线线平行、线面平行、面面平行的判定方法(本人原创)
立体几何常考定理的总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
空间中的平行(经典)
空间中的平行一、知识梳理<一>线线平行与线面平行1.线线平行：定义：空间中两直线共面且没有交点，则两直线平行.证明两直线平行的主要方法是：①三角形中位线平行并等于底边的一半；②平行四边形两组对边分别平行；③梯形的一组对边平行；④直线平行的传递性：若a//b,b//c,则a//c.2.线面平行定义：若直线和平面没有交点，则称直线和平面平行.判定1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭判定2:两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行.a a a a αβαββααβ⇒⇒⊂⊂⎫⎫⎬⎬⎭⎭或线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行.<二>面面平行1.定义：若两个平面没有交点，则两个平面平行2.判断：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.,,a b a b A a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭,,,a b a b A a a b b a b ααββ⊂⎫⎪=⎪⇒⎬''⎪⎪''⊂⎭判定定理的推论： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行，两平面平行.3.两平面平行的性质： 性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行.a ab b αβαγβγ=⇒=⎫⎪⎬⎪⎭性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行；性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等；,,A C AC BD B D AB CD αβαβ∈⇒=∈⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭二、典例精析【例1】如图所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE ∥CD ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，F 为BE 的中点．求证：DF ∥平面ABC .【练习】如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．求证：MN ∥平面P AD .【例2】已知正方形ABCD 所在的平面和正方形ABEF 所在的平面相交与AB ，M 、N 分别是AC 、BF 上的中点.求证：MN//平面BCE .【练习】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E 为PD 的上一点，且PE=2ED ．若F 为PE 的中点.求证：BF ∥平面AEC .【例3】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC ．AB =BC=22AD ，点E 在棱PB 上，且PE=2EB ．求证：PD ∥平面EAC .【练习】如图，正四棱锥P-ABCD 中，PA=AB ，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且31==BD BN PA PM .求证：MN ∥平面PBC .2【例4】a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ②a ∥γ ，b ∥γ ⇒a ∥b ③α∥c ，β∥c ⇒α∥β④ α∥γ ，β∥γ ⇒α∥β ⑤α∥c ，a ∥c ⇒α∥a ⑥α∥γ ，a ∥γ ⇒α∥a其中正确的命题是（ ）A.①②③⑥ B ．①④⑤ C ．①④ D ．①④⑥【练习】下面六个命题中正确命题的个数是（ ）①如果a 、b 是两条直线，b a //，那么a 平行于经过b 的任何一个平面；②如果直线a 和平面α满足a //α,那么a 与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a //α,b //α,那么b a //；④如果直线a 、b 和平面α满足b a //，a //α，α⊄b ，那么b //α；⑤如果直线a 与平面α上的无数条直线平行，则a //α；⑥如果平面α的同侧有两点A 、B 到平面α的距离相等，则AB //α.A. 0B. 1C. 2D. 3【例5】一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）A ．异面B ．相交C ．平行D ．不能确定【练习】直线a //平面α，α内有n 条直线交于一点，这n 条直线直线中与直线a 平行的直线（ ）A.至少有一条 B ．至多有一条 C ．有且只有一条 D ．没有三、课后练习1．已知直线a ∥平面α，P α∈，那么过点P 且平行于α的直线（ ）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在α内 2．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．相交或平行D ．以上答案都不对3．下列结论中正确的是（ ） ①α∥β，β∥γ，则α∥γ；②过平面外一条直线有且只有一个平面与已知平面平行；③平面外的两条平行线中，如果有一条和平面平行，那么另一条也和这个平面平行；④如果一条直线与两个平行平面中一个相交，那么它与另一个必相交.A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④4．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是( )A ．过A 且平行于a 和b 的平面可能不存在B ．过A 有且只有一个平面平行于a 和bC ．过A 至少有一个平面平行于a 和bD ．过A 有无数个平面平行于a 和b5．如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．AB ⊂α6.如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，P ，Q 分别是BC ，11C D ，1AD ，BD 的中点.(1)求证：PQ //平面11DCC D ；(2)在DC 上找一点H ，使EFH //平面11BB D D .7.如图，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心.求证：PQ ∥平面ACD .8.如图所示，已知三棱锥BCD A -被一平面所截，截面为平行四边形EFGH ，求证：（1）//EF 平面BCD ；（2）CD EF //.。
直线、平面平行的判定与性质
直线、平面平行的判定与性质重点难点重点：掌握线线平行、线面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题.难点：线面平行与面面平行在判定中的相互转化使用.方法突破线面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找出一条直线与这条直线平行，就可断定这条直线必与这个平面平行. 线面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面与已知平面相交，其交线必与已知直线平行. 两个平面平行问题的判定与证明，是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，即“线面平行，则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面.1. 判定线线平行的三种方法（1）公理4：证明两直线同时平行于第三条直线.（2）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，且经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行.推理模式：l∥α，l∥β，α∩β=m？圯l∥m.（3）平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.推理模式：α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b？圯a∥b.2. 判定线面平行的三种方法（1）根据线面平行的判定定理：如果不在某个平面内的一条直线与该平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.推理模式：l？埭α，m？奂α，l∥m？圯l∥α.使用定理时，一定要说明“平面外的一条直线与平面内的一条直线平行”，若不注明该条件，则证明过程就不完备.（2）面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.推理模式：α∥β，a？奂α？圯a∥β.3. 判定面面平行的三种方法（1）根据面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.推理模式：a？奂β，b？奂β，a∩b=P，a∥α，b∥α？圯β∥α.（2）平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行.推理模式：a∩b=P，a？奂α，b？奂α，a′∩b′=P′，a′？奂β，b′？奂β，a∥a′，b∥b′？圯α∥β.（3）向量法：如果两个不同平面的法向量相互平行，那么就可以判定两个平面平行.典例精讲一、线线平行的判定■已知四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.思索若证四边形是平行四边形，只需证一组对边相等且平行或两组对边分别平行，选其一证出即可. 利用平行公理证明两条直线平行的思路就是要找准一条直线与这两条直线都平行的直线来传递.破解如图1，连结BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，EH=■BD. 又因为FG是△CBD的中位线，所以FG∥BD，FG=■BD. 根据公理4，FG∥EH且FG=EH，所以四边形EFGH是平行四边形.■图1二、线面平行的判定■如图2，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=■，AF=1，M是线段EF的中点. 求证：AM ∥平面BDE.■图2思索设AC与BD相交于G，连结EG，证明四边形AGEM 是平行四边形，可得EG∥AM，利用线面平行的判定定理可证.破解设AC与BD相交于G，连结EG，则G是AC的中点. 因为M是线段EF的中点，ACEF是矩形，所以EM∥AG，EM=AG，所以四边形AGEM是平行四边形，所以EG∥AM. 因为AM不在平面BDE内，EG在平面BDE内，所以AM∥平面BDE.三、面面平行的判定■如图3，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB. 过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是侧棱SA，SC的中点. 求证：平面EFG∥平面ABC.■图3思索证明平面EFG∥平面ABC，需要在平面EFG内找到两条相交直线与平面ABC平行，而线面平行的判定定理告诉我们，要证明线面平行，需要转化为证明线线平行. 因此，证明该题的关键是在平面内最为恰当的位置找出一条直线与该直线平行.破解（1）因为E，G分别是侧棱SA，SC的中点，所以EG∥AC.因为AC？奂平面ABC，EG？埭平面ABC，所以EG∥平面ABC. ？摇因为AS=AB，AF⊥SB，所以F为SB的中点，所以EF∥AB.因为AB？奂平面ABC，EF？埭平面ABC，所以EF∥平面ABC.因为EF∩EG=E，EF，EG？奂平面EFG，所以平面EFG∥平面ABC.四、线线平行、线面平行、面面平行的转化■如图4，已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为三角形SAB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.■图4思索一可判断SG∥平面DEF，要证明结论成立，只需证明SG与平面DEF内的一条直线平行，观察图形可以看出，转化成线线平行的证明.破解一连结CG交DE于点H，因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥AB. 在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，所以H为CG的中点，所以FH是△SCG的中位线，所以FH ∥SG. 又SG？埭面DEF，FH？奂面DEF，所以SG∥平面DEF. 思索二要证明SG∥平面DEF，只需证明平面SAB∥平面DEF，从而得到线面平行.破解二因为EF是△SBC的中位线，所以EF∥SB，又EF？埭面SAB，SB？奂面SAB，所以EF∥平面SAB. 同理，DF∥平面SAB.因为EF∩DF=F，所以可得面SAB∥面DEF. 又SG？奂面SAB，所以SG∥平面DEF.证法一直接应用线面平行的判定定理来证明；证法二是通过线线平行证面面平行，再由面面平行证线面平行. 在本题的证明过程中实现了线线平行、线面平行、面面平行的转化.变式练习1. 如图5，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点. 求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE.■图52. 如图6，在三棱锥S-ABC中，M，N，P分别为棱SA，SB，SC的中点，求证：平面MNP∥平面ABC.■图63. 如图7，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1.参考答案1. （1）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 因为AD？奂平面ABC，所以CC1⊥AD. 因为AD⊥DE，且CC1，DE？奂平面BCC1B1，CC1∩DE=E，所以AD⊥平面BCC1B1. 又因为AD？奂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.（2）因为A1B1=A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1. 因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F？奂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F. 因为CC1，？摇B1C1？奂平面BCC1B1，CC1∩B1C1=C1，所以A1F⊥平面BCC1B1. 由（1）知，AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又因为AD？奂平面ADE，？摇A1F？埭平面ADE，所以直线A1F∥平面ADE2. 因为M，N，P分别为棱SA，SB，SC的中点，所以MN∥AB，PN∥BC. 因为MN？埭平面ABC，AB？奂平面ABC，PN？埭平面ABC，BC？奂平面ABC，所以MN∥平面ABC，PN∥平面ABC. 因为MN∩PN=N，MN，PN？奂平面MPN. 所以平面MNP∥平面ABC.3. 证法一（利用线面平行的判定定理）：设C1B与CB1的交点为E，由已知得E为C1B的中点. 连结AC1，DE，则OE■■AC1. 又DE？奂平面CDB1，AC1？埭平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.证法二（利用共线向量定理证明线面平行）：因为直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以AC，BC，CC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由已知可得C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4），D■，2，0. 设CB1与C1B的交点为E，则E（0，2，2），因为■=-■，0，2，■=（-3，0，4），所以■=■■，所以■∥■. 因为DE？奂平面CDB1，AC1？埭平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.证法三（利用法向量证明线面平行）：因为直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以■，■，■为正交基底，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B■（0，4，4），D■，2，0，故■=（-3，0，4），■=（0，4，4），■=■，2，0. 设平面CDB1的法向量为n=（x，y，z），则4y+4z=0，■x+2y=0，故有n=（4，-3，3），所以■?n=0. 因此■⊥n. 又AC1不在平面CDB1内，从而有AC1∥平面CDB1. ■。
线面、面面平行的判定与性质
线面、面面平行的判定与性质一、线线、线面、面面平行间的相互转化（1）平行公理:平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性）（2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（线线平行→线面平行）（3）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行（线面平行→面面平行）（4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行（线面平行→线线平行）（5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行→线面平行）（6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行→线线平行）三、证明线线平行的方法：（1）线线平行的传递性； （2）三角形中位线； （3）平行四边形对边平行； （4）三角形中对应边成比例； （5）线面平行的性质定理. 三、典型例题例：已知四棱锥ABCD P ,E 是PD 的中点.证明：ACE PB 面//E P DBAC变式1：已知四棱锥ABCD P -,E 是AD 的中点，F 是PB 的中点.证明：ACE PB 面//.变式2：已知四棱锥ABCD P -,BC EF //,EFHG 平面与ABCD 平面相交于HG ，PB HI //,证明:PBC IG 面//.四、巩固训练1.三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 边的中点.求证：1AC ∥平面1CDB .PD BACE FEPDBACF GHIBACA 1B 1C 1D2.【2014高考北京卷 节选】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.，求证：1//C F 平面ABE .3.【2013年辽宁卷 节选】如图,AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点， Q 为PA 的中点，C 是圆O 上的点，G 为AOC ∆的重心.求证：PBC QG 平面//4.【2013年陕西卷】如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，O A 1⊥底面ABCD ，211==B AA AB .（1）证明：B CD BD A 11//平面平面；（2）求三棱柱111D B A ABD -的体积．C 1B 1A 1F ECBA5.【2014高考陕西卷】四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱BC AD ,的平面分别交四面 体的棱CA DC BD AB ,,,于点H G F E ,,,.（1）求四面体ABCD 的体积；（2）证明：四边形EFGH 是矩形.２２１俯视图左视图 主视图ABCDEFGH6. 【珠海市2015届高三9月摸底考试】如图的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形. （1）若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面11ACC A ；（2）是否存在过1A C 的平面α，使得直线1//BC α平行，若存在请作出平面α并证明，若不存在请说明理由.1AA。
立体几何线面面面平行的证明
立体几何线面面面平行的证明线面、面面平行是立体几何中重要的概念，在几何证明中经常会遇到。
下面将分别介绍线面平行和面面平行的证明。
一、线面平行的证明：线面平行是指一条直线与其中一平面上的其他线段或射线都平行。
下面给出线面平行的证明。
设直线l与平面α相交于点A，我们要证明直线l与平面上任意一条线段或射线都平行。
设平面上有一条线段BC，先证明直线l与线段BC平行。
假设直线l与线段BC的其中一点D相交，连接线段AD和CD。
现在需要证明线段AD与线段BC平行。
根据平面几何的基本知识，在平面上，如果三个点在同一条直线上，那么该直线上的任意两点连线也位于平面上。
故点A、D、C三点在同一条直线上，那么线段AD也位于平面α上。
又因为直线l与线段BC和AD的交点分别为D和A，根据定理“若两条直线平行，则与这两条直线分别相交的两个平行线交点连线也平行”。
所以，直线l与线段AD平行。
同理，可以证明直线l与线段CD平行。
综上所述，直线l与线段BC平行。
接下来证明直线l与平面上的任意一条射线EF平行。
同样以与射线EF有相交点E的直线l为基准，连接射线BE和EF。
然后使用相同的证明方法，即证明射线BE与EF平行。
通过以上证明，我们可以得出结论：直线l与平面α上的任意一条线段或射线都平行。
即证明了线面平行。
二、面面平行的证明：面面平行是指两个平面平行，这在立体几何中也有重要应用。
下面给出面面平行的证明。
设平面α与平面β相交于一条直线l，我们要证明平面α与平面β上的任意一条线段或射线都平行。
以直线l为基准，设平面α上有一条线段AB，我们需要证明线段AB 与平面β平行。
作直线AB的平行线于平面β相交于点C。
现在需要证明直线BC与线段AB平行。
根据平面几何的基本知识，若两条直线平行，那么有一个点在一条直线上，则另一条直线上的点的连线也在同一平面上。
因此点C在平面β上，那么连接线段BC位于平面β上。
又因为平面α与平面β分别与直线AB和BC相交于A和C两点，根据定理“若两个平面分别与一条直线相交，那么它们的交线上的任意两点连线也在这两个平面的交线上”。
面面平行的判定公式
面面平行的判定公式在我们的数学世界里，面面平行可是一个相当有趣的概念，特别是它的判定公式，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开几何世界的大门。
咱们先来说说什么是面面平行。
简单来讲，两个平面如果没有公共点，那就叫面面平行。
想象一下，家里的地板和天花板，它们就是平行的两个面，永远不会相交。
那怎么来判定两个平面是不是平行呢？这就轮到我们的判定公式登场啦！判定公式一：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
比如说，在一个教室里，黑板所在的平面和对面墙所在的平面。
假设黑板平面内有两条相交的直线，一条是黑板的上边沿，另一条是黑板的左边沿，这两条直线都和对面墙平面内对应的两条直线平行，那黑板平面和对面墙平面就是平行的。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个调皮的小家伙就问我：“老师，那要是这两条直线不相交呢？”我笑着回答他：“那可不行哦，如果这两条直线不相交，就没法确定一个平面啦，就像你在操场上随便画两条不相交的直线，它们可不能确定一个固定的区域，是不是？”小家伙恍然大悟地点点头。
判定公式二：如果两个平面都垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
这就好比两根笔直的电线杆，它们都垂直于地面，那它们所在的平面也就和地面平行啦。
还有啊，在实际解题中，可不能死记硬背这些公式，得灵活运用。
有时候题目会故意给你设置一些小陷阱，就看你能不能识破啦。
比如说，有一道题是这样的：一个平面内有三条直线，其中两条平行，另一条与这两条相交，问这两个平面是否平行。
这时候就得仔细分析了，别一看有平行的直线就匆忙下结论。
学习面面平行的判定公式，就像是在搭建一座知识的大厦，每一块砖头都要放对位置，才能让这座大厦稳稳当当。
希望同学们在面对这些知识的时候，都能像勇敢的探险家，不怕困难，勇往直前，把面面平行的判定公式掌握得牢牢的！这样在数学的海洋里，就能更加自由自在地遨游啦！。
数学线面平行的判定定理
数学线面平行的判定定理
数学中，判断一个线和一个面是否平行存在定理。
这个定理称为线面平行判定定理。
线面平行判定定理可以通过以下两种方式表示：
1. 如果一条直线与一个平面在同一平面内且这条直线与这个平面上的任意一条直线都平行，则这条直线与这个平面平行。
2. 如果一条直线与一个平面垂直相交的直线与这个平面的另一条直线平行，则这条直线与这个平面平行。
简单来说，如果一条直线与平面内的所有直线都平行，那么这条直线与这个平面是平行的；或者如果一条直线与平面内的一条垂直直线与平面的另一条直线平行，那么这条直线也与这个平面平行。
这个定理在几何学和数学中都有着广泛的应用，它可以用来判断两个物体之间的关系，例如判断两个平面是否平行、判断一条直线是否与一个平面平行、或者判断两个线段是否平行等等。
(完整版)立体几何中有关平行、垂直常用的判定方法
有关平行、垂直问题常见判定方法一、 线线平行的判定1、 公理4：平行于同一直线的另两直线互相平行. a ∥b ，b ∥c ==> a ∥c2、 三角形中位线平行于底边；平行四边形对边平行；棱柱侧棱互相平行．3、 线面平行的性质：一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与已知平面相交，该直线与交线平行．a ∥α，a ⊂β，αβ=b ==> a ∥bβαba4、 面面平行的性质：两个平面平行，同时与第三个平面相交，所得的两条交线互相平行． α∥β,γα=a ,γβ=b ==> a ∥bγβαb a5、 平行于同一平面的两直线互相平行．a ⊥α，b ⊥α ==> a ∥bαba二、 线面平行的判定1、 线面平行的判定定理：若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此c b a平面平行．a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ==> a ∥ααba2、 若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一平面平行．α∥β，a ⊂α ==> a ∥βαβa3、 α⊥β，a ⊥β，a ⊄α ==> a ∥αβαa4、 a ⊥b ，b ⊥α，a ⊄α ==> a ∥ααab三、 面面平行的判定1、 面面平行的判定定理：若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．a ⊂α，b ⊂α，a b =O ,a ∥β,b ∥β ==> α∥βO αβa b αβa2、 垂直于同一直线的两个平面互相平行．a ⊥α，a ⊥β ==> α∥β (见上图)3、 平行于同一平面的两个平面互相平行．α∥γ，β∥γ ==> α∥βαγβ4、 柱体的上下底面互相平行四、 线线垂直1、线线垂直的定义：a 与b 所成的角为直角．2、线面垂直的定义：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内的任一直线都垂直． a ⊥α，b ⊂α ==> a ⊥bαab3、a ⊥α，b ∥α ==> a ⊥bαab4、三垂直定理及其逆定理l ⊥α( H 为垂足)，a ⊂α，HM 是斜线PM 在平面α内的射影三垂线定理（垂影则垂斜）：a ⊥HM ==> a ⊥PM三垂线定理的逆定理（垂斜则垂影）：a ⊥PM ==> a ⊥HMlM H Pαa5、a ⊥α，b ⊥β，α⊥β ==> a ⊥bβαab五、线面垂直的判定1、线面垂直的判定定理：若一直线和平面内的两相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． a ⊂α，b ⊂α,a b =O , l ⊥a ,l ⊥b ==> l ⊥αlO αa b2、a∥b，a⊥α ==> b⊥ααb a3、直棱柱的侧棱与底面垂直4、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，也垂直于另一个平面α∥β，a⊥α ==> a⊥βαβa5、面面垂直性质：两平面垂直，一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．α⊥β，αβ=l，a⊂α，a⊥l ==> a⊥βlβαa5、 两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也与第三个平面垂直．αβ=l ，α⊥γ,β⊥γ ==> l ⊥γl γβα六、面面垂直的判定1、定义:两平面相交所成二面角为直二面角.2、判定定理:若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.a ⊥β，a ⊂α ==> α⊥βl βαa2、a ∥α，a ⊥β ==> α⊥ββαa。
线线平行、线面平行、面面平行的判定方法
在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法一、两条直线平行的判定方法（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。
如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。
②三角形、梯形中位线定理。
③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。
④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。
（3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。
（5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。
（6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（7）用向量证明。
二、一条直线和一个平面平行的判定（1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）（2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。
（3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.（线面平行的性质）。
（4）向量法。
三、两个平面平行的判定（1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义）（2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。
（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。
（5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法一、 两条直线垂直的判定（1） 在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。
线、面平行的判定与性质知识点及题型归纳
线、面平行的判定与性质知识点及题型归纳一、线平行的判定与性质知识点1. 线平行的定义两条线段（或直线）在平面内没有交点的情况下，我们称它们为平行线。
2. 线平行的判定方法判定两条线段（或直线）是否平行，有以下几种方法：- 角度判定法：两条线段（或直线）的倾斜角度相等时，它们是平行线。
- 距离判定法：两条线段（或直线）上的任意两点的距离相等时，它们是平行线。
- 斜率判定法：两条直线的斜率相等时，它们是平行线。
对于线段而言，需要先把线段延长成直线，再进行斜率的比较。
3. 线平行的性质根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：- 平行线之间的距离是保持不变的。
- 平行线之间的角度是相等的。
- 平行线的斜率是相等的。
二、面平行的判定与性质知识点1. 面平行的定义两个平面没有交线的情况下，我们称它们为平行面。
2. 面平行的判定方法判定两个平面是否平行，有以下几种方法：- 直线判定法：两个平面上直线的倾斜角度相等时，它们是平行面。
- 距离判定法：两个平面上直线上的任意两点的距离相等时，它们是平行面。
3. 面平行的性质根据平行面的定义，我们可以得出以下性质：- 平行面之间的距离是保持不变的。
- 平行面之间的角度是相等的。
三、题型归纳在考试中，关于线、面平行的题型常见的有：- 判断两条线段或直线是否平行的题目。
- 判断两个平面是否平行的题目。
- 根据给定条件判定线段（直线）是否与给定平面平行的题目。
- 根据给定条件判定点是否在给定的线段（直线）上的题目。
- 根据给定条件判定点是否在给定平面上的题目。
以上是关于线、面平行的判定与性质的知识点归纳以及常见的题型。
希望对你有所帮助！。
线面、面面平行和判定
一、知识要点线线平行⇒线面平行线面平行的判定定理：如果直线外一条直线平行于直线内一条直线，那么这条直线和平面平行。
注：当直线与平面平行时，这条直线平行于平面内的无数条直线，而不是所有的直线。
线面平行⇒线线平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
面面平行的判定：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
注：垂直于同一条直线的两个平面平行。
三个两两相交的平面，它们的三条交线交于一点或两两平行。
二、巩固练习1.已知l 是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥βD ．若l ∥α，α∥β，则l ∥β2．(文)已知m 、n 是两条直线，α、β是两个平面，给出下列命题：①若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；③若n 、m 为异面直线，n ⊂α，n ∥β，m ⊂β，m ∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个3.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF ②AB 与CM 成60°③EF 与MN 是异面直线④MN ∥CD 其中正确的是( )A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③4．(2011·北京海淀期中)已知平面α∩β＝l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是( ) A ．若m ∥β，则m ∥l B ．若m ∥l ，则m ∥βC ．若m ⊥β，则m ⊥lD ．若m ⊥l ，则m ⊥β线面、面面平行的判定与性质5．(2011·安徽省合肥市高三教学质量检测)设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题错误的是()A．若a⊥α，b∥α，则a⊥b B．若a⊥α，b∥a，b⊂β，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b D．若a∥α，a∥β，则α∥β6.对于平面α和共面的直线m、n，下列命题是真命题的是()A．若m，n与α所成的角相等，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊂α，n∥α，则m∥n7．(2011·河南省郑州市模拟)设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是()A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b 8．(2011·青岛模拟)设两个平面α、β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为() A．3B．2C．1D．09．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为________．8．(2012·北京东城区综合练习)在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；④若平面α内的三点A、B、C到平面β的距离相等，则α∥β.其中正确命题的序号为________．10．(2011·浙江五校联考)已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则m⊥n；③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β；④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n.其中正确命题的序号是________．11．(2012·四川文，6)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行12．(2012·东营市期末)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；②若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β.其中真命题的序号是________13.(2011·广东省广州市质检)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条14．(文)如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确．．．的是()A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台15.(2011·苏州模拟)下列命题中，是假命题的是()A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥aC．α∥β，γ∥δ，α、β与γ、δ的交线分别为a、b和c、d，则a∥b∥c∥dD．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件16．(2012·南昌二模)若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面．17．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号)．18.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是（）A.都平行B.相交C.在两个平面内D.至少和其中一个平行19．(文)(2011·广东揭阳一模)如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)若CD＝2，DB＝42，求四棱锥F－ABCD的体积．．20.如图，在四面体ABCD中，平面EFGH分别平行于棱CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．（1）求证：四边形EFGH是矩形．(2)点E在什么位置时，四边形EFGH的面积最大？21.如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE．22.如图，设AB、CD分别是平面α两侧的异面直线AB//α,CD//α,直线AC、AD、BC、BD 分别交α于点E、F、H、G，求证：EG与FH互相平分23.ABCD-A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=411BA,求BE1与DF1所成角的余弦值24.如图，A、B、C、D 是异面直线AB、CD上的点，线段AB=4，CD=4，M为AC的中点，N为BD 的中点，MN=3，求异面直线AB与CD所成角的余弦值.。
数学线线平行,线面平行,面面平行的证明方法
数学线线平行,线面平行,面面平行的证明方法嘿，咱今儿就来聊聊数学里那线线平行、线面平行还有面面平行的证明方法呀！你想啊，线线平行就像是两个好伙伴肩并肩一起走。
要证明它们平行，咱可以找同位角相等呀，内错角相等呀，或者同旁内角互补啥的，这就好比两个小伙伴步伐一致，那肯定是平行向前嘛！还有啊，如果一条直线平行于另一条直线，而另一条直线又平行于第三条直线，那这第一条和第三条不也就平行了嘛，这就跟传递似的，是不是挺有意思？再说说线面平行。
这就好像一条线在一个平面上愉快地“玩耍”，但又不跟平面里的其他线“纠缠”。
咱可以找平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那外面这条线不就和整个平面平行啦！这就好比你在一个大操场外面，看到里面有个小伙伴在沿着一条直线跑，那你不就知道你和他跑的方向是平行的嘛。
那面面平行呢？哎呀呀，这就像两个大“舞台”摆在那儿。
要证明它们平行，可以先找到一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行，那这两个平面不就平行了嘛！这就好像两个舞台上都有各自的表演，而且表演的路线都是平行的，那这两个舞台自然也就是平行的啦。
你说数学是不是很神奇呀？这些证明方法就像是解开一道道谜题的钥匙。
有时候可能会觉得有点难，但只要咱认真去琢磨，就像攻克一个难关一样，一旦成功了，那成就感可不是一般的大呀！比如说，给你一道题，让你证明两条直线平行。
你就得开动脑筋，想想用哪种方法合适。
是找同位角呢，还是内错角呢？这就跟打仗选武器似的，得选个趁手的呀！然后一步步去分析，去推理，等你成功证明出来的时候，哇，那心情，简直比吃了蜜还甜！数学里的这些证明方法，其实也是在锻炼我们的思维能力呀。
让我们学会有条理地去思考问题，去分析问题，去解决问题。
这对我们以后做其他事情也是很有帮助的呢！所以呀，别害怕这些证明方法，大胆地去尝试，去探索。
就像探险家一样，在数学的海洋里勇敢前行，去发现那些隐藏的宝藏！相信自己，你一定能行的！咱可不能被小小的证明方法给难住了，对吧？加油！。
线面平行、面面平行的判定
解：(1)在图 2 中，线段 BB1、BC、CC1、
C1B1、BC1 所在的直线与平面 ADD1A1 平行．
(2)在图 2 中，平面 A1B1C1D1、CC1D1D
与 AB 所在的直线平行.
图1
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3
证线面平行
例 2：已知：空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD
定理的本质：
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证面面平行
例 3：如图 5，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1. 求证：平面 AD1B1∥平面 C1DB.
图5
证明：∵D1B1∥DB，D1B1⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB，
∴D1B1∥平面C1DB，同理 AB1∥平面C1DB， 又 D1B1∩AB1＝B1，AB1、D1B1 同在平面AD1B1 内，
∴EO∥PD. ∵EO⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴EO∥平面PCD.
(2)解：图中EO 还与平面 PAD 平行．
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图9
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1.线面平行的判定定理(文字语言、符号语言、图形语言） 2.面面平行的判定定理(文字语言、符号语言、图形语言）
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2.已知 AB、BC、CD 是不在同一个平面内的三条线段，E、 F、G 分别是 AB、BC、CD 的中点，求证：平面 EFG 和 AC 平行，也和 BD 平行．
证明：如图4， 在△ABC 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点， ∴AC∥EF，AC ⊄平面 EFG，
EF⊂平面 EFG. 图4
5. P56: 2,P58:1--3
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线线平行、线面平行、面面平行的判定方法(本人原创)
在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法一、两条直线平行的判定方法（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。
如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。
②三角形、梯形中位线定理。
③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。
④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。
（3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。
（5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。
（6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（7）用向量证明。
二、一条直线和一个平面平行的判定（1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）（2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。
（3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.（线面平行的性质）。
（4）向量法。
三、两个平面平行的判定（1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义）（2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。
（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。
（5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法一、 两条直线垂直的判定（1） 在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。
线面平行的判定和证明
线面平行
一、基础知识：
线线平行⇒线面平行；面面平行⇒线面平行。
二、方法：
三角形法、平行四边形法、平行截面法。
三、典例：
（一）三角形法：在直线和平面外找一个点，作（找）这个点和直线上两个点的连线，再作（找）出两条连线与平面的交点，证明两个交点连线与已知直线平行，即可证明线面平行。
例1、如图，在正四棱锥ABCD P -中，a AB PA ==,点E 在棱PC 上。
问点E 在何处时，EBD //PA 平面，
练：
1⑴求证：A 1C
正三棱柱Ｃ＝2
C
图5
（三）平行截面法：过直线作（找）一个平面与已知平面平行，即可证明线面平行。
2、已知正方体
，O 是底面ABCD 对角线的交点。
求证：⑴
1、如图,
2、四边形
3、如图，11C 的中点。
（Ⅰ）证明：MN ∥平面11ACC A ；（Ⅱ）求三棱锥MNC A 1-的体积。
E
C 1
A
B
C
M
N
A 1
B 1
4、如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2。
（I）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E-PAC的体积。
5
AD
6、如图，在DM
C P
A
B
D
E。
线线平行、线面平行、面面平行的判定方法(本人原创)
正在空间“线线仄止、线里仄止、里里仄止”的判决要领之阳早格格创做一、二条曲线仄止的判决要领（1）正在共一仄里内不大众面的二条曲线仄止（定义）（2）先证正在共一仄里内，再用仄里几许中的仄止线的判决理大概者相闭图形的本量举止说明.如①正在共一仄里内，二条曲线被第三条曲线所截，如果共位角大概内错角相等，大概共旁内角互补，则二曲线仄止.②三角形、梯形中位线定理.③仄止四边形、矩形、菱形、正圆形本量(对于边仄止).④正在共一个仄里内，共笔曲于一条曲线的二条曲线仄止（注意：此论断正在空间不符合）.（3）（线里仄止的本量）如果一条曲线战一个仄里仄止，则通过那条曲线的一个仄里取那个仄里相接，那么那条曲线战接线仄止.（4）如果二曲线皆仄止于第三条曲线，那么那二条曲线互相仄止（仄止的传播性）.（5）（里里仄止的本量）如果二个仄止仄里分别战第三个仄里相接，则它们的接线仄止.（6）（线里笔曲的本量之一）如果二条曲线笔曲于共一个仄里，那么那二条曲线仄止.（7）用背量说明.二、一条曲线战一个仄里仄止的判决（1）如果背来线战一仄里不大众面，那么那条曲线便战那个仄里仄止（定义）（2）仄里中的一条曲线，如果战那个仄里内的一条曲线仄止，那么那条曲线便战那个仄里仄止(线里仄止的判决定理).（3）如果二个仄里相互仄止，那么正在一个仄里内的所有一条曲线皆仄止于另一个仄里.（线里仄止的本量）.（4）背量法.三、二个仄里仄止的判决（1）如果二个仄里不大众面，那么那二个仄里互相仄止（定义）（2）如果一个仄里内的二条相接曲线分别战另一个仄里仄止，那么那二个仄里仄止.（3）如果一个仄里内的二条相接曲线分别仄止于另一个仄里内的二条相接曲线，那么那二个仄里仄止.（4）如果二个仄里分别仄止于第三个仄里，那么那二个仄里仄止.（5）如果二个仄里笔曲于共一条曲线，那么那二个仄里仄止.正在空间“线线笔曲、线里笔曲、里里笔曲”的判决要领一、二条曲线笔曲的判决（1）正在共一个明里内说明二条曲线笔曲可依照仄里几许的有闭定理战要领判决.①说明二条曲线产生的角等于90°②正圆形、矩形本量（四个角皆是曲角）；③正圆形、菱形对于角线互相笔曲；④勾股定理顺定理；⑤“曲角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的顺定理.⑥说明一个三角形二个内角战为90°，则另一个内角为90°.⑦说明一个三角形战一个曲角三角形齐等，利用齐等三角形对于应角相等说明曲角.⑧说明二个邻补角相等且战为180°，则每一个角为90°（此二个角有大众定面，有一条大众边，非大众边互为反背延少线）.⑨等腰三角形本量（三线合一）.⑩曲径所对于的圆周角是曲角.（2）如果一条曲线笔曲于一个仄里，那么它笔曲于那个仄里内的所有一条曲线.（3）如果仄里内的一条曲线战此仄里的一条斜线正在仄里内的射影笔曲，那么它也战那条斜线笔曲（三垂线定理）（4）如果仄里内的一条曲线战那个仄里的一条斜线笔曲，那么它也战那条斜线正在仄里内的射影笔曲（三垂线定理的顺定理）.（5）如果一条曲线笔曲于二条仄止线中的一条曲线，那么它也笔曲于另一条曲线（此定理正在仄里战空间皆符合）.（6）说明空间二条同里曲线相互笔曲，可说明那二条曲线所成的角为90°.（7）背量法.二、背来线战一个仄里笔曲的判决（1）如果一条曲线战一个仄里内的所有一条曲线皆笔曲，那么那条曲线便笔曲于那个仄里.（2）如果一条曲线战一个仄里内的二条相接曲线笔曲，那么那条曲线便战那个仄里笔曲.（3）如果二条仄止线中的一条笔曲于一个仄里，那么另一条也笔曲于那个仄里.（4）如果一条曲线笔曲于二个仄止仄里中的一个仄里，那么它也笔曲于另一个仄里.（5）如果二个仄里互相笔曲，那么正在一个仄里内笔曲于接线的曲线必笔曲于另一个仄里（里里笔曲的本量定理）.（6）如果二个相接仄里α战β皆笔曲于仄里γ，那么它们的接线也笔曲于仄里γ（不克不迭当定理引用）.（7）背量法.三、二仄里笔曲的判决（1）如果二相接仄里所成的二里角为曲二里角，那么那二个仄里互相笔曲（定义）.（2）如果一个仄里通过另一个仄里的垂线，那么那二个仄里互相笔曲（线里笔曲本量定理）.四、有闭曲线取仄里位子闭系中的几个本量定理（1）夹正在二个仄止仄里之间仄止线段的少相等.（2）二仄止仄里间的距离到处相等.（3）二曲线如果被三个仄止仄里所截，那么所截得下对于应线段成比率.（4）如果二个角的二边分别仄止且目标相共，那么那二个角相等.五、重心分解（1）线线、线里、里里仄止闭系的转移（2）线线、线里、里里笔曲闭系的转移。
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创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW
创作者：凤呜大王*
在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法一、两条直线平行的判定方法
（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）
（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。
如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或
内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。
②三角形、梯形中位线定理。
③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。
④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：
此结论在空间不适合）。
（3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。
（5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。
（6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（7）用向量证明。
二、一条直线和一个平面平行的判定
（1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）
（2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。
（3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.
（线面平行的性质）。
（4）向量法。
三、两个平面平行的判定
（1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义）（2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。
（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。
（5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法一、两条直线垂直的判定
（1）在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。
①证明两条直线形成的角等于90°
②正方形、矩形性质（四个角都是直角）；③正方形、菱形对角
线互相垂直；
④勾股定理逆定理；⑤“直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半”的逆定理。
⑥证明一个三角形两个内角和为90°，则另一个内角为90°。
⑦证明一个三角形和一个直角三角形全等，利用全等三角形对
应角相等证明直角。
⑧证明两个邻补角相等且和为180°，则每一个角为90°
（此两个角有公共定点，有一条公共边，非公共边互为反向延
长线）。
⑨等腰三角形性质（三线合一）。
⑩直径所对的圆周角是直角。
（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于这个平面内的任何一条直线。
（3）如果平面内的一条直线和此平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）
（4）如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直（三垂线定理的逆定理）。
（5）如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线
（此定理在平面和空间都适合）。
（6）证明空间两条异面直线相互垂直，可证明这两条直线所成的角为90°。
（7）向量法。
二、一直线和一个平面垂直的判定
（1）如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。
（2）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。
（3）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
（5）如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面
（面面垂直的性质定理）。
（6）如果两个相交平面α和β都垂直于平面γ，那么它们的交线也垂直于平面γ（不能当定理引用）。
（7）向量法。
三、两平面垂直的判定
（1）如果两相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直（定义）。
（2）
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创作者：凤呜大王*
（3） 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直
（线面垂直性质定理）。
四、 有关直线与平面位置关系中的几个性质定理
（1） 夹在两个平行平面之间平行线段的长相等。
（2） 两平行平面间的距离处处相等。
（3） 两直线如果被三个平行平面所截，那么所截得下对应线段成比
例。
（4） 如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等。
五、 要点分析
（1） 线线、线面、面面平行关系的转化
////1////
−−−−−→线面判定面面判定公理4
平面几何定理
线面性质
面面//性质2
线线//线面面面平行
（2）线线、线面、面面垂直关系的转化
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创作者： 凤呜大王*。