高考数学二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练(八) Word版含解析

14个填空题综合仿真练(八)
1．已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝________.
解析：因为A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x<2}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}．
答案：{x|－1<x<2}
2．若复数z满足z(1－i)＝2i(i是虚数单位)，z是z的共轭复数，则z＝________.
解析：∵z(1－i)＝2i，∴z＝
2i
1－i
＝
2i(1＋i)
(1－i)(1＋i)
＝－1＋i，∴z＝－1－i.
答案：－1－i
3．在区间(0,5)内任取一个实数m，则满足3<m<4的概率为________．
解析：根据几何概型的概率计算公式得，满足3<m<4的概率为P＝4－3
5－0＝
1 5.
答案：1 5
4．已知一组数据x1，x2，…，x100的方差是2，则数据3x1,3x2，…，3x100的标准差为________．
解析：由x1，x2，…，x100的方差是2，则3x1,3x2，…，3x100的方差是18，所以所求标准差为3 2.
答案：3 2
5．某算法流程图如图所示，该算法运行后输出的k的值是________．
解析：根据流程图执行程序依次为：S＝1，k＝1；S＝3，k＝2；S＝11，k＝3，S＝11＋211，k＝4，S>100，结束循环，故输出k＝4.
答案：4
6．设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的边长为1，其表面积为14，则AA1＝________.
解析：正四棱柱的表面积为14，两个底面积之和为2，故侧面积为12，则AA1＝3.
答案：3
7．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
y ≤x ＋2，y ≥x ，
0≤y ≤4，
x ≥0
表示的平面区域的面积为S ，则S 的值为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，得面积S ＝12
(42
－22)＝6. 答案：6
8．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为________．
解析：易得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3，设t ＝ωx －π3，因为0<x <π，所以－π3<t <ωπ－π
3.因为函数f (x )在(0，π)上有且仅有两个零点，所以π<ωπ－π3≤2π，解得43<ω≤7
3
.
答案：⎝⎛⎦⎤
43，73
9．若两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且(a ＋2b )⊥(a －2b )，则向量a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值是________．
解析：由(a ＋2b )⊥(a －2b )，得(a ＋2b )·(a －2b )＝0，即|a |2－4|b |2＝0，则|a |＝2|b |， cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝
(a ＋b )·(a －b )
|a ＋b ||a －b |
＝a 2－b 2
a 2＋2a ·
b ＋b 2·a 2－2a ·b ＋b 2＝3b 2
21b 2
＝
21
7
. 答案：
217
10．已知函数f (x )＝e x －
1－tx ，∃x 0∈R ，f (x 0)≤0，则实数t 的取值范围为________． 解析：若t ＜0，令x ＝1t ，则f ⎝⎛⎭⎫1t ＝e 1t －1－1＜1e －1＜0；若t ＝0，f (x )＝e x －1
＞0，不合题意；若t ＞0，只需f (x )min ≤0，求导数，得f ′(x )＝e x －
1－t ，令f ′(x )＝0，解得x ＝ln t ＋1.当x ＜ln t ＋1时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(－∞，ln t ＋1)上是减函数；当x ＞ln t ＋1时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(ln t ＋1，＋∞)上是增函数．故f (x )在x ＝ln t ＋1处取得最小值f (ln t ＋1)＝t －t (ln t ＋1)＝－t ln t ．所以－t ln t ≤0，由t ＞0，得ln t ≥0，所以t ≥1，综上，t 的取值范围为(－∞，0)∪[1，＋∞)．
答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)
11．已知数列{a n }是一个等差数列，首项a 1＞0，公差d ≠0，且a 2，a 5，a 9依次成等比
数列，则使a 1＋a 2＋…＋a k ＞100a 1的最小正整数k 的值是________．
解析：设数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 5＝a 1＋4d ，a 9＝a 1＋8d . 由a 2，a 5，a 9依次成等比数列得a 2a 9＝a 25， 即(a 1＋d )(a 1＋8d )＝(a 1＋4d )2， 化简上式得 a 1d ＝8d 2， 又d ＞0，所以a 1＝8d . 所以a 1＋a 2＋…＋a k a 1
＝
a 1k ＋
k (k －1)
2
d a 1
＝k ＋k (k －1)16＞100，k ∈N *，解得k min ＝34.
答案：34 12．抛物线
y 2＝2px (p ＞0)和双曲线
x 2a 2－y 2
b 2
＝1(a ＞0，b ＞0)有一个相同的焦点F 2(2,0)，而双曲线的另一个焦点为F 1，抛物线和双曲线交于点B ，C ，若△BCF 1是直角三角形，则双曲线的离心率是________．
解析：由题意，抛物线方程为y 2＝8x ，且a 2＋b 2＝4，设B (x 0，y 0)，C (x 0，－y 0) (x 0＞0，y 0＞0)．则可知∠BF 1C 为直角，△BCF 1是等腰直角三角形，故y 0＝x 0＋2，y 20＝8x 0，解得x 0＝2，y 0＝4，将其代入双曲线方程得 4a 2
－16
b
2＝1.再由a 2＋b 2＝4，解得a ＝22－2，所以e ＝222－2
＝2＋1. 答案：2＋1
13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2cos A ＝b 3cos B ＝c
6cos C ，则
cos A cos B cos C ＝________.
解析：由题意及正弦定理得
tan A 2＝tan B 3＝tan C
6
，可设 tan A ＝2k ，tan B ＝3k ，tan C ＝6k ，k ＞0，而在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，于是k ＝11
6
，从而cos A cos B cos C ＝
320×215×112＝110
. 答案：
110
14．已知函数f (x )＝2x 3＋7x 2＋6x
x 2＋4x ＋3
，x ∈[0,4]，则f (x )最大值是________．
解析：法一：当x ＝0时，原式值为0；当x ≠0时，由f (x )＝
2x 3＋7x 2
＋6x
x 2＋4x ＋3
＝
2x ＋7＋6x x ＋4＋
3x
，
令t ＝
2x ＋7＋6x ，由x ∈(0,4]，得t ∈[2＋3，＋∞)，f (x )＝g (t )＝2t t 2＋1
＝2t ＋1t
.而t ＋1
t ≥4，
当且仅当t ＝2＋3时，取得等号，此时x ＝3，所以f (x )≤12.即f (x )的最大值为1
2
.
法二：f (x )＝2x (x 2＋4x ＋3)－x 2
x 2＋4x ＋3
＝
2x x 2
＋4x ＋3－⎝⎛⎭
⎫x x 2＋4x ＋32， 于是令t ＝
x
x 2＋4x ＋3
，所求的代数式为
y ＝2t －t 2. 当x ＝0时，t ＝0；当x ≠0时，有t ＝
1
x ＋4＋3x
≤123＋4＝2－32，所以t ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2－32，
当t ＝
2－3
2时， 2t －t 2有最大值1
2
，此时x ＝ 3.
答案：1
2。