2015-2016高二上期末数学试题(理)
2015-2016第一学期高二期末考试理科数学试题及答案
2015-2016学年度高二年级期末教学质量检测理科数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3B ．3C D ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.下列各数中，最小的数是A ．75B ．)6(210 C ．)2(111111 D ．)9(8511．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A ． B C ．3 D ．512、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、 11 B 、12 C 、1 D 、15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a = 14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。
学年上学期高二期末考试数学(理)试题(附答案)(2)
2015-2016学年度上学期期末素质测试试卷高二数学（理科卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．全卷满分150分,考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分） 1．已知a b >，c d >，那么一定正确的是（ ） （Ａ）ad bc >（Ｂ）ac bd >（Ｃ）a c b d ->- （Ｄ）a dbc ->-2.双曲线2221x y -=的渐近线方程是 （A ）0x y ±=（B ）20x y ±=（C）0x = （D）0y =3．某市有大、中、小型商店共1500家，，它们的家数之比为1：5：9，要调查商店的每日零售额情况，要求从抽取其中的30家商店进行调查，则大、中、小型商店分别抽取家数是 （A ）2，10，18 （B ）4，10，16 （C ）10，10，10 （D ）8，10，124、在如图的电路图中，“开关A 的闭合”是“灯泡B 亮”的 （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件5．在△ABC 中，15a =，10b =，60A =，则cos B =（A ）13 （B（C（D）36．某程序框图如图所示，执行该程序后输出的S 的值是（A ）23（B ）34 （C ） 45（D ） 567．设()n f x 是等比数列21,,,,n x x x 的各项和，则()2n f 等于（A ）21n- （B ）121n +- （C ）22n - （D ）122n +-8.△ABC 的两个顶点为A(-1,0)，B(1,0)，△ABC 周长为6，则C 点轨迹为( )（A ）22143x y +=(y ≠0) （B ） 22143y x +=(y ≠0) （C ） 22154x y += (y ≠0) （D ） 22154y x += (y ≠0) 9．设等差数列245,4,3,77的前n 和为n S ，若使得n S 最大，则n 等于（A ）7 （B ）8 （C ）6或7 （D ）7或810．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=（A ）5（B ）6（C ）7（D ）811．在△ABC 中,两直角边和斜边分别为,,a b c ,若a b cx +=,试确定实数的取值范围 （A）(（B）(（C）)（D）12．已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++的最大值为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）92015-2016学年度上学期期末素质测试试卷高二数学（理科卷） 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13.抛物线240x y +=的准线方程是___________．14．为了了解学生的视力情况，随机抽查了一批学生的视力，将抽查结果绘制成频率分布直方图（如图所示）．若在[5.0,5.4]内的学生人数是2，则根据图中数据可得被样本数据在[3.8,4.2)内的人数是 ．15．已知ABC ∆的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为 ___ ．16.在0a >，0b >的情况下，下面三个结论：①22ab a b a b ++≤； 2a b +≤; ③2a b + ④22b a a b a b ++≥． 其中正确的是_____________________.三、解答题（共6小题，满分70分） 17. （本题满分10分）已知函数6)(2++=ax x x f .（Ⅰ）当5=a 时，解不等式0)(<x f ；（Ⅱ）若不等式()0f x >的解集为R ，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）在△ABC 中，已知2sin cos sin()B A A C =+． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2BC =，△ABC AB ．19．（本题满分12分）设{}n a 是公比为q 的等比数列． （Ⅰ）推导{}n a 的前n 项和n S 公式；（Ⅱ）设1q ≠，证明数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等比数列．20. 国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表： 由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如下：（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一 天空气质量等级为2级良的概率；（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．(注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数)空气质量指数 0-5051-100101-150151-200201-300300以上空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染21．（本题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC ⊥，21===CC BC AC ，M ，N 分别 为AC ，11C B 的中点．（Ⅰ）求证：MN // 平面11A ABB ；（Ⅱ）线段1CC 上是否存在点Q ，使⊥B A 1平面MNQ ？说明理由．22．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，离心率为32F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．2015-2016学年度上学期期末素质测试试卷高二数学（理科卷）参考答案一、选择题：DCAB CCBA DBAB二、填空题：13、1y =；14、5；15、16、①②③④.17、解: （Ⅰ）当5=a 时，65)(2++=x x x f .由0)(<x f ,得652++x x ＜0.即 （0)3)(2<++x x ，所以 32x -<<-. ------------------5分 （Ⅱ）若不等式0)(>x f 的解集为R ，则有=∆0642<⨯-a . -----------------------8分 解得6262<<-a ，即实数a 的取值范围是)62,62(-.---------------10分18、解:（Ⅰ）解：由πA B C ++=，得sin()sin(π)sin A C B B +=-=．…………2分所以原式化为B A B sin cos sin 2=． 因为(0,π)B ∈，所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………………5分 因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ………………6分 （Ⅱ）解：由余弦定理，得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅…………8分因为 2BC =，1πsin 23AB AC ⋅⋅= 所以 228AB AC +=． ………………10分因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ………………12分 19．解：设{}n a 的前n 项和为n S ，当1q =时，11111n n S a a q a q na -=+++=；--------------------1分 当1q ≠时，1111n n S a a q a q -=+++． ①1111n n n qS a q a q a q -=+++， ②----------------3分①-②得()()111nn q S a q -=-，所以 ()111n n a q S q-=-．----------5分所以 ()11, 1,1, 1.1n n n a qS a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩----------------------------7分（Ⅱ）证：由{}n a 是公比为q 的等比数列有10a ≠，若对任意的n N +∈，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，则考虑数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前三项，有()()22311111111a q a q a q q ⎡⎤--⎢⎥=⋅--⎢⎥⎣⎦，--------------------9分化简得 2210q q -+=，即()210q -=，----------------10分 但1q ≠时，()210q ->，这一矛盾说明数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等比数列．---------------------12分20．解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.…………2分（Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35， 则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为35．………………5分, （Ⅲ）设事件A ：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78） （53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78）， （57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78）， （75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78）， （106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78. 则空气质量等级相同的为：（29，41），（29，43），（53，55），（53，58），（53，78）, （57，55），（57，58），（57，78），（75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果. 则11()25P A =.所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125．…………12分21．（Ⅰ）证明：取AB 中点D ，连接DM ，1DB ．在△ABC 中，因为 M 为AC 中点，所以BC DM //，BC DM 21=． 在矩形11B BCC 中，因为 N 为11C B 中点，所以BC N B //1，BC N B 211=． 所以 N B DM 1//，N B DM 1=．所以 四边形N MDB 1为平行四边形，所以 1//DB MN ．……………4分 因为 ⊄MN 平面11A ABB ，⊂1DB 平面11A ABB ，所以 MN // 平面11A ABB ． ………………6分 （Ⅱ）解：线段1CC 上存在点Q ，且Q 为1CC 中点时，有⊥B A 1平面MNQ ． ………8分证明如下：连接1BC ．在正方形C C BB 11中易证 1BC QN ⊥．又⊥11C A 平面C C BB 11，所以 QN C A ⊥11，从而⊥NQ 平面11BC A ． 所以 1A B QN ⊥． ………………10分 同理可得 1A B MQ ⊥，所以⊥B A 1平面MNQ ．故线段1CC 上存在点Q ，使得⊥B A 1平面MNQ ． ………………12分 22．解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b =故椭圆的方程为22162x y +=． ……… 5分 （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=，------------------7分 所以21221213k x x k +=+．因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++．-----------------------------------------9分 因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=， 即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=．所以222(91)4013k k +-=+．解得k =．故直线l的方程为2)y x =-． ……… 12分。
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版8
高二第一学期期末考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.命题()()","n N f n N f n n **∀∈∉≤且的否定形式是 A. ()(),n N f n N f n n **∀∈∉>且 B. ()(),n N f n N f n n **∀∈∉>或 C. ()()0000,n N f n N f n n **∃∈∉>且 D. ()()0000,n N f n N f n n **∃∈∉>或2.若复数2a ii b i+=--（其中,a b 是实数），则复数a bi +在复平面内所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限 3.设实数:p 实数1,1,:x y q >>实数,x y 满足2x y +>，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知曲线3y x =在点(),a b 处的切线与直线310x y ++=垂直，则a 的值是 A. 1- B. 1± C. 1 D.3±5.我们把平面内与直线的方向向量垂直的非零向量称为直线的法向量.在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点()3,4A -，且法向量为()1,2n =-的直线（点法式）方程为：()()()13240x y ⨯++--=，化简得2110x y -+=.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3A ，且法向量为()1,2,1n =--的平面的方程为A.220x y z +--=B. 220x y z ---=C. 220x y z ++-=D.220x y z +++=6.将数字1,1,2,2,3,3排成三行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种7.如图所示，已知四面体,,,,ABCD E F G H 分别为,,,AB BC CD AC 的中点，则化简()12AB BC CD ++的结果为 A. BF B. EHC. HGD. FG8.32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为A. 20B. -20C. 15D. -159.如图，在长方形OABC 内任取一点(),P x y ，则点P 落在阴影部分的概率为 A. 312e - B. 112e - C. 21e - D.11e -10.函数()()22x f x x x e =-的大致图像是11.某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示.若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是A. 甲只能承担第四项工作B. 乙不能承担第二项工作C. 丙可以不承担第三项工作D.丁可以承担第三项工作12.如图，已知抛物线的方程为()220x py p =>，过点()0,1A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为()0,1，连接,BP BQ ，设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点，如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为-3，则MBN ∠的大小等于A. 6πB.4πC.3πD.512π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由该五组数据解得y 关于t 的线性回归方程为ˆ0.850.25y t =-，则实验数据中m 的值为 .14.若双曲线221x y -=的右支上一点(),P a b 到直线y x =的距离为2，则a b +的值为 .15.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 上的点均在圆()222:59C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值，则曲线1C 的方程为 .16.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价为p 元，销量Q （单位：件）与零售价p （单位：元）有如下关系：28300170Q p p =-=，则该商品零售价定为 元时利润最大.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）设函数()1111231f n n n n =++++++ ，其中n N *∈，若有()24af n >都有成立. （1）求正整数a 的最大值0a ； （2）证明不等式()024a f n >（其中n N *∈）.18.（本题满分12分）设():1p f x ax =+，在(]0,2上()0f x ≥恒成立，q 函数()2ln ag x ax x x=-+在其定义域上存在极值. （1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.19.（本题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图：（1）已知[)[)[)30,40,40,50,50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求,a b 的值；（2）该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义为高消费人群，其他年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元代金券，潜在消费人群每人发放80元代金券.已经采用分层抽样的方法从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X 的分布列.20.（本题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11BCC B 都是菱形，11160, 2.ACC CC B AC ∠=∠==（1）求证：（2）若16AB =，求二面角11C AB A --的余弦值.21.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为12，椭圆E 和抛物线294y x =交于,M N 两点，且直线MN 恰好通过椭圆E 的右焦点2F . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知椭圆E 的左焦点为1F ，左、右顶点分别为,A B ，经过点1F 的直线l 与椭圆E 交于,C D 两点，记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为12,S S ，求12S S -的最大值.22.（本题满分12分）已知函数()()()2,a x f x xe a R e -=∈为自然对数的底数. （1）讨论()g x 的单调性；（2）若函数()()2ln f x g x ax =-的图象与直线()y m m R =∈交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：()00f x '<（()0f x '为函数()f x 的导函数）.- 11 -。
2015-2016年河北省邯郸市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案答案
2015-2016学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＞ab B．ab＜b2C．＞D．＞2．（5分）“∀x∈R，x2﹣2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣2＜0B．∀x∈R，x2﹣2≤0C．∃x0∈R，x﹣2＜0D．∃x0∈R，x﹣2≤03．（5分）在等差数列{a n}中，a5=5，a10=15，则a15=（）A．20B．25C．45D．754．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=3，A=45°，B=60°，则b=（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=lnx+x在点（1，1）处的切线方程是（）A．2x﹣y﹣1=0B．2x+y﹣1=0C．x﹣2y+1=0D．x+2y﹣1=0 6．（5分）“m＞0”是“x2+x+m=0无实根”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图，则f（x）的极值点有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=（）A．﹣4B．4C．﹣2D．29．（5分）经过点（3，﹣）的双曲线﹣=1，其一条渐近线方程为y=x，该双曲线的焦距为（）A．B．2C．2D．410．（5分）若函数f（x）=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1处有极值，则9a+3b的最小值为（）A．4B．9C．18D．8111．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值是（）A．B．C．D．12．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，|PF1|=λ|PF2|（≤λ≤2），∠F1PF2=，则椭圆离心率的取值范围为（）A．（0，]B．[，]C．[，]D．[，1）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5分）已知=（2，3，1），=（x，y，2），若∥，则x+y=．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为．15．（5分）已知在观测点P处测得在正东方向A处一轮船正在沿正北方向匀速航行，经过1小时后在观测点P测得轮船位于北偏东60°方向B处，又经过t 小时发现该轮船在北偏东45°方向C处，则t=．16．（5分）对于正整数n，设曲线y=x n（2﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列{a n}的前n项和为S n=．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}，公差为2，的前n项和为S n，且a1，S2，S4成等比数列，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知（a+c）2﹣b2=3ac （1）求角B；（2）当b=6，sinC=2sinA时，求△ABC的面积．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，C上一点（3，m）到焦点的距离为5．（1）求C的方程；（2）过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程．20．（12分）如图，在多面体ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE ∥CD，且AE⊥底面ABC，F为BC的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥BD；（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx在x=1处取得极值2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若（m+3）x﹣x2e x+2x2≤f（x）对于任意的x∈（0，+∞）成立，求实数m 的取值范围．22．（12分）曲线C上的动点M到定点F（1，0）的距离和它到定直线x=3的距离之比是1：．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点F（1，0）的直线l与C交于A，B两点，当△ABO面积为时，求直线l的方程．2015-2016学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＞ab B．ab＜b2C．＞D．＞【解答】解：∵a＞b＞0，∴a2＞ab，ab＞b2，，b2＜a2即．故选：A．2．（5分）“∀x∈R，x2﹣2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣2＜0B．∀x∈R，x2﹣2≤0C．∃x0∈R，x﹣2＜0D．∃x0∈R，x﹣2≤0【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x0∈R，x﹣2≤0，故选：D．3．（5分）在等差数列{a n}中，a5=5，a10=15，则a15=（）A．20B．25C．45D．75【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a5=5，a10=15，∴，解得a1=﹣3，d=2，∴a15=﹣3+14×2=25．故选：B．4．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=3，A=45°，B=60°，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：∵a=3，A=45°，B=60°，∴由正弦定理可得：b===．故选：B．5．（5分）函数y=lnx+x在点（1，1）处的切线方程是（）A．2x﹣y﹣1=0B．2x+y﹣1=0C．x﹣2y+1=0D．x+2y﹣1=0【解答】解：函数的导数为f′（x）=+1，则f′（1）=1+1=2，即切线斜率k=2，则函数y=lnx+x在点（1，1）处的切线方程是y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0，故选：A．6．（5分）“m＞0”是“x2+x+m=0无实根”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：x2+x+m=0无实根⇔△=1﹣4m＜0，⇔m．∴“m＞0”是“x2+x+m=0无实根”的必要不充分条件，故选：B．7．（5分）函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图，则f（x）的极值点有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：结合函数图象，根据极值的定义可知在该点处从左向右导数符号相反，从图象上可看出符合条件的有3点，故选：A．8．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【解答】解：设等比数列{a n}是公比为q的递增的等比数列，由a2a4=16，可得a1a5=16，又a1+a5=17，解得或（不合题意，舍去），即有q4=16，解得q=2（负的舍去）．故选：D．9．（5分）经过点（3，﹣）的双曲线﹣=1，其一条渐近线方程为y=x，该双曲线的焦距为（）A．B．2C．2D．4【解答】解：点（3，﹣）在双曲线﹣=1上，可得﹣=1，又渐近线方程为y=±x，一条渐近线方程为y=x，可得=，解得a=，b=1，可得c==2，即有焦距为2c=4．故选：D．10．（5分）若函数f（x）=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1处有极值，则9a+3b的最小值为（）A．4B．9C．18D．81【解答】解：f′（x）=4x3﹣2ax﹣b，若f（x）在x=1处有极值，则f′（x）=4﹣2a﹣b=0，∴2a+b=4，∴9a+3b=32a+3b≥2=18，当且仅当9a=3b时“=”成立，故选：C．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则D（0，0，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），B（1，1，0），=（0，1，1），=（1，0，1），=（1，1，0），设平面A1BD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，﹣1），设直线DC1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ===，∴cosθ==．∴直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值为．故选：C．12．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，|PF1|=λ|PF2|（≤λ≤2），∠F1PF2=，则椭圆离心率的取值范围为（）A．（0，]B．[，]C．[，]D．[，1）【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a，可设|PF2|=t，可得|PF1|=λt，即有（λ+1）t=2a①由∠F1PF2=，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，即为（λ2+1）t2=4c2，②由②÷①2，可得e2=，令m=λ+1，可得λ=m﹣1，即有==2（﹣）2+，由≤λ≤2，可得≤m≤3，即≤≤，则m=2时，取得最小值；m=或3时，取得最大值．即有≤e2≤，解得≤e≤．故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5分）已知=（2，3，1），=（x，y，2），若∥，则x+y=10．【解答】解：∵=（2，3，1），=（x，y，2），且∥，∴==，解得x=4，y=6；∴x+y=10．故答案为：10．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为﹣2．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图△ABC），变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（，）时，直线的截距最大，z取最小值﹣2，故答案为：﹣2．15．（5分）已知在观测点P处测得在正东方向A处一轮船正在沿正北方向匀速航行，经过1小时后在观测点P测得轮船位于北偏东60°方向B处，又经过t小时发现该轮船在北偏东45°方向C处，则t=．【解答】解：设轮船的速度为v，则AB=v，PA=AC=v，∴BC=（﹣1）v，∴t==．故答案为：．16．（5分）对于正整数n，设曲线y=x n（2﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列{a n}的前n项和为S n=2n+2﹣4．【解答】解：∵y=x n（2﹣x），∴y'=2nx n﹣1﹣（n+1）x n，∴曲线y=x n（2﹣x）在x=2处的切线的斜率为k=n2n﹣（n+1）2n=﹣2n，切点为（2，0），∴切线方程为y=﹣2n（x﹣2），令x=0得a n=2n+1，∴S n==2n+2﹣4，故答案为：2n+2﹣4．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}，公差为2，的前n项和为S n，且a1，S2，S4成等比数列，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1））由a1，S2，S4成等比数列得．化简得，又d=2，解得a1=1，故数列{a n}的通项公式…（5分）（2）∵∴由（1）得，∴=…（10分）．18．（12分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知（a+c）2﹣b2=3ac （1）求角B；（2）当b=6，sinC=2sinA时，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵（a+c）2﹣b2=3ac，∴b2=a2﹣ac+c2，∴ac=a2+c2﹣b2，∴∵B∈（0，π），∴；（2）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得c=2a，代入b2=a2﹣ac+c2可得36=a2+4a2﹣2a2，解得，，满足a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形，∴△ABC的面积S=×2×6=6．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，C上一点（3，m）到焦点的距离为5．（1）求C的方程；（2）过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为，由抛物线的定义可知（2分）解得p=4（3分）∴C的方程为y2=8x．（4分）（2）由（1）得抛物线C的方程为y2=8x，焦点F（2，0）设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则（6分）两式相减．整理得∵线段AB中点的纵坐标为﹣1∴直线l的斜率（10分）直线l的方程为y﹣0=﹣4（x﹣2）即4x+y﹣8=0（12分）20．（12分）如图，在多面体ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE ∥CD，且AE⊥底面ABC，F为BC的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥BD；（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）∵AB=AC，F为BC的中，∴AF⊥BC，又AE∥CD，且AE⊥底面ABC，AF⊂底面ABC，∴AF⊥DC，又BC∩DC=C，且BC、DC⊂面BCD，∴AF⊥面BCD，又BD⊂面BCD，∴AF⊥BD．…（4分）解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系如图，∴B（2，0，0），D（0，2，2），E（0，0，1），，，设面BED的一个法向量为，则，令z=2得x=1，y=﹣1，∴，又面ABE的一个法向量为，∴，∵二面角A﹣BE﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣BE﹣D的余弦值为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx在x=1处取得极值2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若（m+3）x﹣x2e x+2x2≤f（x）对于任意的x∈（0，+∞）成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax3+bx在x=1处取得极值2，∴，解得，∴f（x）=﹣x3+3x…（5分）（Ⅱ）∵（m+3）x﹣x2e x+2x2≤f（x）对于任意的x∈（0，+∞）成立，∴（m+3）x﹣x2e x+2x2≤﹣x3+3x⇔m≤xe x﹣x2﹣2x于任意的x∈（0，+∞）成立设h（x）=xe x﹣x2﹣2x，则h′（x）=e x+xe x﹣2x﹣2=（x+1）（e x﹣2），令h′（x）=0解得x=ln2，且当0＜x＜ln2时，h′（x）＜0；当x＞ln2时，h′（x）＞0，∴h（x）=xe x﹣x2﹣2x在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，∴，∴m≤﹣（ln2）2．22．（12分）曲线C上的动点M到定点F（1，0）的距离和它到定直线x=3的距离之比是1：．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点F（1，0）的直线l与C交于A，B两点，当△ABO面积为时，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）由题意可得，，整理得，则曲线C的方程为；（Ⅱ）当l斜率不存在时，l方程为x=1，此时l与C的交点分别为，，即有，则，由直线l斜率存在，设l方程为y=k（x﹣1），由，得，，∴．设O到l的距离为d，则，∴，解得k=±1．综上所述，当△ABO面积为时，l的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．。
黑龙江省2015—2016学年高二上学期期末试题 数学(理)含答案
2015～2016学年度上学期期末考试高二数学（理科）试题一、选择题：（每题5分，共12题，满分60分。
每题只有一个正确答案） 1、命题“00,30xx R ∃∈≤”的否定是（ ）A. 00,30xx R ∃∈≥ B.,30x x R ∀∈> C. 00,30xx R ∃∈> D. ,30x x R ∀∈≤ 2、设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数(),i i x y ()1,2,3,,i n = ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为ˆ0.8585.71yx =-，给出下列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgC ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n = 中的一个D ．回归直线一定过样本点的中心点(,)x y3、如图是2014年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为（ ）A ．84,，84B ．84，85C ．85，84D ．85, 854、要从已编号（1至360）的360件产品中随机抽取30件进行检验，用系统抽样的方法抽出样本，若在抽出的样本中有一个编号为105，则在抽出的样本中最大的编号为（ ） A ．355 B ．356 C ．357 D ．3585、已知一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数是2x =，方差是13，那么另一组数据1234532,32,32,32,32x x x x x -----的平均数和方差分别是（ ）A ．12,3B ．2,1C ．14,3D ．4,36、通常在一个数字右下角加注角标()k 说明该数字是k 进制数．若()(2)211001k =，则()22222k 换算成10进制数为（ ）A.862B.682C.1024D.10237、已知真命题""a b c d ≥⇒>和""a b e f <⇔≤,则""c d ≤是""e f ≤的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要8、在30的展开式中，x 的幂指数是整数的共有（ ） A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项10、从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则()P B A =（ ）A ．18 B ．14 C ．25 D ．1211、某班在5男生4女生中选择4人参加演讲比赛，选中的4人中有男生有女生，且男生甲和女生乙最少选中一人，则不同的选择方法有（ ）种 A ．91 B 、90 C ．89 D 、8612、有10本不同的书紧贴着依次立放在书架上，摆成上层3本下层7本，现要从下层7本中任取2本再随机分别调整到上层，若其他书本的相对顺序不变，则上层新增的2本书不相邻的概率为（ ） A ．35 B ．310C ．12D ．25 二、填空题：（每题5分，共4题，计20分.）13、已知多项式函数5432()254367f x x x x x x =--+-+，当5x =时由秦九韶算法知012,2555,v v ==⨯-=则3v ＝ ．14、设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则178a a a +++= ．15、一个三角形的三边长分别是5，5，6,一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 ．16、5个男生5个女生共10个同学排成一排，男生甲与男生乙之间有且只有2位女生，女生不能排在队伍的两端，则有 种排法. 三、解答题：（本大题共6个小题，满分70分。
2015-2016学年高二上期末数学(理)试卷
2015-2016学年度高二第一学期期末（理科）数学试题一．选择题 (本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.“若α＝4π，则tan α＝1”的逆否命题是 ( )A ．若α≠4π，则tan α≠1B ．若α＝4π，则tan α ≠12．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( )A 。
n 1＝(1,2,1)，n 2＝(－3,1,1)B ．n 1＝(1,1,2)，n 2＝(－2,1,1)C ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,2,1)D ．n 1＝(1,2,1)，n 2＝(0，－2，－2)3．下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若，则”的逆命题是真命题B ．命题“，”的否定是：“，”C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D ．已知，则“”是“”的充分不必要条件C ．若tan α≠1，则α≠4πD ．若tan α≠1，则α＝4π4.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知→AB ＝a ，→AD ＝b ，→AA1＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量→BD1等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c5．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )A ．sin θ＝|n||a||n ·a|B ．cos θ＝|n||a||n ·a|C ．sin θ＝|n||a|n ·aD ．cos θ＝|n||a|n ·a 6．已知命题p ：对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则非p 是 ( )A ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0C ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0D ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<07.“”是“方程表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8 . 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D的中点，N 是棱A 1B 1上任意一点，则直线NO 、AM 的位置关系是 ( )A ．平行B ．相交C ．异面不垂直D ．异面垂直9． 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝21，则下列结论中错误的是 ( )A ．△AEF 的距离与△BEF 的面积相等B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．AC ⊥BE10．若△ABC 顶点B , C 的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC , AB 边上的中线长之和30则△ABC 的重心G 的轨迹方程为( )A ．B ．C ．D ． 11.已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 02＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(非p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤2或1≤a ≤2C ．a >1D ．－2≤a ≤112.如图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D1B D1P ＝λ.当∠APC 为钝角时，则λ的取值范围是( ) A.31 B.21 C.，11 D.，11二．填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13.已知命题存在．若命题是假命题，则实数的取值范围是 ．14.如图，椭圆的中心在坐标原点，当→FB ⊥→AB 时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.15．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为 。
人教版高二(理科)第一学期期末考试数学试题-含答案
2015～2016学年度第一学期期末考试试卷 高二（理） 数学 座位号第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、向量(1,2,2),(2,4,4)a b =-=--，则a b 与 （ ） A 、相交 B 、垂直 C 、平行 D 、以上都不对2、如果双曲线的半实轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是 （ ）A 、32B 、62C 、32D 、23、已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是 （ ） A 、,sin 1x R x ∃∈≥ B 、,sin 1x R x ∀∈≥ C 、,sin 1x R x ∃∈> D 、,sin 1x R x ∀∈>4、若向量)0,2,1(=a ，)1,0,2(-=b ，则（ ）A 0120,cos >=<b aB b a ⊥C b a //D ||||b a =5、若原命题“0,0,0a b ab >>>若则”，则其逆命题、否命题、逆否命题中（ ） A 、都真 B 、都假 C 、否命题真 D 、逆否命题真6、 “2320x x -+≠”是“1x ≠” 的（ ）条件 （ ） A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、既不充分也不必要 7、若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A 、－9＜m ＜25B 、8＜m ＜25C 、16＜m ＜25D 、m ＞88、已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．1203622=+y x （x ≠0）B ．1362022=+y x （x ≠0）C ．120622=+y x （x ≠0）D ．162022=+y x （x ≠0）9、一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m .若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（ ） A ． 1.75m B ． 1.85mC ． 2.15mD ． 2.25m 10、设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11.抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y12. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第II 卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 。
2015-2016学年上学期高二期末数学(理)试题及答案
2015-2016学年上学期高二期末数学（理）试题时间：120分钟 总分：150分一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1. 某单位有老人28 人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是 （ ） A ．6，12，18 B ．7，11，19 C ．6，13，17 D ．7，12，172.直线x+3y+1=0的倾斜角是( )A ．6π B ．3πC ．23π D ．56π3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） A ．3 B ．11 C ．38 D ．1234.设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A ．若l∥α，l∥β，则α∥β B ．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C ．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D ．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5.以两点(3,1)A --和(5,5)B 为直径端点的圆的方程是( )A ．22(1)(2)25x y -+-=B ．22(1)(2)25x y +++=C ．22(1)(2)100x y +++=D ．22(1)(2)100x y -+-= 6.如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为( )A ．2B ．6 C． D． 7. 下列命题中是错误命题的个数有( ) ①对立事件一定是互斥事件；②A、B 为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； ③若事件A 、B 、C 两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1； ④若事件A 、B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A ，B 是对立事件． 8.下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠” B ．若命题2:,210p x R x x ∃∈-->，则命题2:,210p x R x x ⌝∀∈--< C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 D ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件9.方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（ ）10.已知平面区域1||1{(,)0,{(,)01y x y x x y y M x y y x +⎧⎫-+⎧⎫⎪⎪Ω==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭≤≤≥≥≤，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．23 11.在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若AB=，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．75°D ．105°12.双曲线的中心在坐标原点O ，A 、C 分别为双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于D ，若双曲线离心率为2，则BDF ∠的余弦值为( ) ABC二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.右表是某单位1-4月份水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知， 用水量y 与月份x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是a x y+-=7.0ˆ，由此可预测该单位第5个月的用 水量是 百吨.14.已知O （0，0，0），A （﹣2，2，﹣2），B （1，4，﹣6），C （x ，﹣8，8），若OC ⊥AB ，则x=__________；若O 、A 、B 、C 四点共面，则x=__________．15.已知抛物线24y x =-的焦点F 和点(3,3)A -，P 为抛物线上一点，则PA PF +的最小值等于_____________．16.如右图，设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅= ，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 .三、解答题（本题共6道小题,第1题10分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题12分,共70分）17.已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范围．18.已知直线l 1：3x+4y ﹣2=0和l 2：2x ﹣5y+14=0的相交于点P ．求： （1）过点P 且平行于直线2x ﹣y+7=0的直线方程； （2）过点P 且垂直于直线2x ﹣y+7=0的直线方程．19.某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （1）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（2）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m 、n ，求事件“|m﹣n|＞10”概率．20.在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（1）求圆C 的方程； （2）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．21. 如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD 为蓌形，PA ⊥平面ABCD,∠ABC=60°，E 是BC 的中点，F 是PC 上的一点. （1）若PB ∥平面AEF ，试确定F 点位置；（2）在（1）的条件下，若直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为46，求二面角E-AF-C 的余弦值．22.在直角坐标系xoy 上取两个定点A 1（﹣2，0），A 2（2，0），再取两个动点N 1（0，m ），N 2（0，n ），且mn=3．（1）求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；（2）已知点A （1，t ）（t ＞0）是轨迹M 上的定点，E ，F 是轨迹M 上的两个动点，如果直线AE 的斜率k AE 与直线AF 的斜率k AF 满足k AE +k AF =0，试探究直线EF 的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由．2015-2016学年上学期高二期末数学（理）试题试卷答案1.A2.D3.B4.B5.A6.C7.D8.C9.A 10.C 11.B 12.C13.1.75 14.16； 8 15.5 16.217.若P 真，则120m m ->>，解得103m <<…………2分 若q 真，则 5145m+<< ，解得015m <<…………4分 若p 真q 假，则103015m m m ⎧<<⎪⎨⎪≤≥⎩或，解集为空集；…………7分 p 假q 真，则103015m m m ⎧≤≥⎪⎨⎪<<⎩或，解得1531<≤m …………9分故1531<≤m …………10分18.解：由解得，即点P 坐标为P （﹣2，2），直线2x ﹣y +7=0的斜率为2…4分（1）过点P 且平行于直线2x ﹣y +7=0的直线方程为y ﹣2=2（x +2）即2x ﹣y +6=0；……8分 （2）过点P 且垂直于直线2x ﹣y +7=0的直线方程为即x +2y ﹣2=0．……12分19.解：（1）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.018+0.040）=29．所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．…………………………6分（2）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2，设成绩为x 、y 成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a 、b 、c ， 若m ，n ∈[50，60）时，只有xy 一种情况，若m ，n ∈[90，100]时，有ab ，bc ，ac 三种情况，事件“|m ﹣n |＞10”所包含的基本事件个数有6种 ∴．………………………………12分20.解（1）曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+ 故可设C 的圆心为（3，t ），则有,)22()1(32222t t +=-+解得t =1.则圆C 的半径为.3)1(322=-+t 所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x ……6分 （2）设A （11,y x ），B （22,y x ），其坐标满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022y x a y x ，消去y ，得到方程 .012)82(222=+-+-+a a x a x 由已知可得，判别式.0416562>--=∆a a因此 21212214,2a a x x a x x -++=-= ①由于OA ⊥OB ，可得,02121=+y y x x 又,,2211a x y a xy +=+=所以.0)(222121=+++a x x a x x ② 由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a ………………………………12分21. 解：（1）连结AF ，EF ，由PB ∥平面AEF ，PB ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面AEF =EF ，所以PB ∥EF .又在△PBC 中，E 是BC 的中点，所以F 为PC 的中点. ………4分（2）由四边形ABCD 为菱形，∠ABC =60°，可得△ABC 为正三角形.因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC .又BC ∥AD ，因此AE ⊥AD .因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE .所以AE ，AD ，AP 两两垂直.……6分 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设AB =2，AP =a ，则A （0，0，0），B （3，-1，0），C （3，1，0），D （0，2，0），P （0，0，a ），E （3，0，0），F （22123a，，），所以PB =（3，-1，-a ），且AE =(3，0，0）为平面PAD 的法向量，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，由sin θ=|cos ＜PB ，AE ＞|=|AE ||PB |∙=3432a +=46…………8分 解得a =2 所以 AE ＝（3,0,0）， AF ＝（23，21，1）设平面AEF 的一法向量为m =(x 1,y 1,z 1)，则00m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，因此111130,31022x x y z ⎧=⎪⎨++=⎪⎩， 取z 1=-1，则m=(0,2,-1), …………10分因为BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，PA ∩AC =A ，所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一法向量.又BD =（-3,3,0），所以cos ＜m ,BD ＞=155||512m BD m BD ⋅==⋅⨯. 因为二面角E -AF -C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为515. …………12分22.解：（1）依题意知直线11A N 的方程为：①………………1分直线A 2N 2的方程为：②………………………………2分设Q （x ，y ）是直线A 1N 1与A 2N 2交点，①×②得由mn =3整理得……………………………………5分∵N 1，N 2不与原点重合∴点A 1（﹣2，0），A 2（2，0）不在轨迹M 上， ∴轨迹M 的方程为（x ≠±2）…………………………6分（2）∵点A （1，t ）（t ＞0）在轨迹M 上∴解得，即点A 的坐标为……7分设k AE =k ，则直线AE 方程为：，代入并整理得设E （x E ，y E ），F （x F ，y F ），∵点在轨迹M 上，∴…………③，④……………………9分又k AE +k AF =0得k AF =﹣k ，将③、④式中的k 代换成﹣k ， 可得，…………………………10分∴直线EF 的斜率∵∴即直线EF 的斜率为定值，其值为…………………………12分。
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题及答案
N D 1C 1B 1A 12015－2016学年第一学期高二年级期末质量抽测数 学 试 卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2016.1考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）抛物线210y x =的焦点到准线的距离为（A ）52（C ）5 （C ）10 （D ）20 （2）过点(2,1)-且倾斜角为060的直线方程为(A) 10y --=( B) 330y --=( C)10y -+=( D) 330y -+=（3）若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列命题一定是真命题的是(A)p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ (C)()p q ⌝∧ (D )()()p q ⌝∨⌝（4）已知平面α和直线,a b ，若//a α，则“b a ⊥”是“b α⊥”的(A)充分而不必要条件 ( B )必要而不充分条件 ( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 （5）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是面对角线111A B B D 与的中点，若1,,,DA DC DD === a b c 则MN =CA 1俯视图侧（左）视图正（主）视图(A)1()2+-c b a ( B) 1()2+-a b c ( C) 1()2-a c ( D) 1()2-c a（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>(A) y =( B) y x = ( C) 12y x =± ( D) 2y x =±（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(A )2+( B)2( C)4+( D)4（8）从点(2,1)P -向圆222220x y mx y m +--+=作切线，当切线长最短时m 的值为（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2（9）已知点12,F F 是椭圆22:14x C y +=的焦点，点M 在椭圆C上且满足12MF MF +=uuu r uuu u r 则12MF F ∆的面积为(A)(B) (C ) 1 (D) 2 (10) 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是左侧面11ADD A 上的一个动点，满足11BC BM ⋅= ，则1BC 与BM的夹角的最大值为(A) 30︒ ( B) 45︒ ( C ) 60︒ ( D) 75︒P D 1C 1B 1A 1D C BA第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(11)若命题2:R,220p x x x ∃∈++>，则:p ⌝ ． (12) 已知(1,3,1)=-a ，(1,1,3)=--b ，则-=a b ______________.(13)若直线()110a x y +++=与直线220x ay ++=平行，则a 的值为____ .(14)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设 11AD AA ==， 2AB =，P 是11C D 的中点，则11BC A P 与所成角的大小为____________， 11BC A P ⋅=___________.(15)已知P 是抛物线28y x =上的一点，过点P 向其准线作垂线交于点E ，定点(2,5)A ，则PA PE +的最小值为_________；此时点P 的坐标为_________ .(16)已知直线:10l kx y -+=()k ∈R ．若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且||||AB k =，则称曲线C 具有性质P ．给定下列三条曲线方程： ① y x =-； ② 2220x y y +-=； ③ 2(1)y x =+． 其中，具有性质P 的曲线的序号是________________ .三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）(本小题满分14分)已知圆22:2410C x y x y +--+=. (I)求过点(3,1)M 的圆C 的切线方程；(II)若直线:40l ax y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且弦AB的长为a 的值．（18）(本小题满分14分)OD 1C 1B 1A 1D CBA N MDCBAP在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，AC BD O = ，11AB AA ==.(I)求证：111//OC AB D 平面；(II)求证：1111AB D ACC A ⊥平面平面； (III)求三棱锥111A AB D -的体积. （19）(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,1)A -．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)如果过点3(0,)5B 的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），求证：AMN ∆为直角三角形．（20）(本小题满分14分)如图，在四棱锥P A B C D -中，P A A B C D ⊥底面，底面A B C D 为直角梯形，//,90A D B C B A D ∠=︒22PA AD AB BC ====，过AD 的平面分别交PB PC ，于,M N 两点.（I ）求证：//MN BC ；（II ）若,M N 分别为,PB PC 的中点，①求证：PB DN ⊥；②求二面角P DN A --的余弦值.（21）(本小题满分14分)抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是抛物线上两个动点，F 为抛物线的焦点，且8AF BF +=. （I ） 求p 的值；（II ） 线段AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；（III ）求直线l 的斜率的取值范围.2015－2016学年第一学期高二年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 （理科） 2016.1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）2:,220p x x x ⌝∀∈++≤R（12） 6 （13）1或2- （14）60︒；1 （15）5；(2,4) （16）②③ 三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）（本小题满分14分）解：（I ）圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y -+-=，圆心(1,2)C ，半径是2. …2分①当切线斜率存在时，设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=. ……3分因为2d ===，所以34k =. …………6分 ②当切线斜率不存在时，直线方程为3x =，与圆C 相切. ……… 7分所以过点(3,1)M 的圆C 的切线方程为3x =或3450x y --=. ………8分（II ）因为弦AB 的长为O 1ABCDA 1B 1C 1D 1O所以点C 到直线l的距离为11d ==. ……10分即11d ==. …………12分所以34a =-. …………14分（18）（本小题满分14分）证明：(I) 如图，在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，设11111AC B D O = ，连接1AO .因为1111//AA CC AA CC =且，所以四边形11AAC C 是平行四边形.所以1111//AC AC AC AC =且. ……1分因为底面ABCD 是菱形， 所以1111//O C AO O C AO =且. 所以四边形11AOC O 是平行四边形.所以11//AO OC . ……2分 因为111AO AB D ⊂平面，111OC AB D ⊄平面所以111//OC AB D 平面. ……4分(II)因为11111AA A B C D ⊥平面，111111B D A B C D ⊂平面，所以111B D AA ⊥. ……5分 因为底面ABCD 是棱形，所以1111B D AC ⊥. ……6分因为1111AA AC A = ，所以1111B D ACC A ⊥平面. ……7分 因为1111B D AB D ⊂平面， ……8分 所以1111AB D ACC A ⊥平面平面. ……9分 (III)由题意可知，11111AA A B C D ⊥平面，所以1AA 为三棱锥111A A B D -的高. ……10分因为111111111111111332A AB D A A B D A B D V V S AA --∆==⋅=⨯⨯=.所以三棱锥111A AB D -. ……14分(19)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)A -，e =，所以1b =. ……1分由c e a ===2a =. ……3分 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……4分（Ⅱ）若过点3(0,)5的直线MN 的斜率不存在，此时,M N 两点中有一个点与A 点重合，不满足题目条件． ……5分若过点3(0,)5的直线MN 的斜率存在，设其斜率为k ，则MN 的方程为35y kx =+，由223514y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得222464(14)0525k x kx ++-=. ……7分设1122(,),(,)M x y N x y ，则122122245(14)64,25(14)0k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⋅=-⎨+⎪⎪∆>⎪⎩， ……9分 所以1212266()55(14)y y k x x k +=++=+， 221212122391009()52525(14)k y y k x x k x x k -+⋅=⋅+++=+. ……11分因为(0,1)A -，所以1122121212(,1)(,1)()1AM AN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=++++22264100925(14)25(14)k k k -+=-+++26105(14)k ++=+所以AM AN ⊥,AMN ∆为直角三角形得证． ……14分(20)（本小题满分14分）证明：（I ）因为底面ABCD 为直角梯形， 所以//BC AD .因为,,BC ADNM AD ADNM ⊄⊂平面平面所以//BC ADNM 平面. ……2分 因为,BC PBC PBC ADNM MN ⊂= 平面平面平面，所以//MN BC . ……4分 （II ）①因为,M N 分别为,PB PC 的中点，PA AB =，所以PB MA ⊥. ……5分 因为90,BAD ∠=︒ 所以DA AB ⊥.因为PA ABCD ⊥底面，所以DA PA ⊥. 因为PA AB A = ，所以DA PAB ⊥平面.所以PB DA ⊥. ……7分 因为AM DA A = ，所以PB ADNM ⊥平面因为DN ADNM ⊂平面，所以PB DN ⊥. ……9分 ②如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -. ……10分 则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P . ……11分由（II ）可知，PB ADNM ⊥平面，所以ADNM 平面的法向量为(2,0,2)BP =-. ……12分设平面PDN 的法向量为(,,)x y z =n因为(2,1,2)PC =- ，(0,2,2)PD =-,所以00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n .即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩. 令2z =，则2y =，1x =. 所以(1,2,2)=n所以cos ,6BP BP BP ⋅〈〉===n n n所以二面角P DN A --……14分(21)（本小题满分14分）解:（I ）因为抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，所以由221y px y x ⎧=⎨=+⎩ 得：2220(0)y py p p -+=>有两个相等实根. …2分即2484(2)0p p p p ∆=-=-=得：2p =为所求. ……4分 （II ）法一：抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………5分 设直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点(,0)C m . 由C 在AB 的垂直平分线上，从而AC BC = ………6分即22221122()()x m y x m y -+=-+. 所以22221221()()x m x m y y ---=-.即12122112(2)()444()x x m x x x x x x +--=-=-- ………8分 因为12x x ≠，所以1224x x m +-=-. 又因为126x x +=，所以5m =， 所以点C 的坐标为(5,0).即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分 法二：由112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+.由24y x y kx m⎧=⎨=+⎩可得222(24)0k x km x m +-+=. ………5分 所以12221224216160km x x k m x x k km -⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪∆=-+>⎪⎪⎩. ………6分因为抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………7分所以232km k +=.设线段AB 的中点为00(,)M x y . 则12003,32x x x y k m +===+. 所以(3,3)M k m +. ………8分 所以线段AB 的垂直平分线的方程为13(3)y k m x k--=--. ………9分 令0y =，可得2335x m mk =++=.即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0).………10分 （III ）法一：设直线l 的斜率为1k ，由（II ）可设直线l 方程为1(5)y k x =-.设AB 的中点00(,)M x y ，由12032x x x +==.可得0(3,)M y .因为直线l 过点0(3,)M y ，所以012y k =-.………11分 又因为点0(3,)M y 在抛物线24y x =的内部，所以2012y <.…12分 即21412k < ，则213k <.因为12x x ≠，则10k ≠. …13分所以1k 的取值范围为( .………14分 法二：设直线l 的斜率为1k ，则11k k =-.由（II ）可知223km k =-.因为16160km ∆=-+>，即1km <， …11分所以2231k -<.所以213k >. 即21113k >. 所以2103k <<. …12分 因为12x x ≠，则10k ≠. …13分 所以1k的取值范围为( . ………14分。
2015-2016学年高二上期期末考试数学(理)试题2
2015-2016学年高二上期期末考试数学（理）试题2015-2016学年高二上期期末考试数学（理）试题(5)答案一、选择题1-5．D C ABC 6-12．DB B D ACA 二、填空题13．89 14．－14 15．416．35三、解答题17．解：(Ⅰ)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， ∴a1＋5d ＝10，a1＋3d ＝6，∴d ＝2，a1＝0，∴a n ＝2n －2.(6分)(Ⅱ)b1＋b1q ＝3，b1q2＝4，∴1＋q q2＝34，3q 2－4q －4＝0，∴q ＝2或－32(舍)，b 1＝1， ∴T n ＝1－q b1（1－qn ）＝1－21－2n ＝2n －1.(12分)18．解：A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3，x ∈R ，m ∈R }． (Ⅰ)∵A ∩B ＝[2，3]，∴m －3＝2，即m ＝5.（6分） (Ⅱ) ∵p 是非q 的充分条件，∴A ⊂R B ，∴m －3>3或m ＋3<－1，解得m >6或m <－4.（12分）19．解：(Ⅰ)由余弦定理及a cos A ＝b cos B 可得a ·2bc b2＋c2－a2＝b ·2ac a2＋c2－b2，所以a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)c 2＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)，所以(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，所以a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2.若a ＝b ，则B ＝A ＝83π；若c 2＝a 2＋b 2，则C ＝2π，B ＝2π－83π＝8π. 综上可知，B ＝83π或8π.(6分)(Ⅱ)由tan C ＋a 2csin A ＝0及正弦定理可得cos C sin C＋2sin C ＝0，而sin C ＞0，所以cos C ＝－21，所以C ＝32π.由(Ⅰ)可知△ABC 必为等腰三角形，且A ＝B ＝6π，故△ABC 的面积为S ＝21ab sin C ＝21a 2·23＝，所以a ＝2.(12分)20．解：(Ⅰ)∵底面ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，∴BC ⊥AB .∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ， ∵PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB .(5分)(Ⅱ)以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，则D (1，0，0)，C (2，2，0)，P (0，0，2).假设在侧棱PA 上存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是32.设E (0，0，m )(m >0)，则→DC ＝(1，2，0)，→DE＝(－1，0，m )．设平面CDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·→DC ＝0，n ·→DE＝0， ∴－x ＋mz ＝0.x ＋2y ＝0，令x ＝2，∴y ＝－1，z ＝m 2，∴n ＝(2，－1，m 2). 又∵平面ACD 的法向量为→AP＝(0，0，2)， ∴|cos 〈n ，→AP 〉|＝32，即|AP ＝·22＝32，解得m ＝1，∴点E 的坐标是(0，0，1)，AE 的长为1.∴在侧棱PA 上存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是32.(12分)21．解：(Ⅰ)由a2＝b2＋c2，ab ＝2，(2分) 得b ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为4x2＋y 2＝1.(4分)(Ⅱ)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，设直线PQ 的方程为x ＝my ＋t ，代入4x2＋y 2＝1得(m 2＋4)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0，(5分)Δ>0，，t2－4k 1＝x1＋2y1，k 2＝x2－2y2，由k2k1＝7得y2（x1＋2）y1（x2－2）＝7， 所以1222（x1＋2）22＝49，所以12222＝49，(7分)得（2＋x1）（2＋x2）（2－x1）（2－x2）＝49，得12x 1x 2＋25(x 1＋x 2)＋48＝0，① x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m2＋44（t2－m2）， x 1＋x 2＝(my 1＋t )＋(my 2＋t )＝m2＋48t，代入①得6t 2＋25t ＋24＝0，得t ＝－23，或t ＝－38(是增根，舍去)，(9分)所以4(10分)所以|y 1－y 2|2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝（m2＋4）216m2＋28＝－36(m2＋41)2＋16×m2＋41＝－36(m2＋41－92)2＋916≤916，当m 2＝21时取最大值．(11分)所以S 1－S 2＝21×3×|y 1－y 2|≤2，所以S 1－S 2的最大值为2.(12分) 22．证明：(Ⅰ)∵CF ＝FG ，∴∠BGC ＝∠ACE . ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠GCB ＝90°，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC ＝90°， ∴∠CBG ＝90°－∠BGC ，∠EAG ＝90°－∠ACE ，∴∠CBG (D )＝∠EAG (C )，∴BC ＝CD ，∴C 是BD 的中点.（5分） (Ⅱ)∵∠ECB ＝90°－∠ECA ，∠EAC ＝90°－∠ECA ， ∴∠ECB ＝∠EAC .又∵由(Ⅰ)知，∠CBG (D )＝∠EAG (C )，∴∠E (F )CB ＝∠CBF (G )， ∴CF ＝BF .又∵CF ＝FG ，∴BF ＝FG .（10分）23．解：(Ⅰ)把y ＝－1－2t x ＝a ＋4t ，化为普通方程为x ＋2y ＋2－a ＝0，把ρ＝2cos(θ＋4π)化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，其的圆心C 的坐标为(1，－1)，半径为，∴圆心C 到直线l 的距离d ＝12＋22|1－2＋2－a|＝5|a －1|＝55|a －1|.（6分） (Ⅱ)由已知(53)2＋(5|a －1|)2＝()2，∴a 2－2a ＝0，即a ＝0或a ＝2.（10分） 24．解：(Ⅰ)由|2x －a |＋a ≤6得|2x －a |≤6－a ， ∴a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3， ∴a －3＝－2，∴a ＝1.（4分）(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )＝|2x －1|＋1，令φ(n )＝f (n )＋f (－n )，则φ(n )＝|2n －1|＋|2n ＋1|＋2≥|(2n －1)－(2n ＋1)|＋2＝4，当且仅当(2n －1)(2n ＋1)≤0，即－21≤n ≤21时取等号．∴φ(n )的最小值为4，故实数m 的取值范围是[4，＋∞).（10分）。
2015-2016学年高二上学期期末检测数学(理)试题(解析版)11
高二上学期期末检测数学（理）试题一、选择题 1．命题“，使”的否定为（ ）A. ，使B. ，使C.，D.，【答案】A 【解析】因为命题“”的否定为“”,所以命题“，使”的否定为，，选A.点睛：1.命题的否定与否命题区别“否命题”是对原命题“若p ，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p 的结论. 2命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”. 2．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）A. 2214x y -=B. 2214y x -= C. 2212y x -= D. 2212x y -= 【答案】B【解析】2214x y -=渐近线方程为2x y =±， 2214y x -=渐近线方程为2y x =±2212y x -=渐近线方程为y =， 2212x y -=渐近线方程为y x =，所以选B.3．已知，则“”是“直线与直线垂直”的（ ）A. 充要条件B. 必要而不充分条件C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】“直线与直线垂直” 的充要条件为，因此“”是“直线与直线垂直”的充分而不必要条件，选C.4．当,x y 满足条件{230x yx x y ≤≥+-≤时，目标函数32z x y =+的最大值是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A【解析】可行域如图：为三角形OAB 及其内部,其中()()()0,0,1,1,0,3O A B ，所以直线32z x y =+过点B 时取最大值6，选A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 5．已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是 （ ） A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C 【解析】若，则也可相交；若，则可能有；若，则也可相交或异面；若，则，这可利用向量理解： 可看作平面的法向量，则的夹角与二面角相等或互补，而因此，选C.6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为,选D.7．点为圆上一点，过的圆的切线为，且与：平行，则与之间的距离是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得即，因此两平行直线之间距离为，选B.8．正四棱柱1111ABCD A BC D-中，12AA AB=，则1AD与平面11BB D所成角的正弦值为（）A.10B.10C.3D.3【答案】A【解析】连AC交BD于点O,连1OD,则1ADO∠为1AD与平面11BB D所成角. 设,AB a=则1,2AO AD==，所以11sinAOAD OAD∠==选A. 9．已知点，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（）A.B. 或C.D.或【答案】B【解析】由题意得在直线上或两侧，即,解得或，选B.10．设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若线段的中点到轴的距离为3，则弦的长为（）A. 5B. 8C. 10D. 12【答案】C【解析】由抛物线定义得选C.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．11．双曲线221:145x yE-=的左右焦点分别为12,F F，椭圆22222:1(0)x yE a ba b+=>>与双曲线1E有公共的焦点，且12,E E在第一象限和第四象限的交点分别为,M N，弦MN过2F，则椭圆2E的标准方程为（）A.221814544x y+= B.221134x y+= C.221167x y+= D.22154x y+=【答案】A【解析】由题意得532M Mx c y==⇒=，所以212135981452922244a MF MF a b=+=+⇒=⇒=-=，即椭圆2E的标准方程为221814544x y+=，选A.12．已知分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆的右顶点，为坐标原点，若椭圆上的一点满足，则椭圆的离心率为（ ）A.B. C.D.【答案】D【解析】由得 ,由得 ,所以,选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题13．在空间直角坐标系中，点()1,2,A m -和点()3,2,2B -的距离为则实数m 的值为__________． 【答案】2【解析】由题意得2m ==14．体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为__________．【答案】【解析】由题意得球的直径等于正方体对角线长,即,而所以该球的体积为点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．15．点在圆上，点在圆上，则的最大值为__________． 【答案】13【解析】因为圆和圆,所以，因此两圆相交,从而的最大值为点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．16．如果曲线240x y --=与曲线224(0)x y λλ+=<恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是__________．【答案】1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】因为曲线240x y --=与曲线224(0)x y λλ+=<都过点()2,0±，所以双曲线渐近线y = 斜率不小于直线24y x =- 斜率，即1204λ≥⇒-≤<三、解答题17．已知圆经过两点，且圆心在直线上.（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.【解析】试题分析：（Ⅰ）求圆的方程,需要三个独立条件,一般设标准式,代入三个条件,解方程组即可;本题也可设成圆的一般式,再将两个点坐标代入,解方程组可得.（Ⅱ）涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理，即将弦长条件转化为圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求直线斜率，注意验证直线斜率不存在的情形.试题解析：解：（Ⅰ）设圆的圆心坐标为，依题意，有，解得，所以，所以圆的标准方程为.（Ⅱ）依题意，圆的圆心到直线的距离为，（1）若直线的斜率不存在，则，符合题意，此时直线的方程为.（2）若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，则，解得.此时直线的方程为综上，直线的方程为或.18．设命题：方程表示的曲线是一个圆；命题：方程表示的曲线是双曲线，若“”为假，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：先研究命题为真时实数的取值范围，即为真且为真，再根据命题的否定，求补集得“”为假时实数的取值范围.试题解析：解：若为真，，配方得.∵此方程表示圆，∴，∴.若为真，，即或.因为为假，所以假或假.若假，则.若假，则.所以若为假，则实数的取值范围是:.19．如图，直三棱柱中，，为棱上一点，，为线段上一点，.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若，求四棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般方法为利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往结合平几知识，如本题构造平行四边形，利用平行四边形性质得线线平行（Ⅱ）求棱锥的体积，关键是求高，而高的探求实质是利用线面垂直关系，本题可由直三棱柱得侧面与底面垂直，再根据面面垂直性质定理转化为线面垂直，即得锥的高，最后代入锥的体积公式即可.试题解析：（Ⅰ）证明：如图，过点作交于点，连接.由，故，得.由，故，又，故.所以四边形为平行四边形，从而.又平面，平面，故平面.（Ⅱ）解：由已知，因为，则中，，中，.由知为等腰三角形，设底边上的高为，则，，所以四棱锥的体积.20．设抛物线2:2(0)E y px p =>上的点()0,4M x 到焦点F 的距离054MF x =.（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）如图，直线():2l y k x =+与抛物线E 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点是C .求证：直线BC 恒过一定点. 【答案】（Ⅰ）24y x =（Ⅱ）()2,0【解析】试题分析：（Ⅰ）先由抛物线定义用坐标表示MF ，进而得02x p =，再根据点在抛物线上，联立方程组可解出2p =.（Ⅱ）证明直线过定点，一般方法为以算代证，即先求出直线方程，再将直线方程化为点斜式证明过定点.具体方法为先设,A B 两点（用纵坐标表示），根据直线AB 与抛物线位置关系得两点坐标关系128y y =.再根据两点式写出直线BC 方程，化成点斜式得定点（或令0y = 解得2x = ）试题解析：解：（Ⅰ）由抛物线定义得2o pMF x =+又05=4MF x ，所以02x p =，即()2,4M p代入22y px =，得24p =，由0p >得2p =. 所以抛物线E 的方程为24y x =.（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线方程：()22{4y k x y x=+=， 消去x 得2480ky y k -+=， 由韦达定理可得128y y =.又由()11,C x y -，可得直线BC 的方程为：()211121y y y y x x x x ++=--， ∵2211224,4y x y x ==，∴221112221444y y y y y x y y ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭-，即2112144y y y x y y ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，()222112114y y y y y y x y -+-=-， ∴()2142y x y y =--， ∴直线BC 恒过定点()2,0.点睛：定点问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 探索直线过定点时，可设出直线方程为y kx b =+，然后利用条件建立,k b 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．21．如图，四棱锥中，底面为梯形，，且，侧面为等边三角形，侧面为等腰直角三角形，且角为直角，且平面平面.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求平面和平面所成二面角（锐角）的大小.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）证明面面垂直，一般方法为利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，显然需要作出一条垂线. 由侧面为等边三角形，根据平几知识可得取边上中线为证明目标，由于，又由已知面面垂直条件可得平面，再利用平行四边形将其移至平面.（Ⅱ）求二面角大小，一般方法为利用空间向量数量积进行求解，先确定空间直角坐标系，设立各点坐标，解方程组得各面法向量，根据向量数量积求两法向量夹角的余弦值，最后根据二面角与向量夹角关系确定二面角大小.试题解析：解：（Ⅰ）作中点，中点，连结.∵为等边三角形，为中点，∴又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵为的中位线，∴，又∵，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）作的中点，的中点，连结.∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，又，∴平面，∴，又∵，∴两两垂直以点为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.设，则,,设平面的法向量，则,即，设，则，则.由平面可得平面的法向量，故所求角的余弦值，故所求二面角大小为.22．在平面直角坐标系中，已知点为平面上一动点，到直线的距离为，.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）不过原点的直线与交于两点，线段的中点为，直线与直线交点的纵坐标为1，求面积的最大值及此时直线的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）面积的最大值为，此时直线的方程为.【解析】试题分析：（Ⅰ）直接法求动点轨迹方程,先设动点坐标,再两点间距离公式及点到直线距离公式将条件用坐标表示,化简整理成椭圆标准方程;（Ⅱ）涉及弦中点问题,一般利用点差法求弦中点坐标与直线斜率的关系,本题由于弦中点与原点连线的斜率已知,所以可得弦所在直线斜率.根据直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理、弦长公式可得三角形底边长（用直线在轴上截距表示），再根据点到直线距离公式可得高（用直线在轴上截距表示），利用三角形面积公式可得面积关于直线在轴上截距的函数关系式，最后根据基本不等式求最值，确定直线在轴上截距，可得直线方程. 试题解析：解：（Ⅰ）由题意：，又，即，化简整理得：所求曲线的方程为.（Ⅱ）易得直线的方程：,设.其中∵在椭圆上，，所以，∴设直线的方程为：.联立：.整理得.∵直线与椭圆有两个不同的交点且不过原点，∴，解得：且由韦达定理:∴.∵点到直线的距离为：.∴.当且仅当即时等号成立，满足（）式所以面积的最大值为，此时直线的方程为.点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.。
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题 6
上学期期末素质测试试卷高二数学（必修③⑤，选修2-1.理科卷）（全卷满分150分,考试时间为120分钟）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1．已知集合{}{}2230,430M x x x N x x x =->=-+>,则M N = (A)()0,1 (B)()1,3 (C)()0,3 (D)()3,+∞ 2. 抛物线26y x =的焦点到准线的距离为 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）43．甲、乙两位同学本学期几次数学考试的平均成绩很接近，为了判断甲、乙两名同学成绩哪个稳定，需要知道这两个人的（A ）中位数 （B ）众数 （C ）方差 （D ）频率分布4．若实数a b c ，，满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是 （Ａ）ab ac > （Ｂ）22cb ab <（Ｃ）()0c b a -> （Ｄ）()0ac a c -<5．双曲线的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）23 6．已知5432()54321f x x x x x x =+++++，若用秦九韶算法求(5)f 的值，下面说法正确的是（A ）至多4乘法运算和5次加法运算 （B ）15次乘法运算和5次加法运算 （C ）10次乘法运算和5次加法运算 （D ）至多5次乘法运算和5次加法运算7．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）978．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15o C ，B 点表示四月的平均最低气温约为5o C.下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在0o C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均最高气温高于20o C 的月份有5个9．ABC △的两边长为23，，其夹角的余弦为13，则其外接圆半径为 （Ａ）922 （Ｂ）924 （Ｃ）928 （Ｄ）22910．设()n f x 是等比数列21,,,,()n x x x -- 的各项和，则()20162f 等于（A ）2016213+ （B ）2016213- （C ）2017213+ （D ）2017213-11．已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和，它们所表示的曲线可能是（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若点P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（A ）直线 （B ）圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13. 执行如图所示的程序框图，若输入2x =， 则输出y 的值为______________;14．△ABC 的两个顶点为A(-1,0)，B(1,0)，△ABC 周长为6，则C 点轨迹为__________;15．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的 最大值=______________;16. 设方程()0f x y =，的解集非空．如果命题“坐标满足方程()0f x y =，的点都在曲线C 上”是不正确的，有下面5个命题: ①坐标满足()0f x y =，的点都不在曲线C 上； ②曲线C 上的点的坐标都不满足()0f x y =，； ③坐标满足()0f x y =，的点不都在曲线C 上；④一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足()0f x y =，；⑤坐标满足()0f x y =，的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上。
2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．在空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），则=（）A．（1，0，﹣3）B．（﹣1，0，3）C．（3，4，3）D．（1，0，3）2．抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．x=﹣13．椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．4．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞05．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+6．命题p：“不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}”；命题q：“不等式x2＞4的解集为{x|x＞2}”，则（）A．p真q假B．p假q真C．命题“p且q”为真D．命题“p或q”为假7．已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线8．设abc≠0，“ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件9．已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=110．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（）A．B． C．D．11．已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|﹣|PB|=3，则|PA|的最小值是（）A．B．C．D．512．椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于．14．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为．15．给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是．（把你认为正确命题的序号都填上）16．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A 在y轴左侧），则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．18．命题：若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线﹣y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为[3+2，+∞）．判断此命题的真假，若为真命题，请做出证明；若为假命题，请说明理由．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．20．如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．21．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．22．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．在空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），则=（）A．（1，0，﹣3）B．（﹣1，0，3）C．（3，4，3）D．（1，0，3）【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用．【分析】根据空间向量的坐标表示，求出即可．【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），∴=（2﹣1，2﹣2，0﹣3）=（1，0，﹣3）．故选：A．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，是基础题．2．抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．x=﹣1【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用抛物线的标准方程，有2p=4，，可求抛物线的准线方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且，∴抛物线的准线方程是x=﹣1．故选D．【点评】本小题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．3．椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】椭圆+=1中a=3，b=2，求出c，即可求出椭圆+=1的离心率．【解答】解：∵椭圆+=1中a=3，b=2，∴c==，∴e==，故选：C．【点评】此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道基础题．4．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0【考点】特称命题；命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可．【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，都有2x＞0”．故选：D．【点评】本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，写出答案即可，是基础题．5．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+【考点】相等向量与相反向量．【分析】由题意可得=+=+=+[﹣]，化简得到结果．【解答】解：由题意可得=+=+=+=+（﹣）=+（﹣）=﹣++，故选A．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．6．命题p：“不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}”；命题q：“不等式x2＞4的解集为{x|x＞2}”，则（）A．p真q假B．p假q真C．命题“p且q”为真D．命题“p或q”为假【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】先判断两个命题的真假，然后再依据或且非命题的真假判断规则判断那一个选项是正确的．【解答】解：∵x=1时，不等式没有意义，所以命题p错误；又不等式x2＞4的解集为{x|x ＞2或x＜﹣2}”，故命题q错误．∴A，B，C不对，D正确应选D．【点评】考查复合命题真假的判断方法，其步骤是先判断相关命题的真假，然后再复合命题的真假判断规则来判断复合命题的真假．7．已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线【考点】轨迹方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】建立直角坐标系，设出A、B坐标，以及M坐标，通过已知条件求出M的方程，然后判断选项．【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），A（﹣a，0）、B（a，0）；因为=λ•，所以y2=λ（x+a）（a﹣x），即λx2+y2=λa2，当λ=1时，轨迹是圆．当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程．当λ=0时，是直线的轨迹方程；综上，方程不表示抛物线的方程．故选D．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力．8．设abc≠0，“ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的定义．【分析】要判断：“ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的什么条件，我们要在前提条件abc≠0的情况下，先判断，“ac＞0”时“曲线ax2+by2=c是否为椭圆”，然后在判断“曲线ax2+by2=c为椭圆”时，“ac ＞0”是否成立，然后根据充要条件的定义进行总结．【解答】解：若曲线ax2+by2=c为椭圆，则一定有abc≠0，ac＞0；反之，当abc≠0，ac＞0时，可能有a=b，方程表示圆，故“abc≠0，ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的必要非充分条件．故选B【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q 为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．9．已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】先设双曲线的方程，再由题意列方程组，处理方程组可求得a，进而求得b，则问题解决．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1．由题意得||PF1|﹣|PF2||=2a，|PF1|2+|PF2|2=（2）2=20．又∵|PF1|•|PF2|=2，∴4a2=20﹣2×2=16∴a2=4，b2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y2=1．故选C．【点评】本题主要考查双曲线的定义与标准方程，同时考查处理方程组的能力．10．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（）A．B． C．D．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】要求AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值，在平面BB1C1C作出AC1的射影，利用解三角形，求出所求结果即可．【解答】解：由题意可知底面三角形是正三角形，过A作AD⊥BC于D，连接DC1，则∠AC1D为所求，sin∠AC1D===故选C【点评】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，考查计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．11．已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|﹣|PB|=3，则|PA|的最小值是（）A．B．C．D．5【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由|AB|=4，|PA|﹣|PB|=3可知动点在双曲线右支上，所以|PA|的最小值为右顶点到A的距离．【解答】解：因为|AB|=4，|PA|﹣|PB|=3，故满足条件的点在双曲线右支上，则|PA|的最小值为右顶点到A的距离2+=．故选C．【点评】本题考查双曲线的基本性质，解题时要注意公式的灵活运用．12．椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】依题意知，直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0），且倾斜角为60°，从而知∠MF2F1=30°，设|MF1|=x，利用椭圆的定义即可求得其离心率．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），作图如右图：∵椭圆的焦距为2c，∴直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0），又直线y=（x+c）与椭圆交于M点，∴倾斜角∠MF1F2=60°，又∠MF1F2=2∠MF2F1，∴∠MF2F1=30°，∴∠F1MF2=90°．设|MF1|=x，则|MF2|=x，|F1F2|=2c=2x，故x=c．∴|MF1|+|MF2|=（+1）x=（+1）c，又|MF1|+|MF2|=2a，∴2a=（+1）c，∴该椭圆的离心率e===﹣1．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，着重考查直线与椭圆的位置关系，突出椭圆定义的考查，理解得到直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0）是关键，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于5．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据条件求出a=4；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=4．根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了椭圆的性质，此类型的题目一般运用圆锥曲线的定义求解，会使得问题简单化．属基础题．14．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为．【考点】棱柱的结构特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知得=，由此利用向量法能求出AC1的长．【解答】解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，∴=，∴2=（）2=+2||•||cos60°+2•||cos60°+2•cos60°=1+1+1+++=6，∴AC1的长为||=．故答案为：．【点评】本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．15．给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）【考点】平面的法向量．【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用．【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．【解答】解：对于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣），∴•=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0，∴⊥，∴直线l与m垂直，①正确；对于②，=（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），∴•=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，∴⊥，∴l∥α或l⊂α，②错误；对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2），∴与不共线，∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；则u+t=1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．故答案为：①④．【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，是综合性题目．16．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A 在y轴左侧），则=3．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则可知AA1∥OF∥BB1，根据比例线段的性质可知==，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得x A+x B和x A x B的表达式，进而可求得x A x B=﹣（）2，整理后两边同除以x A2得关于的一元二次方程，求得的值，进而求得．【解答】解：如图，作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则AA1∥OF∥BB1，∴==，又已知x A＜0，x B＞0，∴=﹣，∵直线AB方程为y=xtan30°+即y=x+，与x2=2py联立得x2﹣px﹣p2=0 ∴x A+x B=p，x A•x B=﹣p2，∴x A x B=﹣p2=﹣（）2=﹣（x A2+x B2+2x A x B）∴3x A2+3x B2+10x A x B=0两边同除以x A2（x A2≠0）得3（）2+10+3=0∴=﹣3或﹣．又∵x A+x B=p＞0，∴x A＞﹣x B，∴＜﹣1，∴=﹣=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；点与圆的位置关系；双曲线的定义．【专题】计算题；综合题．【分析】根据双曲线的标准方程的特点把命题p转化为a＞1或a＜﹣3，根据点圆位置关系的判定把命题q转化为﹣1＜a＜3，根据pΛq为假命题，¬q也为假命题，最后取交集即可．【解答】解：∵方程表示双曲线，∴（3+a）（a﹣1）＞0，解得：a＞1或a＜﹣3，即命题P：a＞1或a＜﹣3；∵点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部，∴4+（a﹣1）2＜8的内部，解得：﹣1＜a＜3，即命题q：﹣1＜a＜3，由pΛq为假命题，¬q也为假命题，∴实数a的取值范围是﹣1＜a≤1．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，以及点圆位置关系的判定方法．考查了学生分析问题和解决问题的能力．属中档题．18．命题：若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线﹣y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为[3+2，+∞）．判断此命题的真假，若为真命题，请做出证明；若为假命题，请说明理由．【考点】双曲线的简单性质．【专题】证明题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出双曲线方程为，设点P（x0，y0），则，（x0），由此能证明•的取值范围为[3+2，+∞）．【解答】解：此命题为真命题．证明如下：∵F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，∴a2+1=4，解得a2=3，∴双曲线方程为，设点P（x0，y0），则有=1，（），解得，（x0），∵=（x0+2，y0），=（x0，y0），∴==x0（x0+2）+=，这个二次函数的对称轴为，∵，∴当时，取得最小值=3+2，∴•的取值范围为[3+2，+∞）．【点评】本题考查命题真假的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．【考点】向量在几何中的应用；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；向量法．【分析】建立空间直角坐标系，求出2个平面的法向量的坐标，设二面角的大小为θ，显然θ为锐角，设2个法向量的夹角φ，利用2个向量的数量积可求cosφ，则由cosθ=|cosφ|求出二面角的大小θ．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），设AC的中点为M，∵BM⊥AC，BM⊥CC1．∴BM⊥平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是n=（x，y，z）．=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，0，0），∴令z=1，解得x=0，y=1．∴n=（0，1，1），设法向量n与的夹角为φ，二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cosθ=|cosφ|==，解得：θ=．∴二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为．【点评】本题考查利用向量求二面角的大小的方法，设二面角的大小为θ，2个平面法向量的夹角φ，则θ和φ相等或互补，这两个角的余弦值相等或相反．20．如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．【考点】轨迹方程；抛物线的应用．【专题】计算题．【分析】由OA⊥OB可得A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值，由OM⊥AB可用斜率处理，得到M的坐标和A、B坐标的联系，再注意到M在AB上，由以上关系即可得到M点的轨迹方程；此题还可以考虑设出直线AB的方程解决．【解答】解：如图，点A，B在抛物线y2=4px上，设，OA、OB的斜率分别为k OA、k OB．∴由OA⊥AB，得①依点A在AB上，得直线AB方程②由OM⊥AB，得直线OM方程③设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以，并利用③式，可得﹣•（﹣）+=﹣x2+，整理得④由③、④两式得由①式知，y A y B=﹣16p2∴x2+y2﹣4px=0因为A、B是原点以外的两点，所以x＞0所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．【点评】本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能．21．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】建立空间如图所示的坐标系，求得、的坐标，可得cos＜＞的值，再取绝对值，即为异面直线NE与AM所成角的余弦值．假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，求得=（0，1，1），可设=λ•=（0，λ，λ）．由ES⊥平面AMN可得，解得λ的值，可得的坐标以及||的值，从而得出结论．【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴、以DC所在的直线为y轴、以DM所在的直线为z轴，建立空间坐标系．则有题意可得D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、M（0，0，1）、N（1，1，1）、E（，1，0）．∴=（﹣，0，﹣1），=（﹣1，0，1），cos＜＞==﹣，故异面直线NE与AM所成角的余弦值为．假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，∵=（0，1，1），可设=λ•=（0，λ，λ）．又=（，﹣1，0），=+=（，λ﹣1，λ），由ES⊥平面AMN可得，即，解得λ=．此时，=（0，，），||=，故当||=时，ES⊥平面AMN．【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用坐标法求异面直线所成的角，用坐标法证明两条直线互相垂直，体现了转化的数学思想，属于中档题．22．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）所以椭圆方程为．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得设E（x E，y E），F（x F，y F），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，，所以，．又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以﹣K代K，可得，所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为．【点评】本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．。
(新课标)2015-2016学年高二上学期期末考试数学试卷(理)
2015-2016学年度上学期（期末）考试高二数学理试题【新课标】试卷说明：1、本试卷满分150分，答题时间120分钟。
2、请将答案直接填涂在答题卡上，考试结束只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数是( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．2＋iD ．2－i2．已知命题p ：∃x 0∈C ，x 20＋1<0，则 ( )A ．¬p：∀x ∈C ，x 2＋1≤0B ．¬p：∀x ∈C ，x 2＋1<0C ．¬p：∀x ∈C ，x 2＋1≥0D ．¬p：∀x ∈C ，x 2＋1>03．某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本容量为15，则样本中的青年职工人数为 ( )A ．7B ．15C ．25D ．35 4．已知一个家庭有两个小孩，则两个孩子都是女孩的概率为( )A ．14B ．13C ．12D ．235．双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m >12B ．m ≥1 C．m >1 D ．m >26．下列命题中，假命题．．．是( ) A ．若命题p 和q 满足p ∨q 为真，p ∧q 为假，，则命题p 与q 必一真一假 B ．互为逆否命题的两个命题真假相同C ．“事件A 与B 互斥”是“事件A 与B 对立”的必要不充分条件D ．若f (x ) =2x ，则f ′(x )＝x ·2x －17．阅读右面的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是( )A ．5 049B ．5 050C ．5 051D ．5 0528．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值，当x ＝3时，v 3的值为( )A ．789B ．262C ．86D ．279．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。
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十堰市2015—2016学年度上学期期末调研考试
高二理科数学（2016年1月）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
★ 祝考试顺利 ★
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡密封线矩形框内。
同时将考号填在答题卡矩形框内，并将对应考号数字框涂黑。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1. 直线10x ++=的倾斜角是 A.
6
π B.
3
π C.
23
π D.
56
π 2．抛物线2
4y x =的焦点坐标是 A ．(1,0)
B ．(2,0)
C ．1(0,
)16
D ．1
(0,)8
3. 学校为调查高二年级的1000名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取100名同学进行调查；第二种由教务处对高二年级的学生进行编号，从000到999，抽取编号最后一位为3的同学进行调查，则这两种抽样方法依次为 A ．分层抽样，简单随机抽样 B ．简单随机抽样，分层抽样 C ．分层抽样，系统抽样
D ．简单随机抽样，系统抽样
4．先后抛掷一枚硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是
A ．
8
3 B ．87 C ．8
5 D ．
8
1 5．直线043:=-+y x l 与圆4:2
2=+y x C 的位置关系是
A ．相交且过圆心 B.相交不过圆心
C ．相切
D ．相离
6．甲、乙两位歌手在“校园十佳歌手”选拔赛中,5次得分情况如茎叶图 所示,记甲、乙两人的平均得分分别为x 甲、x 乙,则下列判断正确的是 A ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定 B ．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定 C ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定 D ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定 7．如图给出的是计算1＋
13＋15＋17＋1
9
的值的一个程序框图， 则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是 A ．2,5?n n i =+> B ． 2,5?n n i =+= C ．1,5?n n i =+=
D ．1,5?n n i =+>
8．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表：
广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)
49
26
39
54
根据表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
9. 已知 A B 、为平面内两个不重合的定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N ． 若2
MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是 A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线
D ．双曲线
10.过点(3,4)P ，且在两坐标轴上的截距都是正整数的直线的条数为
A ． 3
B ． 4
C ．5
D ． 6
11.小明在家门口的公交站可以坐1路，2路公交车上学，按照公交公司的调度安排，1路车 每6分钟发车一辆，2路车每8分钟发车一辆．小明来到站台，则他等车的时间不超过3分钟的概率为 A ．
1116
B ．
16
5 C ．
2
1 D ．
316
12.已知双曲线()0,0122
22>>=-b a b y a x
, 1A 、2A 是实轴顶点,F 是右焦点，),0(b B 是虚轴端点，
若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2),i P i =使得12i P A A ∆=(1,2)i 构成以
21A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是
A ．)2
1
6,
2(+ B ．51
(2,
)2
+ C ．)2
1
6,
1(+ D ．51
(
,)2
++∞
第7题图
6 7 7 5
8 8 8 6 8 4 0 9 3
甲 乙
第6题图
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.焦点在y 轴上的双曲线2288kx ky -=的渐近线方程为 ▲ ．
14.已知向量)0,1,1(=a ，)2,0,1(-=b ，且b a k +与b a -2互相垂直，则k 的值是 ▲ . 15.给出以下四中说法：
① 对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x +-<，则:p ⌝x R ∀∈，均有210x x +->； ② p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件； ③ 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题;
④ “1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要 条件．
则上述说法中正确的是 ▲ .
16.已知椭圆13
42
2=+
y x C ：，若椭圆C 上有不同的两点关于直线l y x m =+：对称，则m 的取值范围为 ▲ ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）
给定两个命题,P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q ：对任意[]1,1x ∈-，不等式
270a a x ---≤恒成立；如果命题P 且Q 为假，P 或Q 为真，求实数a 的取值范围．
18.（本小题满分12分）
为了了解我校高二学生的体能状况，学校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数的测试，将 所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为
2:4:17:15:9:3，第二小组频数为12．
（Ⅰ）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ （Ⅱ）若次数在110以上为达标，试估计我校高二
学生的达标率为多少？
（Ⅲ）通过该统计图，试估计我校高二学生跳绳次数
的众数及中位数．（保留一位小数）
第18题图
19.（本小题满分12分）
已知圆C 过点(00),(17),(84)O A B ---，，，. （Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）求与直线AB 垂直且被圆C 截得弦长等于||AB 的直线l 的方程． 20.（本小题满分12分）
已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是1
.2
（Ⅰ）求n 的值；
（Ⅱ）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为.b
（i ）记事件“2a b +=”为事件A ,求事件A 的概率；
（ii ）在区间[0，2]内任取2个实数,x y ，求事件“222()x y a b +>-恒成立”的概率． 21.（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，
PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别为,AB PC 的中点．
（Ⅰ）求证：//EF 平面PAD ；
（Ⅱ）若2PA =，试问在线段EF 上是否存在点Q ，使
得二面角Q AP D --的余弦值为
5
5
？若存在， 确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．
22.（本小题满分12分）
如图，已知圆:E 22(1)16x y ++=，点(1,0)F ，P 是圆E
上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ,动点Q 的 轨迹为H ,且曲线H 与y 轴的正半轴相交于点M ． 若曲线H 上相
异两点A 、B 满足直线MA ,MB 的斜率之积为4
1．
（Ⅰ）求||||QE QF +的值及曲线H 的方程；
（Ⅱ）证明直线AB 恒过定点，并求定点的坐标. （Ⅲ）求ABM ∆的面积的最大值．
x
y
O
E F
P
Q
第22题图
A
B
C
D
P
E F
第21题图。