九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.2 30°,45°,60°角的三角函数值教案 (新版)北师大版
九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.2 30°,45°,60°角的三角函数值作业设计
1.2 30 °，45 °，60 °角的三角函数值一、选择题1．sin60°的值为（）A. B. C. D.2．若∠A=30°，则下列判断正确的是（）A．sin A=B．cos A=C．tan A=D．cot A=3．计算sin245°+cos30°×tan60°的结果是（）A．2 B．1 C. D.4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A，则tan A等于（）A. B. C. D.5．若∠α为锐角，且tan（α-10°）=，则∠α等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°6．如图，小明爬一土坡，他从A处到B处所走的直线距离AB=4 m，此时，他距离地面的高度h=2 m，则这个土坡的坡角∠A的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．以上都不对7．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A. m B．4 m C．4m D．8 m8．如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A．2 m B．2 mC．（2-2）m D．（2-2）m9．如图，要测量点B到河岸AD的距离，在点A测得∠BAD=30°，在点C测得∠BCD=60°，又测得AC=100 m，则点B到河岸AD的距离为（）A．100 m B．50 m C. m D．50 m二、填空题10．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，如果sin A=，cos B=，那么∠C=________°．11．若α是锐角，tanα=2cos30°，则α=________°.12．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在点C测得∠ACB=30°，在点D测得∠ADB=60°，若CD=100 m，则河宽AB为________m（结果保留根号）．13．在△ABC中，若锐角∠A，∠B满足关系式+（sin B-）2=0，则∠C=________°.14．如图，在△ABC中，∠A=30°，tan B=，BC=，则AB的长为________．三、解答题15．计算：（1）（2cos45°-sin60°）+；（2）-tan45°+tan30°；（3）cos245°+-×tan30°；（4）+3tan30°-（-5）0-（-）-1.16．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：在一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板的直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．17．如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tan B=.（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，）．18．对于钝角∠α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α）．（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的度数之比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．参考答案一、1．C2．A 3．A4．B 5．C 6．A 7．B 8．B 9．B二、10．105 11．60 12．5013．75 14．3+三、15．解：（1）原式=×（2×-）+=2-+=2．（2）原式=-1+×=1-1+1=1．（3）原式=（）2+-×=+-1=．（4）原式=-1+3×-1+3=-1+-1+3=2+1．16．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，∴AC==2，∴EF=AC=2．∵∠ECF=90°，∠E=45°，∴FC=EF·sin E=，∴AF=AC- FC=2-．∴AF的长为2-．17．解：（1）如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D．∵∠ACB=150°，∴∠ACD=30°.在Rt△ADC中，AC=4，∴AD =AC =2，CD =AC ·cos30°=4×=2．在Rt△ABD 中，∵tan B ===，∴BD =16． ∴BC =BD - CD =16-2．（2）如图，在BC 边上取一点M ，使CM =AC ，连接AM ． ∵∠ACB =150°，∴∠AMC =∠MAC =15°． ∴tan15°=tan∠AMD ==≈0.3．18．解：（1）由题意，得sin120°=sin （180°-120°）=sin60°=，cos120°=-cos （180°-120°）=-cos60°=-， sin150°=sin （180°-150°）=sin30°=． （2）∵三角形的三个内角的度数之比是1：1：4， ∴三个内角分别为30°，30°，120°．①当∠A =30°，∠B =120°时，方程的两根分别为，-． 将x=代入方程，得4×（）2-m -1=0，解得m =0． 经检验，x=-是方程4x 2-1=0的根，∴m =0符合题意． ②当∠A =120°，∠B =30°时，两根均为，不符合题意．③当∠A =30°，∠B =30°时，两根分别为12，.将x=代入方程，得4×（）2-m -1=0，解得m =0． 经检验，x=不是方程4x 2-1=0的根．综上所述，m=0，∠A=30°，∠B=120°．。
1.2 30°,45°,60°角的三角函数值 课件(共16张PPT) 初中数学北师版九年级下册
tan 60 3a 3 a
30° 60°
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
45°：
设两条直角边长为a，则斜边长＝ a2 a2 2a
sin 45 a 2 2a 2
cos 45 a 2 2a 2
45°
tan 45 a 1 a
学习目标
自主学习
解:在Rt△ACD中，∠CAD＝30°,∴tan30°＝ CD
AD
∴CD＝AD·tan30°＝ 5 3 5 3
33
∴CE＝1.75+ 5 3 ≈4.6（m）
3
∴这棵树高约4.6m.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
1 1.如果∠α是等边三角形的一个内角，则cosα=__2__.
3
2.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,则tanA=__3__.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
3.计算下列各题：
（1） 2sin60°- 3 cos45°； （2）2sin2 60°tan30°+ tan45°
解：（1）原式 2 3 3 2
2
2
2
（2）原式
2
3 2
3 1 3
6 6 0 22
2 3 3 1 43
3 1 2
学习目标
课堂总结
你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
90°
30°
90°
60°
45°
45°
02-第一章230°,45°,60°角的三角函数值
60°.
栏目索引
解析 (1)原式=3× 3 -2× 3 -2× 2 = 3 - 3 - 2 =- 2 .
3
2
2
1 -1
(2)原式= 2
3
2
3-6 3
=
3 -3 3
=
3 (-3 3
=
3)(2
3-3) = 27-15
3
=9-5
3.
3 1 2 3 3 2 3 3 (2 3 3)(2 3-3)
2
cos α
3 2
45°
2
2
2
2
60°
3
1
2
2
tan α
3 3
1
3
2 30°,45°,60°角的三角函数值
栏目索引
知识拓展 (1)通过该表可以知道30°,45°,60°角的三角函数值,它的另一个
应用是如果知道了一个锐角的三角函数值,就可以求出这个锐角的度数.
例:若sin θ= 2 ,则锐角θ=45°.
3
2 30°,45°,60°角的三角函数值
3.点A(cos 60°,-tan 30°)关于原点对称的点A1的坐标是 (
A.
-
1 2
,
3
3
C.
-
1 2
,-
3
3
B. -
3, 2
3
3
D.
-
1 2
,
3
2
栏目索引
)
答案 A 关于原点对称的两点的横、纵坐标分别互为相反数.
2 30°,45°,60°角的三角函数值
例2 如图1-2-2,在相距100 m的A,B两处观测工厂C,测得∠BAC=60°,∠ ABC=45°,则A,B两处到工厂C的距离分别是多少?(结果保留根号)
九下北1.2 30度_45度_60度角的三角函
a b 2 证明 : sin A , cos A , a b 2 c 2 , c c c2 2 a a b sin 2 A cos2 A ┌ c c A b C 2 2 2 a b c 2 2 1 . 即 sin A cos A 1. 2 2 c c 2 2 sin A 1 cos A. 或sin A 1 cos2 A. 灵活变换:
3.如图,Rt△ABC中,∠C=90° ∠A,∠B ,∠C的对边分别是 a,b,c.求证:sin2A+cos2A=1
友情提示: sin2A+cos2A=1它反映了同 角之间的三角函数的关系, 且它更具有灵活变换的特点, 若能予以掌握,则将有益于 智力开发.
c
B
a
A
b
┌ C
随堂练习P128
同角之间的三角函数的关系
解答
?
2 3 1 1 2 2
2
3 1 1 4 4
cos2600表示 (cos600)2, 其余类推.
0.
含 30°，45°，60°角的三角函数值的计算(重点)
3．锐角在△ABC 中，若 C 的度数是( C ) A．45° 4．计算： (1)sin45°· cos60°－cos45°· sin30°； B．60° C．75° D．105°
3 1 4 (1) 2sin45° －2cos60° ＝________.
30°，45°，60°角的三角函数值 1 ．如果α是等边三角形的一个内角，那么 cosα的值等于 ( A) 1 A. 2
1.2 特殊角的三角函数值(课件)-2023-2024学年九年级数学下册(北师大版)
30°
60°
45°
45°
思考：你能用所学知识，算出30°，45°，60°的三角函数值吗？
二、自主合作，探究新知
探究一：30°、45°、60°角的三角函数值
问题(1)：sin30°等于多少?你是怎样得到的？
30°
2a
与同伴进行交流.
(2)：cos30°等于多少?tan30°呢？
锐角三角函数的增减性：
当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大
增大（或减小）；
（或减小）而 _______
余弦值随着角度的增大（或减小）而 减小（或增大）
_______
.
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：计算:(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°.
A．10 m
10 3
B.
m
3
B
)
5 3
C.
m
2
D．5 3 m
1
2
5.如果∠α是等边三角形的一个内角，则cosα=____.
3
6.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,则tanA=____.：
（1）cos260°＋sin260°
cos 45
tan
45
（2）
sin 45
解： （1） cos260°＋sin260°
（2）
＝1
＝0
三、即学即练，应用知识
8.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，
小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离地面1.6m，
(完整版)30度,45度,60度角的三角函数值
例题欣赏P151
行家看“门道”
例1 计算: (1)sin300+cos450; (2) sin2600+cos2600+tan450.
友情提示:
?怎样
解答
Sin2600表示(sin600)2, cos2600表示(cos600)2,其余类推.
随堂练习P162 计算: (1)sin600-cos450;
c
c
b
a
sin B b , cosB a , tan B b , cot B a .
c
c
a
b
A
B
c
a
┌
b
C
互余两角之间的三角函数关系
sinA=cosB tanA=cotB
cosA=sinB. cotA=tanB.
一个锐角的正弦,等于它的余
角的余弦(或一个锐角的余弦
B
等于它的余角的正弦);
c
一个锐角的正切,等于它 的余角
C
的余切等于它的余角的正
切);
互余两角之间的三角函数关系
一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦(或一个锐角的余弦 等于它的余角的正弦);
一个锐角的正切,等于它的余角的余切(或一个锐角的余切 等于它的余角的正切);
sin 900 cos, cos 900 sin,
A
A
1.
b
C
灵活变换: sin2 A 1 cos2 A. 或sin A 1 cos2 A.
cos2 A 1 sin2 A. 或cosA 1 sin2 A.
随堂练习P128
同角之间的三角函数的关系
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=900,∠A,∠B,∠C的对
1.2 30°,45°,60°角的三角函数值A.ppt
解：∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥CD，∠D=45°， ∴DE=AE=0.8米， ∴CD=1.2+2×0.8=2.8米， 1 ∴梯形ABCD的面积是 2 ×（1.2+2.8）×0.8=1.6平方米， 故1.6×1500=2400（立方米）． 答：该段水渠最多能蓄水2400立方米 。
5、(问题解决T6)某阶梯的形状如图所示，其中线段 AB=BC，AB部分的坡角为45°，BC部分的坡角为 30°，AD=1.5m。如果每个台阶的高不超过20cm， 那么这一阶梯至少有多少个台阶？（最后一个台阶的 高不足20cm时，按一个台阶计算） 解：在Rt△ABD中，∠BAD=45°，∴BD=AD=1.5m
因此，B、C间的距离约为7m
6o° 3.已知tanａ= 3 ,则ａ=_____
点拨（3分钟）
实际问题数学化:构建直角三角形 2.5 利用三角函数解决。
B
O
┌C A
●
D
解:如图,根据题意可知,
1 AOB 60 0 30 0 , OB OA 2.5, 2 OC
cos 30 0
3 OC OB cos30 2.5 2.165(m). 2 ∴AC=OA-OC=2.5-2.165≈0.34(m).
0
OB
,
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
当堂训练（15分钟）
1.计算; 1 (1)tan450-sin300; 2 (2)cos600+sin450-tan300;
学生自学（3分钟后检测）
自学检测2(6分钟)
1.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°,高为7m,扶梯 14m 的长度是______.
2.如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂直 于两岸.桥长12m,在C处看桥两端A,B,夹 角∠BCA=600. 求B,C间的距离(结果精确到1m).
初中九年级(初三)数学课件 30度,45度,60度角的三角函数值
2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m, 扶梯的长度是多少?
小结 拓展
回味无穷
驶向胜利
▪ 直角三角形中的边角关系
的彼岸
B
看图说话:
c
直角三角形三边的关系. 直角三角形两锐角的关系. 直角三角形边与角之间的关系. A
a
┌
b
C
特殊角300,450,600角的三角函数
300
(1)sin300等于多少?
(2)cos300等于多少?
450
(3)tan300等于多少?
450 ┌ 600 ┌
做一做P10
3
知识在于积累
(5)sin450,sin600等于多少? (6)cos450,cos600等于多少? (7)tan450,tan600等于多少? (8)cot450,cot600等于多少?
36 tan2 300 3 sin 600 2 cos 450.
2.如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂 直于两岸.桥长12m,在C处看桥两端 A,B,夹角BCA=600. 求B,C间的距离(结果精确到1m).
A
┐
B
C
驶向胜利 的彼岸
独立
P13 习题1.3 3题 作业
3.如图,身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是300和600 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为 5m,那么这棵树大约有多高?
2
4 2 sin 2 300 cos2 600 2 cos2 450.
2
7 便是欣赏P11
真知在实践中诞生
例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为 2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且 两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其
1.2 30度、45度、60度角的三角函数值
1.计算: (1)tan450-sin300; (2)cos600+sin450-tan300;
36 tan2 300 3 sin 600 2 cos 450.
2、填空：
(1)已知tanａ= 3,则ａ=（ ）
(2)已知ａ为锐角，sin（ａ-20°）=
3
则ａ=（ ） (3)已知ａ为锐角，cosａ=
2
1 ,则tanａ=(
)
2
3.如图,河岸AD,BC互相平行,桥 A
AB垂直于两岸.桥长12m,在C处看
桥两端A,B,夹角∠BCA=600.
求B,C间的距离(结果精确到1m).
┐
B
C
4.如图,身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是 300和600 的三角尺测量一棵树的高度.已知她 与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?
某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高 为7m,扶梯的长度是多少?
例3（1)∠A为锐角,sinA=
3 2
，求∠A.
（2）已知ａ为锐角，tan（90°-ａ）= 3 ，
求ａ.
（1）在Rt⊿ABC中, ∠C=90°，若cosB= 2 ，
求sinA.
2
（2）在⊿ABC中,
若| sinA- 1 |+（1- tanB）2=0，求∠C. 2
解:如图,根据题意可知,
∠AOD 1 600 300, OD=2.5m,
2
cos 300
OC
,
OD
OC OD cos 300 2.5 3 2.165(m).
2
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
O
●
2.5
B ┌C D A
1.2 30°,45°,60°角的三角函数
锐角三角函数的定义：
如图所示 在 Rt△ABC中，∠C=90°
a sin A c
b cos A c a tan A
b
sin B
b c a cos B c tan B b
B
c a A b ┌ C
a
思考：sinA和cosB,有什么关系? sinA=cosB sinB和cosA,有什么关系? sinB=cosA 在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦。 tanA和tanB，有什么关系？
求∠A、∠B的度数．
7 , AC 21
B
7
解： 由勾股定理 A C
AB AC BC
2 2
21 7
2
21
2
28 2 7
sin A
BC 7 1 AB 2 7 2
∴ A=30° ∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°
注意事项
若没有特别说明，用特殊角的三角函数值 进行计算时，一般不取近似值。
33 2 2 3 6
随
练一练
计算 : (1) sin 45 cos60 tan60 (2) sin 30 2 sin 60 tan45 tan60 cos 30
2 2
知识运用 知识运用
例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度 为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600, 且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时 与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到 0.01m).
a 1 sin 30 2a 2
3a 3 cos 30 2a 2
3a 3 sin 60 2a 2
30度,45度,60度角的三角函数值
B
c
a ┌ C
b
互余两角之间的三角函数关系 sinA=cosB tanA=cotB cosA=sinB. cotA=tanB.
B c a b
一个锐角的正弦,等于它的余 角的余弦(或一个锐角的余弦 等于它的余角的正弦); 一个锐角的正切,等于它 A 的余角的余切(或一个锐角 的余切等于它的余角的正 切);
c B
a
A b ┌ C
互余两角之间的三角函数关系 直角三角形两锐角互余:∠A+∠B=900.
由感性知识上升到理性知识: 在Rt△ABC中,sinA和cosB有什么关 系? tanA和cotB有什么关系?
a sin A , c b sin B , c b a b cos A , tan A , cot A . c b a a b a cos B , tan B , cot B . c a b
300
3
┌
独立 作业
知识的升华
P13 习题1.3 1,2,3题;
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
பைடு நூலகம்
P13 习题1.3 1,2题
独立 作业
A D
1.计算; 1 (1)tan450-sin300; 2 3 0+sin450-tan300; 3 2 2 3 ┐ (2)cos60 B
36 tan
sin A a b cos A 证明 : tan A , cot A , b a c a b tan A cot A 1. b a a b 又 sin A , cos A , A b c c b a cos sA c b sin A c a cot A. tan A, sin A a a cos A b b
30°、45°、60°角的三角函数值-九年级数学下册课件(北师大版)
难点
计算含有特殊角的三角函数值的式子。
探索与思考
问题一 指出下列三角板中的角度？
90°
30°
90°
60°
45°
45°
本节课我们尝试根据所学知识，求出图中各锐角三角函数值。
探索与思考
问题二 探索含30°角的直角板中，30°的正弦、余弦、正切值？
假设30°角所对的边AC = a，
则AB = 2a，由勾股定理得BC=
2
=1
课堂基础练
求满足下列条件的锐角 α
(1) 2sinα － = 0；
解：(1) sinα =
(2) tanα－1 = 0.
，∠α = 60°
(2) tanα =1， ∠α = 45°
探索与思考
由特殊三角函数值确定锐角度数
300
60 0
450
60 0
450
300
300
60 0
450
课堂基础练
6. 如图，河岸AD，BC互相平行，桥AB垂直于两岸。桥长12m，在C处看桥两端A,B，夹角
∠BCA=600。求B,C间的距离(结果精确到1m).
在Rt△ABC中， tan ∠ BCA =
AB
, 即 tan 6 00
BC
=
12
,
BC
∴BC≈7m.
随堂测试-提高
7 已知：| tanB－ 3 | ＋ (2sinA－ 3)2 ＝0，求∠A，∠B的度数.
一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,
且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（结
果精确到0.01m）.
北师大版九年级下册数学：1. 2 30°,45°,60°角的三角函数值 (共14张PPT)
1.2 30°，45°，60°角的 三角函数值
温故而知新
如图所示 在 Rt△ABC中，∠C=90°
（1）a、b、c三者之间的关系是 a2+b2=c2 ，
∠A+∠B=
a
sinA=
c
sinB= b c
90°
b
cosA=
c
a cosB= c
a
tanA=
b
tanB= b a
B c
4.能运用三角函数解决可以转化为直角三角形 问题的简单的实际问题。
探索新知
1、观察图形，探索 30°角的三个三角函数值：
sin 300 1 2
sin 600 3 2
cos300 3 2
cos600 1 2
30 0
tan 300 3 tan600 3 2a
3
3a
2、60°角的三角函数值是多
2 2si4 n05si6 n0 02co4s05 .
2
（3）求锐角A的度数: 2sinA 30
解决问题
如图,身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是300和 600 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间 的距离为5m,那么这棵树大约有多高?
课堂小结
直角三角形的边角关系
根据图形回答下列问题: 1、直角三角形三边的关系. 2、直角三角形两锐角的关系. 3、直角三角形边与角之间的关系. 4、特殊角300,450,600角的三角函数值.A 5、互余两角之间的三角函数关系.
B
c
a
┌
b
C
300
450
450 ┌ 600 ┌
布置作业 习题1.3 5,6题;
结束寄语
九年级数学下册教材目录(北师大版)
九年级数学下册教材目录（北师大版）第一章直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
2 30°，45°，60°角的三角函数值
3 三角函数的计算
4 解直角三角形
5 三角函数的应用
6 利用三角函数测高
回顾与思考
复习题
第二章二次函数
1 二次函数
2 二次函数的图象与性质
3 确定二次函数的表达式
4 二次函数的应用
5 二次函数与一元二次方程
回顾与思考
复习题
第三章圆
1 圆
2 圆的对称性
*3 垂径定理
4 圆周角和圆心角的关系
5 确定圆的条件
6 直线和圆的位置关系*
7 切线长定理
8 圆内接正多边形
9 弧长及扇形的面积
回顾与思考
复习题。
九年级数学 第一章 直角三角形的边角关系 1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
图K－3－5
2 30°，45 °，60°角的三角函数
解：由题意，得∠B＝90°，∠D＝30°，∠ACB＝45°，DC＝10 米， 设 AB＝x 米，则 CB＝x 米，DB＝ 3x 米， 所以 3x＝x＋10，所以( 3－1)x＝10， 所以 x＝ 31－0 1＝5 3＋5≈5×1.732＋5＝8.66＋5＝13.66≈13.7. 答：树高约为 13.7 米．
12/12/2021
12/12/2021
2 30°，45 °，60°角的三角函数
三、解答题
13．计算： (1)2017·福田区期末 sin30°－2cos230°＋(－tan45°)2018；
(2)2017· 上 海 普 陀 区 一 模
cos245
°
＋
cos30° 2sin60°＋1
－
3
×tan30°.
[解析] 根据特殊角的三角函数值，可得答案．
4×(12)2－m×12
－1＝0，解得 m＝0，即方程为 4x2－1＝0.经检验，－12是方程 4x2－1＝0 的根，∴∠A ＝30°，∠B＝120°符合题意；
33 ②当∠A＝120°，∠B＝30°时，方程的两根为 2 ， 2 ，不符合题意；
12/12/2021
2 30°，45 °，60°角的三角函数
15．如图 K－3－5，一数学兴趣小组为测量河对岸树 AB 的高，在河 岸边选择一点 C，从 C 处测得树梢 A 的仰角为 45°，沿 BC 方向后退 10 米到点 D，再次测得点 A 的仰角为 30°.求树高．(结果精确到 0.1 米，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
12/12/2021
[解析] 过点 M 作 MN⊥OB，MN 的长即为所求． ∵∠AOB＝60°，OM＝4， ∴MN＝4×sin60°＝2 3.
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《30°，45°，60°角的三角函数值》
一、教材分析
本节课是在学生已有的直角三角形有关知识的基础上，根据三角函数的定义，探究30°，45°，60°三个特殊角的三角函数值，要求能利用特殊角的三角函数值进行基本的运算，并能根据三角函数特殊值求出特殊角；能根据生活中一些较简单的实际问题抽象出一定的几何模型，并由抽象出来的几何模型进行分析和计算，得出实际问题中需要的结果，在教学中要进一步渗透三角函数中量与量之间的相互联系、以及相互转化的观点，培养学生观察、分析、比较、概括的思维能力．对已学习能力较高的学生要求很理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系和正切之间的关系，并能利用这一性质进行简单的三角变换或相应计算．
二、教学目标
知识目标
1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理．进一步体会三角函数的意义．
2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算．
3．能够根据30°，45°，60°的三角函数值说明相应的锐角的大小．
能力目标
1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力．
2．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．
情感目标
1．积极参与数学活动，对数学产生好奇心．培养学生独立思考问题的习惯．
2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教学重点
1．探索30°，45°，60°角的三角函数值．
2．能够进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算．
3．比较锐角三角函数值的大小．
教学难点：三角函数值的应用
三、教学过程
复习旧知
活动内容：如图所示在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）a、b、c三者之间的关系是，∠A+∠B=．
（2）sin A= ，cos A=，tan A=．
sin B=，cos B= ，tan B=．
教师可引导学生，sin A和cos B之间的关系tan A和tan B之间的关系，让能力强的学生理解三角函数内部之间的关系
讲解新课
1．探索30°角的三角函数值
①观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？
②sin 30°等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流．
③cos 30°等于多少？tan 30°呢？
学生探讨、交流，得出30°角的三角函数值．
教师提示学生BC=a，分别求出另外两条边的长．
2．求出了30°角的三角函数值，在同一个图中求出60°的三个三角函数值．
3．让学生画出45°角的三角形，根据图形求45°三角函数值．并完成下表
思考：
1．观察表格中函数值说说sin A 和cos B 之间的关系tan A 和tan B 之间的关系．
2．观察表格，随着角度的增加，正弦、余弦、正切值的变化情况．
3．若对于锐角α有sin α=
21，则α=． 例题讲解
例1计算：（1）sin 30°+cos 45°；（2）sin 260°+cos 260°-tan 45°．
解：（1）原式2221+=.2
21+= （2）原式=1212322-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=14143-+==0
基础练习
（1）sin 60°-cos 45°（2）cos 60°+tan 60°
（3
45sin 602cos 45︒+︒-︒ （4
22230cos 602cos 45︒+︒-︒
知识运用
例2：一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差．（结果精确到0.01 m ）
目的
1．让学生能从实际问题中抽象出几何图形，利用几何图形解答实际问题
2．熟练30°、45°、60°角的三角函数值的计算．
巩固练习
1．某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°．高为7 m，扶梯的长度是多少？
*2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．证明：sin2A+cos2A=1．
课堂小结
1．直角三角形三边的关系．
2．直角三角形两锐角的关系．
3．直角三角形边与角之间的关系．
4．特殊角30°，45°，60°角的三角函数值．
5．互余两角之间的三角函数关系．
*6．同角之间的三角函数关系
课后作业
习题1.3 1、2、3、4。