2018届高三金陵中学海门中学南师附中三校数学四模试卷

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2018年南师附中等四校联考试题及数学答案

南京师大附中2018期初数学调研测试卷（四校联考）Ⅰ必做题部分棱锥的体积公式V棱锥13Sh =，其中为S 棱锥的底面积，h 为棱锥的高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{1,}A a =，{2,3}B =，且{3}A B =，则实数a 的值是 ▲ ．答案：3解析：{3}{1,3}3A B A a =⇒=⇒= 点评：考查集合的运算，属于容易题. 2.已知复数121iz i+=-，其中i 是虚数单位，则z 的实部是 ▲ ．答案：12-解析： 1322z i =-+ 点评：考查复数的概念及运算，属于容易题.3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．答案：42解析：先判断，后执行，易得S=42 点评：考查算法、伪代码，属于容易题.（第3题图）4.如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为 ▲ ．答案：15解析：频率之和为0.5，则天数为300.515⨯= 点评：考查频率分布直方图，属于容易题.5.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为 ▲ ．答案：14解析：基本事件总数为16，符合条件的有（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）四种情况，所以概率为41164= 点评：考查古典概型及其相关计算公式，属于容易题. 6.已知tan 34πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos 3cos θθθ2-的值为 ▲ ．答案：-2解析：222221sin cos 3cos tan 3tan ,sin cos 3cos 22sin cos tan 1θθθθθθθθθθθ--=-===-++点评：考查两角和的正切、同角的三角函数关系、构造关于tan θ的齐次式，属于容易题. 7.设数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知39S =，15225S =，n B 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则n B = ▲ ．答案：22n n +解析：代入基本量运算，可得2211,2,,,2n n n S n na d S n n B n +===⇒=∴=点评：考查等差数列的求和公式以及通项公式，基本量运算，属于容易题.8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22:104x y C m m-=>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则实数m 的值为 ▲ ．答案：16解析：渐近线方程为：y =1()1162m -=-⇒= 点评：考查双曲线的渐近线方程、两直线垂直的条件，属于容易题. 9.高为3的正四棱锥的侧面积为8，则其体积为 ▲ ．答案：3解析：设四棱锥斜高为',h底面边长为''2'21212,2,334ah a a h V sh a h ⎧=⎪⎪⇒====⎨⎪+=⎪⎩点评：考查棱锥的体积公式、侧面积公式，利用方程思想求未知数，属于中等难度题. 10.设()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间(2,2]-上，其函数解析式是(),201,02x a x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中a R ∈．若()()55f f -=，则()2f a 的值是 ▲ ．答案：1解析：(5)(5)(1)(1)1(2)1f f f f a f -=⇒-=⇒=⇒= 点评：考查函数的性质、分段函数，属于中等难度题.11.已知函数()3221f x x ax a x =+-+在[1,1]-上单调递减，则a 的取值范围是 ▲ ．答案：33a a ≤-≥或解析：易得'22()320f x x ax a =+-≤在[-1，1]上恒成立，所以''(1)0(1)033f f a a -≤≤⇒≤-≥且或点评：考查三次函数的性质、导数研究函数单调性、二次函数图象解决二次不等式恒成立问题，属于中等难度题. 12.如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则()PQ AB DC -的值为 ▲ ．答案：0解析：1122MN MN MN λλ==⇒⋅=⋅-（AB+DC），PQ PQ （AB+DC ）（AB DC ）=0 点评：考查向量的数量积、线性运算、共线定理等，属于中等难度题.13.已知圆O ：225x y +=，,A B 为圆O 上的两个动点，且2AB =，M 为弦AB的中点，),2)C a D a +．当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为 ▲ ．答案：0a >或2a <-解析：由2,OM =M 点的轨迹方程为圆221:4C x y +=，要使得始终有CMD ∠为锐角，则以CD 为直径的圆2C 与圆221:4C x y +=3>点评：考查圆中弦长公式、轨迹思想、两圆位置关系、平几知识以及等价转化思想，属于较难题.14.已知1,2a b >>2的最小值为 ▲ ．答案：6解析：令221a x -=，224b y -=，有ab MAPQDCNB2==22252(2)()96()6x y xy x y x yx y x y x y+++++++≥=≥=+++点评：考查基本不等式、换元思想等，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在△ABC中，角,,A B C的对边分别为,,a b c．已知cos cos2cosa Bb Ac C+=．（1）求角C的大小；（2）若2,c ABC=∆ABC∆的周长．解析：（1）在△ABC中，由正弦定理及cos cos2cosa Bb Ac C+=，得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，即sin C＝2sin Ccos C，………2分因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，………4分所以cos C＝12，所以C＝π3. ………7分（2）1sin2ab C=又C＝π3，所以4ab=，………9分由已知及余弦定理得222cos4a b ab C+-=故228a b+=，从而2()16a b+=………12分所以ABC的周长为6. ………14分点评：本题考查三角变换、正弦定理、余弦定理，属于基础题．16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC-中，90ABC∠=，PA PC=,平面PAC⊥平面ABC，,D E分别为,AC BC中点．（1）求证：DE∥平面PAB；（2）求证：平面PBC⊥平面PDE．解析：证明：（1）因为D，E分别为AC，BC中点．所以DE∥AB，………2分又DE⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，所以DE∥平面P AB.（2）因为P A＝PC，D为AC中点，所以PD⊥AC，又平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，PD⊂平面P AC，故PD⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以PD⊥BC．………9分因为∠ABC＝90°，DE∥AB，因此DE ⊥BC ． ………11分因为PD ⊥BC ，DE ⊥BC ，PD ∩DE ＝D ，PD ，DE ⊂平面PDE ，所以BC ⊥平面PDE ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PDE ． ………14分点评：本题考查立体几何中直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直，属于基础题． 17.（本小题满分14分）如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD ，120AB =米，80AD =米，以BCAD ,为直径的半圆1O 和半圆2O （半圆在矩形ABCD 内部）为两个半圆形水上主题乐园，,,BC CD DA 都建有围墙，游客只能从线段AB 处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着AE 、FB 修建不锈钢护栏，沿着线段EF 修建该主题乐园大门并设置检票口，其中,E F 分别为,AD BC 上的动点，//EF AB ，且线段EF 与线段AB 在圆心1O 和2O 连线的同侧．已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部分的平均修建费用为400元/米．（1）若80EF =米，则检票等候区域（图中阴影部分）面积为多少平方米？（2）试确定点E 的位置，使得修建费用最低．解析：（1）如图，20ME =米，12O M =米，梯形12O O FE 的面积为1(1208020200032+⨯= 矩形12AO O B 的面积为4800平方米． 16AO E π∠=，扇形1O A E 和扇形2O F B 的面积均为14001600263ππ⨯⨯=平方米，所以阴影部分面积为80048003π-平方米． ………5分答：检票等候区域（图中阴影部分）面积为80048003π-平方米．………6分（2）设1,(0,)2AO E πθθ∠=∈，则40AE BF θ==，120240sin 12080sin EF θθ=-⨯=-，修建费用()20080400(12080sin )16000(32sin )f θθθθθ=⨯+⨯-=+-………9分 '()16000(12cos )f θθ=-，令'()0f θ=，则πθ=，MN所以，当3θ=时，即13AO E ∠=，修建费用最低． ………13分答：当1AO E ∠为3π时，修建费用最低． ………14分点评：本题考查扇形中的常见运算，利用导数求函数最值，本题较为基础，难度适中． 18.（本小题满分16分）已知椭圆C 的方程:22221(0)x y a b a b+=>>，右准线l 方程为4x =，右焦点1,0F （），A 为椭圆的左顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆在x 轴上方一点，点N 在右准线上且满足0AM MN ⋅=且|2|5||AM MN =,求直线AM 的方程．解析：（1）,1,42==c c a3,422==∴b a 13422=+∴y x C ：椭圆， ………4分（2）设()2:+=x k y AM ()()()()()42241321324134222222222x x x x k x k x yx x k y +-=-=+⇒=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=2-≠p x ()()42322x x k -=+∴，64332211234222k k x k -=-=+∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=∴34123486222k k y k k x M M ………8分而k k MN 1-=，又,4=N x N M x x kMN -+=∴211 3462413462411222222+++=+++=∴k k k k k k k MN………10分又3412134121122222++=++=-+=k kk k x x k AM A M………12分 MN AM 25= 346241234121522222+++=++∴k k k k k k411或=∴k ………14分21412+=+=∴x y x y 或………16分点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、方程思想、弦长公式，本题较为基础，运算量适中． 19.（本小题满分16分）已知函数()ln ,(),f x x ax g x ex a R =-=∈，（e 是自然对数的底数）（1）若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；（2）若函数()()y f x g x =-在区间(1,)+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；（3）设()|()|()[1,]H x f x g x x e =∈，，若()H x 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a 的取值范围．解析：（1）设切点),(00y x P ，则00000,ln ex y ax x y =-=，00ln ()x a e x =+（*）又,1)('a x x f -=e a x xf =-=∴001)('，e a x +=∴10代入（*） ⇒1ln 0=x ，e x =∴0ee a -=∴1………3分（2）设)1()(ln )()()(≥+-=-=x xe a x x g xf x h ，当)(x h 单调递增时则())(10)(1'e a x e a x x h +≥⇒≥+-=，又]1,0(1∈x，e a e a -≤∴≤+∴,0当)(x h 单调递减时())(10)(1'e a x e a x x h +≤⇒≤+-=ea e a -≥∴≥+∴1,1综上()h x 单调时，(,][1,)a e e ∈-∞-⋃-+∞ ………6分（3）a xxex ex ax x x H -=⋅-=ln ln )(2，令],1[,ln )(e x a x xx t ∈-=，2ln 1)('x xx t -=，当],1[e x ∈时，0)('≥x t ，]1,[)(a ea x t --∈∴，1）当0≥-a ，即0≤a 时，0)(≥x t ，],1[),ln ()(2e x ax x x e x H ∈-=∴0)21(ln )('>-+=ax x e x H ，)(x H ∴在],1[e 上无极值点。

高三数学-2018年江苏地区南师大附中模考试卷资料[特约] 精品

2018年南京师大附中数学高考模拟试题参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立， P （A ·B ）=P （A ）·（B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合A ＝{0，2，4}，B ＝{x ｜x ＝ab ，a ，A b ∈，a ≠b }，则集合B 的子集的个数为（）．A ．4B ．8C ．16D ．15 2．函数)01(12<≤---=x x y 的反函数是（）．A ．)10(12<≤-=x x yB ．)01(12≤<--=x x yC ．)01(12≤<---=x x yD ．)10(12<≤--=x x y 3．已知θtan 和)4πtan(θ-是方程02=++q px x 的两根，则p 、q 间的关系是（）． A ．1-=+q p B ．01=--q p C ．01=-+q p D ．01=+-q p4．下列命题组中，使命题M 是命题N 成立的充要条件的一组命题是（）．A ．M ：a ＞b N ：22bc ac >B ．M ：||||||b a b a +=- N ：ab ≤0C ．M ：a ＞b ＞0，c ＞d ＞0 N ：ac ＞bdD ．M ：a ＞b ，c ＞d N ：a -d ＞b -c5．与直线14-=x y 平行的曲线23-+=x x y 的切线方程是（）． A ．04=-y x B ．044=--y xC ．024=--y xD ．04=-y x 或044=--y x6．正四棱锥ABCD V -的侧棱长与底面边长相等，E 是VA 中点，O 是底面中心，则异面直线EO 与BC 所成的角是（）．正棱锥、圆锥的侧面积公式cl S 21=锥侧其中c 表示底面周长, l 表示斜高或母线长球的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 7．将x x f y cos )(=的图象向右平移4π个单位，再作关于x 轴的对称变换，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 可以是（）．A ．x sin 2B ．x cos 2C ．x sin 2-D ．x cos -8．等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，若1062a a a ++为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）．A ．6SB ．11SC ．12SD ．13S 9．如果2πlog |3π|log 2121≥-x ，那么x sin 的取值范围是（）． A ．21[-，]21 B ．21[-，]1 C ．21[-，21()21 ，]1 D ．21[-，23()23 ，]1 10．若圆222)5()3(r y x =++-上有且仅有两个点到直线0234=--y x 的距离为1，则半径r 的取值范围是（）．A ．（4，6）B ．[4，)6C ．（4，]6D ．[4，6]11．某种体育彩票抽奖规定，从01到36共36个号码中抽出7个为一注，每注2元，某人想从01到10中选3个连续号，从11到20中选2个连续号，从21到30中选1个号，从31到36中选1个号组成一注，现这人把这些特殊的号全买，要花费的钱数是（）． A ．3 360元 B ．6 720元 C ．4 320元 D ．8 640元 12．已知ab ≠0，b axx12=（x ＞0，且x ≠1），则6)2(b a x x +展开式中的常数项为（）． A ．12 B ．60 C ．30 D ．160二、填空题（每小题4分，共16分）13．在10件产品中，有4件是一级品，6件是二级品，从中任取3件，则至少有一件是二级品的概率为__________（用数字作答）．14．已知P 是以1F 、2F 为焦点的双曲线12222=-b y a x 上一点，1PF ⊥2PF ，且21tan 21=∠F PF ，则此双曲线的离心率为__________． 15．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离是球直径的41，且5||=AB ，BC AC ⊥，则该球的表面积为__________．16．对于函数)1lg()(22+++=x x x x f 有以下四个结论：①)(x f 的定义域为R ；②)(x f 在（0，＋∞）上是增函数； ③)(x f 是偶函数；④若已知a ，R ∈m ，且m a f =)(，则m a a f -=-22)(．其中正确的命题的序号是__________．三、解答题（第17～21题每题12分，第22题14分，共74分）17．已知等比数列}{n a 及等差数列}{n b ，其中01=b ，公差d ≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，试求这个新数列的前10项之和．18．已知向量θ(cos =a，)sin θ，β(cos =b ，)sin β，且a 与b 之间有关系式：||3||b k a b a k-=+，其中k ＞0．（1）试用k 表示b a⋅；（2）求b a⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角α的值．19．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长都等于a ，D 、E 分别是1AC 、1BB 的中点，（1）求证：DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角C AC E --1的大小；（3）求点1C 到平面AEC 的距离．20．如图，P 为双曲线12222=-by a x （a 、b 为正常数）上任一点，过P 点作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A 、B 两点．若．（1）求证：A 、B 两点的横坐标之积为常数；（2）求△AOB 的面积（其中O 为原点）．21．某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为1)(+=n kn g （k ＞0，k 为常数，Z ∈n 且n ≥0），若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为)(n f 万元．（1）求k 的值，并求出)(n f 的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?22．对于函数1)(2++=bx ax x f （a ＞0），如果方程x x f =)(有相异两根1x ，2x ．（1）若211x x <<，且的图象关于直线x ＝m 对称．求证：21>m ；（2）若201<<x 且)(x f 2||21=-x x ，求b 的取值范围；（3）α、β为区间1[x ，]2x 上的两个不同的点，求证：02))(1(2<++--βααβb a ．参考答案1．A 2．C 3．D 4．B 5．D 6．C 7．A 8．B 9．B 10．A 11．D 12．B 13．3029 14．5 15．3π100 16．①②④17．设}{n a 的公比为q ，由题知：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+，，，221102111d q a d q a a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-===.1211d q a ，，则12-=n n a ，n b n -=1．这个新数列的前10项之和为)()()(10102211b a b a b a ++++++ 21(a a +=9782)]9(0[102121)()10102110=-++--=++++++b b b a18．（1）因为||3||b k a b a k-=+，所以22||3||b k a b a k -=+，2)(b a k +2)(3b k a -=，2222223632b k b a k a b b a k a k +-=++⋅⋅，22)3(8a k b a k -=⋅22)13(b k -+，k k k b a 81)13(1)3(22⋅⋅⋅-+-=kk k k 4182222+=+=．（2）由（1）b a⋅ 214142414412=≥+=+=⋅k k k k k k ，当且仅当k k 414=，即1=k 时取等号．此时，b a ⋅21cos ||||==⋅⋅θb a ，21cos =θ，3π=θ，所以b a⋅的最小值为21，此时a 与b 的夹角θ为3π19．（1）取AC 中点F ，连接DF ．因为D 是1AC 的中点，所以DF ∥1CC ，且121CC DF =．又11//CC BB ，E 是1BB 的中点，所以DF ∥BE ，DF ＝BE ，所以四边形BEDF 是平行四边形，所以DE ∥BF ，DE ＝BF ．因为1BB ⊥面ABC ，⊂BF 面ABC ，所以1BB ⊥BF ．又因为F 是AC 的中点，△ABC 是正三角形，所以BF ⊥AC ，a BF 23=．因为1BB ⊥BF ，1BB ∥1CC ，所以BF ⊥1CC ，所以BF ⊥面11A ACC ，又因为⊂1AC 面11A ACC ，所以BF ⊥1AC ，因为DE ∥BF ，所以DE ⊥1AC ，DE ⊥1BB ，所以DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，且a DE 23=．（2）因为11//CC BB ，DE ⊥1BB ，所以DE ⊥1CC ，又因为DE ⊥1AC ，所以DE ⊥面11A ACC ．又⊂DE 面1AEC ，所以面1AEC ⊥面1ACC ，所以二面角C AC E --1的大小为90°．（3）连接CE ，则三棱锥1CEC A -的底面面积为221a S CEC =∆，高a h 23=．所以32123232311a a a V CEC A ==⋅⋅-．在三棱锥AEC C -1中，底面△AEC 中，a CE AE 25==，则其高为a ，所以22a S AEC =∆．设点1C 到平面AEC 的距离为d ，由AEC C CEC A V V --=11得32123231a a d =⋅，所以a d 23=，即点1C 到平面AEC 的距离为a 2320．（1）设A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）、P （0x ，0y ）．因为2=PB AP ，所以02132x x x =+，02132y y y =+．又11x a b y =，22x a b y -=．所以)2(22121x x aby y -=+．从而)2(3210x x a by -=．又因为P 点在双曲线上．所以1220220=-b y a x ，222122219)2(9)2(a x x a x x --+221891a x x =⇒=为常数．（2）又∠α=AOX ，则ααco s ||t an 1xOA a b ==⋅，αcos ||2x OB =αααααtan 2sin cos cos 212sin ||||212121x x x x OB OA S AOB ===⋅⋅⋅⋅⋅⋅∆ 289a =ab a b 89=⋅ 21．（1）由1)(+=n kn g ，当n ＝0时，由题意，可得k ＝8，所以)10100()(n n f += n n 100)1810(-+-．（2）由0001100)1810)(10100()(=-+-+=n n n n f 80-52092800001)191(800001)110(=⨯-≤+++-=++n n n n ．当且仅当1+n19+=n ，即n ＝8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元22．（1）1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，且a ＞0．因为211x x <<，所以0)1)(1(21<--x x ，即12121-+<x x x x ，于是)11(212aa b a b m x ---=-== )(2121x x +=21]1)[(21)(2121212121=-+-+>-x x x x x x ．（2）由方程2)(ax x g =01)1(=+-+x b ，可知0121>=ax x ，所以1x 、2x 同号．由201<<x ，则212=-x x ，所以0212>+=x x ，所以0)2(<g ，即4a ＋2b -1＜0，又44)1()(22212=--=-aa b x x ，所以1)1(122+-=+b a ，（因为a ＞0）代入①式得：b b 231)1(22-<+-，解之得41<b ．（3）由条件得a b x x -=+121，ax x 121=，不妨设βα<，则)(201x ->α))((222)(22)(2121212βααβαβαββ++-=++-=-x x x x x x x 212x x +αββααββαa x x x x x x 22))((22))((212121=+++->--+2))(1(++--βαb ，故02))(1(2<++--βααβb a ．。

【英语】江苏省南京市金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2018届高三第四次模拟考试(word版附答案)

江苏省南京市金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2018届高三第四次模拟考试第一部分听力（共两节，满分20分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Why is Aim so upset?A. She failed one of her exams.B. She is worrying about other lessons.C. She has no time to do her math homework.2. What happened to the woman?A. She woke up late.B. She got to work late.C. She went to sleep late.3. What is the woman doing now?A. Baking cookies.B. Making a list.C. Shopping for groceries.4. How does the woman feel about the zoo?A. Sad.B. Impressed.C. Disappointed.5. What are the speakers mainly talking about?A. The man’s career.B. The man’s travel plan.C. The man’s plan after graduat ing.第二节听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题,每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

2018届南师附中、天一、海门、淮阴四校联考期初高三数学调研测试试题(含详细解答)

｛冷｝的前科项和，则总二 A 2018届南师附中、天一、海门、淮阴四校联考期初高三数学调研测试试题I 必做題部分注慮事项苇生在答蠅前请认莫闻爆本注盘爭琨恳备題答越宴求1. 本试卷扶4頁包含战宅蛊£弟1理一第“題）、解浮題f 第沽題一第20題）.事卷满分 160分*考试时间为no 分钟.考试站虑后谥将裁鬆卡交冋.2. 答廳前诸您的必将自己的姓".廉专吒号用03亳能朋色團水的签宁笔壇斗在试雄戾答昭 I ：的规址位賈一乱请在答题卡卜战照脚存存对晦的袴題区域内作欝.衣共他位置作菩一律尤效.作答愛薇用 0.5老贰/色眾水的徒了遼.请注盘字怵工整乜址消建・4. 如盂杵：圈锁用2BM 笔绘.写仙楚线峯、符号弊锁加黑、加UL5. 请保持裁題卜左面時洁不輕折«. tt-tn ，押不准使川般带紙、髀止液、叮擦洗的岡珠笔. 躊考金式植那的徉积食“十討八氏中为3施邯的底面积”"为植协的向.、埴宁題；羸大題共M 小4T 每•卜趣F 分”共刑分.请把茬案塡吁在警趣卡相应位总上.1.已A = ｛1^｝, B = ｛13）,且/口左=｛3｝,刚实数应的值是 ______________ A Z 已如^7 = — ,其中f 是虚樹单位』贝虹餉丈邹是▲ •-1 — i 3. 根据如匱餅示的伪代與，可知输出的结異£为鱼 •.门二2I 5^0! While U1+2；End whileI Print 5;Jiod4. 如图所环，二面旦销害店根播以往某种面色的銷售记弧，绘制“日销匡里的頻率井布直方图•若 —个月以迫天计算，估计这冢面迈店一个月内日销WslOO 个到20D 个的天数为企一5. 有一个质地均匀的正四面体木块电于面分别标有数字1,乙鼻眼椅此木抉在水平桌面二抽两次，则两女看卞到前数宇部大于2的概車为 ▲ . *b.已 Mlzn 二亠H 二」：测 bill - d co J '肖力 ▲ •・化设数列｛务｝为等差数列』»列数列｛乐｝的前理呗和，已^3. =9,= 225 f 色為数別5.〔第3强圏）*8. 在平面直角坐标系xO）中，双曲^C:—-£--l（m>0）的一条渐近线弓直^x + 2j-l = 0垂直，则实數加的值为▲• “9. 高为的正四棱推的侧直积为8,则其体枳为▲• ♦10・谖/（刘是定义在R上且周朗为4的羽数’在区间（一2,2］上，貝函繳解祈式是< 、x十a -2 <x<0 / 、/ 、,、/«=<!!_ .，亘口处八若几-沪用）'则门加）的色定一▲・211. 已純函数/（x） = x'+ax'-a‘丫+ 1在［-1,1］上电调递屜，则a的取 <值范围是▲•・，12. 如图,在匹边形-15CD中,-4B = CD = 1,点3A N分别是边.4D.BC的中点，延长B4和CD交的延长线于不同的两点P.Q ,则“-迈的值为▲・213•已知圆O：A2 +>2=5 ,儿刀为圆O丄的两个动点，且AB^2；M为弦曲的中点，CQ逅CQQ 辰 2）・当儿〃存是O上运或盯.始终有ZCVD79锐吊，则实数"的取值范團九▲・门14•已純d>lb>2,则=的最小伯為▲茜一1 +J沪一 4二、解答題：木人題共6小題，共90分・诸仗答題卡指宦区域内作答.解答时应写出文了• ••••••说明、证明过稈或演氮步骤.■■■ ■ ■ ■ ■15.（本小題满分14分〉卩在△‘IBC 中，A.B.C的对边分别为a.b.c .已知acosS + bcosA = 2ccosC ・ a（1）求角C的大小；2（2）若c = 2bQC的直积为JJ ,求443C的周长.卩16.（本小題満分丄4分〉卩如图，在三棱锥P—ABC中，ZABC = 90^, PA = PC f^面PXC丄平面ABC , D,E分别为AC.B C中点•卩（1）求证：DE"平面P4B —（2）求证：平面P3C丄平面PDE.17.(木小題满分14分)如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD, AB = 120米八4D = 80米，以.Q/C 为直径的半圆O和半圆Q (半圆在矩形肋CD內部)为两个半圆形水上主题乐园，3C.CD.DA都建有围埴，游吝只能从结段曲处进出该王题乐园.力了逬一步提高经济效益，水上乐园菅埋部门决走沿看AE .侖修建不锈钢护栏，沿看线段Ef■修建该主进乐园大门并设贸檢票口，其中E：尸分别为百•炭上的动為EF7AB ,且线段EF与线段曲在园心O：和Q逹线的同测.已知弧线却分口修建费用为200元/米，直绒却分的平均修建費用为400元/米・a(1) 若EF=80米，则检票等候区域(图中匪影部分)面积为多少平方米？a(2) 试确走点£的位蚩，使得修建费用最低・“18.(本小題滿分16分)已知椭圆C的方程：^ + 4 = 1(^>6>0)，为准线/方程为x = 4,右焦点F(1.0)，/为椭圆的左顶点.亠(1)求椭圆C的方程；3<2)设点为梆圍在工轴上方一点…点N在右准线上旦満足= 0且“5|玄7|=2|莎|,求直线旳/的方程.P19.(本小世满分16分)已知囲数f (x) = Inx - ax.g(x) = ex.ae R, ( e是自然对数的底数)小(1)若直线y = &为曲线的一条切线，求实数a的值；"<2)若函数y = f(x) - g(x)在区间(l.+oc)±为单週函数，求实数a的取值范围丿"(3)设H(x) =|/(x) |・g(x), xe[l:e],若H(x)在定义域上有极值点(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)，求实数a的取值范围.220.（本小題满分16分〉设数列｛$｝的首项为1,前n 顷和为S"若对任意的，均有S 广a“ — k 魏是常数且 keN 9）成立，则称数列｛冬｝为“P （/c ）数列“（1）若数列｛务｝为“P ⑴数列”，求数列｛$｝的通项公式；"（2）是否存在数列｛$｝既是“P （k ）数列二也是“P（k ・2）数列叩若存在，求出符合条件的数歹的通项公式及对应的去的值；若不存在，请说明理由；“附加题21 •［述做腿］任A 、B 、C> DPU 小■中只能选做2風每小題10分，堵把答案写在晋辱f 追乍孚域内...........A.选修i 几何证明选讲如图.D 人）44BC 的8C 边上的一点.OO 】经过点D.交曲于另一点E. 0O,经过点C, D 交AC f 点只OOi 400:交「•点G ・a 1一 1 已知二阶矩Q 特征值2・3所对应的一个特征冋量勺一』 J C/1（1）求矩阵M ; a （2）设曲线C 在突换矩阵M 作用下得到的曲线C •的方程为型=2,求曲线C 的方程.“C. 4-4：坐标系h 参数力程"JC = —° i 十 2 处缈和跑“绅）相交于两求D.选修4・5：不等式选讲己知x,y 均为正数，11 x > v ,求证：2x4-— -------- ---- 鼻2卩+ 3. ■ T 2-2XI + / "<3）若数列｛$｝为“P （2）数列J已知曲线C: 工-2cos0 y = \^3 sin 6 证明:22•如图，己知长方体ABCD_4B、C\D，AB = 2.AA y=l,直线BDW平面所成角为30*, HE垂宜BD于点上，F为4耳的中点.》<1）求^AE与平面万莎所成角灰正弦直；卩23.如亂一只蚂蚁从单位世方体ABCD-ABg的顶点/出发.每一步（均为等可能件的〉经过-条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过"步冋到点/的概率以.（1）分别马岀P-P2的值；（2）设顶点T出发经过"步到达点C的槪率为％,求几十規的值；（3）求必・。

江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2024届高三三模数学试题含答案解析

江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2024届高三三模数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ，集合{}{}21,3x M x N x x =≥=≤，则M N ⋂=（）A.](-,3∞ B.[]0,1 C.[]0,3 D.[]1,32.已知复数z 满足()1i 5i z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列结论中正确是（）A.若直线a ，b 为异面直线，则过直线a 与直线b 平行的平面有无数多个B.若平面α//平面β，直线m ⊂α，点M ∈β，则过点M 有且只有一条直线与m 平行C.若直线m 与平面α内无数条直线平行，则直线m 与平面α平行D.若直线l ⊥平面α，则过直线l 与平面α垂直的平面有且只有一个4.抛物线26y x =上一点M 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（）A.B. C.D.5.对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：x123456789y745813526数列{}n x 满足12x =，且对任意*n N ∈，点()1,n n x x +都在函数()y f x =的图象上，则1232016x x x x +++⋯+的值为（）A.9400B.9408C.9410D.94146.定义：一对轧辊的减薄率-=输入该对的面带厚度输出该对的面带厚度输入该对的面带厚度.如图所示，为一台擀面机的示意图，擀面机由若干对轧辊组成，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.已知擀面机没对轧辊的减薄率都为0.2（轧面的过程中，面带宽度不变，且不考虑损耗）.有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的横截面积均为2640000mm π，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，在擀面机输出的面带上，疵点的间距为k L ，则（）A.1016000.2mm kk L -=⨯ B.1016000.2mm k k L -=⨯C.1016000.8mmk k L -=⨯ D.1016000.8mmk k L -=⨯7.已知函数()f x 的大致图象如图所示，则其解析式可能为（）A.2()e e -=+xx f x B.e e ()2-+=x xf x C.2()e e -=-xxf x D.e e ()2--=x xf x 8.已知双曲线22136x y -=，O 为坐标原点，P ，Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥，则2211||||OP OQ +=（）A.2B.1C.13D.16二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面α的一个法向量为111,2,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，平面β的一个法向量为()21,0,2n =-- ，直线l 的方向向量为()1,0,2a = ，直线m 的方向向量为()0,1,2b =-，则（）A.//l αB.αβ⊥C.l 与m 为相交直线或异面直线D.a 在b 向量上的投影向量为480,,55⎛⎫⎪⎝⎭10.已知函数()π1sin sin 34f x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的值不可能是（）A.5π12 B.7π12C.34πD.11π1211.钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台111111ABCDEF A B C D E F -（上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P -ABCDEF ，其中正六棱台的上底面边长为a ，下底面边长为2a ，且P 到平面111A B C 的距离为3a ，则下列说法正确的是（）（台体的体积计算公式：(1213V S S h =++，其中1S ，2S 分别为台体的上、下底面面积，h 为台体的高）A.若平面PAF ⊥平面11AFF A ，则正六棱锥P -ABCDEF 的高为32aB.若PA =，则该几何体的表面积为22a +C.该几何体存在外接球，且外接球的体积为350081a πD.若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8，则该几何体的体积为32a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知5723456701234567(1)(1)x x a a x a x a x a x a x a x a x -++=-+-+-+-，则246a a a ++的值为______________．13.已知32,,sin cos 43πθπθθ+⎛⎫∈-=⎪⎝⎭，则1sin 2cos 2θθ-=_______．14.已知()f x 是定义在R 上的函数，1(1)0f =，且对于任意x ∈R 都有(20)()20f x f x +≥+，(1)()1f x f x +≤+，若()()1g x f x x =-+，则(10)g =_____________．四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知632a S =+，654S a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设234111111111n n T S S S S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋅⋅-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，证明：1324n T <≤.16.佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：日销售量/件0123天数5102510假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．（1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；（2）已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，1PD AD ==，N 为线段BC 上的动点．（1）证明：MD PN ⊥；（2）当N 为线段BC 的中点时，求三棱锥A MND -的体积．18.若函数()3f x ax bx =+，当2x =-时函数()f x 有极值163.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求曲线()y f x =过点()3,3P -的切线方程.19.某兴趣小组对小球在坚直平面内的匀速圆周运动进行研究，将圆形轨道装置放在如图1所示的平面直角坐标系中，此装置的圆心O 距离地面高度为2m ，装置上有一小球P （视为质点），P 的初始位置在圆形轨道的最高处，开启装置后小球P 按逆时针匀速旋转，转一周需要6min ．小球P 距离地面的高度H （单位：m ）与时间t （单位：min ）的关系满足()sin (0,0,02π)H r t h r ωϕωϕ=++>>≤<．（1）写出H 关于t 的函数解析式，并求装置启动1min 后小球P 距离地面的高度；（2）如图2，小球Q （视为质点）在半径为1m 的另一圆形轨道装置上，两圆形轨道为同心圆，Q 的初始位置在圆形轨道的最右侧，开启装置后小球Q 以角速度为πrad /min 3顺时针匀速旋转．两装置同时启动，求,P Q 两球高度差的最大值．江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2024届高三三模数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ，集合{}{}21,3x M x N x x =≥=≤，则M N ⋂=（）A.](-,3∞ B.[]0,1 C.[]0,3 D.[]1,3【答案】C 【解析】【分析】由指数不等式可得{}0M x x =≥，再由集合交集的定义即可得解.【详解】因为{}{}210xM x x x =≥=≥，{}3N x x =≤，所以{}[]030,3M N x x ⋂=≤≤=.故选：C.【点睛】本题考查了指数不等式的求解及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.2.已知复数z 满足()1i 5i z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数除法求出z ，即可判断.【详解】因为()()5i 1i 5i 64i32i 1i 22z +-+-====-+，所以点()3,2-位于第四象限.故选：D.3.下列结论中正确是（）A.若直线a ，b 为异面直线，则过直线a 与直线b 平行的平面有无数多个B.若平面α//平面β，直线m ⊂α，点M ∈β，则过点M 有且只有一条直线与m 平行C.若直线m 与平面α内无数条直线平行，则直线m 与平面α平行D.若直线l ⊥平面α，则过直线l 与平面α垂直的平面有且只有一个【答案】B 【解析】【分析】A.由异面直线的定义判断；B.由面面平行的性质定理判断；C.由直线与平面的位置关系判断；D.由面面垂直的判定定理判断.【详解】A.若直线a ，b 为异面直线，则过直线a 与直线b 平行的平面只有一个，故错误；B.因为平面α//平面β，直线m ⊂α，点M ∈β，所以由平面的基本性质得，点M 与直线m 确定一个平面γ，且,m n γαγβ⋂=⋂=，由面面平行的性质定理得//m n ，M n ∈，所以过点M 有且只有一条直线与m 平行，故正确；C.若直线m 与平面α内无数条直线平行，则直线m 与平面α平行或在平面α内，故错误；D.若直线l ⊥平面α，则过直线l 与平面α垂直的平面有无数个，故错误；故选：B4.抛物线26y x =上一点M 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（）A.B. C.D.【答案】C 【解析】【分析】先由抛物线的方程求出焦点坐标和准线方程，再根据抛物线的定义求出点M 的坐标，最后利用两点间距离公式即可求解.【详解】设点(),M M M x y .由抛物线26y x =可得：焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-.因为抛物线26y x =上一点M 到其焦点的距离为92，所以根据抛物线的定义可得：3922M x +=，解得：3M x =，则2618MM y x ==.所以点M ==.故选：C.5.对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：x123456789y745813526数列{}n x 满足12x =，且对任意*n N ∈，点()1,n n x x +都在函数()y f x =的图象上，则1232016x x x x +++⋯+的值为（）A.9400B.9408C.9410D.9414【答案】B 【解析】【详解】试题分析：∵数列{}n x 满足12x =，且对任意N*n ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图象上，∴1()n n x f x +=，则1234567824824824x x x x x x x x ，，，，，，，========⋯，∴数列是周期数列，且周期为3，一个周期内的和为14，∴1232016x x x x +++⋯+672=123()9408x x x ⨯++=，故选B.考点：1、函数的表示方法；2、数列的性质；3、数列求和.【易错点睛】本题主要考查函数的表示方法、数列的性质、数列求和，属难题.本题先根据函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系表求得1234567824824824x x x x x x x x ，，，，，，，========⋯，从而得出数列为周期数列，且周期为3，一个周期内的和为14，所求数列的和为672个周期的和，从而求得数列的和.做题时注意①根据函数求得对应的1()n n x f x +=的值；②根据数据观察出数列为周期数列；③将2016除以3是否有余数，否则容易出错.6.定义：一对轧辊的减薄率-=输入该对的面带厚度输出该对的面带厚度输入该对的面带厚度.如图所示，为一台擀面机的示意图，擀面机由若干对轧辊组成，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.已知擀面机没对轧辊的减薄率都为0.2（轧面的过程中，面带宽度不变，且不考虑损耗）.有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的横截面积均为2640000mm π，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，在擀面机输出的面带上，疵点的间距为k L ，则（）A.1016000.2mm kk L -=⨯ B.1016000.2mm k k L -=⨯C.1016000.8mmk k L -=⨯ D.1016000.8mmk k L -=⨯【答案】D 【解析】【分析】据题意，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，可得到91600(120%)L =⋅-，由次求出9L ，进而求出k L .【详解】设轧辊的半径为r ，由轧辊的横截面积2640000mm π可得：22640000πmm πr =，解得：800r =，所以轧辊的周长为2π2π8001600mm r =⋅=，由图易知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有91600(10.2)L =⋅-，所以916002000(mm)0.8L ==，101600L =所以()10101016000.8mm0.8k k kL L --==⨯故选：D .7.已知函数()f x 的大致图象如图所示，则其解析式可能为（）A.2()e e -=+xx f x B.e e ()2-+=x xf x C.2()e e -=-xxf x D.e e ()2--=x xf x 【答案】A 【解析】【分析】根据图象的对称性排除C D ；根据函数的最值排除B ，从而可得答案.【详解】由图象关于y 轴对称可知，函数()f x 为偶函数，因为2()x x f x e e -=-与()2x xe ef x --=为奇函数，所以排除C D ；因为()12x xx x e e f x e e --+=≥⋅=，当且仅当0x =时，等号成立，所以e e ()2-+=x xf x 在0x =时取得最小值1，由图可知()f x 在0x =时取得最大值，故排除B.故选：A【点睛】关键点点睛：根据函数的性质排除不正确的选项是解题关键.8.已知双曲线22136x y -=，O 为坐标原点，P ，Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥，则2211||||OP OQ +=（）A.2B.1C.13D.16【答案】D 【解析】【分析】设OP 直线方程为y kx =，OQ 直线方程为1=-y x k，且设()()1122,,,P x y Q x y ，将直线分别与双曲线联立，求出22221122,,,x y x y ，再利用两点间的距离公式即可求解.【详解】由题意设OP 直线方程为y kx =，OQ 直线方程为1=-y x k，设()()1122,,,P x y Q x y 则222221122166,3622x y k x y k k y kx⎧-=⎪⇒==⎨--⎪=⎩，同理22222222216636,21211x y k x y k k y xk ⎧-=⎪⎪⇒==⎨--⎪=-⎪⎩，所以22212||66k OP k -=+，222121||66k OQ k -=+，即22221111||||666k OP OQ k ++==+.故选：D【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系中的定值问题，考查了学生的计算能力，属于基础题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面α的一个法向量为111,2,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，平面β的一个法向量为()21,0,2n =-- ，直线l 的方向向量为()1,0,2a = ，直线m 的方向向量为()0,1,2b =-，则（）A.//l αB.αβ⊥C.l 与m 为相交直线或异面直线D.a 在b 向量上的投影向量为480,,55⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】根据空间向量之间的关系逐项判断线线、线面、面面关系即可.【详解】因为平面α的一个法向量为111,2,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，直线l 的方向向量为()1,0,2a = ，则11010n a ⋅=+-= ，即1n a ⊥，则//l α或l ⊂α，故A 不正确；又平面β的一个法向量为()21,0,2n =-- ，所以121010n n ⋅=-++=，即12n n ⊥ ，所以αβ⊥，故B 正确；由直线m 的方向向量为()0,1,2b =- ，所以不存在实数λ使得a b λ=，故l 与m 为相交直线或异面直线，故C 正确；a 在b向量上的投影向量为()4480,1,20,,555a b b bb-⋅⎛⎫⋅==--=- ⎪⎝⎭，故D 不正确.故选：BC .10.已知函数()π1sin sin 34f x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的值不可能是（）A.5π12 B.7π12C.34πD.11π12【答案】CD 【解析】【分析】由三角恒等变换得()1sin 226f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出函数的图象，在一个周期内考虑，可得π25π7π66m n ⎧=⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩或π5π267π6m n ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即可得解.【详解】由题意()π1131sin sin sin sin cos 34224f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+-=⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21311131sin sin cos cos 2sin 22244444x x x x x =+-=-+-131cos 2sin 224426x x x π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭作出函数()f x 的图象，如图所示，在一个周期内考虑问题，若要使函数()f x 的值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则π25π7π66m n ⎧=⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩或π5π267π6m n ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以n m -的值可以为区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的任意实数，所以A 、B 可能，C 、D 不可能.故选：CD.【点睛】本题考查了三角恒等变换及三角函数图象与性质的综合应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题.11.钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台111111ABCDEF A B C D E F -（上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P -ABCDEF ，其中正六棱台的上底面边长为a ，下底面边长为2a ，且P 到平面111A B C 的距离为3a ，则下列说法正确的是（）（台体的体积计算公式：(1213V S S h =++，其中1S ，2S 分别为台体的上、下底面面积，h 为台体的高）A.若平面PAF ⊥平面11AFF A ，则正六棱锥P -ABCDEF 的高为3152a B.若PA =，则该几何体的表面积为2332172a +C.该几何体存在外接球，且外接球的体积为350081a πD.若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8，则该几何体的体积为32a 【答案】BD 【解析】【分析】分别取AF ，11A F ，11C D ，CD 的中点Q ，R ，S ，T ，连接RS ，RQ ，TS ，TQ ，得到Q ，R ，S ，T 四点共面，且点P ，M ，N 均在该平面上，连接PM ，则N 在PM 上，进而得到PQR ∠为二面角1P AF A --的平面角，进而判定A 错误；连接PM ，则3PM a =，结合截面PORST ，利用表面积公式可判定B 正确；连接PM ，设外接球半径为R ，连接OA ，1OA ，OD ，1OD ，求得外接球的半径，可判定C 错误；设该几何体上、下两部分的体积分别为1V ，2V ，结合1278V V =，可得212h h =，利用12V V V =+，可判定D 正确．【详解】设M ，N 分别为正六棱台上、下底面的中心．对于选项A ，如图1，分别取AF ，11A F ，11C D ，CD 的中点Q ，R ，S ，T ，连接RS ，RQ ，TS ，TQ，则RS =，QT =，可得Q ，R ，S ，T 四点共面，且点P ，M ，N 均在该平面上，连接PM ，则N 在PM 上，得如图2所示的截面PQRST ，四边形QRST 为等腰梯形，且PQR ∠为二面角1P AF A --的平面角，即90PQR ∠=︒，过点R 作RL QT ⊥交QT 于点L ，则RQL QPN ∠=∠，可得RL QNLQ NP=，即2322NP RL LQ QN a a ⋅=⋅==，而3NP RL MP a +==，故23(3)2NP a NP a -=，解得332NP a ±=，故A错误；对于选项B ，如图3为截面11PAA D D ，依题意得112A D a =，4AD a =，连接PM ，则3PM a =，又PA =，所以2PN a =，32MN a a a =-=，如图4为截面PORST，从而2RQ a ==，PQ ==，故该几何体的表面积221166(2)6242222S a a a a a a =⨯+⨯⋅+⋅+⨯⋅=，故B正确；对于选项C ，如图5所示的截面11PAA D D ，连接PM ，依题意可知112A D a =，4AD a =，3PM a =，若该几何体存在外接球，则外接球球心．在PM 上，设外接球半径为R ，连接OA ，1OA ，OD ，1OD ，得1OA OA OP R ===，3a R MO -==得53R a =，又24OA OD R a OA +=<=，矛盾，故该几何体不存在外接球，C错误；对于选项D ，设该几何体上、下两部分的体积分别为1V ，2V ，1MN h =，2PN h =，则2221111322V a h h a ⎛=⨯+= ⎝，2222213V h a =⨯⨯=，由1278V V =，可得212h h =，结合123h h a +=，可知1h a =，22h a =，因此该几何体的体积3331222V V V a a =+=+=，故D 正确．故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知5723456701234567(1)(1)x x a a x a x a x a x a x a x a x -++=-+-+-+-，则246a a a ++的值为______________．【答案】78【解析】【分析】令0x =求0a ，分别令1x =，=1x -代入已知关系式，然后两式相加即可求解．【详解】令0x =，可得02a =，令1x =，可得7012372a a a a a =-+-+⋯-①令=1x -，则501272a a a a =+++⋯+②所以②+①可得：6570242()22160a a a a +++=+=，所以246280a a a +++=，即24678a a a ++=故答案为：7813.已知32,,sin cos 43πθπθθ+⎛⎫∈-=⎪⎝⎭，则1sin 2cos 2θθ-=_______．【答案】9+9+【解析】【分析】由条件2sin cos 3θθ+-=两边平方结合平方关系可求sin 2θ，再由平方关系可求cos 2θ，由此可求1sin 2cos 2θθ-.【详解】将2sin cos 3θθ-=两边平方，得912sin cos 9θθ+-=，即sin 29θ=-，因为3,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以32,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos29θ=，故4511sin 2991cos 29θθ+-==+故答案为：9+14.已知()f x 是定义在R 上的函数，1(1)0f =，且对于任意x ∈R 都有(20)()20f x f x +≥+，(1)()1f x f x +≤+，若()()1g x f x x =-+，则(10)g =_____________．【答案】10【解析】【分析】根据题目所给不等式恒成立，利用赋值法求得()10f 的值，由此求得()10g 的值.【详解】在()()2020f x f x +≥+中，令10x =-，得()()101020f f ≥-+.又()()11f x f x +≤+，故()()()()()109191821919f f f f f =+≤+≤+≤≤+= .而()()()()()10101191821111f f f f f -≥-+-=--≥--≥≥-=- .所以()()10102012019f f ≥-+≥-+=.综上所述()191019f ≤≤，即(10)19f =，所以()()101010110g f =-+=.故答案为：10四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知632a S =+，654S a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设234111111111n n T S S S S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋅⋅-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，证明：1324n T <≤.【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式得到关于1,a d 的方程组，解之即可得解；（2）由（1）求得n S ，再利用累乘法求得n T ，从而利用*N n ∈及n T 与n 的关系式的性质即可得证.【小问1详解】因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则由636524a S S a =+⎧⎨=⎩，得11115332615416a d a d a d a d +=++⎧⎨+=+⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 通项公式为()12121n a n n =+-=-.【小问2详解】数列{}n a 的前n 项和2(121)2n n nS n +-==，则2222111(1)(1)11n n n n S n n n --+-=-==，所以234111111111n n T S S S S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋅⋅-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22222132435(1)(1)(2)12234(1)21n n n n n n n n ⨯⨯⨯++++=⨯⨯⨯⨯=⨯++ ，因为*N n ∈，所以211111n n n +=+>++，则121212n n T n +=⨯>+；因为121112121n n n +⎛⎫⨯=⨯+ ⎪++⎝⎭，当n 增大，则11n +减少，所以1n =时，11n +取得最大值为12，所以11121n T n ⎛⎫=⨯+ ⎪+⎝⎭最大为34；综上，1324n T <≤.16.佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：日销售量/件0123天数5102510假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．（1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；（2）已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．【答案】（1）13125;（2）1125.【解析】【分析】（1）由题设三天中卖出3件水牛奶的天数1(3,)5X B ，利用二项分布的概率概率公式求(2)P X ≥即可；（2）讨论第一天营业结束是否需要补货，利用全概率公式分别求出不需补货、需要补货情况下在第二天营业结束货架上有1件存货的概率，即可得结果.【小问1详解】由题设，能卖出3件水牛奶的概率为15，3件以下的概率为45，所以三天中卖出3件水牛奶的天数1(3,5X B ，则22333341113(2)(2)(3)C ()(C (555125P X P X P X ≥==+==+=.【小问2详解】由（1）及题意知：第一天营业结束后不补货的情况为A ={销售0件}或B ={销售1件}，所以1()10P A =，1()5P B =，令C ={第二天货架上有1件存货}，则1(|)2P C A =，1(|)5P C B =，所以9()()(|)()(|)100P C P A P C A P B P C B =+=.第一天营业结束后补货的情况为D ={销售3件}或E ={销售2件}，所以1()5P D =，1()2P E =，令F ={第二天货架上有1件存货}，则1(|)2P F D =，1(|)2P F E =，所以7()()(|)()(|)20P F P D P F D P E P F E =+=.综上，第二天营业结束后货架上有1件存货的概率11()()25P P C P F =+=.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，1PD AD ==，N 为线段BC 上的动点．（1）证明：MD PN ⊥；（2）当N 为线段BC 的中点时，求三棱锥A MND -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）112．【解析】【分析】（1）通过证明MD ⊥平面PBC ，可证MD PN ⊥；（2）根据A MND M ADN V V --=，利用棱锥的体积公式可求出结果.【详解】（1）证明：PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC PD ⊥，又,BC DC PD DC D ⊥⋂=，PD 、DC ⊂平面PDC ，∴BC ⊥平面PDC ，又MD ⊂平面PDC ，∴MD BC ⊥，在Rt PDC 中，PD DC =，M 为PC 的中点，∴MD PC ⊥，∵PC BC C ⋂=，PC 、BC ⊂平面PBC ，∴MD ⊥平面PBC ，∵PN ⊂平面PBC ，∴MD PN ⊥．（2）1111111113232212A MND M ADN ADN V V S PD --==⋅=⨯⨯⨯=△．【点睛】关键点点睛：（1）中，通过证明MD ⊥平面PBC 得到MD PN ⊥是解题关键；（2）中，转化为求M ADN V -是解题关键.18.若函数()3f x ax bx =+，当2x =-时函数()f x 有极值163.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求曲线()y f x =过点()3,3P -的切线方程.【答案】（1）()3143f x x x =-（2）5180x y --=或7490x y +-=【解析】【分析】（1）根据极值点和极值列出方程组，求出,a b ，得到解析式；（2）在第一问的基础上，设出切点，结合导数的几何意义求出切线方程.【小问1详解】()23f x ax b '=+，由题意得：()()2120162823f a b f a b ⎧-=+=⎪⎨-=--='⎪⎩，解得：134a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以()3143f x x x =-，经验证：2x =-是函数()f x 的极小值点，所以满足要求；【小问2详解】由（1）知：()24f x x '=-，设切点方程为30001,43x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2004f x x '=-，所以切线方程为()()3000201434y x x x x x ⎛⎫--= -⎪-⎝⎭，代入点()3,3P -可得()()300002134334x x x x ⎛⎫---=-⎪-⎝⎭，即()()200233x x -+，解得03x =或032x =-，所以切线方程为()353y x +=-或3973842x y ⎛⎫ ⎪⎝--+⎭=，即5180x y --=或7490x y +-=.19.某兴趣小组对小球在坚直平面内的匀速圆周运动进行研究，将圆形轨道装置放在如图1所示的平面直角坐标系中，此装置的圆心O 距离地面高度为2m，装置上有一小球P （视为质点），P 的初始位置在圆形轨道的最高处，开启装置后小球P 按逆时针匀速旋转，转一周需要6min ．小球P 距离地面的高度H （单位：m ）与时间t （单位：min ）的关系满足()sin (0,0,02π)H r t h r ωϕωϕ=++>>≤<．（1）写出H 关于t 的函数解析式，并求装置启动1min 后小球P 距离地面的高度；（2）如图2，小球Q （视为质点）在半径为1m 的另一圆形轨道装置上，两圆形轨道为同心圆，Q 的初始位置在圆形轨道的最右侧，开启装置后小球Q 以角速度为πrad /min 3顺时针匀速旋转．两装置同时启动，求,P Q 两球高度差的最大值．【答案】（1）3(2)2+m （2）2m【解析】【分析】（1）根据题意，代入相关数据得到23H t =π+，从而得解；（2）同理得到小球Q 的高度关于t 的解析式，再利用三角恒等变换即可得解.【小问1详解】由题意，半径为r =m ，2ϕπ=，根据小球转一周需要需要6min ，可知小球转动的角速度3πω=rad/min ，所以H 关于t 的函数解析式为sin()22323H t πππ=++=+，0t ≥，当1t =时，2=H ，所以圆形轨道装置启动1min 后小球P 距离地面的高度为2)m ．【小问2详解】根据题意，小球Q 的高度H '关于t 的函数解析式为sin()2sin 233H t t '=-ππ=-++，0t ≥，则P ，Q 两点高度差为sin =2sin 3333H t t t ⎛⎫∆=+ ⎪⎝πππ⎭π，0t ≥，当Z 332,k k t π+ππ+=π∈，即Z 132,t k k =+∈时，H ∆的最大值为2，所以P ,Q 两球高度差的最大值为2m ．。

南京市金陵中学2018届高三第四次模拟考试英语试卷及答案

南京市金陵中学2018届高三第四次模拟考试英语试卷及答案第一部分听力(共两节，满分20分)第一节(共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5 段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

() 1. Why is Ann so upset?A. She failed one of her exams.B. She is worrying about other lessons.C. She has no time to do her math homework.() 2. What happened to the woman?A. She woke up late.B. She got to work late.C. She went to sleep late.() 3. What is the woman doing now?A. Baking cookies.B. Making a list.C. Shopping for groceries.() 4. How does the woman feel about the zoo?A. Sad.B. Impressed.C. Disappointed.() 5. What are the speakers mainly talking about?A. The man's career.B. The man's travel plan.C. The man's plan after graduating.第二节(共15小题；每小题1分，满分15分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并在试卷的相应位置。

听每段对话或者独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题给出5秒钟的作答时间。

2018全国高中数学联赛模拟试题4及参考答案

2018年全国高中数学联赛模拟试题（四）
第一试
2018年全国高中数学联赛模拟试题（四）第1页（共4页4页）
第二试
2018年全国高中数学联赛模拟试题（四）第3页（共4页）
2018年全国高中数学联赛模拟试题（四）第4页（共4页）
2018年全国高中数学联赛模拟试题（四）参考答案
第一试
2018年全国高中数学联赛模拟试题（四）参考答案第1页（共5页）
2018年全国高中数学联赛模拟试题（四）参考答案第2页（共5页）
2018年全国高中数学联赛模拟试题（四）参考答案第3页（共5页）
2018年全国高中数学联赛模拟试题（四）参考答案第4页（共5页）
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【数学】江苏省海门中学2018届高三5月考试(最后一卷)数学试题

2018届高三数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1．集合A={0,2}x ，B={-1,0,1}，若A∩B={0,1}，则x=______.2．已知样本数据12,,,n x x x 的均值x =5，则样本数据123+1,3+1,,3+1n x x x 的均值为______.3．若复数(1)(1)(z i ai i =+-为虚数单位，a ∈R)满足|z|=2，则a=______. 4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为______.5、将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1,2号盒子中各有1个球的概率为______.6、若双曲线22116y x m-=的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为______. 7、已知函数()2()xxf x x e e -=--，则不等式2(2)0f x x ->的解集为______.8.如图，四棱锥P 一ABCD ，PA ⊥底ABCD,底面ABCD 是矩形，AB=2， AD=3，点E 为棱CD 上一点，若三棱锥E 一PAB 的体积为4，则PA 的长为______.9.定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积。

已知数列{}n a 是等积数列且a 1=2，前21项的和为62，则这个数列的公积为______.10．如图，在扇形AOB 中，OA=4，∠AOB=120,P 为弧AB 上的一点，OP 与AB 相交于点C,若8OP OA ⋅= ，则OC AP ⋅的值为______.11.已知函数2221,01()2,1x mx x f x mx x ⎧+-≤≤=⎨+>⎩，若()f x 在区间[0,)+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是______.12.在平面角坐标系xOy 中，已知(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ是直线y =两点,则tan()αβ+的值为______.13.设x 、y 均为正实数，且33122x y+=++,以点(x ，y)为圆心，R=xy 为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为______.14.已知332()69()f x x ax a x a R =-+∈,当a>0时，若[0,3]x ∀∈有()4f x ≤恒成立，则实数a 取值范围是______.二、解答题：本大照共6小题，共90分 15.已知斜三角形△ABC 中，π1sin()cos 62C C +-=. (1)求角C(2)若c =，求当△ABC 的周长最大时的三角形的面积16.如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，M 是AB 的中点，O 1是A 1C 1与B 1D 1的交点. (1)求证：O 1M ∥平面BB 1C 1C(2)若平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，米证：四边形BB 1D 1D 是矩形17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点分别为12(A A ·若直线3x+4y+5=0上有且仅有一个点M ，便得01290F MF ∠=.（1）求椭圆C 的标准方程（2）设圆T 的圆心T(0,t)在x 轴上方，且圆T 经过椭圆C 两焦点，点P ，Q 分别为椭圆C 和圆T 上的一动点，若0PQ QT ⋅= 时，PQ 取得最大值为2，求实数t 的值.18.将一个半径为3dm ，圆心角为ααπ∈((0,2))的扇形铁皮焊接成一个容积为V(dm 3)的圆锥形无盖容器(忽略损耗). (1)求V 关于α的函数关系式 (2)当α为何值时，V 取得最大值(3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5dm 的球?请说明理由.19.已知函数21()2ln ().2f x x x ax a R =+-∈ (1)当a=3时，求函数f(x)的单调区间(2)若函数f(x)有两个极值点x 1，x 2，当x ∈(0,1]，求证：123()()2ln 22f x f x -≥-; (3)设g(x)=f(x)-ln(ax)，对于任意a ∈(0,2)时，总存在x ∈[1,2]，使g(x)>k(a-2)-2，求实数k 的取值范围20．对于数列{}n a ，记1*n+11=,,,,k k k n n n n n a a a a a a k n N ++∆-∆=∆-∆∈则称数列{}k n a ∆为数列{}n a 的“k 阶塑数列”，(1)已知1()2nn a ∆=-，①若{}n a 为等比数列，求1a 的值②设t 为任意正数，证明：存在*k N ∈，当**,N ,N n m k n m >≥∈∈时总有||n m a a t -≤；(2)已知232n n a ∆=-，若1=1a ，且3n a a ≥对*N n ∈恒成立，求2a 的取值范围. 答案 1.0 2.15 3.1± 4.11 5.296. 4y x =±7.（0，2） 8.4 9.0或8 10.4 11. 1[,0)2-12. 13. 22(4)(4)256x y -+-=14. [1 15. （1）ππ1sin()cos sin()662C C C +-=-= 663C C C ππππ∈∴-=∴=（0，）（2）224sin cR R C=∴=2(sin sin ))6a b R A B A π∴+=+=+2(0,),33A A a b ππ∈∴=+ 最大，此时2c S === 16.略17. (1)111a c b ==∴=∴=因此2212x y += （2）设220000(,),12x P x y y ∴+= 圆T ：222()1(0)x y t t t +-=+>，2222200()1PQ QT PQ PT QT y t t ⋅=⇒=-=-+++当1t -≤-58t ==（舍）；当1t ->-12t ==，综上12t =18.（1）3=2,r h απ=2113()(0,2).332V r h αππαππ∴==∈(2) 令2223()(0,9),()(9)2t r f t t t απ==∈=-， ()3(6)0,(0,9)6f t t t t t '=--=∈∴=因此6,3t α==时，max .V = （3）设圆锥轴截面三角形内切圆半径为0.r0011(330.522r r ++==，所以能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm 的球 19.略20.（1）①222131111111()()243a a a a a a a =∴-=-∴=当2n ≥时11121111()[1()]11122=()3321()2n n n n n a a a a a -------∆+∆+∆+=+=--- ，满足题意；②11()[1()]21122=[()()]13221()2m n m n m n m a a -----=-----所以21121141||=|()()|[()+()]()32232232n m n m mn m a a t ----≤≤≤，24log 3m t ∴≥，因此取k 不小于24log 3t的正整数，当**,N ,N n m k n m >≥∈∈时总有||n m a a t -≤；（2）11123(13)3131=2(1)22132222n n n n a n a n a n a --∆--+∆=-++∆=-+-- 因为20n a ∆>，所以n a ∆｛｝递增，因此232223432=0070.=070a a a a a a a a a ∆-≤≤⎧⎧∴∴-≤≤⎨⎨∆-≥+≥⎩⎩2018年高考考前猜题卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足iii z 2|2|++=，则=||z （） A ．3 B ．10 C ．9 D ．102．已知全集R U =，集合}012|{2≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=N M C U )(（）A ．}1|{≤x xB ．}121|{≤<-x xC ．}121|{<<-x x D ．}211|{<<-x x3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（） A ．631π-B ．43C ．63π D ．414．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（）A ．2-或2B ．2-或2C ．2-或2D ．2-或2 6．已知函数)2||,0)(3sin()(πϕωπω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点)0,12(π-对称C ．关于直线12π=x 对称 D ．关于直线12π-=x 对称7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（）A.32 B.43C. 2D. 411 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6)2(xx -展开式中的常数项，则=+102a a （）A ．160B ．160-C ．350D ．320- 9．已知函数)0(212)(<-=x x f x与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（）A ．)2,(--∞B ．)2,(-∞C ．)22,(--∞D ．)22,22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（）A ．π16B ．π20C ．π65D ．π465 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若n n a a a c b ==++1111,2，2,211nn n n n n a b c a c b +=+=++，则（） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-22，则BA tan 1tan 1-的取值范围为 . 三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 满足)(log )12(112+⋅+=n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）；（2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为030，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.（注：222r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）21．已知函数x a x g x x f ln )(,21)(2==. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且090=∠AOB . （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)332,1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=282422321m S m S m S ，)(R m ∈，从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ，所以等比数列}{n a 的公比223==a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)121121(21)12)(12(1+--⨯=-+=n n n n b n ∴)1211215131311(2121+--++-+-⨯=+++=n n b b b T n n 12+=n n. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；12011)(310==C B P ，10312036)(3102416===C C C C P ，2112060)(3101426===C C C D P ，6112020)(31036===C C E P∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则181)|(2912==C C F G P .（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为由题意得，若要不亏本，则03212103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ，解得194≤a ，即a 的最大值为194.19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为030，∴030=∠ABO设1=AO ，则3=BO ，∵0160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ，则46||||||,cos |sin ==><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42020=+y x ，则)24,2(),2,2(000y x F y x E +--， ∴4116416416424424220020000021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ，则144122412221=+⇒-=+⋅-⇒-=y x x y x y k k （0≠y ）故曲线C 的方程为1422=+y x （0≠y ）（2）联立⎩⎨⎧=++=4422y x mx y 消去y ，得0448522=-++m mx x ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则544,5822121-=-=+m x x m x x ，由0)44(206422>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m∴22221221255245444)58(24)(11||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=，易得)1,1(),2,2(---+m T m S ， ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=，∴22)3(554||||m m ST PQ S S OSTOPQ +-===∆∆λ，令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ，则45)431(4544654222+--⨯=-+-=t t t t λ，当431=t ，即43=t 时，λ取得最大值552，此时35-=m . 21．解：（1）xax y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得322=-a，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 212+=对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立则问题等价于x x a x x F 2ln 21)(2-+=在),0(+∞上为增函数 2)('-+=xax x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立，所以1)2(max 2=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞. （3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+等价于0000ln 1x ax a x x -<+，整理得01ln 000<++-x ax a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(，由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m2222)1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--=因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得2-<a ； ②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值.令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n (11+<++a a a ，可得)1ln(11+<++a aa （*）令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为t t t ln 11<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++-=eaa e e m 解得112-+>e e a .综上所述，实数a 的取值范围是),11()2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，4)2(22=++y x∵090=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b . （2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2>=a ay x ，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty t x 22222（t 为参数），代入曲线1C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 04212>+=∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ， ∴8||||22=N C M C ， ∴||||22N C M C 为定值8.23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ，即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩⎨⎧≤+--<9331x x解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ，故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立 3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒50a a 5≥⇒a .。

2018江苏省海安南外金陵三校联考四模数学卷(含答案)

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二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分）已知向量 m＝(cosx，－sinx)，n＝(cosx，sinx－2 3cosx)，x∈R．设 f(x)＝m·n． (1) 求函数 f(x)的单调递增区间； (2) 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 f(A)＝1，a＝2 3，c＝2，求△ABC 的面积． 16．（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BAC＝90°，AB＝AA1，点 M，N 分别为 A1B 和 B1C1 的中点． (1) 求证：MN∥平面 A1ACC1； (2) 求证：平面 A1BC⊥平面 MAC． B1 M A A1 C1 N
B （第 16 题图）
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三校联考
数学（理科 3 页，文科 2 页）
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201805
17．（本小题满分 14 分） x2 y2 3 在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 C： 2＋ 2＝1 (a＞b＞0)的离心率为，F1，F2 分别是椭圆的 a b 2 左、右焦点，过 F2 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两点，直线 l2 与 C 交于 D， E 两点，且△AF1F2 的周长是 4＋2 3． (1) 求椭圆 C 的方程； 3 (2) 当 AB＝ DE 时，求△ODE 的面积（O 为坐标原点）． 2 19．（本小题满分 16 分） aex 已知 f(x)＝lnx－ax3，g(x)＝． e (1) 若直线 y＝x 与 y＝g(x)的图象相切，求实数 a 的值； (2) 若存在 x0∈[1，e]，使 f(x0)＞(1－3a)x0＋1 成立，求实数 a 的取值范围； (3) 是否存在实数 a，使 f(x)＋g(x)≤0 对任意 x∈(0，2)恒成立?证明你的结论．

高三数学-2018【数学】江苏省南师大附中2018届高三高考考前模拟精品

2018年南京师范大学附属中学高三年级模拟考试数学试卷注意事项：1、本试卷共160分，考试用时120分钟。

2、答题前，考生务必将姓名、考试号写在答题纸上，考试结束后，交回答题纸。

参考公式：样本数据221211,,,()n n i i x x x S x x n ==-∑的方差为，其中x 为样本平均数．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共40分。

请把答案填写在答题纸相应位置上）1．sin(300)_____︒-=．2．已知复数i(12i)z =-+，其中i 是虚线单位，则||z =．3．已知全集U =R ，集合{|23}(|10)A x x B x x =-=+>≤≤，，则集合U A B =ð ． 4．某同学五次测验的成绩分别为78，92，86，84，85，则该同学五次测验成绩的方差为．5．已知中心在坐标原点的椭圆经过直线240x y --=与坐标轴的两个交点，则该椭圆的离心率为．6．右图是一个算法的流程图，若输入x =6，则输出k 的值是． 7．已知等比数列{a n }的各项都为正数，它的前三项依次为1，a +1， 2a +5，则数列{a n }的通项公式____n a =．8．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为3的倍数的概率是．9．已知向量，a b 满足||1||2()==⊥+，，，则向a b a a b 量，a b 夹角的大小为．10．若方程ln 2100x x +-=的解为x 0，则不小于x 0的最小整数是． 11．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是．12．△ABC 中，若A =2B ，则ab的取值范围是．13．已知函数()1||xf x x =-，分别给出下面几个结论： ①()f x 是奇函数；②函数()f x 的值域为R ；③若x 1≠x 2，则一定有12()()f x f x ≠；④函数()()g x f x x =+有三个零点．其中正确结论的序号有．（请将你认为正确的结论的序号都填上）14．在数列{}n a 中，如果存在正整数T ，使得max m a a =对于任意的正整数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫数列{}n a 的周期。

江苏省海门中学2018届高三5月考试(最后一卷)数学试题(解析版)

2018届高三数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 集合A=，B={-1,0,1}，若A∩B={0,1}，则x=______.【答案】0.【解析】分析：由题意得到关于x的方程，解方程求x的值即可.详解：由题意结合交集的定义可知：，解方程可得：点睛：本题主要考查结合元素的互异性，交集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 已知样本数据的均值=5，则样本数据的均值为______.【答案】16【解析】分析：由题意结合均值的性质计算均值即可.详解：由题意结合均值的性质可知：样本数据的均值为.点睛：本题主要考查均值的性质及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 若复数为虚数单位，a∈R)满足|z|=2，则a=______.【答案】.【解析】分析：由题意结合复数模的运算法则得到关于a的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合复数的运算法则可得：，即：，解得：.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算公式与运算性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为______.【答案】11.【解析】试题分析：I=1，1<7成立，S=3，I=3；3<7成立，S=7，I=5；5<7，S=11，I=7；7<7不成立，输出11；考点：1.程序框图；2.循环结构；5. 将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1,2号盒子中各有1个球的概率为______.【答案】.【解析】试题分析：甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个球都有3种放法，故共有3×3=9种放法在1，2号盒子中各有1个球，有2种放法∴在1，2号盒子中各有1个球的概率为.考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式,属基础题.点评：本题考查排列知识，考查概率的计算，属于基础题．6. 若双曲线的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为______.【答案】.【解析】分析：首先求得m的值，然后求解渐近线方程即可.详解：由双曲线方程可知：，且：，，则，双曲线的离心率：，解得：，则双曲线的渐近线满足：，整理可得渐近线方程为：.点睛：在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．求曲线的渐近线的方法是令，即得两渐近线方程.7. 已知函数，则不等式的解集为______.【答案】（0，2）.【解析】分析：首先确定函数的单调性，然后结合函数的单调性求解不等式的解集即可.详解：由函数的解析式可得：，由于，当且仅当，即时等号成立，据此可得：，则函数是上的单调递减函数，注意到，则题中的不等式等价于，结合函数的单调性脱去符号有：，解得，即不等式的解集为.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．8. 如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥底ABCD,底面ABCD是矩形，AB=2， AD=3，点E为棱CD上一点，若三棱锥E-PAB 的体积为4，则PA的长为______.【答案】4.【解析】分析：由题意结合三棱锥的体积公式求解P A的长度即可.详解：由题意可知，点E到平面的距离为，由三棱锥的体积公式可得：，即：.点睛：本题主要考查三棱锥的体积公式及其应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【答案】0或8.【解析】分析：由题意类比等比数列的性质分类讨论求解公积即可.详解：当公积为0时，数列，，，满足题意；当公积不为0时，应该有：，且，由题意可得：，则：，此时数列的公积为：.综上可得：这个数列的公积为0或8.点睛：本题的核心在于利用公比、公差的定义进行类比推理解题.在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素；②找对应元素的对应关系．10. 如图，在扇形AOB中，OA=4，∠AOB=120,P为弧AB上的一点，OP与AB相交于点C,若，则的值为______.【答案】4.【解析】分析：首先求得∠AOP的大小，然后利用数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：，则，，结合平面几何知识可得：，由向量的运算法则可知：.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．11. 已知函数，若在区间上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是______.【答案】.【解析】分析：将原问题转化为函数交点的问题，结合函数的图象整理计算即可求得最终结果.详解：当时，函数的零点满足：，很明显不是其零点，则：，当时，函数的零点满足：，则：，则原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求实数m的取值范围.很明显单调递减，且当时，，绘制函数图象如图所示，结合函数图象可知，实数m的取值范围是.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．12. 在平面角坐标系xOy中，已知是直线上的两点,则的值为______.【答案】.【解析】分析：将原问题转化为三角方程的问题，求解三角方程后结合特殊角的三角函数值即可求得最终结果.详解：由题意可得：，，则是方程的两个实数根，三角方程即：，则，据此可得：，不妨设，，则，.点睛：本题主要考查方程的思想，三角函数的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13. 设x、y均为正实数，且,以点(x，y)为圆心，R=xy为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为______.【答案】.【解析】试题分析：因为，所以令，则所以，当且仅当，即时取等号，此时半径，则此时所求圆的方程为，故答案为.考点：1、圆的标准方程；2、利用基本不等式求最值.14. 已知,当a>0时，若有恒成立，则实数取值范围是______. 【答案】.【解析】分析：由题意首先确定函数的单调性，然后结合恒成立的条件分类讨论即可求得最终结果.详解：f'(x)=3x2-12ax+9a2=3(x-a)(x-3a)，f(x)在(0，a)上递增，在(a，3a)上递减，在(3a，+∞)上递增．(1)当a≥3时，函数f(x)在[0，3]上递增，所以函数f(x)在[0，3]上的最大值是f(3)，若对∀x∈[0，3]有f(x)≤4恒成立，需要有，解得．(2)当1≤a<3时，有a<3≤3a，此时函数f(x)在[0，a]上递增，在[a，3]上递减，所以函数f(x)在[0，3]上的最大值是f(a)，若对∀x∈[0，3]有f(x)≤4恒成立，需要有，解得a=1．(3)当a<1时，有3>3a，此时函数f(x)在[0，a]上递增，在[a，3a]上递减，在[3a，3]上递增，所以函数f(x)在[0，3]上的最大值是f(a)或者是f(3)．由f(a)-f(3)=(a-3)2(4a-3)：①时，f(a)≤f(3)，若对∀x∈[0，3]有f(x)≤4恒成立，需要有，解得．②时，f(a)>f(3)，若对∀x∈[0，3]有f(x)≤4恒成立，需要有，解得．综上所述，．对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.求解最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．二、解答题：本大照共6小题，共90分15. 已知斜三角形△ABC中，.(1)求角C(2)若，求当△ABC的周长最大时的三角形的面积【答案】(1).(2) .【解析】分析：（1）由题意结合两角和差正余弦公式可得，则.（2）由题意可知，当时，三角形的周长最大，此时三角形的面积为详解：（1），.（2），，最大，则△ABC的周长最大，此时点睛：本题主要考查正弦定理的应用，解三角形中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，M是AB的中点，O1是A1C1与B1D1的交点.(1)求证：O1M∥平面BB1C1C(2)若平面AA1C1C⊥平面ABCD，求证：四边形BB1D1D是矩形【答案】（1）见解析.(2)见解析.【解析】分析：(1)取的中点，连结，由题意可证得平面平面，则平面.(2)很明显四边形是平行四边形，由几何关系可证得平面,则，，四边形BB1D1D是矩形.详解：(1)如图所示，取的中点，连结，由可得，由可得，利用面面垂直的判断定理可得：平面平面，则平面.(2)很明显四边形是平行四边形，如图所示，连结AC,BD交于点O，连结OO1，底面是菱形，则，平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AA1C1C∩ABCD=AC，由面面垂直的性质定理可得：平面,而平面，故，而，故，据此可得：四边形BB1D1D是矩形.点睛：本题主要考查线面平行的判定定理，面面垂直的性质定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左，右顶点分别为·若直线3x+4y+5=0上有且仅有一个点M，便得.（1）求椭圆C的标准方程（2）设圆T的圆心T(0,t)在x轴上方，且圆T经过椭圆C两焦点，点P，Q分别为椭圆C和圆T上的一动点，若时，PQ取得最大值为，求实数t的值.【答案】(1).(2) .【解析】试题分析：（1）由可知，也在以为直径的圆上，将条件转化为直线与圆相切，从而确定焦距，求得椭圆方程；（2）由可知，为圆的切线，利用勾股定理求切线的长，从而建立目标函数；求解最值时，由于对称轴不确定，需要分类讨论；试题解析：（1）因为椭圆左，右顶点分别为，所以．又因为直线上恰存在一个点，使得，即以原点O为圆心，半径为作圆O，使得圆O与直线相切即可．又圆心O到直线的距离，所以，，所以椭圆的标准方程为；（2）设，因为点在椭圆上，所以有,因为圆的圆心在x轴上方，且圆经过椭圆两焦点．所以圆的方程为,，由得，又，所以，①当即时,当时,取得最大值,因为的最大值为，所以,解得,又，故舍去.②当即时,当时,取最大值,所以，解得，又，所以.综上,当时,的最大值为.考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系；3.二次函数的图象与性质；18. 将一个半径为3dm，圆心角为的扇形铁皮焊接成一个容积为V(dm3)的圆锥形无盖容器(忽略损耗).(1)求V关于的函数关系式(2)当为何值时，V取得最大值(3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球?请说明理由.【答案】(1)(2)(3) 能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球.理由见解析.【解析】分析：（1）由题意结合几何关系可得体积表达式为(2) 令换元之后利用导函数研究函数的性质可得时，（3）由题意可得圆锥轴截面三角形内切圆半径，则能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球.详解：（1），(2) 令，，因此时，（3）设圆锥轴截面三角形内切圆半径为，所以能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球.点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.19. 已知函数(1)当a=3时，求函数f(x)的单调区间(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，当x∈(0,1]，求证：;(3)设g(x)=f(x)-ln(ax)，对于任意a∈(0,2)时，总存在x∈[1,2]，使g(x)>k(a-2)-2，求实数k的取值范围【答案】(1) 单调递增区间为和，函数的单调递减区间为；(2)证明见解析；(3) .【解析】分析：(1)当时，，据此讨论可得函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为.(2)由题意结合韦达定理可得，原问题转化为证明：.构造函数：，证明即可证得题中的结论.(3)由题意将原问题转化为在上恒成立，结合函数的性质切线放缩可得实数k的取值范围是.详解：(1)当时，，则：，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，综上可得，函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为.(2)，则，结合题意可知，是一元二次方程的两个实数根，即：，据此有：，，①，结合①的结论和韦达定理可得：，原问题等价于证明：，即.构造函数：，只需证明即可.则，令，则，由二次函数的性质可知，的最小值为，则恒成立，函数单调递增，的最大值为，则恒成立，函数单调递减，则函数.则原命题得证.(3)由可得：，恒成立，函数单调递增，的最大值为，原问题等价于在上恒成立，令，则函数的函数图象恒在函数图象的下方.则，则函数单调递减，且，则的图象下凸.注意到当时，，且，而，如图所示，利用切线放缩的方法可知：实数k的取值范围是.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．20. 对于数列，记则称数列为数列的“k阶塑数列”，(1)已知，①若为等比数列，求的值②设t为任意正数，证明：存在，当时总有；(2)已知，若且对恒成立，求的取值范围.【答案】(1) ①.②见解析.(2)【解析】分析：（1）①由题意结合新定义的知识可得.②由题意可得，则，取不小于的正整数，则题中的结论成立. （2）由题意得到关于的不等式组，求解不等式组可得详解：（1）①.当时，满足题意；②，所以，，因此取不小于的正整数，当时总有；（2），因为，所以递增，因此点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。

江苏省南师附中等四校2018届高三下学期期初联考数学试题(解析版)

1．3【解析】∵{}3A B ⋂=， ∴3A ∈， ∴3a =．答案：3 2．12-【解析】∵()()()()12112131112i i i i z i i i +++-+===--+， ∴z 的实部是12-．答案： 12-5．14【解析】由题意得，将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有4416⨯=种情况，其中两次看不到的数字都大于2的情况有()()()()3,3,3,4,4,3,4,4，共4种．由古典概型概率公式可得所求概率为41164P ==．答案： 146．2-【解析】由题意得1tan tan 341tan πθθθ+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，解得1tan 2θ=．∴22222213sin cos 3cos tan 32sin cos 3cos 21sin cos tan 1()12θθθθθθθθθθ----====-+++．答案： 2- 点睛：在三角变换中，要注意寻找式子中的角、函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，以减少函数的种类，从而达到对式子进行化简的目的．对于齐次式的求值问题常将所求问题转化为正切的形式求解，在变形时有时需要添加分母1，再用平方关系求解．【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.8．16【解析】令2204x y m-=，得2m y x =±，故双曲线的渐近线方程为my x =．由题意可得1122m ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，解得16m =．答案： 16 9．【解析】设四棱锥斜高为底面边长为因为正四棱锥的高为，正四棱锥的侧面积为，所以，故答案为10．1【解析】因为()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间(]2,2-上，其函数解析式是(),20{1,02x a x f x x x +-<≤=-<≤， ()()()()5511f f f f -=⇒-=，可得()()101221a a f a f -+=⇒=⇒==，故答案为1.11．(][),33,-∞-⋃+∞【解析】∵()3221f x x ax a x =+-+，∴()2232f x x ax a =+-'．∴实数a 的取值范围是(][),33,-∞-⋃+∞．答案： (][),33,-∞-⋃+∞ 12．0【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连M E ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==, 所以()12MN ME EN DC AB =+=+．由PQ 与MN 共线，所以()PQ MN R λλ=∈，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC λλ⋅-=⋅-=+⋅-()2202AB DC λ=-=．答案：0 点睛：（1）根据题中的AB CD =，添加辅助线是解题的突破口，得到()12MN DC AB =+是解题的关键，然后根据向量的共线可得()PQ MN R λλ=∈，再根据向量的数量积运算求解。

江苏省海门中学2018届高三5月考试(最后一卷)数学试题Word版含详细答案

2018届高三数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．集合A={0,2}x ，B={-1,0,1}，若A∩B={0,1}，则x=______.2．已知样本数据12,,,n x x x 的均值x =5，则样本数据123+1,3+1,,3+1n x x x 的均值为______.3．若复数(1)(1)(z i ai i =+-为虚数单位，a ∈R)满足|z|=2，则a=______.4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为______.5、将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1,2号盒子中各有1个球的概率为______.6、若双曲线22116y x m-=的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为______. 7、已知函数()2()x x f x x e e -=--，则不等式2(2)0f x x ->的解集为______.8.如图，四棱锥P 一ABCD ，PA ⊥底ABCD,底面ABCD 是矩形，AB=2， AD=3，点E 为棱CD 上一点，若三棱锥E 一PAB 的体积为4，则PA 的长为______.9.定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积。

江苏省南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校2017届高三数学第四次模拟考试试题(含解析)

2016-2017年江苏省南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校高三第四次模拟考试数学一、填空题：共14题1．已知集合，集合，则. 【答案】{1}【解析】本题主要考查集合的基本运算.因为，，所以.2．若复数(为虚数单位)，则的实部是.【答案】【解析】本题主要考查复数的四则运算与复数的实部与虚部.因为，所以的实部是3．函数的定义域为.【答案】【解析】本题主要考查函数的定义域、对数函数.由题意可得,即,所以,所以函数的定义域为4．根据如图所示的程序语言，输出的值为.【答案】21【解析】本题主要考查While 语句.运行程序：a=1,i=2;a=3,i=4;a=7,i=6;a=13,i=8;a=21,i=8,此时，不满足条件，循环结束，输出a=21.5．采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人进行问卷调查.将这1 000人随机编号为1,2,…,1 000,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中,编号落入区间[1,400]的人做问卷A,编号落入区间[401,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则做问卷C的人数为.【答案】A【解析】采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人进行问卷调查,分50组,每组20人,在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8,以后每组各抽取一个号码,间隔为20,所以第二组抽取28号,第三组抽取48号,…….做问卷A的有20人,做问卷B的有18人,所以做问卷C的有12人,选择A.6．从1,2,3,4,5这五个数中一次随机取两个数，则取出的两个数的和为奇数的概率为.【答案】【解析】本题主要考查古典概型.从1,2,3,4,5这五个数中一次随机取两个数，有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共有10个不同的结果，其中取出的两个数的和为奇数的取法有(1,2),(1,4),(2,3), (2,5),(3,4),(4,5),共有6个不同的结果，所以所求事件的概率P=7．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则该双曲线的两条渐近线方程是.【答案】【解析】本题主要考查双曲线的性质，由双曲线的性质求出m的值，即可得出双曲线的渐近线方程.由双曲线的方程与离心率可知,则m=1，所以双曲线的渐近线方程为8．在平面直角坐标系中，将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的值为.。

江苏省南京师范大学附属中学2018届高三数学模拟考试试题

2018届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2018．5参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x|x 2－x －2＜0}，则A∩B＝________.2. 若复数z ＝1－i ，则z ＋1z的虚部是________． 3. 某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为1 400辆、5 600辆、2 000辆．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45辆进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．4. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，x ＋y ＋1≥0，x －y ＋3≥0 则目标函数z ＝－2x ＋y 的最大值是________．5. 小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，则A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是________．6. 如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．(第6题)(第7题)7. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是________．8. 已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝2x，它的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点相同，则双曲线的方程是________________．9. 若直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝e x －2的切线，则实数b ＝________. 10. “a ＝1”是“函数f(x)＝x ＋1x ＋sin x －a 2为奇函数”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)11. 在数列{a n }中，若a 4＝1，a 12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a 2 018＝________.12. 已知直线x －y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝9交于不同的两点A ，B.若O 是坐标原点，且|OA →＋OB →|≥22|AB →|，则实数b 的取值范围是________________．13. 在△ABC 中，已知AB→·AC →＋2BA →·BC →＝3CA →·CB →，则cos C 的最小值是________．14. 已知函数f(x)＝x 3－3x 2＋1，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋54，x>0，－x 2－6x －8，x ≤0. 若方程g(f(x))－a ＝0(a ＞0)有6个实数根(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m＝(－1，3)，n＝(cos A，sin A)，且m·n＝1.(1) 求A的值；(2) 若1＋sin 2Bcos2B－sin2B＝－3，求tan C的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1) 求证：AB∥EF；(2) 若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.17. (本小题满分14分)如图，A，B，C三个警亭有直道相通，已知A在B的正北方向6千米处，C在B的正东方向63千米处．(1) 警员甲从C出发，沿CA行至点P处，此时∠CBP＝45°，求PB的距离；(2) 警员甲从C出发沿CA前往A，警员乙从A出发沿AB前往B，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时．两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B后原地等待，直到甲到达A时任务结束．若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试求两人通过对讲机能保持联系的总时长．18. (本小题满分16分)如图，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C经过点(0，3)，离心率为12，直线l过点F2与椭圆C交于A，B两点．(1) 求椭圆C的方程；(2) 若点N为△F1AF2的内心(三角形三条内角平分线的交点)，求△F1NF2与△F1AF2面积的比值；(3) 设点A，F2，B在直线x＝4上的射影依次为点D，G, E．连结AE，BD，试问：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ln x －ax ＋a ，a ∈R.(1) 若a ＝1，求函数f(x)的极值；(2) 若函数f(x)有两个零点，求a 的取值范围；(3) 对于曲线y ＝f(x)上的两个不同的点P(x 1，f(x 1))，Q(x 2，f(x 2))，记直线PQ 的斜率为k ，若y ＝f(x)的导函数为f ′(x)，证明：f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜k.20. (本小题满分16分)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }均不是常数列，若a 1＝b 1＝1，且a 1，2a 2，4a 4成等比数列，4b 2，2b 3，b 4成等差数列．(1) 求{a n}和{b n}的通项公式；(2) 设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k(i＜j＜k)，使得a m b j，a m a n b i，a nb k成等差数列，求m＋n的最小值；(3) 令c n＝a nb n，记{c n}的前n项和为T n，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n的前n项和为A n.若数列{p n}满足p1＝c1，且对∀n≥2，n∈N*，都有p n＝T n－1n＋A n c n，设{p n}的前n项和为S n，求证：S n＜4＋4ln n.2018届高三模拟考试试卷(十九)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)在△ABC 中，已知AC ＝12AB ，CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 边于点N ，求证：BN ＝2AM.B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值．C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知圆C：ρ＝22cos θ和直线l：θ＝π4(ρ∈R)相交于A，B两点，求线段AB的长．D. (选修45：不等式选讲)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：12a＋1＋42b＋1≥94.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1) 求S＝32的概率；(2) 求S的分布列及数学期望E(S)．23. 设集合A，B是非空集合M的两个不同子集．(1) 若M＝{a1，a2}，且A是B的子集，求所有有序集合对(A，B)的个数；(2) 若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，且A的元素个数比B的元素个数少，求所有有序集合对(A，B)的个数．2018届高三模拟考试试卷数学参考答案及评分标准1. {0，1}2. －12 3. 10 4. 5 5. 710 6. 4 7. 233 8. x 25－y 220＝19. －2ln 2 10. 充分不必要 11. 9 12. (－32，－6]∪[6，32)13. 23 14. ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5415. 解：(1) 因为m ·n ＝1，所以(－1，3)·(cos A ，sin A)＝1，即3sinA －cos A ＝1，(2分)则2⎝⎛⎭⎪⎫sin A ·32－cos A ·12＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.(4分)又0<A<π ，所以－π6<A －π6<5π6，故A －π6＝π6，所以A ＝π3.(6分)(2) 由题知 1＋2sin Bcos B cos 2B －sin 2B＝－3，整理得sin 2B －sin Bcos B －2cos 2B＝0.(8分)又cos B ≠0 ，所以tan 2B －tan B －2＝0，解得tan B ＝2或tan B ＝－1.(10分)又当tan B ＝－1时cos 2B －sin 2B ＝0，不合题意舍去，所以tan B ＝2.(12分)故tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)＝－tan A＋tan B1－tan Atan B＝8＋5311. (14分)16. 证明：(1) 因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD. (2分)又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC.(4分)因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF. (7分)(2) 因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD. (8分)因为AF⊥EF，AB∥EF，所以AB⊥AF.(9分)又AB⊥AD，点E在棱PC上(异于点C)，所以F点异于点D，所以AF∩AD ＝A.又AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.(12分)又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD. (14分)17. 解：(1) 在△ABC中，AB＝6，∠A＝60°，∠APB＝75°，由正弦定理，得ABsin ∠APB＝BPsin A，即BP＝6×322＋64＝1236＋2＝123（6－2）4＝33(6－2)，故PB的距离是92－36千米. (4分)(2) 甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．设甲、乙之间的距离为f(t)，要保持通话则需要f(t)≤9.①当0≤t≤1时，f(t)＝（6t）2＋（12－3t）2－2·6t·（12－3t）cos 60°＝37t2－16t＋16≤9，(6分)即7t2－16t＋7≤0，解得8－157≤t≤8＋157.又t∈[0，1]，所以8－157≤t≤1，(8分)故两人通过对讲机保持联系的时长为15－17小时.②当1<t≤4时，f(t)＝36＋（12－3t）2－2·6（12－3t）cos 60°＝3t2－6t＋12≤9，(10分)又t∈(1，4]，所以1<t≤4，(12分)故两人通过对讲机保持联系的时长为3小时．由①②可知，两人通过对讲机能保持联系的总时长为3＋15－1 7＝15＋207(小时).答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是15＋207小时. (14分)(注：不答扣1分)18. 解：(1) 由题意知b＝ 3.因为ca＝12，所以ba＝32，解得a＝2，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1. (4分)(2) 因为点N为△F1AF2的内心，所以点N为△F1AF2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r，则S△F1NF2S△F1AF2＝12F1F2·r12（AF1＋AF2＋F1F2）·r＝F1F2AF1＋AF2＋F1F2＝ca＋c＝13. (8分)(3) 若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于F 2G 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.(9分)下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.设直线l 的方程为y ＝k(x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，化简得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为直线l 经过椭圆C 内的点(1，0)，所以Δ＞0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2. (11分) 由题意，得D(4，y 1)，E(4，y 2)，则直线AE 的方程为y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x－4)．令x ＝52，此时y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－4＝2（x 1－4）y 2＋3（y 2－y 1）2（x 1－4）＝2（x 1－4）k （x 2－1）＋3k （x 2－x 1）2（x 1－4）＝8k ＋2kx 1x 2－5k （x 2＋x 1）2（x 1－4）＝8k ＋2k·4k 2－123＋4k 2－5k·8k 23＋4k 22（x 1－4）＝8k （3＋4k 2）＋2k （4k 2－12）－5k·8k 22（x 1－4）（3＋4k 2）＝24k ＋32k 3＋8k 3－24k －40k 32（x 1－4）（3＋4k 2）＝40k 3－40k 32（x 1－4）（3＋4k 2）＝0，所以点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0在直线AE 上．同理可证，点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0在直线BD 上. (16分)所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.19. (1) 解：f′(x)＝1x－a ＝1－ax x，x>0，当a≤0时，f ′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值；(2分)当a>0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，f ′(x)>0，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，f ′(x)<0，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．故函数有极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a －ln a －1，无极小值. (4分)(2) 解：由(1)可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不可能有两个零点；当a ＞0时，函数有极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a －ln a －1.令g(x)＝x －ln x －1(x ＞0), 则g′(x)＝1－1x ＝x －1x .当x∈(0，1)，g ′(x)<0，g(x)在(0，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)，g ′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，函数g(x)有最小值g(1)＝0.若要使函数f(x)有两个零点，必须满足a>0且a≠1.(6分) 下面证明a>0且a≠1时，函数有两个零点．因为f(1)＝0，所以下面证明f(x)还有另一个零点．① 当0<a<1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a －ln a －1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝－2ln a ＋a －1a ＝－2aln a ＋a 2－1a ＝－2aln a －a 2＋1a .令h(a)＝2aln a －a 2＋1(0<a<1)，则h′(a)＝2(ln a ＋1)－2a ＝2(ln a －a ＋1)<0，h(a)在(0，1)上单调递减，h(a)>h(1)＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2<0，所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1a 2上有零点．又f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减，所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1a 2上有唯一零点，从而f(x)有两个零点．② 当a>1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a －ln a －1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e a ＝－a －a×1e a ＋a ＝－a×1e a <0.易证e a >a ，可得1e a <1a ，所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e a ，1a 上有零点．又f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减，所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e a ，1a 上有唯一零点，从而f(x)有两个零点．综上，a 的取值范围是(0，1)∪(1，＋∞). (10分) (3) 证明：f(x 1)－f(x 2)＝ln x 1－ln x 2＋a(x 2－x 1)， k ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝ln x 1－ln x 2＋a （x 2－x 1）x 1－x 2＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2－a.又f′(x)＝1x －a ＝1－axx ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝2x 1＋x 2－a ，(12分)所以f′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－k ＝2x 1＋x 2－ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1x 1－x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x 1－x 2）x 1＋x 2－ln x 1x 2 ＝1x 1－x 2⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋1－ln x 1x 2. 不妨设0＜x 2＜x 1, t ＝x 1x 2，则t ＞1，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋1－ln x 1x 2＝2（t －1）t ＋1－ln t.令h(t)＝2（t －1）t ＋1－ln t(t>1)，则h′(t)＝－（t －1）2（1＋t ）2t<0，因此h(t)在(1，＋∞)上单调递减，所以h(t)＜h(1)＝0.又0＜x 2＜x 1，所以x 1－x 2＞0，所以f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－k ＜0，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜k. (16分) 20. 解：(1) 设等差数列的公差为d(d≠0)，等比数列的公比为q(q≠1)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 22＝4a 1a 4，4b 3＝4b 2＋b 4⇒⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋d ）2＝a 1（a 1＋3d ），4b 1q 2＝4b 1q ＋b 1q 3，解得d ＝1，q ＝2，(4分)所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2) 由a m b j ，a m a n b i ，a n b k 成等差数列，有2a m a n b i ＝a m b j ＋a n b k ，即2mn·2i －1＝m·2j －1＋n ·2k －1 .由于i<j<k ，且为正整数，所以j －i≥1，k －i≥2，所以2mn ＝m·2j －i ＋n·2k －i ≥2m ＋4n ，(6分) 可得 mn≥m＋2n, 即2m ＋1n≤1.① 当1≤m≤2时，不等式2m ＋1n≤1不成立；② 当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝2 或 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝3时，2mn ·2i －1＝m·2j －1＋n·2k －1成立；(8分)③ 当n≥4时，1n >0，2m <1，即m>2，则有m ＋n>6；所以m ＋n 的最小值为6，当且仅当j －i ＝1，k －i ＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝2 或 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝3时取得. (10分)(3) 由题意，得p 2＝c 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12c 2，p 3＝c 1＋c 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13c 3，…S n ＝p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n (c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n )(11分)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n T n .T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ①， 12T n ＝12c 1＋12c 2＋…＋12c n ②. ①－②，得12T n ＝1＋12＋14＋18＋…＋12n －1－n2n ＝2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，(12分)解得 T n ＝4－(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1<4，所以 S n <4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n .设f(x)＝ln x ＋1x －1(x>1)，则f′(x)＝1x －1x 2＝x －1x2>0，所以 f(x)在(1，＋∞)上单调递增，有f(x)>f(1)＝0，可得 ln x>1－1x . (14分)当k≥2，且k∈N *时，kk －1>1，有ln kk －1>1－k －1k ＝1k ，所以12<ln 21，13<ln 32，…，1n <ln nn －1，可得1＋12＋13＋…＋1n <1＋ln 21＋ln 32＋…＋ln nn －1＝1＋ln n ，所以S n <4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n <4＋4ln n. (16分)2018届高三模拟考试试卷数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：在△ABC 中，因为CM 是∠ACB 的平分线，所以AC BC ＝AM BM.又AC ＝12AB ，所以AB BC ＝2AMBM ①.(4分)因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦，所以BM·BA＝BN·BC，即AB BC ＝BNBM ②.(8分)由①②可知2AM BM＝BN BM，所以 BN ＝2AM.(10分)B. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x)－4. (3分)因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x ＝1. (6分)由(λ－1)(λ－1)－4＝0，解得λ＝－1或3，所以λ2＝－1. (10分)(x －2)2＋y 2＝2.直线l ：θ＝π4(ρ∈R)的直角坐标方程为y ＝x ，即x －y ＝0.(6分)圆心C(2，0)到直线l 的距离d ＝|2－0|2＝1. (8分)所以AB ＝2（2）2－12＝2. (10分)D. 证明：(证法1) 因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1＋42b ＋1[(2a ＋1)＋(2b ＋1)]＝1＋4＋2b ＋12a ＋1＋4（2a ＋1）2b ＋1≥5＋22b ＋12a ＋1×4（2a ＋1）2b ＋1＝9. (8分) 而(2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4，所以12a ＋1＋42b ＋1≥94. (10分)(证法2)因为a ＞0，b ＞0，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1＋42b ＋1[(2a＋1)＋(2b ＋1)]≥⎝⎛⎭⎪⎫12a ＋12a ＋1＋42b ＋12b ＋12＝(1＋2)2＝9. (8分)由a ＋b ＝1，得 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4, 所以12a ＋1＋42b ＋1≥94.(10分) 22. 解：(1) 从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C 36种不同选法，其中S ＝32的为有一个角是30°的直角三角形(如△P 1P 4P 5)，共6×2＝12种，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫S ＝32＝12C 36＝35. (3分) (2) S 的所有可能取值为34，32，334.S ＝34的为顶角是120°的等腰三角形(如△P 1P 2P 3)，共6种，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫S ＝34＝6C 36＝310. (5分) S ＝334的为等边三角形(如△P 1P 3P 5)，共2种，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫S ＝334＝2C 36＝110. (7分)⎝⎭236所以E(S)＝34×310＋2541020(10分)23. 解：(1) 若集合B含有2个元素，即B＝{a1，a2}，则A＝∅，{a1}，{a2}，则(A，B)的个数为3；若集合B含有1个元素，则B有C12种，不妨设B＝{a1}，则A＝∅，此时(A，B)的个数为C12×1＝2.综上，(A，B)的个数为5. (3分)(2) 集合M有2n个子集，又集合A，B是非空集合M的两个不同子集，则不同的有序集合对(A，B)的个数为2n(2n－1). (5分)若A的元素个数与B的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A，B)的个数为C0n(C0n－1)＋C1n(C1n－1)＋C2n(C2n－1)＋…＋C n n(C n n－1)＝(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(C n n)2－(C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n). (7分)又(x＋1)n(x＋1)n的展开式中x n的系数为(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(C n n)2，且(x＋1)n(x＋1)n＝(x＋1)2n的展开式中x n的系数为C n2n，所以(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(C n n)2＝C n2n.因为C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n，所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时，有序集合对(A，B)的个数为C n2n－2n.(9分)所以当A的元素个数比B的元素个数少时，有序集合对(A，B)的个数为2n（2n－1）－（C n2n－2n）2＝22n－C n2n2.(10分)。

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南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校
2018届高三年级第四次模拟考试
数学I
参考公式：球的体积公式：3
4π3
V r =
，其中r 为球的半径；样本数据12 n x x x ，，，的方差()
2
2
11n i i s x x n ==-∑,其中1
1n
i i x x n ==∑．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知复数z ＝1＋2i （i 为虚数单位），则z 2的值为 ▲ ．
2．某射击运动员在五次射击中，分别打出了9，8，10，8，x 环的成绩，且这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是 ▲ ．
3．袋中装有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，
从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为
▲ ．
4．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．
5．设集合A ＝[－1，0]，B ＝{y |y ＝(12
)x 2
－1，x ∈R }，则A ∪B ＝ ▲ ． 6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2
b 2＝1(b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为3，则此双曲线的准线方程为 ▲ ．
7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为36，则这个球的体积为 ▲ ．
8．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π
2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的
最高点和最低点，横坐标分别为1，7．记点P (2，f (2))，点Q (5，f (5))，则MP →·NQ →
的值为 ▲ ．
（第8题图）
9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，
c ＝2，则∠C 的值为 ▲ ．
10．已知函数f (x )＝ln|x |－x －
2，则关于a 的不等式f (2a －1)－f (a )＜0的解集为 ▲ ．
11．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2，且S n ＋1＝2S n ，设b n ＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋
1
b 10b 11
的值是 ▲ ．
12．已知关于x 的方程x 2－6x ＋(a －2)|x －3|－2a ＋9＝0有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围
是 ▲ ．
13．已知正数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则S ＝1＋z xy ＋1
z
的最小值是 ▲ ．
14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的上半支(y ≥0)与圆(x －2)2＋y 2＝3相交于
A ，
B 两点，直线y ＝x 恰好经过线段AB 的中点，则p 的值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
已知向量m ＝(cos x ，－sin x )，n ＝(cos x ，sin x －23cos x )，x ∈R ．设f (x )＝m ·n ． (1) 求函数f (x )的单调递增区间；
(2) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若f (A )＝1，a ＝23，c ＝2，求△ABC 的面积．
16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AA 1，点M ，N 分别为A 1B 和B 1C 1的中点． (1) 求证：MN ∥平面A 1ACC 1； (2) 求证：平面A 1BC ⊥平面MAC ．
（第16题图）
A M
A 1
C
B
B 1
C 1
N
在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)的离心率为3
2，F 1，F 2分别是椭圆
的左、右焦点，过F 2作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，且△AF 1F 2的周长是4＋23． (1) 求椭圆C 的方程；
(2) 当AB ＝3
2DE 时，求△ODE 的面积．
18．（本小题满分16分）
如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计），其中OM 为东西走向，Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，610
5(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，
并在B 处修建一游客休息区． (1) 求有轨观光直路AB 的长；
(2) 已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型音乐喷泉组合，喷泉表演一次的时长为9分钟．
表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，r ＝2at (百米)（0≤t ≤9， 0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿(1)中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ．
问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．
A
O
B
P
Q
M
N （第18题）
已知f(x)＝ln x－ax3，g(x)＝a e x e．
(1) 若直线y＝x与y＝g(x)的图象相切，求实数a的值；
(2) 若存在x0∈[1，e]，使f(x0)＞(1－3a)x0＋1成立，求实数a的取值范围；
(3) 是否存在实数a，使f(x)＋g(x)≤0对任意x∈(0，2)恒成立?证明你的结论．20．(本小题满分16分)
已知各项均为正数的数列{a n}满足，a1＝1，a n＋1＝λa n2＋2a n＋μ
a n＋1
，n∈N*．
(1) 当λ＝2，μ＝0时，求证：数列{a n}是等比数列；
(2) 若数列{a n}是等差数列，求λ＋μ的值；
(3) 若λ＝1，μ为正常数，无穷项等比数列{b n}满足a1≤b n≤a n．求{b n}的通项公式．
南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校
2018届高三年级第四次模拟考试
数学II （附加题）
21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中．．．．．两题．．作答．．
，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A ．选修4—1：几何证明选讲
自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点，过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100°， ∠BPC =40°，求∠MPB 的大小．
B ．选修4—2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A 21b c ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，矩阵A 属于特征值1λ=-的一个特征向量为11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ α．求矩阵A 的逆矩阵．
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的方程为2
214
x y +=．以直角坐标系原点O 为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()
πcos 224ρθ-=．点P 为椭圆C 上
的动点，点Q 为直线l 上的动点，求线段PQ 的最小值．
D ．选修4—5：不等式选讲
若正数a ，b ，c 满足a + 2b + 4c =3，求111
111
a b c ++
+++的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．
22．某押运公司为保障押运车辆运行安全，每周星期一到星期五对规定尾号的押运车辆进行保养维护，具体保养安排如下：
该公司下属的某分公司有押运车共3辆，车牌尾号分别为0，5，6，分别记为A ，B ，C ．已知在非保养日，根据工作需要每辆押运车每天可能出车或不出车，A ，B ，C 三辆车每天出车的概率依次为2
3，
23，1
2
，且A ，B ，C 三车是否出车相互独立；在保养日，保养车辆不能出车． (1) 求该分公司在星期四至少有一辆车外出执行押运任务的概率；
(2) 设X 表示该分公司在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X 的分布列及其数学期望E (X )．
23．设集合{}()1235S n n =，
，，，≥，对S 的每一个4元子集，将其中的元素从小到大排列，并取出每个集合中的第2个数．记取出的所有数的和为()F n ． (1) 求()5F 的值； (2) 求证：F (n )
C 5n ＋1为定值．。