝9，所以|PF 1→|·|PF 2→|cos∠F 1PF 2＝9.因为|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2－2|PF 1→|·|PF 2→|·cos∠F 1PF 2＝(|PF 1→|＋|PF 2→|)2－2|PF 1→|·|PF 2→|－2|PF 1→|·|PF 2→|cos∠F 1PF 2，所以64－2|PF 1→|·|PF 2→|－18＝16.所以|PF 1→|·|PF 2→|＝15.应选D.]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 1、T 2、T 8、T 9、T 10、T 11、T 13)题型2 圆锥曲线的几何性质 (对应学生用书第41页)■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．■典题试解寻法………………………………………………………………………·[典题1] (考查椭圆、双曲线的几何性质)双曲线的顶点与焦点分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的焦点与顶点，假设双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，那么椭圆的离心率为( )A.13B ．12C.22D ．33[思路分析]x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)――→椭圆与双曲线的关系双曲线的方程―→双曲线的渐近线――→对称性椭圆的离心率．[解析] 设椭圆的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，那么由题意可知双曲线的方程为x 2c 2－y 2b 2＝1，其渐近线方程为y ＝±bcx .因为双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，所以由椭圆的对称性可知，渐近线的方程为y ＝±x ，即b ＝c ，所以a ＝b 2＋c 2＝2c ，故椭圆的离心率e ＝22，应选C. [答案] C[典题2] (考查抛物线的几何性质)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于点M .假设C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，那么p ＝( )[导学号：07804088]A.33 B ．233C.433D ． 3[思路分析] 先由抛物线的焦点坐标与双曲线的焦点坐标得出直线方程，再对抛物线方程求导，设点M 的坐标为(x 0，y 0)，代入即可求得过点M 的切线方程的斜率，结合C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线以及点M 在抛物线上可得点M 的坐标，把点M 的坐标代入直线方程，求解即可．[解析] 由题意知，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点连线的方程为x 2＋2yp＝1.易知双曲线的渐近线方程为 y ＝±33x .对函数y ＝12p x 2求导，得y ′＝1px .设M (x 0，y 0)，那么1p x 0＝33，即x 0＝33p ，代入抛物线方程得y 0＝16p ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，16p .由于点M 在直线x 2＋2y p ＝1上，所以36p ＋2p ×p 6＝1，解得p ＝43＝433.应选C.[答案] C [类题通法]确定椭圆和双曲线的离心率的值及X 围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程组或不等式组，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式.建立关于a ，b ，c 的方程组或不等式组，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的X 围等.提醒：求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到.■对点即时训练………………………………………………………………………·1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5，0，那么椭圆的离心率e 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫34，1 D ．⎝⎛⎭⎪⎫55，1 D [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，那么⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5x 1－x 2＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b2a 2x 21，y 22＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a2(x 21－x 22)，所以2a35a 2－b 2＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2，所以－2a ＜x 1＋x 2＜2a ，那么2a35a 2－b 2＜2a ，即b 2a 2＜45，所以e 2＞15.又0＜e ＜1，所以55＜e ＜1.] 2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，倾斜角为π2的直线l 过F 2且与双曲线交于M ，N 两点，且△F 1MN 是等边三角形，那么双曲线的渐近线方程为________．y ＝±2x [由题意知，F 2(c,0)，c ＝a 2＋b 2，设M (c ，y M )，由c 2a 2－y 2Mb2＝1得y 2M ＝b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2，|y M |＝b 2a .因为△F 1MN 是等边三角形，所以2c ＝3|y M |，即23＝b 2ac ＝c 2－a 2ac，即c 2－a 2－23ac ＝0，得c a＝3，c 2＝3a 2，又a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝2a 2，双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 3、T 4、T 5、T 6、T 7、T 12、T 14)三年真题| 验收复习效果 (对应学生用书第42页)1．(2017·全国Ⅲ卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，那么C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝1B [由y ＝52x 可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.应选B.]2．(2016·全国Ⅰ卷)方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n 的取值X 围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)A [假设双曲线的焦点在x 轴上，那么⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.假设双曲线的焦点在y 轴上，那么双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．应选A.]3．(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．|AB |＝42，|DE |＝25，那么C 的焦点到准线的距离为( )[导学号：07804089]A ．2B ．4C ．6D ．8B [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.]4．(2015·全国Ⅰ卷)M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，假设MF 1→·MF 2→＜0，那么y 0的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233A [由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.应选A.] 5．(2017·全国Ⅲ卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，那么C 的离心率为( )A.63 B ．33C.23D ．13A [由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a .又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63. 应选A.]6．(2017·全国Ⅱ卷)F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .假设M 为FN 的中点，那么|FN |＝________.6 [如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.]。

高考数学第1部分重点强化专题专题5平面解析几何突破点13圆锥曲线中的综合问题教学案(new)

突破点13 圆锥曲线中的综合问题（对应学生用书第47页)［核心知识提炼］提炼1 解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握(1）从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关．（2）直接推理、计算,在整个过程中消去变量,得定值．(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来,并令其系数为零，可以解出定点坐标.提炼2 用代数法求最值与范围问题时从下面几个方面入手（1)若直线和圆锥曲线有两个不同的交点,则可以利用判别式求范围．(2)若已知曲线上任意一点、一定点或与定点构成的图形，则利用圆锥曲线的性质(性质中的范围)求解．（3）利用隐含或已知的不等关系式直接求范围．(4）利用基本不等式求最值与范围．(5）利用函数值域的方法求最值与范围．提炼3 与圆锥曲线有关的探索性问题（1）给出问题的一些特殊关系,要求探索出一些规律，并能论证所得规律的正确性．通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律．(2)对于只给出条件,探求“是否存在”类型问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由假设出发,结合已知条件进行推理，若推出相符的结论，则存在性得到论证；若推出矛盾，则假设不存在．[高考真题回访］回访直线与圆锥曲线的综合问题1．（2017·浙江高考)如图13。

1，已知抛物线x2＝y，点A－错误!，错误!,B错误!，抛物线上的点P(x，y）－错误!〈x<错误!。

过点B作直线AP的垂线，垂足为Q。

图13。

1(1）求直线AP斜率的取值范围．(2）求|PA|·｜PQ|的最大值．［解］（1)设直线AP的斜率为k，k＝错误!＝x－错误!,因为－错误!〈x〈错误!，所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1）. 6分（2)联立直线AP与BQ的方程错误!解得点Q的横坐标是x Q＝错误!。

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[高考真题回访] 回访 1 椭圆及其性质 x2 y2 1．(2017· 浙江高考)椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的离心率是( 13 A. 3 2 C.3 5 B. 3 5 D.9 )
x2 y2 B [∵椭圆方程为 9 ＋ 4 ＝1， ∴a＝3，c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5. c 5 ∴e＝a＝ 3 . 故选 B.]
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程 ①抛物线 y ②抛物线 x
2
p p ＝±2px(p＞0)的焦点坐标为±2，0，准线方程为 x＝∓2； p p ＝±2py(p＞0)的焦点坐标为0，±2，准线方程为 y＝∓2.
2
提炼 3 弦长问题 (1)直线与圆锥曲线相交时的弦长斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝ 1＋k2|x1 － x2| ＝ 1＋k · x1＋x2 －4x1x2 或 |AB| ＝ y1＋y22－4y1y2.
由题意知 M 为线段 QF 的中点，且 OM⊥FQ. 又 O 为线段 F1F 的中点， ∴F1Q∥OM， ∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|. |MF| b 在 Rt△MOF 中，tan∠MOF＝|OM|＝c，|OF|＝c， c2 bc 可解得|OM|＝ a ，|MF|＝ a ，
2bc 2c2 故|QF|＝2|MF|＝ a ，|QF1|＝2|OM|＝ a . 2bc 2c2 由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝ a ＋ a ＝2a，整理得 b＝c，∴a＝ b2＋c2＝ 2c， c 2 故 e＝a＝ 2 .]
图 121
kx＋m， y＝ [ 解] (1)设直线 l 的方程为 y＝kx＋m(k<0)，由x2 y2 消去 y，得(b2 2＋ 2＝1， a b ＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0. 2分
由于 l 与椭圆 C 只有一个公共点，故 Δ＝0，即 b2－m2＋a2k2＝0，解得点 P
x2 y2 4．(2014· 浙江高考)如图 121，设椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)，动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P，且点 P 在第一象限． (1)已知直线 l 的斜率为 k，用 a，b，k 表示点 P 的坐标； (2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直，证明：点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a－b.
n4＋2n2＋1 > 1＝1.] n4＋2n2
x2 y2 b 3．(2015· 浙江高考)椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点 F(c,0)关于直线 y＝cx 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
2 [设椭圆的另一个焦点为 F1(－c,0)，如图，连接 QF1，QF，设 QF 与直 2 b 线 y＝cx 交于点 M.
A [C1 的焦点为(± m2－1，0)，C2 的焦点为 (± n2＋1，0)， ∵C1 与 C2 的焦点重合， ∴ m2－1＝ n2＋1，∴m2＝n2＋2，∴m2>n2.
∵m>1，n>0，∴m>n. m2－1 n2＋1 ∵C1 的离心率 e1＝ m ，C2 的离心率 e2＝ n ， m2－1 n2＋1 ∴e1e2＝ m · n m2－1n2＋1 ＝＝ mn ＝ n2＋12 ＝ n2＋2n2 m2－1n2＋1 m2n2
2 2 a km b m 的坐标为－b2＋a2k2，b2＋a2k2 .
4分
又点 P ห้องสมุดไป่ตู้第一象限，
故点 P 的坐标为
－a2k b2 ， 2 2 2 2 2 2. b ＋a k b ＋a k
6分
(2)证明：由于直线 l1 过原点 O 且与 l 垂直，故直线 l1 的方程为 x＋ky＝0，所以点 P 到直线 l1 的距离－ a2 k b2k ＋ b2＋a2k2 b2＋a2k2 d＝， 2 1＋k
x2 2 x2 2 2．(2016· 浙江高考)已知椭圆 C1：m2＋y ＝1(m>1)与双曲线 C2：n2－y ＝1(n>0) 的焦点重合，e1，e2 分别为 C1，C2 的离心率，则( A．m>n 且 e1e2>1 C．m<n 且 e1e2>1 B．m>n 且 e1e2<1 D．m<n 且 e1e2<1 )
2 2
1 1＋k2 |y1 － y2| ＝
1 1＋k2
(2)抛物线焦点弦的几个常用结论设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则① p2 2p 2 x1x2＝ 4 ，y1y2＝－p ；②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝sin2α(α 为弦 AB 的倾斜角)； 1 1 2 ③|FA|＋|FB|＝p；④以弦 AB 为直径的圆与准线相切．
专题五平面解析几何突破点 12 圆锥曲线的定义、方程、几何性质
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(对应学生用书第 44 页) [核心知识提炼] 提炼 1 圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)． (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M(l 为抛物线的准线).
提炼 2 圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系 c 2 2 2 ①在椭圆中：a ＝b ＋c ；离心率为 e＝a＝ c 2 2 2 ②在双曲线中：c ＝a ＋b ；离心率为 e＝a＝ b2 1－a2； b2 1＋a2.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 x2 y2 b ①双曲线a2－b2＝1(a＞0， b＞0)的渐近线方程为 y＝±ax；焦点坐标 F1(－c,0)， F2(c,0)； y2 x2 a ②双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝±bx，焦点坐标 F1(0，－ c)，F2(0，c)．