2009年高考数学预测卷一(理科)_4
2009年上海高考数学(理科卷)
４－
＿
数ｙ厂似） ＝ 似 ） 为 反 函数 ， －（ 与ｙ （ 互 ｆ 则
称ｖ ） 足 “积性 质 ” ＝ 满 。 ．
．
１ 的反 函数ｙ 、 １ １ １ ， 以 ） ＝ ／一 — （＞ ）所
２一
－
ｇ ＝ １ ＞ ） 满 足 “和 性 质 ” ） ０ 不 １ ．
和 ＋ ） 否 互 为反 函数 ．由于 已 １是
所 以 Ａ０曰＝ ｒ ｔｎ ＝ ． ａ ｃａ 啊Ｉ
３
（ ０ ６ ） 图象绕 坐标 原点 逆时 针 ∈［ ， ］的
方 向旋 转 角ｏ ｏ ≤ ） 得 到 曲 线 Ｃ （ ≤０ ， 若对 于每 一 个旋 转 角０ 曲线Ｃ 是 一 ， 都 个 函数 的图象 ． 则 的 最 大 值 为 第２ 题 ０
ｑ ｚ ｄ．
测 满 足 “ 积 性 质 ” 是 反 比 例 函 数 ． ； 胆 猜 想ｋ ｌ ａ 的 ＝４
ｘ ｂ２ － ｋ
－
＿
： —
—
（ 图１ 如 的 ） 当使 圆旋 转 到切 于原 ，
ｋ
，
比较得后 一 ， ： Ｉ 即所 求
平移 ｆｆ ａ 个单位 ．
应对 策 略 ： 陌 生 的 解 答 题 ， 对 我
们 要 做 到 “ 了 想 法 就 写 ” 能 写 到 哪 有 ，
点 （ 转 中心 是 原 点０） ， 时Ｄ 旋 旋 时 此 ｐ
肼 。与ｙ ） （＋ ） 为 反 函 数 ” ａ互 ，
＿＿ Ｉ
一
．
ｘ ２ － （ ２ ＋ 的 反 函 数 ＋ ）ｋ 卅 ） ６
－
有 同学 误认 为 它 们 本 来 就 互 为 反 函
数 ．其 实 它 们 的 图 象 关 于 直 线 ｙ ｘ ａ ＝ ＋
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．257．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选：A．【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x |＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选：B．【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：B．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，比较系数，求出ω=6k +（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx +），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x ﹣）+]=tan（ωx +）∴﹣ω+kπ=∴ω=k +（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin =．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB ，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B 的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KA：双曲线的定义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB 的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C 的面积等于，则球O 的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【点评】本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A +C）得cos （A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG ，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1（b n≠0），所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】B3：分层抽样方法；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；48：分析法．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，ξ01 2 3P故Eξ==．【点评】本题较常规，比08年的概率统计题要容易．在计算P（ξ=2）时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l 的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I ）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P 在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I ）令g（x）=2x2+2x+a ，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）当时，h'（x）＞0，∴h（x ）在单调递增，故．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．。
2009年高考试题——(辽宁卷)数学理(全解析)
2009年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学（供理科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=42R π如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)＝P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 V =243R π()(1)(0,1,2,kkn kn n P k C Pp k n -=-=其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合{|35},{|55}M x x N x x =-<≤=-<<，则集合M N ⋂＝(A ){|55}x x -<< (B ){|35}x x -<< (C ) {|55}x x -<≤ (D ) {|35}x x -<≤ (1)B 解析：M N ⋂={|35}x x -<<。
(2) 已知复数12z i =-，那么1z=()55A + ()55B - 12()55C i + 12()55D i - (2)D 解析：111212,125iz i i z-=+==+。
（3）平面向量a 与b 的夹角为060， (2,0),||1a b ==，则|2|a b +=（Ｂ） （Ｃ）4 （Ｄ）12 （3）B 解析：1cos ,2a b <>=，||2a =，||1b =，222(2)44a b a ab b +=++ 144214122=+⨯⨯⨯+=，|2|a b +=(4) 若圆C 且与直线0x y -=和40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=，则圆Cx y23-O 2π712π1112π的方程为（A ）()22(1)12x y ++-=（B ）22(1)(1)2x y -++= （C ）22(1)(1)2x y -+-=（D ）()221(1)2x y +++=(4) B 解析：（法一）设圆心为(,)a a -，半径为r ，|r ==，∴1,a r = （法二）由题意知圆心为直线0x y -=、40x y --=分别与直线0x y +=的交点的中点， 交点分别为（0，0）、（2，－2），∴圆心为（1，－1。
2009年上海高考数学试卷及答案(理科)
2009年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一．真空题 （本大题满分56分）1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ . 2． 已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=， 则实数a 的取值范围是______________________ .3． 若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ . 4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是____________________________ .5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面连长为2，高 为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.6．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ____________（结果用最简分数表示）. 8.已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________.9.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.10.在极坐标系中，由三条直线0=θ，3πθ=，1sin cos =+θρθρ围成图形的面积是________.11.当时10≤≤x ，不等式kx x≥2sinπ成立，则实数k 的取值范围是_______________.12．已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =____________是，0)(=k a f .13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。
2009年北京高考数学真题及答案(理科)
2009北京高考数学真题（理科）第I 卷（选择题 共40分）一、本大题每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知向量,a b 不共线，(),c ka b k R d a b =+∈=-如果//c d ，那么 A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 3．为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11A C 到底面ABCD 的距离为 A ．33B ．1C ．2D ．3 5．“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．若5(12)2(,a b a b +++为有理数），则a b +=A ．45B ．55C ．70D ．807．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A ．324 B ．328 C ．360 D ．6488．点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2009年四川高考数学(理科卷)
左极 限和 右 极 限都存 在 且 相 等 ” 建 ．
立 方 程１ｌ ）ｌ ｆｘ ＿（） 解 即 ｉ ｒ ＝ｉ （）ｆ 求 ｍ －
—
（ ） 函数厂 ） Ｉ求 （ 的定义域 ， 并判 断 ） 的单调性．
（ 若ｎ∈ ， ｌ Ⅱ） Ｎ 求 ｉ ｍ ．
‘ 数与 不等式
第２ 题 已 知 函 数 Ｉ ）＝ 厂（
ｆ＋ｏ ｚ， ａ ｌｇｘ ≥２ ，
（ ≠０ 且 ≠一 ） 有 ± ： １都
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．
（ 高 中数 学 中 求极 限的 问题 Ⅱ）
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｛２ ．２ 点＝ 连 ，常 ｘ 在 处 续则 ２ ＜ － ４ ２ 【ｘ －
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函数极值 的方 法 ： 第一步 求导 数厂 ） ． 第二 步 求方 ｒｆ （） ０ 根．第 三 步 ｛ ： 的 ＿ Ｅ
应 对 策略 ： 据 函数ｙ 根
２０年 １ １ ０ ９ ￣） 高考理科 数学试卷 的设置 ， １ 既注重 考查 中学 数学 的基 础知识 、 基本方法 ， 又注 重 考查重 要的数 学思想和 同学们进 入高校 继续学 习的潜能 。 下面笔 者针 对试卷 中 的几个 重 点、 热点 问题 的考查情况 ， 在解 题过程 中的失分原 因及解题对 策作简要分析 ．
2009年高考福建数学(理科)试题及参考答案
数学试卷时量：120分钟 满分：150分第一卷 （满分100分）一、选择题（下面每小题都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个正确，请将正确的代号填在下面的表内。
每小题3分，共24分）题12345678号答案1、把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2、已知方程组的解为，则2a-3b的值为A．4 B．6 C．－6 D．－4、点P为直线l外一点，A、B、C为l上三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距离A．等于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．等于4cm4、下列叙述中，正确的是A．相等的两个角是对顶角 B．一条直线有只有一条垂线C．从直线外一点到这条直线上的各点所连结的线段中，垂线段最短D．一个角一定不等于它的余角5、下列计算正确的是A． B． C． D．1236、如图，的大小关系为A． B．C． D．7、下列图形中，是轴对称图形的有Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个8、某学校举行理科（含数学、物理、化学、生物四科）综合能力比赛，四科的满分都为100分．甲、乙、丙三人四科的测试成绩如下表：学科数学物理化学生物甲95858560乙80809080丙70908095综合成绩按照数学、物理、化学、生物四科测试成绩以为权数计分，则综合成绩的第一名是A．甲 B．乙 C．丙 D．不确定二、填空题（每小题3分，共24分）9、若不等式组无解，则，的大小关系是_________．10、若方程4x m-n－5y m+n﹦6是二元一次方程，则m﹦ ，n﹦11、如图所示，若，，则 。
12、已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，则符合条件的直线L的条数为 条13、计算：＝14、已知等腰三角形的两边分别为3cm、6cm，则等腰三角形的周长为15、如图，在中，，平分，，那么点到直线的距离是 cm．16、已知一个角的2倍恰好等于这个角的补角的，则这个角等于 ．三、解不等式组或解方程组（每小题5分，共20分）17、 18、9、 20、四、解答题。
2009年辽宁省高考数学试卷(理科)含答案
2009年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2009•辽宁）已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，则M∩N=（）A．{x|﹣5＜x＜5} B．{x|﹣3＜x＜5} C．{x|﹣5＜x≤5} D．{x|﹣3＜x≤5}【考点】交集及其运算．【分析】由题意已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，∴M∩N={x|﹣3＜x＜5}，故选B．【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．（5分）（2009•辽宁）已知复数z=1﹣2i，那么=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分母实数化，然后化简即可．【解答】解：=故选D．【点评】复数代数形式的运算，是基础题．3．（5分）（2009•辽宁）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B． C．4 D．12【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．【解答】解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，∴|a+2b|=．故选：B．【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．4．（5分）（2009•辽宁）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2【考点】圆的标准方程．【分析】圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．【解答】解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选B．【点评】一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．5．（5分）（2009•辽宁）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种【考点】分步乘法计数原理．【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．故选A【点评】直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法．6．（5分）（2009•辽宁）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A．2 B．C．D．3【考点】等比数列的前n项和．【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案．【解答】解：设公比为q，则===1+q3=3，所以q3=2，所以===．【点评】本题考查等比数列前n项和公式．7．（5分）（2009•辽宁）曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．【解答】解：y′=（）′=，∴k=y′|x=1=﹣2．l：y+1=﹣2（x﹣1），则y=﹣2x+1．故选：D【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则，本题属于基础题．8．（5分）（2009•辽宁）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（0）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】求出函数的周期，确定ω的值，利用f（）=﹣，得Asinφ=﹣，利用f（）=0，求出（Acosφ+Asinφ）=0，然后求f（0）．【解答】解：由题意可知，此函数的周期T=2（π﹣π）=，故=，∴ω=3，f（x）=Acos（3x+φ）．f（）=Acos（+φ）=Asinφ=﹣．又由题图可知f（）=Acos（3×+φ）=Acos（φ﹣π）=（Acosφ+Asinφ）=0，∴f（0）=Acosφ=．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，考查视图能力，计算能力，是基础题．9．（5分）（2009•辽宁）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是（）A．（，） B．[，）C．（，）D．[，）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】分析法；函数的性质及应用．【分析】由题设条件偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加可得出此函数先减后增，以y 轴为对称轴，由此位置关系转化不等式求解即可【解答】解析：∵f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）∴f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），即f（|2x﹣1|）＜f（||）又∵f（x）在区间[0，+∞）单调增加得|2x﹣1|＜，解得＜x＜．故选A．【点评】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题的区别：已知函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜的x取值范围是（）10．（5分）（2009•辽宁）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）A．A＞0，V=S﹣T B．A＜0，V=S﹣T C．A＞0，V=S+T D．A＜0，V=S+T【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知S表示月收入，T表示月支出，V表示月盈利，根据收入记为正数，支出记为负数，故条件语句的判断框中的条件为判断累加量A的符号，由分支结构的“是”与“否”分支不难给出答案，累加完毕退出循环后，要输出月收入S，和月盈利V，故在输出前要计算月盈利V，根据收入、支出与盈利的关系，不难得到答案．【解答】解析：月总收入为S，支出T为负数，因此A＞0时应累加到月收入S，故判断框内填：A＞0又∵月盈利V=月收入S﹣月支出T，但月支出用负数表示因此月盈利V=S+T故处理框中应填：V=S+T故选A＞0，V=S+T【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．11．（5分）（2009•辽宁）正六棱锥P﹣ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D﹣GAC 与三棱锥P﹣GAC体积之比为（）A．1：1 B．1：2 C．2：1 D．3：2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】由于G是PB的中点，故P﹣GAC的体积等于B﹣GAC的体积；求出DH=2BH，即可求出三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣GAC体积之比．【解答】解：由于G是PB的中点，故P﹣GAC的体积等于B﹣GAC的体积在底面正六边形ABCDER中BH=ABtan30°=AB而BD=AB故DH=2BH于是V D﹣GAC=2V B﹣GAC=2V P﹣GAC故选C．【点评】本题考查棱锥的体积计算，考查转化思想，是基础题．12．（5分）（2009•辽宁）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4【考点】函数的图象与图象变化．【专题】压轴题．【分析】先由题中已知分别将x1、x2所满足的关系表达为，2x1=2log2（5﹣2x1）…系数配为2是为了与下式中的2x2对应2x2+2log2（x2﹣1）=5，观察两个式子的特点，发现要将真数部分消掉求出x1+x2，只须将5﹣2x1化为2（t﹣1）的形式，则2x1=7﹣2t，t=x2【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C【点评】本题涉及的是两个非整式方程，其中一个是指数方程，一个是对数方程，这两种方程均在高考考纲范围之内，因此此题中不用分别解出两个方程，分别求出x1，x2，再求x1+x2，这样做既培养不了数学解题技巧，也会浪费大量时间．二、填空题13．（5分）（2009•辽宁）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为1013h．【考点】分层抽样方法．【分析】由三个分厂的产量比，可求出各厂应抽取的产品数，再计算均值即可．【解答】解：从第一、二、三分厂的抽取的电子产品数量分别为25，50，25，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为=1013．故答案为：1013【点评】本题考查分层抽样和样本的均值，属基本题．再求均值时，要注意各部分所占的比例．14．（5分）（2009•辽宁）等差数列{a n}的前n项和为S n，且6S5﹣5S3=5，则a4=．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据等差数列的前n项和的公式表示出S5和S3，然后把S5和S3的式子代入到6S5﹣5S3=5中合并后，利用等差数列的通项公式即可求出a4的值．【解答】解：∵S n=na1+n（n﹣1）d∴S5=5a1+10d，S3=3a1+3d∴6S5﹣5S3=30a1+60d﹣（15a1+15d）=15a1+45d=15（a1+3d）=15a4=5解得a4=故答案为：【点评】此题要求学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式，是一道中档题．15．（5分）（2009•辽宁）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为4m3．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】由三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可．【解答】解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于×2×4×3=4故答案为：4【点评】本题考查三视图求体积，三视图的复原，考查学生空间想象能力，是基础题．16．（5分）（2009•辽宁）已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为9．【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案．【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|=2a=4而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为9．【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2009•辽宁）如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1 km．试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449）．【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；应用题．【分析】在△ACD中，∠DAC=30°推断出CD=AC，同时根据CB是△CAD底边AD的中垂线，判断出BD=BA，进而在△ABC中利用余弦定理求得AB答案可得．【解答】解：在△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°﹣∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA、在△ABC中，=，sin215°=，可得sin15°=，即AB==，因此，BD=≈0.33km．故B、D的距离约为0.33km．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查学生分析问题解决问题的能力．综合运用基础知识的能力．20．（12分）（2009•辽宁）如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N 分别为AB，DF的中点．（1）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；（2）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【考点】直线与平面所成的角；反证法与放缩法．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）（解法一）由面面垂直的性质定理，取CD的中点G，连接MG，NG，再证出∠MNG是所求的角，在△MNG中求解；（解法二）由垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面DCEF的法向量，再用向量的数量积求解；（2）由题意假设共面，由AB∥CD推出AB∥平面DCEF，再推出AB∥EN，由得到EN∥EF，即推出矛盾，故假设不成立；【解答】解：（1）解法一：取CD的中点G，连接MG，NG．设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG=2，NG=．∵平面ABCD⊥平面DCED，∴MG⊥平面DCEF，∴∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．∵MN==，∴sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值解法二：设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图．则M（1，0，2），N（0，1，0），可得=（﹣1，1，﹣2）．又∵=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，∴cos（，）=•∴MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos•（2）假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，∴AB⊄平面DCEF．又∵AB∥CD，∴AB∥平面DCEF．∵面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，∴AB∥EN．又∵AB∥CD∥EF，∴EN∥EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．【点评】本题考查了线面角的求法，可有面面垂直的性质定理用两种方法来求解；还考查了用反证法证明，用了线线平行与线面平行的相互转化来推出矛盾，考查了推理论证能力和逻辑思维能力．21．（12分）（2009•辽宁）某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为．该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6．击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）．【考点】离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率．【分析】（1）由题意知目标被击中的次数X的取值是0、1、2、3、4，当X=0时表示四次射击都没有击中，当X=1时表示四次射击击中一次，以此类推，理解变量取值不同时对应的事件，用独立重复试验概率公式得到概率，写出分布列（2）第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次所表示的事件，记出事件，根据事件之间的互斥关系，表示出事件，用相互独立事件同时发生和互斥事件的概率公式，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意知目标被击中的次数X的取值是0、1、2、3、4，∵当X=0时表示四次射击都没有击中，∴P（X=0）==，∵当X=1时表示四次射击击中一次，P（X=1）==，∵当X=2时表示四次射击击中两次，∴P（X=2）==同理用独立重复试验概率公式得到X=3和X=4的概率，∴X的分列为0 1 2 3 4P（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2．B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2．依题意知P（A1）=P（B1）=0.1，P（A2）=P（B2）=0.3，，所求的概率为=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28【点评】本题考查离散型随机变量和相互独立事件的概率以及互斥事件的概率，解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布．22．（12分）（2009•辽宁）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）所以椭圆方程为．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得设E（x E，y E），F（x F，y F），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，，所以，．又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以﹣K代K，可得，所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为．【点评】本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．23．（12分）（2009•辽宁）已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx，a＞1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：若a＜5，则对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；证明题；分类讨论．【分析】（1）根据对数函数定义可知定义域为大于0的数，求出f′（x）讨论当a﹣1=1时导函数大于0，函数单调递增；当a﹣1＜1时分类讨论函数的增减性；当a﹣1＞1时讨论函数的增减性．（2）构造函数g（x）=f（x）+x，求出导函数，根据a的取值范围得到导函数一定大于0，则g（x）为单调递增函数，则利用当x1＞x2＞0时有g（x1）﹣g（x2）＞0即可得证．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．（i）若a﹣1=1即a=2，则故f（x）在（0，+∞）单调增．（ii）若a﹣1＜1，而a＞1，故1＜a＜2，则当x∈（a﹣1，1）时，f′（x）＜0；当x∈（0，a﹣1）及x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0故f（x）在（a﹣1，1）单调减，在（0，a﹣1），（1，+∞）单调增．（iii）若a﹣1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a﹣1）单调减，在（0，1），（a﹣1，+∞）单调增．（2）考虑函数g（x）=f（x）+x=则由于1＜a＜5，故g'（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）单调增加，从而当x1＞x2＞0时有g（x1）﹣g（x2）＞0，即f（x1）﹣f（x2）+x1﹣x2＞0，故，当0＜x1＜x2时，有【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及基本不等式证明的能力．24．（10分）（2009•辽宁）选修4﹣1：几何证明讲已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．【考点】弦切角；圆內接多边形的性质与判定．【专题】计算题；证明题．【分析】首先对于（1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．对于（2）求△ABC外接圆的面积．只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．【解答】解：（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE．（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°．设圆半径为r，则r+r=2+，a得r=2，外接圆的面积为4π．故答案为4π．【点评】此题主要考查圆内接多边形的性质问题，其中涉及到等腰三角形的性质，属于平面几何的问题，计算量小但综合能力较强，需要同学们多练多做题．25．（2009•辽宁）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．（2）先在直角坐标系中算出中点P的坐标，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线OP的极坐标方程即可．【解答】解：（Ⅰ）由从而C的直角坐标方程为即θ=0时，ρ=2，所以M（2，0）（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为，ρ∈（﹣∞，+∞）【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．26．（2009•辽宁）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）如果x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】（1）当a=﹣1，原不等式变为：|x﹣1|+|x+1|≥3，下面利用对值几何意义求解，利用数轴上表示实数﹣左侧的点与表示实数右侧的点与表示实数﹣1与1的点距离之和不小3，从而得到不等式解集．（2）欲求当x∈R，f（x）≥2，a的取值范围，先对a进行分类讨论：a=1；a＜1；a＞1．对后两种情形，只须求出f（x）的最小值，最后“x∈R，f（x）≥2”的充要条件是|a﹣1|≥2即可求得结果．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=|x﹣1|+|x+1|，由f（x）≥3有|x﹣1|+|x+1|≥3据绝对值几何意义求解，|x﹣1|+|x+1|≥3几何意义，是数轴上表示实数x的点距离实数1，﹣1表示的点距离之和不小3，由于数轴上数﹣左侧的点与数右侧的点与数﹣1与1的距离之和不小3，所以所求不等式解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）（2）由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立，则1与a之间的距离必大于等于2，从而有a∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【点评】本小题主要考查绝对值不等式、不等式的解法、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想．。
2009年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（）A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向3．（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．（5分）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A．B．1C．D．5．（5分）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（）A．45B．55C．70D．807．（5分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．6488．（5分）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B 两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）=．10．（5分）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为．11．（5分）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为．12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=，∠F1PF2的大小为．13．（5分）若函数则不等式的解集为．14．（5分）{a n}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*则a2009=；a2014=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．17．（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．18．（13分）设函数f（x）=xe kx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求k的取值范围．19．（14分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=（I）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．20．（13分）已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明：a1=1，且；（Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列．2009年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，∴复数z所对应的点为（﹣2，1），故选：B．【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．2．（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（）A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】11：计算题．【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=﹣1是否满足条件，从而选出应选的选项．【解答】解：∵=（1，0），=（0，1），若k=1，则=+=（1，1），=﹣=（1，﹣1），显然，与不平行，排除A、B．若k=﹣1，则=﹣+=（﹣1，1），=﹣=（1，﹣1），即∥且与反向，排除C，故选：D．【点评】本题考查平行向量的坐标表示，当两个向量平行时，一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍．3．（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．【解答】解：∵，∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．4．（5分）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A．B．1C．D．【考点】LS：直线与平面平行．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．【解答】解：依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离，∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，故选：D．【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．5．（5分）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；G9：任意角的三角函数的定义；GS：二倍角的三角函数．【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，cos2a=cos（4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2kπ+⇒a=kπ+（k∈Z），或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z），故选：A．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．6．（5分）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（）A．45B．55C．70D．80【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b，求出a+b【解答】解析：由二项式定理得：（1+）5=1+C51+C52（）2+C53（）3+C54（）4+C55•（）5=1+5+20+20+20+4=41+29，∴a=41，b=29，a+b=70．故选：C．【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数．7．（5分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．【解答】解：由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选：B．【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．8．（5分）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B 两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；16：压轴题；2：创新题型．【分析】根据题设方程分别设出A，P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A，B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线l上的所有点都符合．【解答】解：设A（m，n），P（x，x﹣1）则，B（2m﹣x，2n﹣x+1）∵A，B在y=x2上∴n=m2，2n﹣x+1=（2m﹣x）2消去n，整理得关于x的方程x2﹣（4m﹣1）x+2m2﹣1=0∵△=8m2﹣8m+5＞0恒成立，∴方程恒有实数解，∴故选A．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时，利用判别式来判断．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）=．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题．【分析】通过因式分解把原式转化为=，消除零因子后得到，由此能够得到的值．【解答】解：===．故答案为：．【点评】本题考查函数的极限，解题时要注意消除零因子．10．（5分）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为﹣6．【考点】7C：简单线性规划．【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过（4，﹣2）点时s有最小值．【解答】解：画可行域如图阴影部分，令s=0作直线l：y﹣x=0平移l过点A（4，﹣2）时s有最小值﹣6，故答案为﹣6．【点评】本题考查线性规划问题：可行域画法目标函数几何意义11．（5分）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为﹣1．【考点】3I：奇函数、偶函数；62：导数及其几何意义．【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象，根据对称性即可解决本题．【解答】解；取f（x）=x2﹣1，如图，易得该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为﹣1．故应填﹣1．【点评】函数性质的综合应用是函数问题的常见题型，在解决这一类问题是要注意培养数形结合的思想方法．12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= 2，∠F1PF2的大小为120°．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2===﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：2；120°【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．13．（5分）若函数则不等式的解集为[﹣3，1]．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式，再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集．【解答】解：①由．②由．∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1，故答案为：[﹣3，1]．【点评】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法．属于基础知识、基本运算．14．（5分）{a n}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*则a2009=1；a2014= 0．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】16：压轴题．=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，【分析】由a4n﹣3第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007项，而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0．【解答】解：∵2009=503×4﹣3，∴a2009=1，∵a2014=a1007，1007=252×4﹣1，∴a2014=0，故答案为：1，0．【点评】培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．（Ⅰ）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 【分析】的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后，将sinA和cosA代入即可求出值；（Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和（Ⅰ）可知公式里边的a 不知道，所以利用正弦定理求出a即可．【解答】解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且＞0，∴A为锐角，则sinA==∴∴sinC=sin（﹣A）=cosA+sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA=，sinC=，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴a==，∴△ABC的面积S=absinC=×××=．【点评】考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值．灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．【考点】MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）欲证BC⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC，而AC⊥BC，满足定理所需条件；（2）根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角．在Rt△ADE中，求出AD与平面PAC所成角即可；（3）根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A ﹣DE﹣P的平面角，而PA⊥AC，则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC．（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE=BC．又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB．又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD=AB．在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=AB，∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===，即AD与平面PAC所成角的正弦值为．（3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PBC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时，∠AEP=90°，故存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．【点评】考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．17．（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，∴事件A的概率为（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4），∴，∴即ξ的分布列是ξ02468P∴ξ的期望是【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．18．（13分）设函数f（x）=xe kx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求k的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（II）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可；（III）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，若k＜0，则当且仅当﹣≥1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，由此即可求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（1+kx）e kx，f′（0）=1，f（0）=0，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x；（Ⅱ）由f′（x）=（1+kx）e kx=0，得x=﹣（k≠0），若k＞0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞，）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，若k＜0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（﹣，+∞，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1，即k≤1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，若k＜0，则当且仅当﹣≥1，即k≥﹣1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，综上可知，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增时，k的取值范围是[﹣1，0）∪（0，1]．【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想．属于基础题．19．（14分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=（I）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（I）先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出双曲线方程．（II）先求出圆的切线方程，再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标之间的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，解得a=1，c=，b2=c2﹣a2=2，∴所求双曲C的方程．（Ⅱ）设P（m，n）（mn≠0）在x2+y2=2上，圆在点P（m，n）处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m），化简得mx+ny=2．以及m2+n2=2得（3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m2=0，∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B，且0＜m2＜2，3m2﹣4≠0，且△=16m2﹣4（3m2﹣4）（8﹣2m2）＞0，设A、B两点的坐标分别（x1，y1），（x2，y2），x1+x2=，x1x2=．∵，且=x1x2+[4﹣2m（x1+x2）+m2x1x2]=+[4﹣+]=﹣=0．∴∠AOB的大小为900．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．20．（13分）已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明：a1=1，且；（Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列．【考点】8B：数列的应用．【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；23：新定义；32：分类讨论．【分析】（I）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；（Ⅱ）由性质P，知a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又∵＜＜…＜＜，，，…，，从而++…++=a1+a2+…+a n，命题得证；（Ⅲ）跟据（Ⅱ），只要证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3，4，∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6，∴该数集具有性质P．（Ⅱ）∵A={a1，a2，…，a n}具有性质P，∴a n a n与中至少有一个属于A，由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1=∈A，a1=1．∵1=a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n（k=2，3，4，…，n），故a k a n∉A（k=2，3，4，…，n）．由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n）．又∵＜＜…＜＜，∴，，…，，从而++…++=a1+a2+…+a n，∴且；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n=5时，有，，即a5=a2•a4=a32，∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4=a32，得∈A，且1＜，∴，∴，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1，公比为a2等比数列．【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．。
2009年全国高考数学(理科卷I)
Ｃ 的侧 ｌ
１ １ ．函数厂 的定义域 为Ｒ， （） 若
棱与底面边长都相等 ， 在底面Ａ曰 上 Ａ。 Ｃ 的射 影 为Ｂ Ｃ的 中点 ． 异 面 直 线ＡＢ 则 与Ｃ 成 的 角 的余 弦值 为 （ Ｃ所
Ａ．—
，卅１与 （ １都是奇函数 ， （ ） 厂 一） 则（
Ａ． ） 是偶 函数 Ｂ 厂 ） 奇函数 ．（ 是
（ 求 二面 角Ｊ 肘 的大 小． Ⅱ） ｓ
失分 原 因 ：１ 空 间想 象 能 力差 ， Байду номын сангаас）
必 ｌ ｂ； ） 是２ｎ 著 —ｌ 关于直线 成轴
对称， 关于 点 （ ， ） 中心 对 称 ， 周 ｂ０ 成 其
不 能建 立 模 型．（ ） 会应 用 定 义 法 ２不
作 出二 面 角 的平 面角 ，误 将 Ｓ 枷
Ｃ．
３
Ｔ Ｄ．— ＇ Ｉ
—
—
１ 集 ＝ ４５ ７ ９ ， ３ ４ ．设 ｛ ，， ， ｝ ＝｛， ，
７ ８９｝全集 Ｕ－ ，， ， － ＵＢ， 集合 Ｃ ｎ － Ａ 则 ｕ
４
２
试题答 案 ： Ａ．
曰） 中的元素共有 （
Ａ． ３个
）
Ｂ ４个 ．
出 的４ 中恰 有 １ 女 同学 的 不 同选 人 名
）
）
Ｄ ｘ Ｏ ． ＜｝
试题 答案 ： ． Ｄ ４ ．设 双 曲线 ２ Ｘ
一
Ｃ３ －
—
Ｂ Ｃ ３ －
— —
Ｃ ， ＋ ） ． （） ２
Ｄ． （＋ ） 厂 ３ 是奇 函数 失分原 因 ： 抽象 函数 的性质 掌握 不熟 ， 如将 一 ） １ 是奇 函数错 误 地写
2009年江西高考数学理科卷带详解
2009年高考理科 数学卷（江西）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数()()211i z x x =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.-1或1 【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】由纯虚数概念直接进行求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由纯虚数概念得：210110x x x ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩，故选A.2.函数ln 1x y +=（ ）A.(4,1)--B.(4,1)-C.(1,1)-D.(]1,1- 【测量目标】函数的定义域.【考查方式】由对数函数、根式性质分别求解，直接得出答案. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由210340x x x +>⎧⎨--+>⎩141x x >-⎧⇒⎨-<<⎩，(步骤1) 11x ⇒-<<.故选C.（步骤2）3.已知全集U =AB 中有m 个元素，()()UU A B 中有n 个元素．若A B 非空，则A B的元素个数为 ( ) A.mn B.m +n C.n m - D.m n - 【测量目标】集合的含义，集合的基本运算. 【考查方式】利用交并补之间的基本关系，进行计算. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】()()UU UA B A B ⎡⎤=⎣⎦，A B m n ∴=-，故选D4.若函数()π()1cos ,(0)2f x x x x=+，则()f x 的最大值为 （ ）A.1B.2 1 2 【测量目标】同角三角函数的基本关系，三角函数的值域. 【考查方式】对函数进行化简，进一步得到答案. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】()()1cos cos f x x x x x =+=+π2cos 3x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π(0)2x.（步骤1） 当π3x =时，ππ()2cos 2cos 0233f x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 故选B.（步骤2） 5.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点()1,(1)g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()1,(1)f 处切线的斜率为 （ ） A.4 B.0.25- C.2 D.0.5- 【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】利用导数求解切线方程，进而求解切点处的斜率. 【难易程度】容易 【参考答案】A 【试题解析】()()2f x g x x ''=+，（步骤1） (1)2,(1)(1)214g f g ''∴==+⨯=，故选A.（步骤2）6.过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为 ( )C.12D.13【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】求出交点坐标，由角度关系确定离心率. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由题意知，2,b P c a ⎛⎫-± ⎪⎝⎭，又1260F PF ∠=，(步骤1)21222122tan PF c ac F PF b PF b a∴∠===2222231ac ea c e===--,（步骤2） 213e ∴=或23e =（舍去），33e ⇒=.（步骤3）第6题图7.()1nax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a,b,n 的值可能为 （ ） A.a =2,b =1-,n =5 B.a =2-,b =1-,n =6 C.a =1-,b =2,n =6 D.a =1,b =2,n =5 【测量目标】二项式定理.【考查方式】利用展开式中的常数项求参数的值. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】()()5512433,1322nnb a +==+==，（步骤1）1,2,5a b n ⇒===.（步骤2）8．数列{}n a 的通项222ππcossin 33n n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，则30S 为 （ ） A.470 B ．490 C ．495 D ．510【测量目标】数列的前n 项和.【考查方式】由通项公式化简求得结果. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析222ππcos sin 33n n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭222π2π1cos 1cos 2π33cos 223n n n n n ⎛⎫+- ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 2π32π3T ∴==,故数列{}n a 的最小正周期为3，（步骤1） 则2222223012453622S ⎛⎫⎛⎫++=-++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…2222829302⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()()221010211323153922k k k k k k ==⎡⎤-+-⎡⎤=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑91011254702⨯⨯=-=.（步骤2）9.如图，正四面体ABCD 的顶点,,A B C 分别在两两垂直的三条射线,,Ox Oy Oz 上，则在下列命题中，错误的为 （ ）第9题图A.O ABC -是正三棱锥B.直线OB ∥平面ACDC.直线AD 与OB 所成的角是45D.二面角D OB A --为45 【测量目标】二面角，线面平行的判定. 【考查方式】由题设已知条件，求解. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】将原图补为正方体B 选项错误，故选B.10.为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为 （ ） A.3181 B.3381 C.4881 D.5081【测量目标】排列、组合的应用.【考查方式】根据题意，先计算没有获奖的概率，再计算获奖即可. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】没有获奖的概率：5532331381P ⨯-==,(步骤1) ∴能获奖的概率为：150181P P =-=,故选D.（步骤2） 11.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为1234,,,t t t t ，则下列关系中正确的为 （ ）A BC DA.1432t t t t >>>B.3124t t t t >>>C.4231t t t t >>>D.3421t t t t >>> 【测量目标】几何概型的新定义.【考查方式】计算出各个选项的面积即可得出答案. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，12322,π,3t t t ∴===，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比，423t ∴=，则4231t t t t >>>，选C.12.设函数()2()0f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点()(),(),s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为 ( ) A.2- B.4- C.8- D.不能确定 【测量目标】函数定义域求参数范围.【考查方式】由韦达定理、正方形性质直接求解. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由题意知，函数)2()0f x ax bx c a =++<的两根分别为：214b b ac x -+-=和224b b acx ---=，因为区域为正方形，12max ()x x f x ∴-=，222444b ac ac b a a--=24a a a ⇒=-=-或0a =（舍去），故4a =-. 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卡上. 13．已知向量()()()3,1,1,3,,7k ===a b c ，若()-a c b ，则k =【测量目标】向量的坐标运算.【考查方式】向量平行，对应坐标成比例即可得出答案. 【难易程度】容易 【参考答案】5 【试题解析】()3,6k -=--a c ，3613k --⇒=， 315,5k k ⇒=⇒=.14．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 ． 【测量目标】三棱锥的体积.【考查方式】利用它球面距离进行求解即可. 【难易程度】中等 【参考答案】8 【试题解析】,A B 两点的球面距离为π，故90,AOB ∠=又OAB △是等腰直角三角形，AB ∴=，则ABC △的外接圆半径为3，（步骤1）O 到平面ABC 的距离:d ==∴正三棱柱高3h =，又ABC △的面积S =，（步骤2） ∴正三棱柱111ABC A B C -的体积8V Sh ==.（步骤3）15()2k x +的解集为区间[],a b ,且2b a -=,则k = ．【测量目标】解含参的一元二次不等式. 【考查方式】画出图象，数形结合，求解. 【难易程度】中等【试题解析】由题意知，曲线y =x 轴上半周的半圆，（步骤1）()2k x +(如图)，此时有：3b =.又2b a -=，1a ⇒=.（步骤2）在1a =处，半圆与直线相交，y ∴=(，（步骤3）将点(代入直线中：k =（步骤4）第15题图 16．设直线系():cos 2sin 1M x y θθ+-=()02πθ,对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点;B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上;C ．对于任意整数()3n n，存在正n 边形,其所有边均在M 中的直线上;D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的代号是 【测量目标】直线方程，点到直线的距离公式.【考查方式】利用点到直线的距离公式、n 边形内切性质直接进行计算. 【难易程度】中等 【参考答案】,,A B C 【试题解析】()cos 2sin 1x y θθ+-=，∴点()0,2P 到M 中每条直线的距离:221cos sin d θθ==+，即M 为圆22:(2)1C x y +-=的全体切线组成的集合,从而M 中所有直线上与经过一个定点（0,2）, A 正确；（步骤1） 又因(2,0)点不存在任何直线上,B 正确 ；（步骤2）对任意n ≥3,存在n 正边形使其内切圆为圆C ,故C 正确；（步骤3） M 中边能组成两个大小不同的正三角形ABC 和AEF ,故D 错.（步骤4）三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17．（1）设函数e ()xf x x=，求函数()f x 的单调区间；（2）若0k >，求不等式()()1()0f x k x f x '+->的解集． 【测量目标】利用导数求函数的单调区间，解决不等式问题.【考查方式】求函数导数，判断单调区间，分类讨论，来求解参数解集. 【难易程度】中等【试题解析】（1）22111()e e e x x xx f x x x x-'=-+=，由()0f x '=1x ⇒=.(步骤1) 当0x <时，()0f x '<；当01x <<时，()0f x '<；(步骤2) 当1x >时，()0f x '>.（步骤3）()f x ∴的单调增区间是[)1,+∞； 单调减间是()(],00,1-∞.（步骤4）（2）由()221()1()e x x kx kx f x k x f x x -+-'+-==()()211e 0xx kx x --+>， ()()110x kx ⇒--<.（步骤5）当01k <<时，解集为：11x x k ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（步骤6） 当1k =时，解集为：∅；（步骤7） 当1k >时，解集为：11x x k ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（步骤8）18．某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是50%若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额． (1) 写出ξ的分布列； (2) 求数学期望()E ξ．【测量目标】离散型随机变量的分布列及数学期望. 【考查方式】分布列及数学期望的求解. 【难易程度】中等 【试题解析】（1）ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.1(0)64P ξ==, 3(5)32P ξ==, 15(10)64P ξ==, 5(15)16P ξ==, 15(20)64P ξ==, 3(25)32P ξ==, 1(30)64P ξ==.(步骤1)ξ0 5 10 15 20 25 30P164 332 1564 516 1564 332 164（步骤2） （2）31551531()5101520253015326416643264E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ∴数学期望()15E ξ=.（步骤3）19．△ABC 中，A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，sin sin tan cos cos A B C A B +=+,1sin()cos 2B AC -==.（1）求,A C ；（2）若33ABC S =+△,求,a c . 【测量目标】两角差的正弦，正弦定理.【考查方式】由题设等式，进行化简，进而求解答案. 【难易程度】中等 【试题解析】(1)sin sin tan cos cos A B C A B +=+，sin sin sin cos cos cos C A BC A B+⇒=+, sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B ∴+=+sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B ∴-=-，(步骤1)sin()sin()C A B C ⇒-=-,C A B C -=-或πC A -=－()B C -(不成立)，即2C =A +B ,π3C ⇒=,2π3A B ⇒+=①.（步骤2） 又1sin()cos 2B A C -==，则π6B A -=②或5π6B A -=（舍去）∴①②联立得：π5π412A B ==，.（步骤3）(2)162sin 3328ABC S ac B ac ===+△（步骤4） 由正弦定理得：sin sin a c A C =,23⇒=，解得，22,3a c ==（步骤5）20． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A =AD =4，AB =2. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N . （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；（2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小； （3）求点N 到平面ACM 的距离.第20题图【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系，空间向量的应用. 【考查方式】由球的性质、等面积法，空间向量运算求解. 【难易程度】较难【试题解析】方法一：（1）依题设知，AC 是所作球面的直径，则AM ⊥MC . 又P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ，（步骤1）又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ，则CD ⊥AM ，∴AM ⊥平面PCD ，∴平面ABM ⊥平面PCD .(步骤2)（2）由（1）知，AM PD ⊥，又PA AD =，则M 是PD 的中点可得，22122,232AM PD MC MD CD ===+=,（步骤3） 则1262ACM S AM MC ==△设D 到平面ACM 的距离为h ，D ACM M DCA V V --=,又118323M DCA DCA V S PA -=⨯=△,182633h ⇒⨯=,263h ⇒=.（步骤4） 设所求角为θ，则6sin 3h CD θ==6arcsin 3θ∴=.（步骤5） （3）可求得PC =6.因为AN ⊥NC ，由PN PA PA PC =，得83PN =,（步骤6）59NC PC ∴=,故N 点到平面ACM 的距离等于P 点到平面ACM 距离的59.（步骤7） 又因为M 是PD 的中点，则P 、D 到平面ACM 的距离相等， 由（2）可知所求距离为5106927h =.(步骤8) 方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0)A B C ，(0,0,4)P ，(0,4,0),(0,2,2)D M ，（步骤3） 设平面ACM 的一个法向量(),,x y z =n ，由,AC AM ⊥⊥n n 可得：240220x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1z =，则()2,1,1=-n .（步骤4）设所求角为α，则46sin 326CD CD α-===⨯n n，6arcsin 3α⇒=.∴所求角的大小为6arcsin3.（步骤5）第21题图（3）由条件可得，AN NC ⊥.在Rt PAC △中，2PA PN PC =,（步骤6）所以83PN =,则10539NC NC PC PN PC =-==，，（步骤7） 所以所求距离等于点P 到平面ACM 距离的59，设点P 到平面ACM 距离为h ，则263AP h ==n n ，（步骤8）∴所求距离为5106927h =.（步骤9）21已知如图，点()100,P x y 为双曲线22221(8x y b b b-=为正常数）上任一点,2F 为双曲线的右焦点,过1P 作右准线的垂线,垂足为A ,连接2F A 并延长交y 轴于2P . (1)求线段12P P 的中点P 的轨迹E 的方程;(2)设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点,在E 上任取一点()()111,0Q x y y ≠,直线,QB QD 分别交y 轴于,M N 两点.求证:以MN 为直径的圆过两定点.第21题图【测量目标】圆锥曲线的轨迹方程，双曲线的简单几何性质，圆锥曲线中的定点问题，间接证明.【考查方式】由直线方程求解轨迹方程，进而利用椭圆性质求解定点. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由已知得()23,0F b ，08,3b A y ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线2F A 的方程为：()033y y x b b=--，（步骤1） 令0x =得，09y y =，即()200,9P y ，（步骤2） 设(),P x y ，则00002952x x y y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即0025x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入22002218x y b b -=得，222241825x y b b -=，⇒22221225x y b b -=.P ∴的轨迹E 的方程为22221225x y b b -=.（步骤3） （2）在22221225x y b b-=中，令0y =得222x b =，则不妨设()),0,,0B D ，于是：直线QB 的方程为:)y x =，（步骤4）直线QD 的方程为: )y x =.（步骤5）则,0,M N ⎛⎛ ⎝⎝则以MN为直径的圆的方程为20x y y ⎛⎫⎛⎫++=⎝，（步骤6） 令0y =得，222122122b y x x b =-，而()11,Q x y 在22221225x y b b -=上， 则222112225x b y -=.（步骤7） 5x b ∴=±，即以MN 为直径的圆过定点()()5,0,5,0b b -.22．各项均为正数的数列{}n a ，12,,a a a b ==，且对满足m +n =p +q 的正整数m ,n ,p ,q 都有()()()()1111p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++.（1）当a =12,b =45时，求通项{}n a ； （2）证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数n ，都有1na λλ.【测量目标】数列的通项公式，间接证明.【考查目标】利用数列性质、等式关系求解通项，利用函数定义间接证明范围. 【难易程度】较难 【试题解析】（1）由()()()()1111p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++得，()()()()1211211111n n n n a a a a a a a a --++=++++，将1214,25a a ==代入化简得：11212n n n a a a --+=+.（步骤1） 11111131n n n n a a a a ----∴=++，故数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为等比数列. 1113n n n a a -∴=+，即3131n n n a -=+.（步骤2） （2）证明:由题设()()11m nm n a a a a +++的值仅与m n +有关，记为m n b +，则()()()()1111111n nn n n a a a a b a a a a +++==++++，（步骤3）函数()()()()011a xf x x a x +=>++，则在定义域上有:1,111()(),12,011a a f x g a a aa a ⎧>⎪+⎪⎪==⎨⎪⎪<<⎪+⎩， 故对1,()n n b g a *+∈N 恒成立. （步骤4）又()222()1nn n a b ga a =+，注意到10()2g a <，解上式得， na =，取λ=1na λλ.（步骤5）。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0} 4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣210．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．411．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选A2．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴故选B3．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选D4．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选择C．5．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选D6．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）•+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴•=﹣（）•+=0﹣（）•+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故选项为D7．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选D．8．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选A9．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选项为B10．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．4【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，∴AC=PD=2又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故答案选C．11．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选D12．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．14．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=27．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是2715．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π16．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为﹣8．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2009•全国卷Ⅰ）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．18．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B i表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2局中，甲、乙各胜1局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．20．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）由已知得=+，即b n=b n+，由此能够推导出所求的通+1项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n=b n+，从而b2=b1+，+1b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．21．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．22．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）所以．。
2009年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析
2009年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2009•江西）若复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，复数的实部为0，虚部不等于0，求解即可．【解答】解：由复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，可得x=﹣1故选A．【点评】本题考查复数的基本概念，考查计算能力，是基础题．2．（5分）（2009•江西）函数的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1]【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】由题意知，解得﹣1＜x＜1，由此能求出函数的定义域．【解答】解：由题意知，函数的定义域为，解得﹣1＜x＜1，故选C．【点评】本题考查对数函数的定义域，解题时要注意不等式组的解法．3．（5分）（2009•江西）已知全集U=A∪B中有m个元素，（∁U A）∪（∁U B）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（）A．mn B．m+n C．n﹣m D．m﹣n【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】数形结合．【分析】要求A∩B的元素个数，可以根据已知绘制出满足条件的韦恩图，根据图来分析（如解法一），也可以利用德摩根定理解决（如解法二）．【解答】解法一：∵（C U A）∪（C U B）中有n个元素，如图所示阴影部分，又∵U=A∪B中有m个元素，故A∩B中有m﹣n个元素．解法二：∵（C U A）∪（C U B）=C U（A∩B）有n个元素，又∵全集U=A∪B中有m个元素，由card（A）+card（C U A）=card（U）得，card（A∩B）+card（C U（A∩B））=card（U）得，card（A∩B）=m﹣n，故选D．【点评】解答此类型题目时，要求对集合的性质及运算非常熟悉，除教材上的定义，性质，运算律外，还应熟练掌握：①（C U A）∪（C U B）=C U（A∩B）②（C U A）∩（C U B）=C U （A∪B）③card（A∪B）=card（A）+card（B）﹣card（A∩B）等．4．（5分）（2009•江西）若函数，则f（x）的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】先对函数f（x）=（1+tanx）cosx进行化简，再根据x的范围求最大值．【解答】解：f（x）=（1+tanx）cosx=cosx+sinx=2sin（x+）∵0≤x，∴≤x+∴f（x）∈[1，2]故选B．【点评】本题主要考查三角函数求最值问题．一般都是先将函数式进行化简再求值，这里一定要注意角的取值范围．5．（5分）（2009•江西）设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．4 B．﹣C．2 D．﹣【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率．【专题】计算题．【分析】欲求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率，即求f′（1），先求出f′（x），然后根据曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1求出g′（1），从而得到f′（x）的解析式，即可求出所求．【解答】解：f′（x）=g′（x）+2x．∵y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，∴g′（1）=2，∴f′（1）=g′（1）+2×1=2+2=4，∴y=f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为4．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题．6．（5分）（2009•江西）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故选B．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力．7．（5分）（2009•江西）（1+ax+by）n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为（）A．a=2，b=﹣1，n=5 B．a=﹣2，b=﹣1，n=6C．a=﹣1，b=2，n=6 D．a=1，b=2，n=5【考点】二项式系数的性质．【分析】据（1+ax+by）n展开式中不含x的项是n个（1+ax+by）都不出ax即（1+ax+by）n展开式中不含x的项的系数绝对值的和就是（1+by）n展开式中系数绝对值的和，同样的道理能得不含y的项的系数绝对值的和，列出方程解得．【解答】解：不含x的项的系数的绝对值为（1+|b|）n=243=35，不含y的项的系数的绝对值为（1+|a|）n=32=25，∴n=5，，将各选项的参数取值代入验证知，a=1，b=2，n=5故选D．【点评】利用分步乘法原理得展开式中各项的情况．8．（5分）（2009•江西）数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为（）A．470 B．490 C．495 D．510【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】利用二倍角的公式化简可得一个三角函数，根据周期公式求出周期为3，可化简S30，求出值即可．【解答】解：由于{cos2﹣sin2}以3为周期，故S30=（﹣+32）+（﹣+62）+…+（﹣+302）=∑[﹣+（3k）2]=∑[9k﹣]=﹣25=470故选A【点评】考查学生会求数列的和，掌握三角函数周期的计算方法．9．（5分）（2009•江西）如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（）A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【考点】空间点、线、面的位置．【专题】空间位置关系与距离．【分析】结合图形，逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．【解答】解：对于A，如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，由三垂线定理可知BC⊥AM，∴M为BC中点，同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，∴N为底面△ABC中心，∴O﹣ABC是正三棱锥，故A正确．对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行．则答案B不正确．对于C，AD和OB成的角，即为AD和AE成的角，即∠DAE=45°，故C正确．对于D，二面角D﹣OB﹣A即平面FDBO与下底面AEBO成的角，故∠FOA为二面角D﹣OB﹣A的平面角，显然∠FOA=45°，故D正确．综上，故选：B．【点评】本题主要考查直线和平面的位置关系，直线和平面成的角、二面角的定义和求法，结合图形分析答案，增强直观性，属于中档题．10．（5分）（2009•江西）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该食品5袋，能获奖的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】3种不同的卡片分别编号1、2、3，购买该食品5袋，能获奖的情况有两种①（5张中有3张相同的）12311；12322；12333；②（5张中有2张相同的）12312；12313；12323，且两事件互斥，根据概率的加法公式可求【解答】解析：获奖可能情况分两类：①12311；12322；12333；②12312；12313；12323．①P1=，②P2=，∴P=P1+P2==．故选D【点评】本题主要考查了古典概率的计算，在试验中，若事件的发生不只一种情况，且两事件不可能同时发生，求解概率时，利用互斥事件的概率求解．还要熟练应用排列、组合的知识．11．（5分）（2009•江西）一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为τ1，τ2，τ3，τ4，则下列关系中正确的为（）A．τ1＞τ4＞τ3＞τ2 B．τ3＞τ4＞τ1＞τ2 C．τ4＞τ2＞τ3＞τ1 D．τ3＞τ2＞τ4＞τ1【考点】三角形的面积公式．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意设出边长，求出四个图形的直径，四个图形的周长，计算它们的比值，即可比较大小．【解答】解：由题意，设图形的边长或直径为a，则第一个图的直径为a，后三个图形的直径都是a，第一个封闭区域边界曲线的长度为4a，所以t1=，第二个封闭区域边界曲线的长度为×2，所以t2==π；第三个封闭区域边界曲线的长度为a+2×+2×2×=3a，所以t3==3，第四个封闭区域边界曲线的长度为2a，所以t4==2，所以τ4＞τ2＞τ3＞τ1故选C．【点评】本题是中档题，考查具体图形的周长的求法，考查计算能力，考查发现问题解决问题的能力．12．（5分）（2009•江西）设函数的定义域为D，若所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣8 D．不能确定【考点】二次函数的性质．【专题】常规题型；计算题；压轴题．【分析】此题考查的是二次函数的性质问题．在解答时可以先将问题转化为方程，因为一个方程可以求解一个未知数．至于方程的给出要充分利用好“构成一个正方形区域”的条件．【解答】解：由题意可知：所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域，则对于函数f（x），其定义域的x的长度和值域的长度是相等的，f（x）的定义域为ax2+bx+c≥0的解集，设x1、x2是方程ax2+bx+c=0的根，且x1＜x2则定义域的长度为|x1﹣x2|==，而f（x）的值域为[0，]，则有，∴，∴a=﹣4．故选B．【点评】本题考查的是二次函数的性质问题．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、解方程的思想以及运算的能力．值得同学们体会反思．二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上13．（4分）（2009•江西）已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，7），若（）∥，则k=5．【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得=（3﹣k，﹣6），由（）∥，可得（3﹣k，﹣6）=λ（1，3），解出k 值．【解答】解：由题意可得=（3﹣k，﹣6），∵（）∥，∴（3﹣k，﹣6）=λ（1，3），∴3﹣k=λ，﹣6=3λ，解得k=5，故答案为5．【点评】本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到（3﹣k，﹣6）=λ（1，3），是解题的关键．14．（4分）（2009•江西）正三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于半径为2的球，若A，B两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】由已知中正三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于半径为2的球，若A，B两点的球面距离为π，我们易求出∠AOB的大小，进而求出棱柱底面棱长，进而求出棱柱的高和底面面积，代入棱柱体积公式，即可求出答案．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于半径为2的球又∵A，B两点的球面距离为π，故∠AOB=90°，又∵△OAB是等腰直角三角形，∴AB=2，则△ABC的外接圆半径为则O点到平面ABC的距离为∴正三棱柱高h=，又∵△ABC的面积S=∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S•h=8．故答案为：8【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积公式，球内接多面体，其中根据已知条件计算出棱柱的底面面积和高是解答本题的关键．15．（4分）（2009•江西）若不等式≤k（x+2）﹣的解集为区间[a，b]，且b﹣a=2，则k=．【考点】其他不等式的解法．【专题】压轴题．【分析】此不等式属根式不等式，两边平方后再解较繁，可以从数形结合寻求突破．【解答】解：设y1=，y2=k（x+2）﹣，则在同一直角坐标系中作出其图象草图如所示y1图象为一圆心在原点，半径为3的圆的上半部分，y2图象为过定点A（﹣2，﹣）的直线．据此，原不等式解集可理解为：半圆上圆弧位于直线下方时圆弧上点的横坐标x所对应的集合．观察图形，结合题意知b=3，又b﹣a=2，所以a=1，即直线与半圆交点N的横坐标为1，代入y1==2，所以N（1，2）由直线过定点A知直线斜率k==．故答案为：．【点评】数形结合是研究不等式解的有效方法，数形结合使用的前提是：掌握形与数的对应关系．基本思路是：①构造函数f（x）（或f（x）与g（x）），②作出f（x）（或f（x）与g（x））的图象，③找出满足题意的曲线（部分），曲线上点的横坐标为题目的解，并研究解的特性来确定解题的切入点．16．（4分）（2009•江西）设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：A．M中所有直线均经过一个定点B．存在定点P不在M中的任一条直线上C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是BC（写出所有真命题的代号）．【考点】命题的真假判断与应用；过两条直线交点的直线系方程．【专题】简易逻辑．【分析】验证发现，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．M中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D．M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．【解答】解：因为点（0，2）到直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离d==1，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．由于直线系表示圆x2+（y﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故A不正确；B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确；C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n（n≥3），存在正n 边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；D．如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC 型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故本命题不正确．故答案为：BC．【点评】本题考查直线系方程的应用，要明确直线系M中直线的性质，依据直线系M表示圆x2+（y﹣2）2=1 的切线的集合，结合图形，判断各个命题的正确性．本题易因为观察不知直线系所具有的几何特征而导致后两个命题的真假无法判断，对问题进行深入分析是发现其意义的捷径．三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）（2009•江西）设函数f（x）=，（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，求不等式f′（x）+k（1﹣x）f（x）＞0的解集．【考点】函数的单调性及单调区间；简单复合函数的导数；不等式．【分析】（1）对函数f（x）进行求导，当导数大于0时是单调递增区间，当导数小于0时是原函数的单调递减区间．（2）将f'（x）代入不等式即可求解．【解答】解：（1）∵f（x）=∴由f'（x）=0，得x=1，因为当x＜0时，f'（x）＜0；当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0；所以f（x）的单调增区间是：[1，+∝）；单调减区间是：（﹣∞，0），（0，1]（2）由f'（x）+k（1﹣x）f（x）==＞0，得：（x﹣1）（kx﹣1）＜0，故：当0＜k＜1时，解集是：{x|1＜x＜}；当k=1时，解集是：φ；当k＞1时，解集是：{x|＜x＜1}．【点评】本题主要考查通过求函数的导数来确定函数的增减性的问题．当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．18．（12分）（2009•江西）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是．若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．（1）写出ξ的分布列；（2）求数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】应用题．【分析】（1）ξ的所有取值为0，5，10，15，20，25，30，然后根据相互独立事件的概率公式解之，得到分布列；（2）利用数学期望公式Eξ=ξ1×p1+ξ2×p2+ξ3×p3+…+ξn×p n直接解之即可．【解答】解：（1）ξ的所有取值为0，5，10，15，20，25，30；依此类推；；；所以其分布列为：ξ0 5 10 15 20 25 30P（2）∴数学期望Eξ=15【点评】本题主要考查了离散型随机变量的期望以及分布列．同时考查了相互独立事件的概率以及计算能力，属于基础题．19．（12分）（2009•江西）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．（1）求A，C；（2）若S△ABC=，求a，c．【考点】余弦定理的应用；两角和与差的余弦函数；正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1）先根据同角三角函数的基本关系将正切化为正余弦之比再相乘可得到3内角的正弦关系式，再由sin（B﹣A）=cosC可求出答案．（2）先根据正弦定理得到a与c的关系，再利用三角形的面积公式可得答案．【解答】解：（1）因为所以左边切化弦对角相乘得到sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB，所以sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．所以C﹣A=B﹣C或C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立）即2C=A+B，C=60°，所以A+B=120°，又因为sin（B﹣A）=cosC=，所以B﹣A=30°或B﹣A=150°（舍），所以A=45°，C=60°．（2）由（1）知A=45°，C=60°∴B=75°∴sinB=根据正弦定理可得即：∴a=S=acsinB==3+∴c2=12∴c=2∴a==2【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系和正弦定理与三角形面积公式的应用．对于三角函数这一部分公式比较多，要强化记忆．20．（12分）（2009•江西）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N （1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间向量及应用．【分析】法一：（1）要证平面ABM⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；（2）先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h，即可求直线PC与平面ABM所成的角；（3）先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h，再利用第二问的结论即可得到答案．法二：建立空间直角坐标系，（2）求出平面ACM的一个法向量，结合然后求出即可．（3）先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的，再利用向量的射影公式直接求点P到平面ACM距离h即可得到结论．【解答】解：方法一：（1）图1依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC．又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD．（2）由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，则M是PD的中点可得，则设D到平面ACM的距离为h，由V D﹣ACM=V M﹣ACD即，可求得，设所求角为θ，则，．（3）可求得PC=6．因为AN⊥NC，由（7），得PN=（8）．所以NC：PC=5：9（9）．故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的．又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为．方法二：（1）同方法一；（2）如图2所示，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；设平面ACM的一个法向量，由可得：，令z=1，则．设所求角为α，则，所以所求角的大小为．（3）由条件可得，AN⊥NC．在Rt△PAC中，PA2=PN•PC，所以，则，，所以所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h则，所以所求距离为．【点评】本题考查直线与平面所成的角，平面与平面垂直的判定，三垂线定理，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．再用空间向量求线面角时，关键是求出平面的法向量以及直线的方向向量．21．（12分）（2009•江西）已知点P1（x0，y0）为双曲线（b为正常数）上任一点，F2为双曲线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连接F2A并延长交y轴于P2．（1）求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程；（2）设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x1，y1）（y1≠0），直线QB，QD分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆过两定点．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）由已知得，则直线F2A的方程为：y=﹣（x﹣3b），令x=0得P2（0，9y0），设P（x，y），则，由此能求出P的轨迹E的方程．（2）在中，令y=0得x2=2b2，设，直线QB的方程为：，直线QD的方程为：，则M（0，），N（0，），由此能导出以MN为直径的圆过两定点（﹣5b，0），（5b，0）．【解答】解：（1）由已知得，则直线F2A的方程为：y=﹣（x﹣3b），令x=0得y=9y0，即P2（0，9y0），设P（x，y），则，即代入得：，即P的轨迹E的方程为．（2）在中令y=0得x2=2b2，则不妨设，于是直线QB的方程为：，∴直线QD的方程为：，则M（0，），N（0，），则以MN为直径的圆的方程为：，令y=0得：，而Q（x1，y1）在上，则，于是x=±5b，即以MN为直径的圆过两定点（﹣5b，0），（5b，0）．【点评】本题考查轨迹方程的求法和求证以MN为直径的圆过两定点．解题时要认真审题，熟练掌握圆锥曲线的性质，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．22．（14分）（2009•江西）各项均为正数的数列{a n}，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有．（1）当时，求通项a n；（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数n，都有．【考点】数列与不等式的综合．【专题】综合题；压轴题；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由，令m=1，p=2，q=n﹣1，并将代入化简，可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求数列的通项；（2）记为b m+n，则，考察函数，则在定义域上有，从而对n∈N*，b n+1≥g（a）恒成立，结合，即可得证．【解答】（1）解：由得．将代入化简得．所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，从而，即．（2）证明：由题设的值仅与m+n有关，记为b m+n，则．考察函数，则在定义域上有故对n∈N*，b n+1≥g（a）恒成立又，注意到，解上式得，取，即有．【点评】本题考查数列递推式，考查赋值法的运用，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．。
2009年高考天津数学(理科)试题及参考答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）i 是虚数单位，52i i-= （A ）1+2i （B ）-1-2i （C ）1-2i （D ）-1+2i 【考点定位】本小考查复数的运算，基础题。
解析：i i i i i 215)2(525+-=+=-，故选择D 。
（2）设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数23z x y =+的最小值为（A ）6 （在点B )1,2(，所以734min =+=z ，故选择B 。
（3）命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（A ）不存在0x ∈R, 02x >0 （B ）存在0x ∈R, 02x ≥0（C ）对任意的x ∈R, 2x≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x>0 【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。
解析：由题否定即“不存在R x ∈0，使020≤x ”，故选择D 。
（4）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =A. 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。
B. 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点。
C. 在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。
D. 在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点。
【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。
解析：由题得xx x x f 33131)`(-=-=，令0)`(>x f 得3>x ；令0)`(<x f 得30<<x ；0)`(=x f 得3=x ，故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(+∞为增函数，在点3=x 处有极小值03ln 1<-；又()0131)1(,013,31)1(>+=<-==ee f e e f f ，故选择D 。
2009年高考理科数学(湖南)卷
2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若2log 0a <, 1()12b >, 则A ．1a >，0b >B ．1a >，0b <C ．01a <<，0b >D ．01a <<，0b <2．对于非零向量a , b , “+=0a b ”是“a b ∥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．将函数sin y x =的图象向左．．平移ϕ(02<π)ϕ≤个单位后，得到函数sin ()6y x π=-的图象，则ϕ等于A ．6πB ．65πC ．67πD ．611π4．如图1，当参数λ1λ=, 2λ时，连续函数y (0)x ≥的图象分别对应曲线 1C 和2C ，则A ．120λλ<<B ．210λλ<<C ．120λλ<<D ．210λλ<< 5．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 A ．85 B ．56C ．49D ．286．已知D 是由不等式组 所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为A ．4πB ．2π C ．43π D ．23π7．正方体1111ABCD ABC D -的棱上到异面直线AB , 1CC 的距离相等的点的个数为A ．2B ．3C ．4D ．58．设函数()y f x =在(,-+)∞∞内有定义．对于给定的正数K , 定义函数取函数()2e x f x x -=--．若对任意的(,)x ∈-+∞∞，恒有()()K f x f x =，则A ．K 的最大值为2B ．K 的最小值为2C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ．10．在333(1)(1(1x +++的展开式中，x 的系数为 （用数字作答）． 11．若(0,)x π∈2，则2tan tan ()x x π+-2的最小值为 ．12、已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 o，则双曲线C 的离心率为 .13．一个总体分为A , B 两层，其个体数之比为4:1, 用分层抽样方法从总体中抽取一 个容量为10的样本．已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128, 则总体中的个体数为 ．14．在半径为13的球面上有A , B , C 三点，6AB =, 8BC =, 10CA =, 则（1）球心到平面ABC 的距离为 ；（2）过A , B 两点的大圆面与平面ABC 所成二面角（锐角）的正切值为 ． 15．将正ABC ∆分割成2n （2n ≥, n *∈N ）个全等的小正三角形（图2, 图3分别给出了2n =,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC ∆的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列．若顶点A , B , C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为()f n , 则有(2)2f =, (3)f = , … , ()f n = ．B C AB AC(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ⎧=⎨>⎩≤图2图3三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知 22|||3AB AC AB AC BC ⋅⋅= , 求角A , B , C 的大小.17．（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产 业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的12, 13, 16. 现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.(Ⅰ) 求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(Ⅱ) 记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望.18．（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱111ABC A B C -中, 1AB , 点D 是11A B 的中点，点E 在11AC 上，且DE AE ⊥.(Ⅰ) 证明：平面ADE ⊥平面11ACC A ；(Ⅱ) 求直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值.19．（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米. 余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩. 经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x 万元. 假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素. 记余下工程的费用为y 万元. (Ⅰ) 试写出y 关于x 的函数关系式；(Ⅱ) 当640m =米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点(3,0)F 的距离的4倍与它到直线2x =的距离的3倍之和记为d . 当点P 运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和.(Ⅰ) 求点P 的轨迹C ；(Ⅱ) 设过点F 的直线l 与轨迹C 相交于M , N 两点，求线段MN 长度的最大值.21．（本小题满分13分） 对于数列{}nu , 若存在常数0M >, 对任意的n *∈N , 恒有1121||||||n n n n u u u u u u +--+-++- M ≤,则称数列{}nu 为B -数列.(Ⅰ) 首项为1, 公比为q (||1)q <的等比数列是否为B -数列？请说明理由； (Ⅱ) 设n S 是数列{}nx 的前n 项和. 给出下列两组论断：A 组：① 数列{}n x 是B -数列， ② 数列{}n x 不是B -数列； B 组：③ 数列{}n S 是B -数列， ④ 数列{}n S 不是B -数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论； (Ⅲ) 若数列{}n a , {}n b 都是B -数列，证明：数列{}n n a b 也是B -数列.1参考答案及解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．解:由2log001a a<⇒<<,1()102b b>⇒<，易知D正确.2．解:0a b a b+=⇒=-，//a b∴；反之不成立，故选A.3．解:依题意得11sin()sin(2)sin()666y x x xππππ=-=-+=+，116πϕ∴=，易知D正确.4．解: 易知0λ>，故可排除C,D,再取特殊值1x=，结合图像可得210λλ<<，故选B.5．解: 除开丙，由间接法得3397843549C C-=-=，故选C.6．解:作图，由12111123,,tan111234123k kπθθ+==-⇒==∴=-⨯，故弧长为242l Rππθ==⨯=，选B.7．解:如图，用列举法知合要求的点的个数为：BC的点E、11A D的点F、1B、D，共4个，故选C.8．解: 由()K f x≥恒成立知min()K f x≥,故K有最小值，可排除A,C,又由直觉思维得在0x=时，()22011xf x x e-=--=--=，排除B,因此选D.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.9．解: 设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10(15)5x x--=-，故15530812x x+-=-⇒=.注：最好作出韦恩图！或由1510(308)315312+--=⇒-=人.10．解:13,r rrT C b+⇒=故有：12330333327C C C C++=-=，得x的系数为7.11．解:(0,)2tan tan()2tan22x x x xππ∈⇒+-=+，当且仅当12tan tantan2x xx=⇒=时取等号.12、解: 设双曲线C的左右焦点为12,F F，虚轴的上下两个端点为12,B B，由于,c b>故11260F B F∠≠ ,则有122126030tan303bB F B B F Oc∠=⇒∠=⇒==, 2223c a⇒=,2223,2ce ea∴==⇒=13．解: 设B 层中的个体数为n ，则211828nn C =⇒=，则总体中的个体数为8540.⨯= 14．解: 由AB=6，BC=8，CA=10得ABC ∆是以B 为直角顶点的直角三角形，（1）设斜边AC 的中点为O ',则5r BO '==，故12d ===;（2）作O H AB '⊥,则4O H '=，故12tan 3.4d OHO O H '∠===' 15．解: 若依题意顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1，按等差数列的性质进行计算则显然运算量较大,故常规思维不可取！可偏偏特取A ,B ,C 处的数均为13（极限法）来思考：则图2中有26a =个13，得1(2)623f =⨯=；故图3中有310a =个13，得 1(3)101033f =⨯=；易知4n =时有415a =个13，探讨数列26,a =310,a =415,a = 13(2)1,n n a a n n --=+-=+ （可参考2006湖南卷: 逆序数）由叠加法推知:6[456(11)](1)(2)2n a n n n =++++++++=个13,1(1)(2))6(.n f n n +∴+= 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解 设BC a =，AC b =，AB c =．由2|||AB AC AB AC ⋅⋅得 2cos bc A =，所以cos A =又(0,A ∈π)，因此6A π=．2|||3AB AC BC ⋅= 得 2bc =．于是 2sin sin C B A ⋅==所以 5sin sin ()6C C π⋅-=，1sin (cos )2C C C ⋅+=22sin cos C C C ⋅+sin 20C C =，即sin(2)03C π-=．由6A π=知506C π<<，所以42333C πππ-<-<，从而203C π-=，或23C π-=π．即6C π=，或23C π=．故6A π=，23B π=，6C π=，或6A π=，6B π=，23C π=．17．（本小题满分12分）解 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件i A ，i B ，i C ，1i =，2，3．由题意知1A ，2A ，3A 相互独立，1B ，2B ，3B 相互独立，1C ，2C ，3C 相互独立，i A ，j B ，k C （i ，j ，k =1，2，3，且i ，j ，k 互不相同）ACA 1B 1C 1DE 相互独立，且1()2i P A =，1()3i P B =，1()6i P C =．（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P =1231233!()6()()()P AB C P A P B P C = ．（Ⅱ）解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，1(3,)3B η ，且3=-ξη，所以 33311(0)(3)C ()327P P ξh =====， 223122(1)(2)C ()()339P P ξh =====，123124(2)(1)C ()()339P P ξh =====， 03328(3)(0)C ()327P P ξh =====．故ξ的分布列是ξ的数学期望124801232279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．解法2 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件i D ， 1i =，2，3．由已知，1D ，2D ，3D 相互独立，且()()()()i i i i i P D P A C P A P C =+=+112263=+=,所以2(3,)3B ξ ，即3321()C ()()33kk k P k ξ-==，k =0，1，2，3． 故ξ的分布列是ξ的数学期望2323E =⨯=ξ．18．（本小题满分12分）解 （Ⅰ）如图所示，由正三棱柱111ABC ABC -的性质知 1AA ⊥平面111A B C ．又DE ⊂平面111A B C ，所以1DE AA ⊥．而DE AE ⊥，1AA AE A = ，所以DE ⊥平面11ACC A ．又DE ⊂平面A D E ，故平面ADE ⊥平面11ACC A ．（Ⅱ）解法1 如图所示，设F 是AB 的中点，连结DF ，1DC ，1C F ．由正三棱柱111ABC ABC -的性质及D 是11A B 的中点知，111AB C D ⊥，11AB DF ⊥．又1C D DF D = ，所以11AB ⊥平面1C DF ．111162366=⨯⨯⨯=而AB 11//A B ，所以AB ⊥平面1C DF ．又AB ⊂平面1ABC ，故平面1ABC ⊥平面1C DF ．过点D 作DH 垂直1C F 于点H ，则D H ⊥平面1ABC ．连结AH ，则H A D ∠是直线AD 和平面1ABC 所成的角.由已知1AB ，不妨设1AA =，则2AB =，DF =1DC =1C F =，AD ，11DF DC DH C F⋅==. 所以 sin DH HAD AD ∠==即直线AD 和平面1ABC .解法2 如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系. 不妨设1AA =2AB =，相关各点的坐标分别是(0,1,0)A -， (0,0)B ，1(0)C ，1,,2D -. 易知 (0)AB = ，1(0,2,AC =，1(,2AD = .设平面1ABC 的一个法向量为 (,,)x y z =n 10,20.AB y AC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 解得x y =-，z =.故可取 (1,n =.所以，cos ,||||AD AD AD ⋅===⋅n n n 由此即知，直线AD 和平面1ABC 19．（本小题满分13分）解 （Ⅰ）设需新建n 个桥墩，则 (1)n x m +=，即 1m n x=-，所以 ()256(1)(2y f x n n x ==+++256(1)(2m m x x x=-++2562256mm x=+-． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1222561()2m f x mx x -=-+′32(512)2m x x =-． 令()0f x =′，得 32512x =，所以 64x =．HFE DC 1B 1A 1CBA图1yx2x =y 当064x <<时，()0f x <′，()f x 在区间(0,64 )内为减函数； 当64640x <<时，()0f x >′，()f x 在区间(64,640 )内为增函数． 所以()f x 在64x =处取得最小值．此时 64011964m n x =-=-=．故需新建9个桥墩才能使y 最小．20．（本小题满分13分）解 （Ⅰ）设点P 的坐标为(,)x y ，则 3|2|d x =-． 由题设，18d x =+，即3|2|18x x -=+． ……①当2x >时，由①得 ，……②化简得 ．当2x ≤3x =+，……③化简得 212y x =． 故点P 的轨迹C 是由椭圆 1C ：221y x +=在直线2x =的右侧 部分与抛物线2C ：212y x =在直线2x =的左侧部分（包括它与直线2x =的交点）所组成的曲线，参见图1．（Ⅱ） 如图2所示，易知直线2x =与1C ，2C 的交点都是(2,A ，(2,B -，直线AF ，BF 的斜 率分别为AF k =-BF k = 当点P 在1C 上时，由②知 1||6PF x =-． ……④当点P 在2C 上时，由③知 ||3PF x =+． ……⑤若直线l 的斜率k 存在，则直线l 的 方程为 (3)y k x =-．（ⅰ）当AF k k ≤，或BF k k ≥，即k -≤，或k ≥时，直线l 与轨迹C 的两个交点11(,)M x y ，22(,)N x y 都在1C 上，此时由④知图2y xAMEB2x =NOF162x =-2213627y x +=2x 2x =11||62MF x =-，21||62NF x =-，从而 1211||||||(6)(6)22MN MF NF x x =+=-+-12112()2x x =-+．由22(3)13627y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 2222(34)24361080k x k x k +-+-=．则1x ，2x 是这个方程的两根，所以21222434k x x k +=+，||MN 12112()2x x =-+22121234k k=-+．因为当k -≤k ≥时，224k ≥，所以222121001212||1212123311344424k MN kk=-=--=+++≤．当且仅当k =±时，等号成立．（ⅱ）当AF BF k k k <<，即k -<<l 与轨迹C 的两个交点 11(,)M x y ，22(,)N x y 分别在1C ，2C 上，不妨设点M 在1C 上，点N 在2C 上，则由④，⑤知，11||62MF x =-，2||3NF x =+．设直线AF 与椭圆1C 的另一交点为00(,)E x y ，则01x x <，22x <．1011||66||22MF x x EF =-<-=，2||332||NF x AF =+<+=，所以||||||||||||MN MF NF EF AF AE =+<+=．而点A ，E 都在1C 上，且AE k =-由（ⅰ）知100||11AE =，所以 100||11MN <．若直线l 的斜率不存在，则123x x ==，此时121001||12(9211MN x x =-+<）=．综上所述，线段MN 长度的最大值为10011．21．（本小题满分13分）解 （Ⅰ）设满足题设的等比数列为{}n a ，则1n n a q -=．于是1221|||||||1|n n n n n a a q q q q -----=-=-，2n ≥．因此 211121|||||||1|(1||||||)n n n n n a a a a a a q q q q -+--+-++-=-++++ ．因为||1q <，所以 211||11||||||1||1||nn q q q q q q --++++=<-- ．即1121|1|||||||1||n n n n q a a a a a a q +---+-++-<- ． 故首项为1，公比为(||1)q q <的等比数列是B -数列．（Ⅱ）命题1：若数列{}n x 是B -数列, 则数列{}n S 是B -数列． 此命题为假命题．事实上，设1n x =，*n ∈N ，易知数列{}n x 是B -数列．但n S n =，1121||||||n n n n S S S S S S n +--+-++-= ．由n 的任意性知，数列{}n S 不是B -数列．命题2：若数列{}n S 是B -数列，则数列{}n x 是B -数列． 此命题为真命题．事实上，因为数列{}n S 是B -数列，所以存在正数M ，对任意的*n ∈N ，有1121||||||n n n n S S S S S S M +--+-++- ≤，即 12||||||n n x x x M ++++ ≤．于是1121||||||n n n n x x x x x x +--+-++-1121||2||2||2||||n n n x x x x x +-+++++ ≤12||M x +≤，所以数列{}n x 是B -数列．（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法） （Ⅲ） 若数列{}n a ，{}n b 是B -数列, 则存在正数1M ，2M , 对任意的*n ∈N , 有11211||||||n n n n a a a a a a M +--+-++- ≤； 11212||||||n n n n b b b b b b M +--+-++- ≤．注意到 112211||||n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+112211||||||||nn n n a a a a a a a ----+-++-+ ≤11||M a +≤.同理，21||||n b M b +≤.记111||K M a =+，221||K M b =+，则有111111||||n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b ++++++-=-+-1112111||||||||||||n n n n n n n n n n b a a a b b K a a K b b +++++-+--+-≤≤.因此 11112211||||||n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b ++---+-++-21121(||||||)n n n n K a a a a a a +--+-++- ≤+11121(||||||)n n n n K b b b b b b +--+-++- 2112K M K M +≤.故数列{}n n a b 是B -数列.。
2009年山东省高考数学试卷(理科)
．
14．（ 4 分）若函数 f (x ) a x x a (a 0, a 1) 有两个零点，则实数 a 的取值范围是
．
15．（ 4 分）执行程序框图，输出的 T
．
第 3 页（共 21 页）
16．（ 4 分）定义在 R 上的偶函数 f ( x) ，满足 f ( x 2) f (x) 且在 [0 ， 2] 上是减函数，若 方 程 f ( x) m( m 0 )在 区 间 [ 2 ， 6] 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， 则
3 分的概
20．（ 12 分）等比数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ，已知对任意的 n N ，点 (n,Sn ) 均在函数
y
x
b
r(b
0且 b
1 ， b ， r 均为常数的图象上．
（Ⅰ）求 r 的值．
（Ⅱ）当 b 2 时，记 bn 2(log 2 an
b1 1 b2 1
b1
b2
bn 1 bn
故选： C ．
D． 2 i
3．（ 5 分）将函数 y sin 2 x 的图象向左平移
函数解析式是 (
)
个单位，再向上平移 4
1 个单位，所得图象的
A ． y 2cos2 x
B． y 2sin 2 x
C． y 1 sin(2 x ) 4
D． y cos2 x
【解答】 解：将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位， 4
3x y 6, 0 x y 2…0 ，若目标函数 z ax by( a 0,b 0) 的值是 x厖0, y 0
最大值为 12，则 2
3 的最小值为 (
)
ab
A ． 25 6
2009年江西高考数学卷(理科数学)
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为A ．1-B ．0C ．1D ．1-或1 答案：A 【解析】由210110x x x ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩ 故选A2．函数ln(1)x y +=的定义域为A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]- 答案：C 【解析】由21011141340x x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<--+>⎩⎩.故选C 3．已知全集U =A B 中有m 个元素，()()UUA B 痧中有n 个元素．若A B I 非空，则A B I 的元素个数为A ．mnB ．m n +C ．n m -D ．m n - 答案：D 【解析】因为[()()]UUU A B A B = 痧 ，所以A B 共有m n -个元素,故选D4．若函数()(1)cos f x x x=+，02x π≤<，则()f x 的最大值为A ．1B ．2 C1 D2+答案：B【解析】因为()(1)cos f x x x=+=cos x x +=2cos()3x π-当3x π=是，函数取得最大值为2. 故选B5．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为A ．4B ．14- C ．2 D ．12-答案：A【解析】由已知(1)2g '=，而()()2f x g x x ''=+，所以(1)(1)214f g ''=+⨯=故选A6．过椭圆22221xy ab+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F为右焦点，若1260F P F ∠=，则椭圆的离心率为A．2 B．3 C ．12 D ．13答案：B【解析】因为2(,)bP c a-±，再由1260F P F ∠=有232,ba a=从而可得3c e a==，故选B7．(1)nax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则,,a b n 的值可能为A ．2,1,5a b n ==-=B ．2,1,6a b n =-=-=C ．1,2,6a b n =-==D ．1,2,5a b n === 答案：D【解析】5(1)2433n b +==，5(1)322n a +==，则可取1,2,5a b n ===，选D8．数列{}n a 的通项222(cossin)33n n n a n ππ=-，其前n 项和为nS ，则30S 为A ．470B ．490C ．495D ．510答案：A【解析】由于22{cossin}33n n ππ-以3 为周期,故2222222223012452829(3)(6)(30)222S +++=-++-+++-+ 221010211(32)(31)591011[(3)][9]25470222k k k k k k ==-+-⨯⨯=-+=-=-=∑∑故选A9．如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的为A ．O ABC -是正三棱锥B ．直线OB ∥平面ACDC ．直线AD 与OB 所成的角是45D ．二面角D OB A --为45答案：B【解析】将原图补为正方体不难得出B 为错误，故选B10．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为yxzOAB CDA ．3181B ．3381C ．4881D ．5081 答案：D【解析】5553(323)50381P -⨯-==故选D11．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为1234,,,ττττ，则下列关系中正确的为 A ．143τττ>> B ．312τττ>> C ．423τττ>> D ．341τττ>> 答案：C【解析】前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，所以1τ=、2τπ=、33τ=，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比，所以4τ=4231ττττ>>>，选C12．设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为A ．2-B ．4-C ．8-D ．不能确定w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：B【解析】12max ||()x x f x -==||a =4a =-，选B2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2009年高考湖北卷数学(理科)试题及参考答案
2009年湖北省高考数学试卷（理科）2009年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（2009•湖北）已知P={a|a=（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q={b|b=（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q=（）A．{（1，1）} B．{（﹣1，1）} C．{（1，0）} D．{（0，1）}2．（2009•湖北）设a为非零实数，函数y=（x∈R，且x ≠）的反函数是（）A．y=（x∈R，且x≠﹣）B．y=（x∈R，且x ≠）C．y=（x∈R，且x≠1）D．y=（x∈R，且x≠﹣）3．（2009•湖北）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）（n﹣mi）为实数的概率为（）A ．B ．C ．D ．4．（2009•湖北）函数y=cos（2x+）﹣2的图象F按向量a平移到F′，F′的函数解析式为y=f（x），当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于．A．（，﹣2）B．（，2）C．（，﹣2）D．（，2）5．（2009•湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（）A．18 B．24 C．30 D．366．（2009•湖北）设+a2n x2n ，则[（a0+a2+a4+…+a2n）2﹣（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）2]=（）A．﹣1 B．0 C．1 D ．7．（2009•湖北）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是（）A．K∈[﹣，] B．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞] C．K∈[﹣，] D．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]8．（2009•湖北）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元9．（2009•湖北）设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2C C．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C10．（2009•湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．289 B．1024 C．1225 D．1378二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（2009•湖北）已知关于x的不等式的解集，则实数a=_________．12．（2009•湖北）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为_________，数据落在（2，10）内的概率约为_________．13．（2009•湖北）如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域．为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km．已知地球半径约为6400km，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为_________km．（结果中保留反余弦的符号）．14．（2009•湖北）已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为_________．15．（2009•湖北）已知数列{a n}满足：a1=m（m为正整数），a n+1=若a6=1，则m所有可能的取值为_________．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（2009•湖北）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η=x+y，求η的分布列和数学期望．17．（2009•湖北）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．18．（2009•湖北）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）（Ⅰ）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE（Ⅱ）设二面角C﹣AE﹣D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为ω，若tanθ•tanφ=1，求λ的值．19．（2009•湖北）已知数列a n的前n项和（1）令b n=2n a n，求证：数列b n是等差数列，并求数列a n的通项公式．（2）令，试比较T n与的大小，并予以证明．20．（2009•湖北）某区从近期卖出的不同面积的商品房中随机抽取1000套进行统计，并根据结果绘出如图所示的统计图．从中可知卖出的110m2～130 m2的商品房_________套．21．（2009•湖北）在R上定义运算：（b、c∈R是常数），已知f1（x）=x2﹣2c，f2（x）=x﹣2b，f（x）=f1（x）f2（x）．①如果函数f（x）在x=1处有极值，试确定b、c的值；②求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；③记g（x）=|f′（x）|（﹣1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围．（参考公式：x3﹣3bx2+4b3=（x+b）（x﹣2b）2）2009年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（2009•湖北）已知P={a|a=（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q={b|b=（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q=（）A．{（1，1）} B．{（﹣1，1）} C．{（1，0）} D．{（0，1）}考点：交集及其运算。
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2009年高考数学预测卷一(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分;在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的1、定义集合运算：A ⊙B=｛xy Z Z =|，x ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛1-，0，1｝，B={sin ,cos }αα，则集合A ⊙B 的所有元素之和为A 、1B 、0C 、1-D 、ααcos sin +2、如果复数i bi212+-(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部都互为相反数，那么b 等于 A 、2 B 、32 C 、32-D 、23、若数列｛an ｝满足a1=5,an+1=n n a a 212++2na (n ∈N+),则其｛an ｝的前10项和为A 、50B 、100C 、150D 、200 4、设f(x)=tan3x+tan3x，则f(x)为A 、周期函数，最小正周期为3πB 、周期函数，最小正周期为32πC 、周期函数，最小正周期为6πD 、非周期函数5.动点P （m,n ）到直线5:-=x l 的距离为λ22n m +，点P 的轨迹为双曲线（且原点O 为准线l 对应的焦点），则λ的取值为A 、λ∈RB 、λ=1C 、λ＞1D 、0＜λ＜16.已知函数f(x)= ⎩⎨⎧〉-≤--)0)(1()0(12x x f x x ,若方程f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是A 、]0,(-∞B 、]1,0[C 、)1,(-∞D 、),0[+∞7.四面体的一个顶点为A ，从其它顶点与棱的中点中任取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有 A 、30种 B 、33种 C 、36种 D 、39种8、如图，直三棱柱ABB1-DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，DC 上有一动点P ，则ΔAPC1周长的最小值为 A 、5+21 B 、5-21 C 、4+21 D 、4-219、已知函数f(x)=1+-x ，设n a =nn x x f 2)(-，若1-≤x1＜0＜x2＜x3，则A 、a2＜a3＜a4B 、a1＜a2＜a3C 、a1＜a3＜a2D 、a3＜a2＜a110、函数y=1-x x的图象为双曲线，则该双曲线的焦距为A 、42B 、22C 、4D 、8 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11、已知（x x31x -）n 的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27，则n 等于 ，系数最大的项是第 项。
12、若不等式1-loga)10(x a -＜0有解，则实数a 的范围是 . 13、∞→n lim｛n[(1+n 1)21-]｝= .14、三个好朋友同时考进同一所高中，该校高一有10个班，则至少有2人分在同一班的概率为 .15、若Rt ΔABC 中两直角边为a 、b,斜边c 上的高为h ，则222111b a h+=，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC ，PO 为棱锥的高，记M=21PO ,N=222111PC PB PA++,那么M 、N 的大小关系是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、（本题满分12分）已知函数f(x)= x xcos 3cos +2sin2x（1）求函数f(x)的最大值及此时x 的值； （2）求函数f(x)的单调递减区间。
17、（本题满分12分）四个纪念币A 、B 、C 、D ，投掷时正面向上的概率如下表所示（0＜a ＜1）这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出正面向上的个数。
（1）求概率p(ξ)（2）求在概率p(ξ)，p （ξ=2）为最大时，a 的取值范围。
（3）求ξ的数学期望。
18、（本题满分12分）如图①在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD=DC=PD=2，E ，F ，G 分别是线段PC 、PD ，BC 的中点，现将ΔPDC 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD （如图②） （1）求证AP ∥平面EFG ；（2）求二面角G-EF-D 的大小；（3）在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，试给出证明。
19、（本题满分12分） P （x,y ），M （92-x ，在平面直角坐标系中，已知A1（-3，0），A2（3，0），0），若实数λ使向量A 1，λOM ，A 2满足λ2²（OM）2=A 1²A 2。
（1）求点P 的轨迹方程，并判断P 点的轨迹是怎样的曲线；（2）当λ=33时，过点A1且斜率为1的直线与此时（1）中的曲线相交的另一点为B ，能否在直线x=-9上找一点C ，使ΔA1BC 为正三角形（请说明理由）。
20、（本题满分13分）已知f(x)=ln(1+x2)+ax(a ≤0)。
（1）讨论f(x)的单调性。
（2）证明：（1+421）（1+431）…（1+41n ）＜e （n ∈N*，n ≥2,其中无理数e=2.71828…）21、（本题满分14分）已知函数()x f 与函数()()01>-=a x a y 的图像关于直线x y =对称．（1）试用含a 的代数式表示函数()x f 的解析式，并指出它的定义域；（2）数列{}n a 中，11=a ，当2≥n 时，1a a n>．数列{}n b 中，21=b ，n n b b b S ++=21．点(),3,2,1,=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n S a P n n n 在函数()x f 的图像上，求a 的值；（3）在（2）的条件下，过点n P 作倾斜角为4π的直线n l ，则n l 在ｙ轴上的截距为()131+n b () ,3,2,1=n ，求数列{}n a 的通项公式．参考答案：一、选择题1、当χ=-1，1，y ∈B ，所得元素之和为0，放A ⊙B 所有元素之和为0 选B2、i bi 212+-5)4()22(i b b +--由题意知2-2b=4+b ∴b=-32选C3、由an+1=n n a a 221++2n a 得a 21+n -2anan+1+a 2n =0 ∴an+1= an即｛an ｝为常数列 S10=10a1=50 ∴选A4、作出f(x)的图象，当0≤x ＜6π时，f(x)=2tan3x,当6π＜x ≤3π时，f(x)=0，由图象知f(x)为周期函数，最小正周期为3π，故选A 。
5、D 由双曲线定义及点P （m,n ）到原点的距离为22n m +可得：e=2222n m n m ++λ=λ1＞1, ∴0＜λ＜1，故选D 。
（也可直接用解析法推导） 6、作出函数f(x)的图象，要使斜率为1的直线与y=f(x),有两个不同的交点，必须a ＜1，故选C 。
7、四面体有四个顶点，6条棱有6个中点，每个面上6个点共面。
点A 所在的每个面中含A 的4点组合有C 35个，点A 在三个面内，共有3C 35；点A 在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3个点与这条棱对棱的中点共面，∴符合条件的个数有3C 35+3=33个，选B 。
8、在直三棱柱ABB1=DCC1中，AC1=2112422=++ 将△DCC1展开与矩形ABCD 在同一平面内，AP+PC1最小，此时AP+PC1为53422=+，∴周长最小值为5+21，故选A 。
9、画出函数f(x)=-1+x 的图象，则an=nn x x f 2)(-表示曲线上动点（xn 、f(xn)）与定点（0，2）所在直线的斜率，显然a2＜a3＜0＜a1 故选A10、D 由于y=1-x x =11-x +1，所以，双曲线y=1-x x 与双曲线y=x 1的形状与大小完全相同，而等轴双曲线y=x 1的一条对称轴y=x 和它的交点为（2，2），（-2，-2），于是实半轴长为22，由对称性知虚半轴长为22，从而焦距为8。
二、填空题11、Tr+1=rnC (x x )n-r(-31x )r,由题意知：-1n C +2n C =27⇒n=9∴展开式共有10项，二项式系数最大的项为第五项或第六项，故项的系数最大的项为第五项。
12、当a ＞1时，不等式化为10-ax ＞a,要使不等式有解，必须10-a ＞0 ∴1＜a ＜10当0＜a ＜1时，不等式化为0＜10-ax ＜a ⇒10-a ＜ax ＜10不等式恒有解 故满足条件a 的范围是（0，1）∪（1，10）13、∞→n lim [n(21n +n 1)]=∞→n lim (n 1+2)=214、P=1-101010310⨯⨯A =25715、如图，连CO 交AB 于D 点，∵PC ⊥面APB ，PO ⊥底ABC∴AB ⊥面PDC ，即AB ⊥PD ，∵ΔCPD 为Rt Δ故由已知得： 21PO =21PD +21PC21PD =21PA +21PB ，故M=N三、解答题16、解：（1）∵cos3x=4cos3x-3cosx ，则x xcos 3cos =4cos2x-3=2cos2x-1∴f(x)=2cos2x-1+2sin2x=22sin(2x+4π)-1 ……………………4分在2x+4π=2k π+2π时，f(x)取得最大值22-1即在x=k π+8π(k ∈Z)时，f(x)取得最大值22-1 ……………………6分 （2）∵f(x)=22sin(2x+4π)-1要使f(x)递减，x 满足2k π+2π≤2x+4π≤2k π+23πB即k π+8π≤x ≤k π+85π(k ∈Z)又∵cosx ≠0，即x ≠k π+2π(k ∈Z) ……………………10分于是[k π+8π，k π+2π ，（k π+2π，k π+85π 均为减区间 …………12分17、解：（1）p(ξ个正面向上，4-ξ个背面向上的概率，其中ξ可能取值为0，1，2，3，4。
∴p(ξ=0)= 02C (1-21)202C (1-a)2=41(1-a)2p(ξ=1)= 12C 21(1-21)02C (1-a)2+02C (1-21)2·12C a(1-a)= 21(1-a) p(ξ=2)= 22C (21)202C (1-a)2+12C 21(1-21)12C a(1-a)+ 02C (1-21)2·22C a2=41(1+2a-2 a2) p(ξ=3)= 22C (21)212C a(1-a)+ 12C 21(1-21)22C a2=2ap(ξ=4)= 22C (21)222C a2=41a2 ……………………………………5分(2) ∵0＜a ＜1,∴p(ξ=1) ＜p(ξ=1),p(ξ=4) ＜p(ξ=3)则p(ξ=2)- p(ξ=1)= 41(1+2a-2 a2)- 21a -=－41422+-a a ≥0由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-+≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+-2222222222012014222a a a a a22222≤≤-a ，即a ∈[22,222-] ……………………9分（3）由（1）知ξ的数学期望为E ξ=0³41（1-a ）2+1×21(1-a)+2×41(1+2a-2a2)+3×2a +4×42a =2a+1………………12分18、解：（1）∵EF ∥CD ∥AB ，EG ∥PB ，根据面面平行的判定定理∴平面EFG ∥平面PAB ，又PA ⊂面PAB ，∴AP ∥平面EFG ……………………4分 （2）∵平面PDC ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC∴AD ⊥平面PCD ，而BC ∥AD ，∴BC ⊥面EFD过C 作CR ⊥EF 交EF 延长线于R 点连GR ，根据三垂线定理知∠GRC 即为二面角的平面角，∵GC=CR ，∴∠GRC=45°， …………………8分 故二面角G-EF-D 的大小为45°。