隐函数求导例题
高中数学暑期特献重要知识点隐函数的求导、微分
高中数学暑期特献重要知识点隐函数的求导、微分若已知F(x,y)=0，求时，一般按下列步骤进行求解：a)：若方程F(x,y)=0，能化为的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；b)：若方程F(x,y)=0，不能化为的形式，则是方程两边对x进行求导，并把y 看成x的函数，用复合函数求导法则进行。
例题：已知，求解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法.两边对x进行求导，，，故=注：我们对隐函数两边对x进行求导时，一定要把变量y看成x的函数，然后对其利用复合函数求导法则进行求导。
例题：求隐函数，在x=0处的导数解答：两边对x求导，故，当x=0时，y=0.故。
有些函数在求导数时，若对其直接求导有时很不方便，像对某些幂函数进行求导时，有没有一种比较直观的方法呢？下面我们再来学习一种求导的方法：对数求导法对数求导法对数求导的法则：根据隐函数求导的方法，对某一函数先取函数的自然对数，然后在求导。
注：此方法特别适用于幂函数的求导问题。
例题：已知x＞0，求此题若对其直接求导比较麻烦，我们可以先对其两边取自然对数，然后再把它看成隐函数进行求导，就比较简便些。
如下解答：先两边取对数：，把其看成隐函数，再两边求导因为，所以例题：已知，求此题可用复合函数求导法则进行求导，但是比较麻烦，下面我们利用对数求导法进行求导解答：先两边取对数再两边求导因为，所以函数的微分学习函数的微分之前，我们先来分析一个具体问题：一块正方形金属薄片受温度变化的影响时，其边长由x0变到了x0+△x，则此薄片的面积改变了多少？解答：设此薄片的边长为x，面积为A，则A是x的函数：薄片受温度变化的影响面积的改变量，可以看成是当自变量x从x0取的增量△x时，函数A相应的增量△A，即：。
从上式我们可以看出，△A分成两部分，第一部分是△x的线性函数，即下图中红色部分；第二部分即图中的黑色部分，当△x→0时，它是△x的高阶无穷小，表示为：由此我们可以发现，如果边长变化的很小时，面积的改变量可以近似的用地一部分来代替。
隐函数及参数方程求导
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
y2
x a x ,
[( x )ln x 1ln x x
x
x 1
] x
xx
x
ax
x a ). ( a x ln a ln x x
( x 1) 3 x 1 , 求 y . 6. 设 y ( x 4)2e x
( x 1) 3 x 1
( x 4)2 e x
, 求 y .
x 3 t t 3, dx 求 . 7. 设 dy 2 y 3 t , x t 2 2 t (0 1) 8. 设由方程 2 t y sin y 1 dy y y ( x ), . 确定函数 求 dx
v u y u ( v ln u ) u
v
按指数函数求导公式
（二）由参数方程所确定的函数的导数 x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系: y (t )
y y( x), 则称此函数为由参数方 程所确定的函数 .
2 x x 故 y 1 x. y t 2 ( )2 4 2 2 问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何 求函数的导数?
四、同步练习解答
1.
x 2 x y (sin x )tan x ln x 3 , 求 y . 2 (2 x) x y1 y2 分别用对数求导法求 y1 , y2 . y y1 y2 (sin x)tan x (sec2 x lnsin x 1)
ln x 3
x x ln x 1
故
[( x )ln x 1ln x x y1
x
x 1
] x
xx
x a 1 x x y a ln a ln x , ln y2 a ln x , 2 x y2 x x a a x ( a x ln a ln x ) 所以 y 2 x y y1 y2
高等数学偏导数第五节隐函数求导题库.
【090501 】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】 【隐函数的求导】【试题答案及评分标准】解：原式两边分别对 x, y 求偏导得(6分)【090502】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设函数z z(x, y)由yz zx xy 3所确定，试求Y,_Z (其中x y 0)。
x y【试题答案及评分标准】解：原式sin( y z) e x y 2两边求微分得解：原式两边对z y — x x 求导得zy 0x — xz 则—z y (6分)xy xzz x 同理可得：(10 7)')yy x也可：z F x z _y x F y y x z F y z x yF xy x【090503】【计算题】 ■0.5】【隐函数的求导公式】 【隐函数的求导】【试题答案及评分标准】【试题内容】设函数2所确定，试求足二。
x y【试题内容】设函数 z z(x, y)由z xxyet 2dt 所确定，试求xe2(xy)(10 分)z z(x,y)由 sin(y z) e x zcos(y z)(d y dz)x ze (d x d z) = 0dze x z d x cos(y z)d y e x zcos(y z)(6分)将x 1 , y 1,z 0代入上式得x zz ex e x z cos （y z ）（8分）z cos （ y z ） y e x z cos （y z ）（10 分）【090504】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设y y(x,z)由方程e x e y e z 3xyz 所确定，试求 业，业。
z【试题答案及评分标准】y eyxezy e ze y 3yz 3xz（5分）【090505】 3xy 3xz（10 分）【计算题】【中等 0.5】【隐函数的求导公式】 【试题内容】设z z(x, y)由方程23y z xy2z 所确定，试求z1 yy 1x3z 2 23z 2 2(5力) z 2y2x x22y（10分）y 3z 223z 22【090506】【试题内容】设z z(x, y)由2z 【中等0.5】【隐函数的求导公式】 cost 2 d t 所确定，试求 【试题答案及评分标准】解:2— cos （z y x ）2x （4分）cos （z y x ）2 cos （z y x ）2（10 分）【090507】【计算题】【中等 0.5】 【隐函数的求导公式】 【隐函数的求导】 【试题内容】设z z(x, y) 由方程e z2 3 一 …、 一-xy z 1所确定，试求z x（1,1,0），zy （I ,I ,0）°【试题答案及评分标准】解：方程两边求微分得e z d z y 2z 3d x3 ,2xyz d y2 2 .3xy z d z 0（6分）x【试题答案及评分标【计算题】d z 0(8 分)故 z x (1,1,0) 0,zy (1,1,0)(1。
高等数学 隐函数求导
目录 上页 下页 返回 结束
练习题答案
一、1、 4 ； 3
2、 x 11 y 23 0
3、
2
x
y
2
0；
4、sin t cos t
cos sin
t t
,2
3；
5、exx yex
y
y
.
二、1、
1 y3
；
2、-2csc2 ( x y) cot 3 ( x y)；
3、 y(ln y 1)2 x(ln x 1)2 . xy(ln y 1)3
一、填空题：
练习题
1、设 x 3 2x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0确定了 y 是 x 的函
数，则dy =________. dx (1,1)
2、曲线 x 3 y 3 xy 7在点（1，2）处的切线方程 是___________.
3、曲线
x y
t t
cos t sin t
若上述参数方程中(t),(t)二阶可导, 且 (t)0,
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d (dy) dx dx
d ( d y ) ddtx d t d x ddxt
(t)(t)(t)(t)
2 (t)
(t)
(t)(t)3 ( t)(t)(t)
目录 上页 下页 返回 结束
例5 求 由 方 程 x y a a c s o in s 3 3 tt表 示 的 函 数 的 一 阶 及 二 阶 导 数 .
dy 解 dy dt
dx dx
3asin2 tcost
3acos2 t(sint) tatn
隐函数方程组求偏导数例题
隐函数方程组求偏导数例题隐函数方程组是高数中一个十分重要的概念，其在微积分中，特别是求导中具有重要的作用。
在下面的文章中，我们将会介绍隐函数方程组和如何求解其偏导数，同时也会给出一些例题供大家参考。
一、隐函数方程组概述隐函数方程组是一个由多个方程组成的函数群，其中一些方程未明确地给出其中的变量。
这种情况下，我们需要求解这些变量，这就是隐函数方程组。
我们知道，一个二元函数可以写为 $f(x,y)=0$ 的形式，其中 $f$ 是一个连续的实函数。
当我们求解方程 $f(x,y)=0$ 时，我们可以通过隐函数定理来解出 $y$ 所对应的函数 $y=g(x)$，这就是一个隐函数方程。
当我们面对多个未知变量的时候，这个方法似乎不再适用，但实际上，我们可以通过较为复杂的方法求解隐函数方程组。
二、求解隐函数方程组偏导数的方法当我们需要求解隐函数方程组的偏导数时，我们需要使用隐函数求导公式。
这个公式是由高阶微积分学中的隐函数定理所推导出来的。
在求解偏导数之前，我们需要使用隐函数定理来确定某些未知变量的解析式。
这就是求出隐函数方程组的任意一个解。
在确定解析式之后，我们就可以使用偏导数公式来求解对应变量的偏导数。
具体来说，我们可以分为以下几个步骤：1、确定隐函数方程组的解析式。
这是通过隐函数定理推导的，需要使用高阶微积分的知识。
2、求出某一变量的一阶偏导数，使用隐函数求导公式求出。
3、求出其它变量的一阶偏导数，同样使用隐函数求导公式求出。
4、继续使用偏导数的分段公式，求出所求变量的二阶偏导数，以此类推。
三、例题现在，我们来看一个具体的例题，以便更好地了解隐函数方程组求解偏导数的方法。
假设有隐函数方程组 $x\sin y +y\cos x=0$，求 $\dfrac {\partial y}{\partial x}$ 的值。
解：首先，我们需要通过隐函数定理确定解析式，求出 $y$ 的解析式：$y=-\dfrac {x\sin y}{\cos x}$。
隐函数二阶偏导怎么求例题
隐函数二阶偏导怎么求例题已知曲线方程为$x^2+y^2+z^2=3$，求$frac{partial^2z}{partial x^2}$在点$(1,sqrt{2},sqrt{2})$处的值。
解题思路：根据隐函数求导法则，我们可以先通过对$x$求导，得到$2x+2yfrac{partial y}{partial x}+2zfrac{partial z}{partial x}=0$。
然后对上式两边同时对$x$求导，得到$2+2yfrac{partial^2y}{partialx^2}+2zfrac{partial^2z}{partialx^2}+2y'frac{partial^2y}{partial xpartialy}+2z'frac{partial^2z}{partial xpartial z}=0$。
将$x=1,y=sqrt{2},z=sqrt{2}$代入上式，得到$2+2sqrt{2}frac{partial^2y}{partialx^2}+2sqrt{2}frac{partial^2z}{partial xpartial z}=0$。
因为$frac{partial y}{partial x}$和$frac{partialz}{partial x}$可以用$x$、$y$、$z$的值表示出来，所以我们可以将上式化为只含有$frac{partial^2y}{partial x^2}$和$frac{partial^2z}{partial x^2}$的方程组。
解方程组可得$frac{partial^2z}{partial x^2}=-frac{sqrt{2}}{4}$。
所以，$frac{partial^2z}{partial x^2}$在点$(1,sqrt{2},sqrt{2})$处的值为$-frac{sqrt{2}}{4}$。
以上就是隐函数二阶偏导数的求解例题的步骤及思路。
大一高数隐函数求导题
大一高数隐函数求导题（最新版）目录一、隐函数求导的基本概念二、隐函数求导的方法三、具体求解大一高数隐函数求导题的步骤四、结论正文一、隐函数求导的基本概念隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它是求解实际问题中经常遇到的一类问题。
在隐函数求导中，我们要求的是一个含有未知函数的导数，这个未知函数通常以方程的形式给出。
二、隐函数求导的方法求解隐函数的导数，一般采用两种方法：一种是直接求导法，另一种是隐函数转换法。
1.直接求导法直接求导法就是直接对含有未知函数的方程进行求导。
这种方法适用于简单的隐函数，其步骤如下：（1）对隐函数方程两边求导，得到一个新的方程。
（2）将新方程中的未知函数表示成导数的形式。
（3）解出新方程，得到未知函数的导数。
2.隐函数转换法隐函数转换法适用于较为复杂的隐函数，其步骤如下：（1）将隐函数方程转换为一个新的方程，使得新方程中的未知函数可以容易地求导。
（2）对新方程两边求导，得到一个新的方程。
（3）解出新方程，得到新方程中的未知函数的导数。
（4）将新方程中的未知函数表示成原隐函数的形式。
三、具体求解大一高数隐函数求导题的步骤以题目“大一高数隐函数求导题”为例，具体求解步骤如下：（1）首先，根据题目给出的隐函数方程，我们可以得到一个关于 x 和y 的方程。
（2）其次，根据隐函数求导的方法，我们对方程两边求导，得到一个新的方程。
（3）然后，我们对新方程进行整理，解出新方程中的未知函数的导数。
（4）最后，我们将新方程中的未知函数表示成原隐函数的形式，得到原隐函数的导数。
四、结论通过以上步骤，我们可以求解大一高数隐函数求导题。
大一高数隐函数求导题
大一高数隐函数求导题【原创实用版】目录一、隐函数求导的基本概念二、隐函数求导的方法三、具体案例解析四、总结与拓展正文一、隐函数求导的基本概念隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它是研究函数变化规律的重要工具。
在隐函数中，一个变量的值是通过另一个变量的表达式来表示的。
例如，给定函数 f(x, y)，如果 y 是 x 的函数，即 y = g(x)，那么 y 就是 x 的隐函数。
二、隐函数求导的方法求解隐函数的导数，一般采用以下两种方法：1.直接求导法：适用于简单的隐函数，直接对隐函数表达式进行求导。
例如，对于 y = g(x) 的隐函数，可以直接对其进行求导，得到 y" = g"(x) * (dx/dy)。
2.间接求导法：适用于复杂的隐函数，通过先求解显函数的导数，再利用链式法则求解隐函数的导数。
例如，对于 xf(y) 的隐函数，可以先求解 f"(y) 和 (dx/dy)，然后利用链式法则求解 y" = (f"(y) * (dx/dy)) / (dy/dx)。
三、具体案例解析假设有一个隐函数 y = g(x)，其中 g(x) = x^2 + 3x + 2，我们需要求解该隐函数的导数。
采用直接求导法，我们可以直接对 y = g(x) 进行求导。
根据求导法则，y" = 2x + 3。
再假设有一个隐函数 x = f(y)，其中 f(y) = y^3 - 2y^2 + y + 1，我们需要求解该隐函数的导数。
采用间接求导法，我们首先求解 f"(y)，根据求导法则，f"(y) = 3y^2 - 4y + 1。
然后求解 (dx/dy)，由于 x = f(y)，所以 (dx/dy) = 1。
最后，利用链式法则求解 y"，得到 y" = (f"(y) * (dx/dy)) / (dy/dx) = (3y^2 - 4y + 1) / (y")。
隐函数的求导
隐函数的求导欢迎光临我的专栏，一起学习，共同提高。
到目前为止，我们遇到的函数都具有这样的特点：一个变量可以用另一个变量明确地表达出来。
即y=f(x)的形式。
但是有些函数并不具有这样明确地形式，而是以自变量和因变量的关系呈现出来的，不具有y=f(x)的形式，比如。
\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=25} \\ {x^{3}+y^{3}=6 xy}\end{array}\\比如第二个方程，由它描绘的曲线很特别，我们称之为笛卡儿叶形线（folium of Descartes）,如下左图所示，它其实是 y 的三个函数图像的连接。
的我们把这样的方程称之为隐函数。
那么，对隐函数求导，我们该怎么做呢？第一步，对方程两边求关于x的微分，这样就可以得到一个关于y'的方程；第二步，在微分后的方程中求解y'既可。
例1：若 x^{2}+y^{2}=25 ，求 \frac{d y}{d x} .解：首先对方程两边微分\frac{d}{dx}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\frac{d}{d x}(25)\\即有\frac{d}{d x}\left(x^{2}\right)+\frac{d}{dx}\left(y^{2}\right)=0\\然后，记住y是关于x的函数，那么对方程左边的第二项，有链式法则有\frac{d}{d x}\left(y^{2}\right)=\frac{d}{dy}\left(y^{2}\right) \frac{d y}{d x}=2 y \frac{d y}{d x}\\。
即有 2 x+2 y \frac{d y}{d x}=0\\然后求解 \frac{d y}{d x} ，即有\frac{d y}{d x}=-\frac{x}{y}\\注意：这里的导数\frac{d y}{d x}，是同时使用x和y来表达的，这是正确的。
比如，通过对原方程求解，我们有 y=f(x)=\pm\sqrt{25-x^{2}} ，那么导数的结果，就有\frac{d y}{d x}=\pm\frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}}\\例2：已知 \sin (x+y)=y^{2} \cos x ，求 y' .解：首先，方程两边对x求导\cos (x+y) \cdot\left(1+y^{\prime}\right)=y^{2}(-\sinx)+(\cos x)\left(2 y y^{\prime}\right)\\ 合并同类项得：y^{\prime}=\frac{y^{2} \sin x+\cos (x+y)}{2 y \cos x-\cos(x+y)}\\。
高等数学偏导数第五节隐函数求导题库
【090501】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由z x e t t xy+=-⎰2d 所确定，试求∂∂∂∂z x z y,。
【试题答案及评分标准】解：原式两边分别对x y ,求偏导得∂∂∂∂zxye zxye xy xy +==---1122()()。
（6分）∂∂zyxe xy =-()2 （10分）【090502】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）。
【试题答案及评分标准】 解：原式两边对x 求导得yz x x z xz y ∂∂∂∂+++=0 则∂∂z x z y y x=-++（6分）同理可得：∂∂z y z xy x=-++ （10分）也可：∂∂∂∂z x F F z y y x z y F F z x y xx y y x =-=-++=-=-++【090503】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由sin()y z e x z -+=-2所确定，试求∂∂∂∂z x zy,。
【试题答案及评分标准】解：原式sin()y z e x y-+=-2两边求微分得cos()(d d )(d d )y z y z e x z x z --+--= 0d d cos()d cos()z e x y z ye y z x z x z=+-+--- （6分）则∂∂z x e e y z x zx z=+---cos()（8分）∂∂z y y z e y z x z=-+--cos()cos()（10分）【090504】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设y y x z =(,)由方程e e e xyz x y z ++=3所确定，试求∂∂∂∂y x yz,。
高等数学偏导数第五节隐函数求导题库
【090501】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由z x e t t xy+=-⎰2d 所确定，试求∂∂∂∂z x z y,。
【试题答案及评分标准】解：原式两边分别对x y ,求偏导得∂∂∂∂zxye zxye xy xy +==---1122()()。
（6分）∂∂zyxe xy =-()2 （10分）【090502】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）。
【试题答案及评分标准】 解：原式两边对x 求导得yz x x z xz y ∂∂∂∂+++=0 则∂∂z x z y y x=-++（6分）同理可得：∂∂z y z xy x=-++ （10分）也可：∂∂∂∂z x F F z y y x z y F F z x y xx y y x =-=-++=-=-++【090503】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由sin()y z e x z -+=-2所确定，试求∂∂∂∂z x zy,。
【试题答案及评分标准】解：原式sin()y z e x y-+=-2两边求微分得cos()(d d )(d d )y z y z e x z x z --+--= 0d d cos()d cos()z e x y z ye y z x z x z=+-+--- （6分）则∂∂z x e e y z x zx z=+---cos()（8分）∂∂z y y z e y z x z=-+--cos()cos()（10分）【090504】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设y y x z =(,)由方程e e e xyz x y z ++=3所确定，试求∂∂∂∂y x yz,。
求由下列方程所确定的隐函数y的导数
习题2-41. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dx dy : (1) y 2-2x y +9=0;(2) x 3+y 3-3axy =0;(3) xy =e x +y .;(4) y =1-xe y .解 (1)方程两边求导数得2y y '-2y -2x y ' =0 ,于是 (y -x )y '=y ,xy y y -='. (2)方程两边求导数得3x 2+3y 2y '-2ay -3axy '=0,于是 (y 2-ax )y '=ay -x 2 ,axy x ay y --='22. (3)方程两边求导数得y +x y '=e x +y (1+y '),于是 (x -e x +y )y '=e x +y -y ,yx y x e x y e y ++--='. (4)方程两边求导数得y '=-e y -xe y y ',于是 (1+xe y )y '=-e y ,y y xeey +-='1. 2. 求曲线323232a y x =+在点)42 ,42(a a 处的切线方程和法线方程. 解 方程两边求导数得032323131='+--y y x , 于是 3131---='y x y , 在点)42 ,42(a a 处y '=-1. 所求切线方程为)42(42a x a y --=-, 即a y x 22=+. 所求法线方程为)42(42a x a y -=-, 即x -y =0. 3. 求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22dxy d : (1) x 2-y 2=1;(2) b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2;(3) y =tan(x +y );(4) y =1+xe y .解 (1)方程两边求导数得2x -2yy '=0,y '=yx , 3322221)(y y x y y y xx y y y x y y x y -=-=-='-='=''. (2)方程两边求导数得2b 2x +2a 2yy '=0,yx a by ⋅-='22, 3243222222222222222)(y a b y a x b y a a b y y x a bx y a b y y x y a by -=+⋅-=⋅--⋅-='-⋅-=''. (3)方程两边求导数得y '=sec 2(x +y )⋅(1+y '),222222211)(sin )(cos )(sin 1)(cos 1)(sec 1)(sec y y x y x y x y x y x y x y --=+-+++=-+=+-+=', 52233)1(2)11(22y y y y y y y +-=--='=''. (4)方程两边求导数得y '=e y +x e y y ',ye y e xe ey y y y y -=--=-='2)1(11, 3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''. 4. 用对数求导法求下列函数的导数:(1) x xx y )1(+=;(2)55225+-=x x y ;(3)54)1()3(2+-+=x x x y ; (4)x e x x y -=1sin .解 (1)两边取对数得ln y =x ln|x |-x ln|1+x |，两边求导得xx x x x x y y +⋅-+-⋅+='11)1ln(1ln 1, 于是 ]111[ln )1(xx x x x y x ++++='. (2)两边取对数得)2ln(251|5|ln 51ln 2+--=x x y , 两边求导得22251515112+⋅--⋅='x x x y y , 于是 ]225151[25512552+⋅--=+-='x x x x x y . (3)两边取对数得)1ln(5)3ln(4)2ln(21ln +--++=x x x y , 两边求导得1534)2(211+---+='x x x y y , 于是 ]1534)2(21[)1()3(254+--+++-+='x x x x x x y (4)两边取对数得)1ln(41sin ln 21ln 21ln x e x x y -++=, 两边求导得)1(4cot 21211x x e ex x y y --+=', 于是 ]1cot 22[1sin 41])1(4cot 2121[1sin -++-=--+-='x x x x x x e e x x e x x e ex x e x x y . 5. 求下列参数方程所确定的函数的导数dxdy : (1) ⎩⎨⎧==22bt y at x ; (2) ⎩⎨⎧=-=θθθθcos )sin 1(y x . 解 (1)t ab at bt x y dx dy t t 23232==''=.(2)θθθθθθθθcos sin 1sin cos ---=''=x y dx dy . 6. 已知⎩⎨⎧==.cos ,sin t e y t e x t t 求当3π=t 时dx dy 的值. 解 t t t t t e t e t e t e x y dx dy t t t t t t cos sin sin cos cos sin sin cos +-=+-=''=, 当3π=t 时, 23313123212321-=+-=+-=dx dy . 7. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程:(1) ⎩⎨⎧==t y t x 2cos sin , 在4π=t 处; (2) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2221313t at y t atx , 在t =2处. 解 (1)tt x y dx dy t t cos 2sin 2-=''=. 当4π=t 时, 222224cos )42sin(2-=-=⋅-=ππdx dy , 220=x , 00=y , 所求切线方程为)22(22--=x y , 即0222=-+y x ; 所求法线方程为)22(221---=x y , 即0142=--y x . (2) 222222)1(6)1(23)1(6t at t t at t at y t +=+⋅-+=', 222222)1(33)1(23)1(3t at a t t at t a x t +-=+⋅-+=', 2212336tt at a atx y dx dy t t -=-=''=. 当t =2时, 3421222-=-⋅=dx dy , a x 560=, a y 5120=, 所求切线方程为)56(34512a x a y --=-, 即4x +3y -12a =0; 所求法线方程为)56(43512a x a y -=-, 即3x -4y +6a =0. 8. 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dx y d :(1) ⎪⎩⎪⎨⎧-==.122t y t x ; (2) ⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ; (3) ⎩⎨⎧==-t t e y e x 23; (4) ⎩⎨⎧-==)()()(t f t tf y t f x t t , 设f ''(t )存在且不为零. 解 (1) t x y dx dy t t 1-=''=, 322211)(t t t x y dxy d t t x =='''=. (2) t ab t a t b x y dx dy t t cot sin cos -=-=''=, t a b t a t a b x y dx yd t t x 32222sin sin csc )(-=-='''=. (3) t t t t te e e x y dx dy 23232-=-=''=-, t t t t t x e e e x y dx y d 3222943232)(=-⋅-='''=-. (4) t t f t f t f t t f x y dx dy t t ='''-''+'=''=)()()()(, )(1)(22t f x y dx y d t t x ''='''=. 9. 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数33dxy d : (1) ⎩⎨⎧-=-=321t t y t x ; (2) ⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2. 解(1)t t t t t dx dy 231)1()(223--='-'-=, )31(412)231(3222tt t t t dx y d +-=-'--=, )1(832)31(4125333t t t t t dx yd +-=-'+-=. (2)t tt t t t t dx dy 2112111])1[ln()arctan (222=++-='+'-=, tt t t t dx yd 4112)21(2222+=+'=,3422338112)41(t t t t t t dx y d -=+'+=. 10. 落在平静水面上的石头, 产生同心波纹, 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s , 问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？解 设波的半径为r , 对应圆面积为S , 则S =πr 2, 两边同时对t 求导得S t '=2πrr '.当t =2时, r =6⋅2=12, r 't =6,故S t '|t =2=2⋅12⋅6π=144π (米2/秒).11. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中, 其速率为4m 2/min . 当水深为5m 时, 其表面上升的速度为多少？解 水深为h 时, 水面半径为h r 21=, 水面面积为π241h S =, 水的体积为3212413131h h h hS V ππ=⋅==, dt dh h dt dV ⋅⋅=2312π, dtdV h dt dh ⋅=24π. 已知h =5(m )，4=dtdV (m 3/min), 因此 πππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).12. 溶液自深18cm 直径12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中, 开始时漏斗中盛满了溶液, 已知当溶液在漏斗中深为12cm 时, 其表面下降的速率为1cm/min . 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解 设在t 时刻漏斗在的水深为y , 圆柱形筒中水深为h . 于是有h y r 22253118631=-⋅⋅ππ. 由186y r =, 得3y r =, 代入上式得 h y y 2225)3(3118631=-⋅⋅ππ, 即 h y 233253118631=-⋅⋅π. 两边对t 求导得h y y t '='-222531. 当y =12时, y 't =-1代入上式得64.025165)1(1231222≈=-⋅⋅-='t h (cm/min)..。
隐函数的二阶导数例题
隐函数的二阶导数例题隐函数是一种在数学和物理中经常使用的方法。
在大多数情况下，我们可以用显式函数来描述一件事情。
但是，有些情况下，我们可能需要使用隐式函数来描述一件事情。
在这篇文章中，我们将利用一个例题来讨论隐函数的二阶导数的问题。
我们将详细阐述该题的解题步骤，现在让我们一起来看一下吧。
给定函数$x^3 + y^3 = 3xy$，我们需要先求出该函数的一阶导数。
为了求出该导数，我们需要对表达式两边进行求导，即：$\frac{d}{dx}(x^3 + y^3) = \frac{d}{dx}(3xy)$$3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx}=3y+3x\frac{dy}{dx}$因此，我们可以将该式子变为：$\frac{dy}{dx}=\frac{y-x^2}{y^2-x}$现在我们需要求出该方程的二阶导数，原因是因为我们需要知道该函数的曲率半径。
为了求出该函数的二阶导数，我们需要对上面的方程再进行一次求导，即：$\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d}{dx}(\frac{y-x^2}{y^2-x})$根据链式法则，我们可以将表达式变为：$\frac{d^2y}{dx^2}= \frac{-(2x(y^2-x)+(y-x^2)(2yy'-1))}{(y^2-x)^2}$由此，我们可以得到该函数的二阶导数。
现在我们可以继续求出该函数的曲率半径。
为了计算该曲率半径，我们需要用该函数的二阶导数来代替曲率的公式：$R = \frac{(1+(y')^2)^{\frac{3}{2}}}{|y''|}$将该公式代入我们得到的二阶导数中，我们可以得到：$R = \frac{(1+(y')^2)^{\frac{3}{2}}}{|\frac{-(2x(y^2-x)+(y-x^2)(2yy'-1))}{(y^2-x)^2}|}$我们可以继续化简该式子，得到：$R = \frac{|y^3-3xy^2-3x^2y-x^3|}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}$因此，我们可以得到该函数的曲率半径。
05 第五节 隐函数的导数.
第五节隐函数的导数分布图示★隐函数的导数★例3 ★例1 ★例4 ★例2 ★例5★对数求导法★例6★例7 ★例8 ★例9★由参数方程所确定的函数的导数★例10★例11 ★例 12 ★例13★* 相关变化率★例 14★内容小结★课堂练习★习题2-5内容要点一、隐函数的导数假设由方程F(x,y)=0所确定的函数为y=y(x)，则把它代回方程F(x,y)=0中，得到恒等式F(x,f(x))≡0dydx利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x求导，再解出所求导数是隐函数求导法. ，这就二、对数求导法：形如y=u(x)v(x)的函数称为幂指函数. 直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法.三、参数方程表示的函数的导数设⎨⎧x=ϕ(t)⎩y=ψ(t)，x=ϕ(t)具有单调连续的反函数t=ϕ-1(x), 则变量y与x构成复合函数dy关系y=ψ[ϕ-1(x)]. 且 dy=. dxdxdt例题选讲隐函数的导数例1(E01) 求由下列方程所确定的函数的导数.ysinx-cos(x-y)=0.解在题设方程两边同时对自变量x求导，得ycosx+sin⋅dydx+sin(x-y)⋅(1-dydx)=0整理得 [sin(x-y)-sinx]解得dydx=dydx=sin(x-y)+ycosx sin(x-y)+ycosxsin(x-y)-sinx.例2 求由方程xy-ex+ey=0所确定的隐函数y的导数解方程两边对x求导,y+xdydx-e+exydydx,dydxx=0. dydx=0解得 dydx=e-yx+eyx,由原方程知x=0,y=0,所以dydx|x=0=e-yx+eyx=0y=0x=1.例3 (E02) 求由方程xy+lny=1所确定的函数y=f(x)在点M(1,1)处的切线方程. 解在题设方程两边同时对自变量x求导，得y+xy'+1yy'=0 解得y'=-y2xy+1在点M(1,1)处，y'x=1y=1=-121⨯1+1=-12于是，在点M(1,1)处的切线方程为y-1=-12(x-1)，即x+2y-3=0.44例4 设x-xy+y=1, 求y''在点(0,1)处的值. 解方程两边对x求导得4x-y-xy'+4yy'=0,(1) 33代入x=0,y=1得y'x=0y=1=14;将方程(1)两边再对x求导得 12x2-2y'-xy''+12y2(y')2+4y3y''=0,14116代入x=0,y=1,y'x=0y=1=得 y''x=0y=1=-.例5 (E03) 求由下列方程所确定的函数的二阶导数.y-2x=(x-y)ln(x-y).x-y)+(x-y) 解 y'-2=(1-y')ln(12+ln(x-y)1-y'x-y, ∴y'=1+'⎛⎫1[2+ln(x-y)]'1-y'(代入y') ⎪=-=-y''=(y')'= 22 2+ln(x-y)⎪[2+ln(x-y)](x-y)[2+ln(x-y)]⎝⎭=1(x-y)[2+ln(x-y)]3.对数求导法例6 (E04) 设y=xsinx(x>0), 求 y'.解等式两边取对数得lny=sinx⋅lnx两边对x求导得1yy'=cosx⋅lnx+sinx⋅1x, 1⎫sinx⎫⎛sinx⎛ cosx⋅lnx+⎪. ∴y'=y cosx⋅lnx+sinx⋅⎪=xxx⎝⎭⎝⎭例7 (E05) 设(cosy)x=(sinx)y，求 y'. 解在题设等式两边取对数 xlncosy=ylnsinx 等式两边对x求导，得lncosy-xsinycosy⋅y'=y'lnsinx+y⋅cosysinx.解得y'=lncosy-ycotxxtany+lnsinx.例8 (E06) 设y=(x+1)x-1(x+4)e2x3, 求 y'.解等式两边取对数得lny=ln(x+1)+13ln(x-1)-2ln(x+4)-x,上式两边对x求导得y'y=1x+1+13(x-1)-2x+4-1, ⎤(x+1)x-1⎡112+--1∴y'=⎢⎥. 2xx+13(x-1)x+4(x+4)e⎣⎦例9 (E07) 求导数y=x+xx+xx.解 y=x+exlnx+exxxlnx,∴y'=1+exlnx⋅(xlnx)'+exxxlnxx⋅(xlnx)'=1+x(lnx+1)+xx-1xxxx[(x)'⋅lnx+x⋅(lnx)']xx=1+x(lnx+1)+xx[x(lnx+1)lnx+xx].参数方程表示的函数的导数例10 (E08) 求由参数方程⎨dy2t2⎧x=arctant⎩y=ln(1+t)2所表示的函数y=y(x)的导数. 解 dy=dt=1+tdx1dxdt1+t=2t. 2例11 求由摆线的参数方程⎨dy⎧x=a(t-sint)⎩y=a(1-cost)所表示的函数y=y(x)的二阶导数.解dyasintsint=dt==(t≠2nπ,n∈Z)dxdxa-acost1-costdtdydx22=d⎛dy⎫d⎛sint⎫d⎛sint⎫1 ⎪= ⎪⎪=dx⎝1-cost⎭dt⎝1-cost⎭dxdx⎝dx⎭dt11-cost⋅1a(1-cost)=-1a(1-cost)2=-(t≠2nπ,n∈Z).⎧x=acos3t例12 求方程⎨表示的函数的二阶导数. 3⎩y=asintdydy3asintcost=dt==-tant,2dxdx3acost(-sint)dt2解dydx22=ddx(dydx)=ddt(dydx)dxdt=(-tant)'(acost)'3=-sext-3acos22tsint=sec4t3asint.⎧x=t-t2例13 (E09) 求由参数方程⎨所表示的函数y=y(x)的二阶导数. 3y=t-t⎩dydy3t-1dt==dxdx2t-1dt22解 , dydx222d⎛dy⎫d⎛3t-1⎫d⎛3t-1⎫1 ⎪= ⎪= ⎪= ⎪ dxdx⎝dx⎭dx⎝2t-1⎭dt⎝2t-1⎪⎭dt=6t2-6t+2211-2t(2t-1)=-6t2-6t+23. (2t-1)例14 河水以8米3/秒的体流量流入水库中, 水库形状是长为4000米, 顶角为120︒的水槽, 问水深20米时, 水面每小时上升几米?解如图, V(t)=4000上式两边对t求导得dVdt=80003h⋅dhdt3h, 2 dVdt28800米3/小时,米时, dhdt≈0.104∴当h=20米/小时（水面上升之速率）.课堂练习1.求由siny=ln(x+y)所确定的函数的二阶导数2.y=(1+x2)tanx,求y'.dydx22.。
求由下列方程所确定的隐函数y的导数
习题2-41. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy : (1) y 2-2x y +9=0; (2) x 3+y 3-3axy =0; (3) xy =e x +y .; (4) y =1-xe y .解 (1)方程两边求导数得 2y y '-2y -2x y ' =0 , 于是 (y -x )y '=y , xy y y -='. (2)方程两边求导数得 3x 2+3y 2y '-2ay -3axy '=0, 于是 (y 2-ax )y '=ay -x 2 , axy x ay y --='22. (3)方程两边求导数得 y +x y '=e x +y (1+y '), 于是 (x -e x +y )y '=e x +y -y , yx y x e x ye y ++--='.(4)方程两边求导数得 y '=-e y -xe y y ', 于是 (1+xe y )y '=-e y , yyxe e y +-='1.2. 求曲线323232a y x =+在点)42 ,42(a a 处的切线方程和法线方程.解 方程两边求导数得032323131='+--y y x ,于是 3131---='y x y ,在点)42 ,42(a a 处y '=-1.所求切线方程为)42(42a x a y --=-, 即a y x 22=+.所求法线方程为)42(42a x a y -=-, 即x -y =0.3. 求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22dxyd :(1) x 2-y 2=1;(2) b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2; (3) y =tan(x +y ); (4) y =1+xe y .解 (1)方程两边求导数得2x -2yy '=0,y '=yx,3322221)(y y x y y y xx y y y x y y x y -=-=-='-='=''. (2)方程两边求导数得 2b 2x +2a 2yy '=0,yx a b y ⋅-='22,3243222222222222222)(y a b y a x b y a a b y y x a b x y a b y y x y a b y -=+⋅-=⋅--⋅-='-⋅-=''.(3)方程两边求导数得y '=sec 2(x +y )⋅(1+y '), 222222211)(sin )(cos )(sin 1)(cos 1)(sec 1)(sec y y x y x y x y x y x y x y --=+-+++=-+=+-+=', 52233)1(2)11(22y y y y y y y +-=--='=''.(4)方程两边求导数得 y '=e y +x e y y ',ye y e xe e y yy y y -=--=-='2)1(11,3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''. 4. 用对数求导法求下列函数的导数: (1) xxx y )1(+=;(2)55225+-=x x y ;(3)54)1()3(2+-+=x x x y ;(4)x e x x y -=1sin . 解 (1)两边取对数得ln y =x ln|x |-x ln|1+x |， 两边求导得xx x x x x y y +⋅-+-⋅+='11)1ln(1ln 1,于是 ]111[ln )1(xx x x x y x ++++='.(2)两边取对数得)2ln(251|5|ln 51ln 2+--=x x y ,两边求导得22251515112+⋅--⋅='x x x y y , 于是 ]225151[25512552+⋅--=+-='x x x x x y . (3)两边取对数得)1ln(5)3ln(4)2ln(21ln +--++=x x x y ,两边求导得1534)2(211+---+='x x x y y ,于是 ]1534)2(21[)1()3(254+--+++-+='x x x x x x y (4)两边取对数得)1ln(41sin ln 21ln 21ln x e x x y -++=,两边求导得)1(4cot 21211x xe e x x y y --+=',于是 ]1cot 22[1sin 41])1(4cot 2121[1sin -++-=--+-='xx x x x x e e x x e x x e e x x e x x y . 5. 求下列参数方程所确定的函数的导数dxdy:(1) ⎩⎨⎧==22bt y at x ; (2) ⎩⎨⎧=-=θθθθcos )sin 1(y x . 解 (1)t ab at bt x y dx dy t t 23232==''=.(2)θθθθθθθθcos sin 1sin cos ---=''=x y dx dy . 6. 已知⎩⎨⎧==.cos ,sin t e y t e x t t 求当3π=t 时dx dy 的值.解 tt tt t e t e t e t e x y dx dy t t t t t t cos sin sin cos cos sin sin cos +-=+-=''=, 当3π=t 时, 23313123212321-=+-=+-=dx dy .7. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程:(1) ⎩⎨⎧==t y t x 2cos sin , 在4π=t 处; (2) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2221313t at y t atx , 在t =2处.解 (1)tt x y dx dy t t cos 2sin 2-=''=.当4π=t 时, 222224cos )42sin(2-=-=⋅-=ππdx dy , 220=x , 00=y , 所求切线方程为)22(22--=x y , 即0222=-+y x ;所求法线方程为)22(221---=x y , 即0142=--y x .(2) 222222)1(6)1(23)1(6t at t t at t at y t +=+⋅-+=', 222222)1(33)1(23)1(3t at a t t at t a x t+-=+⋅-+=', 2212336tt at a at x y dx dy t t -=-=''=.当t =2时, 3421222-=-⋅=dx dy , a x 560=, a y 5120=, 所求切线方程为)56(34512a x a y --=-, 即4x +3y -12a =0;所求法线方程为)56(43512a x a y -=-, 即3x -4y +6a =0.8. 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dx yd :(1) ⎪⎩⎪⎨⎧-==.122t y tx ;(2) ⎩⎨⎧==t b y ta x sin cos ;(3) ⎩⎨⎧==-t te y e x 23;(4) ⎩⎨⎧-==)()()(t f t tf y t f x t t , 设f ''(t )存在且不为零.解 (1) t x y dx dy t t 1-=''=, 322211)(t t t x y dx y d t t x =='''=.(2) t ab t a t b x y dx dy t t cot sin cos -=-=''=, t a b t a ta b x y dx yd t t x 32222sin sin csc )(-=-='''=.(3) t t t t t e e e x y dx dy 23232-=-=''=-, t t t t tx e e e x y dx y d 3222943232)(=-⋅-='''=-. (4) t t f t f t f t t f x y dx dy t t ='''-''+'=''=)()()()(, )(1)(22t f x y dx y d t t x ''='''=.9. 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数33dxyd :(1) ⎩⎨⎧-=-=321t t y t x ;(2) ⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2.解(1)tt t t t dx dy 231)1()(223--='-'-=, )31(412)231(3222t t t t t dx y d +-=-'--=, )1(832)31(4125333t t t t t dx y d +-=-'+-=. (2)t t t t t t t dx dy 2112111])1[ln()arctan (222=++-='+'-=,t t t t t dx yd 4112)21(2222+=+'=,3422338112)41(t t t t t t dx y d -=+'+=. 10. 落在平静水面上的石头, 产生同心波纹, 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s , 问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？解 设波的半径为r , 对应圆面积为S , 则S =πr 2, 两边同时对t 求导得 S t '=2πrr '.当t =2时, r =6⋅2=12, r 't =6, 故S t '|t =2=2⋅12⋅6π=144π (米2/秒).11. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中, 其速率为4m 2/min . 当水深为5m 时, 其表面上升的速度为多少？解 水深为h 时, 水面半径为h r 21=, 水面面积为π241h S =,水的体积为3212413131h h h hS V ππ=⋅==,dt dh h dt dV ⋅⋅=2312π, dtdV h dt dh ⋅=24π.已知h =5(m )，4=dtdV (m 3/min), 因此 πππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).12. 溶液自深18cm 直径12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中, 开始时漏斗中盛满了溶液, 已知当溶液在漏斗中深为12cm 时, 其表面下降的速率为1cm/min . 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解 设在t 时刻漏斗在的水深为y , 圆柱形筒中水深为h . 于是有h y r 22253118631=-⋅⋅ππ.由186yr =, 得3y r =, 代入上式得 h y y2225)3(3118631=-⋅⋅ππ,即 h y 233253118631=-⋅⋅π.两边对t 求导得h y y t '='-222531.当y =12时, y 't =-1代入上式得64.025165)1(1231222≈=-⋅⋅-='t h (cm/min)..。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 在点 的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
② ③ 则方程 的某邻域内可唯一确定一个单值连续函数 y = f (x ) , 满足条件 并有连续导数：
(隐函数求导公式)
例1. 验证方程 在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数 并求
解: 令 则 ① 连续， ② ③
由 定理1 可知,在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可导的隐函数 且
导数的另一求法— 利用隐函数求导
两边对 x 求导
),(y x F ),(00y x P ;
0),(00=y x F 0
),(00≠y x F y 00),(x y x F 在点=
,)(00x f y =y x F F x y
-=d d 01sin =--+y x e y x ,)(x f y =0
d d ,0d d 22==x x y x x y ,1sin ),(-
-+=y x e y y x F x ,y e F x x -=0
≠x y F
y -=cos ,
0)0,0(=F 1)0,0(=y F ,)(x f y =0d d =x x y 0=-=x F F y x
-=x y -cos y e x -0,0==y x 1
-=0
d d 22=x x y )cos (d d x y y
e x x ---=1,0,0-='==y y x 3-=)
(,01sin x y y y x e y x ==--+
两边再对 x 求导
令 x = 0 , 注意此时
定理2 .若函数 满足:
① 在点 的某邻域内具有连续偏导数 , ② ③ 则方程
在点 某一邻域内可唯一确定一个单值连续函数 z = f (x , y ) , 满足 并有连续偏导数
例2. 设 解法1 利用公式
设 则
两边对 x 求偏导
y y '⋅cos x e +y -0='-y x y y y y ''⋅+'⋅-cos )(sin 20=''-'-'-+y x y y e x 1,0-='=y y 30
d d 22-==x x y ),,(z y x F ),,(000z y x
P 0
),,(000=z y x F 0
),,(000≠z y x F z 0),,(=z y x F ),(00y x ,),(000y x f z =z y z x F F y z F F x z -=∂∂-=∂∂,,04222=-++z z y x .22x z ∂∂求z
z y x z y x F 4),,(222-++=,2x F x =4
2-=z F z z x F F x z -=∂∂∴2--=z x z x -=22(22z x x x z -∂∂=∂∂2)
2()2(z x z x z -∂∂+-=322)2()2(z x z -+-=
解法2 利用隐函数求导
再对 x 求导
例3.设F ( x , y )具有连续偏导数,已知方程 解法1 利用偏导数公式. 确定的隐函数,
故
解法2 微分法.对方程两边求微分: 0422=∂∂-∂∂+x z x z z x z x x z -=∂∂2+22)(2x z ∂∂222x z z ∂∂+0422=∂∂-x z z x z -=∂∂2 222)(1x z ∂∂+3
2
2)2()2(z x z -+-=,0),(=z y z x F .d z 求是由方程设),(y x f z =0),(=z y z x F -=∂∂x z ⋅'1F )(2z x -⋅'+2F )(2z y
-z F 1
1⋅'211F y F x F z '+''= -=∂∂y z )()(2221z y z x F F -⋅'+-⋅'z F 1
2⋅'212F y F x F z '+''=y y z x x z z d d d ∂∂+∂∂=)d d (2121y F x F F y F x z '+''+'=0),(=z y z x F ⋅'1F )(d z x ⋅'+2F 0)(d =z y ⋅'1F )d d (2z z x x z -⋅'+2F )d d (2z z y y z -0=z z F y F x d 221'+'z
y F x F d d 21'+'=)d d (d 2121y F x F F y F x z z '+''+'=。