含有30度角的直角三角形
含30度角的直角三角形的性质精品PPT课件
B
D
C
A
A
30°
数学化
B
C
DB
C
D
已知：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°
1
求证： BC=2 AB
延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如图)
在△ABC中，∠ACB=90°，
A
∠BAC=30°，则∠B=60°．
∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC，
30 °
∴△ABC≌△ADC(SAS)．
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
∴AB=AD(全等三角形的对应边相
等)．
∴△ABD是等边三角形(有一个角是
60°的1等腰三1角形是等边三角形)．
∴BC=2
2
BD=
AB．
B
证明方法：倍长法
C
D
A
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC
∵ ∠B=60°，BE=BC
∴ △BCE是等边三角形
E
∴ ∠BEC=60°，BE=EC
∵ ∠A=30°
BE=_1_.2_5_c_m__.
B
C
D
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
C
则BDB=C=--2---c--4--m--c--m------,-A,D=∠--B-6C--Dc-=-m-------3-,-0-0---,
专题2.6含30°的直角三角形的性质【十大题型】-2024-2025学年八年级数学上(1)[含答案]
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专题2.6含30°的直角三角形的性质【十大题型】【苏科版】专题2.6 含30°的直角三角形的性质【十大题型】【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】【题型10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】知识点：含30°的直角三角形的性质在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】【例1】（23-24八年级·山东济宁·期末）1．如图，在等边ABC V 中，点D E 、分别在边BC AC 、上，且AE CD =，BE 与AD 相交于点P ，BQ AD ^于点Q ．(1)求证：BE AD =；(2)若4PQ =，求BP 的长．【变式1-1】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期中）2．在等边三角形ABC V ，若AB 边上的高CD 与边BC 所夹得角为30°，且3BD =，则ABC V 的周长为（ ）A ．18B ．9C ．6D ．4.5【变式1-2】（23-24八年级·山东泰安·期末）3．如图所示，ABC V 是等边三角形，D 为AC 的中点，DE AB ^，垂足为E ．若3AE =，则ABC V 的边长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【变式1-3】（2024八年级·江苏·专题练习）4．如图，在ABC V 中，60ABC Ð=°，以AC 为边在ABC V 外作等边ACD V ，过点D 作DE BC ^．若 5.4AB =，3CE =，则BE = ．【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】【例2】（2024·吉林长春·八年级期末）5．如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段AC 在直线MN 上．若点F 恰好是线段AB 中点，则AFD Ð的大小为 °．【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）6．如图，在ABC V 中，45ACB Ð=°，点M 为边BC 上的动点，当2AM CM +最小时，则CAM Ð的度数为（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°【变式2-2】（2024八年级·江苏·专题练习）7．如图，ABC V 中，AC BC =，且点D 在ABC V 外，D 在AC 的垂直平分线上，连接BD ，若30DBC Ð=°，12ACD Ð=°，则A Ð= °．【变式2-3】（2024·安徽·八年级期末）8．已知在等腰ABC V 中，AD BC ^，垂足为点D ，12AD BC =，则C Ð的度数有（ ）A ．5种B ．4种C ．3种D ．2种【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】【例3】（2024·山东聊城·八年级期末）9．如图，在ABC V 中，90ABC Ð=°，60BAC Ð=°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12B D 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BD 于点M ，交BC 于点E ，连接DE ，则:CDE ABC S S △△的值是（ ）A ．1:2B 3C ．2:5D ．1:3【变式3-1】（23-24八年级·重庆·期末）10．如图，在Rt ABC △中，90A Ð=°，点D 是AB 上一点，且6,15BD CD DBC ==Ð=°，则BCD △的面积为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．6【变式3-2】（23-24八年级·辽宁辽阳·期末）11．如图，在ABC V 中，90,30C B Ð=°Ð=°，D 是BC 上一点，连接AD ，若AD 平分BAC Ð，设ADB V 和ADC △的面积分别是1S ，2S ，则12:S S =（ ）A ．1:1B ．2:1C ．3:1D ．3:2【变式3-3】（23-24八年级·湖南永州·期中）12．如图，在ABC V 中，6AB =，将ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到111A B C △，求阴影部分的面积．【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】【例4】（23-24八年级·湖北荆门·期末）13．如图，CA ^直线l 于点A ，4CA =，点B 是直线l 上一动点，以CB 为边向上作等边MBC △，连接MA ，则MA 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式4-1】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）14．如图，已知60AOB Ð=°，OC 平分AOB Ð，点P 在OC 上，PD OA ^于点D ，6OP =，点E 是射线OB 上的动点，则PE 的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．5D ．3【变式4-2】（23-24八年级·江苏苏州·期中）15．如图，边长为6的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是 ．【变式4-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）16．如图，在等腰三角形ABC 中，4AB AC ==，30BAC Ð=°，AG 是底边BC 上的高，在AG 的延长线上有一个动点D ，连接CD ，作150CDE Ð=°，交AB 的延长线于点E ，CDE Ð的角平分线交AB 边于点F ，则在点D 运动的过程中，线段EF 的最小值( )A ．6B ．4C ．3D ．2【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】【例5】（23-24八年级·北京朝阳·期末）17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt OAB V 的斜边OB 在x 轴上，30ABO Ð=°，若点A 的横坐标为1，则点B 的坐标为 ．【变式5-1】（23-24八年级·湖南长沙·期中）18．如图，等边ABC V 的三个顶点都在坐标轴上，()30A -，，过点B 作BD AB ^，交x 轴于点D ，则点D 的坐标为 ．【变式5-2】（2024·山东泰安·八年级期末）19．如图，在平面直角坐标系中，点O 的坐标为()00，，点M 的坐标为()30，，N 为y 轴上一动点，连接MN ．将线段MN 绕点M 逆时针旋转60°得到线段MK ，连接NK OK ，．求线段OK 长度的最小值（ ）A ．32B C ．2D ．【变式5-3】（23-24八年级·广东东莞·期末）20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标是(0,1)，以OA 为边在右侧作等边三角形1OAA ，过点1A 作x 轴的垂线，垂足为点1O ，以11O A 为边在右侧作等边三角形112O A A ，再过点2A 作x 轴的垂线，垂足为点2O ，以22O A 为边在右侧作等边三角形223O A A L ，按此规律继续作下去，得到等边三角形202120212022O A A ，则点2021A 的纵坐标为 ．【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】【例6】（23-24八年级·山东烟台·期末）21．在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30BAC Ð=°，AD 平分BAC Ð，交BC 于点D ．(1)用尺规作出线段AD 的垂直平分线交AD 于点M ，交AB 于点N ．（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，求证：12CD AN =．【变式6-1】（23-24八年级·重庆江津·期中）22．如图，在等腰ABC V 中，AC BC =，4ACB B =∠∠，点D 是AC 边的中点，DE AC ^，交AB 于点E ，连接CE ．(1)求BCE Ð的度数；(2)求证：3AB CE =．【变式6-2】（2024八年级·江苏·专题练习）23．如图，在ABC V ，90ACB Ð=°，30A Ð=°，AB 的垂直平分线分别交AB 和AC 于点D E ，．(1)若6cm AC =，求CE 的长度；(2)连接CD ，请判断BCD △的形状，并说明理由．【变式6-3】（23-24八年级·安徽阜阳·开学考试）24．如图，已知在等边三角形ABC 中，D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，且AE DC =，连接AD ，BE 相交于点P ，过点B 作BQ AD ^，Q 为垂足，求证：2BP PQ =．【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】【例7】（23-24八年级·山东济宁·期末）25．如图，三角形纸片ABC 中，90BAC Ð=°，4AB =，30C Ð=°．沿过点A 的直线将纸片折叠（折痕为AF ），使点B 落在边BC 上的点D 处；再折叠纸片，使点C 与点D 重合，折痕交AC 于点E （折痕为EG ），则FG 的长是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【变式7-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）26．如图所示，在ABC V 中，9030C A Ð=°Ð=°，，将BCE V 沿BE 折叠，使点C 落在AB边D 点，若6cm EC =，则AC =（ ）cm ．A ．12B ．16C ．18D ．14【变式7-2】（2024·山东滨州·八年级期末）27．如图，点O 是矩形纸片ABCD 的对称中心，E 是BC 上一点，将纸片沿AE 折叠后，点B 恰好与点O 重合．若3BE =，则折痕AE 的长为 ．【变式7-3】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）28．如图，在ABCD Y 中，将ADC △沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若602B AB Ð=°=，，则BC 为 ．【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】【例8】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）29．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，30ABC Ð=°，5cm AC =，将ABC V 绕点A 逆时针旋转至AB C ¢¢△的位置，点B 的对应点为点B ¢，点C 的对应点C ¢恰好落在边AB 上．设旋转角为a ．(1)a 的度数为 °；(2)求ABB ¢V 的周长．【变式8-1】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）30．如图，将ABC V 绕点A 旋转得到ADE V ，若90B Ð=°，30C Ð=°，2AB =，则AE 的长为 ．【变式8-2】（2024八年级·浙江·专题练习）31．如图，AB C ¢¢△是ABC V 绕点A 旋转180°后得到的，已知90B Ð=°，1AB =，30C Ð=°，则CC ¢的长为 ．【变式8-3】（2024·河北秦皇岛·八年级期末）32．如图，在等边ABC V 中，10AB =，P 为BC 上一点（不与点B ，C 重合），过点P 作PM BC^于点P ，交线段AB 于点M ，将PM 绕点P 顺时针旋转60°，交线段AC 于点N ，连接MN ，有三位同学提出以下结论：嘉嘉：PNC △为直角三角形．淇淇：当2AM =时，7AN =．珍珍：在点P 移动的过程中，MN 不存在平行于BC 的情况．下列说法正确的是（ ）A ．只有嘉嘉正确B ．嘉嘉和淇淇正确C ．淇淇和珍珍正确D ．三人都正确【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】【例9】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）33．如图：ABC V 是边长为3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达B 时，P 、Q 两点停止运动，当点P 到达B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 运动的时间为(s)t ．当t 为 时，PBQV 是直角三角形．【变式9-1】（23-24八年级·山西晋中·期中）34．如图，在ABC V 中，90,30,8cm B A AC Ð=°Ð=°=，动点P 、Q 同时从A 、C 两点出发，分别在AC 、BC 边上匀速移动，它们的速度分别为2cm /s,1cm /s P Q v v ==，当点P 到达点C 时，P 、Q 两点同时停止运动，设点P 的运动时间为s t ．(1)当t 为何值时，PCQ △为等边三角形？(2)当t 为何值时，PCQ △为直角三角形？【变式9-2】（2024八年级·全国·专题练习）35．已知：如图，ABC V 是边长3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB BC 、方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为s t ．(1)当动点P 、Q 同时运动2s 时，则BP = cm ，BQ = cm ．(2)当动点P 、Q 同时运动s t 时，分别用含有t 的式子表示；BP = cm ，BQ = cm ．(3)当t 为何值时，PBQ V 是直角三角形？【变式9-3】（23-24八年级·辽宁朝阳·期末）36．如图，在ABC V 中，60A Ð=°，4cm AB =，12cm AC =．动点P 从点A 开始沿AB 边以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CA 边以3cm/s 的速度运动．点P 和点Q 同时出发，当点P 到达点B 时，点Q 也随之停止运动．设动点的运动时间为()s 04t t <<，解答下列问题：(1)用含t 的代数式表述AQ 的长是______．(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使APQ △是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【题型10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】【例10】（23-24八年级·安徽合肥·期末）37．如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若50cm AO BO ==，30cm CO DO ==．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度AOB Ð应为120°，则AB 距离地面CD 的高为 cm ．【变式10-1】（23-24八年级·广西玉林·期中）38．某游乐场部分平面图如图所示，点C 、E 、A 在同一直线上，点D 、E 、B 在同一直线上，DB AB ^．测得A 处与E 处的距离为70m ，C 处与E 处的距离为35m ，90C Ð=°，30BAE Ð=°．(1)请求出旋转木马E 处到出口B 处的距离；(2)判断入口A 到出口B 处的距离与海洋球D 到过山车C 处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．【变式10-2】（23-24八年级·河北廊坊·期末）39．如图，嘉琪想测量一座古塔CD 的高度，在A 处测得15CAD Ð=°，再往前行进60m 到达B 处，测得30CBD Ð=°，点 A ，B ，D 在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔CD 的高度为（ ）A ．40mB ．30mC ．D ．50m【变式10-3】（23-24八年级·山东济宁·期中）40．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为7cm ，双翼的边缘80cm AC BD ==，且与闸机侧立面夹角30ACP BDQ Ð=Ð=°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．1．(1)见解析(2)8【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）证明ABE CAD V V ≌即可得证；（2）求出30PBQ Ð=°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可得出答案．【详解】（1）证明：∵ABC V 为等边三角形，∴60AB AC BAC C =Ð=Ð=°，，在ABE V 和CAD V 中AB AC BAE ACD AE CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS V V ≌ABE CAD ，∴BE AD =．（2）解：∵ABE CAD V V ≌，∴ABE CAD Ð=Ð，∴60BPQ ABP BAP CAD BAP BAC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，又∵BQ AD ^，∴90BQP Ð=°，∴18030PBQ BPQ BQP Ð=°-Ð-Ð=°，∴2BP PQ =，又∵4PQ =，∴8BP =．2．A【分析】由30度角的性质可求出26BC AB ==，然后利用等边三角形的性质求解即可．【详解】解：如图，∵CD AB ^，∴90CDB Ð=°．∵30BCD Ð=°，3BD =，∴26BC AB ==．∵ABC V 是等边三角形，∴ABC V 的周长为6318´=．故选A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解答本题的关键．3．A【分析】本题主要考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；在直角三角形中30°角所对应的边是斜边的一半是解题的关键．根据题意可知60A Ð=°，在直角三角形ADE 中求得AD 的长，即可求得AC 的长．【详解】解：∵ABC V 是等边三角形，D 为AC 的中点，DE AB ^，垂足为点E ．若3AE =，∴在直角三角形ADE 中，60A Ð=°，90AED Ð=°，30ADE Ð=°，∴26AD AE ==，又∵D 为AC 的中点，∴212AC AD ==，∴等边三角形ABC 的边长为12，故选：A ．4．7.8【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有30°角的直角三角形是解决问题的关键．过点C 作CP AB ^于P ，根据60ABC Ð=°得120BAC BCA Ð+Ð=°，再根据等边三角形性质得AC CD =，60ACD Ð=°，则120DCE BCA Ð+Ð=°，由此得BAC DCE Ð=Ð，据此可依据“AAS ”判定APC △和CED △全等，从而得3AP CE ==，则 2.4BP AB AP =-=，进而在根据直角三角形性质得2 4.8BC BP ==，据此可得BE 的长．【详解】解：过点C 作CP AB ^于P ，如图所示：60ABC Ð=°Q ，180120BAC BCA ABC \Ð+Ð=°-Ð=°，ACD QV 为等边三角形，AC CD \=，60ACD Ð=°，180120DCE BCA ACD Ð+Ð=°-Ð=°Q ，BAC DCE \Ð=Ð，CP AB ^Q ，DE BC ^，90APC CED \Ð=Ð=°，在APC △和CED △中，90APC CED BAC DCEAC CD Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，(AAS)APC CED \V V ≌，3AP CE \==，5.43 2.4BP AB AP \=-=-=，在Rt BCP △中，60ABC Ð=°，30BCP \Ð=°，22 2.4 4.8BC BP \==´=，4.837.8BE BC CE \=+=+=．故答案为：7.85．15【分析】本题考查了三角形中位线，含30°的直角三角形，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．过点F 作CD 的垂线，垂足为H ，先证明FH 为ABC V 的中位线，和45B HFA Ð=Ð=°，再根据直角三角形中30°所对的直角边为斜边的一半即可得出30FDH Ð=°，继而求出HFD Ð，以及AFD Ð的度数．【详解】过点F 作CD 的垂线，垂足为H ，如图：∵点F 恰好是线段AB 中点，FH AC ^，90BCA Ð=°，∴BC FH ∥，2BC FH =，∴45B HFA Ð=Ð=°，∵两块等腰直角三角板完全相同，∴BC FD =，∴2BC FD FH ==，∵90FHD Ð=°，∴30FDH Ð=°，∴60HFD Ð=°，∵45B HFA Ð=Ð=°，∴604515AFD HFD HFA Ð=Ð-Ð=°-°=°，故答案为：15．6．D【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，垂线段最短，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．在BC 下方作30BCN Ð=°，过点A 作AF CN ^于点F ，过点M 作ME CN ^于点E ，根据含30度角的直角三角形的性质得出12ME CM =，根据()12222AM CM AM CM AM ME æö+=+=+ç÷èø，两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当A 、M 、E 三点共线，且AE CN ^时，AM ME +最小，即2AM CM +最小，求出此时CAM Ð的度数即可．【详解】解：在BC 下方作30BCN Ð=°，过点A 作AF CN ^于点F ，过点M 作ME CN ^于点E ，如图所示：则12ME CM =，∴()12222AM CM AM CM AM ME æö+=+=+ç÷èø，∵两点之间线段最短，且垂线段最短，∴当A 、M 、E 三点共线，且AE CN ^时，AM ME +最小，即2AM CM +最小，∴当点E 在点F 时，2AM CM +最小，∵90AFC Ð=°，453075ACE ACB BCE Ð=Ð+Ð=°+°=°，∴=9075=15CAF а-°°，即此时15CAM Ð=°．故选：D ．7．72【分析】过C 作CM BD ^，交BD 的延长线于M ，过D 作DN AC ^于N ，证明()Rt Rt HL DNC DMC V V ≌，得12DCM ACD Ð=Ð=°，求出ACB Ð的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出A Ð的度数．【详解】解：如图，过C 作CM BD ^，交BD 的延长线于M ，过D 作DN AC ^于N ，∵点D 在AC 的垂直平分线上，∴DN 垂直平分AC ，∴12NC AC =，∵AC BC =，∴12NC BC =，在Rt BMC △中，30DBC Ð=°，∴12CM BC =，∴CM CN =，在Rt DNC △和Rt DMC V 中，∵CD CD CN CM =ìí=î，∴()Rt Rt HL DNC DMC V V ≌，∴12DCM ACD Ð=Ð=°，∵30DBC Ð=°，∴60MCB Ð=°，∴6012236ACB Ð=°-°´=°，又∵AC BC =，∴()118036722A Ð=´°-°=°，故答案为：72．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,含30°角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时要熟知等腰三角形的两个底角相等，需要作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应角相等．8．A【分析】根据题意分两种情况：AD 落在ABC V 内部和AD 落在ABC V 外部，然后分别根据等腰三角形的概念和三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）当AD 落在ABC V 内部时，①如图，当AB AC =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴AD BD DC ==，即45C Ð=°．②如图，当AB CB =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴12AD AB =．∴30B Ð=°，∴()()11180180307522C B Ð=´°-Ð=´°-°=°③如图，当AC BC =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴12AD AC =．∴30C Ð=°．（2）当AD 落在ABC V 外部时，④当AB AC =时，此时不存在．⑤如图，当AB CB =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴12AD AB =．∴30ABD Ð=°，则11301522C ABD Ð=Ð=´°=°．⑥如图，当AC BC =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴12AD AC =．∴30ACD Ð=°，则18030150ACB Ð=°-°=°，即150C Ð=°．综上，C Ð的度数可能为15°，30°，45°，75°，150°，共5种可能，故选：A ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，含30°角直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据题意分情况讨论．9．D【分析】先根据30°角的直角三角形的性质得到12AB AC =，证明()SAS ABE ADE △≌△，再根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵90ABC Ð=°，60BAC Ð=°，∴90906030C BAC Ð=°-Ð=°-°=°，∴12AB AC =，由题意得：AB AD =，AP 平分BAC Ð，∴BAE DAE Ð=Ð，在ABE V 与ADE V 中，AB AD BAE DAE AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABE ADE △≌△，∴ABE ADE S S =△△，∵12AD AB AC ==，∴AD CD =，∴ADE CDE S S =V V ，∴3ABC CDE S S =△△，∴:1:3CDE ABC S S =△△．故选：D ．【点睛】本题考查作图—基本作图，直角三角形两锐角互余，30°角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等底同高的三角形面积相等．掌握基本作图及全等三角形的判定和性质是解题的关键．10．A【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，含30度角的直角三角形，根据等边对等角结合三角形的外角，求出30ADC Ð=°，进而求出AC 的长，利用三角形的面积公式求出BCD △的面积即可．【详解】解：∵6,15BD CD DBC ==Ð=°，∴15DCB B Ð=Ð=°，∴30ADC B BCD Ð=Ð+Ð=°，∵90A Ð=°，∴132AC CD ==，∴BCD △的面积为1163922BD AC ×=´´=；故选A ．11．B【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，三角形的面积等知识，先求出30BAD CAD Ð=Ð=°，得出AD BD =， 从而1122CD AD BD ==，然后根据三角形面积公式可得结论．【详解】解：∵90,30C B Ð=°Ð=°，∴903060BAC Ð=°-°=°．∵AD 平分BAC Ð，∴1302BAD CAD BAC Ð=Ð=Ð=°，∴B BAD Ð=Ð，∴AD BD =， ∴1122CD AD BD ==，∴1211::2:122S S BD AC CD AC =××=．故选B ．12．9【分析】根据旋转的性质得到11ABC A BC V V ≌，16A B AB ==，所以1A BA V 是等腰三角形，依据130A BA Ð=°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道1111A BA A BC ABC A BA S S S S S =+-=V V V V 阴影，最终得到阴影部分的面积．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．【详解】解：在ABC V 中，6AB =，将ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到111A B C △，∴11ABC A BC V V ≌16A B AB \==，\1A BA V 是等腰三角形，130A BA Ð=°，如图，过1A 作1A D AB ^于D ，则11132A D AB ==，116392A BA S \=´´=△，又1111A BA A BC ABC A BA S S S S S =+-=V V V V Q 阴影，11A BC CBA S S =V V ，19A BA S S \==V 阴影．13．B【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．以AC 为边作等边三角形ACE ，连接ME ，过点A 作AF ME ^于点F ，证明(SAS)BCA MCE V V ≌，由全等三角形的性质得出BA ME =，90BAC MEC Ð=Ð=°，由直角三角形的性质可得出答案．【详解】解：如图，以AC 为边作等边三角形ACE ，连接ME ，过点A 作AF ME ^于点F ，MBC QV 和ACE △为等边三角形，BC CM \=，AC CE =，60BCM ACE Ð=Ð=°，BCA MCE \Ð=Ð，在BCA V 和MCE △中，BC MC BAC MCE AC CE =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)BCA MCE \V V ≌，BA ME \=，90BAC MEC Ð=Ð=°，906030AEF \Ð=°-=°，B Q 是直线l 的动点，M \在直线ME 上运动，MA \的最小值为AF ，4AE AC ==Q ，122AF AE \==．故选：B14．D【分析】题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实际应用．过P 作PH OB ^，根据垂线段最短即可求出PE 最小值．【详解】解∶∵60AOB Ð=°，OC 平分AOB Ð，∴30AOC Ð=°，∵PD OA ^，6OP =，∴132PD OP ==，过P 作PH OB ^于点H ，∵PD OA ^，OC 平分AOB Ð，∴3PD PH ==，∵点E 是射线OB 上的动点，∴PE 的最小值为3，故选：C ．15．32【分析】取BC 的中点，连接MG ，根据等边三角形的性质和旋转可以证明MBG NBH V V ≌，可得MG NH =，根据垂线段最短，当MG CH ^时，MG 最短，即HN 最短，进而根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可求得线段HN 长度的最小值．本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．【详解】解：如图，取BC 的中点，连接MG ，Q 线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，60MBH HBN \Ð+Ð=°，又ABC QV 是等边三角形，60ABC \Ð=°，即60MBH MBC Ð+Ð=°，HBN GBM \Ð=Ð，CH Q 是等边三角形的高，12BH AB \=，BH BG \=，又BM Q 旋转到BN ，BM BN \=，(SAS)MBG NBH \△≌△，MG NH \=，根据垂线段最短，当MG CH ^时，MG 最短，即HN 最短，此时160302BCH Ð=´°=°，116322CG BC ==´=，1322MG CG \==，32HN \=．\线段HN 长度的最小值是32．故答案为：3216．D 【分析】此题考查了全等三角形的判定即性质，等腰三角形的三线合一的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．作DM AB ^于M ，作DN AC ^于N ，证明()ASA MDE NDC V V ≌，推出DE DC =，再证明()SAS EDF CDF V V ≌，推出EF CF =，得到当CF AB ^时CF 有最小值，即EF 有最小值，由30BAC Ð=°，4AC =，求出CF ．【详解】解：作DM AB ^于M ，作DN AC ^于N ，AB AC =Q ， AG BC ^，AG \平分BAC Ð，即AD 平分BAC Ð，DM AB ^Q ，DN AC ^，DM DN \=，30BAC Ð=°Q ，90AMD AND Ð=Ð=°，150MDN Ð\=° ，150CDE Ð=°Q ，150MDE CDM ÐÐ\=°- NDC Ð=，(ASA MDE NDC \V V ≌)，DE DC \=，DF Q 平分CDE Ð，EDF CDF \Ð=Ð，连接CF ，DF DF =Q ，()SAS EDF CDF \V V ≌，EF CF \=，\当CF AB ^时CF 有最小值，即EF 有最小值，此时，30BAC Ð=°Q ，4AC =，\122CF AC ==，故选：D ．17．()4,0【分析】本题主要考查了含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半．过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，先得出30OAC Ð=°，则22OA OC ==，进而得出24OB OA ==，即可解答．【详解】解：过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，∵Rt OAB V 中30ABO Ð=°，∴60AOB Ð=°，∵AC OB ^，∴30OAC Ð=°，∵点A 的横坐标为1，∴1OC =，∴22OA OC ==，∵30ABO Ð=°，∴24OB OA ==，∴点B 的坐标为()4,0，故答案为：()4,0．18．()90，【分析】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．利用等边三角形的性质求得AB 的长，再利用含30度角的直角三角形的性质求得AD 的长，继而求得OD 的长，即可求解．【详解】解：∵ABC V 是等边三角形，且BO AC ^，∴60AO OC BAC =Ð=°，，∵()30A -，，∴3AO =，∴26AB AC AO ===，∵BD AB ^，∴90ABD Ð=°，∴30ADB Ð=°，∴212AD AB ==，∴9OD AD OA =-=，∴点D 的坐标为()90，．故答案为：()90，．19．A【分析】如图所示，将MOK V 绕点M 顺时针旋转60度得到MQN △，连接OQ ，由旋转的性质可得60OK NQ OM QM OMQ ===°，，∠，证明OMQ V 是等边三角形，得到60QOM OQ OM =°=∠，，推出30NOQ Ð=°；由垂线段最短可知，当NQ y ^轴，NQ 最小，即OK 最小，此时点N 与点N ¢重合，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，将MOK V 绕点M 顺时针旋转60度得到MQN △，连接OQ ，由旋转的性质可得60OK NQ OM QM OMQ ===°，，∠，∴OMQ V 是等边三角形，∴60QOM OQ OM =°=∠，，∴30NOQ Ð=°，∵点M 的坐标为()30，，∴3OQ OM ==，由垂线段最短可知，当NQ y ^轴，NQ 最小，即OK 最小，此时点N 与点N ¢重合，∴1322OK NQ OQ ===最小值最小值，故选A ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．20．202112【分析】此题主要考查了点的坐标，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中， 30°的角所对的边等于斜边的一半是解决问题的关键．首先根据点A 的坐标及等边三角形的性质得111,60,OA OA AOA ==Ð=°进而得1130,A OO Ð=°再根据直角三角形的性质得 11111,22A O OA ==点1A 的纵坐标为 12，依次类推得到点n A 的纵坐标为 12næöç÷èø即可解题．【详解】∵点A 的坐标是()0,1，1OAA V 是等边三角形，111,60OA OA AOA \==Ð=°，1111906030A OO AOO AOA \Ð=Ð-Ð=°-°=°，11A O x ^Q 轴,∴在11Rt A OO V 中, 1130,A OO Ð=°则 1111122A O OA ==，∴点1A 的纵坐标为 12，同理：2221111,22A O A O æö==ç÷èø 3332211,22A O A O æö==ç÷èø 4443311,22A O A O æö==ç÷èø...，以此类推， 12n n n A O æö=ç÷èø，∴点2A 的纵坐标为 21,2æöç÷èø点 A ₃的纵坐标为31,2æöç÷èø点 A ₄的纵坐标为 41,2æöç÷èø……，以此类推，点n A 的纵坐标为 12n æöç÷èø，∴点 2021A 的纵坐标为 202120211122æö=ç÷èø．故答案为： 202112．21．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据尺规作一条线段垂直平分线的方法，进行作图即可；（2）过D 点作DE AB ^于E 点，连接DN ，由角平分线的性质和定义得到1152BAD BAC ==°∠，DC DE =，再由线段垂直平分线的性质得到NA ND =，进而得到30DNE NDA NAD Ð=Ð+Ð=°，则12DE DN =，由此即可证明结论．【详解】（1）解：如图，MN 为所求作的线段AD 的垂直平分线；（2）证明：过D 点作DE AB ^于E 点，连接DN ，∵30BAC Ð=°，AD 平分BAC Ð，DC AC ^，DE AB ^，∴1152BAD BAC ==°∠，DC DE =，∵MN 是AD 的垂直平分线，∴DN AN =，∴15NDA NAD Ð=Ð=°，∴30DNE NDA NAD Ð=Ð+Ð=°，在Rt DNE △中，12DE DN =，∵DN AN =，DC DE =，∴12CD AN =．【点睛】本题主要考查了，尺规作一条线段的垂直平分线，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．22．(1)90BCE °Ð=；(2)证明见解析．【分析】（1）证明ECD EAD V V ≌，可得A ECD Ð=Ð，设B x Ð=，可得2BEC x Ð=，得出23180x x x ++=°，解得30x =°，则BCE Ð可求出；（2）由直角三角形的性质可得2BE CE =，AE CE =，则结论可得出．【详解】（1）解： Q 点D 是AC 边的中点，DE AC ^，90EDC EDA \Ð=Ð=°，DC DA =，ED ED =Q ，()SAS ECD EAD \V V ≌，A ECD \Ð=Ð，设B x Ð=，∵AC BC =，B A x \Ð=Ð=，2BEC A ECA x \Ð=Ð+Ð=，4ACB B Ð=ÐQ ，3BCE x \Ð=，180B BEC BCE Ð+Ð+Ð=°Q ，23180x x x \++=°，解得30x =°，90BCE \Ð=°；（2）解：30B Ð=°Q ，90BCE Ð=°，2BE CE \=，CE AE =Q ，3AB BE AE CE \=+=．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握运用基础知识是解题的关键．23．(1)2cm(2)等边三角形，理由见解析【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．（1）连接BE ，由垂直平分线的性质可求得30CBE ABE A Ð=Ð=Ð=°，在Rt BCE V 中，由直角三角形的性质可证得2BE CE =，则可得出结果；（2）由垂直平分线的性质可求得AD BD =，根据含30°角的直角三角形可得12BC AB =，因此BCD △为等腰三角形，进一步由题意可知60ABC Ð=°，即可证明BCD △为等边三角形．【详解】（1）解：如图，连接BE ，DE Q 是AB 的垂直平分线，AE BE \=，30ABE A \Ð=Ð=°，30CBE ABC ABE \Ð=Ð-Ð=°，在Rt BCE V 中，2BE CE =，2AE CE \=，6cm AC =Q ，2cm CE \=．（2）BCD △是等边三角形，理由如下：连接CD ，DE Q 垂直平分AB ，∴D 为AB 中点，AD BD \=，在Rt ABC △中，30A Ð=°，12BC AB =∴，AD BD BC \==，又60ABC Ð=°Q ，∴BCD △是等边三角形．24．见详解【分析】根据全等三角形的判定定理SAS 可判断两个三角形全等；根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到30PBQ Ð=°，根据直角三角形的性质即可得到．本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及含30度角直角三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】解：ABC QV 为等边三角形．AB AC \=，60BAC ACB Ð=Ð=°，在BAE V 和ACD V 中，AE CD BAC ACB AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)BAE ACD \V V ≌，ABE CAD \Ð=Ð，BPQ ÐQ 为ABP V 外角，60BPQ BAD ABE CAD BAD BAC \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，BQ AD ^Q ，30PBQ \Ð=°，2BP PQ \=．25．B【分析】根据折叠的性质可得，BF FD =，CG GD =，即12FG BC =，再由30°角所对的直角边是斜边的一半，即可求解，本题考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握折叠的性质．【详解】解：由折叠可知，BF FD =，CG GD =，12FG BC \=，在ABC V 中，90BAC Ð=°，4AB =，30C Ð=°，2248BC AB \==´=，118422FG BC \==´=，故选：B ．26．C【分析】本题主要考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的直角．理解直角三角形中30°角所对边是斜边的一半是解题的关键．【详解】解：根据折叠的性质6cm DE EC ==，90EDB C Ð=Ð=°，∴90EDA Ð=°，∵30A Ð=°，∴212cm AE DE ==，∴18cm AC AE EC =+=，故选C ．27．6【分析】此题考查了中心对称，矩形的性质，以及翻折变换，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．由折叠的性质及矩形的性质得到OE 垂直平分AC ，得到AE EC =，根据AB 为AC 的一半确定出30ACE Ð=°，进而得到OE 等于EC 的一半，求出EC 的长，即为AE 的长．【详解】解：由题意得：AB AO CO ==，即2AC AB =，且OE 垂直平分AC ，AE CE \=，30ACB Ð=°，在Rt OEC △中，30OCE Ð=°，12OE EC BE \==，3BE =Q ，3OE \=，6EC =，则6AE =，故答案为：6．28．4【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，含30°的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由折叠的性质与题意可得，=90ACD а，由ABCD Y ，可知260BC AD CD AB D B ===Ð=Ð=°，，，则18030CAD ACD D Ð=°-Ð-Ð=°，24AD CD ==，进而可求BC 的值．【详解】解：由折叠的性质可得，=90ACD а，∵ABCD Y ，∴260BC AD CD AB D B ===Ð=Ð=°，，，∴18030CAD ACD D Ð=°-Ð-Ð=°，∴24AD CD ==，∴4BC =，故答案为：4．29．(1)60(2)30cm【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．（1）根据90C Ð=°，30ABC Ð=°，求出903060BAC Ð=°-°=°，即可求出结果；（2）根据直角三角形的性质得出210cm AB AC ==，根据旋转得出60BAB ¢Ð=°，AB AB ¢=，证明ABB ¢V 是等边三角形，求出结果即可．【详解】（1）解：∵在ABC V 中，90C Ð=°，30ABC Ð=°，∴903060BAC Ð=°-°=°，根据旋转可知：60BAB BAC a =Ð=Ð=¢°；（2）解：∵90C Ð=°，30ABC Ð=°，5cm AC =，∴()22510cm AB AC ==´=，∵将ABC V 绕点A 逆时针旋转a 角度至AB C ¢¢△的位置，∴60BAB ¢Ð=°，AB AB ¢=，∴ABB ¢V 是等边三角形，∴ABB ¢V 的周长是()331030cm AB =´=．30．4【分析】由直角三角形的性质可得24AC AB ==，由旋转的性质可得4AE AC ==．本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．【详解】解：90B Ð=°Q ，30C Ð=°，24AC AB \==，Q 将ABC V 绕点A 旋转得到ADE V ，4AE AC \==，故答案为：431．4【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意得出2AC =，进而根据旋转的性质，即可求解．【详解】在Rt ABC △中，1AB =，30C Ð=°，∴22AC AB ==．。
含30度角直角三角形的性质
05
CHAPTER
含30度角直角三角形相似性质探讨
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
02
CHAPTER
含30度角直角三角形特点
角度关系
含30度角的直角三角形中，另一个锐角为60度，直角为90度。
边长比例
对于含30度角的直角三角形，若设30度角所对的直角边为a，斜边为c，则另一条直角边b满足b = (√3/2)c，即b : c = 1 : 2。同时，a : b = 1 : √3，a : c = 1 : 2√3。
要点一
要点二
相似三角形性质
相似三角形的对应边成比例，对应角相等，面积比等于相似比的平方。
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
预备定理
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定定理1
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
含30度角直角三角形全等判定方法
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分别对应相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等；全等三角形的周长、面积相等；全等三角形的对应边上的中线、高线、角平分线分别相等。
HL全等
直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。
外心位置
外心是三角形外接圆的圆心，位于三角形外部。在含30度角的直角三角形中，外心位于斜边中线的延长线上，且距离直角顶点较远。
含30度角直角三角形的性质
一、等边三角形的性质
1．等边三角形的三条边相等；
2．等边三角形的内角都相等，且都等于60 °；
3．等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴； 4．等边三角形每条边上中线，高线和所对角的平 分线都相互重合。
二、 等边三角形的判定
1．三边相等的三角形是等边三角形； 2．三个角都相等的三角形是等边三角形； 3．有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形．
1AB．
2
2
含30°角直角三角形的性质
性质：在直角三角形中,如果一个锐角等
于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠A＝30°
∴BC= 1AB(或AB = 2BC)
2
B
C
巩固练习
A
1.如图：在Rt△ABC中 ∠A=300,
（1）BC=4,则AB=_____cm
A
30 °
B
C
D
证明：
延长BC至D，使CD=BC，连接AD ∵ ∠ACB=90°
∴∠ACD=90°．
在 △ABC和△ADC中
AC = A C
∠ACB=∠ACD
BC = CD
∴△ABC≌△ADC(SAS)． ∴AB=AD, ∵ ∠BAC=30° ∴ ∠B=60° ∴△ABD是等边三角形
∴BC=
1
BD=
（2）若AB+BC=15,则AB=_____cm
C
B
2. 在△ABC中,∠C=900,
∠B=150，DE是AB的 垂直平分线，BE=5,
Ａ Ｄ
则AE=______,AC=_ABC是等边三角形， AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8cm, BD=＿＿＿，BE=____
含30度角的直角三角形三边关系比例
含30度角的直角三角形三边关系比例一、直角三角形的性质直角三角形是指其中有一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，三条边之间有着特定的关系比例，其中包括含30度角的直角三角形。
下面我们将重点讨论含30度角的直角三角形中三边的关系比例。
二、含30度角的直角三角形的特点1. 角度关系含30度角的直角三角形中，另外一个角度是60度，而最后一个角度即为90度。
2. 边长关系设直角三角形的三条边分别为a、b、c，其中a为斜边，b、c为两个直角边。
根据三角函数中正弦、余弦和正切的定义，我们可以得出以下关系：sin30°=b/c，即b=1/2c；cos30°=a/c，即a=√3/2c；tan30°=b/a，即b=a/√3=√3/3。
三、含30度角的直角三角形的应用含30度角的直角三角形在实际生活中有着广泛的应用，在工程学、建筑学等领域都有着重要的地位。
下面我们就会列举一些含30度角的直角三角形的应用例子。
1. 光学仪器在光学仪器中，含30度角的直角三角形被广泛用于折射、反射等光学现象的研究中。
比如反射三棱镜中的反射角度就是30度，而折射角度也与此有关。
2. 地形测量在地形测量中，含30度角的直角三角形经常用于测量斜坡的倾角、高度差等地形信息，为地理学家、土木工程师等提供重要的数据支持。
3. 建筑设计在建筑设计中，含30度角的直角三角形被用于设计坡顶、楼梯的护栏、天窗等部分，为建筑师提供了良好的设计基础。
四、结语含30度角的直角三角形是一种重要的几何图形，其三边关系比例对于许多实际问题的解决具有重要意义。
通过深入了解和研究含30度角的直角三角形，我们可以更好地应用数学知识于实际生活中，为人类社会的发展和进步做出贡献。
希望本文能够给读者带来有益的启发，激发大家对数学的兴趣。
五、含30度角的直角三角形的计算在含30度角的直角三角形中，我们可以利用三角函数来计算三边的关系比例。
如果已知斜边或直角边的长度，我们可以通过代入三角函数公式来计算其他边的长度。
含30度角直角三角形的性质
角度与边长的关系
边长与角度的正弦关系
在30度角直角三角形中，较短的直角边（30度角所对的边）长度等于斜边长度的一半，即斜边长度 为2倍的较短的直角边长度。
边长与角度的余弦关系
在30度角直角三角形中，较长的直角边（60度角所对的边）长度等于斜边长度的根号3倍的一半，即 斜边长度为2倍的较长的直角边长度除以根号3。等腰三ຫໍສະໝຸດ 形的性质等腰三角形的两腰相等
在含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，因此，这个直角边和另一个直角边是等长的， 即构成等腰三角形。
等腰三角形的底角相等
由于两腰相等，根据等腰三角形的性质，两个底角也相等，均为60度。
等边三角形的性质
要点一
等边三角形的三边相等
在含30度角的直角三角形中，由于30度角所对的直角边等 于斜边的一半，另一条直角边等于斜边的根号3倍，因此， 三条边都相等，构成等边三角形。
边长与角度的关系
总结词
在含30度角的直角三角形中，斜边是较长直角边的2倍，是 较短直角边的√3倍。
详细描述
由于30度角的三角函数值已知，我们可以利用三角函数的知 识来推导边长与角度之间的关系。根据三角函数，当角度为 30度时，斜边是较长直角边的2倍，是较短直角边的√3倍。
边长与面积的关系
总结词
在含30度角的直角三角形中，面积与 较短的直角边长度成正比，与斜边的 长度无关。
特点
含30度角的直角三角形具有一些特殊的性质，如30度角所对的直角边等于斜边 的一半，以及30度角所对的直角边与邻边之比为$sqrt{3}$：$1$。
30度角直角三角形与其他三角形的关系
知识点总结：等边三角形及含30度直角的直角三角形
知识点总结：等边三角形及含30度直角的直角三角形一、引言本文将详细介绍等边三角形和含30度直角的直角三角形的定义、性质、应用及重难点精析。
等边三角形和直角三角形是初中数学中重要的基本图形，掌握它们的性质和判定对于解决数学问题具有重要意义。
二、等边三角形定义及性质1.等边三角形定义：三边长度相等的三角形称为等边三角形。
2.等边三角形性质：a. 三边长度相等，即任意两边之和等于第三边。
b. 三内角相等，即每个角均为60度。
c. 高等于一边长的一半。
三、含30度直角的直角三角形定义及性质1.含30度直角的直角三角形定义：有一个角为90度，另一个角为30度的三角形称为含30度直角的直角三角形。
2.含30度直角的直角三角形性质：a. 30度角对的直角边等于斜边的一半。
b. 勾股定理成立，即勾股定理中的三个边满足a^2 + b^2 = c^2.其中c为斜边。
c. 面积公式为：S = 1/2 * a * b，其中a和b分别为直角三角形的两直角边长。
四、等边三角形与含30度直角的直角三角形的联系与区别1.联系：等边三角形和含30度直角的直角三角形都是基本图形，具有一些共同的性质，例如三内角相等(等边三角形)或一个角为90度(直角三角形)等。
2.区别：等边三角形的三边长度相等，而含30度直角的直角三角形的斜边长度是直角边长度的两倍。
此外，等边三角形的三个内角均为60度，而含30度直角的直角三角形的两个锐角分别为30度和60度。
五、重难点精析1.等边三角形的证明：等边三角形的三边长度相等，因此可以使用三边长度相等的定理进行证明。
可以让学生们掌握等腰三角形性质并理解等边三角形的定义和判定方法。
2.含30度直角的直角三角形的证明：含30度直角的直角三角形可以使用勾股定理进行证明。
应该重点讲解勾股定理的推导过程及应用方法，以便学生们可以更好地掌握含30度直角的直角三角形的判定方法。
3.面积计算：无论是等边三角形还是含30度直角的直角三角形，面积计算都非常重要。
第07讲 含30度直角三角形与斜边上的中线-新八年级数学暑假(苏科版)(学生版)
第07讲含30度直角三角形与斜边上的中线【学习目标】重难点：含30度角的直角三角形的性质定理和直角三角形斜边上中线的发现与证明【基础知识】一．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．二．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．【考点剖析】一．选择题（共5小题）1．（真题•云浮期末）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm2．（真题•兴化市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，若CD＝4，那么AB的长是（）A．4 B．8 C．12 D．243．（真题•宁德期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（）A．12 B．6 C．4 D．34．（真题•江岸区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D、E、F分别为边AC、AB、CB 上的点，且△DEF为等边三角形，若AD CD．则的值为（）A．B．C．D．5．（真题•丹阳市期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝70°，点E是AC的中点．则∠EBD的度数为（）A．20°B．35°C．40°D．55°二．填空题（共5小题）6．（真题•滨海县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AB＝6，则CD的长是．7．（2022春•济源期中）直角三角形的两边长为5、12，则斜边上的中线长为．8．（真题•淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝6，则CD＝．9．（真题•海门市期末）等腰△ABC中，底角∠B＝15°，腰长为30cm，则腰AB上的高为cm．10．（真题•海门市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，点D在边AC上，以BD 为边在BD左上方作等边△BDE，若∠CBD＝45°，则点E到AB边的距离为cm．三．解答题（共5小题）11．（真题•丹阳市期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；（2）已知△ADE的周长11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，求OA的长．12．（真题•淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AC＝CD＝1，求直角边BC的长．13．（真题•东台市月考）如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点．（1）求证：DE⊥MN；（2）若BC＝10，MN＝6，求DE．14．（真题•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，且交AC于点D，DE垂直平分AB于点E，DE＝3cm．求线段AC的长．15．（真题•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）若∠A＝60°，DE＝2，求BC的长．【过关检测】一．选择题（共9小题）1．（真题•博兴县期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．首先以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若BG＝1，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（）A．无法确定B．C．1 D．22．（真题•如皋市期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD ＝4，则BD的长为（）A．3 B．2.5 C．2 D．13．（真题•崇川区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交边AC于点D，E为BD的中点，若BC＝2，则CE的长为（）A．B．2 C．D．34．（2021•苏州模拟）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3 B．4 C．5 D．65．（2021•苏州模拟）如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.56．（真题•信都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AC边上的动点（点E与点C、A 不重合），设点M为线段BE的中点，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，连接MC、MF．若∠CBA＝50°，则在点E运动过程中∠CMF的大小为（）A．80°B．100°C．130°D．发生变化，无法确定7．（真题•安陆市期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则BD的长是（）A．12 B．9 C．6 D．38．（真题•南平期末）四边形ABCD中，△ACD是边长为6的等边三角形，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，则对角线BD的长的取值范围是（）A．3＜BD≤3+3B．3＜BD＜6 C．6＜BD≤3+3D．3＜BD≤39．（真题•姜堰区期末）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB 的长为3.6km，则M、C两点间的距离为（）A．1.8km B．3.6km C．3km D．2km二．填空题（共5小题）10．（2022•盐城一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BE＝4，则AC＝．11．（2022春•大丰区校级月考）一副三角板按如图所示的位置摆放，△BDE的直角边BD恰好经过Rt△ABC斜边AC的中点M，BE交AC于点F，则∠BFM＝°．12．（真题•江都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝6，则AB＝．13．（真题•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12．若AB的垂直平分线交BC 于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN＝．14．（2022•邳州市一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，延长AB到点D，使BD＝BC，连接CD，若AC＝2，则CD的长为．三．解答题（共6小题）15．（真题•溧水区期末）在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论．16．（真题•京口区校级期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．17．（真题•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12．（1）求证：BD⊥BC．（2）求DB的长．18．（真题•淮安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，且CD是AB边的中线，CE是BD边的中线，当DE＝2时，求AC的长．19．（真题•天宁区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O为BD的中点．（1）∠OAC和∠OCA相等吗？请说明理由；（2）若P为AC中点，试判断OP与AC的关系．20．（真题•姑苏区校级期中）已知在△ABC中，∠B＝60°，AD＝14，CD＝12，S△ADC＝30，求BD的长．。
人教版数学八年级上册13.3.2含有30度角的直角三角形的性质课件
挑战自我：相信你一定能行
１.如图，在△ABC中,∠C=900,∠B=150， DE是AB的中垂线，BE=5,
则AE=______,AC=_____ Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｅ ＣＢ
２.如图：已知 在△ABC
中，∠A=300，C=900，
BD平分∠ABC. 求证：AD=2DC
∴△ABD是等边三角形
又∵AC⊥BD ∴BC＝DC＝
1BD＝
1AB
2
2
B
C
你还能用 其他方法 证明吗?
D
如图: 延长BC到D,使CD=BC,连接AD.
A
300
B
C
D
想一想：从上面的探究中你能 得到什么结论?
定理：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
300 A
A
1、问题：用两个全等 的含30°角的直角尺， 你能拼出一个等边三角 形吗？两人一组互相说 说你的理由。
B
C
D
2、将两个含有30°角的三角尺如图摆放在 一起,你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直
角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
A
证明∵△ABC与△ADC关于AC轴对称
∴AB＝AD
∠BAD=2× 30°= 60°
BD=４＿ｃ＿ｍ＿， BE=２__ｃ__ｍ
E
B DC
5.已知:如图,在△ABC中, ∠ACB＝900,∠A=300,CD⊥AB于D. 求证:BD= 1AB.
4
C
A BD
你能规范地写出证明过程吗？ 你的证题能力有所提高吗是 什么？都有哪些收获？
特殊的直角三角形的性质: 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐
人教版数学八年级上册13.3.2：含有30度角 的直角三角形的性质 教案
已知：在△ABC 中，∠ACB=90°∠BAC=30°求证：BC= 21AB 证明:延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD(如图) 在△ABC 中，∠ACB=90°∠BAC=30°，则∠B=60°， ∴∠ACD=90°． 又∵AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADC(SAS)． ∴AB=AD∴△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．∴BC= 21BD= 21AB ．归纳：含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么30°角所对的直角边等于斜边的一半即 ∵在Rt △ABC 中，∠A ＝ 30 ° ∴BC= 1/2AB .（ 或2BC=AB ） 试一试1.如图：在Rt △ABC 中 ∠A=300,若BC=4,则AB=_8____， BD= 2 。
2、屋架设计图,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC 、DE 垂直于横梁AC,AB＝8m,∠A ＝30°则BC= 4m___, DE=2m____的直角边BC (30°角所对的)与斜边AB 之间的数量关系吗(让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探究出来的结论，还要给予证明)。
活动3、你能证明这一性质吗?追问; 将△ABC 怎样变化？（引导学生从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D,使CD=BC,连接AD.） 规律;加倍法是证明倍分关系的常用方法。
归纳小结含30°角的直角三角形的性质定理是什么？在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么30°角所对的直角边等于斜边的一半 追问1.使用定理解题时要注意什么？（1）在直角三角形中 （2）有一个锐角是30°BA CDE三．典题解析1.含30°角的直角三角形性质求线段的长度例1．（1）.如图在△ABC 中,AB=AC=2a,∠B=150,求腰AB 上的高的长度。
13.3.2(2) 含30度角的直角三角形的性质(课件)八年级数学上册(人教版)
120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝
∠C，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，BD＝10，
∴AD= BD=5
∴CD＝AD＝5．
一半，反之亦然．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，AC＝8，点D在边AB
上，且BD＝ ，点P是△ABC边上的一个动点，若AP＝2PD时，则PD的
长是 3
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，
且BD＝1，则AD的长是 3 ．
图1
图3
当堂测试
4.如图,已知△ABC是等边三角形,D,E分别为BC、AC上的点,且CD=AE,AD、
证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
1
∴∠BAC＝60°，AC= AB
2
∵DE是AB的垂直平分线
∴AD=DB= AB
∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形；
分层作业
【基础达标作业】
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、
BC于点D、E连接CD、AE．求证：点E在线段CD的垂直平分线上．
∵∠C=90º，
1
1
∴AC= 2 AE=2
BE=2.5.
B
E
C
随堂练习
2.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120º,D是BC的中点,DE⊥AB于E
点,求证：BE=3EA.
证明∵AB=AC,∠BAC=120º,
∴∠B=∠C=30º.
∵D是BC的中点, ∴AD⊥BC
B
∴∠ADC=90º,∠BAD=∠DAC=60º.
含有30°角的直角三角形的性质
∴ CD=AD=BD 1 AB
2
∴ BC 1 AB
2
∴ CD=AD
归纳
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边 等于斜边的一半.（简记为：30°的角所对的直角边等于斜边 的一半）
几何符号语言：∵ ∠C=90°，∠A=30°
∴ BC 1 AB
30°
2
或 ∵AC⊥BC，∠A=30°
∴ BC 1 AB
2
注意：1.含30°角的直角三角形的性质实际上是由等边三角形的 轴对称性质得出的，是由特殊角在直角三角形中得出边和边的 倍数关系，主要用于计算和证明线段的倍数关系.
2.在运用含30°角的直角三角形的性质时，注意条件必须要有 30°的角和在直角三角形中两个条件.
∵ DE⊥AC，∠A =30°
∴ DE 1 AD 1 3.7 1.85(cm)
2
2
答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m．
经典例题
例2:如图，在△ABC中，∠ACB=90°,CD是AB边上的高，∠A=30°. 求证：AB=4BD.
解：∵∠ACB=90°, ∠A=30°
1
∴ AB 2BC,∠B 600
1 2
2.如图所示，在△ABC中，AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线， AE是∠BAD的平分线，DF//AB交AE的延长线于点F,则DF的 长为_4_._5__
12
例题3：某市在旧城改造中，计划在市内一块如图的三角形空地 上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购 买这种草皮至少需要多少元？
D ∴ ∠BAD=30°+30°=60° ∴ △ABD是等边三角形 ∴ AB=BD ∵ BC CD 1 BD ∴ BC 1 AB 2
含30度角的直角三角形的性质
含30度角的直角三角形具有特殊的性质，其中最显著的是30度角所对的直角边等于斜边的一半。
总结2
除了上述性质外，含30度角的直角三角形还具有其他一些性质，如30度角的对边与邻边的比值为$sqrt{3}$，以及30度角 所对的直角边的平方等于另一直角边与斜边的乘积。
总结3
这些性质在几何学中具有重要意义，不仅在证明定理和解决几何问题时经常用到，而且在工程、建筑和 科学实验等领域也有广泛的应用。
重要性及应用场景
含30度角的直角三角形在几何学、 三角函数和实际生活中具有广泛的应 用。
在建筑、工程和物理等领域，经常需 要使用到含30度角的直角三角形的性 质来解决实际问题。
02 含30度角的直角三角形的 定义
定义及特点
定义
含有一个30度角的直角三角形， 其中30度角所对的直角边等于斜 边的一半。
解决几何问题
含30度角的直角三角形性质可用于解 决各种几何问题，如面积计算、角度 计算等。
在物理学中的应用
力的分析
在物理学中，含30度角的直角三角形性质可用于分析力的方向和大小，如在分析重力、 弹力等作用力时，可以利用三角函数和勾股定理来计算。
运动学分析
在运动学中，含30度角的直角三角形性质可用于分析物体的运动轨迹和速度，如在分析 抛体运动、圆周运动等运动时，可以利用三角函数和向心力公式来计算。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在含30度角的直角三角形中，面积也可以用斜边和30度角 所对的边来计算，公式为1/2 *斜边*30度角所对的边。
04 性质的应用
在几何学中的应用
确定特殊三角形
构造几何图形
含30度角的直角三角形是特殊三角形的 一种，其性质可用于证明其他几何定理 和性质，如勾股定理、射影定理等。
含有30度角的直角三角形的性质教师教材
∵ ∠B= 60° ，BE=BC
∴ △BCE是等边三角形
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC
∵ ∠A= 30°
B
C
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°
∴ AE=EC
∴ AE=BE=BC
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴ BC 1 AB
2
证明方法：截半法
归纳新知
含30 °角的直角三角形性质：
且BD=16cm，则AC= 24cm .
青苗辅导
14
如图，是屋架设计图的一部分，点D
是斜梁 AB的中点，立柱BC，DE
垂直于横梁AC，AB=7.4m，
B
∠A=30 ° ，立柱BC，DE要多长？ D
解: ∵ DE AC,BC AC, ∠A=30 °
∴ BC=
1 2
AB,
DE=
1
2AD
A
E
C
1
∴ BC= 2 7.4=3.7(m)
操 作探 究
• 猜一猜 在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那 么它所对的直角边等于斜边的一半。
操 作探 究
• 探究2
①当将两个同样大小的三角板（含30 °和60 °的 角）摆在一起，新得到的三角形是特殊的三角 形吗？请说明理由；
②得出300 角所对的直角边与斜边之间的数量关 系，说明理由.
∴BC＝DC＝
1 2
BD=
1 2
AB
B
C
D
证明方法：倍长法
证法二：
证明：在△ACB 内部作 ∠ACD=∠A=300,交 AB于D
则∠DCB=∠B=600
沪科版八上数学1等腰三角形--含30°角的直角三角形的性质教学课件
第3节 等腰三角形
含30°角的直角三角形的性质
1 课堂讲授
含30°角的直角三角形的性质 含30°角的直角三角形的性质的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
知识点 1 含30°角的直角三角形的性质
知1－讲
1.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半．
知2－讲
1 如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横
梁AD，AB＝8 m，∠A＝30°，则立柱BC的长
度为( A )
A．4 m
B．8 mC．10 mD．16源自m知2－练知2－练
2 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，
其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，
∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到
(1)画出礁石C的位置；(2)求从B处到礁石C的距离.
解：（1）以B为顶点，向北偏西60°作角， 这角一边与AC交于点C, 则点C为 礁石所在地.
知2－讲
解： （2）∵∠ACB= 60°-30°=30°，（三角形 的外角性质） 又∵∠BAC= 30°，∴∠BCA=∠BAC. ∴BC=BA. ∵BA=10×(10-8)=20(n mile), ∴BC=20（n mile）. 即从 B处到礁石C的距离是20n mile.
1.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一 半．这个定理将特殊的直角三角形中的角度关系转化 为直角三角形中边的等量关系．在一般情况下，遇到 30°角常用的添加辅助线的方法就是作垂线，构造含 30°角的直角三角形，解决相关的线段问题．
2.利用含30°角的直角三角形的性质求有关线段的 长：
含30度的直角三角形
含30°角的直角三角形的性质—30 °角所对的直角边与斜边的关系的教学设计教学目标（一）教学知识点1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质。
2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用。
（二）能力训练要求1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系。
2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力。
（三）情感态度与价值观1. 鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲。
2. 体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性。
教学重点含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明。
教学难点1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明。
2．引导学生全面、周到地思考问题。
教学方法探索发现法教具准备两个全等的含30°角的三角尺，多媒体教学过程一、课前预习活动（量一量）：画出斜边AB=2cm，3cm，4cm，5cm，6cm且∠B=30°的5个直角三角形。
分别测量每个直角三角形中斜边AB和AC的长度，发现AC和AB 之间的数量关系。
设计意图：通过课前画图测量，学生首先从测量长度感知30°角所对的直角边等于斜边的一半，从而引出本节课探究的标题。
二、探究新知1、活动一：利用手中的含30°角的直角三角形进行折叠，探索能否得到30°角所对的直角边和斜边的数量关系？要求：先独立思考动手操作；再小组讨论交流有几种折叠方式，并思考这样做的依据。
设计意图：通过折叠活动，让学生发现结论，为理论证明提供思路。
2、活动二：同桌之间合作用两个全等的含30°角的三角板，能拼出等边三角形吗？并说明理由。
问题：你能借助这个图形，找到含30°角的直角 △ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间有什么数量关系吗？设计意图：让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明。
30度的直角三角形
30度的直角三角形
30度的直角三角形三边关系为1：√3：2。
30度的直角三角形是一个特殊的直角三角形，其三个角的分别为30度、60度和90度，根据三角形的正弦定理可以知道，三角形角的对应正弦函数值等于对应边的比，即sin30：sin60：sin90。
30度的直角三角形的三条边的比例为1：√3：2。
30度的直角三角形是一个特殊的直角三角形，其三个角的分别为30度、60度和90度，根据三角形的正弦定理可以知道，三角形角的对应正弦函数值等于对应边的比，即：sin30：
sin60：sin90=1：√3：2。
有一个角为90°的三角形是直角三角形。
若a+b+c，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。
那么这个三角形为直角三角形。
若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。
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阳店一中
陈芝红
颗
粒
归
仓
• 等边三角形的性质: 三边相等,三个角都是600,”三线合一”,三条对称轴. • 等边三角形的判定: 定义:有三边相等的三角形是等边三角形. 定理1:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. 定理2:三个角都相等的三角形是等边三角形.
操作探 究
1.量一量含30°角的直角三角尺的最短直角边 与斜边你有什么发现？
大
胆
尝
试
例1.已知:如图,在△ABC中, ∠ACB= 900 ∠A=300,CD⊥AB于D. 求证:BD= 1 AB.
4
B D C
自学课本55页例5
A
拓
展
提
升
D
已知:等腰三角形的底角为150,腰长为20. 求:腰上的高.
解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D ∵∠B=∠ACB=150(已知),
E B D
F
C
知识反馈 布置作业
1、必做题：课本第56页练习题
2、 选做题：
如图在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， ∠BAC＝120°,ＡＣ的垂直平分线 ＥＦ交ＡＣ于点Ｅ，交ＢＣ于点 Ｆ．求证：ＢＦ＝２ＣＦ．
C A EFFra bibliotekB温馨提示：作业整洁
字体工整 步骤完整
“给我最大快乐的，不是已懂得知识， 而是不断的学习；不是已有的东西， 而是不断的获取；不是已达到的高 度，而是继续不断的攀登” －－－高斯
√
试一试
1、如图，在Rt△ABC中∠C=900 ,∠B=2 ∠A， 3cm AB=6cm，则BC=________.
B
2、如图， Rt△ABC中， ∠A= 30°， 8cm AB+BC=12cm，则AB= _______. C
D
A
3、如图， Rt△ABC中， ∠A= 30°，BD平分∠ABC， 且BD=16cm，则AD= 24cm .
1.在△ABC中，∠C=900, ∠B=600,BC=7, 300 ,AB=---------14 则∠A = ---------2.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3, 5 若AB=10,则BC=---------3、如图Rt△ABC中，CD是斜边AB 上的高，若∠A=300，BD=1cm, 那么∠BCD=_____, BC=_____. 300 2cm A
B
150
A
150
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300 ∴CD= 1 AC=
2
C
1 ×20=10 2
畅谈收获
这节课—
通过本节课 的学习，你学到 了哪些知识？在 合作学习中你感 受到了什么？你 还有那些疑惑？
我学会了… 我发现生活中… 我感受到了… 我感到最高兴的是… 我想我将…
课堂检测
证明：延长BC至D，使CD=BC，连结AD. 在△ABC与△ADC中 BC＝DC ∠ACB=∠ACD AC=AC ∴ △ABC≌△ADC（SAS） ∴AB=AD 又∵ △ABC 是等边三角形
A
30°
B
C
D
1 1 ∴BC＝DC＝ BD= AB 2 2
证法二：
证明：在△ACB 内部作 ∠ACD=∠A=300,交 AB于D A D
则∠DCB=∠B=600 ∴△ADC是等腰三角形， △BCD是等边三角形
C
B
∴AD=CD=BD=BC 1 ∴ BC AB 2
证法三：
在BA上截取BE=BC，连接EC ∵ ∠B= 60° BE=BC
A
∴ △BCE是等边三角形，BE=EC
∴ ∠BEC= 60°
E
E B C
∵ ∠A= 30°
∴ ∠ECA= 30°
2.用两个全等的含30°角的直角三角尺你能 拼出一个等边三角形吗？说说你的理由． 3. 在直角三角形中，30°角所对的直角边与 斜边有怎样的大小关系？
在直角三角形中，如果有一个锐角等于300， 那么它所对的直角边等于斜边的一半。
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠BAC=30° 1 求证：BC= 2 AB
C
D
B
课堂检测
4、如图所示，已知△ABC中，∠ACB=900, CD⊥AB于D, ∠A=300,且AB=8cm, 4cm , ∠BCD=---------300 , 则BC= ---------6cm , 2cm ,AD= ---------BD= ---------A
A
C
D
B
5、如图△ABC是等边三角形， AB=5cm,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别为D、E、F点， 2.5cm ， 则∠ADF =______, BD=______ 60° 1.25cm BE=_______.
愿同学们：努力学习！勇攀高峰！
∴ AE=EC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
归纳新知
含30 °直角三角形性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半。
A
几何语言 ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A= 30°
30°
1 ∴ BC= AB 2
B
C
判断
1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半． 2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。 3）直角三角形中最小的直角边是斜边的一半。 4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．