群论(1)第三章
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化学中的群论-1.
若子群H的所有左陪集都与对应的右陪集相等， RjH=HRj,即 RjSu=SvRj
则此子群称为不变子群，或称为正规子群。 注意此定义并不要求不变子群的元素和群G中所有其它 元素对易。
Abel群的所有子群都是不变子群。
例：正三角形对称变换群D3的乘法表
E D F A BC E E D F A BC D D F E B CA F F E D C AB A A C B E FD B B A C D EF C C B A F DE
↓ ↓ ↑ →←
-1 -1 1 -i i
←←→ ↓ ↑
i i -i -1 1
→→← ↑ ↓
-i -i i 1 -1
从此群表中可以看出， {↑， ↓}和 {1，-1}各自形成子群。 上面两个群都是Abel群，群元素在表中相对于主对角线是对称的。
Abel群的乘法表：群元素在表中相对于主对角线是对称的。
E
D
F
A
BC
E
E
D
F
A
BC
D
D
F
E
B
CA
F
F
E
D
C
AB
A
A
C
B
E
FD
B
B
A
C
D
EF
C
C
B
A
F
DE
子群：{E，A}，{E，B}，{E，C}，{E，D，F}
三、陪集和不变子群
设群G阶为g，有子群H，阶为h: H={S1,S2,S3,…,Sh}, S1=E.
任取群G中不属于子群H的元素Rj，把它左乘或右乘到子 群H上，得到群G的两个子集：
↑ ↓ ←→ ↑ ↑ ↓ ←→ ↓ ↓ ↑ →← ←←→ ↓ ↑ →→← ↑ ↓
群论群论基础课件
f ：A → B 或写为 f ：x → y = f ( x ) ,
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编
参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠）
物理学中的群论 （马中骐）
物理学中的群论基础 （约什）
群论
物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
群论-群论基础
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
乘法表：有限集
A
l
m
O
D3
e
a
b
B
k
l
k
m
C
ee
a
b
k
l
m
aa
b
e
m
k
l
bb
e
a
l
m
k
kk
l
m
e
a
b
ll
m
k
b
e
a
mm
k
l
a
b
e
4 同态与同构
群论-群论基础-集合与运算
设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 ·和 ×； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编
参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠）
物理学中的群论 （马中骐）
物理学中的群论基础 （约什）
群论
物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
群论-群论基础
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
乘法表：有限集
A
l
m
O
D3
e
a
b
B
k
l
k
m
C
ee
a
b
k
l
m
aa
b
e
m
k
l
bb
e
a
l
m
k
kk
l
m
e
a
b
ll
m
k
b
e
a
mm
k
l
a
b
e
4 同态与同构
群论-群论基础-集合与运算
设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 ·和 ×； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有
群论第三章A
设G{E, A, B, …}有两组表示：{D(1)(E), D(1)(A), D(1)(B), …} {D(2)(E), D(2)(A), D(2)(B), …}
则超矩阵（块状对角矩阵）
D(1) ( 0
E
)
D
0 (2) (E
)
,
D(1) ( 0
A)
D
0 (2) (
A)
,
D
(1) ( 0
B)
D
0 (2) (B)
3
2
0
1
0
0
3 2
,
D(C
)
0
1 2
3 2
,
1
0
3
1
2
2 2
1
0
0
1
0
0
D(D)
0
1 2
3 2
,
D(F
)
0
1 2
3 2
0
3
1
0
3
1
2 2
2 2
定义：群 GE, A, B, 表示 DGDE, DA, DB,
则
m
trDE DEii E
i 1
m
trDA D A ii A i 1
定义：可约化的表示称为可约表示，
不可约化的表示称为不可约表示。
3.1.4 伴随表示与复共轭表示
设GE, A, B, 有表示 DGDE, DA, DB, ，
若有D~1G D~1E, D~1A, D~1B ，则D~1G 仍是G的表示。
证明：
D~AB 1 DADB1 D~(B)D~A 1 D~1AD~1B
若 DG ~ G ，则D(G)——非真实表示
群论第3章
NH3
CO，NO，HCN
C3v
C∞v
③ Cnh 群 属于Cnh点群的分子中具有一个Cn轴和一个垂直于Cn轴的σh 对称元素：Cn和σh 因σhCn=Sn，故（n-1）个旋转必产生（n-1）个象转 实际上 Cnh群是Cn群和Cs群的直积，阶次为2n 。
Cnh Cn Cs E, Cn1 , Cn 2 ,..., Cn n1 E, h = E, Cn1 , Cn 2 ,..., Cn n1 , h , hCn1 Sn , hCn 2 ,..., hCn n1
第三章. 分子对称性与分子点群
3.1 分子对称性
利用对称性原理和概念探讨分子的结构和性质，是人们认 识分子的重要途径，是了解分子结构和性质的重要方法。 ① 能简明地表达分子的构型 Ni(CN)42-离子具有D4h点群的对称性，用D4h这个符号就可以 准确地表达 9 个原子在同一平面上， Ni 原子在中心位置， 周围4个-CN完全等同，Ni-C-N都是直线型，互为90°角。 ② 简化分子构型的测定工作
3.分子的对称操作和对称元素：
分子是有限物体，在进行对称操作时，分子中至少有一 点不动------点操作 只有四种类型的对称操作和对称元素 a. 旋转操作------旋转轴（Cn）
b. 反映操作------镜面（ σ ）
c. 反演操作------ 对称心（i） d. 象轴（旋转反映）操作------象转轴（反轴）Sn 右手坐标系：讨论对称操作时，常将分子定位在右手坐 标轴系上，分子的重心处在坐标原点，主轴与Z轴重合。 主轴：分子中轴次最高的轴。
Cnh 待 定 分 子 是 否 直 线 型 N Y i Td
例：有两个分子群 D2 { E，C2(x)，C2(y)，C2(z) }
群论课件
24
可约性的判定
2 2 2 2
16
第四节 群表示的特征标
1.定义：设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示 D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标 为D(R)的对角元之和（迹） X(R)=TrD(R)= Daa ( R)
a 1 n
式中，R表示G的任一元 Daa是对角元，n是表示空间的维数。 特征标系：群G中所有的g个群元在D中的特征标 注：对可约表示和不可约表示同样适用， 第a个不可约表示Da(R)的特征标写成Xa(R)
8
第二节 舒尔（Schur）引理
1.舒尔引理一 D是群G的一个表示，若存在一个矩阵A，与D中所 有矩阵都对易，即 D(R)A=AD(R) R∈G 则有： (1)若D是不可约的，A必为常数矩阵 A=λ E 式中,λ为标量，E为单位矩阵 (2)若A不是常数矩阵，则D必为可约表示。若A为厄 米矩阵，则约化矩阵就是使A对角化的矩阵。 注：厄米矩阵—矩阵与其共轭矩阵相等 R+=R
21
3.不等价不可约表示的符号
(1)Mulliken符号
符号 A、A1、A2 B（B1，B2，…）
E，T
表示含义 适用情况 +1（对称）、恒等表示、 一维 其他表示 -1（反对称）、其他表 示
二维、三维
脚标加 g，u
有中心反演
(2)Bethe符号
1，2，3， ...
22
4.可约表示的约化（特征标的应用）
19
证明：
(i ( X (i )* ( R) X ( j ) ( R) Duu)* ( R) Daaj ) ( R) R R u a (i ( Duu)* ( R)Daaj ) ( R) ua R
可约性的判定
2 2 2 2
16
第四节 群表示的特征标
1.定义：设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示 D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标 为D(R)的对角元之和（迹） X(R)=TrD(R)= Daa ( R)
a 1 n
式中，R表示G的任一元 Daa是对角元，n是表示空间的维数。 特征标系：群G中所有的g个群元在D中的特征标 注：对可约表示和不可约表示同样适用， 第a个不可约表示Da(R)的特征标写成Xa(R)
8
第二节 舒尔（Schur）引理
1.舒尔引理一 D是群G的一个表示，若存在一个矩阵A，与D中所 有矩阵都对易，即 D(R)A=AD(R) R∈G 则有： (1)若D是不可约的，A必为常数矩阵 A=λ E 式中,λ为标量，E为单位矩阵 (2)若A不是常数矩阵，则D必为可约表示。若A为厄 米矩阵，则约化矩阵就是使A对角化的矩阵。 注：厄米矩阵—矩阵与其共轭矩阵相等 R+=R
21
3.不等价不可约表示的符号
(1)Mulliken符号
符号 A、A1、A2 B（B1，B2，…）
E，T
表示含义 适用情况 +1（对称）、恒等表示、 一维 其他表示 -1（反对称）、其他表 示
二维、三维
脚标加 g，u
有中心反演
(2)Bethe符号
1，2，3， ...
22
4.可约表示的约化（特征标的应用）
19
证明：
(i ( X (i )* ( R) X ( j ) ( R) Duu)* ( R) Daaj ) ( R) R R u a (i ( Duu)* ( R)Daaj ) ( R) ua R
北大.群论.讲义.王宏利.第3章
§3.1 投影算符
【定义 3.1】 （投影算符） 线性空间 V 上的线性算符（线性变换）P，若满足 P2 = P，则称 P 是 V 的一个投
影算符。P 的值域 R p PV z V | z Px, x V ，P 的核 N p z V | pz 0，
i 1 i 1 k k
g0 为群 G 的单位元。
－ 82 －
证明： ① x RG ，有 Pi x xei ，故 Pi RG RG ei ；
② Pi Pj x Pi xe j xei e j 0 i j
x 任意，必有 ei e j 0 ；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k Ag x A( g ) xi , 且 Ag xi Wi
i 1
由定理 3.2，存在投影算子 Pi，i = 1，2，…，k，满足：
Pi2 Pi , Pi Pj 0 当 i j; Wi PiV , Pi xi xi Wi ，故：
Ag Pi x A( g ) Pi xi A( g ) xi Pi A( g ) xi
k
x g
k k
有：
Pi x x k Pi g k
k
－ 81 －
xk Pi g k g o
k
xk g k Pi g o
k
（令 ei Pi go ）
xei
故： Pi2 x Pi Pi x Pi xei xei2 ，而 Pi2 x Pi x xei ，由此可得 ei2 ei ，即
群论-1 群论基础
一般记为c = a· b，或c = ab 。
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作…… 集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
A
乘法表：有限集
l m O
D3 e a b k
B
k
C
e
e a b k
a
a b e l
b
b e a m
k
k m l e
l
l k m a
群论-群论基础-集合与运算
3 一些基本概念
1) 阿贝尔群：交换群
2) 有限群：可给出群表
3) 无限群：离散群，连续群
4) 群元素的阶： gn = e 群阶：|G| 5) 生成元：通过乘法产生群G的最小子集
6) 循环群：一个生成元
群论-群论基础-集合与运算
4 一些基本性质 设G = {gi } 是一个群 ∀ gi , gj ∈ G, 方程 gi x = gj ， x gi = gj 有唯一解 ( gi -1 ) -1 = gi ( gi gj ) -1 = gj -1 gi -1
群论-群论基础
第一章 群论基础
群的基本概念和基本性质
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 集合与运算 群的定义和基本性质 子群及其陪集 群的共轭元素类
§1.5
§1.6 §1.7 §1.8
正规子群和商群
直积和半直积 对称群 置换群
群论-群论基础-集合与运算
§0 绪论
群论的发展历史
群论在数学中的作用
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编 参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠） 物理学中的群论 （马中骐） 物理学中的群论基础 （约什）
群论 第三章-线性代数
CCME
11
(5)方阵
1 0 0 1 E En O 0 0
0 O 0 1
全为1
称为单位矩阵（或单位阵）. 同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
12
CCME
1 2 14 3 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵. 3 7 3 9
15
CCME
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A
2 A B C A B C
a11 a 21 3 A a m1 a12 a 22 am1 a1 n a2n aij a mn
2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且 对应元素相等,即
aij bij i 1,2,, m; j 1,2,, n ,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
13
CCME
第二节 矩阵的运算
1、矩阵的加法
设有两个 m n 矩阵 A=(aij), B=(bij)，那么矩阵 A 与B 的和为C=(cij )，记作 A + B ，规定为
a11 b11 a 21 b21 A B a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
a1 n b1 n a 2 n b2 n a mn bmn
cij=aij+bij
cos
0 sin z
0
1 0
–sin
0 cos
z'= sin x+ 0 y+cos z
11
(5)方阵
1 0 0 1 E En O 0 0
0 O 0 1
全为1
称为单位矩阵（或单位阵）. 同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
12
CCME
1 2 14 3 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵. 3 7 3 9
15
CCME
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A
2 A B C A B C
a11 a 21 3 A a m1 a12 a 22 am1 a1 n a2n aij a mn
2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且 对应元素相等,即
aij bij i 1,2,, m; j 1,2,, n ,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
13
CCME
第二节 矩阵的运算
1、矩阵的加法
设有两个 m n 矩阵 A=(aij), B=(bij)，那么矩阵 A 与B 的和为C=(cij )，记作 A + B ，规定为
a11 b11 a 21 b21 A B a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
a1 n b1 n a 2 n b2 n a mn bmn
cij=aij+bij
cos
0 sin z
0
1 0
–sin
0 cos
z'= sin x+ 0 y+cos z
群论 第3章 转动群
相对于基点 C 的位移可以写成
定义映射
���⃗���������������(������) = ���⃗���������(������) − ���⃗���������(������) = ���⃗���������(���⃗���) − ���⃗���������(���⃗���)
���⃗���������(���⃗���) ≝ ���⃗���������(���⃗��� + ���⃗���) − ���⃗���������(���⃗���) 则
n1n2
n1n3
n1n2 n22 1 n2n3
n1n3
n2n3 。
n32 1
三维矩阵的恒等式
M3 trMM2 1 trM2 tr M2 M det M 1 0 ， 2
trX n
0
，
t
rX
2 n
2 ， det
Xn
0 ，给出
R* exp{T *} R ，
det R exp{trT} 1。 又 R 是幺正矩阵，可以用幺正相似变换对角化，
R Qdiag{1, ei , ei }Q1 ，
其中 Q 是幺正矩阵； R 的本征值模 1，又由于 R 是实矩阵，其本征值有一对互相复共轭，
另一个为 1。现在
2
转动的夏莱（Chasles）定理。 夏莱定理：刚体最一般位移可以分解为绕基点的转动和随基点的平移。
2． 角位移参数
三维欧氏空间 矢量内积 保内积不变的线性变换 三维实正交群O(3) ≝ {������|���̃��������� = ������3×3, ������������������ ∈ ������} 三维实特殊正交群SO(3) ≝ {������ ∈ O(3)| det ������ = 1}，O(3) ≡ SO(3) ⊗ {1, −1} 自由度为 3。
群论-3群的表示理论
i
利用基矢的正交归一条件(ei,ej来自 = δij（也可写为<ei|ej> = δij）， 可得：
Aij = <ei|Â|ej> ≡ (ei, Âej)，i,j = 1, 2, …,n
n×n阶的矩阵A ——算符Â在基{e1, e2, …,en}中的矩阵表示。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
，将Hd写成
H
2 d
H
2 d
并代入前式，两边
同时左乘和右乘
1
Hd 2
，可得：
E
H
d
1 2
D'
g
D'
†
g
Hd
1 2
1
Hd 2 D'
gi g
D' †
gi g
1
Hd 2
gG
gG
H
d
1 2
D'
gi
D'
g
D'
†
g
D'
†
gi
H
d
1 2
gG
H
1 2
d
D'
gi
D'
g
D'
†
g
D'
†
gi
H
d
Dij (g) ei Dˆ g e j
群论-群的表示理论-群的线性表示
如果一个表示存在不变子空间：
设Vn是群G的表示空间，Vm是其不变子空间 {e1, e2,…,em, em+1,…,en}是Vn的一组正交归一基矢
其中前m个基矢是子空间Vm的基矢， 则当j = 1，2，…m，i = m+1，…，n时，Dij (g) = 0。
利用基矢的正交归一条件(ei,ej来自 = δij（也可写为<ei|ej> = δij）， 可得：
Aij = <ei|Â|ej> ≡ (ei, Âej)，i,j = 1, 2, …,n
n×n阶的矩阵A ——算符Â在基{e1, e2, …,en}中的矩阵表示。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
，将Hd写成
H
2 d
H
2 d
并代入前式，两边
同时左乘和右乘
1
Hd 2
，可得：
E
H
d
1 2
D'
g
D'
†
g
Hd
1 2
1
Hd 2 D'
gi g
D' †
gi g
1
Hd 2
gG
gG
H
d
1 2
D'
gi
D'
g
D'
†
g
D'
†
gi
H
d
1 2
gG
H
1 2
d
D'
gi
D'
g
D'
†
g
D'
†
gi
H
d
Dij (g) ei Dˆ g e j
群论-群的表示理论-群的线性表示
如果一个表示存在不变子空间：
设Vn是群G的表示空间，Vm是其不变子空间 {e1, e2,…,em, em+1,…,en}是Vn的一组正交归一基矢
其中前m个基矢是子空间Vm的基矢， 则当j = 1，2，…m，i = m+1，…，n时，Dij (g) = 0。
群论(1)第三章
2
3.3 SO(3)群的欧拉角表示
绕n轴转动w角也可通过下述步骤实现
1. 绕z轴转动alpha角 R(ez; ®)~r = ~r 0; 0 · ® < 2¼
2. 绕y’轴转动beta角 R(e0y; ¯)~r 0 = ~r 00; 0 · ¯ · ¼
3. 绕z’’轴转动gamma角 R(e0z0; °)~r 00 = ~r 000; 0 · ° < 2¼
y
¡ sin μ
0
cos μ
Á
x
三维转动群的基础表示
R(n^; w) = S(μ; Á)R(ez; w)S¡1(μ; Á)
0
=
B@
n2x(1 ¡ cos w) + cos w nxny(1 ¡ cos w) + nz sin w
nxny(1 ¡ cos w) ¡ nz sin w n2y(1 ¡ cos w) + cos w
¡i 2
(a2
¡
a¤2
+
b2
¡
b¤2)
1 2
(a2
+
a¤2
+
b2
+
b¤2)
i(a¤b ¡ ab¤)
nxnz(1 ¡ cos w) ¡ ny sin w nynz(1 ¡ cos w) + nx sin w
1 nxnz(1 ¡ cos w) + ny sin w nynz(1 ¡ cos w) ¡ nx sin w CA
n2z(1 ¡ cos w) + cos w
nx = sin μ cos Á; ny = sin μ sin Á; nz = cos μ
二维幺模幺正矩阵
群论基础-第3章 特征标理论(1)
D ( R ) = i D i ( R ) ai ( i = 1 ------ r ) ------ (3) *
(3) 例: D3 群表示的特征标和约化 ( D5 和 D6 前面给出过) 5
类 群元
D4
4
D5
5
D6
6
┌1 0 0┐
┌1 0 0┐
┌1 0 ┐
C1 E ∣ 0 1 0∣ 3 ∣0 1 0∣ 3 ∣
R Dr i * ( R ) D j ( R ) = ij r h / nj (1) 取对角元, 即 = , = [ 思考题: 为什么? ]
则有
R D i * ( R ) D j ( R ) = ij h / nj
(2) 对 求和
[ 思考题: 是何目的? ]
1
D3 1 1 1 -1 -1
D4 1 1 -1
1 -1
D5 2 -2 0
0
0
________________________________________________________
D6 6 2 2
2
0
*
(五) 不可约表示特征标完全性定理
14
一, 关系式 [ 对照(4)’式 C hC i * (C) j (C) = ij h --- (4)’ ] i ( h m / h ) i * ( Cm ) i ( Cn ) = mn ------------------- (8)
C hC i * ( C ) j ( C ) = 1•1•2 + 3•(-1)•0 + 2•1•(-1) = 2 – 2 = 0 若令 i = j = 3, 则有
C hC i * ( C ) j ( C ) = 1•2•2 + 3•0•0 + 2•(-1)•(-1) = 4 + 2 = 6 *
群论 第三章
e2′
e3′ )
=
gCk
(α
)g −1(e1′
e2′
e3′ )
=
gCk
(α )(e1
e2
e3 )
( )[ ] [ ] ( ) = g e1 e2 e3 Cij = e1′ e′2 e3′ Cij 。 (2)
比较上述(1)(2)两式可见，Ck
(α
)
在
o
−
xyz
下的矩阵与
C k1
(α1
)
在
o
−
x′y′z′
1. o − xyz 为右手系，坐标向量为 e1 ， e2 ， e3 。
2. 点操作保持原点不动，镜面与转轴通过原点，原点即反演中心。
3. Ck (α )，σ k ， Sk (α )中的 k 为单位矢。
§ 2 旋转群 SO(3)
设 T 是一个保持原点不动的点操作，即 T e j = e ′j = t1 j e1 + t2 j e2 + t3 j e3 ( j = 1 ,2 ,3)，写成
所以 det M (T ) = ±1 。
定理 1 每一个点操作对应于一个行列式为 + 1 或 − 1的正交矩阵。
例如单位操作 E 、反演操作 I 分别对应于行列式为 + 1 和 − 1的正交矩阵：
M
(E
)
=
1 0
0 1
0 0 ，
0 0 1
M
(I
)
=
−1 0
0 −1
0 0 ，
0
0 1
更一般结论：
引理 2 每一个旋转对应于一个行列式为 + 1 的正交矩阵。
群论讲义
若 gα k = e ，则称 gα 的阶为 k。
D3 群的循环子群: D3=｛e, d, f, a, b, c｝ 2 阶循环子群：｛a, a2=e｝,｛b, b2 =e｝,｛c, c2=e｝ 3 阶循环子群：｛d, d2(＝f), d3=e｝,｛f, f2(=d), f3=e｝
【定义 1.4】 (左陪集和右陪集)
n 为循环群的阶，循环群是阿贝尔群。
an = e}
例 1.10 从 n 阶有限群 G 的任一元素出发，总可以生成一个 G 的循环子群。
G = {e, , gα , }， ∀gα ∈G
3
作 gα , gα 2 , gα 3 ,…, 存在 k ≤ n, gα k = e ，
则{gα1, gα 2 , ..., gα k = e} 构成循环群 Zk ,且 Zk < G 。
在乘法表中，每行和每列都是群元的重排，每个群元只出现一次。
§1.2 子群和陪集
【定义 1.2】 设 H 是群 G 的一个子集，若对于与群 G 同样的乘法运算，H 也构成一个群，
则称 H 为 G 的子群，记为 H < G 。 ·系 1. H < G 的充要条件为: （1） ∀hα , hβ ∈H,有 h α hβ ∈H
证：f1 ～ h, 故 ∃ g1, 使 f1 = g1hg1-1 ，故有 h=g1-1f1g1 f2 ～ h, 故 ∃ g2, 使 f2 = g2hg2-1 = g2g1-1f1g1g2-1 = (g2g1-1)f1(g2g1-1) -1 故 f1 ～ f2
【定义 1.6】 群 G 的所有相互共轭的元素集合，称为群 G 的一个类。 ·系 1 一个类被类中任意一个元素所决定，知道了类中某一个元素 f，则 f 所属类的所有
D3 群的循环子群: D3=｛e, d, f, a, b, c｝ 2 阶循环子群：｛a, a2=e｝,｛b, b2 =e｝,｛c, c2=e｝ 3 阶循环子群：｛d, d2(＝f), d3=e｝,｛f, f2(=d), f3=e｝
【定义 1.4】 (左陪集和右陪集)
n 为循环群的阶，循环群是阿贝尔群。
an = e}
例 1.10 从 n 阶有限群 G 的任一元素出发，总可以生成一个 G 的循环子群。
G = {e, , gα , }， ∀gα ∈G
3
作 gα , gα 2 , gα 3 ,…, 存在 k ≤ n, gα k = e ，
则{gα1, gα 2 , ..., gα k = e} 构成循环群 Zk ,且 Zk < G 。
在乘法表中，每行和每列都是群元的重排，每个群元只出现一次。
§1.2 子群和陪集
【定义 1.2】 设 H 是群 G 的一个子集，若对于与群 G 同样的乘法运算，H 也构成一个群，
则称 H 为 G 的子群，记为 H < G 。 ·系 1. H < G 的充要条件为: （1） ∀hα , hβ ∈H,有 h α hβ ∈H
证：f1 ～ h, 故 ∃ g1, 使 f1 = g1hg1-1 ，故有 h=g1-1f1g1 f2 ～ h, 故 ∃ g2, 使 f2 = g2hg2-1 = g2g1-1f1g1g2-1 = (g2g1-1)f1(g2g1-1) -1 故 f1 ～ f2
【定义 1.6】 群 G 的所有相互共轭的元素集合，称为群 G 的一个类。 ·系 1 一个类被类中任意一个元素所决定，知道了类中某一个元素 f，则 f 所属类的所有
第1部分第3章 特征标理论(2)
[ 答案: 群元数目增加, 表示的不可约性不会改变 ] • 由商群不可约表示的特征标可得大群相应不可约表示的特征标
*
.
5
6
例, 由C2 群的不可约表示特征标表求D3 群的不可约表示特征标表
D3 群
C2 群
E, D, F (不变子群 H ) E
A, B, C
C2
C2
E C2
D1 1 1
D3 E D F A B C
即两类和矢量的乘积可按类和矢量展开
( 两完正类的乘积仍为完正类的和 )
2, 令 i, j, k分别为Ci , Cj, Ck 类的不可约表示特征标, 则
hi ( i / E ) hj ( j / E ) = k Cijk hk ( k / E ) ------------- (2)
(2)式中: Cijk 即为 (1) 式中的 Cijk , E = 1 为 E 类的特征标,
习题: 利用商群和大群的同构关系及正交法求四置换群S4的不可
约表示特征标表. 已知D3群不可约表示特征标表, 且知三置 换群S3与D3同构, 并S3群与S4群的类之间有如下对应关系:
S4 : 1C1 , 3C4 ( 不变子群 ) , 6C5 , 6C2 , 8C3 ( h4 = 24 )
S3 :
1C1,
hi , hj , hk 分别为 Ci. , Cj, Ck 类的阶
*8
(3) 类和定理的证明
9
1, 证明(1)式
第一步: 证明类和矢量 Ci 与一切群元矢量 R 对易 Ci R = R Ci, 即 R-1 Ci R = Ci ------------- (3)
习题: 证明 Ci X = X Ci, X 为群元空间中一切矢量 [ 若此题证明了, 则 (3) 式也就证明了 ]
*
.
5
6
例, 由C2 群的不可约表示特征标表求D3 群的不可约表示特征标表
D3 群
C2 群
E, D, F (不变子群 H ) E
A, B, C
C2
C2
E C2
D1 1 1
D3 E D F A B C
即两类和矢量的乘积可按类和矢量展开
( 两完正类的乘积仍为完正类的和 )
2, 令 i, j, k分别为Ci , Cj, Ck 类的不可约表示特征标, 则
hi ( i / E ) hj ( j / E ) = k Cijk hk ( k / E ) ------------- (2)
(2)式中: Cijk 即为 (1) 式中的 Cijk , E = 1 为 E 类的特征标,
习题: 利用商群和大群的同构关系及正交法求四置换群S4的不可
约表示特征标表. 已知D3群不可约表示特征标表, 且知三置 换群S3与D3同构, 并S3群与S4群的类之间有如下对应关系:
S4 : 1C1 , 3C4 ( 不变子群 ) , 6C5 , 6C2 , 8C3 ( h4 = 24 )
S3 :
1C1,
hi , hj , hk 分别为 Ci. , Cj, Ck 类的阶
*8
(3) 类和定理的证明
9
1, 证明(1)式
第一步: 证明类和矢量 Ci 与一切群元矢量 R 对易 Ci R = R Ci, 即 R-1 Ci R = Ci ------------- (3)
习题: 证明 Ci X = X Ci, X 为群元空间中一切矢量 [ 若此题证明了, 则 (3) 式也就证明了 ]
群论应用-第3章 空间群(1)
如{ | t } 群的不变子群{ | t }为{ | R n },
则该 { | t } 群为狭义空间群, 简称空间群. 其中, R n 为晶体的格矢, R n = n1 a 1 + n2 a 2 + n3 a 3
a 1, a 2 , a 3 为晶格的元胞基矢, 是彼此线性独立的. n1, n2 , n3 为正整数 二, ( 狭义) 空间群的性质 ( 符合晶体对称性的要求 ) (1) 如 R n 是晶体格矢, 则 R n 也是晶体格矢.
即
( - ) b tP
因此可选择 b , 以满足 ( - ) b = - t o ------------ (4)
将(4)代入(3)得(2) s ’ = s + t P = { | t P } s , 则目的达到 *
6 [ 提问: 满足 (4) 式 要求的 b 是不是唯一的? 请作图示意
1, 因 故
k v p = v p ( k = 1 ---- n ) [ 提问: 为什么? ] 10 [ 答案: v p ( ) 是沿 转轴方向的平移 ]
v p = n v p ------------- (9) [ 提问: 为什么? ] [ 答案: = ( n -1 + n -2 + ----- + + ) ]
2, 因
=
[ 提问: 为什么? ]
[ 答案: = ( n -1 + n -2 + ----- + + ) ]
故
vo = vo
( 对任何 )
又因 一般不等于 0
[ 提问: 由上式, v o 将如何? ]
则有两种情况: 第一种情况为 v o‖v p [ 提问: 这可能吗? ] 不可能, 只能是第二种情况 vo = 0 --- (10) [ 提问: 如何理解? ] [ 答案: v o = ( n -1 + n -2 + ----- + + ) v o = 0, 水平力平衡 ] 3, 由 (9) 和 (10) 式可知 v = v p + v o = n v p -------------- (11) [ 提问: 如何理解? ]
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u
=
e¡iwaJa
=
e¡iwn^¢J~
=
e¡i
w 2
n^¢~¾
3.4.2 SU(2)群的基础表示
二维幺模幺正矩阵的一般形式
u
=
e¡i
w 2
n^¢~¾
n^ : (sin μ cos Á; sin μ sin Á; cos μ)
w
w
= 12£2 cos 2 ¡ i(~¾ ¢ n) sin 2
w 2 [0; 2¼]; μ 2 [0; ¼]; Á 2 [0; 2¼)
=
e¡iwJz
=
1
+
(¡iwJz )
+
1 2
(¡iwJz
)2
+
¢¢¢
0
1
cos w ¡ sin w 0
= @ sin w cos w 0 A
0
01
同样
0
1
0
1
10
0
cos w 0 sin w
R(ex; w) = @ 0 cos w ¡ sin w AR(ey; w) = @ 0 1 0 A
0 sin w cos w
2¼
u(n^; w) = u(¡n^; 4¼ ¡ w) = ¡u(¡n^; 2¼ ¡ w)
u(n^; 2¼) = ¡12£2
参数空间的连通性和连通度
简单李群
单连通
a
a
a
b
R(n^; 2¼) = ¡12£2
参数空间上的积分
参数空间 fw~ g
1X !
1
Z
2¼
sin2
Z w
dw
¼
Z
sin μdμ
R(n^; w) = R(e0z0; °)R(e0y; ¯)R(ez; ®) = R(®; ¯; °)
写成绕固定轴转动的乘积
R(®; ¯; °) = R(ez; ®)R(ey; ¯)R(ez; °)
0 c®c¯c° ¡ s®s° ¡c®c¯s° ¡ s®c°
= @ s®c¯c° + c®s° ¡s®c¯s° + c®c°
独立实参数的数目定义为连续群的阶，也是参 数空间的维数。
李群的群参数
群元乘法规则g(a)g(b)=g(c)可以通过群参数 a,b,c的函数关系体现：c=F(a;b)
群的乘法规则要求
当F(a;b)对于a和b是连续可微函数时，G为李群 当a和b为小量时
3.01 李群的局域性质
无穷小元素
a
a
结论：根据跳跃次数的奇偶，有两类不同的 路径，所以SO(3)群连通度为2.
3.2.4 参数空间上的积分
参数空间 fw~ g
1X !
1
Z
¼
sin2
Z w
dw
¼
Z
sin μdμ
2¼
dÁ
g
R2G
2¼2 0
2
0
0
特征标的内积
hÂi jÂj i
=
2
Z
¼
dw
sin2
w Âi¤(w)Âj(w)
¼0
¡ sin w 0 cos w
3.2 轴转动表示法
z
R(n^; w) 绕n轴转动w角
n为单位矢量，方位角为 (μ; Á)
y
μ 2 [0; ¼]; Á 2 [0; 2¼) x
转动角 w w 2 [0; ¼]
R(n^; w) = R(¡n^; 2¼ ¡ w)
¡n^ : (¼ ¡ μ; ¼ + Á)
2
3.3 SO(3)群的欧拉角表示
绕n轴转动w角也可通过下述步骤实现
1. 绕z轴转动alpha角 R(ez; ®)~r = ~r 0; 0 · ® < 2¼
2. 绕y’轴转动beta角 R(e0y; ¯)~r 0 = ~r 00; 0 · ¯ · ¼
3. 绕z’’轴转动gamma角 R(e0z0; °)~r 00 = ~r 000; 0 · ° < 2¼
群积分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ群元的求和变为对群参数的积分
1X Z
Z
! dR ! drW (r)
g
R2G
权函数W(r)
W
(0)
=
W
(r)
¯¯¯¯Det
@
Fi(a; @aj
r) ¯¯¯¯
a=0
3.03 有限群到紧致李群的推广
群表示的正交定理
Z
dRD¹a¤½ (R)Dºb ¸ (R)
=
1 na
±ab±¹º
±½¸
2¼
dÁ
g R2G
4¼2 0
2
0
0
特征标的内积
hÂi jÂj i
=
1
Z
2¼
dw
sin2
w Âi¤(w)Âj(w)
¼0
2
3.5 SO(3)和SU(2)的同态关系
建立对应关系
由三维欧氏空间的位置矢量构造无迹矩阵
μ
¶
~r ¢ ~¾ =
z x ¡ iy x + iy ¡z
用SU(2)群元u做变换
y
¡ sin μ
0
cos μ
Á
x
三维转动群的基础表示
R(n^; w) = S(μ; Á)R(ez; w)S¡1(μ; Á)
0
=
B@
n2x(1 ¡ cos w) + cos w nxny(1 ¡ cos w) + nz sin w
nxny(1 ¡ cos w) ¡ nz sin w n2y(1 ¡ cos w) + cos w
特征标正交定理
Z dRÂa¤(R)Âb(R) = ±ab
有限群到紧致李群的推广
线性表示等价于幺正表示 等价的幺正表示可以通过幺正的相似变换联系
实表示等价于实正交表示 可约表示完全可约。 不可约表示的充要条件
Z hÂjÂi = dR¤(R)Â(R) = 1
Z ai = hÂijÂi = dRÂi(R)¤Â(R)
结构常数
Cikj = ¡Cjki; Cilj Cknl + CjlkCinl + Ckl iCjnl = 0
3.02 李群的整体性质
连通性：群中任意两元素在参数空间中的对应 点，可以通过一条完全包含在群空间内的路径 连接，则参数空间连通。这样的李群称为简单 李群；反之，混合李群。
混合李群一般由若干连通区域组成，每个连通 区域称为叶，恒元所在的连通区域对应的群元 素构成李群的不变子群，其余区域构成相应陪 集。
生成元
幺正变换算符
生成元反厄米 Xi+ = ¡Xi
定义厄米生成元Ji
=
iXi
=
i
@g @ai
¯¯¯¯
a=0
非无穷小群元 g(a) = e¡iaiJi
生成元的对易关系
阿贝尔群 生成元彼此对易
非阿贝尔群
[Xi; Xj] = CikjXk
Jacobi恒等式
[[Xi; Xj] ; Xk] + [[Xj; Xk] ; Xi] + [[Xk; Xi] ; Xj] = 0
¡i 2
(a2
¡
a¤2
+
b2
¡
b¤2)
1 2
(a2
+
a¤2
+
b2
+
b¤2)
i(a¤b ¡ ab¤)
3.1 三维空间中的转动
三维欧氏空间中的位置矢量
X3 ~r = xi~ei
R~r ! ~r 0;
i=1
R为保持空间两点间距离不变的固有转动，全 部的R构成三维转动群。
以三维欧氏空间为表示空间，有实表示D
~r 0 = D(R)~r; r0 = r
DT (R)D(R) = 1; DetD(R) = +1
3.2.1 三维转动群的类
绕n’轴转动w角 vs 绕n轴转动w角
R(n^0; w) = R(n^ ! n^0)R(n^; w)R(n^0 ! n^)
R(n^0 ! n^)n^0 = n^
互为逆元素
绕不同轴转动相同角度的转动群元同类。
用转动角w标记类Cw，w 2 [0; ¼] 通常选取Cw中的R(ez,w)作为代表
¡y x 0
生成元
0
1
00 0
0
1
0 01
0
1
0 ¡1 0
Xx = @ 0 0 ¡1 A Xy = @ 0 0 0 AXz = @ 1 0 0 A
01 0
¡1 0 0
000
厄米生成元
构造厄米生成元 Ji = iXi
0
1
00 0
Jx = @ 0 0 ¡i A
0i 0
0
1
0 0i
Jy = @ 0 0 0 A
特征标
w
Â(w) = 2 cos
2μ
用w标记类
e¡iw=2
u(n^z; w) =
0
¶ 0 eiw=2
参数空间
u的具体形式
u
=
e¡i
w 2
n^¢~¾
=
12£2
cos
w 2
¡
i(~¾
¢
n^) sin
w 2
w 2 [0; 2¼]; μ 2 [0; ¼]; Á 2 [0; 2¼)
参数空间的性质
nxnz(1 ¡ cos w) ¡ ny sin w nynz(1 ¡ cos w) + nx sin w
1 nxnz(1 ¡ cos w) + ny sin w nynz(1 ¡ cos w) ¡ nx sin w CA