广东省广州市越秀区11-12学年高一数学上学期期末考试试题新人教A版
广东高一上学期期末数学试题(解析版)
数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（）{}1,2,3,4,5,6U ={}1,2,3A ={}3,4,5B =()UA B ⋂=ðA. B. C.D.{}4,5,6{}4,6{}6{}4,5【答案】D 【解析】【分析】直接根据补集和交集的概念可得答案.【详解】由已知，又，{}4,5,6=U A ð{}3,4,5B =.(){}U 4,5B A ∴= ð故选：D.2. 命题“，”的否定是（ ）ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-A. ，B. ，2ππ,2x ⎛⎫∀∉- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x -≤C. ，D. ，ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x <-【答案】C 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题可得答案. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题得命题“，”的否定是“，”. ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤故选：C.3. 已知函数的最小正周期为2π，则下列说法错误的是（ ） ()()2sin 0f x x ωω=>A.1ω=B. 函数是奇函数()f x C. 当时，函数在上是减函数，在上是增函数 []0,2x π∈()f x []0,π[],2ππD. 当时，在上是增函数，在，上是减函数[],x ππ∈-()f x ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】CD 【解析】【分析】由周期公式判断A ；根据定义判断B ；根据正弦函数的单调性判断CD. 【详解】因为函数的最小正周期为2π，所以，故A 正确；()()2sin 0f x x ωω=>2π2π,1ωω==，定义域为，，即函数是奇函数，故B()2sin f x x =R ()()()2sin 2sin f x x x f x -=-=-=-()f x 正确；当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递增，在[]0,2x π∈()2sin f x x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误； 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递减，在[],x ππ∈-()2sin f x x =,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 错误； ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：CD4. 已知a ，b 是实数，且，则“”是“”的（ ） 0a b +≠0a b +>a b +≥A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行求解即可【详解】因为满足，但不满足，故充分性不满足； 2,1a b ==-0a b +>a b +≥因为等价于，所以，a b +≥20≥0,0a b ≥≥因为，所以不同时为0， 0a b +≠,a b 所以能得到，故必要性满足，0a b +>所以“”是“”的必要不充分条件 0a b +>a b +≥故选：B 5. 已知，，，则的大小关系为（ ） 12a=2log b =5log 3c =,,a b c A. B. c<a<b a c b <<C. D.c b a <<a b c <<【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数的单调性来比较大小即可. 【详解】函数在上单调递增，log (1)a y x a =>()0,∞+，221log log 2b a =>==，55log 31log 2a c ==>=，2453311log log 3log 3log 4log 5b c ===>==.a cb ∴<<故选：B.6. 已知是第二象限的角，，则的值是（ ） α23sin sin cos 2ααα-=cos αA. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先将条件等式变形为分子分母为关于的二次齐次式，然后同除即可得关于sin ,cos αα2cos α的方程，求出，进而可得，则可求.tan αtan ααcos α【详解】是第二象限的角，αQtan 0,cos 0αα∴<≠， 2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 2sin cos tan 1ααααααααααα--∴-===++解得，tan 1α=-， 3π2π,Z 4k k α∴=+∈. cos α∴=故选：A.7. 下列函数中，最小值为2的是（ ） A. ()1f x x x=+B. ()()2212sin π,Z 2sin f x x x k k x=+≠∈C.()e e xxf x -=+D. ()()111f x x x x =+>-【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式以及等号的成立条件逐一判断即可. 【详解】对于A ：当时，，A 错误； =1x -()12f -=-对于B ：， ()2212sin 22sin f x x x =+≥=当且仅当，即时等号成立，故等号不能成立，，B 错误； 2212sin 2sin x x=2sin 2x =()2f x ∴>对于C ：，当且仅当，即时等号成立，C 正确； ()2e e x x f x -+=≥=e e =x x -0x =对于D ：当时，，当且仅当1x >()11111311f x x x x x =+=-++≥+=--111x x -=-，即时等号成立，D 错误； 2x =故选：C.8. 已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，()f x R ()1f x +()10-,1x ，且，都有成立，，则不等式的解集()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-()11f =()0f x x ->为（ ）A. B.()(),11,-∞-⋃+∞()1,1-C. D.()(),10,1-∞-⋃()()1,01,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由()1f x +()10-,()f x R 可得，故可得在上单调递增，然后分()()2112120x f x x f x x x ->-()()1212120f x f x x x x x ->-()()f xg x x=()0,+∞，和三种情况进行求范围即可0x =0x >0x <【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是()1f x +()f x ()1f x +()10-,，所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， ()f x ()0,0()f x R ()()111f f -=-=-对任意的，，且，都有成立，1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-所以， ()()()()()12211212121212f x f x x f x x f x x x x x x x x x --=>--令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， ()()f xg x x=()g x ()0,+∞由是上的奇函数可得是上的偶函数 ()f x R ()g x ()(),00,∞-+∞U 所以在上单调递减，()g x (),0∞-当时，不等式得到，矛盾； 0x =()0f x x ->000->当时，转化成即，所以； 0x >()0f x x ->()()111f x f x >=()()1g x g >1x >当时，转化成，，所以， 0x <()0f x x ->()()111f x f x -<=-()()1g x g <-10x -<<综上所述，不等式的解集为 ()0f x x ->()()1,01,-⋃+∞故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（ ） ()0,∞+A. B. cos y x =2y x =-C .D. y x =21y x =【答案】BD 【解析】【分析】直接根据函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A ：是偶函数，但在上不是单调函数，A 不符； cos y x =()0,∞+对于B ：是偶函数，且在上单调递减，B 符合； 2y x =-()0,∞+对于C ：是偶函数，且在上单调递增，C 不符； y x =()0,∞+对于D ：是偶函数，且在上单调递减，D 符合. 221y x x-==()0,∞+故选：BD.10. 设实数a ，b 满足，则下列不等式中正确的是（ ）01b a <<<A.B.11a b a b+>+1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D.ln ln a b >b b a b <【答案】BC 【解析】【分析】选项A ：做差判断；选项BCD ：构造函数，利用函数单调性判断.【详解】对于A ：，，，()()111b a ab a b a b ab --⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭01b a <<< 0,10,0b a ab ab ∴-<->>，即，A 错误； 110a b a b ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭11a b a b +<+对于B ：函数在上的单调递减，又，，B 正确；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R b a <1122a b⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ：函数在上的单调递增，又，，C 正确； ln y x =()0,∞+b a <ln ln a b \>对于D ：函数在上的单调递增，又，，D 错误； ,0b y x b =>()0,∞+b a <b b a b ∴>故选：BC.11. 给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ） A. 如果θ是第一或第四象限角，那么 cos 0θ>B. 如果，那么θ是第一或第四象限角 cos 0θ>C. 终边在x 轴上的角的集合为{}2,Z k k ααπ=∈D. 已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，利用三角函数的定义即可判断；对于B ，举反例即可；对于C ，直接写出对应角的集合；对于D ，利用扇形的面积和弧长公式即可【详解】对于A ，若θ是第一或第四象限角，根据三角函数的定义可得，故正确； cos 0θ>对于B ，若，则，但此时θ不是第一或第四象限角，故错误； 0θ=cos 10θ=>对于C ，终边在x 轴上的角的集合为，故错误； {},Z k k ααπ=∈对于D ，设扇形的圆心角的弧度数为，半径为，βr 则，解得，故正确 224112r r r ββ+=⎧⎪⎨=⎪⎩21r β=⎧⎨=⎩故选：AD12. 已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩A.1a =B.1a =-C. 函数是偶函数 ()1y f x =+D. 关于x 的不等式的解集为 ()12f x >()0,2【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数图象可得函数图象的对称轴，进而求得参数a 的值，判断A ，B ；根据图象的平移结合偶函数的性质可判断C ；分段解不等式可得不等式的解集，判断D. ()12f x >【详解】由函数图像可知为函数的对称轴，即函数满足， 1x =()f x ()2()f x f x -=则当时，则，故，则， 1x >21x -<2,222x a a x x a a x ---∴--=-=1a =同理当时，则，故，则， 1x <21x ->2,222a x x a a x x a -+--+=∴=-1a =综合可知，A 正确；B 错误.1a =将的图象向左平移1个单位，即得函数的图象，()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩()1,R y f x x =+∈则的图象关于y 轴对称，故为偶函数，C 正确；()1y f x =+()1y f x =+当时，，令，解得，故； 1x ≥1()2x f x -=1212x->2x <12x ≤<当时，，令，解得，故，1x <1()2x f x -=1122x ->0x >01x <<综合可得，即不等式的解集为，D 正确，02x <<()12f x >()0,2故选：ACD【点睛】方法点睛：解答本题，要注意数形结合的思想方法，同时要结合函数图像的特征，利用相应的定义去判断解答，即可求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数_____________． ()()2log 2f x x =-+【答案】 [)3,2-【解析】【分析】直接根据对数的真数大于零及被开方数不小于零列不等式求解. 【详解】由已知得，解得， 22090x x ->⎧⎨-≥⎩32x -≤<即函数. ()()2log 2f x x =-+[)3,2-故答案为：. [)3,2-14. 已知，，则_____________． 12sin cos 25αα=-π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos αα-=【答案】## 751.4【解析】【分析】先通过角的范围确定的符号，然后通过计算可得答案. sin cos αα-()2sin cos αα-【详解】， π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，即，sin 0,cos 0αα∴><sin cos 0αα->又， ()21249sin cos 12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⨯-=⎪⎝⎭. 7sin cos 5αα∴-=故答案为：. 7515. 已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是()y f x =R 0x ≥()f x =0x <()f x _____________．【答案】()f x =【解析】【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案.【详解】函数在上为奇函数，且当时，()y f x =R 0x ≥()f x =当时，，0x <0x ->，()()f x f x ∴=--=故答案为：.()f x =16. 对于函数和，设，，若存在使得，则()f x ()g x (){}0x f x α∈=(){}0x g x β∈=,,αβ1αβ-≤称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与()f x ()g x ()()ln 23f x x x =-+-互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为_____________．()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +【答案】1,3⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】首先求出函数的零点，从而得，结合新定义可得，则，从而可知()f x 3α=31β-≤24β≤≤方程在区间上存在实数根，通过分离参数并化简整理得()()22log 1x a -+⋅2log 3x +[]2,4，结合函数的单调性求出值域，从而确定实数的取值范围.2231log log a x x+=+a 【详解】函数是上的单调递增函数，且，据此可知， ()()ln 23f x x x =-+-()2,+∞()30f =3α=结合“零点相邻函数”的定义可得，则，31β-≤24β≤≤据此可知函数在区间上存在零点，()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +[]2,4即方程在区间上存在实数根，()()22log 1x a -+⋅2log 30x +=[]2,4整理可得：， ()22222log 331log log log x a x xx++==+令，则， 2log ,12t x x =≤≤31a t t +=+根据对勾函数的性质，函数在区间上单调递减，在上单调递增，又()3h t t t=+⎡⎣2⎤⎦()14,h h ==(2)h =则314a t t ⎡⎤+=+∈⎣⎦据此可知实数的取值范围是. a 1,3⎡⎤-⎣⎦故答案为：1,3⎡⎤-⎣⎦【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 计算： （1）；()110520.01321π---++（2）．3log 22log 8lg 2lg 53++-【答案】（1）5（2）2【解析】 【分析】（1）直接计算指数幂即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【小问1详解】；()110520.01321102125π---+=---=【小问2详解】 ．()3log 22log 8lg 2lg 53lg 25223=+++-⨯-=18. 已知集合，． {}20log 3A xx =≤≤∣{}08B x x =<<（1）求：A B ⋃（2）若集合，且，求实数a 的取值范围{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆【答案】（1）{}08x x <≤（2）11a -≤≤【解析】【分析】（1）先求出集合A 中元素范围，然后直接求即可；A B ⋃（2.【小问1详解】 ，又，{}{}20log 318A x x x x =≤≤=≤≤ ∣∣{}08B x x =<<；{}08A B x x ∴⋃=<≤【小问2详解】，，，{}18A x x =≤≤ ∣{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆， 198a a ≤⎧∴⎨+≥⎩解得.11a -≤≤19. 如图，在平面直角坐标系中，角和角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点αβαA ，将射线OA 绕坐标原点沿顺时针方向旋转后，所得射线与单位圆交于点B ，且射线OB 是角的终π2β边．（1）求的值； ()()sin cos 23πco πs πsin 2αββα⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）若点A ，求的值． ()tan πβ-【答案】（1）1（2） 12【解析】【分析】（1）利用的关系及诱导公式计算即可；,αβ（2）先通过三角函数的定义得，然后利用的关系及诱导公式计算即可.sin ,cos αα,αβ【小问1详解】由已知， π2π,Z 2k k αβ=++∈； ()()()sin cos sin sin sin sin cos sin 213πcos cos cos sin cos πsi π2ππ2n cos c 22os π2πk k αββαβββαββαβββββ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭∴⎛⎫++==⎭-=-=--+ ⎪⎝⎛-⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎪⎫+ ⎝⎭【小问2详解】若点A ，则sin αα===. ()2sin t π2πcos 12πsin cos 2πan πt 2an k k βαβααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝-=-=-⎭20. 某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q （单位：元/10kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如下表：时间t7 9 10 11 13 种植成本Q 19 11 10 11 19为了描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：①，()Q t a t b =⋅+②，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+③， ()tQ t a b =⋅④．()log b Q t a t =⋅（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；（2）在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m 的最()Q t []0,m 大值．【答案】（1）选择，理由见解析，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+()220110Q t t t =-+（2）20【解析】【分析】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，故选择满足题意的二次函数，然后利用待()Q t 定系数法即可求解；（2）通过二次函数的性质即可求出实数m 的最大值【小问1详解】由表中数据可知，先单调递减后单调递增，()Q t 因为，，都是单调函数，所以不符合题意， ()Q t a t b =⋅+()tQ t a b =⋅()log b Q t a t =⋅因为可先单调递减后单调递增，故符合题意，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+由表格数据可得，解得，2221977101010111111a b c a b c a b c ⎧=⨯+⨯+⎪=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩120110a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，经检验其他几组数据也满足表达式 ()220110Q t t t =-+【小问2详解】由（1）知，故其对称轴为，且开口向上， ()()21010Q t t =-+10t =，所以()()()()22001010110,20201010110,Q Q =-+==-+=()()21010101010Q =-+=，1020m ≤≤所以实数m 的最大值为2021. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<时，列表并填入了部分数据，如下表： x π6- π3x ωϕ+0 π2 π 3π2 2π()f x 1 －1（1）求函数的解析式；()f x （2）当时，求函数的最大值及相应的x 值； ,4π11π12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x （3）求关于x 的不等式的解集．()2f x >【答案】（1） ()2sin 21f x x ⎛=++ ⎝（2）最大值3，或 11π12x =-π12x =（3） πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据表中数据列方程组求解即可；（2）通过的范围求出的范围，然后利用正弦函数的性质求最值； x π23x +（3）利用正弦函数的图像和性质来解不等式即可.【小问1详解】由表可得，解得，π06ππ3sin 013πsin 12A B A B ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎪+=-⎪⎩2π321A B ωϕ=⎧⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪=⎪⎩； ()π2sin 213f x x ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭【小问2详解】当时，， 11π124πx -≤≤5ππ2π2336x -≤+≤ π1sin 213x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭当或，即或时，函数取最大值3； ∴π3π232x +=-ππ232x +=11π12x =-π12x =()f x 【小问3详解】关于x 的不等式，即， ()2f x >π2sin 2123x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭， π1sin 232x ⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭， ππ5π2π22π,Z 636k x k k ∴+≤+≤+∈， ππππ,Z 124k x k k ∴-+≤≤+∈关于x 的不等式的解集为. ∴()2f x >πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦22. 已知函数（a 为常数，）．()22x x f x a -=⋅-R a ∈（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；()f x （2）当为偶函数时，若对任意的，不等式恒成立，求实数m ()f x [)2,0x ∈-()()220f x mf x --≥的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2） 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出和时的具体值，即可判断奇偶；()()=f x f x -()()f x f x -=-a （2）由（1）可得，题意可转化成对恒成立，设()22x x f x -=--22x x m -≥+[2,0)x ∈-12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，，利用单调性的定义判断在上为减函数，即可求解 ()1t t t ϕ=+()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【小问1详解】函数的定义域为，，()22x x f x a -=⋅-R ()22x x f x a --=⋅-当时，即，解得，()()=f x f x -2222x x x x a a --⋅-=⋅-()(1)220x x a -+-=1a =-所以时，函数是偶函数，1a =-()f x 当时，即，解得，()()f x f x -=-()2222x x x x a a --⋅-=-⋅-()(1)220x x a --+=1a =所以时，函数是奇函数，1a =()f x 综上所述，当时，函数是奇函数；1a =()f x 当时，函数是偶函数；1a =-()f x 当时，函数是非奇非偶函数1a ≠±()f x 【小问2详解】为偶函数，根据（1）可知()f x 1,()22.x x a f x -=-=--对于任意的，都有成立，故即[2,0)x ∈-(2)()20f x mf x --≥()22222220x x x x m --------≥， ()()22222x x x x m --+≤+因为，所以对恒成立，220x x -+>22x x m -≥+[2,0)x ∈-设，， 12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭()1t t t ϕ=+任取，且，即， 121,,14t t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭12t t <12114t t ≤<<则 ， ()()()12121212121111t t t t t t t t t t ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121t t t t t t t t t t t t ---=-+=因为，所以，可得，即 12114t t ≤<<12120,1t t t t -<<()()120t t ϕϕ->()()12t t ϕϕ>所以在上为减函数，，故 ()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭max 117()44t ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭174m ≥所以实数m 的取值范围是 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：①存在解；恒成立；()()f x g a <min ()()f x g a ⇔<()()f x g a <max ()()f x g a ⇔<②存在解；恒成立；()()f x g a ≤min ()()f x g a ⇔≤()()f x g a ≤max ()()f x g a ⇔≤③存在解；恒成立；()()f x g a >max ()()f x g a ⇔>()()f x g a >min ()()f x g a ⇔>④存在解；恒成立()()f x g a ≥max ()()f x g a ⇔≥()()f x g a ≥min ()()f x g a ⇔≥。
人教A版新教材高一上学期数学期末试卷(含答案解析)
化简得 ，解得 ；
当 时，不等式 ，即 ，
化简得 ，解得 ，
综上所述， ，故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】原式=
．
14．【答案】
【解析】当 ，即 ，解得 ．
15．【答案】
【解析】设 ，
则由题意知：函数 的一个零点在 内，另一个零点在 内，
（2） 的定义域为 ，
且 ，
所以 是奇函数．
（3）又 ，即 ，
有 ．
当 时，上述不等式 ，解得 ．
19．【答案】（1） ；（2） 时， ； 时， ．
【解析】（1）
，
所以 的最小正周期为 ．
（2）∵ ，∴ ，
当 ，即 时， ，
当 ， 时， ．
20．【答案】（1） ， ；（2） ；（3） ．
【解析】（1） ， ．
【解析】根据题意，当 时， ， ，
则 ，
又 或 ，则 ．
（2）根据题意，若 ，则 ，
分2种情况讨论：
①当 时，有 ，解可得 ；
②当 时，
若有 ，必有 ，解可得 ，
综上可得： 的取值范围是 ．
18．【答案】（1） ；（2）奇函数，证明见解析；（3） ．
【解析】 ，若要式子有意义，
则 ，即 ，所以定义域为 ．
19．（12分）已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值，并分别写出相应的 的值．
20．（12分）已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， ．
（1）求 及 的值；
（2）求函数 在 上的解析式；
（3）若关于 的方程 有四个不同的实数解，求实数 的取值范围．
2020-2021学年广东省广州市高一(上)期末数学试卷人教新课标A版
2020-2021学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若扇形的弧长为2cm ，半径为1cm ，则其圆心角的大小为（ ） A.2π B.4π C.2 D.42. 设集合A ={x ∈N|−2≤x ≤4}，B ={x|y =ln (x 2−3x)}，则集合A ∩B 中元素的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.43. 已知向量a →=(sin θ,−2)，b →=(1,cos θ)，且a →⊥b →，则sin 2θ+cos 2θ的值为( ) A.1 B.2C.12D.34. 周期为π的函数y =cos (ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π)的部分图象如图所示，则φ=（ ）A.−π3B.2π3C.π6D.5π65. 已知函数y =f(x)在[−1, 1]上单调递减，且函数f(x)的图象关于直线x =1对称，设a =f(−12)，b =f(2)，c =f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a <b <c B.c <b <aC.b <c <aD.b <a <c6. 研究表明，当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．若某一死亡生物组织内的碳14经过n(n ∈N)个“半衰期”后用一般的放射性探测器测不到碳14了，则n 的最小值是（ ） A.9 B.10 C.11 D.127. 已知向量a →=(m −3,n ) ，b →=(2,−1)（其中m >0,n >0） ，若a →与b →共线，则4m+12n的最小值为（ ）A.94B.3C.4615D.98. 已知函数f(x)=2sin (ωx −π6)(ω>12，x ∈R ），若f (x )的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（ ）A.(12,23)∪[89,76] B.(12,1724]∪[1718,2924] C.[59,23]∪[89,1112]D.[1118,1724]∪[1718,2324]二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全的得3分．）若0<a <1，则（ ）A.log a (1−a)<log a (1+a)B.log a (1+a)<0C.(1−a)13<(1−a)12D.a 1−a <1将函数f(x)=2sin x 的图象向左平移π6个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)的图象，下列四个结论中不正确的是（ ） A.函数g(x)在区间[0,2π3]增函数B.将函数g(x)的图象向右平移2π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称C.点(−π6，0)是函数g(x)图象的一个对称中心 D.函数g(x)在[π, 2π]上的最大值为1设a →，b →是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A.若|a →+b →|=|a →|−|b →|，则存在实数λ使得a →=λb →B.若a →⊥b →，则|a →+b →|=|a →|−|b →| C.若|a →+b →|=|a →|+|b →|，则a →=b →D.若a →与b →的方向相反，则|a →+b →|=|a →|−|b →|已知函数f(x)=x|x|，则下列命题中正确的是（ ） A.函数f(sin x)是奇函数，且在(−12，12)上是减函数 B.函数sin （f(x)）是奇函数，且在(−12，12)上是增函数 C.函数f(cos x)是偶函数，且在(0, 1)上是减函数 D.函数cos （f(x)）是偶函数，且在(−1, 0)上是增函数 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）已知向量a →=(1,√3)，b →=(−1,0)，则|a →+3b →|=________.若函数f(x)=cos (ωx)cos (π2−ωx)(ω>0)的最小正周期为π2，则ω的值为________．已知命题p ：(x −m)2<9，命题q:log 4(x +3)<1，若p 是q 的必要不充分条件．则实数m 的取值范围是________．设函数f (x )={|ln x|,0<x <2，f (4−x ),2<x <4，方程f(x)=m 有四个不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 12+x 22+x 32+x 42的取值范围为________．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题分别12分，共70分，解答应写出必买的文字说明、证明过程或演算步骤．） 解答.(1)计算：(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92)； (2)求cos 17π6+sin (−16π3)−tan (−4π3)的值．已知函数已知函数f (x )=sin ωx +√3cos ωx (ω>0) f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2 (1)求ω的值；(2)若f (α)=23，求sin (5π6−4α)的值．已知向量a →=(cos x, sin x)，b →=(sin x, sin x),x ∈[0,π4].(1)若x =π6，向量c →=(−1,1)，求c →在a →上投影；(2)若函数f (x )=λ(a →⋅b →−12)的最大值为12，求实数λ的值．已知函数f(x)=m ⋅2x +2⋅3x ，m ∈R ．(1)当m =−9时，求满足f(x +1)>f(x)的实数x 的范围；(2)若f(x)≤(92)x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围．已知二次函数f(x)=x2−16x+q+3.(1)若函数在区间[−1, 1]上存在零点，求实数q的取值范围；(2)问：是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．已知函数f(x)=ln(√1+x2+x).(1)证明f(x)为奇函数；(2)判断y=f(x)的单调性并写出证明过程；(3)当a≥1时，关于x的方程f[√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a]=0在区间[0,π]上有唯一实数解，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】弧长公式【解析】利用弧长公式即可得出．【解答】解：设扇形的圆心角的弧度数为α，由已知及弧长公式可得：2=1⋅α，解得α=2．故选C.2.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，B，利用交集定义求出A∩B，由此能求出集合A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A＝{x∈N|−2≤x≤4}={0, 1, 2, 3, 4}，B＝{x|y=ln(x2−3x)}={x|x<0或x>3}，∴A∩B={4}，则集合A∩B中元素的个数为1．故选A.3.【答案】A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值数量积判断两个平面向量的垂直关系二倍角的正弦公式【解析】由题意可得a→⋅b→=0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θcosθ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ，运算求得结果．【解答】解：由题意可得：a→⋅b→=sinθ−2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θcos2θ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ=1，故选A．4.【答案】C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据函数y=cos(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π)的部分图象，可得A＝1．再根据它的周期为π=2πω，∴ω=2．再根据五点法作图，可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6.故选C.5.【答案】D【考点】函数单调性的性质与判断抽象函数及其应用【解析】根据题意，由函数的对称性可得f(x)在[1, 3]上递增且f(−）＝f（），结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x =1对称，则f(−12)=f(52)，又由函数y =f(x)在[−1, 1]上单调递减，则f(x)在[1, 3]上递增， 则有f(2)<f(52)=f(−12)<f(3)，即b <a <c .故选D . 6.【答案】 B【考点】等比数列的通项公式 【解析】利用半衰期公式，建立不等式，求出解集即可得出结论． 【解答】解：根据题意，(12)n <11000， 即2n>1000，n ∈N ； 所以n 的最小值是10． 故选B ． 7.【答案】 B【考点】基本不等式及其应用平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】根据平面向量共线的坐标表示求出m +2n ＝3，再利用基本不等式求出的最小值． 【解答】解：由a →， b →共线得： 2n +m −3=0， ∴ m +2n =3，4m +12n =13(4m +12n )(m +2n ) =13(5+8n m +m 2n) ≥1×(5+2√4) =3. 当且仅当8n m=m 2n即m =4n 时“=”成立．故选B ． 8.【答案】 C【考点】正弦函数的奇偶性和对称性 正弦函数的图象 【解析】先利用正弦函数的周期性、图象的对称性求得ω的范围，再根据kπ+≤3ωπ−，且 kπ+π+≥4ωπ−，分类讨论k ，求得ω的具体范围． 【解答】解：AB ．函数f(x)=2sin (ωx −π6)(ω>12 ，x ∈R ），若f (x )的图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间 (3π,4π)，则12⋅2πω≥4π−3π, 12<ω≤1, ，故AB 错误；CD ．由f (x )的图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，可得kπ+π2≤3ωπ−π6,且kπ+π+π2≥4ωπ−π6,k ∈Z ，解得3k+29≤ω≤3k+512,k ∈Z ，当k =0时，29≤ω≤512，不符合12<ω≤1，当k =1时，59≤ω≤23，符合题意， 当k =2时，89≤ω≤1112，符合题意，当k=3时，119≤ω≤149，不符合12<ω≤1，故C正确，D错误．故选C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全的得3分．）【答案】B,D【考点】对数函数的单调性与特殊点指、对数不等式的解法【解析】由题意利用指数函数、对数函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：若0<a<1，则1+a>1−a>0，loga (1−a)>loga (1+a)，故A错误；若0<a<1，则1+a>1，则loga(1+a)<0，故B正确；若0<a<1，则1>1−a>0，(1−a)13>(1−a)12，故C错误；若0<a<1，a1−a<a0＝1，故D正确.故选BD.【答案】B,C,D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】首先利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：函数f(x)=2sin x的图象向左平移π6个单位长度，得到y=2sin(x+π6)的图象，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)=2sin(12x+π6)）的图象，对于A：由于x∈[0,2π3]，所以12x+π6∈[π6,π2]，故函数g(x)在区间[0,2π3]是增函数，故A正确；对于B：函数g(x)=2sin(12x+π6)）向右平移2π3个单位，得到ℎ(x)=2sin(12x−π6)的图象，故该图象关于y轴不对称，故B错误；对于C：当x=−π6时，g(−π6)=2sin(π12)≠0，故C错误；对于D：由于x∈[π, 2π]，所以12x+π6∈[2π3,7π6]，当x=π时，函数取最大值g(π)=2sin2π3=√3，故D错误．故选BCD.【答案】A,B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系向量的概念与向量的模命题的真假判断与应用【解析】四个选项都出现了向量模之间的加减运算，所以考虑平方处理，整理后即可得出答案．【解答】解：|a→+b→|=|a→|−|b→|，两边平方可得a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2−2|a→||b→|+|b→|2所以a→⋅b→=−|a→||b→|，而a→⋅b→=|a→||b→|cos⟨a→,b→⟩所以−|a→||b→|=|a→||b→|cos⟨a→，b→⟩，所以cos⟨a→,b→⟩=−1，所以⟨a→,b→⟩=180∘所以a→=b→共线且反向，所以λ<0时，a→=λb→，故A正确；因为a→⊥b→，所以a→⋅b→=0，⇒a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2−2a→⋅b→+b→2⇒|a→+b→|2=|a→−b→|2⇒|a→+b→|=|a→−b→|，故B正确；对|a →+b →|=|a →|+|b →|两边平方可得a →2+2a →⋅b →+b →2=a →2+2|a →||b →|+|b →|2 所以cos ⟨a →,b →⟩=1，即<a →,b →>=0∘所以a →=b →同向，但a →不一定等于b ，故C 错误； 由A 选项可知，只有当λ<0，|a →|≥|b →|时，才有|a →+b →|=|a →|−|b →|，故D 不正确． 故选AB ． 【答案】 B,C,D 【考点】函数单调性的性质与判断 复合函数的单调性 函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由f(x)的解析式分析f(x)的奇偶性和单调性，由此依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案． 【解答】解：f (−x )=−x|−x|=−x|x|=−f (x )，∴ f (x )是奇函数， y =sin x 是奇函数，y =cos x 是偶函数，∴ f (sin x )和sin (f (x ))是奇函数，f (cos x )和cos (f (x ))是偶函数， f (x )=x|x|={x 2,x ≥0，−x 2,x <0，∴ f (x )在R 上是增函数，∴ y =sin x 在(−12,12)上是增函数，y =cos x 在(0,1)上是减函数， ∴ f (sin x )在(−12,12)上是增函数，f (cos x )在(0,1)上是减函数，故A 错误；C 正确； 当x ∈(−12,12)时，f (x )∈(−14,14)， ．y =sin x 在（ −14,14) 上单调速增，∴ sin (f (x ))在（ −12,12）上单调递增，故B 正确； 当x ∈(−1,0)时，f (x )∈(−1,0)， y =cos x 在(−1,0)上单调递增，∴ cos (f (x ))在(−1,0)上单调递增，故D 正确．故选BCD ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 【答案】√7【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，计算模长即可． 【解答】解：向量a →=(1,√3)，b →=(−1,0) 则a →+3b →=(−2,√3)， 所以(a →+3b →)2=4+3=7， 所以|a →+3b →|=√7.故答案为：√7. 【答案】 2【考点】三角函数的周期性 【解析】利用倍角公式变形，再由周期公式列式即可求得ω的值． 【解答】解：∵ f(x)=cos (ωx)cos (π2−ωx)(ω>0)， ∴ f(x)=cos ωx ⋅sin ωx =12sin 2ωx ，∴ 最小正周期T =2π2ω=π2，∴ 解得ω=2． 故答案为：2. 【答案】 (−2, 0) 【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据一元二次不等式和对数不等式的解法分别求出p 、q 的范围，然后根据p 是q 的必要不充分条件，可得两范围的关系，建立关系式，解之即可．【解答】解：因为命题p ：(x −m)2<9，所以m −3<x <m +3，因为命题q:log 4(x +3)<1=log 44，所以0<x +3<4，即−3<x <1， 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以{m −3<−3,m +3>1,解得−2<m <0，所以实数m 的取值范围是(−2, 0)． 故答案为：(−2, 0)． 【答案】 (20, 20.5) 【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】不防令x 1<x 2<x 3<x 4，由题意f(x)的图象是关于x ＝2对称的，可得x 1+x 4＝x 2+x 3＝4．助于|ln x|的图象可以得到x 1，x 2之间的关系，最终将x 12+x 22+x 32+x 42表示成x 2的函数，再借助于换元法最终将问题转化为二次函数的最值问题． 【解答】解：函数f(x)={|ln x|，0<x ≤2，f(4−x)，2<x <4，的图象如图所示：由题意得x 1x 2=1, x 1+x 4=x 2+x 3=4， ∴ x 1+x 2+x 3+x 4=8, x 1=1x 2.则x 12+x 22+x 32+x 42=x 12+(4−x 1)2+x 22+(4−x 2)2 =2(x 1+x 2)2−8(x 1+x 2)2+28=2(x 1+x 2−2)2+20=2(x 2+1x 2−2)2+20.∵ x 2+1x 2在(1, 2)上单调递增，∴x 12+x 22+x 32+x 42∈(20, 412).故答案为：(20,20.5).四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题分别12分，共70分，解答应写出必买的文字说明、证明过程或演算步骤．） 【答案】解：(1)(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92) =(log 6427+log 649)⋅(log 94+log 92) =log 64243⋅log 98 =lg 243lg 64⋅lg 8lg 9=54.(2)cos17π+sin (−16π)−tan (−4π) =cos (3π−π6)−sin (5π+π3)+tan (π+π3)=−cos π6+sin π3+tan π3=tan π3.【考点】对数的运算性质 【解析】（1）利用对数的性质、运算法则直接求解． （2）利用诱导公式直接求解． 【解答】解：(1)(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92) =(log 6427+log 649)⋅(log 94+log 92) =log 64243⋅log 98 =lg 243lg 64⋅lg 8lg 9=54.(2)cos17π6+sin (−16π3)−tan (−4π3) =cos (3π−π6)−sin (5π+π3)+tan (π+π3)=−cos π6+sin π3+tan π3=tan π3. 【答案】解：(1)f (x )=2(12sin ωx +√32cos ωx)=2sin (ωx +π3)∵ f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2即T 2=π2，即T =π=2πω.得ω=2.(2)ω=2 ，f (x )=2sin (2x +π3)∵ f (α)=23， 2sin (2α+π3)=23得sin (2α+π3)=13. 设θ=2α+π3，则sin θ=13，且2α=θ−π3 则sin (5π6−4α)=sin (5π6−2θ+2π3)=sin (3π2−2θ)=−sin (π2−2θ)=−cos 2θ=−(1−2sin 2θ)=−1+2×19=−79.【考点】两角和与差的三角函数 【解析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合对称性求出周期和ω即可． （2）利用换元法，结合三角函数的倍角公式进行转化即可． 【解答】解：(1)f (x )=2(12sin ωx +√32cos ωx)=2sin (ωx +π3)∵ f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2即T2=π2，即T =π=2πω.得ω=2.(2)ω=2 ，f (x )=2sin (2x +π3)∵ f (α)=23， 2sin (2α+π3)=23得sin (2α+π3)=13. 设θ=2α+π3，则sin θ=13，且2α=θ−π3 则sin (5π6−4α)=sin (5π6−2θ+2π3)=sin (3π2−2θ)=−sin (π2−2θ)=−cos 2θ=−(1−2sin 2θ)=−1+2×19=−79.【答案】解：(1)当x =π6时， a →=(cos π6,sin π6)=(√32,12)，因为向量c →=(−1,1)，所以|a →|=√(√32)2+(12)2=1，所以c →在a →上投影为a →⋅c →|a →|=−√32+121=1−√32.(2)f (x )=λ(a →⋅b →−12)=λ(sin x cos x +sin 2x −12)=λ(12sin 2x −12cos 2x)=√22λsin (2x −π4). 因为x ∈[0,π4]， 所以2x −π4∈[−π4,π4] 又λ>0,所以当2x −π4=π4，即x =π4时，f (x )取得最大值为√22λ×√22=12，所以λ=1.【考点】平面向量数量积的性质及其运算 向量的投影三角函数中的恒等变换应用 【解析】（1）求出当时，的坐标，然后求出的模，利用向量投影的定义求解即可；（2）利用向量数量积的坐标表示以及二倍角公式的辅助角公式化简f(x)的解析式，根据x 的取值范围，结合正弦函数的性质求出f(x)的最值，得到关于λ的等式，求解即可．【解答】解：(1)当x =π6时， a →=(cos π6,sin π6)=(√32,12)， 因为向量c →=(−1,1)，所以|a →|=√(√32)2+(12)2=1，所以c →在a →上投影为a →⋅c →|a →|=−√32+121=1−√32.(2)f (x )=λ(a →⋅b →−12)=λ(sin x cos x +sin 2x −12)=λ(12sin 2x −12cos 2x)=√22λsin (2x −π4). 因为x ∈[0,π4]， 所以2x −π4∈[−π4,π4]又λ>0,所以当2x −π4=π4，即x =π4时，f (x )取得最大值为√22λ×√22=12，所以λ=1.【答案】解：(1)当m =−9时，f(x)=−9⋅2x +2⋅3x ，f(x +1)>f(x)，即为2⋅3x+1−9⋅2x+1>2⋅3x −9⋅2x ， 化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0，即有x −2>0， 解得，x >2.(2)由f(x)≤(92)x 恒成立，即为m ⋅2x +2⋅3x ≤(92)x ， 可得m ≤(32)2x −2(32)x ， 令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值，由(t 2−2t)min =−1，可得m ≤−1，即实数m 的范围是(−∞, −1]． 【考点】函数恒成立问题 函数单调性的性质【解析】（1）由题意可得2⋅3x+1−9⋅2x+1+>2⋅3x −9⋅2x ，化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0，再由指数函数的单调性，解不等式即可得到所求范围；（2）由题意可得m ≤(32)2x −2(32)x ，令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值，运用配方可得最小值，即可得到所求范围．【解答】解：(1)当m =−9时，f(x)=−9⋅2x +2⋅3x ，f(x +1)>f(x)，即为2⋅3x+1−9⋅2x+1>2⋅3x −9⋅2x ， 化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0， 即有x −2>0， 解得，x >2.(2)由f(x)≤(92)x 恒成立，即为m ⋅2x +2⋅3x ≤(92)x ，可得m ≤(32)2x −2(32)x ，令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值， 由(t 2−2t)min =−1，可得m ≤−1，即实数m 的范围是(−∞, −1]．【答案】解：(1)∵ 二次函数f(x)=x 2−16x +q +3的对称轴是x =8， ∴ 函数f(x)在区间[−1, 1]上单调递减，∴ 要使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点，须满足f(−1)⋅f(1)≤0． 即(1+16+q +3)⋅(1−16+q +3)≤0， 解得−20≤q ≤12．∴ 使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点的实数q 的取值范围是[−20, 12]. (2)当{t <8,8−t ≥10−8,t ≥0时，即0≤t ≤6时，f(x)的值域为：[f(8), f(t)]，即[q−61, t2−16t+q+3]．∴t2−16t+q+3−(q−61)=t2−16t+64=12−t．∴t2−15t+52=0，∴t=15±√172．经检验t=15±√172不合题意，舍去．当{t<8,8−t<10−8,t≥0时，即6≤t<8时，f(x)的值域为：[f(8), f(10)]，即[q−61, q−57]．∴q−57−(q−61)=4=12−t．∴t=8,经检验t=8不合题意，舍去．当t≥8时，f(x)的值域为：[f(t), f(10)]，即[t2−16t+q+3, q−57]∴q−57−(t2−16t+q+3)=−t2+16t−60=12−t∴t2−17t+72=0，∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意，∴存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．【考点】二次函数的性质函数的零点【解析】（1）求出二次函数的对称轴，得到函数f(x)在[−1, 1]上为单调函数，要使函数在区间[−1, 1]上存在零点，则f(−1)⋅f(1)≤0，由此可解q的取值范围；（2）分t<8，最大值是f(t)；t<8，最大值是f(10)；8≤t<10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12−t求出t的值，验证范围后即可得到答案．【解答】解：(1)∵二次函数f(x)=x2−16x+q+3的对称轴是x=8，∴函数f(x)在区间[−1, 1]上单调递减，∴要使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点，须满足f(−1)⋅f(1)≤0．即(1+16+q+3)⋅(1−16+q+3)≤0，解得−20≤q≤12．∴使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点的实数q的取值范围是[−20, 12].(2)当{t<8,8−t≥10−8,t≥0时，即0≤t≤6时，f(x)的值域为：[f(8), f(t)]，即[q−61, t2−16t+q+3]．∴t2−16t+q+3−(q−61)=t2−16t+64=12−t．∴t2−15t+52=0，∴t=15±√172．经检验t=15±√172不合题意，舍去．当{t<8,8−t<10−8,t≥0时，即6≤t<8时，f(x)的值域为：[f(8), f(10)]，即[q−61, q−57]．∴q−57−(q−61)=4=12−t．∴t=8,经检验t=8不合题意，舍去．当t≥8时，f(x)的值域为：[f(t), f(10)]，即[t2−16t+q+3, q−57]∴q−57−(t2−16t+q+3)=−t2+16t−60=12−t∴t2−17t+72=0，∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意，∴存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．【答案】解：(1)因为√1+x2>|x|≥−x，所以1√1+x2+x>0恒成立，故函数定义域R，f(−x)+f(x)=ln(√1+x2−x)+ln(√1+x2+x)=ln1=0，故f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)函数的定义域为R，设x1>x2≥0，则√1+x12>√1+x22，所以x1+√1+x12>√1+x22+x2，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增.(2)由(1)得f(√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a)=f(0)，且y＝f(x)在R上递增．∴√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a=0,整理得a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a=0，在x∈[0, π]上有唯一实数解,构造ℎ(x)=a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a，x∈[0, π]，a≥1．令t＝sin x+cos x，则t∈[−1,√2]，sin x cos x=t2−12，∴L(t)=−12(t−a)2−12a2+√2a+12(a≥1)，在t∈[−1,1)∩{√2}内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．又∵a≥1，∴L(t)在[−1, 1)上为增函数；①若L(t)在[−1, 1)内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．则{L(1)>0，L(−1)≤0，L(√2)>0，∴1≤a<√2+1，②若√2为L(t)的零点，[1,√2)无零点，则−a2+2√2a−12=0，a=√2±√62，又∵a≥1，经检验a=√2+√62符合题意．综上所述：1≤a<√2+1或a=√2+√62．【考点】奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据题意，只要证明f(−x)+f(x)＝0即可判断函数为奇函数，（2）先设x1>x2≥0，然后比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断，（3）y由已知结合函数的单调性进行转化得a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2＝0，然后利用换元法，结合三角函数的性质可转化为二次函数闭区间上零点存在问题，结合函数性质及零点判定定理分类讨论即可求解．【解答】解：(1)因为√1+x2>|x|≥−x，所以1√1+x2+x>0恒成立，故函数定义域R，f(−x)+f(x)=ln(√1+x2−x)+ln(√1+x2+x)=ln1=0，故f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)函数的定义域为R，设x1>x2≥0，则√112>√1+x22所以x1+√1+x12>√1+x22+x2，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增.(2)由(1)得f(√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a)=f(0)，且y＝f(x)在R上递增．∴√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a=0,整理得a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a=0，在x∈[0, π]上有唯一实数解,构造ℎ(x)=a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a，x∈[0, π]，a≥1．令t＝sin x+cos x，则t∈[−1,√2]，sin x cos x=t2−12，∴L(t)=−12(t−a)2−12a2+√2a+12(a≥1)，在t∈[−1,1)∩{√2}内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．又∵a≥1，∴L(t)在[−1, 1)上为增函数；①若L(t)在[−1, 1)内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．则{L(1)>0，L(−1)≤0，L(√2)>0，∴1≤a<√2+1，②若√2为L(t)的零点，[1,√2)无零点，则−a2+2√2a−12=0，a=√2±√62，又∵a≥1，经检验a=√2+√62符合题意．综上所述：1≤a<√2+1或a=√2+√62．。
高中数学 期末检测试卷(B)精品练习(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题
期末检测试卷(B)C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．设f (x )为偶函数，且x ∈(0,1)时，f (x )＝－x ＋2，则下列说法正确的是( )A ．f (0.5)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π6>f (sin 0.5)C ．f (sin 1)<f (cos 1)D ．f (sin 2)>f (cos 2)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下面各式中，正确的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋32cos π4B ．cos 5π12＝22sin π3－cos π4cos π3C ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝cos π4cos π3＋64D ．cos π12＝cos π3－cos π4 10．函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，那么( ) A ．f (x )在(1，＋∞)上递增且无最大值 B ．f (x )在(1，＋∞)上递减且无最小值 C ．f (x )在定义域内是偶函数 D ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称 11．下面选项正确的有( ) A ．存在实数x ，使sin x ＋cos x ＝π3B ．α，β是锐角△ABC 的内角，是sin α>cos β的充分不必要条件C ．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －7π2是偶函数D ．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象12．若函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象不可以是( )三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为________．14．设x >0，y >0，x ＋y ＝4，则1x ＋4y的最小值为________．15．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝3x －1(－3<x ≤0)，f (x )＝f (x ＋3)，则f (2 019)＝________.16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0－x 2－2x ＋1，x <0，函数f (x )有________个零点，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值X 围是________．(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)设函数f (x )＝6＋x ＋ln(2－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |2x＞1}． (1)求A ∪B ；(2)若集合{x |a ＜x ＜a ＋1}是A ∩B 的子集，求a 的取值X 围．18.(12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝15，cos (α＋β)＝－13，其中0<α<π2，0<β<π2. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．19．(12分)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≤0，log 2x ＋1，x >0.(1)作出函数f (x )的图象，并写出单调区间；(2)若函数y ＝f (x )－m 有两个零点，某某数m 的取值X 围．期末检测试卷(B)1．解析：因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2xx －2>1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －2>0＝{x |x <－2或x >2}，B ＝{x |1<2x <8}＝{x |0<x <3}，因此A ∩B ＝{x |2<x <3}．故选A.答案：A2．解析：要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋1≠0，解得x ≥－3，且x ≠－1，∴f (x )的定义域为{x |x ≥－3，且x ≠－1}． 答案：A3．解析：sin 140°cos 10°＋cos 40°sin 350° ＝sin 40°cos 10°－cos 40°sin 10° ＝sin (40°－10°)＝sin 30°＝12.答案：C4．解析：∵f (2)＝log 32－1<0，f (3)＝log 33＋27－9＝19>0，∴f (2)·f (3)<0，∴函数在区间(2,3)上存在零点． 答案：C5．解析：若命题p 是假命题，则“不存在x 0∈R ，使得x 20＋2ax 0＋a ＋2≤0”成立， 即“∀x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋a ＋2>0”成立，所以Δ＝(2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)＝4(a ＋1)(a －2)<0，解得－1<a <2， 所以实数a 的取值X 围是(－1,2)，故选B. 答案：B6．解析：x ＝ln π>ln e＝1，y ＝log 52<log 55＝12，z ＝1e >14＝12，且z <1，故y <z <x . 答案：C7．解析：因为函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3， 因为g (x )为偶函数，所以φ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋k π(k ∈Z )，因为φ＝π6可以推导出函数g (x )为偶函数，而函数g (x )为偶函数不能推导出φ＝π6，所以“φ＝π6”是“g (x )为偶函数”的充分不必要条件．答案：A8．解析：x ∈(0,1)时，f (x )＝－x ＋2，则f (x )在(0,1)上单调递减，A ：0.5<π6，所以f (0.5)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，A 错误；B ：0.5<π6，∴0<sin 0.5<sin π6<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f (sin 0.5)，B 错误；C ：∵0<cos 1<sin 1<1，∴f (sin 1)<f (cos 1)，C 正确；D ：－1<cos2<0，f (cos 2)＝f (－cos 2)，sin 2－(－cos 2)＝sin 2＋cos 2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2＋π4>0，所以1>sin2>(－cos 2)>0，所以f (sin 2)<f (－cos 2)＝f (cos 2)，D 错误．故选C.答案：C9．解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝sin π4cos π3＋32cos π4，∴A 正确；∵cos 5π12＝－cos 7π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝22sin π3－cos π4cos π3，∴B 正确；∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π3＝cos π4cos π3＋64，∴C 正确；∵cos π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4≠cos π3－cos π4，∴D 不正确．故选ABC.答案：ABC10．解析：由|x －1|>0得，函数y ＝log a |x －1|的定义域为{x |x ≠1}．设g (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >1－x ＋1，x <1，则g (x )在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，D 正确；因为f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，所以a >1，所以f (x )＝log a |x －1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A 正确，B 错误； 又f (－x )＝log a |－x －1|＝log a |x ＋1|≠f (x )，所以C 错误．故选AD. 答案：AD11．解析：A 选项：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则sin x ＋cos x ∈[－2， 2 ]．又－2<π3<2，∴存在x ，使得sin x ＋cos x ＝π3，可知A 正确； B 选项：∵△ABC 为锐角三角形，∴α＋β>π2，即α>π2－β∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β，可知B 正确；C 选项：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －7π2＝cos 2x 3，则cos2－x 3＝cos 2x 3，则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －7π2为偶函数，可知C 正确；D 选项：y ＝sin 2x 向右平移π4个单位得：y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x ，可知D 错误．本题正确选项ABC.答案：ABC12．解析：函数y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 由函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数， 得0<a <1.当x >1时，函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以通过函数y ＝log a x 的图象向右平移1个单位得到，结合各选项可知只有D 选项符合题意．故选ABC.答案：ABC13．解析：设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为3π8，半径为1，∴3π8＝12·α·12，∴α＝3π4. 答案：3π414．解析：∵x ＋y ＝4，∴1x ＋4y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ，又x >0，y >0，则y x＋4xy≥2y x ·4x y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝43，y ＝83时取等号， 则1x ＋4y ≥14×(5＋4)＝94. 答案：9415．解析：∵f (x )＝f (x ＋3)， ∴y ＝f (x )表示周期为3的函数， ∴f (2 019)＝f (0)＝3－1＝13.答案：1316．解析：作出函数f (x )的图象如下图所示，由图象可知，函数f (x )有且仅有一个零点，要使函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则需函数y ＝f (x )与函数y ＝m 的图象有且仅有三个交点，则1＜m ＜2.答案：1 (1,2)17．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧6＋x ≥02－x >0得，－6≤x ＜2；由2x＞1得，x ＞0；∴A ＝[－6,2)，B ＝(0，＋∞)；∴A ∪B ＝[－6，＋∞)； (2)A ∩B ＝(0,2)；∵集合{x |a ＜x ＜a ＋1}是A ∩B 的子集； ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0a ＋1≤2；解得0≤a ≤1；∴a 的取值X 围是[0,1]．18．解析：(1)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝22(sin β－cos β)＝15，所以sin β－cos β＝25， 所以(sin β－cos β)2＝sin 2β＋cos 2β－2sin βcos β＝1－sin 2β＝225，所以sin 2β＝2325.(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝15，cos(α＋β)＝－13， 其中0<α<π2，0<β<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝265，sin(α＋β)＝223， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×265＋223×15＝22－615.19．解析：(1)画出函数f (x )的图象，如图所示：由图象得f (x )在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增． (2)若函数y ＝f (x )－m 有两个零点， 则f (x )和y ＝m 有2个交点，结合图象得1<m ≤2. 20．解析：(1)f (x )＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－12.21．解析：(1)由题意可得处理污染项目投放资金为(100－x )百万元， 所以N (x )＝0.2(100－x )，所以y ＝50x10＋x ＋0.2(100－x )，x ∈[0,100]．(2)由(1)可得，y ＝50x 10＋x ＋0.2(100－x )＝70－⎝ ⎛⎭⎪⎫50010＋x ＋x 5＝72－⎝⎛⎭⎪⎫50010＋x ＋10＋x 5≤72－20＝52，当且仅当50010＋x ＝10＋x5，即x ＝40时等号成立．此时100－x ＝100－40＝60.∴y 的最大值为52百万元，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40百万元，60百万元．22．解析：(1)若y ＝f k (x )是偶函数，则f k (－x )＝f k (x )，即2－x＋(k －1)·2x ＝2x＋(k －1)·2－x即2－x －2x ＝(k －1)·2－x －(k －1)·2x ＝(k －1)(2－x －2x)，则k －1＝1，即k ＝2； (2)∵f 0(x )＋mf 1(x )≤4，即2x －2－x ＋m ·2x ≤4，即m 2x ≤4－2x ＋2－x， 则m ≤4－2x＋2－x2x＝4·2－x ＋(2－x )2－1，设t ＝2－x， ∵1≤x ≤2，∴14≤t ≤12.word- 11 - / 11 设4·2－x ＋(2－x )2－1＝t 2＋4t －1，则y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5， 则函数y ＝t 2＋4t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为增函数， ∴当t ＝12时，函数取得最大值y max ＝14＋2－1＝54，∴m ≤54. 因此，实数m 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54； (3)f 0(x )＝2x －2－x ，f 2(x )＝2x ＋2－x ，则f 2(2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x －2－x )2＋2， 则g (x )＝λf 0(x )－f 2(2x )＋4＝λ(2x －2－x )－(2x －2－x )2＋2，设t ＝2x －2－x ，当x ≥1时，函数t ＝2x －2－x 为增函数，则t ≥2－12＝32， 若y ＝g (x )在[1，＋∞)有零点，即g (x )＝λ(2x －2－x )－(2x －2－x )2＋2＝λt －t 2＋2＝0在t ≥32上有解，即λt ＝t 2－2，即λ＝t －2t， ∵函数y ＝t －2t 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，则y min ＝32－2×23＝16，即y ≥16.∴λ≥16，因此，实数λ的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，＋∞.。
新课标人教版高一数学上学期期末试卷及答案
上学期期末考试卷年级：高一科目：英语注意事项: 1.答第I卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2.选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
不能答在本试卷上,否则无效。
(试卷总分：150分；考试时间：120分钟)第I卷第一部分听力（共两节,满分30分）做题时,先将答案标在试卷上。
听力结束后,你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题;每小题1.5分,满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后,你都有10称钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. ￡19.15.B. ￡9.15.C. ￡9.18.答案是B。
1. What would the man like?A. A cold drink.B. Sleeping pills.C. A cup of coffee.2. Where is the bus station?A. Opposite a stadium.B. Next to a car park.C. On the left of a bridge.3. What does the man dislike about the sweater?A. The price.B. The material.C. The color.4. What does the man think of the course?A. Easy.B. Interesting.C. Difficult.5. What are the speakers mainly talking about?A. A sports game.B. An animal.C. An actor.第二节 (共15小题; 每小题1.5分, 满分22.5分）听下面5段对话或独白。
广东省广州市越秀区高一数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市越秀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（3，2），则直线AB的倾斜角大小（）A．30° B．45° C．135°D．150°2．已知函数f（x）=x n的图象过点（3，），则n=（）A．B．C．D．3．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与直线A1B是异面直线的是（）A．直线AB1B．直线CD1C．直线B1C D．直线BC14．下列函数中，与函数y=|x|表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=log22|x|5．已知函数f（x）=2x+1，则（）A．f（x）的图象经过点（0，1）B．f（x）在R上的增函数C．f（x）的图象关于y轴对称 D．f（x）的值域是（0，+∞）6．若m＞n，则（）A．0.2m＜0.2n B．log0.3m＞log0.3nC．2m＜2n D．m2＞n27．如图所示，一个空间几何体的正视图和俯视图都是边长为2的正方形，侧视图是一个直径为2的圆，则该几何体的表面积是（）A．4πB．6πC．8πD．16π8．在空间在，设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β9．圆（x﹣3）2+（y+2）2=1与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切10．若x0是函数f（x）=lgx与g（x）=的图象交点的横坐标，则x0属于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2（x+1），则函数f （x）的大致图象是（）A． B． C．D．12．已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数是（）A．当a＞0时，函数F（x）有2个零点B．当a＞0时，函数F（x）有4个零点C．当a＜0时，函数F（x）有2个零点D．当a＜0时，函数F（x）有3个零点二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）=lg（4﹣x）+的定义域是．14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的其中四个顶点的坐标分别是D（0，0，0），A（6，0，0），C（0，6，0），D（0，0，6），若一个球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，则该球的体积是．15．圆x2+y2﹣2x﹣2y=0上的点到直线x+y﹣8=0的距离的最小值是．16．里氏地震M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，则7级地震的最大振幅是4级地震最大振幅的倍．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、17．设全集是实数集R，集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x≥a}．（1）当a=1时，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B≠∅，某某数a的取值X围．18．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，﹣1），B（7，3），C （2，8）．（1）求直线AB的方程；（2）求AB边上高所在的直线l的方程；（3）求△ABC的外接圆的方程．19．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上异于A，B的一点，AD⊥⊙O所在的平面PAB，四边形ABCD是边长为2的正方形，连结PA，PB，PC，PD．（1）求证：平面PBC⊥平面PAD；（2）若PA=1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：PB⊥平面DEF．21．已知圆0：x2+y2=r2（r＞0）与直线x+2y﹣5=0相切．（1）求圆O的方程；（2）若过点（﹣1，3）的直线l被圆0所截得的弦长为4，求直线1的方程；（3）若过点A（0，）作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆0于B、C两点，且k1k2=﹣，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标．22．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；（3）解关于x的不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常数a∈R．2015-2016学年某某省某某市越秀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（3，2），则直线AB的倾斜角大小（）A．30° B．45° C．135°D．150°【考点】直线的倾斜角．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出直线AB的斜率，从而求出直线AB的倾斜角．【解答】解：∵A（1，0），B（3，2），∴k AB==1，则直线AB的倾斜角大小是45°，故选：B．【点评】本题考查了直线的倾斜角问题，是一道基础题．2．已知函数f（x）=x n的图象过点（3，），则n=（）A．B．C．D．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】对应思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数f（x）的图象过点（3，），代入点的坐标，求出n的值．【解答】解：函数f（x）=x n的图象过点（3，），∴3n=，解得n=．故选：A．【点评】本题考查了利用函数图象上的点的坐标求函数解析式的问题，是基础题．3．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与直线A1B是异面直线的是（）A．直线AB1B．直线CD1C．直线B1C D．直线BC1【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据异面直线的定义结合长方体的性质，可得A1B与B1C的位置关系是异面．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D1C∥A1B∴A1B∥平面DCC1D1，而D1C1与B1C是相交直线，∴A1B与B1C的位置关系是异面．故选：C．【点评】本题考查异面直线的判定，是基础题．4．下列函数中，与函数y=|x|表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=log22|x|【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，y==x，x≥0，与函数y=|x|（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于B，y==x，x∈R，与函数y=|x|（x∈R）的对应关系不同，不是同一函数；对于C，y==|x|，x≠0，与函数y=|x|（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于D，y=log22|x|=|x|，x∈R，与函数y=|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．5．已知函数f（x）=2x+1，则（）A．f（x）的图象经过点（0，1）B．f（x）在R上的增函数C．f（x）的图象关于y轴对称 D．f（x）的值域是（0，+∞）【考点】指数函数的图象变换．【专题】探究型；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】把指数函数y=2x的图象向上平移1个单位，然后再结合y=2x的性质可得函数f（x）=2x+1的性质，则答案可求．【解答】解：函数f（x）=2x+1的图象是把y=2x的图象向上平移1个单位得到的．∴f（x）=2x+1的图象过点（1，1），在R上是增函数，图象不具有对称性，值域为（1，+∞）．综上可知，B正确．故选：B．【点评】本题考查指数函数的性质，考查了指数函数的图象平移，是基础题．6．若m＞n，则（）A．0.2m＜0.2n B．log0.3m＞log0.3nC．2m＜2n D．m2＞n2【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，进行判断即可．【解答】解：∵y=0.2x为减函数，∴若m＞n，则0.2m＜0.2n正确，∵y=log0.3x为减函数，∴若m＞n，则log0.3m＜log0.3n，或对数函数不存在，错误∵y=2x为增函数，∴若m＞n，则2m＞2n，错误当m=1，n=﹣1时，满足m＞n，但m2＞n2不成立，故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键．比较基础．7．如图所示，一个空间几何体的正视图和俯视图都是边长为2的正方形，侧视图是一个直径为2的圆，则该几何体的表面积是（）A．4πB．6πC．8πD．16π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体，根据数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，知该几何体是底面直径为2，高为2的圆柱体；∴该圆柱体的表面积是S=2S底+S侧=2π×12+2π×1×2=6π．故选：B．【点评】本题考查了三视图的应用问题，解题时应根据三视图，得出几何体的形状与数据特征，从而求出答案，是基础题．8．在空间在，设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】对应思想；空间位置关系与距离．【分析】由线面位置关系逐个判断即可：选项A，可得m∥n，m与n相交或m与n异面；选项B，可得α∥β或α与β相交；选项C，同一个平面成立，在空间不成立；选项D，垂直于同一条直线的两个平面平行【解答】解：选项A，由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m∥n，在空间不成立，故错误；选项B，由m∥α，n∥α，可得m∥n，m与n相交或m与n异面，故错误；选项C，由垂直于同一条直线的两个平面平行可知结论正确；选项D，m∥α，m∥β可得α∥β或α与β相交，故错误；故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及空间中的线面位置关系，属基础题．9．圆（x﹣3）2+（y+2）2=1与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】根据题意，算出两圆的圆心分别为C1（3，﹣2）、C2（7，1），得到|C1C2|=5即得圆心距等于两圆半径之差，从而得到两圆相内切．【解答】圆（x﹣3）2+（y+2）2=1的圆心为C1（3，﹣2），半径r=1同理可得圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的圆心为C2（7，1），半径R=6∴|C1C2|==5，可得|C1C2|=R﹣r，两圆相内切故选：D．【点评】本题给出两圆方程，求它们的位置关系，着重考查了圆的方程、圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．10．若x0是函数f（x）=lgx与g（x）=的图象交点的横坐标，则x0属于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令h（x）=f（x）﹣g（x），使用零点的存在性定理进行判断．【解答】解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=lgx﹣．则当x∈（0，1）时，lgx＜0，，∴h（x）＜0；h（1）=﹣1，h（2）=lg2﹣＜lg﹣=0，h（3）=lg3﹣＞lg﹣=0，∴h（2）h（3）＜0．h（x）在（2，3）上有零点．故选C．【点评】本题考查了函数零点的存在性定理，属于基础题．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2（x+1），则函数f （x）的大致图象是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于原点对称，函数在R上单调递增，且增长比较缓慢，从而结合选项得出结论【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2（x+1），可得函数f（x）的图象关于原点对称，函数在R上单调递增，且增长比较缓慢，结合所给的选项，故选：A．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，函数的图象特征，属于中档题．12．已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数是（）A．当a＞0时，函数F（x）有2个零点B．当a＞0时，函数F（x）有4个零点C．当a＜0时，函数F（x）有2个零点D．当a＜0时，函数F（x）有3个零点【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】讨论a，再由分段函数分别代入求方程的解的个数，从而确定函数的零点的个数即可．【解答】解：当a＞0时，由af（x）+1+1=0得，f（x）=﹣＜0，故ax+1=﹣或log3x=﹣，故有两个不同的解，由log3f（x）+1=0得，f（x）=，故ax+1=或log3x=，故有两个不同的解，故共有四个解，即函数有4个零点；当a＜0时，af（x）+1+1=0无解，由log3f（x）+1=0得，f（x）=，故ax+1=（无解）或log3x=，故有﹣个解，故共有一个解，故选B．【点评】本题考查了分类讨论的思想应用及方程的根与函数的零点的关系应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）=lg（4﹣x）+的定义域是（2，4）．【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据对数函数以及二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：2＜x＜4，故答案为：（2，4）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数二次根式的性质，是一道基础题．14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的其中四个顶点的坐标分别是D（0，0，0），A（6，0，0），C（0，6，0），D（0，0，6），若一个球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，则该球的体积是36π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】求出正方体的棱长为6，利用一个球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，可得球的半径为3，即可求出球的体积．【解答】解：由题意，正方体的棱长为6，∵一个球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，∴球的半径为3，∴球的体积是=36π．故答案为：36π．【点评】本题考查球的体积，考查学生的计算能力，正确求出球的半径是关键．15．圆x2+y2﹣2x﹣2y=0上的点到直线x+y﹣8=0的距离的最小值是2．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】根据题意可知，当Q为过圆心作直线的垂线与圆的交点的时候，Q到已知直线的距离最短，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后减去半径即可求出最短距离．【解答】解：把圆的方程化为标准式方程得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，所以圆心A（1，1），圆的半径r=，则圆心A到直线x+y﹣8=0的距离d==3，所以动点Q到直线距离的最小值为3﹣=2．故答案为：2．【点评】此题要求学生会将圆的方程化为标准式方程并会根据圆的标准式方程找出圆心坐标和半径，灵活运用点到直线的距离公式化简取值，是一道中档题．此题的关键是找出最短距离时Q的位置．16．里氏地震M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，则7级地震的最大振幅是4级地震最大振幅的103倍．【考点】对数的运算性质．【专题】应用题；方程思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据题意，列出方程lgA7﹣lgA0=7①，lgA4﹣lgA0=4②，组成方程组求出的值．【解答】解：根据题意，得；lgA7﹣lgA0=7①，lgA4﹣lgA0=4②；由①得，A7=A0•107，由②得，A4=A0•104；∴=103，即7级地震的最大振幅是4级地震最大振幅的103倍．故答案为：103．【点评】本题考查了对数运算的性质与应用问题，是基础题目．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、17．设全集是实数集R，集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x≥a}．（1）当a=1时，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B≠∅，某某数a的取值X围．【考点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】（1）化简集合A，根据并集和补集的定义即可求出，（2）根据交集的定义，及A∩B≠∅即可求出a的X围．【解答】解：（1）集合A={x|x（x﹣3）＜0}=（0，3），B={x|x≥1}=[1，+∞），∴A∪B=（0，+∞），∴∁R（A∪B）=（﹣∞，0]；（2）由B={x|x≥a}=[a，+∞），A=（0，3），∵A∩B≠∅，∴a＜3，∴a的取值X围为（﹣∞，3）．【点评】本题考查了集合的交并补运算，关键是掌握运算法则，属于基础题．18．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，﹣1），B（7，3），C （2，8）．（1）求直线AB的方程；（2）求AB边上高所在的直线l的方程；（3）求△ABC的外接圆的方程．【考点】待定系数法求直线方程；圆的标准方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）求出直线AB的斜率，代入直线的点斜式方程即可；（2）求出直线l的斜率，代入点斜式方程整理即可；（3）设出圆的标准方程，根据待定系数法求出即可．【解答】解：（1）∵K AB==2，∴直线AB的方程是：y+1=2（x﹣5），即2x﹣y﹣11=0；（2）∵AB⊥l，∴K AB•K l=﹣1，解得：K l=﹣，∴过C（2，8），斜率是﹣的直线方程是：y﹣8=﹣（x﹣2），即x+2y﹣18=0；（3）设三角形外接圆的方程是（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，（r＞0），由题意得：，解得：a=2，b=3，r=5，∴△ABC的外接圆的方程是（x﹣2）2+（y﹣3）2=25．【点评】本题考查了求直线和圆的方程问题，考查求直线的斜率问题，是一道中档题．19．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上异于A，B的一点，AD⊥⊙O所在的平面PAB，四边形ABCD是边长为2的正方形，连结PA，PB，PC，PD．（1）求证：平面PBC⊥平面PAD；（2）若PA=1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）证明PB⊥平面PAD，即可证明平面PBC⊥平面PAD；（2）若PA=1，在平面PAB内过P作PE⊥AB于E，证明PE⊥平面ABCD，即可求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：∵AD⊥⊙O所在的平面PAB，PB⊂⊙O所在的平面PAB，∴AD⊥PB，∵PA⊥PB，PA∩AD=A，∴PB⊥平面PAD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAD；（2）解：在平面PAB内过P作PE⊥AB于E，∵AD⊥⊙O所在的平面PAB，PE⊂⊙O所在的平面PAB，∴AD⊥PE，∵AD∩AB=A，∴PE⊥平面ABCD，直角△PAB中，AB=2，PA=1，∴PB=，∴PE==，∴四棱锥P﹣ABCD的体积V==．【点评】本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查四棱锥P﹣ABCD的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：PB⊥平面DEF．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO，则PA∥EO，由此能证明PA∥平面EO．（2）由已知得PD⊥BC，CD⊥BC，从而BC⊥平面PDC，进而BC⊥DE，再由DE⊥PC，DE⊥PB，由此能证明PB⊥平面DEF．【解答】证明：（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO，∵底面ABCD中矩形，∴点O是AC的中点，又∵点E是PC的中点，∴PA∥EO，∵EO⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面EO．（2）PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC，∵底面ABCD中矩形，∴CD⊥BC，∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC，∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE，∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC，∵PC∩BC=C，∴DE⊥PB，又∵EF⊥PB，DE∩EF=E，DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF，∴PB⊥平面DEF．【点评】本查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．已知圆0：x2+y2=r2（r＞0）与直线x+2y﹣5=0相切．（1）求圆O的方程；（2）若过点（﹣1，3）的直线l被圆0所截得的弦长为4，求直线1的方程；（3）若过点A（0，）作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆0于B、C两点，且k1k2=﹣，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】（1）由已知条件利用点到直线的距离公式求出圆的半径，由此能求出圆的方程．（2）直线l被圆0所截得的弦长为4，圆心到直线的距离d==1，分类讨论，即可求直线1的方程；（3）根据题意，设出直线AB的解析式，与圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之积，将A的横坐标代入表示出B的横坐标，进而表示出B的纵坐标，确定出B坐标，由题中k1k2=﹣，表示出C坐标，进而表示出直线BC的解析式，即可确定出直线BC恒过一个定点，求出定点坐标即可．【解答】解：（1）∵圆0：x2+y2=r2（r＞0）与直线x+2y﹣5=0相切，∴r==，∴圆O的方程为x2+y2=5；（2）∵直线l被圆0所截得的弦长为4，∴圆心到直线的距离d==1，斜率不存在时，x=﹣1，满足题意；斜率存在时，设方程为y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+k+3=0，圆心到直线的距离d==1，∴k=，∴直线1的方程为4x﹣3y+13=0，综上所述，直线1的方程为4x﹣3y+13=0或x=﹣1；（3）由题意知，设直线AB：y=k1x+，与圆方程联立，消去y得：（1+k12）x2+2k1x=0，∴x B=﹣，y B=，即B（﹣，），∵k1k2=﹣，用﹣代替k2得：C（，），∴直线BC方程为y﹣=（x+），令x=0，可得y=3则直线BC定点（0，3）．【点评】此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，直线的两点式方程，点到直线的距离公式，以及恒过定点的直线方程，利用了分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．22．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；（3）解关于x的不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常数a∈R．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用赋值法即可求f（0），根据函数f（x）的奇偶性的定义，利用赋值法即可得到结论；（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性；（3）将不等式进行等价转化，结合函数的奇偶性和单调性的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．（2）∵f（x）对一切x，y∈RR都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0．令x1＞x2，则x2﹣x1＜0，且f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）＞0，由（1）知，f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）．∴f（x）在R上是减函数．（3）f（2x）=f（x）+f（x）=2f（x），f（3x）=f（2x+x）=f（2x）+f（x）=3f（x），则不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），等价为f（x2）+f（3a）＞f（3x）+f（ax），即f（x2+3a）＞f（3x+ax），∵f（x）在R上是减函数，∴不等式等价为x2+3a＜3x+ax，即（x﹣3）（x﹣a）＜0，当a=0时，不等式的解集为∅，当a＞3时，不等式的解集为（3，a），当a＜3时，不等式的解集为（a，3）．（12分）【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．。
【区级联考】广东省广州市越秀区2020-2021学年高一(上)期末数学试题 答案和解析
【区级联考】广东省广州市越秀区【最新】高一（上）期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}A x x 2018=，a 2019=，则下列关系中正确的是( ) A ．a A ∈ B ．a A ∉ C ．a A ⊆ D ．a A = 2．若cos θ0>，sin θ0<，则角θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．已知幂函数()n f x x =的图象经过点(，则()f 9的值为( )A ．3B ．3±C ．12D ． 4．设0.7a log 1.7=，0.7b log 1.8=， 1.8c 0.7=，则( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<5．函数()x f x 23x 7=+-的零点所在的一个区间是( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭6．函数()()sin cos sin cos y x x x x =+-的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π7．已知向量()()cos ,,2,1a sin b θθ==-，且a b ⊥，则tan 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭的值是（ ） A ．13 B ．3- C ．3 D ．13- 8．为了得到函数1πy 2sin x 36⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数1y 2sin x 3=的图象上所有点( ) A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移7π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度 9．已知()f x 是偶函数，且在[)0,∞+上是减函数，若()()f lnx f 1>，则x 的取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()0,eC ．()()e,00,e -⋃D ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭10．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为2y x 2x 1=-+，值域为{0,4，16}的“孪生函数”共有( )A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个11．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为( )A ．1500元B ．1550元C ．1750元D ．1800元二、解答题12．已知向量()a 1,2=，()b 3,4=-，()c 5,k =． ()1若()()a b a c 10+⋅-=-，求实数k 的值； ()2若向量m 满足m //a ，且m =m ．13．设全集U =R ，集合2A={x|x -4x-12<0}，B={x|(x-a)(x-2a)<0}．（1）当a=1时，求集合U A B ⋂；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．14．如图，现要在一块半径为r(r 0)>，圆心角为60的扇形纸板POQ 上剪出一个平行四边形OABC ，使点B 在弧PQ 上，点A 在半径OP 上，点C 在半径OQ 上．设αBOA ∠=()1求S 关于α的函数关系式；()2求S 的最大值及相应的α值．15．阅读下面材料：()()()()22233sin3θsin 2θθsin2θcos θcos2θsin θ2sin θcos θ12sin θsin θ2sin θ1sin θsin θ2sin θ3sin θ4sin θ=+=+=+-=-+-=-解答下列问题：()1证明：3cos3θ4cos θ3cos θ=-；()2若函数()πcos 3x π4f x msin x 5π4cos x 4⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=++- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭在πx 0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有零点，求实数m 的取值范围．参考答案1．A【解析】【分析】根据集合A 中元素满足的性质2018,2019x a >=，我们可以判断出元素a 与集合A 的关系．【详解】因为集合{}|2018,2019A x x a =>=，所以a A ∈．故选A ．【点睛】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．2．D【分析】利用三角函数的定义，可确定0,0y x <>，进而可知θ在第四象限．【详解】 根据三角函数的定义有()sin ,cos 0y x r r r θθ==>，所以0,0x y ><， 所以θ在第四象限，故选D ．【点睛】当θ的终边在不同象限的时候，其三个三角函数值的符号也发生变化，记忆的口诀是“全正切余”即：第一象限全为正，第二象限正弦正，第三象限切为正，第四象限余弦正． 3．A【分析】推导出()12f x x=，由此能求出()9f ． 【详解】代入点(，则有3n =，故12n =，所以()93f =，故选A ． 【点睛】本题考查幂函数解析式的求法，属于基础题．4．C【解析】【分析】根据对数函数的单调性及中间数0可得三个数的大小关系．【详解】因为0.70.70.7log 1.8log 1.7log 10<<=且 1.80.70>，故b a c <<，选C ．【点睛】对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.5．C【分析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】()f x 为R 上的增函数，又()35120, 2.8 2.50.3022f f ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭，故零点所在对的区间为 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，选C ． 【点睛】不可解方程的零点所在区间应该通过零点存在定理来寻找，一般地要先考虑函数的单调性，再选择合适的区间(),a b ，使得()()0f a f b <，其中,a b 要依据解析式的形式来选取（()(),f a f b 要容易计算）.6．B【分析】利用二倍角公式化简可得cos2x y =-，再利用公式求最小正周期．【详解】22sin cos cos 2y x x x =-=-，故最小正周期为22T ππ==，选B ． 【点睛】本题考查三角函数最小正周期的求法，是基础题．7．A【分析】由已知求得tan θ，然后展开两角差的正切求解．【详解】解：由(cos ,sin ),(2,1)a b θθ==-，且a b ⊥，得2cos sin 0θθ-=，即tan 2θ=．tan tan 2114tan 412131tan tan 4πθπθπθ--⎛⎫∴-=== ⎪+⨯⎝⎭+⋅，故选A ． 【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查两角差的正切，是基础题．8．C【分析】 把函数12sin 36y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭化成172sin 32y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可得平移的方向及其大小． 【详解】 函数12sin 36y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭可化简为1172sin 2sin 3636y x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也就是172sin 32y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故只需把12sin 3y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭向左平移72π个单位即可得到12sin 36y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图像，故选C ． 【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，找寻两个不同函数的图像的变换时，首先它们的函数名要相同，其次两者之间的周期变换看ω，左右平移看φω．注意周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的影响，比如sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，它可以由sin y x =先向左平移3π个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移6π. 9．D【分析】利用偶函数的性质()()f x fx =把原不等式转化为()()ln 1f x f >，再根据[)0,+∞上是减函数得到ln 1x <可得1x e e<<． 【详解】 因为()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是减函数，原不等式转化为()()ln 1f x f >，故ln 1x <即1ln 1x -<<， 解得1x e e<<，故选D ． 【点睛】对于偶函数()f x ，其在对称两侧的单调性是相反的，并且()()()f x f x f x ==-，对于奇函数()g x ，其在对称两侧的单调性是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则f ．10．D【解析】【分析】根据值域可得定义域中应该含有的元素，分类列出可得不同函数的种数．【详解】令0y =，则1x =；令4y =，则1x =-或3x =；令16y =，则3x =-或5x =；设定义域为A ，A 中的自变量x 对于的函数值为0，则x 可取1，共有1种情况；同理A 中的自变量x 对于的函数值为4，则x 可取1-，也可取3，也可以取1,3-，共有3种情况，A 中的自变量x 对于的函数值为16，则x 可取3-，也可取5，也可以取3,5-，共有3种情况，故不同的定义域的个数为9种，它们分别为：{}1,1,3--．{}1,1,5-，{}1,3,3-，{}1,3,5；{}1,1,3,3--．{}1,1,3,5-，{}1,3,3,5-，{}1,3,3,5-；{}1,1,3,3,5--，故不同函数的种数为9．【点睛】函数有三要素即函数的定义域、对应法则和值域，如果知道前两者，则值域是唯一确定的，如果知道值域和对应法则，则定义域不确定，需结合对应法则考虑原像的不同情况． 11．A【分析】设此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元，可得到获得的折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合5025y =>，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案．【详解】设此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元，由题设可知：()()0,08000.05800,80013000.1130025,1300x y x x x x ⎧<≤⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩，因为5025y =>，所以1300x >，所以()0.113002550x ⨯-+=，解得1550x =， 故此人购物实际所付金额为1550501500-=（元），故选A ．【点睛】本题为数学应用题，应依据题意构建数学模型（其数学模型为分段函数）后解一元一次不等式可得实际问题的解，注意利用不同范围上的函数值的范围构建需要的不等式．12．（1）5k =；（2）()m 3,6=或()3,6--.【分析】（1）利用坐标运算可得()()246210k -⨯-+⨯-=-，解这个方程可得5k =；（2）因向量共线故可设m a λ=，利用已知的模长可得λ的值从而得到所求的向量．【详解】（1）由题设有()2,6a b +=-，()4,2a c k -=--，因为()a b +()10a c -=-，故()()246210k -⨯-+⨯-=-，所以5k =．（2）因为m a ，故(),2m a λλλ==，所以22445λλ+=，解得3λ=±，所以()3,6m =或()3,6m =--．【点睛】如果()()1122,0,,a x y b x y =≠=，那么：（1）若//a b ，则存在实数λ使得b a λ= 且1221x y x y =；（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=；13．（1）(][)2,12,6-；（2）[]1,3-. 【分析】（1）求出集合,A B 后可得到(][)2,12,6U A C B =-；（2）就0,0a a =≠分类讨论，再根据B A ⊆建立不等式组，解这个不等式组可得要求的范围．【详解】（1）当1a =时，()1,2B =，所以(][),12,U C B =-∞+∞， 而()2,6A =-，故(][)2,12,6U A C B =- ．（2）当0a =时，B φ=，符合；当0a ≠时，因为B A ⊆，所以26226a a -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，解得13a -≤≤且0a ≠． 综上，13a -≤≤．【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．注意解B 中的不等式时可根据包括关系直接得到两个不等根满足的不等式组．14．（1）22S r sin 2αr 366π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，03απ<<；（2）最大值是2r 6，相应α的值是6π. 【分析】（1）过B 作BM OP ⊥，垂足为M ，则可用α的三角函数来表示平行四边形OABC 的面积S .（2）利用α的范围求出S 的最大值即可.【详解】（1）过B 作BM OP ⊥，垂足为M则sin ,cos BM r OM r αα==，cos sin 3OA OM AM r r αα=-=-， 设平行四边形OABC 的面积为S ，则cos sin sin S OA BM r r ααα⎛⎫=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭22cos sin 3r ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭21sin 22266r αα⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭22sin 2366r πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其中03πα<<，因52666πππα<+<，所以1sin 2126πα⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，当6πα=时，2max S r = .【点睛】非直角三角形中边、角的关系，可通过作高线把非直角三角形转化为直角三角形来考虑．另外对于形如()22sin sin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()'sin 2'f x A x B ωϕ=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值等.15．（1）详见解析；（2）(⎤⎦.【分析】（1）依据sin3θ的公式推导过程推导即可.（2）利用诱导公式和cos3θ的公式把函数()f x 化为()24cos cos 244f x x m x ππ⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用换元法和参变分离法得到方程24m t t =+在,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上有解，利用函数()24g t t t=+可得m 实数的取值范围． 【详解】（1）证明：()cos3cos 2cos2cos sin 2sin θθθθθθθ=+=-()()222cos 1cos 21cos cos θθθθ=---34cos 3cos θθ=-（2）()3cos 34sin 54cos 4x f x m x x πππ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=++- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭ 24cos cos 244x m x ππ⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令cos 4t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2t ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，所以2240t mt --+=在2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦有解， 参变分离可得24m t t =+在2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上有解， 令()24g t t t =+，设1212t t <<<，则12112t t <<， 故()()()121212240g t g t t t t t ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，所以()24g t t t =+在2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上是增函数， 所以()g t的值域为(⎤⎦即(m ⎤∈⎦．【点睛】（一）三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．（二）方程的有解问题可通过参变分离把问题转化为不含参数的函数的值域问题．。
广东省广州市越秀区11-12学年高一上学期期末考试(数学)
越秀区高一上学期期末教学质量检查考生注意：本卷共三大题，20小题，满分150分，时间120分钟.不准使用计算器.参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=（其中S 为底面面积，h 为高）， 球的表面积公式24R S π= ， 球的体积公式334R V π=（其中R 为球的半径）.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确. 请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1. 下列函数中，是偶函数的是（ ）A ．2)(x x f =B ．x x f =)(C ．xx f 1)(= D ．3)(x x x f += 2．下列各式正确的是 （ ）A ． 3334<B . 6log 4log 5.05.0<C . 33) 21() 21 (>- D . 4.1lg 6.1lg <3．直线01234=+-y x 在y 轴上的截距是 （ ）A. 4B. －4C. 3D. －34.如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（ ）A ．圆锥B ．三棱锥C ．三棱柱D ．三棱台5. 函数x e x f x +=)(的零点所在一个区间是（ ）A.（-2,-1）B. （-1,0）C. （0,1） D （1,2）6．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）A ．x x g x x f ==)( ,)(2B ．332)( ,2log )(x x g x f x ==C ．x x g x x f ==)( ,) ()(2D ．xx x g x x f 2)( ,)(==（第4题图）7．与直线3450x y ++=关于x 轴对称的直线的方程为（ ）A ．3450x y -+=B ．0543=-+y xC ．0534=-+y xD ．0534=++y x 8. 已知α是平面，b a ,是直线，且a //b ，a ⊥平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．b ⊂平面αB ．b ⊥平面αC ．//b 平面αD ． b 与平面α相交但不垂直9．已知()x f x a =，()log (01)a g x x a a =≠>且，若0)2()1(<⋅g f ，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是（ ）10.已知偶函数)(x f y =在区间(,0]-∞上是增函数，下列不等式一定成立的是（ ） A.(3)(2)f f >- B.()(3)f f π->C.2(1)(23)f f a a >++D.22(2)(1)f a f a +>+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．） 11. 直线01=+-y x 的倾斜角是 .12. 已知⎩⎨⎧>-≤+=0 ,20 ,1)(2x x x x x f ，则=))1((f f .13. 正方体的表面积与其内切球表面积的比为 .14．函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，并且当)(∞+∈,0x 时，()2x f x =，那么，(1)f -= .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分12分）已知集合{}02≥-=x x A ,集合{}3<=x x B . (1) 求B A ⋃； (2) 求B A ⋂； (3) 求)()(B C A C R R ⋃16. （本小题满分14分）求经过直线03:1=-+y x l 与直线01:2=--y x l 的交点M ，且分别满足下列条件的直线方程：（1）与直线032=-+y x 平行； （2）与直线032=-+y x 垂直.17.（本小题满分14分）如图，正方形ABCD 的边长为1，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD互相垂直，H G ,是FC DF ,的中点． （1）求证：//GH 平面CDE ； （2）求证：BC CDE ⊥平面； （3）求三棱锥ABC G -的体积．18.（本小题满分12分）如图：A 、B 两城相距100 km ，某天燃气公司计划在两地之间建一天（第17题图）燃气站D 给A 、B 两城供气. 已知D 地距A 城x km ，为保证城市安全，天燃气站距两城市的距离均不得少于10km . 已知建设费用y (万元)与A 、B 两地的供气距离(km)的平方和成正比，当天燃气站D 距A 城的距离为40km 时, 建设费用为1300万元.（供气距离指天燃气站距到城市的距离）（1）把建设费用y (万元)表示成供气距离x (km)的函数，并求定义域；（2）天燃气供气站建在距A 城多远，才能使建设供气费用最小.，最小费用是多少？19. （本小题满分14分）已知函数1)(+-=x cx x f , 其中c 为常数，且函数)(x f 图像过原点. (1) 求c 的值；(2) 证明函数)(x f 在[0,2]上是单调递增函数；(3) 已知函数31)()(-=x e f x g , 求函数)(x g 的零点.20. （本小题满分14分）若函数()f x 满足：对定义域内任意两个不相等的实数12,x x ,都有1212()()()22f x f x x xf ++>，则称函数()f x 为H 函数.已知cx x x f +=2)(,且)(x f 为偶函数.(1) 求c 的值；(2) 求证:()f x 为H 函数；(3) 试举出一个不为H 函数的函数)(x g ,并说明理由.BA（第18题图）第一学期期末教学质量检查高一数学B 答案一、选择题ACACB BABCC16. （本小题满分14分） 解：由⎩⎨⎧=--=-+0103y x y x 得⎩⎨⎧==12y x ,所以)1,2(M . …………………2分(1)依题意，可设所求直线为：)0(02≠=++c c y x . …………………4分因为点M 在直线上，所以0122=++⨯c ,解得：5-=c . ………………7分 所以所求直线方程为：052=-+y x . …………………9分 (2)依题意，设所求直线为：02=+-c y x . …………………10分因为点M 在直线上，所以0122=+⨯-c ,解得：0=c …………12分 所以所求直线方程为：02=-y x . …………………14分（3）解：依题意: 点G 到平面ABCD 的距离h 等于点F 到平面ABCD 的一半, ………11分 即: 21=h . …………………12分 ∴12121112131=⋅⋅⋅⋅=-ABC C V . ………………14分(求底面积对的有1分)18. （本小题满分12分）解：（1）设比例系数为k ,则])100([22x x k y -+=)9010(≤≤x . ……………3分(不写定义域扣1分)又1300,40==y x , 所以)6040(130022+=k ,即41=k , ……………5分 所以)5000100(21])100([41222+-=-+=x x x x y )9010(≤≤x . ………7分 （2）由于2500)50(21)5000100(2122+-=+-=x x x y , ………………10分所以当x ＝50时，y 有最小值为1250万元. …………………11分所以当供气站建在距A 城50km, 电费用最小值1250万元. ……12分19. 解: (1) 函数)(x f 图像过原点,∴ 0)0(=f ,即0=c . …………………3分(3) 令031131)()(=-+=-=xx xe e ef xg , …………………12分 21=∴xe , …………………13分 即2ln -=x . …………………14分20. （本小题满分14分）解:(1)因为()f x 为偶函数,所以0=c .22212121212()()()()2222f x f x x x x x x xf ++++-=- …………………4分=2121()04x x ->, …………………5分 1212()()()22f x f x x xf ++∴>，即()f x 为H 函数. …………………6分(3) 例:2()log g x x =. ……………8分(说明:底数大于1的对数函数或2x -都可以) . 理由:当121,2x x ==时,1222()()11(log 1log 2)222g x g x +=+=, …………………10分122221231()log log log 22222x x g ++==>=, …………………12分显然不满足1212()()()22g x g x x xg ++>, 所以该函数2()log g x x =不为H 函数. …………………14分。
【数学】广东省广州市越秀区2021-2022学年高一上学期期末考试试题(解析版)
广东省广州市越秀区2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x+1＞0}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，则A∩B＝（）A．{﹣1＜x≤3}B．{﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x≤3}D．{x|﹣1＜x＜3} 2．若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣B．﹣C．D．3．已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4．下列说法中，错误的是（）A．若a2＞b2，ab＞0，则B．若，则a＞bC．若b＞a＞0，m＞0，则D．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d5．为了得到函数的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（）个单位A．向右平移B．向右平移C．向左平移D．向左平移6．下列全称量词命题与存在量词命题中：①设A、B为两个集合，若A⊆B，则对任意x∈A，都有x∈B；②设A、B为两个集合，若A⊈B，则存在x∈A，使得x∉B；③∀x∈{y|y是无理数}，x2是有理数；④∀x∈{y|y是无理数}，x3是无理数．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．47．某人去上班，先快速走，后中速走．如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（）A．B．C．D．8．关于x的不等式（ax﹣b）（x+3）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）二、选择题：本题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列四个命题中为真命题的是（）A．“x＞2”是“x＜3”的既不充分也不必要条件B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件C．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根的充要条件是Δ＝b2﹣4ac≥0D．若集合A⊆B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件10．下列式子中成立的是（）A．log4＜log6B．（）0.3＞（）0.3C．（）3.4＜（）3.5D．log32＜log2311．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中ω＞0，A＞0，）的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．为了得到g（x）＝sin2x的图象，只要将f（x）的图象向右平移个单位长度B．函数f（x）的图象的一条对称轴为C．函数f（x）在区间上单调递增D．方程f（x）＝0在区间[0，2020]上有1285个实数解12．已知函数f（x）＝sin x|cos x|，，有以下结论（）A．f（x）的图象关于直线y轴对称B．f（x）在区间上单调递减C．f（x）的图象关于直线轴对称D．f（x）的最大值为三、填空题：本题共有4小题，每小题5分，共20分.13．计算sin330°＝．14．函数y＝（m2﹣m﹣1）是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m ＝．15．若m＞0，n＞0，m+n＝3，则的最小值为．16．已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数f（x），当x＞0时，，若直线y＝a（a∈R）与函数y＝f（x）的图象恰有八个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8的取值范围是．四、解答题：本题共有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．18．（12分）已知角α的终边落在直线上，且．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）若，，求β的值．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+，﹣2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求sin（x0+）的值．20．（12分）已知是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数a和f（1）的值；（Ⅱ）根据单调性的定义证明：f（x）在定义域上为增函数．21．（12分）某化工企业致力于改良工艺，想使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0mg/m3，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r1mg/m3，第n次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r n mg/m3，则可建立函数模型r n＝r0﹣（r0﹣r1）•50.5n+P（P∈R，n∈N*），其中n是指改良工艺的次数．已知r0＝2，r1＝1.94（参考数据：lg2≈0.3）．（Ⅰ）试求该函数模型的解析式；（Ⅱ）若该地环保部门要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg/m3，试问至少进行多少次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？22．（12分）设a为实数，函数f（x）＝x2﹣2ax．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值；（Ⅱ）设函数g（x）＝|f（x）|，h（a）为g（x）在区间[0，2]上的最大值，求h（a）的解析式；（Ⅲ）求h（a）的最小值．【参考答案】一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C【解析】因为集合A＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，则A∩B＝{x|﹣1＜x≤3}．故选：C．2．C【解析】由题意可得：＝＝＝．故选：C．3．D【解析】∵，∴a＜0，∵ln3＞ln e＝1，∴b＞1，∵0＜2﹣0.99＜20＝1，∴0＜c＜1，∴b＞c＞a，故选：D．4．A【解析】对于A，若a2＞b2，ab＞0，取a＝﹣4，b＝﹣2，则＞，故A错误；对于B，若，则＞0，所以a＞b，故B正确；对于C，若b＞a＞0，m＞0，则b﹣a＞0，则＝＞0，所以，故C正确；对于D，若a＞b，c＜d，则﹣c＞﹣d，所以a﹣c＞b﹣d，故D正确．故选：A．5．B【解析】∵y＝cos2x＝sin（2x+），∴y＝sin（2x+）向右平移个单位得到y＝sin[2（x﹣）+）]＝sin（2x﹣），故选：B．6．B【解析】根据A⊆B的定义可知，任意x∈A，都有x∈B，故①正确；若A⊈B，则存在x∈A，使得x∉B，故②正确；对于③④，π，是无理数，而π2是无理数，是有理数，故③④错误．故选：B．7．D【解析】当x＝0时，距离学校最远，不可能是0，排除A，C，先快速走，距离学校的距离原来越近，而且变化速度较快，排除B，故选：D．8．A【解析】由题意可得a＜0，且1，﹣3是方程（ax﹣b）（x+3）＝0的两根，∴x＝1为方程ax﹣b＝0的根，∴a＝b，则不等式ax+b＞0可化为x+1＜0，即x＜﹣1，∴不等式ax+b＞0的解集为（﹣∞，﹣1）．故选：A．二、选择题：本题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．ACD【解析】对于A，“x＞2”是“x＜3”的既不充分也不必要条件，故A正确；对于B，“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；对于C，ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根⇔Δ＝b2﹣4ac≥0，故C正确；对于D，若集合A⊆B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件，故D正确．故选：ACD．10．BD【解析】根据对数函数的性质，当0＜a＜1时，对数函数为减函数，故A错误，根据幂函数的性质，当幂指数大于0时，函数在第一象限单调递增，∵＞，∴（）0.3＞（）0.3，故B正确，根据指数函数的性质，当0＜a＜1时，为减函数，C错误．∵log32＜log33＝1，log23＞log22＝1，∴log32＜log23，故D正确．故选：BD．11．AB【解析】由图知，A＝1，最小正周期T＝4×（﹣）＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝sin（2x+φ），将点（，﹣1）代入函数解析式中，得﹣1＝sin（2•+φ），所以+φ＝﹣+2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ﹣，k∈Z，因为，所以当k＝1时，φ＝，所以函数f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x+），选项A，将f（x）＝sin（2x+）＝sin2（x+）的图象向右平移个单位可得到g（x）＝sin2x，即A正确；选项B，由图可知，x＝是f（x）图象的一条对称轴，即B正确；选项C，离y轴右侧最近的最高点对应的横坐标为﹣＝＜，所以函数f（x）在区间（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，即C错误；选项D，f（x）在一个周期[0，π]内有2个零点，而643π≈2019.02＜2020，即区间[0，2020]重复了643个周期的函数图象，所以方程f（x）＝0在区间[0，2020]上有643×2＝1286个实数解，即D错误．故选：AB．12．BCD【解析】当x∈[﹣，]时，f（x）＝sin x|cos x|＝sin x cos x＝sin2x，当x∈（，]时，f（x）＝sin x|cos x|＝﹣sin x cos x＝﹣sin2x，作出函数f（x）的图象如图：则函数关于y轴不对称，故A错误，区间[，π]的中点坐标为，区间[π，]的中点坐标为，则f（x）在区间[，]上单调递减，故B正确，由图象知f（x）关于x＝对称；故C正确，当x∈[﹣，]时，2x∈[﹣π，π]，当2x＝时，f（x）取得最大值，故D正确，故正确的是BCD，故选：BCD．三、填空题：本题共有4小题，每小题5分，共20分.13．﹣【解析】sin330°＝sin（360°﹣30°）＝﹣sin30°＝﹣．故答案为：﹣.14．2【解析】由题设条件及幂函数的定义知，由①解得m＝2，或m＝﹣1，代入②验证知m＝﹣1不合题意，故m＝2，故答案为2.15．3【解析】由m+n＝3，得（m+n）＝1，又m＞0，n＞0，所以+＝（m+n）（+）＝++≥+2＝3，当且仅当＝，即m＝1，n＝2时等号成立，所以+的最小值为3．故答案为：3．16．（144，225）【解析】作出函数f（x）的图象如下图所示，由图可知，0＜a＜3，由对称性可知，x1+x8＝0，x2+x7＝0，且x3x4＝x5x6＝1，∴x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8＝，∵x7，x8是方程x2﹣8x+15﹣a＝0的两个根，由根与系数的关系可得，x7x8＝15﹣a∈（12，15），∴∈（144，225），即x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8的取值范围为（144，225）．故答案为：（144，225）．四、解答题：本题共有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（1）A＝{x|0＜x＜4}，m＝2时，B＝{x|2≤x≤4}，∴A∩B＝{x|2≤x＜4}，且U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x＜2或x≥4}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1；②B≠∅时，，解得1≤m＜2；综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）．18．解：（I）由题意得，α的终边在第三象限，因为，所以sinα＝，tanα＝4，所以tan2α＝＝＝﹣；（II）因为，k∈Z，，所以α+β∈（π+2kπ，2π+2kπ），k∈Z，又，所以sin（α+β）＝﹣，所以cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝＝，所以．19．解：（1）∵图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+，﹣2）．∴A＝2，＝x0+﹣x0＝，即函数的周期T＝π，即T＝，解得ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+）．∴2x0+＝，即x0＝，则sin（x0+）＝sin（+）＝sin cos+cos sin＝（sin+cos）＝（）＝．20．解：（Ⅰ）∵f（x）是R上是奇函数，∴f（0）＝0，即f（0）＝＝0，得a＝1，此时f（x）＝，则f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，满足条件，则f（1）＝＝．证明：（Ⅱ）f（x）＝＝＝1﹣，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝，∵x1＜x2，∴＜，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即f（x）在R上是增函数．21．解：（I）根据题意，1.94＝2﹣（2﹣1.94）⋅50.5+P⇒P＝﹣0.5，所以该函数模型的解析式为（II）由（I），令，，则，而n∈N*，则n≥6．综上：至少进行6次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．22．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1，∵x∈[0，2]，∴当x＝1或2时，f（x）取得最大值0，即f（x）在区间[0，2]上的最大值为0．（Ⅱ）g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，①当a≤0时，g（x）＝x2﹣2ax在[0，2]上单调递增，∴h（a）＝g（2）＝4﹣4a；②当0＜a＜1时，g（x）在[0，a）上是单调递增，在[a，2a）上单调递减，在[2a，2]上单调递增，而g（a）＝a2，g（2）＝4﹣4a，∵g（a）﹣g（2）＝a2+4a﹣4＝（a﹣2+2）（a+2+2），∴当0＜a＜2﹣2时，h（a）＝g（2）＝4﹣4a；当2﹣≤a＜1时，h（a）＝g（a）＝a2，③当1≤a＜2时，g（x）在[0，a）上是单调递增，在[a，2]上单调递减，∴h（a）＝g（a）＝a2，④当a≥2时，g（x）在[0，2]上是单调递增，∴h（a）＝g（2）＝4a﹣4，综上所述，h（a）＝，（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a＜2﹣2时，h（a）单调递减，无最小值，当2≤a＜2时，h（a）＝a2单调递增，∴h（a）的最小值为h（2﹣2）＝12﹣8，当a≥2时，h（a）＝4a﹣4单调递增，最小值为h（2）＝4，比较可知，h（a）的最小值为h（2﹣2）＝12﹣8．。
最新版高一数学上学期期末考试试题及答案(新人教A版 第113套)
福建省福州市八县高一数学上学期期末考试试题新人教A 版一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的，请把答案填在答题卡相应位置1．过两点A （4，y ），B （2，-3）的直线的倾斜角是1350，则y= （ ）A ．5B 、-5C 、1D 、-12 已知两条相交直线a 、b ，//a 平面α，则b 与α的位置关系是（ ）A ．b ⊂平面αB ．b 与平面α相交C ．//b 平面αD ．b 与平面α相交或//b 平面α 3．方程052422=+-++m y x y x 表示圆的条件是（ ）A. 1<mB. 1>mC. 41<m D. 141<<m 4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、2、3，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A π7B π14C π28D π565．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形'''A B O ，若''1O B =，那么原∆ABO 的面积是（ ）A ．12 B．2CD ．6．在空间直坐标系中，点P 在x 轴上，它到P 1（03）的距离为32，则点P 的坐标为（ ）A （0，1，0）或（0，－1，0）B （1，0，0）C （1，0，0）或（－1，0，0）D （0，1，0）或（0，0，1） 7．已知直线l 、m 、n 与平面α、β，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，n ∥l ，则m ∥n ②若m ⊥α ，m ∥β， 则α ⊥β③若m ∥α ，n ∥α，则m ∥n ④若m ⊥β ，α ⊥β ，则m ∥α 或m ⊂α 其中假命题．．．是（ ）． (A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④ 8．一个几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ） A. 24π B. 30π C. 48π D. 72π9．已知圆22:40C x y x +-=，直线l ：x+my-3=0，则（ ）A.l 与C 相交B. l 与C 相切C.l 与C 相离D. 以上三个选项均有可能图1正视图 俯视图侧视图CABPN M10．如图，三棱柱111A B C ABC -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．直线AC ⊥平面11ABB A C ．直线A 1C 1与平面1AB E 不相交D ．EB B 1∠是二面角B 1-AE-B 的平面角11．若直线03)1(:1=--+y a ax l 与直线02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直，则a 的值是( ）A. 1或3-B. 1C. 0或23-D. 3-12．若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）.A ]60,15[ .B ]90,0[ .C ]60,30[ .D ]75,15[二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分。
广东省佛山市11-12学年高一数学上学期期末质量检测试题新人教A版
2012年某某市普通高中高一教学期末质量检测数 学本试卷共4页,20小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}0,1,2M =,{}1,3N =，则MN 是（ ）A ．{}1 B.{}2 C. {}3 D. {}0,1,2,3 2. 已知菱形的两邻边对应向量,OA a OB b ==其对角线交点是E ，则OE 等于( )A.12a b + B. 12b a + C. 1()2a b + D.a b + 3．函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5) 4. 已知函数 ⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛41f f =（ ）A ．9B ．19C ．9-D ．19- 5. 为了得到函数cos(2),3y x x R π=-∈的图象，只需把函数x y 2cos =的图象（ ）A. 向左平行移动3π个单位长度 B. 向右平行移动3π个单位长度 C. 向左平行移动6π个单位长度 D. 向右平行移动6π个单位长度6．在下列函数中,以2π为周期的奇函数是( ) A ．sin 2y x = B ．cos y x =C ．1tan2y x =D ．tan y x =- 2012 . 17. 若0.32121(),0.3,log 22a b c -===，则,,a b c 大小关系为( )A. a b c >>B. a c b >>c b a >> D. b a c >> 8. 若3sin cos 0αα+=,则 21cos 2sin cos ααα+的值为( )w A.103B. 53C.23D. 2- 9. 在同一坐标系中画出函数 a x y a y x y xa +===,,log 的图象, 可能正确的是10.设min{, }p q 表示p ，q 两者中的较小者，若函数2()min{3, log }f x x x ，则满足1()2f x 的x的集合为 A. 5(0,(,)2 B. (0, +)C. 5(0, 2)(,)2D. )二、填空题:本大共4小题,每小题5分，满分20分）11. 幂函数()f x 的图象经过点，则()f x 的解析式是_______12. 已知点(1,1)A -，点(2,)B y ，向量=(1,2)a ，若//AB a ，则实数y的值为_________13. 函数12y x=-的定义域为__________14．已知()cos 3f x x π=,则(0)(1)(2)(12)f f f f +++⋅⋅⋅+=__________三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.BAC D15．（本题满分12分）已知4cos 5α=-，并且α是第二象限的角 （1）求sin α和tan α的值; （2）求4tan()3πα++的值16．（本题满分12分）已知函数3()1f x x -=+,[]3,5x ∈ (1) 判断()f x 在区间[]3,5上的单调性并证明； (2) 求()f x 的最大值和最小值.17．（本题满分14分）已知函数)||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 在一个周期内的图象如图所示. （1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间； (3) 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的取值X 围.18. （本题满分14分）光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强-2x度为k (k 为常数)，通过x 块玻璃以后强度为y .(1)当3x =时，求y 的值; (2)写出y 关于x 的函数关系式；(3)通过多少块玻璃以后，光线强度将减弱到原来的13以下？ （参考数据：3010.02lg ≈, lg30.4771≈）19．（本题满分14分）已知函数()()()log 32,()log 32,(0,a a f x x g x x a =+=->且)1≠a ． （1）求函数)()(x g x f -定义域；(2) 判断函数)()(x g x f -的奇偶性，并予以证明； （3）求使0)()(>-x g x f 的x 的取值X 围．20．（本题满分14分）已知函数2()(3)3,f x kx k x k =+++其中为常数 （1）若(2)3f =，求函数()f x 的表达式；（2）在（1）的条件下，设函数()()g x f x mx =-，若()[2,2]g x -在区间上是单调函数，某某数m 的取值X 围；（3）是否存在k 使得函数()f x 在[1,4]-上的最大值是4？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.2012年某某市普通高中高一教学质量检测数学试题参考答案和评分标准一、选择题（每题5分，共50分）二、填空题（每题5分，共20分）11．12()f x x= 12．7 13.{}1,x x x≥-≠且2 14．1三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分12分）解：（1）4cos5α=-，又α是第二象限的角3sin5α∴===,sin3tancos4ααα==-…………6分(2) 4tan()34tan30παα++=+=………………12分16．（本题满分12分）解：(1)()f x在[]3,5上单调递增………………1分证明如下：设任意的[]12,3,5x x∈且12x x<,则………………2分12()()f x f x-=(131x-+)-(231x-+)=132+x131x-+=12123(1)(1)x xx x-⋅++,……………5分[]12,3,5x x∈且12x x<121210,10,0x x x x∴+>+>-<12()()0f x f x∴-<12()()f x f x∴<3()1f xx-∴=+在[]3,5上单调递增………………8分2012 . 1（2）min 33()314f x -==-+; ………………10分 max31()512f x -==-+………………12分17．（本题满分14分）解：（1）由图像知2A =，…………………1分1152()1212T πππ=⨯-=，2,2ππωω∴=∴=…………………3分由图像过点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭得52sin()06πϕ+=，观察图像取56πϕπ+=，得6πϕ=…………………5分 ∴)62sin(2)(π+=x x f .…………………6分（2）由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈…………………7分解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈…………………9分故函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.…………………10分（3）50,22666x x ππππ≤≤∴≤+≤…………………12分 ()f x ∴的取值X 围为[]1,2-…………………14分18. （本题满分14分）解：(1)光线经过1块玻璃后强度为(110%)0.9k k -⋅=光线经过2块玻璃后强度为22(110%)0.9k k -⋅=光线经过3块玻璃后强度为33(110%)0.9k k -⋅=…………………3分 (2)光线经过x 块玻璃后强度为0.9(* )xy k x N =∈…………………5分(3)由题意0.93xk k <, 10.93x∴<…………………6分 两边取对数1lg 0.9lg3x <…………………8分1lg3lg 0.90,lg 0.9x <∴>…………………10分 1lglg 30.4771310.4lg 0.92lg 310.95421--==≈--min11x ∴=………………13分答：通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下 ………………14分19．（本题满分14分）解：320(1)()(),:320x f x g x x +>⎧-⎨->⎩使函数有意义必须有 解得:3322x -<<所以函数)()(x g x f -的定义域是3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭………………3分 (2)由(1)知函数)()(x g x f -的定义域关于原点对称 ………………4分[][]()()log (32)log (32)log (32)log (32)()()a a a a f x g x x x x x f x g x ---=--+=-+--=--………6分∴函数)()(x g x f -是奇函数 ………………7分(3) 使)()(x g x f ->0,即log (32)log (32)a a x x +>-当1>a 时, 有3232320320x x x x +>-⎧⎪->⎨⎪+>⎩解得x 的取值X 围是30,2⎛⎫⎪⎝⎭………10分当10<<a 时, 有3232320320x x x x +<-⎧⎪->⎨⎪+>⎩解得x 的取值X 围是3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭…………13分综上所述：当1>a 时x 的取值X 围是30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，当10<<a 时x 的取值X 围是3,02⎛⎫-⎪⎝⎭………………14分20．（本题满分14分）解：（1）∵33)3(24)2(=+++=k k f 解得1-=k ………………1分 ∴32)(2++-=x x x f ………………2分（2） 由（1）可得 mx x x x g -++-=32)(23)2(2+-+-=x m x ， 其对称轴方程为 220mx -=………………3分 若)(x g 在]2,2[-上为增函数，则20≥x ，解得2-≤m ………………4分 若)(x g 在]2,2[-上为减函数，则20-≤x ，解得6≥m ………………5分综上可知，m 的取值X 围为{}2,6m m m ≤-≥或. ……………… 6分（3）当0k =时函数()33f x x =+在[1,4]-上的最大值是15，不满足条件………7分当0k ≠时假设存在满足条件的k ，则()f x 的最大值只可能在0,4,1x -处取得， 其中kkx 230+-=……………… 8分 ①若4)1()(max =-=f x f ，则有433=+--k k ， k 的值不存在，………9分 ②若4)4()(max ==f x f ，则4341216=+++k k ，解得2011-=k ，此时，对称轴]4,1[22490-∈=x ，则最大值应在0x 处取得，与条件矛盾，舍去……………10分 ③若4)()(0max==x f x f ，则0<k ，且44)3(342=+-⨯kk k ，……………11分化简得09102=++k k ，解得1-=k 或9-=k ，满足 0<k ………………13分综上可知，当1-=k 或9-=k 时，函数()f x 在[1,4]-上的最大值是4. …………14分。
广东省广州市学年高一数学上学期期末教学质量监测试题(扫描版)
广东省广州市2013-2014学年学年高一数学上学期期末教学质量监测试题（扫描版）高一数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．11. 2 12. 9 13. 060 14. ④三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．(本小题满分12分)解: (1)当5m =时, {}53≤≤-=x x A ，{}7B x x =<, …………2分 A B ∴= {}35x x -≤≤, …………4分 U Að{}35x x x =<->或， …………6分 ∴=U C A B R . …………8分(2){}53≤≤-=x x A ，A B ⊆， ∴523m <-, …………10分 即4m >. 实数的取值范围为()4,+?. …………12分16．(本小题满分12分)解: (1) ∵()()0(4,1),6,3,0,A B C y ，且CA CB =,CA =…………2分CB =…………4分=…………5分∴07y =. …………6分(2) ∵AC AB ^, ∴1AB AC k k ⋅=-, …………8分∴013116404y --⨯=---, …………9分 解得05y =. …………10分351603BC k -==--, …………11分 ∴直线BC 的方程为()1503y x -=--，即3150x y +-=. …………12分17.解:证明: (1)设BD 与AC 的交点为F .连接F E ,.F E ,分别为1DD ,DB 的中点 …………1分 ∴1//BD EF …………2分 又 1BD ⊄平面AEC , EF ⊂平面AEC , …………3分 ∴1BD //平面AEC . …………4分(2)在正方体1111D C B A ABCD -中,四边形ABCD 是正方形, AC BD ∴⊥ …………5分 又在正方体1111D C B A ABCD -中,∴1DD ⊥平面ABCD , …………6分 又AC ⊂平面ABCD ,1DD AC ∴⊥, …………7分 1DD ⊂平面1D DB ,BD ⊂平面1D DB , 1BD DD D ⋂=, …………8分 ∴AC ⊥平面1D DB …………9分 AC ⊂平面AEC ,∴平面1D DB ⊥平面AEC …………10分(3) 以点D 为坐标原点,以DA 方向为x 轴,DC 方向为y 轴，1DD 方向为z 轴，建立空间直角坐标系， …………11分 由正方体的棱长为2，知()10,0,2D ，()2,2,0B ,()0,2,0C ，则1D B 的中点()111P ，，, ()0,2,Q z ………12分∴PQ ==, …………13分 ∴当1z =时（此时Q 为棱1C C 的中点）,PQ …………14分18.解（1）由题意可知，当月产量为x 台时，总成本()g x 为202x +万元。
最新版高一数学上学期期末考试试题及答案(新人教A版 第113套)
福建省福州市八县高一数学上学期期末考试试题新人教A 版一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的，请把答案填在答题卡相应位置1．过两点A （4，y ），B （2，-3）的直线的倾斜角是1350，则y= （ ）A ．5B 、-5C 、1D 、-12 已知两条相交直线a 、b ，//a 平面α，则b 与α的位置关系是（ ）A ．b ⊂平面αB ．b 与平面α相交C ．//b 平面αD ．b 与平面α相交或//b 平面α 3．方程052422=+-++m y x y x 表示圆的条件是（ ）A. 1<mB. 1>mC. 41<m D. 141<<m 4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、2、3，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A π7B π14C π28D π565．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形'''A B O ，若''1O B =，那么原∆ABO 的面积是（ ）A ．12 B．2CD ．6．在空间直坐标系中，点P 在x 轴上，它到P 1（03）的距离为32，则点P 的坐标为（ ）A （0，1，0）或（0，－1，0）B （1，0，0）C （1，0，0）或（－1，0，0）D （0，1，0）或（0，0，1） 7．已知直线l 、m 、n 与平面α、β，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，n ∥l ，则m ∥n ②若m ⊥α ，m ∥β， 则α ⊥β③若m ∥α ，n ∥α，则m ∥n ④若m ⊥β ，α ⊥β ，则m ∥α 或m ⊂α 其中假命题．．．是（ ）． (A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④ 8．一个几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ） A. 24π B. 30π C. 48π D. 72π9．已知圆22:40C x y x +-=，直线l ：x+my-3=0，则（ ）A.l 与C 相交B. l 与C 相切C.l 与C 相离D. 以上三个选项均有可能图1正视图 俯视图侧视图CABPN M10．如图，三棱柱111A B C ABC -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．直线AC ⊥平面11ABB A C ．直线A 1C 1与平面1AB E 不相交D ．EB B 1∠是二面角B 1-AE-B 的平面角11．若直线03)1(:1=--+y a ax l 与直线02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直，则a 的值是( ）A. 1或3-B. 1C. 0或23-D. 3-12．若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）.A ]60,15[ .B ]90,0[ .C ]60,30[ .D ]75,15[二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分。
广东省执信中学11-12学年高一上学期期末试题(数学)
广东执信中学2011—2012学年高一（上）期末考试数 学本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。
考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B 铅笔填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ） A ．2πcm 2 B ．2 cm 2 C ．4πcm 2 D ．4 cm 22．下列函数中，①x x x y -+=tan sin ；②x x y cos sin 2+=；③x y sin =；④⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 3πx y ，属于偶函数．．．的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3．角α的终边上有一点)5,(m P ，且)0(,13cos ≠=m mα，则sin α=（ ） A ．135 B ．135- C ．1312或1312- D ．135或135-4．函数)26sin(2x y -=π为增函数的区间是（ ）A ．)](3,6[Z k k k ∈++-ππππB ．)](4617,465[Z k k k ∈++ππππC ．)](65,3[Z k k k ∈++ππππ D ．)](265,23[Z k k k ∈++ππππ 5．设方程6ln 2=+x x 的解为,0x 则0x 所在的区间是（ ）A ．(2， 3 )B ．(3， 4 )C ． (0， 1 )D ．(1， 2 )6．已知θ为第一象限角，设)3,(sin θ=a ，)3,(cos θ=b ，且b a //，则θ一定为（ ） A ．6πB ．)(26Z k k ∈+ππC ．)(23Z k k ∈+ππD ．)(6Z k k ∈+ππ7．若θ<cos ，且θθθθcos sin 21sin cos -=-，那么θ是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角8．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括A C ，），则AP =u u u r（ ） A ．()(01)AB AD λλ+∈u u u r u u u r，，B ．()0AB BC λλ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r 2，， C ．()(01)AB AD λλ-∈u u u r u u u r，，D ．()0AB AC λλ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r2，，29．将函数f (x )=cos(2x －3π)的图象向左平移3π个单位，再将图象上各点的横坐标压缩到原来的21，那么所得到的图象的解析表达式为 （ ） A ．y = cos 4x B ．y = cos x C ．y = cos (4x +3π) D ．y = cos (x +3π) 10．已知函数1)tan(3+=x y ω在⎪⎭⎫⎝⎛-43ππ，内是减函数，则ω的取值范围是（ ） A ．2323≤≤-ω B ．023<≤-ω C ．02<≤-ω D ．22≤≤-ω二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．关于x 的方程062)1(2=++-+m x m x 有两个实根βα,，且满足βα<<1，则实数m 的取值范围是__________.12．如图，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，3BD DC =u u u r u u u r ，则向量AD u u u r可用a r ，br 表示为___________. 13．若x x f 2sin2)(π=，则=+++)11()2()1(f f f Λ______________.14．设a 为常数，且1>a ，则函数1sin 2cos )(2-+=x a x x f 的最大值为_________.三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分10分）已知)sin()27sin()23cos()(πθθππθθ--+⋅-=f （1）化简)(θf ； （2）若31)(=θf ，求θtan 的值； （3）若31)6(=-θπf ，求)65(θπ+f 的值. 16．（本题满分10分）已知21,e e 是平面内两个不共线的非零向量，212e e +=，1e e λ+-=，2e e +-=，且C E A ,,三点共线.（1）求实数λ的值；（2）若)1,2(1=e ，)2,2(2-=e ，求BC 的坐标；（3）已知点)5,3(D ，在（2）的条件下，若ABCD 四点按逆时针顺序．．．．．构成平行四边形， 求点A 的坐标.17．（本题满分10分）已知函数=)(x f )42sin(2π-x ．（1）利用“五点法”，按照列表-描点-连线三步，画出函数一个周期．．．．的图象； （2）求出函数)(x f 的所有对称中心的坐标； （3）当∈x ]8,2[ππ-时，0)(=-a x f 有解，求实数a 的取值范围．第二部分 能力检测(共50分)四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．18．已知点O 为ABC ∆内一点，向量,,满足0=++OC OB OA ，1===OC OB OA ，则ABC ∆的形状为___________，ABC ∆的周长为___________.19．已知函数1)3sin(3)(+-=πx x f ，在下列四个命题中：①函数)(x f y =的最小正周期是π； ②函数的表达式可以改写为1)65cos(3)(+-=πx x f ； ③若21x x ≠，且1)()(21==x f x f ，则)0(21≠∈=-k Z k k x x 且π； ④对任意的实数x ，都有)65()65(x f x f -=+ππ成立； 其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）．五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本题满分12分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2:00 5:00 8:00 11:00 14:00 17:00 20:00 23:00 水深（米）7.55.02.55.07.55.02.55.0经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数b t A t f ++=)sin()(ϕω)2,0,(πϕω<>A 来描述.（据以上数据，求出函数b t A t f ++=)sin()(ϕω的表达式；（条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有安全间隙（船底与洋底的距离），该船在一天内（0:00~24:00）何时能进入港口？在港口能停留多久？21．（本题满分14分）1已知函数)0(1)(2≥++=x x b ax x f ，)1(22)(x b x g +=，R b a ∈,,且2)0(=g ，32)3(-=f . （1）求)(x f 、)(x g 的解析式；（2）)(x h 为定义在R 上的奇．函数，且满足下列性质：①)()2(x h x h -=+对一切实数x 恒成立；②当10≤≤x 时)](log )([21)(2x g x f x h +-=. （ⅰ）求当31<≤-x 时，函数)(x h 的解析式； （ⅱ）求方程21)(-=x h 在区间]2012,0[上的解的个数.22．（本题满分14分）已知函数x xax f 22)(-=（R a ∈），将)(x f y =的图象向右平移两个单位，得到函数)(x g y =的图象，函数)(x h y =与函数)(x g y =的图象关于直线1=y 对称.（1）求函数)(x g y =和)(x h y =的解析式；（2）若方程a x f =)(在]1,0[∈x 上有且仅有一个实根，求a 的取值范围；（3）设)()()(x h x f x F +=，已知a x F 32)(+>对任意的），（∞+∈1x 恒成立，求a 的取广东实验中学2011—2012学年高一级模块考试数学 参考答案第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DDACABCACB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11. 2-<m ； 12. 1344a b +r r； 13. 0； 14. 12-a三、解答题：本大题共3小题，共30分． 15、（本题满分10分） 解：（1）θθθθθcos sin )cos ()sin ()(=-⋅-=f ……4分(每对一个1分)（2）31cos )(==θθf ， 当θ为第一象限角时，322cos 1sin 2=-=θθ，22cos sin tan ==θθθ ……6分 当θ为第四象限角时，322cos 1sin 2-=--=θθ，22cos sin tan -==θθθ ……7分（3）31)6cos()6(=-=-θπθπf )]6(cos[)65cos()65(θππθπθπ--=+=+f ……8分 31)6cos(-=--=θπ ……10分16、（本题满分10分）解：（1）212121)1()()2(e e e e e e λλ++=+-++=+= ……1分ΘC E A ,,三点共线，∴存在实数k ，使得k = ……2分即)2()1(2121e e k e e +-=++λ，得21)1()21(e k e k λ--=+ ……3分Θ21,e e 是平面内两个不共线的非零向量，⎩⎨⎧-==+∴121k k λ ……4分解得23,21-==λk . ……5分 （2）)2,7()1,1()3,6(21321--=-+--=--=+=e e EC BE ……7分 （3）ΘABCD 四点按逆时针顺序构成平行四边形，BC AD =∴ ……8分 设),(y x A ，则)5,3(y x AD --=，又)2,7(--=BC⎩⎨⎧--∴2573y x ，……9分 解得⎩⎨⎧==y x ，点A(10,7). ……10分17、（本题满分10分）解：（1）列表、画图如下：……列表2分，画图2分-229π87π85π83π8π82π3π2ππ20f (x )x 2x -π4π8π43π8π25π83π47π8π9π85π4xy221O-1-2-2（2）令ππk x =-42，……5分解得28ππk x +=，对称中心坐标为)0,28(ππk +)(Z k ∈ ……6分 （3）82ππ≤≤-x ，42ππ≤≤-∴x ，04245≤-≤-∴ππx ， ……7分 2242sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-∴πx ，142sin 22≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-∴πx ……9分 0)(=-a x f 有解，即)(x f a =有解，故]1,2[-∈a . ……10分第二部分 能力检测(共50分)四、选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分． 18、等边三角形，33 19、②③④五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20、（本题满分12分）解：（1）由表格知5.7max =f ，5.2min =f ， ……1分252min max =-=f f A ，52minmax =+=f f b ……2分12=T ，62ππω==∴T ， ……4分 即5)6sin(25)(++=ϕπt t f 当2=t 时，ππϕπk 2226+=+⋅，解得ππϕk 26+=，又2πϕ<，6πϕ=∴ ……6分5)66sin(25)(++=∴ππt t f . （2）货船需要的安全水深为4.25+2=6.25米，所以当25.6)(≥t f 时就可以进港. ……7分 令25.65)66sin(25≥++ππt ，得21)66sin(≥+ππt ……8分 ππππππk t k 2656626+≤+≤+∴， ……9分 解得k t k 12412+≤≤，……10分又)24,0[∈t ，故0=k 时，]4,0[∈t ；1=k 时，]16,12[∈t ……11分即货船可以在0时进港，早晨4时出港；或在中午12时进港，下午16时出港，每次可以在港口停留4小时左右. ……12分21、（本题满分14分）1解：（1）由2)0(,32)3(=-=g f 得22,3223=-=+bb a ， ……1分解得，1,1=-=b a ． x x x f -+=∴21)(，212)(x x g += ……3分（2）当10≤≤x 时，x x h 21)(=，∴当01≤≤-x 时，x x h x h 21)()(=--=， 11,21)(≤≤-=∴x x x h ……5分 当31<<x 时，121<-<-x ，)2(21)2()(--=--=∴x x h x h ……7分 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-=.31),2(21,11,21)(x x x x x h ……8分由,21)(-=x h 得1-=x∵),(2(x h x h -=+)()]([)2()4(x h x h x h x h =--=+-=+∴,∴)(x h 是以4为周期的周期函数, ……10分故21)(-=x h 的所有解是41()x n n Z =-∈, ……12分 令2012140≤-≤n , 则4201341≤≤n 而,n Z ∈∴,∴21在上共有503个解. ……14分22、（本题满分14分） 解：（1）()()22222---=-=x x a x f x g ， ……1分设()x h y =的图像上一点()y x P ,，点()y x P ,关于1=y 的对称点为()y x Q -2,，……2分由点Q 在()x g y =的图像上，所以y a x x -=---22222， 于是22222--+-=x x a y 即()22222--+-=x x a x h . ……4分（2）设xt 2=，]1,0[∈x Θ，]2,1[∈ta a xx =-22得a t a t =-，即02=--a at t 在]2,1[∈t 上有且仅有一个实根 ……5分 设a at t t k --=2)(，对称轴2at =∴0)2()1(≤⋅k k ① ……6分 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=∆2210a ② ……7分由①得 0)34)(21≤--a a （，即0)43)(12≤--a a （，3421≤≤a ……8分 由②得 ⎩⎨⎧≤≤=+42042a a a 无解3421≤≤∴a ……9分 （3）223243)()()(++⋅=+=x x ax h x f x F 由a x F 32)(+>，化简得a ax x >+⋅2241，设x t 2=，),2(+∞∈t 即0442>+-a at t 对任意),2(+∞∈t 恒成立. ……10分 解法一：设a at t t m 44)(2+-=，对称轴a t 2=则016162<-=∆a a ③ ……11分 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥-=∆0)2(22016162m a a a ④ ……12分由③得10<<a ， 由④得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥≤1110a a a a 或，即0≤a 或1=a综上，1≤a . ……14分解法二：注意到11>-t ，分离参数得)1(42-<t t a 对任意),2(+∞∈t 恒成立 ……11分设)1()(2-=t t t m ，),2(+∞∈t ，即min )(41t m a <211)1()1()(2+-+-=-=t t t t t m ……12分可证)(t m 在),2(+∞上单调递增 ……13分4)2()(=<∴m t m1441=⋅≤∴a ……14分。
2019-2020年广州市越秀区高一上册期末数学试题(有答案)
广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1．（5分）已知集合M={∈|（﹣3）≤0}，N={|ln＜1}，则M∩N=（）A．{1，2} B．{2，3} C．{0，1，2} D．{1，2，3}2．（5分）函数f（）=ln﹣的零点所在的大致区间是（）A．B．（1，2）C．（2，3）D．（e，+∞）3．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下些说法正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β4．（5分）已知函数，设，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（a）＜f（c）＜f（b）C．f（b）＜f（c）＜f（a）D．f（b）＜f（a）＜f（c）5．（5分）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．（5分）一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2B，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原的2倍，若该病毒占据64MB内存（1MB=210B），则开机后经过（）分钟．A．45 B．44 C．46 D．47||的图象大7．（5分）若当∈R时，函数f（）=a||始终满足0＜|f（）|≤1，则函数y=loga致为（）A． B．C．D．8．（5分）在平面直角坐标系中，下列四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程y+1=（﹣2）可表示同一直线；④直线l过点P（0，y），倾斜角为90°，则其方程为=°；其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（）A．2R B．C． D．10．（5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．11．（5分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°12．（5分）已知函数y=f（）是定义域为R的偶函数．当≥0时，f（）=若关于的方程[f（）]2+af（）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.）13．（5分）计算的结果是．14．（5分）已知4a=2，lg=a，则= ．15．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．16．（5分）已知：在三棱锥P﹣ABQ 中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）17．（10分）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．18．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE；（Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．19．（12分）已知函数为奇函数，（1）求a的值；（2）当0≤≤1时，关于的方程f（）+1=t有解，求实数t的取值范围；（3）解关于的不等式f（2﹣m）≥f（2﹣2m）．20．（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品，（f（）的部分图象如图1）；投资股票等风险型A的收益f（）与投资金额的关系是f（）=1产品B的收益g（）与投资金额的关系是，（g（）的部分图象如图2）；（收益与投资金额单位：万元）．（1）根据图1、图2分别求出f（）、g（）的解析式；（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．22．（12分）已知函数f（）=a2+b+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a表示）广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1．（5分）已知集合M={∈|（﹣3）≤0}，N={|ln＜1}，则M∩N=（）A．{1，2} B．{2，3} C．{0，1，2} D．{1，2，3}【解答】解：集合M={∈|（﹣3）≤0}={∈|0≤≤3}={0，1，2，3}，N={|ln＜1}={|0＜＜e}，则M∩N={1，2}．故选：A．2．（5分）函数f（）=ln﹣的零点所在的大致区间是（）A．B．（1，2）C．（2，3）D．（e，+∞）【解答】解：∵函数，∴f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，故有f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为（2，3），故选：C．3．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下些说法正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β【解答】解：若m⊂β，α⊥β，则m与α平行、相交或m⊂α，故A不正确；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，因为m∥β根据线面平行的性质在β内至少存在一条直线与m平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故B正确；若αlγ=m，βlγ=n，m∥n，则α∥β或α与β相交，故C不正确；若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行，故D不正确．故选B．4．（5分）已知函数，设，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（a）＜f（c）＜f（b）C．f（b）＜f（c）＜f（a）D．f（b）＜f（a）＜f（c）【解答】解：由复合函数的单调性可得函数f（）在（﹣1，+∞）上单调递增，又，，，因此b＞c＞a，∴f（b）＞f（c）＞f（a）．故选：B．5．（5分）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，在右侧的射影是正方形的对角线，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1C在右侧的射影也是对角线是虚线．B1如图B．故选B．6．（5分）一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2B，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原的2倍，若该病毒占据64MB内存（1MB=210B），则开机后经过（）分钟．A．45 B．44 C．46 D．47【解答】解：因为开机时占据内存2B，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原的2倍，所以3分钟后占据内存22B，两个3分钟后占据内存23B，三个3分钟后占据内存24B，故n个3分钟后，所占内存是原的2n+1倍，则应有2n+1=64×210=216，∴n=15，15×3=45，故选：A．7．（5分）若当∈R时，函数f（）=a||始终满足0＜|f（）|≤1，则函数y=loga||的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵当∈R时，函数f（）=a||始终满足0＜|f（）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=loga||的图象：黑颜色的图象．而函数y=loga ||=﹣loga||，其图象如红颜色的图象．故选B．8．（5分）在平面直角坐标系中，下列四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程y+1=（﹣2）可表示同一直线；④直线l过点P（0，y），倾斜角为90°，则其方程为=°；其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；对于②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；对于③，方程（≠2）与方程y+1=（﹣2）（∈R）不表示同一直线，故错；对于④，直线l过点P（0，y），倾斜角为90°，则其方程为=，正确；故选：B．9．（5分）如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（）A．2R B．C． D．【解答】解：由题意，水的体积==，∴容器中水的深度h==，故选：C．10．（5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2，底面边长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度相等，为，将垂足与顶点连接起即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．11．（5分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°【解答】解：因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；易证面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；故选D．12．（5分）已知函数y=f（）是定义域为R的偶函数．当≥0时，f（）=若关于的方程[f（）]2+af（）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．【解答】解：依题意f（）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当=±2时，函数取得极大值；当=0时，取得极小值0．要使关于的方程[f（）]2+af（）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（），则则有两种情况符合题意：（1），且，此时﹣a=t1+t2，则；（2）t1∈（0，1]，，此时同理可得，综上可得a的范围是．故选答案C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.）13．（5分）计算的结果是 2 ．【解答】解：运算=1﹣++lg2+lg5=1﹣0.4+0.4+1=2．故答案为2．14．（5分）已知4a=2，lg=a，则= ．【解答】解：∵4a=2，∴22a=2，即2a=1解得a=∵lg=a，∴lg=∴=，故答案为：15．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程2﹣y=0或+y﹣3=0 ．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为+y=3即+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=，把（1，2）代入所求的方程得：=2，则所求直线的方程为y=2即2﹣y=0．综上，所求直线的方程为：2﹣y=0或+y﹣3=0．故答案为：2﹣y=0或+y﹣3=016．（5分）已知：在三棱锥P﹣ABQ 中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．【解答】解：∵D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，∴EF∥AB，DC∥AB，则EF∥DC，又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD，又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，∴EF∥GH，=，，设三棱锥P﹣ABQ体积为V，则VP﹣DCQ=．∴=．∴多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）17．（10分）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．【解答】解：（1）∵点O（0，0），点C（1，3），∴OC所在直线的斜率为．（2）在平行四边形OABC中，AB∥OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为．∴CD所在直线方程为，即+3y﹣10=0．18．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE；（Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，又在正方形ABCD中，CD⊥AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，又在正方形ABCD中，AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．…（6分）解：（Ⅱ）连接BD，设B到平面CDE的距离为h，∵AB∥CD，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE，又AE⊥平面CDE，∴h=AE=1，又=，∴=，又==，∴凸多面体ABCDE的体积V=VB﹣CDE +VB﹣ADE=．…（12分）19．（12分）已知函数为奇函数，（1）求a的值；（2）当0≤≤1时，关于的方程f（）+1=t有解，求实数t的取值范围；（3）解关于的不等式f（2﹣m）≥f（2﹣2m）．【解答】解：（1）∵∈R，∴f（0）=0，∴a=﹣1…．（3分）（2）∵，∵0≤≤1，∴2≤3+1≤4…．（5分）∴…．（7分）∴…．（8分）（3）在R上单调递减，…．（9分）f（2﹣m）≥f（2﹣2m）2﹣m≤2﹣2m…．（10分）2﹣（m+2）+2m≤0（﹣2）（﹣m）≤0…．（11分）①当m＞2时，不等式的解集是{|2≤≤m}②当m=2时，不等式的解集是{|=2}③当m＜2时，不等式的解集是{|m≤≤2}…．（14分）20．（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益f（）与投资金额的关系是f（）=1，（f（）的部分图象如图1）；投资股票等风险型产品B的收益g（）与投资金额的关系是，（g（）的部分图象如图2）；（收益与投资金额单位：万元）．（1）根据图1、图2分别求出f（）、g（）的解析式；（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【解答】解：（1）设投资为万元，由题意，知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；解得1=，2=，∴f（）=，≥0．g（）=，≥0；（2）设对股票等风险型产品B投资万元，则对债券等稳键型产品A投资（10﹣）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，则y=，≥0．设=t，则=t2，0≤t≤∴y=﹣，当t=，也即=时，y取最大值．答：对股票等风险型产品B投资万元，对债券等稳键型产品A投资万元时，可获最大收益万元．21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）连接CN，因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，所以AC⊥CC1，…（2分）因为AC⊥BC，所以AC⊥平面BCC1B1．…（3分）因为MC=1，CN==，所以MN=…（4分）（Ⅱ）证明：取AB中点D，连接DM，DB1…（5分）在△ABC中，因为M为AC中点，所以DM∥BC，DM=BC．在矩形B1BCC1中，因为N为B1C1中点，所以B1N∥BC，B1N=BC．所以DM∥B1N，DM=B1N．所以四边形MDB1N为平行四边形，所以MN∥DB1．…（7分）因为MN⊄平面ABB1A1，DB1⊂平面ABB1A1…（8分）所以MN∥平面ABB1A1．…（9分）（Ⅲ）解：线段CC1上存在点Q，且Q为CC1中点时，有A1B⊥平面MNQ．…（11分）证明如下：连接BC1，在正方形BB1C1C中易证QN⊥BC1．又A1C1⊥平面BB1C1C，所以A1C1⊥QN，从而NQ⊥平面A1BC1．…（12分）所以A1B⊥QN．…（13分）同理可得A1B⊥MQ，所以A1B⊥平面MNQ．故线段CC1上存在点Q，使得A1B⊥平面MNQ．…（14分）22．（12分）已知函数f（）=a2+b+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a表示）【解答】（1）抛物线的对称轴为，①当时，即b＞﹣4a时，当时，，f（）min=f（2）=4a+2b+c=﹣2，∴，∴a=﹣2，b=3．②当时，即b≥﹣4a时，f（）在[0，2]上为增函数，f（）min =f（0）=0与f（）min=﹣2矛盾，无解，综合得：a=﹣2，b=3．（2）对任意∈[1，2]恒成立，即对任意∈[1，2]恒成立，即对任意∈[1，2]恒成立，令，则，∵0＜a＜1，∴，（ⅰ）若，即时，g（）在[1，2]单调递减，此时，即，得，此时，∴∴．（ⅱ）若，即时，g（）在单调递减，在单调递增，此时，，只要，当时，，当时，，．综上得：①时，；②时，；③时，．。
最新版高一数学上学期期末考试试题及答案(新人教A版 第40套)
广东省执信中学高一数学上学期期末考试试题新人教A 版本试卷分选择题和非选择题两部分满分为150分.考试用时120分钟 注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．三个数6.05，56.0，5log 6.0的大小顺序是 ( )A ．6.06.0555log 6.0<<B ．5log 56.06.06.05<<C ．6.056.056.05log <<D ．56.06.06.055log <<2．已知直线b a 、和平面α，下列推论中错误．．的是（ ） A 、b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα B 、αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //C 、 ααα⊂⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a b b a 或//D 、 b a b a //////⇒⎭⎬⎫αα3．已知222125log 5,log 7,log 7a b ===则 （ ） A ．3a b -B ．3a b -C ．3a bD ．3a b4．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点在圆上，则实数a 等于( )．A. 10B. －10C. 20D. －205．长方体的三个相邻面的面积分别是2、3、6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则12F ED 1C 1B 1BCD A 1A7．已知几何体的三视图如右图所示，它的表面积是（ ） A 、24+B 、22+C 、23+D 、69．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )．A．①③ B ．①④C ．②③D ．②④10．设函数()f x =K ，定义函数(),()(),()K f x f xKf x K f x K ≤⎧=⎨>⎩若对于函数()f x =定义域内的任意 x ，恒有()()K f x f x =，则（ ） A ．K 的最大值为 B ．K 的最小值为C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，满分20分.11330y --=的倾斜角α= ▲ ．12.如图，AB是O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，则图中直角三角形有 ▲ 个.（要求：只需填直角三角形的个数，不需要具体指出三角形名称）13．如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别在11,AACC 上，且 主视图侧视图俯视图134AE AA =，113CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3：2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCDF ABDV V --= __▲___.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0 2)A ，，(2 0)B -，，(1 0)C ，，分别以△ABC 的边AB AC 、向外作正方形ABEF 与ACGH ，则直线FH 的一般式方程为 ▲ ．三、解答题：(本大题共6小题，满分80分；解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
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2011学年越秀区高一上学期期末教学质量检查高一数学（B ）
考生注意：本卷共三大题，20小题，满分150分，时间120分钟.不准使用计算器.
参考公式：锥体的体积公式Sh V 3
1
=
（其中S 为底面面积，h 为高）， 球的表面积公式2
4R S π= ， 球的体积公式33
4R V π=（其中R 为球的半
径）.
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题各有四个选择支，仅有一个
选择支正确. 请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1. 下列函数中，是偶函数的是（ ）
A ．2)(x x f =
B ．x x f =)(
C ．x
x f 1
)(= D ．3)(x x x f += 2．下列各式正确的是 （ ）
A ． 3
334< B. 6log 4log 5.05.0< C. 33
) 2
1
()
2
1 (>- D. 4.1lg 6.1lg <
3．直线01234=+-y x 在y 轴上的截距是 （ ）
A. 4
B. －4
C. 3
D. －3
4.如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（ ）
A ．圆锥
B ．三棱锥
C ．三棱柱
D ．三棱台
5. 函数x e x f x
+=)(的零点所在一个区间是（ ）
A.（-2,-1）
B. （-1,0）
C. （0,1） D （1,2）
6．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A ．x x g x x f ==)( ,)(2
B ．33
2)( ,2log )(x x g x f x ==
C ．x x g x x f ==)( ,) ()(2
D ．x
x x g x x f 2)( ,)(==
7．与直线3450x y ++=关于x 轴对称的直线的方程为（ ）
A ．
3450x y -+= B ．0543=-+y x C ．0534=-+y x D ．0534=++y x （第4题图）
8. 已知α是平面，b a ,是直线，且a //b ，a ⊥平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）
A ．b ⊂平面α
B ．b ⊥平面α
C ．//b 平面α
D ． b 与平面α相交但不垂直
9．已知()x f x a =，()log (01)a g x x a a =≠>且，若0)2()1(<⋅g f ，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是（ ）
10.已知偶函数)(x f y =在区间(,0]-∞上是增函数，下列不等式一定成立的是（ ） A.(3)(2)f f >- B.()(3)f f π->
C.2(1)(23)f f a a >++
D.22(2)(1)f a f a +>+
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．） 11. 直线01=+-y x 的倾斜角是 .
12. 已知⎩⎨⎧>-≤+=0
,20 ,1)(2x x x x x f ，则=))1((f f .
13. 正方体的表面积与其内切球表面积的比为 .
14．函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，并且当)(∞+∈,0x 时，()2x f x =，那么，
(1)f -= .
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分12分）
已知集合{}02≥-=x x A ,集合{}
3<=x x B . (1) 求B A ⋃； (2) 求B A ⋂； (3) 求)()(B C A C R R ⋃
16. （本小题满分14分）求经过直线03:1=-+y x l 与直线01:2=--y x l 的交点M ，且分别满足下列条件的直线方程：
（1）与直线032=-+y x 平行； （2）与直线032=-+y x 垂直.
17.（本小题满分14分）如图，正方形ABCD 的边长为1，正方形ADEF 所在平面与平面
ABCD 互相垂直，H G ,是FC DF ,的中点．
（1）求证：//GH 平面CDE ； （2）求证：BC CDE ⊥平面； （3）求三棱锥ABC G -的体积．
（第17题图）
18.（本小题满分12分）如图：A、B两城相距100 km，某天燃气公司计划在两地之间建一
天燃气站D 给A、B两城供气. 已知D地距A城x km，为保证城市安全，天燃气站距两城市
的距离均不得少于10km . 已知建设费用y (万元)与A、B两地的供气距离(km)的平方和成
正比，当天燃气站D距A城的距离为40km时, 建设费用为1300万元.（供气距离指天燃气
站距到城市的距离）
（1）把建设费用y(万元)表示成供气距离x (km)的函数，并求定义域；
（2）天燃气供气站建在距A城多远，才能使建设供气费用最小.，最小费用是多少？
B
A
（第18题图）
19. （本小题满分14分）已知函数1
)(+-=
x c
x x f , 其中c 为常数，且函数)(x f 图像过原点. (1) 求c 的值；
(2) 证明函数)(x f 在[0,2]上是单调递增函数； (3) 已知函数3
1
)()(-=x
e f x g , 求函数)(x g 的零点.
20. （本小题满分14分）
若函数()f x 满足：对定义域内任意两个不相等的实数12,x x ,都有
1212()()()22
f x f x x x
f ++>，则称函数()f x 为H 函数.已知cx x x f +=2)(,且)(x f 为
偶函数.
(1) 求c 的值；
(2) 求证:()f x 为H 函数；
(3) 试举出一个不为H 函数的函数)(x g ,并说明理由.
2011学年第一学期期末教学质量检查
高一数学B 答案
一、选择题
ACACB BABCC
16. （本小题满分14分） 解：由⎩⎨
⎧=--=-+0103y x y x 得⎩⎨⎧==1
2
y x ,所以)1,2(M . …………………2分
(1)依题意，可设所求直线为：)0(02≠=++c c y x . …………………4分 因为点M 在直线上，所以0122=++⨯c ,解得：5-=c . ………………7分
所以所求直线方程为：052=-+y x . …………………9分 (2)依题意，设所求直线为：02=+-c y x . …………………10分 因为点M 在直线上，所以0122=+⨯-c ,解得：0=c …………12分 所以所求直线方程为：02=-y x . …………………14分
（3）解：依题意: 点G 到平面ABCD 的距离h 等于点F 到平面ABCD 的一半, ………11分 即:
2
1
=
h . …………………12分 ∴
12
1
21112131=⋅⋅⋅⋅=
-ABC C V . ………………14分 (求底面积对的有1分)
18. （本小题满分12分）
解：（1）设比例系数为k ,则])100([2
2x x k y -+=)9010(≤≤x . (3)
分
(不写定义域扣1分)
又
1300
,40==y x , 所以
)
6040(130022+=k ,即
4
1
=
k , ……………5分 所
以
)5000100(2
1
])100([41222+-=-+=x x x x y )9010(≤≤x . ………7分
（2）由于2500)50(2
1)5000100(212
2+-=+-=x x x y , ………………10分
所以当x ＝50时，y 有最小值为1250万元. …………………11分
所以当供气站建在距A 城50km, 电费用最小值1250万元. ……12分
19. （本小题满分14分） 解: (1) 函数)(x f 图像过原点,
∴ 0)0(=f ,即0=c . …………………3分
(3) 令03
1
131)()(=-+=-=x
x x
e e e
f x
g , …………………12分 2
1
=
∴x
e , …………………13分 即2ln -=x . …………………14分
20. （本小题满分14分）
解:(1)因为()f x 为偶函数,所以0=c .
22212121212()()()()2222
f x f x x x x x x x
f ++++-=- …………………4分
=
2121
()04
x x ->, …………………5分 1212()()()22
f x f x x x f ++∴>，即()f x 为H 函数. …………………6分
(3) 例:2()log g x x =. ……………8分
(说明:底数大于1的对数函数或2
x -都可以) .
理由:当121,2x x ==时,
1222()()11
(log 1log 2)222
g x g x +=+=, (10)
分
122221231(
)log log log 2222
x x g ++==>, …………………12分
显然不满足1212()()()22
g x g x x x
g ++>,
所以该函数2()log g x x =不为H 函数. …………………14分。