江苏省昆山中学高一年级第二次考试数学试题
2022-2023学年江苏省苏州市昆山中学实验班高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省苏州市昆山中学实验班高一（下）期末数学试卷一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（3，+∞）B ．（1，3）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．已知复数z 满足11−z=2i ，则z 的共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知平面上有三个点A ，B ，C ，则命题“A ，B ，C 可以构成一个A 为钝角的钝角三角形”是“AB →⋅AC→＜0”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知由样本数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为y =2x −0.4，且x =2，去除两个样本点（﹣3，1）和（3，﹣1）后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本（4，8）的残差为（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．25．将顶点在原点，始边为x 轴非负半轴的锐角α的终边绕原点顺时针旋转π3后，交单位圆于点P(x ，−35)，那么sin α＝（ ） A ．−4+3√310B ．−4−3√310C ．−3−4√310D ．−3+4√3106．足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的56，女性喜爱足球的人数占女性人数的13，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（ ）人．χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)A ．10B ．11C ．12D ．137．某学校安排音乐、阅读、体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲、乙、丙、丁4位同学每人限报其中1项．已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于（ ） A ．118B ．332C ．29D ．898．已知锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2+bc ，若cos （C ﹣B ）+λcos A 存在最大值，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(0，√2) B ．(1，√3) C ．（0，2） D ．（2，4）二、多选题9．下列命题中真命题是（ ）A ．设一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则s 2=1n ∑ n i=1x i 2−(x)2B ．已知随机变量X ～B(n ，13)，若D （3X ﹣2）＝12，则n ＝4C ．两个变量的相关系数r 越大，它们的相关程度越强D ．若随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），且P （ξ＜4）＝0.8，则P （0＜ξ＜2）＝0.310．已知函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的导函数f ′（x ）的部分图象如图所示，其中点A ，B 分别为f ′（x ）的图象上的一个最低点和一个最高点，则（ ）A ．f ′(x)=−sin(2x +π6) B ．f （x ）图象的对称轴为直线x =−π12+kπ2(k ∈Z)C ．函数f （x ）在[−4π3，−7π6]上单调递增D ．将f （x ）的图象向右平移3π4个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到f ′（x ）的图象11．如图，已知正六边形ABCDEF 的边长为1，记BC →=e →，则（ ）A ．AD →=2(AE →+AC →)B ．AB →⋅(EA →+2FA →)=|AB →|2 C ．BC →(CD →⋅FE →)=(BC →⋅CD →)FE →D ．AE →在CB →方向上的投影向量为32e →12．在数学中，双曲函数（也叫圆函数）是一类与常见的三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲正弦函数sin ℎx =e x −e −x 2和双曲余弦函数cos ℎx =e x +e −x2，从它们可以导出双曲正切函数tan ℎx =e x −e −xe x +e −x等，则下列说法正确的是（ ）A ．（tanh x ）′＝1﹣（tanh x ）2B ．tanh x ＞cosh x 恒成立C ．∀x 0＞0，sinh （sinh x 0）＞sinh x 0D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，则sinℎx 1−sinℎx 2x 1−x 2＞1三、填空题13．要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不在排头，且任何两个舞蹈节目不相邻，则不同的排法总数为 ．14．向量|a →|=|b →|=1，|c →|=√2，且a →+b →+c →=0→，则cos〈a →−c →，b →−c →〉= ． 15．已知x 2﹣3xy +2y 2＝1（x ，y ∈R ），则x 2+y 2的最小值为 ． 16．已知当x ∈(−12，12)时，有11+2x=1−2x +4x 2−⋯+(−2x)n +⋯，若对任意的x ∈(−12，12)都有x(1−x 3)(1+2x)=a 0+a 1x +⋯+a n x n +⋯，则a 9＝ ．四、解答题17．（10分）已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BP →=13BC ，Q 是边AB （含端点）上的动点．（1）若AQ →=25AB →，O 点为AP 与CQ 的交点，请用AB →，AC →表示AO →；（2）若点Q 使得AP →⊥CO ，求cos ∠BAC 的取值范围．18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cb =sinA −sin(B −C)．（1）求角B ；（2）设b ＝2，当c +√2a 的值最大时，求△ABC 的面积．19．（12分）如图，三棱锥P ﹣ABC ，P A ＝PB ＝3，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝θ（0＜θ＜π），平面P AB ⊥平面ABC ，点M 为线段PC 上的动点．（1）若点M 为PC 的中点时AM ⊥AB ，求BC 的长；（2）当θ=π3时，是否存在点M 使得直线BM 与平面ABC 所成角的正弦值为√16533？20．（12分）已知向量a →=(√3cosωx ，−cosωx)，b →=(sinωx ，cosωx)，其中ω＜0，若函数f(x)=a →⋅b →+12的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）在[﹣π，π]上的单调递增区间；（2）若关于x 的方程2a[f(x +5π12)+f(x +2π3)]2−2[f(x +5π12)+f(x +π6)]−5a +12=0在[0，π4]有解，求实数a 的取值范围．21．（12分）为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，培养有理想、有道德、有文化、有纪律的社会主义建设者，《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传《未成年人保护法》，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分别为p 1，p 2．（1）若p 1=34，p 2=23，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；（2）当p 1+p 2=65，且每轮比赛互不影响时，如果甲、乙同学组成的小组在此次活动中获得“优秀小组”的期望值为9，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？ 22．（12分）已知函数f(x)=ax −sinx2+cosx ． （1）当a ＝1时，讨论f （x ）的单调性； （2）若∀x ＞0都有f （x ）＞0，求a 的取值范围．2022-2023学年江苏省苏州市昆山中学实验班高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（3，+∞）B ．（1，3）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）解：由x 2﹣2x ﹣3＞0，得（x +1）（x ﹣3）＞0，解得x ＜﹣1或x ＞3， 所以B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}＝{x |x ＜﹣1或x ＞3}， 因为A ＝{x |x ＞1}，所以A ∪B ＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． 故选：C ． 2．已知复数z 满足11−z=2i ，则z 的共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵1−z =12i =−12i ， ∴z =1+12i ， ∴z =1−12i ，故z 在复平面内对应的点(1，−12)位于第四象限． 故选：D ．3．已知平面上有三个点A ，B ，C ，则命题“A ，B ，C 可以构成一个A 为钝角的钝角三角形”是“AB →⋅AC→＜0”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：当A ，B ，C 可以构成一个A 为钝角的钝角三角形时，AB →⋅AC →＜0，从而命题“A ，B ，C 可以构成一个A 为钝角的钝角三角形”是“AB →⋅AC →＜0”的充分条件， 当三个点A ，B ，C 共线且∠BAC ＝180°时，满足AB →⋅AC →＜0，但是A ，B ，C 不能构成三角形， 从而命题“A ，B ，C 可以构成一个A 为钝角的钝角三角形”不是“AB →⋅AC →＜0”的必要条件． 故选：A ．4．已知由样本数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为y =2x −0.4，且x =2，去除两个样本点（﹣3，1）和（3，﹣1）后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本（4，8）的残差为（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．2解：将x =2代入y =2x −0.4，得y =2×2−0.4=3.6， 去除两个样本点（﹣3，1）和（3，﹣1）后， 得x′=2×108=52，y′=3.6×108=92，可得a =92−3×52=−3， 故去除样本点（﹣3，1）和（3，﹣1）后的回归直线方程为y =3x −3． 当x ＝4时，y =3×4−3=9，则样本（4，8）的残差为8﹣9＝﹣1． 故选：B ．5．将顶点在原点，始边为x 轴非负半轴的锐角α的终边绕原点顺时针旋转π3后，交单位圆于点P(x ，−35)，那么sin α＝（ ） A ．−4+3√310B ．−4−3√310C ．−3−4√310D ．−3+4√310解：由点P 在单位圆上，则x 2+(−35)2=1，解得x =±45， 由锐角α∈(0，π2)，即α−π3∈(−π3，π6)，则x =45， 故cos(α−π3)=45，sin(α−π3)=−35， 所以sinα=sin(α−π3+π3)=sin(α−π3)cos π3+cos(α−π3)sin π3=(−35)×12+45×√32=−3+4√310． 故选：D ．6．足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的56，女性喜爱足球的人数占女性人数的13，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（ ）人．χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)A ．10B ．11C ．12D ．13解：设被调查的男性为x 人，则女性为2x 人，依据题意可得列联表如下表：χ2=3x(5x 6⋅4x 3−2x 3⋅x6)23x 2⋅3x2⋅x⋅2x=2x3，因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论， 所以有χ2≥7.879，即2x 3≥7.879，解得x ≥11.8185，又因为上述列联表中的所有数字均为整数， 故x 的最小值为12． 故选：C ．7．某学校安排音乐、阅读、体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲、乙、丙、丁4位同学每人限报其中1项．已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于（ ） A ．118B ．332C ．29D ．89解：甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率为C 41A 33C 41⋅33=29．故选：C ．8．已知锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2+bc ，若cos （C ﹣B ）+λcos A 存在最大值，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(0，√2)B ．(1，√3)C ．（0，2）D ．（2，4）解：由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+bc ， 则c ﹣b ＝2b cos A ，由正弦定理得sin C ﹣sin B ＝2sin B cos A ， 所以sin （A +B ）﹣sin B ＝2sin B cos A ， 所以sin A cos B +sin B cos A ﹣sin B ＝2sin B cos A ， 化简得sin A cos B ﹣sin B cos A ﹣sin B ＝0， 即sin （A ﹣B ）＝sin B ，因为0＜A ＜π2，0＜B ＜π2， 所以−π2＜A −B ＜π2， 所以A ﹣B ＝B ，即A ＝2B ， 又{0＜B ＜π20＜2B ＜π20＜π−3B ＜π2，则π6＜B ＜π4，所以0＜cos2B ＜12，cos （C ﹣B ）+λcos A ＝cos （π﹣4B ）+λcos2B ＝﹣2cos 22B +λcos2B +1存在最大值， 则0＜14λ＜12，即0＜λ＜2． 故选：C ． 二、多选题9．下列命题中真命题是（ ）A ．设一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则s 2=1n∑ n i=1x i 2−(x)2B ．已知随机变量X ～B(n ，13)，若D （3X ﹣2）＝12，则n ＝4C ．两个变量的相关系数r 越大，它们的相关程度越强D ．若随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），且P （ξ＜4）＝0.8，则P （0＜ξ＜2）＝0.3解：对于A ：由方差公式可得s 2=1n ∑ n i=1（x i −x ）2=1n （∑ n i=1x i 2+n x 2﹣2∑ n i=1x i x ） =1n （∑ n i=1x i 2+n x 2﹣2n x 2）=1n （∑ n i=1x i 2−n x 2）=1n ∑ n i=1x i 2−x 2，故A 正确；对于B ：因为随机变量X ～B （n ，13），所以D （X ）＝n •13•23=29n ，则D （3X ﹣2）＝32D （X ）＝9•29n ＝2n ，因为D （3X ﹣2）＝12，所以2n ＝12，解得n ＝6，故B 错误；对于C ：两个变量得相关系数越接近1，它们得相关程度越强，故C 错误； 对于D ：因为随机变量ξ服从正态分布N （2，δ2），且P （ξ＜4）＝0.8， 所以P （ξ＜4）＝0.8，P （ξ≤0）＝P （ξ≥4）＝1﹣0.8＝0.2，P （0＜ξ＜2）＝0.5﹣P （ξ≤0）＝0.5﹣0.2＝0.3，故D 正确． 故选：AD ．10．已知函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的导函数f ′（x ）的部分图象如图所示，其中点A ，B 分别为f ′（x ）的图象上的一个最低点和一个最高点，则（ ）A ．f ′(x)=−sin(2x +π6) B ．f （x ）图象的对称轴为直线x =−π12+kπ2(k ∈Z)C ．函数f （x ）在[−4π3，−7π6]上单调递增D ．将f （x ）的图象向右平移3π4个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到f ′（x ）的图象解：f ′（x ）＝﹣ωsin （ωx +φ）， 由图象知T ＝2×（2π3−π6）＝2×3π6=π，即2πω=π，得ω＝2，则f ′（x ）＝﹣2sin （2x +φ），由五点对应法2×（−π12）+φ＝0，得φ=π6，即f （x ）＝cos （2x +π6），f ′（x ）＝﹣2sin （2x +π6），故A 错误； 由2x +π6=k π，得x =−π12+kπ2，k ∈Z ，即f （x ）图象的对称轴为直线x =−π12+kπ2，k ∈Z ，故B 正确； f （x ）＝cos （2x +π6），当x ∈[−4π3，−7π6]，则2x ∈[−8π3，−7π3]，2x +π6∈[−5π2，−13π6]，此时y ＝cos x 为增函数，故C 正确； 将f （x ）的图象向右平移3π4个单位长度，得到y ＝cos[2（x −3π4）+π6]＝cos （2x −3π2+π6） ＝cos[3π2−（2x +π6）]＝﹣cos[π2−（2x +π6）]＝﹣sin （2x +π6），再将所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝﹣2sin （2x +π6），此时可以得到f ′（x ）的图象，故D 正确． 故选：BCD ．11．如图，已知正六边形ABCDEF 的边长为1，记BC →=e →，则（ ）A ．AD →=2(AE →+AC →)B ．AB →⋅(EA →+2FA →)=|AB →|2 C ．BC →(CD →⋅FE →)=(BC →⋅CD →)FE →D ．AE →在CB →方向上的投影向量为32e →解：对于选项A ，AD →=AF →+FE →+ED →=AF →+CD →+AB →+ED →=2（AF →+ED →）， 又AF →+ED →−(AE →+AC →)=AF →+AB →−AE →−AC →=EF →+CB →=2CB →≠0→， 所以选项A 错误；对于选项B ，因为AB →⊥EA →， 所以AB →•EA →=0，所以AB →•（EA →+2FA →）=AB →•（2FA →）=AB →•EB →=|AB →|2， 所以选项B 正确；对于选项C ，因为BC →（CD →•FE →）=12BC →，（BC →•CD →）FE →=12FE →，且BC →=FE →，所以BC →（CD →•FE →）＝（BC →•CD →）FE →， 所以选项C 正确；对于选项D ，AE →在CB →方向上的投影向量为AE →⋅CB →|CB →|CB →|CB →|＝（AE →•CB →）CB → =√3×1×cos150°CB →=−32CB →=32e →，所以选项D 正确． 故选：BCD ．12．在数学中，双曲函数（也叫圆函数）是一类与常见的三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲正弦函数sin ℎx =e x −e −x 2和双曲余弦函数cos ℎx =e x +e −x2，从它们可以导出双曲正切函数tan ℎx =e x −e −xe x +e −x等，则下列说法正确的是（ ） A ．（tanh x ）′＝1﹣（tanh x ）2B ．tanh x ＞cosh x 恒成立C ．∀x 0＞0，sinh （sinh x 0）＞sinh x 0D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，则sinℎx 1−sinℎx 2x 1−x 2＞1解：对于A ：tan ℎx =e x −e −x e x +e −x =e 2x −1e 2x +1，x ∈R ，(tan ℎx)′=2e 2x (e 2x +1)−(e 2x −1)⋅2e 2x(e 2x +1)2=4e 2x (e 2x +1)2，1−(tan ℎx)2=1−(e 2x −1e 2x +1)2=(e 2x +1)2−(e 2x −1)2(e 2x +1)2=(e 2x +1+e 2x −1)(e 2x +1−e 2x +1)(e 2x +1)2=4e 2x(e 2x +1)2，∴（tanh x ）′＝1﹣（tanh x ）2，故A 正确； 对于B ：设e 2x +1＝t ＞1，则e 2x ＝t ﹣1， 则tan ℎx =t−2t =1−2t ∈(−1，1)，cos ℎx =e x +e −x 2≥2√e x ⋅e −x 2=1，当且仅当e x ＝e ﹣x ，即x ＝0时等号成立，∴cosh x ∈[1，+∞）， ∴tanh x ＜cosh x ，故B 错误；对于C ：∵(sin ℎx)′=e x +e −x2＞0， ∴y ＝sinh x 在R 上单调递增， 设f （x ）＝sinh x ﹣x ，x ＞0， 则f ′(x)=e x +e −x 2−1=e x +e −x −22， ∵e x +e ﹣x ≥2，∴f ′(x)=e x +e −x −22≥0，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴f （x ）＞f （0）＝0，即sinh x ＞x ，∴∀x 0＞0，sinh （sinh x 0）＞sinh x 0，故C 正确；对于D ：不妨设x 1＞x 2，则x 1﹣x 2＞0，由C 得f （x ）＝sinh x ﹣x ，x ∈R ，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （x ）＞0，又∵f(−x)=e −x −e x2+x =−f(x)，即f （x ）为R 上奇函数，∴f （x ）＝sinh x ﹣x 在（﹣∞，0）上单调递增，且f （x ）＜0， ∴f （x ）在R 上单调递增，∴f （x 1）﹣f （x 2）＝sinh x 1﹣x 1﹣（sinh x 2﹣x 2）＞0， 即sinh x 1﹣sinh x 2＞x 1﹣x 2， ∴sinℎx 1−sinℎx 2x 1−x 2＞1，故D 正确，故选：ACD ． 三、填空题13．要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不在排头，且任何两个舞蹈节目不相邻，则不同的排法总数为 7200 ． 解：先排5个独唱节目有A 55种排法，在五个节目之间形成的空位不包括第一个中，放入3个舞蹈节目有A 53种排法，根据分步计数原理可得不同的排法总数为A 55A 53=7200种．故答案为：7200．14．向量|a →|=|b →|=1，|c →|=√2，且a →+b →+c →=0→，则cos〈a →−c →，b →−c →〉= 45．解：因为向量|a →|＝|b →|＝1，|c →|=√2，且a →+b →+c →=0→， 所以−c →=a →+b →，所以c →2＝（a →+b →）2=a →2+b →2+2a →•b →， 所以2＝1+1+2×1×1×cos ＜a →，b →＞， 所以cos ＜a →，b →＞=0， 所以a →⊥b →，又a →−c →=2a →+b →，b →−c →=a →+2b →，所以（a →−c →）•（b →−c →）＝（2a →+b →）•（a →+2b →）＝2a →2+2b →2+5a →•b →=2+2+0＝4， 所以|a →−c →|＝|b →−c →|=√4a →2+4a →⋅b →+b →2=√4+0+1=√5，所以cos ＜a →−c →，b →−c →＞=(a →−c →)⋅(b →−c →)|a →−c →||b →−c →|=45×5=45．故答案为：45．15．已知x 2﹣3xy +2y 2＝1（x ，y ∈R ），则x 2+y 2的最小值为 2√10−6 ． 解：因为x 2﹣3xy +2y 2＝（x ﹣y ）（x ﹣2y ）＝1， 所以设x ﹣y ＝t ，则x ﹣2y =1t （t ≠0）， 所以x ＝2t −1t，y ＝t −1t，所以x 2+y 2＝（2t −1t ）2+（t −1t ）2＝5t 2+2t 2−6≥2√10−6， 当且仅当5t 2=2t 2时，等号成立， 所以x 2+y 2的最小值为2√10−6． 故选：2√10−6．16．已知当x ∈(−12，12)时，有11+2x=1−2x +4x 2−⋯+(−2x)n +⋯，若对任意的x ∈(−12，12)都有x(1−x 3)(1+2x)=a 0+a 1x +⋯+a n x n +⋯，则a 9＝ 228 ．解：∵当x ∈(−12，12)时，有11+2x=1−2x +4x 2−⋯+(−2x)n ，∴到11−x 3=1+（x 3）1+（x 3）2+…+（x 3）n +…，则x(1−x 3)(1+2x)=x [1+x 3+x 6+…+x 3n +…]×[1﹣2x +4x 2+…+（﹣2x ）n +…]， a 9为x(1−x 3)(1+2x)展开式中x 9的系数，因为x [1•（﹣2x ）8+x 3•（﹣2x ）5+x 6•（﹣2x ）2]＝228x 9，所以a 9＝228． 故答案为：228． 四、解答题17．（10分）已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BP →=13BC ，Q 是边AB （含端点）上的动点．（1）若AQ →=25AB →，O 点为AP 与CQ 的交点，请用AB →，AC →表示AO →；（2）若点Q 使得AP →⊥CO ，求cos ∠BAC 的取值范围．解：（1）已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BP →=13BC →，Q 是边AB （含端点）上的动点，∵BP →=13BC →，∴AP →=23AB →+13AC →，又∵A 、O 、P 三点共线， 令AO →=λAP →=2λ3AB →+λ3AC →，∵AB →=52AQ →，∴AO →=5λ3AQ →+λ3AC →，而C 、O 、Q 三点共线， ∴5λ3+λ3=1，∴λ=12，∴AO →=13AB →+16AC →；（2）由已知可得：AP →=13AC →+23AB →， 又因为CQ →=AQ →−AC →， 设AQ →=tAB →(0≤t ≤1)， 则CQ →=tAB →−AC →，由AP →⊥CQ →，可得AP →⋅CQ →=0，即(13AC →+23AB →)⋅(tAB →−AC →)=0， 所以t3AC →⋅AB →−13|AC →|2+23t|AB →|2−23AC →⋅AB →=0，即t−23×6cos∠BAC −3+83t =0，整理得cos ∠BAC =3−83t 2(t−2)=−83(t−2)−732(t−2)=−43−76(t−2)，因为t ∈[0，1]，y =−43−76(t−2)在[0，1]上单调递增， 故cos ∠BAC =−43−76(t−2)∈[−34，−16]， 即cos ∠BAC 的取值范围为[−34，−16]．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cb=sinA−sin(B−C)．（1）求角B；（2）设b＝2，当c+√2a的值最大时，求△ABC的面积．解：（1）∵在△ABC中，cb=sinA−sin(B−C)，A+B+C＝π，∴由正弦定理得sinCsinB=sin(π−B−C)−sin(B−C)=sin(B+C)−sin(B−C)=2cosBsinC，又C∈（0，π），故sin C＞0，故sin2B＝1，又2B∈（0，2π），则2B=π2，解得B=π4；（2）由（1）得b＝2，B=π4，由正弦定理得2R=bsinπ4=2√2，故c+√2a=2RsinC+√2×2RsinA=2√2[sinC+√2sin(C+π4 )]=2√2(sinC+sinC+cosC)=2√2(2sinC+cosC)=2√10sin(C+φ)，其中cosφ=2√55，sinφ=√55，且φ∈(0，π2)，∵C∈(0，3π4)，故C+φ∈(φ，3π4+φ)，3π4+φ∈(3π4，5π4)，故sin（C+φ）的最大值为1，此时C+φ=π2，即C=π2−φ，故sinC=sin(π2−φ)=cosφ=2√55，cosC=cos(π2−φ)=sinφ=√55，∴c=2RsinC=2√2×2√55=4√105，又sinA=sin(3π4−C)=√22(sinC+cosC)=√22×3√55=3√1010，故a=2RsinA=2√2×3√1010=6√55，∴S△ABC=12acsinB=12×4√105×6√55×√22=125，即△ABC的面积为125．19．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC，P A＝PB＝3，AB＝AC＝4，∠BAC＝θ（0＜θ＜π），平面P AB⊥平面ABC，点M为线段PC上的动点．（1）若点M为PC的中点时AM⊥AB，求BC的长；（2）当θ=π3时，是否存在点M使得直线BM与平面ABC所成角的正弦值为√16533？解：（1）取AB 的中点D ， 因为P A ＝PB ， 所以PD ⊥AB ，又平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，PD ⊂平面P AB ， 所以PD ⊥面ABC ，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，则A （﹣2，0，0），B （2，0，0），P （0，0，√5）， C （﹣2+4cos θ，4sin θ，0），M （2cos θ﹣1，2sin θ，√52）， 所以AB →=（4，0，0），AM →=（2cos θ+1，2sin θ，√52）， 因为AM ⊥AB ， 所以AM →•AB →=0， 所以4（2cos θ+1）＝0， 所以cos θ=−12， 因为0＜θ＜π， 所以θ=2π3， 所以在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC cos θ＝16+16﹣2×4×4×（−12）＝48， 所以BC ＝4√3．（2）存在点M 使得直线BM 与平面ABC 所成角的正弦值为√16533，理由：当θ=π3时，C （0，2√3，0），M （0，√3，√52），所以BM →=（﹣2，√3，√52）， 因为PD ⊥面ABC ，所以面ABC 的一个法向量为n →=（0，0，1）， 设直线BM 与平面ABC 所成的角为φ， 则sin φ＝|cos ＜BM →，n →＞|＝|BM →⋅n→|BM →||n →||(−2，√3，√5)⋅(0，0，1)(−2)+(√3)+(√2)√16533，所以直线BM 与平面ABC 所成角的正弦值为√16533． 20．（12分）已知向量a →=(√3cosωx ，−cosωx)，b →=(sinωx ，cosωx)，其中ω＜0，若函数f(x)=a →⋅b →+12的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）在[﹣π，π]上的单调递增区间；（2）若关于x 的方程2a[f(x +5π12)+f(x +2π3)]2−2[f(x +5π12)+f(x +π6)]−5a +12=0在[0，π4]有解，求实数a 的取值范围．解：（1）∵向量a →=(√3cosωx ，−cosωx)，b →=(sinωx ，cosωx)，其中ω＜0，∴f(x)=a →⋅b →+12=√3sinωxcosωx −cos 2ωx +12=√32sin2ωx −12cos2ωx =sin （2ωx −π6）， ∵函数f(x)=a →⋅b →+12的最小正周期为π，∴π−ω=π，解得ω＝﹣1，∴f （x ）＝sin （﹣2x −π6）＝﹣sin （2x +π6），∵2k π+π2≤2x +π6≤2k π+3π2（k ∈Z ），∴k π+π6≤x ≤kπ+2π3，（k ∈Z ）， ∵x ∈[﹣π，π]，当k ＝﹣1时，−5π6≤x ≤−π3， 当k ＝0时，π6≤x ≤2π3，∴函数f （x ）在[﹣π，π]上的单调递增区间为[−5π6，−π3]，[π6，2π3]．（2）由（1）知，f （x +5π12）＝﹣sin[2（x +5π12）+π6]＝﹣sin （2x +π）＝sin2x ， f （x +2π3）＝﹣sin[2（x +2π3）+π6]＝﹣sin （2x +3π2）＝cos2x ， f （x +π6）＝﹣sin[2（x +π6）+π6]＝﹣sin （2x +π2）＝﹣cos2x ，方程2a [f （x +5π12）+f （x +2π3）]2﹣2[f （x +5π12）+f （x +π6）]﹣5a +12=0，即方程2a （sin2x +cos2x ）2﹣2（sin2x ﹣cos2x ）﹣5a +12=0，由0≤x ≤π4，得−π4≤2x −π4≤π4，令t ＝sin2x ﹣cos2x =√2sin （2x −π4）∈[﹣1，1]， ∵（sin2x +cos2x ）2+（sin2x ﹣cos2x ）2＝2，∴（sin2x +cos2x ）2＝2﹣t 2，原方程化为2a （2﹣t 2）﹣2t ﹣5a +12=0，整理得2at 2+2t +a −12=0在[﹣1，1]上有解，∵a （2t 2+1）+2t −12=0，a =−2t−122t 2+1=−t−14t 2+12=−t−14(t−14)2+12(t−14)+916， 当t =14∈[﹣1，1]时，a ＝0， 当t ≠14时，令μ=t −14，a =−μμ2+12μ+916=−1916μ+μ+12， 当﹣1≤t ＜14时，μ∈[−54，0）， 函数y =916μ+μ+12在[−54，−34]上单调递增，在[−34，0）上单调递减， 当μ=−34时，y ＝﹣1，当μ=−54时，y =−65，∴y ≤﹣1，∴0＜a ≤1， 综上，−12≤a ≤1．∴实数a 的取值范围是（0，1]．21．（12分）为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，培养有理想、有道德、有文化、有纪律的社会主义建设者，《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传《未成年人保护法》，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分别为p 1，p 2．（1）若p 1=34，p 2=23，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；（2）当p 1+p 2=65，且每轮比赛互不影响时，如果甲、乙同学组成的小组在此次活动中获得“优秀小组”的期望值为9，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？解：（1）第一轮竞赛中他们获“优秀小组”有两种情况：答对题为3道或4道， 则他们获“优秀小组”的概率为：2×（34）2•23•13+2×（23）2•34•14+（34）2•（23）2=23；（2）∵p 1+p 2=65，∴每轮比赛获得“优秀小组”的概率为2p 12p 2（1﹣p 2）+2p 22p 1（1﹣p 1）+p 12p 22=3p 1p 2（45−p 1p 2），令p 1p 2＝t ≤（p 1+p 22）2=925， ∵0≤p 1，p 2≤1，p 1+p 2=65， ∴15≤p 1p 2≤925∴3p 1p 2（45−p 1p 2）＝﹣3t 2+125t ， 令f （t ）＝﹣3t 2+125t ，15≤t ≤925，∵对称轴方程为t =25，抛物线开口向下，∴函数f （t ）在[15，925]上单调递增，∴f （t ）的最大值是f （925）＝﹣3（925）2+125×925=297625， 设要进行n 轮竞赛，则297625n ≥9，解得：n ≥62533≈19． ∴理论上至少要进行19轮竞赛． 22．（12分）已知函数f(x)=ax −sinx2+cosx．（1）当a ＝1时，讨论f （x ）的单调性； （2）若∀x ＞0都有f （x ）＞0，求a 的取值范围．解：（1）当a ＝1时，f(x)=x −sinx 2+cosx ，求导数f ′(x)=1−2cosx+1(2+cosx)2=(cosx+1)2+2(2+cosx)2＞0，所以f （x ）在R 上单调递增； （2）求导数f ′(x)=3(12+cosx −13)2+a −13．a ≥13时，f ′（x ）≥0，即函数在（0，+∞）上单调递增，所以f （x ）＞f （0）＝0，符合题意； 当0＜a ＜13时，令h （x ）＝sin x ﹣3ax ，x ＞0，求导数h ′（x ）＝cos x ﹣3a ，则存在x 0∈(0，π2)，使得h ′（x 0）＝0，当0＜x ＜x 0时，h ′（x ）＞0，所以h （x ）＞h （0）＝0，即sin x ＞3ax ， 因此，当0＜x ＜x 0时，sinx 2+cosx＞sinx 3＞ax ，即f （x ）＜0，不符合题意；当a ≤0时，f(π2)＜0，不符合题意． 综上所述，a ≥13．。
江苏省昆山市2021年中考数学二模试卷及答案(word解析版)
江苏省昆山市2021年中考数学二模试卷一、选择题〔每题3分，共30分〕把以下各题的正确答案前的英文字母填涂在答题纸相应的位置上．1．〔3分〕〔2021•昆山市二模〕计算的结果是〔〕A．±3B．3C．±3 D．3考点：立方根专题：探究型．分析：根据立方根的定义进行解答即可．解答：解：∵33=27，∴=3．应选D．点评：此题考查的是立方根的定义，即如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：．2．〔3分〕〔2021•昆山市二模〕﹣的相反数是〔〕A．B．﹣C．D．﹣考点：实数的性质分析：根据相反数的定义解答即可．解答：解：﹣的相反数是．应选A．点评：此题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义，熟记概念是解题的关键．3．〔3分〕〔2021•昆山市二模〕数据5，7，5，8，6，13，5的中位数是〔〕A．5B．6C．7D．8考点：中位数专题：计算题．分析：将该组数据按从小到大排列，找到位于中间位置的数即可．解答：解：将数据5，7，5，8，6，13，5按从小到大依次排列为：5，5，5，6，7，8，13，位于中间位置的数为6．故中位数为6．应选B．点评：此题考查了中位数的定义，知道中数的定义是解题的关键．4．〔3分〕〔2021•昆山市二模〕在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是〔〕A．B．C．D．1考点：概率公式；中心对称图形分析：确定既是中心对称的有几个图形，除以4即可求解．解答：解：∵是中心对称图形的有圆、菱形，所以从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是=；应选B．点评：此题考查了概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，关键是能够找出中心对称图形．5．〔3分〕〔2021•昆山市二模〕如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，那么∠OCD的度数是〔〕A．40°B．45°C．50°D．60°考点：圆周角定理；垂径定理专题：压轴题．分析：首先连接OB，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数，又由OB=OC，根据等边对等角的性质，即可求得∠OCD的度数．解答：解：连接OB，∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵OB=OC，∴∠OCD=∠OBC==40°．应选A．点评：此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．6．〔3分〕〔2021•昆山市二模〕将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．那么这样的折纸方法共有〔〕A．1种B．2种C．4种D．无数种考点：平行四边形的性质专题：操作型．分析：根据平行四边形的中心对称性，可知这样的折纸方法有无数种．解答：解：因为平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分四边形的面积，那么这样的折纸方法共有无数种．应选D．点评：此题主要考查平行四边形是中心对称图形的性质．平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形．7．〔3分〕〔2021•昆山市二模〕反比例函数y=〔b为常数〕，当x＞0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y=x+b的图象不经过第几象限．〔〕A．一B．二C．三D．四考点：一次函数图象与系数的关系；反比例函数的性质专题：探究型．分析：先根据反比例函数的增减性判断出b的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系判断出次函数y=x+b的图象经过的象限即可．解答：解：∵反比例函数y=〔b为常数〕，当x＞0时，y随x的增大而增大，故函数位于二、四象限，∴b＜0，∵一次函数y=x+b中k=1＞0，b＜0，∴此函数的图象经过一、三、四限，∴此函数的图象不经过第二象限．应选B．点评：此题考查的是一次函数的图象与系数的关系及反比例函数的性质，熟知一次函数y=kx+b〔k≠0〕中，当k＞0，b＜0时函数的图象在一、三、四象限是解答此题的关键．8．〔3分〕〔2021•昆山市二模〕把抛物线y=x2+bx+4的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为y=x2﹣2x+3，那么b的值为〔〕A．2B．4C．6D．8考点：二次函数图象与几何变换分析：首先根据点的坐标平移规律是上加下减，左减右加，利用这个规律即可得到所求抛物线的顶点坐标，然后就可以求出抛物线的解析式．解答：解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1+2=〔x﹣1〕2+2，∴顶点坐标为〔1，2〕，∴向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得〔﹣2，0〕，那么原抛物线y=x2+bx+4的顶点坐标为〔﹣2，0〕，∴原抛物线y=x2+bx+4=〔x+2〕2=x2+4x+4，∴b=4．应选：B．点评：此题主要考查了平移规律，首先根据平移规律求出抛物线的顶点坐标，然后求出所求抛物线的顶点坐标，最后就可以求出原抛物线的解析式．9．〔3分〕〔2021•昆山市二模〕如图，在直角三角形ABC中〔∠C=90°〕，放置边长分别3，4，x的三个正方形，那么x的值为〔〕A．5B．6C．7D．12考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质专题：压轴题．分析：根据条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．解答：解：∵在Rt△ABC中〔∠C=90°〕，放置边长分别3，4，x的三个正方形，∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF，∵EF=x，MO=3，PN=4，∴OE=x﹣3，PF=x﹣4，∴〔x﹣3〕：4=3：〔x﹣4〕，∴〔x﹣3〕〔x﹣4〕=12，∴x=0〔不符合题意，舍去〕，x=7．应选C．点评：此题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边．10．〔3分〕〔2021•昆山市二模〕如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B 两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于以下结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的选项是〔〕A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤考点：切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO 都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项①正确；又ABCD为直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD的面积为AB〔AD+BC〕，将AD+BC化为CD，可得出梯形面积为AB•CD，选项④错误，而OD不一定等于OC，选项③错误，即可得到正确的选项．解答：解：连接OE，如下图：∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；在Rt△ADO和Rt△EDO中，，∴Rt△ADO≌Rt△EDO〔HL〕，∴∠AOD=∠EOD，同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC，又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，∴2〔∠DOE+∠EOC〕=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC，∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确；而S梯形ABCD=AB•〔AD+BC〕=AB•CD，选项④错误；由OD不一定等于OC，选项③错误，那么正确的选项有①②⑤．应选A点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解此题的关键．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕把正确答案直接填在答题纸相应的位置内．11．〔3分〕〔2021•昆山市二模〕假设a与﹣5互为倒数，那么a=．考点：倒数分析：根据倒数的定义，a的倒数是〔a≠0〕，据此即可求解．解答：解：﹣5的倒数是﹣，故答案是：﹣．点评：此题考查了倒数的定义，理解定义是关键．12．〔2021•昆山市二模〕〔3分〕〔2021•本溪〕1纳米=10﹣9米，某种微粒的直径为158纳米，用科学记数法表示该微粒的直径为 1.58×10﹣7米．考点：科学记数法—表示较小的数分析：根据158纳米×10﹣9=0.000 000158米，再利用绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：158纳米×10﹣9=0.000 000158米=1.58×10﹣7米；故答案为：1.58×10﹣7．点评：此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13．〔3分〕〔2021•昆山市二模〕a+b=2，ab=﹣1，那么3a+ab+3b=5；a2+b2=6．考点：完全平方公式专题：压轴题．分析：由3a+ab+3b=3〔a+b〕+ab与a2+b2=〔a+b〕2﹣2ab，将a+b=2，ab=﹣1代入即可求得答案．解答：解：∵a+b=2，ab=﹣1，∴3a+ab+3b=3a+3b+ab=3〔a+b〕+ab=3×2+〔﹣1〕=5；a2+b2=〔a+b〕2﹣2ab=22﹣2×〔﹣1〕=6．故答案为：5，6．点评：此题考查了完全平方公式的应用．此题难度不大，注意掌握公式变形是解此题的关键．14．〔3分〕〔2021•昆山市二模〕如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角形ABC 绕直角顶点C顺时针旋转90°到△A1B1C，那么在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积为．考点：旋转的性质；扇形面积的计算分析：根据直角三角形的性质求出BC、AC的长度，设点B扫过的路线与AB的交点为D，连接CD，可以证明△BCD是等边三角形，然后求出点D是AB的中点，所以△ACD 的面积等于△ABC的面积的一半，然后根据△ABC扫过的面积=S扇形ACA1+S扇形BCD+S△ACD，然后根据扇形的面积公式与三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，∴BC=AB=1，∠B=90°﹣∠BAC=60°，∴AC==，∴S△ABC=BC•AC=设点B扫过的路线与AB的交点为D，连接CD，∵BC=DC，∴△BCD是等边三角形，∴BD=CD=1，∴点D是AB的中点，∴S△ACD=S△ABC=，∴△ABC扫过的面积=S扇形ACA1+S扇形BCD+S△ACD，=×π×〔〕2+×π×12+，=π+π+，=．故答案是：点评：此题考查了旋转的性质、直角三角形的性质以及等边三角形的性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系，利用数形结合思想把扫过的面积分成两个扇形的面积与一个三角形面积是解题的关键，也是此题的难点．15．〔3分〕〔2021•昆山市二模〕某校为了丰富学生的课外体育活动，欲增购一批体育器材，为此该校对一局部学生进行了一次题为“你喜欢的体育活动〞的问卷调查〔每人限选一项〕根据收集到的数据，绘制成如图的统计图〔不完整〕：根据图中提供的信息得出“跳绳〞局部学生共有50人．考点：条形统计图；扇形统计图分析：先求得总人数，然后用总人数减去其他各个小组的频数即可．解答：解：∵从条形统计图知喜欢球类的有80人，占40% ∴总人数为80÷40%=200人∴喜欢跳绳的有200﹣80﹣30﹣40=50人，故答案为50．点评：此题考查了条形统计图及扇形统计图的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出进一步解题的有关信息．16．〔3分〕〔2021•昆山市二模〕如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，BE=1，那么EF的长为．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换〔折叠问题〕分析：由正方形纸片ABCD的边长为3，可得∠C=90°，BC=CD=3，由根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF，然后设DF=x，在Rt△EFC中，由勾股定理EF2=EC2+FC2，即可得方程，解方程即可求得答案．解答：解：∵正方形纸片ABCD的边长为3，∴∠C=90°，BC=CD=3，根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF，设DF=x，那么EF=EG+GF=1+x，FC=DC﹣DF=3﹣x，EC=BC﹣BE=3﹣1=2，在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2，即〔x+1〕2=22+〔3﹣x〕2，解得：x=，∴DF=，EF=1+=．故答案为．点评：此题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．17．〔3分〕〔2021•昆山市二模〕读一读，式子“1+2+3+4+…+100〞表示从1开始的100个自然数的和，由于式子比拟长，书写不方便，为了简便，我们将其表示为，这里“〞是求和符号，通过对上述材料的阅读，计算=．考点：分式的加减法专题：新定义．分析：根据题意将所求式子写出普通加法运算，拆项后合并即可得到结果．解答：解：=++…+=1﹣+﹣+﹣=1﹣=．故答案为：点评：此题考查了分式的加减法，利用了拆项的方法，弄清题意是解此题的关键．18．〔3分〕〔2021•昆山市二模〕在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是〔2，a〕〔a＞2〕，半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，那么a的值是．考点：垂径定理；坐标与图形性质专题：计算题；压轴题．分析：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．解答：解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵AB=2，∴AE=，PA=2，∴PE=1．∵点D在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=．∵⊙P的圆心是〔2，a〕，∴点D的横坐标为2，∴OC=2，∴DC=OC=2，∴a=PD+DC=2+．故答案为2+．点评：此题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．三、解答题〔本大题共11小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔〕19．〔5分〕〔2021•昆山市二模〕计算：．考点：实数的运算分析：此题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值的化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法那么求得计算结果．解解：原式=5﹣3+3﹣1=4．答：点评：此题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值的化简等考点的运算．20．〔5分〕〔2021•昆山市二模〕解不等式组，并写出不等式组的整数解．考点：解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解专题：压轴题；探究型．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在x的取值范围内找出符合条件的x 的整数值即可．解答：解：由①得，x≥﹣；由②得，x＜4，故此不等式组的解集为：﹣≤x＜4 整数解有：0，1，2，3．点评：此题考查的是解一元一次不等式组及一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到〞的原那么是解答此题的关键．21．〔5分〕〔2021•昆山市二模〕解方程：．考点：解分式方程专题：方程思想．分析：观察可得最简公分母是x〔x+1〕，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：x2+x〔x+1〕=〔2x+1〕〔x+1〕〔2分〕x2+x2+x=2x2+3x+1，解这个整式方程得：，〔4分〕经检验：把代入x〔x+1〕≠0．∴原方程的解为．〔5分〕点评：考查了解分式方程，注意：〔1〕解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．〔2〕解分式方程一定注意要验根．22．〔6分〕〔2021•昆山市二模〕先化简，再求值：，其中x=﹣2．考点：分式的化简求值专题：计算题．分析：这道求代数式值的题目，通常做法是先把代数式化简，然后再代入求值．解答：解：原式=，=，=；将x=﹣2代入，得：原式=．点评：这是个分式混合运算题，运算顺序是先乘除后加减，加减法时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分．23．〔6分〕〔2021•江津区〕在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．〔1〕求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；〔2〕假设∠CAE=30°，求∠ACF的度数．考点：全等三角形的判定与性质专题：几何图形问题；证明题；数形结合．分析：〔1〕由AB=CB，∠ABC=90°，AE=CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；〔2〕由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，那么由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．解〔1〕证明：∵∠ABC=90°，答：∴∠CBF=∠ABE=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF〔HL〕；〔2〕解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，又∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°，由〔1〕知：Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°．点评：此题考查了直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．24．〔6分〕〔2021•昆山市二模〕校车平安是近几年社会关注的重大问题，平安隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．〔1〕求AB的长〔精确到0.1米，参考数据：=1.73，=1.41〕；〔2〕本路段对校车限速为40千米/小时，假设测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．考点：解直角三角形的应用分析：〔1〕分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；〔2〕由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比拟与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．解答：解：〔1〕由題意得，在Rt△ADC中，AD==36.33〔米〕，…2分在Rt△BDC中，BD==12.11〔米〕，…4分那么AB=AD﹣BD=36.33﹣12.11=24.22≈24.2〔米〕…6分〔2〕超速．理由：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1〔米/秒〕，∵12.1×3600=43560〔米/时〕，∴该车速度为43.56千米/小时，…9分∵大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速．…10分点评：此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．25．〔8分〕〔2021•昆山市二模〕某中学方案购置A型和B型课桌凳共200套．经招标，购置一套A型课桌凳比购置一套B型课桌凳少用40元，且购置4套A型和5套B型课桌凳共需1820元．〔1〕求购置一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？〔2〕学校根据实际情况，要求购置这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购置A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，求该校本次购置A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？考点：一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用分析：〔1〕根据购置一套A型课桌凳比购置一套B型课桌凳少用40元，以及购置4套A 型和5套B型课桌凳共需1820元，得出等式方程求出即可；〔2〕利用要求购置这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购置A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，得出不等式组，求出a的值即可，再利用一次函数的增减性得出答案即可．解答：解：〔1〕设A型每套x元，那么B型每套〔x+40〕元．由题意得：4x+5〔x+40〕=1820．解得：x=180，x+40=220．即购置一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需180元、220元；〔2〕设购置A型课桌凳a套，那么购置B型课桌凳〔200﹣a〕套．由题意得：，解得：78≤a≤80．∵a为整数，∴a=78、79、80．∴共有3种方案，设购置课桌凳总费用为y元，那么y=180a+220〔200﹣a〕=﹣40a+44000．∵﹣40＜0，y随a的增大而减小，∴当a=80时，总费用最低，此时200﹣a=120，即总费用最低的方案是：购置A型80套，购置B型120套．点此题主要考查了二元一次方程组的应用和不等式组的应用以及一次函数的增减性，评：根据得出不等式组，求出a的值是解题关键．26．〔8分〕〔2021•昆山市二模〕甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有1，3，2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b．〔1〕请你用树形图或列表法列出所有可能的结果．〔2〕现制定这样一个游戏规那么：假设所选出的a，b能使得ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，那么称甲获胜；否那么称乙获胜．请问这样的游戏规那么公平吗？请你用概率知识解释．考点：游戏公平性；根的判别式；列表法与树状图法分析：〔1〕首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果；〔2〕利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比拟概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平．解答：解：〔1〕画树状图得：∵〔a，b〕的可能结果有〔，1〕、〔，3〕、〔，2〕、〔，1〕、〔，3〕、〔，2〕、〔1，1〕、〔1，3〕及〔1，2〕，∴〔a，b〕取值结果共有9种；…〔4分〕〔2〕∵当a=，b=1时，△=b2﹣4a=﹣1＜0，此时ax2+bx+1=0无实数根，当a=，b=3时，△=b2﹣4a=7＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，当a=，b=2时，△=b2﹣4a=2＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，当a=，b=1时，△=b2﹣4a=0，此时ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，当a=，b=3时，△=b2﹣4a=8＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，当a=，b=2时，△=b2﹣4a=3＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，当a=1，b=1时，△=b2﹣4a=﹣3＜0，此时ax2+bx+1=0无实数根，当a=1，b=3时，△=b2﹣4a=5＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，当a=1，b=2时，△=b2﹣4a=0，此时ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，…〔2分〕∴P〔甲获胜〕=P〔△＞0〕=＞P〔乙获胜〕=，…〔1分〕∴这样的游戏规那么对甲有利，不公平．…〔1分〕点评：此题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否那么就不公平．27．〔8分〕〔2021•昆山市二模〕如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，假设AB=10cm．〔1〕求证：BF是⊙O的切线．〔2〕假设AD=8cm，求BE的长．〔3〕假设四边形CBFD为平行四边形，那么四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．考点：切线的判定；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：〔1〕欲证明BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可；〔2〕连接BD，在直角三角形ABD中，利用射影定理可以求得AE的长度，最后结合图形知BE=AB﹣AE；〔3〕连接BC．四边形CBFD为平行四边形，那么四边形ACBD是正方形．根据平行四边形的对边平行、平行线的性质、圆周角定理以及同弧所对的圆周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直径，然后由全等三角形的判定与性质推知AC=BD；根据正方形的判定定理证得四边形ACBD是正方形．解答：解：〔1〕∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，BF∥CD，∴BF⊥AB，∵点B在圆上，∴BF是⊙O的切线；〔2〕如图1，连接BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°〔直径所对的圆周角是直角〕；又∵DE⊥AB∴AD2=AE•AB；∵AD=8cm，AB=10cm，AE=6.4cm，∴BE=AB﹣AE=3.6cm；〔3〕连接BC．四边形CBFD为平行四边形，那么四边形ACBD是正方形．理由如下：∵四边形CBFD为平行四边形，∴BC∥FD，即BC∥AD；∴∠BCD=∠ADC〔两直线平行，内错角相等〕，∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，〔同弧所对的圆周角相等〕，∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA；又∵∠BDA=90°〔直径所对的圆周角是直角〕，∴∠CAD=∠BDA=90°，∴CD是⊙O的直径，即点E与点O重合〔或线段CD过圆心O〕，如图2，在△OBC和△ODA中，∵，∴△OBC≌△ODA〔SAS〕，∴BC=DA〔全等三角形的对应边相等〕，∴四边形ACBD是平行四边形〔对边平行且相等的四边形是平行四边形〕；∵∠ACB=90°〔直径所对的圆周角是直角〕，AC=AD，∴四边形ACBD是正方形．点评：此题综合考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理等知识点．要证某线是圆的切线，此线过圆上某点，连接圆心与这点〔即为半径〕，再证垂直即可．28．〔9分〕〔2021•昆山市二模〕如图，A〔﹣5，0〕，B〔﹣3，0〕，点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q〔4，0〕出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．〔1〕求点C的坐标；〔2〕当∠BCP=15°时，求t的值；〔3〕以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边〔或边所在的直线〕相切时，求t的值．考点：切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；解直角三角形专题：几何综合题；压轴题．分析：〔1〕由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标；〔2〕需要对点P的位置进行分类讨论：①当点P在点B右侧时，如图2所示，由∠BCO=45°，用∠BCO﹣∠BCP求出∠PCO为30°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；②当点P在点B左侧时，如图3所示，用∠BCO+∠BCP求出∠PCO为60°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；〔3〕当⊙P与四边形ABCD的边〔或边所在的直线〕相切时，分三种情况考虑：①当⊙P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP=90°，由∠BCO=45°，得到∠OCP=45°，即此时△COP为等腰直角三角形，可得出OP=OC，由OC=3，得到OP=3，用OQ﹣OP求出P运动的路程，即可得出此时的时间t；②当⊙P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t；③当⊙P与CD相切时，利用切线的性质得到∠DAO=90°，得到此时A为切点，由PC=PA，且PA=9﹣t，PO=t﹣4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t．综上，得到所有满足题意的时间t的值．解答：解：〔1〕∵∠BCO=∠CBO=45°，∴OC=OB=3，又∵点C在y轴的正半轴上，∴点C的坐标为〔0，3〕；〔2〕分两种情况考虑：①当点P在点B右侧时，如图2，假设∠BCP=15°，得∠PCO=30°，故PO=CO•tan30°=，此时t=4+；②当点P在点B左侧时，如图3，由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，故OP=COtan60°=3，此时，t=4+3，∴t的值为4+或4+3；〔3〕由题意知，假设⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4；③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=〔9﹣t〕2，PO2=〔t﹣4〕2，于是〔9﹣t〕2=〔t﹣4〕2+32，即81﹣18t+t2=t2﹣8t+16+9，解得：t=5.6，∴t的值为1或4或5.6．。
江苏省昆山2019-2020学年高一第二学期期中调研试卷数学试题含解析(扫描版,含解析)
频率
某校高一某班50名学生参加方疫知识竞赛，将
[50,60)
a
C
所有成绩制作成频率分布表如下：
(I)求频率分布表中(I,b, C, d的值；
[60, 70)
b
0.06
一
(2)从成绩在[50,70)的学生中选出2人，请写出
"t70,80)
35
0.70
所有不问的选法．并求选出2人y-1 =0的倾斜角为(...)
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
．在凶BC 中， 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, C, A = 45° , B=l20° , a=6,
沁
则 b= (A)
A. 2拆
B. 3五
C. 3.{3
I、 D. 3耘
3. 在平面丑角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点坐标分别为 0(0, 0) , A(-4, 0) ,
C A)
． .' . ，
)"', - 1, •
仄户
，
i
X
,
A.
B.
C.
111· 对千6.ABC, 有如一下判断，其中正确的是(A)
，
A诺sin2A =年Bt则凶BC必为等腰三角形＇
D.
，
一． ．
�:· 若.i1 > iJ., 则 sin A·> sin B .
..
c. 若a = S •. b=3, B=60° , 则符合沁史的心AiiC有两个
--.· 一
、
一..... ... ...•
＠若 OA·OB·=-3, 求直线l的斜率：＠若 AP=2PB, 求玑线l的斜率．
苏教版高中数学必修二第二学期阶段考试高一数学试题.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二学期阶段考试高一数学试题一、填空题：（每小题5分计70分）1、已知直线b a ,和平面α，若αα⊥⊥b a ,，则a 与b 的位置关系是 ▲2、若长方体三个面的面积分别是6,3,2，则体积是 ▲3、下列四个命题： ①若αα⊂b a ,//则b a // ②若αα//,//b a 则b a // ③若α⊂b b a ,//则α//a ④若b a a //,//α则α//b 或α⊂b其中为真命题的序号有 ▲ （填上所有真命题的序号）4、过点)2,1(-且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是 ▲5、已知直线a 和平面α，则平面α内必有一直线与直线a ▲ （从“相交，平行，异面，垂直”中选填）6、用一张长cm 12，宽cm 8的矩形铁皮围成圆柱体的侧面，则这个圆柱体的体积= ▲b aα7、点Q P ,分别在直线0962,043=-+=-+y x y x 上，则线段PQ 长度的最小值是 ▲ 8、直线012=+-y x 关于点)2,1(-的对称直线的一般式方程是 ▲9、过点)2,1(且到点)1,3(),1,1(--B A 距离相等的直线的一般式方程是 ▲ 10、底面边长为2，高为1的正三棱锥的内切球半径= ▲11、三条直线053,082,01=-+=+-=++y ax y x y x 能围成三角形， 则a 的取值范围是 ▲12、圆012222=+-++y x y x 关于直线03=+-y x 对称圆的标准方程是 ▲ 13、圆)0(022≠=++++C C By Ax y x 与直线0=++C By Ax 的位置关系是 ▲ 14、已知三棱锥BCD A -.平面α满足条件:到D C B A ,,,的距离相等.记满足条件的平面α的个数为p .平面α将三棱锥BCD A -分成的两部分体积之比为nm（为既约分数nmN n m ,,*∈），则n m p ++的所有可能取值为 ▲ 二、解答题：15、（本小题14分）已知：直线//a 平面α，直线⊥b 平面α，求证：b a ⊥16、（本小题14分）建立适当的直角坐标系证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和DCBAD 1C 1B 1A 1CDBA17、（本小题14分）在正方体1111D C B A ABCD -中，(1)求证：⊥C A 1面1BDC（2）求二面角C BD C --1的正切值18、（本小题16分）已知：无论a 取何值，直线0)1()2(=++++a y a x a 始终平分半径为2的圆C （1）求圆C 的标准方程（2）自点)4,1(-A 作圆C 的切线l ，求切线l 的方程CD BA P19、（本小题16分）如图：四棱锥ABCD P -中，（1）若E 为线段PC 上一点，且2:1:=EC PE ,底面ABCD 为平行四边形，则线段AB 上是否存在点F ，使得直线//EF 面PAD ，若存在，指出该点的位置并证明；若不存在，请说明理由（2）若⊥PD 面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2=AB ,M 为线段AB 上一点，且PM CM ⊥，求线段BC 长度的范围20、（本小题16分）已知：圆122=+y x O ：，和点)0,2(-P ，过点P 的直线l 交圆O 与B A ,， （1）求OAB ∆面积最大时的直线l 的方程；（2）平面上是否存在异于点P 的定点Q ，使得圆O 上任意一点M ，满足MQMP为常数，若存在，求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由参考答案1、b a //2、63、④4、02=+y x 或01=-+y x5、垂直6、33192288cm cm ππ或7、2010 8、092=+-y x 9、05201=-+=-y x x 或 10、31 11、 6331-≠≠≠a a a 且且 12、1)2()2(22=-++y x 13、相离 14、9或1515、 过直线a 作平面β交平面α于直线c ，……………4分ba cbc b c a c a a ⊥∴⊥∴⊂⊥∴=⋂⊂βαβαβα，又,//,,//Q………………………………………………14分16、在平行四边形ABCD 中，以A 为原点，以直线AB 为x 轴，建立直角坐标系…………………2分设),,(),0,(n m D a B 则),(n m a C +，……………………5分则222222)0()()0()0(-+-+-+-+=+n a m n m a BD AC222222n m a ++=……………………………………9分而22222222222222n m a AD AB DA CD BC AB ++=+=+++……………13分所以=+22BD AC 2222DA CD BC AB +++命题得证…………14分17、（1）联结AC ，在正方体1111D C B A ABCD -中BD C A AC A BD AC BD BD AA ABCD AA ⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥1111,,面又面同理∴⊥11BC C A ⊥C A 1面1BDC …………………………7分（2）联结AC 交BD 于点O ,联结O C 1，在正方体1111D C B A ABCD -中OC C BD CO BD O C CD CB OD OB D C B C 1111,,∠∴⊥⊥∴===，即为二面角C BD C --1的平面角，其正切值为2…………………14分18、（1）直线过定点)2,1(-……………………4分据题意知圆心)2,1(-C ，…………………………6分故圆C 的标准方程为4)2()1(22=++-y x ……8分（2）直线l 垂直于x 轴时，合题，方程为1-=x ………10分直线l 不垂直于轴时，设方程为)1(4+=-x k y 即04=++-k y kx由214)2(2=+++--k k k 得34-=k 此时方程为0834=-+y x ……15分综上，所求直线方程为1-=x 或0834=-+y x …16分19、（1）线段AB 上存在点F 满足2:1:=FB AF 时，使得直线//EF 面PAD证明如下：在PD 取点Q 使得2:1:=DQ PQ 连接EQ AQ ,，则DC AF DC AF DC EQ DC EQ 31,//,31,//==又PAD EF PAD AQ PAD EF 面面面//,∴⊂⊄……8分（2）DM CM PDM CM PM CM CM PD ABCD PD ⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥面又面,Q所以，以CD 为直径的圆与AB 有公共点，所以BC 的范围是(]1,0…………………16分20、（1）设圆心O 到直线l 的距离为d ，则22)1(21d d d AB s ABC ⋅-=⋅=∆ 当22=d 时ABC ∆面积最大，显然l 与x 轴不垂直，故可设直线l 方程为02)2(=+-+=k y kx x k y 即据7722122±==+=k k k d 得 故所求直线的方程为：)2(77+±=x y ……………………………8分 设存在异于点P 的定点Q ),(t s 使得圆O 上任意一点),(y x M ，满足MQMP为常数， 则为常数）(12254)()()2(22222222k t s ty sx x t y s x y x MQ MP =+++--+=-+-++= ⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⎪⎩⎪⎨⎧++=-=-=∴)(1024021)1(5202422舍或得k t s k t s t s k tk sk 故所求点Q 坐标为)0,21(-…16分。
2024届江苏省苏州昆山市达标名校中考二模数学试题含解析
2024届江苏省苏州昆山市达标名校中考二模数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．棱柱B．圆柱C．棱锥D．圆锥2．a、b是实数，点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y=﹣2x的图象上，则（）A．a＜b＜0 B．b＜a＜0 C．a＜0＜b D．b＜0＜a3．如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图1．下列关于图1的四个结论中，不一定成立的是（）A．点A落在BC边的中点B．∠B+∠1+∠C=180°C．△DBA是等腰三角形D．DE∥BC4．据媒体报道，我国最新研制的“察打一体”无人机的速度极快，经测试最高速度可达204000米/分，这个数用科学记数法表示，正确的是（）A．204×103B．20.4×104C．2.04×105D．2.04×1065．中华人民共和国国家统计局网站公布，2016年国内生产总值约为74300亿元，将74300亿用科学计数法可以表示为( )A ．1074310⨯B ．1174.310⨯C ．107.4310⨯D ．127.4310⨯6．实数4的倒数是（ ）A ．4B ．14C ．﹣4D ．﹣14 7．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠1=30°，那么∠2的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°8．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 8=，BD 6=，DH AB ⊥于点H ，且DH 与AC 交于G ，则OG 长度为( )A ．92B ．94C ．352D ．3549．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．10．甲、乙两人分别以4m/s 和5m/s 的速度，同时从100m 直线型跑道的起点向同一方向起跑，设乙的奔跑时间为t （s ），甲乙两人的距离为S （m ），则S 关于t 的函数图象为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．因式分解：a 2﹣a ＝_____．12．将直线y ＝x ＋b 沿y 轴向下平移3个单位长度，点A(－1，2)关于y 轴的对称点落在平移后的直线上，则b 的值为____．13．－3的倒数是___________14．因式分解：x 2﹣10x+24=_____．15．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，在CD 上任取一点E ，连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为_____．16．边长为6的正六边形外接圆半径是_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，已知矩形 OABC 的顶点A 、C 分别在 x 轴的正半轴上与y 轴的负半轴上，二次函数228255y x x =--的图像经过点B 和点C ．（1）求点 A 的坐标；（2）结合函数的图象，求当 y<0 时，x 的取值范围．18．（8分）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB 、CD 分别交于点E 、F ．求证：OE ＝OF ．19．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC ∆在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）直接写出ABC ∆关于原点O 的中心对称图形111A B C ∆各顶点坐标：1A ________1B ________1C ________； （2）将ABC ∆绕B 点逆时针旋转90︒，画出旋转后图形22A BC ∆.求ABC ∆在旋转过程中所扫过的图形的面积和点C 经过的路径长．20．（8分）如图，在△ABC 中，BC=62，AB=AC ，E ，F 分别为AB ，AC 上的点（E ，F 不与A 重合），且EF ∥BC ．将△AEF 沿着直线EF 向下翻折，得到△A′EF ，再展开．（1）请判断四边形AEA′F 的形状，并说明理由；（2）当四边形AEA′F 是正方形，且面积是△ABC 的一半时，求AE 的长．21．（8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，以AB 上一点O 为圆心，OA 长为半径的圆恰好与BC 相切于点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F ．（1）若∠B=30°，求证：以A ，O ，D ，E 为顶点的四边形是菱形；（2）填空：若AC=6，AB=10，连接AD ，则⊙O 的半径为 ，AD 的长为 ．22．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是的中点，连接AC 并延长至点D ，使CD ＝AC ，点E 是OB 上一点，且，CE 的延长线交DB 的延长线于点F ，AF 交⊙O 于点H ，连接BH ．求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．23．（12分）如图，已知∠AOB=45°，AB⊥OB，OB=1．（1）利用尺规作图：过点M作直线MN∥OB交AB于点N（不写作法，保留作图痕迹）；（1）若M为AO的中点，求AM的长．24．2018年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同．每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，每棵柏树苗的进价是多少元.参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、D【解题分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【题目详解】由俯视图易得几何体的底面为圆，还有表示锥顶的圆心，符合题意的只有圆锥．故选D．【题目点拨】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识．2、A【解题分析】解：∵2yx=-，∴反比例函数2yx=-的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数2yx=-的图象上，∴a＜b＜0，故选A．3、A【解题分析】根据折叠的性质明确对应关系，易得∠A=∠1，DE是△ABC的中位线，所以易得B、D答案正确，D是AB中点，所以DB=DA，故C正确．【题目详解】根据题意可知DE是三角形ABC的中位线，所以DE∥BC；∠B+∠1+∠C=180°；∵BD=AD，∴△DBA是等腰三角形．故只有A错，BA≠CA．故选A．【题目点拨】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．还涉及到翻折变换以及中位线定理的运用．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（1）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作．4、C【解题分析】试题分析：204000米/分，这个数用科学记数法表示2.04×105，故选C．考点：科学记数法—表示较大的数．5、D【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【题目详解】解：74300亿=7.43×1012，故选：D．【题目点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6、B【解题分析】根据互为倒数的两个数的乘积是1，求出实数4的倒数是多少即可．【题目详解】解：实数4的倒数是：1÷4=14． 故选：B ． 【题目点拨】 此题主要考查了一个数的倒数的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：互为倒数的两个数的乘积是1． 7、D【解题分析】如图，因为，∠1=30°，∠1+∠3=60°，所以∠3=30°，因为AD ∥BC ，所以∠3=∠4，所以∠4=30°，所以∠2=180°-90°-30°=60°，故选D.8、B【解题分析】试题解析：在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，所以4OA =，3OD =，在Rt AOD △中，5AD =，因为11641222ABD S BD OA =⋅⋅=⨯⨯=，所以1122ABD S AB DH =⋅⋅=，则245DH =，在Rt BHD 中，由勾股定理得，22222418655BH BD DH ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，由DOG DHB ∽可得，OG OD BH DH =，即3182455OG =，所以94OG =．故选B.9、A【解题分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．【题目详解】这个几何体的主视图为：故选：A．【题目点拨】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．10、B【解题分析】匀速直线运动的路程s与运动时间t成正比，s-t图象是一条倾斜的直线解答．【题目详解】∵甲、乙两人分别以4m/s和5m/s的速度，∴两人的相对速度为1m/s，设乙的奔跑时间为t（s），所需时间为20s，两人距离20s×1m/s=20m，故选B．【题目点拨】此题考查函数图象问题，关键是根据匀速直线运动的路程s与运动时间t成正比解答．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、a（a﹣1）【解题分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案【题目详解】a2﹣a＝a（a﹣1）．故答案为a（a﹣1）．【题目点拨】此题考查公因式，难度不大12、1【解题分析】试题分析：先根据一次函数平移规律得出直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度后的直线解析式y=x+b ﹣3，再把点A（﹣1，2）关于y轴的对称点（1，2）代入y=x+b﹣3，得1+b﹣3=2，解得b=1．故答案为1．考点：一次函数图象与几何变换13、1 3 -【解题分析】乘积为1的两数互为相反数，即a的倒数即为1a，符号一致【题目详解】∵－3的倒数是1 3 -∴答案是1 3 -14、（x﹣4）（x﹣6）【解题分析】因为(－4)×(－6)=24，(－4)+(－6)=－10，所以利用十字相乘法分解因式即可. 【题目详解】x2﹣10x+24= x2﹣10x+(－4)×(－6)=（x﹣4）（x﹣6）【题目点拨】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.15、5 3【解题分析】设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF根据勾股定理列出关于x的方程即可解决问题．【题目详解】设CE=x．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF 2=52-32=16，∴AF=4，DF=5-4=1．在Rt △DEF 中，由勾股定理得：EF 2=DE 2+DF 2，即x 2=（3-x ）2+12，解得：x=53， 故答案为53． 16、6【解题分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．【题目详解】解：正6边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，∴边长为6的正六边形外接圆半径是6,故答案为：6.【题目点拨】本题考查了正多边形和圆，得出正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形是解题的关键．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）(40)，；（2）15x -<<【解题分析】（1）当0x =时，求出点C 的坐标，根据四边形OABC 为矩形，得出点B 的坐标，进而求出点A 即可； （2）先求出抛物线图象与x 轴的两个交点，结合图象即可得出．【题目详解】解：（1）当0x =时，函数228255y x x =--的值为-2， ∴点C 的坐标为(0,2)-∵四边形OABC 为矩形， ,2OA CB AB CO ∴=== 解方程2282255x x --=-，得120,4x x ==． ∴点B 的坐标为(4)2-，．∴点A 的坐标为(40)，． （2）解方程2282055x x --=，得121,5x x =-=． 由图象可知，当0y <时，x 的取值范围是15x -<<．【题目点拨】本题考查了二次函数与几何问题，以及二次函数与不等式问题，解题的关键是灵活运用几何知识，并熟悉二次函数的图象与性质．18、见解析【解题分析】由四边形ABCD 是平行四边形,根据平行四边形对角线互相平分,即可得OA=OC,易证得△AEO ≌△CFO,由全等三角形的对应边相等,可得OE=OF ．【题目详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA=OC,AB ∥DC,∴∠EAO=∠FCO,在△AEO 和△CFO 中,EAO FCO OA OC AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEO ≌△CFO(ASA),∴OE=OF.【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定,属于简单题,熟悉平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题关键.19、（1）1(3,3)A -，1(4,1)B -，1(0,2)C -；（2）作图见解析，面积71724π=+，l =． 【解题分析】（1）由ABC ∆在平面直角坐标系中的位置可得A 、B 、C 的坐标，根据关于原点对称的点的坐标特点即可得1A 、1B 、1C 的坐标；（2）由旋转的性质可画出旋转后图形22A BC ∆，利用面积的和差计算出22∆A BC S ，然后根据扇形的面积公式求出2扇形CBC S ，利用ABC ∆旋转过程中扫过的面积222S A BC CBC S S ∆+=扇形进行计算即可．再利用弧长公式求出点C 所经过的路径长．【题目详解】解：（1）由ABC ∆在平面直角坐标系中的位置可得：(3,3)-A ，(4,1)B -，(0,2)C ，∵111A B C ∆与ABC ∆关于原点对称，∴1(3,3)A -，1(4,1)B -，1(0,2)C -（2）如图所示，22A BC ∆即为所求，∵(4,1)B -，(0,2)C ， ∴22(40)(12)17=--+-=BC∴2扇形CBC S 2290(17)173604πππ⋅⨯===BC ， ∵22∆A BC S 1117421213142222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， ∴ABC ∆在旋转过程中所扫过的面积：222扇形∆+=A BC CBC S S S 71724π=+ 点C 所经过的路径： 9017171802ππ⨯==l ． 【题目点拨】本题考查的是图形的旋转、及扇形面积和扇形弧长的计算，根据已知得出对应点位置，作出图形是解题的关键．20、（1）四边形AEA′F 为菱形．理由见解析；（2）1．【解题分析】（1）先证明AE=AF ，再根据折叠的性质得AE=A′E ，AF=A′F ，然后根据菱形的判定方法可判断四边形AEA′F 为菱形；（2）四先利用四边形AEA′F 是正方形得到∠A=90°，则AB=AC=22BC=6，然后利用正方形AEA′F 的面积是△ABC 的一半得到AE 2=12•12•6•6，然后利用算术平方根的定义求AE 即可． 【题目详解】 （1）四边形AEA′F 为菱形．理由如下：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵EF ∥BC ，∴∠AEF=∠B ，∠AFE=∠C ，∴∠AEF=∠AFE ，∴AE=AF ，∵△AEF 沿着直线EF 向下翻折，得到△A′EF ，∴AE=A′E ，AF=A′F ，∴AE=A′E=AF=A′F ，∴四边形AEA′F 为菱形；（2）∵四边形AEA′F 是正方形，∴∠A=90°，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴AB=AC=22BC=22×2=6，∵正方形AEA′F的面积是△ABC的一半，∴AE2=12•12•6•6，∴AE=1．【题目点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．21、(1) 见解析；（2）15,35 4【解题分析】(1) 先通过证明△AOE为等边三角形, 得出AE=OD, 再根据“同位角相等, 两直线平行” 证明AE//OD, 从而证得四边形AODE是平行四边形, 再根据“一组邻边相等的平行四边形为菱形” 即可得证．(2) 利用在Rt△OBD中，sin∠B==可得出半径长度，在Rt△ＯＤＢ中BD=，可求得ＢＤ的长，由CD=CB﹣BD可得ＣＤ的长，在ＲＴ△ＡＣＤ中，AD=，即可求出AD长度．【题目详解】解：（1）证明：连接OE、ED、OD，在Rt△ABC中，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE=OE=AO∵OD=OA，∴AE=OD∵BC是圆O的切线，OD是半径，∴∠ODB=90°，又∵∠C=90°∴AC∥OD，又∵AE=OD∴四边形AODE是平行四边形，∵OD=OA∴四边形AODE是菱形．（2）在Rt△ABC中，∵AC=6，AB=10，∴sin∠B==，BC=8∵BC是圆O的切线，OD是半径，∴∠ODB=90°，在Rt△OBD中，sin∠B==，∴OB=OD∵AO+OB=AB=10，∴OD+OD=10∴OD=∴OB=OD=∴BD==5∴CD=CB﹣BD=3∴AD===3．【题目点拨】本题主要考查圆中的计算问题、菱形以及相似三角形的判定与性质22、（1）证明见解析；（2）BH＝．【解题分析】（1）先判断出∠AOC=90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．【题目详解】（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【题目点拨】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF=3是解本题的关键．23、（1）详见解析；（1）2.【解题分析】（1）以点M为顶点，作∠AMN=∠O即可；（1）由∠AOB=45°，AB⊥OB，可知△AOB为等腰为等腰直角三角形，根据勾股定理求出OA的长，即可求出AM 的值.【题目详解】（1）作图如图所示；（1）由题知△AOB为等腰Rt△AOB，且OB=1，所以，22又M为OA的中点，所以，AM=12⨯22【题目点拨】本题考查了尺规作图，等腰直角三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握作一个角等于已知角是解（1）的关键，证明△AOB为等腰为等腰直角三角形是解（1）的关键.24、15元．【解题分析】首先设每棵柏树苗的进价是x元，则每棵枣树苗的进价是(2x－5)元，根据题意列出一元一次方程进行求解.【题目详解】解：设每棵柏树苗的进价是x元，则每棵枣树苗的进价是(2x－5)元.根据题意，列方程得：200=120(25)x x-，解得：x=15答：每棵柏树苗的进价是15元.【题目点拨】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．。
2019-2020学年江苏省苏州市昆山市高一下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省苏州市昆山市高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．直线√3x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝45°，B＝120°，a＝6，则b＝（）A．2√6B．3√2C．3√3D．3√63．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣4，0），B（﹣4，2），C（0，2），则矩形OABC的外接圆方程是（）A．x2+y2﹣4x+2y＝0B．x2+y2+4x﹣2y＝0C．x2+y2﹣8x+4y＝0D．x2+y2+8x﹣4y＝04．古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（）A．222石B．224石C．230石D．232石5．已知直线l1：ax+2y﹣1＝0，直线l2：8x+ay+2﹣a＝0，若l1∥l2，则实数a的值为（）A．﹣4B．4C．±4D．06．已知M（﹣2，3），N（6，2），点P在x轴上，且使得PM+PN取最小值，则点P的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（125，0）C．（145，0）D．（6，0）7．如图，某侦察飞机在恒定高度沿直线AC匀速飞行．在A处观测地面目标P，测得俯角∠BAP＝30°．经2分钟飞行后在B处观测地面目标P，测得俯角∠ABP＝60°．又经过一段时间飞行后在C处观察地面目标P，测得俯角∠BCP＝θ且cosθ=4√1919，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为（）A．1.25分钟B．1.5分钟C．1.75分钟D．2分钟8．已知圆C的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0），若直线x+2y﹣1＝0上存在一点P，使得在圆C上总存在不同的两点M，N，使得MN→=2NP→，则圆C的半径r的取值范围是（）A．（0，√55]B．（0，2√55]C．[√55，+∞）D．[2√55，+∞）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是（）A．P1＝P2＝P3＝P4B．P3＝2P1C．P1+P2+P3+P4＝1D．P4＝3P210．在同一直角坐标系中，直线ax﹣y+a＝0与圆（x+a）2+y2＝a2的位置可能是（）A．B．C．D．11．对于△ABC，有如下判断，其中正确的是（）A．若sin2A＝sin2B，则△ABC必为等腰三角形B．若A＞B，则sin A＞sin BC．若a＝5，b＝3，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个D．若cos2A+cos2B﹣cos2C＞1，则△ABC必为钝角三角形12．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的方程是|x−a|a+|y−b|b=1（a＞b＞0），则下列结论正确的是（）A．曲线C关于（a，b）对称B．x2+y2的最小值为a2b2a2+b2 C．曲线C的周长为2（a+b）D．曲线C围成的图形面积为2ab三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．随机抽取圆柱形零件样本5件，测量其直径依次为5.1，4.9，5.2，4.7，5.1（单位：mm），则数据5.1，4.9，5.2，4.7，5.1的方差为．14．在△ABC中，已知a=√7，c＝3，∠A＝60°，则b＝．15．在平面直角坐标xOy中，已知A（4，3），B（5，2），C（1，0），平面内的点P满足PA＝PB＝PC，则点P的坐标为．16．在平面直角坐标系xOy内，已知A（﹣1，0），B（1，0），若点P满足PA=√2PO，则△PAB面积的最大值为；若点P还同时满足PB=√3PO，则点P的横坐标等于．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，已知A（1，﹣1），B（3，2），且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上．（1）求顶点C的坐标；（2）求△ABC的面积．18．某校高一某班50名学生参加防疫知识竞赛，将所有成绩制作成频率分布表如表：（1）求频率分布表中a，b，c，d的值；（2）从成绩在[50，70）的学生中选出2人，请写出所有不同的选法，并求选出2人的成绩都在[60，70）中的概率．分组频数频率[50，60）a c[60，70）b0.06[70，80）350.70[80，90）60.12[90，100]4d19．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知√3a＝2c sin A．（1）求角C的值；（2）若c=√13，且S△ABC＝3√3，求a+b的值．20．某调查机构为了了解某产品年产量x（吨）对价格y（千元/吨）和年利润z的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如表，若y=5.5．x12345y8764c （1）求表格中c的值；（2）求y关于x的线性回归方程y^=bx+a；（3）若每吨该产品的成本为2千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取得最大值？21．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，AB＝AD＝2，BC＝1，且sin∠CAD＝3sin∠BAC．（1）求CD的长度；（2）求圆O的半径．22．已知圆O：x2+y2＝4，点P坐标为（1，0）．（1）如图1，斜率存在且过点P的直线l与圆交于A，B两点．①若OA→⋅OB→=−3，求直线l的斜率；②若AP→=2PB→，求直线l的斜率．（2）如图2，M，N为圆O上两个动点，且满足PM→⋅PN→=0，Q为MN中点，求OQ 的最小值．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．直线√3x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．解：因为直线√3x+y﹣1＝0的斜率为：−√3，直线的倾斜角为：α．所以tanα=−√3，α＝120°故选：C．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝45°，B＝120°，a＝6，则b＝（）A．2√6B．3√2C．3√3D．3√6【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解．解：∵A＝45°，B＝120°，a＝6，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得：b=a⋅sinBsinA=6×sin120°sin45°=3√6．故选：D．3．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣4，0），B（﹣4，2），C（0，2），则矩形OABC的外接圆方程是（）A．x2+y2﹣4x+2y＝0B．x2+y2+4x﹣2y＝0C．x2+y2﹣8x+4y＝0D．x2+y2+8x﹣4y＝0【分析】根据矩形OABC的顶点坐标求出对角线中点M，再求出半径r，即可写出圆的方程．解：矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣4，0），B（﹣4，2），C（0，2），所以OB的中点为M（﹣2，1），r=12|OB|=12√(−4)2+22=√5；所以矩形OABC的外接圆方程是（x+2）2+（y﹣1）2＝5，化为一般式方程为x2+y2+4x﹣2y＝0．故选：B ．4．古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．222石B ．224石C ．230石D ．232石【分析】设这批米内夹谷约为x 石，利用等可能事件概率计算公式能求出结果． 解：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷， 抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒， 设这批米内夹谷约为x 石， 则x 2016=30270，解得x ＝224（石）． 故选：B ．5．已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0，直线l 2：8x +ay +2﹣a ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为（ ） A ．﹣4B ．4C ．±4D ．0【分析】利用直线平行的性质求解．解：∵直线l 1：ax +2y ﹣1＝0，直线l 2：8x +ay +2﹣a ＝0，l 1∥l 2， ∴−a2=−8a，且12≠a−2a解得a ＝﹣4． 故选：A ．6．已知M （﹣2，3），N （6，2），点P 在x 轴上，且使得PM +PN 取最小值，则点P 的坐标为（ ） A ．（﹣2，0）B ．（125，0） C ．（145，0） D ．（6，0）【分析】根据点M 、N 在x 轴的同侧，求出点M 关于x 轴的对称点M ′，得出PM +PN 的最小值是|M ′N |，再利用直线M ′N 求得点P 的坐标． 解：点M （﹣2，3），N （6，2）在x 轴的同侧，如图所示； 则点M 关于x 轴的对称点M ′的坐标为（﹣2，﹣3）， 此时PM +PN ＝|M ′N |的值最小， 此时直线M ′N 的方程为y−2−3−2=x−6−2−6，令y ＝0，解得x145，所以PM+PN取最小值时，点P（145，0）．故选：C．7．如图，某侦察飞机在恒定高度沿直线AC匀速飞行．在A处观测地面目标P，测得俯角∠BAP＝30°．经2分钟飞行后在B处观测地面目标P，测得俯角∠ABP＝60°．又经过一段时间飞行后在C处观察地面目标P，测得俯角∠BCP＝θ且cosθ=4√1919，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为（）A．1.25分钟B．1.5分钟C．1.75分钟D．2分钟【分析】直接利用解三角形知识的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．解：设飞机的飞行速度为V，所以根据飞机的飞行图形，测得俯角∠BAP＝30°．经2分钟飞行后在B处观测地面目标P，测得俯角∠ABP＝60°．所以△ABP为直角三角形，过点P作PD⊥AC于点D，则：AB＝2V，AP=√3V，BP＝V，解得：DP=√3V2．设CB＝xV，由于cosθ=4√1919，利用三角函数的关系式的变换，解得sin θ=√3×√1919，所以tan θ=√34，利用tan θ=√32V12V+xV=√34，解得x ＝1.5． 故选：B ．8．已知圆C 的方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝r 2（r ＞0），若直线x +2y ﹣1＝0上存在一点P ，使得在圆C 上总存在不同的两点M ，N ，使得MN →=2NP →，则圆C 的半径r 的取值范围是（ ） A ．（0，√55] B ．（0，2√55] C ．[√55，+∞） D ．[2√55，+∞） 【分析】设P 、N 的坐标，由向量等式可得M 的坐标，代入圆的方程，可得以（1，2）为圆心，r 为半径的圆与以（2m+13，2n+23）为圆心，r3为半径的圆有公共点，由此求得圆C 的半径r 的取值范围．解：直线的方程为x +2y ﹣1＝0，设P （m ，n ），N （x ，y ），M （x ′，y ′）． ∵MN →=2NP →，∴（x ﹣x ′，y ﹣y ′）＝2（m ﹣x ，n ﹣y ）＝（2m ﹣2x ，2n ﹣2y ）， 得{x −x′=2m −2x y −y′=2n −2y ，得M （3x ﹣2m ，3y ﹣2n ）， 又M ，N 都在半径为r 的圆C 上，∴{(x −1)2+(y −2)2=r 2(3x −2m −1)2+(3y −2n −2)2=r 2， 即{(x −1)2+(y −2)2=r 2(x −2m+13)2+(y −2n+23)2=r 29， ∵该关于x ，y 的方程组有解，即以（1，2）为圆心，r 为半径的圆与以（2m+13，2n+23）为圆心，r3为半径的圆相交或相切，∴（r −r3）2≤（1−2m+13）2+（2−2n+23）2≤（r +r 3）2， 又m +2n ﹣1＝0，4r 2≤5m 2﹣2m +13≤16r 2对任意m ∈R 成立．而f （m ）＝5m 2﹣2m +13的值域为[645，+∞），直线x +2y ﹣1＝0上存在一点P ，使得在圆C 上总存在不同的两点M ，N ，使得MN →=2NP →， 故16r 2≥645，解得r ≥2√55（r ＞0）． 故圆C 的半径r 的取值范围为[2√55，+∞）．故选：D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为P 1，P 2，P 3，P 4，则下列结论中正确的是（ ） A ．P 1＝P 2＝P 3＝P 4 B ．P 3＝2P 1C ．P 1+P 2+P 3+P 4＝1D ．P 4＝3P 2【分析】利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式，能求出结果． 解：抛掷一枚硬币三次，记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为P 1，P 2，P 3，P 4， 则P 1＝（12）3=18，P 2＝（12）3=18，P 3=C 32(12)2(12)=38， P 4=C 31(12)(12)2=38，∴P 1＝P 2＜P 3＝P 4，故A 错误； P 3＝3P 1，故B 错误； P 1+P 2+P 3+P 4＝1，故C 正确； P 4＝3P 2，故D 正确． 故选：CD ．10．在同一直角坐标系中，直线ax ﹣y +a ＝0与圆（x +a ）2+y 2＝a 2的位置可能是（ ）A．B．C．D．【分析】利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径比较即可推出结果．解：圆（x+a）2+y2＝a2的圆心（﹣a，0），半径为|a|，由题意可得：d=2√a+1，不妨2√a2+1＜|a|，可得√a2+11，即1﹣2a+a2＜1+a2，当a＞0时，恒成立，可知A正确，B不正确；当a＜0时，不等式不成立，说明直线与圆相离，但是直线的斜率为负数，所以C不正确，截距是负数，所以D正确；故选：AD．11．对于△ABC，有如下判断，其中正确的是（）A．若sin2A＝sin2B，则△ABC必为等腰三角形B．若A＞B，则sin A＞sin BC．若a＝5，b＝3，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个D．若cos2A+cos2B﹣cos2C＞1，则△ABC必为钝角三角形【分析】对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断．解：对于A，若sin2A＝sin2B，则2A＝kπ+（﹣1）k•2B，（k∈Z），当k＝0时，A＝B，△ABC为等腰三角形；当k＝1时，A=π2−B，△ABC为直角三角形，故不正确，对于B，使用正弦定理证明．若A＞B，则a＞b，由正弦定理asinA=bsinB=2R，得2R sin A＞2R sin B，即sin A＞sin B成立．故正确；对于C，由余弦定理可得：b=√52+c2−2×5×c×12=3，可得c2﹣5c+16＝0，△＜0，方程无解，故错误；对于D ，若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＞1，则：1﹣sin 2A +1﹣sin 2B ﹣1+sin 2C ＞1，可得sin 2A +sin 2B ＜sin 2C ，则根据正弦定理得a 2+b 2＜c 2，可得C 为钝角，可得△ABC 是钝角三角形，故正确；综上，正确的判断为，B 和D ． 故选：BD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程是|x−a|a+|y−b|b=1（a ＞b ＞0），则下列结论正确的是（ ） A ．曲线C 关于（a ，b ）对称B ．x 2+y 2的最小值为a 2b 2a 2+b 2C ．曲线C 的周长为2（a +b ）D ．曲线C 围成的图形面积为2ab【分析】由曲线方程可得画成图形，可得A ，B ，C ，D 的坐标，进而可得四边形ABCD 为菱形，进而判断所给命题的真假． 解：因为曲线C 的方程是|x−a|a+|y−b|b=1（a ＞b ＞0），可得P （x ，y ）的图形为折线AB ，BC ，CD ，DA ，且A ，B ，C ，D 的坐标分别为：（0，b ），（a ，2b ），（2a ，b ），（a ，0），可得四边形ABCD 为菱形， A 中：显然关于（a ，b ）对称，所以A 正确；B 中：O 到直线AD 的距离最小，而直线AD 的方程为：x a+y b=1，即bx +ay ﹣ab ＝0，所以O 到AD 的距离为：d =√x 2+y 2=ab√a 2+b ，所以（x 2+y 2）min =a 2b2a 2+b2，所以B 正确；C 中：四边形周长为：4√a 2+b 2，所以C 不正确；D 中：四边形的面积S =12⋅2a ⋅2b =2ab ，所以D 正确； 故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．随机抽取圆柱形零件样本5件，测量其直径依次为5.1，4.9，5.2，4.7，5.1（单位：mm ），则数据5.1，4.9，5.2，4.7，5.1的方差为 0.032 ．【分析】先求出数据5.1，4.9，5.2，4.7，5.1的平均数，由此能求出数据5.1，4.9，5.2，4.7，5.1的方差．解：数据5.1，4.9，5.2，4.7，5.1的平均数为： x =15（5.1+4.9+5.2+4.7+5.1）＝5， ∴数据5.1，4.9，5.2，4.7，5.1的方差为：S 2=15[（5.1﹣5）2+（4.9﹣5）2+（5.2﹣5）2+（4.7﹣5）2+（5.1﹣5）2]＝0.032． 故答案为：0.032．14．在△ABC 中，已知a =√7，c ＝3，∠A ＝60°，则b ＝ 1或2 ． 【分析】利用余弦定理即可得出．解：由余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， ∴7＝b 2+9﹣6b ×cos60°， 化为：b 2﹣3b +2＝0， 解得b ＝1，2． 故答案为：1或2．15．在平面直角坐标xOy 中，已知A （4，3），B （5，2），C （1，0），平面内的点P 满足PA ＝PB ＝PC ，则点P 的坐标为 （3，1） ．【分析】设出点P （x ，y ），利用两点间的距离公式列方程求出x 、y 的值． 解：设点P （x ，y ），由PA ＝PB ＝PC ， 得{(x −4)2+(y −3)2=(x −5)2+(y −2)2(x −4)2+(y −3)2=(x −1)2+y 2，化简得{x −y =2x +y =4，解得{x =3y =1，所以点P 的坐标为（3，1）． 故答案为：（3，1）．16．在平面直角坐标系xOy 内，已知A （﹣1，0），B （1，0），若点P 满足PA =√2PO ，则△PAB 面积的最大值为 1 ；若点P 还同时满足PB =√3PO ，则点P 的横坐标等于 −16 ．【分析】根据题意画出图形，结合图形得出PO ⊥AB 时△PAB 的面积最大，求出最大值；设点P （x ，y ），由{PA =√2POPB =√3PO 列方程求出x 的值即可．解：如图1所示，当PA =√2PO 时，PO ⊥AB ，此时△PAB 的面积最大，最大值为12×2×1＝1；又PB =√3PO ，设P （x ，y ），由{PA =√2POPB =√3PO ，得{√(x +1)2+y 2=√2⋅√x 2+y 2√(x −1)2+y 2=√3⋅√x 2+y 2，化简得{x 2+y 2−2x =12x 2+2y 2+2x =1，消去y 得x =−16， 所以点P 的横坐标为−16． 故答案为：1，−16．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC 中，已知A （1，﹣1），B （3，2），且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上．（1）求顶点C 的坐标； （2）求△ABC 的面积．【分析】（1）根据中点坐标公式，即可求顶点C 的坐标；（2）由题设可得|AC |=√5，可得直线AC 的方程为x ﹣2y ﹣3＝0，可求点B 到直线AC的距离为d =4√55，结合三角形的面积公式即可求△ABC 的面积．解：（1）设点C （x 0，y 0）， 由题意AC 边的中点M 在y 轴上，可得x 0+12=0，解得x 0＝﹣1，BC 边的中点N 在x 轴上，可得y 0+22=0，解得y 0＝﹣2，所以点C 的坐标是（﹣1，﹣2）．（2）由题设，A （1，﹣1），C （﹣1，﹣2）， 可得：|AC |=√5，可得直线AC 的方程为x ﹣2y ﹣3＝0， 又B （3，2），所以：点B 到直线AC 的距离为d =5=4√55， 所以：△ABC 的面积S =12|AC |•d =12×√5×4√55=2．18．某校高一某班50名学生参加防疫知识竞赛，将所有成绩制作成频率分布表如表： （1）求频率分布表中a ，b ，c ，d 的值；（2）从成绩在[50，70）的学生中选出2人，请写出所有不同的选法，并求选出2人的成绩都在[60，70）中的概率．分组 频数 频率 [50，60） a c [60，70） b 0.06 [70，80） 35 0.70 [80，90） 6 0.12 [90，100]4d【分析】（1）根据题意可得表格中的频数总和为50，根据频率与频数之间关系得：d ，b ，再用频数之和50减去其它五组的频数，得到a 的值，再算出频率c ．（2）记成绩落在[50，60）中的2人为A1，A2，成绩落在[60，70）中的3人为B1，B2，B3．列举出从成绩在[50，70）的学生中选2人的基本事件，确定其中成绩都在[60，70）中为事件A的个数，进而求出概率．解：（1）因为该班学生人数为50人，所以表格中的频数总和为50，则根据频率与频数之间关系得：d=450=0.08，b＝50×0.06＝3，因为频数总和为50，所以a＝50﹣3﹣35﹣6﹣4＝2，c=a50=0.04．（2）记成绩落在[50，60）中的2人为A1，A2，成绩落在[60，70）中的3人为B1，B2，B3．则从成绩在[50，70）的学生中选2人的基本事件（不同选法）共由10个，列举如下：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件由3个，（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），记选出2人的成绩都在[60，70）中为事件A，则P（A）=3 10．答：从成绩在[50，70）的学生中选出2人，2人的成绩都在[60，70）中的概率为3 10．19．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知√3a＝2c sin A．（1）求角C的值；（2）若c=√13，且S△ABC＝3√3，求a+b的值．【分析】（1）由√3a＝2c sin A及正弦定理得√3sin A＝2sin C sin A，又sin A≠0，可sin C=√32．又△ABC是锐角三角形，即可求C．（2）由面积公式，可解得ab＝12，由余弦定理，可解得a2+b2﹣ab＝13，联立方程即可解得a+b的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由√3a＝2c sin A及正弦定理，得√3sin A＝2sin C sin A，∵sin A≠0，∴sin C=√32．又∵△ABC是锐角三角形，∴C =π3⋯（2）∵c =√13，C =π3， ∴由面积公式，得12ab sinπ3=3√3，即ab ＝12．①由余弦定理，得a 2+b 2﹣2ab cos π3=13， 即a 2+b 2﹣ab ＝13．②由②变形得（a +b ）2＝3ab +13．③ 将①代入③得（a +b ）2＝49，故a +b ＝7…20．某调查机构为了了解某产品年产量x （吨）对价格y （千元/吨）和年利润z 的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如表，若y =5.5．x 1 2 3 4 5 y8764c（1）求表格中c 的值；（2）求y 关于x 的线性回归方程y ^=bx +a ；（3）若每吨该产品的成本为2千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取得最大值？【分析】（1）利用样本中心的纵坐标，求解c ．（2）利用已知条件，通过求解回归直线方程的相关的斜率，与截距，得到回归直线方程． （3）求出哪里有的表达式，利用二次函数的性质求解产量为多少时，哪里有取得最大值． 解：（1）y =15（8+7+6+4+c ）＝5.5，解得c ＝2.5，． （2）∵∑ 5i=1x i y i =8+14+18+16+12.5＝68.5，∑ 5i=1x i 2=12+22+32+42+52＝55，∵x =1+2+3+4+55=3，y =5.5，∴b =∑ 5i=1x i y i −5xy ∑ 5i=1x i2−5x 2=68.5−5×3×5.555−5×9=−1.4．a =y −bx =5，5﹣（﹣1.4）×3＝9.7，y 关于x 的线性回归方程：y =−1.4x +9.7．（3）年利润z ＝（﹣1.4x +9.7﹣2）x ＝﹣1.4x 2+7.7x ，所以x =−7.7−2.8=2.75吨时，年利润取得最大值．答：当年产量为2.75时，年利润z 取得最大值．21．如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，AB ＝AD ＝2，BC ＝1，且sin ∠CAD ＝3sin ∠BAC ． （1）求CD 的长度； （2）求圆O 的半径．【分析】（1）结合正弦定理及已知角的关系可求CD 与BC 的关系，进而可求； （2）结合圆内接四边形的角的性质及余弦定理可求AC ，再由正弦定理即可求解． 解：（1）由题意可知，△ABC ，△ACD 有相同的外接圆O ，设半径为R ， △ABC 中，由正弦定理可得，2R =CB sin∠BAC ，△ACD 中，2R =CDsin∠CAD，所以BCsin∠BAC=CD sin∠CAD，因为sin ∠CAD ＝3sin ∠BAC ． 所以CD ＝3BC ＝3， 故BC ＝1，（2）设AC ＝x ，1＜x ＜3，由AB ＝AD ＝2，BC ＝1．△ABC 中，由余弦定理可得，cos ∠BAC =BC 2+BA 2−AC 22BC⋅BA =5−x 24，△ADC 中，由余弦定理可得，cos ∠ADC =AD 2+CD 2−AC 22AD⋅CD =13−x 212，由圆内接四边形的性质可知，∠ABC +∠ADC ＝π， 故cos ∠ABC +cos ∠ADC ＝0， 所以5−x 24+13−x 212=0，解可得x =√7，所以cos ∠ABC =−12，因为∠ABC 为三角形的内角，故∠ABC =2π3， △ABC 中，由正弦定理可得，2R =√7sin 2π3=2√213即圆的半径√213，22．已知圆O ：x 2+y 2＝4，点P 坐标为（1，0）．（1）如图1，斜率存在且过点P 的直线l 与圆交于A ，B 两点． ①若OA →⋅OB →=−3，求直线l 的斜率； ②若AP →=2PB →，求直线l 的斜率．（2）如图2，M ，N 为圆O 上两个动点，且满足PM →⋅PN →=0，Q 为MN 中点，求OQ 的最小值．【分析】（1）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线l 的方程与圆O 的方程联立，由韦达定理可得，x 1+x 2=2k21+k2，x 1x 2=k 2−41+k2，①根据OA →⋅OB →=−3，可得x 1x 2+k 2(x 1−1)(x 2−1)=−3，进一步得到k 2−4−2k41+k2+k 2+3=0，解出即可得出答案；②根据AP →=(1−x 1，−y 1)，PB →=(x 2−1，y 2)，AP →=2PB →，可得{x 1=−2x 2+3y 1=−2y 2，由点A ，B 在圆上，进一步得到{(−2x 2+3)2+(−2y 2)2=4x 22+y 22=4，解出即可得出答案；（2）连接OM ，ON ，PQ ，分析可知OQ 2+PQ 2＝4，由此得出点Q 的轨迹为以(12，0)为圆心，√72为半径的圆，进而得解．解：（1）依题意，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组{x 2+y 2=4y =k(x −1)，消去y 并整理可得，（1+k 2）x 2﹣2k 2x +k 2﹣4＝0，显然△＞0，则由韦达定理可得，x 1+x 2=2k21+k2，x 1x 2=k 2−41+k2，①若OA →⋅OB →=−3，则x 1x 2+y 1y 2＝﹣3，即x 1x 2+k 2(x 1−1)(x 2−1)=−3， 整理可得，(1+k 2)x 1x 2−k 2(x 1+x 2)+k 2+3=0， ∴k 2−4−2k41+k2+k 2+3=0，∴（2k 2﹣1）（1+k 2）﹣2k 4＝0，化简得k 2＝1， ∴直线l 的斜率为1或﹣1；②∵AP →=(1−x 1，−y 1)，PB →=(x 2−1，y 2)，AP →=2PB →， ∴{1−x 1=2(x 2−1)−y 1=2y 2，整理可得{x 1=−2x 2+3y 1=−2y 2，∵A ，B 在圆上，∴{x 12+y 12=4x 22+y 22=4，即{(−2x 2+3)2+(−2y 2)2=4x 22+y 22=4，解得x 2=74，y 2=±√154， ∴直线l 的斜率为±√153；（2）如图，连接OM ，ON ，PQ ， ∵PM →⋅PN →=0， ∴PM ⊥PN ， 又Q 为MN 的中点， ∴PQ ＝QM ，∵M ，N 为圆上的两点， ∴OM ＝ON ＝2， 又Q 为MN 的中点， ∴OQ ⊥MN ，∴OQ 2+QM 2＝OM 2＝4， 又PQ ＝QM ，故OQ 2+PQ 2＝4，设点Q 的坐标为（x ，y ），则x 2+y 2+（x ﹣1）2+y 2＝4，整理可得(x −12)2+y 2=74，∴点Q 的轨迹为以(12，0)为圆心，√72为半径的圆，∴OQ min =√7−12．。
最新江苏省昆山市中考数学二模试卷(有配套答案)
江苏省昆山市中考数学二模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上.1．的相反数是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣2．下列计算正确的是（）A． =﹣4 B．（a2）3=a5C．a•a3=a4D．2a﹣a=23．南海资源丰富，其面积约为350万平方千米，相当于我国的渤海、黄海和东海总面积的3倍．其中350万用科学记数法表示为（）A．0.35×108B．3.5×107C．3.5×106D．35×1054．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≠25．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（cm）185 180 185 180方差 3.6 3.6 7.4 8.1根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是（）A．B．C．D．7．下列说法中，你认为正确的是（）A．四边形具有稳定性B．等边三角形是中心对称图形C．等腰梯形的对角线一定互相垂直D．任意多边形的外角和是360°8．如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）A．直线的一部分 B．圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分9．如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（）A．1 B．C．2 D．210．如图，A、B、C是反比例函数y=（k＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（）A．4条B．3条C．2条D．1条二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上.11．因式分解：a2﹣2a= ．12．掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），向上一面出现的点数大于2且小于5的概率为．13．已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10=0的一个解，且a≠﹣b，则的值为．14．如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为．15．如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是cm．16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x …﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 …则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣2的根是．17．如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于．18．赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x轴和y轴，大正方形的顶点B1、C1、C2、C3、…、C n在直线y=﹣x+上，顶点D1、D2、D3、…、D n在x轴上，则第n个阴影小正方形的面积为．三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.19．（5分）计算： +（）﹣1﹣2cos60°+（2﹣π）0．20．（6分）解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解．21．（6分）.先化简，再求值：（ +）÷，其中a=2017，b=．22．（6分）有三个质地、大小都相同的小球分别标上数字2，﹣2，3后放入一个不透明的口袋搅匀，任意摸出一个小球，记下数字a后，放回口袋中搅匀，再任意摸出一个小球，又记下数字b．这样就得到一个点的坐标（a，b）．（1）求这个点（a，b）恰好在函数y=﹣x的图象上的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程，并求出结果）（2）如果再往口袋中增加n（n≥1）个标上数字2的小球，按照同样的操作过程，所得到的点（a，b）恰好在函数y=﹣x的图象上的概率是（请用含n的代数式直接写出结果）．23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．24．（8分）宁波轨道交通4号线已开工建设，计划2020年通车试运营．为了了解镇民对4号线地铁票的定价意向，某镇某校数学兴趣小组开展了“你认为宁波4号地铁起步价定为多少合适”的问卷调查，并将调查结果整理后制成了如下统计图，根据图中所给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查中该兴趣小组随机调查的人数；（2）请你把条形统计图补充完整；（3）如果在该镇随机咨询一位居民，那么该居民支持“起步价为2元或3元”的概率是（4）假设该镇有3万人，请估计该镇支持“起步价为3元”的居民大约有多少人？25．（8分）随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．（1）该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？26．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若sinB=，⊙O的半径为r，求△EHG的面积（用含r的代数式表示）．27．（10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F．（1）如图1，若点F与点A重合，求证：AC=BC；（2）若∠DAF=∠DBA，①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；②当点F在线段CA上时，设BE=x，请用含x的代数式表示线段AF．28．（12分）已知：如图一，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=x ﹣2经过A、C两点，且AB=2．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E，D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒；设s=，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值．（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．江苏省昆山市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上.1．的相反数是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【考点】28：实数的性质．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：的相反数是﹣，故选：D．【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．下列计算正确的是（）A． =﹣4 B．（a2）3=a5C．a•a3=a4D．2a﹣a=2【考点】47：幂的乘方与积的乘方；22：算术平方根；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．【分析】根据=|a|；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变分别进行分析即可．【解答】解：A、=4，故原题计算错误；B、（a2）3=a6，故原题计算错误；C、a•a3=a4，故原题计算正确；D、2a﹣a=a，故原题计算错误；故选：C．【点评】此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，关键是掌握各知识点，记住计算法则．3．南海资源丰富，其面积约为350万平方千米，相当于我国的渤海、黄海和东海总面积的3倍．其中350万用科学记数法表示为（）A．0.35×108B．3.5×107C．3.5×106D．35×105【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，因为350万共有7位，所以n=7﹣1=6．【解答】解：350万=3 500 000=3.5×106．故选C．【点评】本题考查了科学记数法表示较大的数，准确确定n是解题的关键．4．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≠2【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，2x﹣4≥0，解得x≥2．故选A．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．5．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（cm）185 180 185 180方差 3.6 3.6 7.4 8.1根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】W7：方差；W1：算术平均数．【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．【解答】解：∵ =＞=，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵=＜＜，∴选择甲参赛，故选：A．【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．6．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面中间有一个正方形．故选A．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．7．下列说法中，你认为正确的是（）A．四边形具有稳定性B．等边三角形是中心对称图形C．等腰梯形的对角线一定互相垂直D．任意多边形的外角和是360°【考点】L3：多边形内角与外角；KK：等边三角形的性质；L1：多边形；LJ：等腰梯形的性质．【分析】根据四边形、等边三角形，等腰梯形的性质，结合各选项进行判断即可．【解答】解：A、四边形不具有稳定性，原说法错误，故本选项错误；B、等边三角形不是中心对称图形，说法错误，故本选项错误；C、等腰梯形的对角线不一定互相垂直，说法错误，故本选项错误；D、任意多边形的外角和是360°，说法正确，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了多边形的内角和外角、等腰梯形的性质及等边三角形的性质，属于基础知识的考察，要求同学们熟练掌握一些定义、定理的内容．8．如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）A．直线的一部分 B．圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【考点】O4：轨迹；KP：直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=AB=A′B′=OC′，从而得出滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧．【解答】解：连接OC、OC′，如图，∵∠AOB=90°，C为AB中点，∴OC=AB=A′B′=OC′，∴当端点A沿直线AO向下滑动时，AB的中点C到O的距离始终为定长，∴滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧．故选B．【点评】本题考查了轨迹，圆的定义与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．9．如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（）A．1 B．C．2 D．2【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理．【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，根据垂径定理得到AE=BE=AB=2，DF=CF=CD=2，根据勾股定理在Rt△OBE中计算出OE=1，同理可得OF=1，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到OP=OE=．【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，则AE=BE=AB=2，DF=CF=CD=2，在Rt△OBE中，∵OB=，BE=2，∴OE==1，同理可得OF=1，∵AB⊥CD，∴四边形OEPF为矩形，而OE=OF=1，∴四边形OEPF为正方形，∴OP=OE=．故选B．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．10．如图，A、B、C是反比例函数y=（k＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（）A．4条B．3条C．2条D．1条【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】如解答图所示，满足条件的直线有两种可能：一种是与直线BC平行，符合条件的有两条，如图中的直线a、b；还有一种是过线段BC的中点，符合条件的有两条，如图中的直线c、d．【解答】解：如解答图所示，满足条件的直线有4条，故选：A．【点评】本题考查了点到直线的距离、平行线的性质等知识点，考查了分类讨论的数学思想．解题时注意全面考虑，避免漏解．二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上.11．因式分解：a2﹣2a= a（a﹣2）．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【分析】先确定公因式是a，然后提取公因式即可．【解答】解：a2﹣2a=a（a﹣2）．故答案为：a（a﹣2）．【点评】本题考查因式分解，较为简单，找准公因式即可．12．掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），向上一面出现的点数大于2且小于5的概率为．【考点】X4：概率公式．【分析】向上一面出现的点数大于2且小于5的共2种情况．【解答】解：掷一枚均匀的骰子时，有6种情况，出现点数大于2且小于5的情况有2种，故其概率是=，故答案为：．【点评】此题主要考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．13．已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10=0的一个解，且a≠﹣b，则的值为 5 ．【考点】A3：一元二次方程的解．【分析】方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值．同时注意根据分式的基本性质化简分式．【解答】解：∵x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10=0的一个解，∴a﹣b﹣10=0，∴a﹣b=10．∵a≠﹣b，∴a+b≠0，∴====5，故答案是：5．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，得到a﹣b的值，首先把所求的分式进行化简，并且本题利用了整体代入思想．14．如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为24 ．【考点】L8：菱形的性质；T7：解直角三角形．【分析】连接BD，交AC与点O，首先根据菱形的性质可知AC⊥BD，解三角形求出BO的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出AC的长．【解答】解：连接BD，交AC与点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOB中，∵AB=15，sin∠BAC=，∴sin∠BAC==，∴BO=9，∴AB2=OB2+AO2，∴AO===12，∴AC=2AO=24，故答案为24．【点评】本题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题难度不大．15．如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是10 cm．【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．【分析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解．【解答】解：如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB=8cm，CD=2cm．连接OC，交AB于D点．连接OA．∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，∴OC⊥AB．∴AD=4cm．设半径为Rcm，则R2=42+（R﹣2）2，解得R=5，∴该光盘的直径是10cm．故答案为：10【点评】此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键．16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x …﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 …则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣2的根是x1=﹣4，x2=0 ．【考点】HA：抛物线与x轴的交点．【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对称性求出y值等于﹣2的自变量x的值即可．【解答】解：∵x=﹣3，x=﹣1的函数值都是﹣5，相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，∵x=﹣4时，y=﹣2，∴x=0时，y=﹣2，∴方程ax2+bx+c=3的解是x1=﹣4，x2=0．故答案为：x1=﹣4，x2=0．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图表信息，求出对称轴解析式是解题的关键．17．如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于4或8 ．【考点】Q2：平移的性质；A8：解一元二次方程﹣因式分解法；L7：平行四边形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=12﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．【解答】解：设AC交A′B′于H，∵A′H∥CD，AC∥CA′，∴四边形A′HCD是平行四边形，∵∠A=45°，∠D=90°∴△A′HA是等腰直角三角形设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=12﹣x∴x•（12﹣x）=32∴x=4或8，即AA′=4或8cm．故答案为：4或8．【点评】考查了平移的性质及一元二次方程的解法等知识，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．18．赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x轴和y轴，大正方形的顶点B1、C1、C2、C3、…、C n在直线y=﹣x+上，顶点D1、D2、D3、…、D n在x轴上，则第n个阴影小正方形的面积为．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；F5：一次函数的性质．【分析】设第n个大正方形的边长为a n，则第n个阴影小正方形的边长为a n，根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出直线y=﹣x+与y轴的交点坐标，进而即可求出a1的值，再根据相似三角形的性质即可得出a n=a1=，结合正方形的面积公式即可得出结论．【解答】解：设第n个大正方形的边长为a n，则第n个阴影小正方形的边长为a n，当x=0时，y=﹣x+=，∴=a1+a1，∴a1=．∵a1=a2+a2，∴a2=，同理可得：a3=a2，a4=a3，a5=a4，…，∴a n=a1=，∴第n个阴影小正方形的面积为==．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的面积，找出第n 个大正方形的边长为a n=a1=是解题的关键．三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.19．计算： +（）﹣1﹣2cos60°+（2﹣π）0．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=2+2﹣1+1=4．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值等考点的运算．20．解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解；CB：解一元一次不等式组．【分析】先解不等式①，去括号，移项，系数化为1，再解不等式②，取分母，移项，然后找出不等式组的解集．【解答】解：解不等式①得，x≥﹣2，解不等式②得，x＜1，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1．∴不等式组的最大整数解为x=0，【点评】此题是一元一次不等式组的整数解题，主要考查了不等式得解法和不等式组的解集的确定及整数解的确定，解本题的关键是不等式的解法运用．21．.先化简，再求值：（ +）÷，其中a=2017，b=．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入即可解答本题．【解答】解：（ +）÷===2b，当a=2017，b=时，原式=2．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22．有三个质地、大小都相同的小球分别标上数字2，﹣2，3后放入一个不透明的口袋搅匀，任意摸出一个小球，记下数字a后，放回口袋中搅匀，再任意摸出一个小球，又记下数字b．这样就得到一个点的坐标（a，b）．（1）求这个点（a，b）恰好在函数y=﹣x的图象上的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程，并求出结果）（2）如果再往口袋中增加n（n≥1）个标上数字2的小球，按照同样的操作过程，所得到的点（a，b）恰好在函数y=﹣x 的图象上的概率是（请用含n的代数式直接写出结果）．【考点】X6：列表法与树状图法；F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与这个点（a，b）恰好在函数y=﹣x的图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案；（2）由再往口袋中增加n（n≥1）个标上数字2的小球，共有（n+3）2种等可能的结果，其中符合要求的结果有2（n+1）种，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）列表得：ab2 ﹣2 32 （2，2）（2，﹣2）（2，3）﹣2 （﹣2，2）（﹣2，﹣2）（﹣2，3）3 （3，2）（3，﹣2）（3，3）∵共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有2种，∴P（点在函数图象上）=；（2）∵再往口袋中增加n（n≥1）个标上数字2的小球，共有（n+3）2种等可能的结果，其中符合要求的结果有2（n+1）种，故答案为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，即可证出四边形AEBD是菱形；（2）连接DE，交AB于F，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；设经过点E的反比例函数解析式为：y=，把点E坐标代入求出k的值即可．【解答】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥OB，∴四边形AEBD是平行四边形，∵四边形OABC是矩形，∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=2，∴DA=DB，∴四边形AEBD是菱形；（2）解：连接DE，交AB于F，如图所示：∵四边形AEBD是菱形，∴AB与DE互相垂直平分，∵OA=3，OC=2，∴EF=DF=OA=，AF=AB=1，3+=，∴点E坐标为：（，1），设经过点E的反比例函数解析式为：y=，把点E（，1）代入得：k=，∴经过点E的反比例函数解析式为：y=．【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要作辅助线求出点E 的坐标才能得出结果．24．宁波轨道交通4号线已开工建设，计划2020年通车试运营．为了了解镇民对4号线地铁票的定价意向，某镇某校数学兴趣小组开展了“你认为宁波4号地铁起步价定为多少合适”的问卷调查，并将调查结果整理后制成了如下统计图，根据图中所给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查中该兴趣小组随机调查的人数；（2）请你把条形统计图补充完整；（3）如果在该镇随机咨询一位居民，那么该居民支持“起步价为2元或3元”的概率是（4）假设该镇有3万人，请估计该镇支持“起步价为3元”的居民大约有多少人？【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；X4：概率公式．【分析】（1）根据5元在扇形统计图中的圆心角和人数可以解答本题；（2）根据（1）中的答案和统计图中的数据可以求得条形统计图中的未知数据，从而可以将条形统计图补种完整；（3）根据统计图中的数据可以得到该居民支持“起步价为2元或3元”的概率；（4）根据前面求得的数据可以估计该镇支持“起步价为3元”的居民人数．【解答】解：（1）由题意可得，同意定价为5元的所占的百分比为：18°÷360°×100%=5%，∴本次调查中该兴趣小组随机调查的人数为：10÷5%=200（人），即本次调查中该兴趣小组随机调查的人数有200人；（2）由题意可得，2元的有：200×50%=100人，3元的有：200﹣100﹣30﹣10=60人，补全的条形统计图如右图所示；（3）由题意可得，该居民支持“起步价为2元或3元”的概率是：，故答案为：；（4）由题意可得，（人），即该镇支持“起步价为3元”的居民大约有9000人．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题，注意第（2）问中是求2元和3元的概率，不要误认为求3元和4元的．25．随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．（1）该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？【考点】FH：一次函数的应用；8A：一元一次方程的应用；AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）设该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2015年的床位数=2013年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）①设规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100﹣3t，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出关于t的一元一次方程，解方程即可得出结论；②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于t的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）设该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．（2）①设规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100﹣3t，。
江苏昆山中学高一年级第二次考试数学试题参考答案
江苏昆山中学高一年级第二次考试数学试题参考答案Revised by Petrel at 2021省昆中2006-2007学年第一学期统一测试（二）高一数学参考答案一、 选择题1、B2、B3、A4、B5、A6、D7、C8、C9、B 10、A 11、D 12、D二、填空题13、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠+≠Z k ,3k x 2k x x ππππ且 14、0 15、257- 16、①④ 三、解答题17、（1）2222sin cos 2tan 2332sin cos sin cos 1tan 195x x x x x x x x ⨯====+++。
（2）原式222222sin cos 2sin cos 1tan 2tan 1cos sin 1tan 2x x x x x x x x x +-+-===---。
18、 (1)f(α)＝－cos α．(2) f(α)＝265． (3) f(α)＝－12． 19、（1）1122,(),()3333AB b a AP AB b a AQ AB b a =-==-==-， 112()333OP OA AP a b a b a =+=+-=+， （2）111()AA AB b a n n ==-，222()AA AB b a n n ==-，……，11()n n AA b a n --=- 11()OA a b a n ∴=+-，22()OA a b a n =+-，……，11()n n OA a b a n --=+-， 20.解：⑴由题可知12T =。
1.50.5A b A b +=-+= 0.5,1A b ∴== 又212,6T ππωω==∴=。
则解析式是1cos 126y t π=+ ⑵由1cos 1126t π+>可得cos 06t π>， 即有123123,()k t k k Z -<<+∈，又024,1t t ≤≤∴=从而共有6小时可供冲浪者进行运动。
【精准解析】江苏省苏州市昆山市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
江苏省昆山2019—2020学年高一第二学期期中调研试卷数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1.310x y +-=的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】C 【解析】 【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率k ，再由tan θk 求解倾斜角.310x y +-=的斜率=3k tan 3,[0,180)o o k θθ∴==∈，∴120θ︒=. 故选：C【点睛】本题考查了直线的一般式方程、直线的斜率和直线的倾斜角的关系，考查了学生转化，运算的能力，属于基础题.2.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，45A =︒，120B =︒，6a =，则b =（ ） A. 26 B. 32 C. 33 D. 36【答案】D 【解析】 【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解． 【详解】45A =，120B =，6a =，∴由正弦定理sin sin a b A B =，可得：sin 6sin12036sin sin45a Bb A ⋅⨯=== 故选D ．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3.在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点坐标分别为()()0,0,4,0,4,(2)(),0,2O A B C ﹣﹣，则矩形OABC 的外接圆方程是（ ）A. 22420x y x y +-+= B. 22420x y x y ++-=C. 22840x y x y +-+= D. 22840x y x y ++-=【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的中心是其外接圆的圆心，矩形的对角线是其外接圆的直径，求出圆心坐标和半径，得到圆的标准方程，再化为圆的一般方程即可得到答案.【详解】矩形OABC 的中心为(2,1)-=所以矩形OABC 的外接圆的圆心为(2,1)-所以矩形OABC 的外接圆方程是22(2)(1)5++-=x y ，即22420x y x y ++-=.故选：B【点睛】本题考查了根据圆心坐标和半径求圆的标准方程，属于基础题.4.古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 222石 B. 224石C. 230石D. 232石【答案】B 【解析】 【分析】根据270粒内夹谷30粒，可得2016石的夹谷约为302016270⨯石，即可得到答案． 【详解】由题意可知，2016石的夹谷约为302016224270⨯=石． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了简单随机抽样，用样本估计总体，属于容易题．5.已知直线1:210l ax y +-=，直线2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则实数a 的值为（ ） A. 4﹣B. 4C. 4±D. 0【答案】A 【解析】 【分析】解不等式820,a a ⨯-⨯=得4a =±，检验舍去4a =得解. 【详解】因为12l l //，所以820,4a a a ⨯-⨯=∴=±.当4a =时，1:4210l x y +-=，2:4210l x y +-=，两直线重合，所以舍去； 当4a =-时，满足题意. 故选：A【点睛】本题主要考查两直线平行的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6.已知()()2,3,6,2M N -，点P 在x 轴上，且使得PM PN +取最小值，则点P 的坐标为（ ） A. (2,0)- B. 12,05⎛⎫⎪⎝⎭C. 14,05⎛⎫⎪⎝⎭D. ()6,0【答案】C 【解析】 【分析】作图，找到M 关于x 轴对称点是()'2,3M --，连结M’N ，求出M’N 的方程，则M’N 与x 轴交于P 点，此时，PM PN +取最小值，且'PM PN M N +=，此时根据直线方程求出P 点即可【详解】如图，M 关于x 轴对称点是()'2,3M --，M’和N 在x 轴两侧，则当M’N 成一直线，此时，M’N与x 轴交于P 点，有PM PN +取最小值，此时，'PM PN M N +=，而直线M’N 的方程为263226y x --=----，化简得，58140x y --=，则直线M’N 交x 轴于P 点，所以，P 点坐标为14,05⎛⎫ ⎪⎝⎭答案选：C【点睛】本题考查点关于直线对称的问题，属于简单题7.如图，某侦察飞机在恒定高度沿直线AC 匀速飞行．在A 处观测地面目标A ，测得俯角30BAP ∠=︒．经2分钟飞行后在B 处观测地面目标P ，测得俯角60ABP ∠=︒．又经过一段时间飞行后在C 处观察地面目标P ，测得俯角BCP θ∠=且419cos θ=，则该侦察飞机由B 至C 的飞行时间为（ ）A .1.25分钟 B. 1.5分钟 C. 1.75分钟 D. 2分钟【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，直接利用解三角形知识的应用和三角函数的关系式的恒等变换，列出方程，即可求解.【详解】设飞机的飞行速度为V ，所以根据飞机的飞行图形，测得俯角30BAP ∠=， 经过2分钟飞行后在B 处观测地面目标P ，测得俯角为60ABP ∠=︒， 所以ABP ∆为直角三角形，过点P 作PD AC ⊥于点D ，则2,3,AB V AP V BP V ===，解得3V DP =， 设CB xV =， 因为41919cos θ=，可得257sin 1cos 19θθ=-=，所以3tan 4θ=，直角PCD ∆中，3321a n 2t V V xV θ==+，解得 1.5x =， 即该侦察飞机由B 至C 的飞行时间为1.5分钟. 故选：B .【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中结合图形，合理利用解三角形的知识和三角函数的基本关系式求解是解答的关键，着重考查数形结合数学，以及运算、求解能力.8.已知圆C 的方程为：222(1)(2)(0)x y r r -+-=>，若直线210x y +-=上存在一点P ，使得在圆C 上总存在不同的两点,M N ，使得2MN NP =，则圆C 的半径r 的取值范围是（ ） A. 5⎛ ⎝⎦B. 25⎛ ⎝⎦C. 5⎫+∞⎪⎣⎭D.25⎫+∞⎪⎪⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】设P 的坐标，可得M 的坐标，代入圆的方程，可得以()1,2为圆心，r 为半径的圆与以2+122,33m n +⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，3r 为半径的圆有公共点，由此求得C 的半径r 的取值范围． 【详解】直线的方程为210x y +-=， 设(),P m n ，(,)N x y ．(,)M x y ''∴(),MN x x y y '--'=，(),NP m x n y =--又2MN NP =∴()(),2,x x y y m x n y --=-'-'可得2222x x m x y y n y -=-⎧⎨-=-''⎩，即3232x x m y y n=-⎧⎨=-''⎩∴()32,32M x m y n --又M ，N 都在半径为r 的圆C 上，222222(1)(2)(321)(322)x y r x m y n r⎧-+-=∴⎨--+--=⎩ 即：222222(1)(2)2122339x y r m n r x y ⎧-+-=⎪⎨++⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩该关于x ，y 的方程组有解， 即以()1,2为圆心，r 为半径的圆与以2+122,33m n +⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，3r 为半径的圆相交或相切， 可得：22222122123333r m n r r r ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-+-≤+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即：22224212216129339m n r r ++⎛⎫⎛⎫≤-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭——①由点(),P m n 在210x y +-=∴21n m =-——②将②代入①整理可得：222244846916r m m m m r ≤-++++≤∴2224521316r m m r ≤-+≤∴2221145131655r m r ⎛⎫≤--+≤ ⎪⎝⎭ 故：222164451655r m r ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭ 要保证直线210x y +-=上存在一点P ，使得在圆C 上总存在不同的两点,M N ，使得2MN NP =需264165r ≤ ，解得：5r ≥故圆C 的半径r 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 故选：D.【点睛】本题解题关键是掌握的向量线性坐标表示和两圆相交几何特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P ，则下列结论中正确的是（ ） A. 1234P P P P === B. 312P P = C. 12341P P P P +++= D. 423P P =【答案】CD 【解析】 【分析】利用n 次的独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式，分别求得1234,,,P P P P 的值，即可求解.【详解】由题意，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P ，根据独立重复试验的概率计算公式， 可得：3322121233431111113113(),(),()(1),(1)2828228228P P P C P C =====-==⋅-=， 由1234P P P P =<=，故A 是错误的； 由313P P =，故B 是错误的；由12341P P P P +++=，故C 是正确的； 由423P P =，故D 是正确的. 故选：CD【点睛】本题主要考查概率的计算及其应用，其中解答中熟练应用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.10.在同一直角坐标系中，直线0ax y a -+=与圆222()x a y a ++=的位置可能是（ ）A. B.C.D.【答案】AD 【解析】 【分析】利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径比较大小即可得到结果【详解】解：圆222()x a y a ++=的圆心为(,0)a -，半径为a则圆心(,0)a -到直线0ax y a -+=的距离为221a a d a -+=+221a a a a -+<+2111a a -<+，即22121a a a -+<+，当0a >时，恒成立，可知A 正确，B 不正确；当0a <时，不等式不成立，说明直线与圆相离，但是直线的斜率为负数，所以C 不正确，D 正确， 故选：AD【点睛】此是考查直线与圆的位置关系的判断，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，属于中档题.11.对于ABC ，有如下判断，其中正确的是（ ） A. 若sin 2sin 2A B =，则ABC 必为等腰三角形 B. 若A B >，则sin sin A B >C. 若5,3,60a b B ︒===，则符合条件的ABC 有两个D. 若222cos cos cos 1A B C +->，则ABC 必为钝角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦函数性质，正弦定理，余弦定理对每个命题进行判断．【详解】∵,A B 是三角形内角，∴由sin 2sin 2A B =得22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，三角形为等腰三角形或者直角三角形，A 错；A B a b >⇔>，又由sin sin a bA B=得sin sin A B >，B 正确；若5,3,60a b B ︒===，则sin 5sin 60sin 13a B A b ︒===>，无解，C 错； 若222cos cos cos 1A B C +->，则2221sin 1sin (1sin )1A B C -+--->，即222sin sin sin 0A B C +-<，由正弦定理得2220a b c +-<，∴222cos 02a b c C ab+-=<，C 为钝角，D 正确．故选：BD ．【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查正弦定理、余弦定理解三角形．掌握正弦定理和余弦定理是解三角形的关键．应用正弦定理解三角形时注意三角形解的情况，可能1解也可能2解，还可能无解．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程是||||1(0)x a y b a b a b--+=>>，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C 关于(,)a b 对称 B. 22x y +的最小值为2222a b a b+ C. 曲线C 的周长为2()a b + D. 曲线C 围成的图形面积为2ab【答案】ABD 【解析】 【分析】确定方程表示的曲线，根据对称性判断A ，利用22x y +的几何意义判断B ，计算曲线的周长与所围图形面积判断C ，D ．【详解】设00(,)x y 是曲线上的任一点，则00||||1x a y b a b--+=，所以00(2)(2)1a x a b y ba b ----+=，所以点00(2,2)a x b y --也在曲线上，而点00(,)x y 与00(2,2)a x b y --是关于(,)a b 对称的，由00(,)x y 的任意性知A 正确，如,x a y b ≤≤时方程||||1x a y b a b --+=化为1a x b y a b --+=，即1x ya b+=，其中0,0x a y b ≤≤≤≤，表示一条线段，同理当2,0a x a y b ≤≤≤≤时，方程为1x ya b-=，当0,2x a b y b ≤≤≤≤时，方程为1x y a b -+=，当2,2a x a b y b ≤≤≤≤时，方程为3x ya b+=． 所以方程||||1(0)x a y b a b a b--+=>>表示的曲线是以(,0),(0,),(,2),(2,)A a B b C a b D a b 为顶点的菱形M ，如图，22x y +表示菱形M 上点到原点距离的平方，原点到AB 的距离为为OAB 斜边AB 上的高22h a b =+，所以22x y +的最小值为2222a b a b+，B 正确； 菱形M 的周长为224a b +C 错误； 菱形M 的面积为12222a b ab ⨯⨯=，D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查曲线的对称性，考查用方程研究曲线的性质，考查方程的曲线，解题关键是确定方程表示的曲线，注意掌握绝对值的定义，按绝对值分类讨论即可．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.随机抽取圆柱形零件样本5件，测量其直径依次为5.1，4.9，5.2，4.7，5.1（单位：mm ），则数据5.1，4.9，5.2，4.7，5.1的方差为______． 【答案】0.032 【解析】 【分析】先计算出平均值，然后根据方差公式计算． 【详解】由已知均值为 5.1 4.9 5.2 4.7 5.155x ++++==，所以方差为2222220.1(0.1)0.2(0.3)0.10.0325s +-++-+==．故答案为：0.032【点睛】本题考查方差的计算，属于基础题． 14.在ABC中，已知a =3c =，60A ︒∠=，则b =_____．【答案】1或2 【解析】 【分析】直接根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-可解得结果.【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即217962b b =+-⨯， 所以2320b b -+=，解得1b =或2b =. 故答案为：1或2【点睛】本题考查了用余弦定理解三角形，属于基础题.15.在平面直角坐标xOy 中，已知()4,3A 、()5,2B 、()1,0C ，平面内的点P 满足PA PB PC ==，则点P 的坐标为_______．【答案】()3,1 【解析】 【分析】设点P 的坐标为(),x y ，根据条件PA PB PC ==建立有关x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得点P 的坐标. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，由PA PB PA PC=⎧⎨=⎩可得()()()()()()()222222224352431x y x y x y x y⎧-+-=-+-⎪⎨-+-=-+⎪⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩， 因此，点P 的坐标为()3,1. 故答案为：()3,1.【点睛】本题考查利用两点间的距离求点的坐标，考查计算能力，属于基础题. 16.在平面直角坐标系xOy 内，已知(1,0),(1,0)A B -，若点P满足PA =，则PAB△面积的最大值为______；若点P还同时满足PB =，则点P 的横坐标等于______．【答案】(2). 16- 【解析】 【分析】设(,)P x y，根据PA =求出P 点的轨迹方程，可得PAB △面积的最大值，根据PB =求出P 点的轨迹方程，联立两个方程可解得16x =-，即可得答案.【详解】设(,)P x y=22(1)2x y -+=,所以P 点的轨迹是以(1,0)B为半径的圆， 所以PAB △面积的最大值为122⨯=由PB ==22102x y x ++-=， 联立2222210102x y x x y x ⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩，解得16x =-，即点P 的横坐标等于16-.；16-. 【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求法，考查了三角形的面积，考查了求曲线的交点坐标，属于基础题.四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，已知(1,1),(3,2)A B -，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上．（1）求顶点C 的坐标； （2）求ABC 的面积． 【答案】（1）(1,2)--；（2）2． 【解析】 【分析】（1）设点()00,C x y ,根据AC 边的中点M 在y 轴上求出01x =-，根据BC 边的中点N 在x 轴上求出02y =-，即得解；（2）先求出直线AC 的方程为230x y --=，再求出点B 到直线AC 的距离，即得ABC 的面积．【详解】解：（1）设点()00,C x y ,AC 边的中点M 在y 轴上，0102x +∴=，解得01x =-． 又BC 边的中点N 在x 轴上，0202y +∴=，解得02y =-． ∴点C 的坐标是(1,2)--.(2)(1,1),(1,2),||A C AC ---∴=由题得121112AC k -+==+, 所以直线AC 的方程为11(1)2y x +=-， 所以直线AC 的方程为230x y --=．又(3,2)B ，∴点B 到直线AC距离为d == 1||22ABCSAC d ∴=⋅==． 【点睛】本题主要考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.某校高一某班50名学生参加防疫知识竞赛，将所有成绩制作成频率分布表如下：（1）求频率分布表中a b c d ,,,的值； （2）从成绩在[50,70)的学生中选出2人，请写出所有不同的选法，并求选出2人的成绩都在[60,70)中的概率．【答案】（1）2,3,0.04,0.08a b c d ====；（2）所有选法：()()()()()()()()1211121321222312,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B ，()()1323,,,B B B B ；概率为310． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布表中的数据，结合频数、频率的计算方法，即可求解；（2）设成绩落在[50,60)中的2人为12,A A ，成绩落在[60,70)中的3人为123,,B B B ，利用列举法得到基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】（1）由题意，该班学生人数为50人，所以表格中的频数总和为356450a b ++++=，则根据频率与频数的关系，可得40.0850d ==，500.063b =⨯=， 所以50335642a =----=，0.0450ac ==． （2）由（1）可得成绩落在[50,60)中的2人为12,A A ，成绩落在[60,70)中的3人为123,,B B B ，则从成绩在[50,70)的学生中选2人的基本事件有：()()()()12111213,,,,,,,A A A B A B A B ，()()()()()()212223121323,,,,,,,,,,,A B A B A B B B B B B B ，共有10个，其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有()()()121323,,,,,B B B R B B ，共有3个， 所以选出2人的成绩都在[60,70)中的概率为3()10P A =． 答：从成绩在[50,70)的学生中选出2人，2人的成锁都在[60,70)中的概率为310． 【点睛】本题主要考查了频率分布表的应用，以及古典概型的概率计算，其中解答中认真审题，熟记频率分布表中的频数与频率的计算，以及利用列举法得出基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 19.在锐角ABC 中，角,,A B C对边分別为,,a b c 2sin c A =．（1）求角C 的大小；（2）若c =，且ABC 的面积为+a b 的值．【答案】（1）3π；（2）7． 【解析】【分析】（12sin sin A C A =．进而得到sin C =，即可求解角C 的大小； （2）由ABC 的面积为求得12ab =，再余弦定理和c =，得到2213a b ab +-=，联立方程组，即可求解．【详解】（1）在锐角ABC 2sin c A =，由正弦定理可知：2sin ,2sin a R A cR C ==（其中R 为ABC 外接圆半径）， 2sin sin A C A =，又因为锐角三角形，则0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin 0A >，所以sin 2C =， 又因为锐角三角形，则0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3C π=．（2）因为ABC 的面积为11sin sin 223ABCSab C ab π=== 可得12ab = ①．在ABC 中，由余弦定理可知：222cos 122a b c C ab +-==，因为c =，所以2213a b ab +-=②，联立①②解得：7a b +=．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．20.某调查机构为了了解某产品年产量x （吨）对价格y （千元/吨）和年利润z 的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表，若 5.5y =．（1）求表格中c 的值；（2）求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（3）若每吨该产品的成本为2千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取得最大值？【答案】（1） 2.5c =；（2） 1.49.7y x =-+；（3）2.75吨． 【解析】 【分析】（1）由 5.5y =，计算可得；（2）依题意求出b 和a ，即可求出回归直线方程；（3）依题意可得年利润21.47.7z x x =-+，根据二次函数的性质求解即可； 【详解】解：（1）1(8764) 5.55y c =++++=，解得： 2.5c =．（2）51814181612.568.5i ii x y==++++=∑，522222211234555ii x==++++=∑．又1234535x ++++==，又已知 5.5y =．152251568.553 5.51.455595i ii i i x yx yb x x==--⨯⨯∴===--⨯-∑∑，5.5( 1.4)39.7a y bx =-=--⨯=y ∴关于x 的线性回归方程是 1.49.7y x =-+（3）年利润2( 1.49.72) 1.47.7z x x x x =-+-=-+ 所以当7.72.752.8x =-=-吨时，年利润z 可取得最大． 答：当年产量为2.75吨时，年利润z 取得最大值．【点睛】本题考查最小二乘法求回归直线方程以及二次函数的性质的应用，属于基础题. 21.如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，2,1AB AD BC ===，且sin 3sin CAD BAC ∠=∠．（1）求CD 的长度； （2）求圆O 的半径． 【答案】（1）3；（2）213． 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理及已知角的关系可求CD 与BC 的关系，进而可求；（2）结合圆内接四边形的角的性质及余弦定理可求AC ，再由正弦定理即可求解． 【详解】解：（1）四边形ABCD 内接于圆O ，ABC ∴与ACD 有相同的外接圆圆O ，设圆O 的半径为R ． 在ABC 中，由正弦定理可得：2sin BCR BAC =∠．在ACD 中，由正弦定理可得：2sin CDR CAD=∠． sin sin BC CD BAC CAD∴=∠∠． 又设sin 3sin CAD BAC ∠=∠，33CD BC ∴==．（2）设(13)AC x x =<<，又已知2,1AB AD BC ===．在ABC 中，由余弦定理可得：22225cos 24BC BA AC x ABC BC BA +--∠==⋅． 在ACD 中，由余弦定理可得：222213cos 212AD CD AC x ADC AD CD +--∠==⋅． 四边形ABCD 内接于圆O ，ABC ADC π∴∠+∠=，cos cos()cos ABC ADC ADC π∴∠=-∠=-∠，即cos cos 0ABC ADC ∠+∠=．由①②可得：225130412x x --+=，解得：7x =1cos 2ABC ∴∠=-，又(0,)ABC π∠∈，23ABC π∴∠=．∴在ABC 中，由正弦定理可得：72212sin 3sin 3AC R ABC π===∠．∴圆O 的半径为213．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是圆内接四边形性质的灵活应用．22.已知圆22:4O x y +=，点P 坐标为(1,0)．（1）如图1，斜率存在且过点P 的直线l 与圆交于,A B 两点．①若3OA OB ⋅=-，求直线l 的斜率；②若2AP PB =，求直线l 的斜率．（2）如图2，,M N 为圆O 上两个动点，且满足0PM PN ⋅=，Q 为MN 中点，求OQ 的最小值．【答案】（1）①1-或1；②153或153-；（271-；【解析】 【分析】（1）设直线l 的方程为：(1)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，由3OA OB ⋅=-，则12123x x y y +=-，即()()21212113x x k x x +--=-，即可求出k 的值；由2AP PB =，则()12121212x x y y ⎧-=-⎨-=⎩，解方程组即可；（2）连结,,OM ON PQ ，依题意可得PM PN ⊥，可得224OQ PQ +=，设点Q 的坐标为(,)x y ，即可得动点Q 点的轨迹；【详解】解：（1）设直线l 的方程为：(1)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ．联立方程得：224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，消去y 整理可得：()22221240k x k x k +-+-=．()()2242441401216k k k k ∆=-+=+->恒成立，∴由韦达定理可得：212221k x x k +=+①，212241k x x k -=+②．又3OA OB ⋅=-，12123x x y y ∴+=-，即()()21212113x x k x x +--=-．整理可得：()()2221212130kx xk x x k +-+++=．将①②代入可得：422224301k k k k--++=+． ()()22421120k k k ∴-+-=，化简得：21k =．∴直线l 的斜率k 的值为1-或1．（2）点(1,0)P ，()111,AP x y ∴=--，()221,PB x y =-．2AP PB =，()12121212x x y y ⎧-=-∴⎨-=⎩，整理可得1212232x x y y =-+⎧⎨=-⎩．,A B 都在圆O 上，2211222244x y x y ⎧+=∴⎨+=⎩，即()()2222222223244x y x y ⎧-++-=⎪⎨+=⎪⎩③④． ③-④可得：274x =． 将274x =代入22224x y +=解得：2y = ∴此时，直线l 的斜率k．（3）如图，连结,,OM ON PQ ．0PM PN ⋅=，PM PN ∴⊥，又Q 为MN 中点，PQ QM ∴=．,M N 为圆上两点，2OM ON ∴==，又Q 为MN 中点，OQ MN ∴⊥．2224OQ QM OM ∴+==，又PQ QM =，224OQ PQ ∴+=．设点Q 的坐标为(,)x y2222(1)4x y x y∴++-+=，整理可得：221724x y⎛⎫-+=⎪⎝⎭．Q∴点的轨迹是以1,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，72为半径的圆．min 71 2OQ -∴=．【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，求动点的轨迹问题，属于中档题.。
江苏省苏州市昆山市第一中学2020-2021学年高一上学期12月第二次模块检测数学试题
江苏省昆山市第一中学2020-2021学年上学期高一第二次模块检测数学一.单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 函数2lg(1)y x =-的定义域为（ ） A. {|1}x x > B. {|1}<x x C. {|1}x x ≠D. RC保证对数的真数大于零即可.2(1)0x ->，则1x ≠故选：C2. sin 750tan 240+的值是（ ）A. B.C.12+ D. 12-+C利用三角函数的诱导公式求解.sin 750tan 240+，()()sin 72030tan 18060=+++，1sin 30tan 6032=+=+，故选：C 3. 已知21log 2a =，0.112b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，225c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. b a c <<B. c a b <<C. a c b <<D. a b c <<D由已知得21log 02<，0.11012⎛⎫<< ⎪⎝⎭，2215-⎛⎫> ⎪⎝⎭，可得选项.∵221log log 102<=，0.1110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，222155-⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴a b c <<.故选：D . 思路点睛：（1）利用指数函数，对数函数单调性进行比较；（2）借助于中间值0和1进行比较. 4. 在使用二分法计算函数()lg 2f x x x =+-的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1，2)，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来需要计算（ ）次区间中点的函数值.A. 2B. 3C. 4D. 5C根据二分法定义计算即可得到答案.因为区间()1,2的长度为1，每次二等分都使长度变为原来的12， 3次取中间值后，区间()1,2的长度变为311=0.128⎛⎫> ⎪⎝⎭，不满足题意，4次取中间值后，区间()1,2的长度变为411=0.1216⎛⎫< ⎪⎝⎭，满足题意.故选：C5. 我国著名数学家华岁庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数23()1xf x x =-的图象大致是（ ） A. B. C. D.C根据函数的对称性，零点，函数值的正负，单调性，即可得出结论. 当10x -<<时，()0f x <，选项A 错误； 令()0,0f x x ==，选项B 错误；23()(),()1xf x f x f x x --==--为奇函数， 图像关于原点对称，当301,()0,(),1x f x f x x x<<>=- 由1,(0,1)y x x x=-∈单调递减，且0y >， 所以()0,(0,1)f x x >∈是增函数， 同理当(1,),()0,x f x ∈+∞<且是增函数， 所以选项C 正确；当(1,),()0x f x ∈+∞<，选项D 不正确.故选:C.本题考查函数图像的识别，考查函数的定义域、值域、单调性以及对称性，属于中档题. 6. 若函数2()log (21)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）在区间（1，3）上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A. (1,)+∞ B. （0，1） C. [3,4] D. (1,3]D讨论01a <<、1a >两种情况，结合复合函数的性质确定函数()f x 的单调性，最后由二次函数的性质得出实数a 的取值范围. 令221u x ax =-+，则log a y u =当01a <<时，函数221u x ax =-+的对称轴为14ax =< 则函数221u x ax =-+在区间()1,3上单调递增，而函数log a y u =在定义域内单调递减 此时函数()f x 在区间()1,3上单调递减，不符合题意 当1a >时，函数log a y u=定义域内单调递增，要使得函数()f x 在区间()1,3上单调递增，则函数221u x ax =-+在区间()1,3上单调递增即141210a a a ⎧⎪⎪>⎨⎪-+≥⎪⎩，解得13a 综上，(]1,3a ∈故选：D关键点睛：解决本题的关键在于分类讨论a 的值，利用复合函数的单调性的性质确定()f x 的单调性.7. 若一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg /mL 之后停止喝酒，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg /mL ，那么这个人至少经过多少小时才能开车（精确到1小时）（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6C先根据题意设x 小时后才能开车．再结合题中条件：“血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL,”得到一个关于x 的不等关系,代入选项验证即可求解.设x 小时后才能开车, 则有()0.310.250.09x⋅-≤,即30.34x⎛⎫≤ ⎪⎝⎭, 由于没有对数参考值，根据选项代入验证，当3,4x =时不等式不成立，当5x =时，不等式成立， 故x 最小为5.故选：C关键点点睛：根据问题的实际背景，抽象出指数不等式，利用验证的的方式寻求不等式成立的最小正整数解.8. 已知函数()()3,0ln ,0ax x h x a R x x +≤⎧=∈⎨>⎩，若函数()y h x a =-有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()()3,03,-⋃+∞ B. (){}3,0+∞ C. [)3,+∞ D. ()3,+∞D 【分析】首先根据题意画出函数的图象，再根据函数的图象即可得到答案. 如图所示：由图知：显然0a >，当03a <≤时，函数()y h x a =-有四个零点， 当3a >时，函数()y h x a =-有三个零点.故选：D二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9. 下列说法正确的有（ ）A. 命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定为“x R ∃∈，210x x ++≤”.B. 若,a b c d >>，则ac bd >C. 若幂函数()22231mm y m m x --=--在区间0,上是减函数，则－1<m <2D. 在同一平面直角坐标系中，函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称 ADA.全称命题的否定是特称命题B.取反例可说明其错误.C.幂函数的前面系数必须为1D.互为反函数的两个函数图象关于y x =对称.A. 命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定为“x R ∃∈，210x x ++≤”，故A 正确B. 取18,25->-->-，但()()()()1285-⨯-<-⨯-，故B 错C. ()22231m m y m m x --=--为幂函数，故211m m --=，则2m =或1m =-故C 错D. 2x y =与2log y x =互为反函数，图象关于y x =对称故选：AD 10. 已知集合1,1|1,M Nx mx ，且M N M ⋃=，则实数m 的值可以为（ ）A. 1B. 1-C. 2D. 0ABD先根据集合的运算结果得到集合的基本关系N M ⊆，再分N =∅、{1}N =，{1}N =-三种情况讨论求实数m 的值. 解：因M N M ⋃=，所以N M ⊆，当N =∅时，0m =； 当{1}N =时，1m =；当{1}N =-时，1m =-；故选：ABD.本题考查利用集合的运算结果求参数、利用集合的运算结果判断集合的包含关系求参数，是基础题.11. 设函数()||f x ax x bx c =++，则下列命题正确的是（ ） A. 0,0c a ==时，()y f x =是奇函数B. ()y f x =的图像关于点(0,)c 对称C. 0b =，0ac >时，方程()0f x =只有一个实数根D. 方程()f x =0最多有两个实根 ABC对选项A ，利用奇函数的定义即可判断A 正确，对选项B ，首先判断()g x ax x bx =+为奇函数，从而得到函数()g x 关于()0,0对称，即可判断B 正确，对选项C ，将题意转化为0cx x a=-<，再分类讨论即可判断C 正确，对选项D ，利用特值法即可判断D 错误. 对选项A ，若0,0c a ==时，()f x bx =，定义域为R ，()()f x bx f x -=-=-，所以函数()f x 为奇函数，故A 正确； 对选项B ，令()g x ax x bx =+，定义域为R ，()()()g x ax x bx ax x bx g x -=--=-+=-，所以函数()g x 为奇函数，故函数()g x 关于()0,0对称，所以函数()||f x ax x bx c =++的图象关于()0,c 对称. 对选项C ，0b =，0ac >时，()f x ax x c =+，则0cx x a=-<， 若0x ≥，20x x x =≥，方程()0f x =无解，若0x <，20x x x =-<，方程()0f x =，解得x =故方程()0f x =只有一个实数根，故C 正确.对选项D ，设1a =，1b =-，0c ，则()f x x x x =-，令()0f x =，解得11x =，21x =-，30x =，故D 错误.故选：ABC12. 对任意A ，B ⊆R ，记A ⊕B ＝{x |x ∈A ∪B ，x ∉A ∩B }，并称A ⊕B 为集合A ，B 的对称差.例如，若A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则A ⊕B ＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（ ） A. 若A ，B ⊆R 且A ⊕B ＝B ，则A ＝∅ B. 若A ，B ⊆R 且A ⊕B ＝∅，则A ＝BC. 若A ，B ⊆R 且A ⊕B ⊆A ，则A ⊆BD. 存在A ，B ⊆R ，使得A ⊕B ＝A R⊕B RE. 存在A ，B ⊆R ，使得A B ⊕B A ≠⊕ ABD根据新定义判断． 根据定义[()][()]R R A B A B A B ⊕=， A.若A B B ⊕=，则RAB B =，R A B ⋂=∅，R AB B =RB A ⇒⊆，R A B ⋂=∅A B ⇒⊆，∴A =∅，A 正确； B.若A B ⊕=∅，则RAB =∅，R A B ⋂=∅，A B A B ==，B 正确； C. 若A B A ⊕⊆，则RA B =∅，RAB A ⊆，则B A ⊆，C 错；D.A B =时，A B ⊕=∅，()()R R A B A B ⊕=∅=⊕，D 正确；E.由定义，[()][()]R R A B A B A B ⊕=B A =⊕，E 错．故选：ABD ．本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算． 三.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若角θ的终边经过点()()1,0P m m -≠，且sin 2θ=，则m =__________. 1先确定0m >，再由三角函数的定义求出m . 由()()1,0P m m -≠知，点P 在第二或第三象限又sin 02θ=>，所以0m >=，解得1m =-（舍）或1m = 故答案为：114. 某时钟时针长3cm ，则在本场考试时间120分钟内，该时针顶点走过的路程为____cm 2．π；先求出时针转过的弧度，再由弧长公式得出时针顶点走过的路程.因为本场考试时间120分钟，所以时针转过了22123ππ-⨯=- 则时针顶点走过的路程为33ππ-⨯=故答案为：π15. 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v （单位：m/s ）与其耗氧量Q 之间的关系为2log 10Qv a =+（其中a 是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，其耗氧量至少需要______个单位． 80由初始值求得a ，然后再由2v ≥求得Q 的最小值． 由题意220log 010a +=，1a =-，即21log 10Q v =-+， 由21log 210Q-+≥，解得80Q ≥． 故答案为：80本题考查函数的应用，已知函数模型，只要根据已知数据求出参数值，再根据要求列式求解即可．16. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________ A试题分析：由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A 考点：进行简单的合情推理四、解答题（本题共6小题，共70分.）17. 已知α是第二象限角，且4tan 3α=-.（1）求cos α的值；（2）求sin cos 2sin cos αααα+-的值.（1）35（2）111（1）由商数关系、平方关系求出29cos 25α=，再结合象限得出cos α的值； （2）对原式分子分母同时除以cos α，再由4tan 3α=-得出答案.（1）由22sin cos 1sin 4tan cos 3ααααα⎧+=⎪⎨==-⎪⎩，解得29cos 25α= α是第二象限角，3cos 5α∴=-（2）41sin cos tan 11382sin cos 2tan 11113αααααα-+++===---- 关键点睛：在第二问中，关键是对原式分子分母同时除以cos α，将弦化为切，从而得出答案. 18. 已知函数f (x )的定义域是R ，且其图像是一条连续不断的曲线，给出一个满足以下条件的函数f (x )，并证明你的结论. ①f (x )是偶函数；②f (x )在(0，+∞ )不是单调函数； ③f (x )恰有2个零点. 见解析设22(1),0()1,0(1),0x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，根据定义证明奇偶性，由二次函数的单调性证明②，由()0f x =证明③.由题意可设22(1),0()1,0(1),0x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩2222(1),0(1),0()1,01,0()(1),0(1),0x x x x f x x x f x x x x x ⎧⎧--->+<⎪⎪-=-====⎨⎨⎪⎪-+-<->⎩⎩∴函数f (x )是偶函数；当0x >时，22()(1)21f x x x x =-=-+在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，即函数f (x )在(0，+∞ )不是单调函数；由2(1)00x x ⎧-=⎨>⎩或2(1)00x x ⎧+=⎨<⎩，解得1x =或1x =-即函数()f x 恰好有两个零点关键点睛：在求函数的零点时，关键将零点个数问题转化为方程根的个数来进行求解. 19. 已知函数f (x )=x 2－ax +1，集合11={216}2x A x +≤≤，B ={x|f (x )<0}，R a ∈ （1）解关于x 的不等式f (x )< 2－a ；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.（1）当2a >时，(1,1)x a ∈-，当2a =，∅，当2a <时，(1,1)x a ∈-；（2）510[,]23-（1）将所求整理为[](1)(1)0x a x ---<，分别讨论2a >，2a =，2a <三种情况，即可得答案；（2）根据条件，可得B A ，分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，结合集合的包含关系，即可求得答案.（1）由题意得：212x ax a -+<-，整理得210x ax a -+-<， 所以[](1)(1)0x a x ---<，当2a >时，11a ->，所以11x a <<-， 当2a =时，11a -=，无解，当2a <时，11a -<，所以11a x -<<，综上：当2a >时，(1,1)x a ∈-，当2a =，∅，当2a <时，(1,1)x a ∈-. （2）因为112162x +≤≤，所以114x -≤+≤，即23x -≤≤， “x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，等价于B A ，当B =∅时，则210x ax -+<无解，所以240a ∆=-≤，解得22a -≤≤，满足题意，当B ≠∅时，240a ∆=->，解得2a >或2a <-，所以210x ax -+<的解集为⎝⎭，所以23≥-≤，解得52103a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，又2a >或2a <-，所以510[,2)(2,]23a ∈--⋃，综上，510[,]23a ∈- 易错点为，当B A ，且B 集合含有参数时，需讨论集合B 是否为空集，再进行求解，考查计算化简，分类讨论的能力，属中档题.20. 已知函数()21log 1f x x a ⎛⎫=+⎪+⎝⎭是奇函数，a R ∈. （1）求a 的值;（2）对任意的(),0x ∈-∞，不等式()()221log 2x xf m +>-恒成立，求实数m 的取值范围.（1）12-（2）512m ≤<（1）利用()()f x f x -=-，计算得a 的值；（2）将不等式不等式()()221log 2x xf m +>-恒成立转化为111212222xx m <++++且2x m >同时恒成立，再转化为求最值即可.（1）()2211log 1log x a f x x a x a ++⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 则{101x a A x x a x a++>⇔=<--+或}x a >-， 因为()f x 是奇函数， 故x A ∀∈，()()f x f x -=-，即22211log log log 1x a x a x a x a x a x a -+++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()222211112x a x a a x a x a x a x a -+++=⇔+-=-⇔=--+++；（2）()()()222121log 2log 1log 2122x x x x f m m ⎛⎫ ⎪+>-⇒+>- ⎪ ⎪+⎝⎭111212222x x m ⇒<++++， 令122xu =+，(),0x ∈-∞，所以13,22u ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()112g u u u =++.易知()52g u ≥，当1u =时取等号， 所以52m <，又由202x x m m ->⇒>， 故m 1≥， 所以512m ≤<. 本题考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，是关键，另外要注意对数的真数部分也要恒大于零，是一道中档题.21. 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭(万件)，其中k 为工厂工人的复工率([0.5,1]k ∈).A 公司生产t 万件防护服还需投入成本(20950)x t ++(万元).（1）将A 公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数；(政府补贴x 万元计入公司收入)（2）在复工率为k 时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？ （3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？ （精确到0.01）. （1）3601808204ky k x x =---+，[]0.5,1x ∈；（2）4；（3）0.65. （1）根据已知条件列出关系式，即可得出答案； （2）由()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦，进而结合基本不等式求出()4544kx x +++的最小值，此时y 取得最大值，从而可求出答案；（3）对任意的[]0,10x ∈（万元），A 公司都不产生亏损，可知36018082004kk x x ---≥+在[]0,10x ∈上恒成立，利用参变分离，可得()()20841802x x k x ++≥+，求出()()20844x x x +++的最大值，即可得出k 的值.（1）由题意，()802095030820y x t x t t x =+-++=--1236030682018082044k k x k x x x ⎛⎫=⋅---=--- ⎪++⎝⎭ 即[][]360180820,0,10,0.5,14ky k x x k x =---∈∈+； （2）()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦因为[]0,10x ∈，所以4414x ≤+≤，所以()4544kx x ++≥=+4544kx x +=+，即4x =时，等号成立，所以()451801284180124k y k x k x ⎡⎤=+-++≤+-⎢⎥+⎣⎦故政府补贴为4万元才能使A 公司的防护服利润达到最大，最大为18012k +-万元.（3）对任意的[]0,10x ∈（万元），A 公司都不产生亏损，则36018082004kk x x ---≥+在[]0,10x ∈上恒成立不等式整理得，()()20841802x x k x ++≥+令2m x =+，则[]2,12m ∈，则()()()()208484288202x x m m m x mm++++==+++ 令[]1,2,12m y m m∈=+任取[]12,2,12m m ∈，且12m m < 则()()112121122221111m m m m y y m m m m m m ---=-+-=121212212,0,10m m m m m m ≤<≤∴-<->，12y y ∴<即函数()8820h m m m=++在[]2,12上单调递增 可得()()max 821281220116123h m h ==⨯++=+所以21801163k ≥+，即211630.65180k +≥≈ 所以当复工率k 达到0.65时，对任意的[]0,10x ∈（万元），A 公司都不产生亏损. 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22. 对任意实数a ，b ，定义函数1(,)(||)2F a b a b a b =+--，已知函数()2f x x mx n =-+，()21g x x =-，记()((),())H x F f x g x =.（1）若对于任意实数x ，不等式()(2)5f x g n ≥+-恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若22m n -=，且[6,)m ∈+∞，求使得等式()()H x f x =成立的x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，求()H x 在区间[]0,6上的最小值. （1）23,23m；（2）[]2,m ；（3）()2min224m H x m =-+-.（1）一元二次不等式在R 上恒成立问题，用判别式求解即可.（2）将2()f x x nx n =-+整理为()222f x x mx m =-+-，表示出()H x ，分类讨论即可（3）由（2）得到()2min min 0,22,4344m H x m m ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭，分类讨论求出m 的取值范围，进而得到()H x 的最小值.解：（1）根据题意知，()2253x mx n g n n -+≥+-=-恒成立，即有230x mx -+≥对于任意的x恒成立，∴由0∆≤得2120m -≤，∴23,23m ；（2）∵22m n -=，∴()222f x x mx m =-+-，又由()()1,2F a b a b a b =+--知，(),,,b a b F a b a a b≥⎧=⎨<⎩， ∴若()()()()(),H x F f x g x f x ==，则有[)6,m ∈+∞时，()()f x g x ≤， ①当1≥x 时，22222x mx m x -+-≤-， ∴()()20x x m --≤，又6m ≥，∴[]2,x m ∈；②当1x <时，22222x mx m x -+-≤-+，∴()()2220x x m +--≤，∵6,1m x ≥<，∴20,20x m ->->， ∴上式不成产，综上①②知，使等式成立的x 的取值范围是[]2,m .（3）由（2）知，6m ≥且()()(),02,26g x x H x f x x ⎧≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，∴()221,0222,26x x H x x mx m x ⎧-≤<=⎨-+-≤≤⎩， ∴当02x ≤<时，()21H x x =-，∴()()min 10H x H ==，当26x ≤≤时，()222222224m m H x x mx m x m ⎛⎫=-+-=--+- ⎪⎝⎭.①当262m≤≤时，又6m ≥，即612m ≤≤时， ()2min 2224m m H x H m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭；②当62m>，即12m >时，()()min 6434H x H m ==-+； ∴()2minmin 0,22,4344m H x m m ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭，由2434022046m m m m -+≥⎧⎪⎪-+-≥⎨⎪≥⎪⎩，64m ⇒≤≤+()min 0H x =；由()22434043422,12046m m m m m m m -+<⎧⎪⎪-+<-+-⇒-<⇒⎨⎪≥⎪⎩， 无实数解；由22220443422,446m m m m m m m ⎧-+-<⎪⎪⎪-+≥-+-⇒>+⎨⎪≥⎪⎪⎩时， ()2min224m H x m =-+-，综上，当64m ≤≤+()min 0H x =；当4m >+()2min224m H x m =-+-.二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．。
数学 昆山中学20-21学年高一第二学期3月月考(数学答案-)
(2) 当 m = 2 时，AB = (1，-4)，AC = ( -4，-1)，AB ⊥ AC ，
△ABC 的面积为 21 |AB|•|AC| = 21 • 17• 17 = 127 ．
18. 本题共 12 分
=
8 3
，解得：t
=
2
或
-18(
舍
)；
故t=2
二、多选题 ( 每题 5 分，共 20 分，选对一个答案得 3 分，选错得零分 )
9. 在水流速度为 10km/h 的自西向东的河中，如果要使船以 10 3km/h 的速度与河的南岸垂
直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为 (
)
A. 北偏西 30°
B. 内心
C. 垂心
D. 重心
【答案】D
【解析】∵ AB + AC 经过 BC 边中点 ，点 P 在 BC 边的中线上移动 ，所以点 P 一定经过 △ABC 的重心, 故选：D．
5. 在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 a = 2bcosC ，则 △ABC 的形状为
+ +
2) 1)
> ≠
0 0
；解得
λ
>-53
，且
λ
≠
0；
∴
实数
λ
的取值范围是：(
-
5 3
，0)
∪
(0，+∞)．故答案为：(
-53
，0)
∪
(0，+∞)．
14.
已知
π 2
<
α
<
β
<
π，且
sinα
=
55 ,sinβ
江苏省苏州市昆山第一中学高一数学理测试题含解析
江苏省苏州市昆山第一中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0，且a≠1），当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，且函数g（x）=f（x+1）﹣4的图象不过第二象限，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（，1）C．（1，3] D．（1，5]参考答案：D【考点】指数函数的图象变换．【分析】对a分类讨论：利用指数函数的单调性可得a＞1．由于函数g（x）=a x+1﹣5的图象不过第二象限，可得g（0）≤0，求解即可得答案．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）=a x﹣1＞0；当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）=a x﹣1＜0，舍去．故a＞1．∵函数g（x）=f（x+1）﹣4的图象不过第二象限，∴g（0）=a1﹣5≤0，∴a≤5，∴a的取值范围是（1，5]．故选：D．2. 执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】EF：程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．3. 下列各组函数是同一函数的是（）①f（x）=与g（x）=x；②f（x）=|x|与g（x）=；③f（x）=x0与g（x）=；④f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1．A．①②B．①③C．②③④D．①④参考答案：C【考点】32：判断两个函数是否为同一函数．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．【解答】解：①由﹣2x3≥0得x≤0，即函数f（x）的定义域为（﹣∞，0]，则f（x）==﹣x，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数．②g（x）==|x|，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数．③两个函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数．④两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数．故选：C【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．4. 如果lg2=m，lg3=n，则等于( )A．B．C．D．参考答案：C考点：换底公式的应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则、换底公式、lg2+lg5=1即可得出．解答：解：∵lg2=m，lg3=n，∴===．故选：C．点评：本题考查了对数的运算法则、换底公式、lg2+lg5=1，属于基础题5. ．某工厂生产产品，用传送带将产品送到下一道工序，质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验，则这种抽样方法是()A．简单随机抽样B．分层抽样C．系统抽样D．非上述答案参考答案：C略6. 在△ABC中，A＝45°，AC＝4，AB＝，那么cosB＝（）A、 B、－ C、D、－参考答案：D7. 集合，，集合Ｍ与Ｎ的关系是______.A. B. C. D.M,N不存在包含关系参考答案：D8. 已知，则使得都成立的x取值范围是( ).A. B. C. D.参考答案：B【分析】先解出不等式的解集，得到当时，不等式的解集，最后求出它们的交集即可.【详解】因为，所以，因为，所以，要想使得都成立，所以取值范围是，故本题选B.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式的性质应用，考查了数学运算能力.9. 已知，，且，则x=（）A. 9B. －9C. 1D. －1参考答案：A【分析】利用向量共线定理，得到，即可求解，得到答案．【详解】由题意，向量，，因为向量，所以，解得.故选：A．【点睛】本题考查了向量的共线定理的坐标运算，其中解答中熟记向量的共线定理的坐标运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10. 函数的值域是（）A．B． C. D．参考答案：A由，知，解得令，则.，即为和两函数图象由交点，作出函数图象，如图所示：由图可知，当直线和半圆相切时最小，当直线过点A(4,0)时，最大.当直线和半圆相切时，，解得，由图可知.当直线过点A(4,0)时，，解得.所以，即.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知集合，，则A∩B= ．参考答案：(1,2)∵集合，，.12. 已知向量夹角为45°，且，则．参考答案：的夹角，，，，.13. 等差数列{a n}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于．参考答案：4【考点】8G：等比数列的性质．【分析】设a1，a3，a11成等比，公比为q，则可用q分别表示a3和a11，代入a11=a1+5（a3﹣a1）中进而求得q．【解答】解：设a1，a3，a11成等比，公比为q，则a3=a1?q=2q，a11=a1?q2=2q2．又{a n}是等差数列，∴a11=a1+5（a3﹣a1），∴q=4．故答案为414. =_____________参考答案：15. 已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x+﹣2）=a的实根个数构成的集合为．参考答案：{2，3，4，5，6，8}．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】画出函数f（x）=，的图象，判断x+﹣2的范围，利用a的值，判断方程解的个数，即可得到方程f（x+﹣2）=a的实根个数构成的集合．【解答】解：函数f（x）=的图象，如图：当x＞1时，x+﹣2＞0，当x=1时，x﹣2=0，当x∈（0，1）时，x+﹣2＞0，当x＜0时，x+﹣2＜0，当a＜0或a＞2时，函数y=f（x+﹣2）与y=a，由一个交点，此时方程有两个x值，满足题意．当a=0时，函数有两个交点，满足方程的解由x=0，与x＞0的两个解，此时解的集合为：3个；a=2时，方程有4个解．a∈（1，2）时，方程有8个解．a=1时，方程有6个解．a∈（0，1），方程有5个解．关于x的方程f（x+﹣2）=a的实根个数构成的集合为：{2，3，4，5，6，8}．故答案为：{2，3，4，5，6，8}．16. 已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(2)=3，则f(-1)= .参考答案：17. 已知向量与向量平行，其中=（2，5），=（﹣4，t），则t= ．参考答案：﹣10【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；对应思想；定义法；三角函数的求值．【分析】根据向量的平行的条件和向量的坐标运算即可求出．【解答】解：向量与向量平行，其中=（2，5），=（﹣4，t），∴2t=﹣4×5，∴t=﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量平行的条件，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省苏州昆山柏庐高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
江苏省苏州昆山柏庐高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知sin 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos2θ=（ ）A ．35- B ．35 C ．45- D ．452．已知,a b r r 是互相垂直的单位向量，若2c a b =-r r r ，则b c ⋅=r r（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．23．22π5πcos cos 1212-=（ ）A ．12B C D 4．已知向量m u r ，n r 不共线，向量53OA m n =-u u u r u r r ，OB xm n =+u u ur u r r ，若O ，A ，B 三点共线，则x =（ ）A ．53-B ．53C ．35-D ．355．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ的大小如图所示，则22sin 22cos 3sin θθθ=-（ ）A ．2-B ．2C ．52D ．36．已知ππ,π,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()1sin ,cos 3αββ+==cos2α=（ ）A ．13B ．13-C ．2327 D ．2327-7．已知2b a =r r ，若a r 与b r的夹角为120o ，则2a b -r r 在b r 上的投影向量为（ ）A ．3b -rB ．32b -rC ．12b -rD ．3b r8．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36o 的等腰三角形（另一种是顶角为108o 的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC V 中，BC AC =根据这些信息，可得sin126=o （ ）A B C D二、多选题9．如图所示，在边长1为的正六边形ABCDEF 中，下列说法正确的是（ ）A ．AB CD BF -=u u u r u u u r u u u rB ．0AD EB CF ++=u u u r u u u r u u u r rC ．1AD AB ⋅=u u u r u u u rD ．AB BC AB AF ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r10．已知tan 2tan αβ=，则（ ）A ．π,0,2αβ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2αβ=B ．若2sin cos 5αβ=，则()1sin 5αβ-=C ．若2sin cos 5αβ=，则()7cos 2225αβ+=-D ．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()tan αβ-11．在三角形ABC 中，点D 足AB 边上的四等分点且3AD DB =，AC 边上存在点E 满足()0EA CE λλ=>u u u r u u u r ，直线CD 和直线BE 交于点F ，若()0FC DF μμ=>u u u r u u u r，则（ ）A ．1344CD CA CB =+u u u r u u u r u u u rB ．4λμ=C ．2164λμ+的最小值为17D ．49CF EA CD CA ⋅≤⋅u u u r u u u r u u u r u u u r三、填空题12．已知向量a r ，b r满足a b -=r r 2a b a b +=-r r r r ，则b =r ．13．设函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若存在()00,πx ∈使()012f x =成立，则ω的取值范围是.14．如图，在ABC V 中，已知2,3,60,AB AC BAC M ==∠=︒是BC 的中点，23AN AC =u u u r u u u r，设AM 与BN 相交于点P ，若BP BN μ=uu r uu u r ，则μ=，BP AM ⋅=u u u r u u u u r．四、解答题15．已知()2cos 2sin f x x x x =-． (1)求函数()y f x =在R 上的单调增区间；(2)将函数()y f x =的图象向左平移()0m m >个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =的图象关于直线π3x =对称，求m 取最小值时的()y g x =的解析式． 16．已知1cos()tan 7αββ+==，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(1)求πtan 24β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值：(2)求2αβ+的值．17．如图，在一块长60AB =米，宽30AD =米的矩形荒地ABCD 的一角有一口四分之一圆形的池塘AEF，且半径AE =.某人想在荒地上用篱笆围一个矩形菜园PGCH ，且点P ，G ，H 分别在弧EF ，线段BC 和CD 上，设PAE θ∠=.(1)用θ表示矩形菜园的周长l ；(2)若篱笆的价格为12元/米，求这个矩形菜园的最低造价.18．已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),OM a b =u u u u r为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM u u u u r的伴随函数.(1)设函数()2π3πsin cos 32g x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，试求()g x 的伴随向量OM u u u u r ；(2)记向量(ON =u u u r 的伴随函数为()f x ，求当()65f x =且ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin x 的值； (3)当向量OM =⎝⎭u u u u r 时，伴随函数为()f x ，函数()()2h x f x =，求()h x 在区间π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上最大值与最小值之差的取值范围. 19．已知函数ππ()4sin cos 11212f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0ω>．(1)若()()1212min π(),2f x f x f x x x ≤≤-=，求()f x 的对称中心；(2)若24ω<<，函数()f x 图象向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，π3x =是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[,]m n （,R m n ∈且m n <）上恰好有8个零点，求n m -的最小值；(3)已知函数π()cos 22(0)6h x a x a a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，在第（2）问条件下，若对任意1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12h x g x =成立，求实数a 的取值范围．。
江苏省昆山2019-2020学年高一第二学期期中调研试卷数学试题含答案
江苏省昆山2019—2020学年高一第二学期期中调研试卷数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．直线310x y +-=的倾斜角为A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝45°，B ＝120°，a ＝6，则b ＝A ．26B ．32C ．33D ．363．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点坐标分别为O(0，0)，A(﹣4，0)，B(﹣4，2)，C(0，2)，则矩形OABC 的外接圆方程是A ．22420x y x y +-+=B ．22420x y x y ++-=C ．22840x y x y +-+=D ．22840x y x y ++-=4．古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取来一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批粮内夹谷约为A ．222石B ．224石C ．230石D ．232石5．已知直线l 1：210ax y +-=，直线l 2：820x ay a ++-=，若l 1∥l 2，则实数a 的值为A ．﹣4B ．4C ．±4D ．06．已知M(﹣2，3)，N(6，2)，点P 在x 轴上，且使得PM ＋PN 取最小值，则点P 的坐标为A ．(﹣2，0)B ．(125，0)C ．(145，0) D ．(6，0) 7．如图，某侦察飞机在恒定高度沿直线AC 匀速飞行．在A 处观测地面目标P ，测得俯角∠BAP ＝30°．经2分钟飞行后在B 处观测地面目标P ，测得俯角∠ABP ＝60°．又经过一段时间飞行后在C 处观察地面目标P ，测得俯角∠BCP ＝θ且cos θ＝41919，则该侦察飞机由B 至C 的飞行时间为A ．1.25分钟B ．1.5分钟C ．1.75分钟D ．2分钟8．已知圆C 的方程为：222(1)(2)x y r -+-=(r ＞0)，若直线210x y +-=上存在一点P ，使得在圆C 上总存在不同的两点M ，N ，使得MN 2NP =u u u u r u u u r ，则圆C 的半径r 的取值范围是A ．(0，5]B ．(0，5]C ．[5+∞)D ．[5，+∞) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为P 1，P 2，P 3，P 4，则下列结论中正确的是A ．P 1＝P 2＝P 3＝P 4B ．P 3＝2P 1C ．P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝1D ．P 4＝3P 210．在同一直角坐标系中，直线0ax y a -+=与圆222()x a y a ++=的位置可能是11．对于△ABC ，有如下判断，其中正确的是A ．若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 必为等腰三角形B ．若A ＞B ，则sinA ＞sinBC ．若a ＝5，b ＝3，B ＝60°，则符合条件的△ABC 有两个D ．若cos 2A ＋cos 2B ﹣cos 2C ＞1，则△ABC 必为钝角三角形12．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程是1x a y b a b --+=(a ＞b ＞0)，则下列结论正确的是A ．曲线C 关于(a ，b )对称B ．x 2＋y 2的最小值为2222a b a b + C ．曲线C 的周长为2(a ＋b ) D ．曲线C 围成的图形面积为2ab三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．随机抽取圆柱形零件样本5件，测量其直径依次为5.1，4.9，5.2，4.7，5.1（单位：mm ），则数据5.1，4.9，5.2，4.7，5.1的方差为 ．14．在△ABC 中，已知a ，c ＝3，∠A ＝60°，则b ＝ ．15．在平面直角坐标xOy 中，已知A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，平面内的点P 满足PA ＝PB＝PC ，则点P 的坐标为 ．16．在平面直角坐标系xOy 内，已知A(﹣1，0)，B(1，0)，若点P 满足PA PO ，则△PAB 面积的最大值为 ；若点P 还同时满足PB PO ，则点P 的横坐标等于 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在△ABC 中，已知A(1，﹣1)，B(3，2)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上．（1）求顶点C 的坐标；（2）求△ABC 的面积．18．（本小题满分10分）某校高一某班50名学生参加防疫知识竞赛，将所有成绩制作成频率分布表如下：（1）求频率分布表中a ，b ，c ，d 的值；（2）从成绩在[50，70)的学生中选出2人，请写出所有不同的选法，并求选出2人的成绩都在[60，70)中的概率．19．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c 2sin A c =．（1）求角C 的大小；（2）若c ABC 的面积为a ＋b 的值．20．（本小题满分12分）某调查机构为了了解某产品年产量x （吨）对价格y （千元/吨）和年利润z 的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表，若y ＝5.5．（1）求表格中c 的值；（2）求y 关于x 的线性回归方程$y bx a =+；（3）若每吨该产品的成本为2千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取得最大值？21．（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，AB ＝AD ＝2，BC ＝1，且sin ∠CAD ＝3sin ∠BAC ．（1）求CD 的长度；（2）求圆O 的半径．22．（本小题满分14分）已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点P 坐标为(1，0)．（1）如图1，斜率存在且过点P 的直线l 与圆交于A ，B 两点．①若OA OB 3⋅=-u u u r u u u r ，求直线l 的斜率；②若AP 2PB =u u u r u u u r ，求直线l 的斜率．（2）如图2，M ，N 为圆O 上两个动点，且满足PM PN 0⋅=u u u r u u u r ，Q 为MN 中点，求OQ的最小值．。
江苏省昆山中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
江苏省昆山中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题 1．直线π4x =的倾斜角是（ ） A ．π4B ．π2C ．0D ．不存在2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点()200020,a a 在直线20x y +-=上，则2019S =（ ） A ．2019B ．2020C ．4038D ．40403．已知在等比数列{}n a 中，2346781,64a a a a a a ==，则5a 等于 A ．2-B ．2±C ．2D ．12±4．已知数列{an }是等差数列，若a 9+3a 11＜0，a 10•a 11＜0，且数列{an }的前n 项和Sn 有最大值，那么当Sn 取得最小正值时，n ＝（ ） A ．20B ．17C ．19D ．21 5．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且12n n S a +=+，则122334910a a aa aa aa -+++=L （ ）A ．21825+B ．21825-+C ．21823-D ．21823+6．已知数列{an }的通项公式为an ＝32nn k+，若数列{an }为递减数列，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(3，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)7．已知2,21,,n n nn a n a n b a n ⎧=-=⎨-⎩为偶数为奇数若数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2n S =（ ） A ．23n n +B ．2434n n -+C ．232n n +D ．223n n +8．已知1()()12F x f x =+-是R 上的奇函数，数列{}n a 满足()()()1101n n a f f f f n n n *-⎛⎫⎛⎫=++++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．1n a n =-B ．n a n =C ．1n a n =+D ．2n a n =二、多选题9．下列四个结论，其中正确的有（ ） A ．方程y x =与方程1yx=表示同一条直线 B ．直线()12y k x -=-恒过定点()2,1 C ．直线30x y +-=的倾斜角为135︒D ．过点()1,2，且在两坐标轴上截距相等的直线仅有一条 10．已知数列{}n a 满足11a =，14n n a a n ++=，则（ ）A ．20234045a =B ．n S 是{}n a 的前n 项和，则10020000S =C ．当n 为偶数时21n a n =+D ．{}n a 的通项公式是21n a n =-11．如图，已知点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，()*n F n ∈N 为边BC 上的一列点，连接n AF 交BD 于n G ，点()*n G n ∈N 满足()1223n n n n n G D a G A a G E +=⋅-+⋅u u u u r u u u u r u u u u r ，其中数列 a n 是首项为1的正项数列，n S 是数列 a n 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．39a =B ．数列{}3n a +是等差数列C ．123n n a +=-D ．2234n n S n +=--三、填空题12．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若752S S =，则75aa =. 13．已知函数()2log f x x =，给出三个条件：①()2nn f a =；②()1n f a n =-；③()11n f a n =+.从中选出一个能使数列{}n a 成等比数列的条件，在这个条件下，数列{}n a 的前n 项和n S =. 14．已知数列{}n a 满足12121222323n n n n n a a a a n ---++++=⋅--L，若n c数列{}n c 的前n 项和n T =．四、解答题15．已知ABC V 顶点()1,2A 、()3,1B --、()3,3C -． (1)求边BC 的垂直平分线1l 的方程；(2)若直线2l 过点A ，且2l 的纵截距是横截距的2倍，求直线2l 的方程． 16．在前n 项和为n S 的等比数列{}n a 中，12a =，3232S a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记22log 1n n b a =-，将数列{}n a 和数列{}n b 的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列{}n c ，求数列{}n c 的前50项的和.17．2021年12月8日~11日，备受瞩目的2021年中国国际轨道交通和装备制造产业博览会（轨博会）在湖南株洲成功举行.假设2021年株洲轨道产业的年利润为2百亿元，预计从2022年开始，轨道产业每年的年利润将在前一年翻一番的基础上减少1百亿元；设从2021年开始，每年株洲轨道产业的年利润（单位：百亿元）依次为123a a a L 、、、． (1)请用一个递推关系式表示1n a +与n a 之间的关系； (2)求 a n 的通项公式；(3)预计哪一年株洲轨道产业的年利润将首次突破千亿元大关．18．已知数列{bn }的前n 项和232n n n T -=，n ∈N *．（1）求数列{bn }的通项公式； （2）记12n n n C b b +=⋅，求数列{c n }的前n 项和Sn ； （3）在（2）的条件下，记()312n n n S d +⋅=，若对任意正整数n ，不等式1211124n mn d n d n d ++++++L ＞恒成立，求整数m 的最大值． 19．在数列{}n a 中，按照下面方式构成“次生数列”{}{}{}112123123:,min ,,min ,,n b b a b a a b a a a ===，…，{}()12min ,,,2n n b a a a n =≥L ，其中{}()12min ,,,2i a a a i n ≤≤L 表示数列12,,,i a a a L 中最小的项. (1)若数列{}n a 中各项均不相等，只有4项，21a =，且{}()1,2,3,41,2,3,4n a n ∈=，请写出{}n a 的所有“次生数列”{}n b ；(2)若{}n a 满足142,64a a =-=，且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，{}n a 的“次生数列”为{}n b .（i ）求310b b +的值； （ii ）求{}n b 的前n 项和n S .。
昆山高中复课考试题及答案
昆山高中复课考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 下列关于昆山市的描述，哪项是不正确的？A. 昆山市位于江苏省东南部B. 昆山市是苏州市下辖的县级市C. 昆山市是中国历史文化名城D. 昆山市是中国最大的工业城市答案：D2. 昆山市的著名景点周庄古镇，被誉为“中国第一水乡”，其主要特色是什么？A. 古建筑群B. 江南水乡风光C. 佛教文化D. 道教文化答案：B3. 昆山市的经济发展迅速，主要得益于以下哪个因素？A. 地理位置优越B. 丰富的自然资源C. 历史文化积淀D. 人口众多答案：A4. 昆山市的教育事业发达，以下哪所学校是昆山市的重点高中？A. 昆山市第一中学B. 昆山市第二中学C. 昆山市第三中学D. 昆山市第四中学答案：A5. 昆山市的科技创新能力较强，以下哪个企业是昆山市的高新技术企业？A. 昆山市电子有限公司B. 昆山市机械有限公司C. 昆山市化工有限公司D. 昆山市生物医药有限公司答案：D6. 昆山市的交通网络发达，以下哪个交通方式是昆山市的主要交通方式？A. 公路B. 铁路C. 水路D. 航空答案：A7. 昆山市的环境保护工作成效显著，以下哪个项目是昆山市的环保项目？A. 昆山市绿化工程B. 昆山市清洁能源项目C. 昆山市水资源保护项目D. 昆山市大气污染防治项目答案：C8. 昆山市的文化产业繁荣，以下哪个文化活动是昆山市的特色文化活动？A. 昆山市戏剧节B. 昆山市音乐节C. 昆山市电影节D. 昆山市书画展答案：A9. 昆山市的体育事业蓬勃发展，以下哪个体育赛事是昆山市的品牌赛事？A. 昆山市篮球赛B. 昆山市足球赛C. 昆山市乒乓球赛D. 昆山市马拉松赛答案：D10. 昆山市的对外交流与合作日益频繁，以下哪个国家是昆山市的主要合作伙伴？A. 美国B. 日本C. 德国D. 韩国答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 昆山市的总面积为______平方公里。
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省昆中2006-2007学年第一学期统一测试（二）高一数学一、选择题（每小题有且只有一个答案正确，每小题5分，共60分）1．下列结果是AB 的是 （ ）A.AM －MN +MBB.AC －BF +CFC.AD －DC +CBD.AB －FC +BC2．已知MP 、OM 、AT 分别为θ（42ππθ<<）的正弦线、余弦线、正切线，则一定有（ ）A ．MP OM AT <<B ．OM MP AT <<C ．AT OM MP <<D ．OM AT MP <<3. 已知0a <,角α的终边经过点P(-3a ,4a ),那么αα2cos sin +的值等于 ( )A.52 B.-52 C.51 D.-51 4．设集合,{|0},A B x x ==>R 则从集合A 到集合B 的映射f 只可能是 （ ） A ．||x y x =→ B ．x y x 2=→ C ．x y x 2log =→ D ．22x y x x →=- 5．设△ABC 的重心为M ，BC 、CA 、AB 的中点是D 、E 、F ，则MA +MB －MC 等于 （ ）A. 4MFB. 3MEC. －4MDD. 06. 同时具有性质“⑴ 最小正周期是π；⑵ 图象关于直线3x π=对称；⑶ 在[,]63ππ-上是增函数”的一个函数是 ( ) A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x y C ．)62cos(π-=x y D ．)62sin(π-=x y7．已知θ为第二象限角，则下列四个值中，一定大于０的是 （ ）A ． sin 2θB ．cos 2θC ．tan2θ D ．sin 2θ8．函数xy a =≠-b(a>0且a 1)的图像不经过第一象限，则 （ ） A ．11><-a b 且 B ．11<<-a b 且 C ．11<≥a b 且 D ．11<≤a b 且 9．实数x 满足θsin 1log 3+=x ，则|)9||1(|log 2-+-x x 的值为 （ ）A ．22B ．3C ．4D ．与θ有关我是昆中人，我光荣、我自豪，我珍惜我的荣誉。
我将以诚实守信的态度完成本次考试。
我以我的人格和名誉保证：决不作弊。
10.要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的A ．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动4π个单位长度 ( ) B ．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动8π个单位长度C ．横坐标缩短到原来的21倍，再向右平行移动4π个单位长度D ．横坐标缩短到原来的21倍, 再向左平行移动8π个单位长度11．已知函数()sin ,()tan()2x f x g x x ππ+==-，则 （ ）A ．()f x 与()g x 都是奇函数B ．()f x 与()g x 都是偶函数C ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数D ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数 12．函数x x y cos -=的部分图象是 ( )A. B. C. D.二、填空题：（每小题5分，共20分） 13．函数3tanx 1-=y 的定义域为________________.14．电流强度I （安培）随时间t （秒）变化的函数I = A sin （ωt+ϕ）)0,0(>>A ω的图象如图所示，则当t = 1207（秒）时的电流强度为_______.15.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则=____________ 16. 在函数①y ＝｜tanx ｜，②y ＝｜sin(x ＋2π)｜，③y ＝｜sin2x ｜，④y ＝sin(2x －2π)四个函数中，既是以π为周期的偶函数，又是区间(0，2π)上的增函数的为：___________（写出序号）xyOxy Oxy OxyOI t10 -10O 30013004abOB AQP三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．共70分） 17. 已知tan 3x =，求下列各式的值。
（1）2sin cos x x （2）2212sin cos cos sin x xx x--18. 已知α为第三象限角，且)(sin tan 1)2(tan )2(cos )(sin )(f απαπααπαπα++---=(1)化简f(α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值；(3)若α＝－1860°，求f(α)的值．19.设点P 、Q 分别是线段AB 的三等分点，若OA a = ，OB b =。
(1)试用,a b 表示向量BA ,,OP OQ；(2)如果点1231,,,,n A A A A -⋅⋅⋅是AB 的n （3n ≥）等分点，试用,a b表示:121n OA OA OA -++⋅⋅⋅+ 。
(注:123+++ (1)(1)2n n n -+-=)20．已知某海滨浴场海浪的高度y 米是时间t （240≤≤t ，单位：小时）的函数，记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据： t(时)3 6 9 12 15 18 21 24 y （米） 1.51.00.51.01.510.50.991.5经过长期观测y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acos ωt+b (1)根据以上数据求函数y 的最小正周期T ，振幅A 及解析式(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？21、已知函数2()cos sin 1f x x x a =++-， (1)若()0f x =有实数解，求a 的取值范围； (2)若171()4f x ≤≤对一切x R ∈恒成立，求a 的取值范围。
22．已知函数1()log 1a mxf x x -=-)1m ,1a (≠>是奇函数. (1)求实数m 的值；(2)判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明；(3)当(,2)x n a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值一、选择题1、B2、B3、A4、B5、A6、D7、C8、C9、B 10、A 11、D 12、D 二、填空题 13、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠+≠Z k ,3k x 2k x x ππππ且 14、0 15、257-16、①④三、解答题17、（1）2222sin cos 2tan 2332sin cos sin cos 1tan 195x x x x x x x x ⨯====+++。
（2）原式222222sin cos 2sin cos 1tan 2tan 1cos sin 1tan 2x x x x x x x x x +-+-===---。
18、 (1)f(α)＝－cos α．(2) f(α)＝265．(3) f(α)＝－12．19、（1）1122,(),()3333AB b a AP AB b a AQ AB b a =-==-==-，112()333OP OA AP a b a b a =+=+-=+ ，212()333OQ OA AQ a b a a b =+=+-=+（2）111()AA AB b a n n ==- ，222()AA AB b a n n ==- ，……，11()n n AA b a n--=-11()OA a b a n ∴=+- ，22()OA a b a n =+- ，……，11()n n OA a b a n--=+- ，121123(1)(1)()(1)(1)2(1)()(1)()21211122221()2n n OA OA OA n a b a nn n n n a b a n a b a n n n n n n b a b a n a b -+++⋅⋅⋅+-∴++⋅⋅⋅+=-+---=-+-=-+------=+=+-=+20.解：⑴由题可知12T =。
1.50.5A b A b +=-+= 0.5,1A b ∴==又212,6T ππωω==∴=。
则解析式是1cos 126y t π=+⑵由1cos 1126t π+>可得cos 06t π>， 22262k t k πππππ∴-<<+即有123123,()k t k k Z -<<+∈，又024,1t t ≤≤∴= 从而共有6小时可供冲浪者进行运动。
21、解：（1）22()0cos sin 1sin sin f x a x x x x =⇒=--+=-，2sin ,[1,1],,[1,1]x t t a t t t =∈-∴=-∈-令max min 112,,244a a a ==-∴-≤≤。
（2）2()1cos sin 11f x x x a ≥++-≥恒成立，即，221sin sin 1sin sin 1a x x x x ∴≥--+=-+，2sin sin 13,3y x x a =-+∴≥的最大值为。
21717()cos sin 144f x x x a ≤++-≤恒成立，即， 2217171cos sin sin sin 44a x x x x ≤--+=-+即，217sin sin 4,44y x x a =-+∴≤的最小值为。
34a ∴≤≤综上，。
22．解：（1）由已知条件得()()0f x f x -+=对定义域中的x 均成立.∴11log log 011aa mx mxx x +-+=--- 即11111mx mxx x +-⋅=--- ∴22211m x x -=-对定义域中的x 均成立. ∴21m =即1m =（舍去）或1m =-. （2）由（1）得1()log 1axf x x +=-设11221111x x t x x x +-+===+---， ∴当121x x >>时，211212122()2211(1)(1)x x t t x x x x --=-=---- ∴12t t <.当1a >时，12log log a a t t <，即12()()f x f x <.∴当1a >时，()f x 在(1,)+∞上是减函数.（3） 函数()f x 的定义域为(1,)(,1)+∞⋃-∞-，∴①21n a <-≤-，∴01a <<.与题设不符。