高一数学下学期半期调研检测试题
高一下学期数学调研测试试题
高一下学期数学调研测试试题一、选择题1.已知等差数列的公差为3，前5项和为35，则这个等差数列的首项为多少？ A. 5 B. 8 C. 10 D. 122.函数y = 2x + 1的图像方程是： A. y = 2x + 1 B. y = 1/(2x) C. x = 2y + 1D. x = 1/(2y)3.如果两个事件是互斥事件，那么它们的概率之和为： A. 0 B. 1 C. 2 D. 34.若连接由数学图形断开成两个以上部分的线段，则它被称为： A. 分段线段 B. 分离线段 C. 拆分线段 D. 断口线段5.下列选项中，哪个表示了完全多个关系？ A. {1, 3, 5} B. {2, 4, 6} C. {1, 2, 3, 4} D. {2, 5, 8, 11}二、填空题1.已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为5，则二次函数的系数a和b的和为\\\\。
2.凑集分解法可以用来化简逻辑表达式，当逻辑表达式很复杂时，凑集分解法可以大大减少逻辑运算的复杂度。
请利用凑集分解法化简逻辑表达式A∧(B∨C)∧(A∨D)∧(B∨D)的结果是\\\\。
3.解方程3x + 5 = 2 - 4x，得到x的值为\\\\。
三、解答题1.有一个三角形ABC，已知∠A = 40°，∠B = 60°，请计算∠C的大小。
解答：因为三角形的内角和为180°，所以∠A + ∠B + ∠C = 180°。
代入已知条件，得到40° + 60° + ∠C = 180°。
化简得到∠C = 180° - 40° - 60°。
∠C = 80°。
2.已知函数f(x) = 2x - 3，求函数f(x + 1)的表达式。
解答：将x + 1代入函数f(x)中，得到 f(x + 1) = 2(x + 1) - 3。
江西省部分学校2023-2024学年高一下学期统一调研测试(5月)数学试卷
江西省部分学校2023-2024学年高一下学期统一调研测试（5月）数学试卷一、单选题1．已知一组数据：61，61，62，62，62，64，65，70，74，78，则这组数据的中位数与众数之和为（ ） A ．122B ．123C ．124D ．1252．已知复数z 满足39i 12i z =+，则||z =（ ）A ．1BC D 3．若集合{2,4,8}A =，,x B x A y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭，则B 中所有元素的和为（ ）A ．274B ．314C ．394D ．4944．下列说法中正确的是（ ） A ．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥B ．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台C ．棱柱中至少有两个面完全相同D ．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台5．函数()sin()f x A x B ωϕ=++（0A >，0ω>，π||2ϕ<）的部分图象如下图，则下列选项中为()f x 的图象的对称中心的有（ ）A ．π,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知向量(1,2)a =-r ，(,1)b λ=r ，若cos ,a b 〈〉r r 则2a b -r r 在a r 上的投影向量为（ ）A ．9,92⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．9,92⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．918,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．918,55⎛⎫- ⎪⎝⎭7．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，4AB =，2CD =，AD =测画法画出的水平放置的梯形ABCD 的直观图为四边形A B C D ''''，则四边形A B C D ''''的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．设0a >，函数sin cos ,0,()22,,x a x x x a f x x a -+<<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()()g x f x =在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．47π55π,1212⎛⎤⎥⎝⎦ B ．47π55π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．47π17π,124⎛⎤⎥⎝⎦ D ．47π17π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．已知复数2log (24)(1)i z x x =-+-（其中x 是实数），则（ ） A ．z 可能为实数 B ．当52x =时，z 为纯虚数 C ．若3i()z a a =+∈R ，则2a =D ．若z 在复平面内对应的点位于第一象限，则52x > 10．下列各式一定正确的是（ ）A ．sin3sin52sin 4cos αααα-=B ．sin 2tan41cos2ααα=+C ．1cos 2cos 4(cos6cos 2)2αααα=+D ．22tan 2tan 41tan 2ααα=-11．如图，在ABC V 中，边AB 上的点D 满足23AD AB =，边AC 上的点E 满足31AE AC =，线段DE 上的点G 满足32DG GE =，点M 为线段AE 上任意一点（不包括端点），连接MG 并延长交直线AB 于点N ，若AN AB λ=u u u r u u u r，则实数λ的取值可以为（ ）A ．1-B ．23C ．35D ．1三、填空题12．已知()1,25m a =--r ，(2,6)b =r ，若//a b r r ，则m =.13．已知定义域为R 的函数()f x 具有下列性质：①最大值为2；②()f x y +=1ππ()()222f x f y f y fx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()f x =.（答案不唯一）14．在中国文化中，八边形常常被看作是四平八稳、镇宅保平安的象征.比如，八角楼、八角塔、八边花窗、八角门环和八边园林门径等，都有着这样的寓意.如图，在边长为的正八边形ABCDEFGH 中，BH =，若BEH △内的一点P 满足2π3EPH BPH BPE ∠=∠=∠=，则PE PH PB PH PB PE ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .四、解答题15．已知112i z =-，22i z =-，在复平面内，复数12z z +，12z z -，12z z ⋅对应的点分别为A ，B ，C .(1)求||BC u u u r ；(2)若()AB AB k AC ⊥+u u u r u u u r u u u r，求实数k 的值.16．春节过后，某大学四年级的5名大学生相约去人才市场应聘，其中小红、小东学的是建筑专业，小军、小英学的是通讯专业，小青学的是电气工程专业. (1)若从这5人中随机采访3人，求3人中至少有1人是通讯专业的概率；(2)若小红应聘成功的概率是12，小军应聘成功的概率是34，小青应聘成功的概率是23，这3名大学生的应聘结果相互独立，求这3人中至少有2人应聘成功的概率.17．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足π3A =，且22122b c AC AB +-=⋅u u u r u u u r .(1)求ABC V 外接圆的周长；(2)若点D 是边BC 上靠近点B 的三等分点，且AD =ABD △的面积. 18．已知向量(cos sin ,2sin )m x x x ωωω=+r ，(cos sin ,cos )(0)n x x x ωωωω=->r，函数()f x m n =⋅r r的最小正周期为π. (1)求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()h x .（i ）求函数()h x 图象的对称轴方程；（ii ）若1π0,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使()()12f x h x a ≥+，求实数a 的取值范围.19．已知向量()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，定义运算()1212,a b x x y y ⊗=rr ，同时定义[(,)]|2|x y x y =-.(1)若3(sin ,cos )(3,4),2x x ⎛⊗=- ⎝，求实数x 的取值集合；(2)已知4tan 3x =，求[(sin ,cos )x x ⊗；(3)已知定义域为R 的函数()h x 满足52h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，(5)h x +为偶函数，且50,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5()2h x x =-，是否存在实数x ，使[(2sin π1,7cos2π1)((),())]30x x h x h x ++⊗=？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由.。
浙江省金华市十校2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试题含答案
金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试高一数学试题卷（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|02A x x =<<，{}|13B x x =<<，则A B = （）A.{}|12x x << B.{}|03x x << C.{}|23<<x x D.{}3|1x x <<【答案】A 【解析】【分析】直接求交集即可.【详解】集合{}|02A x x =<<，{}|13B x x =<<，则{}|12A B x x ⋂=<<.故选：A.2.“π6θ=”是“1sin 2θ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由π6θ=，可得1sin 2θ=成立，即充分性成立；反正：若1sin 2θ=，可得π2π6k θ=+或5π2π,6k k Z θ=+∈，即必要性不成立，所以π6θ=是1sin 2θ=的充分不必要条件.故选：A.3.数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为（）A.3.5B.4C.4.5D.5【解析】【分析】根据中位数的求解方法可得【详解】这组数据是按从小到大的顺序排列的，且共有10个数据，又最中间两个数的平均数为454.52+=，该组数据的中位数为4.5故选：C 4.复数13i1iz -=+，则z =（）A.5B.C. D.32【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算化简得出复数，再结合复数的模长公式计算即可.【详解】因为()()()()2213i 1i 13i 1i 3i 3i 24i12i 1i 1i 1i 1i 2z -----+--=====--++--,所以z ==故选：B.5.已知,OA a OB b == ，点P 关于点A 的对称点为M ，点M 关于点B 的对称点为Q ，则PQ =uu u r（）A.a b+ B.22a b + C.b a - D.22b a- 【答案】D 【解析】【分析】根据向量加、减法的法则可得【详解】因为点P 关于点A 的对称点为M ，点M 关于点B 的对称点为Q ，所以22,22OP OM OA a OQ OM OB b +==+==，两式相减可得所以PQ =uu u r OQ OP -= 22b a - ，故选：D6.某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（）A.20πB.30πC.60πD.90π【答案】C【分析】根据已知条件首先求出圆锥的母线长，再利用公式求侧面积即可.【详解】如图所示，设球O 与圆锥底面相切于点N ，与母线BS 相切于点M ，根据已知得6,3BN OM ==，设母线长BS l =，则在直角△SBN 中SN ==因为SNB SMO △∽△，所以OS BSOM BN=即36336l =，化简得24600l l --=，解得10l =，或6l =-(舍去)，所以圆锥的侧面积为：ππ610=60πBN l ⋅⋅=⨯⨯.故选：C.7.若函数()()22e e 4e e 2xx x x f x b --=+-++（b 是常数）有且只有一个零点，则b 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】由已知条件可判断()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，由函数有且只有一个零点，()f x 过坐标原点即可求解.【详解】函数的定义域为R ，因为()()()22ee 4e e 2xx x x f x b f x ---=+-++=，所以函数()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，因为函数有且只有一个零点，所以函数()f x 过坐标原点，()024220f b =-⨯+=，解得3b =.故选：B .8.已知ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足222224a b c ++=，则ABC 面积的最大值为（）A.8B.4C.2D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由余弦定理以及三角形的面积公式可得2222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用两次基本不等式得到2162ABC S ≤ ，从而得解.【详解】因为222224a b c ++=，则222122b c a +=-，24a <，即2222322b c a a +-=-，由余弦定理可得232cos 22bc A a =-，又2sin 4ABC bc A S = ，所以2222234cos 22b c A a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭①，22224sin 16ABC b c A S = ②，①+②可得22222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，又()22222221422b c b ca ⎛⎫≤+=- ⎪⎝⎭，即2222231216222ABC a S a ⎛⎫⎛⎫-+≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()22222221316222222ABCSa a a a ⎛⎫⎛⎫≤---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222222a a ⎛⎫+-≤= ⎪⎝⎭，即2162ABC S ≤ ，即0ABC ABC S S ⎛+-≤ ⎝，解得04ABC S <≤=，当且仅当22222b c a a⎧=⎨=-⎩时，即21a =，2234b c ==时，等号成立，所以ABC 面积的最大值为24.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用余弦定理与三角形的面积公式得到2222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，从而结合基本不等式即可得解.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.对于事件A 和事件B ，()0.4P A =，()0.5P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.4=P ABB.若A 与B 互斥，则()0.9P A B ⋃=C.若A B ⊂，则()0.1P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.2P AB =【答案】BD 【解析】【分析】由互斥事件的定义，代入计算即可判断AB ，由A B ⊂，则AB A =，即可判断C ，由相互独立事件的定义，即可判断D【详解】因为()0.4P A =，()0.5P B =，若A 与B 互斥，则()0P AB =，()()()0.9P A B P A P B ⋃=+=，故A 错误，B 正确；若A B ⊂，则AB A =，所以()()0.4P AB P A ==，故C 错误；若A 与B 相互独立，则()()()0.40.50.2P AB P A P B ==⨯=，故D 正确；故选：BD10.已知,O A 与,B C 分别是异面直线a 与b 上的不同点，E ，F ，G ，H 分别是线段OA ，OB ，BC ，CA 上的点.以下命题正确的是（）A.直线OB 与直线AC 可以相交，不可以平行B.直线EH 与直线BC 可以异面，不可以平行C.直线EG 与直线FH 可以垂直，可以相交D.直线EF 与直线GH 可以异面，可以相交【答案】BCD 【解析】【分析】A 可假设直线OB 与直线AC 相交，推出矛盾；B 先根据特殊位置得到两直线异面，再假设两直线平行，推出矛盾；C 根据特殊位置可以得到两直线垂直和相交；D 由特殊位置得到两直线可能异面，可能相交，也可以平行.【详解】A 选项，若直线OB 与直线AC 相交，则,,,O B A C 四点共面，则直线a 与b 共面，与题目条件直线a 与b 异面矛盾，故直线OB 与直线AC 不可以相交，A 错误；B 选项，当,E H 分别和,O A 重合时，直线EH 与直线BC 异面，直线EH 与直线BC 不可以平行，假如直线EH 与直线BC 平行，EH ⊂平面OAH ，BC ⊄平面OAH ，故//BC 平面OAH ，但BC 与平面OAH 有交点C ，显然这是不可能的，假设不成立，B 正确；C 选项，当,E F 均与O 重合，此时直线EG 与直线FH 相交，当调整,E G 的位置，可能有EG ⊥OA ，且令,F H 分别与,O A 重合，此时满足直线EG 与直线FH 垂直，故直线EG 与直线FH 可以垂直，可以相交，C 正确；D 选项，当,E H 均与A 重合，或,GF 均与B 重合时，直线EF 与直线GH 相交，当OE OF OA OB =时，EF 与AB 平行，当CG CHCB CA=时，GH 与AB 平行，此时EF 与GH 平行，其他情况，直线EF 与直线GH 异面，故直线EF 与直线GH 可以异面，可以相交，D 正确.故选：BCD11.小明在研究物理中某种粒子点(),P x y 的运动轨迹，想找到y 与x 的函数关系，从而解决物理问题，但百思不得其解，经过继续深入研究，他发现y 和x 都与某个变量()t t ∈R 有关联，且有sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩.小明以此为依据去判断函数()y f x =的性质，得到了一些结论，有些正确的结论帮助小明顺利的解决了物理问题，同时也让小明深深感受到学好数学对物理学习帮助很大！我们来看看，小明的以下结论正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于原点对称B.函数()y f x =是以2π为周期的函数C.函数()y f x =的图象存在多条对称轴D.函数()y f x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】BCD 【解析】【分析】根据y 的取值情况判断A 选项，根据正弦余弦函数周期性判断B 选项，根据圆的特性判断C 选项，应用复合函数单调性判断D 选项.【详解】对于A ：由题意知1cos 0y t =-≥，故()f x 不可能关于原点对称，A 选项错误；对于B:sin ,cos y x y x ==周期为2π，则()y f x =是以2π为周期的函数，B 选项正确；对于C ：当π,Z t k k =∈时，πsin ππ,Z x k k k k =-=∈,此时1cos y t =-有多条对称轴，C 选项正确；对于D:sin ,x t t =-设()()()sin ,1cos 0,h t t t h t t h t =-=-≥'单调递增，()11cos ,0,2g t t t ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭单调递增，根据复合函数的单调性可得()y f x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，D 选项正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：根据对称中心及对称轴定义判对称性即可.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()22log 1,22,2x x f x x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，则()()1ff =_____________.【答案】2【解析】【分析】根据定义域代入相应的解析式可得答案.【详解】因为()()22log 1,22,2x x f x x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，所以()211213f =+⨯=，()()()()2213log 31log42f f f ==+==.故答案为：2.13.甲船在B 岛的正南方向A 处，10AB =千米，甲船向正北方向航行，同时乙船自B 岛出发向北偏东60 的方向航行，两船航行速度相同，则甲、乙两船的最近距离为_____________千米.【答案】【解析】【分析】根据已知条件用余弦定理将甲、乙两船的距离表示出来，再求最小值即可求解.【详解】如图所示，设甲船航行到点C ，同时乙船航行到点D ，由已知得10AB =，120ABD ∠=︒，设BD AC x ==，则10BC x =-，在△BCD 中，由余弦定理得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅⋅︒，代入得222221(10)2(10)(10100(5)752CD x x x x x x x =-+---=-+=-+，所以当5x =时，CD =千米.故答案为：.14.在ABC 中，3AB =，6AC =，60BAC ∠= ，D 在边BC 上，延长AD 到E ，使15AE =.若32EA tEB t EC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则BD =_____________.【答案】4【解析】【分析】建系标点，设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据向量的坐标运算解得3cos 5θ=，进而可得4tan 3θ=，结合图形即可得结果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()()(0,0,3,0,3,33A B C ，可知AB BC ⊥，设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()()()15cos ,15sin ,315cos ,15sin ,315cos ,3315sin EA EB EC θθθθθθ=--=--=--，因为32EA tEB t EC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()3315cos 315cos 15cos 2t t θθθ⎛⎫-+--=-⎪⎝⎭，解得3cos 5θ=，且π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4sin 5θ==，sin 4tan cos 3θθθ==，所以tan 4BD AB θ=⋅=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：建系，根据15AE =可设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，进而结合题意运算.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知21,e e 是夹角为60的两个单位向量，()12122,2a e e b e e λλ=-=-∈R .（1）若,a b可以作为一组基底，求实数λ的取值范围；（2）若,a b垂直，求实数λ的值；（3）求b的最小值.【答案】（1）()(),44,-∞⋃+∞（2）0λ=（3【解析】【分析】（1）根据向量不平行，21,e e 的系数比值不相等可解；（2）根据0a b ⋅=，结合数量积运算性质即可得解；（3）将向量模转化为数量积，根据二次函数性质可得.【小问1详解】因为,a b 可以作为一组基底，所以,a b不平行，又21,e e 不共线，所以212λ≠--，即4λ≠，所以，实数λ的取值范围为()(),44,∞∞-⋃+.【小问2详解】因为,a b 垂直，所以()()1212220a b e e e e λ⋅=-⋅-=，即()2211222420e e e e λλ-+⋅+= ，又22121211,11cos 602e e e e ==⋅=⨯⨯︒= ，所以()124202λλ-++=，解得0λ=.【小问3详解】因为()()22222221211222442413be e e e e e λλλλλλ=-=-⋅+=-+=-+ ，所以，当1λ=时，2b 取得最小值3，所以b.16.已知函数()cos f x x x =+.（1）求函数()f x 的值域和其图象的对称中心；（2）在ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足()f A =2a =，b =，求ABC 的面积S 的值.【答案】（1）值域为[]22-,，ππ,06k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，.（2【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，根据正弦函数性质可得值域，利用整体代入法求解可得对称中心；（2）根据()f A =A ，利用余弦定理求出c ，然后由面积公式可得.【小问1详解】()πcos 2sin6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以值域为[]22-,，令ππ6x k k +=∈Z ，，得ππ,6x k k =-+∈Z ，所以()f x 的对称中心坐标为ππ,06k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，.【小问2详解】由()π2sin 6f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0πA << ，ππ7π666A ∴<+<，所以ππ63A +=或2π3，即π6A =或π2A =，2a b =<=，π6A ∴=，由余弦定理得2π4122cos 6c =+-⨯，即2680c c -+=，解得2c =或4.当2c =时，11222S =⨯⨯=；当4c =时，11422S =⨯⨯=故所求ABC 的面积S 17.在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按4:4:2的比例分别被评为优秀、良好、合格.（1）求a 的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.【答案】（1）0.07a =，20.32小时（2）21.73小时（3）25【解析】【分析】（1）利用频率之和为1得到方程，求出a ，利用平均数的定义进行计算；（2）即求60百分位数，先得到60百分位数位于18~22之间，设出60百分位数为y ，从而得到方程，求出答案；（3）按照分层抽样的概念得到优秀，良好，及格的人数，并列举出求解相应的概率.【小问1详解】由()0.020.060.0750.02541a ++++⨯=，解得0.07a =，因为()0.02120.06160.075200.07240.02528420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=小时，所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时.【小问2详解】时间从长到短按4:4:2的比例分别被评为优秀、良好、合格，由题意知，即求60百分位数，又()0.020.0640.32+⨯=，()0.020.060.07540.62++⨯=，所以60百分位数位于18~22之间，设60百分位数为y ，则180.60.3222180.3y --=-，解得561821.7315y =+≈小时.故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀.【小问3详解】易知，5名学生中，优秀有452442⨯=++人，设为,A B ，良好有452442⨯=++人，设为,C D ，合格有251442⨯=++人，设为E .任选3人，总共有()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,A B C A B D A B E A C D A C E A D E ()()()(),,,,,,,,,,,B C D B C E B D E C D E ，10种情况，其中符合的有()()()(),,,,,,,,,,,A C E A D E B C E B D E ，共4种，故概率为42105p ==.18.在四棱台1111ABCD A B C D -中，BC AD ∥，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，2AD =，CD =，1111AB BC AA A D ====，1120A AB ∠= .（1）求证：1//A B 平面11CDD C ；（2）求直线1AA 与直线CD 所成角的余弦值；（3）若Q 是1DD 的中点，求平面QAC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）24（3）75555.【解析】【分析】（1）根据平行直线的传递性可得11A B CD ∥，然后根据线面平行的判定可得（2）方法一，取AD 中点E ，连1D E ，CE ，1BD ，则11AA D E ，BE CD ，所以1BED ∠就是直线1AA 与CD 所成的角，然后在直角三角形中求出余弦即可，方法二，如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x轴，AD 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，利用公式1cos cos AA CD θ=，求出即可（3）利用二面角的定义找出QMH ∠就是二面角Q AC D --的平面角，求出平面QAC 的法向量()m x y z = ，，和平面ABCD 的法向量()001n = ，，，利用cos cos ,n m θ= 求解即可.【小问1详解】连接1CD ，111BC A D == ，11BC AD A D ∥∥，11A BCD ∴是平行四边形，11AB CD ∴∥.又1⊄A B 面11CDD C ，1CD ⊂面11CDD C ，故1//A B 平面11CDD C 【小问2详解】法一：取AD 中点E ，连1D E ，CE ，1BD ，则11AA D E ，BE CD ，所以1BED ∠就是直线1AA 与CD 所成的角.在梯形ABCD 中，由已知可得AB AD ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB 是交线，AD ∴⊥平面11ABB A ，BC ∴⊥平面1CED ，1BC CD ∴⊥，12BD ∴=，1cos 4BED ∠∴==-，所以，直线1AA 与直线CD所成角的余弦值为4.法二：在梯形ABCD 中，由已知可得AB AD ⊥，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB 是交线，AD ∴⊥面11ABB A ，如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.则()000A ，，，()100B ，，，()110C ，，，()020D ，，，11022AA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，()110CD =-，，1cos cos 4AA CD θ∴==，.【小问3详解】法一：过1D 作CE 延长线的垂线于O ，连接OD ，取OD 中点H ，连接QH ，过H 作HM AC ⊥，连接QM .易证QH ⊥面ABCD ，则QMH ∠就是二面角Q AC D --的平面角.11324QH OD ==，728MH =，所以1108MQ =，故cos 55MH QMH MQ ∠==.法二：()11010A D BC == ，，，11122D ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，，，13424Q ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，，设()m x y z = ，，是平面QAC的法向量，则0130424x y x y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，，令x =，得)m =-，又()001n =，，是平面ABCD 的法向量，所以cos cos ,55n m θ===.19.假设()G x 是定义在一个区间I 上的连续函数，且(){|}G x x I I ∈⊂.对0x I ∀∈，记()()1100x G x G x ==，()()()()22100x G x G G x G x ===，…，()()()100n n n x G G x G x -== .若某一个函数()G x 满足()()()21000n n n Gx pG x qG x ++=+，则有n n n x s t αβ=+（其中α，β为关于x 的方程2x px q =+的两个根，s ，t 是可以由0x ，1x 来确定的常数）.（1）若02x =，13x =且满足()()()212222n n n G G G ++=-+.（ⅰ）求2x ，3x 的值；（ⅱ）求n x 的表达式；（2）若函数()G x 的定义域为A ，值域为B ，且()0,A B ∞==+，且函数()G x 满足()()()216n n n G x G x G x ++=-+，求()G x 的解析式.【答案】（1）（ⅰ）21x =，35x =；（ⅱ）()71233n n x =-⋅-（2）()2G x x =【解析】【分析】（1）（ⅰ）由题意知212n n n x x x ++=-+，利用递推关系即可求解；（ⅱ）由题意知n nn x s t αβ=⋅+⋅，又α，β为22x x =-+的两个根可得()2nn x s t =+-，从而可得()01223x s t x s t =+=⎧⎨=+⨯-=⎩，求解即可；（2）由题意得()32nnn x s t =⋅-+⋅，又由值域为()0,B ∞=+可得0s =，从而可得0x t =，再由()10022x G x t x ===即可求解.【小问1详解】（ⅰ）由题意知212n n n x x x ++=-+，又02x =，13x =，所以2102341x x x =-+=-+=，32121235x x x =-+=-+⨯=.（ⅱ）由题意知，nnn x s t αβ=⋅+⋅，又α，β为22x x =-+的两个根1，2-，()2n n x s t ∴=+-.又()01223x s t x s t =+=⎧⎨=+⨯-=⎩，所以7313s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，()71233n n x ∴=-⋅-.【小问2详解】由题意知，α，β为关于x 的方程26x x =-+的两个根，所以3,2αβ=-=，则()32nnn x s t =⋅-+⋅，因为值域为()0,B ∞=+，易知0s =；2n n x t ∴=⋅，则002x t t =⋅=，()10022x G x t x ∴===，()2G x x ∴=.。
江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期期中调研数学试题
然很成功地创造了一座优雅的楼梯，达 到贝氏一贯的空间焦点效果，在螺旋梯 的中央有一个圆座，许多人不明究里， 甚至误认为是一个没有人的询问服务台， 事实上那是服务残障人士的动力电梯， 当使用时，电梯厢才会浮现，上下变动 的电梯厢就像一件“现代化的雕塑”， 时隐时现，上上下下，更增添了大厅的 空间的趣味。
美 丽 的 夜 景
呈正方形，面积达268，920平 方英尺的拿破仑厅，四个直角 正对着各方位的通道口，地面 上的三个小金字塔为通往三个 不同美术馆的“光明的指引”。 在大厅的周边，有一个可容百 人的餐厅，二个简易自助餐厅， 宽敞的书店与商店是另外一个 特色，从国家艺廊东厢所获得 的经验，使得贝氏格外地注重 “粮食空间”——肉体的与心 灵的，总是以较大的面积来容 纳此机能需求，波士顿美术馆 西厢扩建是另一明证，
队。
< 贝聿铭谈贝聿铭>，分析 建筑杰作之外，不忘畅叙音 乐与艺术修养、园林与中国 情怀，更重要的是无时无刻 不在的人文关怀：“建筑的 目的是提升生活，而不仅仅 是空间中被欣赏的物体而已 ，如果将建筑简化到如此就 太肤浅了。建筑必须融入人 类活动，并提升这种活动的 品质，这是我对建筑的看法 。我期望人们能从这个角度 来认识我的作品。”
调查显示，在卢浮宫最受欢 迎的作品中，玻璃金字塔名 列第三，排在油画《蒙娜丽 莎》和雕像《米诺的维纳斯 》之后，超过馆中跨越9000 年文明、包括鲁本斯的 52 幅作品和伦布兰特的12幅作 品在内的30万件艺术杰作。 三分之一的游客坚持从金字 塔进入卢浮宫，冷落另外两 个不及金字塔拥挤的入口。 为了进入玻璃金字塔，游客 在卢浮宫院子里排起长长的
拿破仑厅有两层，人们通常都是先抵达 大厅，其中不锈钢的螺旋形楼梯，令人 不禁想到贝氏所有美术馆中具雕塑性格 的楼梯，不过这次他没有再用混凝土， 而是选用更“科技性”的建材。看似十 分单纯的不锈钢楼梯，其实大不简单， 没有支柱，全以楼梯本身的螺旋形特性 来支撑，而且楼梯高度达29英尺，高度 的考验相当惊人。同时为了美观，不锈 钢板的厚度即不能过厚，
高一数学下期半期考试题(附答案)
高一下期半期考试数学试卷时量：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（满分100分）一、选择题：本大题共11个小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P 1，P 2，P 3，则A ．P 1＝P 2＜P 3B ．P 2＝P 3＜P 1C ．P 1＝P 3＜P 2D ．P 1＝P 2＝P 3 2．（1）某学校为了了解2017年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科200名考生，理科800名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．（2）从10名家长中抽取3名参加座谈会．Ⅰ简单随机抽样法．Ⅱ系统抽样法．Ⅲ分层抽样法．问题与方法配对合理的是A ．（1）Ⅲ，（2）ⅠB ．（1）Ⅰ，（2）ⅡC ．（1）Ⅱ，（2）ⅠD ．（1）Ⅲ，（2）Ⅱ3．若样本1231,1,1,,1n x x x x +++⋅⋅⋅+的平均数是10，方差为2，则对于样本1232,2,2,,2n x x x x +++⋅⋅⋅+， 下列结论正确的是A ．平均数为10，方差为2B ．平均数为11，方差为3C ．平均数为11，方差为2D ．平均数为12，方差为4 4．从随机编号为0001，0002，…，1500的1500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本进行质量检测，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是A ．1468B ．1478C ．1488D ．1498 5．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天每人的课外阅读时间的中位数为A ．0.5小时B ．0.9小时C ．1.0小时D ．0.75小时6．为了了解高一年级学生的体锻情况，学校随机抽查了该年级20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间(分钟)，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0,5)，[5,10)，…[35,40)，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是7．已知变量,x y 之间的线性回归方程为ˆ0.710.3y x =-+，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是x 6 81012y6 m 3 2 A ．变量,x y8．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12 D ．4π9．某校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和杨老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和杨老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或杨老师所发活动通知信息的概率为A ．25B ．1225C ．1625D ．4510．执行如图所示的程序框图，若输出的88S =，则判断框内应填入的条件是A ．7k >B ．6k >C ．5k >D ．4k > 11．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 震 001 1 坎 010 2 兑011 3A ．18B ．17C ．16D ．15 二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．将13化成二进制数为________．13．用秦九韶算法求3()33f x x x =+-当3x =时的值时，2v =________．14．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________（结果用最简分数表示）．三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分8分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分．16．（本小题满分10分）袋内装有6个球，这些球依次被编号为1，2，3，…，6，设编号为n 的球重2612n n -+（单位：克），这些球等可能地从袋里取出（不受重量、编号的影响）． （1）从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率； （2）如果不放回的任意取出2个球，求它们重量相等的概率．17．（本小题满分12分）已知关于x 的一元二次方程222(2)160x a x b ---+=． （1）若a 、b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； （2）若[2,4]a ∈，[0,6]b ∈，求方程没有实根的概率．第Ⅱ卷（满分50分）18．（本小题满分6分）定义在R 上的奇函数()f x 满足条件(1)(1)f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若函数()()xg x f x ae -==在区间[2018,2018]-上有4032个零点，则实数a 的取值范围是A ．(0,1)B ．3(,)e eC ．2(,)e eD ．3(1,)e19．（本小题满分6分）已知方程210tan sin x x θθ+-=有两个不等实根a 和b ，那么过点2(,)A a a ，2(,)B b b 的直线与圆221x y +=的位置关系是________．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，//AD BC ，22AD BC ==，2PC =，∆ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 是PD 的中点． （1）求证：平面EAC ⊥平面PCD ；（2）求直线P A 与平面EAC 所成角的正弦值．21．（本小题满分13分）已知0a >，函数()2sin 226f x a x a b π⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5()1f x -≤≤．（1）求常数,a b 的值；（2）设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lg ()0g x >，求()g x 的单调区间．22．（本小题满分13分）已知a R ∈，函数21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．。
高中_高一数学下学期调研考试试题
高一数学下学期调研考试试题命题人：王建群2009-3-4一、填空题〔本大题共12题每题7分共84分〕1、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n 152-=，那么使n S 取最小值的n=______。
2、等差数列}{n a 中，1144=+a a ，那么此数列的前17项的和=___________。
3、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n 352+=，那么通项=n a ______________。
4、△ABC 中060=A ，3=a ，那么sin sin sin a b cA B C++++=______________。
5、△ABC 中，13,34,7===c b a ，那么最小内角的大小是____________。
6、△ABC 中，A sin ∶B sin ∶C sin ＝2∶3∶4，那么C cos =____________。
7、△ABC 中;;;AB a BC b CA c ===假设a b b c c a ⋅=⋅=⋅那么△ABC 为_______三角形。
8、一等差数列}{n a 的前12项的和为354，前12项中，奇数项和与偶数项和之比为 32∶27，那么公差d=__________。
9、等差数列}{n a 中，1008=S ，39216=S ，那么=4S ____________。
10、一个物体从490m 的高空落下，如果该物体第1秒降落，以后每秒比前1秒多降落，经过_____________秒物体才能落到地面。
11、△ABC 中，B b A a cos cos =那么△ABC 是________________________。
〔判断形状〕12、△ABC 中，以下判断不正确的选项是．．．．．．．________________。
〔1〕,30,14,70=∠==A b a 有1解； 〔2〕,150,25,300=∠==A b a 有1解； 〔3〕,45,9,60=∠==A b a 有2解； 〔4〕,60,10,90=∠==B c b 无解。
广东省深圳市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题(解析版)
2024 年深圳市普通高中高一年级调研考试数学2024. 7本试卷共 4 页， 19 小题， 淌分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项:1.答题前， 考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角 “条形码粘贴处”.2.作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案值息点涂黑: 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案， 答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上: 如需改动， 先划掉原来的答案， 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后， 将试卷和答题卡一并交回.一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}11,3,0,1,3A B =−=,，则 A B ∪=（ ）A.{}1,3B.{}1,1,3− C.{}0,1,3 D.{}1,0,1,3−【答案】D 【解析】【分析】根据并集含义即可得到答案. 【详解】根据并集含义知{}1,0,1,3A B =− ，故选：D.2.函数 ()ln 2f x x x =+− 的零点所在的区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4【答案】B 【解析】的【分析】根据零点的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可．【详解】函数()ln 2f x x x =+−的定义域为()0,+∞， 函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()1ln11210f =+−=−< ，()2ln 222ln 20f =+−=>， 根据零点的存在性定理可知函数零点所在区间为()1,2． 故选：B .3. 已知幂函数()f x x α=，则“0α>”是“()f x 在()0,∞+上单调递增”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数单调性和充要条件的判定即可得到答案.【详解】当“ 0α> ”时，根据幂函数性质知()f x x α=在()0,∞+上单调递增，则充分性成立；反之，若“()f x x α=在()0,∞+上单调递增”则“0α>”，必要性也成立，故“0α>”是“()f x 在()0,∞+上单调递增”的充分必要条件， 故选：C .4. 已知向量 ()()20,12ab =，，，若 ()a b a λ+⊥，则 λ=（ ） A. 1− B. 12−C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据向量坐标化运算和向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】()()()201221,2a bλλλ+=+=+，，,因为()a b a λ+⊥ ，则()0a b a λ+⋅=，即()2210λ+=，于是 12λ=−. 故选：B.5. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若//,m n αα⊂，则//m nB. 若//,//m ααβ ，则//m βC. 若,m m n α⊥⊥，则//?n αD. 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】在正方体中，通过取平面和直线，即可判断出选项A ，B ，C 的正误；对于选项D ，根据条件，利用线面平行的性质及面面垂直的判定定理，即可判断出选项D 的正误.【详解】对于选项A ，如图，在正方体中，取面ABCD 为平面α，直线11A B 为直线m ， 直线BC 为直线n ，显然有//,m n αα⊂，但m 不平行n ，所以选项A 错误， 对于选项B ，如图，在正方体中，取面ABCD 为平面α，直线11A B 为直线m ， 面1111D C B A 为平面β，有//,//m ααβ，但m β⊂，所以选项B 错误， 对于选项C ，取面ABCD 为平面α，直线1A A 为直线m ，直线BC 为直线n ， 因为n ⊂α，显然有,m m n α⊥⊥，但n ⊂α，所以选项C 错误，对于选项D ，因为//m β，在β内任取一点P ，过直线m 与点P 确定平面γ， 则l βγ= ，由线面平行的性质知//m l ，又m α⊥，所以l α⊥，又l β⊂， 所以αβ⊥，所以选项D 正确，故选：D.6. 已知 ABC 中， 22AE AB BM MC == ，，若 AF xAC =，且 E M F ，， 三点共线， 则 x =（ ） A.23B.34C.45D.56【答案】C 【解析】【分析】先应用平面向量基本定理，再根据三点共线的性质列式求参即可.【详解】因为2,BM MC =所以1233AM AB AC =+ ， 2,AE AB AF x AC == ,因为,,E M F 三点共线，所以,1AM AE AF λµλµ=++=,12233AB AC AB x AC λµ+=+, 所以112,,36λλ== 524,,635x µµµ===. 故选：C.7. 已知正实数 ,a b 满足 4a b ab +=，则 a b + 的最小值为（ ） A. 4 B. 9C. 10D. 20【答案】B 【解析】【分析】方程4a b ab +=两边同时除以ab 得141b a+=，利用“1代换”即可求解. 【详解】,a b 为正实数，方程4a b ab +=两边同时除以ab 得141b a+=， ()1444159a b b a bb a a b a ∴++++++ ≥ + =，当且仅当14b a =即82a b == 时等号成立， 故a b + 的最小值为9. 故选：B .8. 已知函数()()()(sin ,π,2,f x x x a f b f c f =−===−，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b c a >>D. b a c >>【答案】 A的【解析】【分析】得出函数奇偶性后，利用正弦函数的单调性可得()f x 的单调性，即可得解.【详解】由R x ∈，()()()sin sin f x x x x x f x −=−−−=−+=−，故()f x 为奇函数，则(c f f =−=，π2π2<<<， 函数sin y x =在π,π2 上单调递减，故()sin f x x x =−在π,π2上单调递增，则()()2πff f <<，即a b c >>.故选：A.二、选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分.9. 若复数z 满足i 1i z =−，下列说法正确的是（） A. z 的虚部为i − B. 1i z =−+C.z =D. 2z z z ⋅=【答案】BC 【解析】. 【详解】()2i 1i 1i 1i i iz −−−===−−−，则其虚部为1−，故A 错误；||z =1i z =−+，故BC 正确；()()1i 1i 2z z ⋅=−−−+=，而()221i 2i z =−−=，则两者不等，故D 错误.故选：BC.10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 A = “第一次的点数不大于3 ”， B =“第二次的点数不小于4 ”， C = “两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是（ ）A. 事件A 发生的概率 ()12P A = B. 事件A 与事件B 相互独立 C. 事件 C 发生的概率 ()13P C =D. 事件AB 与事件C 对立【答案】ABC 【解析】【分析】列举所有的基本事件，由古典概型公式即可求解选项A ，C ，由相互独立事件的定义即可求解选项B ，由对立事件的定义分析选项D.【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，则有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)， (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)， (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)， (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共36不同结果，即()36n Ω=，对于A ，事件A 包含的样本点有18种，故()181()()362n A P An ===Ω，故A 正确； 对于B ，事件B 包含的样本点有18种，故()181()()362n B P Bn ===Ω， 事件AB 包含的样本点有9种，故()91()()364n AB P ABn ===Ω， 因为()()()P A P B P AB =，所以事件,A B 相互独立，故B 正确；对于C ，事件C 包含的样本点有12种，故()121()()363n C P Cn ===Ω，故C 正确； 对于D ，事件C 与事件AB 有重复的样本点(1,5),(2,4),(3,6)， 故事件AB 与事件C 不对立，故D 错误. 故选：ABC.11. 已知正方体 1111ABCD A B C D − 的棱长为2E ，是正方形11ABB A 的中心， F 是棱 CD (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（ ）A. EFB. 不存在点F ，使EF 与 11A D 所成角等于30C. 二面角E AF B −−正切值的取值范围为1D. 当F 为CD 中点时，三棱锥F ABE −的外接球表面积为25π4【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，直接找出最近距离为F 为CD 中点，计算即可；对于B ，找出最大，最小的临界状态值即可解决；对于C ，找出二面角的平面角，再用锐角三角函数即可；对于D ，设出球心和半径，结合图形，构造方程，求出半径即可．【详解】对于A ， EF 最小值时，F 为CD 中点.作个草图，取AB 中点M ，连接FM ．此时EF A 正确．设EF 与11A D 所成的角为θ，当F 与C 重合时，()maxtan BE BC θ==， 当F CD 中点时，()min1tan 2EM FM θ==．则存在点 F，使tan θ=. 即存在点F ，使EF 与 11A D 所成角等于 30 .故B 错误．如图，过AB 中点M 作MH AF ⊥于H ，则EHM ∠为二面角E AF B −−的平面角，因此1tan EM EHM HM HM∠==∈ ，故C 正确．在设三棱锥F ABE −的外接球的球心为O ，显然FM ⊥平面ABE ，ABE 为等腰直角三角形，外心为M ， 则O 可以由M 沿着MF 方向移动即可,O 一定在MF 上．F 为CD 中点时，半径OFOA R ==，于是2OM R =−． 在OMA 中有()22221R R −+=，解得54R =， 于是球O 表面积为2254ππ4S R =.故D 正确． 故选：ACD.【点睛】知识点点睛：本题考查了正方体性质，点线面的位置关系辨别，空间两点间的距离最值，异面直线夹角，二面角的问题，三棱锥的外接球问题．同时考查空间想象、逻辑推理、数形结合、转化计算能力.综合性较强，属于难题.三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.12. 已知 1sin ,3α=则cos 2πα+=___________【答案】13−【解析】【分析】由诱导公式求解即可. 【详解】由诱导公式可得：1cos sin 23παα+=−=−， 故答案为：13−.13. 若 1,22x ∀∈，不等式 210x ax −+≤恒成立，则a 的取值范围为______________.【答案】5[,)2+∞ 【解析】【分析】分离参数得1a x x ≥+，令1()f x x x =+，求出函数在1,22上的最大值即可求解. 【详解】1,22x ∀∈，不等式 210x ax −+≤恒成立，则21x ax +≤，即1,22x∀∈，1a x x ≥+恒成立，令1()f x x x =+，由图知()f x 在1,12上单调递减，在[]1,2上单调递增， 又115()(2)2222f f ==+=，故max 5()2f x =，则52a ≥. 故答案为： 5[,)2+∞.14. 已知圆O 为ABC的外接圆，π,3A BC==，则()AO AB AC ⋅+的最大值为______________.【答案】3 【解析】【分析】先利用正弦定理求出外接圆半径，取BC 的中点D ，连接OD ，则12OD =，变形得到()22AO AB AC AO OD ⋅+=⋅+ ，当,,A O D 三点共线时，AO OD ⋅取得最大值，求出答案.【详解】设圆O 的半径为R，则22sin BC RA ==，解得1R =，因为π,3A BC ==2π3BOC ∠=，取BC 的中点D ，连接OD ，则3BOD COD π∠=∠=， 故12OD =， ()()()2AO AB AC AO OB OA OC OA AO OB OC OA ⋅+=⋅−+−=⋅+−()2222AO OB OC OA AO OD =⋅++=⋅+，当,,A O D 三点共线时，AO OD ⋅ 取得最大值，最大值为11122×=，故()22AO AB AC AO OD ⋅+=⋅+的最大值为123+=.故答案为：3四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin cos 0c A C =. （1）求C ;（2）若4a ABC = ，，求b 和c . 【答案】（1）2π3（2）1b =，c =【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边换角得到tan C =，则2π3C =； （2）根据三角形面积公式即可得b 值，再利用余弦定理即可得到c 值.【小问1详解】由正弦定理：sin sin sin a b cA B C==，那么sin sin cos 0C A A C =，由于sin 0A >，则sin 0C C +=，则tan C =(0,π)C ∈，故2π3C =. 【小问2详解】由于11sin 422ABC S ab C b ==×= ，则1b =，根据余弦定理：2222212cos 41241212c a b ab C=+−=+−×××−=，那么c =.16. 已知函数()()πsin 02f x x ωϕωϕ=+><，，函数()f x 的最小正周期为π，且π06f=（1）求函数()f x 的解析式:（2）求使()210f x −≥成立的x 的取值范围.【答案】（1）()πsin 23f x x=−（2）π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈【解析】【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性与零点计算即可得；（2）借助正弦函数图象性质计算即可得.【小问1详解】 由2ππT ω==，0ω>，则2=ω， 又π06f= ，即π2π,Z 6k k ϕ×+=∈，即ππ,Z 3k k ϕ=−+∈， 又π2ϕ<，则π3ϕ=−，即()πsin 23f x x=− ；【小问2详解】若()210f x −≥，即π1sin 232x −≥ ， 即有ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤−≤+∈， 即π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈，故x 的取值范围为π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈.17. 如图， AB 是 O 直径， 2AB =，点 C 是 O 上的动点，PA ⊥ 平面 ABC ，过点 A 作AE PC ⊥，过点 E 作 EF PB ⊥，连接 AF .的（1）求证：BC AE ⊥ ；（2）求证：平面 AEF ⊥ 平面 PAB ；（3）当 C 为弧 AB 的中点时，直线 PA 与平面 PBC 所成角为 45 ，求四棱锥 A EFBC − 的体积.【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析；（3【解析】【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直即可；（2）由线线垂直到线面垂直，再证明面面垂直；（3）图中有线面垂直，可以利用两个三棱锥的差，来计算所求的四棱锥的体积即可.【小问1详解】由于AB 为圆O 的直径，所以BC AC ⊥，因PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，又因为,PA AC A ∩=PA AC ⊂，平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，又因为AE ⊂平面PAC ，所以BC AE ⊥;【小问2详解】 由（1）得，BC AE ⊥，PC AE ⊥，且,PC BC C ∩=PC BC ⊂，平面PBC ， 所以⊥AE 平面PBC ，又由于PB ⊂平面PBC ，那么AE PB ⊥，又因为EF PB ⊥，AE EF E ∩=，AE EF ⊂，平面AEF ，所以PB ⊥平面AEF ，又由于PB ⊂平面PAB ，那么平面PAB ⊥平面AEF ；【小问3详解】由（2）可知：⊥AE 平面PBC ，而直线PA 与平面PBC 所成角为45°，那么45APE °∠=，且90CAP AEP °∠=∠=，所以45PCA PAE CAE °∠=∠=∠=且AC BC ==那么1,PA AC AE PE EC PB ======在PAB 中，1122AF PB PA AB ⋅⋅=⋅⋅，得AF = 为所以PF EF ====那么1111332P AEF A PEF PEF V V AE S −−==⋅⋅=××= ，1132P ABC V −=，则A EFBC V −==18. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.（1）由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第60百分位数:（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在[)70,90内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[)70,80和[)80,90的概率:（3）现已知直方图中考核得分在[)70,80内的平均数为75，方差为6.25，在[)80,90内的平均数为85，方差为0.5，求得分在[)70,90内的平均数和方差.【答案】（1）0.030t =，85（2）35（3）得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8.【解析】【分析】（1）首先根据频率和为1求出0.03t =，再根据百分数公式即可得到答案；（2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可；（3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可.【小问1详解】由题意得:10(0.010.0150.0200.025)1t ×++++=，解得0.03t =， 设第60百分位数为x ，则0.01100.015100.02100.03(80)0.6x ×+×+×+×−=， 解得85x =，第60百分位数为85.【小问2详解】由题意知，抽出的5位同学中，得分在[70,80)的有85220×=人，设为A 、B ，在[80,90)的有125320×=人，设为a 、b 、c . 则样本空间为{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)},()10A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c n ΩΩ=. 设事件M =“两人分别来自[70,80)和[80,90)，则{(,),(,),(,),(,),(,),(,)},()6M A a A b A c B a B b B c n M =， 因此()63()()105n M P M n ===Ω， 所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率为35. 【小问3详解】由题意知，落在区间[70,80)内的数据有40100.028××=个，落在区间[80,90)内的数据有40100.0312××=个.记在区间[70,80)的数据分别为128,,,x x x ，平均分为x ，方差为2x s ；在区间[80,90)的数据分别为为1212,,,y y y ，平均分为y ，方差为2y s ；这20个数据的平均数为z ，方差为2s . 由题意，2275,85, 6.25,0.5x yx y s s ====，且8121111,812i j i j x x y y ===∑∑，则8128751285812020x y z +×+×==. 根据方差的定义，()()()()812812222221111112020i j i j i j i j s x z y z x x x z y y y z ==== =−+−=−+−+−+− ∑∑∑∑ ()()()()88812121222221111111()2()()2()20i i j j i i i j j j x x x z x z x x y y y z x z y x ====== −+−+−−+−+−+−−∑∑∑∑∑∑由()()881212111180,120i i j j i i j y x x x x y y y y ===−=−=−=−=∑∑∑∑， 可得()()8812122222211111()()20i j i i j j s x x x z y y y z ==== =−+−+−+−∑∑∑∑ 2222188()1212()20x y s x z s y z +−++−222223()()55x y s x z s y z =+−++− 22236.25(7581)0.5(8581)26.855+−++−= 故得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可. 19. 已知函数()y f x =为R 上的奇函数.当01x ≤≤时，()23f x ax x c =++(a c ，为常数)，()11f =. （1）当1122x −≤≤时，求函数()2f x y =的值域: （2）若函数()y f x =的图像关于点()1,1中心对称.①设函数()()g x f x x x =−∈R ，，求证:函数()g x 为周期函数; ②若()94188f x −≤≤对任意[],x m n ∈恒成立，求n m −的最大值. 【答案】（1）1,22（2【解析】【分析】（1）代入(0)0f =，(1)1f =，得到2()23,01f x x x x =−+≤≤，再二次性质求出当1122x −≤≤时，()[1,1]f x ∈−，最后根据复合函数单调性得1,22； （2）①运算得(2)()2f x f x +−=，则可证明(2)()g x g x +=；②求出11(),,[21,21],22f x x x k k k −∈−∈−+∈Z ，然后转化为求n 最大，m 最小即可. 【小问1详解】由于函数()f x 为R 上奇函数，那么(0)0f =，且(1)1f =，则(0)0(1)31f c f a c == =++= ，则02c a = =− ，则2()23,01f x x x x =−+≤≤； 那么239()248f x x =−−+，由10,2x ∈ ，则()[0,1]f x ∈， 而函数()f x 为奇函数，那么1,02x ∈−时，()[1,0)f x ∈−， 综上所述:当1122x −≤≤时，()[1,1]f x ∈−， 由复合函数单调性可知:则()12,22f x y =∈. 【小问2详解】 ①由于()()f x f x −=−，且()(2)2f x f x −=−++， 由于()(2)2f x f x −=−++，则(2)()2f x f x +−=， 那么(2)(2)(2)()2(2)()()g x f x x f x x f x x g x +=+−+=+−+=−=，则()g x 为R 上周期为2的函数.②由（1）可知，当[0,1]x ∈时，22111()2220,222g x x x x =−+=−−+∈ ，[1,0)x ∈−时，1(),02g x ∈−， 那么[21,2),x k k k ∈−∈Z 时，1(),02f x x −∈−； [2,21],x k k k ∈+∈Z 时，1()0,2f x x −∈； 那么11(),,[21,21],22f x x x k k k −∈−∈−+∈Z ； 若n m −要最大，仅需n 最大，m 最小， 从而考虑如下临界：由于941()88f x −≤≤，令1928x +=−， 则138x =−，此时(2,1)x ∈−−； 14145,,(5,6)288x x x −==∈；当(2,1)x ∈−−时，2(0,1)x +∈，2(2)(2)(2)2(2)3(2)(2)()()g x f x x x x x g x f x x +=+−+=−+++−+==−， 那么2()254,(2,1)f x x x x =−−−∈−−，令29254,8x x x −−−=−x =；同理，(5,6)x ∈时，6(1,0)x −∈−，2(6)(6)(6)2(6)3(6)(6)()()g x f x x x x x g x f x x −−−−−+−−−−， 那么2()22160,(5,6)f x x x x =−+∈，令24122160,8x x x −+==x =舍去）；从而n m ≤≥那么n m −=. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问的关键是求出11(),,[21,21],22f x x x k k k −∈−∈−+∈Z ，再求出,m n 的临界值即可.。
浙江省湖州市2023-2024学年高一下学期6月期末调研测试数学试题含答案
湖州市2023学年第二学期期末调研测试卷高一数学（答案在最后）注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．2．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知a ，b是两个单位向量，则下列结论正确的是（）A.a b=± B.//a b C.0a b ⋅= D.22a b =【答案】D 【解析】【分析】利用单位向量的定义求解即可.【详解】单位向量的模长相等，则22a b =，故D 正确；且两者并不一定是相同或相反向量，故A 错误；两者不一定共线，故B 错误；两者不一定垂直，故C 错误.故选：D.2.已知复数z 满足(1i)3i z -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由共轭复数的定义求出z ，即可得对应点的坐标得答案．【详解】∵(1i)3i z -=+，∴()()()()3+i 1i 3i 24i12i 1i 1+i 1i 2z +++====+--，则12i z =-∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，位于第四象限．故选：D ．3.已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（）A.B.2C.D.2【答案】A 【解析】【分析】利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．【详解】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则π2πl r =，所以2l r =，所以2lr ==.故选：A.4.设α，β是两个平面，,m n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若αβ⊥，//m α，//n β，则m n ⊥B.若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβC.若m αβ= ，//n α，//n β，则//m nD.若m α⊥，n β⊥，//m n ，则αβ⊥【答案】C 【解析】【分析】根据题意，对ABD 找到反例即可，对C 由线面平行的性质分析即可判断正确.【详解】根据题意，依次分析选项：对A ，若αβ⊥，//m α，//n β，直线,m n 可能平行、相交或异面，故A 错误；对B ，若m α⊂，n β⊂，//m n ，平面,αβ可能相交或平行，故B 错误；对C ：如图，若m αβ= ，//n α，//n β，过直线n 作两个平面,γδ，,t l δαγβ== ，根据线面平行的性质可得可得//,//n t n l ，则//t l ，因为l β⊂，t β⊄，则//t β，又因为t α⊂，m αβ= ，则//t m ，则//m n ，故C 正确；对D ，若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ，故D 错误.故选：C .5.如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（）A.众数<中位数<平均数B.众数<平均数<中位数C.中位数<平均数<众数D.中位数<众数<平均数【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可.【详解】由频率分布直方图知，数据组的众数为左起第2个小矩形下底边中点值，显然在过该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数<中位数，由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数<平均数，所以众数<中位数<平均数.故选：A6.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11C D 的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值是（）A.0B.12C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据题意分析可得异面直线DE 与AC 所成角为DEF ∠（或DEF ∠的补角），在DEF 中利用余弦定理运算求解.【详解】取11A B 的中点F ，连接11,,A C EF DF ，因为1AA //1CC ，且11AA CC =，则11AA C C 为平行四边形，可得AC //11A C ，又因为,E F 分别为1111,C D A D 的中点，则EF //11A C ，所以EF //AC ，故异面直线DE 与AC 所成角为DEF ∠（或DEF ∠的补角），设正方体的棱长为2，则DE DF EF ===，在DEF中，由余弦定理222cos 210DE EF DF DEF DE DF +-∠===⋅，所以异面直线DE 与AC所成角的余弦值是10.故选：D.7.湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标．如图，为测量双子大厦的高度CD ，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB 约192m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 共线）处测得建筑物顶A 、大厦顶C 的仰角分别为45°和60°，在建筑物顶A 处测得大厦顶C 的仰角为15°，则可估算出双子大厦的高度CD 约为（）A.284mB.286mC.288mD.290m【答案】C 【解析】【分析】先求出AM ，然后在AMC 中用正弦定理求出MC ，最后求出CD .【详解】因为AMB是等腰直角三角形，所以)m AM ==，在AMC 中，180456075AMC ∠=︒-︒-︒=︒，154560MAC ∠=︒+︒=︒，所以180756045MCA ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理可知：)sin m sin sin sin 22CM AM AM MACCM MAC MCA MCA⋅∠=⇒==∠∠∠，在CDM V中，()sin 60288m 2CD CM =︒==.故选：C8.已知ABC 是锐角三角形，若22sin sin sin sin A B B C -=，则ab的取值范围是（）A.(0,2)B.C.2)D.2)【答案】B 【解析】【分析】先利用正弦定理与余弦定理的边角变换，结合三角函数的恒等变换求得2A B =，再求得角B 的范围，结合正弦定理边角变换与倍角公式即可得解.【详解】已知22sin sin sin sin A B B C -=，由正弦定理得22a b bc -=，得22a b bc =+，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，则2222cos b bc b c bc A +=+-，即2cos b c b A =-，由正弦定理得sin sin 2sin cos B C B A =-，因为()πC A B =-+，则sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+所以sin sin cos cos sin B A B A B =-，即sin sin()B A B =-.因为ABC 为锐角三角形，ππ0,022A B <<<<，则ππ22A B -<-<，又sin y x =在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，所以B A B =-，则2A B =，因为ABC 为锐角三角形，π02π022π0π32B A B C B ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，解得π6π4B <<，所以sin sin 22sin cos 2cos sin sin sin a A B B BB b B B B====∈.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A ：只参加科技游艺活动；事件B ：至少参加两种科普活动；事件C ：只参加一种科普活动；事件D ：一种科普活动都不参加；事件E ：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（）A.A 与D 是互斥事件B.B 与E 是对立事件C.E C D =⋃D.A C E=⋂【答案】ABC 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB 的真假，根据事件的交、并的概念判断CD 的真假.【详解】对A ：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件A ：只参加科技游艺活动，与事件D ：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A 正确；对B ：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生.事件B 和事件E 满足两个特点，故B 正确；对C ：C D ⋃表示：至多参加一种科普活动，即为事件E ，故C 正确；对D ：C E 表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D 错误.故选：ABC10.若复数z ，w 均不为0，则下列结论正确的是（）A.||||||z w z w +=+B.||||z w z w -=-C.||||||z w z w ⋅=⋅D.z z w w=【答案】BCD 【解析】【分析】根据复数的四则运算，结合模长公式即可根据选项逐一求解.【详解】不妨设()()i ,,i ,,z a b a b w c d c d =+∈=+∈R R 且22220,0a b c d +≠+≠．对于A ，()i z w a c b d +=+++，故z w +=，而||||z w +=，故A 错误，对于B ，()i z w a c b d -=---，()i z w a c b d -=---,则z w -=,z w -=故||||z w z w -=-，B 正确，对于C,()()()i i izw a b c d ac bd ad bc =++=-++==，()()i i z w a b c d =++＝，故||||||z w z w ⋅=⋅，因此C 正确．对于D，i ii ia b z a b w c d c d ++===++，i iz a b wc d -==-z zw w =，D 正确．故选：BCD11.如图，一张矩形白纸ABCD ，4AB =，AD =，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，BE 交AC 于点M ，DF 交AC 于点N ．现分别将ABE ，CDF 沿BE ，DF 折起，且点A ，C 在平面BFDE 的同侧，则下列命题正确的是（）A.当平面//ABE 平面CDF 时，//AC 平面BFDEB.当A ，C 重合于点P 时，PD⊥平面PFMC.当A ，C 重合于点P 时，三棱锥P DEF -的外接球的表面积为24πD.当A ，C 重合于点P 时，四棱锥P BFDE -的体积为3【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，利用面面平行的判定和性质定理可以判断；对于B ，利用反证法可以说明B 错误；对于C ，根据题意判断出外接球的球心为DF 的中点，可求出外接球半径，进而求出外接球的表面积；对于D ，利用平面PMN ⊥平面BEDF ，可求得四棱锥P BFDE -的高，进而计算出体积.【详解】由题意，将,ABE CDF △△沿,BE DF 折起，且点,A C 在平面BFDE ，此时A 、M 、N 、C 四点共面，平面ABE ⋂平面AMNC AM =，平面CDF ⋂平面AMNC CN =，当平面//ABE 平面CDF ，//AM CN ，由题意得：AM CN =，所以四边形AMNC 是平行四边形，所以//AC MN ，又因为AC ⊄平面BEDF ，MN ⊂平面BEDF ，所以//AC 平面BFDE ，故A正确；因为tan tan 2CAD ABE ∠=∠=，所以CAD ABE ∠=∠，则可得90AME ∠=︒，即BE AC ⊥，同理可得DF AC ⊥，当,A C 重合于点P 时，如上图，在PME △中，cos cosPM PB MPE PBE PE BE ∠==∠==，又因为PE =，所以433PM =，因为2MN AC AM CN =--=-=MN CN =，所以MDC △为等腰三角形，即4MD CD ==，4PD =，222PD PM MD +≠，故PD 和PM 不垂直，则PD 不垂直于平面PFM ，故B 错误；在三棱锥P DEF -中，DEF ，DPF 均为直角三角形，所以DF 为外接球直径，则外接球半径2DFR ==，则三棱锥P DEF -外接球表面积为24π24πR =，故C 正确.,,DF PN DF MN PN MN N ⊥⊥= ，,PN MN ⊂平面PMN ，所以DF ⊥平面PMN ，又因为DF ⊂平面BEDF ，所以平面BEDF ⊥平面PMN ，平面BEDF 平面PMN MN =，过点P 作PG MN ⊥，因为PMN 的等边三角形，所以可得2PG =，由面面垂直性质定理可知PG ⊥平面BEDF ，即PG 为四棱锥P BEDF -的高，所以1116222333P BEDF BEDF V S -=⨯⨯=⨯⨯=，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题考查了面面平行的判定和性质定理，线面垂直的判定理，几何体的外接球及四棱锥的体积，解题的关键是弄清几何题的结构，利用相关定理去证明判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知事件A 和事件B 相互独立，且1()2P A =，3()4P B =，则()P AB =__________．【答案】18##0.125【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式即可求解.【详解】∵事件A 与事件B 相互独立，则A 与事件B 也相互独立，且1()2P A =，3()4P B =，∴131()()()1248P AB P A P B ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭故答案为：18．13.已知向量(4,3)a = ，(2,4)b = ，则b 在a上的投影向量的坐标是__________．【答案】1612,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】直接根据投影向量的坐标公式计算即可.【详解】b 在a 方向上的投影向量为()()4,320416124,3,55555a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⋅== ⎪⎝⎭.故答案为：1612,55⎛⎫⎪⎝⎭14.已知四面体A BCD -中，棱BC ，AD 所在直线所成的角为60︒，且4BC =，3AD =，120ACD ∠=︒，则四面体A BCD -体积的最大值是__________．【答案】32【解析】【分析】作出辅助线，找到60EDA ∠=︒，求出EDA S = ，由正弦定理得到点CACD 的外接圆的劣弧AD 上，当平面ACD ⊥平面AED 时，点C 到平面AED的距离最大，且最大距离为2，从而求出三棱锥C AED -的体积最大值为32，由C AED A ECD A BCD V V V ---==得到答案.【详解】在平面BCD 内，分别过,B D 作,CD BC 的平行线交于点E ，连接AE ，则四边形BCDE 为平行四边形，则4ED BC ==，60EDA ∠=︒，则11sin 34sin 6022EDA S AD ED EDA =⋅∠=⨯⨯︒= 在ACD 中，3AD =，120ACD ∠=︒，由正弦定理得2sin 32AD RACD ===∠，其中R 为ACD的外接圆半径，解得R =则点CACD 的外接圆的劣弧AD 上，作CF ⊥AD ，垂足为F ，如图1，则当F 为AD 的中点，即AC CD =时，CF 最大，此时1322AF DF AD ===，如图2所示，此时333tan 30232CF AF =︒=⨯=，当平面ACD ⊥平面AED 时，点C 到平面AED 的距离最大，且最大距离为2，连接CE ，此时三棱锥C AED -的体积最大，最大为13322⨯⨯=，而C AED A ECD A BCD V V V ---==，故四面体A BCD -的最大值为32故答案为：32【点睛】关键点点睛，将四面体A BCD -补形为四棱锥，从而结合异面直线夹角求出三角形面积，再结合点到平面的距离最大值求出体积最大值四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件A =“第一次摸到红球”，事件B =“第二次摸到红球”．（1）求()P A 和()P B 的值；（2）求两次摸到的不都是红球的概率．【答案】（1）2()5P A =，2()5P B =（2）910【解析】【分析】（1）利用首先计算样本容量，再计算事件A 和B 包含的样本点，即可求解；（2）利用对立事件概率公式，即可求解.【小问1详解】将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，第一次摸到红球的可能结果有8种，即()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,1,5,2,1,2,3,2,4,2,5A =，所以82()205P A ==．第二次摸到红球的可能结果也有8种，即()()()()()()()(){}2,1,3,1,4,1,5,1,1,2,3,2,4,2,5,2B =，所以82()205P B ==．【小问2详解】事件AB =“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即()(){}1,2,2,1AB =，则两次摸到都是红球的概率21()2010P AB ==，故两次摸到的不都是红球的概率()()19111010P A B P AB +=-=-=．16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为(),,,2cos cos a b c b c A a C -=．（1）求A ；（2）若ABC BC 边上的高为1，求ABC 的周长．【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得1cos 2A =，则得到A 的大小；（2）利用三角形面积公式得4bc =，再结合余弦定理得b c +的值，则得到其周长.【小问1详解】因为(2)cos cos b c A a C -=，由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=，即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即2sin cos sin B A B =.因为在ABC 中，sin 0B ≠，所以1cos 2A =.又因为0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】因为ABC 的面积为所以112a ⨯=，得a =.由1sin 2bc A =122bc ⨯=所以4bc =.由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即2212b c bc =+-，化简得2()312b c bc +=+，所以2()24b c +=，即b c +=，所以ABC 的周长为a b c ++=.17.某学校组织“防电信诈骗知识”测试，随机调查400名学生，将他们的测试成绩（满分100分）的统计结果按[)50,60，[)60,70，…，[]90,100依次分成第一组至第五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中x 的值；（2）估计参与这次测试学生的成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第60百分位数；（3）现从以上第三组、第四组和第五组中参与测试的学生用分层随机抽样的方法选取15人，担任学校“防电信诈骗知识”的宣传员．若这15名学校宣传员中来自第三组学生的测试成绩的平均数和方差分别为75和5，来自第四组学生的测试成绩的平均数和方差分别为85和10，来自第五组学生的测试成绩的平均数和方差分别为93和5．2，据此估计这次第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的成绩的方差．【答案】（1）0.01x =（2）平均值为：79.5，第60百分位数为85（3）82615【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图性质求值；（2）根据频率分布直方图平均数公式和百分位数公式计算；（3）应用分层方差公式计算求解.【小问1详解】由题意得(0.0150.020.030.025)101x ++++⨯=，所以0.01x =；【小问2详解】参与测试学生的成绩平均值：10(550.01650.015750.02850.03950.025)79.5u =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．第60百分位数为0.60.458010850.750.45-+⨯=-；【小问3详解】设第三组，第四组，第五组测试学生成绩的平均数和方差分别为3x ，4x ，5x ，23s ，24s ，25s ，且三组的频率之比为4：6：5，则这三组的平均数7548569358515x ⨯+⨯+⨯==，所以第三组、第四组和第五组所有参与测试的学生的测试成绩的方差()()()2222222334455465151515s s x x s x x s x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2224655(7585)10(8585) 5.2(9385)151515⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++-++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦82615=18.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，1111AA BB CC ===，侧棱1BB 与底面ABC 所成角的正弦值为3．若球O 与三棱台111ABC A B C -内切（即球与棱台各面均相切）．（1）求证：AC ⊥平面11B D DB ；（2）求二面角1B BC A --的正切值；（3）求四棱台1111ABCD A B C D -的体积和球O 的表面积．【答案】（1）证明见解析（2）（3）四棱台1111ABCD A B C D -的体积为6，球O 的表面积为2π3．【解析】【分析】（1）只需证明AC BD ⊥和AC EF ⊥即可；（2）做出二面角的平面角再做计算.（3）将四棱台1111ABCD A B C D -还原为四棱锥P ABCD -，把三棱台111ABC A B C -的内切球转化为三棱锥-P ABC 的内切球问题.【小问1详解】设11A C 与11B D 、AC 与BD 分别交点E ，F ，连接EF ，因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．在等腰梯形11A C CA 中，因为E ，F 为底边中点，所以AC EF ⊥，又EF 与BD 相交，,BD EF ⊂平面11B D DB ，所以AC ⊥平面11B D DB ．【小问2详解】由（1）可知平面ABCD ⊥平面11B D DB ，又平面ABCD ⋂平面11B D DB BD =，过点1B 作1B H BD ⊥于H ，则1B H ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以1B H BC ⊥，再作HG BC ⊥于G ，又因为1B H HG H = ，1,B H HG ⊂平面1B HG ，所以BC ⊥平面1B HG ，因为1B G ⊂平面1B HG ，所以1B G BC ⊥，则1B GH ∠是二面角1B BC A --的平面角．因为1B H ⊥平面ABCD ，故1B BH ∠是侧棱1BB 与底面ABC所成角，所以1sin 3B BH ∠=．在1Rt B BH △，111sin 3B H BB B BH =∠=，11cos 3BH BB B BH =∠=，在Rt BGH △，sin 306GH BH =︒=，在1Rt B GH，11tan 6B H B GH GH ∠==．因此二面角1B BC A --的正切值为【小问3详解】将四棱台1111ABCD A B C D -还原为四棱锥P ABCD -，由题意可知三棱台111ABC A B C -为正三棱台，所以三棱锥-P ABC 为正三棱锥，因此三棱台111ABC A B C -和三棱锥-P ABC 的内切球为同一个球，设1O ，2O 是111A B C △和ABC 的中心，由（2）易知在160B BG ︒∠=，所以三棱锥-P ABC 为正四面体，所以2122r PO =，因此平面1111D C B A 是四棱锥P ABCD -的中截面，则2AB =，111A B =，故四棱台1111ABCD A B C D -的体积121133326V h S S ⎡⎡⎤⎢=⨯⨯=⨯⨯+=⎣⎦⎢⎥⎣⎦．球O的表面积为2224π4ππ63S r ⎛=== ⎝⎭．19.已知函数1()()f x x x a x=---，R a ∈．（1）写出函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个不同零点，求实数a 的取值范围；（3）已知点()1,2A x ，()2,2B x 是函数()f x 图象上的两个动点，且满足210x x >>，求123x x a -+的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调递增区间是(1,0),(1,)-+∞，单调递减区间是(1)-∞-，(0,1)（2）1a =-或01a <<（3）(,5)-∞【解析】【分析】（1）去掉绝对值化简后结合函数单调性分析即可.（2）由小问（1）的单调性，画出函数的草图，结合图象分析即可.（3）由题意得2(1)12a f a >⎧⎨=-<⎩，得出a 的范围，把,A B 两点坐标代入函数得12,x x 与a 的关系式，借助关系式用1x 来表示123x x a -+，即121111111323212x x a x x x x x ⎛⎫-+=--++ ⎪⎝⎭-，构造函数11111111()23212h x x x x x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭-，分析函数单调性可得值域，即123x x a -+的取值范围.【小问1详解】()()[)[)()()1,1,01,112,,10,1a x x f x x x a x x a x x ⎧-+∈-⋃+∞⎪⎪=---=⎨⎪-++∈-∞-⋃⎪⎩，则()f x 的单调递增区间是(1,0),(1,)-+∞，单调递减区间是(,1)-∞-，(0,1)．【小问2详解】函数()f x 在(,1)-∞-单调递减，在(1,0)-单调递增，故()f x 在(,0)-∞的最小值为(1)1f a -=+，同理，()f x 在(0,)+∞的最小值为(1)1f a =-，故结合图象可得，函数()f x 有两个零点时需满足(1)120f a a -=+=⎧⎨<⎩解得：1a =-．或(1)10(1)100f a f a a -=+>⎧⎪=-<⎨⎪>⎩解得：01a <<．综上所述：1a =-或01a <<．【小问3详解】由题意得：2(1)12a f a >⎧⎨=-<⎩，则23a <<．且()()1112212212f x x a x f x a x ⎧=-++=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，则11212212a x x x a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，因为2a >，101x <<，所以21111121220x a x x x --=-=>，故21112x <<．所以1121111121111111111132235223212212x x x a x x x x x x a x x x x x ⎛⎫-+=-++=-+-=--++ ⎪--⎝⎭-．又11122(0,1)x a x -=-∈，故()1111111212g x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭-单调递增，所以()1121111111323212h x a x x x x x x x ⎛⎫=+-=--++ ⎪⎝⎭-单调递增，故()1(1)5h x h <=．因此123x x a -+的取值范围为(,5)-∞．【点睛】方法点睛：要求123x x a -+的范围，未知数较多，遇到未知数多时需要通过减少未知数的个数来降低解决问题的难度；判断函数单调性的常用方法：①结合基本初等函数的图象或结合图象变换分析单调性；②复合函数的单调性；③多个函数加减的单调性：+增增=增，+减减=减，增-减=增，减-增=减；。
吉林省吉林市普通高中2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题
吉林省吉林市普通高中2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题一、单选题1．已知样本数据：6，5，7，8，9，6，则这组样本数据的中位数为（ ） A ．6B ．6.5C ．7D ．7.5 2．设复数11i z i -=+，则||z =（ ）A ．0B ．1CD ．23．若m ，n 是两条直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若m n ⊥，m α⊂，则n α⊥B ．若//m α，n ⊂α，则//m nC ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥D ．若//m α，//n α，则//m n4．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =，2b =，120A =︒，则c =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．2或4 5．已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．D ．28π 6．在ABC V 中，2BC CD =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （ ）A ．1122AB AC +u u u r u u u r B ．1322AB AC -u u u r u u u r C ．1322AB AC -+u u u r u u u r D ．1322AB AC +uu u r uuu r 7．中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台1111ABCD A B C D -，2AB =，114A B =，侧面面积为 ）A B ．C D ．8．已知锐角ABC V 是单位圆的内接三角形，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222sin sin sin 4sin cos 2sin sin cos A C B A B A B C +-=-，则bc a的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．⎝⎭C ．D ．⎝二、多选题9．已知(3,1)a =-r ，(1,2)b =-r ，(1,)c λ=r ，则（ ）A ．10a =rB ．若//a c r r ，则13λ=-C ．若b c ⊥r r ，则2λ=-D ．b r 在a r 上的投影向量的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭10．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚正面朝上”，事件B =“第二枚正面朝上”，事件C =“两枚硬币朝上的面相同”，事件D =“两枚硬币朝上的面不同”，则（ ）A ．1()2P A =B ．B 与C 互斥C ．C 与D 互为对立D ．A 与C 相互独立 11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，CD 的中点，则（ ）A ．三棱锥1A ACD -的外接球的表面积为12πB ．三棱锥1A ACD -的外接球的体积为C ．点C 到平面1C EF 的距离为13D ．已知点P 是底面ABCD （不含边界）内一动点，且1//D P 平面11A EC ，则线段1D P 的长度的取值范围是⎣三、填空题12．已知2i +是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数=a ．13．在ABC V 中，6AB =，2AC CB ⋅=u u u r u u u r ，D 为AB 中点，则CD =.14．我国古代数学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AB AA ==，E 是1A D 上一点，EF AD ⊥于点F ，设EF d =，02d <<，则点E 绕1CC 旋转一周所得的圆的面积为（用d表示）；将空间四边形11DAC C 绕1CC 旋转一周所得几何体的体积为.四、解答题15．某高校强基计划考试分“笔试”和“面试”两部分，每部分考试成绩记“合格”或“不合格”两部分考试成绩均“合格”者则考试“通过”，并给予录取.现甲、乙两人都参加此高校的强基计划考试，甲、乙在笔试中成绩“合格”的概率分别为12，13，在面试中成绩“合格”的概率分别为23，34，且每人在笔试和面试成绩是否“合格”是相互独立的. (1)甲、乙两人谁被录取的可能性大，并说明理由；(2)求甲、乙两人中至少有一人被录取的概率.16．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ．现测得60BCD ∠=︒，75BDC ∠=︒，60m CD =，并在点C 处测得塔顶A 的仰角30ACB ∠=︒.(1)求B 与D 两点间的距离；(2)求塔高AB .17．随着全民健身意识增强，马拉松运动逐渐成为深受群众喜爱的体育健身项目之一.吉林市自2016年以来，现已成功举办五届马拉松比赛，“吉马”也因此成为了东北地区乃至全国颇具影响力的品牌赛事.2023年“吉马”被中国田径协会评为“城市形象媒体传播赛事典型案例”.时隔一年，吉林市委、市政府再次启动这一国际化赛事，将挑战自我、超越极限、坚韧不拔、永不放弃的马拉松精神与我市激流勇进的城市精神相结合，并将其发扬光大.为此，某校举办了“吉马”知识竞赛，从所有竞赛成绩中抽取一个容量为100的样本，并按竞赛成绩（单位：分）分成六组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如下图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值，并求样本中竞赛成绩的第80百分位数；(2)现从样本中竞赛成绩在[)60,80内用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人座谈，求至少有一人竞赛成绩在[)70,80内的概率；(3)已知样本中竞赛成绩在[)80,90内的平均数182x =，方差212s =，样本中竞赛成绩在[]90,100内的平均数294x =，方差225s =，并据此估计所有答卷中竞赛成绩在[]80,100内的总体方差.参考公式：总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：1n ，1x ，21s ；2n ，2x ，22s .记总的样本平均数为ω，样本方差为2s ，{}22222111222121()()s n s x n s x n n ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦+. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥BC ，//BC AD ，2BC AD =，且M 是PB 的中点.(1)求证：//AM 平面PCD ；(2)若平面PBC ⊥平面ABCD ，且4PC BC ==，2PB AB ==.（ⅰ）求证：CM ⊥平面PAB ；（ⅱ）求直线CD 与平面PAB 所成的角的正弦值.19．法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，sin cos A a B c +=，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D ，E ，F .(1)求角A ；(2)若3a =，且DEF V 的周长为9，求AD AB AF AC ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ；(3)若DEF VABC V 的角平分线AM 的取值范围.。
高一数学下学期期中调研测试试题含解析 试题
2021-2021学年高一数学下学期期中调研测试试题〔含解析〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用诱导公式,结合特殊角的三角函数求解即可。
【详解】，故此题选B。
【点睛】此题考察了诱导公式，特殊角的三角函数，属于根底题.，，向量与一共线，那么实数的值是〔〕A. B. C. -3 D. 3【答案】C【解析】【分析】利用向量一共线的充要条件，可直接求解。
【详解】因为向量与一共线，所以有，故此题选C。
【点睛】此题考察了一共线向量的坐标表示，意在考察学生的计算才能，较为根底。
是〔〕A. 最小正周期为的偶函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的奇函数【答案】A【解析】【分析】运用公式，直接求出周期，判断之间的关系，结合函数奇偶性的定义进展判断即可。
【详解】，，所以函数最小正周期为，是偶函数，因此此题选A。
【点睛】此题考察了余弦型函数的最小正周期以及奇偶性，利用函数奇偶性的定义进展判断是解题的关键。
中，〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量加法的几何意义及一共线向量的概念进展化简。
【详解】，故此题选B。
【点睛】此题考察了向量加法的几何意义及一共线向量的概念，意在考察学生的计算、推理才能。
的图象关于点对称，那么可以是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把点代入解析式，求出的表达式，结合选项，选出答案。
【详解】因为函数的图象关于点对称，所以有，令，故此题选C。
【点睛】此题考察了正弦型函数的对称性，解题的关键是利用整体代入，考察学生分析、解决问题的才能。
，，那么与垂直的向量是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算出的坐标表示，然后分别与四个选项里面的向量作数量积运算，结果为零，就符合题意。
高中数学高一下学期半期测试题,期末测试题(各地整理卷)
高一数学下期期中考试注意事项：1、 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分2、 本堂考试时间120分钟，满分150分3、 答题前，请考生务必先将自己的姓名、考号填写在答题卷上，并用2B 铅笔填涂4、 考试结束后，请考生将答题卷交回第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷。
1.一个三角形的三个内角C B A ,,的度数成等差数列，则B 的度数为 （ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 902．已知直线的斜率为3-，则它的倾斜角为 ( )A ．60°B ．120° C．60°或120° D ．150°3.设R c b a ∈,,，且b a >，则 ( ) A ．bc ac > B.ba 11< C ．22b a > D ．33b a >4．数列 ,201,121,61,21的一个通项公式是 ( )A ．)1(1-=n n a nB ．)12(21-=n n a n C ．111+-=n n a n D ．n a n 11-=5.ABC ∆中，已知222a b c bc =++，则角A 为 （ ）A.3πB.6πC.32πD.3π或32π6.下列函数中，最小值是4的函数是 ( )A ．xx y 4+= B ．)0(sin 4sin π<<+=x x x y C ．x x e e y -+=4 D ．3log log 3x x y +=7.在ABC ∆中，已知,45,1,2 ===B c b 则此三角形有几个解 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定8.在ABC ∆中，已知2cossin sin 2AC B =，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形9.锐角ABC ∆中，1b =，2c =，则a 取值为 （ ）A.()1,3B.(C.)2D.10.若}{n a 是等差数列，首项01>a ，0,02017201620172016<⋅>+a a a a ，则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 是 （ ）A ．4031B ．4032C ．4033D ．403411.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且BC 边上的高为a 63，则c b b c + 的最大值是 ( )A .2B . 6C .23D .412.某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a 元，为还清这笔贷款，该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在贷款的m 年后还清，若银行按年利息为p 的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是 （ ）A ．maB ．1)1()1(11-++++m m p p apC ．1)1(1-++mm p p apD ．1)1()1(-++mm p p ap第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13. 在△ABC 中，A ＝ 60, B= 45 ,BC=23,则AC 等于________14.=+ 75sin 15sin .15.已知数列}{n a 满足*11,32,1N n a a a n n ∈+==+则=n a ___________16.已知正项等比数列{}n a 满足20172016201523a a a =+，若存在不同的两项,p m a a 使得1a =，则14m p+的最小值是______________三、解答题(本题共6个小题，共70分)：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本题满分10分)(1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过(1,2)的直线方程； (2)求与直线2x ＋y －10＝0垂直且过(2,1)的直线方程．18. (本题满分12分)(1)已知2-<x ，求函数212++=x x y 的最大值．（2）若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，求x ＋y 的最大值．19.(本题满分12分)在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,, 已知0cos )sin 3(cos cos =-+B A A C (1) 求角B 的大小;(2)若a+c=2,b=1求△ABC 的面积.20．(本题满分12分)如图，在△ABC 中，已知3π=∠B ，34=AC ，D 为BC 边上一点．(1)若AD ＝2，S △DAC ＝32,求DC 的长；(2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值．21.(本题满分12分)设数列{a n }满足a 1＝2，12123-+⋅=-n n n a a .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .22.(本题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,3)2)(1(21++-=+n n n na S n n *n ∈N .(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.高一数学参考答案(文)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷。
高一数学下学期半期调研检测试题
四川省攀枝花市2016-2017学年高一数学下学期半期调研检测试题注意事项：1. 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2. 全卷满分150分,考试时间120分钟。
3. 只交答题卡，试卷学生带走，以备讲评。
第I 卷（选择题 共60分）1．已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率大于1，则m 的取值范围是( ) A.(5，8) B.(8,+∞) C.(,8)D.(5,)2．已知向量=(12=(1)x x +-,a b ,),. 若a 与b 垂直，则||b =（A ）1 （B （C ）2 （D ）43．设向量 ,均为单位向量，且|＋|1=，则与夹角为 （ ）A 4．在△ABC 中，15a =，10b =，60A =，则cosB =A ．13 B ．3 C ．3．35．已知三角形ABC 中，a = c = 2,∠A=30°，则边b=（ ）A. 16．在△ABC 中，22sin sin (sin sin )sin A C A B B -=-，则角C 等于( ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 7．已知等差数列}a {n 的公差为2，若431a ,a ,a 成等比数列，则1a = A ．－4 B ．－8C ．－6D ．－108．等比数列{}n a 的各项均为正数，且187465=+a a a a ，则=+⋅⋅⋅++1032313log log log a a a （ ）A ．5log 23+B ．8C ．10D ． 129．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2 009的值是( )A ．2 008×2 009B ．2 008×2 007C ．2 009×2 010D ．2 009210．若0(,)b a a b R <<∈，则下列不等式中正确的是（ ）. （A ）b 2＜a 2 （B ）1b ＞1a（C ）-b ＜-a （D ）a -b ＞a+b11．下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是 （ ） A.xx y 4+= B.x x y lg 1lg +=C.11122+++=x x y D.322+-=x x y12．若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，则m 的范围是 A ． [1,9) B ． (1,9) C ． (,1](9,)-∞⋃+∞ D ．(,1)(9,)-∞⋃+∞ 第II 卷（非选择题 共 90分）二、填空题（请将正确的答案写在答题卡上相应位置，每个题5分，共20分）： 13、已知直线斜率的绝对值等于１，直线的倾斜角 ．14．已知平面向量(2,1)=-a ，向量(1,1)=b ，向量(5,1)=-c ． 若()//k +a b c ，则实数k 的值为 ．15．等比数列{}n a 中, ____________S ,12,415105===则S S 16．若0>a ，0>b ，且0)ln(=+b a ，则ba 11+的最小值是 ． 三、解答题：17．（本小题满分10分） 已知a=（1,2）,b=（-3,1）. (Ⅰ) 求a －2b ；（3分） (Ⅱ) 设a, b 的夹角为θ,求θcos 的值（3分）;(Ⅲ)若向量a ＋kb 与a －kb 互相垂直，求k 的值（4分）.18．（本小题12分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c，若（Ⅰ）求A ；，求ABC ∆的面积19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边， 且b A b B a =-cos sin 3, (1)求A ∠的大小；（2）若4b c +=，当a 取最小值时，求ABC ∆的面积.20．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)．(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .．21．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，并且对于任意*n N ∈，都有121nn n a a a +=+． （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设数列1.+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．22．（本小题满分12分）设数列{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且1233,3,4a a a ++构成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令n nnb a =,求数列{}n b 的前n 项和n T ．参考解答1．答案】D 【解析】由题意知：,得即∴5＜m ＜2．【答案】B 【解析】若a 与b 垂直,则0121=-=+--=⋅x x x b a ，解得1=x .||b =21)1(22=+-.3．【答案】C.【解析】（＋）21=，∴〈，4． 【答案】C 【解析】由sin sin a b A B =得1510sin cos sin 60sin 33B B B =∴==5．【答案】A 【解析】∠A=∠C=30°，∴∠B=120°，由余弦定理可得b=6． 【答案】B.【解析】22222sin sin (sin sin )sin A C A B B a c ab b -=-⇒-=-222222a c ab b a bc ab⇒-=-⇒+-=2221cos 22a b c C ab +-⇒==,所以3C π=. 7．【答案】B 【解析】因为等差数列}a {n 的公差为2，若431a ,a ,a 成等比数列，则23411a a a ,a 8=∴=-.8．【答案】C 【解析因为等比数列{}n a 的各项均为正数，且564747110a a a a 18a a 9a a +=∴==，则53132log al++⋅⋅. 9．【答案】A 【解析】本题主要考查数列的通项公式。
2020年高一数学下学期调研考试试题
高一数学下学期调研考试试题一、填空题（本大题共12题每小题7分共84分）1、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n 152-=，则使n S 取最小值的n=______。
2、等差数列}{n a 中，1144=+a a ，则此数列的前17项的和=___________。
3、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n 352+=，则通项=n a ______________。
4、△ABC 中060=A ，3=a ，则sin sin sin a b cA B C++++=______________。
5、△ABC 中，13,34,7===c b a ，则最小内角的大小是____________。
6、△ABC 中，A sin ∶B sin ∶C sin ＝2∶3∶4，则C cos =____________。
7、△ABC 中;;;AB a BC b CA c ===u u u r r u u u r r u u u r r 若a b b c c a ⋅=⋅=⋅r r r r r r 则△ABC 为_______三角形。
8、一等差数列}{n a 的前12项的和为354，前12项中，奇数项和与偶数项和之比为 32∶27，则公差d=__________。
9、等差数列}{n a 中，已知1008=S ，39216=S ，则=4S ____________。
10、一个物体从490m 的高空落下，如果该物体第1秒降落4.90m ，以后每秒比前1秒多降落9.80m ，经过_____________秒物体才能落到地面。
11、△ABC 中，B b A a cos cos =则△ABC 是________________________。
（判断形状）12、△ABC 中，下列判断不正确．．．的是________________。
（1）,30,14,70=∠==A b a 有1解； （2）,150,25,300=∠==A b a 有1解； （3）,45,9,60=∠==A b a 有2解； （4）,60,10,90=∠==B c b 无解。
江苏省高一下学期期初调研数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，则（ ） ππsin ,22x x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭cos x =A B ．C ．D ．13-1313±【答案】C【分析】由同角三角形函数平方关系结合的范围求出答案.x【详解】，故，则.ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭cos 0x >1cos 3x ===故选：C2．（ ）17πsin 6⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D 1212-【答案】B【分析】由诱导公式进行求解.【详解】. 17π17π7πππ1sin sin 4πsin sin πsin 666662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+==+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B3．的值是（ ） sin160cos10cos20sin10+A ．B ．C ．D 1212-【答案】A【分析】由诱导公式和逆用正弦和角公式求出答案. 【详解】由诱导公式得到：，sin160sin 20︒=︒故. ()1sin160cos10cos20sin10sin20cos10cos20sin10sin 2010sin 302︒︒+︒︒︒︒+︒︒=︒+︒=︒==故选：A4．已知集合，下列对应关系中从到的函数为（ ） [)[)0,,1,A B ∞∞=+=+A B A ． B ． :f x y x →=2:f x y x →=C ． D ．:2f x y x →=:22f x y x →=+【答案】D【分析】结合函数的值域和定义域之间的关系，根据函数的定义分别进行判断即可．【详解】对于A ，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，:f x y x →=0x =0y =B x 不是从集合到集合的函数，故A 错误，A B对于B ，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集2:f x y x →=0x =0y =B x 合到集合的函数，故B 错误，A B 对于C ，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从:2f x y x →=0x =0y =B x 集合到集合的函数，故C 错误，A B 对于D ，在对于关系中，因为，所以 ，且则集合中:2f x y x →=[)0,x ∈+∞[)2,y ∈+∞[)1,+∞A 任意一个元素在集合中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，是从集合到集合的函x B A B 数，故D 正确， 故选：D ．5．已知函数的零点为，满足，则的取值范围为（ ）()22f x x bx b =+-12,x x 1211x x -<<<b A ．B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．()1,10,3∞⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭()(),10,1-∞-⋃【答案】B【分析】分析二次函数的图象，根据根的分布，结合根的判别式和对称轴，列出不等式组，求出答案.【详解】开口向上，对称轴为，()22f x x bx b =+-x b =-要想满足，则要，1211x x -<<<()()2Δ440113011011b b f b f b b ⎧=+>⎪-=->⎪⎨=+>⎪⎪-<-<⎩解得：.10,3b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：B6．函数的最大值为（ ）()πcos22cos 2f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．1D ．3-1-32【答案】D【分析】先利用三角恒等变换整理得，换元令，结合二次函数求()22sin 2sin 1f x x x =--+sin t x =最值.【详解】由题意可得：，()()()22πcos22cos 12sin 2sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x ⎛⎫=++=-+-=--+ ⎪⎝⎭令，则的对称轴为，[]sin 1,1t x =∈-2221y t t =--+[]11,12t =-∈-∴当时，取到最大值，12t =-2221y t t =--+max 113221422y ⎛⎫=-⨯-⨯-+= ⎪⎝⎭故函数的最大值为.()πcos22cos 2f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭32故选：D.7．已知实数 ） 2lo ,3g a b c ==A ． B ． a b c >>b a c >>C ． D ．b c a >>a c b >>【答案】D【分析】由题意可得，，比较出的大小即可的结论；通过观察()2,a ∈+∞(),1,2b c ∈,b c和按照同指数倍扩大比较大小进而得22log b =2log c == 1.62出结论.【详解】由函数为单调递增可得，即；2x y =122a =>=()2,a ∈+∞由在单调递增可得，易知； 2log y x =()0,∞+()231,2log b ∈=()1,2c =所以；,a b a c >>只需要比较的大小即可：,b c由和 2log 3,b c ==2log c ==3易知，而，所以，即1.62<5832432256==<5832<()()1158 1.6553322==<所以 1.623<<3<所以；22log 3log =<b c <所以. a c b >>故选：D8．定义在上的偶函数，当时，，则的解集是（ ）R ()f x 0x ≥()22f x x x =--()10xf x -≤A ． B ．][(,10,3∞⎤--⋃⎦[]1,3-C ． D ．][(,30,1∞⎤--⋃⎦][)1,03,∞⎡-⋃+⎣【答案】A【分析】根据题意先得到在时大于0和小于0的取值区间,再根据偶函数性质得到()f x 0x ≥()f x在定义域内的取值情况，然后根据函数平移规则得到平移后大于0和小于0的取值区间，()1f x -最后分类讨论和时满足的区间即可.0x ≥0x <()10xf x -≤【详解】当时，在单调递减，在单调递增，其中0x ≥()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()20f =故当时，的区间为，的区间为0x ≥()0f x >()2,+∞()0f x ≤[]0,2因为为偶函数，所以的区间为，，的区间为，故()f x ()0f x >(),2-∞-()2,+∞()0f x ≤[]22-,的区间为，，的区间为 ()10f x ->(),1-∞-()3,+∞()10f x -≤[]1,3-当时，，即 0x ≥()()1010xf x f x -≤⇒-≤[]0,3x ∈当时，，即 0x <()()1010xf x f x -≤⇒-≥(],1x ∈-∞-故选：A二、多选题9．下列化简正确的是（ ）A ． tan 25tan 3525tan 35︒+︒︒⋅︒=B ． 22ππ1cos sin 12122-=C ．2tan22.51tan45tan 22.52︒=︒-︒D ．12sin10= 【答案】AC【分析】A 选项，由正切的和角公式化简得到答案；B 选项，由余弦二倍角公式求出答案；C 选项，由正切二倍角公式进行求解；D 选项，通分后，利用辅助角公式，倍角公式和诱导公式求出答案.【详解】A 选项，，()tan 25tan 35tan 25351tan 25tan 35︒+︒︒+︒=-︒⋅︒tan 25tan 351tan 25tan 35︒+︒=-︒⋅︒化简得：，A 正确； tan 25tan 3525tan 35︒+︒︒⋅︒=B 选项，B 错误； 22πππcos sin cos 12126-==C 选项，，C 正确；22tan22.5tan22.511tan 45tan45tan 22.51tan 22.522︒︒==︒=︒-︒-︒D 选项，，D 错误. ()2cos 60+1014cos704sin2041sin10sin20sin20sin202︒︒︒︒=====︒︒︒︒故选：AC10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）()241f x x x =-+A ．函数在上是单调递增 ()y f x =(],2-∞-B ．函数在上是单调递増 ()y f x =[]2,0-C ．当时，函数有最大值 0x =()y f x =D ．当或时，函数有最小值 2x =-2x =()y f x =【答案】BD【分析】作出函数的图象，结合图象逐项判断即可．【详解】，作出函数的图象如下：()22241,04141,0x x x f x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨++<⎩()f x由图象可知函数在上是单调递减，在上是单调递増，故A 错误，B 正确； ()y f x =(],2-∞-[]2,0-由图象可知在或时，函数有最小值，没有最大值，故C 错误，D 正确； ()f x 2x =-2x =()y f x =故选：BD ．11．已知函数,对任意均有,且()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<x ∈R 4π04πf x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在上单调递减,则下列说法正确的有( )()()π,2f x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ．函数为奇函数 ()f x B ．函数的最小正周期为()f x πC ．函数的图像可由函数的图象向左平移个单位长度得到 ()f x sin2y x =π4D ．若在上恒成立，则的最大值为()()2f x f x >(),m n n m -π3【答案】BCD【分析】首先根据已知条件确定为的对称中心,为的对称轴,结合已知中的范π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π2x =()f x 围确定的值,从而确定函数的解析式.对于A,利用奇偶函数的定义进行判断即可;对于B,,ωϕ()f x 进行判断即可;对于C,根据图像的平移得到平移后的解析式进行判断即可;对于D,根据2πT ω=,解出的取值范围进行判断.()()2f x f x >x 【详解】,4π04πf x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为的对称中心,即,①∴π,04⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()11ππZ 4k k ωϕ+=∈, ()π2f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭为的对称轴,即,②∴π2x =()f x ()22πππZ 22k k ωϕ+=+∈②①得:,-()()21333ππππ=π=2+4Z 422k k k k k ωω=+-+⇒∈代入①得:, ()()31ππ24ππ,Z 42k k k k ϕ=-++=-+∈,0πϕ<< ,则,π2ϕ∴=()πsin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在上单调递减,()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即 ,又, ππ2ω∴≤02ω<≤()33=2+4Z k k ω∈,2ω∴=,()cos 2f x x ∴=对于A,,()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==为偶函数,故A 错误;∴()f x 对于B,函数的最小正周期为,故B 正确; ()f x 2ππ2T ==对于C,函数的图象向左平移个单位长度得到,sin2y x =π4ππsin 22sin 2cos 242y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故C 正确;对于D,根据题意,即或()()2f x f x >2cos 4cos 22cos 2cos 210cos 21x x x x x >⇒-->⇒>,1cos 22x <-,1cos 21x -≤≤ ,即,解得, 1cos 22x ∴<-()2π4π2π22π,Z 33k x k k +<<+∈()π2πππ,Z 33k x k k +<<+∈在上恒成立,()()2f x f x >(),m n ,故D 正确. ()max π3n m ∴-=故选:BCD.12．若,且,则（ ） 0,0a b >>1a b +=A ．B ．40a b ab +-≥22aa b+≥+C ． D ．221a b +≥221214a b a b +≥++【答案】ABD【分析】根据基本不等式求出,将代入,结合即可得选项A 的正误;将14ab ≤1a b +=4a b ab +-14ab ≤写为,再进行分离常数,用基本不等式即可得选项B 的正误;将写为2+aa b ()2a b a a b++22a b +,代入,结合即可得选项C 的正误;对进行分离常数化简可得()22a b ab +-1a b +=14ab ≤2221a b a b +++,再用“1”的代换,即可得选项D 的正误. 41221a b +-++【详解】解:因为,, 0,0a b >>1a b +=所以解得, 1a b =+≥14ab ≤当且仅当时取等号, 12a b ==所以,故选项A 正确;4140a b ab ab +-=-≥因为()222222b a a b a a a a b a b b ++=+=++≥+=+当且仅当,即时取等号,故选项B 正确; 2b aa b =21a b ==-因为,,故选项C 错误; 14ab ≤()22212122a b a b ab ab +=+-=-≥因为 2222444421122211a a ab a b a b b b a b ++--++--+=+++++44214821421211422a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=+++-+=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝++++-⎭-, 442221214141a b a b ⎛⎫=--+-=+- ⎪++++⎝⎭因为,所以,1a b +=214a b +++=所以()121214142141a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯ ⎪++++⎝⎭, ()1195541242144b a a b ⎛⎛⎫ =++≥++= ⎪ ++⎝⎭⎝+当且仅当,即时取等号,()24112a b b a =++++223a b ==所以,即,故选项D 正确. 4191222144a b +-≥-=++221214a b a b +≥++故选：ABD三、填空题13．__________. 25172log 30612124(π1)946+--⋅⋅【答案】70【分析】由对数运算法则和指数运算法则计算即可.【详解】222111385g 16666575172log 34log lo 066612122132213224(π1)94666+--⨯⨯⨯⨯⨯-=⨯++-⨯=. 1566811628212706=⨯+-⨯=-=故答案为：7014．某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm ，则该扇形面积为_____cm2． 【答案】1【详解】设该扇形的半径为，根据题意，因为扇形的圆心角为弧度，周长为，则有r 24，，故答案为.422,1r r r =+=2211=21122S r α=⨯⨯=115．已知函数分别由下表给出： ()(),f x g xx 1 2 3x 1 2 3 ()f x 1 3 1()g x 3 2 1满足的的集合是__________. ()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦x 【答案】{}1,3【分析】分别计算出时，与的值，比较后得到答案.1,2,3x =()f g x ⎡⎤⎣⎦()g f x ⎡⎤⎣⎦【详解】，故，满足要求， ()()()()31,1311f g f g f g ⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦()()11f g g f ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦，故，不满足要求，()()()()23,3122f g f g f g ⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦()()11f g g f ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦，故，满足要求，()()()()11,1333f g f g f g ⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦()()11f g g f ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦所以满足的的集合为. ()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦x {}1,3故答案为：{}1,3四、双空题16．已知，当时，则的值为__________；若关于的方程sin cos ,t t θθ⎡+=∈⎣12t =sin cos θθ-θ有实数根，则实数的取值范围为__________.()sin cos sin cos 1a θθθθ-++=a【答案】 [)1,+∞【分析】由辅助角公式得到的范围，由，求出，得到，故θ12t =sin20θ<π2π,2π,Z 4k k k θ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，计算出，得到的值；换元后得到在sin cos 0θθ-<()2sin cos θθ-sin cos θθ-2210t at -+-=有实数根，参变分离后得到实数的取值范围. t ⎡∈⎣a【详解】，πsin cos 4θθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭因为， t ⎡∈⎣π4θ⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭所以，，[]πsin 0,14θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭π32π,π2π,Z 44k k k θ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦时，，两边平方得：，故，12t =1sin cos 2θθ+=11+sin24θ=3sin24θ=-因为，所以，π32π,π2π,Z 44k k k θ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦π324π,π4π,Z 22k k k θ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦因为，所以，，sin20θ<π24π,4π,Z 2k k k θ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦π2π,2π,Z 4k k k θ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦则，故，sin 0,cos 0θθ<>sin cos 0θθ-<，故， ()237sin cos 1sin 2144θθθ-=-=+=sin cos θθ-=因为，所以有实数根，21sin cos 2t θθ-=2112t at -+=即在有实数根， 2210t at -+-=t ⎡∈⎣当时，，无解，舍去，0=t 10-=当时，， (t ∈12a t t=+其中在上单调递减，在上单调递增， ()1g t t t=+(]0,1t ∈(t ∈故在处取得最小值，，()1g t t t =+1t =()12g =故，所以 ()[)2,g t ∈+∞[)22,a ∈+∞解得：，[)1,a ∈+∞所以实数的取值范围是 a [)1,+∞故答案为：， [)1,+∞五、解答题17．已知集合，集合. {}2320M xx x =-+->∣(){}2log 1,715N y y x x ==+<<∣(1)求；R M N ð(2)设，若，求实数的取值范围. {2}A xa x a =<<+∣R R A N ⋃=ða 【答案】(1) {}R 12xM N x ⋂=∣ð<<(2) []2,3【分析】（1）根据一元二次不等式解法可得，再利用对数函数单调性可得{}12M x x =∣<<，由集合基本运算即可求出结果；（2）根据（1）中结论和可限定两{}34N y y =<<∣R R A N ⋃=ð集合端点处的取值范围即可求出结果.【详解】（1）解集合可得， {}2320M xx x =-+->∣{}12M x x =∣<<根据对数函数单调性可知时，， ()2log 1,715y x x =+<<226l o 8og l 1g y <<所以，或， {}34N yy =<<∣{R 3N y y =≤∣ð}4y ≥因此 {}R 12xM N x ⋂=∣ð<<（2）由（1）中或，且， {R 3N yy =≤∣ð}4y ≥R R A N ⋃=ð可得实数需满足（等号不会同时取到），所以解得；a 324a a ≤⎧⎨+≥⎩23a ≤≤即实数的取值范围为.a []2,318．已知.1πcos ,,072αα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭(1)求的值；πcos 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)若，求的值. ()πsin 0,2αββ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭β【答案】(1) 1114-(2) π3【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系式求得sin α=可求出结果；（2）根据平方关系可求得再进行角的转化即，之后()13cos ,14αβ+=()βαβα=+-利用两角差的余弦公式进行求解可得出. π3β=【详解】（1）由，可得22sin cos 1αα+=1πcos ,,072αα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭sin α=所以； πππ1111cos cos cos sin sin 3332714ααα⎛⎛⎫-=+=⨯=- ⎪ ⎝⎭⎝即π11cos 314α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（2）由可得，ππ,0,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ,22αβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭又，所以()()22sin cos 1αβαβ+++=()sin αβ+=()13cos ,14αβ+=()()()1311cos cos cos cos sin sin 1472βαβααβααβα⎛⎛⎡⎤=+-=+++=⨯+⨯= ⎣⎦ ⎝⎝由可得.π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3β=即的值为βπ319．在平面直角坐标系中，是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标xoy ,αβ原点）于两点.O ,A B (1)已知点，将绕原点顺时针旋转到，求点的坐标；34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭OA π2OB B(2)若两点关于轴对称，且，求的值. ,A B x 2tan 3α=sin sin sin cos cos cos αβαβαβ++【答案】(1)43,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2) 1113【分析】（1）根据三角函数定义可得角的正弦、余弦值，再根据即可求得点的坐标；απ2βα=-B （2）由两点关于轴对称可知，将表达式转化成含的式子，再利,A B x sin sin ,cos cos αβαβ=-=α用同角三角函数之间的基本关系代入即可求得结果. 2tan 3α=【详解】（1）由三角函数定义可得，不妨设43sin ,cos 55αα==π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭根据题意可得，画出示意图如下所示：则可得，所以； π2βα=-π4cos cos sin 25βαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，π3sin sin cos 25βαα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭所以点的坐标为B 43,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）设点的坐标为，又两点关于轴对称，所以 A (,)A x y ,A B x (,)B x y -由三角函数定义得，sin sin ,cos cos αβαβ=-=即可得22sin sin sin cos cos cos sin sin cos cos αβαβαβαααα++=-++， 22222222221sin sin cos cos tan tan 11133sin cos tan 113213ααααααααα⎛⎫-++ ⎪-++-++⎝⎭====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以， 11sin sin sin cos cos cos 13αβαβαβ++=20．近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业､带动创业，进而提升区域经济发展活力.我市“运河五号”的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x()P x（单位：天）的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间x （单位：()110P x x=+()Q x 天）的部分数据如下表所示： x10 15 20 25 30 ()Q x 50 55 60 55 50(1)根据上表中的数据研究发现，函㪚模型适合描述日销售量与时间()()0Q x a x m b a =-+≠()Q x 的变化关系，求出该函数的解析式；x (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值.()f x ()f x 【答案】(1)，()40,12080,2030x x Q x x x +≤<⎧=⎨-+≤≤⎩*N x ∈(2)元 441【分析】（1）利用表格提供数据求得，由此求得.,,m a b ()Q x （2）先求得的解析式，然后根据基本不等式和函数的单调性求得的最小值. ()f x ()f x 【详解】（1）根据表格数据可知，， 20m =，解得， ()()1010205015152055Q a b Q a b ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩1,60a b =-=所以，.()40,120206080,2030x x Q x x x x +≤<⎧=--+=⎨-+≤≤⎩*N x ∈（2），()()()()()14010,12018010,2030x x x f x P x Q x x x x ⎧⎛⎫++≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⋅=⎨⎛⎫⎪-++≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩即，，()4040110,1208079910,2030x x xf x x x x ⎧++≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩*N x ∈当时，， 120x ≤<4040110401441x x ++≥+=当且仅当时等号成立， 4010,2x x x==当时，单调递减， 2030x ≤≤()8079910f x x x=-+最小值为， ()80150530799300303f =-+=，所以的最小值为元. 15054413<()f x 44121．已知函数的最小正周期是，且图象经过点.()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭ππ,13⎛⎫⎪⎝⎭(1)求的单调增区间；()f x (2)方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围.()()()2210f x a f x +-+=π11,π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦a 【答案】(1)πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2) 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据的最小正周期计算出，代入得到，求出解析式，得到单()f x 2ω=π,13⎛⎫⎪⎝⎭π6ϕ=调递增区间；（2）求出时有两个解，令，得到有两个不相等的实数()(]2,0f x ∈-x ()f x t =()2210t a t +-+=根，且两根均在内，由二次函数根的分布得到不等式组，求出答案. (]2,0-【详解】（1）因为的最小正周期为， ()f x π0ω>所以，故，2ππω=2ω=所以，()()2sin 2x x f ϕ=+因为图象经过点，π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，即，2π2sin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2π1sin 23ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，所以，，π2ϕ<ππ22ϕ-<<6π2ππ637ϕ<+<故，解得：，故，623π5πϕ+=π6ϕ=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，解得：， Z 262πππ2π22π,k x k k -+≤+≤+∈ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈故单调递增区间为；πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）时，，π11,π612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ2,2π62x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故在上单调递减，在上单调递增，()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ3π2,622x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦π3π2,2π62x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当时有两个解，所以要使在上有4个不相等的()(]2,0f x ∈-x ()()()2210f x a f x +-+=π11,π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦实数根，令，则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且两根均在()f x t =t ()2210t a t +-+=(]2,0-内，因为，()200201a +-⨯+>所以，解得：， ()()()22Δ240220222210a a a ⎧=-->⎪-⎪-<-<⎨⎪⎪---+>⎩102a -<<故的取值范围是.a 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭22．已知分别为定义域为的偶函数和奇函数，且.()(),f x g x R ()()e xf xg x +=(1)求函数的解析式；()(),f x g x (2)设，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.0a >x ()()220f x ag x -≥()0,ln3a 【答案】(1) ()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==(2) 150,8⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）结合函数性质，由方程组法解得解析式；（2）设，求得，则原命题等价为在恒成立，由函数单调性e e x x t -=+102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭44a t t ≤-102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求不等式右侧最小值即可得结果.【详解】（1）分别为定义域为的偶函数和奇函数，则有()(),f x g x R ，解得； ()()()()()()e e x xf xg x f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨=-+-=-⎪⎩()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==（2），()()()22ee 2e e 04xx x xf x ag x a----=+-≥设，∵，则且在单调递增，∴.e e x x t -=+()0,ln3x ∈e e 2x x t -=+>=()0,ln3102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又，∴.()()222e eee440x xxxt ---=+-=->()()224e e 4444eex x xx t a t t t--+≤==---∴原命题等价于在恒成立 44a t t≤-102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵在为增函数，∴，∴，∴. 4y t t =-102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4320,15y t t æöç÷=-Îç÷èø41548t t >-158a ≤故实数的取值范围为.a 150,8⎛⎤⎥⎝⎦。
高一数学下学期期中调研试题含解析 试题
2021-2021学年度第二学期高一期中数学调研试卷一、选择题(本大题一一共10小题，每一小题5分，一共计50分)中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，那么最短边的长等于〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角形内角和求出，再根据大边对大角可知最短边的边长为，由正弦定理可得，解得的值，从而得出结论.【详解】边.应选A.【点睛】此题主要考察正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见方法有：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角和锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径.2. 空间中，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是〔〕A. 平行B. 相交C. 异面D. 以上都有可能【答案】D【解析】考点：空间中直线与直线之间的位置关系．分析：结合公理及正方体模型可以判断：A，B，C均有可能，可以利用反证法证明结论，也可以从详细的实物模型中去寻找反例证明．解：如图，在正方体AC1中，∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥AD，A1A⊥BC，又∵AD∥BC，∴选项A有可能；∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥AD，A1A⊥AB，又∵AD∩AB=A，∴选项B有可能；∵A1A⊥平面ABCD，A1A⊥平面A1B1C1D1，∴A1A⊥AC，A1A⊥A1D1，又∵AC与A1D1不在同一平面内，∴选项C有可能．应选D．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，假如，那么等于﹙﹚A. B. C. D.【答案】C【解析】由及余弦定理，得，所以．应选C．4.假设球的体积与其外表积的数值相等，那么球的半径为﹙﹚A. 1B. 3C. 2D.【答案】B【解析】【分析】根据球的体积和外表积相等解出半径即可。
【详解】令球的半径为，由题意得，且，解得，应选B。
【点睛】此题考察球体的体积与外表积公式。
高一数学第二学期调研考试试题
高一数学第二学期调研测试试题命题人：房国新 2022.03.10一、填空题〔每题5分共70分〕1．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,假设060,2,ABC A b S ∆∠===那么c =___________2．等差数列{}n a 中,28a =,82a =,那么10a = .3．数列的12++=n n S n ,那么8910a a a ++=_____________. 4．公差不为0的等差数列{}n a 中,236,,a a a 依次成等比数列,那么此公比等于5．在正实数组成的等比数列中,假设4563a a a =,那么31323839log log log log a a a a ++++＝ .6．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,假设,,a b c 成等比数列,且2c a =, 那么cos B =7．数列{}n a 中,11a =,1223n n a a +-=,那么通项n a = .8．求数列 ,)1(211,,3211,211+++++++n 前n 项和 . 9．数列{}n a 中,2n a an n =-,且{}n a 是递增数列,求实数a 的取值范围10．数列21,43,85,167,329,……的前n 项和n S = . 11．数列}{n a 满足*),2(113121,113211N n n a n a a a a a n n ∈≥-++++==- . 假设2006=n a ,那么=n _____________.12．设函数f 〔x 〕满足(1)f n + =2)(2n n f +〔n ∈N *〕且(1)2f =,那么(20)f = . 13．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,假设2B A C =+,2b =,那么a c +的取值范围是14. 把数列{}12+n 中各项划分为：〔3〕,〔5,7〕, (9,11,13) , (15,17,19,21) , (23) ,(25,27),(29,31,33) , (35,37,39,41),照此下去,第100个括号里各数的和为二 解做题〔15题、16题、17题、18题均14分,19题16分,20题18分〕15．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,假设222a c b ac +=+,且a c = 求B 和C16．设数列{}n a 是公差不为0的等差数列,它的前10项和10110S =,且124,,a a a 成等比数列.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设2n a n b =,求数列{}n b 的前n 项和n T .17．在等比数列}{n a 中,*)(0N n a n ∈>,公比)1,0(∈q , 252825351=++a a a a a a , 且2是3a 与5a 的等比中项,〔1〕求数列}{n a 的通项公式；〔2〕设n n a b 2log =,数列}{n b 的前n 项和为n S ,当nS S S n +++ 2121最大时, 求n 的值.18．数列}{n a 中,18a =,22a =,且满足2120n n n a a a ++-+=〔1〕求数列}{n a 的通项公式；〔2〕设12||||||n n S a a a =+++,求n S .19．数列}{n a 满足)1(1),1,0(1n n a aa S n a a a a --=≠≠=项和其前且 〔1〕求证：}{n a 为等比数列； 〔2〕记n n n n T N n a a b ),(||lg *∈=为数列{}n b 的前n 项和, 当2a =时,求 n T .20．数列{}n a 中,11a =,()*1122(...)n n na a a a n N +=+++∈．〔1〕求234,,a a a ；〔2〕求数列{}n a 的通项n a ；〔3〕设数列{}n b 满足21111,2n n n kb b b b a +==+,求证：1()n b n k <≤高一数学试题参考答案一． 填空题：〔每题5分共70分〕1． 2 2． 03． 54 4． 35． 3 6． 3/4 7． 2log (31)n - 8． n/(n+2)9． a>1/3 10． 21213()22n n n ---- 11． 4012 12． 9713． (]2,4 14． 1992二．解做题〔15题、16题、17题、18题均14分,19题16分,20题18分〕15． ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,假设222a c b ac +=+,且12a c = 求B 和C解：由于222a c b ac +=+得222b a c ac =+-又由于2222cos b a c ac B =+---------------------------------------4 所以1cos 2B = 所以60B =-------------------------------------------------------------------------------- 8由于a c =得sin sin A C =所以2sin 1)sin A C =2sin(120)1)sin C C -=------------------------------------12得sin cos C C =所以45C =---------------------------------------------------------------------------------1416．解：〔1〕由于124,,a a a 成等比数列.所以2214a a a =得1a d =-----------------------3由10110S =得12a =-----------------------------------------------------------------------6 所以2n a n =---------------------------------------------------------------------------------10〔2〕2224n a n n n b ===-------------------------------------------------------------12 所以2124444(41)3n n n n T b b b =++=++=---------------------------14 17．解：〔1〕由252825351=++a a a a a a 得235()25a a +=得355a a +=由于354a a =得354,1a a ==-----------------------------------------4 求得12q = 所以52n n a -=----------------------------------------------------------------------------------------8 〔2〕2log 5n n b a n ==------------------------------------------------10所以292n n n S -=-----------------------------------------------------11 92n S n n -=---------------------------------------------------------12 所以nS S S n +++ 2121最大为89n =或者------------------------------14 18．解：〔1〕2120n n n a a a ++-+=∴211n n n n a a a a +++-=-∴1{}n n a a +-为常数列,∴{a n }是以1a 为首项的等差数列,------4216d a a =-=-∴146n a n =-.----------------------------------------8〔2〕∵146n a n =-,设0n a ≥,10n a +<求得2n =-----------------------------10∴当2n >时,12||||||n n S a a a =+++1234()n a a a a a =+-+++=231120n n -+----------------------------------------------------------12 ∴28,(1)10,(2)31120,(3).n n S n n n n ⎧=⎪==⎨⎪-+>⎩----------------------------------------------14 19．解：1〕当n ≥2时,)1(1)1(111-------=-=n n n n n a aa a a a S S a 整理得,1a a a n n =- 所以{a n }是公比为a 的等比数列. ------------------------------------------------------ 8〔2〕n n a a a a =∴=,1||lg ||lg ||lg a na a a a a b n n n n n n ===∴------------------------------------------------10 当a=2时,2(222...2)lg 2,n n T n =+⋅++⋅2312[222...(1)22]lg 2,n n n T n n +=+⋅++-⋅+⋅---------------------------------------12 两式相减,得2lg ]2)1(1[2,2lg )22...222(132n n n n n n T n T ⋅--=⋅-++++=-+化简整理，得 ----------------------------------------------16 20．解：〔1〕2342,3,4a a a ===----------------------------------------------------------3〔2〕1122(...)n n na a a a +=+++ ①121(1)2(...)n n n a a a a --=+++ ②①—②得1(1)2n n n na n a a +--=即：1(1)n n na n a +=+,11n n a n a n ++=---------------------------------------------6 所以32112123...1...(2)121n n n a a a n a a n n a a a n -===≥-所以*()n a n n N =∈------------------------------------------------------------------10〔3〕由〔2〕得：2111111,...02n n n n n b b b b b b b k+-==+>>>>>, 所以{}n b 是单调递增数列,故要证：1()n b n k <≤只需证1k b <假设1k =,那么1112b =<显然成立 假设2k ≥,那么21111n n n n n n b b b b b b k k ++=+<+ 所以1111n n b b k +->-------------------------------------------------------------------14因此：121111111111()...()2k k k k k b b b b b b k k --+=-++-+>-+= 所以11k k b k <<+ 所以1()n b n k <≤-------------------------------------------------------------------18。
高一数学下学期期中调研考试试题
智才艺州攀枝花市创界学校二零二零—二零二壹第二学期期中调研测试高一数学一、填空题〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分，请将答案填写上在答题卷相应的位置上．〕 1．在数列{}n a 中，111,2+=-=n n a a a ，那么6a 的值是▲．2.函数224()f x x x =+的最小值是▲．3．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2223a b c ab +-=，那么∠C＝▲． 4．不等式232xx ≤+的解集是▲． 5．有伪代码，假设输入2x =-，那么输出结果y 为▲． 6．在等比数列{a n }中，a 1=1，a k =243，q =3，那么数列{a n }的前k 项 的和S k =▲．7．在△ABC 中，假设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a =2b sin A ，那么角B =▲．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A=60°，b=1，△ABC 的面积为3，那么a 的值是▲．9．等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，那么1a d=▲． 10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 2=7，a n+1=2S n +1，n∈N *，那么S 5=▲．11．{a n}，{b n}均为等比数列，其前n 项和分别为S n，T n，假设对任意的n∈N *，总有314+=n n n S T ，那么33a b =▲．Read x If 0<x Then32+←x y πElse If 0>x Then52+-←x y πElse12．如图，在△AOB 中，∠AOB=34π，OA=6，M 为边AB 上一点，M 到边OA ，OB 的间隔分别为2，22，那么AB 的长为▲．13．1,,(0,1)2=∈xyx y ，那么211-1+-x y 的最小值为▲． 14．在R 上定义运算⊗：x ⊗y=x 〔1﹣y 〕，假设不等式：〔x ﹣a 〕⊗〔x+a 〕＜2对实数x∈[1，2]恒成立，那么a 的范围为▲．二、解答题〔本大题一一共6小题，一共计90分，请在答题纸指定区域内答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕 15．〔本小题总分值是14分〕〔1〕求函数22(1)1y x x x =+>-的最小值； 〔2〕解关于x 的不等式：22(31)20xm x m m -+++≤．16．〔本小题总分值是14分〕在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．b=3，c=2．〔1〕假设2a •cosC=3，求a 的值； 〔2〕假设cos 1cos =+c Cb B，求cosC 的值． 17．〔本小题总分值是14分〕数列{a n }的首项是a 1=1，a n+1=2a n +1．〔1〕求数列{a n }的通项公式； 〔2〕求数列{n a n }的前n 项和S n ．18．〔本小题总分值是16分〕在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设4sinAsinB ﹣4cos22-A B=2﹣2．〔1〕求角C 的大小； 〔2〕sin 4sin =a BA，△ABC 的面积为8．求边长c 的值． 19．〔本小题总分值是16分〕某工厂某种产品的年固定本钱为250万元，每消费x 千件，需另投入本钱为C 〔x 〕，当年产量缺乏80千件时，C 〔x 〕=21103+x x 〔万元〕．当年产量不小于80千件时，C 〔x 〕=51x +100001450-x〔万元〕．每件商品售价为0.05万元．通过场分析，该厂消费的商品能全部售完． 〔1〕写出年利润L 〔x 〕〔万元〕关于年产量x 〔千件〕的函数解析式； 〔2〕年产量为多少千件时，该厂在这一商品的消费中所获利润最大？ 20．〔本小题总分值是16分〕数列{a n }满足a 1=1，a 2=a ＞0，数列{b n }满足b n =a n •a n+1〔1〕假设{a n }为等比数列，求{b n }的前n 项的和S n ；〔2〕假设3=nn b ，求数列{a n }的通项公式；〔3〕假设b n =n +2，求证：121113++⋅⋅⋅+>na a a ．二零二零—二零二壹第二学期期中调研测试高一数学(答案)一、填空题〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分，请将答案填写上在答题卷相应的位置上．〕1．在数列中，，那么的值是11．．2.函数的最小值是4．3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且，那么∠C＝．4．不等式的解集是，，．5．有伪代码，假设输入，那么输出结果y为．6．在等比数列{a n}中，a1=1，a k=243，q=3，那么数列{a n}的前k项的和S k=364．7．在△ABC中，假设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bsinA，那么角B=或者．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，b=1，△ABC的面积为，那么a的值是．9．等差数列{a n}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，那么=2．10．设数列{a n}的前n项和为S n，假设S2=7，a n+1=2S n+1，n∈N*，那么S5=202．11．{a n}，{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，假设对任意的n∈N*，总有，那么=9．12．如图，在△AOB中，∠AOB=，OA=6，M为边AB上一点，M到边OA，OB的间隔分别为2，，那么AB的长为6．13．，那么的最小值为10．14．在R上定义运算⊗：x⊗y=x〔1﹣y〕，假设不等式：〔x﹣a〕⊗〔x+a〕＜2对实数x∈[1，2]恒成立，那么a的范围为﹣1＜a＜2．二、解答题〔本大题一一共6小题，一共计90分，请在答题纸指定区域内答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕15．〔本小题总分值是14分〕〔1〕求函数的最小值；〔2〕解关于x的不等式：．【解答】〔1〕6；………………………………………………………………………………7分〔2〕当时，解集为，；当时，解集为；当时，解集为，．………………………………………………14分16．〔本小题总分值是14分〕在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．b=3，c=2．〔1〕假设2a•cosC=3，求a的值；〔2〕假设，求cosC的值．【解答】〔1〕由余弦定理，，将b=3，c=2代入，解得：a=2．…………………………………………………6分〔2〕由正弦定理，，化简得sinC=sin〔B﹣C〕，∴C=B﹣C或者C+B﹣C=π〔舍去〕，那么B=2C，由正弦定理可得，，将b=3，c=2代入解得．……………………………………………………14分17．〔本小题总分值是14分〕数列{a n}的首项是a1=1，a n+1=2a n+1．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕求数列{n a n}的前n项和S n．【解答】〔1〕∵a n+1=2a n+1，∴a n+1+1=2〔a n+1〕，又a1+1=2，{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，∴a n=2n﹣1．……………………………………………………4分〔2〕na n=n•2n﹣n，∴S n=1•2﹣1+2•22﹣2+3•23﹣3+…+n•2n﹣n=〔1•2+2•22+3•23+…+n•2n〕﹣〔1+2+3+4+…+n〕，令T n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，那么2T n=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，两式相减得：﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=〔1﹣n〕2n+1﹣2，∴T n=〔n﹣1〕2n+1+2，又1+2+3+4+…+n==+，∴S n=〔n﹣1〕2n+1+2﹣﹣．……………………………………………………14分18．〔本小题总分值是16分〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设4sinAsinB﹣4cos2=﹣2．〔1〕求角C的大小；〔2〕，△ABC的面积为8．求边长c的值．【解答】解：〔1〕由条件得4sinAsinB=2〔2cos2﹣1〕+，即4sinAsinB=2cos〔A﹣B〕+=2〔cosAcosB+sinAsinB〕+，…化简得cos〔A+B〕=﹣，…∵0＜A+B＜π，∴A+B=，又A+B+C=π，∴C=，……………………………………………………8分〔2〕由及正弦定理得b=4，…又S△ABC=8，C=，∴absinC=8，得a=4，…由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得c=4．………………………………………………16分19．〔本小题总分值是16分〕某工厂某种产品的年固定本钱为250万元，每消费x千件，需另投入本钱为C〔x〕，当年产量缺乏80千件时，C〔x〕=〔万元〕．当年产量不小于80千件时，C〔x〕=51x+〔万元〕．每件商品售价为0.05万元．通过场分析，该厂消费的商品能全部售完．〔Ⅰ〕写出年利润L〔x〕〔万元〕关于年产量x〔千件〕的函数解析式；〔Ⅱ〕年产量为多少千件时，该厂在这一商品的消费中所获利润最大？【解答】〔Ⅰ〕∵每件商品售价为0.05万元，∴×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣本钱，∴×1000x〕﹣﹣10x﹣250=+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣本钱，∴×1000x〕﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣〔x+〕．综合①②可得，L〔x〕=． (8)分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，，①当0＜x＜80时，L〔x〕=+40x﹣250=﹣，∴当x=60时，L〔x〕获得最大值L〔60〕=950万元；②当x≥80时，L〔x〕=1200﹣〔x+〕≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L〔x〕获得最大值………………………………16分20．〔本小题总分值是16分〕数列{a n}满足a1=1，a2=a＞0，数列{b n}满足b n=a n•a n+1〔1〕假设{a n}为等比数列，求{b n}的前n项的和s n；〔2〕假设，求数列{a n}的通项公式；〔3〕假设b n=n+2，求证：．【解答】〔1〕解：∵，∴．当a=1时，b n=1，那么s n=n．当a≠1时，．………………………………………………5分〔2〕解：∵3n=a n•a n+1，∴3n﹣1=a n﹣1•a n〔n≥2，n∈N〕，∴，当n=2k+1，〔k∈N*〕时，∴=3〔k∈N*〕，∴a2k=a2•3k﹣1=a•3k﹣1．当n=2k，〔k∈N*〕时，∴=3〔k∈N*〕，∴a2k﹣1=3k﹣1．∴．………………………………………………10分〔3〕证明：∵a n a n+1=n+2，①∴a n﹣1a n=n+1〔n≥2〕，②①﹣②得a n〔a n+1﹣a n﹣1〕=1，∴a n+1﹣a n﹣1=〔n≥2〕．∴…+=〔a3﹣a1〕+〔a4﹣a2〕+…+〔a n+1﹣a n﹣1〕=a n+1+a n﹣a1﹣a2+=a n+a n+1﹣3﹣3=2﹣3．∴．………………………………………………16分。
湖南长沙2024年高一下学期期末调研数学试卷
湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷（含答案）一、单选题1．若复数()21i z a a =+−是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．1±2．已知一组数据4，8，9，3，3，5，7，9，则（ ） A ．这组数据的上四分位数为8 B ．这组数据没有众数 C ．这组数据的极差为5D ．这组数据的平均数为63．已知a ，b 为实数，则>是“11b ba a+>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在三角形ABC 中，3,4,120AC AB CAB ==∠=°，则()AB CA AB +⋅=（ ）A ．10B ．22C ．10−D ．22−5．已知1212102π,sin sin 3x x x x <<<==，则()12cos x x −=（ ）A.79B. 79−C.D. 6．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍童，其中上，下底面均为正方形，且边长分别为8和4，侧面是全等的等腰梯形，且梯形的高为能装的水的体积为（ ）A B ．4483C ．D ．4487．已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，且(),012,12x x f x x x ≤< = −+≤≤，则不等式(1) 0xf x −<在(2,2)−上的解集为（ ）A ．(2,1)−−B ．(2,1)(0,1)−−C ．(1,0)(0,1)−D ．(1,0)(1,2)−8．在ABC 中，AB = O 为ABC 外心，且1AO AC ⋅= ，则ABC ∠的最大值为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、多选题9．在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D −中，M N ，分别为棱111,C D C C 的中点，则（ ）A ．直线BN 与1MB 是异面直线 B ．直线MN 与AC 所成的角是3πC ．直线MN ⊥平面ADND ．平面BMN 截正方体所得的截面面积为98.10．已知函数()()ππcos 0,0,22f x A x A ωϕωϕ=+>>−<<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．3ω=B ．π4ϕ= C ．直线π12x =为()f x 图象的一条对称轴 D ．将()f x 图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到2sin 3y x =−的图象11．已知函数()24,0,31,0,x x x x f x x − −≥= −<其中()()()f a f b f c λ===，且a b c <<，则（ ）A ．()232f f −=− B ．函数()()()gx f x f λ=−有2个零点 C ．314log ,45a b c++∈+D ．()34log 5,0abc ∈−三、填空题12．数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差为1，则数据1221,21,,21n x x x ++⋅⋅⋅+的方差为 ．13．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥P ABCD−为阳马，侧棱PA ⊥底面,2,1,ABCD PAAD AB E ===为棱PA 的中点，则直线CE 与平面PAB 所成角的余弦值为 .14．设定义在R 上的函数()f x 的值域为A ，若集合A 为有限集，且对任意12,R x x ∈，存在3R x ∈，使得()()()123f x f x f x =，则满足条件的集合A 的个数为 ．四、解答题15．某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中 x 的值；(2)求理科综合分数的中位数；16．已知i 为虚数单位，12z z ､是实系数一元二次方程的两个虚根. (1)设12z z ､满足方程()1241i 95i z z +−=−，求12z z ､；(2)设112z i =+，复数12z z ､所对的向量分别是a 与b，若向量ta b − 与2a b + 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.17．已知函数()1428x x f x m +=−⋅−．(1)若1m =，求不等式()0f x <的解集；(2)若[]0,2x ∀∈，()12f x ≥−恒成立，求实数m 的取值范围．18．如图，已知AB 是圆柱下底面圆的直径，点C 是下底面圆周上异于,A B 的动点，CD ，BE 是圆柱的两条母线．(1)求证：ACD ⊥平面BCDE ；(2)若6AB =，3BC =，圆柱的母线长为ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．19．已知函数()44log 2x xmf x +=为偶函数． (1)求m 的值；(2)若()()4log f x g x =，判断()g x 在()0,∞+的单调性，并用定义法给出证明；(3)若()()4log 2xf x a a ≥⋅−在区间(]1,2上恒成立，求a 的取值范围．参考答案：1．A【分析】根据纯虚数的概念列方程求解.【详解】根据题意，复数()21i z a a =+−是纯虚数， 所以0a =且210a −≠，解得0a =. 故选：A 2．D【分析】根据给定条件，结合上四分位数、众数、极差、平均数的意义依次判断即得.【详解】对于A ，给定数据由小到大排列为3，3，4，5，7，8，9，9，而875%6×=， 所以这组数据的上四分位数为898.52+=，A 错误； 对于B ，这组数据的众数是3和9，B 错误； 对于C ，这组数据的极差为6，C 错误； 对于D ，这组数据的平均数为6334578998++++++=+，D 正确.故选：D 3．A【分析】利用不等式的等价思想，作差分析，结合充分性与必要性进行推理即可.>0a b >≥，所以()()()()1110111a b b a b b a b a a a a a a +−++−−==>+++，充分性成立； 由11b b a a +>+，得()01a b a a −>+，不妨取2,3a b =−=−满足不等式，所以推不出0a b >≥>. 故选:A. 4．B【分析】根据数量积的运算律计算即可.【详解】()2211634222AB CA AB AB CA AB AB AC AB−××⋅=−= +⋅=+⋅− . 故选：B. 5．【答案】B 【解析】【分析】利用正弦函数图象的对称性得12π22x x +=，再根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果. 【详解】因为1212102π,sin sin 03x x x x <<<==>， 所以12π22x x +=，即12πx x +=，21πx x =−，所以()()1211cos cos 2πcos 2x x x x −=−=−()2112sin x =−−17(12)99=−−×=−. 故选：B 6.B【分析】根据题意可知，这个刍童为棱台，求出棱台的高，再根据棱台的体积公式即可得出答案. 【详解】根据题意可知，这个刍童为棱台， 如图，为垂直底面的截面，4=，所以该几何体的体积为(14486416433×++×=，即该盆中最多能装的水的体积为4483. 故选：B. 7．B【分析】由函数()y f x =的图象向右平移1个单位长度，作出函数(1)=−y f x 在[2,2]−上的图象，结合图象，即可求解.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，且(),012,12x x f x x x ≤< =−+≤≤ ， 所以当(1,0]x ∈−时，()f x x =；当[2,1]x ∈−−时，[1,2]x −∈，所以()()(2)2f x f x x x =−−=−+=−−； 当[3,2]x ∈−−时，4[1,2]x +∈，所以()(4)(4)22f x f x x x =+=−++=−−， 函数(1)=−y f x 的图象可由函数()y f x =的图象向右平移1个单位长度得到， 作出函数(1)=−y f x 在[2,2]−上的图象，如图所示．由图可知不等式(1)0xf x −<在(2,2)−上的解集为(2,1)(0,1)−− ． 故选：B ． 8．A 【分析】根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得AO 在AC 方向上的投影向量为12AC ，从而求得AC =【详解】由O 为△ABC 外心，可得AO 在AC 方向上的投影向量为12AC ，则2112AO ACAC ⋅== ，故AC =又AB = ，设BC a = ，则cos ABC ∠==+≥=当且仅当a =由0180ABC °∠°＜＜可知，030ABC °∠≤°＜， 故ABC ∠的最大值为30°． 故选：A ． 9．ABD【分析】根据异面直线成角，线面垂直的判定定理，梯形面积公式逐项判断即可. 【详解】对于A ，由于BN ⊂平面11BB C C ，1MB 平面1111BB C C B ,B BN =∉， 故直线BN 与1MB 是异面直线，故A 正确；对于B ，如图，连接1CD ，因为M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，所以1∥MN CD ，所以直线MN 与AC 所成的角即为直线1CD 与AC 所成的角， 又因为1ACD △是等边三角形，所以直线1CD 与AC 所成的角为π3，故直线MN 与AC 所成的角是π3，故B 正确；对于C ，如图，假设直线MN ⊥平面ADN ，又因为DN ⊂平面ADN ，所以MN DN ⊥，而MNDN DM =，这三边不能构成直角三角形， 所以DN 与MN 不垂直，故假设错误，故C 错误；对于D ，如图，连接11,A B A M ，因为111,A B CD CD MN ∥∥，所以1//A B MN ，所以平面BMN 截正方体所得的截面为梯形1A BNM ，且11MN A B A M BN ====，所以截面面积为1928×=，故D 正确. 故选：ABD.10．ACD【分析】根据函数()f x 的图象，求得()π2cos(3)4f x x =−，可得判定A 正确，B 不正确，再结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，可判定C 、D 正确.【详解】由函数()f x 的图象，可得1πππ()24123T −−，可得2π3T =，则2π3T ω==， 又由2A =，所以()()2cos 3f x x ϕ=+， 又由ππ3π()2cos(3))2cos()0444f ϕϕ=×+=+=，即3πcos()04ϕ+=， 因为ππ22ϕ−<<，所以3ππ42ϕ+=，可得π4ϕ=−，所以()π2cos(3)4f x x =−， 所以A 正确；B 不正确；对于C 中，由πππ()2cos(3)212124f =×−=为函数()f x 的最大值， 所以直线π12x =为()f x 图象的一条对称轴，所以C 正确； 对于D 中，将()f x 图象上的所有点向左平移π4个单位长度，可得πππ2cos[3()]2cos(3)2sin 3442y x x x =+−=+=−，所以D 正确. 故选：ACD. 11．ACD【分析】先作出函数图象，结合图象逐一判定即可. 【详解】解：()()2832f f f −==− ，故A 正确； 作出函数()f x 的图象如图所示，观察可知，04λ<<，而()()0,4f λ∈， 故()y f x =，()y f λ=有3个交点，即函数()g x 有3个零点，故B 错误； 由对称性，4b c +=，而31log ,05a∈， 故314log ,45a b c++∈+，故C 正确；b ，c 是方程240x x λ−+=的根，故bc λ=，令31a λ−−=，则()3log 1a λ=−+， 故()3log 1abc λλ=−+，而y λ=，()3log 1y λ+均为正数且在()0,4上单调递增，故()34log 5,0abc ∈−，故D 正确， 故选：ACD. 12．4【分析】直接利用方差公式求解即可. 【详解】设12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数为x ，则1221,21,,21n x x x ++⋅⋅⋅+的平均数为121[(21)(21)(21)]21n x x x x n ++++⋅⋅⋅++=+， 所以1221,21,,21n x x x ++⋅⋅⋅+的方差为：()()(){}22212121(21)21(21)21(21)n x x x x x x n +−+++−++⋅⋅⋅++−+=()()()2221214414n x x x x x x n ×−+−+⋅⋅⋅+−=×=.故答案为：4.13【分析】首先证明BC ⊥平面PAB ，再根据线面角的定义，即可作出线面角的平面角，再计算这个平面角的大小. 【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，故可得BC PA ⊥，又BC AB ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，故BC ⊥平面PAB ，连接EB ，故CEB ∠即为所求直线CE 与平面PAB 所成角.由2,1,PA AD AB ===，故在直角三角形CBE 中2BC =，BECE则cos BE CEB CE ∠=CE 与平面P AD14．5 【分析】根据题意，得到A 中最大元素不超过1，最小元素不小于1−，再跟进集合A 元素的个数，分类讨论，结合集合中元素的性质，即可求解.【详解】解：若A 中最大元素为大于1的元素为a ，则2a a >，不满足题意，故A 中最大元素不超过1，同理可得A 中最小元素不小于1−，若集合A 中只有一个元素a ，则2a a =，可得0a =或1a =，所以{}0A =或{}1A =，若集合A 中有两个元素(),11a b a b −≤≤≤，则2a a =或2a b =，当2a a =时，可得1a =（舍去）或0a =，此时2b b =，可得1b =，所以{}1,0A =−； 当2a b =时，0a ≠，所以0b ≠，可得ab a =，截得1b =，所以21a =，所以1a =−或1a =（舍去），所以{}1,1A =−；若集合A 中有三个元素(),11a b a b −≤≤≤，则2a a =或2a b =或2a c =，当2a a =时，0a =或1a =（舍），此时2b a ≠，2b b ≠，2c a ≠，所以2b c =，2c c =或2c b =，解得1c =，1b a =−<，（舍去），当2a b =时，0a ≠，10b >>，可得2b b ≠，2b a ≠，所以2b a =，0b =，即{}1,0,1A =−，其集合A 中有四个或四个以上元素(),,,,11a b c d a b c d ⋅⋅⋅−≤<<⋅⋅⋅<<≤，则由上推导可得1a =−，1d =，0b c =⋅==，矛盾，即此时A 无解．综上，所满足条件的集合A 可以为{}{}{}{}{}0,1,1,1,1,0,1,0,1−−，共5个．故答案为：5．15．(1)0.0075x =(2)224【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可；（2）首先判断中位数在[220,240)内，再设出未知数，列出方程，解得即可.【详解】（1）由频率分布直方图可得()200.0020.00950.0110.01250.0050.00251x ×++++++=， 解得：0.0075x =.（2）由于(0.0020.00950.011)200.5++×<，(0.0020.00950.0110.0125)200.5+++×>，因此理科综合分数的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.5a ++×+×−=， 解得224a =，∴月平均用电量的中位数为224.16．(1)12118i 77118i 77z z =+ =− 或12118i 77118i 77z z =− =+(2)117,22∞ −−∪−+【分析】（1）设出12,z z 的代数形式根据复数相等可得答案；（2）求出a 与b 的坐标，根据向量夹角为钝角列出t 的不等式可得答案.【详解】（1）不妨设()1i ,z a b a b =+∈R ，则2i z a b =−， 因为12z z ､满足方程()1241i 95i z z +−=−，所以()()()4i 1i i 95i ++−−=−a b a b ，可得()()53i 95i −+−=−a b b a ，所以5935a b b a −= −=− ，解得11787a b = =−， 所以12118i 77118i 77z z =+ =− ，或12118i 77118i 77z z =− =+；（2）设112z i =+，则212i z =−，因为复数12z z ､所对的向量分别是a 与b ，所以()1,2a = ，()1,2b =− ，可得()()()1,21,21,22−=−−=−+ ta b t t t ，()()()21,221,23,2+=+−=− a b ，若向量ta b − 与2a b + 的夹角为钝角， 则()()202−⋅+<−⋅+ ta b a b ta b a b ，且()()212−⋅+≠−−⋅+ ta b a b ta b a b ，0<1≠−，解得7t >−，12t ≠−， 实数t 的取值范围是117,22∞ −−∪−+. 17．(1)(),2−∞(2)(],2−∞【分析】（1）变形得到()()24220x x −+<，结合220x +>得到240x −<，求出解集；（2）换元后得到242t m t+≤对任意[]1,4t ∈恒成立，由基本不等式求出最小值，得到答案. 【详解】（1）当1m =时，可得()1428x x f x +=−−， 即14280x x +−−<，整理为()()24220x x −+<，因为220x +>，所以240x −<，解得2x <，所以不等式()0f x <的解集为(),2−∞；（2）因为[]0,2x ∀∈，令[]21,4x t =∈，可得()228f t t mt =−−， 由()12f x ≥−，可得22812t mt −−≥−，[]0,2x ∀∈，()12f x ≥−恒成立，即242t m t+≤对任意[]1,4t ∈恒成立，又因为242222t t t t +=+≥=，当且仅当22t t =，即2t =时取等， 所以2m ≤，即实数m 的取值范围为(],2−∞．18．(1)证明见解析；【分析】（1）先证明线面垂直，通过线面垂直得到线线垂直，再证线面垂直，最后得到面面垂直即可； （2）先作出底面的垂线，再由垂足作两个面的交线的垂线，最后连接交线的垂足与斜足构成二面角的平面角求解即可.【详解】（1）因为AB 是底面的一条直径，C 是下底面圆周上异于,A B 的动点，所以AC BC ⊥，又因为CD 是圆柱的一条母线，所以CD ⊥底面ACB ，而AC ⊂底面ACB ，所以CD AC ⊥，因为CD ⊂平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，且CD BC C ∩=， 所以AC ⊥平面BCDE ，又因为AC ⊂ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCDE ；（2）如图所示，过A 作圆柱的母线AM ，连接DM ，EM因为底面ABC //上底面DME ，所以即求平面ADE 与平面DME 所成锐二面角的大小，因为,M E 在底面的射影为,A B ，且AB 为下底面的直径，所以EM 为上底面的直径，因为AM 是圆柱的母线，所以AM ⊥平面DME ，又因为EM 为上底面的直径，所以MD DE ⊥，而平面ADE DME DE =， 所以MDA ∠为平面ADE 与平面DME 所成的二面角的平面角，又因为D 在底面射影为C ，所以3DEBC ==，6ME AB ==，所以DM =AM = 又因为AM ⊥平面DME ，DM ⊂平面DME ，所以AM MD ⊥， 所以AD =所以cos MD MDA AD ∠=即平面ADE 与平面ABC 19．(1)1m =(2)单调递增，证明见解析 (3)170,12【分析】（1）根据()()=f x f x −，得到方程，求出1m =；（2）先得到()122x xg x =+，定义法判断函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论； （3）参变分离得到1a ≤()()211221x x x h x +=+−，换元后得到1123y t t=++−，根据单调性求出其最值，得到结论.【详解】（1）()44log 2x x m f x +=定义域为R ， ()44log 2x x m f x −−+−=， 由于函数()44log 2x x m f x +=为偶函数，所以()()=f x f x −， 即4444log log 22x x x x m m −−++=，即4422x x x x m m −−++=， 即()()1410x m −−=恒成立， 1m ∴=．（2）已知函数()()444log log 2x x m f x g x +==，由于函数4log y x =在()0,∞+上单调递增， 由第（1）问可得1m =，因此()122x x g x =+不妨设1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <则()()212121112222x x x x g x g x −=+−+()()122121212122122221222x x x x x x x x x x +− =−+=−− ⋅因为12x x <，因此21220x x −>，由因为1x ，()20,x ∈+∞，因此2121x x +>， 所以211102x x +−>，故()()210g x g x −>，所以函数()g x 在()0,∞+单调递增．（3）由题得()4441log log 22x x x a a +≥⋅−在区间(]1,2上恒成立，即4122x x x a a +≥⋅−在区间(]1,2上恒成立， 因为(]1,2x ∈，所以1213x<−≤，所以()211221x x x a +≤+−在区间(]1,2上恒成立， 令()()211221x x x h x +=+−，令()2135x t t +<≤， 则()21112323t y h t t t t t==+=+−++−， 因为23y t t=+−在(]3,5单调递增， 所以函数()h t 在(]3,5上单调递减，故()()min 17512h t h ==． 1712a ∴≤． 20x a a ⋅−> 对任意的(]1,2x ∈恒成立，且1213x <−≤， 0a ∴>．∴实数a 的取值范围是170,12．。
四川省年高一下学期期中测试数学试题
高一下学期半期测试数学试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.． ．． ．．若向量，满足的夹角为，则a b ||a = 60︒|2a b +． B ． D ．2342．已知函数．若对于任意实数x ，都有()sin f x ω⎛= ⎝()f x二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.A ．B ．C ．16I =31I I ≥3I ≤12．.设为两个非零向量的夹角，已知当实数变化时的最小值为，则下列选项不正确的有θa ,b t |a +tb |2( )A ．若确定，则唯一确定B ．若确定，则唯一确定 θ|a |θ|b |C ．若确定，则唯一确定D ．若确定，则唯一确定|a |θ|b |θ三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共40分. 13．已知向量，则___________.()()1,,,4,//a x b x a b ==x =14．____sin 80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=15．东方设计中的“白银比例”是“黄金比例”，传达出)1:2一种独特的东方审美观．折扇的纸面可看作是从一个大扇形纸面中剪掉一个小扇形纸面后剩下的图形（如图）．设制作折扇时剪下的小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，当时，扇面看上1S 2S 12:S S =去较为美观，那么剪下的小扇形半径与原大扇形半径之比的平方为________.16．已知是的外心，且，则______． ． O ABC A 3450OA OB OC ++=cos BAC ∠=(第15题)四、解答题：本大题共6个小题，共计70分.17．(10分)已知向量，，求：()3,1a =- ()1,2b =-(1)； (2)；(3).a b ⋅()2a b + ()()a b a b +⋅-(2)若△ABC a 的值. b =ABCD，AB=2，E BC P AB22．（12分）如图，在正方形中为的中点，点是以为直径的圆弧上任一点．设AP=xAE+yAD，(1)求的最大值、最小值．(2)求的取值范围．x－2y x+y3.【答案】A【解析】【分析】直接利用向量垂直的坐标运算公式列方程得答案.【详解】，，， a b ⊥(2,4)a= (,3)b m = ，2120m ∴+=解得. 6m =-故选：A. 5.【答案】B【解析】【分析】利用向量共线定理即可判断.【详解】“与共线”等价于.a b λ+ 4a b λ+ ()=4a b k a b λλ++ 因为，是两个不共线的非零向量，所以，解得：.a b 14k kλλ=⎧⎨=⎩2λ=±所以“与共线”是“”的必要不充分条件. a b λ+4a b λ+2λ=故选：B7.A 【解析】【分析】先通过条件求出，然后根据展开计算即可.a b ⋅ |2|a b += 【详解】由已知得，1cos ,2160cos a b a b a b ⋅=︒⋅=⨯=⨯则.|2|a b +====故答案为：A .9.答案 DC 解析 由正弦定理知，，a sin A =bsin B 所以，sinB =bsin Aa =3×121=32所以，经检验，均符合题意． C =60∘或120∘故选：． CD 10.BC【解析】根据向量加减法法则和数量积的运算判断各选项．故选：ABC 12.CDB 解析 令f(t)=|a +tb |2=a 2+2t ⋅a ⋅b +t 2⋅b 2恒成立， ∴Δ=4(a ⋅b )2−4a 2⋅b 2=4a 2⋅b 2(cos θ−1)≤0当且仅当时，取得最小值， t =−2a ⋅b 2×b2=−|a ||b |cos θf(t)2，化简．∴(−|a |∣b∣cos θ)2+b 2+2(−|a ||b |cos θ)⋅a ⋅b +a 2=2a 2sin 2 θ=2确定，则唯一确定 ∴θ|a |所以BCD 均不正确 故选：． BCD解析 (1)如图所示，在中，△ABD ， ∵∠BAD =∠BAC +∠DAC =30∘+45∘=75∘，∴∠ADB =60∘由正弦定理可得，．AB sin ∠ADB =ADsin ∠ABD ，AD =3sin 45∘sin 60∘=2(2)， ∵∠ABC =∠ABD +∠DBC =45∘+75∘=120∘，∠BAC =∠BCA =30∘．∴BC =AB =3，∴AC =3在中，由余弦定理得，， △ACD CD 2=AC 2+AD 2−2AC ⋅ADcos ∠DAC =5即(海里)CD =5答：间的距离为海里． AD =2，C ，D 522. (1) 最大值为最小值为; (2)2，1−2[0,5+14]解析 (1)如图，取中点以点为原点，以所在直线为轴，如图建立平面直角坐标系，AB O ，O AB x 设∠结合题意，可知POB =θ，A (－1,0)，B (1,0)，C (1,2)，，D(－1,2)，E(1,1)，P(cosθ,sinθ)(θ∈[0,π])所以AP =(cos θ+1,sin θ),AE =(2,1),AD =(0,2)又AP =xAE +yAD =x(2,1)+y(0,2)=(2x,x +2y)，所以(2x,x +2y)=(cosθ+1,sinθ)，即 {2x =cosθ+1x +2y =sinθ⇒{x =cosθ+12y =2sinθ−cosθ−14，则有x−2y =cosθ−sinθ+1=2cos(θ+π4)+1，又由则θ∈[0,π]，θ+π4∈[π4,5π4]，当时θ=0，(x−2y )max =2，当时；θ=3π4，(x−2y )min =1−2故的最大值为最小值为x +2y 2，1−2，(2)根据题意 ，{x =cosθ+12y =2sinθ−cosθ−14，则 x +y =cosθ+12+2sinθ−cosθ−14=14(2sinθ+cosθ+1)=54sin(θ+φ)+14，其中为锐角)tanφ=12,φ因为所以 φ≤θ+φ≤π+φ，sin(π+φ)≤sin(θ+φ)≤1，所以所以 −15≤sin(θ+φ)≤1，0≤x +y ≤5+14，即的取值范围为.x +y [0,5+14]。
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四川省攀枝花市2016-2017学年高一数学下学期半期调研检测试题注意事项：1. 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2. 全卷满分150分,考试时间120分钟。
3. 只交答题卡，试卷学生带走，以备讲评。
第I 卷（选择题 共60分）1．已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率大于1，则m 的取值范围是( ) A.(5，8) B.(8,+∞) C.(,8)D.(5,)2．已知向量=(12=(1)x x +-,a b ,),. 若a 与b 垂直，则||b =（A ）1 （B （C ）2 （D ）43．设向量 ,均为单位向量，且|＋|1=，则与夹角为 （ ）A 4．在△ABC 中，15a =，10b =，60A =，则cosB =A ．13 B ．3 C ．3．35．已知三角形ABC 中，a = c = 2,∠A=30°，则边b=（ ）A. 16．在△ABC 中，22sin sin (sin sin )sin A C A B B -=-，则角C 等于( ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 7．已知等差数列}a {n 的公差为2，若431a ,a ,a 成等比数列，则1a = A ．－4 B ．－8C ．－6D ．－108．等比数列{}n a 的各项均为正数，且187465=+a a a a ，则=+⋅⋅⋅++1032313log log log a a a （ ）A ．5log 23+B ．8C ．10D ． 129．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2 009的值是( )A ．2 008×2 009B ．2 008×2 007C ．2 009×2 010D ．2 009210．若0(,)b a a b R <<∈，则下列不等式中正确的是（ ）. （A ）b 2＜a 2 （B ）1b ＞1a（C ）-b ＜-a （D ）a -b ＞a+b11．下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是 （ ） A.xx y 4+= B.x x y lg 1lg +=C.11122+++=x x y D.322+-=x x y12．若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，则m 的范围是 A ． [1,9) B ． (1,9) C ． (,1](9,)-∞⋃+∞ D ．(,1)(9,)-∞⋃+∞ 第II 卷（非选择题 共 90分）二、填空题（请将正确的答案写在答题卡上相应位置，每个题5分，共20分）： 13、已知直线斜率的绝对值等于１，直线的倾斜角 ．14．已知平面向量(2,1)=-a ，向量(1,1)=b ，向量(5,1)=-c ． 若()//k +a b c ，则实数k 的值为 ．15．等比数列{}n a 中, ____________S ,12,415105===则S S 16．若0>a ，0>b ，且0)ln(=+b a ，则ba 11+的最小值是 ． 三、解答题：17．（本小题满分10分） 已知a=（1,2）,b=（-3,1）. (Ⅰ) 求a －2b ；（3分） (Ⅱ) 设a, b 的夹角为θ,求θcos 的值（3分）;(Ⅲ)若向量a ＋kb 与a －kb 互相垂直，求k 的值（4分）.18．（本小题12分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c，若（Ⅰ）求A ；，求ABC ∆的面积19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边， 且b A b B a =-cos sin 3, (1)求A ∠的大小；（2）若4b c +=，当a 取最小值时，求ABC ∆的面积.20．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)．(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .．21．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，并且对于任意*n N ∈，都有121nn n a a a +=+． （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设数列1.+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．22．（本小题满分12分）设数列{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且1233,3,4a a a ++构成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令n nnb a =,求数列{}n b 的前n 项和n T ．参考解答1．答案】D 【解析】由题意知：,得即∴5＜m ＜2．【答案】B 【解析】若a 与b 垂直,则0121=-=+--=⋅x x x b a ，解得1=x .||b =21)1(22=+-.3．【答案】C.【解析】（＋）21=，∴〈，4． 【答案】C 【解析】由sin sin a b A B =得1510sin cos sin 60sin 33B B B =∴==5．【答案】A 【解析】∠A=∠C=30°，∴∠B=120°，由余弦定理可得b=6． 【答案】B.【解析】22222sin sin (sin sin )sin A C A B B a c ab b -=-⇒-=-222222a c ab b a bc ab⇒-=-⇒+-=2221cos 22a b c C ab +-⇒==,所以3C π=. 7．【答案】B 【解析】因为等差数列}a {n 的公差为2，若431a ,a ,a 成等比数列，则23411a a a ,a 8=∴=-.8．【答案】C 【解析因为等比数列{}n a 的各项均为正数，且564747110a a a a 18a a 9a a +=∴==，则53132log al++⋅⋅. 9．【答案】A 【解析】本题主要考查数列的通项公式。
由条件可知n a a n n 2-1=+，所以=++++=)-()-()-(20082009321212009a a a a a a a a 2)40160(20094016420+=+++ .10．【答案】D 【解析】因为b<0,所以-b>b.所以a-b>a+b.即D 正确 11．【答案】D 【解析】试题分析： 0>x ， A ：4424=⋅≥+=xx x x y ，即函数的最小值为4；B ：当0lg <x 时，函数不满足题意；C ：令12+=x t ，则t t x x y t 1111,122+=+++=>在,),1(+∞上单调递增，函数没有最小值；D ：22)1(3222≥+-=+-=x x x y ，即函数的最小值为2．12．【答案】A 【解析】由02)1()1(2>+-+-x m x m 解集为R ，即为恒成立成，可得：（1）当10,m m -==时；20>成立；（2）当1m >时；20,4(1)8(1)0,19m m m <-+-<<<成立；（3）当1m <时；不成立。
综上可得实数m 的取值范围；[1,9).13、【答案】45˚或135˚；14．【答案】1215．【答案】28【解析】由等比数列的性质知：51051510,,S S S S S --成等比数列，所以510515104,8,16S S S S S =-=-=，解得2815=S ．16．【答案】4【解析】n （a+b ）=0，++b a）17．解：(Ⅰ) b a2-=（1,2）-2（-3,1）=（1+6,2-2）=（7,0）；……………..（3分）（Ⅱ）12)3(112)3(1cos 22+-+⨯+-⨯=⋅⋅=b a b a θ=102-； ………………………（6分） (Ⅲ)因为向量k +与k -互相垂直，所以（k +）·（k -）=0 即0222=-b k a 因为2=5，102=，所以01052=-k 22±=⇒k ; …………………………（10分）．（Ⅱ）由余弦定理A bc c b a cos 2222⋅-+=4=∴bc19．解析：(1)由正弦定理得B A B B A sin cos sin sin sin 3=- 又0sin ≠B C 1cos sin 3=-∴A A 即216sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πA 3π=∴A （2）22222222cos ()3163()42b c a b c bc A b c bc b c bc +=+-=+-=+-≥-=（当且仅当2==c b 时等号成立）a 的最小值为21sin 2ABC S bc A ∆==20．解析 (1)因为S n ＋n ＝2a n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)．两式相减得a n ＝2a n －1＋1.所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n ＋1}为等比数列．因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1得a 1＝1.a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝a n ＋2n ＋1=2n ＋2n .所以T n ＝n n 22...322222122321+++⨯++⨯++⨯+()()n n +++++++++=...32122 (22232)()()21.221212n n n++--=2221-++=+n n n 21．解析：（1）111a =，因为121n n n a a a +=+，所以1112n n a a +-=， ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，∴121nn a =-，从而21n a n =-．…6分（2）因为()()11111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭……………………8分所以12231n n n T a a a a a a +=+++ (11111)112335212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…．………………12分 22．解析：（Ⅰ）由已知12313273432a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，．又37S =，可知2227q q ++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，．11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=． 6分（Ⅱ）由于1=2n n n n n b a -=,所以01112+++,222n n n T -=1211121+++,22222n n n n n T --∴=+ 两式相减得：12111111212(1)2.22222222n n n n n n n n n T -+=++++-=--=- 124.2n n n T -+∴=- 12分。